Př. 1. Je dána rovnice sinx - x +2=0. • Najděte interval délky 1, v

A9
Př. 1. Je dána rovnice
sin x − x + 2 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
Řešení:
Rovnici lze upravit na sin x = x − 2.
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = sin x a y = x − 2, vidíme, že kořen
leží v intervalu h2, 3i.
1
xk+1 = xk −
x
–1
1
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
2
3
2,5
+
−
+
2,5
3
2,75
+
−
−
2,5 2,75
+
−
Kořen je v intervalu h2,5; 2,75i.
Newtonova metoda:
2
3
sin xk − xk + 2
cos xk − 1
Zvolíme-li např. x0 = 2,5:
x1 = 2,555
x2 = 2,554
x3 = 2,554
–1
y
–2
Kořen je přibližně 2,554.
Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic
10x + 2y − z = 25
3x + 20y − 4z = −10
−2x + y − 8z = 15
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|10| > |2| + | − 1|,
|20| > |3| + | − 4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
1
(25 − 2yk + zk )
xk+1 = 10
1
yk+1 = 20 (−10 − 3xk+1 + 4zk )
zk+1 = − 81 (15 + 2xk+1 − yk+1 )
| − 8| > | − 2| + |1|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 0
0
0
1 2,5
-0,875 -2,6094
2 2,4141 -1,3840 -2,6515
Př. 3. Jsou uzly x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x3
.
x2 + 1
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-2
− 85
0
2
3
fi
= −1,6
0
8
5
27
10
= 1,6
4
5
4
5
11
10
= 0,8
= 0,8
0
1
10
1
50
= 0,02
= 0,1
= 1,1
= 2,7
Interpolační polynom: P3 (x) = −1,6 + 0,8(x + 2) + 0,02(x + 2)x(x − 2)
B9
Př. 1. Je dána rovnice
2ex + x − 4 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Řešení:
.
Rovnici lze upravit na ex = −x+4
2
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = ex a y = (−x + 4)/2, vidíme, že
kořen leží v intervalu h0, 1i.
5
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
0
1
0,5
−
+
−
0,5
1
0,75
−
+
+
0,5 0,75
−
+
Kořen je v intervalu h0,5; 0,75i.
Newtonova metoda:
4
xk+1 = xk −
3
2exk + xk − 4
2exk + 1
Zvolíme-li např. x0 = 0,5:
y
2
x1 = 0,547
x2 = 0,546
x3 = 0,546
1
–2
–1
0
1
2
3
4
x
Kořen je přibližně 0,546.
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic
10x − 3y + 2z = 35
−2x + 8y − z = −16
5x − 2y − 20z = 30
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (2; −2; −1) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|10| > | − 3| + |2|,
|8| > | − 2| + | − 1|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
1
(35 + 3yk − 2zk )
xk+1 = 10
1
yk+1 = 8 (−16 + 2xk + zk )
1
zk+1 = − 20
(30 − 5xk + 2yk )
| − 20| > |5| + | − 2|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 2
-2
-1
1 3,1
-1,625 -0,8
2 3,1725 -1,325 -0,5625
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x2
x
.
− 10
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-1
0
1
3
fi
.
= 0,1111
.
.
− 19 = −0,1111
0
− 19 = −0,1111
.
.
0
− 19 = −0,1111 − 49 = −0,4444
.
.
− 19 = −0,1111 − 13
= −1,4444
9
1
9
−3
Interpolační polynom: P3 (x) =
1
9
− 19 (x + 1) − 91 (x + 1)x(x − 1)
C9
Př. 1. Je dána rovnice
sin x + x − 2 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
Řešení:
Rovnici lze upravit na sin x = −x + 2.
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = sin x a y = −x + 2, vidíme, že
kořen leží v intervalu h1, 2i.
2
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
1
2
1,5
−
+
+
1 1,5 1,25
−
+
+
1 1,25
−
+
Kořen je v intervalu h1; 1,25i.
Newtonova metoda:
xk+1 = xk −
y
1
sin xk + xk − 2
cos xk + 1
Zvolíme-li např. x0 = 1:
0
–1
1
2
x1 = 1,103
x2 = 1,106
x3 = 1,106
3
x
–1
Kořen je přibližně 1,106.
Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic
20x − 2y + z = 40
4x − 10y
= 25
x − 2y + 5z = −20
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|20| > | − 2| + |1|,
| − 10| > |4| + |0|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
1
(40 + 2yk − zk )
xk+1 = 20
1
yk+1 = − 10 (25 − 4xk+1 )
zk+1 = 15 (−20 − xk+1 + 2yk+1 )
|5| > |1| + | − 2|.
Vyjde:
k xk
0 0
1 2
2 2,084
yk
zk
0
0
-1,7
-5,08
-1,6664 -5,0837
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x3
.
x2 + 4
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-1
− 15
0
1
4
fi
= −0,2
0
1
5
16
5
= 0,2
1
5
1
5
= 0,2
= 0,2
0
1
5
1
25
= 0,04
= 0,2
1
= 3,2
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,2 + 0,2(x + 1) + 0,04(x + 1)x(x − 1)
D9
Př. 1. Je dána rovnice
ex − 2x − 4 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží záporný kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Řešení:
Rovnici lze upravit na ex = 2x + 4.
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = ex a y = 2x + 4, vidíme, že záporný kořen leží v intervalu h−2, −1i.
5
4
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a)
-2
-1
-1,5
+
-2 -1,5 -1,75
+
-2 -1,75
+
Kořen je v intervalu h−2;
Newtonova metoda:
xk+1 = xk −
3
f (b) f (s)
−
−
−
−
−
−1,75i.
exk − 2xk − 4
exk − 2
y
Zvolíme-li např. x0 = 0,5:
2
x1 = −1,927
x2 = −1,927
1
Kořen je přibližně -1,927.
–2
–1
1
2
x
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic
5x + y − 2z = −15
3x − 20y + 4z = 40
2x − y + 10z = 30
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (−3; −2; 3) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|5| > |1| + | − 2|,
| − 20| > |3| + |4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
xk+1 = 15 (−15 − yk + 2zk )
1
yk+1 = − 20
(40 − 3xk − 4zk )
1
zk+1 = 10 (30 − 2xk + yk )
|10| > |2| + | − 1|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 -3
-2
3
1 -1,4 -1,85 3,4
2 -1,27 -1,53 3,095
Př. 3. Jsou uzly x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x2
x
.
+1
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-2
− 25
0
2
3
fi
= −0,4
0
2
5
3
10
= 0,4
1
5
1
5
1
− 10
= 0,2
0
= 0,2
1
− 10
= −0,1
1
= −0,02
− 50
= −0,1
= 0,3
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,4 + 0,2(x + 2) − 0,02(x + 2)x(x − 2)
A 10
Př. 1. Je dána rovnice
ex + 2x − 6 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Řešení:
Rovnici lze upravit na ex = −2x + 6.
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = ex a y = −2x + 6, vidíme, že
kořen leží v intervalu h1, 2i.
6
5
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
1
2
1,5
−
+
+
1
1,5 1,25
−
+
−
1,25 1,5
−
+
Kořen je v intervalu h1, 25; 1,5i.
Newtonova metoda:
4
xk+1 = xk −
y
3
exk + 2xk − 6
exk + 2
Zvolíme-li např. x0 = 1,25:
x1 = 1,252
x2 = 1,252
2
1
Kořen je přibližně 1,252.
–2
–1
0
1
2
3
x
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic
20x − 2y + z = 40
4x − 10y
= 25
x − 2y + 5z = −20
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (2; −2; −4) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|20| > | − 2| + |1|,
| − 10| > |4| + |0|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
1
xk+1 = 20
(40 + 2yk − zk )
1
yk+1 = − 10 (25 − 4xk )
zk+1 = 15 (−20 − xk + 2yk )
|5| > |1| + | − 2|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 2
-2
-4
1 2
-1,7 -5,2
2 2,09 -1,7 -5,08
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x2
x
.
+1
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-1
− 12
0
1
3
fi
= −0,5
0
1
2
3
10
= 0,5
1
2
1
2
1
− 10
= 0,5
0
= 0,5
− 51 = −0,2
1
= −0,05
− 20
= −0,1
= 0,3
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,5 + 0,5(x + 1) − 0,05(x + 1)x(x − 1)
B 10
Př. 1. Je dána rovnice
sin x − 2x + 4 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
Řešení:
Rovnici lze upravit na sin x = 2x − 4.
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = sin x a y = 2x − 4, vidíme, že
kořen leží v intervalu h2, 3i.
1
–1
1
x
2
3
4
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
2
3
2,5
+
−
−
2
2,5 2,25
+
−
+
2,25 2,5
+
−
Kořen je v intervalu h2, 25; 2,5i.
Newtonova metoda:
0
xk+1 = xk −
sin xk − 2xk + 4
cos xk − 2
–1
Zvolíme-li např. x0 = 2,25:
–2
x1 = 2,356
x2 = 2,354
x3 = 2,354
y
–3
Kořen je přibližně 2,354.
–4
Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic
5x + y − 2z = −15
3x − 20y + 4z = 40
2x − y + 10z = 30
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|5| > |1| + | − 2|,
| − 20| > |3| + |4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
xk+1 = 51 (−15 − yk + 2zk )
1
yk+1 = − 20
(40 − 3xk+1 − 4zk )
1
zk+1 = 10 (30 − 2xk+1 + yk+1 )
|10| > |2| + | − 1|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 0
0
0
1 -3
-2,45
3,355
2 -1,168 -1,5042 3,0832
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x2
x
.
+4
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-1
− 15
0
1
4
fi
= −0,2
0
1
5
1
5
= 0,2
1
5
1
5
= 0,2
0
1
= −0,01
− 100
1
= 0,2 − 20
= −0,05
0
= 0,2
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,2 + 0,2(x + 1) − 0,01(x + 1)x(x − 1)
C 10
Př. 1. Je dána rovnice
2ex − x − 4 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kladný kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Řešení:
Rovnici lze upravit na ex = x+4
.
2
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = ex a y = (x + 4)/2, vidíme, že
kořen leží v intervalu h0, 1i (nebo h0,5; 1,5i
).
4
xk+1 = xk −
3
2
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
0
1 0,5
−
+
−
0,5 1 0,75
−
+
−
0,75 1
−
+
Kořen je v intervalu h0, 75; 1i.
Newtonova metoda:
Zvolíme-li např. x0 = 1:
y
x1 = 0,902
x2 = 0,895
x3 = 0,895
1
–4
–3
–2
–1
0
2exk − xk − 4
2exk − 1
1
x
2
Kořen je přibližně 0,895.
Př. 2. Jacobiho metodou řešte soustavu rovnic
10x + 2y − z = 25
3x + 20y − 4z = −10
−2x + y − 8z = 15
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (2; −1; −2) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|10| > |2| + | − 1|,
|20| > |3| + | − 4|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
1
(25 − 2yk + zk )
xk+1 = 10
1
yk+1 = 20 (−10 − 3xk + 4zk )
zk+1 = − 18 (15 + 2xk − yk )
| − 8| > | − 2| + |1|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 2
-1
-2
1 2,5 -1,2
-2,5
2 2,49 -1,375 -2,65
Př. 3. Jsou uzly x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x2
x
.
− 10
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-2
1
3
0
2
3
− 13
fi
.
= 0,3333
.
.
− 61 = −0,1667
0
− 16 = −0,1667
.
.
− 61 = −0,1667 − 56 = −0,8333
0
.
= −0,3333 − 38 = −2,6667
−3
Interpolační polynom: P3 (x) =
1
3
− 16 (x + 2) − 61 (x + 2)x(x − 2)
D 10
Př. 1. Je dána rovnice
sin x + 2x − 4 = 0.
• Najděte interval délky 1, v němž leží kořen rovnice.
• Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25.
• Pak kořen najděte s přesností ε = 0,001 Newtonovou metodou (podmínky konvergence
ověřovat nemusíte).
Počítejte v radiánech, ne ve stupních!
Řešení:
Rovnici lze upravit na sin x = −2x + 4.
Nakreslíme-li do jednoho obrázku grafy
funkcí y = sin x a y = −2x + 4, vidíme, že
kořen leží v intervalu h1, 2i.
4
3
Půlení intervalů:
a
b
s
f (a) f (b) f (s)
1
2
1,5
−
+
−
1,5
2
1,75
−
+
+
1,5 1,75
−
+
Kořen je v intervalu h1, 5; 1,75i.
Newtonova metoda:
xk+1 = xk −
y
2
sin xk + 2xk − 4
cos xk + 2
Zvolíme-li např. x0 = 1,5:
1
–1
0
x1 = 1,501
x2 = 1,501
1
2
3
4
x
Kořen je přibližně 1,501.
–1
Př. 2. Gauss-Seidelovou metodou řešte soustavu rovnic
10x − 3y + 2z = 35
−2x + 8y − z = −16
5x − 2y − 20z = 30
Ověřte, že je splněna podmínka konvergence metody – rozepište!
Vyjděte z bodu (x0 , y0 , z0 ) = (0; 0; 0) a proveďte 2 kroky.
Řešení:
Podmínka konvergence je splněna, protože matice soustavy je řádkově diagonálně dominantní:
|10| > | − 3| + |2|,
|8| > | − 2| + | − 1|,
Budeme dosazovat do iteračních vztahů
1
(35 + 3yk − 2zk )
xk+1 = 10
yk+1 = 18 (−16 + 2xk+1 + zk )
1
zk+1 = − 20
(30 − 5xk+1 + 2yk+1 )
| − 20| > |5| + | − 2|.
Vyjde:
k xk
yk
zk
0 0
0
0
1 3,5
-1,125 -0,5125
2 3,265 -1,2478 -0,5590
Př. 3. Jsou uzly x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 ekvidistantní?
Najděte Newtonův interpolační polynom s těmito uzly, který aproximuje funkci
f (x) =
x3
.
x2 + 1
Řešení:
Uzly nejsou ekvidistantní, rozestup mezi x2 a x3 je jiný než např. mezi x1 a x2 . Musíme proto
použít obecný tvar Newtonova interpolačního polynomu.
Tabulka poměrných diferencí:
xi
-1
− 12
0
1
3
fi
= −0,5
0
1
2
27
10
= 0,5
1
2
1
2
11
10
= 0,5
= 0,5
0
1
5
1
20
= 0,05
= 0,2
= 1,1
= 2,7
Interpolační polynom: P3 (x) = −0,5 + 0,5(x + 1) + 0,05(x + 1)x(x − 1)