Zobrazit

Po átky teorie obvod - formulace základních zákon
Úvod
Studijní text je ur en pro poslucha e magisterského studia, zejména pro obory:
U itelství pro zvláštní školy a 1. stupe speciálních základních škol, 2. stupe – technická
a informa ní výchova.
Cílem je nastínit vývoj základních zákon teorie obvod , upoutat pozornost
studenta, který m že poznatky uplatnit i v pozd jší pedagogické praxi. Poslucha i jsou
nabídnuty p íklady, pomocí nichž si m že procvi it ešení obvod .
Doporu ená literatura k prostudování:
1. MAYER, D. Pohledy do minulosti elektrotechniky. 2. vyd. eské Bud jovice : KOOP,
2004. 427 s. ISBN 80-7232-219-2
2. MYSLÍK, J. Hlavolamy z elektrotechniky. 1. vyd. Praha : BEN – technická literatura,
1996. 175 s. ISBN 80-901984-6-5
3. VOBECKÝ, J., ZÁHALA, V. Elektronika sou ástky a obvody, principy a p íklady. 2.
vyd. Praha : GRADA Publishing, 2001. 192 s. ISBN 80-7169-884-9
4. KOLOMÝ, R. Z historie. Georg Simon Ohm – 150 let od úmrtí. Matematika – fyzika informatika. asopis pro výuku na základních a st edních školách. Praha :
Prometheus, 2004. ro . 13, . 10. str. 630 – 634. ISSN-1210-1761
5. BLAHOVEC, A. Elektrotechnika 1. 3. vyd. Praha : Informatorium, 1999. 191 s. ISBN
80-860-73-49-1
6. SMEJKAL, J. Elektrotechnika. 1. vyd. Brno : Vysoké u ení technické, 1991. 254 s.
ISBN 80-214-0388-8
Georg Simon Ohm (1789 – 1854)
Ohm v zákon
Historie Ohmova zákona
Prvenství ve formulaci ohmova zákona náleží H. Gavendishovi a nezávisle na n m
jej pozd ji znovu objevil a jako první jej publikoval G. S. Ohm.
Nejvýznamn jší Ohmovou prací, jíž se zapsal do d jin elektrotechniky, je jeho
lánek „Úber Leitungsfähigkeit der Metalle für Elektrizität“ (O elektrické vodivosti kov )
z roku 1825.
V této práci Ohm vysv tlil závislost elektrického proudu na nap tí zdroje a na
odporu vodi e. Ohm si vytvá el p edstavy o vlastnostech elekt iny na základ analogie
mezi elektrickým proudem a tepelným tokem.
Ohm ukázal, že pom ry v jednoduchém elektrickém obvodu jsou jednozna n
ur eny t emi veli inami: proudem, nap tím zdroje a odporem, jenž je p ímo úm rný délce
vodi e a nep ímo úm rný jeho pr ezu. (1, str. 172)
Ohm up esnil fyzikální pojmy: elektrický odpor, elektrická vodivost a zavedl nové
pojmy (4, s. 630).
1
obr. . 1
Ohm zprvu dosp l k nesprávným výsledk m. Ukázalo se, že p í ina byla v tom, že
p i svých pokusech používal jako zdroj nap tí Volt v lánek a nepo ítal s tím, že jeho
nap tí b hem m ení klesá. Profesor Poggendorff, vydavatel význa ného v deckého
asopisu Poggendorff´s Analen, komentoval Ohm v omyl poznámkou: „Bylo by žádoucí,
aby si autor nalezl volnou chvíli a podnikl svá vyšet ení pomocí termoelektrického lánku,
jehož p sobení je mnohem stálejší…“. Ohm roku 1826 této rady uposlechl a provedl adu
m ení proud ve vodi ích r zných délek a z r zných kov , p ipojených na termo lánek
m – vizmut. (1, str. 172)
obr. . 2
2
Na obrázku je m ící p ístroj, který použil Ohm p i svých experimentech. Je to
torzní ampérmetr s termo lánkem, kde m, m´ jsou p ívody uložené v kontaktech se rtutí;
t je magnetka nastavovaná do nulové polohy nato ením torzní hlavice r, p i emž úhel
nato ení vyjad uje velikost m eného proudu. Spoje termo lánku ab a a´b´ byly umíst ny
jednak ve vroucí vod , jednak v tajícím ledu, tedy na teplotním rozdílu 100 °C.
Jeden z mnoha Ohmových experiment spo íval v tom, že z m d ného vodi e si
p ipravil osm vzork , r zných délek. Ty pak postupn p ipojoval k baterii a torzním
ampérmetrem m il magnetické p sobení protékajícího proudu (tj. ode ítal úhel
nato ení hlavice). Získal tyto výsledky:
délka vodi e (v palcích) 2
4
6
nato ení hlavice
305 282 258 ¼
10
223 ½
18 34
178 124 ¾
66 130
78 44
Svá m ení vyhodnotil Ohm tímto tvrzením „… Výše uvedená ísla lze posta ujícím
a
zp sobem vyjád it rovnicí X
,
(1)
b x
kde X je velikost magnetického p sobení vodi e, jehož délka je x, a a, b jsou konstanty,
jež jsou úm rné budící síle a odporu zdroje…“ (1, str. 173)
Úkol 1
Dosa te do rovnice (1) za konstanty b = 20 ¼ , a = 6800 a vepište výsledky do
tabulky:
délka vodi e (v palcích)
Výsledné X
2
4
6
10
18
34
66
130
Vypln ná tabulka:
délka vodi e (v palcích)
Výsledné X
2
4
6
10
18
34
66 130
305½ 280½ 259 224¾ 177¾ 125¼ 79 45
Výsledky se dob e shodují s nam enými hodnotami a tedy potvrzují platnost
rovnice (1).
Vyjád íme-li uvedený vztah (1) v dnes známém tvaru
,
(2)
Ri Ra
kde I je proud,
je elektromotorické nap tí termo lánku, Ri je vnit ní odpor
termo lánku a Ra je odpor vodi e p ipojeného k termo lánku a uv domíme-li si, že Ra je
p ímo úm rné délce vodi e x a X je mírou proudu, je význam veli in a a b ihned patrný.
(1, str. 175)
I
Poznámka:
Dnes se používá jiné ozna ení veli in. Uvádím vztahy pro veli iny v dnes
používaném tvaru.
Elektrický proud I je dán elektrickým nábojem Q, který projde pr ezem vodi e za
Q
dobu t. Platí vztah I
(5, str. 11).
t
3
Elektrické nap tí U je definováno prací pot ebnou k p emíst ní kladného
A
(5, str. 12).
jednotkového elektrického náboje Q. Platí vztah U
Q
Veli ina R vyjad uje vlastnosti prost edí, kterým prochází elektrický proud,
a nazýváme ji elektrickým odporem nebo také rezistancí vodi e. Uvedenou veli inu lze
l
vyjád it vztahem R
.
(5, str. 17) .
S
Sou ástka, jejíž základní požadovanou vlastností je elektrický odpor, se nazývá rezistor.
U
(5, str. 15)
Platí vztah R
I
Ohm v zákon pro celý obvod
Fyzika
U0
I
Ri Re
elektrotechnika U 0 I Ri Re
Ohm v zákon pro ást obvodu
U
I
,
I GU
R
U
RI , U
I
G
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887)
Kirchhoffovy zákony
Historie Kirchhoffových zákon
Pod vedením prof. Neumanna vypracoval student Kirchhoff seminární práci, v níž
formuloval vztahy, které byly pozd ji spojeny s jeho jménem. Kirchhoffov seminární
práci se dostalo zaslouženého ocen ní: po menších úpravách tvo ila jeho doktorskou
disertaci a byla d vodem ke stipendiu k ro nímu postgraduálnímu studijnímu pobytu.
obr. . 3
Kirchhoff se cítil povolán p edevším k obor m teoretické fyziky, experimentování
mu bylo vzdáleno.
Objevy, jimiž Kirchhoff položil základy soudobé teorie elektrických obvod , u inil
v pom rn úzkém asovém období let 1845 – 1849. V dalším období svého života se
elektrickými a magnetickými jevy už nezabýval.
4
Je zajímavé, že Kirchhoff vykládal elekt inu a magnetismus pomocí fluid, nebo
nebyl p ívržencem Maxwellovy teorie elektromagnetického pole, a
práv z ní lze
exaktn odvodit oba Kirchhoffovy zákony.
Základními pilí i, na nichž je vybudována teorie elektrických obvod , jsou první
a druhý Kirchhoff v zákon.
Prof. Neumann zadal tehdy 21-letému studentu Kirchhoffovi seminární práci, v níž
m l vyšet it rozložení proudové hustoty v kruhovém plechovém kotou i, jestliže p ívod
a odvod proudu je proveden tenkými vodi i p ipojenými k obvodu kotou e.
Pr b h ekvipotenciál v kruhové desce – výsledek m ení,
které provád l Kirchhoff ve své seminární práci
obr. . 4
V dodatku ke své seminární práci pak ješt odvodil podmínku rovnováhy
Wheatstoneova mostu a práv k tomu ú elu formuloval v r. 1845 ony vztahy, které dnes
ozna ujeme jako první a druhý Kirchhoff v zákon:
n
k 1
Ik
0
a
n
Uk
0
k 1
První Kirchhoff v zákon (zákon o zachování elektrických náboj ) vyjad uje, že
v libovolném uzlu obvodu je algebraický sou et okamžitých hodnot proud vytékajících
z uzlu
a proud vtékajících do uzlu roven nule. P itom proudy vytékající z uzlu
bereme jako kladné a proudy vtékající do uzlu jako záporné.
obr. . 5
Druhý Kirchhoff v zákon (zákon o zachování energie) vyjad uje, že v libovolné
orientované smy ce obvodu je algebraický sou et okamžitých hodnot nap tí na v tvích
smy ky roven nule. P itom souhlasn orientovaná nap tí s orientací smy ky bereme
orientovaná kladn , nesouhlasn bereme záporn .
5
obr. . 6
B hem svého pobytu na berlínské univerzit Kirchhoff svou práci prohloubil
a formuloval další poznatky, které dnes ozna ujeme jako Kirchhoffova kombina ní
pravidla a dále upozornil na platnost varia ních princip v elektrických soustavách. (1,
str. 177)
Záv r
Ohmovým zákonem a Kirchhoffovými zákony byly položeny základy sloužící
teoretické elektrotechnice – teorie elektrických obvod .
P íklady na procvi ení:
Úloha 1
Máme t i rezistory, jeden má odpor 3 R a každý ze dvou zbývajících pak R. Tyto rezistory
máme spojit tak, aby výsledný odpor spojení byl 3R/7. (2, str. 7)
Obr. 1
6
Výpo et:
a) úlohu m žeme vy ešit „zkusmo“. Na obr. 1 jsou nakresleny všechny r zné možnosti
zapojení uvažovaných rezistor . Na první pohled vidím, že pro zapojení na obr. 1 a) je
výsledný odpor 5R a pro zapojení podle obr. 1 b) pak 3R + R/2 = 7R/2. Takto tedy
rezistory být zapojeny nemohou. Pro zapojení podle obr. 1 c) dostaneme
3R.R
7R
R
3R R
4
pro zapojení podle obr. 1 d)
R ( R 3R ) 4 R
R R 3R
5
pro zapojení podle obr. 1 e)
3R ( R R ) 6 R
3R R R
5
a kone n pro zapojení podle obr. 1 f) pak
1
3R
1
1 1
7
3R R R
Hledaným zapojením rezistor je tedy zapojení nakreslené na obr. 1 f).
b) úlohu m žeme ešit i úvahou. Výsledný odpor má být 3R/7 0,429 R, tedy menší než
odpor 0,5 R, který m žeme získat paralelním spojením dvou rezistor s odpory R.
není jiná možnost než p ipojit t etí rezistor s odporem 3R paraleln k této dvojici,
1
3R
abychom výsledný odpor dále zmenšili a pak
.
1
1 1
7
3R R R
Úloha 2
Máme t i rezistory, jejichž odpory R1, R2, R3 neznáme. Spojíme-li tyto rezistory podle obr. 2,
potom ampérmetr A ukazuje proud I1 = 0,1 A a voltmetr V nap tí UR1 = 3 V. Spojíme-li
rezistory podle obr. 3, pak ampérmetr A ukazuje proud I2 = 1 A. Nap tí zdroje je v obou
p ípadech U0 = 10 V. Máme ur it velikosti odpor R1, R2, R3. (2, str. 8)
Výpo et:
Rovnou m žeme psát, že R1 = UR1 / I1 = 30
Podle obr. 2 v zadání úlohy je dále (R2 + R3) I1 = U0 - UR1
tedy po dosazení íselných hodnot R2 + R3 = 70
7
(a)
Druhou pot ebnou rovnici sestavíme podle obr. 3. M žeme psát
I2
U0
1
R1
1
R2
1
R3
1
1
1
30 R2 R3
Tato rovnice spole n s rovnicí (a) tvo í soustavu dvou rovnic, ze které vypo ítáme velikosti
odpor R2 48,23 , R3 21,77 .
a po dosazení íselných hodnot 0,1 =
Úloha 3
Stanovte výsledný odpor spojení podle obr. 4, kde R1 = 1,8
R4 = 4,5 , R5 = 2 , R6 = 6 . (5, str. 39)
, R2 = 18
,
R3 = 3,4
Obr. 4
Výpo et:
Nejd íve stanovíme výsledný odpor paraleln spojených rezistor R5 a R6 a ozna íme ho RA
R5 R6
2.6
RA = R56
1,5 .
R5 R6 2 6
Rezistory RA + R4 jsou spolu spojeny v sérii. Spojení ozna íme jako RB
RB = RA + R4 = (1,5 + 4,5) = 6 .
Rezistory R2 a RB jsou spojeny paraleln a jejich výsledný odpor ozna íme Rc
8
,
R2 R B
18.6
4,5 .
R2 RB 18 6
Tímto dostáváme spojení, podle kterého m žeme stanovit výsledný odpor, kde rezistory R1,
Rc a R3 jsou spojeny do série a výsledný odpor je tedy
R = R1+ Rc + R3 = (1,8 + 4,5 + 3,4) = 9,7 .
Rc = R2 B
Úloha 4
Stanovte odpor spojení rezistor podle zapojení na obr. 5. Hodnoty odpor rezistor jsou
R1 = 4 , R2 = 5 , R3 = 1 , R4 = 1,1 , R5 = 2,5 . Pro transfiguraci m žeme použít
trojúhelník složený z rezistor R1, R2, R3, nebo trojúhelník složený z rezistor R3, R4, R5.
(5, str. 43)
5
Výpo et:
Výpo et odpor rezistor hv zdy
R1 R 2
4.5
RA =
R1 R 2 R 3 4 5 1
2 ,
Rb =
R 1 R3
R1 R 2 R 3
4.1
4 5 1
0,4 ,
Rc =
R2 R3
R1 R 2 R 3
5.1
4 5 1
0,5 .
Po dalším zjednodušení bude
Rd = Rb + R4 = (0,4 + 1,1) = 1,5 ,
Re = Rc + R5 = (0,5 + 2,5) = 3 ,
Rd Re
1,5.3
Rg =
1 .
Rd Re
1,5 3
Výsledný odpor spojení
R = RA + Rg = (2+1) = 3 .
9
Úloha 5
Ur eme odpor rezistorového dvojpólu nakresleného na obr. 6. (2, str. 27)
Obr. 6
Pozn.: K obvodu jsou prvky p ipojeny svorkami (póly). Podle po tu svorek rozeznáváme
dvojpóly, trojpóly, ty póly a obecn n-póly. Dvojpóly mají dv svorky a k posouzení jejich
innosti musíme znát nap tí mezi t mito svorkami a dále proudy, které dvojpólem prochází.
Nezajímá nás jenom velikost uvedených veli in, ale také jejich smysl a sm r. (6, str. 12)
Výpo et:
Úlohu by samoz ejm bylo možné ešit metodou transfigurace (trojúhelník – hv zda,
hv zda – trojúhelník), popíšeme však elegantn jší postup ešení. Je dobrou ukázkou toho,
že p ed matematickým ešením je nutno p emýšlet a na základ fyzikálního rozboru ešení
úlohy optimalizovat.
Vyjd me z definice odporu
U0
Rd
(A)
I
kde U0 je svorkové nap tí a I proud dvojpólu (obr. 8).
10
Obr. 8
Nyní sta í zavést libovolnou smy ku tak, aby obsahovala v tev, ve které je (fiktivní)
zdroj nap tí U0 a pro tuto smy ku napsat druhý Kirchhoff v zákon.
Pro smy ku s zavedenou podle obr. 8 m žeme psát
RI RI RI
U0
3
6
3
RI RI RI
Po dosazení za U0 z rovnice (A) je Rd I
3
6
3
a kone n pro pod lení této rovnice proudem I dostaneme výsledek
R R R 5R
Rd
.
3 6 3
6
Pomocí výše uvedených zákon lze ešit i úlohy z elektroniky.
Úloha 5
Máme obvod se t emi LED diodami – ervenou (D1), zelenou (D2) a modrou (D3).
Napájecí nap tí Ucc = 5 V.
a) Jaké úbytky nap tí budou na rezistorech R1, R2 a R3, jsou-li úbytky nap tí na diodách
UD1 = 1,7 V, UD2 = 2,2 V a UD3 = 3,0 V?
b) Vypo t te velikosti odpor jednotlivých rezistor tak, aby jednotlivými diodami tekly
proudy I1 = 12 mA, I2 = 8 mA, I3 = 20 mA.
11
c) Jaký bude celkový odb r proudu Icc ze zdroje napájecího nap tí Ucc pro p ípad b)?
(3, str. 31)
Výpo et:
Na tomto p íkladu je ilustrována provázanost obou Kirchhoffových zákon a Ohmova
zákona.
a) P i výpo tu úbytk nap tí na jednotlivých rezistorech použijeme 2. Kirchhoffova
zákona. Nejd íve si stanovíme proudovou orientaci v obvodu (nap íklad ve sm ru Icc,
tedy ve sm ru hodinových ru i ek), napíšeme rovnice pro nap tí v jednotlivých
v tvích obvodu a dosadíme:
U cc U R1 U D1 0
U R1 U cc U D1 5V 1,7V 3,3V
U cc
U R2
U D2
0
U R2
U cc U D2
5V
2,2V
2,8V
U cc
U R3
U D3
0
U R3
U cc
5V
3,3V
2,0V
U D3
b) Velikosti odpor jednotlivých rezistor vypo teme p i známých hodnotách nap tí a
proud z Ohmova zákona:
U R1
3,3V
R1
257
I1
12.10 3 A
U R2
2,8V
R2
350
I2
8.10 3 A
U R3
2,0V
R3
100
I3
20.10 3 A
c) Celkový odb r proudu Icc vyplývá z 1. Kirchhoffova zákona:
Icc – I1 – I2 – I3 = 0
Icc = I1 + I2 + I3 = 12.10 3 A
12