Číslicová technika 1

Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 1 -
ČÍSLICOVÁ TECHNIKA
UČEBNÍ TEXTY
(Určeno pro vnitřní potřebu SPŠ Zlín)
Zpracoval:
ing. Kovář Josef, ing. Hanulík Stanislav
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 2 -
1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY
1.1. Zobrazení informace
Když pracujeme s čísly, používáme symboly, jimž přiřazujeme deset různých hodnot od nuly do devíti. Používáme
to, co matematici nazývají soustava zobrazení čísel se základem deset.
V běžném životě využíváme i jiné soustavy např. šedesátkové (sekundy), dvanáctkové (hodiny).
První stroje na zpracování informací byly mechanické a nebylo u nich složité zobrazovat čísla se základem deset
pomocí mechanické součástky, která mohla snadno mít deset stabilních stavů, z nichž každý odpovídal jednomu
znaku se základem deset. Mechanické systémy jsou pomalé, složité a tedy i drahé, zvláště je-li třeba zvětšovat
výkonnost. Rovněž stupeň jejich rozvoje v podstatě končí u jednoduchých aritmetických strojů.
Velký pokrok v oblasti číslicových výpočtů nastal během druhé světové války zavedením elektronek. Potom se
kolem r. 1958 objevily tranzistorové počítače a poměrně nedávno počítače s integrovanými obvody a nynější
mikropočítače. Nové stroje jsou od dřívějších desítkových strojů odlišné strukturou , výkonem, spolehlivostí a
zvláště použitím dvojkové soustavy zobrazení čísel a veličin. Realizovat elektrické obvody se dvěma stabilními
stavy je totiž jednoduché a umožňuje to další vývoj těchto zařízení.
1.2. Číselné soustavy
Jak již bylo řečeno, běžně používanou soustavou, v níž provádíme písemné výpočty, je desítková soustava.
Jednotlivé číslice čísla udávají počty mocnin deseti.
3
(4385)10 = 4*10 + 3*102 + 8*101 + 5*100
Desítková soustava patří mezi polyadické soustavy, které se vyznačují tím, že celé číslo a je v nich vyjádřeno jako
mnohočlen:
a =anzn + an-1zn-1 + ... + a1z1 + a0 z0+a-1 z-1+a-2 z-2+ …+a-nz-n
kde z je základ soustavy (v našem případě 10). Součinitelé a0 až an mohou nabývat hodnot 0, 1, ..., z-1 (v našem
případě 0 až 9). Obdobně a-1 až a-n.
Pomocí elektronických prvků je výhodnější zobrazovat číslo ve dvojkové (binární) soustavě, protože tyto prvky
mají většinou dva stavy. Čísla jsou zde vyjádřena pomocí číslic 0 a 1 jako součet mocnin dvou. Tak jako v
desítkové soustavě má i zde každá číslice význam odpovídající jejímu umístění v dvojkovém čísle. Převod
dvojkového čísla na desítkové provedeme jednoduše tak, že řády, v nichž je ve dvojkovém čísle 1, vyjádříme v
desítkové soustavě pomocí mocnin dvou.
(101000101)2 = 1*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = (325)10
Lze dokázat, že každé dvojkové číslo má průměrně 3,3 krát více míst než stejné číslo vyjádřené v desítkové
soustavě. Proto se dvojková soustava nehodí pro ruční výpočty a je určena výhradně pro použití v počítačích.
Jakým způsobem se převádějí čísla z desítkové do dvojkové soustavy? Jednoduchý způsob převodu celých
desítkových čísel záleží v tom, že číslo dělíme postupně dvěma a zbytky po dělení (0 nebo 1) tvoří obraz čísla ve
dvojkové soustavě počínaje nejnižší číslicí.
(49)10 : 2 = 24
24 : 2 = 12
12 : 2 = 6
6:2=3
3:2=1
1:2=0
zbytek: 1
zbytek: 0
zbytek: 0
zbytek: 0
zbytek: 1
zbytek: 1
Výsledné dvojkové číslo je tedy (110001)2
Tento způsob převodu vyžaduje operace s desítkovými čísly, proto se hodí pro ruční převod čísel z jedné z jedné
soustavy do druhé. Pro počítače pracující ve dvojkové soustavě se používají převody jiné.
Zlomková část se převádí postupným násobením základem. Číslice, které jsou v dílčích výsledcích před řádovou
čárkou, jsou číslicemi čísla v nové soustavě. Část za řádovou čárkou se dále násobí základem tak dlouho, dokud za
řádovou čárkou nebude ve výsledku nula nebo podle toho, na kolik míst chceme mít výsledek. Číslice musí být
seřazeny podle sledu násobení za řádovou čárkou.
Př.: Převeďte do dvojkové soustavy číslo (0,78)10
0,78*2=1,56
1
0,96*2=1,92
1
0,56*2=1,12
1
0,92*2=1,84
1
0,12*2=0,24
0
0,84*2=1,68
1
Výsledné dvojkové číslo po převodu je tedy: (11000111 …)2
0,24*2=0,48
0
0,68*2=1,36
1
0,48*2=0,96
0
….. atd.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 3 -
Pro usnadnění práce s čísly v dvojkové soustavě se často pracuje s čísly zobrazenými v osmičkové (oktalové)
soustavě nebo v šestnáctkové (hexadecimální) soustavě. Převody mezi soustavou desítkovou, dvojkovou,
osmičkovou a šestnáctkovou jsou uvedeny v tabulce 1.
Tab.1.: Převodní tabulka:
D
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
B
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
O
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
H
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Nejsnadnější způsob převodu desítkového čísla do soustavy šestnáctkové je
přes soustavu dvojkovou.
Dvojkové číslo rozdělíme na čtyřmístné skupiny a to zleva do prava a každou
skupinu vyjádříme šestnáctkovým číslem.
Příklad:
(709)10 = (1011000101)2 = (0010 1100 0101)2 = (2C5)16
Převod do soustavy desítkové se převádí takto:
(2C5)16 = 2*162 + 12*161 + 5*160
1.3. Matematické operace ve dvojkové soustavě.
Ve dvojkové soustavě je možné provádět všechny základní matematické operace obdobně, jak jsou známy z běžné
praxe se soustavou desítkovou.
Při sčítání dvojkových číslic platí:
0+0 = 0
0+1 = 1
1 + 1 = 10
( 1+1+1=11 )
Jelikož číslo dvě již nelze vyjádřit číslicí dvojkové soustavy, je nutné použít dvou číslic a to v nultém a v prvním
řádu, tedy (10)2. Při tomto jednoduchém součtu, je-li součet větší než 1, dochází k přenosu řádu, který v desítkové
soustavě nastane teprve při součtu větším než 9. Při sčítání čísel postupujeme stejným způsobem, jak jsme se to
učili s desítkovou soustavou.
10111
11100
sčítanec
sčítanec
23
28
11100
přenos
1
součet
51
110011
2
10
Pro větší názornost je v příkladu vyznačen přenos, který se přičítá vždy k vyššímu řádu. Pro kontrolu je součet
vyjádřen zároveň v desítkové soustavě.
Dvojkové odčítání: máme-li od čísla A odečíst číslo B tj. (A – B), můžeme postupovat tak, že číslo B
učiníme záporným a přičteme k číslu A. Platí tedy: (A – B) = A + (-B)
Na tomto principu lze čísla odečíst s použitím sčítačky. Musíme však nejdříve vytvořit zápornou hodnotu
dvojkového čísla B. Jedna z možných metod používá dvojkově komplementární aritmetiku
tj. pomocí doplňkového kódu (také dvojkový doplněk), který se vytvoří tak, že u čísla zaměníme jedničky za nuly a
nuly za jedničky (tím vytvoříme negaci nebo-li jedničkový doplněk) a k takto vzniklému číslu přičteme jedničku.
Tedy jinými slovy: Číslo se neguje obrácením hodnoty všech bitů čísla a přičtením jedničky k výsledku
negace. Pracujeme-li s dvojkovými čísly ve dvojkově komplementárním zápisu, udává vždy bit čísla,
který je nejvíce vlevo znaménko čísla. Je to tzv. znaménkový bit. Je-li tento bit 1, je číslo záporné. Je-li
tento bit 0 je číslo kladné. Ukažme si příklad dvojkově komplementárního odečtení čísel 3-2. Dvojkové
číslo 2 je v tomto zápisu (010)2. Vytvoříme-li z něj komplementární tvar a připočteme-li 3 tj. (011)2 , bude
to ekvivalentní výrazu 3-2. Je-li na konci součtu nějaká informace o přenosu, zanedbává se.
Potom:
Obrácená (negovaná) hodnota čísla 2: (101), přičteme číslo 1: (001), potom výsledek: (110). Pokud
sečteme toto číslo s číslem 3 tj.: (110) + (011) = ( 001)
Číslicová technika-1 – učební texty.
kladné číslo:
Příklad:
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
(0101)2
Str.: - 4 -
negace: (1010)2
+ 1
(1011)2
záporné číslo: (1011)2
Při práci se zápornými čísly pracujeme vždy s určitým počtem předem stanovených bitů.
Příklad: Odečtěte od čísla (1110)2 číslo (1001)2
1110 – 1001 = 1110 + (-(1001))
1110
+ 1 0111
10 0101
…..
14
-9
5
…….. znegujeme číslo: 1001 tj. 01001 ……. 10110
a přičteme ke znegovanému číslu číslo 1
výsledkem je číslo: 10111
10
(při uvažovaných 4 bitech pak vyšší zanedbáváme)
2
Jako příklad si můžeme uvést práci s typem "integer" při programování v jazyce Pascal.
Rozsah tohoto čísla je 16 bitů, což je maximální číslo 65 535. V případě, že potřebujeme pracovat jak s čísly
kladnými, tak i zápornými, pak maximální číslo je 32767, tj. (0111 1111 1111 1111)2. Vidíme, že kladné číslo má
nejvyšší bit roven nule. Naopak záporné číslo má nejvyšší bit vždy roven jedničce. Můžeme si dokázat, že čísla
(0101)2 a (1011)2 se liší pouze znaménkem. Pokud tato čísla sečteme, musí nám vyjít nulový výsledek.
Příklad:
0101
+ 1011
0000
Přenos do vyššího řádu neuvažujeme, protože v tomto případě máme k dispozici pouze 4 bity.
Také násobení dvojkových čísel je velmi jednoduché. Platí základní pravidla: 0 * 0 = 0
0*1 = 0
1*1 = 1
Při násobení vícemístných čísel, obdobně jako v desítkové soustavě, násobíme postupně násobenec
jednotlivými číslicemi násobitele a výsledky, posunuté vždy o řád, sečteme.
Dělení ve dvojkové soustavě je poměrně složitá operace. U některých starších počítačů nepatřilo dělení
k hlavním operacím a provádělo se zvláštním podprogramem.
Příklad:
0011
3
* 0101
*5
0011
0000
0011
1111
1112
15
10
2
2. BOOLEOVA ALGEBRA
Booleova algebra je zvláštní matematický způsob popisu chování i struktury logických obvodů. Tato
algebra pracuje s log. proměnnými, které mohou nabývat pouze dvou hodnot, log. Hodnoty
'0' nebo log. hodnoty '1'.
2.1. Výroková logika a logické funkce
Logický obvod je tvořen skupinou vzájemně spojených logických členů, o kterých lze říci, že jsou
zařízení uskutečňující log. funkci. S log. funkcemi se můžeme setkat ve výrokové logice, která je součástí
matematické logiky.
Základním pojmem výrokové logiky je výrok, což je každé tvrzení, o kterém má smysl prohlásit, zda je
pravdivé nebo nepravdivé.
Logická funkce je předpis, který kombinaci, popř. i sledu hodnot jedné nebo více (nezávislých) log.
proměnných jednoznačně přiřazuje hodnoty jedné (závislé) log. proměnné.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 5 -
Negace je takovou funkcí jedné proměnné, u které má závisle proměnná vždy opačnou hodnotu, než
nezávisle proměnná.
Algebraické vyjádření této funkce je: A = B
Disjunkce nebo-li logický součet je takovou funkcí dvou proměnných A, B, že závisle proměnná Y
nabývá hodnoty 1 tehdy, je-li A nebo B nebo A i B současně rovno 1.
Algebraické vyjádření této funkce je: Y = A + B
(v praxi - např. obvod paralelního zapojení dvou spínačů k žárovce)
Konjunkce nebo-li logický součin je takovou funkcí dvou proměnných A, B, že závisle proměnná Y
nabývá hodnoty 1 pouze tehdy, mají-li současně A i B hodnotu 1. V ostatních případech nabývá
proměnná Y hodnoty 0. Algebraické vyjádření této funkce je:
Y = A⋅ B
(v praxi – např. obvod sériového zapojení dvou spínačů k žárovce)
Shefferova funkce (NAND) je takovou funkcí dvou proměnných A, B, že závisle proměnná Y nabývá
hodnoty 0 pouze tehdy, mají-li současně A i B hodnotu 1. V ostatních případech nabývá proměnná Y
hodnoty 1.
Algebraické vyjádření této funkce je: Y = A ⋅ B
Pierceova funkce (NOR) je takovou funkcí dvou proměnných A, B, že závisle proměnná Y nabývá
hodnoty 1 pouze tehdy, mají-li současně A i B hodnotu 0. V ostatních případech nabývá proměnná Y
hodnoty 0.
Algebraické vyjádření této funkce je: Y = A + B
Přehled základních kombinačních logických funkcí je uveden v tabulce 2.
2.2. Základní pravidla a zákony Booleovy algebry.
Booleova algebra je dvouhodnotová logická algebra, používající log. součtu, součinu a negace jako
úplného systému základních logických funkcí. Používá se k úpravě a zjednodušování (minimalizaci)
logických funkcí. Obsahuje následující zákony a pravidla:
1. Pravidlo agresívnosti a neutrálnosti hodnot 0 a 1
X +1 = 1
X +0 = X
X ⋅1 = X
X ⋅0 = 0
2. Pravidlo komutativní
X +Y = Y + X
X ⋅Y = Y ⋅ X
3. Pravidlo asociativní
X + (Y +Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z
X ⋅ (Y ⋅ Z ) = ( X ⋅ Y ) ⋅ Z = X ⋅ Y ⋅ Z
4. Pravidlo distributivní
X + (Y ⋅ Z ) = ( X + Y ) ⋅ ( X + Z )
X ⋅ (Y + Z ) = X ⋅ Y + X ⋅ Z
5. Pravidlo absorpce
X+X =X
X ⋅X = X
X + X ⋅Y = X
X ⋅(X + Y) = X
6. Pravidlo absorpce negace
X + X ⋅Y = X + Y
X ⋅(X + Y) = X ⋅Y
X + X ⋅Y = X + Y
7. Pravidlo o vyloučeném třetím
X + X =1
X ⋅(X + Y) = X ⋅Y
X ⋅X =0
8. Pravidlo dvojité negace
X =X
X +Y = X +Y
9. Pravidla o vytvoření negace - De Morganovy zákony
X + Y = X ⋅Y
X ⋅Y = X + Y
X ⋅Y = X ⋅Y
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 6 -
Tab. 2: Přehled kombinačních logických funkcí.
Logický člen
Logická
funkce
Pravdivostní tabulka
Opakovač
Y=A
Negace
NOT
Y=A
Konjunkce
AND
Y = A⋅ B
Disjunkce
OR
Y = A+ B
Shefferova
funkce
NAND
Y = A⋅ B
Pierceova
funkce
NOR
Y = A+ B
A
0
1
Y
0
1
A
0
1
Y
1
0
Schematická
značka
Schematická
značka DIN
Schematická
značka ANSI
(SW - Multisim)
(SW - Multisim)
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
0
1
1
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
1
1
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
1
0
0
0
&
1
&
1
2.3. Pravdivostní tabulka
Tabulka č.3:
Důkaz De-Morganova zákona tabulkovou metodou
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
A+ B A+ B
0
1
1
1
1
0
0
0
A B
1
1
0
0
1
0
1
0
A⋅ B
1
0
0
0
Pozn.:
Pro n proměnných má tabulka 2n kombinací
Tabulka stavů je tabulka, která jednoznačně přiřazuje vstupní proměnné k jedné nebo několika výstupním
proměnným. Má dvě části. Levá část zahrnuje všechny možné kombinace hodnot vstupních
proměnných, pravá část obsahuje výslednou hodnotu výrazu pro každou kombinaci hodnot z levé části.
Velikost levé části závisí na počtu vstupních proměnných, neboť počet řádků v tabulce je roven 2n.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 7 -
Kombinace metodou vstupních proměnných je nejlépe vyjádřit pomocí dvojkových čísel. Tabulku stavů
používáme nejen pro snadné popsání činnosti log. obvodu, ale můžeme ji použít i pro zjištění, jsou-li dva
výrazy shodné. Příklad pro důkaz De Morganova zákona je uveden v tabulce 3. V levé části jsou uvedeny
vstupní proměnné A, B a ve výstupní části je názorně ukázán celý postup důkazu.
2.4. Minimalizace
Při návrhu log. obvodu dbáme na to, aby jej bylo možno realizovat pokud možno co nejmenším počtem
co nejjednodušších logických členů. To znamená, že algebraický výraz má být složen z co nejmenšího
počtu členů, z nichž každý obsahuje nejmenší počet proměnných. Postup pomocí kterého nahradíme
složitější algebraický výraz jednodušším výrazem, nazýváme minimalizací.
Způsob úpravy algebraického výrazu, který využívá všech známých zákonů a pravidel Booleovy algebry
se nazývá přímá minimalizace. Nyní si na několika příkladech ukážeme zjednodušování výrazů.
Příklad 1:
Příklad 2:
Z = X + XY
Z = ABC D + ABCD + ABCD + ABCD
Z = BD( AC + AC + AC + AC )
Z = X (Y + Y ) + XY
Z = BD[C ( A + A) + C ( A + A)]
Z = X Y + X Y + XY
Z = BD(C + C )
Z = X Y + XY + X Y + XY
Z = BD
Z = X (Y + Y ) + Y ( X + X )
Z = X +Y
Příklad 3:
Z = (A +B)(A + C)
Z = A + AB +AC + BC
Z = A(1 + B + C) + BC
Z = A + BC
Příklad 4:
Z = ABC + AB + A ⋅ B + ABC
Z = BC ( A + A) + B( A + A)
Z = BC + B (pravidlo absorbce negace)
Z = B+C
2.5. Zápis funkce z pravdivostní tabulky
Co je to pravdivostní tabulka, jsme si již popsali dříve. Nyní si ukážeme, jak pomocí této tabulky budeme
řešit určitý problém a jak z ní sestavíme log. funkci.
Zadání:
Sestavte log. funkci pro ovládání žárovky ze dvou míst (případ schodišťového přepínače)
Řešení: Nejprve sestavíme pravdivostní tabulku pro dvě proměnné, kde spínače budou označeny A, B a
žárovka Z.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
0
Z tabulky zapíšeme logickou funkci:
Z = A⋅ B + A⋅ B
nebo Z = ( A + B) ⋅ ( A + B)
(součet součinů)
(součin součtů)
Algebraický výraz můžeme dostat z tabulky ve dvou tvarech. A to buď jako (1) součet součinů nebo jako
(2) součin součtů.
(1) Výraz ve tvaru součtu součinů dostaneme, napíšeme-li pro každé políčko, které obsahuje 1
pro výstupní proměnnou, kombinaci odpovídajících vstupních proměnných ve formě
součinu. Tyto jednotlivé součiny pak spojíme v součet.
(2) Výraz ve tvaru součinu součtů dostaneme, napíšeme-li pro každé políčko, které obsahuje 0
pro výstupní proměnnou, kombinaci odpovídajících vstupních proměnných v podobě součtu.
Tyto součty pak spojíme v součin.
Číslicová technika-1 – učební texty.
Příklad 4:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 8 -
Z následující tabulky sestavte log. funkci.
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
1
0
1
1
0
0
0
Řešení:
Z = A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C
tuto funkci můžeme dále zjednodušit:
Z = A ⋅ C ⋅ ( B + B) + A ⋅ B ⋅ C
Z = A⋅C + A⋅ B ⋅C
Často také musíme řešit problém opačný, a to sestavení tabulky z logické funkce.
Příklad 5:
A
B
C
Z
Z dané logické funkce sestavte tabulku stavů:
0
0
0
0
Z = A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C
1
0
0
1
1·1·1 + 1·0 ·0 + 0 · 0 ·1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Protože se jedná o součet součinů,
musí se každý součin rovnat 1. Najdeme tedy
odpovídající kombinace vstupních proměnných
a k výstupní proměnné napíšeme 1.
K ostatním kombinacím napíšeme nuly.
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
1
0
0
1
1
0
0
0
Z dané logické funkce sestavte tabulku stavů:
Z = A⋅ B ⋅C + B ⋅C
Funkci můžeme také rozepsat takto:
Z = A ⋅ B ⋅ C + B ⋅ C ⋅ ( A + A)
Příklad 6:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
Z = A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C
0·1·1 + 1·0 ·0 + 0 · 0 · 0
2.6. Karnaughova mapa
Pro zobrazení log. funkce se kromě tabulky stavů používá také Karnaughova mapa. Slouží hlavně pro
minimalizaci funkce. Její nevýhodou je, že ji můžeme použít nejvýše pro čtyři proměnné. Použití pro více
proměnných je již poměrně složité.
Na rozdíl od tabulky stavů se hodnoty vstupních proměnných zapisují po straně mapy a nad mapou a
výstupní proměnná se zapisuje do políček mapy (tab. 4).
Tab.4: Karnaughova mapa pro jednu, dvě, tři a čtyři proměnné
A
C
B
0
1
A
0
1
AB
00
01
11
10
0
1
0
1
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
Mapa funkce dvou proměnných má čtyři políčka. Jako příklad si můžeme uvést tabulku stavů pro logickou funkci
OR a k této tabulce odpovídající Karnaughovu mapu.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
B
A
0
0
1
1
0 1
1 1
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 9 -
Mapa funkce tří proměnných má osm políček, stejně jako má osm řádků tabulka pro tři proměnné. Pořadí sloupců
v mapě neodpovídá pořadí, v němž píšeme řádky tabulky. To proto, aby se v sousedních sloupcích změnila hodnota
pouze jedné proměnné. Důvodem je minimalizace z mapy.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
1
0
0
1
1
0
0
0
C
AB
00
01
11
10
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
V tabulce je uvedena ukázka jak určit polohu příslušného
políčka pro dané hodnoty proměnných:
A=0, B=1, C=1
Mapa funkce čtyř proměnných má šestnáct políček rozdělených do čtyř řádků a čtyř sloupců. Pořadí řádků a
sloupců je stejné: 00, 01, 11, 10. Je to opět proto, aby se v sousedních řádcích a sousedních sloupcích změnila
hodnota pouze jedné proměnné. Polohu políčka na mapě čtyř proměnných určujeme stejným způsobem, jako jsme
ji určovali na mapě pro jiný počet proměnných.
A
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
B
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
C
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
AB
CD
00 01 11 10
Na mapě je určena poloha políčka pro hodnoty
proměnných:
00
01
11
10
A=1, B=1, C=1, D=1
Příklady odvození sousedních políček pro políčko zadané:
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
x
x 0 x
x
AB
CD
00 01 11 10
00 x
01
11 x
10 0 x
AB
CD
00 01 11 10
x
00
01
11
x
10 x 0 x
x
2.7. Zápis algebraického výrazu funkce z Karnughovy mapy
Z mapy lze přímo určit odpovídající výraz ve formě součtu součinů nebo součinu součtů, přičemž se
budeme snažit o co nejjednodušší a nejvhodnější zápis.
Příklad 7: Z dané mapy určete algebraický výraz ve tvaru součtu součinů.
C
AB
0
1
00 0 1
01 0 0
11 0 1
10
Zápis je obdobný jako z tabulky stavů:
Z = A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C
0·0·1 + 1·1 ·1 + 1 · 0 ·0
1 0
2.8. Sestavení Karnaughovy mapy z algebraického výrazu
Příklad 8: Nakreslete mapu a zapište do ní hodnoty fce Z, která je dána vztahem: Z = ABC + AB
Řešení:
C
AB
Z = ABC + AB(C + C ) = ABC + ABC + AB ⋅ C
0·1·1 + 1·0 ·1 + 1 ·0 ·0
00
01
11
10
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 10 -
2.9. Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy
Na uvedené mapě jsou zapsány dvě jedničky v sousedních políčkách, která mají
C
AB
0 1
tu vlastnost, že různé hodnoty má pouze proměnná B. Napíšeme nyní výraz za
obě jedničky:
00
01
Z = ABC + ABC
11
1
Vidíme,
že
výraz
se
skládá ze dvou členů a lze jej dále zjednodušit.
10
1
Z = AC ( B + B)
Z = AC
Pokusme se nyní sestavit obecné pravidlo, které by určilo, jakým způsobem můžeme za sousední políčka
v mapě napsat přímo jeden člen. Jak již bylo uvedeno, mění se při přechodu mezi sousedními políčky
jedna proměnná - v našem případě proměnná B. Proto tento člen nezávisí na této proměnné a je určen jen
ostatními proměnnými, v našem případě výrazem AC.
Toto pravidlo platí i pro větší počet políček.
Při minimalizaci pomocí Karnaughovy mapy volíme následující postup:
1. Jedničky v mapě uzavíráme pomocí smyček, které obsahují dvě, čtyři nebo
osm sousedních políček. Přitom je třeba mít na paměti, že čím větší smyčku
vytvoříme, tím je odpovídající výraz jednodušší.
2. Smyčky se mohou navzájem protínat.
3. Za každou smyčku zapíšeme pouze jeden výraz, který neobsahuje ty
proměnné, jejichž hranice smyčku protínají.
4. Algebraické výrazy za jednotlivé smyčky sečteme.
Závěrem lze říci, že smyčky s jedničkami odpovídají výrazu ve tvaru součtu součinů. Obdobným způsobem
můžeme vytvářet i smyčky s nulami. V tom případě však získáme vztah ve tvaru součinu součtů.
Nyní si celý postup minimalizace pomocí Karnaughovy mapy objasníme na několika příkladech, kde
bude naším úkolem napsat algebraické výrazy v obou tvarech pro uvedené mapy.
Příklad 9:
a) součin součtů:
b) součet součinů:
C
AB
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
Z = A+C
C
AB
00
01
11
10
C
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
AB
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
V této části mapy se mění
stavy proměnných A a B.
Tyto proměnné vyloučíme a
Zůstane proměnná C
(ovšem negovaná)
V této části se mění stavy proměnných B a C.
Proto se tyto proměnné vyloučí a zůstane proměnná A.
Výsledný zápis je opět:
Z = A+C
Příklad 10: sestavte minimalizovaný výraz za pomocí Karnaughovy mapy.
AB
CD
00 01 11 10
0 0 1 0
00
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 11 -
Řešení:
AB
CD
00 01 11 10
AB
0 0 1 0
CD
00 01 11 10
AB
0 0 1 0
00
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
0 0 1 0
00
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
V této části tabulky se mění stavy
proměnných A a C. Proto se vyloučí
a zůstane proměnná B a D.
CD
00 01 11 10
00
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
Zde se mění stavy proměnné B a C.
Po vyloučení těchto proměnných
zůstanou proměnné A a D.
Zde se mění stavy proměnných
A a B. Po jejich vyloučení
zůstanou proměnné C a D.
Výsledný výraz je dán součtem jednotlivých částí tabulky:
Z = BD + AD + CD
Sestavení výrazu pomocí součinu součtů:
AB
CD
00 01 11 10
AB
CD
00 01 11 10
0 0 1 0
0 0 1 0
Z = D( A + B + C )
00
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
00
01 0 1 1 0
11 0 1 1 0
10 0 1 1 0
Příklad 11: sestavte minimalizovaný výraz za pomocí Karnaughovy mapy.
metodou součtu součinů:
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
AB
1
0
0
1
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
AB
CD
00 01 11 10
1 1 1 1
00
01 1 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 0 1 1
Výsledný výraz je dán součtem jednotlivých částí tabulky:
Z = A ⋅ C + CD + B ⋅ D
metodou součinu součtů:
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
AB
CD
00 01 11 10
1 1 1 1
00
01 1 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 0 1 1
Výsledný výraz je dán součinem jednotlivých částí tabulky:
Z = ( A + B + C ) ⋅ (B + C + D) ⋅ ( A + C + D)
3.
SCHÉMA LOGICKÉHO OBVODU
Na základě znalostí algebraického výrazu, který popisuje činnost určitého log. obvodu, můžeme nakreslit
jeho schéma.
Způsob kreslení si ukážeme na příkladě č. 12.
Příklad 12: Nakreslete blokové schéma obvodu, jehož činnost je vyjádřena vztahem:
Z = ( A + B) ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C
Číslicová technika-1 – učební texty.
Řešení je následující:
B
1
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
B
A+ B
1
C (A + B)
&
A
NOT
C
OR2
OR2
&
A
Z
1
AND2
1
NOT
Str.: - 12 -
A ⋅ B ⋅C
AND3
1
NOT
C
3.1. Realizace obvodu Shefferovou funkcí
V praxi se velmi často setkáváme s log. členy uskutečňujícími Shefferovu a Pierceovu funkci především
proto, že jejich realizace je technickými prostředky snadná. Tyto funkce tvoří základ Shefferovy a
Pierceovy algebry. Dále si ukážeme, jak je třeba postupovat, abychom získali schéma obvodu, který by
byl složen jen ze členů uskutečňujících Shefferovu funkci. Celý postup bude spočívat ve vhodných
úpravách následujícího výrazu.
Příklad 13: Upravte následující výraz na výraz vhodný pro realizaci pomocí Shefferových členů.
Z = C D + C ⋅ A + ABC
A
&
&
Z = A ⋅ C + C ( D + A ⋅ B)
NAND2
Z = A⋅C + C ⋅ D ⋅ A⋅ B
Z = A⋅C + C ⋅ D ⋅ A⋅ B
Z = A ⋅ C ⋅C ⋅ D ⋅ A ⋅ B
Z
&
&
C
NAND2
NAND2
Z = A⋅C + C ⋅ D ⋅ A⋅ B
NAND2
&
&
B
&
&
NAND2
NAND2
NAND2
NAND2
D
3.2.Realizace obvodu Pierceovou funkcí
Pierceův člen nám uskutečňuje negaci disjunkce nebo negaci. Abychom mohli algebraický výraz
vyjádřený ve tvaru součtu součinů nebo součinu součtů realizovat Pierceovými členy, musíme jej upravit
na postupné negace disjunkcí. Způsob úpravy si ukážeme na příkladě.
Příklad 14: Upravte následující výraz na výraz vhodný pro realizaci pomocí Pierceových členů.
Z = C D + C ⋅ A + ABC
1
1
Z = A ⋅ C + C ( D + AB)
A
Z = A ⋅ C + C ( D + A ⋅ B)
Z = A ⋅ C + C ( D + A + B)
Z = A ⋅ C + C ( D + A + B)
NOR2
B
D
Z = A ⋅ C + C ( D + A + B)
Z = A+C +C + D+ A+ B
Z = A+C +C + D+ A+ B
1
NOR2
NOR2
1
1
1
NOR2
C
Z
1
1
NOR2
NOR2
1
NOR2
NOR2
NOR2
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 13 -
NÁVRHY A ŘEŠENÍ KOMBINAČNÍCH LOGICKÝCH OBVODŮ
4.
Při návrhu jednoduchých ovládacích obvodů volíme zpravidla tento postup:
1. Vyjádříme podmínky činnosti zařízení.
2. Sestavíme rovnice log. funkce a provedeme její minimalizaci.
3. Navrhneme log. členy, které použijeme pro realizaci obvodu.
4. Nakreslíme schéma log. obvodu.
4.1. Návrh log. obvodu s jedním výstupem
Příklad 15: Navrhněte obvod pro ovládání žárovky ze dvou míst.
Je-li sepnut lichý počet spínačů, žárovka svítí (sepnutý spínač má hodnotu log. 1 - tj. žárovka svítí).
Řešení: Sestavíme tabulku stavů a Karnaughovu mapu.
Z mapy vyplývá, že nemůžeme minimalizovat
A B Z
B
A
0
1
Napíšeme algebraický výraz:
0 0 0
0 0 1
0 1 1
Z = AB + AB
1 1 0
1 0 1
Daný výraz převedeme do úplné Schefferovy funkce:
1
1
0
Z = A B + AB = A B ⋅ AB
Z uvedené rovnice navrhneme schéma obvodu:
A
&
&
&
B
Z
&
&
Příklad 16: Navrhněte obvod (schodišťový vypínač) pro ovládání žárovky ze tří míst.
Je-li sepnut lichý počet spínačů, žárovka svítí (sepnutý spínač má hodnotu log. 1)
Řešení: Sestavíme tabulku stavů a Karnaughovu mapu.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
1
1
0
1
0
0
1
C
AB
00
01
11
10
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
Z mapy vyplývá,že nemůžeme minimalizovat.
Napíšeme algebraický výraz:
Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + ABC + A ⋅ B ⋅ C
Převod do Schefferovy funkce:
Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + ABC + A ⋅ B ⋅ C
Z = A ⋅ B ⋅ C ⋅ A ⋅ B ⋅ C ⋅ ABC ⋅ A ⋅ B ⋅ C
A
&
B
C
&
&
&
&
&
&
Z
&
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 14 -
Převod do Pieceovy funkce:
Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + ABC + A ⋅ B ⋅ C
Z = A+ B+C + A+ B +C + A+ B+C + A+ B +C
Z = A+ B+C + A+ B +C + A+ B+C + A+ B +C
A
B
C
1
Z
1
1
1
1
1
1
1
1
4.2. Návrh logického obvodu s větším počtem výstupů
Při návrhu log. obvodů se často vyskytují obvody, které mají větší počet výstupů. Funkci, kterou musí
realizovat navrhovaný obvod, budeme zadávat tabulkou stavů a tuto tabulku přepíšeme do
Karnaughových map. Z nich získáme minimalizované výrazy, podle kterých následně navrhneme schéma
logických obvodů s jedním výstupem. Log. obvod s větším počtem výstupů pak dostaneme sloučením
jednotlivých log. obvodů s jedním výstupem do jediného schématu. Jestliže ve schématech s jedním
výstupem existuje log. člen, který realizuje stejnou funkci v několika z nich, pak ve výsledném schématu
bude tento člen nakreslen pouze jednou.
Příklad 17: Navrhněte log. obvod, který má sčítat tři dvojková čísla o jednom řádu.
Řešení: Při aritmetickém sčítání tří dvojkových čísel o jednom řádu bude výsledek vyjádřen dvojkovým
číslem o dvou řádech. Z tabulky stavů sestavíme Karnaughovy mapy pro jednotlivé výstupní proměnné a
z nich napíšeme příslušné algebraické výrazy.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
0
0
1
0
1
1
1
Z
0
1
1
0
1
0
0
1
Zde algebraicky sčítáme dvojková čísla: 0+1=01
1+1=10
Y
Z
1+1+1=11
C
AB
00
01
11
10
C
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
Převod do Shefferovy funkce:
Y = AB + AC + BC
Y = AB ⋅ AC ⋅ BC
Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + ABC + A ⋅ B ⋅ C
Z = A ⋅ B ⋅ C ⋅ A ⋅ B ⋅ C ⋅ ABC ⋅ A ⋅ B ⋅ C
AB
00
01
11
10
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
Y = AB + AC + BC
Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + ABC + A ⋅ B ⋅ C
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 15 -
&
Y
&
A
&
&
B
C
&
&
&
&
Z
&
&
&
&
4.3. Návrh obvodu zadaného neúplnou tabulkou stavů
Doposud jsme se setkali pouze s případy. kdy log. obvod byl zadám úplnou tabulkou stavů. Často se však
vyskytne případ, že se některé kombinace vstupních proměnných nemohou na vstupu navrhovaného obvodu
vyskytnout, nebo výstupní proměnná není pro danou kombinaci určena. V tom případě je v tabulce stavů na místě
hodnoty výstupní proměnné pomlčka. Abychom mohli z této neúplné tabulky vytvořit algebraický výraz, musíme
místo každé pomlčky napsat buď jedničku nebo nulu. Neúplnou tabulku stavů můžeme doplnit různým způsobem.
Doplnění však provedeme tak, abychom dostali co nejjednodušší algebraický výraz. Proto je vhodné doplnit až
Karnaughovu mapu se zřetelem na minimalizaci. Návrh log. obvodu zadaného neúplnou tabulkou stavů si
vysvětlíme na příkladě.
Příklad 18:
Ve slévárně jsou tři pece a plní se postupně v libovolném pořadí. Při plnění pece vždy musíme otevřít její uzávěr.
Navrhněte log. obvod, který z bezpečnostních důvodů signalizuje otevření uzávěru.
Řešení:
Každý uzávěr má kontakt, který vydává signál, když je otevřen. Podle podmínek sestavíme tabulku.
Protože více uzávěrů nemůže být otevřeno současně, napíšeme do sloupce Z pro dané kombinace
vstupních proměnných pomlčky. Nyní přepíšeme tabulku do Karnaughovy mapy a doplníme ji, v našem
případě jedničkami. Z mapy pak sestavíme odpovídající algebraický výraz.
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
-
C
AB
00
01
11
10
C
0
1
0
1
1
1
-
AB
00
01
11
10
5.
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Z = A+ B+C
Kombinační obvody
Obvod se nazývá kombinační, jestliže jeho výstupy závisejí pouze na vstupních kombinacích a ne na
jejich předchozích hodnotách. Jediné kombinaci vstupních proměnných odpovídá jediná výstupní
kombinace. Obvod nemá žádnou paměť předchozích stavů. Chceme-li navrhnout kombinační log. obvod,
musíme především vědět, jakou činnost má uskutečňovat. Ze zadání bychom měli především vyčíst, kolik
vstupních a výstupních proměnných má navrhovaný obvod. Tyto proměnné pak vhodně označíme
písmeny a přiřadíme jim symbolické označení 0 a 1, vyjadřující, že daná činnost existuje nebo neexistuje.
Příklady jednoduchých kombinačních obvodů jsou uvedeny v příkladech 15 - 18.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 16 -
Základní integrované obvody
5.1. Kodéry a dekodéry
Typickým představitelem kombinačních log. obvodů jsou různé převodníky kódů, které převádějí
informace z jedné kódované formy do jiné kódované formy. Kódem se rozumí pravidlo, podle něhož
určité kombinaci nul a jedniček (nebo stavu L a H) přiřazujeme nějaké desítkové číslo. Kódy můžeme
rozdělit do dvou hlavních skupin. Jsou to dvojkový (binární) kód a kód desítkový (BCD).
Dvojkový kód: přirozenému pořadí dvojkových čísel je přiřazeno přirozené pořadí čísel desítkových.
Kód BCD (Binary Coded Decimal – tj. dvojkově kódované desítkové číslo): v těchto kódech je
desítkovým číslům 0 až 9 (tj. deset hodnot) přiřazeno deset dvojkových čísel o čtyřech bitech. Čísla jsou
organizována v dekádách. Např. pro vyjádření desítkového čísla řádu 102 je nutno použít tři čtyřbitová
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 17 -
čísla. Jedno (nejvíce vpravo) vyjadřuje jednotky, druhé desítky, třetí stovky. Nejjednodušším kódem
BCD je takový kód, v němž je přirozenému pořadí dvojkových čísel přiřazeno přirozené pořadí
desítkových čísel v celém rozsahu tj. do čísla 9. Tento kód se označuje jako BCD 1248 . Např. číslo 127
bude v tomto kódu vyjádřeno číslem 0001 0010 0111.
Kodéry převádějí desítková čísla do binární soustavy a dekodéry z binární soustavy do desítkové.
Nejčastější úlohou je převod desítkového čísla na dvojkové v binárním kódu.
Příklad 19:
Navrhněte obvod pro převod dekadických čísel 0, 1, 2, 3 do soustavy binární.
Řešení:
Nejprve si sestavíme tabulku stavů: Jeden sloupec (des.) vyhradíme pro desítková čísla. Do dalších
sloupců těmto desítkovým číslům přiřadíme kombinace stisknutého tlačítka (např. tlačítko C představuje
číslo 1, tlačítko B představuje číslo 2 a tlačítko A číslo 3). Stisk tlačítka představuje log.1 a právě stiskem
příslušného tlačítka na vstupu jednoznačně detekujeme desítkové číslo, které jsme si k tlačítku přiřadili.
Jedná se o neúplnou tabulku stavů (při minimalizaci ovšem můžeme na
Des. A B C Y Z
místo pomlček do Karnaughovy mapy zapsat hodnotu log. 1 – z důvodu
0
0 0 0 0 0
co největší minimalizace) Tabulku přepíšeme do dvou map, napíšeme
1
0 0 1 0 1
rovnice a navrhneme obvod.
2
0 1 0 1 0
Y
Z
0 1 1 - 3
1
1
1
1
A
B
C
0
0
1
1
0
1
0
1
1
-
1
-
C
AB
00
01
11
10
C
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
AB
00
01
11
10
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Y = A+ B
Z = A+C
převedeno na Shefferovu funkci:
Y = A⋅ B
Z = A⋅C
&
&
Y
&
&
Z
&
Příklad 20: Realizujte převodník desítkových čísel na čísla dvojková v kódu BCD 1248
Řešení: Budeme postupovat na základě tabulky popisující převodní vztah mezi desítkovými čísly a
dvojkovými v kódu BCD 1248 (viz tab. u schématu zapojení). desítkové číslo je převáděno na binární ve
složení D, C, B, A. Symbolem D je vyznačena číslice nejvyššího řádu (též váhy), zde řádu osm. Tento
převodník můžeme realizovat čtyřmi log. členy NAND, přičemž výstup každého z nich přísluší
jednomu bitu dvojkového čísla. Vstupní obvod převodníku může být tvořen odpory, jimiž se
jednotlivé vstupy log. členů udržují ve stavu H. Jednotlivá desítková čísla, která chceme převádět,
můžeme volit spínači (tlačítky) 0 až 9. Sepnutím spínače se příslušná úroveň H změní
v úroveň L. Log. členy NAND, jejichž vstupy takto nabyly úrovně L, budou mít na výstupu stav H.
Výstup A přísluší prvnímu bitu zprava dvojkového čísla, výstup B druhému, výstup C třetímu a výstup
D čtvrtému bitu čísla. Na spínač příslušný danému desítkovému číslu musíme připojit vstupy těch členů
NAND, na jejichž výstupu má být podle ekvivalentního dvojkového čísla stav H. Např. dvojkovým
ekvivalentem čísla 6 je 0110. Ke spínači 6 musíme tedy přivést vstupy členů B a C. Sepneme-li spínač 6,
bude výstup A ve stavu L, výstup B ve stavu H, výstup C ve stavu H a výstup D ve stavu L, což
vyjadřuje číslo 0110. Podle téhož pravidla je možno realizovat převodníky pro libovolný kód.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 18 -
Tabulka:
+U
&
A
&
B
&
C
des. D
8
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
1
9
1
C
4
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
B
2
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
A
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
&
D
0V
0
1
2
3 4 5
6
7 8
9
Opačnou úlohou je převod dvojkového čísla v určitém kódu na číslo desítkové.
Příklad 21: Navrhněte převodník dvojkového čísla do desítkového 1 ze 4.
Řešení: Sestavíme si tabulku stavů. Každému dvojkovému číslu na vstupu zde odpovídá jeden výstup,
jehož stav je odlišný od stavu výstupů ostatních, tj. je aktivní. V daném uspořádání dle tabulky je aktivní
výstup ve tvaru log. 0 (L), což je výhodné z hlediska součástkové základny. Výstupem ve stavu log. 0 lze
také dobře řídit (spínat) zátěž např. zobrazovací prvek. Ty výstupy, které nejsou aktivní mají hodnotu
log. 1 (H).
A
B Z0 Z1 Z2 Z3
0 1 2 3
0
0
1
1
0
1
0
1
A
B
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
Z2 =(2) = A ⋅ B
Z1= (1) = A ⋅ B
Z3 = (3) = A ⋅ B
&
0
&
1
&
2
&
3
&
&
Z0 = (0) = A ⋅ B
Vztahy určují takové negace v součinech veličin A,
a B, aby byl stav daného výstupu log. 0 (L).
Např. pro výstup 2 musíme nejprve hodnotu A (1)
násobit negovanou hodnotou B (0) Výsledek tohoto
součinu je roven 1 (H) a tento pak musíme negovat,
abychom dostali výsledný stav log. 0 (L).
Protože je ve všech vztazích použita negace
součinu, použijeme k realizaci převodníku logické
členy NAND.
Velmi častou úlohou je převod čísel v kódu BCD na čísla desítková. V podstatě se jedná o převod čísla o
čtyřech bitech na jedno desítkové číslo z deseti možných, tj. o převod v kódu: 1 z 10.
Při návrhu vycházíme z příslušné tabulky (viz tab.4)
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 19 -
Tab.4: pravdivostní tab. převodníku z kódu: BCD 1248 na kód: 1 z 10
des.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
B
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
A
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
6
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
7
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
8
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
Při sestavování log. vztahů přihlédneme
k tomu, že čtyřbitové číslo dává 16
možných kombinací, z nichž
využíváme jen 10. Pracujeme s
kombinacemi nejvýše do čísla 9 = 1001.
Odtud plynou některá zjednodušení
log. vztahů. Číslo (9)10 můžeme vyjádřit
jen součinem A ⋅ D , neboť jiné
kombinace jako např. A BCD -(13)10,
ABC D -(11)10 či ABCD -(15)10
nepřicházejí v úvahu.
K realizaci dekodéru potřebujeme 10
logických členů NAND. Pro jednoduchost nebudeme ve vztazích zapisovat výsledné negace součinů,
které přísluší funkci NAND, ale jen dílčí negace proměnných (tyto vztahy jsou uvedeny u schématu) a
podle nich pak vytvoříme schéma. Poněvadž se všechny proměnné A, B, C, D ve vztazích objevují i v
dílčích negacích, musíme použít 4 invertory. Zapojení dekodéru je uvedeno na obr. 5. Protože jsme při
návrhu dekodéru vyloučili kombinace proměnných odpovídající číslům větším než 9, nesmíme tato větší
čísla na dekodér přivádět (přivedeme-li je, dá dekodér chybný výsledek). Na druhé straně je možno pořadí
čísel libovolně zkrátit, tj. použít dekodér např. jen do čísla 6.
A
B
C
D
1
1
1
&
0
&
1
&
2
&
3
&
4
&
5
&
6
&
7
&
8
&
9
1
nemohou nastat kombinace:
10 = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
11 = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
12 = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
13 = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
14 = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
15 = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D
Pozn.: kombinaci pro nulu je nutno
ponechat v původním stavu (kryje se
zčásti s kombinací pro číslo 8).
Obdobně nutno ponechat kombinaci
pro jedničku (kryla by se s číslem 9).
Obr. 5: Převodník čísel v kódu BCD na kód 1 z 10.
Vztahy v této formě jsou logickými součiny, tj. odpovídají funkci AND. Při použití log. členů AND
bychom dostali aktivní výstupy ve stavu H. Poněvadž je však žádán pro aktivní výstupy stav L, musíme
logické součiny negovat tj. použít log. členy NAND.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 20 -
To jsme ostatně předpokládali, když jsme psali logické výrazy bez výsledných negací.
5.2. Integrované dekodéry
Dekodéry se často v zařízeních číslicové techniky opakují. To platí zejména o dekodérech 1 z 10. Proto
byly některé dekodéry realizovány formou integrovaných obvodů. Některé dekodéry si popíšeme.
Dekodér 7442: je to převodník z kódu BCD na kód 1 z 10, má tedy obdobnou funkci jako dekodér podle
obr. 5. Na rozdíl od výše popsaného dekodéru je však v obvodu 7442 zajištěno úplné dekódování, může
tedy zpracovávat vstupní kombinace odpovídající číslům 10 až 15. Jsou-li tato čísla přivedena, zůstávají
všechny výstupy obvodu ve stavu H, tj., nedojde k chybnému dekódování. Příslušná pravdivostní tabulka
je podobná tab. 4. Všem následujícím kombinacím vstupních proměnných odpovídají výstupní proměnné
ve stavu H.
Dekodér obsahuje 10 log. členů NAND a 8 invertorů. Je montován v plastickém pouzdře s šestnácti
vývody. Schématický znak je na obr. 6.
15
14 A
13 B
12 C
D
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
9
7
10
8
11
9
Obr. 6: Schématický znak dekodéru MH7442 a číslování vývodů pouzder TTL
Dekodér 74154: umožňuje převádět dvojkové číslo o čtyřech bitech na kód 1 z 16. Vyčerpává tedy
všechny možnosti čtyřbitového čísla. Dekódování je založeno na zcela shodném principu, jak byl dříve
popsán. Obvod 74154 může kromě funkce dekodéru vykonávat též funkci demultiplexeru - proto je
opatřen dvěma vybavovacími vstupy G1 a G2. Má-li obvod pracovat jako dekodér, musí být tyto vstupy
na úrovni L. Je-li alespoň jeden z těchto vstupů na úrovni H, jsou všechny výstupy na úrovni H.
0
1
2
3
4
5
23 A
6
22 B
7
21 C
8
20 D
9
10
11
12
& 13
18 ~G1 14
19 ~G2 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
14
15
16
17
Obr. 7: Schématický znak dekodéru 74154 a číslování vývodů pouzdra s dvacetičtyřmi vývody
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 21 -
Tab.5: pravdivostní tabulka dekodéru (demultiplexeru) 74154
Des.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
G1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
H
H
G2
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
H
L
H
D
L
L
L
L
L
L
L
L
H
H
H
H
H
H
H
H
x
x
x
C
L
L
L
L
H
H
H
H
L
L
L
L
H
H
H
H
x
x
x
B
L
L
H
H
L
L
H
H
L
L
H
H
L
L
H
H
x
x
x
A
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
x
x
x
0
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
1
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
2
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
3
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
4
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
5
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
6
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
7
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
8
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
9
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
H
10
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
H
11
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
H
12
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
H
13
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
H
14
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
H
15
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
H
H
H
5.3. MULTIPLEXERY A DEMULTIPLEXERY
Multiplexer je vlastně obdoba přepínače, kterým se informace přítomná na jednom z několika vstupů
přenáší na jediný výstup (který byl zvolen adresou). Vstup, ze kterého má být informace přenesena, se
určí adresou ve dvojkovém kódu na adresovacím vstupu. Jde tedy o obvod pro výběr dat. Dále mohou být
doplněny vstupy pro odstavení obvodu (používají se pro kaskádní řazení)
Multiplexery jsou kombinačními sítěmi a jsou podobné dekodérům (někdy je označujeme jako selektory
dat).
Příklad 22: Navrhněte dvoukanálový multiplexer
Řešení: Daný multiplexer má dva vstupy datové a jeden vstup adresovací
A
L
L
H
H
D0
L
H
X
X
D1
X
X
L
H
Y
L
H
L
H
W
H
L
H
L
&
W
D0
&
&
D1
A
&
&
Y
&
Z uvedené tabulky a odpovídajícího zapojení vyplývá, že výstupy může po zaadresování pomocí vstupu
A (výběrový vstup) ovlivnit vždy jen jeden z datových vstupů. Je-li A = L, ovlivňuje výstupy
hodnota vstupního datového signálu D0, je-li A = H, ovlivňuje výstupy hodnota vstupního datového
signálu D1. Dále si ještě uvedeme čtyřkanálový multiplexer (obr. 8)
Funkce demultiplexeru je rovněž podobná funkci přepínače, ale je opačná proti multiplexeru.
Zde z jednoho vstupu převádíme signál do několika výstupů, kde volbu výstupu opět zajišťujeme
adresovacími vstupy.
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 22 -
D0
B
L
L
L
L
H
H
H
H
A D0
L L
L H
H X
H X
L X
L X
H X
H X
D1
X
X
L
H
X
X
X
X
D2
X
X
X
X
L
H
X
X
D3
X
X
X
X
X
X
L
H
W
L
H
L
H
L
H
L
H
&
D1
W
&
&
D2
&
D3
&
A
&
B
&
Obr.8: Čtyřkanálový multiplexer
Příklad 23: Navrhněte dvoukanálový demultiplexer
Řešení: Uvažovaný demultiplexer bude mít jeden vstup vybavovací (označen: G), jeden adresovací
(označen: A) a dva výstupy (označeny: V0 a V1)
G
L
L
H
G
A V0 V1
L L H
H H L
X H H
&
A
V0
&
&
&
V1
&
Z uvedeného schématu a tabulky je zřejmé nastavení jednoho z výstupů do úrovně L v závislosti
na nastavení adresovacího vstupu a přivedení úrovně L na vybavovací vstup.
Dále si ještě uvedeme čtyřkanálový demultiplexer (obr. 9) a jeho funkční tabulku.
G
L
L
L
L
H
A
L
H
L
H
X
B V0 V1
L L H
L H L
H H H
H H H
X H H
V2
H
H
L
H
H
V3
H
H
H
L
H
G
&
&
&
A
B
&
&
&
&
V0
V1
V2
V3
Obr. 9: Čtyřkanálový demultiplexer
5.4. Integrované multiplexery
Tak jako dekodéry, tak jsou také formou integrovaných obvodů realizovány některé multiplexery a
demultiplexery.
Multiplexer 74151: je osmikanálový. Má tedy osm vstupů, označených D0 až D7, na něž se
přivádějí informace. Vstup, z něhož má být přenos uskutečněn se volí pomocí tří adresových vstupů A, B,
C. Obvod je také opatřen vybavovacím vstupem G (vstupem kaskádního řazení), který umožňuje ovládat
výstup nezávisle na stavu ostatních vstupů. Tento vstup umožňuje propojovat větší počet multiplexerů.
Má-li se přenést informace ze vstupu na výstup, musí být vybavovací vstup na úrovni L. Tento obvod má
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 23 -
dva výstupy vzájemně opačné. Lze tedy odebírat i negovanou výstupní
patrné z obr. 10 a 11 a funkce z tab. 6.
7
11
10
9
4
3
2
1
15
14
13
12
U1
MUX
MUX
~G
A
B G0
7
C
9
15
14
13
11
D0
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
8
7
Y 5
~W 6
6
5
4
3
2
1
23
22
74151N
Obr. 10: Schematický znak multiplexeru 74151 a 74150
21
20
19
18
17
S
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
H
C
L
L
L
L
L
L
L
L
H
H
H
H
H
H
H
H
x
B
L
L
L
L
H
H
H
H
L
L
L
L
H
H
H
H
x
A
L
L
H
H
L
L
H
H
L
L
H
H
L
L
H
H
x
informaci. Uspořádání je
0
L
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
1
X
X
L
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
X
X
X
X
L
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
L
H
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4
X
X
X
X
X
X
X
X
L
H
X
X
X
X
X
X
X
5
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
L
H
X
X
X
X
X
6
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
L
H
X
X
X
7
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
L
H
X
Y
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
W
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
L
H
16
G
A
B
G
C
0
15
D
E0
E1
E2
E3
E4
W
10
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
74150N
Tab. 6: Pravdivostní tabulka
multiplexeru 74151
Multiplexer 74150: tento obvod má shodnou funkci jako obvod předchozí, počet informačních vstupů je
však rozšířen na 16. Na rozdíl od MH74151 má však jen jeden výstup. Pouzdro tohoto obvodu má 24
vývodů.
U2
Obvod 74LS157 je čtyřnásobný multiplexer pro 2 vstupy.
15
~G
1
Je-li řídící signál G =0 a dále signál A / B =1, jsou na výstupy Y0 až Y3
~A/B
připojeny vstupy A0 až A3.
2
4
1Y
1A
Je-li řídící signál G =0 a dále signál A / B =0, jsou na výstupy Y0 až Y3
3
1B
připojeny vstupy B0 až B3.
5
7
2Y
2A
Z tohoto popisu je zřejmé, že 2 x 4 vstupy jsou na 4 výstupy připojovány
6
2B
současně. Dříve se těchto obvodů používalo např. pro přepínání datové
11
9 sběrnice
3Y
3A
o šíři 8 bitů (při použití 2 ks 74LS157)
10
14
13
3B
4A
12
4Y
4B
74LS157N
Číslicová technika-1 – učební texty.
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 24 -
Demultiplexer 74154: jeho schéma je uvedeno na obr. 7 a pravdivostní tabulka v tab. 5.
Tento obvod umožňuje rovněž funkci dekodéru, jak již bylo popsáno dříve.
S pomocí tohoto obvodu lze realizovat větší dekodéry nebo demultiplexery. Na obrázku je ukázáno zapojení
dekodéru demultiplexeru pro kód 1 z 32, sestavený ze dvou obvodů 74154. Signály vstupů A, B, C, D jsou
přivedeny přímo na oba obvody. Další signál E (pátý bit dvojkového čísla) je přiveden přímo na vstup G1 prvního
obvodu a přes invertor na vstup G1 druhého obvodu. Činnost dekodéru je možno ovládat dalším signálem (signál
„Řízení“) na vstupu G2. Při funkci demultiplexeru se signál ze vstupu G2 přenese na jeden z 32 výstupů, který je
vybrán adresou A, B, C, D, E.
0
1
2
3
4
A
B
C
D
23
22
21
20
5
A
6
B
7
C
8
D
9
10
11
12
E
18
19
rízení
13
&
~G1 14
~G2 15
1
2
0
3
1
4
2
5
3
6
4
7
23
8
22
B
9
21
C
10
20
D
5
A
6
7
8
11
9
13
10
14
11
15
12
16
17
18
19
74154N
13
&
~G1 14
~G2 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
14
15
16
17
74154N
1
6. Hazardy
Hazardní stavy jsou nežádoucí stavy v číslicových obvodech, projevující se výskytem nesprávné hodnoty
log. veličiny na výstupu, a to buď dočasně nebo trvale. Příčinou jejich vzniku je obvykle vliv různých
zpoždění v jednotlivých částech logické soustavy, způsobující odchylku skutečného chování obvodu od
ideálního, Booleovou algebrou předepsaného chování. Rozlišujeme hazardy statické, které způsobují
jednorázové, dočasné chyby hodnoty výstupní funkce, a hazardy dynamické, které mohou vznikat ve
vícestupňových kombinačních logických obvodech a způsobují několik po sobě následujících změn
hodnoty výstupní proměnné. V kombinačních logických obvodech mohou vznikat oba druhy hazardů.
Vznik hazardu si objasníme na jednoduchém obvodu, uvedeném na obr.12. Na jeden vstup součinového
logického členu je přiveden signál A a na druhý vstup signál A , který jsme získali v invertoru. Při
realizaci funkce: Y = A ⋅ A ideálními prvky by na výstupu měla být vždy hodnota Y = 0,
protože platí zákon doplňku: A ⋅ A = 0 .
Při realizaci skutečnými elektronickými log. členy se však projevují zpoždění, vlivem kterých se změní
veličina z A na A až za určitou dobu τ . Ve skutečném případě na výstupu vznikne tedy impuls, který
by v ideálním případě nemohl nastat. Během přechodného děje vznikne po určitou dobu paradoxní
Y = A⋅ A = 1
což je postačující podmínka pro vznik hazardu.
výsledek:
Číslicová technika-1 – učební texty.
A
(HS – určeno pro SPŠ Zlín)
Str.: - 25 -
Y
&
1
Obr. 12: Objasnění vzniku hazardu (při tzv. sousedních stavech)
Statické hazardy nastávají při realizaci logických funkcí, v jejichž algebraických vztazích se vyskytují
tzv. sousední stavy. Při syntéze obvodů musíme dbát na vyloučení možnosti jejich vzniku. Existuje
několik způsobů:
a) Logické soustavy realizujeme tak, aby se nevyskytovaly situace, které vedou k hazardům.
b) Do algebraické rovnice zavedeme další kombinace vstupních proměnných, které zajistí
setrvání výstupu v log. 0, nebo 1 během přechodového děje, jak to správná funkce obvodu
vyžaduje.
c) Na výstup zapojíme časový filtr, nepropouštějící impulsy kratší než je přípustná hodnota. Jsou-li
impulsy projevující se jako hazardy kratší než je přípustná hodnota, neprojeví se na výstupu.
Touto úpravou se však snižuje maximální operační kmitočet daného logického obvodu.
Příklad24:
Sestavte logické schéma pro realizaci logické funkce (bez vzniku hazardu):
Y = A⋅ B + C ⋅ B
Tato funkce se dá realizovat jednoduchým obvodem na obr. 13.
Obr. 13: Realizace log. funkce: Y = A ⋅ B + B ⋅ C
A
Tento obvod není odolný proti hazardu v
log. 1 při změně B, protože členy: A ⋅ B a
C ⋅ B jsou "sousední" (vzniká zde zpoždění
signálu o určitou dobu ze vstupu B vlivem jeho
průchodu přes investor). Vztah ale můžeme
upravit rozšířením na úplný tvar:
Y = AB(C + C ) + C B( A + A)
Y
&
B
1
1
&
C
Y = A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C + A⋅ B ⋅C
Po úpravě (pomocí Karnaughovy mapy):
Y = A⋅ B + C ⋅ B + A⋅C
Schéma realizované podle této upravené logické funkce obsahuje člen AC, který zajistí odolnost
obvodu (obr.14) proti vzniku hazardu, protože při A = C = 1 bude AC = 1, a tedy také Y = 1,
i kdyby během přechodného děje nastala paradoxní situace, že: B = B = 0
Obr. 14: Realizace log. funkce
A
Y = A⋅ B + C ⋅ B + A⋅C
&
B
1
C
Y
&
&
1