KEF/PMN2: domácí cvičení 1 Numerické řešení transcendentních

KEF/PMN2: domácí cvičení 1
Numerické řešení transcendentních rovnic
15. dubna 2016
1. Radka Dráňová
Kometa Hale-Bopp objevená 23. 7. 1995 prolétla 1. 4. 1197 periheliem ve vzdálenosti 0,914 1 au od Slunce.
Hlavní poloosa její trajektorie měří 187,8 au. V jaké vzdálenosti od Slunce se nacházela v době objevení a
jakou rychlostí se přitom pohybovala? Použijte Keplerovu rovnici pro excentrickou anomálii ψ
√
GM⊙
ψ − ε sin ψ −
t = 0,
a3
kde ε je numerická excentricita trajektorie, G = 6,67·10−11 N·m2 ·kg−2 gravitační konstanta a M⊙ =
1,99·1030 kg hmotnost Slunce
[
]
Pro t = 618 d = 5,34·107 s vychází ψ ≈ 0,259 rad, r = 7,15 au, v = 16 km·s−1
2. Tomáš Fordey
Balón tvaru koule je naplněn teplým vzduchem, teplota okolního vzduchu je t1 a teplota uvnitř balónu je
udržována na hodnotě t2 > t1 . Atmosférický tlak má hodnotu pa a plátno, z něhož je balón vyroben má
plošnou hustotu γ. Jaký musí být nejmenší poloměr balónu r0 , aby unesl zátěž m0 ?
Řešte pro hodnoty t1 = 20 ◦C, t2 = 70 ◦C, pa = 1,00·105 Pa, γ = 0,15 kg·m−2 , m0 = 100 kg, Rm =
8,314 J·mol−1 ·K−1 , Mm (vzduchu) = 0,029 kg·mol−1 .
[r0 = 6,19 m]
3. Jan Jašek
Najděte řešení rovnice
(kl sin φ − kl cos φ + mg sin φ)
√
3 − 2 sin φ − 2 cos φ + kl0 (cos φ − sin φ) = 0
pro hodnoty m = 10 kg, l = 2,00 m, l0 = 0,50 m, k = 75 N·m−1 a g = 9,8 m·s−2 .
[φ = 0,436 85 rad = 25,0°]
4. Jan Roik
Na kotouč R volně otáčivý okolo vodorovné osy O zavěsíme v dolním vodu A závaží o hmotnosti m a v
horním bodu B upevníme lanko, na jehož konci visí nezatížená pružina zanedbatelné hmotnosti a tuhosti
k. Volná konec pružiny C uchopíme a pomalu posuneme dolů do bodu D: CD = s = πR/2. O jaký úhel
φ se kotouč pootočí?
Řešte pro hodnoty R = 0,150 m, m = 1,00 kg, k = 65 N·m−1 a g = 9,8 m·s−2 .
1
[φ1 = 0,829 rad = 47,5°]
5. Anežka Štanclová
Kámen vyletí z praku počáteční rychlostí v0 . Jaký elevační úhel musíme zvolit, abychom zasáhli cíl ve
vodorovné vzdálenosti a a výšce b (měřeno od místa, kde kámen opustí prak)?
Řešte pro hodnoty v0 = 25 m·s−1 , a = 17 m, b = 13 m. Odpor vzduchu zanedbejte, uvažujte hodnotu
g = 9,81 m·s−2 .
[Dvě řešení: a1 = 51,3°, a2 = 76,1°]
6. Zuzana Vanická
Dvě stejné pružiny o tuhosti k, které mají v nezatíženém stavu délku l0 spojíme do série a jejich volné
konce připevníme k bodům A a B, jejichž vzdálenost je 2l > 2l0 . V bodě C, kde jsou pružiny spojeny,
začne působit síla F kolmá k přímce AB (viz obrázek). Do jaké vzdálenosti se bod C vychýlí?
Řešte pro hodnoty l0 = 0,35 m, l = 0,70 m, k = 85 N·m−1 , F = 55 N. Hmotnost pružin zanedbejte.
[x = 0,536 4 m]
7. Viktorie Víchová
Kulička kuželového kyvadla, jehož vlákno má délku l obíhá po kružnici o poloměru r. Vlákno je nahoře
provlečeno malým otvorem, takže jeho délku můžeme zkrátit, aniž bychom přerušovali pohyb kyvadla (viz
obrázek). Jaký bude poloměr r1 trajektorie kuličky, zkrátíme-li délku vlákna na l1 = l/2?
Úlohu řešte pro hodnoty l = 0,800 m, r = 0,250 m. K sestavení rovnice použijte zákon zachování momentu
hybnosti a rozklad/skládání sil působících na kuličku.
2
[r1 = 0,205 0 m]
8. Iveta Vilímová
Planckův zákon záření černého tělesa má pro závislost na úhlové frekvenci záření ω tvar
H(ω) =
Vℏ
π 2 c3
(
exp
ω3
),
ℏω
−1
kT
kde T je termodynamická teplota, V objem, k Boltzmannova konstanta, c rychlost světla a ℏ = h/(2π)
redukovaná Planckova konstanta. Najděte Wienův posunovací zákon pro úhlovou frekvenci ω ∗ , pro kterou
funkce H(ω) nabývá maxima. Extrém hledejte pomocí derivace a příslušnou transcendentní rovnici řešte
pro proměnnou ξ = ℏω/(kt).
[
]
kT
∗
11
ω ≈ 2.821
≈ 3,69·10 T
ℏ
3