Zde - Vysoká škola logistiky ops

Transkript

PERIODICKÝ INTERNETOVÝ ČASOPIS V OBORU LOGISTIKY
ROČNÍK 1, ČÍSLO 2, 2011, ISSN 1804 - 8315
O B SAH
Roman Jašek: Systém pro kontejnerový terminál
System fot container terminal (case study)
Branislav Kršák, Lucia Domaradská a Zuzana Miženková:
Moderné logistické produkty pre cestovný ruch
Modern logistics products for tourism
1
9
Miloš Šeda: Modely hromadné obsluhy
Models of queueing systems
16
Ctirad Schejbal: Chaotické dynamické systémy v cestovním ruchu
Chaotic dynamic systems in tourism
34
Vladimír Strakoš: Podzemní doprava materiálů v Evropě
Underground transportation of materials in Europe
45
Dušan Teichmann, Alessandra Grosso a Martin Ivan:
Modely pro řešení rozhodovacích úloh v logistice I
The improvement of linear programming method in the logistic
56
SYSTÉM PRO KONTEJNEROVÝ TERMINÁL
(případová studie)
System fot container terminal (case study)
Doc. Mgr. Roman Jašek, PhD.,
Vysoká škola logistiky o.p.s, [email protected]
Abstrakt
Příspěvek formou případové studie představuje jednoduchou internetovou aplikaci pro
správu kontejnerového terminálu, zejména architekturu aplikace založené na jazyku PHP a
MySQL databázi. Zabývá se rovněž správou celé aplikace a administrací ukládaných dat.
Současně se zaměřuje i na vhodnost použití internetu jako nástroje pro jednoduché aplikace
bez potřeby vysokého výpočetního výkonu.
Abstract
Contribution in the form of case studies is a simple web application for managing
container terminal, especially architecture applications based on PHP and MySQL database. It
also deals with management of the entire application and administration of stored data. At the
same time focuses on the appropriateness of using the Internet as a tool for simple
applications without the need for high performance computing.
Klíčová slova
Internet, PHP, MySQL, webová aplikace
Key words
Internet,PHP, MySQL, web application
1. SKoT – SYSTÉM PRO KONTEJNEROVÝ TERMINÁL
Název aplikace „SKoT“ je zkratkou Systému pro Kontejnerový Terminál. Jedná se o
aplikaci vytvořenou na klíč pro specifickou operaci v rámci portfolia služeb společnosti
LOGISTIK s. r. o., která se zabývá zejména mezinárodní i vnitrostátní kamionovou silniční a
kombinovanou dopravou, skladováním a dalšími službami v rámci logistických procesů.
Zákazník hledal způsob, jak zjednodušit skladování prodávaného materiálu. Dřívější postup
byl takový, že pokud nebylo možné zboží uchovat přímo v silu, jedna šarže se po výrobě
napytlovala zhruba po půl tuně a uskladnila na desítkách palet ve skladu, který měl omezenou
kapacitu. Odběratel si posléze přistavil cisternu, pytle se rozřezaly a přesypaly. Tento postup
byl jednak časově náročný, ale i kapacitně a finančně (pytle nebylo možné s ohledem na
možnou kontaminaci jinou šarží znovu použít). Firma nabídla možnost přesypání zboží
donámořního kontejneru vybaveného speciální vložkou a uskladnění na svém terminále v
blízkosti továrny zákazníka. Zboží se pak poměrně rychle může přesypat do cisteren
odběratele nebo odvézt přímo na místo určení. Vložky je navíc možné za určitých podmínek
využít i více než jedenkrát. Veškeré operace jsou pak evidovány právě v aplikaci SKoT, která
byla pro tento účel vytvořena.
Aplikace má i díky použití technologie internetové stránky jednoduché a intuitivní
ovládání, uživatelsky přívětivé prostředí a další atributy moderních internetových stránek.
Prováděné kroky se analyzují a v případě nelogických1 zadání systém tyto příkazy v méně
závažných případech opticky označí jako nesprávné nebo v kritických místech nedovolí
uživateli vůbec zadat. SKoT je napojen na systém zákazníka, pro kterého je uvedená operace
dedikovaná. Toto spojení je kvůli bezpečnostní politice zákazníka pouze jednostranné, jsou
-1-
tedy přenášena data pouze ve směru od zákazníka do aplikace SKoT. Zákazník má ale
vytvořen omezený přístup do SKoTu pro zpětné sledování a reportování.
SKoT nabízí několik úrovní zabezpečeného uživatelského přístupu, což umožňuje
různým skupinám přístup do různých částí aplikace. Určené skupiny nebo jednotlivci tak buď
do dané části nemají přístup povolen vůbec, nebo si mohou vybrané sekce pouze zobrazit,
případně mají možnost v určitém úseku údaje zadávat či měnit. Dispečeři tak mohou aktivně
pracovat s daty, ovšem nemohou administrovat např. databáze, zatímco management má k
datové části přístup pouze ve formě reportů.
Zobrazovací (uživatelská) část aplikace je rozdělena na několik částí (obr.1). V záhlaví
stránky je kromě názvu aplikace a jména přihlášené osoby ještě možnost odhlášení se ze
systému, přístup do nastavení aplikace, zobrazení souboru s nápovědou a možnost přepínání
mezi vybranými jazykovými mutacemi. Pod záhlavím je umístěna hlavní nabídka s
jednotlivými sekcemi aplikace2 a pod ní vybrané informace k aktuálně zobrazené sekci (např.
poslední aktualizace dat, informace o nastavených filtrech atd.).
Obr.1 Rozložení informací na obrazovce
1
Časová posloupnost jednotlivých operací (užívá se termín „pohyb“) a typ pohybu na sebe musí
logicky navazovat, tedy např. po odjezdu námořního kontejneru na nakládku může následovat pouze
příjezd toho samého plného nebo i prázdného kontejneru. Současně se analyzují i minimální časové
rozestupy jednotlivých pohybů.
2
„Kalendář“ pro evidenci objednávek vizuální formou, „Pohyby“ pro sledování pohybů ve vybraném
dni, „Stav“ zobrazující aktuální stav všech kontejnerů dedikovaných pro zákazníka, „Blokace“ pro
správu blokovaných kontejnerů, „Terminál“ pro přehled obsazenosti jednotlivých bloků na překladišti,
„Vkládání dat z ISDL“ pro manuální zadávání vstupních informací ze systému zákazníka, „Vložky“ pro
jednoduchou evidenci nepoužitých vložek, „Použité vložky“ pro evidenci použitých vložek, „Reporty“
pro přístup ke všem reportům, které lze ze systému vygenerovat a „Administrace“ pro správu
některých dat přímo z aplikace bez nutnosti zásahu administrátora systému.
-2-
Na pravé straně je možnost vyhledávání vybraných parametrů, například podle čísla
kontejneru, názvu materiálu, šarže, plomby, čísla objednávka atd. a to jak celého řetězce, tak i
jeho jakékoli části. Největší místo má k dispozici datová část, kde se zobrazují především
hromadné informace, jako jsou např. denní přehled pohybů, aktuální přehled stavu všech
kontejnerů, přehled operací (nákupy, použití) s vložkami, stav terminálu apod. U vybraných
sekcí se pravém pruhu zobrazují detailní informace k vybranému záznamu, například detaily o
kontejneru, podrobné informace o vybrané manipulaci, historie zvoleného kontejneru, čísla
kontejnerů v určitých lokacích a další detaily.
2. ARCHITEKTURA A STRUKTURA APLIKACE
Architektura aplikace SKoT je stejně jako v mnoha případech internetových aplikací
založena na HTML3 příkazech, které jsou generovány za pomocí skriptů napsaných v jazyce
PHP4. „PHP je rozšířený víceúčelový skriptovací jazyk, který je obzvláště vhodný pro vývoj
webových aplikací a může být vložen do HTML kódu.“
PHP skripty (obr.2) je možné psát tak jako HTML kód v jakémkoli jednoduchém
textovém editoru, jehož výstupem je soubor v běžném textovém formátu nejčastěji s
koncovkou .php nebo .inc5. Tyto soubory je následně nutné umístit na server, na kterém běží
web server např. Apache.
Obr.2 Ukázka části PHP skriptu
3
HTML – zkratka Hypertext Markup Language, pomocí jazyka HTML a jeho značek se tvoří
internetové stránky
4
PHP – rekurzivní zkratka Hypertext Preprocessor, původně Personal Home Page, skriptovací jazyk
pro generování webového obsahu
5
.inc je pouze koncovka souboru zvolená pro lepší přehlednost napsaných skriptů. Jedná se o stejný
PHP soubor jako je .php, ovšem .inc soubor se načítá do hlavního .php souboru příkazem include
(vložit)
-3-
Pro ukládání statických a dynamických dat je v aplikaci SKoT použita databáze
MySQL6 (zjednodušené schéma viz obr.3). Ve spojení s PHP je to nejčastěji používaná
kombinace skriptovacího jazyka s databází pro tvorbu dynamických internetových stránek.
Aplikace SKoT je postavena na základu portálu e-BOSS.eu, na kterém jsou spuštěny další
komerční i soukromé projekty. Z této báze využívá především základní strukturu stránek,
procesy řízení uživatelských účtů, zpracovávání dočasných proměnných, aplikaci jazykových
mutací a další minoritní objekty. Celá rodina projektů na portálu e-BOSS.eu tak má jednotnou
strukturu a obdobný, částečně modifikovatelný vzhled.
Obr. 3 Zjednodušený diagram fungování aplikace
Aplikace SKoT má v době publikování této práce 124 .php a .inc souborů se skriptem
čítajícím přibližně 460 kilobajtů kódu, což představuje asi 10 000 řádků. K tomu je potřeba
připočíst další desítky souborů s kódem základní struktury portálu, které jsou k běhu aplikace
potřeba a ještě desítky různých grafických souborů s důležitými grafickými symboly apod.
V databázi (obr.4) určené pro portál e-BOSS.eu je aktuálně 14 tabulek dedikovaných pouze
pro ukládání informací a dat pro SKoT a dalších 24 společných pro všechny aplikace portálu.
Objem dat systému se pak pohybuje v řádech jednotek megabajtů a ve společných tabulkách
jsou uloženy další desítky megabajtů sdílených informací.
6
MySQL – My Structure Query Language – open-source SQL databáze
-4-
Obr. 4 Náhled na webovou administraci databáze
Tabulky v databázi jsou využívány jednak na ukládání veškerých dat o provozu
terminálu, jako jsou například seznamy kontejnerů a jejich aktuálních stavů, veškeré
prováděné pohyby7, detaily k vybraným operacím8, seznam lokací na terminálu, operace s
výměnnými vložkami, ale také pro správu uživatelských účtů, logování uživatelů do systému
a ukládání jimi provedených příkazů9, seznamy tahačů a návěsů, zákazníků, speditérů, typů
kontejnerů, ale také položky nabídky nebo veškeré zobrazované texty ve všech jazykových
mutacích. Jsou zde i dočasné tabulky pro generování složitějších reportů nebo replikaci dat na
paralelní server. Ten je pro zajištění nepřetržitého běhu aplikace v případu výpadku hlavního
serveru umístěn u jiného poskytovatele v jiné lokalitě tak, aby například při živelné pohromě
nebyla funkčnost systému ohrožena.
3. NÁKLADY A POTŘEBNÉ VYBAVENÍ PRO TVORBU SKOTU
Z pohledu nákladů je řešení v podobě webové aplikace relativně levnou záležitostí.
Budeme-li brát v úvahu veškeré náklady spojené s vývojem, správou, provozem a úpravami,
bude největší položkou částka za potřebný čas programátora. Vzhledem k tomu, že
programování v PHP je obecně nenáročné na výkon počítače a jeho softwarovou vybavenost,
může pro tvorbu, správu a následnou úpravu takové aplikace stačit i starší počítač. Z výše
uvedených údajů o množství megabajtů celé aplikace i s databází není třeba ani investovat do
velkého úložiště. Shrneme-li požadavky na vývoj, pak programátor bude potřebovat jakýkoli
použitelný počítač s nainstalovaným systémem a jednoduchým textovým editorem. Stačí
třeba i poznámkový blok z kterékoli verze Windows, výhodou ovšem je použití textového
editoru, který dokáže například zobrazovat čísla řádků. Pokud totiž odlaďujeme aplikaci a
internetový prohlížeč nahlásí chybu na řádku číslo 396 (obr.5), je přímé zobrazení čísla
řádku v editoru více než užitečné (obr.6).
Obr. 5 Demonstrace zobrazení místa s chybou
7
Operace s kontejnery, jako je odjezd/příjezd kontejneru z terminálu, nakládka u zákazníka, odvoz
zboží k odběrateli atd.
8
Podrobnosti například k nakládce (příjezd k zákazníkovi, čas vstupního/výstupního vážení, váha
atd.)
9
Používá pro zpětnou kontrolu v případě nesrovnalostí, ale i k odstraňování chyb
-5-
Obr. 6 Náhled na místo s chybou v textovém editoru se zobrazováním čísel řádků
Některé textové editory navíc umí analyzovat psaný kód a barevně odlišit například
bloky příkazů v podmínkách, komentáře apod. Ty lepší jsou navíc schopné i automaticky
dokončit psaný příkaz (doplní konec závorek nebo párové příkazy atd.). Takové editory je
možné získat i zdarma jako freeware, není tedy potřeba investovat do vývojových prostředí.
Pro ladění aplikací je nutné mít, buď připojení k internetu pro upload vytvářených .php, .inc a
dalších souborů na server poskytovatele webového prostoru, nebo si nainstalovat PHP server
s MySQL databází na vlastní počítač a testovat tak aplikaci lokálně. Takové řešení nabízí
například WAMP10 (obr.7) pro Windows systémy nebo LAMP11 pro systémy Linux a je
rovněž zdarma ke stažení jako open-source software.
Obr. 7 WAMP server nabídka
Pro upload na webserver si opět vystačíme s programy nabízenými zdarma, příkladem
může být univerzální souborový správce FreeCommander nebo kterýkoli z nabízených
bezplatných FTP12 klientů jako jsou např. FreeZilla, FTP Wonderer a další.
Dalším aspektem jsou náklady průběžné, tedy náklady za provoz takové aplikace,
v tomto případě je myšleno umístění dat na internetu a internetovou adresu, nikoliv
administraci stránek a databází. Zde se ovšem stačí porozhlédnout po nabídce webových
prostorů, abychom zjistili, že si vystačíme se stokorunami, maximálně tisícikorunami ročně.
10
WAMP – Windows Apache MySQL PHP server, řešení pro provoz lokálního internetového serveru
na systému Windows
11
LAMP – Linux Apache MySQL PHP server, řešení pro provoz lokálního internetového serveru na
systému Linux
12
FTP – File Transfer Protocol – protokol pro přenos souborů mezi počítači pomocí počítačové sítě [2]
-6-
Obr. 8 FreeCommander jako nástroj pro FTP přístup k webovému prostoru
Poplatky sice můžeme zcela eliminovat použitím některé ze služeb nabízených zdarma
(www.webzdarma.cz, www.webnode.cz aj.), ovšem služby ani kvalita nejsou pro takové
použití příliš vhodné. Nicméně za dostatečně vybavený webový prostor se v současnosti platí
ročně zhruba od 500,- Kč výše a doména dle vlastního výběru a v závislosti na požadované
národní koncovce přijde na přibližně 200,- až 400,- korun ročně. Takové náklady jsou v
porovnání s licenčními poplatky za jakýkoli software zanedbatelné.
Poslední stránkou pohledu jsou náklady na implementaci, jinak řečeno co bude
uživatel ještě potřebovat, aby mohl s aplikací pracovat a co musí provést před prvním
použitím aplikace SKoT. Vzhledem k tomu, že se jedná o webovou aplikaci, bude pro její
používání potřeba počítač s připojením na internet a vhodný internetový prohlížeč. Není
potřeba instalace programů na jednotlivá pracoviště, stačí pouze znát internetovou adresu a
svoje přihlašovací údaje (obr.9). Uživatel se tak může přihlásit a následně pracovat s aplikací
SKoT odkudkoli, kde je k dispozici připojení k internetu.
Obr. 9 Vstupní přihlašovací stránka na portál e-BOSS.eu
-7-
Souhrnně lze tedy uvést, že požadujeme-li aplikaci na klíč, a bude-li aplikace
internetového typu, pak náklady na vytvoření, správu, provoz a další úpravy budou téměř
shodné s cenou programátora, který ji bude programovat. Ostatní položky jsou totiž buď
nulové, nebo z pohledu celkových nákladů zanedbatelné.
4. ZÁVĚR
Aplikace SKoT má jednoduchou strukturu založenou na běžných programovacích
jazycích HTML, PHP, JavaScript a databázi MySQL. Z pohledu její správy, údržby, změn
nebo případného předání jinému programátorovi než tvůrci, se jedná o univerzální řešení, na
které stačí základní programovací znalosti a práce s databázovými příkazy. Mezi výhody
webových aplikací patří jejich jednoduché používání, přístup odkudkoli, kde je přístup k
internetu a nízké náklady. V době současných rychlostí připojení k internetu nebývá problém
s rychlostí práce s takovou aplikací. Nevýhodou takového řešení přesto může být právě ona
nutnost připojení k internetu, ať už z pohledu nákladů na připojení nebo pro případ výpadku
spojení, kdy se odesílaná data neuloží a nelze dále pracovat ani v režimu offline. Přestože je
aplikace od prvopočátku koncipována s ohledem na maximální funkcionalitu při minimálních
nárocích na přenášená data, je potřeba v příštích verzích klást především větší důraz na
dynamičtější propojení se serverem ať už použitím techniky AJAX13 nebo využitím různých
appletů. V současnosti je ale pro aktuální množství zaznamenávaných operací a počet
uživatelů daná architektura postačující.
Přehled termínů a zkratek
AJAX - Asynchronní JavaScript a XML / Asynchronous JavaScript and XML
Apache- softwarový webový server / software web server
FTP - Protokol pro přenos souborů / File Transfer Protocol
Freeware software distribuovaný bezplatně / freely distributed software
HTML - Hypertextový značkovací jazyk / Hypertext Markup Language
JavaScript - Objektový skriptovací jazyk / Object oriented scripting language
LAMP - Linux Apache MySQL PHP server
Linux - Unixový operační systém / Unix operating system
MySQL - My Structure Query Language
Open-source - otevřený zdrojový kód / open source code
PHP - Hypertext Preprocessor
SKoT - Systém pro Kontejnerový Terminál / Container Terminal System
WAMP - Windows Apache MySQL PHP server
Webová aplikace - aplikace přístupná přes webové rozhraní (internetový prohlížeč) /
application accessed via web interface (internet explorer)
Windows - Operační systém od firmy Microsoft / Microsoft operating system
13
AJAX (Asynchronous JavaScript and XML) – technologie pro vývoj webových aplikací [3]
Recenzoval Doc.RNDr. Vladimír Homola,CSc.
-8-
MODERNÉ LOGISTICKÉ PRODUKTY PRE CESTOVNÝ RUCH
Modern logistics products for tourism
Ing. Branislav Kršák, PhD.
Technická univerzita v Košiciach, Fakulta BERG, Ústav geoturizmu
email: [email protected]
Ing. Lucia Domaracká, PhD.
Technická univerzita v Košiciach, Fakulta BERG, Ústav podnikania a manažmentu
Ing. Zuzana MIŽENKOVÁ
ECROZ, občianske združenie
Abstrakt
Tento príspevok poukazuje na význam cestovného ruchu a tvorbu produktov
cestovného ruchu, ktorá je jedným z hlavných aspektov jeho rozvoja. S vývojom cestovného
ruchu, ako celosvetovo dynamického odvetvia hospodárstva, sa spájajú neustále rastúce
potreby a nároky zákazníkov. Práve schopnosť uspokojovať tieto potreby závisí od úspechu
predaja komplexne vytvoreného produktu cestovného ruchu, jeho umiestnenia na trh, resp.
kvality poskytnutej služby. Medzi účinné nástroje podpory predaja a distribúcie produktov a
služieb cestovného ruchu patria turistické karty vo forme „zľavových kariet”. Príspevok sa
zaoberá ich využitím v praxi, a to na príklade dvoch turistických kariet – regionálnej karty
Liptov Region Card a mestskej karty Dublin Pass, ktorých spoločným menovateľom je
poskytovanie zliav, avšak odlišným spôsobom.
Abstract
This article highlights the importance of tourism and creation of tourism products,
which is one of the main aspects of its development. With the development of tourism as the
world's dynamic economic sectors are linked continually growing needs and demands of
customers. The ability to meet these needs depends on the success of sales of a
comprehensive tourism product, its placing on the market, respectively quality of service
provided. Among the powerful tools of sales promotion and distribution of products and
services to tourism belongs the tourist card in the form of "discount cards". The article deals
with their use in practice, and presents the example of two tourist cards - Regional card Liptov
Region Card and Dublin City Pass card, which common denominator is to provide discounts,
but in a different way.
Kľúčové slova: turistické karty, cestovný ruch, distribúcia, logistika
Key words: tourist cards, tourism, distribution, logistics
1. ÚVOD
Cestovný ruch v súčasnosti predstavuje významnú oblasť národného hospodárstva
vyspelých štátov sveta, výraznou mierou sa podieľa na zvyšovaní životnej úrovne
obyvateľstva, a postupne sa stáva neoddeliteľnou súčasťou spotreby. Hrá dôležitú úlohu
pri rozvoji územia, pričom jeho prínos spočíva predovšetkým v tvorbe nových pracovných
príležitostí, či už ide o zabezpečenie vlastných služieb cestovného ruchu, alebo rozvoj odvetví
súvisiacich s cestovným ruchom. Príjmy, ktoré cestovný ruch prináša, sú podstatnou súčasťou
príjmov štátnych rozpočtov krajín, rozpočtov krajov či iných územných celkov [4].
-9-
Cestovný ruch ako medzirezortné odvetvie má prierezový charakter, pričom na jeho
realizácii sa priamo podieľa celý rad ďalších odvetví (doprava, kultúra, stavebníctvo,
zdravotníctvo, priemyselné odvetvia, poľnohospodárstvo a pod.). Patrí do sektoru služieb
a ako celok vykazuje vysokú dynamiku, čím radí cestovný ruch k rýchlo rastúcim odvetviam.
Prognózy Svetovej organizácie cestovného ruchu (UNWTO), Svetovej rady cestovného ruchu
(WTTC), odborných inštitúcií a expertov sa zhodujú v názore, že cestovný ruch sa bude
naďalej vyvíjať a dynamicky rásť v celosvetovom rozsahu [9].
Cestovný ruch ako jeden z najväčších svetových generátorov zamestnanosti a príjmov
z exportu, vytvára v dnešnej dobe priamo alebo nepriamo 3 až 5 % svetového HDP, a zároveň
predstavuje 30 % svetového exportu služieb. Okrem toho je jeho prínos v oblasti
zamestnanosti odhadovaný na úrovni 7 až 8 %. Všetky tieto fakty robia z cestovného ruchu
významný činiteľ, ktorý prispieva ku globálnej rozvojovej agende a zastáva jedinečnú úlohu
pri budovaní silného, udržateľného a vyváženého globálneho rozvoja [12].
V Slovenskej republike je podporným rámcom pre odvetvie Štátna politika cestovného
ruchu SR, ktorú v septembri 2007 schválila Vláda SR, a ktorá je pre roky 2007 – 2013
aktuálne platným strategickým dokumentom. Pre rozvoj cestovného ruchu sa opiera o tieto
štyri zásady [13]:
1. Cestovný ruch je nástrojom podpory zvyšovania konkurencieschopnosti,
štrukturálnych zmien hospodárstva a trvalo udržateľného rozvoja so zámerom
zvýšenia podielu devízových príjmov z aktívneho zahraničného cestovného ruchu
na HDP zo súčasných 2,7 % na 4 % v roku 2013 a zvýšenie počtu prenocovaní.
2. Cestovný ruch je nástrojom rozvoja zamestnanosti a flexibility pracovných trhov.
3. Cestovný ruch je prostriedkom regionálneho rozvoja a rozvoja podnikania.
4. Cestovný ruch je nástrojom prezentácie a propagácie Slovenska.
Stratégia rozvoja cestovného ruchu Slovenskej republiky do roku 2013 definovala
hlavné aspekty jeho rozvoja, medzi ktoré patrí tvorba produktov cestovného ruchu. Z hľadiska
ich tvorby je potrebné, aby sa Slovenská republika odlíšila od produktov cestovného ruchu
okolitých krajín, a tak si zachovala jedinečnosť svojho turistického produktu. Jednou
z možností je nájsť nepokryté, ale aj nové segmenty na zahraničných trhoch, aby sa ich
spoznanie využilo na prípravu a predaj produktov cestovného ruchu Slovenska [11].
Pre úspech predaja komplexného a kvalitne vytvoreného produktu cestovného ruchu
a jeho umiestnenie na trhu, je obzvlášť dôležitý výber a rozsah ciest distribúcie, ako aj dobre
zvolená logistika, ktoré budú ústrednou témou ďalších kapitol.
2. PODPORA CESTOVNÉHO RUCHU Z POHĽADU DISTRIBÚCIE
A LOGISTIKY
Distribúcia v cestovnom ruchu je súbor činností, ktoré zabezpečujú a uľahčujú odbyt
produktu cestovného ruchu. Ide o to, ako z organizačného hľadiska čo najlepšie predať službu
cestovného ruchu, o ktorú prejavil zákazník záujem [1]. Distribúcia zároveň predstavuje
špeciálne marketingové aktivity, týkajúce sa transferu produktov a všetky rozhodnutia, ktoré
súvisia s cestou produktov od výrobcu ku konečnému spotrebiteľovi, teda fyzický pohybu
produktov (orientácia na procesy) a výber sprostredkovateľov (orientácia na činnosti) [10].
Úlohou distribučnej politiky v cestovnom ruchu je vhodnými spôsobmi predaja
podnikových výkonov, teda náležitou metódou odbytu, ovplyvňovať obrat, ako aj uskutočniť
fyzickú distribúciu a logistiku [2]. Pri voľbe správneho distribučného kanála je potrebné
uvedomiť si, že v cestovnom ruchu nie je predmetom distribúcie hmotný statok, ale služba.
- 10 -
„Služba je činnosť, ktorú môže jedna strana poskytnúť druhej, je nehmatateľná a nevytvára
žiadne vlastníctvo. Jej realizácia môže, ale nemusí byť spojená s fyzickým výrobkom” [6].
Rozhodnutie o tom, akými cestami sa produkt dostane k zákazníkovi, ovplyvňuje použitie
ostatných nástrojov.
Logistika vo všeobecnom chápaní bola doposiaľ zameriavaná len na hmotné reťazce,
t.j. predovšetkým na pohyb materiálu, pričom konečným efektom bolo uspokojenie potreby
zákazníka súvisiacej s určitým tovarom. Logistický prístup sa však nemusí vzťahovať len na
hmotný tovar, je možné ho aplikovať aj v oblasti poskytovania istej služby [8]. Z pohľadu
logistiky cestovného ruchu teda môžeme hovoriť o logistike služieb, keďže cestovný ruch
spadá pod sektoru služieb.
Jedna z definícií pojmu logistika hovorí: „Logistika predstavuje proces plánovania,
realizácie a riadenia efektívneho výkonného toku a skladovania tovaru, služieb a súvisiacich
informácií z miesta vzniku do miesta spotreby, ktorého cieľom je uspokojiť požiadavky
zákazníkov“ [7]. Je teda možné konštatovať, že zákazník a orientácia na zákazníka sú
v súčasnosti významným prvkom modernej logistiky.
3. TURISTICKÉ KARTY AKO NÁSTROJE PREDAJA
A DISTRIBÚCIE
V cestovnom ruchu sa veľmi často používajú rozličné nástroje podpory predaja
a distribúcie, a to vo forme zliav, kupónov, reklamných darčekov a pod. Avšak v rámci
destinácií cestovného ruchu je použitie týchto nástrojov o čosi zložitejšie. Jedným z dôvodov
je značná komplikovanosť produktov destinácie cestovného ruchu. Zákazník nerozlišuje
jednotlivé zložky – atraktivity a služby (stravovacie, ubytovacie, rekreačné, kultúrne), ale
vníma produkt destinácie cestovného ruchu aj jej imidž ako celok. Jednou z možností použitia
podpory predaja v destinácií cestovného ruchu je zavádzanie turistických kariet [5].
Turistické karty vo forme „zľavových kariet“ patria medzi významné nástroje podpory
predaja a distribúcie produktov cestovného ruchu. Princíp fungovania týchto kariet je na
jednej strane založený na poskytovaní rôznych zliav a výhod v oblasti ubytovania,
stravovania, dopravy, trávenia voľného času, či už ide o jednotlivca, alebo celé skupiny (napr.
rodinné pasy). Na druhej strane podporuje vyšší nákup rôznych turistických produktov, ktoré
sú v tomto systéme zapojené, čo má za následok nielen vyššie zisky pre zainteresované
subjekty, ale napomáha tiež nadväzovaniu partnerstiev rôznych subjektov cestovného ruchu.
Efektívna distribúcia a predaj turistickej ponuky jednotlivých území je často tým
rozhodujúcim prvkom pri získavaní ďalších návštevníkov [3].
Hlavnými nositeľmi distribúcie turistických kariet sú predovšetkým miestne
a regionálne združenia v spolupráci s podnikateľskými subjektmi. Využívanie systému
turistických kariet je založené na podnikateľskej báze a iniciovanie ich zavádzania je úlohou
miestnych a regionálnych orgánov cestovného ruchu [11].
Zavádzanie turistických kariet z pohľadu subjektov cestovného ruchu prináša so sebou
nemalé výhody. Subjekty cestovného ruchu, ktoré sa rozhodnú prostredníctvom turistických
kariet distribuovať svoj produkt v rámci určitej destinácie cestovného ruchu, sú zaradené do
zoznamu atraktivít, výletných miest alebo gastronomických či ubytovacích zariadení,
v ktorých je možné danú turistickú karu využívať. To znamená, že subjekty sa stávajú v rámci
destinácie nositeľmi spoločnej značky, respektíve, ich produkty sú súčasťou spoločného
balíka.
Strategické dokumenty Slovenskej republiky zaoberajúce sa rozvojom cestovného
ruchu kladú značný dôraz na zlepšenie vzájomnej komunikácie a spolupráce medzi
- 11 -
poskytovateľmi služieb cestovného ruchu. Cieľom takejto spolupráce je kolektívne
vystupovanie a prezentácia na trhu, spoločná tvorba a predaj konečného produktu, pričom
jednotlivé prvky komplexnej ponuky musia byť zladené do jedného celku, aby produkt našiel
svoju cestu ku konečnému spotrebiteľovi [11]. Práve turistické karty výrazne prispievajú
k zlepšeniu kooperácie subjektov cestovného ruchu a sú nástrojom spoločnej propagácie
produktov.
Subjekty cestovného ruchu môžu prostredníctvom turistických kariet využívať aj ďalšie
výhody, ktoré so sebou prinášajú, a to v podobe:
zníženia prevádzkových nákladov prostredníctvom automatizovaného systému,
zlepšenia komunikácie so zákazníkmi,
lepšieho pochopenia správania návštevníkov,
zvýšenia efektivity kultúrnych zariadení,
podpory kultúrno-spoločenských podujatí,
podpory koncepcie rozvoja cestovného ruchu.
Medzi benefity turistických kariet z pohľadu užívateľov patria:
čerpanie zliav a okamžitých finančných výhod,
karty ako zdroj informácii,
zlepšenie komunikácie s poskytovateľmi služieb,
multifunkčné využívanie karty.
4. VYUŽITIE TURISTICKÝCH KARIET V PRAXI
Turistické karty so zaujímavými zľavami a bonusmi už dávno nie sú len produktom
hlavných miest. Prenikli aj do menších oblastí a destinácií cestovného ruchu, v ktorých
sa sústreďujú návštevníci prichádzajúci do regiónu s rôznymi motívmi (návšteva pamiatok,
pravidelné kultúrne podujatia, možnosti zimného či letného oddychu).
Implementácia týchto kariet bude demonštrovaná na príklade dvoch turistických kariet
– regionálnej karty Liptov Region Card a mestskej karty Dublin Pass.
4.1 Liptov Region Card
Základné informácie a profil turistickej karty
Liptov Region Card je prvý projekt svojho druhu na Slovensku. Predstavuje celoročný
produkt určený návštevníkom regiónu, ktorý umožní jeho majiteľovi počas dvoch turistických
sezón návštevu najvýznamnejších atraktivít, výletných cieľov a gastronomických zariadení
výlučne z regiónu Liptov s atraktívnymi zľavami. Cieľom projektu je strategické a dlhodobé
zvyšovanie návštevnosti a počtu prenocovaní v regióne Liptov, a to prostredníctvom
komplexnej ponuky regionálnych produktov v jednom balíku. Produkty sú rozdelené
do piatich tematických kategórií [15]:
Aqua a wellness: aquaparky, relax a wellness centrá, kúpele
Príroda a šport: športové aktivity, adrenalín a zážitok v prírode
História a kultúra: múzeá, skanzeny, galérie a iné atraktivity
Gastronómia: tradičné reštaurácie a koliby
Služby pre vás: ostatné služby, športové obchody, doprava a pod.
- 12 -
Liptov Region Card je osobná, neprenosná karta s moderným dizajnom a logom
regiónu Liptov (obr.1). Systém jej implementácie je podporený špeciálnou technológiou
(hardware a software) na miestach predaja a akceptácie karty.
Obr. 1 Vizualizácia Liptov Region Card
Návštevníci regiónu Liptov, ktorí si zakúpia regionálnu kartu, môžu využívať
atraktívne zľavnené vstupy na viac ako 50 najväčších atrakcií a výletných miest regiónu a na
služby partnerských gastronomických zariadení (5 – 50 %). Bezplatne získajú praktickú
príručka k používaniu karty pri potulkách Liptovom – „Sprievodca objavovaním Liptova“ –
ako aj mapu regiónu. Značnou výhodou karty je jej celoročná platnosť. Letná sezóna v období
od 1.5. do 14.11. sa vzťahuje na využívanie letných atrakcií, zimná sezóna v období od 15.11.
do 30.4. na využívanie zimných atrakcií, pričom karta zakúpená v letnom období je platná aj
počas zimnej sezóny. Majiteľom kariet sú pravidelne zasielané novinky a ponuky na trávenie
dovoleniek a voľného času v regióne [15].
4.2 Dublin Pass
Základné informácie a profil turistickej karty
Turistická karta Dublin Pass (obr.2) funguje na princípe technológie čipových kariet,
pričom svojim užívateľom poskytuje pohodlie, možnosti výberu, značné úspory a slobodu pri
prehliadke mesta.
Dublin Pass ponúka voľný vstup do viac ako 32 turistických zaujímavostí a atrakcií
tohto mesta. Medzi najvýznamnejšie pamiatky zahrnuté do tejto ponuky patrí predovšetkým
Katedrála Kristovho kostola (Christ Church Cathedral) ako najstaršia dublinská budova, ale aj
mnoho ďalších významných pamiatok. Okrem toho užívateľ karty získa prístup k viac ako
23 špeciálnym ponukám a zľavám v najlepších obchodoch, reštauráciách, divadlách,
zábavných podnikoch a miestach trávenia voľného času s možnosťou využitia akčných
ponúk, ako aj bezplatnú jednosmernú cestu z dublinského letiska do centra mesta [14].
Zakúpením turistickej karty získajú návštevníci Dublinu publikáciu v podobe
komplexného sprievodcu mestom, ktorý obsahuje stručné a jasné informácie o Dubline a jeho
zaujímavostiach s jednoduchými pokynmi pre turistov, vrátane mapových podkladov. Táto
príručka obsahuje všetky dôležité tipy pre dosiahnutie komplexného zážitku pre návštevníkov
mesta Dublin. Dublin Pass ponúka aj výhodu v podobe takzvaného preskočenia dlhých radov
v niektorých z najrušnejších turistických atrakcií. Návštevníkovi sa pritom stačí len preukázať
kartou a ušetrí čas, za iných okolností strávený v dlhých radoch, čo prispieva k zvýšeniu jeho
komfortu [14].
- 13 -
Obr. 2 Vizualizácia Dublin Pass
4.3 Princípy fungovania kariet
Základným rozdielom týchto kariet je princíp ich fungovania, keďže obe karty
poskytujú rôzne druhy zliav, ale odlišnými spôsobmi. Liptov Region Card môžu návštevníci
regiónu Liptov získať u mnohých ubytovateľov bezplatne (napr. ako súčasť pobytového
balíka) alebo za jednorazový poplatok v maximálnej výške 10 Eur. Majiteľ karty môže
využívať jej výhody odo dňa jej vystavenia v zariadeniach, ktoré poskytujú majiteľom karty
zľavu. Výška zľavy je uvedená pri popise každej atraktivity, výletného miesta alebo
gastronomického zariadenia v sprievodcovi. Môže ísť o zľavu jednorazovú, obmedzenú na
určitý počet vstupov alebo neobmedzenú, pričom výška zliav sa pohybuje v rozmedzí od 5 do
50 % (pozri Tab. 1). Poskytovanie zliav je rozčlenené podľa piatich tematických kategórií,
ktoré boli vyššie spomenuté [15].
Tab.1 Zľavy do najväčších stredísk cestovného ruchu v regióne Liptov
Ubytovanie Ubytovanie na
na 2 – 4 noci 5 a viac nocí
Pobytové balíky
Zľava
Zľava
Permanentka: 2 vstupy
-
-10%
Aquapark Tatralandia
Permanentka: 4 vstupy
-20%
-20%
Thermal park Bešeňová
Permanentka: 6 vstupov
-30%
-30%
Celodenné vstupy
-5%
-5%
Permanentky – celodenné vstupy
Jasná Nízke Tatry
Jazda lanovkou
-20%
1. krát -20%
2. krát -40%
Ružomberok - Malinô Brdo
Jazda lanovkou
-20%
1. krát -20%
2. krát -40%
Dublin Pass je možné zakúpiť si na jeden až tri, respektíve šesť dní za fixný poplatok
(pozri Tab. 2), v rámci ktorého môžu jeho držitelia využívať už spomínané zľavy a výhody.
Karta je aktivovaná od prvého použitia a oprávňuje držiteľa k vstupu na každú atrakciu raz
denne. K dispozícii je pre dospelých, ako aj deti vo veku 5 – 15 rokov [14].
- 14 -
Tab.2 Cenník Dublin Pass
Dospelý
Dieťa
1 deň
€ 35.00
€ 19.00
2 dni
€ 55.00
€ 31.00
3 dni
€ 65.00
€ 39.00
6 dní
€ 95.00
€ 49.00
5. ZÁVER
Význam zavádzania turistických kariet v praxi prináša so sebou značné výhody
a benefity, či už z pohľadu návštevníkov, alebo zo strany subjektov cestovného ruchu.
Využívaním kariet turisti získajú možnosť čerpania zliav a okamžitých finančných výhod, na
druhej strane je podporený aj samotný predaj produktov cestovného ruchu. Tento proces má
za následok nárast počtu turistov a následné zvýšenie návštevnosti daného regiónu či mesta,
ktoré sa prejaví vyššími ziskami pre zainteresované strany. Prínos takýchto a podobných
turistických kariet je teda pre subjekty cestovného ruchu nepopierateľný.
Literatúra
[1]
Cako, J. a kol.: Služba zákazníkovi a marketing malého podniku cestovného ruchu. ALLDATA Slovakia plus s.r.o., Bratislava 1995, 103 s., ISBN 80-967455-0-6
[2]
Ferner, F.K.: Marketing cestovného ruchu v praxi. – SPN, Bratislava 1993
[3]
Galvasová I. a kol.: Průmysl cestovního ruchu. - Ministerstvo pro místní rozvoj, Praha
2008, 264 s., ISBN 978-80-87147-06-1
[4]
Indrová, J. a kol.: Cestovní ruch pro všechny. - Ministerstvo pro místní rozvoj ČR,
Praha 2008, 89 s., ISBN 978-80-7399-407-05
[5]
Kotíková, H.: Podpora prodeje – prvek marketingu destinace cestovního ruchu.
dostupné na: http://www.mandk.cz/view.php?cisloclanku=2006030007
[6]
Kotler, P. : Marketing , manažment. - Victoria Publishing, Praha 1991
[7]
Lambert, D. a kol.: Logistika - CP Books, a.s., Brno 2005, 211s., ISBN 80-251-0504-0
[8]
Majerčák, J.: Logistika ako systémový prístup k procesom z pohľadu zákazníka.
dostupné na: www.ilogistics.cz/files/docs/logPristup.doc
Národný program rozvoja cestovného ruchu v Slovenskej republike. - Ministerstvo
hospodárstva SR, 2000
[9]
[10] Specht, G.: Distributionmanagement. - Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 1992
[11] Stratégia rozvoja cestovného ruchu Slovenskej republiky do roku 2013 - Ministerstvo
hospodárstva SR, 2005
[12] Svetoví lídri za cestovný ruch. - Kampaň UNWTO a WTTC, 2011
[13] Štátna politika cestovného ruchu Slovenskej republiky. - Ministerstvo hospodárstva SR,
2007
[14] http://www.dublinpass.ie/dublinpass/
[15] http://www.liptovcard.sk/
Recenzoval Prof. Ing. Pavol Rybár, PhD.
- 15 -
MODELY HROMADNÉ OBSLUHY
Models of queueing systems
Prof. RNDr. Ing. Miloš Šeda, Ph.D.
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství,
Ústav automatizace a informatiky
e-mail: [email protected]
Abstrakt
Článek se zabývá teorií hromadné obsluhy, klasifikací systémů hromadné obluhy,
matematickými prostředky pro jejich popis vycházejícími z teorie pravděpodobnosti a
Markovových procesů a odvozením matematických modelů základních typů. Článek také na
simulačním příkladu ukazuje, jakým způsobem lze počítat charakteristiky systému, jestliže
nejsou splněny některé předpoklady, na nichž teoretická odvození jsou postavena.
Abstract
This paper deals with the queueing theory, classification of queueing systems,
mathematical tools for their description based on the use of probability theory and Markov
processes, and derives mathematical models of basic types. The paper also shows how to
compute the system characteristics in a situation when some of the assumptions, on which the
theoretical derivations are built, are not satisfied.
Klíčová slova
teorie hromadné obsluhy, Poissonův proces, Markovovy řetězce
Key words
queueing theory, Poisson process, Markov chains
1. ÚVOD
Základy teorie hromadné obsluhy položil dánský matematik A. K. Erlang, který
pracoval pro společnost provozující telefonickou síť v Kodani a v r. 1909 popsal aplikaci
teorie pravděpodobnosti na problémy telefonního provozu. O další rozvoj teorie se zasloužil
zejména ruský matematik A. N. Kolmogorov. Klasifikaci systémů hromadné obsluhy tak, jak
ji používáme dnes, zavedl v 50. letech minulého století anglický matematik D. G. Kendall.
Dnes jde již o klasickou část logistiky, popsanou v řadě monografií (Bose, 2001; Cooper,
1981; Gross et al., 2008) i vysokoškolských textů (Hrubina, Jadlovská, Hrehová, 2005;
Jablonský, 2001; Klvaňa, 2005; Peltan, Májek, 2008; Virtamo, 2005).
Místo pojmu teorie hromadné obsluhy se také setkáme s termínem teorie front. První
termín vychází z ruské terminologie теория массового обслуживания, druhý pak
z anglického queueing theory. Protože některé systémy hromadné obsluhy frontu neobsahují,
je první termín obecnější, a proto se jej budeme držet.
Systém hromadné obsluhy (SHO) je naznačen na obr. 1. Do systému obecně
v náhodných okamžicích přichází požadavky (zákazníci) a vyžadují obsluhu. Možnosti
obsluhy mohou být omezeny, např. počtem obslužných linek (nebo také kanálů obsluhy).
Jestliže je alespoň jedna obslužná linka prázdná, je požadavek po příchodu do obslužného
systému okamžitě zpracováván. Doba obsluhy však má rovněž náhodný charakter, protože
požadavky mohou být různě náročné. Jestliže však jsou všechny obslužné linky obsazeny, pak
- 16 -
se požadavky (zákazníci) řadí do fronty a musí čekat, až po zpracování předchozích
požadavků na ně přijde řada.
Obr. 1 Struktura systému hromadné obsluhy s paralelním uspořádáním obslužných linek
Příkladem této situace mohou být cestující, kteří na letišti čekají na odbavení a
vystavení palubního lístku na určitý let, kdy z jedné fronty se dělí ke dvěma či více
odbavovacím přepážkám. Jejich doba obsluhy se může lišit, z důvodu různého počtu či váhy
zavazadel, specifických požadavků na místo v letadle, přístupu několika osob rodiny
k přepážce najednou apod. Podobné je to u pokladen na vlakovém nádraží, kdy cestující mají
různé požadavky na spoj, kupují více jízdenek, předkládají průkazky na slevy, často se i
informují na podrobnosti vlakového spoje, a tak i jejich délka obsluhy se může lišit.
Ne vždy však jsou všechny požadavky obslouženy, resp. řazeny do fronty na pozdější
obsluhu. Např. telefonický hovor není spojen, protože telefonní číslo je obsazeno, popř.
volaný účastník má vypnutý mobil. Požadavek může být i odmítnut v případě, že nesplňuje
nutné předpoklady pro obsluhu. Např. palubní lístek na letadlo nedostane cestující, který se
neprokáže platným cestovním dokladem a telefonní hovor není spojen, pokud peněžní
zůstatek uživatele mobilu podkročil určitou mez.
V obr.1 jsou obslužné linky řazeny paralelně a zmíněné příklady tomu odpovídají.
Stejné je to např. i v kadeřnictví, kde zákazníky čekající na ostříhání obsluhuje několik
kadeřnic, nebo u benzínové pumpy, kde motoristé najíždějí k několika stojanům pohonných
hmot. Existují však i konfigurace SHO se sériovým řazením obslužných linek. Příkladem
mohou být lyžaři, kteří nasedají za sebou na starší typ vleku pro jednoho lyžaře, popř.
výrobky procházející přes výrobní pás v proudové výrobě.
Pokud se týče fronty, intuitivně ji chápeme ve smyslu, jak ji známe třeba z obchodu, tj.
kdo dříve přijde do systému, dříve bude obsloužen (FIFO – first in, first out). Možná je však i
obsluha LIFO (last in, first out), kde naopak je první obsluhován požadavek, který do
systému vstoupil poslední. Někdy bývá strategie LIFO označována i zkratkou LCFS (last
come, first served). Příkladem obsluhy LIFO je odběr zboží ze skladu, kdy zboží (např. tabule
skla, krabice s televizory), které bylo na sklad dodáno jako první, je v zadní části skladu, resp.
naspodu hromady, a tedy jako poslední je přístupné. Vedle obsluhy FIFO a LIFO se setkáme i
s náhodným výběrem požadavku z fronty do obslužného systému (SIRO – selection in
random order) a obsluhou řízenou prioritou požadavků (PRI – priority).
Délka fronty může být omezená, při dosažení určitého (předem definovaného) počtu
požadavků do fronty se již další požadavky odmítnou, např. počet rezervací na knihu v
knihovně, která je aktuálně vypůjčena; resp. neomezená, ve skutečnosti tím chápeme případ,
kdy maximální možný počet požadavků ve frontě je velmi vysoký. Požadavky ve frontě
- 17 -
mohou mít omezenou nebo neomezenou trpělivost. V případě neomezené trpělivosti
požadavky čekají na obsluhu tak dlouho, dokud na ně nepřijde řada, v systému s omezenou
trpělivostí je zařazení do fronty do značné míry závislé na délce fronty. Místo délky fronty se
také můžeme setkat s pojmem kapacita systému, kterým se míní maximální počet požadavků,
který může být v systému přítomen.
Nyní již můžeme přistoupit v klasifikaci systémů hromadné obsluhy. V r. 1951
Kendall navrhl klasifikaci SHO podle tří hlavních hledisek ve tvaru A/B/C, kde
A
B
C
charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny doba (interval) mezi
příchody požadavků do systému,
charakterizuje typ pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny doba obsluhy
požadavku,
je počet paralelně uspořádaných obslužných linek (nebo také počet kanálů), tj. jde o
přirozené číslo, v případě „neomezeného“ (tj. velmi velkého počtu linek) je obvyklé
parametr C vyjadřovat číslem ∞.
Jak bylo již uvedeno dříve, systém hromadné obsluhy lze charakterizovat větším
počtem vlastností, a proto byla Kendallova klasifikace dále rozšířena na tvar
A/B/C/D/E/F,
kde význam symbolů D, E, F je následující:
D
E
F
přirozené číslo udávající max. počet požadavků v systému (tj. kapacitu systému), není-li
explicitně omezen, je vyjádřen ∞,
přirozené číslo vyjadřující maximální počet požadavků ve vstupním proudu (nebo také ve
zdroji požadavků), pokud je neomezen, opět se použije ∞,
typ fronty (FIFO/LIFO/SIRO/PRI).
Parametr A může nabývat následujících hodnot:
M intervaly mezi příchody požadavků jsou navzájem stochasticky nezávislé a mají
exponenciální rozdělení, to znamená, že vstupní proud reprezentuje Poissonův
(Markovovův) proces, podrobněji viz dále,
Ek Erlangovo rozdělení s parametry λ a k,
Kn rozdělení χ2 s n stupni volnosti,
N normální (Gaussovo) rozdělení,
U rovnoměrné rozdělení,
G obecný případ, doba mezi příchody požadavků je dána svou distribuční funkcí,
D intervaly mezi příchody požadavků jsou konstantní (mají deterministický charakter).
Parametr B může nabývat stejné hodnoty jako parametr A, tyto hodnoty se ale zde
vztahuji k náhodné veličině doba obsluhy požadavku.
Protože většina systémů hromadné obsluhy předpokládá, že vstupní proud požadavků
tvoří Poissonův (Markovovův) proces, popíšeme jej blíže. Poissonův proces je proud jevů,
který splňuje následující vlastnosti:
1. Stacionárnost (homogenita v čase) – počet jevů ve stejně dlouhých časových
intervalech je konstantní.
2. Regulárnost (ordinárnost) – pravděpodobnost výskytu více než jednoho jevu
v dostatečně malém intervalu délky ∆t je zanedbatelně malá. To znamená, že
v intervalu (t, t+∆t) se buď vyskytne právě jeden jev s pravděpodobností λ ∆t anebo
s pravděpodobností 1–λ ∆t se v tomto intervalu žádný jev nevyskytne. Jinak řečeno
- 18 -
v Poissonově procesu je možný jen přechod systému do nejbližšího „vyššího“ stavu
anebo setrvání v témže stavu.
3. Nezávislost přírůstků – počet jevů, které se vyskytnou v jednom časovém intervalu,
nezávisí na počtu jevů v jiných intervalech,
2. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/1/∞/∞/FIFO
Uvažujme nejdříve situaci na vstupu systému izolovaně od procesu obsluhy a
zaveďme náhodnou veličinu počet požadavků, které přišly do systému během intervalu
〈t0, t0+∆t〉, kde ∆t ∈ (0, ∞). Vzhledem ke stacionárnosti Poissonova procesu počet požadavků
nezávisí na volbě počátečního okamžiku t0 a význam má pouze délka uvažovaného intervalu
∆t.
Nechť pk(t) označuje pravděpodobnost toho, že v čase t je v systému právě
k požadavků. Z regulárnosti Poissonova procesu vyplývá, že pravděpodobnost, že v čase t+∆t
bude v systému k požadavků je rovna pravděpodobnosti toho, že v čase t bylo v systému k–1
požadavků a během doby ∆t vstoupil do systému jeden požadavek s pravděpodobností λ ∆t
anebo v čase t bylo v systému k požadavků a během doby ∆t s pravděpodobností 1–λ ∆t do
systému žádný nový požadavek nevstoupil. Z pravidel pro výpočet pravděpodobnosti
konjunkce a disjunkce nezávislých jevů odtud plyne vztah:
pk(t+∆t) = pk–1(t). λ ∆t + pk(t).(1–λ ∆t), k = 1,2, …
(1)
Pravděpodobnost, že v čase t+∆t v systému není žádný požadavek je dána pravděpodobností
toho, že tam žádný požadavek nebyl a ani během doby ∆t žádný nevstoupil, tj.
p0(t+∆t) = p0(t).(1–λ ∆t)
(2)
Po snadné úpravě ze vztahů (1) a (2) dostaneme vztahy (3) a (4).
p k (t + ∆t ) − p k (t )
= λ p k −1 (t ) − λ p k (t ), k = 1,2,...
∆t
(3)
p 0 (t + ∆t ) − p 0 (t )
= −λ p 0 (t )
∆t
(4)
Proveďme nyní ve vztazích (3) a (4) provedeme limitní přechod pro ∆t → 0. Dostáváme:
lim
p k (t + ∆t ) − p k (t )
= lim λ p k −1 (t ) − λ p k (t ), k = 1,2,...
∆t →0
∆t
lim
p 0 (t + ∆t ) − p 0 (t )
= lim (−λ p 0 (t ))
∆t →0
∆t
∆t →0
∆t →0
Výrazy na levé straně předchozích dvou vztahů jsou derivacemi funkcí pk(t) a p0(t) v bodě t,
tj. pk’(t) a p0’(t), zatímco na jejich pravé strany nemá limitní přechod vliv. Odtud tedy
dostáváme rekurentní vztahy (5), (6):
p k ' (t ) = λ p k −1 (t ) − λ p k (t ), k = 1,2,...
(5)
p0 ' (t ) = −λ p 0 (t )
(6)
Tyto rekurentní vztahy představují soustavu nekonečně mnoha obyčejných diferenciálních
rovnic 1. řádu. Pro jejich řešení potřebujeme znát počáteční podmínky. Je však zřejmé, že
v čase 0 se žádné požadavky v systému ještě nenachází, a tedy
p k (0) = 0, k = 1,2,...
(7)
- 19 -
p 0 ( 0) = 1
(8)
Z teorie obyčejných diferenciálních rovnic je známo, že řešením soustavy rovnic (5), (6)
s počátečními podmínkami (7), (8) je soustava funkcí
p k (t ) = e −λt
(λt )k ,
k!
k = 0,1,2,...
(9)
Speciálně pro k=0 je
p 0 (t ) = e −λt
(10)
Obr. 2 Grafické zobrazení funkcí pk(t) pro k=0,1, … , 5 a λ=2.
Ze vztahu (9) je tedy vidět, že v systému M/M/1 náhodná veličina počet požadavků, které
přišly do systému za časový interval délky t, má Poissonovo rozdělení s parametrem λ t.
Střední hodnota této náhodné veličiny je λ t a speciálně pro t=1 je střední hodnota náhodné
veličiny počet požadavků, které přišly do systému za časovou jednotku rovna λ. Říkáme, že λ
je střední intenzita vstupu nebo krátce intenzita vstupu a vyjadřuje průměrný počet
požadavků, které do systému vstoupily za časovou jednotku.
Ukážeme ještě, že náhodná veličina interval mezi příchody požadavků má
exponenciální rozdělení. Označme tuto veličinu T. Pak pravděpodobnost toho, že po vstupu
jednoho požadavku žádný další požadavek po celou dobu intervalu t do systému nevstoupil, je
rovna p0(t), a tedy podle vztahu (10)
P(T > t ) = p 0 (t ) = e −λt
(11)
Odtud již dostáváme distribuční funkci F(t) exponenciálního rozdělení s parametrem λ.
F (t ) = P(T ≤ t ) = 1 − P(T > t ) = 1 − e −λt
(12)
Střední hodnota náhodné veličiny T vyjadřující průměrný čas mezi dvěma po sobě jdoucími
požadavky je
(13)
E(T)=1/λ
- 20 -
Analogicky můžeme nyní zkoumat proces obsluhy. Předpokládáme, že náhodná
veličina doba obsluhy jednoho požadavku (krátce doba obsluhy) má exponenciální rozdělení.
Parametr tohoto rozdělení označme µ, přičemž obecně platí, že µ ≠λ. Střední hodnota
náhodné veličiny doba obsluhy TO je
E(TO)=1/µ
(14)
a parametr µ udává střední hodnotu počtu požadavků obsloužených za časovou jednotku doby
práce kanálu, stručněji střední intenzitu obsluhy, krátce intenzitu obsluhy.
Pro odvození dalších charakteristik systému je výhodné činnost systému hromadné
popsat grafem přechodů systému. Uzly tohoto grafu představují stavy systému a orientované
hrany přechody z jednoho stavu do druhého a ohodnocení těchto hran je popsáno
pravděpodobností přechodu z jednoho stavu do druhého. Stav Sn pro pevné t∈〈0, ∞), přesněji
tedy Sn(t) je náhodnou veličinou a vyjadřuje, že v čase t je v systému n požadavků. Je-li
v systému M/M/1/∞/∞/FIFO právě n požadavků, n ≥ 1, pak jeden je v jediné obslužné lince
systému (kanálu obsluhy) obsluhován a zbývajících n−1 čeká ve frontě. Přechody mezi stavy,
které se liší počtem požadavků v systému o jedna, lze chápat jako proces zrodů a zániků, kde
zrod představuje vstup požadavku do systému a zánik odchod požadavku ze systému po
skončení jeho obsluhy. Pro dané předpoklady Poissonův vstupní proud požadavků
s parametrem λ a exponenciální rozdělení času obsluhy s parametrem µ je možné chování
systému hromadné obsluhy popsat pomocí Markovových (nebo také markovských) procesů.
Vzhledem k regulárnosti (ordinárnosti) má smysl uvažovat pouze pravděpodobnosti
přechodů P(Si → Sj), kde buď i=j nebo i a j se liší o 1. Např. pravděpodobnost přechodu
P(S0 → S0) odpovídá pravděpodobnosti jevu, že během intervalu délky ∆t do systému žádný
požadavek nevstoupí; pravděpodobnost přechodu P(Sk → Sk−1), k≥1 je pravděpodobností jevu,
že během intervalu délky ∆t do systému žádný požadavek nevstoupí a současně jeden
požadavek bude obsloužen a systém opustí; pravděpodobnost přechodu P(Sk → Sk), k≥1 je
rovna pravděpodobnosti jevu, že během intervalu délky ∆t do systému žádný požadavek
nevstoupí ani z něj nevystoupí anebo během tohoto intervalu do systému jeden požadavek
vstoupí a současně jeden bude obsloužen a systém opustí.
Z vlastností regulárnosti a pravidel počítání výsledné pravděpodobnosti z dílčích
pravděpodobností konjunkce a disjunkce nezávislých jevů dostáváme při zanedbávání mocnin
délky intervalu ∆t pro pravděpodobnosti přechodů následující vztahy:
P(S0 → S0) = 1−λ ∆t
(15)
P(S0 → S1) = λ ∆t
(16)
P(Sk → Sk−1) = (1−λ ∆t) µ ∆t = µ ∆t− λ µ ∆t2 Υ µ ∆t
(17)
P(Sk → Sk) = (1−λ ∆t) (1−µ ∆t) + λ ∆t µ ∆t = 1−µ ∆t− λ ∆t + 2λ µ ∆t2 Υ 1−(λ+µ) ∆t
(18)
P(Sk → Sk+1) = λ ∆t (1−µ ∆t) = λ ∆t − λ µ ∆t2 Υ λ ∆t
(19)
Vztahy (17), (18), (19) platí pro k = 1,2, …
Graf přechodů systému M/M/1/∞/∞/FIFO je naznačen na obr. 3. Pro jednoduchost je
obvyklé uzly označovat jen čísly a ne symboly Si. Místo obecných označení pravděpodobností
přechodů zadáme konkrétní výrazy určené vztahy (15)-(19).
- 21 -
P(S0→S0)
P(S1→S1)
P(S0→S1)
0
P(S2→S2)
P(Sk→S k)
P(Sk−1→S k)
P(S1→S2)
1
P(S1→S0)
P(Sk−1→S k−1)
2
...
P(S2→S1)
k−1
P(Sk+1→S k+1)
P(Sk→S k+1)
k
P(Sk→S k−1)
k+1
P(Sk+1→S k)
Obr. 3 Graf přechodů systému hromadné obsluhy M/M/1/∞/∞/FIFO
S využitím pravděpodobností přechodů mezi stavy můžeme určit pravděpodobnosti
pk(t) vyjadřující, že v čase t je v systému právě k požadavků, tentokrát již nikoliv izolovaně
pro vstup požadavků a jejich obsluhu, ale dohromady.
p0(t+∆t) = P(S0 → S0) + P(S1 → S0) = p0(t).(1–λ ∆t) + p1(t).µ ∆t
(20)
pk(t+∆t) = P(S k−1 → Sk) + P(Sk → Sk) + P(S k+1 → Sk) =
= pk−1(t). λ ∆t + pk(t).[1−(λ+µ) ∆t] + pk+1(t). µ ∆t, k = 1,2, …
(21)
Po snadné úpravě ze vztahů (20) a (21) dostaneme vztahy (22) a (23).
p 0 (t + ∆t ) − p 0 (t )
= −λ p0 (t ) + µ p1 (t )
∆t
(22)
p k (t + ∆t ) − p k (t )
= λ p k −1 (t ) − (λ + µ ) p k (t ) + µ p k +1 (t ), k = 1,2,...
∆t
(23)
Proveďme nyní ve vztazích (22) a (23) limitní přechod pro ∆t → 0. Dostáváme:
lim
p 0 (t + ∆t ) − p 0 (t )
= lim [−λ p 0 (t ) + µ p1 (t )]
∆t →0
∆t
lim
p k (t + ∆t ) − p k (t )
= lim [λ p k −1 (t ) − (λ + µ ) p k (t ) + µ p k +1 (t )], k = 1,2,...
∆t →0
∆t
∆t →0
∆t →0
Výrazy na levé straně předchozích dvou vztahů jsou derivacemi funkcí p0(t) a pk(t) v bodě t,
tj. p0’(t) a pk’(t), zatímco na jejich pravé strany nemá limitní přechod vliv. Odtud tedy
dostáváme rekurentní vztahy (24), (25):
p0 ' (t ) = −λ p0 (t ) + µ p1 (t )
(24)
p k ' (t ) = λ p k −1 (t ) − (λ + µ ) p k (t ) + µ p k +1 (t ), k = 1,2,...
(25)
Tyto rekurentní vztahy představují soustavu nekonečně mnoha obyčejných diferenciálních
rovnic 1. řádu. Pro jejich řešení potřebujeme znát počáteční podmínky, které jsou dány
stavem systému v čase t0=0. Je-li v čase t0=0 v systému k0 požadavků, pak počáteční
podmínky jsou
p k0 (0) = 1
(26)
p k (0) = 0, k ≥ 1, k ≠ k 0
(27)
V dalším budeme předpokládat, že λ < µ, tj. λ/µ < 1. Označme poměr λ/µ symbolem ψ.
Nazýváme jej intenzita zatížení systému (anebo také intenzita provozu kanálu). Podmínka (28)
ψ =
λ
<1
µ
(28)
- 22 -
je nutnou a postačující podmínkou, aby fronta nerostla nade všechny meze. Tato podmínka
také zajistí, že po dostatečně dlouhé době od otevření systému hromadné obsluhy se poměry
v SHO ustálí, tj. existují limity
lim p k (t ) = p k , k = 0,1, Κ ,
(29)
t →∞
a tedy po uplynutí dostatečně dlouhé doby od otevření SHO lze považovat pravděpodobnosti
pk(t) za konstantní, tj.
pk(t) = pk = konst
(30)
Protože derivace konstanty je rovna nule, dostáváme z tohoto závěru a ze vztahů (24) a (25)
soustavu nekonečně mnoha lineárních algebraických rovnic určenou vztahy (31) a (32).
0 = −λ p0 + µ p1
(31)
0 = λ p k −1 − (λ + µ ) p k + µ p k +1 , k = 1,2,...
(32)
Je zřejmé, že platí
∞
∑ pk = 1
(33)
k =0
Ze vztahu (31) vyjádříme p1 a dostaneme
p1 =
λ
p0 = ψ p0
µ
(34)
a z (32) vyjádříme pk pro k ≥ 2. Speciálně pro k=1 dostáváme z (32)
p2 =
1
µ
[−λ p 0 + (λ + µ ) p1 ] =
1
µ
[−λ p 0 + (λ + µ )ψ p0 ] =
2
λ
λ
λ
= [− p 0 + p 0 + p 0 ] =   p 0 = ψ 2 p 0
µ
µ
µ
1
µ
[ − λ p 0 + (λ + µ )
λ
p0 ] =
µ
(35)
a obecně pro k=1,2, … platí
p k = ψ k p0
(36)
Zbývá ještě určit p0. K tomu využijeme vztahy (33) a (36).
∞
∑ pk =
k =0
∞
∑ (ψ k p0 ) = p0
k =0
∞
∑ψ k = 1
(37)
k =0
Protože suma ve vztahu (37) je geometrická řada s kvocientem ψ, prvním členem ψ 0=1 a
1
1
součtem
, dostáváme z (37) p0
= 1 , a tedy
1 −ψ
1 −ψ
p0 = 1 − ψ
(38)
S využitím vztahu (38) můžeme (36) vyjádřit ve tvaru
p k = ψ k (1 − ψ ), k = 1,2,...
(39)
Tyto vztahy umožňují odvodit další důležité charakteristiky systému M/M/1/∞/∞/FIFO, mezi
něž patří například:
- 23 -
1. Střední hodnota počtu požadavků v systému:
∞
∑ k pk = ∑ [ k ψ
E ( N s ) = ns =
= (1 − ψ )ψ
= (1 − ψ )ψ
∞
k =0
k
k =1
∞
(1 − ψ )] = (1 − ψ ) ∑ k ψ = (1 − ψ )ψ ∑ k ψ k −1 =
k =1
∞
d
dψ
∞
k
d
k =1
∞
d  ψ

k =1


k −1
k
∫ ∑ k ψ dψ = (1 − ψ )ψ dψ ∑ψ = (1 − ψ )ψ dψ  1 − ψ  =
k =1
(1 − ψ ) + ψ
(1 − ψ )
2
= (1 − ψ )ψ
1
(1 − ψ )
2
=
(40)
λ
µ
ψ
λ
=
=
λ µ−λ
1 −ψ
1−
µ
2. Střední hodnota počtu požadavků ve frontě (střední délka fronty):
∞
∞
∞
k =1
k =1
k =1
E ( N f ) = n f = ∑ (k − 1) p k = ∑ k p k − ∑ p k = n s − (1 − p 0 ) =
ψ2
ψ
ψ
= n s − [1 − (1 − ψ )] = n s − ψ =
− [1 − (1 − ψ )] =
−ψ =
= ψ ns
1 −ψ
1 −ψ
1 −ψ
(41)
3. Střední doba setrvání požadavku v systému:
E (Ts ) = t s =
ns
λ
ψ
=
λ (1 − ψ )
=
λ
µ
 λ
λ 1 − 
 µ
=
1
µ −λ
(42)
4. Střední doba čekání požadavku ve frontě:
E (T f ) = t f =
nf
λ
=
ψ2
ψ
=
λ (1 − ψ ) µ (1 − ψ )
(43)
5. Střední doba obsluhy:
E (TO ) =
1
(44)
µ
6. Koeficient prostoje obslužného kanálu
K 0 = p0 = 1− ψ
(45)
7. Koeficient využití (zatížení) obslužného kanálu
K1 = 1− p0 = 1−(1−ψ) = ψ
(46)
Ze vztahů (40)-(43) je vidět, že v systému M/M/1/∞/∞/FIFO nemůže být λ = µ, resp. ψ = 1,
protože by to mělo za následek růst uvedených parametrů nade všechny meze.
3. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/1/1/∞
Stejně jako v předchozím systému M/M/1/∞/∞/FIFO budeme předpokládat, že vstupní
proud je Poissonův proces s intenzitou vstupu λ, čas obsluhy má exponenciální rozdělení se
- 24 -
střední hodnotou t = 1 / µ , intenzita obsluhy je µ. Protože čtvrtý parametr, který udává max.
počet požadavků v systému, je roven 1, jde o systému bez čekání a fronta se nevytváří, a tedy
šestý parametr (typ fronty) zde nemá smysl. Proto také jsou možné pouze 2 stavy: S0 – systém
je volný a S1 – v systému je jeden požadavek, který je právě obsluhován. Příkladem tohoto
systému je volání na telefonní linku, buď je linka volná a volající je spojen anebo je obsazená
a ke spojení hovoru nedojde.
Graf přechodů se značně zjednoduší, jak ukazuje obr. 4.
P(S0→S0)
P(S1→S1)
P(S0→S1)
1
0
P(S1→S0)
Obr. 4 Graf přechodů systému hromadné obsluhy M/M/1/1/∞
Z daných předpokladů obdobně jako v předchozím modelu určíme pravděpodobnosti
přechodů. Vztahy (47), (48) a (49) jsou přímou analogií vztahů (15), (16) a (17). Vztah (50)
se však od vztahu (18) mírně liší, protože do systému nemůže vstoupit druhý požadavek,
proto pravděpodobnost přechodu P(S1 → S1) je rovna pravděpodobnosti jevu, že v systému je
jeden požadavek a během intervalu délky ∆t jej neopustí anebo během tohoto intervalu bude
obsloužen a systém opustí a současně do systému jeden požadavek vstoupí.
P(S0 → S0) = 1−λ ∆t
(47)
P(S0 → S1) = λ ∆t
(48)
P(S1 → S0) = (1−λ ∆t) µ ∆t = µ ∆t− λ µ ∆t2 Υ µ ∆t
(49)
P(S1 → S1) = 1−µ ∆t + µ ∆t λ ∆t = 1−µ ∆t + µ λ ∆t2 Υ 1−µ ∆t
(50)
Podobně jako u vztahů (20) a (21) můžeme s využitím pravděpodobností přechodů
mezi stavy určit pravděpodobnosti p0(t) a p1(t).
(51)
p1(t+∆t) = P(S0 → S1) + P(S1 → S1) = p0(t). λ ∆t + p1(t). (1−µ ∆t)
(52)
Po stejných úpravách jako u vztahů (22)-(25) dostaneme vztahy (53) a (54):
p0 ' (t ) = −λ p0 (t ) + µ p1 (t )
(53)
p1 ' (t ) = λ p 0 (t ) − µ p1 (t )
(54)
Počáteční podmínky jsou
p 0 ( 0) = 1
(55)
p1 (0) = 0
(56)
Protože v každém čase může být v systému buď žádný anebo jeden požadavek, platí navíc
p0 (t ) + p1 (t ) = 1
(57)
Za předpokladu permanentního režimu se po dostatečně dlouhé době od otevření
systému hromadné obsluhy se poměry v SHO ustálí, tj. existují limity
- 25 -
lim p k (t ) = p k , k = 0,1 ,
(58)
t →∞
a tedy po uplynutí dostatečně dlouhé doby od otevření SHO lze považovat pravděpodobnosti
p0(t) a p1(t) za konstantní, jejich derivace jsou tedy rovny nule a ze vztahů (53), (54) a (57)
dostáváme vztahy (59), (60), (61):
0 = −λ p0 + µ p1
(59)
0 = λ p 0 − µ p1
(60)
p0 + p1 = 1
(61)
Řešením této soustavy rovnic snadno získáme výrazy pro p0 a p1:
p0 =
p1 =
µ
(62)
λ+µ
λ
(63)
λ+µ
Poměr ψ =λ/µ nazýváme intenzita zatížení systému (anebo také intenzita provozu
kanálu). Dalšími důležitými charakteristikami systému M/M/1/1/∞ jsou:
1. Pravděpodobnost ztráty (odmítnutí) požadavku
(= pravděpodobnost, že v systému je jeden požadavek a jediná obslužná linka je obsazena)
pzt = p1
(64)
2. Relativní kapacita systému (pravděpodobnost obsluhy požadavku)
(= pravděpodobnost toho, že v systému žádný požadavek není a příchozí požadavek může
být tedy obsloužen)
Kr = Pobsl = p0
(65)
3. Absolutní kapacita systému (= počet obsloužených požadavků za časovou jednotku)
Ka = Kr λ
(66)
4. Nominální kapacita systému
(= maximální počet požadavků, které je systém schopen obsloužit za časovou jednotku)
Knom = µ
(67)
K 0 = p0
(68)
K1 = 1− p0 = p1
(69)
4. SYSTÉM HROMADNÉ OBSLUHY M/M/n/n/∞
V tomto systému se poprvé setkáváme s více kanály. Současně počet požadavků
v systému je omezený počtem obslužných linek (kanálů), to znamená, že každý požadavek
vstupuje do samotné obslužné linky, žádné požadavky se neřadí do fronty a jsou-li všechny
- 26 -
obslužní linky obsazeny, další požadavek je odmítnut. Typickým příkladem systému tohoto
typu je telefonní ústředna.
Stavem Si budeme opět rozumět náhodnou veličinou, která vyjadřuje, že v daném čase
je v systému i požadavků. To zde současně odpovídá počtu obsazených obslužných linek.
Graf přechodů je naznačen na obr. 5.
P(S0→S0)
P(S1→S1)
P(S0→S1)
P(S1→S0)
P(S n−1→S n−1)
P(Sn→S n)
P(Sn−1→S n)
P(S1→S2)
1
0
P(Sk→S k)
P(S2→S2)
2
...
k
...
n−1
P(S2→S1)
n
P(Sn→S n−1)
Obr. 5 Graf přechodů systému hromadné obsluhy M/M/n/n/∞
Některé pravděpodobnosti přechodů mezi stavy jsou složitější než u předchozích
systémů. Například P(Sk+1 → Sk) se rovná pravděpodobnosti, že buď byl obsloužen požadavek
v 1. obslužné lince anebo v 2. lince, … , anebo v (k+1)-ní lince, tj. P(Sk+1 → Sk) = µ ∆t + µ ∆t
+ … +µ ∆t = (k+1) µ ∆t. Podobně P(Sn → Sn) se rovná pravděpodobnosti, že ze žádné z n
obslužných linek žádný požadavek nevystoupil, vstoupit přitom žádný nemohl, protože
všechny linky byly již obsazeny. To znamená, že P(Sn → Sn) = 1− (µ ∆t + µ ∆t + … +µ ∆t) = 1
− n µ ∆t. Všechny potřebné pravděpodobnosti přechodů uvádí vztahy (70)-(73).
P(Sk−1 → Sk) = λ ∆t, k = 1, … , n
(70)
P(Sk → Sk) = (1−λ ∆t) (1− k µ ∆t) = 1− (λ + k µ) ∆t + k λ µ ∆t2 Υ 1− (λ + k µ) ∆t,
k = 0, … , n−1
(71)
P(Sk+1 → Sk) = (k+1) µ ∆t, k = 0, … , n−1
(72)
P(Sn → Sn) = 1 − n µ ∆t
(73)
Podobně jako u vztahů (20) a (21) můžeme s využitím pravděpodobností přechodů mezi
stavy určit pravděpodobnosti p0(t), p1(t), … , pk(t), … , pn(t).
(74)
p1(t+∆t) = P(S 0 → S1) + P(S1 → S1) + P(S 2 → S1) =
= p0(t). λ ∆t + p1(t).[1−(λ+µ) ∆t] + p2(t). 2µ ∆t
(75)
…
pk(t+∆t) = P(S k−1 → Sk) + P(Sk → Sk) + P(S k+1 → Sk) =
= pk−1(t). λ ∆t + pk(t).[1−(λ+µ) ∆t] + pk+1(t). (k+1) µ ∆t
…
(76)
pn(t+∆t) = P(S n−1 → Sn) + P(Sn→ Sn) = pn−1(t). λ ∆t + pn(t) (1 − n µ ∆t)
(77)
Po stejných úpravách jako u vztahů (22)-(25) dostaneme vztahy (78)-(81), které se nazývají
Erlangova soustava rovnic:
p0’(t) = –λ p0(t) + µ p1(t)
(78)
p1’(t) = λ p0(t) − (λ+µ) p1(t) + 2µ p2(t)
(79)
- 27 -
pk’(t) = λ pk−1(t) − (λ+µ) pk(t) + (k+1) µ pk+1(t)
…
(80)
pn’(t) = λ pn−1(t) − nµ pn(t)
(81)
Počáteční podmínky jsou
p 0 ( 0) = 1
(82)
p1 (0) = p 2 (0) = ... = p n (0) = 0
(83)
Protože v každém čase může být v systému buď žádný anebo jeden požadavek anebo dva
požadavky … anebo n požadavků, platí navíc
n
∑ p k (t ) = 1
(84)
k =0
Za předpokladu permanentního režimu se po dostatečně dlouhé době od otevření
systému hromadné obsluhy se poměry v SHO ustálí, tj. existují limity
lim p k (t ) = p k , k = 0,..., n ,
(85)
t →∞
pravděpodobnosti pk(t) konstantní, jejich derivace jsou tedy rovny nule a ze vztahů (78)-(81) a
(84) dostáváme vztahy (59), (60), (61):
0 = –λ p0 + µ p1
(86)
0 = λ p0 − (λ+µ) p1 + 2µ p2
(87)
…
0 = λ pk−1 − (λ+µ) pk + (k+1) µ pk+1
…
(88)
0 = λ pn−1 − nµ pn
(89)
n
∑ pk = 1
(90)
k =0
Ze vztahu (86) vyjádříme p1
p1 =
λ
p0 = ψ p0
µ
(91)
Ze vztahu (87) můžeme vyjádřit p2
p2 =
− λ p 0 + (λ + µ ) p1
=
2µ
− λ p 0 + (λ + µ )
2µ
λ
p0
µ
=
λ2
ψ2
p
=
p0
0
2
2µ 2
(92)
S využitím rekurentní povahy rovnic (86)-(89) lze pak vyjádřit obecný Erlangův vzorec (93):
pk =
λk
ψk
p
=
p0 , k = 1,2,..., n
0
k!
k !µ k
Protože vztah (93) triviálně platí i pro k=0, můžeme ze vztahů (90) a (93) snadno určit p0:
- 28 -
(93)
n
∑
ψk
k =0
k!
p0 =
n
p0 ∑
p0 = 1 ⇒
ψk
k =0
k!
= 1 a odtud
1
n
∑
(94)
ψk
k =0
k!
Nyní již můžeme uvést charakteristiky systému M/M/n/n/∞ vyjadřující ukazatele kvality
obsluhy (charakteristiky 1-3) a ukazatele využití obslužných linek (charakteristiky 4-8):
1. Pravděpodobnost ztráty (odmítnutí) požadavku
(= pravděpodobnost, že všechny obslužné jsou obsazeny)
p zt = p n =
ψn
n!
p0
(95)
2. Relativní kapacita systému (pravděpodobnost obsluhy požadavku)
(= pravděpodobnost toho, že alespoň jedna z obslužných linek je volná)
Kr = 1− pzt
(96)
3. Absolutní kapacita systému (= počet obsloužených požadavků za časovou jednotku)
Ka = Kr λ
(97)
4. Střední hodnota počtu obsazených obslužných linek:
E ( N obs ) = nobs =
n
∑ k pk
(98)
k =0
5. Střední hodnota počtu volných obslužných linek:
E ( N 0 ) = n0 =
n
∑ (n − k ) p k =
k =0
n
n
k =0
k =0
n
n
n
k =0
k =0
k =0
∑ (n p k − k p k ) = ∑ n p k − ∑ k p k =
(99)
= n ∑ p k − ∑ k p k = n .1 − nobs = n − nobs
6. Nominální kapacita systému
(= maximální počet požadavků, které je systém schopen obsloužit za časovou jednotku)
Knom = n µ
(100)
K0 =
n0
n
(101)
Kz =
nz
, resp. Kz = 1− K0
n
(102)
- 29 -
V literatuře lze najít rozbor mnoha dalších systémů hromadné obsluhy, např. v knize
(Hrubina, Jadlovská, Hrehová, 2005) je uveden systém M/M/n/∞/∞/FIFO a M/M/n/m/m/FIFO.
Postup sestavení rekurentních rovnic vychází ze stejných úvah jako u předchozích modelů.
V případě M/M/n/∞/∞/FIFO se jedná o systém s n nezávislými a rovnocennými
obslužnými linkami, kde požadavky čekají ve frontě jen tehdy, jsou-li všechny obslužné linky
obsazeny. Fronta je jen jedna a je společná pro všechny obslužné linky.
Systémy, kde 5. parametr (maximální počet požadavků ve zdroji požadavků) je
neomezený (tj. je vyjádřen číslem ∞), se označují jako otevřené. Je-li tento parametr dán
konečným přirozeným číslem, mluvíme o uzavřených systémech hromadné obsluhy.
Příkladem je systém M/M/n/m/m/FIFO.
5. SIMULACE PROCESU HROMADNÉ OBSLUHY
V praxi nemusí některé předpoklady platit a pak vzorce, které jsme odvodili, nejsou
úplně přesné. Systémy hromadné obsluhy můžeme však také zkoumat simulačně metodou
Monte Carlo, kdy generujeme náhodná čísla vyjadřující okamžik vstupu požadavku do
systému a čas obsluhy.
Pokud hodnoty těchto náhodných veličin mají mít určité pravděpodobnostní rozdělení,
je nutné to zajistit. Existuje k tomu řada metod, např. vylučovací metoda a metoda inverzní
funkce. Vylučovací metoda je použitelná ke generování hodnot spojitých náhodných veličin,
jejichž hustota pravděpodobnosti f je na nějakém intervalu 〈a, b〉 ohraničená a vně tohoto
intervalu nulová. Princip metody je založen na tom, že generujeme náhodné body
o souřadnicích (x, y) s rovnoměrným rozdělením v obdélníku 〈a, b〉 × 〈0, c〉, kde c je
maximální hodnota hustoty pravděpodobnosti f na intervalu 〈a, b〉. Jestliže vygenerovaný bod
je pod funkcí f, tj. y ≤ f(x), pak x považujeme za vygenerovanou hodnotu náhodné veličiny
s daným rozdělením; v opačném případě vygenerovaný bod neuvažujeme, tj. z výpočtů jej
vyloučíme. V metodě inverzní funkce nejdříve z hustoty pravděpodobnosti f podle vztahu
(103) určíme distribuční funkci F rozdělení pravděpodobnosti.
x
F ( x) =
∫ f (t ) dt
(103)
−∞
Vygenerujeme náhodné číslo r s rovnoměrným rozdělením na intervalu 〈0,1〉, které
považujeme za hodnotu distribuční funkce v dosud neznámém bodě x, tj. F(x) = r. Bod x
odtud získáme podle inverzního vztahu (104):
x = F−1(r)
(104)
Při simulačních experimentech je nutné rozhodnout, jak vyjádříme dynamické
vlastnosti modelu, tj. jakou strategii zvolíme pro zachycení času. Existují dvě možnosti –
metoda pevného časového kroku a metoda proměnného časového kroku. V prvním případě se
vždy po uplynutí pevného časového intervalu zjišťuje, k jakým změnám došlo. V metodě
proměnného časového kroku hranice časových kroků představují právě ty okamžiky, kdy
dojde ke změně v systému, např. přijde nový požadavek do systému nebo se ukončí obsluha
požadavku a požadavek systém opustí.
Příklad:
Uvažujme systém hromadné obsluhy se dvěma obslužnými linkami, neomezeným zdrojem
trpělivých požadavků, frontou typu FIFO a proměnlivým časovým krokem daným tabulkou 1.
- 30 -
Tab. 1 Simulace systému hromadné obsluhy
čas vstupu
Doba
požadavku obsluhy
[hod:min]
[min]
09:00
3
09:05
9
09:10
9
09:11
9
09:14
9
09:24
6
09:34
9
09:37
9
09:38
3
09:41
9
09:42
6
09:52
9
09:53
6
09:56
9
09:57
9
1. obslužná linka
2. obslužná linka
prostoj doba čekání
linek na obsluhu
začátek
konec
začátek
konec
[min]
[hod:min] [hod:min] [hod:min] [hod:min] [min]
09:00
09:03
09:05
09:14
2
09:10
09:19
09:14
09:23
3
09:19
09:28
5
09:24
09:30
09:34
09:43
4
09:37
09:46
09:43
09:46
5
09:46
09:55
5
09:46
09:52
4
09:52
10:01
09:55
10:01
2
10:01
10:10
5
10:01
10:10
4
Součet dob čekání na obsluhu 15 požadavků z tabulky 4.1.3.1 je 33 min. Odtud statisticky
odhadneme střední dobu čekání požadavku ve frontě
E (T f ) =
33
= 2,2 min .
15
Z tabulky 1 určíme časové intervaly, v nichž se nemění počet požadavků. Výsledek je
obsažen v tabulce 2.
Vidíme, že celkem po 2+4 = 6 min z celkových 70 min v systému žádný
požadavek není, odtud odhadneme pravděpodobnost p0.
6
p0 =
= 0,0857
70
Obdobně odhadneme p1 až p5.
p1 =
14
27
14
8
1
= 0,2 , p 2 =
= 0,3857 , p3 =
= 0,2 , p 4 =
= 0,1143 , p5 =
= 0,0143
70
70
70
70
70
Střední hodnota počtu požadavků v systému pak je:
E( N s ) =
∞
∑ k pk
= 0.0,857 + 1.0,2 + 2.0,3857 + 3.0,2 + 4.0,1143 + 5.0,0143 = 2,1
k =0
Střední hodnota počtu požadavků ve frontě (střední délka fronty):
E( N f ) =
∞
∑ ( k − n) p k =
k = n +1
∞
∑ (k − 2) p k = p3 + 2 p4 + 3 p5 = 0,2 + 2.0,1143 + 3.0,0143 = 0,4715
k =3
- 31 -
Tab. 2 Výsledky výpočtů
časový
interval
09:00 – 09:03
09:03 – 09:05
09:05 – 09:10
09:10 – 09:11
09:11 – 09:19
09:19 – 09:23
09:23 – 09:24
09:24 – 09:28
09:28 – 09:30
09:30 – 09:34
09:34 – 09:37
09:37 – 09:38
09:38 – 09:41
09:41 – 09:42
09:42 – 09:43
09:43 – 09:46
09:46 – 09:53
09:53 – 09:55
09:55 – 09:56
09:56 – 09:57
09:57 – 10:01
10:01 – 10:10
doba, po kterou je v systému hromadné obsluhy počet požadavků [min]
0
1
2
3
4
5
3
2
5
1
8
4
1
4
2
4
3
1
3
1
1
3
7
2
1
1
4
9
6. ZÁVĚR
V příspěvku jsou studovány systémy hromadné obsluhy, které mají četné aplikace v
logistice, např. v armádních operacích, telekomunikačních přenosech, ale i v běžném životě u
obslužných linek čerpacích stanic, přepážek na nádražích, poštách apod. Jsou podrobně
rozebrány způsoby klasifikace systémů a odvození matematických modelů za určitých
předpokladů pravděpodobnostního rozdělení náhodných veličin doba (interval) mezi příchody
požadavků do systému a doba obsluhy požadavku.
Protože tyto předpoklady v praxi nemusí být nutně splněny, je ukázán i simulační
přístup pro řešení uvedených úloh.
Literatura
Bose, S.K.: An Introduction to Queueing Systems. - Springer-Verlag, Berlin, 2001.
Cooper, R.B.: Introduction to Queueing Theory. - North Holland, New York, 1981.
Gross, D., Shortle, J.F., Thompson, J.M., Harris, C.M.: Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley & Sons, New York, 2008.
Hrubina, K., Jadlovská, A., Hrehová, S.: Algoritmy optimalizačných metod s využitím
programových systémov. - Technická univerzita v Košiciach, Prešov-Košice, 2005.
Jablonský, J.: Operační výzkum. - Vysoká škola ekonomická, Fakulta informatiky a statistiky,
Praha, 2001.
- 32 -
Klvaňa, J.: Modelování 20. - České vysoké učení technické, Fakulta stavební, Praha, 2005.
Peltan, K., Májek, V.: Operační výzkum ve vojenství. - Univerzita obrany, Brno, 2008.
Virtamo, J.: Queueing Theory. - Lecture Notes, Helsinki University of Technology, 2005.
Recenzoval Prof. Ing. Vladimír Strakoš, DrSc.
- 33 -
CHAOTICKÉ DYNAMICKÉ SYSTÉMY V CESTOVNÍM RUCHU
Chaotic dynamic systems in tourism
Prof. Ing. Ctirad Schejbal, CSc., Dr.h.c.
Vysoká škola logistiky v Přerově
e-mail: [email protected]
Abstrakt
Řada dynamických systémů, mezi které patří i systémy cestovního ruchu, má
stochastický nelineární charakter a proto je obtížné je plně popsat. Takové systémy popisuje
teorie deterministického chaosu, kterou lze definovat jako kvalitativní studium nestabilního,
neperiodického chování deterministických nelineárních dynamických systémů. Teorie chaosu
vytváří nové paradigma vědy. V přírodě existuje mnoho kontinuálních dynamických procesů,
které mohou přecházet v ostře diskontinuitní důsledky, tj. v náhlé změny chování.
Matematickým popisem struktury takových jevů se zabývá Thomova teorie katastrof, kterou
lze využít např. v modelech reálných hospodářských cyklů, v modelování peněžních vztahů,
nebo nečekávaných krachů kapitálových trhů. Dramatické události na měnových a
kapitálových trzích v posledních letech představují celou řadu příkladů fungování teorie
chaosu v praxi. Nový přístup k organizaci podniků lze také chápat jako realizaci fraktálové
geometrie ve smyslu Mandelbrota. Teorie chaosu spolu s teorií komplexnosti implikují
holistický přístup k evolučním systémům turismu.
Abstract
A number of stochastic dynamical systems is nonlinear in nature and therefore it is
difficult to fully describe. Such systems describes the theory of deterministic chaos, which can
be defined as a qualitative study of unstable, non-periodical behavior of deterministic
nonlinear dynamical systems. Chaos theory creates a new paradigm of science. In nature there
are many continuous dynamical process that can move in sharply discontinuous effects, ie
sudden changes in behavior. Mathematical description of such phenomena deals with the
Thom´s theory of catastrophes, which can be used for example in models of real business
cycles, modeling the relationship of money, or unexpected collapse of capital markets.
Dramatic events in the monetary and capital markets in recent years represent a wide range of
examples of the chaos theory in practice. A new approach to organizing enterprise can also be
understood as the implementation of Fractal Geometry in terms of Mandelbrot. Chaos Theory,
along with the theory of complexity implies a holistic approach to evolutionary systems
tourism.
Klíčová slova
Deterministický chaos. Teorie katastrof. Fraktálové struktury. Dynamické nelineární
ekonomické procesy. Fraktálová podniková struktura. Aplikace v cestovním ruchu.
Key words
Deterministic chaos. Catastrophe theory. Fractal structures. Dynamical non-linear economic
processes. Fractal enterprise structure. Application in tourism.
1. ÚVOD
Řada dynamických systémů (systémů vyvíjejících se v čase) má stochastický
nelineární charakter a proto je obtížné, resp. prakticky nemožné je plně popsat. Vyjádření
deterministickými modely nepostihuje dostatečně složitost systému. U mnohých systémů se
projevuje extrémní citlivost na počáteční podmínky s tím, že výsledné stavy nejsou
- 34 -
proporcionální příčinám. Takové systémy, jejichž chování není v principu spolehlivě
predikovatelné, popisuje poměrně mladý matematický obor - teorie deterministického chaosu.
Tato teorie předpokládá možnou existenci skrytých struktur uvnitř množiny dat, které jsou
zodpovědné za chování celého systému. Z pohledu teorie chaosu existují systémy náhodné,
které neobsahují žádné vnitřní struktury nebo jsou příliš složité, dále systémy determinované,
které jsou přímo určeny jednoduchým předpisem, a nakonec systémy chaotické, které
vypadají jako náhodné, ale uvnitř existuje určitá struktura, která není na první pohled patrná.
Z hlediska praxe jsou nejvíce zajímavé a také nejčastěji se vyskytující systémy náhodné a
chaotické.
V posledních desetiletích se studium chaotického chování různých deterministických
dynamických systémů rozšířilo v celé řadě oborů lidské činnosti (např. ve fyzice, biologii,
geografii atd.) a stává se důležitým směrem jejich studia. Ve sféře ekonomie, tedy i v oboru
cestovního ruchu, vykazují některé soubory dat zjevně chaotický charakter s výraznými
diskontinuitami (např. změny kurzů měn, kolísání cen akcií na burzách, vývoj cen některých
surovin a plodin na světových trzích, turistické proudy, apod.). Komplikované dynamické
chování nelineárních ekonomických procesů (s cykly rovnováhy a chaotických stavů)
upozorňuje na zajímavé ekonomické aplikace. Je ale třeba zdůraznit, že i po prokázání
existence skrytých struktur uvnitř systému je možné předpovědět jeho další chování jen ve
velmi krátkém horizontu, neboť chaotické systémy jsou značně citlivé i na sebemenší změny
a často i nepatrná odchylka může způsobit zcela odlišné chování nebo až totální kolaps celého
systému.
2. DETERMINISTICKÝ CHAOS
Teorii chaosu můžeme stručně definovat jako kvalitativní studium nestabilního,
neperiodického chování deterministických nelineárních dynamických systémů, které lze
popsat soustavou evolučních rovnic tvaru
d qi
= fi (q i )
dt
kde qi je stavová charakteristika a fi všeobecně nelineární funkce. V přírodě i v lidské
společnosti existuje obrovské množství situací, u kterých sebemenší nejistota ve znalosti stavu
systému vede už po velmi krátkém době k naprosté ztrátě informace o jeho přesném stavu
(Barrow, 1999). Je zvláštní, že vědecké obci trvalo dlouho, než význam citlivosti na počáteční
podmínky pochopila. J.C. Maxwell (in Barrow, 1999) už v druhé polovině 19. století dospěl
k poznání, že mnohé následnosti přírodních událostí jsou mimořádně citlivé na výchozí
podmínky. Dynamický systém tří kosmických těles, kdy pohyb dvojhvězdy vykazuje
chaotický charakter, popsal už v roce 1882 Henri Poincaré. Podobný případ představuje
Slunce, které se vlivem obřích planet pohybuje v inerciálním systému sluneční soustavy
různým složitým způsobem (tzv. trojlístkový nebo chaotický pohyb), přičemž oblast pohybu
činí přibližně čtyřnásobek poloměru Slunce (in Schejbal, 2000). Meteorolog Edward Lorenz
v roce 1963 ukázal, že i jednoduchý systém třech diferenciálních rovnic prvého řádu, který
odvodil z Navier-Stokesových rovnic popisujících dynamiku proudění kapalin a plynů na
studium pohybů v atmosféře, nevede ke stabilnímu stavu, ale k tzv. „podivnému atraktoru“,
který má chaotický průběh, závislý na počátečních podmínkách. Tyto systémy působí navíc
jako „zesilovače“ (nepatrné diference počátečních podmínek vedou k velkým a
neočekávaným důsledkům). Takové systémy byly známy už dlouhou dobu, ale možnosti
jejich studia přinesly teprve počítače. Příklady vlivu nepatrných změn počátečních podmínek,
které se pohybují v rámci přesnosti měření a počáteční analýzy, dobře ilustrují výsledky
modelování vývoje počasí (Horák, 2003). Je zřejmé, že předpověď počasí se „rozbíhá“ až
- 35 -
k naprosté nepoužitelnosti. Podle Barrowa (1999) dosažení neomylné znalosti počátečních
podmínek v principu brání kvantové aspekty.
Teorie chaosu vytváří nové paradigma vědy, které umožňuje analyzovat a popisovat
fyzikální, chemické, biologické, ekonomické, výrobní a další děje v přírodních i technických
systémech, od planetárních supersystémů přes biologické a technogenní systémy až po
buněčné či atomární mikrosystémy.
Zatímco dříve byl chaos spojován s nežádoucími aspekty jisté reality, pohlíží se dnes
na chaotické procesy jako na běžnou formu změny. S vlivem chaotických procesů se běžně
setkáváme, ať již jde o fyzikální aplikace zahrnují vytékání vody z otvoru, řízení tření,
turbulence, laserů a plazmatu, oscilace v chemických reakcích, odstraňování a prevence
chaotických stahů srdečních svalů, proměny klimatu, ekonomiku státu, výkyvy finančních
trhů, činnost cestovních kanceláří, vývoj ekosystémů či různých lidských společenství. I
jednoduché systémy se mohou začít chovat složitě a naopak složité systémy někdy umožňují
jednoduché chování (Heczko, 2003). Fluktuace v systému mohou vést k chaosu a dále ke
vzniku nových struktur. Přechod systému do nového stavu může pak mít minimálně tři
podoby, a to náhlé skokové řešení (katastrofa), zpětné směřování k určitému bodu jinému než
původní a konečně proces postupných malých změn k novým stavům (divergence). To
naznačuje některé souvislosti, týkající se nezbytnosti holistického přístupu k analyzovaným
procesům, nemožnosti dosažení stavu tzv. pravé rovnováhy či možnosti přechodu do
kvalitativně nového stavu.
Obecně se vývoj ekonomiky vyznačuje poměrně dlouhými obdobími stabilního vývoje
- homeostáze, přerušovanými velkými změnami, tj. obdobími náhlého zrychleného vývoje,
které se projevují mnohdy jako krizová období. Takový průběh připomíná hypotézu
přerušované posloupnosti vývoje života na Zemi. Ekonomika je totiž vystavena vnitřním a
vnějším fluktuacím. V okolí rovnovážného stavu je každý ekonomický systém vůči
fluktuacím "odolný". V silně nerovnovážných stavech jsou určité fluktuace místo potlačení
zesíleny a mohou postihnout celý systém, což se projeví zcela novým chováním. V důsledku
nelineárních vazeb se i chování ekonomického systému může stát chováním chaotickým, což
lze geometricky znázornit pomocí podivného atraktoru. Zdánlivě náhodné chování je
výsledkem přesných pravidel, popsatelných pomocí diferenciálních rovnic. Zároveň však by
bylo silně závislé na hodnotách vstupních, počátečních parametrů a ty nemusíme přesně znát
či umět adekvátně analyticky vyjádřit, takže nepatrná událost by mohla mít velké následky.
V důsledku toho můžeme sice úspěšně předpovídat krátkodobý vývoj ekonomiky,
nedokážeme však správně odhadovat její dlouhodobý vývoj. Vlivem náhodné poruchy (např.
z vnějšího prostředí) se ekonomika může stát nestabilní a krátce na to přeskočit do
kvalitativně nového stavu.
Z hlediska teorie chaosu je ekonomika velký systém operující v podmínkách
s omezeným počtem zdrojů. Lidská společnost ovšem neustále zavádí nové způsoby
využívání zdrojů, objevuje nové zdroje či nové způsoby reprodukce a rozvoje. Každá
společenská, ekologická a ekonomická rovnováha je pouze dočasná. Objev či zavedení nové
technologie nebo výrobku narušuje společenskou, technologickou a ekonomickou rovnováhu.
Proto pro ni jsou charakteristické samovolně se opakující pochody. Odpovídající růst je
spojen silnou zpětnou vazbou a nelinearitami. Již pouhá souhra nahodilých činitelů (mimo
vlastní model) je postačující k narušení souměrnosti. Velikost a hustota systému se tak mohou
stát bifurkačním parametrem a často kvantitativní růst může vést ke kvalitativně novým
volbám.
Teorie chaosu přináší možné osvětlení cyklického či chaotického chování přírodních a
technicko-ekonomických systémů. Biosféra, ve které se odehrávají všechny antropogenní
- 36 -
procesy, představuje z hlediska teorie systémů autoorganizovanou a samoregulující soustavu
se složitou sítí vzájemných vazeb, jež spočívají ve výměně hmoty a energie v nepřetržitých
cyklech. Hospodářská činnost společnosti je založena na výměně látek a energie mezi
člověkem a přírodou. Systémový pohled tak umožňuje pochopit, proč cykličnost patří mezi
základní znaky každé ekonomické soustavy.
Vstupními daty pro analýzu ekonomických systémů pomocí teorie chaosu jsou
jednorozměrné časové řady {xi}. Cílem je zjistit, zda mají data nějakou vnitřní strukturu nebo
zda se jedná o data náhodná. Míru chaotičnosti časové řady určuje Hurstův exponent H, který
dokáže rozlišit chaotickou časovou řadu od skutečně náhodné a nalézt paměťový cyklus u
chaotické časové řady. Při 0,5 < H ≤ 1 jde o persistentní řadu citlivou na počáteční podmínky,
při 0 ≤ H < 0,5 o antipersistentní řadu s typickou turbulencí a velmi častými trendovými
změnami. Fraktální dimenze řady je (2–H). Spolehlivost predikce měřeného jevu umožňuje
vyhodnotit Ljapunovův exponent, kvantifikujícího stupeň chaotičnosti systému, tj. citlivost k
počátečním podmínkám. Pokud je tento koeficient kladný, je řada chaotická. Předvídatelnost
řady udává převrácená hodnota Ljapunovova exponentu.
Bylo zjištěno, že chaotický charakter vykazují v řadě případů časové řady cen surovin
a produktů, hydrologických či meteorologických veličin apod. Už v 60. letech minulého
století přišel s myšlenkou fraktálního vývoje cen Mandelbrot (in Gleick, 1996). Je však třeba
zdůraznit, že predikce dalšího chování časových řad touto cestou je možná pouze na velmi
krátké údobí.
Pro ilustraci praktického využití teorie chaosu lze např. uvést analýzu indexu Nasdaq
amerického akciového trhu (obr.1). Hurstův exponent této řady činí 0,871, fraktální dimenze
1.129 a Ljapunovův exponent 0,081. Jedná se tedy o chaotickou řadu s nízkou
předvídatelností 12,31 dnů.
Hurstův exponent
index NASDAQ
τ
Obr.1 Příklad chaotické řady indexu Nasdaq amerického akciového trhu
3. TEORIE KATASTROF
Kolem nás existuje mnoho kontinuálních dynamických procesů, které mohou
přecházet v ostře diskontinuitní důsledky, tj. v náhlé změny chování. Např. velmi pomalý a
kontinuální pohyb litosférických desek může vést k zemětřesení. Postupný nárůst napětí
v horninovém prostředí může vést ke geodynamickým jevům typu sesuvů, řícení, otřesů,
průtrží apod. Období hospodářského růstu může být vystřídáno krizí. Plynulost silničního
provozu může přerušit nenadálá sněhová vánice. Matematickým popisem struktury takových
jevů se zabývá Thomova teorie katastrof.
Jev, kdy globální chování systému se náhle mění se změnou parametru, na kterém
závisí, se označuje jako bifurkace. Jednoduše řečeno jde o kvalitativní změnu struktury
atraktoru při plynulé změně řídícího parametru (obr.2). Např. prostý rovnovážný bod (tj.
bodový atraktor) může přejít na periodický a dále na chaotický. Je-li C prostor řídících
- 37 -
parametrů a S stavový prostor, pak nejpravděpodobnější stavy funkce f(C,S) která vyjadřuje
např. pravděpodobnost, náklady apod., tvoří plochu chování. Bude-li dim (C) = 2 a dim (S) =
1, pak jsou z hlediska singularit tři možné stavy funkce f(S,a,b), a to regulární průběh,
„záhyb“ a „hrot“. Je-li dim (C) = 3 a dim (S) = 1, přibývá singularita typu „vlaštovčí ocas“.
Při růstu dimenzí se objevují další singularity a jejich počet může neomezeně růst.
regulérní chování
hrot
f (C,S)
záhyb
a
hrot
hrot
bb
Obr.2 Příklad diskontinuity v kontinuálním procesu
V řadě prací jsou analyzovány možnosti využití teorie katastrof v ekonomii, např.
v modelování peněžních vztahů, nečekaných krachů kapitálových trhů (Vosvrda a Baruník,
2008) či modelech reálných hospodářských cyklů. Chování kapitálového trhu analyzoval
pomocí teorie katastrof už v roce 1974 Zeeman. Příčiny volatility a projevů diskontinuit
mohou být různé, jak je patrné z následujících příkladů. Poměrně monotónní vývoj cen stříbra
byl kolem roku 1980 narušen nebývalým nárůstem, který byl vyvolán spekulativními
aktivitami jisté investiční skupiny, vedené snahou ovládnout světový trh se stříbrem. Po
neúspěchu těchto aktivit se cena vrátila na původní trajektorii ovlivněnou inflačním vývojem.
Velmi dobrým příklad mezinárodně-politických a ekonomických vlivů poskytuje vývoj cen
ropy (Global Financial Data 2007, doplněno).
Analýza časové řady s náhlými zlomy je obtížná. Calise a Earley (2004) uvádějí
příklad rozboru časové řady počtu cestujících z mezinárodního letiště Los Angeles od ledna
1993 do dubna 2006 po měsících.
A
B
C
Obr.3 Množství cestujících z letiště Los Angeles (Calise a Earley 2004, upraveno).
- 38 -
V řadě lze identifikovat náhlý pokles v září 2001 jako důsledek teroristické akce v New
Yorku (obr.3 A).Přímková závislost C = α + β × T určená pro celou řadu (obr.3 B) je C ≅
4450 + 4,8 × T, (C je odhad počtu cestujících, T je počet měsíců od počátku řady). Pokud
budeme respektovat už uvedené rozčlenění řady, pak pro prvý úsek platí rovnice C1 ≅ 3910 +
18,8 × T a pro druhý úsek C2 ≅ 2771 + 15,2 × T (čas od bodu zlomu, tj. září 2001). Příslušné
regresní čáry uvádí obr.3 C). Významnost diference regresních přímek můžeme prověřit
hypotézou
β = β 2
H0 :  1
α 1 = α 2 .
β ≠ β 2
H1 :  1
α 1 ≠ α 2
Uvedené příklady mimo jiné ukazují, že fluktuace a zejména diskontinuity lze
interpretovat v zásadě ex-post, nikoliv ex-ante. Predikce chování chaotických systémů na
delší období tedy není spolehlivá, nebo je dokonce v podstatě nemožná.
4. SOBĚPODOBNÉ STRUKTURY
Pro všeobecné označení objektů, jejichž tvar je nezávislý na měřítku pozorování, tedy
je soběpodobný, použil B. Mandelbrot (1991) označení fraktál. Soběpodobnost - matematicky
invariance vůči změně měřítka - je taková vlastnost objektu, že objekt vypadá podobně, ať se
na něj díváme v jakémkoliv zvětšení. Soběpodobným objektem označujeme množinu, která je
sjednocením jistým způsobem deformovaných kopií sama sebe, tj. zobrazení Φ1, Φ2, ... ,Φn
takových, že
A = ∪ Φi (A) .
Stochastické čili nepravidelné fraktály vnášejí při svém generování do algoritmu náhodu a
v důsledku toho jsou „pouze“ soběpříbuzné, nikoli soběpodobné.
Podle Mandelbrotovy definice je fraktál množina, u které hodnota Hausdorffovy
dimenze DH je větší, než hodnota dimenze topologické DT. Hausdorffova dimenze udává
s jakou rychlostí roste délka útvaru či odpovídající veličina při větším počtu rozměrů do
nekonečna. Topologická dimenze odpovídá počtu rozměrů. Jednorozměrné útvary mají
topologickou dimenzi DT =1, u dvourozměrných DT =2, u trojrozměrných DT =3.
0. iterace
1. iterace
2. iterace
3. iterace
Obr 4 Princip modelování krajiny metodou náhodného
přesouvání středového bodu.
V technické praxi mají pravděpodobně nejširší uplatnění dynamické systémy
s fraktální dynamikou. Převážná část přírodních objektů se vyznačuje geometrickou
nepravidelností. Realisticky je lze popsat pomocí náhodných fraktálů, zvolených a
generovaných podle odpovídající pravděpodobnostní distribuce. Pro vizualizaci přírodních
útvarů se nejvíce uplatňuje metoda přesouvání středového bodu (obr.4).
Princip soběpodobnosti, resp. soběpříbuznosti lze přenést na nový přístup k organizaci
podniku (Strunz, 2001). V principu se jedná o takovou organizační strukturu, která je tvořena
- 39 -
autonomními funkčními částmi firmy s obdobnou logikou a strukturou, fungujícími jako
„firma ve firmě“ (Häuser, 2007), které jsou uspořádány do jisté síťové struktury (obr.5).
Marketingprodej
Kvalita –
personalistika
Výzkum a
vývoj
FRAKTÁLNÍ
FIRMA
Logistika
a informatika
Ekonomika a
finance
Nákup a
skladování
Výroba a
údržba
Obr.5 Schéma fraktální firmy (Häuser, 2007)
Fraktály řeší samostatné dílčí úkoly společného cíle. Každý fraktál musí splňovat
určitá kritéria:
• úkoly fraktálu jsou vždy komplexní;
• fraktál je plně odpovědný za výsledek;
• fraktál je odpovědný za určitý obchodní proces;
• fraktál musí být vybaven všemi schopnostmi a nástroji pro úplné splnění svých úkolů.
Dílčí složky jsou tedy spojeny společnou vizí, firemní kulturou a znalostmi, které se
zhmotňují ve firemních procesech. V souvislosti s vývojem organizace práce se ve stále větší
míře používají týmově orientované struktury. Cílem je zapojit kreativitu každého pracovníka
firmy a vlivem synergického efektu zvýšit efektivitu činnosti podniku. Velmi schematicky lze
nosnou myšlenku soběpodobnosti, nebo minimálně soběpříbuznosti organizační struktury
složek znázornit na příkladu vysoké školy (obr.6).
vedení VŠ
výkonné složky
Obr.6 Fraktálová
struktura vysoké školy
servisní složky
vedení fakulty
výkonné složky
servisní složky
vedení katedry
výkonné složky
servisní složky
- 40 -
Podobně můžeme interpretovat strukturu cestovní kanceláře s pobočkami, hotelových
řetězců a stravovacích podniků, či velkých dopravních společností, pracujících ve sféře
cestovního ruchu.
5. CHAOTICKÉ PROCESY V PRŮMYSLU CESTOVNÍHO RUCHU
Mezi systémy, ve kterých se uplatňují projevy deterministického chaosu, lze
bezpochyby řadit i průmysl cestovního ruchu, který se vyznačuje nestabilitou, nejasnostmi a
nejednoznačností. Jakákoliv vstupní, průběžná či závěrečná analýza činnosti navíc vychází
z nehomogenních souborů dat různého typu a spolehlivosti. Typickým projevem chaotického
vývoje jsou proudy turistů a ceny produktů cestovního ruchu, které vedle sezónních výkyvů a
inflačních dopadů jsou ovlivňovány různými politicko-hospodářskými úmluvami, válečnými
konflikty, přírodními katastrofami, teroristickými akcemi, vznikem koalic, spekulacemi apod.
Podobně chaotická je výstavba turistické infrastruktury, což v řadě destinací vede
k nadměrnému až neúnosnému zatížení území, zatímco v jiných destinacích je situace opačná.
Např. počet návštěvníků ostrova Ischia převyšuje v srpnu počet místních obyvatel
desetinásobně, v Makarské s 15 tisíci obyvateli je v sezóně několik desítek tisíc turistů. Dosti
významně se projevují vlivy změn vkusu zákazníků a z toho vyplývající změny oblíbenosti
destinací, které se vyznačují často obtížně očekávanými výkyvy. Normální život turistické
destinace může narušit, nebo dokonce přerušit nenadálá přírodní katastrofa typu zemětřesení,
hurikánu či tsunami. Podobně se mohou projevit válečné konflikty či teroristické akce, což lze
dobře ilustrovat následujícími příklady.
Počet turistů, kteří navštívili Šrí Lanku, byl při celkově výrazném nárůstu silně
ovlivňován vnitropolitickou situací, zejména guerillovou válkou Tamilů proti centrální vládě,
teroristickými akcemi a v poslední době dopady katastrofického tsunami z konce prosince
2004. Podobně lze pozorovat negativní dopady politické a hospodářské situace na vývoj
turismu v řadě afrických zemí, např. v Keni, Etiopii, Somálsku atd. V případě Keni se projevil
prudký pokles počtu návštěvníků po nepokojích v důsledku voleb v roce 2008 (obr.7).
2000000
1500000
1000000
500000
0
2000
2002
2004
2006
2008
Obr.7 Vývoj počtu návštěvníků v Keni (Kenya National Bureau of Statistics)
Modelování procesů, probíhajících v sféře cestovního ruchu, není vůbec jednoduché a
ve skutečnosti jde o značně subjektivní záležitost. Jako každý velký otevřený systém i tato
sféra vystavena vnitřním i vnějším fluktuacím, operující v podmínkách s omezeným počtem
zdrojů (Prigogine a Stengersová, 2001). V oblasti rovnovážného stavu je systém vůči
fluktuacím "odolný". V silně nerovnovážných stavech ovšem určité fluktuace jsou místo
potlačení zesíleny a mohou zachvátit celý systém a přinutit ho k zcela novému chování.
V důsledku nelineárních vazeb se chování systému může stát chaotickým. Potom takové
předpoklady analýzy jako spojitost veličin, lokálnost či linearita je nutno nahradit kategoriemi
diskrétnosti (nespojitosti), nelokálnosti (vzájemné provázanosti), nelinearity či algoritmické
nestlačitelnosti. V důsledku toho můžeme sice úspěšně předpovídat krátkodobý vývoj
- 41 -
turismu, nedokážeme však správně odhadovat dlouhodobý vývoj. Na chaotickou povahu
turistických proudů upozorňují McKercher (1999), Correani a Garofalo (2008) a další.
McKercher (1999) uvádí, že existující modely cestovního ruchu mají selektivní povahu a
nepostihují jeho dynamický a nelineární charakter. Řada autorů tedy považuje teorii chaosu za
způsob, jak chápat složitost jevů spojených s cestovním ruchem, jak překonat většinu rozporů
mezi realitou a stávajícími modely. McKercher uvádí alternativní model turismu uvažující
právě teorii chaosu, ve kterém jsou všechny prvky vzájemně propojeny (obr.8).
cestující
jiné externality
příbuzné turismu
komunikační
vektory
tvůrci
chaosu
faktory
ovlivňující
efektivnost
komunikace
externí
turistické
agentury
destinace interní turistické
komunity
neturistické
(makroekonomické)
externality
výstupy
systému
Obr.8 Chaotický model turismu (McKercher, 1999)
Za „tvůrce chaosu“ označuje McKercher jednotlivce či firmy, vyvolávající revoluční změny
v cestování a turismu (např. Cook realizací prvého skupinového zájezdu železnicí či Laker
zavedením levné transatlantické letecké přepravy).
Teorie chaosu spolu s teorií komplexnosti implikují holistický přístup k evolučním
systémům turismu (Zahra – Ryan, 2005, Stevenson 2009), a to na mezinárodní, národní,
regionální i lokální úrovni.
6. ZÁVĚR
Celá řada technických a ekonomických postupů byla zformulována za předpokladu, že
prostor realizace řídících rozhodnutí je homogenní a pravidla, která platila v obdobných
případech, budou platit i v budoucích řešeních a návrzích (Beran - Dlask, 2007). Je ale
zřejmé, že úvahy zřejmě musíme zaměřit na nové paradigma. Stephen Smale, jeden
z nejprominentnějších matematiků 2. poloviny 20. století, uvedl v roce 1998, že jedním
- 42 -
z nejdůležitějších úkolů matematiky v rodícím se století je uvedení dynamiky do ekonomické
teorie, konkrétně začlenění teorie deterministického chaosu. Existují hlasy, které naopak
zpochybňují možnost použití těchto postupů při sledování procesů a jevů v lidské společnosti,
což dokládají právě na příkladech z ekonomické sféry. Jiné práce ale průkazně dokládají, že
lze řadu ekonomických procesů dobře popsat právě diskutovanými metodami. Dramatické
události na měnových a kapitálových trzích v posledních letech představují celou řadu
příkladů fungování teorie chaosu v praxi.
Vedle uvedených postupů můžeme samozřejmě k modelování a odhadu vývoje
časových řad ekonomických veličin použít i další, např. lineární neuronovou síť, která po
naučení je schopna do určité míry odhadnout vývoj zkoumaných jevů v příštím
období. Předpokladem ovšem je, že chování řady nesmí být zcela nahodilé a že v trénovací
množině musí být dostatečný počet vzorů postihujících všechny vlivy na tento jev působící.
Tyto předpoklady ale u reálných chaotických řad s diskontinuitami je prakticky obtížné
zajistit.
Chování ekonometrických modelů mnohdy nelze v důsledku deterministického chaosu
interpretovat, resp. vytvářet s jejich pomocí predikce. Je také nutno vést v patrnosti, že velmi
komplikované antropogenní dynamické systémy lze analyzovat a posuzovat spíše
kvalitativně, než kvantitativně. Gleick (1996) napsal: "Předpovědi ekonomického růstu či
nezaměstnanosti byly předkládány se samozřejmou přesností na dvě nebo tři desetinná místa.
Vlády a finanční instituce za takové předpovědi platily a řídily se jimi, ať už z nutnosti nebo
nedostatku něčeho lepšího." Opomineme-li základní pravidlo o ekvivalenci přesnosti
vstupních a výstupních dat, je nezbytné a) využít vhodné postupy a metody schopné
analyzovat studované nestabilní a diskrétní jevy, b) správně interpretovat poznatky
z aplikovaných postupů zvláště pro odhalení příčin a odhadu budoucího chování
ekonomických systémů.
Psychologické výzkumy ukazují, že chaos je obecným rysem chování člověka. Proto
Abrahamson a Freedman (2008) uvádějí, že mírně neuspořádané systémy využívají zdroje
efektivněji, dospívají k lepším řešením a dají se hůře rozvrátit než systémy důkladně
uspořádané. Jednoduše řečeno, musíme akceptovat chaos jako neoddělitelnou součást
lidských a přírodních systémů, který podporuje kreativitu.
LITERATURA
Abrahamson, E. - Freedman, D.H.: Báječný chaos. Skrytý půvab nepořádku. - Nakladatelství
DOKOŘÁN, ISBN: 978-80-7363-194-9, 2008
Barrow, J. D. : Teorie všeho, Hledání nejvyššího vysvětlení. - Edice Kolumbus, svazek 133,
Mladá fronta, Praha 1999, ISBN 80-204-0602-6
Beran, V. - Dlask, P.: Řídící procesy v navrhování technického díla, rozhodování, fraktály a
„market bubbles“. – Dostupné na <www.mathematica.cz/download/doc/
GACRCDDlaskTeorie2_.htm>
Correani, L.- Garofalo, G.: Chaos in the tourism industry. – MPRA Paper University library
of Munich, series 9677, 2008
Čihák, M.: Teorie chaosu a finanční trhy.- Finance a úvěr, 50, 2000, č.10
Dostál, P. – Rais, K. – Sojka, Z.: Pokročilé metody manažérského rozhodování. – Grada
Publishing, Praha 2005, ISBN 80-247-1338-1.
Faulkner, B. – Russell, R.: Chaos and complexity in tourism: In search of a new perspective.
– Pacific Tourism Review, 1(2), 1997, 93-102
- 43 -
Gleick, J. : Chaos, Vznik nové vědy. - Řada Nová věda, Ando Publishing, Brno 1996, ISBN
80-86047-04-0
Häuser, S.: Fraktální firma – odpověď na globální krizi. – Häuser Silma Gradient, 2007.
Dostupné na <http://www.silmahsg.cz/clanky.htm>
Heczko, St.: Teorie chaosu a chování otevřených systémů. - Marathon, č. 4, 2003
Horák, J.: Deterministický chaos a jeho fyzikální aplikace. – Academia, Praha, 2003
Chaos and Stock Market. – Dostupné na <http://www.iqnet.cz/dostal/CHA1.htm>
Ivanička, K.: Synergetika a civilizácia. - Alfa, vydavaťelstvo technickej a ekonomickej
literatury, Bratislava, 1988
Mandelbrot, B. B.: Die fraktale Geometrie der Natur. - Birkhäuser Verlag, Basel Boston
Berlin 1991.
McKercher, B.: A chaos approach to tourism. – Tourism Management, 20, 425-434, 1999
Prigogine, I. - Stengersová, I. : Řád z chaosu, Nový dialog člověka s přírodou. - Edice
Kolumbus, svazek 158, Mladá fronta, Praha 2001, ISBN 80-204-0910-6
Schejbal, C.: Fyzikální pole Země a geologicko-environmentální vědy. - Sborník vědeckých
prací Vysoké školy báňské – Technické univerzity Ostrava, č.3, 2000, roč. XLVI, řada
hornicko-geologická
Schejbal, C.: Metodologie geologického průzkumu. – Vienala Košice, 2003
Smale, S.: Mathematical Problems for the Next Century. – Dostupné na <http://www6.
cityu.edu.hk/ma/people/smale/pap104.pdf>. 1998
Stevenson, N.: Komplexity theoryand tourism policy research. - International Journal of
Tourism Policy, vol.2, No.3, 2009
Strunz, H.: H&D – fraktální společnost. - ExperPraxis 2001/2002. Dostupné na
<http://www.hud.de/cz/unternehmen/the-hd-story/fraktalni-spolecnost/>
Vošvrda, M. – Baruník, J.: Modelování krachů na kapitálových trzích: aplikace teorie
stochastických katastrof. – ÚTIA AV ČR, Praha, 2008
Woodside, A.G. – Dubelaar, Ch.: A General Theory of Tourism Consumption Systems. A
Conceptual Framework and an Empirical Exploration. – Journal of Travel Research,
vol. 41, No.2, 120-132, November 2002
Zeeman, E.C.: On the unstable behaviour of stock exchange.- Journal of Mathematical
Economics. Elsevier,vol.I, No.1, 1977
Zahra, A. – Ryan, Ch.: Complexity in Tourism Structures – the Embedded System of New
Zealand’s Regional Tourism Organisation. – International Journal of Tourism
Sciences, vol.5, No.1, 2005
Recenzoval Prof. Ing. Pavol Rybár, PhD.
- 44 -
PODZEMNÍ DOPRAVA MATERIÁLŮ V EVROPĚ
Underground transportation of materials in Europe
Prof. Ing. Vladimír Strakoš, DrSc.,
Vysoká škola logistiky Přerov, Palackého 25, 750 02 Přerov
[email protected]
Abstrakt:
Trvale udržitelný rozvoj dopravy je s využitím silniční, železniční, vodní a letecké
dopravy prakticky nemožný. Článek obsahuje koncepci projektu „Podzemní doprava
materiálů v Evropě“. Evropa patří mezi velmi hustě zalidněné oblasti. Taková oblast vyžaduje
přepravu velkého množství materiálů, energie, potravin, vody apod. S tím také souvisí
vytváření velkých prostor pro sklady, překladiště, nádraží, letiště apod. Jediný způsob řešení
tohoto dopravního problému budoucnosti je podle autora podzemní doprava materiálu mezi
hustě zalidněnými oblastmi. Podzemní doprava by se realizovala podobně jako doprava
plynu, vody a ropy potrubím uloženým pod povrchem. Řešení tohoto problému je nastíněno
prakticky v celém rozsahu tohoto problému a to od volby dopravních tras až po zajištění jejich
provozu. Záměrem tohoto projektu je doprava zboží a materiálu a v žádném případě ne
doprava lidí.
Abstract:
Sustainable development of the traffic using the road, railway, waterway and air
transport is virtually impossible. The article includes the concept of the "Underground
transport of materials in Europe." Europe is a very densely populated area. Such an area
requires high amounts of materials, energy, food, water, etc. This also results in creating a
large space for storage, transshipment, railway stations, airports, etc. It is only way to solve
this traffic problem of the future, according to the author, the underground transport of
material between the densely populated areas. Underground transport should be implemented,
like transport of gas, water and oil pipes stored under the ground. Solution of this problem is
outlined in almost the whole extent of the problem and the choice of routes to ensure their
operation. The aim of this project is to transport goods and material and in any case not to the
right people.
Klíčová slova
Podzemní doprava materiálů. Potrubní doprava. Stálý rozvoj dopravy. Ochrana
přírody.
Keywords:
Underground transport of materials, Pipeline transport, Permanent development of
transport. Protection of nature
Motto:
Všechno co je možné umístit pod zem, dejme pod zem
a povrch země nechme pro klidný a zdravý život lidí.
1. ÚVOD
Evropa patří mezi velmi hustě zalidněné oblasti. Vzniká stále více a stále větších
oblastí, kde lidé nacházejí zaměstnání a lepší podmínky pro uspokojování svých životních
potřeb. Hustě zalidněné oblasti vyžadují velké množství materiálů, energie, potravin, vody
apod., které se musí denně do těchto oblastí dopravovat. Opačně zase veškeré odpady a také
- 45 -
produkty činnosti těchto oblastí se musí dopravovat do jiných míst (Malindžák, 2006). Tak
vznikají velké nároky na přepravu, na přepravované množství a na přepravní rychlost. S tím
také souvisí vytváření velkých prostor pro sklady, překladiště, nádraží, letiště apod.
Takové řešení dopravy materiálů není vhodné např. směrem k Asii a to ani v Evropské
části, protože tam je spousta nezalidněných prostor nebo prostor nevhodných k zemědělství
nebo produktivnímu lesnictví a pro takové oblasti je zcela jednoznačně vhodná doprava
železniční.
Jedna z vhodných možností řešení dopravního problému budoucnosti je podzemní
doprava materiálu mezi hustě zalidněnými oblastmi. Podle názoru autora to je dokonce jediná
možnost rozvoje dopravního systému. Čím později se začne řešit, tím větší škody přírodě
člověk v takových prostorách způsobí.
Řešení znamená vytvořit propojení takových oblastí podzemními tunely, ve kterých se
budou pohybovat poměrně velkou rychlostí kontejnery plné zboží, výrobků, materiálů apod.
Je nutné zdůraznit, že záměrem tohoto projektu je pouze doprava materiálu, protože ten
nepotřebuje vhodné klimatické podmínky, snese velké zrychlení a brzdění, nepotřebuje
stabilizaci polohy apod. jako by to bylo při dopravě lidí.
2. SOUČASNÝ STAV V DOPRAVĚ V HUSTĚ ZALIDNĚNÝCH OBLASTECH
V hustě zalidněných oblastech na celém světě se využívají a v budoucnu musí ještě
více využívat podzemní prostory pro všechny činnosti lidí a zvláště provoz strojů a zařízení,
které nemusejí být na povrchu země. Je to zásadní otázka života lidí v hustě zalidněných
oblastech, související s ochranou životních podmínek pro jejich život i život ostatních živých
organismů. Velká města přitahují bohaté a podnikavé obyvatele tím, že ve velkých městech
mají dobrý kontakt s dodavateli i odběrateli. Dále mají velký výběr pracovních sil a to jak
vysoce specializovaných, tak se základním vzděláním, a tedy mají výbornou zásobárnu
pracovních sil pro své podnikání. Mají možnost osobního kontaktu se svými partnery při
různých obchodních a
společenských příležitosdo města
likvidace odpadů
tech, což vytváří podmín- dodávky
potraviny doprava autem
únik do ovzduší a do kanalizace
doprava autem
ky pro další rozvoj. zboží
odvoz hmotného odpadu
výrobky
doprava autem
Podnikatelé tedy potřebu- nápoje doprava autem
jí velké město nebo hustě nábytek doprava autem
(obaly)
ostatní vybavení doprava autem
zalidněnou oblast, ale co energie doprava el vedením
doprava potrubím
opačně. Obyvatelé, kteří plyn
únik do ovzduší
voda
doprava potrubím
hledají své uplatnění ve zařízení pro el. doprava autem
únik do ovzduší
únik do kanalizace
společnosti, mají v tako- zařízení pro vodu doprava autem
zařízení pro plyn doprava autem
vé oblasti větší možnosti
nalezení
vhodného
zaměstnání, ve kterém co Obr.1 Některé významné komodity které „protékají“ městem
nejlépe
využijí
své
schopnosti. I když ne pro všechny vrstvy obyvatel jsou hustě zalidněná centra výhodné, přesto
to je prostředí, nabízející větší možnosti uplatnění (Voženílek, 2010).
Ve velkém městě anebo v hustě zalidněné oblasti žije mnoho lidí a ti zase mají hodně
požadavků pro svůj způsob života. Všichni tito obyvatelé chtějí mít větší příjmy pro svůj
spokojený způsob života a to zase vyvolá nové pracovní příležitosti a také požadavky na
výrobu.
Zjednodušeně řečeno hustě zalidněná oblast potřebuje denně:
° velké množství výrobků zemědělské produkce,
° značné množství výrobků průmyslové výroby,
- 46 -
°
°
°
°
velké množství energií,
velké množství vody (pokud možno čisté),
vdechuje velké množství vzduchu (pokud možno čistého) a
vyprodukuje velké množství odpadu, který je nutné někde odvézt.
Zjednodušeně řečeno, to co se do oblasti doveze, to se přemění na odpad a musí se
odvést. Na obr. 1 vidíme, poněkud přibližně, ale přehledně, jaké jsou nároky na dovoz a
odvoz z hustě zalidněné oblasti. K tomu ještě přibude to, co hmotného se v této oblasti
vyprodukuje a opět suroviny, potřebné na výrobu se musí také do této oblasti dovést. Výjimku
tvoří pouze suroviny, které se v této oblasti v přírodě nacházejí. Hmotné výrobky, které se
v této oblasti vyrobí, se musí odvézt a to zase jiné hustě zalidněné oblasti.
Pěkný příklad nároků na přepravu jsem slyšel v televizi. V Kazachstánu se vypěstuje
bavlna, ta se převeze do Turecka, kde se utká plátno. To se převeze do jednoho východního
asijského státu, kde se z plátna ušijí trička. Ty se převezou do Evropy k potištění a odtud se
zase převezou zpátky do Asie a teprve
odtud se distribuují do ostatních státu
světa k prodeji. Je zřejmé, že všechny
fyzické práce se provádějí v místech
kde je dostatek pracovníků. Opět jsme u
velkých měst. Ještě dodám, že když
jsem si chtěl uprostřed Austrálie koupit
tradiční
výrobek
australských
domorodců, tak jsem zjistil, že byl
vyroben v Polsku.
Z toho všeho vyplývá, že po
světě se pohybuje a bude pohybovat
velké množství zboží, výrobků a
surovin a to nejrůznějšími směry.
S malým zjednodušením to je opět mezi
místy s hustým zalidněním.
Obr.2 Odhad zalidnění ČR v polovině třetího
tisíciletí. Zpracováno autorem
Po tomto úvodu se podívejme na obr.2. na předpoklad rozložení obyvatelstva v České
republice v polovině třetího tisíciletí. Obyvatelé se pravděpodobně soustředí kolem hlavních
dopravních koridorů.. Je to zřejmě docela uvážlivý odhad zpracovaný autorem na základě
dříve získaných informací. Pro nás z toho vyplývá několik zajímavých otázek:
° jak asi budou jednotlivé oblasti propojeny,
° kolik „zboží“a odpadu se bude mezi těmito oblastmi přepravovat,
° jakými prostředky se bude to všechno přepravovat,
° s jakou frekvenci budou ty dopravní prostředky jezdit,
° jaký vliv to bude mít na kvalitu životního prostředí,
° jaký vliv to bude mít na zdraví lidí.
Dnes již nelze předpokládat, že nějaká hustě zalidněná oblast s obyvateli na
přiměřeném stupni kulturního a technického vývoje může existovat isolovaně od ostatního
světa. Z toho vzniká další problematická situace a to je, že mimo kratší dopravní cesty
v rozmezí republik nebo jinak specifikovaných oblastí musí být hustě zalidněné oblasti
vzájemně a neoddělitelně propojeny intenzivní dopravou.
- 47 -
Podívejme se ještě na odhad
zalidnění odhad zalidnění Evropy
v polovině třetího tisíciletí (obr. 3).
Z tohoto zajímavého a dost pravděpodobného odhadu vidíme potenciální
směry intenzivní dopravy. Jak se bude
to množství materiálů dopravovat?
Bude to železnice, automobilová
doprava,
kombinovaná
doprava,
letecká doprava anebo vodní doprava?
Kdo myslí na naše vnuky a
pravnuky, tak určitě doufá, že to
nebude letecká a automobilová
doprava. Proč? Je to proto, že budou
také cestovat lidé. Ti chtějí mít
pohodlné a příjemné podmínky pro
cestování a tyto nároky se budou
stoprocentně stále zvyšovat. Mají se
Obr.3 Předpoklad zalidnění části Evropy v r.
lidé
v dopravních
prostředcích
2500. Upraveno autorem podle starší studie.
proplétat
mezi
kamiony
na
přeplněných silnicích? Mají se vyhýbat osobní přepravě letadel, když s extrémní hustotou
nákladní letecké dopravy začnou stoupat havárie letadel? Mají se uchýlit na pohodlnou a
příjemnou vodní dopravu, která je ale se zase pomalou? Je to pouze několik málo, ale zato
velmi závažných otázek, na které musíme hledat odpověď.
Intenzita automobilové dopravy se rychle blíží své maximální kapacitě. Dálnice jsou
přeplněné již teď. Máme je rozšiřovat, máme dělat více jízdních pruhů? Máme takto
připravovat situaci pro zvýšení počtu havárií, které se při větším počtu přejíždění z jednoho
jízdního pruhu do druhého určitě zvýší. To přece není rozumná cesta. Navíc máme přes hory
tunely a jejich rozšiřování není možné. Musí se vyrazit další tunel, jinak takové úzké místo
znamená jednoznačně danou horní mez propustnosti takové dopravní tepny. Závěrem
zhodnocení situace v silniční dopravě můžeme téměř jednoznačně konstatovat, že naplnění
přepravní kapacity je velmi blízko a že další zvyšování vyžaduje velké náklady a značně
znepříjemní život všem lidem. Jediná možnost řešení tohoto výhledu je převést, nebo
postupně převádět silniční dopravu materiálů mimo silnice. Výsledkem by bylo, že po
silnicích se budou pohybovat převážně lidé a to v lidem přizpůsobených dopravních
prostředcích s příjemným výhledem na okolní neporušenou přírodu.
Zvyšování přepravy materiálů leteckou dopravou je sice možné, ale na štěstí pro
lidstvo má své hranice. Jednak to je kapacita letišť a prostory technického zabezpečení letiště,
které značně zvyšují prostor patřící této dopravě, Jednak to je hluk, který se sice
v budoucnosti sníží na únosnou mez. Hlavně to je množství spalin vypouštěných ve velkých
výškách, kde již rostliny nemohou CO2 likvidovat. Škodlivost této situace zatím ještě lidé
nevnímají, nebo nechtějí vnímat, protože rádi využívají letadla k přepravě na větší
vzdálenosti. Ponechme tuto přepravu lidem a zbytečně nezvyšujme nákladní leteckou
dopravu, i když již dnes víme, že se příliš zvyšovat nemůže.
Zvyšování přepravy materiálů vodní dopravou skutečně možné je a také se zatím stále
zvyšuje. Je to tedy jedno z významných opatření, jak zachovat možnost rozvoje přepravy
materiálů, ale i to má své omezení. Námořní vodní doprava má zatím omezení pouze
v kapacitě přístavů a to se průběžně řeší. Říční vodní doprava je dána kapacitou říčních toků a
která se různými projekty trvale zvyšuje, ať již to je prohlubováním řečišť, stavbou
- 48 -
protipovodňových přehrad, které slouží také jako zásobníky vody pro období sucha,
zvětšováním kapacity říčních plavidel apod. Vynechali jsme však to nejnákladnější a to je
splavňování dalších vodních toků stavbou vodních jezů a plavebních komor a dalších staveb
tyto stavby doprovázející. Např. využití kapacity vodních dopravních cest na našem území je
pouze 10 %, tak tady je rezerva. Bohužel využití této reservy není možné nařídit, ale musí
samo vyplynout z ekonomické situace. Je to tak, nebo se mohou zodpovědní pracovníci na
nejvyšších místech ve státě rozhodnout dělat průběžně kroky i v tomto směru k zajištění
spokojenosti našich pokolení?
Zvyšování přepravy materiálů železniční dopravou je rozumná cesta. Všichni víme,
že železniční doprava je méně operativní než silniční doprava, protože není možné dopravit
materiál až k zákazníkovi. Je to skutečně tak? Je to pouze částečně pravda. Všichni jsme
svědky toho, že se ruší celá řada vleček vedoucích přímo do závodů. Nebudeme rozebírat
důvody ani příčiny, ani nebudeme hledat
viníka, ale vyjdeme z faktu, že železniční
přeprava
může
zvýšit
množství
přepravovaného materiálů. Autor vidí
možnost zvyšování kapacity přepravy
železniční dopravou vyřešením dvou
problémů. Jednak to je zkrácení vzdálenosti
mezi jedoucími vlaky důsledným využitím
možností, které poskytuje GPS. Druhou
možností, která se stále řeší, je nalezení
způsobu operativního přeložení kontejneru
z návěsu auta na železniční vagon. Možná
to je i rozdělení zisků mezi železnicí a
automobilovým dopravcem. Ať je to
jakkoliv, tak možnost zvýšit kapacitu Obr.4. Potrubní doprava vápence v Japonsku
přepravy materiálů na železnici existuje, ale firmy SUMITOMO METALS
záchrana
rozvoje
dopravy
v tomto
nespočívá.
3. POTRUBNÍ DOPRAVA MATERIÁLŮ
Podle názoru autora (Strakoš, 2000), existuje pouze jediná možnost, jak zvyšovat
přepravní kapacity. Je potrubní doprava materiálů, zdůrazňuji ne doprava lidí, ale materiálů.
Úvaha je založena na tom, že když se dopravuje obrovské množství ropy, plynu a vody
v potrubí na vzdálenosti tisíců km, tak proč by se také nemohl potrubím dopravovat materiál?
Uveďme několik příkladů z dosud realizovaných a někdy úspěšných pokusů.
Potrubní doprava vápence v Japonsku.
Názorným příkladem potrubní dopravy budoucnosti je podzemní doprava vápence,
realizovaná firmou SUMITOMO METALS v Japonsku (5). Je v provozu od dubna 1983
v Tochigi Pref. Jedná se o dopravu na vzdálenost 35 km (propagační obr.3). Je to ukázka
ekologicky šetrné dopravy materiálu. Realizovaný projekt podzemní dopravy se nazývá
"Capsule Liner“, což volně přeloženo můžeme označit jako kontejnerová doprava. Je to
revoluční systém v dopravě hmot. Používají se, jak je na obrázcích patrné, kontejnery s pěti
bantamovými koly na každé straně, které vedou kontejner v potrubí o průměru 1 m. Kontejner
o obsahu 1,6 t se pohybuje volně, poháněn poměrně malým tlakem vzduchu. To znamená, že
hnací síla se dosáhne ventilátorem. Kontejnery jsou pro zvýšení kapacity spojeny vždy po
třech do „kontejnerového vlaku“. Intervaly mezi pohybem vlaku jsou 50 sec. Spotřeba energie
na dopravu je 0,7 kWh na 1 km, což představuje výkon potřebný na pohyb trojice kontejneru
- 49 -
cca 3 kW. Po celé trase je kontejnerový vlak sledován počítačem a celá doprava je tak plně
automatizována. Doprava je zcela bezpečná, protože ani dva po sobě jedoucí vlaky nemohou
do sebe narazit díky vzduchovému polštáři mezi nimi. Tento systém je podle názoru
konstruktérů i podle názoru autora dopravou budoucnosti, která výrazně omezí pohyb
kamionů i vlaků po povrchu země.
Podzemní doprava materiálů má velmi významné výhody:
• nejdůležitější je to, že nezatěžuje pohyb člověka na povrchu země,
• je čistá a bezpečná a velmi šetrná k životnímu prostředí,
• prakticky nahrazuje kontinuální dopravu,
• vytváří možnost dopravovat různé druhy materiálů,
• je zcela nezávislá na počasí a provozu ostatních druhů doprav,
• podle získaných zkušeností v Japonsku je poměrně málo náročná na údržbu,
• provozní náklady jsou velmi malé (investiční náklady jsou poměrně velké).
Představme si takovou dopravu někde v Evropě. Kde to je někde? Podívejme se na
obr.3, kde je vybraná část mapy Evropy s vyznačením předpokladu budoucího osídlení
v polovině třetího tisíciletí. Z toho předpokladu je možné, alespoň orientačně, vyznačit
dopravní trasy, které musí v budoucnu tyto oblasti propojovat.
4. VYBRANÉ PROBLÉMY K ŘEŠENÍ
Zpracování tak náročného a relativně nového projektu si vyžádá řešení několika
náročných dílčích částí. Je to vlastně skládanka výzkumně vývojových a projekčních úkolů,
která umožní vytvořit v závěru celý projekt. Ne všechny problémy jsou zcela nové, a proto
řešení některých části, jako je např. ražení tunelů, v dnešní době není velký problém, pokud je
délka tunelu malá. Když se bude razit tisíc km tunelů a nebo ještě více, tak zcela známá
problematika může narazit na problémy, které doposud nedovedeme spolehlivě odhadnout.
Podívejme se na těch několik vybraných problémů, jejichž vyřešení prakticky podmiňuje
úspěšné řešení celého projektu.
Rychlost přepravy
Po těchto nepřímo vyznačených trasách se bude pohybovat když ne obrovské, tak
velké množství různého materiálů, které lidé pro svůj život potřebují. Není to přece lákavá
představa, že část nebo dokonce velká část materiálu by se pohybovala tak, že o ní vůbec
nebudeme vědět a že lidé se budou přemísťovat auty a železnicemi po trasách s minimálním
množstvím kamionů a nákladních vlaků? Úplně bez kamionů to nepůjde, ale může jich být
jenom tolik, kolik je nezbytně nutné.
Výřez mapy Evropy je o rozměrech cca 2 x 2 tisíce km, takže trasa ze středu Itálie do
Švédska anebo na sever Anglie je skutečně téměř 2 000 km. Kamion s průměrnou rychlostí 60
km.hod-1 tuto trasu pojede cca 35 hod. Vlak s průměrnou rychlostí 80 km.hod-1 tuto trasu
pojede 25 hod. a to v ideální představě. Pokud kontejner pojede rychlosti 150 km.hod-1 , tak
tuto vzdálenost pojede 14 hod. Jsou to pouze orientační časy, poněvadž jsme zanedbali
všechny manipulační časy. Ty budou u kamionů nejkratší a u vlaku nejdelší, takže celková
doba přepravy bude jiná a tedy i porovnání rychlosti přepravy bude jiné, ale vždy výhodné
pro potrubní dopravu.
Kapacita přepravních prostředků.
Zatím jsme při této úvaze zanedbali jeden významný fakt a to je kapacita přepravního
prostředku. Na obr.5 je koncová stanice s kontejnery pro hmotnost nákladu 1,6 t. Zatím co
kamion s vlekem veze náklad o hmotnosti např. 20 t, tak vlak veze náklad o celkové
hmotnosti1000 t. Nahradí tedy 50 kamionů s vlekem. Je to velký rozdíl, ale ani to není
- 50 -
spolehlivý ukazatel významu těchto přepravních
prostředků, protože kamion dojede až do
prostoru zákazníka nebo logistického centra.
Terminál nákladní železniční přepravy, jak
z toho vyplývá, by muselo obsluhovat
minimálně 50 kamionů a to na obou stranách.
Takže z této zjednodušené úvahy nelze zcela
porovnat výhody a nevýhody obou způsobů
přepravy. Potrubní přeprava materiálu však
porovnání s oběma druhy dopravy, jak je
uvedeno později, snese.
Obr.5 Pohled na koncovou stanici pro
dopravu vápence v Japonsku. Matriál
firmy SUMITOMO METALS
Energie potřebná k přepravě
Vraťme se však ke kontejnerové
potrubní přepravě. Uvažujme průměr potrubí
pro přepravu 1,5 m, což se již pro přepravu plynu někdy používá. Pokud bude délka
kontejneru 4 m, tak jeho objem je 28 m3. Pokud bude naplněn např. zeleninou, tak jeho
hmotnost může být cca 15 t, zatím co při přepravě uhlí by byla hmotnost okolo 30 t. V tomto
případě prakticky nahradí přepravu kamiony. Pokud by byla rychlost pohybu kontejneru
v potrubí optimisticky 40 m.s-1 (rychlost 150 km.hod-1) a vzdálenost mezi pohybujícími
kontejnery byla 800 m, tak by se hmotnost 1000 t v tomto 800 m dlouhém úseku, přepravila
za 12 min. a čas na odebrání kontejnerů v cílovém terminálu by byl 20 sec.
Pokud bychom předpokládali součinitel tření kontejneru cca 0,005, tak odpor proti
pohybu kontejneru o hmotnosti 30 t by byl cca 1800 N a pak energie potřebná pro přesunutí
na vzdálenost 40 m by byla cca 72000 Ws tedy potřebný výkon by byl 72 kW. A u kontejneru
se zeleninou 36 kW. To je pouze orientační odhad a potřebný výkon záleží na několika
konstrukčních faktorech, které mohou potřebný výkon ještě snížit. Mimo to se na trase
vyskytnou úseky, které nebudou vždy v rovině a tak např. kontejner pohybující se dolů bude
před sebou tlačit vzduchový polštář, který bude pohánět kontejner vpředu.
Zajímavá otázka je pohon
kontejneru. Jedna možnost je
v Japonsku odzkoušený pohon
vzduchový, tedy ventilátory. Je
to pohon známý a odzkoušený u
potrubní pošty, která se používá
již mnoho let. Jenom pro
informaci potrubní pošta v Praze
se používala dlouhou dobu a její
zastavení bylo způsobeno teprve
velkými záplavami, kdy se
některé úseky zaplavily bahnem.
Dnes se stále používá na velkých
poštách a také v supermarketech.
Druhá možnost je použití
lineárních motorů, stejně jako se
Obr.6 1100 km dlouhé potrubí o průměru 4 m pro
nyní stále více rozšiřuje pro
dopravu vody přes poušť v Lybii
pohon
vlaků
známého
(zdroj: J. Kotulič - Bunta)
v Šanghaji
pod
názvem
MAGLEV. Velká výhoda takového pohonu by byla možnost dosažení velké rychlosti pohybu
- 51 -
a to až 300 km.hod-1. Velká rychlost však dává málo času v terminálu pro odebrání kontejneru
z dopravní trasy. Takový pohon by byl sice nákladný, hlavně investičně, ale zato velmi
progresivní. Názor autora je však, že to co je nákladné nyní, nemusí být nákladné za několik
desítek let.
Oblouky dopravní trasy
Topologie dopravní trasy je další z otázek, které se postupně musí vyřešit. Na volbě
poloměru dopravní trasy závisí délka kontejneru nebo soupravy z několika kontejneru
spojených do vlaku. Na zvoleném poloměru dopravní trasy také závisí způsob vytvoření
dopravní trasy.
Potrubí pro dopravu materiálu bude zřejmě složeno z ocelového potrubí podobně jako
potrubí pro dopravu ropy, plynu nebo vody To však není jediná možnost a zatím vůbec nelze
říci, jestli je to vhodné provedení. Na obr.6 je pohled na ukládání betonového potrubí o
průměru 4 m pro dopravu vody na Sahaře. Kontejner při pohybu v potrubí bude
pravděpodobně „plavat“ na vzduchovém polštáři, vytvořeném vzduchovou vrstvou okolo
stěny potrubí. Ta bude mít teoreticky velmi malou rychlost oproti rychle se pohybujícímu
kontejneru, ale nelze vyloučit, že se kontejner v některých místech nebude svými bantamy
otírat o stěny. To by vedlo k opotřebení stěn a tedy k občasné výměně potrubí. Vědomě je
použit pojem občasné, protože to je jeden z významných faktorů životnosti potrubí a tím i
nákladů na údržbu dopravní cesty.
V případě potrubí z betonových sekcí se nabízí myšlenka, jestli vůbec musí být
„potrubí“ kruhového průřezu. Jaké výhody by měl profil čtvercový s nebo obdélníkový? Na
první pohled se nabízí myšlenka, že čtvercový profil může mít své výhody s hlediska vedení
kontejneru. Když již uvažujeme o čtyřstěnné sekci, tak proč by nemohla být sekce vícestěnná,
např. šestistěnná a je tady další problém k řešení.
Způsob vytvoření dopravní cesty
O tom jaký bude mít průřez dopravní cesty, rozhodne zřejmě způsob, jakým dopravní
cestu vytvoříme. Je to proto, že to bude asi na celém projektu to nejnákladnější. Nabízí se
několik možností. Ten nejběžnější způsob je uložení potrubí do výkopu. Když již uděláme
výkop, tak může být profil „potrubí“ jakýkoliv.
Další možností vytvoření
dopravní cesty je ražení, tzn.
vytvoření „tunelu“, do kterého se
vloží potrubí, hornickým způsobem.
S ohledem na velikost průměru to
znamená vrtat tunel kruhovým
razícím mechanismem. Toto je běžná
technologie ražení podobných děl.
Vrtat tunel o průměru např. 1,2 m
není v zásadě velký problém.
V tomto případě je ale kruhový
průřez podmínkou minimálních
nákladů.
Pokud
tedy
připustíme
kruhový průřez, tak se nabízí
progresivní možnost tvorby tunelu
znázorněný na obr. 7 a 8 a to je
protlačování kvalitního betonového
Obr.7 Protlačování betonového potrubí přes
horninu, 4 m pod povrchem, do vzdálenosti 300 m.
Foto autor
Foto autor
- 52 -
potrubí. To znamená, že povrch země
by byl minimálně narušen.
Volba dopravní trasy
Neméně
významnou
problematikou je volba dopravní
trasy. Významnou otázkou je, jestli
bude doprava probíhat pouze mezi
dvěma místy anebo mezi více místy.
T. zn. jestli bude trasa rozvětvena
anebo
jednoduchá.
Jednoduchá
dopravní cesta vyžaduje pouze řešení
počáteční a koncové stanice.
Podívejme se na příklad Japonské
firmy SUMITOMO METALS na Obr.8 Pohled do potrubí vtlačovaného do zeminy
obr.5. Je to sice koncová stanice
cca 4 m pod povrchem.Provádí firma ……
jednoúčelové dopravy těženého
v Japonsku. (Foto autor)
vápence, ale i tak je to velmi
zajímavé. V našem případě by se kontejnery do dopravní trasy vkládaly a vykládaly, zatímco
se naplní. Zajímavý je také řídící ventil nahoře vpravo, tedy ventil před příjezdem do stanice.
Tímto ventilem se vlastně řídí rychlost pohybu vlaku, protože vzduchový polštář tlačený
vpředu kontejnerem má pouze jedinou možnost úniku a to je přes tento ventil. Pokud by byl
zavřený, tak vzduchový polštář zbrzdí kontejner tak, že do koncové stranice dojede pomalu.
Tak by bylo možné řídit rychlost pohybu kontejneru v případě, že se bude k pohonu využívat
stlačený vzduch. V takovém případě bude také výhodnější vzduch před kontejnerem odsávat a
přispívat tak k pohonu kontejneru. V případě využití takového návrhu by se kontejner, který
dojede do koncové stanice pouze „bubínkovým zařízením“ vysunul z dopravní trasy a vytlačil
přímo na návěs kamionu.
Kontejner, který se vkládá do dopravní trasy, by se podobným podávačem vsunul do
dopravního potrubí a ventilátorem urychlil na dopravní rychlost. To by platilo pouze
v případě, kdyby se jako výhodná ukázala doprava stlačeným vzduchem.
Rozvětvená dopravní síť, která se později určitě vytvoří, vyžaduje řešení dalšího
problému, a to je odbočení do jiného tunelu. Jako vždy je k dispozici několik řešení, z nichž si
uveďme alespoň jednu myšlenku, a to je že se těsně před příjezdem kontejneru „odsune“ část
spodní poloviny potrubí dolů a ta svede kontejner do spodního tunelu, kde může kontejner
pokračovat jiným směrem anebo se zastaví v konečné stanici.
Problematika volby koncových stanic.
Většina úvah vyplývá z úvodu tohoto návrhu. Bude to místo, kde je velká spotřeba
materiálů a zemědělské produkce, anebo kde se vyprodukuje velké množství produktů, které
potřebuje hustě zalidněná oblast dodat do jiných oblastí. Nalézt taková místa není v zásadě
velký problém, ale nejdůležitější je nalezení míst, která si vyměňují zboží mezi sebou. Ale i
toto je určitě možné najít.
Tím však problém nekončí. Je zapotřebí rozhodnout, jakého tvaru bude průřez
dopravní trasy a jakým způsobem se bude stavět. Pokud se bude tunel razit hornickým
způsobem, tak může být vedený téměř přímo a to bez ohledu na kopce, hory, suchá místa
nebo zemědělské a lesní půdy. Také je možné razit tyto tunely např. pod dálnicemi, kdy
budou malé starosti s majiteli pozemků, pokud ne vůbec žádné. Další z problémů je
překonávání přírodních překážek, jako např. skutečné terénní podmínky na plánované trase,
- 53 -
rokle, strže, skaliska, vodní překážky, přístup k místům pro protlačování apod.
5. JAK PŘISTOUPIT K ŘEŠENÍ DISKUTOVANÉHO PROBLÉMU
Problém trvalého rozvoje dopravy se týká dopravy ve velkém hustě zalidněném
prostoru. Podle názoru autora to je právě Evropa a to zvláště střední Evropa. Proto je nutné
začít řešit tento problém právě v tomto prostoru. Díky organizaci Evropské unie je velmi
účelné nastartovat tento projekt co nejdříve. Představa autora je taková, že se z každého
zúčastněného státu vyberou 2 až 3 významní pracovníci vhodného profesního složení. To je
pro úspěch řešení to nejdůležitější. Tento pracovní tým začne řešit jednotlivé problémy
projektu. Které? Ty, které byly naznačeny. Samozřejmě, že se objeví další dílčí a náročné
úkoly, ale to se ukáže až v průběhu řešení. Náklady na práci skupiny takových pracovníků
s dobrými, ne-li s výbornými tvůrčími schopnostmi, nebudou v prvých dvou až tří letech
velké. Teprve pak, podle výsledků práce se zhodnotí znovu další postup. V té době již bude
vhodné, ne-li nutné začít s vývojem jednotlivých prvků, které budou stavebními kameny
projektu. Samozřejmě se předpokládá, že nositelem projektu bude Česká republika, ale to
záleží na tom, kde se objeví ta pravá osobnost pro vedení takového pracovního týmu. Pro
zahájení projektu připravuje skupina českých odborníků žádost o finanční podporu projektu,
který by byl základem pro zahájení této tvůrčí práce.
6. PŘÍNOSY ŘEŠENÍ
Hlavním přínosem uvažovaného projektu bude příprava jediné možnosti, jak zajistit
trvalý rozvoj dopravy. Toto však není jediný přínos.
Vyřešení ekonomického způsobu vytvoření podzemní dopravní trasy, zvláště bez
ovlivnění povrchových objektů, znamená možnost ražení tunelů menšího průřezu v podzemí
měst. To znamená možnost výrazné inovace vytvoření minikolektoru pro ukládání a údržbu
inženýrských sítí ve městech. V hustě zalidněných částech tak vznikne možnost vhodného
způsobu ražení stok, což bude přínosem pro jejich snadné čištění a údržbu provozu. Větší
průměr stok znamená větší kapacitu volného prostoru a tedy menší nebezpečí zatopení
sklepních části při přívalových deštích.
Vyřešení vhodného způsobu pohonu kontejnerů znamená také řešení pohonu jednotek
pro přepravu lidí, byť za jiných podmínek než při dopravě materiálu.
Vyřešení mobilní manipulace s kontejnery při vkládání kontejneru do dopravní trasy
ve vstupním terminálu a manipulace při vyjímaní kontejneru z dopravního terminálu, se určitě
využije pro operativní manipulaci s kontejnery i při běžné distribuční a zabezpečovací
logistice i v případě, že ještě nebude realizován celý projekt.
7. ZÁVĚR
Závěrem je nutné znovu upozornit na to, že přepravní kapacita současných dopravních
koridorů a také dopravních prostředků se rychle blíží své maximální kapacitě. Proti tomu
vystupuje skutečnost, že taky rychle rostou požadavky na další a další přepravu. Tyto dvě
protichůdné skutečnosti se poměrně brzy projeví téměř kolapsem v dopravě. Skutečně může
nastat, že se dopravní koridory nějakým méně vhodným zásahem zahltí natolik, že se
přeprava buď zastaví úplně, nebo se zpomalí na neúnosnou mez. Když k tomu přiřadíme
pohled na vliv dopravy na životní prostředí, a to jak z hlediska exhalací, hluku, záboru půdy,
znečištění vod a znečištění vzduchu, tak musíme přijmout názor, uvedený v úvodu. Všechno,
co je možné, je nutné vytvořit pod povrchem země, aby ten zůstal vhodný pro život lidí a
přírody jako celek. Právě pro dopravu to platí bez výhrad, protože právě v dopravě je to
prakticky jediné možné řešení dalšího rozvoje.
Řešení diskutovaného problému nesnese odklad, a proto se autor znovu, po 15 létech,
- 54 -
vrací k tomuto návrhu a nabádá společnost na urychlené zahájení výzkumných a vývojových
prací v oblastech, které jsou v příspěvku naznačeny. Uvědomme si, že od myšlenky k její
realizaci uběhne často velmi dlouhá doba. Proto hledejme již teď dobré myšlenky a návrhy, ať
nám následující generace nenadává, že jsme zanedbali všechno, co bylo možné.
LITERATURA
Bunta, J.: Saharan great artificial river. Original source Encyclopedia Britannica (Líbya),
Slovakia Photos.com (Slovensko), Slovenský článek, 2010
Malindžák, D.: Logistika – dynamizujúcí factor svetovej ekonomiky, (Logistics - a dynamic
global economy Factor). - Ecopress a.s., 2006. s 10-11
Strakoš, V.: Project of the research Underground programme transport of materials in Europe.
Vlastní návrh na řešení takového projektu. - VŠB Ostrava, 2000.
Voženílek, V. – Strakoš, V. a kol.: City logistics – dopravní problémy města a logistika. - UP
Olomouc a VŠLG Přerov, 2009. ISBN 978-80-244-2317-3. 192 str.
SUMITOMO METALS: Firemní materiály firmy . - Japonsko 1989
Recenzoval Prof. Dr. Ing. Otto Pastor, CSc.
- 55 -
MODELY PRO ŘEŠENÍ
ROZHODOVACÍCH ÚLOH V LOGISTICE I
Ing. Dušan Teichmann, Ph.D.
VŠB-Technická univerzita Ostrava, e-mail: [email protected]
Ing. Alessandra Grosso
Ing. Martin Ivan
Abstrakt
Článek se věnuje využití lineárního programování v logistice. Je první částí z několika
příspěvků, které na sebe tematicky navazují. V teoretické části článku je popsána tvorba
lineárních modelů a jejich řešení. Výpočetní část pak obsahuje dva demonstrační příklady –
modely pro řešení úlohy o mediánu sítě a lokační úlohy.
Abstract
There are the improvement of linear programming method in the logistic presented in
this paper. The description of linear model construction is presented in the first part of the
paper. The demonstration of two types of linear models solution is presented in the second
part of the paper.
Klíčová slova
rozhodování v logistice, optimalizace v logistice, lineární programování, matematické
modelování
Key words
logistics decision, logistics optimization, linear programming, mathematical modelling
1. ÚVOD
Schopnost přijímat rozhodnutí se očekává od každého řídícího pracovníka podniku.
Rozhodování řídících pracovníků na různých stupních řízení mohou být různého charakteru.
Může jít např. o rozhodnutí týkající se plánu výroby nebo distribuce zboží. Při řešení
rozhodovacích úloh bývá po řešiteli zpravidla požadováno, aby navržené řešení bylo účelné
a efektivní. Účelnost a efektivita řešení bude určitě zaručena, podaří-li se řídícímu
pracovníkovi navrhnout optimální řešení nebo také zkráceně optimum (optimální = za daných
vstupních podmínek nejlepší dosažitelné). V této souvislosti bývá mnohdy místo pojmu
optimální řešení nesprávně používán pojem nejoptimálnější řešení (zkrácenou verzi tohoto
pojmu český jazyk nezná). Nevhodnost, ale zejména irelevance tohoto pojmu spočívá v tom,
že maximální dosažitelná efektivita je zahrnuta již v pojmu optimalita, nelze tedy ještě mezi
maximálně efektivními řešeními vyhledávat to nejlepší.
Tvrdit, že se v průběhu řešení podařilo najít optimum, však může řešitel pouze
v situacích, kdy má, buď použitá metoda v sobě „zabudován“ test optimality (je matematicky
prokázáno, že zlepšování efektivity posledního dosaženého řešení již není dále možné) nebo
v situacích, podaří-li se řešiteli z pohledu hodnot optimalizované veličiny prozkoumat
- 56 -
všechna přípustná řešení, která může úloha mít (což však nebývá, zejména u rozsáhlejších
úloh realizovatelné).
Nejčastěji používaným nástrojem v rozhodování je lineární programování. Rozšířenost
jeho používání i jeho oblíbenost u řešitelů lze zdůvodnit především tím, že seznamování
s jeho základními principy nebývá pro začínajícího řešitele, ve srovnání s ostatními nástroji,
příliš obtížné (vysvětlení základních principů se dá velice názorně znázornit graficky)
a možnosti jeho uplatnění jsou široké (ekonomika, logistika, doprava apod.). Další, v pořadí
však neméně však důležitou, výhodou metod lineárního programování je jejich schopnost
nacházet při řešení rozhodovacích úloh optimální řešení (na rozdíl od mnoha jiných skupin
metod pro řešení). Lineární programování se však vyznačuje také určitými nevýhodami,
k nimž patří neschopnost nacházet optimum u rozsáhlejších úloh v dostatečně krátkém čase
a značná výpočetní náročnost v případech, jsou-li proměnným v matematických modelech
přiděleny některé typy definičních oborů (viz dále). Nevýhodou také bývá, že v některých
případech nelze přípustnými postupy používanými v lineárním programování (bude
rozvedeno dále) namodelovat některá požadovaná omezení, některé požadované vazby nebo
optimalizační kritéria. S ohledem na výše uvedené výhody však do budoucna zůstává úloha
lineárního programování při řešení mnoha typů rozhodovacích úloh, i přes zmíněné
nevýhody, nezastupitelná.
2. NĚKOLIK ZÁKLADNÍCH INFORMACÍ K LINEÁRNÍMU PROGRAMOVÁNÍ
Lineární programování je výhodné používat zejména při rozhodování
s dlouhodobějším časovým horizontem (strategického, taktického) a v úlohách, kdy řešení je
v čase stabilní (např. plánujeme pravidelný způsob zásobování distribuční sítě).
Některé úlohy řešitelné metodami lineárního programování jsou úspěšně řešitelné také
jinými přístupy, např. dynamickým programováním, metodami teorie grafů apod.. Dosud
uvedené přístupy mají zpravidla tu výhodu, že se pomocí nich podaří najít optimální řešení.
V literatuře někdy také bývají označovány názvem exaktní metody. Alternativu k nim,
zejména není-li k dispozici pro řešení k dispozici dostatek času nebo selhávají-li výpočetní
prostředky pro řešení lineárních modelů z důvodů výpočetní náročnosti, představují
heuristické metody. Heuristické metody nespadají do lineárního programování a bude jim
podrobněji věnována pozornost v některém z dalších čísel tohoto časopisu. Zmiňme alespoň,
že jejich hlavní výhodou je, že při volbě vhodné heuristické metody dokážeme najít
„dostatečně efektivní řešení“ v čase, který máme k dispozici, ovšem bez jistoty nalezení
optimálního řešení (což nevylučuje, že optimum najdeme, nevíme ovšem, že jsme jej získali).
Nastává-li situace, kdy je pro řešení konkrétního problému k dispozici více přístupů,
volí se pro řešení zpravidla ten přístup, který je z hlediska řešení nejefektivnější. Jelikož však
v současnosti existuje celá řada výkonných a poměrně snadno dostupných nástrojů pro řešení
i rozsáhlých úloh lineárního programování, přistupuje se k lineárnímu programování, jak již
bylo řečeno, nejčastěji. Základním krokem pro použití metod lineárního programování však
i nadále zůstává sestava matematického modelu.
2.1. Výchozí poznatky pro konstrukci lineárního modelu
Matematickým modelem rozhodovacího problému se obecně rozumí soustava
algebraických výrazů, které vyjadřují optimalizovanou veličinu a omezení, která mají být
při řešení dodržena. Pro sestavu matematických modelů rozhodovacích úloh neexistuje
jednoznačný návod. Je to způsobeno faktem, že každá rozhodovací úloha se vyznačuje
určitými specifiky, tzn., musí se v nich zohledňovat různá omezení, činí se v nich různá
rozhodnutí apod. V odborné literatuře, např. (Janáček, 1999), byla publikována alespoň určitá
- 57 -
doporučení, která je vhodné při sestavě matematických modelů dodržovat. Zmiňovaná
literatura doporučuje následující obecný postup:
1. provede se analýza optimalizačního kritéria pomocí rozboru rozhodnutí, na kterých
optimalizační kritérium závisí, zvolí se vhodné typy proměnných modelujících jednotlivá
rozhodnutí a sestaví se účelová funkce,
2. postupně se analyzují jednotlivá omezení a vyjádří se pomocí konstant a funkcí daných
zadáním úlohy a pomocí již zavedených proměnných. Je-li to z hlediska zachování správné
logické funkce zapotřebí, zavedou se další proměnné a vytvoří se vztahy mezi proměnnými,
3. provede se analýza jednotlivých podmínek a proměnných zaměřená na to, zda některé
proměnné nebo podmínky není možno vyjádřit pomocí ostatních. Pokud je to možné, model
se zjednoduší (zpravidla se bude řešit rychleji a s menší potřebou operační paměti počítače).
Celou řadu úloh včetně matematických formulací některých speciálních typů funkcí
nebo omezení, tak aby uvedené vztahy zůstaly lineární, lze najít také v (Jablonský, 2007),
(Janáček a kol., 2010) a (Plevný-Žižka, 2005).
Tvorba matematického modelu rozhodovacího problému je tedy do jisté míry tvůrčím
přístupem. Chce-li být začínající řešitel při sestavě lineárního modelu úspěšný, doporučuje se
studovat úspěšné přístupy různých autorů publikovaných v minulosti a pomocí nich se snažit
vystihnout co nejpřesněji přesně podstatu řešeného problému.
Klíčovou fází předcházející tvorbě jakéhokoliv rozhodovacího problému je formulace
(zadání) problému. Z formulace problému musí být zřejmé, které veličiny jsou pro výpočet
k dispozici, o čem se má v rámci řešení rozhodnout (jedná se o rozhodovací problém) a musí
být známo, na základě jaké veličiny se bude posuzovat výhodnost získaného řešení
ve srovnání s řešeními jinými (Teichmann, 2011). Toto jsou pro řešitele klíčové kategorie,
které musí od zadavatele získat. Bez dokonalého poznání uvedených kategorií může nastat
situace, že po vyřešení úlohy nebude zadavatel s výsledky spokojen, protože nebude
akceptovat jeho původní představy. Jiná možnost je, že zadavatel formuluje požadavky
na rozhodnutí a optimalizační kritérium a řešitel následně formuluje, jaké vstupní údaje
potřebuje pro řešení. Pro řešitele je ideální, jsou-li kromě výše uvedených kategorií veličin,
zadavatelem formulována také omezení, která mají být při řešení úlohy dodržena. Nelze
ovšem spoléhat na to, že zadavatel bude ještě před zahájením sestavy modelu schopen
vyčerpávajícím způsobem formulovat všechny podstatné faktory, které jsou pro konstrukci
logicky správně funkčního modelu zapotřebí. Úzká spolupráce mezi zadavatelem a řešitelem
je tedy zejména při formulaci úlohy nezbytně nutná.
Pro řešení některých typů úloh existuje pouze jeden typ matematického modelu,
v případě některých typů úloh se však v literatuře lze setkat s různými tvary modelů. Tento,
pro matematiku charakteristický rys, vyplývá ze skutečnosti, že některé vztahy (zejména se to
týká omezujících podmínek) lze naformulovat matematicky různými způsoby, což bude
v závěru článku demonstrováno na jednoduchém příkladu. Jen připomeňme, že v matematice
se běžně vyskytují případy, kdy některou úlohu lze řešit více způsoby nebo lze použít různé
vzorce pro výpočet hodnoty stejné veličiny.
Jak již bylo uvedeno, pracujeme v lineárním programování se dvěma skupinami
hodnot. S hodnotami, které se v průběhu výpočtu nemění a jsou zadány (v souvislosti
s modelem hovoříme o konstantách) a hodnotami, které se v průběhu výpočtu mění
(v souvislosti s modelem hovoříme o proměnných). Označení veličin (konstant
i proměnných), které budou v modelu vystupovat, volí řešitel. Bývá doporučováno volit
takový způsob označení, aby označení použitých veličin bylo na jednu stranu
co nejjednodušší a zároveň v sobě neslo všechny podstatné informace, tzn., aby byl
po skončení výpočtu bez větších problémů identifikovatelný význam jednotlivých hodnot.
- 58 -
Počet proměnných, které se do úlohy zavádí, závisí na počtu rozhodnutí, která se mají
při řešení úlohy vykonat. Může se ale stát, že v některých případech je zapotřebí, aby byly
do modelu zavedeny i další pomocné proměnné, pomocí kterých se např. budou vytvářet
určité vazby mezi proměnnými modelujícími reálná rozhodnutí.
Každá proměnná, která v lineárním modelu vystupuje, musí mít před zahájením
výpočtu určen svůj definiční obor. V lineárním programování se vyskytují tři typy definičních
oborů:
1. množina nezáporných čísel,
2. množina celých nezáporných čísel,
3. množina hodnot 0 a 1 (proměnným s tímto definičním oborem se říká bivalentní).
Definiční obory proměnných se volí v závislosti na povaze rozhodnutí,
která proměnné modelují, a která se od řešitele očekávají. V některých případech lze
pro zavedenou proměnnou volit pouze jediný z výše uvedených definičních oborů, v ostatních
případech máme více možností. Např. modeluje-li proměnná časový údaj (a je-li to přípustné),
může být její definiční obor tvořen jak množinou nezáporných čísel, tak i množinou
nezáporných celých čísel).
Modeluje-li proměnná rozhodnutí o tom, zda provozovat či neprovozovat v nějakém
místě mezisklad, potřebujeme takový definiční obor, který bude poskytovat pouze dvě
možnosti (rozhodnutí v úloze umísťování skladů jsou rozhodnutí typu ano – ne). V takových
případech se volí definiční obor obsahující pouze dvě hodnoty a tímto definičním oborem je
definiční obor bivalentních proměnných (hodnoty 0 a 1). Při volbě bivalentní proměnné se
zpravidla uplatňuje užívaná konvence a to, že pozitivní rozhodnutí je modelováno hodnotou
1, negativní rozhodnutí hodnotou 0. Jak však bude v závěru článku také na konkrétním
případě ukázáno, lze volit i inverzní způsob přiřazení hodnot. Má to sice vliv na konstrukci
modelu, ovšem dosažená efektivita obou řešení je z pohledu optimalizačního kritéria stejná.
Nachází-li se v případě některé proměnné mezi možnými definičními obory množina
nezáporných čísel, je doporučeno tuto množinu vždy upřednostnit. Velice lapidárně řečeno, je
to proto, že současné výpočetní prostředky mají v případě spojitého lineárního programování
(modely obsahující pouze nezáporné proměnné) řádově vyšší možnosti pro řešení zadané
úlohy. Vždy je však nutno posuzovat, zda je náhrada podmínek celočíselnosti nezápornosti či
bivalence podmínkami vyžadujícími prostou nezápornost vhodná. V případech, kdy
optimalizační software časově nebo kapacitně nezvládají výpočet, je však uvedená náhrada
jediným možným řešením. Je však třeba počítat s problémy, které zpravidla nastanou ve fázi
interpretace získaného řešení. Při nevhodné nebo nezbytné náhradě množin celočíselných
nezáporných proměnných a množin hodnot 0 a 1 množinami nezáporných hodnot by se
na první pohled mohlo zdát, že řešením by mohlo být pouhé zaokrouhlení neceločíselných
hodnot na hodnoty celočíselné. V této souvislosti je nutno však upozornit na jednu důležitou
skutečnost a to, že zaokrouhlování hodnot neceločíselných proměnných v řešení, které je
požadováno jako celočíselné, může z hlediska hledání řešení způsobit nečekané problémy,
v některých případech může po zaokrouhlení vzniknout i řešení nepřípustné. Zaokrouhlování
neceločíselných hodnot proměnných, jako takové, není zakázáno, nicméně opět je nutno
připomenout, že při použití tohoto postupu při úpravě výsledků získaných metodou
nepřihlížející k podmínkám celočíselnosti proměnných, nejenže nemáme jistotu nalezení
optimálního řešení, ale navíc je nutno následně prověřovat přípustnost zokrouhleného
celočíselného řešení.
Jak plyne z výše uvedeného textu, množinu přípustných řešení vymezuje soustava
omezujících podmínek. Přípustnost zaokrouhleného celočíselného řešení tedy prověříme tak,
že zaokrouhlené hodnoty proměnných dosadíme do soustavy omezujících podmínek. Jsou-li
všechny omezující podmínky splněny, potom zaokrouhlené řešení je přípustné.
- 59 -
Poznamenejme, že stejným způsobem (dosazováním hodnot proměnných do soustavy
omezujících podmínek) se prověřuje přípustnost řešení v případě jakéhokoliv modelu.
2.2. Struktura lineárního modelu
Každý lineární model má, jak již částečně vyplývá z předchozího textu, předepsánu
závaznou strukturu. Skládá se ze dvou základních částí – soustavy omezujících podmínek
a účelové funkce reprezentující optimalizační kritérium.
Obecně soustava omezujících podmínek vymezuje množinu přípustných řešení
úlohy. Omezující podmínky se dělí do dvou skupin – na strukturální a obligatorní.
Strukturální podmínky vyjadřují reálná omezení, příp. vytvářejí vazby mezi proměnnými.
Obligatorní podmínky vymezují definiční obory proměnných, které v úloze vystupují. Počet
strukturálních podmínek závisí na počtu omezení, která v úloze vystupují a počtu vazeb, které
musí být mezi hodnotami proměnných vytvořeny, počet obligatorních podmínek je vždy
roven počtu proměnných, které v úloze vystupují. V případě strukturálních podmínek
vyjadřujících reálná omezení musí být splněna podmínka jednotkové konzistence, tzn.,
že jednotka veličiny na jedné straně omezující podmínky musí odpovídat jednotce veličiny
na druhé straně omezující podmínky, v případě vazebních podmínek tomu tak být nemusí.
Účelová funkce vyjadřuje funkční vztah, pomocí kterého vypočítáme hodnotu
optimalizované veličiny. Např. máme-li minimalizovat náklady, musí být účelová funkce
tvořena vztahem, na základě kterého lze náklady vypočítat. Účelová funkce musí v sobě
obsahovat všechny varianty výpočtu hodnoty optimalizované veličiny, které se mohou
při řešení vyskytnout. Pokud některá varianta v účelové funkci chybí, algoritmus
při optimalizaci k variantám nezohledněným v účelové funkci nepřihlíží.
Při konstrukci účelové funkce a soustavy omezujících podmínek lze v lineárním
programování používat pouze některé početní operace s proměnnými a některá relační
znaménka. Výrazy obsahující proměnné je dovoleno sčítat, odčítat a násobit reálnou
konstantou. Při tvorbě omezujících podmínek je povoleno používat relační znaménka ≥, ≤, =.
Použitím jiných pravidel, než která jsou uvedena v předchozích dvou větách, se získá
nelineární model. Nelineární modely se však řeší daleko komplikovaněji, než modely lineární,
některé typy nelineárních modelů nejsou řešitelné vůbec, protože pro ně není sestavena
vhodná metoda. Proto existuje oprávněná snaha vyhýbat se při řešení rozhodovacích úloh
nelineárním modelům, pokud jejich použití není nezbytně nutné. Pokud se již nelineární
model vyskytne, vždy existuje snaha, aby byl transformován na model lineární. Někdy to však
není možné, někdy je to možné jen za cenu zvětšení rozsahu modelu, tj. zvýšení počtu
proměnných či omezujících podmínek, někdy je nutno zvětšit rozsah modelu obojím
způsobem.
2.3. Řešení lineárních modelů
Na začátku podkapitoly věnované řešení lineárních modelů shrňme, jaké případy se
při řešení úlohy lineárního programování mohou vyskytnout. V zásadě se jedná o tři případy:
1. úloha má optimální řešení (může být jedno, může jich být více, ale i nekonečně mnoho),
2. úloha nemá optimální řešení, protože množina přípustných řešení je prázdná (nelze splnit
všechna požadovaná omezení současně),
3. optimální řešení nelze najít, protože množina přípustných řešení je ve směru optimalizace
neohraničená.
Z případu č.1 vyplývá i jeden důležitý poznatek. Existuje-li při řešení úlohy více
optimálních řešení (pokud v podmínkách spojitého lineárního programování existuje více
optimálních řešení, je jich zároveň nekonečně mnoho), mohou různí řešitelé dospět k různým
řešením, která prohlásí za optimální (samozřejmě se může stát, že k různým řešením dospěje
- 60 -
při použití ekvivalentních přístupů i stejný řešitel). Různost dosažených optimálních řešení se
však projevuje pouze v konkrétní kombinaci hodnot jednotlivých proměnných, hodnoty
účelové funkce musí být ve všech případech stejné.
Nejčastěji používanou metodou pro řešení úloh spojitého lineárního programování
(tj. úloh, ve kterých se u proměnných jako definiční vyskytují pouze množiny nezáporných
čísel) je simplexová metoda – a to v primárním i duálním tvaru. V případě výskytu
celočíselných proměnných v modelu se pak daná úloha řeší nejčastěji kombinací simplexové
metody a algoritmů používajících k získání celočíselných řešení tzv. řezné (někdy se místo
termínu řezné používá také výrazu sečné) nadroviny. Nadrovina je pojem používaný
v lineárním programování a vyjadřuje geometrický útvar v prostorech Ei , kdy i ≥ 4 ,
odpovídající v E3 rovině nebo v E 2 přímce reprezentující účelovou funkci. Nejčastěji se
při řešení úloh s požadavkem na celočíselnost a nezápornost používají tzv. Gomoryho
algoritmy (Janáček, 1983) nebo algoritmy založené na principu metody větví a mezí (PlevnýŽižka, 2005), v případě úloh s bivalentními proměnnými se často využívá Littlova algoritmu
(Volek, 2001), ale i dalších algoritmů.
Z hlediska řešení je v lineárním programování důležité zabývat se i otázkou
rozsáhlosti sestaveného modelu. Rozsáhlost modelu se posuzuje podle počtu omezujících
podmínek a počtu proměnných. Zpravidla platí, že čím menší je rozsáhlost modelu, tím lépe
se model řeší (ovšem neplatí to vždy). Výzkum otázek efektivity modelů je důležitý zejména
u rozsáhlejších úloh, kde řešitele zajímá i doba, po kterou výpočet trval (samozřejmě
v závislosti na parametrech použitého počítače). Odpovědi na uvedené otázky jsou důležité
zejména v situacích, kdy je k rozhodování pouze omezená doba.
3. DVA DEMONSTRAČNÍ PŘÍKLADY K TEORII POPSANÉ V KAPITOLE 2
V úvodních pasážích článku bylo zmíněno uvedení dvou příkladů zaměřených
na možnou variabilitu matematických modelů řešících stejné typy úloh. V následujících dvou
jednoduchých příkladech bude uvedená variabilita prakticky demonstrována.
Na prvním příkladu – úloze o vyhledání mediánu v dopravní síti, lze dokumentovat,
že stejného efektu lze dosáhnout, použije-li se v přiřazování hodnot u bivalentních
proměnných běžně užívaná konvence, tj. kdy kladnému rozhodnutí je přisuzována hodnota 1
a zápornému rozhodnutí je přisuzována hodnota 0. Sestavený model bude možno následně
porovnat s modelem stejného typu úlohy v situaci, kdy se této konvence nevyužije.
Ve druhém příkladu pak bude na příkladu lokační úlohy ukázáno, jak lze variantně
zabezpečit totéž omezení plynoucí ze zadání s dopadem na rozsah modelu.
3.1. Příklad 1 – úloha o vyhledání mediánu v dopravní síti
Je dána neorientovaná hranově ohodnocená dopravní síť. Vrcholy sítě (jejich počet
označíme n ) reprezentují významná místa v síti, hrany komunikace, které je spojují.
Ohodnocení hran reprezentuje délku přímé cesty mezi sousedními vrcholy grafu. Pro každou
dvojici vrcholů vi a v j je známa jejich vzdálenost dij . Úkolem je napsat matematický model,
který umožní vyhledat takový vrchol sítě, ze kterého je součet vzdáleností ke všem ostatním
vrcholům sítě minimální, tzv. medián sítě.
Pozn.: Při řešení zadané úlohy se bude předpokládat, že mediánem sítě může být
kterýkoliv z vrcholů sítě. Vzdáleností z vrcholu vi do vrcholu v j se rozumí délka minimální
cesty z vrcholu vi do vrcholu v j , tj. takové cesty, kdy součet ohodnocení hran, které na ní leží,
- 61 -
je minimální (Volek, 2001). Cestou v grafu se rozumí střídavá posloupnost vrcholů a hran,
začínající a končící ve vrcholu, ve které se nesmí opakovat žádná hrana.
Řešení úlohy – přístup č. 1
Do úlohy zavedeme proměnnou yi , která modeluje rozhodnutí, zda vrchol sítě bude
( yi = 1 ) nebo nebude ( yi = 0 ) mediánem sítě. Protože pro každý vrchol zavedeme
samostatnou proměnnou yi (u každého vrcholu se totiž rozhoduje), bude počet proměnných
vystupujících v úloze roven počtu vrcholů sítě.
Matematický model úlohy o vyhledání mediánu v dopravní síti při použití běžné
konvence v přiřazování významu hodnotám bivalentních proměnných bude mít tvar (Janáček,
2007):
n
n
min f ( y ) = ∑∑ d ij yi
(1)
i =1 j =1
za podmínek:
n
∑y
i =1
i
=1
(2)
yi ∈ {0,1}
pro i = 1,..., n
(3)
Výraz (1) reprezentuje účelovou funkci – součet vzdáleností ke všem ostatním vrcholům
v případě aktuálně testovaného vrcholu. Omezující podmínka (2) zajišťuje, že z možných
vrcholů bude vybrán právě jeden. Skupina omezujících podmínek (3) vymezuje definiční
obory jednotlivých proměnných.
Řešení úlohy – přístup č. 2
Do úlohy zavedeme proměnnou yi , která modeluje rozhodnutí, zda vrchol sítě bude
( yi = 0 ) nebo nebude ( yi = 1 ) mediánem sítě.
Matematický model úlohy bude mít však tentokrát tvar
n
n
min f ( y ) = ∑∑ d ij (1 − yi )
(4)
i =1 j =1
za podmínek:
n
∑ (1 − y ) = 1
i =1
(5)
i
yi ∈ {0,1}
pro i = 1,..., n
(6)
Význam výrazu (4) reprezentuje účelovou funkci, význam omezující podmínky (5) je stejný
jako v případě omezující podmínky (2), podmínky (6) jsou podmínky obligatorní, tzn.,
že vymezují definiční obory proměnných.
S ohledem na záměr, ukázat pouze variantní přístupy k tvorbě matematických modelů,
upustíme v příkladě 1 od jejich vlastního řešení.
3.2. Příklad 2 – lokační úloha
Je dána dopravní síť. V zadané síti je rozmístěno n spotřebitelů, u každého
spotřebitele S j , kde j = 1,..., n je znám jeho požadavek b j za určité období. Dále je známo
m lokalit, ve kterých se uvažuje o provozování meziskladů, a prostřednictvím kterých budou
spotřebitelé zásobováni. Provoz meziskladu v lokalitě Li , kde i = 1,..., m , vyvolá za dané
- 62 -
období náklady ve výši f i , pro každou relaci Li → S j jsou dále známy celkové náklady cij
plynoucí z přiřazení spotřebitele S j lokalitě Li v daném období. Uvažujme, že jsou
odhadnuty denní náklady na provoz meziskladů v jednotlivých lokalitách a známy denní
náklady plynoucí z přiřazení jednotlivých spotřebitelů jednotlivým meziskladům.
Odhad denních nákladů na provoz skladů v jednotlivých lokalitách reprezentuje
poslední sloupec v první části tabulky. Úkolem je rozhodnout, ve kterých lokalitách budou
provozovány mezisklady a jakým způsobem budou provozovaným meziskladům přiřazení
spotřebitelé tak, aby se minimalizovala hodnota celkových denních nákladů plynoucích
z provozu systému (tj. jak na provoz meziskladů, tak i na zásobování zákazníků).
Pozn.: Při řešení zadané úlohy se bude předpokládat, že je přípustné zásobovat
všechny spotřebitele ze kterékoliv lokality.
Řešení úlohy
V úloze je třeba rozhodovat dvojím způsobem – o tom, zda budou či nebudou
v jednotlivých lokalitách provozovány mezisklady a o tom, zda budou či nebudou spotřebitelé
přiřazeni jednotlivým lokalitám v případech, kdy v nich budou vybudovány mezisklady.
Z toho důvodu se do úlohy zavedou dvě skupiny bivalentních proměnných. První skupinu
budou tvořit proměnné modelující rozhodnutí o provozování meziskladů v jednotlivých
lokalitách. Označme proměnnou modelující rozhodnutí o provozování meziskladu v lokalitě
Li např. yi . Nechť, když y i = 1 , mezisklad v lokalitě Li bude provozován, když y i = 0 ,
potom mezisklad v lokalitě provozován nebude. Druhou skupinu proměnných budou tvořit
proměnné, jejichž úkolem bude modelovat přiřazení spotřebitelů meziskladům. Označme
proměnnou modelující uvedené rozhodnutí např. xij . Nechť, když xij = 1 , spotřebitel S j bude
přiřazen meziskladu v lokalitě
Li
(bude z meziskladu provozovaného v lokalitě
Li
zásobován), když xij = 0 , spotřebitel S j nebude přiřazen meziskladu v lokalitě Li (nebude
z meziskladu provozovaného v lokalitě Li zásobován).
Při konstrukci soustavy omezujících podmínek je třeba vědět, že v lokační úloze je
vyžadováno, aby každý spotřebitel byl zásobován právě z jednoho místa (meziskladu).
Při konstrukci modelu je dále zapotřebí si uvědomit, že rozhodnutí, která v úloze provádíme,
spolu souvisejí. Důležitou úlohu v soustavě omezujících podmínek proto bude mít skupina
podmínek, která bude zajišťovat, že v důsledku rozhodnutí, že v některé z lokalit nebudeme
provozovat mezisklad, nesmí být této lokalitě přiřazen žádný ze spotřebitelů a přiřadíme-li
některého ze spotřebitelů určité lokalitě, musí v ní dojít k provozování meziskladu.
Matematický model úlohy lokační úlohy má nejčastěji tvar (Janáček, 1999):
m
m
n
i =1
i =1 j =1
min f ( x, y ) = ∑ f i yi + ∑∑ cij xij
(7)
za podmínek:
m
∑x
i =1
ij
=1
xij ≤ yi
xij ∈ {0,1}
y i ∈ {0,1}
pro j = 1,..., n
(8)
pro i = 1,..., m a j = 1,..., n
(9)
pro i = 1,..., m a j = 1,..., n
(10)
pro i = 1,..., m
(11)
Funkce (7) reprezentuje optimalizační kritérium – celkové náklady vyvolané potřebou
distribuovat zboží z meziskladů spotřebitelům. Jak je zápisu účelové funkce patrné, je složena
- 63 -
ze dvou složek. První složka reflektuje náklady související s provozem meziskladů, druhá
složka potom náklady plynoucí z vlastního přiřazení spotřebitelů meziskladům. Skupina
omezujících podmínek (8) zajistí, že každý spotřebitel bude přiřazen právě jednomu
meziskladu. Počet podmínek odpovídá počtu spotřebitelů. Skupina omezujících podmínek (9)
zajišťuje výše zmiňovanou vazbu mezi proměnnými modelujícími rozhodnutí o provozování
meziskladů v jednotlivých lokalitách a přiřazení spotřebitelů těmto meziskladům. Počet
podmínek odpovídá součinu počtu lokalit a spotřebitelů. Skupiny omezujících podmínek (10)
a (11) vymezují definiční obory jednotlivých proměnných.
Velikost modelu
Počet proměnných:
Počet omezujících podmínek:
m+m n
m+n+2 m n
(12)
(13)
Skupinu omezujících podmínek (9) lze nahradit variantně a to ve tvaru (Janáček, 1990):
n
∑x
j =1
ij
≤ n yi
pro i = 1,..., m
(14)
Velikost modelu se při náhradě skupiny podmínek (9) skupinou omezujících podmínek (14)
změní následovně:
Počet proměnných:
Počet omezujících podmínek:
m+m n
2 m+n+m n
(15)
(16)
Na závěr části věnované příkladům budeme dokumentovat výpočetní náročnost obou
modelů lokační úlohy.
Za účelem dokumentace rozdílnosti výpočetní náročnosti měřené dobou, po kterou
trvalo řešení modelu, byly se stejnou úlohou provedeny v optimalizačním software XpressIVE dva experimenty, první s modelem (7) – (11) a druhý s modelem (7) – (8), (10) – (11)
a (14). Oba modely jsou ekvivalentní, jak však bude ukázáno, doba výpočtu se u obou modelů
liší. Nechť je tedy dáno 19 lokalit ( m = 19 ), ve kterých je uvažováno s provozováním
meziskladů a 20 spotřebitelů, kteří mají být zásobováni ( n = 20 ). Hodnoty celkových nákladů
plynoucích z přiřazení spotřebitelů meziskladům i odhady nákladů na denní provoz
meziskladů, budou-li vybudovány, v tis. peněžních jednotek jsou uvedeny v tab. č. 1.
Počet proměnných je v obou modelech stejný a činí podle (12) a (15) celkem 399.
Počty omezujících podmínek jsou však různé. Po dosazení do (12) dostáváme pro model (7) –
(11) celkem 799 omezujících podmínek, po dosazení do (16) dostáváme pro model (7) – (8),
(10) – (11) a (14) celkem 438 omezujících podmínek.
Po transformaci sestavených modelů do textu programu v jazyce Mosel, se kterým
pracuje optimalizační software Xpress-IVE a zadání zvolených vstupních hodnot (konstant)
bylo v obou případech získáno optimální řešení.
V případě modelu (7) – (11) bylo dosaženo řešení, které je vidět na obr. 1, v případě
modelu (7) – (8), (10) – (11) a (14) pak bylo dosaženo zcela totožného řešení. Z pohledu
praktické interpretace vypsaných hodnot to znamená, že mezisklady budou vybudovány
v lokalitách 6 a 17, z meziskladu vybudovaného v lokalitě 6 budou zásobování zákazníci 1, 3,
4, 7, 8, 9, 11, 12, 14 a 16-19, z lokality 17 budou zásobování všichni ostatní zákazníci.
Hodnocení výpočetní náročnosti lze nejlépe dokumentovat na grafických výstupech
získaných přímo z optimalizačního software. Obr. 2 dokumentuje průběh optimalizačního
výpočtu v případě modelu (7) – (11), obr. 3 dokumentuje průběh optimalizačního výpočtu
v případě modelu (7) – (8), (10) – (11) a (14). Na horizontálních souřadnicových osách je
v obou případech nanášena doba výpočtu, na vertikálních souřadnicových osách jsou
- 64 -
nanášeny dvě různé veličiny. Na grafech v horních částech jednotlivých obrázků je
na vertikálních osách vyznačen tzv. gap (vyjadřuje odchylku horního a dolního odhadu
hodnoty účelové funkce), na grafech v dolních částech jednotlivých obrázků jsou vynášeny
hodnoty horních a dolních odhadů účelové funkce. Optimální řešení úlohy je nalezeno, dojdeli k průsečíku hodnot horního a dolního odhadu.
L1
L2
L3
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
fi
18
110
14
13
17
269
14
16
17
19
320
17
11
15
13
19
16
16
163
19
19
340
16
110
12
13,2
15
168
12
16
151
19
380
L4
L5
18
138
14
15
17
19
146
19
17
15
350
14
15
10,89
17
13
204
10
20
13
23
400
L6
18
111
10
13
179
165
14
20
17
191
320
L7
179,6
16
156
13
19
164
229
162
19
19
320
L8
124
130
118
169
12
163
15
33
380
160
11
L9
18
199
14
15
10
196
14
11
17
15
380
L10
14
15
10
17
13
200
10
20
13
10
400
L11
11
14
168
13
17,8
16
14,8
20
13
23
330
L12
L13
116
16
150
172
19
16
19
16
19
15
340
18
10
12
13
18
16
12
15,4
15
33
370
L14
L15
L16
L17
L18
L19
14,8
19
14
153
101
19
14
11
12
15
390
10
12
10
15
143
13
10
20
13
19
330
11
14
162
13
170
16
14
20
13
23
400
201
16
159
17
19
16
19
162
19
15
300
18
10
12
134
186
163
12
15
15
33
295
142
19
14
15
10
19
14
110
12
15
365
S11
S12
S13
S14
S15
S16
S17
S18
S19
S20
10
130
19
184
14
15
17
18
14
12
12
13
17
18
120
15
150
286
12
10
10
15
19
20
14
170
17
209
14
14
11
13
20
184
15,9
15
189
189
15
11
L1
L2
L3
L4
L5
L6
14
92
23
14
18
116
21
14
18
8
10
10
19
18
149
11
17
18
14
20
L7
12
109
17
18
12
11
151
18
12
11
L8
101
159
19
25
14
178
17
201
9
14
L9
11
13
205
18
228
15
186
18
8
11
L10
14
19
23
196
184
15
21
14
18
181
L11
11
19
193
18
149
16
17
18
14
20
L12
L13
14
10
13
18,6
12
19
15
185
12
14
14
15
19
211
104
17
12
205
90
16
L14
L15
11
131
10
180
22
15
108
18
8
18
14
19
23
10
186
153
21
13
18
11
L16
11
19
194
183
143
166
17
18
14
20
L17
14
200
13
182
12
19
156
18
19
14
L18
14
150
19
21
140
173
12
20
9
16
- 65 -
L19
11
13
106
18
22
15
101
18
8
18
Tab. č. 1 – Soupis vstupních hodnot pro příklad č. 2
Obr. 1 Pracovní okno optimalizačního software Xpress-IVE
s výsledky řešení modelu (7) – (11)
Grafy tedy znázorňují časový vývoj hodnoty gap a vývoje hodnot horních a dolních
odhadů hodnoty účelové funkce v závislosti na době výpočtu. Je nutno zdůraznit, že při jiných
vstupních hodnotách je dosaženo odlišných tvarů jednotlivých křivek. V případě dolní části
obr. 1, která má reprezentovat průběh konvergence dolního a horního odhadu účelové funkce,
není proces přibližování tak plynulý, jako ve druhém případě, v čase 0,2 s od zahájení
výpočtu dochází ke skokovému růstu dolního odhadu hodnoty účelové funkce.
Jak je z obou grafů patrné, doba výpočtu v případě modelu (7) – (11) trvala 0,2 s, doba
výpočtu v případě modelu (7) – (8), (10) – (11) a (14) trvala 0,8 s. Z pohledu doby výpočtu se
paradoxně jako výpočetně náročnější jevilo řešení realizované s modelem (7) – (8), (10) –
(11) a (14), tedy s modelem, který má v soustavě omezujících podmínek o 361 omezujících
podmínek méně.
Výsledky experimentální části příspěvku potvrzují fakt, že v některých případech lze
nástroji lineárního programování řešit stejný typ úlohy více způsoby, zároveň je
- 66 -
dokumentováno, že existují situace, kdy model s menším počtem omezujících podmínek
paradoxně vyžaduje větší potřebu času pro řešení.
Obr. 2 Průběh řešení úlohy na základě modelu (7) – (11) v optimalizačním software XpressIVE
- 67 -
Obr. 3 Průběh řešení úlohy na základě modelu (7) – (8), (10) – (11) a (14) v optimalizačním
software Xpress-IVE
4. ZÁVĚR
Článek je věnován problematice systémů pro podporu rozhodování v logistice a je
nutno jej chápat jako první z připravované série článků věnovaných nástrojům pro řešení
rozhodovacích úloh v logistice. Hlavní pozornost je v článku soustředěna na problematiku
tvorby lineárních matematických modelů, které tvoří primární fázi řešení praktické úlohy, je-li
k řešení použito lineární programování. Protože tvorba lineárních (obecně matematických)
modelů rozhodovacích úloh je tvůrčím procesem, jsou před ukázkami sestavy modelů
základních typů rozhodovacích úloh, jak bývá v literatuře obvyklé, spíše preferovány obecné
zásady pro jejich tvorbu. Nejlépe lze však do problematiky tvorby modelů proniknout
systematickým studiem přístupů publikovaných v minulosti a důkladným porozuměním
systematiky a logiky použitých přístupů. Na různých typech úloh jsou pak prakticky
demonstrovány vybrané problémy, se kterými se lze při řešení setkat. Nejobtížnější
pro začínajícího řešitele je však vždy samostatně sestavit první funkční model.
Literatura
Jablonský, J.: Programy pro matematické modelování. – Vysoká škola ekonomická v Praze,
Praha, 2007
Janáček, J.: Operační analýza II. –Vysoká škola dopravy a spojov v Žilině, Žilina 1983
Janáček, J.: Modelování komunikačních systémů I. – Vydavatelství NADAS, Praha 1990
Janáček, J.: Matematické programování. - Žilinská univerzita v Žilině, Žilina 1999
Janáček, J.: Optimalizace na sítích. Přednášky, 2007
Janáček, J. et al.: Navrhovanie územne rozľahlých obslužných systémov. - Žilinská univerzita
v Žilině, Žilina 2010
Plevný, M.; Žižka, M.: Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování. –
Západočeská univerzita v Plzni, Plzeň 2005
Teichmann, D.: Operační analýza 2 – část I Modely pro distribuční logistiku. Studijní
materiály pro posluchače prezenční i kombinované formy studia studijního oboru
„Logistika“, Vysoká škola logistiky, o.p.s., Přerov, 2011. 32 s.
Volek, J.: Operační výzkum I. – Univerzita Pardubice, Pardubice 2001
Recenzent: Prof. RNDr. Ing. Miloš Šeda, Ph.D.
- 68 -

Zde - Vysoká škola logistiky ops

Transkript

Podobné dokumenty

Konkurence na železnici - Institut pro dopravní ekonomii, geografii a

Podzemní doprava materiálů v Evropě/Underground transportation

Forum Statisticum Slovacum, Number 6/2014

Štefan Majtán a kolektív AKTUÁLNE PROBLÉMY

Na Liptov do Vlkolínce po nové cyklotrase

systém pro kontejnerový terminál