Dynamical Systems 4 Deterministic chaos, fractals

Dynamické systémy 4
Deterministický chaos
Ing. Jaroslav Jíra, CSc.
Jednorozměrné mapy
Jednorozměrné mapy (též známé jako diferenční rovnice) jsou matematické
systémy, které modelují vývoj proměnné v čase po diskrétních krocích.
Obecná forma
vypadá takto
takové
mapy
xn1  f ( xn )
Z předchozího již známe příklad
lineární mapy (bankovní účet):
xn1  rxn
a také známe příklad nelineární
mapy (logistická mapa):
xn1  rxn (1  xn )
V následujícím si ukážeme novou techniku řešení takovýchto diferenčních
rovnic. Nazývá se pavučinový diagram.
Pavučinový diagram
Jako příklad použijeme známou logistickou rovnici (logistickou mapu) v podobě
y=rxn (1-xn ) .
Základním krokem je nakreslení grafu funkce y=f(x) a nakreslení přímky
odpovídající y=x.
a) Poté na ose x označíme počáteční
bod, v našem příkladě x0=0.08 .
b) Z tohoto bodu nakreslíme vertikální
čáru k funkci f(x), čímž dostaneme
f(x0)=x1.
c) Z tohoto bodu nakreslíme horizontální
čáru k přímce y=x, čímž se dostaneme
na úroveň bodu x1 také v horizontálním
směru.
d) Z tohoto bodu znova kreslím vertikální
čáru k funkci f(x), čímž získáme f(x1)=x2
Postup opakujeme tak dlouho, dokud se
nedostaneme do pevného bodu.
Příklady pavučinových diagramů pro různé hodnoty parametru r
Pro r=2.0 máme jediný pevný
bod v 0.5
Pro r=2.93 máme stále jediný
pevný bod v 0.6587, ale
konvergence je velmi pomalá.
Příklady pavučinových diagramů pro různé hodnoty parametru r
Pro
r=3.39
máme
dvě
periodicky se střídající hodnoty
0.45 a 0.84
Pro
r=3.45
máme
čtyři
periodicky se střídající hodnoty
0.846, 0.4495, 0.8537 a 0.4309
Příklady pavučinových diagramů pro různé hodnoty parametru r
Pro r=3.57 je střídajících se
hodnot šestnáct.
Pro r=3.97 jsme již
chaosu.
oblasti
Feigenbaumovy konstanty
Feigenbaumovy konstanty jsou dvě
konstanty
pojmenované
po
matematikovi Michelu Fiegenbaumovi
a váží se k bifurkačním diagramům.
Tyto konstanty jsou univerzální pro
bifurkace se zdvojováním periody.
Lze je také pozorovat např. v
Mandelbrotově množině.
Pokud si zvětšíme šedě vyznačenou
oblast, v bifurkačním diagramu
logistické rovnice, získáme graf
zobrazení v dolní části.
Vertikální modré čáry označují
hodnoty r, kde dochází k bifurkacím.
Pokud si ve zvětšené části
diagramu vyznačíme další oblast,
a opět ji zvětšíme, dostaneme opět
podobný tvar.
Feigenbaumova konstanta delta
Vyjádříme-li di bifurkační hodnoty numericky,
získáme tabulku vpravo, kde n je pořadové číslo
bifurkace, perioda je počet cyklujících hodnot za
touto bifurkací a rn je odpovídající hodnota
parametru r pro tuto bifurkaci. Poslední hodnota
označená ∞ se nazývá akumulační bod. Za tímto
bodem začíná oblast chaosu.
Poměr (ratio) je
vyjádřen tímto
vzorcem:
rn  rn 1
ratio 
rn1  rn
Například
ratio 
3.44948974  3
 4.751446
3.54409036  3.44948974
Poměr konverguje k hodnotě 4.669201609…, což je hodnota
Feigenbaumovy konstanty delta
rn  rn1
  lim
 4.669201609
n  r
n 1  rn
Feigenbaumova konstanta alfa
Budeme-li měřit vertikální rozteče „vidliček“ v bifurkačním diagramu vztažené k
hodnotě x=0.5, a označíme-li je postupně a1, a2, a3 …, objevíme další poměr,
který konverguje k určité konstantní hodnotě.
an
  lim
 2.502907875
n  a
n 1
Číslo 2.502907875 je hodnota Feigenbaumovy konstanty alfa
Atraktor dynamického systému
Atraktorem je stav, do kterého systém směřuje. Je to množina, ve které je stavový
vektor v nekonečném čase.
1. Pevný bod. Systém směřuje k jednomu určitému stavu a vněm zůstává.
Příkladem je tlumené kyvadlo nebo koule na dně půlkulové misky.
2. Periodický nebo kvaziperiodický. Systém směřuje k limitnímu cyklu. Příkladem
je netlumené kyvadlo nebo planeta obíhající kolem Slunce.
3. Podivný atraktor. Systém je velmi citlivý na počáteční podmínky, chová se
chaoticky, a my nejsme schopni jednoduše předpovědět jeho chování. Chaotické
chování však neznamená náhodné chování. Pro stejné počáteční podmínky
dostáváme vždy stejné řešení. Tento atraktor vykazuje vlastnosti do jisté míry
shodné s těmi, jako mají fraktály. Příkladem je Lorenzův atraktor nebo
Mandelbrotova množina.
Lorenzův atraktor
Tento podivný atraktor je pojmenován po meteorologovi Edwardu Lorenzovi, který
se pokoušel vytvořit matematický model atmosféry pro předpovídání počasí.
Model se skládal z válcové nádoby naplněné vzduchem, která byla zespoda
ohřívána a zeshora chlazena, zatímco stěny byly udržovány na konstantní teplotě.
Původní soustava dvanácti diferenciálních rovnic byla zjednodušena na tři:
dx
  ( y  x)
dt
dy
 r x  y  xz
dt
dz
 xy   z
dt
kde δ je poměr viskozity média k jeho tepelné
vodivosti, r představuje teplotní rozdíl mezi horní a
dolní podstavou válce, β je poměr výšky nádoby k
její šířce, x představuje rychlost rotace média, y
představuje rozdíl teplot mezi mezi stoupající a
klesající vrstvou média a z představuje odchylku od
lineárního teplotního gradientu ve vertikálním směru.
Nejčastěji používané hodnoty parametrů:
δ= 10, r= 28 and β= 8/3
Při propočítávání tohoto modelu Lorenz narazil na zvláštní jev. Když zadal
počáteční podmínky, které se od předchozích jen nepatrně lišily, dostal zcela
odlišné výsledky.
Tento efekt byl později pojmenován jako efekt motýlích křídel, jenž vyjadřuje
vysokou citlivost na počáteční podmínky podle metafory říkající, že „Jediné
mávnutí motýlích křídel v Jižní Americe může způsobit změnu počasí v Texasu“.
Následující grafy vyjadřují časovou závislost funkcí x(t) a z(t) v Lorenzově
atraktoru pro doporučené hodnoty parametrů a počáteční podmínky x(0)=1;
y(0)=1; z(0)=10
Ukázka efektu motýlích křídel
Následující grafy ukazují časovou závislost funkcí x(t) a z(t) v Lorenzově atraktoru
pro doporučené parametry, přičemž
modré křivky se váží k počátečním podmínkám x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10
a červené křivky se váží k počátečním podmínkám x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10.01
Nepatrná změna počátečních podmínek znamená velkou změnu ve výsledném
průběhu.
3D podoba Lorenzova atraktoru z různých úhlů
3D porovnání různých počátečních podmínek
x(0)=1; y(0)=1; z(0)=10
x(0)=1.01; y(0)=1; z(0)=10
Pevné body a stabilita Lorenzova atraktoru
Soustava rovnic
Podmínky pro pevné body
x   ( y  x)
y  r x  y  x z
 ( y  x)  0
yx
r x  y  xz  0
r x  x  xz
z  x y   z
xy   z  0
x2   z
Řešením dostáváme tři pevné body
z  r 1
x 2   z   (r  1)
Pro r=28 a β=8/3
  (r  1) 
  (r  1) 
0 




~
x A  0; ~
xB    (r  1) ; ~
xC    (r  1) ;
 r 1 
 r 1 
0




 72 
 72 

 ~ 

~
xB   72 ; xC   72 ;
 27 
 27 




Jacobiho matice původního systému

0 
 
Df  r  z  1  x 
 y
x   
x   ( y  x)
y  r x  y  x z
z  x y   z
Linearizovaná Jacobiho matice pro pevné body a odpovídající vlastní čísla
0 
 10 10
Df ( ~
x A )   28  1
0 
 0
0  8 / 3
0 
  10 10
Df ( ~
xB )   1
 1  72 
 72
72  8 / 3 
10
0 
  10
Df ( ~
xC )   1
1
72 
 72  72  8 / 3
λ1=-22.8, λ2=11.8, λ3=-2.67,
λ1=-13.8, λ2=0.09+10.2i, λ3=0.09-10.2i
λ1=-13.8, λ2=0.09+10.2i, λ3=0.09-10.2i
Závěr ohledně pevných bodů: všechny tři pevné body jsou nestabilní, protože
všechny obsahují vlastní číslo s kladnou reálnou částí.
Program v Mathematice pro kreslení Lorenzova atraktoru.
Obrázek vlevo ukazuje 3D grafický výstup pro počáteční podmínky v jednom z
pevných bodů, obrázek vpravo má nepatrně jiný počáteční stav.
A  ( 72 , 72 , 27)
B  ( 72 , 72 , 27.0001)
Fraktály
Fraktál je geometrický tvar, který má následující vlastnosti:
• Je soběpodobný, což znamená, že můžeme pozorovat určitý tvar na více
místech a v různých měřítkách
• Má jednoduchou rekurzivní definici
• Má jemnou strukturu i ve velmi malých měřítkách
• Je příliš nepravidelný na to, aby byl jednoduše popsán jazykem euklidovské
geometrie.
• Má Hausdorfovu dimenzi své hranice vyšší než je její topologická dimenze.
Topologická dimenze – bod má topologickou dimenzi 0, přímka či křivka má
dimenzi 1, povrch má dimenzi 2 atd.
Hausdorffova dimenze – pokud objekt obsahuje n kopií sebe sama, které jsou
přitom k-krát zmenšené oproti původnímu rozměru, potom lze Hausdorffovu
dimenzi spočítat jako log(n)/log(k)
Příklad – Cantorova množina
Postup vzniku této množiny – na začátku máme úsečku, kterou rozdělíme na tři
části. Vynecháme prostřední část a dvě krajní části nakreslíme pod původní
úsečku. Tento postup opakujeme s každou nově vzniklou úsečkou.
Budeme-li tento postup opakovat do nekonečna, dostaneme nekonečné
množství bodů s topologickou dimenzí 0.
Množina obsahuje n=2 kopie sebe sama, které jsou zmenšeny na 1/3 původní
velikosti (k=3). Hausdorffova dimenze je log(2)/log(3)=0.6309…, což je větší než
0, tudíž je splněna podmínka pro fraktál.
Mandelbrotova množina
Mandelbrotova množina M je množinou hodnot c v komplexní rovině, pro než při
nekonečném počtu iterací podle vzorce zn+1=zn 2+c pro z0=0 platí, že hodnota z
zůstává konečná.
Jedná se o množinu komplexních čísel,
pro než platí
kde sekvence z0,z1,z2… je
definována rekurzivním vzorcem
lim zn  
n 
zn 1  zn  c ; z0  0
2
Konstanta c představuje souřadnice zkoumaného bodu.
Základní vlastnosti:
• celá množina leží uvnitř kružnice o poloměru 2 se středem v počátku
• množina je souvislá
• Hausdorffova dimenze množiny je 2
• plocha Mandelbrotovy množiny je odhadována na 1.50659177
• je-li absolutní hodnota kteréhokoli zn větší než 2, potom sekvence roste do
nekonečna
• průsečík M s reálnou osou je přesně v intervalu [-2, 0.25]
Příklady iterací podle vzorce zn+1=zn 2+c pro rlzné hodnoty konstanty c.
Mandelbrotova množina vypočítaná v Matlabu
Černé oblasti představují body, které nedosáhly „nekonečna“ ani po 500
iteracích (nekonečno pro Matlab je řádově 10308). Barvy na HSV škále vpravo
představují počet iterací potřebný pro dosažení „nekonečna“. Červené oblasti
představují body dosáhly „nekonečna“ během prvních 35 iterací. Každá další
barva znamená o 30 iterací více, tzn. například žlutá barva znamená body, které
dosáhly „nekonečna“ mezi 95 a 125 iterací.
Některé zajímavé oblasti Mandelbrotovy množiny
Deterministický chaos – dvojité kyvadlo