Přednáška 6 - Katedra ekonometrie

Transkript

Dualita v úlohách LP
Ekonomická interpretace duální úlohy
Základy operačního výzkumu
Přednáška č. 6
Jiří Neubauer
Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Jiří Neubauer
Uvažujme obecnou úlohu lineárního programování, tj. úlohu
nalezení takového řešení vlastních omezujících podmínek
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn
= b1
= b2
..
.
= bm
aby současně byly splněny podmínky nezápornosti, tj.
xi ≥ 0, i = 1, . . . , n.
a aby účelová funkce
z = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
nabývala svého maxima, resp. minima.
Jiří Neubauer
V úloze se vyskytují 3 druhy koeficientů:
aij . . . strukturální koeficienty
bi . . . celkové úrovně činitelů (pravé strany)
cj . . . cenové koeficienty
Tyto koeficienty jsou v matematických modelech propojeny pomocí
proměnných xj . Koeficienty aij , bi se vyskytují ve vlastních
omezeních, koeficienty cj se vyskytují v účelové funkci. Takto
zformulovaný matematický model budeme nazývat primární
matematický model.
Jiří Neubauer
Ke každé úloze lineárního programování lze formulovat úlohu
duální. Dualita je matematický vztah mezi dvěma úlohami
lineárního programování – primární a duální, které tvoří dvojici
duálně sdružených úloh.
Věta o reflexivnosti duality
Duální úloha k duální úloze je původní primární úloha.
Reflexivnost duality umožňuje z vlastností a řešení primární úlohy
určit vlastnosti a řešení úlohy duální a naopak.
Jiří Neubauer
Říkáme, že maximalizační úloha je ve standardním tvaru, jestliže
všechny vlastní omezující podmínky jsou typu „≤ÿ nebo „=ÿ, tzn.
např.
z = c1 x1 + c2 x2
a11 x1 + a12 x2
a21 x1 + a22 x2
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2
Jiří Neubauer
+ . . . + cn xn → max
+ . . . + a1n xn ≤ b1
+ . . . + a2n xn ≤ b2
..
.
+ . . . + amn xn ≤ bm
Říkáme, že minimalizační úloha je ve standardním tvaru, jestliže
všechny vlastní omezující podmínky jsou typu „≥ÿ nebo „=ÿ, tzn.
např.
z = c1 x1 + c2 x2
a11 x1 + a12 x2
a21 x1 + a22 x2
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2
+ . . . + cn xn → min
+ . . . + a1n xn ≥ b1
+ . . . + a2n xn ≥ b2
..
.
+ . . . + amn xn ≥ bm
Poznámka: Pokud typy nerovností nejsou v souladu s extrémem
účelové funkce, je třeba příslušné vlastní omezující podmínky
násobit číslem (−1), a to i za cenu záporné pravé strany.
Jiří Neubauer
Ke každé úloze lineárního programování ve standardním tvaru lze
jednoznačně přiřadit duální úlohu následovně:
Maximalizační primární úloze ve standardním tvaru přísluší
minimalizační duální úloha ve standardním tvaru, a naopak.
Každému vlastnímu omezení primární úlohy odpovídá jedna
strukturní proměnná úlohy duální, a naopak.
Matice strukturních koeficientů primární úlohy a matice
strukturních koeficientů duální úlohy jsou navzájem
transponované.
Vektor pravých stran primární úlohy je vektorem cen úlohy
duální, a naopak.
Jiří Neubauer
Primární mat. model
Duální mat. model
Účelová funkce → max (resp.
min)
Vlastní omezení primární úlohy
(počet m)
Podmínky nezápornosti
primárních proměnných (počet n)
Účelová funkce → min (resp.
max)
Podmínky nezápornosti duálních
proměnných (počet m)
Vlastní omezení duální úlohy
(počet n)
z=
n
X
cj xj → max
j=1
f =
m
X
bi ui → min
i=1
A~x ≤ ~b
AT ~u ≥ ~c
xj ≥ 0, j = 1, . . . n
ui ≥ 0, i = 1, . . . m
Jiří Neubauer
Dualita v lineárním programování je jednoznačné přiřazení
matematických modelů vycházejících ze stejných koeficientů aij ,
bi , cj , které jsou v modelech jinak umístěny.
Jestliže se v primární úloze objevují vlastní omezující podmínky
pouze ve tvaru nerovnic (nikoli rovnic) a podmínky nezápornosti na
všechny proměnné, tvoří primární úloha spolu s duální úlohou
dvojici tzv. symetrických duálně sdružených úloh.
Když se mezi vlastními omezujícími podmínkami primární úlohy
vyskytuje nějaká rovnice, či pokud se nepožaduje nezápornost
některé primární proměnné, nazýváme primární úlohu spolu s duální
úlohou dvojicí tzv. nesymetrických duálně sdružených úloh.
Jiří Neubauer
Schéma konstrukce duální úlohy
f
q
≤ b1
u1
+
≤ b2
u2
+
..
.
Jiří Neubauer
≥
≥
≥
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
u1
u1
u1
+
+
+
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
u2
u2
u2
+
+
+
..
..
.
.
+
+
+
+
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ≤ bm
um
um
um
um
↓
z = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn →
max
min
Příklad
Podnik vyrábí dva druhy výrobku V1 a V2 . Tabulka udává spotřebu
surovin S1 a S2 v kg na výrobu 1 ks výrobku V1 , resp. V2 ,
a disponibilní množství těchto surovin. Zisk z každého výrobku V1
je 3 Kč a z 1 ks V2 je 2 Kč. Stanovte optimální výrobní plán
podniku tak, aby dosáhl maximálního zisku. Sestavte matematický
model duální úlohy a naleznete řešení duální úlohy.
S1
S2
zisk
Výrobky
V1 V2
2
5
4
1
3
2
Jiří Neubauer
Disponibilní
množství
1000
1100
max
Příklad
Nejprve sestavíme (primární) matematický model úlohy.
2x1 + 5x2 ≤ 1000
4x1 + x2 ≤ 1100
z = 3x1 + 2x2 → max
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
kde x1 , resp. x2 značí počet kusu výrobku V1 , resp. V2 .
Primární úloha je maximalizační a všechny vlastní omezující
podmínky jsou nerovnosti (konkrétně typu „≤ÿ), tzn. matematický
model je ve standardním tvaru. Současně obě proměnné musí být
nezáporné, proto tato úloha a k ní úloha duálně sdružená budou
tvořit dvojici symetrických úloh.
Jiří Neubauer
Příklad
Primární úloha má dvě vlastní omezení, proto duální úloha bude
mít dvě duální proměnné. Označíme je u1 a u2 . Uplatněním výše
uvedených pravidel sestavíme matematický model duální úlohy ve
tvaru
2u1 + 4u2 ≥ 3
5u1 + u2
≥ 2
f = 1000u1 + 1100u2 → min
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0
Vyřešme nejprve simplexovou metodou primární úlohu, poté
vyřešíme úlohu duální (metoda umělé báze).
Jiří Neubauer
Příklad
báze
x10
x20
z
x1
2
4
−3
x2
5
1
−2
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
x20
0
1
0
bi
1000
1100
0
βi
αik
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x1
2
4
−3
x2
5
1
−2
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
x20
0
1
0
bi
1000
1100
0
βi
αik
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x1
2
4
−3
x2
5
1
−2
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
x20
0
1
0
bi
1000
1100
0
βi
αik
500
275
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x1
2
4
−3
x2
5
1
−2
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
x20
0
1
0
bi
1000
1100
0
βi
αik
500
275
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x10
x1
z
x1
2
4
−3
0
1
0
x2
5
1
−2
18
4
1
4
− 45
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
1
0
0
x20
0
1
0
− 12
1
4
3
4
bi
1000
1100
0
450
275
825
βi
αik
500
275
max
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x10
x1
z
x1
2
4
−3
0
1
0
x2
5
1
−2
18
4
1
4
− 45
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
1
0
0
x20
0
1
0
− 12
1
4
3
4
bi
1000
1100
0
450
275
825
βi
αik
500
275
max
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x10
x1
z
x1
2
4
−3
0
1
0
x2
5
1
−2
18
4
1
4
− 54
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
1
0
0
x20
0
1
0
− 12
1
4
3
4
bi
1000
1100
0
450
275
825
βi
αik
500
275
max
100
1100
max
Příklad
báze
x10
x20
z
x10
x1
z
x1
2
4
−3
0
1
0
x2
5
1
−2
18
4
1
4
− 54
Jiří Neubauer
x10
1
0
0
1
0
0
x20
0
1
0
− 12
1
4
3
4
bi
1000
1100
0
450
275
825
βi
αik
500
275
max
100
1100
max
Příklad
PRIMÁRNÍ ÚLOHA
báze
x10
x20
z
x10
x1
z
x2
x1
z
x1
2
4
−3
0
1
0
0
1
0
18
4
1
4
− 54
x10
1
0
0
1
0
0
x20
0
1
0
− 12
1
0
0
2
9
1
− 18
5
18
− 91
x2
5
1
−2
Jiří Neubauer
1
4
3
4
5
18
11
18
bi
1000
1100
0
450
275
825
100
250
950
βi
αik
500
275
max
100
1100
max
max
Příklad
PRIMÁRNÍ ÚLOHA
báze
x10
x20
z
x10
x1
z
x2
x1
z
x1
2
4
−3
0
1
0
0
1
0
18
4
1
4
− 54
x10
1
0
0
1
0
0
x20
0
1
0
− 12
1
0
0
2
9
1
− 18
5
18
− 91
x2
5
1
−2
1
4
3
4
5
18
11
18
bi
1000
1100
0
450
275
825
100
250
950
βi
αik
500
275
max
100
1100
max
max
Optimální řešení je ~x = (250, 100, 0, 0), zmax = 950.
Jiří Neubauer
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u1
2
5
−1000
7
u2
4
1
−1100
5
Jiří Neubauer
u10
−1
0
0
−1
u20
0
−1
0
−1
u100
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
bi
3
2
0
5
βi
αik
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u1
2
5
−1000
7
u2
4
1
−1100
5
Jiří Neubauer
u10
−1
0
0
−1
u20
0
−1
0
−1
u100
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
bi
3
2
0
5
βi
αik
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u1
2
5
−1000
7
u2
4
1
−1100
5
Jiří Neubauer
u10
−1
0
0
−1
u20
0
−1
0
−1
u100
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
bi
3
2
0
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u1
2
5
−1000
7
u2
4
1
−1100
5
Jiří Neubauer
u10
−1
0
0
−1
u20
0
−1
0
−1
u100
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
bi
3
2
0
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u100
u1
f
f0
u1
2
5
−1000
7
0
1
0
0
u2
4
1
−1100
5
18
5
1
5
−900
18
5
u10
−1
0
0
−1
−1
0
0
−1
Jiří Neubauer
u20
0
−1
0
−1
2
5
− 51
−200
2
5
u100
1
0
0
0
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
− 25
bi
3
2
0
5
200
− 75
400
1
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
11
5
2
5
11
5
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u100
u1
f
f0
u1
2
5
−1000
7
0
1
0
0
u2
4
1
−1100
5
18
5
1
5
−900
18
5
u10
−1
0
0
−1
−1
0
0
−1
Jiří Neubauer
u20
0
−1
0
−1
2
5
− 51
−200
2
5
u100
1
0
0
0
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
− 25
bi
3
2
0
5
200
− 75
400
1
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
11
5
2
5
11
5
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u100
u1
f
f0
u1
2
5
−1000
7
0
1
0
0
u2
4
1
−1100
5
18
5
1
5
−900
18
5
u10
−1
0
0
−1
−1
0
0
−1
Jiří Neubauer
u20
0
−1
0
−1
2
5
− 51
−200
2
5
u100
1
0
0
0
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
− 25
bi
3
2
0
5
200
− 75
400
1
5
11
5
2
5
11
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
11
18
2
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u100
u1
f
f0
u1
2
5
−1000
7
0
1
0
0
u2
4
1
−1100
5
18
5
1
5
−900
18
5
u10
−1
0
0
−1
−1
0
0
−1
Jiří Neubauer
u20
0
−1
0
−1
2
5
− 51
−200
2
5
u100
1
0
0
0
1
0
0
0
u200
0
1
0
0
− 25
bi
3
2
0
5
200
− 75
400
1
5
11
5
2
5
11
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
11
18
2
min
min
Příklad
DUÁLNÍ ÚLOHA
báze
u100
u200
f
f0
u100
u1
f
f0
u2
u1
f
f0
u1
2
5
−1000
7
0
1
0
0
0
1
0
0
u2
4
1
−1100
5
18
5
1
5
−900
18
5
1
0
0
0
Optimální řešení je ~u =
u10
−1
0
0
−1
−1
0
0
−1
5
− 18
u20
0
−1
0
−1
2
5
− 15
−200
u100
1
0
0
0
1
0
0
0
1
18
2
5
2
18
4
− 18
5
18
1
− 18
−250
0
−100
0
250
−1
5 11
18 , 18 , 0, 0
Jiří Neubauer
u200
0
1
0
0
− 25
bi
3
2
0
5
200
− 75
2
− 18
400
4
18
11
5
11
18
5
18
100
−1
950
0
1
5
, fmin = 950.
11
5
2
5
βi
αik
3
2
2
5
min
min
11
18
2
min
min
min
min
Věta o dualitě
Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh lineárního
programování optimální řešení, pak má i druhá úloha optimální
řešení a hodnoty účelových funkcí (pro tato optimální řešení) jsou
stejné.
Řešení duální úlohy lze vyvodit i z posledního kroku simplexové
tabulky primární úlohy. Podobně, na základě reflexivity duality
platí, že optimální řešení primární úlohy lze určit z posledního
kroku simplexové tabulky duální úlohy (obsahuje-li optimální řešení
duální úlohy).
Jiří Neubauer
0
báze x1 . . . xn x10 . . . xm
..
..
..
.
.
.
z
bi
..
.
u10 . . . un0 u1 . . . um z = f
Tabulka: Řešení duální úlohy
v řešení primární úlohy
báze u1 . . . um u10 . . . un0
..
..
..
.
.
.
f
bi
..
.
0 x ...x
x10 . . . xm
1
n f =y
Tabulka: Řešení primární úlohy
v řešení duální úlohy
Poznámka. Pokud je úloha minimalizační, je třeba koeficienty
v anulované účelové rovnici vynásobit číslem (−1) a teprve pak je
považovat za duální proměnné.
Jiří Neubauer
Příklad
PRIMÁRNÍ ÚLOHA
báze
x2
x1
z
x1
0
1
0
x20
− 19
bi
100
250
950
u20
bi
1
18
2
18
4
− 18
11
18
5
18
−250
−100
950
x2
1
0
0
x10
2
9
1
− 18
5
18
11
18
5
18
Optimální řešení je ~x = (250, 100, 0, 0), zmax = 950.
DUÁLNÍ ÚLOHA
Optimální řešení je ~u =
báze
u2
u1
f
u1
0
1
0
u2
1
0
0
5 11
18 , 18 , 0, 0
Jiří Neubauer
u10
5
− 18
, fmin = 950.
Uveďme na tomto místě, jaké kombinace optimálních řešení
(a jejich vlastností) duálně sdružených úloh jsou přípustné.
Má-li primární úloha jediné optimální řešení, pak i duální
úloha má jediné optimální řešení, a naopak.
Má-li primární úloha alternativní řešení, pak optimální řešení
duální úlohy je degenerované, a naopak.
Nemá-li primární úloha konečné optimální řešení (tj. má
přípustná řešení, ale účelová funkce může neomezeně růst,
resp. klesat, podle toho, zda jde o maximalizační, resp.
minimalizační, úlohu), pak duální úloha nemá žádné přípustné
řešení, a naopak.
Jiří Neubauer
Příklad
Podnik vyrábí dva druhy výrobku V1 a V2 . Tabulka udává spotřebu
surovin S1 a S2 v kg na výrobu 1 ks výrobku V1 , resp. V2 ,
i disponibilní množství těchto surovin. Zisk z každého výrobku V1
je 3 Kč a z 1 ks V2 je 2 Kč.
S1
S2
zisk
Výrobky
V1 V2
2
5
4
1
3
2
Disponibilní
množství
1000
1100
max
Optimální výrobní plán podniku tak, aby dosáhl maximálního zisku,
jsme již stanovili dříve. V tom případě se suroviny transformují na
výrobky a ty se (se ziskem) prodávají. Zde ale uvažujme zcela
jinak. Úkolem je sestavit úlohu (její matematický model), kdy
nebudeme ze surovin vyrábět výrobky a ty prodávat, ale budeme
prodávat přímo suroviny, které má podnik k dispozici.
Jiří Neubauer
Uvažujme tedy přímý prodej surovin. Otázkou, která nás zajímá,
je, jaké by musely být ceny surovin (a jakého nejmenšího možného
zisku přitom dosáhneme), aby se jejich přímý prodej vyplatil.
Označme tedy neznámou cenu jednotkového množství suroviny S1
symbolem u1 a neznámou cenu jednotkového množství suroviny S2
symbolem u2 . Prodejní cena celkového množství surovin je potom
dána funkcí
f = 1000u1 + 1100u2 .
Aby se přímý prodej surovin vyplatil (proti transformaci surovin na
výrobky), je třeba zajistit, aby se přímým prodejem surovin,
potřebných pro výrobu 1 ks výrobku V1 , dosáhlo alespoň stejného
zisku jako v případě jeho výroby a prodeje, tj. alespoň 3 Kč.
Dostáváme podmínku
2u1 + 4u2 ≥ 3.
Jiří Neubauer
Analogickou úvahou vzhledem k surovinám potřebných k výrobě
výrobku V2 dospějeme k podmínce
5u1 + u2 ≥ 2.
Ceny surovin uvažujeme nezáporné, tj. u1 ≥ 0, u2 ≥ 0.
Dostáváme tedy model
2u1 + 4u2 ≥ 3
5u1 + u2
≥ 2
f = 1000u1 + 1100u2 → min
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0
což je již řešená duální úloha LP.
Jiří Neubauer

Přednáška 6 - Katedra ekonometrie

Transkript

Podobné dokumenty

Operační výzkum

MOPV - Informatika Ostravská Univerzita

- 1 - Úplný přehled 69 teoretických otázek ve zkouškových testech z

0 z

Cvičení 3 – Úlohy LP v programu LINGO

Operaèní výzkum

Zobrazit celý článek - Trendy ve vzdělávání

Softwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení