docObyčejné diferenciální y j rovnice – počáteční úloha
download 
Stížnost Transkript
Obyčejné diferenciální y j rovnice – počáteční úloha
Obyčejné y j diferenciální rovnice – počáteční úloha KMA / NGM F. Ježek ([email protected]) Základní pojmy Typy rovnic a podmínek, řád rovnice Počáteční úloha pro obyčejné diferenciální rovnice Řád metody a počet kroků Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsovy vzorce Metoda prediktor-korektor Základní pojmy Obyčejná a parciální diferenciální rovnice Obyčejné obsahují jen derivace funkce jedné proměnné (nosník apod.) Parciální obsahují i parciální derivace funkcí více proměnných (vedení tepla apod.) Řád rovnice – nejvyšší derivace, která se v rovnici objevuje Lineární, resp. nelineární rovnice – nejvyšší derivace není, resp. je argumentem jiné funkce Řešení obecné a partikulární Obecné řešení – zadání neobsahuje podmínky Partikulární – jsou dány podmínky Podmínky počáteční a okrajové Počáteční – jsou dány v jednom bodě (v jedné proměnné) Ok j é – jsou Okrajové j dá dány ve více í b bodech d h ((v jjedné d é proměnné) ě é) Základní pojmy - příklady y '−xy = 0 Obyčejná diferenciální rovnice, prvního řádu, lineární, obecné řešení y ' '− xy '− sin x = 0, y (0) = 0, y ' (0) = 1 ( y ' ) 2 − xy = 0, y (0) = 0, y (1) = 1 ∂u ∂ 2u = 2 , u (0, x) = sin( x) ∂t ∂x Obyčejná diferenciální rovnice, druhého řádu, lineární, partikulární řešení, počáteční úloha Obyčejná y j diferenciální rovnice, prvního p řádu, nelineární, partikulární řešení, okrajová úloha Parciální diferenciální rovnice, druhého řádu, lineární,, partikulární p řešení,, počáteční p úloha Základní pojmy - příklady y1 '− xy2 = 0, y1 (0) = 0 y2 '− y1 y2 = 0, y2 (0) = 1 Soustava obyčejných lineárních diferenciálních rovnic, prvního řádu, partikulární řešení, počáteční úloha Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice p prvního řádu Velkým ý písmenem p značíme aproximaci p řešení Řad metody – míra shody mezi přesným (analytickým) a přibližným (numerickým) řešením – přesněji: mocnina, do které se shoduje rozvoj obou řešení v mocninou řadu N-kroková metoda – „hloubka paměti metody“, kolik předcházejících hodnot je nutné znát k výpočtu další hodnoty Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice p prvního řádu y y = y (x) Eulerova metoda y ' = f ( x, y ), y ( x0 ) = y0 h > 0, xi = x0 + i.h f ( x1 , Y1 ) Y0 = y0 , Y1 = Y0 + h. f ( x0 , Y0 ) Y0 = y0 x0 Y2 Y1 h h x1 x2 Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice p prvního řádu Eulerova metoda je jednokrokovou metodou prvního řádu Metoda Runge-Kutta je metodou jednokrokovou, ale již 4 řádu (v Taylorově rozvoji numerického a analytického řešení se shodují koeficienty u mocnit kroku až do čtvrté mocniny) Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice p prvního řádu Vícekrokové metody Adamsova explicitní formule (čtyřkroková, třetího řádu): Adamsova p implicitní formule ((rovnice)) : Počáteční úloha pro lineární diferenciální rovnice p prvního řádu Algoritmus g p prediktor-korektor Rozběh – několik prvních hodnot jjednokrokovou metodou Predikce – použití vícekrokové explicitní formule Korekce – opakované použití iterací pomocí implicitní p formule ((zastavení na p přesnost)) Metoda prediktor-korektor y 1 Y4 rozběh Y4 = Y4 q 0 Y4 Y0 = y0 x0 x1 h h h h x2 predikce Y3 Y2 Y1 korekce x3 x x4 Aplikace na soustavy a rovnice vyššího y řádu Metody pro řešení počáteční úlohy pro obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního íh řádu řád jjsou aplikovatelné lik t l é na řadu ř d dalších úloh: Soustavy rovnic prvního řádu Rovnice vyššího řádu Soustavy rovnic vyššího řádu Soustava obyčejných y j ý diferenciálních rovnic prvního řádu – počáteční úloha Výchozí formulace Vektorová formulace Použití vektorové formulace Eulerovy metody Metody Runge Kutta Metody prediktor-korektor Ř š í Řešení Obyčejné řádu – y j diferenciální rovnice vyššího y počáteční úloha Výchozí formulace Substituce Soustava diferenciálních rovnic prvního řádu – počáteční úloha Soustava obyčejných y j ý diferenciálních rovnic vyššího řádu – počáteční úloha Výchozí formulace Každou rovnici p převedeme na soustavu rovnic prvního p řádu Celou soustavu formulujeme vektorově Použití vektorové formulace Eulerovy metody Metody Runge Kutta Metody prediktor-korektor Příklad – rovnice druhého řádu řádu, Eulerova metoda Výchozí formulace Substituce Soustava diferenciálních rovnic prvního řádu – počáteční úloha Příkl d – skákající Příklad kák jí í míč íč y′′ = −9.8, y (0) = 0, y′(0) = 20 1 y′= 2 y,1y (0) = 0 2 y′ = −9.8, 2 y (0) = 20 Pro jednotlivé „skoky skoky“ se provádí výpočet zvlášť s novými počátečními podmínkami. Při dopadu derivace změní znaménko a vezme se 90 % její hodnoty a počítá se další oblouk trajektorie trajektorie. Eulerova metoda: r r r 2 1 2 f ( x, Y ) =( Y ,−9.8), Y0 = 0, Y0 = 20, Y0 = (0,20) r r r r Y1 = Y0 + h. f ( x0 , Y0 ) = (0,20) + 0.1(20;−9.8) = (2;19.02) ⇒ [0.1;2] r r r r Y2 = Y1 + h. f ( x1 , Y1 ) = (2;19.02) + 0.1(19.02;−9.8) = (3.902;18.04) ⇒ [0.2;3.902]
