rozklad ZTM

DISKRÉTNÍ SYSTÉMY ŘÍZENÍ
Tato prezentace vznikla jako součást projektu CZ.04.1.03/3.2.15.2/0285
„Inovace VŠ oborů strojního zaměření“, který je spolufinancován evropským
sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
© 2007
Doc. RNDr. Ing. Miloš Šeda, Ph.D., [email protected]
1
Diskrétní systémy řízení
- takové systémy, v nichž alespoň jedna veličina systému řízení má tvar
posloupnosti diskrétních hodnot (impulsů, čísel), např. z důvodu, že nemůže být
měřena spojitě
- nejčastěji dáno použitím počítače jako regulátoru v systému automatického řízení
w(kT)
e(kT)
číslicový
regulátor
u(kT)
y(kT)
Č-A
(tvarovač)
u(t)
regulovaná
soustava
(spojitá)
y(t)
A-Č
(vzorkovač)
tvarovač (nultého řádu)
- realizace analogovou pamětí
vzorkovač
- provádí diskretizaci spojitého signálu
u(t)
u(kT)
T
u(kT)
u(t)
5T 6T 7T 8T 9T 10T
0T 1T 2T 3T 4T
11T 12T
kT
t
u(kT)
uT(t)
t
5T 6T 7T 8T 9T 10T
0T 1T 2T 3T 4T
11T 12T
2
kT
podle frekvenčního
spektra vzorkované
veličiny
podle dynamiky regulované
soustavy
volba vzorkovací periody
a) T ≈ 0,5τmin ,
kde τmin je nejmenší časová konstanta regulované soustavy
b) T ≈ (1⁄4 až 1⁄2 ) Στi ,
kde Στi je součet všech časových konstant regulované soustavy
c) T ≈ (1⁄8 až 1⁄4 ) Td ,
volí se u soustav s velkým časovým zpožděním Td
d) T ≈ (1⁄15 až 1⁄6 ) T95 ,
kde T95 je doba dosažení 95% ustálené hodnoty na přechodové
charakteristice regulované soustavy
e) podle Shannon-Kotělnikovova teorému T < π/ωm
provedeme-li rozklad vzorkovaného signálu na
jednotlivé harmonické Fourierova rozvoje,
|v(jω)|
dostaneme amplitudové spektrum podle obrázku,
pro frekvence ω > ωm je amplituda těchto
harmonických kmitů nulová
ω
ω
m
f) doba závěru pohonu,
(nemá smysl, aby vzorkovací perioda byla kratší než doba,
za kterou se stačí vykonat požadované nastavení akčního orgánu)
3
Přivedeme-li na vstup tvarovače nultého řádu diskrétní jednotkový impuls
δ(kT)
1, pro k = 0
1
δ (kT ) = 
,
0, pro k ≠ 0
0 T 2T 3T
kT
pak na výstupu tvarovače je pravoúhlá schodová funkce
δ(kT)
uT(t)
1
1
0 T 2T
kT
GT(s)
0 T 2T
kT
její Laplaceův přenos je dán součtem Laplaceových obrazů dvou schodových
funkcí
1
=
T
1
+
T
−1
uT(t)
{
} {
} {
}
1 1 −Ts 1 − e −Ts
L
=L
+L
= − e
=
T
s s∞
s
∞
∞
1 − st
1 −∞
1 −Ts
− st
− st
sT
f
(
t
)
e
dt
=
(
−
1
)
e
dt
=
(
−
1
)
e
=
e
−
e
=
−
e
∫
∫
−s
s
s
0
T
T
[ ]
T
(
)
4
Z-transformace
a) Přímá Z-transformace (originál → obraz)
∞
F ( z ) = Z { f (kT )} = ∑ f (kT ) z − k = f (0) + f (T ) z −1 + f (2T ) z − 2 + L
k =0
(i) lze určit jako součet geometrické řady
(ii) pomocí operátorového slovníku Z-transformace
b) Zpětná Z-transformace (obraz → originál)
1
k −1
−1
{
}
f ( kT ) = Z F ( z ) =
F
z
z
dz ,
(
)
.
∫
2π j C
kde C je uzavřená křivka
Určuje se:
(i) z operátorového slovníku Z-transformace
(ii) dělením polynomu čitatele polynomem jmenovatele
(iii) pomocí reziduové věty
f (kT ) = Z −1{F ( z )} =
∑ res {F ( z ).z k −1}
póly F ( z ).z
k −1
5
výraz zk−1 nemá žádné póly kromě případu k=0, pro k=0 má tedy výraz F(z).zk−1
jeden pól navíc, proto předchozí vztah většinou rozdělujeme na 2 případy:

 F ( z) 
 ∑ res  z 

póly F ( z );0 
f (kT ) = 
 ∑ res F ( z ).z k −1
póly F ( z )
{
}
pro k = 0
pro k ≥ 1
pro jednoduchý pól z0 funkce Y(z) platí
res {Y ( z )} = lim ( z − z0 )Y ( z )
z → z0
z → z0
♣ pro m-násobný pól z0 funkce Y(z) je
1
res {Y ( z )} =
z → z0
(m − 1)!
d m−1 
m
lim m−1 ( z − z0 ) . Y ( z ) 


z → z0 dz
6
Operátorový slovník Z-transformace
f(t)
F(s)
F(z)
1
δ(t)
Diracův impuls
1
1
2
η(t)
jednotkový skok
1
s
z
z −1
3
t
1
s2
Tz
4
2
5
t
a =
n
t
aT
2
s3
1
1
s − ln a
T
( z − 1)2
T 2 z ( z + 1)
( z − 1)3
z
z−a
7
6
e
f(t)
F(s)
F(z)
−at
1
s+a
z
z − e − aT
(
)
7
1
1 − e −at
a
8
1 1 − e − at
t−
a
a2
9
10
1
s( s + a)
1
s 2 (s + a)
1
( s + a)2
t e −at
(
1
e − at − e −bt
b−a
)
1
( s + a ) ( s + b)
(
)
1 1 − e −aT z
a ( z − 1) z − e −aT
(
)
(
1 − e − aT ) z
Tz
− 2
2
a ( z − 1) a ( z − 1) (z − e − aT )
T z e −aT
(z − e )
− aT 2
1 
z
z

−


−
aT
−
bT
b−a z −e

z −e
8
11
12
13
14
15
f(t)
F(s)
F(z)
sinωt
ω
s2 + ω 2
z sin ωT
z 2 − 2 z cos ωT + 1
cosωt
s
s2 + ω 2
z 2 − z cos ωT
z 2 − 2 z cos ωT + 1
ω
( s + a)2 + ω 2
z e − aT sin ωT
z 2 − 2 z e − aT cos ωT + e − 2aT
s+a
(s + a)2 + ω 2
z 2 − z e − aT cos ωT
z 2 − 2 z e − aT cos ωT + e − 2aT
e − at sin ωt
e
− at
cos ωt
δ(t−nT)
e − nTs
z −n
9
ad 1)
1,
f (kT ) = δ (kT ) = 
0,
δ(kT)
pro k = 0
pro k ≠ 0
1
kT
0 T 2T 3T
F ( z ) = f (0) + f (T ) z −1 + f ( 2T ) z − 2 + f (3T ) z −3 + L = 1
součet nekonečné geometrické řady s kvocientem q
a prvním členem a0
ad 2)
1,
f (kT ) = η (kT ) = 
0,
s=
η(kT)
pro k ≥ 0
pro k < 0
1
0 T 2T 3T
F ( z ) = 1 + z −1 + z − 2 + z −3 + L =
a0
1− q
1
1 − z −1
=
kT
1
z
=
z −1 z −1
z
10
ad 3)
f (kT ) = kT
f(kT)
F ( z ) = 0 + T z −1 + 2T z − 2 + 3Tz −3 + 4Tz − 4 + L =
♣
ad 5)
(
=T z
−1
+ 2z
−2
+ 3z
−3
+ 4z
−4
)
+ L = T G( z)
2T
T
G(z) dělíme z a integrujeme člen po členu
0
0 T 2T 3T
G( z ) −2
−3
−4
−5
= z + 2 z + 3z + 4 z +L
z
G( z)
− z −1
−1
−1
−2
−3
−4
dz
=
−
z
−
z
−
z
−
z
−
L
=
=
∫ z
1 − z −1 z − 1
po derivaci dostaneme
1
z
Tz
G( z) d  − 1 
= 
⇒
G
(
z
)
=
⇒
F
(
z
)
=
=
z
dz  z − 1  ( z − 1)2
( z − 1)2
( z − 1)2
f (kT ) = a kT
F ( z ) = 1 + a T z −1 + a 2T z − 2 + a 3T z −3 + L =
ad 6)
3T
f (kT ) = e − akT
1
1 − a T z −1
F ( z ) = 1 + e − aT z −1 + e − 2 aT z − 2 + e −3aT z −3 + L =
=
z
z − aT
1
1 − e − aT z −1
=
z
z − e − aT
11
kT
Vlastnosti Z-transformace
1. Věta o linearitě
Z {a f1 ( kT ) + b f 2 ( kT )} = a F1 ( z ) + b F2 ( z )
2. Věty o posunutí (pro celočíselné m > 0)
♣
T = 1 sec
T obecné
kladné posunutí
Z { f (k + 1)} = z F ( z ) − z f (0)
Z { f [ (k + 1)T ]} = z F ( z ) − z f (0)
Z { f [ (k + 2)T ]} = z 2 F ( z ) − z 2 f (0) − z f (T )
…
m −1
Z { f [(k + m )T ]} = z F ( z ) − ∑ f (iT ) z
m
…
Z { f [(k − 1)T ]} = z −1 F ( z ) − f (−T )
m
i =0
záporné posunutí
Z { f (k − 1)} = z −1 F ( z ) − f (−1)
Z { f [( k − 2)T ]} = z − 2 F ( z ) + z −1 f ( −T ) + f (−2T )
Z { f [(k − m )T ]} = z
−m
m
F ( z ) + ∑ f (−iT ) z
i =1
m −1
Z { f (k + m)} = z F ( z ) − ∑ f (i ) z m−i
m −i
i =0
…
Z { f (k + 2)} = z 2 F ( z ) − z 2 f (0) − z f (1)
Z { f ( k − 2 )} = z − 2 F ( z ) + z −1 f ( −1) + f (−2)
…
i −m
Z { f (k − m)} = z
−m
m
F ( z ) + ∑ f (−i) z i − m
i =1
12
3. Věta o počáteční hodnotě
f (0) = lim f (kT ) = lim F ( z )
k→0
z→ ∞
4. Věta o konečné hodnotě
z −1
F ( z)
z →1 z
f (∞ ) = lim f (kT ) = lim
k→∞
5. Věta o součtu vzorků
∞
F ( z)
∑ f (kT ) = lim
z →1
k =0
6. Věta o obrazu konvoluce
k

Z ∑ f [(k − i ) T ] ⋅ g [iT ] = F ( z ) ⋅ G ( z )
i = 0

13
Důkaz.
♣ad 2)
Z { f [(k + m )T ]} =
∞
∑ f [(k + m) T ] z −k = f (mT ) + f [(1 + m) T ] z −1 + f [(2 + m) T ] z −2 + L = / . z m . z −m
k =0
{
}
= z m {F ( z ) − f (0) − f (T ) z −1 − f (2T ) z − 2 − L − f [(m − 1) T ] z −( m −1) }=
= z m f (mT ) z − m + f [(1 + m) T ] z −(1+ m ) + f [(2 + m) T ] z −( 2+ m ) + L =
m −1
m −1

−i 
m
= z  F ( z ) − ∑ f (iT ) z  = z F ( z ) − ∑ f (iT ) z m−i


i =0
i =0
m
Z { f [(k − m )T ]} =
∞
∑ f [(k − m) T ] z −k = f (−mT ) + f [(1 − m) T ] z −1 + f [(2 − m) T ] z −2 + L =
k =0
m
{
}
= z − m f (−mT ) z + f [(1 − m) T ] z m −1 + f [(2 − m) T ] z m − 2 + L + f (0) + f (T ) z −1 + f (2T ) z − 2 + L =
=z
−m 
m
i
 F ( z ) + ∑ f (−iT ) z  = z


i =1
−m
m
F ( z ) + ∑ f ( −iT ) z i −m
i =1
F(z)
14
Příklad Z1. Určete z-obraz diskrétní funkce vzniklé vzorkováním funkce f(t)
se vzorkovací periodou T=0,1 sec.
5
Laplaceův obraz příslušné spojité funkce je F ( s) =
.
s ( s + 3)
řešení:
5
Z operátorového slovníku dostaneme originál spojité funkce f (t ) = 1 − e −3t
3
a k němu z-obraz diskrétní funkce f(kT) vzniklé vzorkováním f(t) je
0,43 z
5 1 − e −3T z
.
Po
dosazení
T=0,1
dostaneme
F
(
z
)
=
F (z) =
( z − 1)( z − 0,74)
3 ( z − 1) z − e −3T
(
(
(
)
)
2z 2 + 4z −1
Příklad Z2. Určete originál f(kT) k z-obrazu F ( z ) =
z 3 − z 2 + 3z − 1
řešení: [ad (ii) dělením polynomu čitatele polynomem jmenovatele]
( 2z2 + 4z
2 z2 − 2 z
6z
6z
− 1) : ( z3 − z2 + 3z − 1) = 2 z−1 + 6 z−2 − z−3 − 17 z−4 ...
+ 6 − 2 z−1
− 7 + 2 z−1
− 6 +18 z−1 − 6z−2
−1 −16 z−1 + 6z−2
f(0)=0, f(T)=2, f(2T)=6, f(3T)=−1,
−1 + z−1 − 3z−2 + z−3
f(4T)=−17, …
−17z−1 + 9z−2 − z−3
15
...
... ...
...
)
Příklad Z3. Určete originál f(kT) k z-obrazu F ( z ) =
z − 0,8
( z − 1)( z − 0,5)
řešení: [ad (i) rozklad na parciální zlomky a ze slovníku Z-transformace]
z − 0,8
A
B
=
+
( z − 1)( z − 0,5) z − 1 z − 0,5


z − 0,8
1 − 0,8 0,2
A = ( z − 1)
=
=
= 0,4

(
)(
)
−
−
z
1
z
0
,
5
1
−
0
,
5
0
,
5

 z =1


z − 0,8
0,5 − 0,8 − 0,3
B = ( z − 0,5)
=
=
= 0,6

(
)(
)
z
−
z
−
1
0,5  z =0,5
0,5 − 1 − 0,5

0,4
0,6
F (z) =
+
z − 1 z − 0,5
F ( z) =
ze slovníku Z-transformace dostaneme
f (kT ) = 0,4 + 0,6 . 0,5k −1
pro k ≥ 1,
f (0 ) = 0
16
Příklad Z4. Určete originál f(kT) k z-obrazu F ( z ) =
řešení:
2 z −1
2 z −1
(z − 1)(z + 0,5)2
A
B1
B2
+
+
( z − 1)( z + 0,5)2 z − 1 z + 0,5 ( z + 0,5)2


2 z −1
2 −1
1
4
A = ( z − 1)
=
=
=
2
2
2,25 9
(
)(
)
z
z
−
1
+
0
,
5

 z =1 (1 + 0,5)


2 z −1
2.(− 0,5) − 1 − 1 − 1 − 2 4
2
B2 = ( z + 0,5)
=
=
=
=
2
− 0,5 − 1
− 1,5 − 1,5 3
( z − 1)( z + 0,5) 

F (z) =
=
z = −0,5
 
1  d 
2 z −1
 d  2 z − 1 
2
B1 =  ( z + 0,5)
=
=
 


2

1!  dz 
( z − 1)( z + 0,5)   z =−0,5  dz  z − 1   z =−0,5
 1
 2 z − 2 − 2 z + 1
−1 
−1
4
= 2
+ (2 z − 1)
=
=
=
−


2
2
z
−
1
9
(
)
(
)
z
−
1
z
−
1
 z = −0,5 2,25

 z = −0,5 
4 1
4 1
4
1
⇒ F ( z) =
−
+
9 z − 1 9 z + 0,5 3 ( z + 0,5)2
ze slovníku Z-transformace dostaneme
4 4
4
f (kT ) = − (− 0,5)k −1 + (k − 1)(− 0,5 )k −2
9 9
3
f (0 ) = 0
pro k ≥ 1,
17
Příklad Z4’. Určete originál f(kT) k z-obrazu
F (z) =
jiný způsob řešení:
F ( z) =
2 z −1
( z − 1)( z + 0,5)2
=
2 z −1
(z − 1)(z + 0,5)2
2z −1
2z −1
=
( z − 1) z 2 + z + 0,25 z 3 + z 2 − 0,75 z − 0,25
(
)
(2 z − 1) : (z3+ z2 −0,75z −0,25) =2 z−2 − 3 z−3 + 4,5 z−4…
2 z + 2 − 1,5z−1 − 0,5 z−2
−3 +1,5z−1 + 0,5 z−2
−3 − 3 z−1 +2,25 z−2 + 1,33 z−3
−4,5z−1 −1,75 z−2 − 1,33 z−3
...
...
...
z definice F(z) = f(0) + f(T) z−1 + f(2T) z−2 + f(3T) z−3 + f(4T) z−4 + … dostáváme
f(0)=0, f(T)=0, f(2T)=2, f(3T)=−3, f(4T)=4,5, … ,
to je ve shodě s výsledkem z předchozího řešení
4 4
4
− (− 0,5)k −1 + (k − 1)(− 0,5)k − 2 pro k ≥ 1, f (0) = 0,
9 9
3
4 4
4
4 4 4 8 + 4 + 24
např. f (2T ) = − (− 0,5)2−1 + (2 − 1)(− 0,5)2− 2 = + + =
=2
9 9
3
9 18 3
18
f (kT ) =
18
Diferenční rovnice
první diference (dopředná),
první diference (zpětná)
∇ f (kT ) = f (kT ) − f [(k − 1)T ]
∆ f (kT ) = f [(k + 1)T ] − f (kT )
druhá diference
∆2 f (kT ) = ∆ f [(k + 1)T ] − ∆ f (kT ) = { f [(k + 2)T ] − f [(k + 1)T } − { f [(k + 1)T ] − f ( kT )} =
= f [(k + 2)T ] − 2 f [(k + 1)T ] + f (kT )
∇ 2 f (kT ) = ∇ f (kT ) − ∇ f [(k − 1)T ] = f (kT ) − 2 f [(k − 1)T ] + f [(k − 2)T ]
třetí diference
∆3 f (kT ) = ∆2 f [(k + 1)T ] − ∆2 f ( kT ) =
= {∆ f [(k + 2)T ] − ∆ f [(k + 1)T ]} − {∆ f [(k + 1)T ] − ∆ f ( kT )} =
= ∆ f [(k + 2)T ] − 2∆ f [(k + 1)T ] + ∆ f (kT ) =
= f [(k + 3)T ] − f [(k + 2)T ] − 2{ f [(k + 2)T ] − f [(k + 1)T ]} + f [(k + 1)T ] − f (kT ) =
= f [(k + 3)T ] − 3 f [(k + 2)T ] + 3 f [(k + 1)T ] − f (kT )
∇3 f (kT ) = ∇ 2 f (kT ) − ∇ 2 f [(k − 1)T ] = f (kT ) − 3 f [(k − 1)T ] + 3 f [(k − 2)T ] − f [(k − 3)T ]
n-tá diference
n
f (kT ) = ∑ (− 1)n−i   f [(k + i )T ]
i 
i =0 n
n −i  n 
n
n −1
n −1
∇ f (kT ) = ∇ f (kT ) − ∇ f [(k − 1)T ] = ∑ (− 1)   f [(k − i )T ]
i 
i =0
n −1
∆ f (kT ) = ∆
n
n −1
f [(k + 1)T ] − ∆
n
19
lineární diferenční rovnice n-tého řádu
a) diferenční tvar (z dopředných a zpětných diferencí):
α n ∆n y (kT ) + L + α1 ∆y (kT ) + α 0 y (kT ) = β m ∆mu (kT ) + L + β1 ∆u (kT ) + β 0 u (kT )
(1)
α n ∇ n y (kT ) + L + α1 ∇y (kT ) + α 0 y (kT ) = β m ∇ mu (kT ) + L + β1 ∇u (kT ) + β 0 u (kT )
(2)
kde u(k) … známá vstupní diskrétní funkce
y(k) … hledaná výstupní diskrétní funkce
Jestliže za diference dosadíme podle předchozích vztahů, dostaneme
b) rekurentní tvar diferenční rovnice (dosazením vztahů pro diference do (1) a (2)):
an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u (kT )(3)
a0 y (kT ) + a1 y[(k − 1)T ] + L + an y[(k − n)T ] = b0 u (kT ) + b1 u[(k − 1)T ] + L + bm u[(k − m)T ] (4)
Poznámka:
K řešení diferenčních rovnic musí být dány počáteční podmínky,
např. u vztahu (1) pro y(0), ∆y(0), … , ∆n−1y(0) , u(0), ∆u(0), … , ∆m−1u(0),
u vztahu (3) pro y(0), y(T), … , y[(n−1)T], u(0), u(T), … , u[(m−1)T]
Zápis (3) je častější v matematické literatuře, diferenční rovnice ve tvaru (4)
v technických aplikacích, protože počáteční podmínky y(−T), y(−2T),…, y(−nT),
20
u(−T), u(−2T),…u(−mT) jsou většinou nulové
Řešení diferenčních rovnic
(i) rekurentním způsobem
řešení je v otevřeném tvaru,
hodnotu y(kT) nelze určit bez znalosti předcházejících hodnot
(ii) klasickým způsobem
řešení = řešení homogenní rovnice + řešení partikulární části,
− k homogenní rovnici (pravá strana je rovna nule):
a n y[(k + n)T ] + a n −1 y[(k + n − 1)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = 0
určíme příslušnou charakteristickou rovnici
a n z n + a n −1 z n −1 + L + a1 z + a0 = 0
a) jsou-li z1, z2, … , zn její navzájem různé kořeny (reálné nebo komplexní),
pak řešení homogenní rovnice je
y hom (kT ) = C1 z1kT + C 2 z 2kT + L + C n z nkT
b) je-li jeden kořen (např. z1) p-násobný a ostatní jednoduché, je
y hom (kT ) = C1 + C 2 k + ... + C p k p −1 z1kT + C p +1 z 2kT + L + C n z nkT− p +1
(
)
c) pro větší počet násobných kořenů získáme tvar yhom(kT) zobecněním b)
[Konstanty C1, C2, … , Cn určíme z počátečních podmínek]
− partikulární řešení → viz literatura
21
(iii) pomocí Z-transformace
Diferenční rovnice
an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u ( kT )
+ počáteční podmínky pro y(0), y(T), …, y[(n−1)T], u(0), u(T), …, u[(m−1)T]
an y[(k + n)T ] + ... =b m u[(k + m)T ] + ...
y(0)=…, u(0)=…,
úloha v originálu
Z{dif.r.} an z nY ( z ) + ... =b m z mU ( z ) + ...
úloha v Z-obraze
rekurentní řešení (není uzavřené)
nebo klasické řešení (nesnadné)
y(kT)
výsledek v originále
Z−1 {Y(z)}
řešení v Z-obraze
(snadnější)
Y(z)
výsledek v Z-obraze
22
Příklad D1.
Řešte numericky diferenční rovnici (T=1)
y(k+2) + 3y(k+1) + 2y(k) = u(k+2) − 3u(k+1) + 2u(k)
pro vstupní funkci u(k) = η(k)
a počáteční podmínky y(0) = 0, y(1) = 2
řešení (i): Rovnici upravíme tak, aby na levé straně byla výstupní funkce
s „největším posunutím“
y(k+2) = u(k+2) − 3u(k+1) + 2u(k) − 3y(k+1) − 2y(k)
y(0) = 0
y(1) = 2
⇒
k = 0: y(2) = u(2) − 3u(1) + 2u(0) − 3y(1) − 2y(0) = 1 − 3 + 2 − 6 − 0 = −6
k = 1: y(3) = u(3) − 3u(2) + 2u(1) − 3y(2) − 2y(1) = 1 − 3 + 2 + 18 − 4 = 14
k = 2: y(4) = u(4) − 3u(3) + 2u(2) − 3y(3) − 2y(2) = 1 − 3 + 2 − 42 + 12 = −30
---
23
Příklad D2. Určete uzavřené řešení diferenční rovnice
y(k+2) + 3y(k+1) + 2y(k) = 0
pro počáteční podmínky y(0) = 0, y(1) = 2
řešení (ii): charakteristická rovnice:
z2 + 3z +2 = 0 ⇒ (z + 1) (z + 2) = 0 ⇒ z1 = −1, z2 = −2
y(k) = C1 z1k + C2 z2k = C1 (−1)k + C2 (−2)k
integrační konstanty C1 , C2 dostaneme z počátečních podmínek
y(0) = 0 = C1 + C2
y(1) = 2 = −C1 −2 C2
2 = −C2 ⇒ C2 = −2 ⇒ C1 = 2
⇒ řešení homogenní rovnice je
y(k) = 2 (−1)k − 2 (−2)k = 2 [ (−1)k − (−2)k ]
y(2) = 2 [ 1 − 4 ] = −6
y(3) = 2 [−1−(−8)] = 14
y(4) = 2 [ 1 − 16 ] = −30
---
24
Příklad D3. Užitím Z-transformace řešte diferenční rovnici
y(k+2) − 2y(k+1) + y(k) = u(k)
2 k , k ≥ 0
pro vstupní funkci u (k ) = 
0, k < 0
a počáteční podmínky y(0) = 0, y(1) = 2
řešení (iii):
Z-obraz levé strany se rovná Z-obrazu pravé strany
Z{y(k+2) − 2y(k+1) + y(k)} = Z{u(k)}
podle věty o kladném posunutí
z2 Y(z) − z2 y(0) − z y(1) − 2 [zY(z) − z y(0)] + Y(z) = U(z)
Y(z) [z2 − 2z + 1] − 2z = U(z)
z (2 z − 3)
z
⇒ Y ( z) =
Y ( z ) ( z − 1)2 − 2 z =
z−2
(z − 2)(z − 1)2
originál získáme např. dělením polynomů čitatele a jmenovatele Y(z):
(2 z 2 − 3z ): (z 3 − 4 z 2 + 5z − 2) = 2 z −1 + 5z −2 + 10z −3 + 19 z −4 L
,
a tedy y(0) = 0, y(1) = 2, y(2) = 5, y(3) = 10, y(4) = 19, …
Poznámka: Řešení v otevřeném tvaru bylo možné získat ze zadání
i jednodušeji postupem použitým v příkladu D1.
25
Vnější popis dynamických vlastností
diskrétních systémů
u(kT)
diskrétní systém
y(kT)
(i) lineární diferenční rovnice
např. v rekurentním tvaru z dopředných diferencí spolu s počátečními podmínkami
an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u ( kT )
y(0), y(T), …, y[(n−1)T], u(0), u(T), …, y[(m−1)T]
⇒ an y[(k + n)T ] = bm u[(k + m)T ] + L + b1 u[(k + 1)T ] + b0 u (kT ) −
− an −1 y[(k + n − 1)T ] − L − a1 y[(k + 1)T ] − a0 y (kT )
každý člen podělíme koeficientem an , abychom dostali vztah pro y[(k+n)T],
postupně dosazujeme k=0,1, …
musí přitom platit m ≤ n
(jinak by současná hodnota výstupu y závisela na budoucí hodnotě vstupu u)
26
(ii) Z-přenos
- poměr Z-obrazu diskrétní výstupní veličiny k Z-obrazu diskrétní
vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách
G( z) =
Z { y (kT )} Y ( z )
=
Z { u (kT )} U ( z )
Jestliže rekurentní tvar diferenční rovnice z dopředných diferencí
transformujeme podle věty o linearitě a věty o kladném posunutí a dosadíme
nulové počáteční hodnoty, dostaneme:
an z nY ( z ) + an−1z n−1Y ( z ) + L + a1zY ( z ) + a0Y ( z ) =
= bm z mU ( z ) + bm −1z m−1U ( z ) + L + b1zU ( z ) + b0U ( z )
[
]
[
⇒ Y ( z ) an z n + an−1z n−1 + L + a1z + a0 = U ( z ) bm z m + bm −1z m −1 + L + b1z + b0
]
Y ( z ) bm z m + bm−1z m −1 + L + b1z + b0
⇒ G( z) =
=
U ( z ) an z n + an−1z n−1 + L + a1z + a0
v diferenční rovnici ze zpětných diferencí lze obdobně odvodit
Y ( z ) b0 + b1z −1 + L + bm z − m
G( z ) =
=
U ( z ) a0 + a1z −1 + L + an z − n
27
(iii) diskrétní impulsní funkce/charakteristika
- analytické vyjádření/graf odezvy na jednotkový impuls
δ(kT)
1, pro k = 0
1
δ (kT ) = 
0, pro k ≠ 0
kT
0 T 2T 3T
G( z) =
Y ( z ) Z {y (kT )} Z {y (kT )} Z {y (kT )}
=
=
=
= Z {y (kT )}
U ( z ) Z {u (kT )} Z {δ (kT )}
1
⇒ y (kT ) ≡ g (kT ) = Z −1{ G ( z )}
(iv) diskrétní přechodová funkce/charakteristika
- analytické vyjádření/graf odezvy na jednotkový skok
η(kT)
1, pro k ≥ 0
1
η (kT ) = 
0, pro k < 0
0 T 2T 3T
Y ( z ) Z {y (kT )} Z {y (kT )} Z {y (kT )}
=
=
=
z
U ( z ) Z {u (kT )} Z {η (kT )}
z −1
 z

⇒ y (kT ) ≡ h(kT ) = Z −1 
G ( z )
z −1

kT
G( z) =
28
Vztah mezi diskrétní impulsní a diskrétní přechodovou funkcí
z −1
z
 z

H ( z)
G( z) ⇒ G( z) =
G ( z ) ⇒ H ( z ) =
h(kT ) = Z −1 
z
z −1
z −1

∞
∑ h(kT ) z
k =0
∞
−k
∑ h(kT ) z
1− k
k =0
∞
∞
z ∞
−k
−k
=
g (kT ) z ⇒ ( z − 1) ∑ h(kT ) z = z ∑ g (kT ) z − k ⇒
∑
z − 1 k =0
k =0
k =0
−
∞
∑ h(kT ) z
−k
k =0
=
∞
∑ g (kT ) z1− k
k =0
{
}
h(0) z + h(T ) + h(2T ) z −1 + h(3T ) z −2 + ... − h(0) + h(T ) z −1 + h(2T ) z − 2 + h(3T ) z −3 + ... =
= g (0) z + g (T ) + g (2T ) z −1 + g (3T ) z − 2 + ...
z1 :
g (0) = h(0)
z0 :
g (T ) = h(T ) − h(0)
z −1 :
g (2T ) = h(2T ) − h(T )
−2
g (3T ) = h(3T ) − h(2T )
z
:
⇓
g (kT ) = h( kT ) − h[(k − 1)T ]
sečtením těchto rovnic dostaneme
k
h(kT ) = ∑ g (iT )
i=0
29
(v) frekvenční přenos diskrétního systému
- podíl Fourierova obrazu výstupní funkce ku Fourierovu obrazu vstupní funkce
G ( jωT ) =
Y ( jωT )
U ( jωT )
- získáme jej ze Z-přenosu záměnou z = e jωT = cos ωT + j sin ωT, tj.
G ( jωT ) = [G ( z )]z =e jωT
pro ωT ∈< 0, 2π > opíše jednotkovou
kružnici v komplexní rovině proti směru
otáčení hodinových ručiček (začíná v (1,0))
- frekvenční přenos diskrétního systému je komplexní periodická funkce
bezrozměrné frekvence ωT s periodou 2π
G ( jωT ) = G[ j (ωT + 2kπ )]
(vi) frekvenční charakteristika diskrétního systému
- graf hodnot frekvenčního přenosu diskrétního systému pro frekvence z rozsahu
ωT ∈< 0, 2π >
30
Bloková algebra diskrétních obvodů
u(kT)
(a)
y(kT)
G(z)
u(t) T u(kT)
Y ( z)
G( z) =
⇒ Y ( z ) = G( z )U ( z)
U ( z)
T y(kT)
G(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L−1{G ( s )} ⋅U ( z ) = G ( z ) U ( z )
operace vzorkování spojitého signálu s periodou T
T y(kT)
(b)
u(t) T u(kT)
y(t)
G(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L−1{G ( s )} ⋅U ( z ) = G ( z ) U ( z )
31
T y(kT)
(c)
u(t)
y(t)
G(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L−1{ G ( s ) U ( s )} = G U ( z )
T y(kT)
(d)
u(t) T u(kT)
G1(s)
{{
y(t)
G2(s)
}}
Y ( z ) = Z V L−1 {G1 ( s ) G2 ( s )} ⋅ U ( z ) = G1G2 ( z ) U ( z )
(e)
u(t)
G1(s)
T y(kT)
G2(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L−1{G1 ( s ) G2 ( s ) U ( s )} = G1G2U ( z )
(f)
u(t) T u(kT)
{{
G1(s)
x(t) T x(kT)
G2(s)
T y(kT)
y(t)
}}
= Z {V {L−1{G2 ( s )}}}⋅ Z {V {L−1{G1 ( s )}}}U ( z ) = G2 ( z ) G1 ( z )U ( z )
Y ( z ) = Z V L−1{G2 ( s )} ⋅ X ( z ) =
32
antiparalelní (zpětnovazební) zapojení
T y(kT)
w(t)
e(t) T e(kT)
G(s)
e(t ) = w(t ) − y (t ) ⇒ E ( z ) = W ( z ) − Y ( z )
y(t)
[plyne z věty o linearitě]
Y ( z ) = G ( z ) E ( z ) = G ( z ) [W ( z ) − Y ( z )] = G ( z )W ( z ) − G ( z ) Y ( z )
⇒ Y ( z ) [1 + G ( z )] = G ( z )W ( z )
Y ( z)
G( z)
⇒ Gw ( z ) =
=
W ( z) 1 + G( z)
33
T y(kT)
w(t)
e(t) T e(kT)
GR(z)
T
GS(s)
y(t)
Y ( z ) = GS ( z ) GR ( z ) E ( z ) = GS ( z ) GR ( z ) [W ( z ) − Y ( z )]
⇒ GS ( z ) GR ( z ) W ( z ) − GS ( z ) GR ( z ) Y ( z )
⇒ Y ( z ) [1 + GS ( z ) GR ( z )] = GS ( z ) GR ( z ) W ( z )
⇒ Gw ( z ) =
GS ( z ) GR ( z )
Y ( z)
=
W ( z ) 1 + GS ( z ) GR ( z )
34
Příklad BA1. Určete přenos zapojení vzorkovač-tvarovač-spojitá soustava.
T y(kT)
u(t) T u(kT)
GT(s)
y(t)
GS(s)
{{
}}
Y ( z ) = Z V L−1{GT ( s ) GS ( s )} ⋅ U ( z ) = GT GS ( z )U ( z )
Tvarovač nultého řádu má přenos
{
} {
} {
}
1 1 −Ts 1 − e −Ts
GT ( s ) = L
+L
= − e
=
T =L
s s
s
V Laplaceově transformaci znamená násobení obrazu výrazem e−Ts posunutí
originálu o −T.
V Z-transformaci posunutí o −T znamená podle věty o posunutí násobení Z-obrazu
výrazem z−1.
1 − e −Ts

Y ( z)
G ( z) 
G ( z ) 

⇒ GT GS ( z ) =
= Z
GS ( z ) = Z  S  − Z e −Ts S  =
U ( z)
s 
 s 

 s

(
T
)
G ( z ) 
G ( z ) 
G ( z ) 
= Z  S  − z −1 Z  S  = 1 − z −1 Z  S 
 s 
 s 
 s 
35
I. Stabilita lineárních diskrétních obvodů
Obecné vyjádření stability:
Regulační obvod je stabilní, jestliže po jeho vychýlení z rovnovážného stavu
poruchou se regulovaná veličina y ustálí na původní hodnotě nebo na nové
hodnotě při vychýlení řídící veličinou w (tj. při změně žádané hodnoty
regulované veličiny). n
spojité regulační obvody:
lim y (t ) = y0
t →∞
an y ( n ) (t ) + L + a1 y ' (t ) + a0 y (t )
popis diferenciální rovnicí
⇒ řešení y (t ) = y hom (t ) + y part (t )
přechodná část ustálená část
= ...
1 + G0 ( s) = 0
kořeny charakteristické rovnice an s n + L + a1s + a0 = 0 jsou:
n
s1 t
s2 t
sn t
s t
1. reálné, navzájem různé: yhom (t ) = c1 e + c2 e + L + cn e = ∑ ci e i
(
i =1
m −1
2. reálný m-násobný kořen sk: yhom (t ) = ck + ck t + ck t + L + ck t
1
2
3
m
2
3. komplexně sdružené a±jb: y hom (t ) = e at (ck sin bt + ck +1 cos bt )
4. kombinace 1,2,3
lim yhom (t ) = 0 ⇒ obvod je stabilní, jsou-li reálné části všech kořenů
t →∞
charakteristické rovnice záporné
36
lim y part (t ) = lim y (t ) = y0 nutná a postačující podmínka stability
t →∞
t →∞
) es t
k
diskrétní regulační obvody:
popis diferenční rovnicí an y[(k + n)T ] + L + a1 y[(k + 1)T ] + a0 y (kT ) = ...
⇒ řešení y ( kT ) = yhom (kT ) + ypart ( kT )
přechodná část ustálená část
kořeny charakteristické rovnice a n z n + a n −1 z n −1 + L + a1 z + a0 = 0 jsou:
1. z1, z2, … , zn navzájem různé (reálné nebo komplexní), pak
y hom (kT ) = C1 z1kT + C 2 z 2kT + L + C n z nkT
2. je-li jeden kořen (např. z1) p-násobný a ostatní jednoduché, je
y hom (kT ) = C1 + C 2 k + ... + C p k p −1 z1kT + C p +1 z 2kT + L + C n z nkT− p +1
(
)
3. kombinace 1,2
[Konstanty C1, C2, … určíme z počátečních podmínek]
lim yhom (kT ) = 0 ⇒ obvod je stabilní, je-li splněno | zi |< 1, i=1,2, …, n
k →∞
lim ypart (kT ) = lim y (kT ) = y0
k →∞
k →∞
nutná a postačující podmínka stability diskrétního systému
[Diskrétní systém je stabilní, jestliže kořeny charakteristické rovnice
37
leží uvnitř jednotkové kružnice v komplexní rovině z.]
Laplaceův obraz spojité funkce f (t):
L{ f (t )} =
∞
∫
f (t ) e − st dt
0
⇒ Laplaceův obraz diskrétní funkce f (kT ):
L{ f (kT )} =
∞
∑
f (kT ) e − skT
k =0
Z { f (kT )} =
Z-obraz diskrétní funkce f (kT ):
∞
∑
f (kT ) z − k
k =0
Z-transformace je Laplaceova transformace diskrétní funkce pro novou proměnnou
z = e sT
⇒
s=
1
ln z
T
⇒ pro kořeny charakteristické rovnice spojitého a diskrétního systému platí vztah
z i = e siT
38
Vztah podmínky stability pro lineární spojité systémy a lineární diskrétní systémy:
1
poloha kořenů charakter.
rovnice v rovině „s“
u spojitého systému
v levé polorovině
2
v pravé polorovině
3
komplexně sdružené
v levé polorovině
komplexně sdružené
na imaginární ose
komplexně sdružené
v pravé polorovině
4
5
poloha kořenů charakter. regulační pochod
rovnice v rovině „z“
v časové oblasti
u diskrétního systému
v levé polorovině
stabilní
vně jednotkové kružnice
nestabilní
komplexně sdružené uvnitř kmitavý tlumený
jednotkové kružnice
na jednotkové kružnici na mezi stability
komplexně sdružené a na
záporné reálné ose vně
jednotkové kružnice
kmitavý
netlumený
39
Charakteristická rovnice 1 + G0 ( s) = 0 , přenos řízení G w ( s ) =
1
G1w ( s ) =
⇒ s1 = −1, s2 = −2
( s + 1)( s + 2)
1
8s + s + 2
2
⇒ s1, 2
300
0.2
0.15
200
0.1
100
1
G2 w ( s ) =
⇒ s1 = 1, s2 = 2
( s − 1)( s − 2)
G3w ( s ) =
fHtL
fHtL
0.25
Příklady:
G0 ( s )
1 + G0 ( s )
0.05
t
t
2
4
6
8
0.5
10
fHtL
1
1.5
2
− 1 ± 12 − 4.8.2 − 1 j 63
=
=
±
2.8
16
16
0.15
0.1
0.05
fHtL
t
10
20
30
40
50
-0.05
G4 w ( s ) =
8s + 2
2
⇒ s1,2
j
=±
2
-0.1
0.1
t
10
20
⇒ s1, 2
30
40
50
60
-0.1
-0.2
G5 w ( s ) =
3
0.2
0.2
1
2.5
1
8s 2 − s + 2
− (−1) ± (−1) 2 − 4.8.2 1 j 63
=
= ±
2.8
16
16
fHtL
7.5
5
2.5
t
10
20
30
40
50
60
-2.5
-5
-7.5
-10
40
60
Kritéria stability
(i) K určení stability lze použít (obdobně jako u spojitých systémů) algebraická a
frekvenční kritéria stability v jejich diskrétní verzi.
(ii) Jinou možností je nějakou transformací převést komplexní rovinu „z“ na
komplexní rovinu „s“ a využít kritéria stability pro spojité systémy.
Transformace z = e sT , s = 1 ln z nejsou příliš vhodné pro praktické použití.
T
Proto se častěji využívá tzv. bilineární transformace definovaná vztahem
z +1
w +1
, resp. inverzním vztahem w =
, která podobně jako předchozí
z=
z −1
w −1
transformace zobrazí jednotkovou kružnici v komplexní rovině „z“ na imaginární
osu v komplexní rovině „w“ a vnitřek jednotkové kružnice v komplexní rovině „z“
na levou polorovinu komplexní roviny „w“.
Im
w +1
Im
z
=
„z“
„w“
w −1
1
Re
w=
z +1
z −1
Re
41
Příklad: Rozhodněte o stabilitě obvodu s přenosem řízení
Y ( z)
G0 ( z )
z2 − z + 2
Gw ( z ) =
=
= 3
W ( z ) 1 + G0 ( z ) 3 z − z 2 + 2 z − 1
řešení: Charakteristická rovnice je 3 z 3 − z 2 + 2 z − 1 = 0 ,
(∗)
použijeme bilineární transformaci
3
2
 w + 1  w + 1
 w + 1
3
−
+
2
3

 

 − 1 = 0 /.( w − 1)
 w −1  w − 1
 w − 1
3 (w + 1)3 − (w + 1)2 ( w − 1) + 2 ( w + 1)(w − 1)2 − ( w − 1)3 = 0
3( w3 + 3w 2 + 3w + 1) − ( w2 + 2 w + 1)( w − 1) + 2 ( w + 1)( w2 − 2 w + 1) − ( w − 1)3 = 0
3w3 + 9 w 2 + 9 w + 3 − ( w3 + w 2 − w − 1) + 2 ( w3 − w 2 − w + 1) − ( w3 − 3w 2 + 3w − 1) = 0
(∗∗)
3w3 + 9 w 2 + 5 w + 7 = 0
podle Hurwitzova kritéria
9 7
= 9.5 − 7.3 = 45 − 21 = 24 > 0
3 5
⇒ kořeny rovnice (∗∗) leží v levé polorovině komplexní roviny „w“
⇒ kořeny charakteristické rovnice (∗) leží uvnitř jednotkové kružnice
42
v komplexní rovině „z“, a tedy obvod je stabilní
H2 =
II. Číslicové PSD regulátory
diskrétní verze spojitého PID regulátoru
(PSD = proporcionálně-sumačně-diferenční)
Ideální spojitý PID regulátor lze popsat přenosem


r
r−1
1
U (s)
= r0 +
+ r1 s = r0 1 +
+ 1
GR (s) =

r0
r0
E (s)
s
s
 r

−1
v časové oblasti rovnicí
t

de(t ) 
1
u (t ) = r0 e(t ) + ∫ e(τ ) dτ + TD

dt
T
I 0






1
s  = r0 1 +
+ TD s  ,


 TI s


(1)
Číslicovou verzi PID regulátoru získáme z rovnice (1) diskretizací integrace a
derivace.
43
Hodnota integrálu se přibližně určí jako součet ploch obdélníků nebo lichoběžníků
nahrazujících plochu pod původní křivkou odchylky e(t).
e(t)
e(t)
e(t)
e(kT)
e(kT)
e(kT)
e(T)
e(T)
e(T)
e(t)
e(0)
e(t)
e(0)
e(2T)
e(t)
e(2T)
t
kT
3T
0
T 2T
0
T
e(2T)
3T
2T
e(3T)
e(3T)
2T 3T
t
kT
0
T
e(3T)
zpětné obdélníky
kT
k
0
i =1
I (kT ) = ∫ e(t ) dt ≈ T ∑ e(iT )
dopředné obdélníky
k −1
I (kT ) ≈ T ∑ e(iT )
i =0
lichoběžníky
e(iT ) + e[(i − 1)T ]
2
i =1
k
I ( kT ) ≈ T ∑
e(t)
e(t)
Derivace se nahradí pomocí zpětné diference.
D(kT ) =
t
kT
e(kT) − e[(k−1)T]
de(t ) e(kT ) − e[(k − 1)T ]
≈
dt
T
(k−1)T
kT
t
44
Polohový PSD regulátor (polohový PSD algoritmus řízení)
= diskrétní PID regulátor, který dostaneme ze spojitého PID regulátoru náhradou
integrálu sumací (např. zpětných obdélníků) a náhradou derivace pomocí zpětné
diference v rovnici (1)
⇒ rovnice polohového PSD (proporcionálně-sumačně-diferenčního) regulátoru

T
u (kT ) = r0 e(kT ) +
TI


TD
∑ e(iT ) + T {e(kT ) − e[(k − 1)T ]}

i =1
k
(2)
Z rovnice PSD regulátoru lze analogicky ke spojitému vytvořit diskrétní regulátory
P, S, PS, PD.
Poznámka 1:
Nevýhodou polohového regulátoru je výskyt sumace v jeho rovnici, to znamená, že
k výpočtu akčního zásahu u(kT) je nutné uchovávat v paměti všechny hodnoty
e(iT), i=1,2, … , k. Proto se častěji používá tzv. přírůstkový PSD regulátor (popsaný
dále).
45
Přírůstkový PSD regulátor (přírůstkový PSD algoritmus řízení)
neurčuje celou hodnotu u(kT), ale pouze její změnu proti hodnotě u[(k−1)T]
v předchozím kroku.
∇u (kT ) = u (kT ) − u[(k − 1)T ] =


T k
TD
= r0 e(kT ) + ∑ e(iT ) + {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} −
TI i =1
T




T k −1
TD
− r0 e[(k − 1)T ] + ∑ e(iT ) + {e[(k − 1)T ] − e[(k − 2)T ]} =
TI i =1
T


k −1


 T
Tk
= r0 {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} + ∑ e(iT ) − ∑ e(iT ) + D {e(kT ) − 2e[(k − 1)T ] + e[(k − 2)T ]} =
TI  i =1


 T
i =1


T
T
= r0 {e(kT ) − e[(k − 1)T ]} + e(kT ) + D {e( kT ) − 2e[(k − 1)T ] + e[(k − 2)T ]} =
TI
T


 T T 
T 
T

= r0 1 + + D  e(kT ) + r0  − 1 − 2 D  e[(k − 1)T ] + r0 D e[(k − 2)T ] =
T 
T

 TI T 
= q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] ,
kde
 T T 
T 
T

q0 = r0 1 + + D  , q1 = −r0 1 + 2 D  , q2 = r0 D
T 
T

 TI T 
(3)
(4)
46
Z diferenční rovnice přírůstkového PSD regulátoru
∇u (kT ) = u ( kT ) − u[(k − 1)T ] = q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ]
lze určit jeho Z-přenos. Jestliže v předchozí rovnici s využitím vět o posunutí
přejdeme k Z-obrazům a dosadíme nulové počáteční podmínky, dostaneme
U ( z ) − z −1U ( z ) = q0 E ( z ) + q1 z −1 E ( z ) + q 2 z − 2 E ( z )
⇓
U ( z ) q0 + q1 z −1 + q 2 z − 2
=
GR ( z) =
E( z)
1 − z −1
 T T 
T
T 

r0 1 + + D  − r0 1 + 2 D  z −1 + r0 D z − 2
T
T 
TI T 

= 
1 − z −1
(5)
Poznámka 2:
U spojitého PID regulátoru jsou složky P, I, D jednoznačně odděleny, u diskrétního
PSD regulátoru jsou však patrné jen u jeho polohové verze.
Ze vztahů (4), (5) je vidět, že parametry q0, q1, q2 přírůstkového regulátoru
nejsou přímými ekvivalenty parametrů r0, TI, TD spojitého regulátoru.
47
Přenosy diskrétních regulátorů P, S, PS, PD odpovídajících spojitým regulátorům
P, I, PI, PD stanovíme ze znalosti přenosů regulátorů PID a PSD :
PID:
PSD:






U ( s)
r−1
r
1
1
+ TD s 
GR ( s ) =
= r0 +
+ r1 s = r0 1 +
+ 1 s  = r0 1 +
r0

E (s)
s
r0 
 TI s

s

 r


−1
 T TD 
TD  −1
TD − 2



1
1
2
+
r
+
+
−
r
+
z
r
z


0
0
 0
T
T
T
T
U ( z ) q0 + q1 z −1 + q2 z − 2




I
GR ( z ) =
=
=
E ( z)
1 − z −1
1 − z −1
P ≡ [PID]/TI=∞, TD=0 ⇒ q0=r0, q1= −r0, q2=0
I ≡ [PID]/r0=0, TD=0 ⇒ q0 = r0
⇒ P: G R ( z ) =
q0 + q1 z −1
1− z
q0
−1
T
= r−1T , q1 = 0, q2 = 0 ⇒ S: G R ( z ) =
TI
1 − z −1
= r0
q0 + q1 z −1
 T
PI ≡ [PID]/TD=0 ⇒ q0 = r0 1 + , q1 = −r0 , q 2 = 0 ⇒ PS: GR ( z ) =
1 − z −1
 TI 
TD 
TD
 TD 

q
r
1
,
q
r
1
2
,
q
=
r
=
+
=
−
+
 2 0
 1
PD ≡ [PID]/TI=∞ ⇒ 0 0 
0
T 
T 
T


q0 + q1 z −1 + q 2 z − 2
⇒ PD: G R ( z ) =
1 − z −1
48
Poznámka 3:
Z předchozích vztahů je vidět, že některé diskrétní regulátory mají formálně stejný
přenos:
q0 + q1 z −1
GR ( z ) =
• přenos diskrétních regulátorů P a PS je
1 − z −1 −1
q0 + q1 z + q 2 z − 2
• přenos diskrétních regulátorů PD a PSD je G R ( z ) =
1 − z −1
Protože požadujeme, aby přechodová charakteristika diskrétního regulátoru
odpovídala jeho spojité verzi, můžeme stanovit podmínky, které musí parametry
q0, q1, q2 splňovat, aby se jednalo o požadovaný typ regulátoru.
Přechodové charakteristiky h(t) základních spojitých regulátorů jsou
P
I
r0
D
r−1
t
1
t
t
a z nich vyplývají přechodové charakteristiky jejich kombinací
PI
PD
r−1
r0
1
PID
r0
t
r−1
r0
t
1
t
49
Přírůstkový PSD regulátor je určen vztahem (3):
 T T 
T 
T

u (kT ) − u[(k − 1)T ] = r0 1 + + D  e(kT ) + r0  − 1 − 2 D  e[(k − 1)T ] + r0 D e[(k − 2)T ] =
T 
T

 TI T 
= q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] ,
odtud plyne
 T T 
T 
T

u (kT ) = u[(k − 1)T ] + r0 1 + + D  e(kT ) + r0  − 1 − 2 D  e[(k − 1)T ] + r0 D e[(k − 2)T ] =
T 
T

 TI T 
(6)
= u[(k − 1)T ] + q0 e(kT ) + q1 e[(k − 1)T ] + q2 e[(k − 2)T ] ,
diskrétní přechodová charakteristika h(kT) je odezvou na diskrétní jednotkový skok
η(kT), do rovnice (6) dosadíme e(kT)=η(kT) a určíme h(kT)=u(kT), k=0,1,2, …
h(0)
h(T)
h(2T)
h(3T)
h(4T)
h(5T)
…
⇓
= q0
= 2q0 + q1
= 3q0 + 2q1 + q2
= 4q0 + 3q1 + 2q2
= 5q0 + 4q1 + 3q2
= 6q0 + 5q1 + 4q2
(7)
50
Obecnou podmínkou všech diskrétních regulátorů je, že první akční zásah musí být
kladný, tj. h(0) = q0 > 0.
P:
h(kT)
q0 q0
0
S:
T
q0
2T
q0
3T
kT
h(kT)
2q0
q0
0
T
3q0
2T
4q0
3T
kT
0
T
2T
4q0+3q1
q0
2q0+q1
h(kT)
3q0+2q1
PS:
3T
kT
∆h = 0
∆h = h(T)−h(0) = (2q0+q1)− q0 = q0+q1
⇒ q0+q1=0
q1=0, q2=0
∆h = konst > 0
∆h = h(T)−h(0) = (2q0+0) − q0 = q0
⇒ q0 > 0
q2=0
∆h = konst > 0
∆h = h(T)−h(0) = (2q0+q1) − q0 = q0+q1
⇒ q0+q1 > 0
51
0
2T
2q0+q1
2q0+q1
T
2q0+q1
h(kT)
q0
3T
kT
h(0) > h(T) = h(2T) = h(3T) = … > 0
⇓
⇓
q0 > 2q0+q1 ⇒ q0+q1 < 0 , 2q0+q1 > 0
h(0) > h(T) ⇒ q0 > 2q0+q1 ⇒ q0+q1 < 0
0
T
3q0+2q1+q2
2q0+q1
q0
PSD: h(kT)
2T
h(2T)−h(T)=h(3T)−h(2T) = … = konst > 0
⇒ 3q0+2q1+q2 − (2q0+q1) = q0+q1+q2 > 0
4q0+3q1+2q2
PD:
3T
kT
přímka lineárního nárůstu musí protínat
svislou osu v kladné hodnotě
⇒ (2q0+q1)−(q0+q1+q2) = q0−q2 > 0
52
III. Nastavení parametrů PSD regulátoru
(i) Ziegler-Nicholsova metoda
− postup je stejný jako u seřizování spojitého regulátoru
1. Ke známé soustavě a P regulátoru určíme Z-přenos řízení GW(z).
Z jeho jmenovatele určíme charakteristickou rovnici.
2. Bilineární transformací ji převedeme z komplexní roviny „z“ do roviny „w“
a určíme kritické zesílení r0krit a periodu kmitů Tkrit na hranici stability.
3. Z hodnot r0krit a Tkrit spočítáme podle následující tabulky parametry r0, T/TI a
TD/T a z nich pak hodnoty q0, q1, q2 zvoleného typu regulátoru.
typ
kR≡r0
P
0,5 r0krit
PS
PSD
T
TI
TD
T
−
−
T
(0 ,27 − 0 ,45) r0 krit
Tkrit
r0 krit
0,54
r0
T
(0 ,36 − 0 ,6) r0 krit
Tkrit
1,2
r0 krit
r0
T
Tkrit
T
Tkrit
−
3 r0 krit
40 r0
T
Tkrit
53