Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením

Komentáře

Transkript

Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením
www.KMA.zcu.cz
Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými
nelinearitami a tlumením
Iveta Looseová
Vedoucí práce: Ing. Petr Nečesal, Ph.D.
Katedra matematiky,
Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita
20. matematická konference studentů VŠTEZ, TETŘEVÍ BOUDY 2012
25. – 27. června 2012
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
1 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Tříbodová okrajová úloha
2 Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Vlastní čísla
Numerické experimenty
Analytická odvození
3 Fučíkovo spektrum
Fučíkovo spektrum operátoru Lηb
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
2 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Tříbodová okrajová úloha
 00
 y (x) + by 0 (x) + λy(x) = 0, x ∈ (0, 1),
y(0) = y(η),
 0
y (0) = y 0 (1),
(1)
kde λ ∈ R, b ≥ 0, η ∈ (0, 1i.
I
I
pro η = 1: periodická okrajová úloha
pro η → 0+ : Neumannova okrajová úloha
y(0) = y(η) ⇒ ∃ξ ∈ (0, η) : y 0 (ξ) = 0
0 = lim y 0 (ξ) = y 0 (0+ ) = y 0 (0)
ξ→0+
Lηb :
Operátor
Lηb y (x)
D(Lηb )
D(Lηb )
:= −y 00 (x) − by 0 (x),
:= y ∈ C 1 (h0, 1i) ∩ C 2 (0, 1) : y 0 (0) = y 0 (1) = 0
:= y ∈ C 1 (h0, 1i) ∩ C 2 (0, 1) : y 0 (0) = y 0 (1), y(0) = y(η)
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
pro η = 0,
pro η ∈ (0, 1i.
25. – 27. června 2012
3 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Neumannova okrajová úloha
y 00 (x) + by 0 (x) + λy(x) = 0, x ∈ (0, 1),
y 0 (0) = y 0 (1) = 0,
(2)
kde λ ∈ R, b ≥ 0.
Nechť η = 0. Potom vlastní čísla operátoru Lηb mají tvar
I pro b = 0
λk = (kπ)2 , k ∈ N0 := N ∪ {0}
I pro b > 0
2
λ0 = 0, λk = (kπ)2 + 2b , k ∈ N
y
y
y
x
λ = λ0
y
x
λ = λ1
y
x
λ = λ2
x
λ = λ3
x
λ = λ4
Obrázek: Některá řešení pro Neumannovu úlohu s tlumením (2) pro b = 4.
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
4 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
Periodická okrajová úloha
 00
 y (x) + by 0 (x) + λy(x) = 0, x ∈ (0, 1),
y(0) = y(1),
 0
y (0) = y 0 (1),
(3)
kde λ ∈ R, b ≥ 0.
Nechť η = 1. Potom vlastní čísla operátoru Lηb mají tvar
I pro b = 0
λk = (2kπ)2 , k ∈ N0 := N ∪ {0}
I pro b > 0
λ=0
y
λ = λ0
y
x
λ = λ1
y
λ = λ2
x
y
x
λ = λ3
y
λ = λ4
x
x
Obrázek: Některá řešení periodické úlohy bez tlumení.
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
5 / 25
Úvod
www.KMA.zcu.cz
b
Nechť η ∈ (0, 1i.
Potom vlastní čísla operátoru
Lηb pro b = 0 mají tvar
1
2
2
λk = ( (2k+1)π
η−1 ) , k ∈ N0 ,
2
λm = ( 2mπ
η ) ,
3
λn = (2nπ)2 ,
0
1
m ∈ N,
n ∈ N0 .
η
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
6 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Tříbodová okrajová úloha
2 Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Vlastní čísla
Numerické experimenty
Analytická odvození
3 Fučíkovo spektrum
Fučíkovo spektrum operátoru Lηb
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
7 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
Tříbodová úloha s kladným tlumením
Věta
Pro η ∈ (0, 1i je λ = 0 jediným vlastním číslem operátoru Lηb pro λ ≤
2
Úloha pro λ > 2b
q
λ−
I µ=
b 2
2 .
b 2
2
bη
b
b − bη
b bη b
e 2 sin(µη) − e− 2 e− 2 sin(µη) cos(µ) − e− 2 e− 2 µ sin(µ) sin(µη)
2
2
bη
b
b b
− e− 2 sin(µ) − µ + e− 2 µ cos(µ) + e− 2 µ cos(µη)
2
bη
b
b bη b
+ e− 2 e− 2 sin(µ) cos(µη) − e− 2 e− 2 µ cos(µ) cos(µη)
2
φ(µ) =
η=
1
,b
10
=
1
10
η = 13 , b =
y
15
10
η = 89 , b =
y
µ
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
1
10
y
µ
µ
25. – 27. června 2012
8 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Tříbodová okrajová úloha
2 Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Vlastní čísla
Numerické experimenty
Analytická odvození
3 Fučíkovo spektrum
Fučíkovo spektrum operátoru Lηb
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
9 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
b
1.5
b
1.5
0
1
η
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
0
1η
25. – 27. června 2012
10 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
y
b = 21 , η =
1
4
y
b = 0.9223, η = 0.6029
µ
y
b = 12 , η =
1
4
www.KMA.zcu.cz
y
b = 21 , η =
1
3
µ
y
b = 0.9223, η = 0.6029 y
µ
µ
b = 21 , η =
1
3
µ
µ
Obrázek: Graf funkce φ (černě) pro pevné b, η a omezení přímkou (modře). Zleva:
nekonečně mnoho nulových bodů, konečně mnoho nulových bodů a žádný nulový
bod.
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
11 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
b
1.5
b
1
0.75
0
1
2
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
1η
0.54
0.68 η
25. – 27. června 2012
12 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Tříbodová okrajová úloha
2 Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Vlastní čísla
Numerické experimenty
Analytická odvození
3 Fučíkovo spektrum
Fučíkovo spektrum operátoru Lηb
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
13 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Tříbodová úloha pro η =
www.KMA.zcu.cz
1
2
Věta
Operátor Lηb pro η = 12 , b > 0 má právě jedno vlastní číslo λ = 0.
b
1
y
y
b=1
b=4
µ
b
z = φ(µ, b, 12 )
z
0
µ
µ
y
b=8
µ
0
0.49
0.5
0.51 η
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
14 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
b
1.5
0
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
1
2
1
η
25. – 27. června 2012
15 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
Omezení lineární funkcí
1
1
1
1
p(µ) = µ − 1 + e− 2 b + e− 2 bη + 2e− 2 b− 2 bη
1
1
1
1
+ 12 be− 2 b + 12 be− 2 bη + be− 2 bη− 2 bη
y
b=
1
,
10
η=
7
8
y
b = 2, η =
µ
7
8
y
b = 4, η =
7
8
µ
µ
Věta
Operátor Lηb má nejvýše konečný počet vlastních čísel, pokud (η, b) ∈ Ω1 ,
1
1
1
1
kde Ω1 : {(η, b) ∈ R2 : −1 + e− 2 b + e− 2 bη + 2e− 2 b− 2 bη < 0}.
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
16 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
b
5
Definujme následující množiny
M1 = (η, b) ∈ R2 : operátor Lηb
má nekonečně mnoho
kladných
vlastních čísel},
M2 = (η, b) ∈ R2 : operátor Lηb
má nenulový konečný počet
kladných
vlastních čísel},
M3 = (η, b) ∈ R2 : operátor Lηb
nemá žádné kladné vlastní
číslo}.
1.5
0
1
2
1
η
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
17 / 25
Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
www.KMA.zcu.cz
b
5
1.5
0
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
1
2
1
η
25. – 27. června 2012
18 / 25
Fučíkovo spektrum
www.KMA.zcu.cz
Outline
1 Úvod
Tříbodová okrajová úloha
2 Tříbodová okrajová úloha s kladným tlumením
Vlastní čísla
Numerické experimenty
Analytická odvození
3 Fučíkovo spektrum
Fučíkovo spektrum operátoru Lηb
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
19 / 25
Fučíkovo spektrum
www.KMA.zcu.cz
Úvod do Fučíkova spektra
Uvažujme
 00
 y (x) + by 0 (x) + αy + (x) − βy − (x) = 0, x ∈ (0, 1),
y(0) = y(η),
 0
y (0) = y 0 (1),
y = y(x)
y
kde (α, β) ∈ R2 .
Kladná a záporná část funkce
I y + = max(0, y)
I y − = max(0, −y)
y
x
y = y + (x)
y
y = y − (x)
x
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
x
25. – 27. června 2012
20 / 25
Fučíkovo spektrum
www.KMA.zcu.cz
Fučíkovo spektrum
Množina
Σ(Lηb ) := (α, β) ∈ R2 : Lηb = αy + (x) − βy − (x) má netriviální řešení
se nazývá Fučíkovo spektrum operátoru Lηb .
√
β
α
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
β
√
α
25. – 27. června 2012
21 / 25
Fučíkovo spektrum
√
β
b=0
√
www.KMA.zcu.cz
b = 0.1
β
η = 0.67
√
√
β
b = 0.2
α
√
√
α
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
b = 0.3
√
α
Σ(Lηb )
β
√
α
25. – 27. června 2012
22 / 25
Fučíkovo spektrum
√
b = 0.1
√
β
β
√
√
www.KMA.zcu.cz
b = 0.3
√
α
√
β
β
√
α
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
b = 0.2
b = 0.4
√
η = 0.65
α
Σ(Lηb )
α
25. – 27. června 2012
23 / 25
Fučíkovo spektrum
√
b=1
√
β
β
√
√
www.KMA.zcu.cz
b=2
√
α
√
β
β
√
α
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
b = 1.5
b = 2.5
√
η = 0.15
α
Σ(Lηb )
α
25. – 27. června 2012
24 / 25
Literatura
www.KMA.zcu.cz
Literatura
R. Agarwal, D. O’Regan
An introduction to ordinary differential equations,
Universitext. New York, NY: Springer. XII, 322 p. (2008).
S. Fučík
Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems,
Mathematics and its Applications, 4. Dordrecht–Boston–London: D. Reidel Publishing
Company. X, 390 p. (1980).
G. Holubová, P. Nečesal
Fučík spectrum in general: principial eigenvalues and inadmissible sets,
Zasláno do tisku.
G. Holubová, P. Nečesal
Nontrivial Fučík spectrum of one non-selfadjoint operator ,
Nonlinear Analysis 69 (2008), no. 9, 2930–2941.
I. Looseová
Vícebodové okrajové úlohy s asymetrickými nelinearitami a tlumením,
Plzeň: Západočeská univerzita, (2012).
S. Míka, P. Přikryl, M. Brandner
Speciální numerické metody ,
Plzeň: Západočeská univerzita 305 p. (2006).
Vícebodové okraj. úlohy s asym. nelinearitami a tlumením
25. – 27. června 2012
25 / 25

Podobné dokumenty

elementární goniometrické a trigonometrické věty

elementární goniometrické a trigonometrické věty 2) Předpokládejme, že x ∈ {0, π} resp. x ∈ { π2 , 32 π}. Potom je sin x = 0 a cos x = ±1 resp. cos x = 0 a sin x = ±1, v každém případě však rovnost (1) pro všechny tyto hodnoty platí. 3) Pro všech...

Více

Rešitelnost nelokálních okrajových úloh

Rešitelnost nelokálních okrajových úloh Řešitelnost nelokálních okrajových úloh 20. matematická konference studentů VŠTEZ Yulia Tigay Vedoucí práce: doc. Ing. Gabriela Holubová, Ph.D. Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných v...

Více

Kapitola VI. PASSING-BABLOK A TI DRUZÍ .

Kapitola VI. PASSING-BABLOK A TI DRUZÍ . V publikaci (2) je označována jako "Nonparametric regression, model II, Passing-Bablok procedure". Jedná se o neparametrickou regresi, jejíž výsledky jsou prý velmi odolné vůči odlehlým hodnotám (o...

Více

Informace MVS č. 51 - Jednota českých matematiků a fyziků

Informace MVS č. 51 - Jednota českých matematiků a fyziků pohovoří doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc., z Matematického ústavu UK Praha. Uvítáme však i další vystoupení či krátká sdělení (do 20 minut). K dispozici bude tabule, zpětný projektor a počítač s pr...

Více

Stáhnout CV

Stáhnout CV Program PM-View; program pro správu a tvorbu výstupů dat databáze COST; program byl vytvořen v rámci projektu COST na platformě .NET; Program je ke stažení na webu FSv ČVUT v Praze http://geo1.fsv...

Více