URČITÝ INTEGRÁL a jeho aplikace Newton

URČITÝ INTEGRÁL a jeho aplikace
Newton-Leibnizova formule
Zb
a
kde F ′ (x) = f (x).
f (x) dx = F (b) − F (a),
Vlastnosti
Zc
Zb
Zc
f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx,
1)
a
2)
a
b
Za
f (x) dx = 2
Za
f (x) dx
pro f sudou,
0
−a
=0
3)
Zb
f (x) dx = −
Za
f (x) dx = 0
a
4)
kde a < b < c
pro f lichou.
Za
f (x) dx
b
a
Substituce
Zβ
Zb
t = g(x) dt = g ′ (x) dx
′
f (g(x)) g (x) dx =
= f (t) dt = F (β) − F (α)
α = g(a) β = g(b)
α
a
Per partes
Zb
Zb
b
′
f (x) g (x) dx = [f (x) g(x)]a − f ′ (x) g(x) dx
a
a
Příklady
Z2 p
1) a)
x 1 + 2x2 dx,
b)
0
Z1
0
Zπ/2
d)
2sin x cos x dx,
e)
0
2) a)
Z2
0
x2
√
dx,
x3 + 1
Z2
p
2x2
xe
b)
Zπ/2
0
dx,
f)
Zπ/4
tg x dx.
−π/4
sin x
dx,
(1 + cos x)2
Z2
c) (2x − 3)10 dx,
0
0
e)
Zπ/2
c)
sin4 x cos x dx
x4 + 3 dx,
0
Zπ/2
d)
cos(4x − π/2) dx,
0
x
3
Z3
2
1
dx,
x ln2 x
f)
Z5/4
−1/2
1
1
p
3
(4x + 3)4
dx.
g)
Z1
2x−7
3
dx,
Z1
h)
0
2x + 3
dx,
2
(x + 3x + 8)4
Z1
i)
0
Zπ/2
3) a)
x cos 2x dx,
0
Z1
b)
0
−2x
xe
dx,
c)
0
Zπ/2
d)
cos2 2x dx,
Z1
ex
dx
ex + 3
arccos x dx,
0
Zπ/2
e)
ex cos 2x dx,
0
√
Zπ/2
f)
x2 sin x dx
0
0
Nevlastní integrály
4) a)
Z∞
ln x
dx ,
x2
Z∞
x2
dx,
x3 + 1
Z2
0
x dx
√
,
2−x
Z1
x2 dx
√
,
1 − x2
Z1
b)
f)
0
5) a)
e)
0
Z∞
x
dx,
(x + 1)(x + 2)2
b)
Z2
g)
1
c)
Z0
−1
x2
1
dx,
+ 5x + 6
dx
√
.
2−x
dx
√
,
1 − x2
d)
Z2
√
1
dx
,
x2 − 1
Z∞
f)
x2 e−x dx.
0
d)
1
1 8
, e)
(e − 1),
ln 2
4
f) 0.
1
1
1
3
(1 + 311 ), d) 0, e)
−
, f) ,
22
ln 2
ln 3
8
√
4
1
1
1
g) 7
, h)
− 3 , i) 2 e + 3 − 4.
3
3 ln 3
3 8
12
2) a)
b)
1
,
2
Z2
0
x dx
√
,
x−1
Z∞
0
0
Výsledky (zcela bez záruky)
4 1√
1
13
, b)
−
3, c) ,
1) a)
3
3 2
5
4
,
3
d)
0
0
1
e)
Z∞
c)
e−4x dx,
ln x
√ dx,
x
c)
1
3
1
3) a) − , b) − 2 ,
2
4 4e
4) a) 1, b) −4,
5) a)
8√
2,
3
b)
c)
8
,
3
1
,
4
c)
c) 1,
d)
3
d) ln ,
2
π
,
2
π
,
4
1
e) − (1 + eπ/2 ),
5
e) ∞,
d) ln(2 +
√
f) 1 − ln 2,
3),
e)
π
,
4
f) π − 2.
√
g) 2 2.
f) 2.
Řešení vybraných příkladů
4) b) Jde o nevlastní integrál vlivem funkce. Integrovaná funkce je spojitá na (0, 1i, ale
v okolí nuly je neomezená. Spočítáme proto integrál v mezích a, 1, kde 0 < a ≤ 1 a posléze
přejdeme k limitě a → 0+ .
2
Z1
a
ln x
√ dx =
x
Z1
x
−1/2
ln x dx =
a
&
%
u′ = x−1/2 , u = 2 x1/2
1
v = ln x, v ′ =
x
h
=2 x
1/2
h
i1
√
√
√
= 0 − 2 a ln a − 4 x1/2 = −2 a ln a − 4 + 4 a
i1 Z 1
1
ln x − 2 x1/2 dx =
a
| {z x}
a
x−1/2
a
Zbývá spočítat limitu.

Problémy působí
√
√
lim (−2 a ln a − 4 + 4 a) = 
pouze
první člen.

a→0+
 Zkusíme ”L‘Hospitala”
−2/a
1/2
= lim
4
a
−
4
= −4, a
−
4
=
lim
a→0+ −1/2 · a−3/2
a→0+
Z1



 = lim − 2 ln a − 4 =
a→0+
a−1/2
tedy
ln x
√ dx = −4.
x
0
4) d) Jde o nevlastní integrál vlivem meze. Vypočteme
Zb
x2
1
dx, b > 0 a následně
+ 5x + 6
0
limitu pro b → ∞. Nejprve rozložíme integrand na parciální zlomky.
x2
1
A
B
A (x + 3) + B (x + 2)
1
=
=
+
=
+ 5x + 6
(x + 2) (x + 3)
x+2 x+3
(x + 2) (x + 3)
⇒
A (x + 3) + B (x + 2) = 1. Porovnáme koeficienty u stejných mocnin x a dostaneme:
A + B = 0
⇒ A = 1, B = −1. Nebo lépe; do rovnice dosadíme kořeny jmeno3A + 2B = 1
Z b
1
1
x = −2 : A = 1,
vatele:
Náš integrál je tedy
−
dx =
x = −3 : −B = 1 ⇒ B = −1.
x+2 x+3
0
b + 2
b
− ln 2 .
= [ln |x + 2| − ln |x + 3|] = ln 0
b + 3
3
b + 2
= 0 (Limita vnitřní funkce je 1, ln 1 = 0.) A máme výsledek, hurá!!!
lim ln b→∞
b + 3
Z∞
x2
1
3
dx = ln ,
+ 5x + 6
2
0
Většinou se však při výpočtu nevlastních integrálů limity nepíší, prostě se dosadí patřičné
hodnoty. A protože je škoda nevyužít volného místa, zde je ještě jeden příklad.
5) c) Jde o nevlastní integrál vlivem funkce, integrand není definovaný pro x = −1.



Z0
Z0
Z0
Z0
x = sin t

cos
t
π
dx
cos
t
dt
=
√
p
=
dt = .
dt =
=
dx = cos t dt

| cos t|
2
1 − x2  α = −π/2, β = 0
1 − sin2 t
−1
−π/2
−π/2
3
−π/2
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
Obsah rovinné plochy
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
S
S
a
S=
b
Zb
x
obr. 1
a
f (x) dx
S=
b
Zb
a
a
x
obr. 2
(f (x) − g(x)) dx,
Objem rotačního tělesa, vzniklého rotací vyšrafované plochy (obr. 1) kolem osy x.
V =π
Zb
f 2 (x) dx
a
Délka křivky
l=
Zb p
1 + (f ′ (x))2 dx
Zβ p
(ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt
a
l=
α
pro křivku y = f (x), x ∈ ha, bi.
pro křivku x = x(t), y = y(t), t ∈ hα, βi.
Obsah rotační plochy vzniklé rotací rovinné křivky l kolem osy x.
S = 2π
Zb
p
f (x) 1 + (f ′ (x))2 dx
Zβ
p
y(t) (ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt
a
S = 2π
α
rotuje křivka y = f (x), x ∈ ha, bi.
rotuje křivka x = x(t), y = y(t), t ∈ hα, βi.
Těžiště plošného útvaru (obr. 1) o konstantní plošné hustotě σ.
Sy
, kde statický moment Sy =
xT =
M
Sx
yT =
,
M
Zb
σ xf (x) dx a hmotnost M =
a
a
1
kde statický moment Sx =
2
Zb
Zb
σ f 2 (x) dx
a
4
σ f (x) dx
Příklady
1) Určete obsah rovinného oboru, ohraničeného
a) křivkami y =
1
x2
, y=
,
2
1 + x2
b) souřadnicovými osami a křivkou x = t2 , y = cos t, t ∈ h0, π/2i,
c) souřadnicovými osami a křivkou x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t, t ∈ h0, π/2i.
2) Určete délku křivky
√
a) y = 8 x3 , x ∈ h0. 1i,
b) x = 2 cos3 t, y = 2 sin3 t, t ∈ h0, π/2i,
c) kružnice o poloměru r,
d) x = a (t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ h0, 2πi (jeden oblouk cykloidy).
3) Určete objem
a) koule,
b) kužele s podstavou o poloměru r a výškou v,
c) rotačního paraboloidu s podstavou o poloměru r a výškou v,
d) tělesa, které vznikne rotací rovinného oboru ohraničeného osou x
a parametricky zadanou křivkou x = arctg t, y = 1 − t2 .
Výsledky
1) a) π/2 − 1/3, b) π − 2, c) 3π/8.
√
1
(19 19 − 1), b) 3, c) 2πr, d) 8a.
2) a)
27
4 3
1 2
1 2
8
3) a) πr , b) πr v, c) πr v, d) 2π π −
.
3
3
2
3
Řešení vybraných příkladů
3) d) Nejprve určíme průsečíky křivky s osou x (tj. meze příslušného integrálu).
y = 1 − t2 = 0 ⇒ t = ±1. Objem spočítáme ze vztahu
Z1
Z1
Z1 4
1
t − 2t2 + 1
integrovaná
2
2 2
V =π
y (t) ẋ(t) dt =
= 2 π (1−t )
dt
=
2
π
dt =
funkce je sudá
1 + t2
1 + t2
0
−1
= 2π
Z1 0
4
t −3+
1 + t2
2
0
t3
− 3 t + 4 arctg t
dt = 2 π
3
y
1
1
1
8
− 3 + π − 0 = 2π π −
.
3
3
f (x) = 1 − tg2 x
A koho zajímá, jaká že plocha
vlastně rotuje, zde je obrázek.
π/4
5
= 2π
0
x
Fyzikální aplikace
1) Těžiště trojúhelníku, aneb okénko do analytické geometrie. Určete těžiště homogenního
trojúhelníku ABC, kde A [ 0, 0 ], B [ 7, 0 ], C [ 5, 4 ].
Řešení:
rovnice přímky dané dvěma body A [xA , yA ] B [xB , yB ] je:
yB − yA
(x − xA ).
y − yA =
xB − xA
Pro zadané body vychází:
4
0−4
AC : y = x, BC : y − 4 =
(x − 5), což upraveno dává y = −2x + 14.
5
7−5
A můžeme směle použít vzorce ze strany 4. Protože je trojúhelník homogenní, je jeho plošná
hustota konstantní a nemusíme s ní počítat, což učiníme. Tj. můžeme položit σ = 1.
M=
Z5
4
x dx +
5
0
7
5 Z7
x2
4 x2
+ −2 + 14x = 14
(−2x + 14) dx =
5 2 0
2
5
5
y
C
T
A
Sy =
Z5
4
x x dx +
5
0
0
B x
S
Z7
Nebo jsme si mohli namalovat obrázek a uvědomit si, že
hmotnost trojúhelníku je při jednotkové plošné hustotě
číselně rovna jeho obsahu a ten je základna krát výška
lomeno dvěma, tedy 7 · 4/2 = 14.
 5

Z
Z7
16 2
1
x dx + (−2x + 14)2 dx =
Sx = 
2
25
8 x
·
=
25 3
4 x3
·
x (−2x + 14) dx =
5 3
5
5
3 5
5
1 (−2x + 14)3
+ − ·
4
3
0
x3
x2
+ −2 + 14
3
2
0
7
7
5
=
56
3
= 56.
5
Takže těžiště má souřadnice
Sy
Sx
4
xT =
= 4,
yT =
= .
M
M
3
Je-li trojúhelník homogenní, splývá fyzikální těžiště (hmotný střed) s geometrickým. Snadno
se o tom přesvědčíme, ať už budeme počítat těžiště jako průsečík těžnic, nebo třeba takto:
1
1 −→
T = S + SC = [3.5, 0] + (1.5, 4) = [4, 4/3].
3
3
2) Určete souřadnice těžiště rovinného oboru ohraničeného první větví cykloidy a osou x.
Cykloida má parametrické rovnice: x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t), t ∈ h0, 2πi.
3) Určete souřadnice těžiště první větve cykloidy (coby křivky).
4) Určete souřadnice těžiště rovinného oboru v prvním kvadrantu, ohraničeného částí asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ h0, π/2i a osami x a y.
Výsledky
2) T = [ aπ, 5a/6 ]
3) T = [ aπ, 4a/3 ]
4) T = [ 256 a/315π, 256 a/315π].
6