YJ oblouk

MECHANIKA
1
KLASICKÁ MECHANIKA
Předmětem mechaniky – matematický popis mechanického pohybu
v prostoru a v čase a jeho příčiny.
Klasická mechanika – rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla
ve vakuu
c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s −1
Mechanický pohyb – změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase. Pohyb
je relativní – nutno udat vztažné těleso (vztažnou soustavu).
2
Kartézský souřadný systém
osa
z
základníG
vektor k
osa
x
základní
G
vektor j
počátek [0,0,0]
základní
G
vektor i
osa
y
3
Vztažné soustavy
3 pravoúhlá (kartézská) – souřadnice x, y, z
3 polární: poloměr r, úhel ϕ
3 cylindrická (válcová): poloměr r, úhel ϕ , souřadnice z
3 sférická (kulová): poloměr r, úhel ϕ , úhel ϑ
Nejčastěji se používá tzv. laboratorní soustava
tj. pravotočivá kartézská soustava pevně spojená se Zemí).
4
Popis pohybu v prostoru a čase
bez uvažování příčin pohybu
KINEMATIKA
Studium příčin pohybu a jeho změn
MECHANIKA
DYNAMIKA
Zvláštní část mechaniky:
STATIKA
(pohyb nenastává)
5
KINEMATIKA
Idealizace Hmotný bod (HB – fiktivní objekt)
3 rozměry tělesa jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé (lze je
zanedbat vzhledem např. k uražené dráze)
3 rotační pohyb lze zanedbat
3 těleso nepodléhá deformaci
Abychom mohli jednoznačně určit polohu tělesa a změnu této polohy,
musíme znát v každém okamžiku základní kinematické veličiny, tj. jeho
3 polohu
3 rychlost
3 zrychlení
(polohový vektor
G
v,
G
a
G
r)
6
Základní kinematické veličiny
G
c (okamžitý) polohový vektor r
G
d okamžitá rychlost
v
G
e okamžité zrychlení
a
Vedlejší kinematické veličiny
f vektor elementárního úhlového otočení
g vektor úhlové rychlosti
h vektor úhlového zrychlení
7
c Polohový vektor
Definice
G
G G G
r = x i +y j + z k
G
k
Δ
γ
z
β
α
osa
x
G
i
y
Velikost polohového vektoru
G
j
osa
y
x
G
r=r =
x2 + y2 + z 2
Směrové kosiny polohového vektoru − cosα, cosβ, cosγ
8
Pro směrové kosiny platí
x
cos α = G
r
, cos β =
y
G , cos γ =
r
z
G
r
přičemž
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
Základní
vektory
G
i =
G
j =
G
k =
( 1, 0 , 0)
( 0 , 1, 0)
( 0 , 0 , 1)
G
i
G
k
G
j
G
Vektor iG: cosα = 1, cosβ = 0, cosγ = 0
Vektor j : cosα = 0, cosβ = 1, cosγ = 0
G
Vektor k : cosα = 0, cosβ = 0, cosγ = 1
9
Trajektorie – množina koncových bodů polohového vektoru
– znázorněna červeně. Délka trajektorie – dráha s = s(t).
trajektorie
G
r
G
r (t0)
G0
r
0,0,0
G G
r = r (t )
G
G
G
G
r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
G
r (t0+Δt)
t
G
Polohový vektor r : počátek vždy v počátku soustavy souřadnic,
konec na trajektorii ve sledovaném bodě.
Může se „natáhnout“ na neomezenou délku.
Jednotkou dráhy i velikosti polohového vektoru je metr (m).
10
Parametrické rovnice trajektorie
x = x(t )
y = y (t )
x = 2t
například:
z = z (t )
Vyloučením času (tj. parametru) obdržíme tvar křivky
y = 3t 2
z = 4t
y = f ( x, z ) , po které
se HB pohybuje.
Okamžitou polohu HB můžeme tedy popsat třemi skalárními rovnicemi, nebo
jednou vektorovou
G
G
G
G
G
G
G
G
2
r (t ) = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k například: r (t ) = 2t i + 3t j + 4t k
11
Příklad 1
Polohový vektor tělesa v pohybu je dán vztahem
G
G
G
r (t ) = (3,6 t + 4, 2)i + (5, 4 t ) j
[SI].
Určete tvar trajektorie.
Řešení:
Pohyb se děje v rovině xy. Složky polohového vektoru jsou
(1)
(2)
x = 3,6t + 4, 2
y = 5, 4t
Z rovnice (1) vyjádříme čas:
y
0
2
4
6
2
4
x
x − 4, 2
t=
3,6
a dosadíme do rovnice (2).
Po úpravě obdržíme:
y = 1,5 x − 6,3.
To je rovnice přímky, jejíž směrnice je 1,5.
Úsek na ose y je - 6,3 m.
12
d Okamžitá rychlost Definice
G
G dr
G
v=
=r
dt
Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času
Δs
trajektorie
G
vA
A
B
G
Δr
G
r
Δs = délka oblouku
G
vB
G
Střední rychlost v mezi body A, B
G
Δ
r
Δ
s
G
v
=
≈
Δt
Δt
AB
AB
G
G
r + Δr Limitní přechod: B → A, potom Δt → 0,
střední rychlost
0
G
v AB
→
okamžitáGrychlost
v
13
G
G
v = lim v AB
Δt →0
G
G
Δr
dr G
= lim
=r
=
Δt →0 Δt
dt
Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle
času
G
v = ( v x , v y , v z ) = ( x , y , z )
G
v
trajektorie
G
r (t )
0,0,0
Vektor rychlosti má směr tečny ke trajektorii a jeho orientace
odpovídá rostoucím hodnotám času t .
14
G
v
Vektor okamžité rychlosti má tedy směr tečny a jeho
G
r (t )
velikost má význam dráhy uražené za jednotku času.
0
Složky vektoru rychlosti:
G dx G dy G dz G
G
G
G
G d G G
j + k = vx i + v y j + vz k ,
v = ( xi + yj + zk ) = i +
dt
dt
dt
dt
velikost rychlosti
G
2
2
2
v = v = vx + v y + vz
.
Jednotkou rychlosti je metr za sekundu (m.s-1)
15
Pozn.
Sledujme pouze velikosti okamžité rychlosti :
ds
P
G
G
dr ds
G dr
v= v =
=
= = s
dt
dt dt
G
ds
G dr G
= r ale v = = s
tedy : v =
dt
dt
16
Příklad 2
G
G
G
2G
Poloha elektronu je dána vztahem r = 3,0t i − 4,0t j + 2,0k . a) Určete
G
časovou závislost rychlosti elektronu v (t ) . b) Jakou rychlost má
elektron v okamžiku t = 2,0 s? Výsledek zapište pomocí jednotkových
vektorů. c) Určete velikost rychlosti v tomto okamžiku.
Řešení:
G
G
a) Časovou závislost rychlosti elektronu v (t ) získáme derivací polohového vektoru r
G
G
G
G
G
d
2G
−1
v ( t ) = (3,0t i − 4,0t j + 2,0 k ) m.s = (3,0 i − 8,0t j ) m.s −1
dt
b) V čase t = 2 s má elektron rychlost
G
G
G
G
G
v(t =2) = 3,0 i − (8,0 ⋅ 2,0) j = (3,0 i − 16,0 j ) m.s −1
c) Velikost rychlosti elektronu v čase t = 2 s
G
v = v = vx2 + v 2y = 3,02 + 16,02 = 16 m.s −1
17
Typické hodnoty některých rychlostí
G
v
Šíření elektromagnetických vln ve vakuu
Orbitální rotace Země kolem Slunce
Zvuk ve vzduchu
Automobil na dálnici
Lidská chůze (průměrná hodnota)
Vodivostní elektron v kovu (vdrift)
8
3×10 m/s
3
29,8×10 m/s
332 m/s
45 m/s
1,2 m/s
≈ 0,001 m/s
18
e Okamžité zrychlení
Mění-li vektor rychlosti buď velikost nebo směr (případně obojí
najednou), pak říkáme, že se těleso pohybuje se zrychlením.
Změna vektoru rychlosti v čase → okamžité zrychlení
G
G dv
G
a=
=v
dt
Î
G
G
G
G
a = a x i + a y j + az k ,
G
G
2G
G dv d dr d r G G
a=
=
= 2 =v=r
dt dt dt dt
kde
a x = v x , a y = v y , a z = vz .
G
G dv G dv y G dv G
G
G
G dv d
x
z
a
=
=
v
i
+
v
j
+
v
k
=
i
+
j
+
k
nebo jinak
x
y
z
dt dt
dt
dt
dt
(
)
Jednotkou zrychlení je (m.s-2).
19
Vektor zrychlení nemá při pohybu částice po své trajektorii
žádný význačný nebo specifický směr.
Obecně
G
G
G
G
a = ax i + a y j + az k
Obr.: Rozklad okamžitého zrychlení
při pohybu částice v rovině xy
G
G
G
a = ax i + a y j
G
Uděláme rozklad vektoru zrychlení a
do dvou jiných, také navzájem
kolmých ale mnohem názornějších směrů.
Zvolíme směr tečny k trajektorii a směr kolmice (normály) k této tečně.
Tato normála směřuje do středu oblouku, který trajektorie v bodě P tvoří.
20
G
Jestliže se pak vektor dv
mění :
má směr :
pouze
tečny
velikost
k trajektorii
rychlosti
⇒ tečné
G
G
G
v + dv
0
B
dφ
ds
G
R
G
v
G
G
v + dv
A
G
v
G
G
dv
G
dv
G
dv
Vektor dv
nemá žádný specifický směr G
ve vztahu k polohovému vektoru R
n
t
v
G
zrychlení at
pouze
normály
směr
k trajektorii
rychlosti
⇒ normálové
G
G
v,
zrychlení a
n
21
Změna jen velikosti
rychlosti
tečné zrychlení
G
at
Zrychlení
Změna jen směru
rychlosti
normálové
zrychlení
G
an
Obě změny
současně
G
G
G
a = an + at
22
Obecný (křivočarý) pohyb
G
G
G
at
G at – tečné zrychlení, an – normálové zrychlení
a
G
an
velikost zrychlení je
velikosti složek
Celkové zrychlení je dáno vztahem
G G G
a = at + an
a = at 2 + an 2
dv
at =
dt
v2
an =
R
kde R je poloměr oskulační kružnice.
Shrnutí
23
3 rychlost má směr tečny k trajektorii
3 tečná složka zrychlení at určuje změnu velikosti rychlosti za jednotku času
3 normálová složka zrychlení an ( an ≥ 0 ) závisí na poloměru křivosti dráhy
⇒ souvisí se změnou směru
G pohybu. Směřuje do středu křivosti dráhy,
takže i celkové zrychlení
G G
Je-li zrychlení a ≠ 0
a směřuje dovnitř zakřivení.
a
3 mění se jen velikost rychlosti, pak
3 mění se jen směr rychlosti,
pak
3 mění se velikost i směr rychlosti, pak
G G
a = at
G G
a = an
G G G
a = at + an
24
Kruhový pohyb – pohyb v rovině – 2D problém
y
G
r
G
v
Pro popis tohoto pohybu jsou vhodné
polární souřadnice:
r (= konst .) a ϕ(t )
ϕ y
x
Vztah k souřadnicím kartézským
x
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Polohový vektor
G G
G
G
G
r = xi + yj = ( r cos ϕ ) i + ( r sin ϕ ) j
Rovnoměrný pohyb kruhový
s časem
ϕ =ωt
Polohový vektor:
− úhlová dráha ϕ narůstá rovnoměrně
(ω je velikost úhlové rychlosti otáčení)
G
G
G
r (t ) = ( r cos ωt ) i + ( r sin ωt ) j
25
G
a
S
r
ϕ
G
v
Délka oblouku s:
G
at
G
Obvodová rychlost v :
B
G
an
s
s = rϕ
G
G
G
G dr
= [( − rω sin ωt ) i + ( rω cos ωt ) j ]
v=
dt
A
Její velikost:
v = vx2 + vy2 = r 2ω2 sin2 ϕ + r 2ω2 cos2 ϕ
v = rω .
26
Vektorově
G
ω
G
G G G
v =ω×r
dϕ
ω=
,
dt
G
G
ϕ G
v
Obvodová rychlost
G
r
trajektorii.
G
v
je vektor, který má směr tečny k
G G G
v ⊥ω ⊥ r
Poznámka:
Při vektorovém popisu kruhového pohybu leží vektory veličin
G
3 úhlová dráha ϕ ,
G
3 úhlová rychlost ω
G
3 úhlové zrychlení ε
! v ose otáčení !
27
Zrychlení
G
G
G
G dv
2
2
a=
= ⎡⎣( − rω cos ωt ) i + ( − rω sin ωt ) j ⎤⎦
dt
y
G
2G
a = −ω r
G
v
G
r G
a
x
G
Zrychlení a má směr do středu kružnice ⇒
název dostředivé zrychlení
Velikost zrychlení:
2
v
an = rω 2 =
r
at = 0
(poněvadž
v = ω r ),
(poněvadž velikost rychlosti = konst.)
28
Perioda = doba jednoho oběhu
Platí
Pro t
ϕ =ωt .
= T je ϕ = 2π .
Po dosazení do předchozí rovnice obdržíme
2π = ωT ⇒ T =
2π
ω
[T ] = s
Frekvence (počet oběhů za sekundu) = převrácená hodnota periody
1
f =
T
[ f ] = s −1 = Hz
Spojením těchto rovnic dostaneme
ω = 2π f
[ω ] = s-1.
29
Základní druhy pohybů
přímočarý rovnoměrný
an = 0 ,
at = 0
přímočarý rovnoměrně zrychlený (zpomalený)
an = 0 , at = konst. ≠ 0
přímočarý nerovnoměrný
an = 0 ,
at ≠ 0
křivočarý rovnoměrný
an ≠ 0,
at = 0
kruhový rovnoměrný
an = konst. ≠ 0 ,
křivočarý nerovnoměrný
an ≠ 0, at ≠ 0
at = 0
30
DVĚ ÚLOHY KINEMATIKY
1. úloha
G
Máme dán polohový vektor r (t ) , odtud
G G
G G
G G
derivace
derivace
r = r ( t ) ⎯⎯⎯⎯
→ v = v (t ) ⎯⎯⎯⎯
→ a = a (t )
Úloha je triviální a jednoznačná.
2. úloha
G
Známe vektor zrychlení a (t ) , odtud
G
G G
G G
integrace
integrace
a (t ) ⎯⎯⎯⎯
→ v = v (t ) ⎯⎯⎯⎯
→ r = r (t )
Musíme znát počáteční (okrajové) podmínky.
31
Aplikace 2. úlohy
1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený)
G
a = konst.
(1)
a) Hledáme rychlost
Z definice
G
G dv
G G
G
G
a=
⇒ dv = a dt ⇒ v = ∫ a dt
dt
Po integraci obdržíme
Pro
t =0s
pak
G G
v = at + C1,
G
G
v (t = 0) = at
N + C1
(neurčitý integrál)
kde C1 je integrační konstanta (libovolná).
⇒
=0
G
C1 = v0
Konstanta C1 má význam rychlosti v čase t = 0 s a vztah zapíšeme
G G G
v = at + v0
(2)
32
G
b) Hledáme polohový vektor r .
G
G dr
v=
dt
G G
dr = v dt
G
G
r = ∫ v dt
⇒
⇒
(neurčitý integrál)
G
Po dosazení za v z rovnice (2) a následné integraci dostaneme
G2
at
G
G
G G
G
G
G
r = ∫ v dt = ∫ ( at + v0 ) dt = ∫ at dt + ∫ v0 dt =
+ v0t + C2 ,
2
kde C2 je integrační konstanta (libovolná).
Pro
t =0s
1G2 G
G
r (t = 0) = at + v0t + C2
N
2
N =0
⇒
G
C2 = r0
=0
Konstanta C2 má význam polohového vektoru v čase t = 0 s a vztah zapíšeme
G 1G2 G
G
r = at + v0t + r0
2
(3)
33
2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný)
G
v = konst.
Zrychlení je v tomto případě
G
G
G dv
a = 0 , protože a = konst = 0
dt
G
Hledáme pouze polohový vektor
G
G dr
v=
dt
⇒
G G
dr = v dt
Po integraci obdržíme
Pro
t =0s
pak
r.
⇒
G G
r = vt + C ,
G
G
r = ∫ v dt
(neurčitý integrál)
kde C je integrační konstanta (libovolná).
G
G G
r (t = 0) = r0 = vt
N+C
⇒
G
C = r0
0
Konstanta C má význam počáteční rychlosti tj.rychlosti v čase t = 0 s.
Pro polohový vektor dostáváme
G G G
r = vt + r0
34
Shrnutí Aplikace 2. úlohy
1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený)
G
a = konst.
G G G
v = at + v0
G 1G2 G
G
r = at + v0t + r0
G2 G G
Protože jde o pohyb po přímce (1D) mají vektory
a navíc platí
G
r =s
a = konst.
a, v , r
shodný směr
, můžeme použít jen velikosti veličin
v = at + v0
1 2
s = at + v0t + s0
2
2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný)
G
a=0
G
v = konst.
G G G
r = vt + r0
Analogicky pro velikosti veličin
a=0
v = konst.
s = vt + s0
35
Poznámky
G G G
3 Pokud jsou vektory rovnoběžné r v a
(ať už souhlasně nebo
nesouhlasně), jedná se o pohyb přímočarý.
3 Mají-li různý směr → křivočaré pohyby.
3 Každá z vektorových rovnic (1), (2) a (3) se dá nahradit třemi skalárními
rovnicemi.
3 Rozklad pohybů do zvolených směrů (např. do směrů os x, y, z).
3 Princip nezávislosti pohybů.
3 Pohyb tělesa (hmotného bodu) v tíhovém Zemském poli (v prvním
počítačovém cvičení)
36