opravování páté a šesté série úloh se velmi

opravování páté a šesté série úloh se velmi protáhlo, za což se vám moc omlouváme.
Nyní tak konečně dostáváte do rukou výsledky 20. ročníku Pikomatu MFF UK. Loňské vítězství obhájila studentka Gymnázia ve Frenštátě pod Radhoštěm Hana Bílková
z Mniší u Kopřivnice, která v celé soutěži neztratila jediný bod. Získala tedy plný počet 180 bodů. Jen o bod méně dostala Karolína Rezková. S větším odstupem následují
na dalších místech Petr Motloch, Lucie Mohelníková, společně Jan Bílek a Josef Tkadlec, Miroslav Olšák a další. Nejlepším řešitelem z devátého ročníku je Hana Bílková,
z osmého Jan Bílek, v sedmém je to Zdislava Šrůtková, nejlepším řešitelem z šestého
ročníku je Dominik Steinhauser a z pátého Jan Doubrava. Všem vítězům i vítězkám
moc gratulujeme.
Pochvalu a veliké uznání si samozřejmě zaslouží i ti, kteří v průběhu celého roku
posílali správná řešení a dostali více než polovinu z celkového počtu bodů, tedy alespoň 91; ti od nás obdrží diplom. Několik nejlepších řešitelů dostane zajímavé ceny.
Těm, kteří už se Pikomatu nemůžou tento rok účastnit, bychom chtěli doporučit
některý z korespondenčních seminářů pro střední školy, které pořádá Matematicko-fyzikální fakulta. Můžete si vybrat matematický nebo fyzikální seminář nebo také
seminář z programování. Více se o korespondenčních seminářích dozvíte na internetové stránce http://www.mff.cuni.cz/verejnost/ks/.
Ostatním zasíláme zadání dalšího ročníku Pikomatu MFF UK. Doufáme, že nám
nadále zachováte svou přízeň a opět se zapojíte do soutěže. Termín odeslání 1. série 21. ročníku je již 17. října. Všichni organizátoři i opravovatelé vám přejí mnoho
úspěchů v novém školním roce a slibují, že se budou snažit, aby prodlevy mezi odesláním řešení a jejich opravením nebyly tak dlouhé: Jan Blažek, Lenka Blažková,
Viktor Bobro, Lenka Burešová, Eva Černohorská, Kateřina Dobiášová, Jan Foniok,
Ondřej Honzl, Jan Konopásek, Václava Kopecká, Jan Křivonožka, Zbyněk Pawlas,
Karel Pazourek, Petr Škovroň.
!"
A v té tmě všechno skončilo. Naděje na ovládnutí světa i Jasův život. Žluté srdce
Velké Č. zůstalo ve Velké Č. Výprava třinácti kočovníků skončila smrtí 10 z nich.
Přežil jen Lutze a dvě ženy. Z koní se vrátili jen tři. Mongolský sen se rozplynul a snad
jen náš vládce Kublaj nezanevřel na svůj sen a začal s přípravami nové výpravy.
Jak to ale bylo nakonec? Poté, co Jasovo tělo dopadlo do bláta a to se za ním zavřelo,
vřava neskončila. Vigi, Cen a Otah se vrhli zachránit, co se ještě dalo. Lutze s koňmi
se rozhodl bránit vojákům v cestě, a tak vést stádo přímo na ně. Vojáků bylo ale přes
40 a pálili na ně jeden šíp za druhým. Jejich rychlopalné kuše (Chu ko nu) posílali
koně rychle k zemi. Na půl cesty k vojákům zásah dostal i Vigi a sklouzl ze sedla
svého koně. Cen a Otah zpanikařili, ale stádo je nepustilo ze sevření. Stádo, čítající
nyní již jen 10 kusů, dorazilo až k vojákům a Cen s Otahem rychle čtyři z nich poslali
k zemi, koně vojáků se splašili a mnozí popadali ze sedel. Další salvou mělo padnout
již vše. „Na nic jsme nečekali a proběhli mezi vojáky. Otahovi ještě prostřelila jedna
šipka nohu, ale vojákům bez koní jsme ujeli a ti, co se ještě drželi v sedlech, měli za
úkol postarat se o Žluté srdce,ÿ vyprávěl Lutze a pokračoval: „unikli jsme, nešlo jim
o naše životy, jen o Žluté srdce. Dostat se přes Velkou Zeď už bylo proti tomu hračkou.
V přestrojení s několika lany jsme zeď v noci přelezli a vrátili se konečně DOMŮ. Zde
naše jména sice zhanobili, ale sousedé pochopili, že to nebylo naší změkčilostí.ÿ Já,
Fen, pouze dopisuji příběh několika velkých mužů, kteří v historii nic neznamenali.
Mnohým hrdinům se podobné cti nedostane, přestože by si to zasloužili. Neboť často
prokáží více odvahy a oddanosti než hrdinové, o kterých si svět vypráví.
Tak příběh ukončuje Fen,
ten jež nikdy neznamenal nic,
hrdiny příběhu poznal jen
a po smrti dát jim chtěl víc.
Úloha č. 1
#$%&'()*+',-./%0
Spojnice středů stran trojúhelníku se nazývá střední příčka. Označme původní trojúhelník ABC. Dále označme P , Q po řadě středy stran AC, BC. Trojúhelníky ABC
a P QC jsou podobné podle věty sus, neboť mají totožný vnitřní úhel u vrcholu C,
|P C| = |AC| : 2 a |QC| = |BC| : 2. Koeficient podobnosti je 21 . Střední příčka má tedy
poloviční délku než příslušná strana trojúhelníku.
To znamená, že každý nově vzniklý trojúhelník má strany polovičních délek, než
měl trojúhelník, ze kterého vznikl. Proto má i poloviční obvod. Obvod prvního trojúhelníku je 2 + 3 + 3 = 8 palců. Tudíž druhý trojúhelník má obvod 4 palce, třetí
2 palce, čtvrtý 1 palec a pátý 0,5 palce.
Komentář: Téměř všechna došlá řešení byla správná. Někteří z vás si neuvědomili, že nemusejí převádět rozměry z palců na centimetry; lepší je počítat rovnou
v původních jednotkách. Objevila se i řešení spočívající v sestrojení pěti trojúhelníků a následného změření. Všechna byla ale zatížena velkými chybami vyplývajícími
z nepřesného rýsování a měření; hodnocena byla nejvýše třemi body.
Úloha č. 2
Jednou z možností, jak doplnit magický čtverec, bylo vypsat si všechny trojice různých
čísel, jejichž součin je 216 (takových trojic je 15). Uvědomíme si, kolikrát se čísla na
různých pozicích ve čtverci násobí (v rohu třikrát, uprostřed čtverce čtyřikrát a ve
středech stran dvakrát), a z toho budeme vycházet. Protože každé číslo bude násobeno
alespoň dvakrát, tak vyškrtáme ty trojice, které obsahují číslo, které již v jiné trojici
není. Jde o trojice obsahující 24, 54, 72 a 108. Dále si vypíšeme, kolikrát se které
číslo vyskytuje ve všech zbylých trojicích. Zkontrolujeme, jestli v každé trojici je
nejvýše jedno číslo s počtem výskytů dva. Nevyhovující trojici (1, 8, 27) vyřadíme.
A ještě jednou zkontrolujeme to samé ovšem s tím, že nám jedna trojice vypadla.
Takto vyřadíme další dvě trojice a zbude nám jich osm. Tedy přesně tolik, kolik
potřebujeme. Zjistíme, které číslo se vyskytuje čtyřikrát (je to šestka) a to bude
uprostřed magického čtverce. Potom již jednoduše doplníme trojice do magického
čtverce a otočíme ho tak, aby na prvním řádku byl součet co největší. Výsledek vidíte
na obrázku.
2
2
36
3
9
6
4
12
1
18
Komentář: Většina z vás měla řešení správně. Našli se tací, co skládali čtverec z desetinných čísel. Protože v zadání nebylo přímo napsáno, že čísla mají být přirozená,
tak jsem tato řešení také uznávala. Pro příště si však pamatujte, že magický čtverec
je plný přirozených čísel. Jinak by existovala spousta řešení.
Úloha č. 3
Začneme tím, že zjistíme, kolik je různých možností, jak se stráže mohou během
jednoho cyklu vystřídat bez ohledu na to, zda střídají či nestřídají někdy dva dny
po sobě. Zjišťujeme tedy, kolik je různých čtveřic dní ze sedmidenních cyklů. Pro ty,
kteří
¡ ¢vědí,7!co je to kombinační číslo, je lehké nahlédnout, že počet takových čtveřic
je 74 = 3!·4!
.
Pro ty ostatní to odvodím. Přestavme si, že z číslic 1 až 7 sestavujeme všechna
různá čtyřciferná čísla tak, aby každá číslice byla v jednom čísle použita nejvýše
jednou. Počet takových čtyřciferných čísel je 7 · 6 · 5 · 4, protože na místo tisíců máme
na výběr sedm možností, pro každou z nich máme na místo stovek šest možností
(už nemůžeme použít číslici, která je na místě tisíců) atd. To se také dá zapsat jako
7!/3! (pro ty, kdo nevědí, co ten vykřičník znamená – říká se mu faktoriál a znamená
toto: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1). Pokud vybíráme čtveřici dní v cyklu, kdy
se stráže budou střídat, úloha je podobná. Označíme si dny v cyklu 1 až 7 a také
vybíráme různé čtveřice čísel, pouze tentokrát nám nezáleží na pořadí. Pro každou
čtveřici čísel existuje x různých pořadí (je zjevné, že nezáleží na tom, o jaké číslice
jde, počet různých pořadí bude vždy stejný). Kdybychom tedy vzali počet různých
čtveřic dní, kdy se stráže mohou střídat (p) a vynásobili to počtem různých pořadí
pro každou z těchto možností (x), dostali bychom již známý výsledek 7 · 6 · 5 · 4. Když
to zapíšeme jako rovnici dostaneme:
7!
,
3!
7!
p=
.
3! · x
p·x=
Stačí nám tedy najít x neboli počet různých pořadí čtyř různých číslic. Není nic
jednoduššího – na první místo v pořadí máme čtyři možnosti, kterou číslici vybrat, pro
každou z těchto možností nám na druhé místo zbyly 3 možnosti atd. Tedy x = 4·3·2·1.
Hledaný počet různých čtveřic dní, kdy se stráže mohou střídat je tedy:
p=
7!
= 35.
3! · 4!
3
Mimochodem, tímto jsme obecně
něco, čemu se, jak jsem již dříve zmínil, říká
¡ ¢ odvodili
n!
a určuje počet různých k-tic z n prvků.
kombinační číslo, zapisuje se nk = k!·(n−k)!
Nyní nám zbývá vyloučit případy, kdy se ani jednou za cyklus stráže nevystřídají dva
dny po sobě. Je snadné nahlédnout, že taková možnost je jen jedna totiž, že se stráže
střídají první, třetí, pátý a sedmý den. Proto počet různých cyklů střídání tak, aby se
7!
stráže aspoň jednou za týden vystřídaly dva dny po sobě, je roven: c = 3!·4!
− 1 = 34.
Úloha č. 4
Jak většina z vás pochopila, měl se narýsovat trojúhelník (označme ho ABC) vepsaný
do kružnice o poloměru 5 palců (označme ji k), který splňuje další podmínky: dvě
z jeho stran mají být stejně dlouhé, to se zdálo celkem jasné. Problém nastal při interpretaci věty „Navíc když se spojí střed jedné z těchto čar a protější roh trojúhelníku,
tak tahle čára s tou, se kterou má společný ten střed, jsou jako tady ten roh.ÿ To,
že říká, že jedna těžnice je kolmá na odpovídající stranu, bylo jasné. Někteří z vás
ale dál pochopili, že trojúhelník musí mít jeden vnitřní úhel pravý, neboť kde by se
vzal onen jiný pravý roh, dostali tak rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník; jiní zase
pochopili větu tak, že těžnice na jednu ze dvou stejně dlouhých stran je na tuto stranu
kolmá, což splňuje pouze rovnostranný trojúhelník. Někteří se něčím takovým vůbec
nezabývali: narýsovali libovolný rovnoramenný trojúhelník vepsaný do kružnice.
Konstrukci trojúhelníku v prvních dvou případech jste většinou dělali přes konstrukci čtverce nebo šestiúhelníku vepsaných do kružnice, ze kterých se pak vyberou
vhodné vrcholy.
V úplném řešení pak nesměla chybět úvaha, jak jste na váš trojúhelník přišli, rozbor
úlohy, zápis konstrukce a narýsování.
Zápis konstrukce mohl kupříkladu vypadat takto:
1. k; k(S; 5 p)
2. šestiúhelník AA0 BB 0 CC 0 vepsaný do kružnice k (tento bod jste mohli dále rozepsat)
3. trojúhelník ABC
C0
C
k
A
B0
S
B
A0
4
Komentář: Pokud jste uvedli jakýkoliv logický postup, patřičně popsaný, dával jsem
5 bodů. Body jsem strhával především za chybějící postup (v této úloze bylo možných
několik přístupů, tak z čeho mám poznat, jak jste úlohu řešili?) nebo chybějící narýsování, případně 1 bod za několik menších chyb jako je nepopsaný obrázek, chybějící
zápis konstrukce a podobně.
Úloha č. 5
Předem nutno říci, že úloha byla jednoduchá a podle toho vypadala i řešení. Víme, že
obě stáda (moje i Cenovo) měla dohromady 51 koní. Mezi řečí mezi našimi stády proběhly 2 a pak ještě 2·2 koně (od Cena ke mně). A jako poslední informaci jsme dostali,
že na konci hovoru jsem já měl stádo dvakrát větší než Cen. Zapsáno matematicky
(i když v této úloze to nebylo ani třeba):
a + b = 51,
kde a je velikost Cenova stáda na začátku hovoru a b je velikost mého stáda na začátku
hovoru. Od Cena ke mně přeběhlo 2 + 2 · 2 = 6 koní. Po hovoru mám já b + 6 koní,
zatímco Cen a − 6. Platí tedy:
2 · (a − 6) = b + 6.
Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, ze kterých jednoduchou úpravou dostaneme a = 23 a b = 28. Odpověď tedy zní: před začátkem hovoru měl Cen před sebou
stádo 23 koní a já stádo 28 koní.
Úloha č. 6
Protože jsou čísla značek celá kladná a dělitelná sedmi, označíme je 7a < 7b < 7c < 7d.
Ze zadaní vytvoříme následující rovnice: (7d + 7c) − (7a + 7b) = 7d, (7d + 7a) − (7b +
+ 7c) = 7. První rovnici upravíme na tvar c = a + b a dosadíme do druhé. Po úpravě
dostaneme vyjádření čísla d = 1 + 2b. Teď je nutné se ptát, jestli c < d, zda tedy
a + b < 1 + 2b, ale to pro a < b platí.
Máme vyjádřená čísla c a d v závislosti jen na číslech a a b. A nyní uvažme omezení
7d < 100, to je totéž jako 7(1 + 2b) < 100, po úpravě obdržíme b < 7 a protože
a < b a počítáme jen s přirozenými čísly, tak 1 < b < 7. Tím lze snadno rozebrat
všechny možnosti. Pro b = 2 musí být a = 1. Z odvozených vztahů je c = 3 a d = 5,
po vynásobení dostáváme čtveřici (7,14,21,35). Je-li b = 3 máme již dvě možnosti
pro číslo a, které je buď a = 1, nebo a = 2, čímž získáme čtveřice (7,21,28,49)
a (14,21,35,49). Pro b = n dostaneme takto n − 1 možností. Tážeme-li se na počet
možností pro b od dvou do šesti, dostaneme celkem 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 čtveřic
čísel, která jsou menší než 100. V druhé části úlohy si povšimneme vztahu, že počet
možností je součet po sobě jdoucích čísel od jedné do k (tzv. trojúhelníkové číslo), pro
který je známý vzoreček k(k+1)
. Omezující podmínka je 7d < 500, 7(1 + 2b) < 500,
2
odtud získáme 1 < b < 36 (tj. k = 34). Počet různých čtveřic čísel, která jsou všechna
menší než 500 a splňují podmínky zadání, je 34(34+1)
= 595. A úloha je vypočtena.
2
Komentář: V žádném případě netvrdím, že vzorové řešení je jediné možné, objevila
se spousta různých správných metod řešení. Pár řešitelů se domnívalo, že čtveřice musí
5
být po sobě jdoucí násobky sedmičky, nebo že čísla nejsou různá, nebo že mohou být
i nulová. Proto upozorňuji opět na důležitost řádného čtení zadání. Za první část
úlohy jsem uděloval tři a za druhou dva body.
Úloha č. 7
Z Pythagorovy věty zjistíme, že pravoúhlý
√ rovnoramenný trojúhelník s odvěsnami
o délce 2 palce má výšku na přeponu délky 2 palce. Výška na odvěsnu je pochopitelně
√
dlouhá 2 palce (splývá s odvěsnou). Možné kosočtverce tedy mohou mít výšku 2
palce nebo 2 palce.
Nejprve uvažujme situaci, kdy kosočtverce jsou čtverce o straně 2 palce. Můžeme
složit dva zrcadlově symetrické pětiúhelníky, jak je naznačeno na obrázku 1.
obr. 1
√
Další možné obrazce získáme, použijeme-li čtverce o straně 2 palce. Na obr. 2
jsou nakresleny 3 takové pětiúhelníky. Další dvě symetrická řešení již nejsou uvedena.
obr. 2
Nyní budeme k trojúhelníku přikládat kosočtverce s vnitřním úhlem 45 ◦ a výškou
2 palce. V takovém případě má strana kosočtverce stejnou velikost jako přepona
trojúhelníku. Až na symetrii máme další 3 způsoby
(obr. 3). Ještě více možností
√
dostaneme u kosočtverce s úhlem 45 ◦ a výškou 2 palce (strana kosočtverce je pak
stejná jako odvěsna trojúhelníku). Na obrázku 4 je znázorněno 5 různých vytvořených
obrazců.
obr. 3
6
obr. 4
◦
√ Dokonce je možné složit pětiúhelník z kosočtverců s vnitřním úhlem 30 a výškou
2 palce (obr. 5). V tomto případě je strana kosočtverce stejně dlouhá jako přepona
trojúhelníku.
Na závěr uveďme ještě jednu kombinaci, u které nejsou kosočtverce shodné. Jeden
√
z kosočtverců je čtverec o straně 2 palce a druhý má vnitřní úhel 45 ◦ a výšku 2
palce (obr. 6).
obr. 5
obr. 6
Pokud budeme počítat i zrcadlově symetrická řešení, tak jsme celkem našli 26 různých pětiúhelníků.
Komentář: Někteří z vás vytvořili lichoběžník a nazvali ho pětiúhelníkem. Přesto
jsem se v mnohém takovém případě překonala a udělila nějaké body. Pokud jste našli
málo řešení, ale bylo mezi nimi aspoň jedno nekonvexní, též jsem přidala bod.
Vzorové řešení je inspirováno řešením Karolíny Rezkové.
#1.23&'20.+0)45-%-60*)+"789:,-./%0;<
Úlohy páté série opravovali a komentáře sepsali: 1. Jan Foniok, 2. Kateřina Dobiášová, 3. Jan Konopásek, 4. Karel Pazourek, 5. Jan Blažek, 6. Ondřej Honzl, 7.
Lenka Blažková.
Celkově
1.
2.
3.–4.
5.
6.–7.
V roč.
1.
2.
1.
3.
4.
5.–6.
8.–10.
2.–3.
Jméno a příjmení
Hana Bílková
Karolína Rezková
Martina Vaváčková
Miroslav Klimoš
Petr Motloch
Lucie Mohelníková
Josef Tkadlec
Jan Bílek
Roč. a škola
9. GFPR
9. GVOP
8. GPCT
9. GLAN
9. GPBM
9. GEOP
9. GJKP
8. GVPP
7
1
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
3
5
5
5
5
0
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
5
5
5
5
5
7
5
5
5
4
4
5
3
-
30
30
30
30
29
30
30
30
150
149
147
147
145
143
143
142
Celkově
8.–10.
11.–12.
13.
14.–16.
17.
18.
19.–20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.–29.
30.
31.–32.
33.
34.
35.
36.–37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.–44.
45.
46.–48.
49.
50.–51.
52.
53.
54.
55.–56.
V roč.
2.–3.
7.
4.
8.
9.
5.–6.
10.
7.
11.
1.
12.
2.
13.
14.
15.
3.
16.
4.–5.
17.
8.
1.
6.
9.
10.
7.
8.
11.
9.
18.
19.
12.
20.
10.
21.
11.
2.
12.
13.
13.
14.
14.
22.
23.
24.
3.
25.
Jméno a příjmení
Miroslav Olšák
Helena Pučelíková
Lada Peksová
Jakub Töpfer
Hana Šormová
Jakub Klemsa
František Steinhauser
Mirka Dřínková
Jan Laksar
Pavel Veselý
Jan Veselý
Petr Hons
Zdislava Šrůtková
Blanka Némethová
Ondřej Heneberk
Lukáš Cimpl
Alena Bušáková
Jan David
Jiří Biolek
Roberto Nájares
Susan Müllerová
Marek Strečko
Dominik Steinhauser
Václav Fiala
Jaroslav Mandík
Michal Kozel
Zbyněk Šanda
Hana Mlnaříková
Kristina Chrastilová
Edita Pelcová
Jan Vaňhara
Jan Lochman
Kateřina Rulfová
Monika Gattnarová
Petr Tampír
Petr Kaděra
Petr Pecha
Vladimír Biolek
Jonáš Erlebach
Karel Kovářík
Lenka Havelková
František Růžička
Veronika Paštyková
Martin Šubr
Pavla Zárubová
Karolína Kripnerová
Eliška Jurková
Eva Erlebachová
Roč. a škola
8. OGBP
9. GMIL
8. GCDP
9. GJKP
9. GKJB
8. GJVK
8. ZSTR
9. GJKP
8. ZHOL
9. ZDST
7. ZDST
9. GVOZ
7. GPEL
9. GMKR
9. GBNH
9. GFPR
7. GTRU
9. GVOZ
7. ZEKF
7. GNKP
9. GVOZ
8. ZWZH
6. ZSTR
7. GPEL
8. GJVK
8. ZHBJ
7. ZAKL
7. GRPR
8. CGKV
7. ZKVM
9. GLJH
9. GNOB
8. GHPP
9. GEBH
7. GPEL
9. GPBM
7. ZVKL
6. ZEKF
7. GSGJ
8. GJVK
7. GTRU
7. GNJH
8. ZZKH
9. GNOB
9. ZPMM
9. AGKP
6. GFPR
9. GSGJ
8
1
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
4
5
3
4
5
5
5
4
5
2
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
2
5
5
1
5
5
-
3
5
5
5
4
5
5
5
5
5
3
3
5
3
5
3
4
5
3
5
5
5
5
2
3
2
5
5
2
5
5
3
5
5
5
5
3
5
3
3
4
5
5
3
5
1
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
4
5
5
5
2
5
3
5
5
5
5
5
5
4
4
5
4
5
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
5
5
5
5
5
0
6
5
4
5
5
5
5
3
4
5
5
5
3
5
3
2
1
2
4
5
4
5
5
1
5
5
3
4
0
4
3
2
5
1
1
4
1
2
0
1
7
4
2
3
4
4
4
4
3
1
4
3
4
3
1
2
2
4
2
2
1
2
3
3
2
3
1
1
;<
29
29
30
29
30
30
29
29
28
28
28
29
26
30
26
22
25
20
29
30
21
30
20
28
15
30
30
25
20
29
23
24
24
27
16
30
18
19
21
18
16
22
23
20
0
25
20
13
142
142
139
139
137
135
135
135
134
132
129
129
128
127
126
124
123
119
118
118
118
116
115
115
113
112
110
108
108
107
103
102
101
100
98
98
97
96
96
96
95
94
94
90
89
88
87
87
Celkově
57.
58.–61.
V roč. Jméno a příjmení
15.
Jakub Chmelík
16.–17. Marcel Ramdan
Vít Škoda
15.–16. Andrea Jelínková
Veronika Pazderová
62.
17.
Lucie Sezemská
63.
4.
Alžběta Štěpánková
64.–65.
18.
Tomáš Střeleček
26.
Vojtěch Kaluža
66.
19.
Lukáš Tomaszek
67.
27.
Karel Slapnička
68.
20.
Barbora Svobodová
69.
21.
Antonín Štěpán
70.
18.
Eva Matějová
71.
22.
Lucie Slavníková
72.
19.
Jan Adamus
73.–74.
20.
Jan Holý
23.
Filip Braun
75.–76.
28.–29. Michael Hájek
Šárka Křížková
77.
30.
Jaroslava Salášková
78.
5.
Miroslava Ptáčková
79.–80.
1.
Pavel Vampola
21.
Jan Cielecký
81.
1.
Jan Doubrava
82.
24.
Anna Lorencová
83.
25.
Filip Edelman
84.–85.
26.–27. Jaroslav Seifert
Stanislaw Terziev
86.
6.
Jiří Šmíd
87.–88.
22.
Kristýna Pustková
31.
Karel Pajskr
89.–91.
2.
Erik Hošman
7.
Marie Čiháková
32.
Katarína Baxová
92.–93.
8.
František Wolf
28.
Lucie Šlemrová
94.–96.
23.
Barbara Bártková
29.
Martin Králík
33.
Lenka Švidrnochová
97.–99.
24.
Veronika Šimíková
30.
Dominik Andreska
34.
Karel Lockenbauer
100.
31.
Miroslav Kubík
101.
9.
Václav Kaděra
102.
25.
Martin Židek
103.–105. 10.
Kristýna Ulrychová
26.
Helena Dobešová
Roč. a škola
7. GNKP
7. AGKP
7. GPEL
8. GJVK
8. GHPP
8. AGKP
6. ZMFM
8. GBNH
9. GPBM
8. ZPMH
9. ZKKR
8. ZCVP
8. ZKVM
7. ZMFM
8. GHPP
7. ZMFM
7. ZZEJ
8. GNKP
9. PGLB
9. GBNH
9. GLPP
6. GOVK
?. ?
7. ZMFM
5. ZVDB
8. GJVK
8. ZCRO
8. ZZBR
8. GNKP
6. ZMFM
7. ZMFM
9. GJKP
?. ?
6. GOAS
9. ZDHT
6. GPOD
8. GHPP
7. ZMFM
8. LSGL
9. GEOP
7. ZMFM
8. AGKP
9. ZHBJ
8. ZKVM
6. ZMFM
7. ZOTO
6. GNKP
7. GVMN
9
1
3
4
5
5
5
4
4
5
4
5
5
2
5
3
3
2
4
2
1
3
5
3
5
2
3
-
2
1
5
5
5
1
1
1
1
1
5
5
5
1
-
3
1
2
5
0
5
0
0
3
3
5
5
-
4
3
5
1
4
5
5
4
3
5
3
1
2
-
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
1
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-
6
1
2
1
1
1
5
1
1
2
2
1
1
-
7
3
1
1
2
3
-
;<
14
24
18
0
15
20
0
0
0
9
0
8
15
14
15
10
6
0
0
0
16
12
19
0
5
0
13
9
0
0
5
0
12
11
0
14
22
9
0
0
16
12
5
0
0
0
14
0
86
85
85
85
85
78
77
76
76
75
74
73
71
70
69
68
65
65
63
63
62
60
55
55
54
53
51
50
50
49
48
48
47
47
47
45
45
44
44
44
41
41
41
40
39
38
35
35
Celkově V roč. Jméno a příjmení
103.–105. 32.
Kristýna Drápalová
106.–107. 27.–28. Denisa Lipinová
Kristýna Vávrová
108.
33.
Štěpánka Burešová
109.–110. 34.–35. Lukáš Herma
Petr Ullmann
111.
36.
Dominika Žáková
112.–113. 11.
Stanislav Veverka
29.
Kristýna Pavlásková
114.
37.
Evženie Belyaeva
115.
12.
Barbora Fidlerová
116.–117. 13.
Jiří Wolf
30.
Jakub Kolčář
118.–122. 31.
Aneta Mrkvičková
38.–41. Kateřina Burešová
Veronika Černínová
Miroslav Machálek
Barbora Náhlíková
123.–124. 42.
Eliška Holubová
35.
Jakub Šafránek
125.
36.
Radim Štěpaník
126.–129. 14.
Zuzana Červenková
32.–33. Petr Horina
Veronika Šilhavá
43.
Aleš Mikšík
130.–134. 3.
Jiří Hájek
44.–46. David Hanousek
Jiří Stuchlík
Kateřina Švarcová
37.
Martin Blatský
135.–140. 4.
Jakub Prokop
15.–16. Petra Neužilová
Petra Štefanová
34.
Patrik Růžek
47.
Monika Traubová
38.
Zuzana Šmilauerová
141.–143. 35.–37. Jakub Prášil
Klára Tomková
Tomáš Valíček
144.–149. 5.
Eva Kajumová
17.–18. Miroslav Navrátil
Tomáš Ondruf
38.–39. Lada Jokešová
Ondřej Pavelka
39.
Eva Vondrášková
150.
6.
Jan Zelda
151.–154. 40.
Tereza Gabajová
48.–49. Alice Navrátilová
Roč. a škola
8. AGKP
7. ZMFM
7. ZMFM
8. GHPP
8. GNKP
8. GJVK
8. AGKP
6. GOKH
7. ZMFM
8. ZCVP
6. GNKP
6. ZOTO
7. ZMFM
7. ZMFM
8. GHPP
8. ZOTO
8. LSGL
8. LSGL
8. AGKP
9. ZDST
9. ZDST
6. GNKP
7. ZMFM
7. AGKP
8. ZKUO
?. ?
8. ZZBR
8. ZKVM
8. GJVK
9. ZDST
?.
6. GOAS
6. GNKP
7. ZMFM
8. ZCVP
9. AGKP
7. ZMFM
7. ZMFM
7. ZPOD
?. ?
6. GEOP
6. ZOTO
7. ZMFM
7. ZMFM
9. ZDST
?. ?
7. ZDST
8. ZKVM
10
1
5
4
5
5
4
2
5
4
4
4
-
2
1
5
-
3
0
5
3
-
4
4
1
4
1
3
-
5
3
5
2
5
5
5
5
0
5
5
0
4
6
1
5
1
0
1
7
3
1
-
;<
13
9
0
0
0
0
2
0
1
28
0
0
10
0
0
11
0
0
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
0
4
0
0
10
13
0
0
0
0
0
5
35
34
34
32
31
31
30
29
29
28
27
26
26
25
25
25
25
25
24
24
23
21
21
21
21
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
18
18
18
17
17
17
17
17
17
16
15
15
Celkově V roč.
151.–154. 48.–49.
40.
155.–160. 41.–42.
50.
41.–43.
161.–169. 19.–20.
43.–46.
44.–46.
170.–173. 21.
47.
51.
47.
174.–177. 48.
52.–54.
178.–185. 22.
49.–53.
48.–49.
186.–189. 23.
54.
55.
50.
190.–197. 24.
55.
56.–59.
51.–52.
198.–203. 56.–57.
60.
Jméno a příjmení
Pavel Suchánek
Petr Dongres
Tomáš Pecold
Tomáš Trávníček
Lucie Šimková
Radana Havrdová
Filip Koubek
Jiří Zárevúcký
Eva Horecká
Petra Pavlovcová
Lucie Martinková
Barbora Peterová
Matouš Turek
Simona Volníková
Marek Holub
Lucie Chybová
Jan Mareš
Štěpán Jílka
Natálie Koloničná
Pavla Housková
Hana Slivoňová
Markéta Foltýnová
Petr Pelc
Martina Štincíková
Vlastimil Vávra
Oldřich Kodym
Jiří Jílek
Jakub Prokop
Jan Šmolík
Vojtěch Štajger
Václav Vild
Michaela Fišerová
Ondřej Potužník
Lucie Kupsová
Lucia Pacherová
Otto Čada
Patrik Zacharda
Veronika Šiková
Tereza Cachová
Tereza Blažková
Petr Hofman
Tomáš Hoření
Zdislava Paďourová
Kateřina Brožáková
Adéla Lávičková
Jan Kavalír
Pavel Novák
Ondřej Hýbl
Roč. a škola
8. GFZB
9. ZCRO
7. ZMFM
7. ZMFM
8. ZWZH
9. ZDST
9. ZDST
9. ZPIM
6. ZMFM
6. ZSCL
7. ZPIM
7. ZMFM
7. ZMFM
7. ZMFM
9. ZDST
9. GPMB
9. ZDST
6. GEOP
7. ZPIM
8. GJPM
9. ZDST
7. ZMFM
8. ZCRO
8. ZCRO
8. LSGL
6. GEOP
7. ZCRO
7. ZMFM
7. ZCRO
7. ZMFM
7. ZCRO
9. ZDST
9. ZDST
6. ZMFM
7. ZCRO
8. ZDST
9. ZDST
6. GOAS
7. AGKP
8. ZCRO
8. ZCRO
8. ZHBJ
8. LSGL
9. ZDST
9. ZDST
7. ZCRO
7. ZMFM
8. LSGL
11
1
3
4
-
2
-
3
-
4
-
5
1
5
-
6
-
7
-
;<
0
0
1
3
0
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
15
15
14
14
14
14
14
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
12
12
12
12
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
Celkově V roč. Jméno a příjmení
198.–203. 53.–55. Vojtěch Gráf
Karel Hanisch
Blanka Kůtová
204.–208. 25.–26. Jiří Novák
Petra Švagrová
58.–59. Vítězslav Kavka
Jan Zich
61.
Jan Červinka
209.–218. 27.–29. Karolína Krajdlová
Žofie Nedbalová
Daniela Šeflová
60.–61. Jakub Jirásek
Johana Vraštilová
62.–63. Jan Kalát
Jakub Kalista
56.–58. Filip Machus
Pavel Rejžek
Zuzana Vlčková
219.–224. 30.
Veronika Karásková
62.
Barbora Mrázová
64.–66. Jan Hobl
Jana Svěchotová
Petra Vanduchová
59.
Edita Cestrová
225.
63.
Kateřina Mužíková
226.–229. 31.–32. Renáta Koutenská
Olga Matějková
67.–68. Radek Herold
Marek Vild
230.–231. 33.–34. Bára Pospíšilová
Alena Ševčíková
232.–241. 2.
Eliška Konopková
35.–37. Petra Beránková
Markéta Vondráková
Jan Votýpka
69.–70. Kateřina Macháčková
Jáchym Šenkyřík
60.–63. Michaela Hňoupková
Kateřina Holubová
Petra Lincová
Lucka Vokounová
Roč. a škola
9. GFPR
9. ZDST
9. ZDBR
6. ZMFM
6. GOAS
7. ZMFM
7. ZCRO
8. ZZBR
6. GEOP
6. AGKP
6. ZCRO
7. ZCRO
7. ZCRO
8. LSGL
8. ZCRO
9. ZDST
9. ZDST
9. GFPR
6. ZMFM
7. ZKNS
8. ZCRO
8. ZCRO
8. ZKVM
9. ZCRO
7. ZKNS
6. ZSCL
6. ZCRO
8. ZCRO
8. ZCRO
6. GNKP
6. ZCRO
5. ZSCL
6. ZSCL
6. ZKVM
6. ZCRO
8. LSGL
8. ZCVP
9. ZSCL
9. ZSCL
9. ZSCL
9. ZSCL
12
1
-
2
-
3
-
4
-
5
1
3
-
6
1
-
7
-
;<
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
7
7
6
6
6
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Úloha č. 1
#$%&'()*+'=-./%0
Úloha není nikterak těžká. Nejlépe je řešit ji tabulkou. Psát si postupně, jak v průběhu
týdne ubývá ječná či pšeničná mouka, a dávat pozor, zda náhodou nevaří Lutze nebo
Cen. Následující tabulka je postačující řešení (čísla jsou zaokrouhlena na 2 desetinná
místa).
den
ječná
pšeničná
spotřeba
1.
40
25
6,75
2.
33,25
25
6,75
3.
26,5
25
6,5
4.
20
25
6
5.
20
19
5,9
6.
14,1
19
5,41
7.
14,1
13,59
5,61
8.
8,49
13,59
5,10
9.
8,49
8,49
4,85
10.
3,64
8,49
4,36
11.
3,64
4,13
4,36
12.
3,64
0
–
13.
0
0
–
Poměrně záludné je ovšem vytváření závěru. Pokud budeme uvažovat, že třináctý
den už opravdu nebude z čeho vařit, tak je odpověď 10. den, ale dle zadání již nemůžeme postupovat den jedenáctý a to znamená, že bychom byli na cestě 7. den.
Komentář: Většina došlých řešení byla správně, nebo obsahovala jen nepatrné numerické chyby. Jen několik řešitelů špatně četlo zadání a odečítala desetinu druhé
mouky, zatímco v zadání bylo jasně psáno, že každý den používáme jen jeden druh
mouky. Pokud jste měli tabulku správně a rozumný závěr, udělil jsem pět bodů.
Úloha č. 2
Nechci opakovat své spoluopravovatele, ale ani moje úloha nebyla těžká. Šlo pouze
o to, mít dobrý nápad. Víme, že já řeknu Vigimu vždy zbytky po dělení prvočísly,
které v rozkladu nemám. Nápadem tedy bylo, využít této vlastnosti a nechat si ode
mě říci jaké, že si to číslo myslím.
Toho bylo možné využít, tak že by Vigi tipnul prvočíslo větší než je 30 000 (horní
hranice hádaného čísla), například 30 011. Já už bych mu pak musel říci zbytek po
dělení tímto číslem a jestliže je mé číslo menší než 30 000 a větší než 2 000, pak tento
zbytek je roven číslu, které si myslím, a Vigi ho na druhý pokus uhádne.
Variantou téhož byla hra, kdy by Vigi tipoval číslo mezi 2 000 a 30 000, zde ale
můžeme využít toho, že myšlené číslo je větší než 2 000, a tipnout prvočíslo, které
bude větší než 28 000 (například 29 989). Zbytek, který pak Vigimu řeknu bude buď
menší než 2 000 (v našem případě než 11), pak k němu přičtu prvočíslo, které jsem
tipoval (29 989), a takto uhádnu myšlené číslo, anebo je větší než 2 000, a pak je
situace stejná jako v předchozí hře.
Komentář: Všem řešitelům: jestliže budete hledat pro nějaké řešení velké prvočíslo,
zkuste použít nějaké tabulky anebo počítač. Pokud vím, zatím neznáme jiný způsob,
jak ověřit zda je číslo prvočíslem, než ověřit, že nelze vydělit všemi prvočísly menšími
než odmocnina ověřovaného čísla.
Úloha č. 3
Nejprve si řekněme, co budeme považovat za cestu a co za způsob dostání se k paláci.
Cesta se nekříží sama se sebou, ale může se křížit i s libovolnými ostatními cestami
(i několikrát). Za způsob dostání se k paláci budeme počítat takový, že neprojdeme
dvakrát žádný úsek nějaké cesty, ale víckrát můžeme projít stejnou křižovatkou. Tak
13
teď, když už víme, co za úlohu řešíme, tak stojíme před dalším problémem, že cest je
lichý počet (21) a způsobů sudý počet (144). Existuje například způsob, jak překřížit
tři cesty, které se dají projít 18 způsoby (obr. 1). (Zkus si to.) Dále si stačí uvědomit,
že pokud se kříží dvě cesty, tak po projití křižovatky máme dvakrát více způsobů.
Tedy na obrázku 2 jsou čtyři možnosti projití, na obr. 3 je 16 možností, na obr. 4 je
64 možností, jak projít. Teď už jenom křižovatky správně zkombinujeme: použijeme
tři z obr. 1, ostatní po jedné a doplníme to šesti cestami, které se křížit nebudou. Tak
například mohla vypadat zahrada jako na obrázku 5.
obr. 1
obr. 2
obr. 3
obr. 4
obr. 5
Komentář: Úloha šla pochopit více způsoby, a tak když jste mi přesně napsali,
jakou úlohu řešíte, a vyřešili jste ji správně, dostali jste 5 bodů. Pokud jste řešili
úlohu pouze s 20 cestami nebo více než 144 způsoby, tak jsem vám řešení neuznala
a dostali jste 1 bod.
Úloha č. 4
Předpokládejme, že všechny schody jsou stejné. Bez ohledu na to, jaký úhel svírá
14
stěna, do které byly schody vytesány, se zemí, platí toto: je-li schodů 256 a mají-li
.
70
=
vystoupat do výšky 70 m, pak výška jednoho schodu musí být rovna v = 256
.
= 0,273 m = 27,3 cm.
Pojem „délka schodištěÿ může mít více významů. Většinou jste pod ním chápali
buď součet délek vodorovných ploch schodů, nebo součet délek přepon schodů.
V prvním případě se délka jednoho schodu spočítá obdobně jako jeho výška: d1 =
500 .
= 1,963 m (délka schodiště je 500 metrů).
= 256
Ve druhém případě použijeme Pythagorovu větu. Platí: p =
√
.
1
· 5002 − 702 = 1,934 m (viz obrázek).
= 256
p
500
,
256
d2 =
p
p2 − v 2 =
v
d2
Komentář: Pokud jste si ujasnili, co rozumíte délkou schodiště, byla úloha poměrně
jednoduchá.
Někteří z vás si všimli, že celé schodiště nemůže mít tvar trojúhelníku. K jeho
zadání totiž stačí právě tři údaje, zatímco zadání úlohy obsahovalo čtyři.
70
500
110◦
a
V trojúhelníku platí, že naproti nejmenšímu úhlu je nejkratší strana. Je-li tedy
přepona dlouhá 500m, musí být strana a kratší než 500 m, ale podle Pythagorovy
věty je jistě delší než 70 m. Zároveň je naproti nejmenšímu úhlu (20 ◦ ), což je spor.
Schodiště tedy nemohlo vést přímo. Právě za tento omyl jsem strhávala 1 až 2 body.
Úloha č. 5
Chceme zjistit, jaký objem má útvar složený ze tří částečně se přesahujících jehlanů.
Útvar si rozdělíme na jednodušší části: spodní jehlan bez špičky, prostřední jehlan
bez špičky a horní jehlan.
O špičce spodního jehlanu víme, že její výška je třetinou výšky celého jehlanu.
Z podobnosti vhodných trojúhelníků můžeme zjistit, že i délka hrany podstavy špičky
je třetinou délky hrany celého jehlanu. Dohromady dostáváme, že objem špičky je
1
1
· 31 · 31 = 27
objemu celého jehlanu, a zbylá část (jejíž objem se snažíme počítat)
3
tvoří zbylých 26/27. Stejně tak to platí pro prostřední jehlan.
15
Objem jehlanu vypočítáme jako součin plochy podstavy a výšky dělený třemi.
Podstava je rovnostranný trojúhelník (protože jehlan je pravidelný trojboký) vepsaný do kružnice o známém poloměru
r. Pomocí Pythagorovy věty snadno spo√
čítáme délku jeho strany a = 3r. Protože v rovnostranném trojúhelníku je těžnice totožná s výškou, a dále úsek těžnice od vrcholu k těžišti je přesně poloměr
kružnice opsané, dostáváme,
√ že výška podstavy je vp = 3r/2. Celkově obsah podstavy je√S = avp /2√= 3 3r2 /4. Objem spodního jehlanu (včetně špičky) tedy je
V∆ = 3 3r2 v/12 = 3r2 v/4.
Protože prostřední jehlan je o třetinu menší než spodní, dostaneme jeho rozměry
tak, že všechny rozměry spodního jehlanu vynásobíme 2/3. Objem tedy získáme vy8
. Stejně tak z prostředního jehlanu po vynásobení 8/27
násobením 23 · 32 · 32 = 27
získáme objem horního jehlanu.
Objem spodního jehlanu beze špičky je tedy 26
·V∆ , objem prostředního beze špičky
27
8
8
26 8
· 27 ·V∆ a objem celého horního jehlanu je 27
· 27
·V∆ . Celkový objem zkoumaného
je 27
útvaru je tedy
26
26 8
8
8
+
·
+
·
27
27 27
27 27
974
· V∆ ,
729
√
po nahrazení V∆ hodnotou ze třetího odstavce pak V = 487 3r2 v/1458, po dosazení
3
číselných hodnot ze zadání zhruba 6,248 m .
V =
³
´
· V∆ =
Komentář: Úloha byla sice dosti pracná, ale bylo celkem jasné, jak si s ní poradit.
Tomu odpovídala i došlá řešení – až na drobné numerické chyby a nepřehledné popisy
se žádný problém ve větší míře nevyskytl.
Úloha č. 6
Chceme-li maximalizovat počet odpočívadel, musíme minimalizovat počet schodů
mezi nimi. Označme sn počet možností, jak rozložit n schodů na součet, kde se objevují jako sčítanci pouze čísla 1, 2 a 3. Potom pro n > 3 platí: sn = sn−1 +sn−2 +sn−3 ,
neboť mohu chodit právě o jeden, dva, nebo o tři schody. Dále platí: s1 = 1, to vlastně
říká, že jeden schod mohu vyjít jedním způsoben, s2 = 2 – dva schody mohu vyjít po
jednom schodu či po dvou, tedy dvěma způsoby. A nakonec tři schody mohu zdolat
takto: (1 + 1 + 1; 1 + 2; 2 + 1; 3), a proto s3 = 4. Výše uvedeným rekurentním vzorcem zjistíme, že s4 = 4 + 2 + 1 = 7, s5 = 7 + 4 + 2 = 13, s6 = 13 + 7 + 4 = 24
a s7 = 24 + 13 + 7 = 44. Nejnižší n, pro které je n · sn větší než 256, je 7 (7 · 44 = 308).
Úseky mezi odpočívadly jsou stejně dlouhé, musí tedy počet schodů mezi odpočívadly dělit celkový počet schodů. Nejbližší vyšší dělitel čísla 256 je osmička. Úseky mezi
odpočívadly jsou dlouhé osm schodů a samotných odpočívadel je 31.
Na závěr ještě rozeberu možnost, kterou autor neměl při zadávání příkladu na mysli,
nicméně i tak si bylo možno zadání vyložit. Pokud mezi zemí a prvním odpočívadlem
a také mezi posledním odpočívadlem a vrcholem může být libovolný počet schodů,
potom je n = 7 a odpočívadel je 37 s poznámkou, že na první a poslední úsek schodů
zbývá rozdělit 4 schody.
Komentář: Vzorové řešení je velmi elegantní, toto řešení poslali Mirek Klimoš a Miroslav Olšák. Pěti body jsem hodnotil i pokud jste rozebírali součty pro jednotlivé
dělitele čísla 256, což poslala většina ostatních.
16
Úloha č. 7
Zadání úlohy se dalo pochopit dvěma způsoby. První možnost předpokládala, že se
šíp do prsou zabodne kolmo. Pak bylo nutné spočítat, jak velká část zůstane mimo
tělo a jak dlouhý stín bude vrhat. Situace je nakreslená na levém obrázku, kde bod
O je oko, bod L jsou letky šípu a H je místo, kam
pse šíp zabodl.
√
Pak podle Pythagorovy věty platí: |LH| =
|OL|2 − |OH|2 = 252 − 132 =
√
.
= 456 = 21,35 p. Délku stínu vypočteme pomocí podobnosti trojúhelníků. Protože
s
35
předmět vysoký 2,5 m má stín dlouhý 35 m, platí vztah √456
, kde s je délka
= 2,5
√
35· 456 .
stínu šípu. Máme s = 2,5 = 298,96 palců. Výsledek je v palcích, neboť poměr
podobnosti je stejný jak v palcích tak v metrech. V tomto případě tedy stín bude
dlouhý asi 299 palců.
L
L
25
30
O
13
25
v
H
H
13
O a P
Druhý způsob pochopení úlohy spočíval v tom, že se šíp nezabodne do těla, že
zůstane jen „přilepenÿ. Tato varianta byla zamýšlena jako skutečné zadání úlohy
a také je těžší než předchozí případ. Nyní jde o to, spočítat jednu z výšek trojúhelníku
o stranách 13, 25, 30. Situace je načrtnuta na pravém obrázku.
Označme |LP | = v, |P O| = a. Pak podle Pythagorovy věty pro trojúhelníky LP H
a LP O platí v 2 = 302 − (13 + a)2 a v 2 = 252 − a2 . Porovnáním pravých stran máme
252 − a2 = 302 − (13 + a)2 ,
252 − a2 = 302 − 132 − 26a − a2 ,
26a = 302 − 132 − 252 ,
53 .
106
=
= 4,08.
a=
26
13
q
¡ 53 ¢2 .
√
252 − 13
Z první rovnice vypočteme v: v = 252 − a2 =
= 24,67 p. Podobně
jako v první části vypočteme délku stínu s, který vrhá předmět vysoký v palců, je
17
.
to s = 35v
= 345,31 palců. Ale musíme si uvědomit, že toto je délka stínu předmětu,
2,5
který je kolmý k zemi. V zadání úlohy je řečeno, že šíp směřuje na východ a slunce
svítí ze západu.
L
Z
V
v
H
13
O a P
s
Podle obrázku je tedy délka stínu šípu rovna součtu délek s + |HP | = s + 13 + a,
po dosazení je to asi 362,39 palců.
#1.23&'20.+0)45-%-60*)+"789:=-./%0;<
Komentář: Pokud jste úlohu pochopili jedním z uvedených způsobů, dávala jsem
za správné řešení plný počet bodů. Vyskytli se i řešitelé, kteří spočítali pouze délku
stínu šípu, který byl kolmý k zemi, ale nezabodl se. Tato řešení jsem ohodnotila jedním
bodem.
Úlohy šesté série opravovali a komentáře sepsali: 1. a 6. Ondřej Honzl, 2. Jan Blažek,
3. Eva Černohorská, 4. a 7. Lenka Burešová, 5. Petr Škovroň.
Celkově
1.
2.
3.
4.
5.–6.
10.–11.
V roč.
1.
2.
3.
4.
1.
5.
2.
3.
6.
7.–8.
12.
13.
14.
4.
5.
6.
7.
8.–9.
Jméno a příjmení
Hana Bílková
Karolína Rezková
Petr Motloch
Lucie Mohelníková
Jan Bílek
Josef Tkadlec
Miroslav Olšák
Martina Vaváčková
Jakub Töpfer
Miroslav Klimoš
Hana Šormová
Jakub Klemsa
František Steinhauser
Lada Peksová
Roč. a škola
9. GFPR
9. GVOP
9. GPBM
9. GEOP
8. GVPP
9. GJKP
8. OGBP
8. GPCT
9. GJKP
9. GLAN
9. GKJB
8. GJVK
8. ZSTR
8. GCDP
18
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
5
5
5
5
4
5
5
5
3
2
3
5
3
5
5
1
5
5
3
3
1
5
5
5
1
1
4
5
5
5
5
5
5
2
2
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
4
4
5
5
4
5
5
3
2
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2
7
4
5
5
5
4
4
4
4
5
5
1
5
0
30
30
29
30
28
27
27
21
29
20
30
27
26
20
180
179
174
173
170
170
169
168
168
167
167
162
161
159
Celkově
15.
16.–17.
18.
19.
20.
21.–22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.–30.
31.–32.
33.–34.
35.
36.–37.
38.–39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.–47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.–54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.–62.
V roč.
7.
1.
9.
10.
2.
3.
4.
11.
8.
9.
1.
10.
12.
13.
5.
14.
6.
15.
16.–17.
Jméno a příjmení
Jan Laksar
Zdislava Šrůtková
Lukáš Cimpl
Ondřej Heneberk
Roberto Nájares
Jiří Biolek
Alena Bušáková
Helena Pučelíková
Michal Kozel
Jaroslav Mandík
Dominik Steinhauser
Marek Strečko
Mirka Dřínková
Pavel Veselý
Hana Mlnaříková
Jan David
Jan Veselý
Petr Hons
Petr Kaděra
Blanka Némethová
2.
Vladimír Biolek
7.
Petr Tampír
11.
Karel Kovářík
8.
Zbyněk Šanda
18.
Susan Müllerová
12.
Veronika Paštyková
9.
Václav Fiala
10.
František Růžička
19.
Monika Gattnarová
11.
Petr Pecha
12.
Jonáš Erlebach
13.–14. Kristina Chrastilová
Kateřina Rulfová
13.
Edita Pelcová
20.
Jan Vaňhara
21.
Jan Lochman
14.
Marcel Ramdan
22.
Eva Erlebachová
15.
Vít Škoda
15.
Lukáš Tomaszek
16.
Lenka Havelková
23.
Karolína Kripnerová
24.
Martin Šubr
25.
Pavla Zárubová
3.
Eliška Jurková
17.
Jakub Chmelík
16.–17. Andrea Jelínková
Veronika Pazderová
Roč. a škola
8. ZHOL
7. GPEL
9. GFPR
9. GBNH
7. GNKP
7. ZEKF
7. GTRU
9. GMIL
8. ZHBJ
8. GJVK
6. ZSTR
8. ZWZH
9. GJKP
9. ZDST
7. GRPR
9. GVOZ
7. ZDST
9. GVOZ
9. GPBM
9. GMKR
6. ZEKF
7. GPEL
8. GJVK
7. ZAKL
9. GVOZ
8. ZZKH
7. GPEL
7. GNJH
9. GEBH
7. ZVKL
7. GSGJ
8. CGKV
8. GHPP
7. ZKVM
9. GLJH
9. GNOB
7. AGKP
9. GSGJ
7. GPEL
8. ZPMH
7. GTRU
9. AGKP
9. GNOB
9. ZPMM
6. GFPR
7. GNKP
8. GJVK
8. GHPP
19
1
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
-
2
2
4
5
4
5
5
3
3
4
4
5
1
1
1
2
-
3
3
1
3
3
5
3
5
1
1
4
1
5
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-
4
1
4
5
5
5
5
4
5
5
5
5
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
5
2
5
5
-
5
4
3
5
3
5
3
5
3
4
4
2
1
5
4
5
2
5
3
2
4
2
5
-
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
2
5
5
5
5
5
5
5
0
0
5
-
7
5
5
5
5
5
5
5
5
0
5
5
4
5
5
5
1
1
5
1
4
5
2
0
1
1
5
-
;<
24
26
30
27
30
28
19
0
28
26
23
20
0
0
23
12
0
0
29
0
28
24
26
8
0
22
0
20
12
14
14
0
7
0
2
0
15
12
13
23
0
5
0
0
0
0
0
0
158
154
154
153
148
146
142
142
140
139
138
136
135
132
131
131
129
129
127
127
124
122
122
118
118
116
115
114
112
111
110
108
108
107
105
102
100
99
98
98
95
93
90
89
87
86
85
85
Celkově
63.–64.
65.–66.
67.–68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.–75.
76.
77.–78.
79.
80.
81.–83.
V roč.
18.
26.
4.
18.
19.
27.
20.
28.
21.
19.
20.
5.
22.
23.
29.–30.
84.
85.
86.–87.
1.
24.
1.
21.
31.
22.
25.
26.–27.
88.–89.
28.–29.
90.
91.–92.
6.
23.
32.
93.–95.
2.
7.
33.
96.
8.
97.–98.
30.
34.
99.–100. 24.
31.
101.
32.
102.
9.
103.
25.
104.–106. 10.
26.
33.
107.–108. 27.–28.
109.
34.
110.–112. 35.–37.
Jméno a příjmení
Lucie Sezemská
Jaroslava Salášková
Alžběta Štěpánková
Jan Adamus
Tomáš Střeleček
Vojtěch Kaluža
Antonín Štěpán
Karel Slapnička
Barbora Svobodová
Jan Holý
Eva Matějová
Miroslava Ptáčková
Lucie Slavníková
Filip Braun
Michael Hájek
Šárka Křížková
Jan Doubrava
Lucie Šlemrová
Pavel Vampola
Jan Cielecký
Karel Lockenbauer
Barbara Bártková
Anna Lorencová
Evženie Belyaeva
Filip Edelman
Jaroslav Seifert
Stanislaw Terziev
Jiří Šmíd
Kristýna Pustková
Karel Pajskr
Erik Hošman
Marie Čiháková
Katarína Baxová
František Wolf
Martin Králík
Lenka Švidrnochová
Veronika Šimíková
Dominik Andreska
Miroslav Kubík
Václav Kaděra
Martin Židek
Kristýna Ulrychová
Helena Dobešová
Kristýna Drápalová
Denisa Lipinová
Kristýna Vávrová
Štěpánka Burešová
Kateřina Burešová
Roč. a škola
8. AGKP
9. GLPP
6. ZMFM
7. ZMFM
8. GBNH
9. GPBM
8. ZKVM
9. ZKKR
8. ZCVP
7. ZZEJ
7. ZMFM
6. GOVK
8. GHPP
8. GNKP
9. PGLB
9. GBNH
5. ZVDB
8. GHPP
?. ?
7. ZMFM
9. ZHBJ
7. ZMFM
8. GJVK
8. ZCVP
8. ZCRO
8. ZZBR
8. GNKP
6. ZMFM
7. ZMFM
9. GJKP
?. ?
6. GOAS
9. ZDHT
6. GPOD
8. LSGL
9. GEOP
7. ZMFM
8. AGKP
8. ZKVM
6. ZMFM
7. ZOTO
6. GNKP
7. GVMN
8. AGKP
7. ZMFM
7. ZMFM
8. GHPP
8. GHPP
20
1
4
5
4
5
5
4
5
5
5
5
5
2
1
5
-
3
1
1
3
1
4
3
4
4
4
-
5
2
2
4
-
6
5
0
5
-
7
1
0
0
5
5
5
-
;<
0
16
0
9
0
0
4
0
0
6
0
9
0
0
0
0
4
11
0
0
14
10
0
23
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
78
78
77
77
76
76
75
74
73
71
70
69
69
65
63
63
58
56
55
55
55
54
53
51
51
50
50
49
48
48
47
47
47
45
44
44
41
41
40
39
38
35
35
35
34
34
32
31
Celkově V roč. Jméno a příjmení
110.–112. 35.–37. Lukáš Herma
Petr Ullmann
113.
38.
Dominika Žáková
114.–115. 11.
Stanislav Veverka
29.
Kristýna Pavlásková
116.
12.
Barbora Fidlerová
117.–118. 13.
Jiří Wolf
30.
Jakub Kolčář
119.–122. 31.
Aneta Mrkvičková
39.–41. Veronika Černínová
Miroslav Machálek
Barbora Náhlíková
123.–124. 42.
Eliška Holubová
35.
Jakub Šafránek
125.
36.
Radim Štěpaník
126.–129. 14.
Zuzana Červenková
32.–33. Petr Horina
Veronika Šilhavá
43.
Aleš Mikšík
130.–134. 3.
Jiří Hájek
44.–46. David Hanousek
Jiří Stuchlík
Kateřina Švarcová
37.
Martin Blatský
135.–140. 4.
Jakub Prokop
15.–16. Petra Neužilová
Petra Štefanová
34.
Patrik Růžek
47.
Monika Traubová
38.
Zuzana Šmilauerová
141.–143. 35.–37. Jakub Prášil
Klára Tomková
Tomáš Valíček
144.–149. 5.
Eva Kajumová
17.–18. Miroslav Navrátil
Tomáš Ondruf
38.–39. Lada Jokešová
Ondřej Pavelka
39.
Eva Vondrášková
150.
6.
Jan Zelda
151.–154. 40.
Tereza Gabajová
48.–49. Alice Navrátilová
Pavel Suchánek
40.
Petr Dongres
155.–160. 41.–42. Tomáš Pecold
Tomáš Trávníček
50.
Lucie Šimková
41.–43. Radana Havrdová
Roč. a škola
8. GNKP
8. GJVK
8. AGKP
6. GOKH
7. ZMFM
6. GNKP
6. ZOTO
7. ZMFM
7. ZMFM
8. ZOTO
8. LSGL
8. LSGL
8. AGKP
9. ZDST
9. ZDST
6. GNKP
7. ZMFM
7. AGKP
8. ZKUO
?. ?
8. ZZBR
8. ZKVM
8. GJVK
9. ZDST
?.
6. GOAS
6. GNKP
7. ZMFM
8. ZCVP
9. AGKP
7. ZMFM
7. ZMFM
7. ZPOD
?. ?
6. GEOP
6. ZOTO
7. ZMFM
7. ZMFM
9. ZDST
?. ?
7. ZDST
8. ZKVM
8. GFZB
9. ZCRO
7. ZMFM
7. ZMFM
8. ZWZH
9. ZDST
21
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
;<
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
31
31
30
29
29
27
26
26
25
25
25
25
24
24
23
21
21
21
21
20
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
18
18
18
17
17
17
17
17
17
16
15
15
15
15
14
14
14
14
Celkově V roč. Jméno a příjmení
155.–160. 41.–43. Filip Koubek
Jiří Zárevúcký
161.–169. 19.–20. Eva Horecká
Petra Pavlovcová
43.–46. Lucie Martinková
Barbora Peterová
Matouš Turek
Simona Volníková
44.–46. Marek Holub
Lucie Chybová
Jan Mareš
170.–173. 21.
Štěpán Jílka
47.
Natálie Koloničná
51.
Pavla Housková
47.
Hana Slivoňová
174.–177. 48.
Markéta Foltýnová
52.–54. Petr Pelc
Martina Štincíková
Vlastimil Vávra
178.–185. 22.
Oldřich Kodym
49.–53. Jiří Jílek
Jakub Prokop
Jan Šmolík
Vojtěch Štajger
Václav Vild
48.–49. Michaela Fišerová
Ondřej Potužník
186.–189. 23.
Lucie Kupsová
54.
Lucia Pacherová
55.
Otto Čada
50.
Patrik Zacharda
190.–197. 24.
Veronika Šiková
55.
Tereza Cachová
56.–59. Tereza Blažková
Petr Hofman
Tomáš Hoření
Zdislava Paďourová
51.–52. Kateřina Brožáková
Adéla Lávičková
198.–203. 56.–57. Jan Kavalír
Pavel Novák
60.
Ondřej Hýbl
53.–55. Vojtěch Gráf
Karel Hanisch
Blanka Kůtová
204.–208. 25.–26. Jiří Novák
Petra Švagrová
58.–59. Vítězslav Kavka
Roč. a škola
9. ZDST
9. ZPIM
6. ZMFM
6. ZSCL
7. ZPIM
7. ZMFM
7. ZMFM
7. ZMFM
9. ZDST
9. GPMB
9. ZDST
6. GEOP
7. ZPIM
8. GJPM
9. ZDST
7. ZMFM
8. ZCRO
8. ZCRO
8. LSGL
6. GEOP
7. ZCRO
7. ZMFM
7. ZCRO
7. ZMFM
7. ZCRO
9. ZDST
9. ZDST
6. ZMFM
7. ZCRO
8. ZDST
9. ZDST
6. GOAS
7. AGKP
8. ZCRO
8. ZCRO
8. ZHBJ
8. LSGL
9. ZDST
9. ZDST
7. ZCRO
7. ZMFM
8. LSGL
9. GFPR
9. ZDST
9. ZDBR
6. ZMFM
6. GOAS
7. ZMFM
22
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
;<
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
12
12
12
12
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
7
7
7
7
7
7
6
6
6
Celkově V roč.
204.–208. 58.–59.
61.
209.–218. 27.–29.
60.–61.
62.–63.
56.–58.
219.–224. 30.
62.
64.–66.
59.
225.
63.
226.–229. 31.–32.
67.–68.
230.–231. 33.–34.
232.–241. 2.
35.–37.
69.–70.
60.–63.
Jméno a příjmení
Jan Zich
Jan Červinka
Karolína Krajdlová
Žofie Nedbalová
Daniela Šeflová
Jakub Jirásek
Johana Vraštilová
Jan Kalát
Jakub Kalista
Filip Machus
Pavel Rejžek
Zuzana Vlčková
Veronika Karásková
Barbora Mrázová
Jan Hobl
Jana Svěchotová
Petra Vanduchová
Edita Cestrová
Kateřina Mužíková
Renáta Koutenská
Olga Matějková
Radek Herold
Marek Vild
Bára Pospíšilová
Alena Ševčíková
Eliška Konopková
Petra Beránková
Markéta Vondráková
Jan Votýpka
Kateřina Macháčková
Jáchym Šenkyřík
Michaela Hňoupková
Kateřina Holubová
Petra Lincová
Lucka Vokounová
Roč. a škola
7. ZCRO
8. ZZBR
6. GEOP
6. AGKP
6. ZCRO
7. ZCRO
7. ZCRO
8. LSGL
8. ZCRO
9. ZDST
9. ZDST
9. GFPR
6. ZMFM
7. ZKNS
8. ZCRO
8. ZCRO
8. ZKVM
9. ZCRO
7. ZKNS
6. ZSCL
6. ZCRO
8. ZCRO
8. ZCRO
6. GNKP
6. ZCRO
5. ZSCL
6. ZSCL
6. ZKVM
6. ZCRO
8. LSGL
8. ZCVP
9. ZSCL
9. ZSCL
9. ZSCL
9. ZSCL
23
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
6
-
7
-
;<
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
#>.&+20&>
;
?$)*(2
První sloupec ve výsledkové listině udává celkové pořadí řešitele ve 20. ročníku
Pikomatu MFF UK, druhý sloupec pak pořadí redukované na řešitele v příslušném
ročníku školní docházky (což umožňuje lépe porovnávat stejně staré řešitele mezi
sebou).
Školy jsou uvedeny kódy. Sloupce označené číslicemi 1 až 7 udávají počet bodů
získaný za jednotlivé úlohy, ve sloupci označeném je pak celkový počet bodů, které
řešitel za celý rok získal.
GRPR Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm
GSGJ Gymnázium a sportovní gymnázium Jilemnice
GTRU Gymnázium Trutnov
GVMN Gymnázium V. Makovského Nové
Město na Moravě
GVOP Gymnázium Voděradská Praha 10
GVOZ Gymnázium Volgogradská Ostrava-Zábřeh
GVPP Gymnázium Na Vítězné pláni Praha 4
LSGL Letohradské soukromé gymnázium
Letohrad
OGBP Osmileté gymnázium Buďánka
Praha 5-Smíchov
ZAKL 1. ZŠ Kladno
ZCRO ZŠ Čechova Rokycany
ZCVP ZŠ Červený vrch Praha 6
ZDBR ZŠ Dolní Břežany
ZDST ZŠ Dukelská Strakonice
ZEKF 5. ZŠ El. Krásnohorská Frýdek-Místek
ZHBJ 1. ZŠ Husovo nám. Benátky n. J.
ZKKR ZŠ Komenského Kralupy n. V.
ZKNS ZŠ J. A. Komenského Nové Strašecí
ZKUO ZŠ Komenského Ústí nad Orlicí
ZKVM ZŠ Valašské Meziříčí
ZMFM 1. ZŠ Petra Bezruče Frýdek-Místek
ZOTO ZŠ Otická Opava
ZPIM 6. ZŠ Pionýrů Frýdek-Místek
ZPMH ZŠ 1. máje Havířov
ZPOD ZŠ Podivín
ZSCL ZaMŠ Skalice u České Lípy
ZVKL ZŠ Valašské Klobouky
ZVDB ZŠ Vedlejší Brno
ZWZH ZŠ Zlaté Hory
ZZBR ZŠ Zbraslavice
ZZEJ 4. ZŠ Železnická Jičín
AGKP Arcibiskupské gymnázium Praha 2
CGKV První české gymnázium Karlovy
Vary
GBNH Gymnázium Boženy Němcové Hradec Králové
GCDP Gymnázium Christiana Dopplera
Praha 5-Smíchov
GEBH Gymnázium dr. Edvarda Beneše
Hlučín
GFPR Gymnázium Frenštát pod Radhoštěm
GFZB Gymnázium Fr. Živného Bohumín
GEOP Gymnázium Čs. exilu Ostrava-Poruba
GHPP Gymnázium Chodovická Praha 9-Horní Počernice
GJKP Gymnázium Jana Keplera Praha 6
GJPM Gymnázium J. Palacha Mělník
GJVK Gymnázium J. Vrchlického Klatovy
GKJB Gymnázium kpt. Jaroše Brno
GLAN Gymnázium Lanškroun
GLJH Gymnázium Ladislava Jaroše Holešov
GLPP Gymnázium L. Pika Plzeň
GMIL Gymnázium Milevsko
GMKR Gymnázium Moravský Krumlov
GNJH Gymnázium Vítězslava Nováka
Jindřichův Hradec
GNKP Gymnázium Nad Kavalírkou Praha
5-Košíře
GOAS GOA Sedlčany
GOKH Gymnázium Jiřího Ortena Kutná
Hora
GPCT Gymnázium Pierra de Coubertina
Tábor
GPEL Gymnázium Pelhřimov
GPBM Gymnázium Petra Bezruče Frýdek-Místek
GPMB Gymnázium J. Pekaře Mladá Boleslav
24