ZS korelace Tomáš Novák 1 1) Korelace pro zašum ěné signály Pro

ZS
korelace
Tomáš Novák
1) Korelace pro zašuměné signály
Pro tento bod zadání jsou použity signály s následujícími parametry:
o sinusový signál, amplituda 1 V, frekvence 1 Hz, fáze 0°, šum s rovnoměrným rozložením.
o sinusový signál, amplituda 2 V, frekvence 1 Hz, fáze 90°, šum s normálním rozložením.
Autokorelační funkci obou signálů ukazuje obrázek 1. Špička na korelačním grafu pro posun
τ=0 je způsobena šumem; zašuměný signál je pro nulový posuv naprosto shodný, pro posuv o
periodu T je již vliv šumu eliminována, neboť šum již není ve vzájemné korelaci.
Obr. 1 – autokorelační funkce: sig1
sig2
Vzájemnou korelační funkci vidíme na obr. 2, vidíme, že v čase t=0 je korelační funkce
v prvním případě rostoucí a v druhém klesající, což odpovídá právě fázovému posuvu 90°
a –90°. Špička pro τ=0 na rozdíl od autokorelace nevzniká, protože šum dvou signálů je na
sobě nezávislý, není v korelaci.
Obr. 2 – Vzájemná korelace sig1-2
sig2-1
Na obr. 3 pak vidíme rozdíl mezi vychýleným a nevychýleným odhadem autokorelační
funkce. Nevychýlený odhad je v podstatě kovariační funkce, do výpočtu není zahrnuta střední
hodnota signálu.
1
ZS
korelace
Tomáš Novák
vychýlený
nevychýlený
Obr. 3 – vychýlený a nevychýlený odhad autokorelační funkce
Pro zjištění efektivní hodnoty signálu a šumu je potřeba podrobněji zobrazit autokorelační
funkci v okolí počátku. Na obr. 4 vidíme špičku odpovídající šumu, hodnota amplitudy
sinusového průběhu odpovídá výkonu samotného signálu bez šumu.
Obr. 4 – výkon signálu a šumu
2
U efsig
= 0,6V 2 → U efsig = 0,775V
2
U efšum
= 1V 2
SNR = 20 log
→U efšum = 1V
U sig
U šum
= 20 log
0,775
= −2.214dB
1
Pro druhý signál obdobně Uefsig=1,414V, Uefšum=1V
U sig
1,414
SNR = 20 log
= 20 log
= 3dB
U šum
1
2
ZS
korelace
Tomáš Novák
2) Amplitudové rozložení a efektivní hodnota šumového signálu
Histogramy obou šumů vidíme na obr. 5, pro dostatečný počet vzorků dostáváme tvar
histogramu podle požadavků – konstanta a Gaussova křivka. Zároveň zde vidíme
autokorelační funkci pro oba šumy, podle špičky v počátku vidíme, že efektivní hodnota je
skutečně Uef =1V.
Obr. 5 – histogram pro oba typy šumu, N=100; 1 000; 100 000; autokorelace šumu
Chceme-li určit efektivní hodnotu šumu, musíme si uvědomit, že v případě nulové ss složky
je rovna směrodatné odchylce. Vztah pro výpočet směrodatné odchylky při rovnoměrném
rozdělení je
U − U min 1, 75 + 1, 75
=
= 1, 01V
U ef ≡ σ = max
12
12
Pro normální rozdělení potom určíme platí, že 99% všech hodnot leží v rozsahu µ ± 2,576σ.
Vezmeme-li za tento interval hodnoty od -3V do 3V, dostáváme
3
U ef ≡ σ =
= 1,17V
2,57
Pomocí histogramu dostáváme hodnotu vyšší, než pomocí autokorelace. Pro vyšší přesnost
určení σ bychom museli provést výpočet dle vzorce pomocí sumy přes všechny biny, což
nelze jen podle obrázku provést.
3
ZS
korelace
Tomáš Novák
3) Zašuměný signál 100Hz zpracovaný FIR a IIR filtrem
FIR řád 150, f0=600Hz
IIR řád 3, f0=600Hz
Filtry odstraňují část šumu, která má vyšší frekvence než zlomových 600Hz. Tím dojde ke
zvýšení SNR. Nicméně šum obsahuje i frekvence nižší, ty prochází filtrem na výstup a
způsobují zkreslení sinusovky.
Filtr FIR navíc způsobuje výrazné zpoždění signálu, jak jsme viděli již při zpracování úlohy
FIR/IIR.
Závěr
Autokorelační funkce umožňuje zjistit efektivní hodnotu napětí (resp. výkonu) periodického
signálu a výkonu superponovaného šumu. Umožňuje také zvýšení SNR pro periodické
signály. Jinou možností zvýšení SNR je použití číslicových filtrů.
Pomocí vzájemné korelace můžeme určit zpoždění mezi dvěma signály, v praxi tak měříme
například rychlost.
Histogram umožňuje určit druh signálu (šumu) a určit jeho efektivní hodnotu. Pro přesné
určení Uef je potřeba provést výpočet, určení z grafu je jen orientační.
4