Diskrétní náhodné veličiny

Diskrétní náhodná veličina
Postupně projděte následující různá zadání náhodných veličin a vždy
a) určete obor hodnot náhodné veličiny;
b) vyjádřete rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny nějakým vhodným zápisem – například
tabulkou;
c) sestrojte graf rozdělení pravděpodobnosti (pravděpodobnostní funkci) náhodné veličiny;
d) určete distribuční funkci náhodné veličiny a sestrojte její graf;
e) určete střední hodnotu náhodné veličiny;
f) určete rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny;
V případě rozdělení, která nabývají nekonečně mnoha hodnot není samozřejmě možné nakreslit kompletní grafy pravděpodobnostní a distribuční funkce. Stačí, když zakreslíte jejich část pro několik prvních
hodnot.
Zadání 1:
Náhodná veličina X udává počet šestek, které padnou při hodu jednou hrací kostkou.
Zadání 2:
Náhodná veličina X udává součet bodů, které padnou při hodu dvěma kostkami.
Zadání 3:
Náhodná veličina X udává počet líců, které padnou při hodu čtyřmi mincemi.
Zadání 4: Z osudí, ve kterém je 6 bílých a 4 černé koule vylosujeme současně tři koule. Náhodná
veličina X udává, kolik z nich je bílých.
Zadání 5:
Náhodná veličina X udává počet šestek, které padnou při hodu třemi kostkami.
Zadání 6: Lucka stojí před košem s 10 obálkami. V 5 obálkách jsou vstupenky na koncert její oblíbené
skupiny a v 5 obálkách jsou jen prázdné papírky. Lucka z koše náhodně vylosuje 2 obálky a jejich obsah
si ponechá. Náhodná veličina X udává počet vstupenek, které takto Lucka získá.
Zadání 7: V loterii je vydáno 200 losů, každý v ceně 10 korun. Celkem šest losů je vyhrávajících. Jeden
los vyhrává 700 korun, 2 losy vyhrávají 300 korun a tři losy vyhrávají 200 korun. Náhodná veličina X
udává výši výhry připadající na jeden los. Je tato loterie spravedlivá?
Zadání 8: Z osudí, ve kterém je 6 bílých a 4 černé koule vylosujeme jednu kouli, zaznamenáme její
barvu a vrátíme ji zpět do osudí. Potom osudí zamícháme, znovu vylosujeme jednu kouli, zaznamenáme
její barvu a také ji vrátíme zpět do osudí. Nakonec osudí opět zamícháme a vylosujeme ještě jednu kouli.
Náhodná veličina X udává, v kolika z těchto tří tahů jsme vylosovali bílou kouli.
Zadání 9: Opakovaně házíme mincí. Náhodná veličina X udává počet hodů, které provedeme předtím,
než padne poprvé líc.
Zadání 10: Při provozu balícího automatu vznikají během směny náhodné poruchy. Z předchozího
dlouhodobého sledování víme, že během směny dochází v průměru ke 2 poruchám. Náhodná veličina X
udává počet poruch během 24 hodin provozu (3 směny).
Zadání 11: Z dlouhodobých statistických záznamů víme, že pravděpodobnost narození chlapce je přibližně rovna 0,515. Náhodná veličina X udává počet chlapců mezi čtyřmi po sobě narozenými dětmi.
Zadání 12: Ve třídě je 20 žáků. Právě 3 z nich dnes nemají domácí úkol. Učitel náhodně kontroluje
5 žáků. Náhodná veličina X udává, kolik z nich nemá domácí úkol.
Zadání 13: Opakovaně házíme kostkou. Náhodná veličina X udává počet hodů, které provedeme
předtím, než padne poprvé šestka.
Zadání 14: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Náhodná veličina X udává
počet hovorů, které ústředna zapojí během 10 minut.
Zadání 15: V loterii je vydáno 10 000 losů, každý v ceně 5 korun. Přehled vyhrávajících losů je v následující tabulce. Náhodná veličina X udává výši výhry připadající na jeden los. Náhodná veličina Y
udává čistou výši výhry (po odečtení ceny losu) připadající na jeden los. Porovnejte střední hodnoty
a rozptyly náhodných veličin X a Y . Je tato loterie spravedlivá?
Počet losů
1
3
700
1200
Výhra
20 000
5 000
500
5
Zadání 16: Z osudí, ve kterém je 6 bílých a 4 černé koule vylosujeme současně tři koule. Představte
si, že za každou bílou kouli obdržíte 50 Kč a za každou černou kouli 0 Kč. Náhodná veličina Y udává
částku, kterou obdržíte za dvě náhodně vylosované koule. (Při výpočtu střední hodnoty a rozptylu
využijte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X ze zadání ze zadání 4).
Zadání 17: Ve třídě je 20 žáků. Právě 3 z nich dnes nemají domácí úkol. Učitel náhodně kontroluje
5 žáků. Za každého žáka, u kterého učitel zjistí chybějící domácí úkol, uloží celé třídě tři příklady jako
trest trest. Náhodná veličina Y udává, kolik příkladů dostane dnes třída za trest. (Při výpočtu střední
hodnoty a rozptylu využijte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X ze zadání ze zadání 12).
Zadání 18: V evropské ruletě je 18 červených, 18 černých a jedno zelené číslo (číslo 0). Hráč vsadí 100
korun na červenou. V případě, že padne některé červené číslo, získá dvojnásobek vkladu (čistý zisk je
roven vkladu), v případě, že padne číslo jiné barvy, připadne vklad bankéři. Náhodná veličina X udává
výši výhry při tomto typu sázky. Náhodná veličina Y udává čistou výši výhry (po odečtení vsazené
stokoruny). Porovnejte střední hodnoty a rozptyly náhodných veličin X a Y . Je výhra nabízená v ruletě
při sázce na červenou spravedlivá?
Zadání 19: Tunelem projelo během poslední hodiny 180 automobilů. Náhodná veličina X udává počet
automobilů, které během nejbližší minuty projedou tunelem.
Zadání 20: V britských hospůdkách je populární hra chuck-a-luck, při které si hráč nejprve vsadí
na některé z čísel 1, 2, . . . , 6 a poté hodí najednou třemi kostkami. Jestliže číslo, na které hráč vsadil,
padne na jedné kostce, hráč vyhraje zpět svůj vklad, jestliže padne na dvou kostkách, hráč vyhraje
dvojnásobek svého vkladu a jestliže padne na všech třech kostkách, hráč vyhraje trojnásobek vkladu.
Jestliže na žádné kostce nepadne číslo, na které hráč vsadil, připadne vklad bankéři. Náhodná veličina
X udává výhru hráče v této hře při vkladu 100 centů. Je tato hra spravedlivá?
Zadání 21: Ve středověku se na poutích hrávala následující hra: Hráč má 6 kostek, z nichž každá má
pět prázdných stěn a na šesté stěně je některé z čísel od 1 do 6. Na každé kostce je přitom jiné číslo.
Hráč hodí všemi kostkami a obdrží výhru odpovídající součtu padlých čísel. Náhodná veličina X udává
výhru hráče v této hře. Při jakém vkladu je tato hra spravedlivá?
Zadání 22: V evropské ruletě si hráč může vsadit na jedno z čísel 0, 1, . . . , 36 a v případě, že toto číslo
padne vyhraje 36-ti násobek vkladu (po odečtení vkladu je jeho čistý zisk roven 35-ti násobek vkladu).
Náhodná veličina X udává výši výhry při tomto typu sázky. Je výhra nabízená v ruletě při sázce na
jednotlivé číslo spravedlivá?
Zadání 23: Z balíčku 32 mariášových karet postupně snímáme jednu kartu za druhou.
a) Náhodná veličina X udává počet sejmutých karet do chvíle, než poprvé sejmeme eso.
b) Náhodná veličina Y udává počet sejmutých karet do chvíle, než poprvé sejmeme některou červenou
kartu.
c) Náhodná veličina X udává počet sejmutých karet do chvíle, než poprvé sejmeme červené eso.
Zadání 24: Roztržitá sekretářka náhodně vloží 3 dopisy do 3 obálek. Náhodná veličina X udává počet
správně došlých dopisů.