Stáhnout

ČVUT v Praze
Fakulta Dopravnı́
Tomáš FÍLA
Identifikace prvků matice
ooddajnosti ortotropnı́ho
materiálu při rovinné napjatosti
(bakalářská práce)
2010
Prohlášenı́
Předkládám tı́mto k posouzenı́ a obhajobě bakalářskou práci, zpracovanou na závěr
studia na ČVUT v Praze Fakultě dopravnı́.
”Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracoval
samostatně a že jsem uvedl veškeré informačnı́ zdroje
v souladu s Metodickým pokynem o etické přı́pravě
vysokoškolských závěrečných pracı́.”
Nemám závažný důvod proti užitı́ tohoto školnı́ho dı́la ve smyslu § 60 Zákona č.121/2000
Sb., o právu autorském, o právech souvisejı́cı́ch s právem autorským a o změně některých
zákonů (autorský zákon).
Tomáš FÍLA
1
Identifikace Prvků Matice Poddajnosti
Ortotropnı́ch Materiálů při Rovinné Napjatosti
Tomáš FÍLA
ČVUT v Praze, Fakulta dopravnı́, Praha, 2010
Klı́čová slova
ANSYS, experiment, korelace, matice poddajnosti, MATLAB, metoda konečných prvků,
modul pružnosti, numerický model, optické měřenı́ deformacı́, ortotropnı́ materiál,
Poissonova konstanta, rovinná napjatost
Abstrakt
Tato práce se zabývá stanovenı́m 4 materiálových konstant reprezentujı́cı́ch chovánı́
ortotropnı́ho materiálu při rovinné deformaci. Za tı́mto účelem je vytvořena vlastnı́
metoda měřenı́. Metoda je založena na bezkontaktnı́m optickém měřenı́ posunutı́,
výpočtu deformacı́ a porovnánı́ s numerickým modelem. Při tvorbě metody je vyvinut
vlastnı́ tvar vzorku. Data deformacı́ zpracovaná metodou DIC (Digital Image Correlation) jsou porovnávána s výsledky numerického modelu. Čtyři neznámé ortotropnı́
konstanty materiálu se hledajı́ iteračně na základě maximálnı́ shody mezi experimentem
a numerickým modelem.
Typeset by LATEX
2
Compliance Matrix Elements Estimation of
Orthotropic Material with Plain Stress
Tomáš FÍLA
CTU in Prague, Faculty of Transportation Sciences, Prague, 2010
Keywords
ANSYS, experiment, correlation, compliance matrix, finite element method, MATLAB,
numerical model, optical strain measurement, orthotropic material, Poisson’s ratio,
plane strain, Young modulus
Abstract
This paper deals with a numerical-experimental method for the identification of the
four material engineering constants of orthotropic plane materials. Custom measurement method was developed. This method is based on strain optical measurement and
comparison with finite element numerical model. Os-shape patterned specimen was
used for uniaxial tensile testing. Experiment strain data are obtained by DIC (Digital Image Correlation) and are compared with the results of finite element analysis.
The four independent engineering methods are the unknown parametres of numerical
model. Their initial values are adjusted manually and then updated by iteration loop
till the computed strain matches the experimental DIC strain field. This way ensures
maximum accuracy of the method.
Typeset by LATEX
3
Obsah
1 Charakteristika ortotropnı́ch materiálů
13
1.1 Izotropie, Anizotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2 Materiálové konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.1
Izotropnı́ materiál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.2
Anizotropnı́ materiál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.3
Ortotropnı́ materiál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2 Metody testovánı́ ortotropnı́ch materiálů
19
2.1 Kvazistatické testovánı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2 Rezonančnı́ metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3 Ultrazvukové metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4 Biaxiálnı́ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5 Ostatnı́ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Vlastnı́ metoda měřenı́ ortotropnı́ho materiálu
24
3.1 Formulace požadavků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2 Popis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3 Části metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4 Experiment
27
4.1 Výběr materiálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Charakteristika vybraného materiálu . . . . . . . . . . . . . . .
4
27
28
4.1.2
Sklolaminát FILON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2 Geometrie vzorku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.1
Přı́prava vzorku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3 Proces zatěžovánı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3.1
Viskoelasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3.2
Deformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3.3
Dalšı́ faktory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.4 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.4.1
Data ze zatěžovacı́ho stroje Instron . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.4.2
Data optického měřenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.4.3
Povrchová úprava vzorku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.4.4
Volba optického zařı́zenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.4.5
Rektifikace optického zařı́zenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.4.6
Nastavenı́ optického zařı́zenı́ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.4.7
Minimalizace negativnı́ch faktorů . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.5 Shrnutı́ experimentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5 Zpracovánı́ výsledků
38
5.1 Úprava do vstupnı́ho formátu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1
38
IMAGELOADING.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.2 Zpracovánı́ dat korelačnı́m programem CM . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.3 Úprava výsledků
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Funkce RESULTSUPG.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.4 Vyhlazenı́ dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.3.1
5.4.1
Funkce APROXSURF.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.4.2
Funkce UPGRADEDATA.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.5 Shrnutı́ zpracovánı́ výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5
6 Vyhodnocenı́
47
6.1 Iteračnı́ cyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.2 Funkce FIRSTGIVINGCONSTANTS.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.3 Funkce ANSYSINPUTING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.4 Výpočet programu ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.4.1
Tvorba modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.4.2
Výstup programu ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.5 Vyhodnocenı́ výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.5.1
Funkce RATIOTEST.M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.5.2
Druhá a dalšı́ iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.6 Shrnutı́ iteračnı́ části . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7 Výsledky
56
8 Závěry a doporučenı́
58
6
Seznam obrázků
1.1 Mohrovy kružnice pro napjatost a deformaci ve smyku . . . . . . . . .
15
2.1 Princip kvazistatického měřenı́ ortotropnı́ho materiálu . . . . . . . . . .
20
2.2 Tvary Poisson Test Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3 Princip biaxiálnı́ho metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.1 Principiálnı́ schéma metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.1 Pohled na materiál FILON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2 Detailnı́ struktura FILONu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3 Závislost působı́cı́ tahové sı́ly na vzájemném posunutı́ upı́nacı́ch čelistı́
29
4.4 Výkres vzorku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.5 Nástřik vzorku vı́cebarevným sprejem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.6 Výsledná povrchová úprava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.7 Obraz v softwaru optické kamery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.1 Snı́mek vzorku před úpravou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.2 Snı́mek vzorku po úpravě imageloading.m . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.3 Nastavenı́ v programu CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.4 Výsledky programu CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.5 Surová data optické korelace pro deformaci ǫxx . . . . . . . . . . . . . .
43
5.6 Data aproximovaná do plochy vı́ce proměnných ǫxx . . . . . . . . . . .
45
6.1 Schéma principu iteračnı́ho algoritmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7
6.2 Model vzorku v programu ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.3 Obvykle použı́vané počátečnı́ podmı́nky a výsledné deformace . . . . .
51
6.4 Upravené počátečnı́ podmı́nky a výsledné deformace . . . . . . . . . . .
51
8
Seznam tabulek
4.1 Mechanické vlastnosti FILONu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.1 Práce se skriptem imageloading.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.2 Nastavenı́ gridu v programu CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
7.1 Výsledky vzorku vz2arc4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
8.1 Seznam přı́loh na DVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
9
Předmluva
V oblasti technické praxe můžeme nauku o materiálech označit za nepostradatelný
základ. Žádné jejı́ odvětvı́ se ve svém důsledku neobejde bez potřebného aplikovatelného
zázemı́ v podobě teoretických znalostı́ a veličin, jež využı́vá a s nimiž nakládá. Nelze
si představit žádnou konstrukci či technické řešenı́, které by vzniklo bez alespoň elementárnı́ znalosti chovánı́ a vlastnostı́ použitých materiálů. Pochopitelně, můžeme
namı́tnout, že v minulosti žádný odborný popis materiálů neexistoval, a přesto běžně
vznikala technická dı́la všech druhů. Dokonce se mnohdy vyskytla i taková dı́la, že
i v současné době se nad nimi rozum laika i odbornı́ka dlouze pozastavuje. Takto
důmyslná řešenı́ jasně ukazujı́, že již tehdy se nad materiálem vědci, konstruktéři i
obyčejnı́ lidé zamýšlet museli. Věděli, jaký druh materiálu k jakému účelu použı́t. Jejich úvahy a zkušenosti pak vytvořily použitelné poznatky. Napřı́klad dřevo bylo lehké,
snadno obrobitelné, dostupné a relativně pevné. Kámen zase chemicky stálý, nepodléhal
povětrnostnı́m vlivům a bylo možné jej skládat na sebe do vysokých vrstev. Takto bychom mohli ve výčtu pokračovat stále dál.
Pokrok ovšem pokračoval a neustále pokračuje dál. Dı́ky němu tak, stále ještě v
nedávné době, pokročily vědy jako fyzika, matematika a chemie kupředu natolik, že materiály začaly být popisovány exaktně, vědecky. Proto tak dnes návrh nové konstrukce,
napřı́klad mostu, již neznamená obtı́žný, často neřešitelný problém, ale je reprezentován miliony diferenciálnı́ch rovnic metody konečných prvků spolu s několikadennı́m
výpočtem výkonného počı́tače.
Exaktnı́ popis materiálových vlastnostı́ použı́vá mnoha veličin z oblasti fyziky a chemie.
Měřenı́ a stanovovánı́ těchto parametrů je často velice komplikované, nezřı́dka i značně
nepřesné. Záležı́ na mnoha zdánlivě nevýznamných vlivech, na provedenı́ měřenı́ i na
vhodně zvolené metodě.
V poslednı́ch dvou desı́tkách let došlo k obrovskému rozmachu a vývoji kompozitů.
Jsou to materiály tvořené dvěma a vı́ce složkami z různých materiálů, které navzájem
výsledné vlastnosti materiálu zušlecht’ujı́. Tyto materiály často vykazujı́ směrové anizotropie, jež činı́ exaktnı́ stanovenı́ jejich vlastnostı́ významně složitějšı́. Ortotropnı́ ma-
10
teriály,jimiž se tato práce zabývá, vykazujı́ směrovou anizotropii ve směrech vzájemně
na sebe kolmých. Stanovenı́ materiálových vlastnostı́ si tak s sebou, v přı́padě prováděnı́
klasické tahové zkoušky, žádá nutnost měřenı́ minimálně ve třech směrech vzorku.
Cı́lem této práce je vypracovat metodu, jež by umožnila zı́skánı́ materiálových vlastnostı́ z testovánı́ vzorku pouze v jednom směru. Výsledkem by tak bylo zrychlenı́ procesu stanovenı́ materiálových konstant.
11
Úvod
Náplnı́ této práce je stanovenı́ prvků matice poddajnosti ortotropnı́ho materiálu při
rovinné deformaci. Tento úkol se pokusı́me řešit vlastnı́ metodou, jež vycházı́ a kombinuje již použı́vané metody. Snahou je vytvořit dostatečně spolehlivý a přitom rychlý,
jednoduchý způsob identifikace materiálových konstant.
V práci se budeme zabývat kompletnı́ problematikou vývoje vlastnı́ metody. V kapitole Charakteristika ortotropnı́ch materiálů je uveden základnı́ popis vlastnostı́ ortotropnı́ho materiálu. Kapitola Metody testovánı́ ortotropnı́ho materiálu shrnuje současné metody, jimiž se vlastnosti ortotropnı́ho materiálu měřı́. Základnı́ charakteristiku
a princip vývoje vlastnı́ metody uvádı́ kapitola Vlastnı́ metoda měřenı́ ortotropnı́ho
materiálu. V kapitole Experiment je popisován materiál použitý pro vývoj metody,
vyvinutý tvar vzorku a způsob měřenı́ posunutı́ pomocı́ korelace obrazu. Kapitola
Zpracovánı́ výsledků popisuje programové skripty vytvořené pro zpracovánı́ digitálnı́ch
snı́mků, pro výpočty deformacı́ a vyhlazenı́ dat. V kapitole Vyhodnocenı́ je vysvětlen
iteračnı́ cyklus hledánı́ kombinace materiálových konstant pomocı́ numerického modelu
a způsob, jakým je hledána kombinace materiálových konstant, při nı́ž je rozdı́l mezi
daty deformacı́ experimentu a numerického modelu minimálnı́. Principy metody jsou
uváděny komplexně, včetně přı́kladů aplikace či syntaxe softwarových nástrojů metody.
12
Kapitola 1
Charakteristika ortotropnı́ch
materiálů
Tématem práce je stanovenı́ prvků matice poddajnosti ortotropnı́ho materiálu. Našı́m
prvnı́m krokem by tak mělo být vymezenı́ oblasti, v nı́ž se budeme pohybovat, vysvětlenı́
základnı́ch pojmů a definice problému, jež se budeme snažit řešit.
1.1
Izotropie, Anizotropie
Jakýkoliv materiál má svoji vnitřnı́ strukturu. Tato struktura z oblasti mikrosvěta má
však zcela zásadnı́ vliv na veličiny, na něž nahlı́žı́me makroskopicky. Mechanické vlastnosti materiálu jsou výslednicı́ souhry struktury materiálu a vazebnı́ch sil. Podstatná je
směrová nezávislost vlastnostı́ (izotropie) nebo naopak směrová závislost (anizotropie).
Anizotropiı́ rozumı́me stav, kdy má materiál v jednom svém směru jiné vlastnosti než
ve směru jiném. Můžeme hovořit o anizotropii fyzikálnı́ (mechanické, elektrické, magnetické, optické apod.) či chemické. V materiálu lze určit osy anizotropie, v jejichž
směru se parametr sledované vlastnosti neměnı́. Speciálnı́m přı́padem mechanické anizotropie je ortotropie. V přı́padě ortotropie se osy anizotropie shodujı́ s geometrickými
osami zkoumaného objektu.[6]
13
1.2
1.2.1
Materiálové konstanty
Izotropnı́ materiál
Pro přı́pad izotropnı́ho materiálu, jež je zatı́žen jednoosým tahem ve směru x, platı́:
σx
Deformace ve směru x : ǫx = , kde E je Youngův modul pružnosti.
E
Tato jednoosá napjatost rovněž způsobı́ deformace ǫy = ǫz = −ν · ǫx , kde ν je
Poissonova konstanta.
Pokud současně aplikujeme napětı́ σx , σy a σz můžeme tvrdit, že napětı́ σx způsobuje
σx
a napětı́ σy , σz , potom kontrakce (deformaci v přı́čném
protaženı́(deformaci) ǫx =
E
−νσy
−νσz
směru), které můžeme vyjádřit jako ǫx =
a ǫx =
. Můžeme tak vyjádřit
E
E
základnı́ rovnici Hookova zákona:[6]
ǫx =
1
[σx − ν (σy + σz )]
E
(1.1)
Pro smykové deformace můžeme psát:[6]
γyz =
τyz
= 2ǫyz
G
(1.2)
, kde G je modul pružnosti ve smyku. Výše uvedené principy jsou zcela obdobné i v
ostatnı́ch směrech x a z. Hookův zákon v rozšı́řeném tvaru tak můžeme psát jako:[6]
1
[σx − ν (σy + σz )]
E
1
ǫy = [σy − ν (σz + σx )]
E
1
ǫz = [σz − ν (σx + σy )]
E
ǫx =
τyz
= 2ǫyz
G
τzx
γzx =
= 2ǫyz
G
τxy
γxy =
= 2ǫyz
G
γyz =
(1.3)
Vzhledem k tomu, že zkoumáme izotropnı́ materiál, modul pružnosti ve smyku G,
nenı́ nezávislý na E a ν. Tento fakt můžeme dokázat v přı́padě, že zauvažujeme
nad přı́padem prostého střihu, kde napětı́ je σz rovno nule. Na Obrázku 1.1 jsou
znázorněny Mohrovy kružnice pro smykové namáhánı́, s pomocı́ nichž zjišt’ujeme, že
14
τxy
τ
1
γ/2
τxy
γxy/2
e
σ
τxy
2
σ2
σ1
e2
e1
Obrázek 1.1: Mohrovy kružnice pro napjatost a deformaci ve smyku
1+ν
τxy
γxy
=
τxy . Pokud právě zı́skaný vztah porovnáme s rovnicı́ γxy =
, zı́skáváme:[6]
2
E
G
G=
E
2 (1 + ν)
(1.4)
Z výše uvedeného plyne, že pro výpočty izotropnı́ho materiálu v elastické oblasti nám
postačı́ pouze dvě konstanty, a to E a ν.
1.2.2
Anizotropnı́ materiál
Pokud se budeme zabývat stejnou situacı́ jako v předchozı́m odstavci ovšem u ortotropnı́ho materiálu, bude celý problém složitějšı́. Musı́me vyjı́t z tvaru Hookova
zákona pro anizotropnı́ materiály. Ten lze vyjádřit podmı́nkami, u kterých platı́, že
každá složka deformace ǫij je lineárně závislá na složce napětı́ σmn . Koeficient lineárnı́
kombinace sijmn potom vyjadřuje koeficient poddajnosti v daném směru.[12]
Můžeme tedy psát:[12]
ǫij = sijmn σmn
(1.5)
Za tohoto předpokladu pak koeficienty poddajnosti sijmn tvořı́ tenzor 4. řádu. V přı́padě,
že zavedeme σmn = σnm , γij = γji = 2ǫmn = 2ǫnm a zvolı́me předpoklad, že v tenzoru
ukazujı́ indexy na řádek a sloupec podle hodnoty poddajnosti a nikoli podle polohy os
deformace a napjatosti, můžeme Hookův zákon obecně anizotropnı́ho materiálu zapsat
jako:[12]
15
ǫ11 = s11 σ11 + s12 σ22 + s13 σ33 + s14 σ23 + s15 σ31 + s16 σ12
ǫ22 = s12 σ11 + s22 σ22 + s23 σ33 + s24 σ23 + s25 σ31 + s26 σ12
ǫ33 = s13 σ11 + s23 σ22 + s33 σ33 + s34 σ23 + s35 σ31 + s36 σ12
γ23 = s14 σ11 + s24 σ22 + s34 σ33 + s44 σ23 + s45 σ31 + s46 σ12
γ31 = s51 σ11 + s52 σ22 + s53 σ33 + s54 σ23 + s55 σ31 + s56 σ12
γ12 = s61 σ11 + s62 σ22 + s63 σ33 + s64 σ23 + s65 σ31 + s66 σ12
(1.6)
Jestliže zavedeme sij = sji , což můžeme odůvodnit faktem, že nezáležı́ na směru,
kterým se po osách krystalografické struktury pohybujeme, můžeme rovnici 1.6 ještě
zjednodušit:[12]
ǫ11 = s11 σ11 + s12 σ22 + s13 σ33 + s14 σ23 + s15 σ31 + s16 σ12
ǫ22 = s21 σ11 + s22 σ22 + s23 σ33 + s24 σ23 + s25 σ31 + s26 σ12
ǫ33 = s13 σ11 + s32 σ22 + s23 σ33 + s34 σ23 + s35 σ31 + s36 σ12
γ23 = s41 σ11 + s42 σ22 + s43 σ33 + s44 σ23 + s45 σ31 + s46 σ12
γ31 = s15 σ11 + s25 σ22 + s35 σ33 + s45 σ23 + s55 σ31 + s56 σ12
γ12 = s16 σ11 + s26 σ22 + s36 σ33 + s46 σ23 + s56 σ31 + s66 σ12
(1.7)
V tuto chvı́li tak máme 21 nezávislých koeficientů poddajnosti (materiálových konstant). V přı́padě, že budeme schopni najı́t symetrii anizotropnı́ch vlastnostı́, počet
konstant se snı́žı́.
1.2.3
Ortotropnı́ materiál
Roviny symetrie u ortotropnı́ho materiálu majı́ indexy 23, 31 a 12. Dı́ky tomu, můžeme
řı́ci, že osy 1, 2 a 3 (x, y a z), tvořı́ osy symetrie koeficientů poddajnosti. Hookův zákon
se dále redukuje na:[12]
16
ǫ11 = s11 σ11 + s22 σ12 + s33 σ13
ǫ22 = s12 σ11 + s22 σ12 + s23 σ13
ǫ33 = s13 σ11 + s23 σ12 + s33 σ13
γ23 = s44 σ23
γ31 = s55 σ31
(1.8)
γ12 = s66 σ12
Upravı́me-li rovnici 1.8 do maticového tvaru a koeficienty sij nahradı́me vyjádřenı́m
koeficientů poddajnosti, zı́skáváme:[12]
{ε} = [C] {Σ}



1


− νExyx − νExzx
ǫ

xx 
Ex



 νyx

1


 − Ey


− νEyzy
ǫ

yy

Ey




 − νzx − νzy

 ǫ 
1
zz

Ez
Ez
=  Ez
 0

0
0
γyz 







 0


 γxz 
0
0







 γ 
0
0
0
xy
(1.9)
0
0
0
0
0
0
0
1
Gyz
0
0
0
0
0
1
Gxz
0
0
0
1
Gxy























σxx
σyy
σzz
τyz
τxz
τxy











(1.10)










Matici C označı́me jako matici materiálové poddajnosti ortotropnı́ho materiálu. Vidı́me,
že je tvořena 9 materiálovými konstantami. 3 Youngovy moduly pružnosti a 3 Smykové
moduly pružnosti jsou nezávislými konstantami, pro 3 Poissonovy konstanty platı́:[12]
νxy Ey = νyx Ex ,
νyz Ez = νzy Ey ,
νzx Ex = νxz Ez
(1.11)
Přı́klady ortotropnı́ch materiálů
Ortotropie se vyskytuje u mnoha typů materiálů. Typickými přı́klady ortotropnı́ch
materiálu jsou:
• Monokrystaly
• Válcované plechy a desky, před i po rekrystalizaci. Anizotropie je způsobena
změnou krystalografické struktury při válcovánı́
17
• Trubky a tažené dráty nebo tyče s válcovou symetriı́
• Dřevo jako přı́rodnı́ kompozit
• Vláknové kompozity - majı́ svou strukturu zpravidla tvořenou vı́ce materiály.
Jako přı́klad můžeme uvést železobeton nebo polymerové matrice vyztužené
vlákny z kovu či jiného materiálu. Orientace a uspořádánı́ vláken tak často
tvořı́ geometrii, která odpovı́dá ortotropnı́mu uspořádánı́. Takové materiály jsou
napřı́klad sklolamináty s vlákny orientovanými určitým směrem.
18
Kapitola 2
Metody testovánı́ ortotropnı́ch
materiálů
Jak plyne z rovnice 1.10, je ortotropnı́ materiál interpretován 6 nezávislými materiálovými
konstantami a 3 Poissonovými konstantami, pro něž platı́ rovnice 1.11. V rovinných
úlohách se uplatňujı́ jen některé prvky matice poddajnosti. Tato práce se zabývá
materiálem v oblasti rovinné napjatosti, a tak můžeme rovnici Hookova zákona ortotropnı́ho materiálu 1.10 zjednodušit:


 ǫx
ǫy


γxy







=

1
Ex
− νExyx
− νEyxy
1
Ey
0
0


0

σ

x



0 
σy




1
τ
xy
Gxy
(2.1)
Z rovnice 2.1 vyplývá, že po úpravě se množstvı́ nezávislých konstant redukuje z 9 na
4, tedy Ex , Ey , Gxy a νxy 1 .
V současnosti existuje celá řada metod, jak konstanty ortotropnı́ch materiálů stanovovat. Každá z těchto metod má své přednosti a nevýhody a je vhodná na určitý typ
ortotropnı́ho materiálu.
Problematika měřenı́ mechanických vlastnostı́ ortrotropnı́ch materiálů, zejména kompozitů, je v současnosti žhavě diskutována a tvořı́ bouřlivě se rozvı́jejı́cı́ disciplı́nu materiálové mechaniky, a to zejména z toho důvodu, že dodnes nebyla vyvinuta dostatečně
spolehlivá metoda jejich měřenı́.
1
Platı́ rovnice 1.11. Hlavnı́ Poissonovo čı́slo νxy budeme pro potřeby této práce dále označovat jako
ν
19
2.1
Kvazistatické testovánı́
F
x
1. vzorek
(on-axis)
X
y
x
xy
xy
F
E
F
x
x
xy
E
y
F
y
y
2. vzorek
(on-axis)
Y
G
xy
3. vzorek
(off-axis)
XY
F
F
Obrázek 2.1: Princip kvazistatického měřenı́ ortotropnı́ho materiálu
Tato metoda se skládá z tahových zkoušek ve vı́ce směrech materiálu. Testované vzorky
majı́ stejný tvar, avšak jejich orientace vůči materiálovým osám je různá. V přı́padě
rovinné deformace jsou vzorky testovány ve třech základnı́ch směrech. Směr, který
určuje osa prvnı́ho vzorku, označı́me za směr 1 a úhel osy pak činı́ 0 stupňů. Veličiny,
jež ležı́ na ose 1, nebo na osách svı́rajı́cı́ s touto osou úhel k · π2 se označujı́ jako veličiny
on-axis. Ostatnı́ jako off-axis. Ze vzorků on-axis určı́me modul pružnosti Ex a Ey , ze
vzorku off-axis smykový modul pružnosti Gxy . Kontrakce na jednotlivých vzorcı́ch pak
posloužı́ k výpočtu Poissonova čı́sla dle vztahu 1.11. K lepšı́mu pochopenı́ metody experimentu sloužı́ obrázek 2.1.
S výsledky zı́skanými kvazistatickým testovánı́m se porovnávajı́ výsledky všech ostatnı́ch metod, proto tuto metodu můžeme označit jako hlavnı́ pro měřenı́ ortotropnı́ch
materiálů.
Nevýhodou měřenı́ prováděného kvazistatickými metodami je doba jeho trvánı́ (minimálnı́
počet testovaných vzorků je 3) a nutnost opakovaného přesného měřenı́ výsledku experimentu. Naopak jeho výhodou je jednoduchost a možnost provedenı́ i v laboratoři
vybavené pouze pro obvyklé tahové zkoušky vzorků.
2.2
Rezonančnı́ metoda
Metoda je založena na kombinaci experimentu a numerického modelu. Porovnávanou
veličinou jsou rezonančnı́ frekvence. Podstatou je testovánı́ plošných vzorků různého
tvaru tzv. Poisson Test Plate (PTP). Tvary PTP ukazuje obrázek 2.2. PTP musı́ mı́t
pravoúhlý půdorys a splňovat podmı́nku:
20
delka
=
sirka
Torzní
r
4
E1
E2
Antiklastický
Tor-Ben-X
Synklastický
Tor-Ben-Y
Obrázek 2.2: Tvary Poisson Test Plate
U pěti tvarů PTP se určujı́ rezonančnı́ frekvence. Měřenı́ probı́há na laserovém vibrometru. Z naměřeného grafu se určujı́ pı́ky pro daný tvar, rezonančnı́ frekvence.
Často docházı́ k situaci, kdy od sebe nelze rozeznat rezonančnı́ pı́ky čtvrtého a pátého
tvaru PTP. V takovém přı́padě se přistupuje ke stochastickým metodám. Naprosto
analogicky jako v přı́padě experimentu se postupuje v numerické analýze. Pět typů
PTP stejné geometrie zpracuje numerický konečně prvkový software. Při výpočtu program dosazuje měnı́cı́ se hodnoty materiálových konstant a snažı́ se nalézt co největšı́
shodu s výsledky experimentálnı́ modálnı́ analýzy.
Přesnost výsledků metody při porovnánı́ se statickými metodami testovánı́:
• Výsledky modulů pružnosti on-axis, tedy Ex a Ey , se lišı́ o 10% [8]
• Přijatelného rozdı́lu 10% u modulů pružnosti off-axis, tedy modulu pružnosti ve
smyku Gxy [8]
• Naprosto odlišných hodnot Poissonových konstant. Dle [] jsou takto zjištěné hodnoty zcela neporovnatelné [8]
Nevýhody metody spočı́vajı́ ve velké náročnosti výroby PTP všech tvarů, nárocı́ch na
vybavenı́ laboratoře a dosud neuspokojivých výsledcı́ch.
21
2.3
Ultrazvukové metody
Metoda s použitı́m ultrazvuku je v současnosti označována jako nejběžnějšı́. Moduly
pružnosti materiálu jsou závislé na průchodnosti ultrazvukových vln materiálem a jeho
hustotě.
Výhodou ultrazvukového měřenı́ je jeho jednoduchost. Velkou nevýhodou ovšem je
nemožnost spolehlivého testovánı́ kompozitů. Jakákoli nehomogenita v průřezu vzorku
má zásadnı́ vliv na průchodnost ultrazvukových vln. Při přepočtech se použı́vajı́ data
průchodnosti vln jednotlivými materiály kompozitu, ale nikdy nelze dosáhnout kvalitnı́ho výsledku celkové průchodnosti vln interpolacı́.
2.4
Biaxiálnı́ metody
F
Oblast měření
F
exx
ex
y
eyy
F
F
Obrázek 2.3: Princip biaxiálnı́ho metody
Metoda je podobná kvazistatickému testovánı́, ovšem vzorek je současně zatěžován ve
dvou (teoreticky i vı́ce) osách. Měřı́ se vzorek ve tvaru křı́že se zaoblenými středovými
rohy. Vzorek je současně upnut do dvouosého zatěžovacı́ho zařı́zenı́, které simultánně
tahem deformuje vzorek. Výsledné grafy tak poskytujı́ data při zatı́ženı́ ve vı́ce osách.
Zároveň na vzorku vzniká kombinované tahové zatı́ženı́ eliminujı́cı́ potenciálnı́ chybu
kvazistatického testovánı́. Princip měřenı́ a tvar vzorku ukazuje obrázek 2.3.
Požadavky na vzorek ve tvaru křı́že jsou:
22
• Maximalizace oblasti, kde docházı́ k tvorbě homogenizovaného dvouosého napětı́
(střed křı́že)
• Minimalizace střihových napětı́ v oblasti dvouosého namáhánı́
Výhodou měřenı́ biaxiálnı́ metodou je jednoduchost jeho provedenı́ a práce s kombinovanou dvouosou napjatostı́. Nevýhodou nutnost pořı́zenı́ speciálnı́ho zatěžovacı́ho
zařı́zenı́.
2.5
Ostatnı́ metody
Existuje mnoho dalšı́ch metod měřenı́ ortotropnı́ch materiálů. Zpravidla pracujı́ s
jinými typy vzorků nebo jsou kombinacı́ metod výše uvedených. Patřı́ do nich napřı́klad
metoda reziduálnı́ch napětı́. Reziduálnı́ napětı́ jsou koncentrovaná napětı́ vyskytujı́cı́
se v určitých mı́stech vzorku (rozı́ch, kolem děr a podobně). Jsou to jevy nebezpečné,
nebot’ jsou doprovázeny tvorbou únavových lomů a ztrátou pevnosti. Samotné reziduálnı́
napětı́ je těžko měřitelné, ovšem jeho existence se využı́vá v biaxiálnı́ch testech křı́žového
vzorku. Křı́žový vzorek s otvorem uprostřed totiž vykazuje výrazně vyššı́ citlivost na
namáhánı́. Dı́ky této vlastnosti je podstatně zvýšena i hodnota deformace.
23
Kapitola 3
Vlastnı́ metoda měřenı́
ortotropnı́ho materiálu
3.1
Formulace požadavků
Předchozı́ kapitolu jsme věnovali popisu různých metod, kterými lze ortotropnı́ materiály měřit. Cı́lem této práce je určit prvky matice poddajnosti 2.1 ortotropnı́ho materiálu, tedy moduly pružnosti Ex , Ey , Gxy a Poissonovu konstantu ν. Dı́ky omezujı́cı́m
podmı́nkám problému formulovanému pro rovinnou napjatost ortotropnı́ch materiálů
a porovnánı́m použı́vaných metod lze formulovat požadavky na metodu vlastnı́:
• Metoda má být jednoduchá a přitom dostatečně efektivnı́
• Materiálové konstanty budou stanoveny použitı́m jednoho vzorku
• Důraz na co největšı́ uživatelské pohodlı́ a automatizaci
• Možnost aplikace metody na co nejširšı́ spektrum materiálů
• Co nejmenšı́ celkové náklady na provedenı́ a vyhodnocenı́ experimentu
• Snadná proveditelnost v průměrném laboratornı́m prostředı́
Podstatou metody je zı́skat materiálové konstanty, dalšı́ podmı́nky určujı́ jejı́ doplňujı́cı́
vlastnosti. Po zhodnocenı́ všech vlivů jsme určili rámcovou podobu metody.
24
3.2
Popis metody
Podmı́nky řešenı́ specifikované v předchozı́m textu vedly ke konečné rámcové podobě
metody:
1. Vzorek bude testován na jednoosém zatěžovacı́m stroji
2. Při měřenı́ budou optickým zařı́zenı́m snı́mány celkové deformace
3. Pomocı́ metody korelace obrazu budou zjištěny hodnoty deformace v jednotlivých
směrech
4. Zpracovánı́ dat proběhne v některém matematickém softwaru
5. Hodnoty deformacı́ a ostatnı́ data z experimentu budou použita jako vstupnı́
prvky do modelu metody konečných prvků
6. Konečně prvkový software provede výpočty pro různé hodnoty materiálových
konstant a pomocı́ konvergence řešenı́ se stanovı́ nejvhodnějšı́ kombinace. Ta
bude vybrána tak, aby rozdı́l dat deformacı́ experimentu a numerického modelu
byl minimálnı́.
Schéma průběhu metody je znázorněno na obrázku 3.1
Tvorba vzorku
Experiment
Zpracování dat
Iterační cyklus
Experiment X Numerika
volba konstant
Numerický model
Přijatelná chyba
Ex, Ey, Gxy, υxy
Obrázek 3.1: Principiálnı́ schéma metody
25
3.3
Části metody
Z jednotlivých bodů metody můžeme celý proces rozdělit na tři základnı́ části:
1. Experiment – zahrnuje výrobu vzorků, měřenı́ a sběr dat
2. Zpracovánı́ výsledků – obsahujı́cı́ převáděnı́ naměřených dat do dále zpracovatelné podoby, jejich úpravu a formátovánı́
3. Vyhodnocenı́ (iterace) – zahrnujı́cı́ tvorbu konečně prvkového modelu, algoritmu zı́skávánı́ konstant a jeho programového provedenı́
26
Kapitola 4
Experiment
Tato kapitola se věnuje následujı́cı́m problematikám spojeným s provedenı́m experimentu. Chronologicky jsou to tak následujı́cı́ úkoly:
1. Výběr materiálu
2. Geometrie vzorku
3. Zatěžovánı́
4. Snı́mánı́ dat
4.1
Výběr materiálu
Vzhledem k tomu, že metoda je teprve vytvářena, materiál, na němž bude testována
by měl mı́t co nejvhodnějšı́ vlastnosti. Zejména by se u něj neměla vyskytovat některá
z následujı́cı́ho výčtu:
• Nelinearita v elastické oblasti
• Neobvyklá hodnota Poissonovy konstanty
• Přı́liš nı́zké hodnoty meze pružnosti
• Obtı́žná obrobitelnost
• Náchylnost struktury materiálu na vady a nehomogenity
• Omezená dostupnost materiálu na trhu
27
• Výskyt nepřı́znivých jevů typických pro vláknové kompozity (nepřı́znivé vlivy z
hlediska měřenı́ vzorku v tomto přı́padě představujı́ zejména jevy vyskytujı́cı́ se
při porušenı́ kompozitů jako je postupné oddělovánı́ vláken od matrice)
• Špatná přilnavost akrylátových a emailových barev na povrch materiálu1
4.1.1
Charakteristika vybraného materiálu
Po shrnutı́ všech vlastnostı́ bylo nutné zavrhnout v podstatě všechny kovové ortotropnı́
materiály 2 . Do úvahy proto přišly materiály s polymerovou matricı́, jako jsou polykarbonáty, sklolamináty a podobné kompozity. O zmı́něných materiálech však výrobce,
možná právě kvůli absenci snadného a spolehlivého měřenı́ vlastnostı́, prakticky neuvádı́
podstatné materiálové konstanty ve vı́ce směrech. 3 Ortotropie se u těchto materiálů
vyskytuje, pokud orientace vláken v matrici zaujı́má jeden převažujı́cı́ směr. Předpoklad
ortotropnı́ch vlastnostı́ pak splňujı́ v podstatě všechny sklolamináty použı́vané napřı́klad
jako střešnı́ krytiny. Po delšı́m výběru byl jako pokusný materiál zvolen sklolaminát
FILON.
4.1.2
Sklolaminát FILON
Sklolaminát FILON vyrábı́ italská firma Magniplast. Vyrábı́ se z polyesterové pryskyřice
s obsahem výplňových skelných a fixačnı́ch nylonových vláken. Materiál je dodáván v
široké řadě průsvitných, poloprůsvitných a neprůsvitných barev. Obrázek 4.1 zachycuje
celkový pohled na materiál FILON a obrázek 4.2 jeho detailnějšı́ strukturu.
Mechanické vlastnosti FILONu
Pro účely této práce jsou zajı́mavými mechanickými vlastnostmi materiálu FILON
parametry, jež uvádı́ tabulka4 4.1.2:
Graf 4.3 zachycuje vzájemné posunutı́ čelistı́ a působı́cı́ sı́ly při zatěžovánı́ prostého
obdélnı́kového vzorku sklolaminátu FILON. Můžeme vidět, že průběh je naprosto
1
viz. kapitola 4.4.3
Tato skutečnost neznamená, že použitı́ metody je pro tyto materiály nevhodné, ale pouze to, že
tvorba metody s materiály takových vlastnostı́ by vše zkomplikovala. Úprava metody pro použitı́ na
všeobecný materiál již komplikovaná nenı́.
3
Materiál by se mohl chovat téměř izotropně a nebylo by možné s jistotou tvrdit, že metoda je
vhodná pro ryze ortotropnı́ materiály.
4
Modul(y) pružnosti výrobce neuvádı́
2
28
Nylonové vlákno
Skelná vlákna a jejich
polarizace
27% obj.
Obrázek 4.1: Pohled na materiál FILON
12 mm
Obrázek 4.2: Detailnı́ struktura FILONu
Mechanické vlastnosti FILONu
Vzdálenost mezi nylonovými vlákny
Podı́l skelných vláken v celkovém objemu
Objemová hmotnost
Pevnost v tahu
Pevnost v tlaku
cca 12 mm
cca 27 %
1,4 g · cm−3
(70–90) MPa
(70–90) MPa
Tabulka 4.1: Mechanické vlastnosti FILONu
lineárnı́ a k plastické deformaci po dobu průběhu celé zkoušky prakticky nedocházı́,
tedy že jejı́ podı́l v grafu je zanedbatelný. Z tohoto důvodů se materiál FILON ukazuje
jako vhodný pro vypracovánı́ metody a ověřenı́ jejı́ správnosti.
Obrázek 4.3: Závislost působı́cı́ tahové sı́ly na vzájemném posunutı́ upı́nacı́ch čelistı́
29
4.2
Geometrie vzorku
Obecně lze řı́ci, že jakýkoliv experiment má za cı́l spolehlivě zjistit vlastnosti, které
budou dále použı́vány v technické praxi. Podle [6] se při zjišt’ovánı́ materiálových vlastnostı́ musı́ přistoupit k této problematice metodou takzvaných minimálnı́ch modulů,
tedy modulů, které při dosazenı́ do výpočtů dávajı́ konzervativnı́ odhad (bezpečný
odhad) chovánı́ konstrukce (tzn. konstrukce se bude chovat lépe, než ukazuje výpočet).5
Obrázek 4.4: Výkres vzorku
Tvar vzorku použitého v metodě je zcela odlišný od tvaru běžného vzorku pro tahovou
zkoušku. Geometrie vzorku je znázorněna na obrázku 4.4.
Uspořádánı́ a funkce jednotlivých prvků je následujı́cı́:
• Dvě krajnı́ ramena pro upevněnı́ vzorku do zatěžovacı́ho stroje
• Dva oblouky, které způsobujı́, že i při jednoosém namáhánı́ tahem lze naměřit
všechny složky tenzoru deformace pro rovinnou napjatost s různým poměrem
jejich velikostı́
• Střednı́ část, kde docházı́ k největšı́ změně orientace vnitřnı́ch sil. Účelem je
vytvořit plochu, na nı́ž se budou opticky měřit deformace
5
Mezi přı́pustné stavy se neuvažujı́ faktory jako únava či narušenı́ materiálu. Spı́še se jedná o
možnost výrobnı́ch vad materiálu, statistické chyby apod. [6]
30
4.2.1
Přı́prava vzorku
Materiál FILON je měkký a snadno obrobitelný. Bohužel, při obráběnı́ pilou se linie
řezu nepřı́jemně třepı́ v celém rozsahu použitelných otáček. Tento fakt nevhodně ovlivňuje
geometrii a v přı́padě většı́ch otřepů vytvářı́ linie řezu i transversálnı́ iniciačnı́ trhliny,
které výrazně narušujı́ výsledek experimentu.
Z výše uvedeného důvodu byly vzorky vyrobeny pomocı́ laserové obráběcı́ řezačky.
Toto zařı́zenı́ je schopné řezat tvary geometrie přı́mo z výrobnı́ho výkresu AutoCADu
formátu .dxf6 . Přesnost vzorků obrobených touto metodou se zcela vyrovná výrobnı́m
přesnostem sériově vyráběných strojnı́ch součástı́. Otřepy při této metodě obráběnı́
zcela vymizela.
4.3
Proces zatěžovánı́
Při stanovovánı́ metody zatěžovánı́ vzorku sklolaminátu FILON jsme vycházeli z následujı́cı́ch požadavků:
• Eliminace viskoelastického chovánı́
• Dostatečná velikost deformacı́ ve všech zkoumaných směrech
4.3.1
Viskoelasticita
Při působenı́ konstantnı́ho zatı́ženı́ na viskoznı́ materiály (jako je napřı́klad
med) docházı́ k jevu, kdy smykový tok a deformace materiálu lineárně
narůstá s časem. Naopak u materiálů, jež vykazujı́ elastické chovánı́, se deformace způsobená zatı́ženı́m po jeho odlehčenı́ vracı́ na svou původnı́ hodnotu. Viskoelasticky se chovajı́cı́ materiál vykazuje při působenı́ zatı́ženı́ obě
tyto vlastnosti, a tı́m je jeho výsledná deformace závislá na čase působenı́
zatı́ženı́. Zatı́mco elasticita je zapřı́činěna napětı́m v atomových vazbách
podél krystalografických rovin, viskozita je výsledkem dynamické přestavby
materiálu brzděné přestupovánı́m sekundárnı́ch vazebnı́ch sil.[9]
Z výše uvedeného vyplývá, že pokud se materiál chová viskoelasticky, závisı́ jeho
výsledná deformace, a tı́m i materiálové konstanty, na čase působenı́ vnějšı́ho zatı́ženı́.
6
Formát použı́vaný pro zpracovánı́ obráběcı́mi stroji
31
Rychlost zatěžovánı́ vzorku tak přı́mo ovlivňuje výsledek experimentu.
Sklolaminát FILON jako kompozitnı́ materiál složený ze skelných a nylonových vláken s
polymernı́ matricı́ má předpoklady chovat se viskoelasticky. Viskoelasticita chovánı́ materiálu FILON nebyla experimentálně ověřena, ovšem výsledná deformace nepřesáhla
1%, a proto lze věřit, že termoplastový kompozit vyztužený skelnými vlákny se deformoval elasticky.
4.3.2
Deformace
Hlavnı́m principem metody popisované v této práci je měřenı́ skutečných deformacı́
optickou metodou a jejich následného porovnávánı́ s numerickým výpočtem konečně
prvkového modelu. V kapitole 2 byl uveden fakt, že při zatěžovánı́ ortotropnı́ho materiálu je pro zı́skánı́ materiálových konstant zapotřebı́ znát všechny složky tenzoru
deformace v rovině, tedy deformace ǫxx , ǫyy a γxy .
Geometrie vzorku použitého pro našı́ metodu je zobrazena na obrázku 4.4. Samotné
dispozice geometrie byly popsány v odstavci 4.2. Dı́ky asymetrické geometrii vytvořené
pomocı́ dvou stejně velkých oblouků navzájem od sebe posunutých o ∆ = 2 · R pak ve
středu vzorku vytvořı́me oblast, na nı́ž působı́ kombinované zatı́ženı́, a jejı́ž momentová
výslednice v rovině vzorku bude nenulová. Výsledkem jsou dobře měřitelné deformace
ve dvou hlavnı́ch směrech.
4.3.3
Dalšı́ faktory
Důležitým faktorem je rychlost zatěžovánı́. Bylo nutné eliminovat výskyt viskoelastického jevu a zároveň použı́t takovou rychlost zatěžovánı́, jež by byla vhodná pro
optické snı́mánı́ vzorku. Výslednou hodnotou, která dokonale splňuje oba řečené požadavky,
se ukázala rychlost zatěžovánı́
7
1mm/s.
Dále je ještě třeba zmı́nit, že vzorek musı́ být do čelistı́ upnut zcela přesně (hlavnı́
osa vzorku musı́ být totožná 8 s osou zatěžovánı́. I malá nepřesnost upnutı́ vzorku
má za následek výrazně zvýšený vliv na průběh deformacı́. Dvě krajnı́ plochy vzorku
určené pro upnutı́ do čelistı́ majı́ totožné rozměry jako samotné čelisti, vzhledem k
vysoké výrobnı́ přesnosti můžeme tvrdit, že ve chvı́li, kdy všechny hrany upı́nacı́ plochy
lı́covaly s hranami čelistı́, byl výše uvedený předpoklad zajištěn.
Rychlost zatěžovánı́ by neměla být přı́liš malá, nebot’ delšı́ doba průběhu experimentu zvyšuje
pravděpodobnost znehodnocenı́ dat (otřesy apod.)
8
Nikoli jen rovnoběžná
7
32
4.4
Data
Pro následné provedenı́ porovnánı́ experimentu a numerického modelu musı́ být výstupnı́mi
daty experimentu:
• Sı́la působı́cı́ na vzorek
• Záznam vzdálenosti čelistı́ (přeneseně maximálnı́ posunutı́ v podélné ose vzorku)
• Snı́mky vzorku v průběhu zatěžovánı́
4.4.1
Data ze zatěžovacı́ho stroje Instron
Prvnı́ dvě veličiny uvedené v předcházejı́cı́m výčtu zı́skáme jako výstup softwaru ovládajı́cı́ho
zatěžovacı́ stroj Instron. Výstupnı́ textový soubor uvádı́ ve sloupcı́ch hodnoty zatěžovacı́
sı́ly v kN a posunutı́ čelistı́ v mm.
4.4.2
Data optického měřenı́
Provedenı́ optického měřenı́ zahrnuje:
• Povrchovou úpravu vzorku
• Volba vhodného optického záznamového zařı́zenı́
• Postavenı́ optického zařı́zenı́ do správné polohy
• Nastavenı́ optického zařı́zenı́
• Minimalizace faktorů ovlivňujı́cı́ch výslednou kvalitu snı́mku
4.4.3
Povrchová úprava vzorku
Optická metoda měřenı́ deformace je založena na snı́mkovánı́ vzorku v průběhu zatěžovánı́.
Pokud zajistı́me dokonalou stacionaritu snı́macı́ho zařı́zenı́, snı́mky stejné oblasti pořı́zené
v časech t1 a t2 , kdy t1 < t2 a t0 označuje začátek měřenı́, můžeme na snı́mku t2 pozorovat posunutı́ oproti snı́mku t1 . Tato posunutı́ odpovı́dajı́ změnám zatı́ženı́ (nárůstu
sı́ly v průběhu tahové zkoušky), jež proběhly právě v době ∆t = t2 − t1 .
33
Jestliže budeme schopni určit na snı́mcı́ch tn +∆t vektor posunutı́ konkrétnı́ho, dostatečně
malého bodu, budeme rovněž schopni určit výslednou deformaci k výchozı́mu stavu,
tj. snı́mku t0 . Tuto korelaci využı́vá program pro optické stanovovánı́ deformacı́.
V předchozı́m odstavci jsme uvedli, že program je schopen z jednotlivých snı́mků zı́skat
potřebná posunutı́. Toho lze docı́lit pouze vytvořenı́m dostatečně výrazné struktury.
Tato struktura musı́ být co nejjemnějšı́, s vysokým kontrastem a s náhodným vzorem,
aby jednotlivé velmi malé plochy (body) byly programem jasně rozpoznatelné. V našem
přı́padě se osvědčil speciálnı́ efektový spray Motip Dupli Color Granit Style s efektem
střı́kaného kamene. Tento spray vytvářı́ na povrchu vzorku potřebnou mozaiku. Pro
vytvořenı́ dostatečně jemné barevné mozaiky je nutné provádět nástřik ze vzdálenosti
cca 80cm. Na obrázku 4.5 je vidět nanášenı́ barvy na vzorky nástřikem. Obrázek 4.6
potom ukazuje výslednou mozaikovou strukturu povrchu vzorku.
Obrázek 4.5: Nástřik vzorku
vı́cebarevným sprejem
4.4.4
Obrázek 4.6: Výsledná povrchová úprava
Volba optického zařı́zenı́
Pokud naformulujeme požadavky na snı́mek, můžeme potom snadno určit vhodné
optické zařı́zenı́:
• Ostrost
• Dobrý kontrast mezi jednotlivými barvami (nejen černou a bı́lou)
• Vysoké rozlišenı́
• Zachycenı́ pracovnı́ části vzorku co nejdetailněji (zvětšenı́)
Měřı́cı́ zařı́zenı́ tedy musı́ disponovat:
• Vysokým rozlišenı́m
34
• Kvalitnı́ optikou
• Vysokou úrovnı́ optického zoomu
• Možnostı́ úpravy expozice
• Schopnostı́ okamžitého pořı́zenı́ série snı́mků
• Stacionárnı́m zařı́zenı́m úpravy polohy (např. stativ)
Teoreticky pro provedenı́ metody postačı́ digitálnı́ fotoaparát s vysokým rozlišenı́m
a kvalitnı́m objektivem. V našem přı́padě jsme disponovali vysoce kvalitnı́ optickou
kamerou Nikon. Optika kamery mnohonásobně zvýšila přesnost a kvalitu snı́mků. Bylo
tak možné snı́mat co nejdetailněji měřenou oblast a data pořizovat zcela automaticky
a přesně během měřenı́. Rozlišenı́ kamery je 4 megapixel a hodnota optického zoomu 3.
Kamera je vybavena proprietálnı́m ovládacı́m softwarem LUCIA, jenž umožnil pokročilé
nastavenı́ snı́maného obrazu a dále tak zvýšil přesnost a úroveň snı́mků.
4.4.5
Rektifikace optického zařı́zenı́
Rozhodujı́cı́m faktorem ovlivňujı́cı́m výsledek při optickém snı́mánı́ deformace je nasměrovánı́
a zajištěnı́ optického zařı́zenı́ ve správné poloze po celou dobu prováděnı́ měřenı́. Kalibraci je nezbytné provádět vždy před začátkem měřenı́. Zejména je nutné zajistit, kolmost podélné osy kamery s přı́čnou osou vzorku. Provádı́ se vodováhou a úhloměrem.
4.4.6
Nastavenı́ optického zařı́zenı́
Nejprve je nutné nastavit osvětlenı́ upnutého vzorku. Vzorek byl při experimentech
osvětlen bodovým osvětlovacı́m zařı́zenı́m s optickými vlákny ve světlovodech. Na
nasvı́cenı́ byly použity dvě bodová světla, z nichž každé osvětlovalo jednu polovinu
snı́mané oblasti. Důležitým požadavkem je, aby světlo dostatečně a homogenně ozařovalo
měřenou oblast9 .
Dalšı́m nutným úkonem je zaostřenı́ kamery. Při ostřenı́ je nejprve povrch vzorku
maximálně přiblı́žen největšı́m zoomem. Na takto přiblı́ženém obrazu je provedeno
manuálnı́ doostřenı́ kamery. Následně se zoom snı́žı́, aby byla zabrána celá měřená
plocha. Tento způsob ostřenı́ zaručuje maximálnı́ možnou detailnost snı́mku. Ostřenı́
je nutno provádět při měřenı́ každého vzorku.
9
Nehomogennı́ osvětlenı́ snižuje korelačnı́ koeficient
35
Takto připravený obraz se ještě dále před samotným snı́mánı́m upravı́ v softwaru
kamery. Provede se nastavenı́ barev, kontrastu, rozlišenı́ snı́mku a nastavenı́ výstupnı́
sekvence. Pro nejlepšı́ kvalitu se ukázalo jako žádoucı́ nastavit hodnoty barev na hodnotu bı́lá (Pure White).
Dále je třeba softwarovými nástroji přeměřit obraz kamery, aby byl symetrický a přesně
zabı́ral zkoumanou oblast a nastavit výstupnı́ parametry snı́mků kamery. Je účelné nastavit frekvenci snı́mkovánı́ ∆t stejnou jako u dat ze zatěžovacı́ho stroje, aby jednotlivé
snı́mky a pořı́zená data měly na sebe přı́mou vazbu. Na obrázku 4.7 je vidět obraz ze
softwaru optické kamery.
Obrázek 4.7: Obraz v softwaru optické kamery
4.4.7
Minimalizace negativnı́ch faktorů
Kvalitu výsledku optického měřenı́ neovlivňuje pouze kvalita jednotlivých snı́mků,
ale celá sekvence. Kvalitu série může významně ovlivnit cokoli, co by i jen nepatrně
pohnulo s kamerou při měřenı́. Důležité je vyhnout se působenı́ jakéhokoliv zdroje vibracı́, úderů, otřesů apod.. Velmi jednoduše lze dokázat značný vliv běžné chůze kolem
měřı́cı́ho zařı́zenı́. V přı́padě řádně provedeného měřenı́ dosahoval koeficient korelace
ki = 0,993 ± 0,002 , tedy 99,30 ± 0,02% závislost. Zatı́mco při měřenı́ narušeném chůzı́
v těsné blı́zkosti probı́hajı́cı́ho experimentu jen ki = 0, 785, tedy závislost 78, 5%.
Dalšı́m vlivem, jež může narušit výsledné zpracovánı́ optických dat je změna světelných
podmı́nek v mı́stnosti. Jako doporučenı́ by ostatnı́ světla v mı́stnosti by měla být po
dobu prováděnı́ experimentu vypnuta. Nepřı́pustná ovšem je náhlá změna osvětlenı́
v průběhu experimentu. Ta může významně ovlivnit barevnost a kontrast vzorku a
korelačnı́ program již nemusı́ být schopen najı́t odpovı́dajı́cı́ body a k nim relevantnı́
posunutı́.
36
4.5
Shrnutı́ experimentu
1. Geometrie vzorku má obdélnı́kový tvar s dvěma asymetricky vyřı́znutými oblouky.
Účelem tohoto tvaru je vytvořit uprostřed vzorku namáhanou oblast, v nı́ž je
možné efektivně měřit dostatečně velkou hodnotu deformace v každém směru
2. Povrch vzorku je opatřen vı́cebarevným nástřikem, mozaikou, jež umožňuje zpracovánı́ optického měřenı́ v korelačnı́m programu
3. Vzorek je v zatěžovacı́m zařı́zenı́ upnut do širšı́ch čelistı́ (50mm) a dbá se na
totožnost podélné osy vzorku se směrem zatěžovánı́
4. Nasvı́cenı́ vzorku je prováděno bodovými světly, důležité je dostatečné a homogennı́ osvı́cenı́ celé měřené plochy vzorku
5. Velký důraz je kladen na kalibraci polohy měřı́cı́ho zařı́zenı́, musı́ být zajištěna
dokonalá kolmost podélné a přı́čné osy kamery s podélnou a přı́čnou osou vzorku
6. Zaostřenı́ kamery se provádı́ při největšı́m přiblı́ženı́, obraz se následně oddálı́
tak, aby byla snı́mána celá plocha určená k měřenı́, obraz z kamery je nutné
přeměřit, aby byl symetrický, nastavenı́ se ověřı́ pořı́zenı́m testovacı́ho snı́mku s
měřı́tkem
7. Provede se nastavenı́ softwaru kamery a zatěžovacı́ho zařı́zenı́. Sekvence zapisovánı́
dat ze zatěžovacı́ho stroje a sekvence pořizovánı́ snı́mků z kamery se nastavı́ tak,
aby byla data vždy pořizována ve stejném okamžiku, a tak se dala obě data k
sobě přiřadit. Experimenty byly prováděny s následujı́cı́m nastavenı́m:
Rychlost zatěžovánı́ 1mm/s
Sekvence snı́mánı́ dat zatěžovánı́ ∆t = 2s
Sekvence pořizovánı́ snı́mků delta ∆t = 2s, doba trvánı́ 180s
8. Současně se spuštěnı́m tahové zkoušky je spuštěna i sekvence pořizovánı́ snı́mků
z kamery
9. Během experimentu se na pracovišti dodržuje naprostý klid, neměnı́ se světelná
dispozice mı́stnosti
37
Kapitola 5
Zpracovánı́ výsledků
Proces zpracovánı́ výsledků můžeme rozdělit do fázı́:
1. Úprava dat do správného formátu jako vstup pro korelačnı́ program
2. Zpracovánı́ korelačnı́m programem CM
3. Úprava výsledků
5.1
Úprava do vstupnı́ho formátu
Vyhodnocovánı́ hodnot deformacı́ z dat optického zařı́zenı́ je možné dı́ky programu
CM1 . Princip programu byl nastı́něn v kapitole 4.4.3. Program je vytvořen v jazyku
MATLAB. Jeho autorem je Ivan Jandejsek [7].
Dı́ky skutečnosti, že sekvenci snı́mků tvořı́ desı́tky až stovky obrázků, jež, v přı́padě
našich experimentů, měly velikost 14, 7 MB/snı́mek ve formátu .tiff, bylo nepředstavitelné
zpracovávat každý obrázek jednotlivě. Za tı́mto účelem vznikl skript softwaru MATLAB s názvem IMAGELOADING.M.
1
0324074 - UTAM-F 2009 RIV CZ eng L4
Jandejsek, Ivan
Digital Image Correlation Measurement Tool (DIC-MT)
2009
Grant: GA ČR(CZ) GA103/09/2101
Výzkumný záměr: CEZ:AV0Z20710524
38
5.1.1
IMAGELOADING.M
Požadavky na vstupnı́ data programu CM jsou:
• Obrazová data ve formátu .mat
• Obrázek je ve formátu barevná hloubka 2
Úkolem skriptu imageloading.m je tedy upravit sekvenci snı́mků do požadovaného
formátu. Skript nemá vlastnosti funkce softwaru MATLAB a práce s nı́m je následujı́cı́:
1. Standardnı́ podoba skriptu se nakopı́ruje do adresáře s obrázky z experimentu
2. Skript se otevře a upravı́ se následujı́cı́ vstupnı́ data:
Název sekvence obrázků (tedy název, který jsme zadali jako výstupnı́ pro
jednotlivé snı́mky kamery v softwaru LUCIA Image)
Čı́slo prvnı́ho snı́mku sekvence – zpravidla se jedná přı́mo o prvnı́ snı́mek v
adresáři, ovšem při měřenı́ se mohou vyskytnout okolnosti, které prvnı́ snı́mek
sekvence posunujı́ (špatné upnutı́ do čelistı́ zatěžovacı́ho zařı́zenı́ apod.)
Čı́slo poslednı́ho snı́mku sekvence – nejedná se o poslednı́ snı́mek v adresáři,
ale o snı́mek zobrazujı́cı́ stav materiálu na mezi pružnosti. Zde je využito stejného
nastavenı́ parametrů zapisovánı́ výstupnı́ch dat měřı́cı́ho zařı́zenı́ a pořizovánı́
snı́mků, nebot’ z výstupnı́ch dat měřı́cı́ho zařı́zenı́ jsme schopni určit konec lineárnı́
úměrnosti. Čı́slo přı́slušného řádku potom odpovı́dá čı́slu snı́mku v sekvenci3
Velikost kroku, po němž se budou načı́tat jednotlivé snı́mky sekvence
3. Během svého běhu postupně otevře všechny obrázky dle vstupnı́ch parametrů,
převede je na formát .mat a zároveň do formátu barevná hloubka, přičemž matice
jednotlivých barev sečte, čı́mž vznikne jediná matice obsahujı́cı́ celý obrázek.
Jednotlivé zpracované obrázky se ukládajı́ do samostatných souborů s názvem
obrazek čı́slo.mat.
Tabulka 5.1.1 ukazuje přı́klad zadánı́ vstupnı́ch parametrů a následně čı́sla obrázků,
jež budou dle těchto parametrů skriptem vybrána. Obrázky 5.1 a 5.2 potom snı́mek
vzorku před úpravou a po úpravě skriptem imageloading.m
2
Barva uspořádánı́ obrázku ve formátu barevné hloubky nenı́ nutnou podmı́nkou
pro vstupnı́ data programu CM, ale takto upravené obrázky poskytujı́ kvalitnějšı́
výsledky.[IVAN JANDEJSEK - autor programu]
3
V přı́padě materiálu FILON stav těsně před porušenı́m vzorku, nebot’ plastická deformace se u
tohoto materiálu prakticky nevyskytuje
39
PŘÍKLAD VSTUPNÍCH DAT IMAGELOADING.M
Zadánı́ do zdrojového kodu
Vybrané obrázky
[’vz1arc10’,num2str(i),’.tif’] i=[1 10]
vz1arc10001.tif, vz1arc100010.tif
Tabulka 5.1: Práce se skriptem imageloading.m
Obrázek 5.2: Snı́mek vzorku
po úpravě imageloading.m
Obrázek 5.1: Snı́mek vzorku
před úpravou
5.2
Zpracovánı́ dat korelačnı́m programem CM
Program se spouštı́ zadánı́m přı́kazu cm do přı́kazového řádku MATLABu. Po inicializaci programu dojde k zobrazenı́ grafického rozhranı́ (GUI). V něm zvolı́me sekvenci
snı́mků pro korelaci, tedy obrázky zpracované skriptem imageloading.m.
Na snı́mcı́ch se zobrazuje zelené pole křı́žků. Ty označujı́ mı́sta, v nichž budou pomocı́
korelacı́ hledané deformace. Jejich polohu musı́me upravit tak, aby dokonale souhlasila
se zkoumanou plochou na numerického modelu (viz obrázek 6.2). Tabulka 5.2 ukazuje
nastavenı́ vykazujı́cı́ nejvyššı́ spolehlivost výsledků našich experimentů. Obrázek 5.3
pak toto nastavenı́ přı́mo v programu CM a správnou polohu textury.
∂u ∂v ∂v ∂u
,
,
a
. Výsledky se zobrazı́ jako postupná animace jed∂x ∂y ∂x ∂y
notlivých snı́mků, na nichž je zeleným křı́žkem označena počátečnı́ hodnota a červeným
Výstupem jsou data
Grid Type
Raws
Columns
Orthogonal Regular
11
11
Posunutı́
[pixel]
Offset x
Offset y
Pitch
Scan-window size
Offset
900
550
80
30
12
Tabulka 5.2: Nastavenı́ gridu v programu CM
40
Obrázek 5.3: Nastavenı́ v programu CM
potom poloha posunutı́ křı́žku pro daný snı́mek. Výsledky se uložı́ do souboru result.mat.
Před ukončenı́m programu je důležité zkontrolovat, že žádný z křı́žků posunutı́ nenı́
označen modrou barvou, a hodnotu korelačnı́ho koeficientu. Změna červené barvy
na modrou značı́, že korelačnı́ program nebyl schopen najı́t dostatečnou závislost. V
přı́padě našich měřenı́ dosahovala hodnota korelačnı́ho koeficientu ki = 0,993 ± 0,002.
Vzhledem k nutnosti opravdu přesného měřenı́ lze tvrdit, že experimenty, u nichž klesne
korelačnı́ koeficient pod 0, 95, tedy 95% závislost, jsou znehodnocené. Okno se zobrazenı́m výsledků v programu CM ukazuje obrázek 5.4.
5.3
Úprava výsledků
Výsledky programu CM je zapotřebı́ dále upravit. Předevšı́m převést matice posunutı́
na jednotlivých snı́mcı́ch na jedinou matici výsledků. Za tı́mto účelem byla naprogramována funkce resultsupg.m.
41
Obrázek 5.4: Výsledky programu CM
5.3.1
Funkce RESULTSUPG.M
Syntaxe: resultsupg
Funkce nejprve vypočı́tá hodnoty smykové deformace γxy , podle vzorce:
γxy =
∂v ∂u
+
∂x ∂y
(5.1)
Dále třı́rozměrné proměnné typu double, v nichž jsou uložena data jednotlivých deformacı́, převede na dvourozměrné matice, a to podle vztahu:
I{x,y,z} = O{[(y−1) · n+x],z}
(5.2)
,kde I označuje matici vstupu, O matici výstupu, x řádkový index matice I, y sloupcový
index matice I, z u matice I index třetı́ho rozměru matice a u matice O index sloupcový.
Konstanta n je počet řádků matice I.
42
Takto upravené matice exx, eyy a qxy funkce uložı́ do souboru deformace.mat.
Vyhlazenı́ dat
deformace
5.4
číslo nodu
číslo zatěžovacího stavu
Obrázek 5.5: Surová data optické korelace pro deformaci ǫxx
Obrázek 5.5 ukazuje bodový graf výsledků korelacı́ pro deformaci ǫxx . Z obrázku je
patrné, že použitı́ surových dat bez úpravy nenı́ vhodné. Data jsou trojrozměrná, proto
nebude možné použı́t obvyklou regresnı́ analýzu v rovině. Výsledky je nutné prokládat
plochou, jež je funkcı́ vı́ce proměnných. Takto upravená data majı́ 2 výhody:
• Jsou aproximovaná a vyhlazená
• Umožňujı́ snadné analytické vyjádřenı́ výsledků
5.4.1
Funkce APROXSURF.M
Syntaxe: aproxsurf(označenı́ deformace)
Funkce aproxsurf.m provádı́ 3 rozměrnou regresnı́ analýzu dat. Surová data programu
CM tedy prokládá plochou, funkcı́ vı́ce proměnných. Řešı́ metodou nejmenšı́ch čtverců
43
přeurčenou soustavu rovnic [14]:4



A = 


Ax = b
x =

1 x1 . . . xk1

1 x2 . . . xk2 
.. 
.. ..
,
. .
. 
1 xn . . . xkn
AT A
−1



x=


p0
p1
..
.
pk



,





b=


y1
y2
..
.
yn



,





e=


AT b
e1
e2
..
.
en






(5.3)
Vektor e zde představuje vektor reziduı́. Metodou nejmenšı́ch čtverců hledáme řešenı́
tak, aby složky vektoru e byly minimálnı́. Vzhledem k podobě dat jsou k aproximaci
využı́vány plochy do 4. stupně. Dalšı́m zvyšovánı́m stupně plochy již nebylo dosahováno
výrazného zlepšenı́ aproximace výsledků. Obecně se tedy plocha, jejı́ž koeficienty funkce
aproxsurf hledá, dá napsat jako:
a15 x4 + a14 x3 + a13 x2 + a12 x + a11 + a25 y 4 + a24 y 3 + a23 y 2 + a22 y + a21 = 0
(5.4)
Výstupem funkce aproxsurf jsou regresnı́ analýzou upravené hodnoty výsledků korelačnı́ho programu. Zároveň se zobrazı́ graf s původnı́mi naměřenými daty a plochou
aproximace, aby bylo možné ověřit správnost a vhodnost regresnı́ analýzy. Obrázek 5.6
ukazuje výstupnı́ graf funkce aproxsurf pro deformaci ǫxx .
Velkým přı́nosem regresnı́ analýzy je vyhlazenı́ dat a odstraněnı́ náhlých skoků a
rozdı́lů. Nevýhodou zvolené optimalizačnı́ metody nejmenšı́ch čtverců je velká citlivost
na přı́liš odchýlená (meznı́) data. Za předpokladu, že se taková data vyskytnou je třeba
pro udrženı́ přesnosti výsledků vyčnı́vajı́cı́ data nejlépe odstranit.
5.4.2
Funkce UPGRADEDATA.M
Syntaxe: upgradedata
4
Funkce aproxsurf použı́vá 3 dalšı́ funkce givenodes, givesteps a givedata, které rovněž vznikly jako
součást této metody. Úkolem funkcı́ je ale pouze seřadit data ze souboru deformace.mat do formátu v
MATLABu použitelného pro tvorbu grafů. Z tohoto důvodu nejsou v hlavnı́ stati zmı́něny. Zdrojové
kody těchto funkcı́ jsou přı́lohou práce.
44
deformace
číslo nodu
číslo zatěžovacího stavu
Obrázek 5.6: Data aproximovaná do plochy vı́ce proměnných ǫxx
Jestliže jsou plochy vhodně aproximovány a nenı́ třeba provádět dodatečné odstraňovánı́
nevhodných dat, použijeme funkci upgradedata k tomu, aby přepsala původnı́ data deformacı́ upravenými hodnotami zı́skanými pomocı́ regresnı́ analýzy. Tato funkce přepı́še
hodnoty u všech třı́ deformacı́ a uložı́ opět do souboru deformace.mat. Způsob transformace ukazuje následujı́cı́ vztah:
I{x} = O{[x−yp],[y= x =min>0]}
kp
(5.5)
,kde I je maticı́ vstupu, O maticı́ výstupu, x řádkový index matice I, y sloupcový index
matice O a p počet řádků matice x.
Po aplikaci výše uvedeného procesu jsou již data z experimentu připravena na porovnávánı́
s numerickým modelem.
5.5
Shrnutı́ zpracovánı́ výsledků
1. Do složky se snı́mky experimentu se nakopı́ruje soubor IMAGELOADING.M
45
2. Z textového souboru s daty ze zatěžovacı́ho zařı́zenı́ se určı́ stav na mezi pružnosti
materiálu. Dı́ky stejnému nastavenı́ zapisovánı́ dat zatěžovánı́ a pořizovánı́ snı́mků
čı́slo určeného řádku odpovı́dá čı́slu snı́mku stejného stavu.
3. Do skriptu IMAGELOADING.M se přı́mo zadá název a čı́slo snı́mku, který označuje
začátek experimentu, čı́slo snı́mku zachycujı́cı́mu stav na mezi pružnosti a hodnotu kroku, jı́ž se budou hledat snı́mky vložené.
4. Spuštěnı́ skriptu IMAGELOADING.M, vyčkánı́ na zpracovánı́ obrázku. V pracovnı́m
adresáři se objevı́ soubory obrazek zvolenáčı́sla
5. Spuštěnı́ programu CM
6. Vytvořenı́ sekvence v programu CM z obrázků vygenerovaných skriptem IMAGELOADING.M,
zvolenı́ parametrů křı́žkového gridu označujı́cı́ho mı́sta měřenı́ deformacı́. Grid
musı́ přesně odpovı́dat jednotlivým nodům numerického modelu (viz obrázek
6.2).
7. Výpočet programu CM, výsledky se uložı́ do proměnné result.mat
8. Spuštěnı́ funkce RESULTSUPG, výsledky se uložı́ do souboru deformace.mat
9. Načtenı́ souboru deformace.mat přı́kazem load deformace.mat
10. Spuštěnı́ funkce APROXSURF, vizuálnı́ kontrola aproximace dat. Nutno provést pro
všechny tři deformace ǫxx , ǫyy a γxy
11. V přı́padě, že jsou aproximace plochou v pořádku ve všech třech přı́padech,
spustit funkci UPGRADEDATA. Výsledek přepı́še soubor deformace.mat. V přı́padě,
že aproximace nevyhovujı́ je třeba provést ručnı́ úpravu a vrátit se na bod 10.
46
Kapitola 6
Vyhodnocenı́
V této kapitole se budeme věnovat samotnému určenı́ materiálových konstant porovnávánı́m
výsledků experimentu a numerického modelu. Při tvorbě metody bylo třeba určit,
jakým způsobem bude porovnávánı́ prováděno a vyhodnocováno.
6.1
Iteračnı́ cyklus
Za výslednou podobu stanovovánı́ materiálových konstant byl zvolen systém kooperace programů ANSYS a MATLAB. Zlepšovánı́ úrovně výsledků je docı́leno pomocı́
iteračnı́ho cyklu, jež zajišt’uje co nejvyššı́ možnou mı́ru konvergence rozdı́lu mezi daty
z experimentu a numerického výpočtu. Iteračnı́ systém má následujı́cı́ podobu:
1. Volba intervalů, v nichž očekáváme hodnotu materiálových konstant, tvorba kombinacı́ materiálových konstant a geneze vstupnı́ch textových souborů pro program
ANSYS
2. Výpočet programu ANSYS, výstupem jsou textové soubory s hodnotami deformacı́ pro každou kombinaci materiálových konstant
3. Načtenı́ a vyhodnocenı́ dat programem MATLAB, určenı́ nejvhodnějšı́ kombinace
materiálových konstant zkoumaného výběru
4. Návrh nových, přesnějšı́ch, intervalů, materiálových konstant, tvorba jejich kombinacı́ a geneze vstupnı́ch textových souborů pro program ANSYS a návrat k
bodu 2
47
5. Zastavenı́ iteračnı́ho cyklu, pokud se konvergence dostane do intervalu nespolehlivosti
popř. ve chvı́li, kdy se relativnı́ odchylky porovnávaných hodnot zdajı́ dostatečně
malé
Algoritmus iteračnı́ho principu metody zobrazuje schéma 6.1.
Návrh intervalů konstant
Aproximovaná data
experimentu
FIRSTGIVINGCONSTANTS
Vstupní soubory pro
ANSYS
Iterační Cyklus
ANSYSINPUTING
Automatická tvorba
přesnějších intervalů
GIVINGCONSTANTS
Porovnání experimentu s
numerickým modelem
RATIOTEST
Dostačující přesnost, nebo interval
nespolehlivosti
Ex, Ey, Gxy, ν
Obrázek 6.1: Schéma principu iteračnı́ho algoritmu
6.2
Funkce FIRSTGIVINGCONSTANTS.M
Syntaxe: firstgivingconstants(Exmin,Exmax,Eymin,Eymax,Gxymin,Gxymax,mimin,mimax,
d elenintervalumodulu,deleniintervalumi,silazatezovani)
Úkolem funkce firstgivingconstants je vytvořit matici s intervaly, v nichž očekáváme
určenı́ materiálové konstanty. Zadánı́m minimálnı́ a maximálnı́ hodnoty určujeme rozsah
intervalů, hodnotami deleniintervalumodulu, deleniintervalumi potom jemnost
48
jejich dělenı́. Vztahy, pomocı́ nichž je množina prvků v intervalu generována, jsou:
Kmax − Kmin
dk
= Kmin + i · ∆
∆ =
Kinti
(6.1)
i = 0, 1, 2 . . . dk
(6.2)
,kde Kmin,max jsou hraničnı́ hodnoty intervalu a dk je dělenı́ nastavené ve skriptu.
Celkový počet kombinacı́ materiálových konstant je potom:
C = (dm + 1)3 · (dν + 1)
(6.3)
kde dm je dělenı́ veličin Ex , Ey , Gxy a dν dělenı́ Poissonova čı́sla ν zadané jako vstupnı́
prvky funkce firstgivingconstants.m.
Proto je nutné při zadávánı́ jemnosti dělenı́ intervalu uvážit výpočetnı́ výkon počı́tače.
Vysoká jemnost dělenı́ vede ke snı́ženı́ celkového počtu iteracı́, ovšem klade výrazně
vyššı́ nároky na výpočetnı́ výkon.
Minimálnı́ hodnotou dm i dν je 3. Nižšı́ hodnotu nelze použı́t, nebot’ v dalšı́ch iteracı́ch
nedocházı́ ke zmenšovánı́ intervalu.
Za optimálnı́ hodnotu1 obou dělenı́ pro osobnı́ počı́tač považuji 4. Počet vstupnı́ch
textových souborů do programu ANSYS je v tomto přı́padě 625 a v množině máme 5
hodnot pro každou konstantu.
Výstupem firstgivingconstants je soubor materialproperties.mat.
6.3
Funkce ANSYSINPUTING
Syntaxe: ansysinputing
Dalšı́m krokem je zavolánı́ funkce ansysinputing2 , jejı́ž výstupem je generovánı́ vstupnı́ch textových souborů pro program ANSYS. Pokud je vygenerována matice
materialproperties.mat, funkce ansysinputing nejprve načte množiny hodnot jednotlivých konstant a provede jejich kombinace metodou kartézského součinu. Základnı́
definicı́ kartézského součinu je[14]:
1
Z hlediska doby trvánı́ 1 iterace a jemnosti výsledků
Funkce ansysinputing použı́vá funkce cartprod.m, ind2subVect.m, které byly staženy jako
doplněk softwaru MATLAB z www.mathworks.com
2
49
X × Y = {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y}
(6.4)
Dle definice, musı́ být matice materiálové poddajnosti reálného materiálu pozitivně
definitnı́. Tedy všechna vlastnı́ čı́sla lambda této matice musı́ být pozitivnı́. Pro přı́pad
ortotropnı́ho materiálu v oblasti rovinné deformace je tento předpoklad reprezentován
vztahem:
ν 2 Ex ν 2 Ex
Ex
1−
−
− ν 2 − 2ν 3
>= 0
Ey
Ey
Ey
(6.5)
Skript ansysinputing ověřuje, zda všechny kombinace konstant Ex , Ey , Gxy , ν splňujı́
tento předpoklad. Jestliže tomu tak nenı́, je přı́slušný řádek z matice kombinacı́ vymazán. Pro každou reálnou kombinaci potom tato funkce vygeneruje vstupnı́ textový
soubor output pořadnice.txt se zdrojovým kodem ANSYSu.
Dalšı́m výstupem funkce ansysinputing je textový soubor inputmatsys.txt, v jehož
těle jsou referenčnı́ odkazy na soubory output pořadnice.txt s přı́kazem /INPUT.
Tento soubor je tedy použit jako vstupnı́ pro program ANSYS3 .
6.4
6.4.1
Výpočet programu ANSYS
Tvorba modelu
Před samotným vytvořenı́m funkce ansysinputing bylo nutné nejprve vytvořit konečně
prvkový model softwaru ANSYS a jeho zdrojový kod.
Při tvorbě geometrie modelu byla pro hodnoty kartézských souřadnic keypointů numerického modelu využita data výrobnı́ho výkresu vzorku z programu AutoCAD Mechanical 2010.
Při tvorbě sı́tě konečných prvků (meshovánı́) byla uprostřed vzorku vytvořena čtvercová
plocha obsahujı́cı́ 11 × 11 nodů. Tato plocha reprezentuje právě mı́sto měřenı́ optických
deformacı́. Umı́stěnı́ gridu programu CM tak musı́ být situováno přesně do těchto bodů.
Obrázek 6.2 ukazuje numerický model vzorku se sı́tı́ prvků, hranice plochy pro optické
snı́mánı́ deformacı́ je znázorněna červeně.
3
Pro zlepšenı́ komfortu práce a z hlediska časových úspor doby trvánı́ jedné iterace je soubor
inputmatsys.txt generován jako prvnı́ a je možné ho již zadat ANSYSu ke zpracovánı́, přestože
geneze textových souborů funkcı́ ansysinputing ještě nedoběhla. Platı́ tgeneze << tvypoctu
50
Obrázek 6.2: Model vzorku v programu ANSYS
Počátečnı́ podmı́nky a zatěžovánı́
Při dolad’ovánı́ numerického modelu bylo nutné zohlednit fakt, že vnitřnı́ sı́ly vzorku
odpovı́dajı́ kombinovanému namáhánı́, a přizpůsobit tomu počátečnı́ podmı́nky řešenı́.
Prosté počátečnı́ podmı́nky tahové zkoušky, tedy vetknutı́ na jedné straně vzorku,
nebylo možno aplikovat. Počátečnı́ podmı́nky tak musely být upraveny, aby co nejvı́ce
odpovı́daly skutečnému stavu. Obrázek 6.3 ukazuje schéma neupravených počátečnı́ch
podmı́nek a výsledek reprezentovaný stavem vzorku před zatěžovánı́m a po něm. Obrázek
6.4 potom stejné parametry s upravenými počátečnı́mi podmı́nkami.
F
Obrázek 6.3: Obvykle použı́vané počátečnı́ podmı́nky a výsledné deformace
F
Obrázek 6.4: Upravené počátečnı́ podmı́nky a výsledné deformace
Charakteristika modelu
• Typ elementu PLANE82 - v modelu bylo nutné použı́t 8 nodový plošný element,
aby bylo dosaženo kvalitnı́ho meshingu v oblasti oblouků vzorku.
• Model je tvořen ze 7 ploch. Dı́ky tomuto rozdělenı́ bylo možné provést dostatečně
kvalitnı́ meshovánı́ a vytvořit čtverec, jenž se shoduje s oblastı́ optického měřenı́
deformacı́
51
• Typ analýzy Linear Elastic Orthotropic Material
• Počátečnı́ podmı́nky jsou voleny tak, aby odpovı́daly skutečnosti. Jedno rameno
vzorku je vetknuto (pevná čelist zatěžovacı́ho zařı́zenı́) a druhé podepřeno posuvným kloubem (posuvná čelist). Jednotlivé uzly jsou ovšem mezi sebou provázány
tak, aby jejich posunutı́ ve směru osy x byla vždy stejná (viz obrázek 6.4).
• Vzorek je zatı́žen silou, jejı́ž hodnota odpovı́dá zatěžovacı́ sı́le experimentu a
je zadána do skriptu firstgivingconstants. Velikost sı́ly je rozpočı́tána na
všechny uzly ramene vzorku.
6.4.2
Výstup programu ANSYS
Po provedenı́ výpočtu program postupně vybı́rá jednotlivé uzly z plochy pro měřenı́
optických deformacı́ (11 × 11) a do textového souboru vysledky pořadnice.txt pod
sebe zapisuje hodnoty deformace ǫxx , ǫyy a γxy právě vybraného uzlu.4 .
6.5
Vyhodnocenı́ výsledků
Podstatou výběru nejvhodnějšı́ch materiálových konstant je porovnánı́ dat deformacı́
z experimentu a numerického modelu. Hledá se taková kombinace materiálových konstant, při nı́ž je odchylka deformacı́ minimálnı́. K prováděnı́ tohoto vyhodnocenı́ byla
vytvořena funkce ratiotest.m.
6.5.1
Funkce RATIOTEST.M
Syntaxe: ratiotest(nejvyššı́pořadnice)
Konečné vyhodnocenı́ provádı́ funkce ratiotest.m. Tato funkce nejprve načte soubory
deformace.mat (soubor s aproximovanými hodnotami deformacı́ experimentu) a dle
vztahu:
4
Pro snadnou orientaci ve výsledcı́ch zapisuje ke třem údajům deformace ještě čı́slo nodu, použitou
kombinaci hodnot Ex , Ey , Gxy , ν a souřadnice uzlu
52
EXP[1:n,1] = ǫxx[1:n,m]
EXP[1:n,2] = ǫyy[1:n,m]
EXP[1:n,3] = γxy[1:n,m]
Vytvořı́ matici experiment, v nı́ž jsou vybrána data deformacı́ na mezi pružnosti, tedy
data odpovı́dajı́cı́ sı́le F, jı́ž zatěžujeme numerický model.
Dále tato funkce postupně načı́tá výstupnı́ soubory ANSYSu vysledky pořadnice.txt
a dle následujı́cı́ch vztahů:
ri =
| NUMi − EXPi |
· 100
| EXPi |
(6.6)
Zjistı́ relativnı́ odchylku naměřených deformacı́ a deformacı́ vypočtených. Dı́lčı́ odchylky dat sečte podle jednotlivých směrů deformace:
Rj =
n
X
(6.7)
ri
i=1
Takto zı́skané celkové odchylky zapisuje do matice chyby:

R1ǫxx

..

.


CHY BY =  Rjǫxx

..

.

R1ǫyy
..
.
Rjǫyy
..
.
Rmǫxx Rmǫyy

R1γxy

..

.


Rjγxy 

..

.

Rmγxy
(6.8)
Z matice chyby funkce vybere přı́pad, který splňuje podmı́nku:
Rjǫxx + Rjǫyy + Rjγxy
= min{CHY BY }
3
(6.9)
Ze souboru vysledky pořadnice.txt, který vyhovuje podmı́nce 6.9, funkce načte hodnoty materiálových konstant a zobrazı́ je jako výstup společně s relativnı́mi odchylkami
pro jednotlivé deformace a kombinovanou chybou 6.9.
53
Takto zı́skaná kombinace materiálových konstant je v této iteraci označena jako nejvhodnějšı́ a uložena do proměnné vyber.mat.
6.5.2
Druhá a dalšı́ iterace
Funkce GIVINGCONSTANTS.M
Syntaxe: givingconstants
Na začátku prvnı́ iterace jsme pomocı́ funkce firstgivingconstants volili intervaly, v
nichž hledáme hodnoty konstant Ex , Ey , Gxy a ν. Na začátku druhé a každé dalšı́ iterace
už ale dı́ky výsledku vyhodnocovacı́ funkce ratiotest známe hodnoty, jež nejlépe
odpovı́dajı́ deformacı́m experimentu i numerického modelu. Dalšı́ tvorbu intervalů tak
už provede funkce givingconstants automaticky, a to kritériem:
Kmin = Kvyb − ∆
(6.10)
Kmax = Kvyb + ∆
(6.11)
,kde Kvyb je hodnota konstanty vybraná funkcı́ ratiotest a ∆ ze vztahu 6.1.
Jemnost dělenı́ obou intervalů zůstává stejná jako u firstgivingconstants. Rozsah
iterace je tedy stejný. S intervalem určeným vztahem 6.10 potom funkce givingconstants
pracuje úplně stejně jako funkce firstgivingconstants s intervalem manuálně zadaným.
Dalšı́ průběh iterace je naprosto stejný a jednotlivé funkce se použı́vajı́ tak, jak bylo
uvedeno výše.
6.6
Shrnutı́ iteračnı́ části
1. Funkcı́ firstgivingconstants se určı́ intervaly, v nichž hledáme hodnotu materiálové konstanty. S ohledem na výpočetnı́ výkon počı́tače stanovujeme počet
kombinacı́ 6.3.
2. Spustı́ se funkce ansysinputing, ta provede genezi textových souborů se zdrojovými kody pro program ANSYS, tedy soubory inputmatsys.txt a
output pořadnice.txt
54
3. V programu ANSYS se pomocı́ cesty File-Read Input From5 zvolı́ vstupnı́ soubor inputmatsys.txt. Za účelem značné časové úspory je toto možné provést
bezprostředně po spuštěnı́ funkce ansysinputing.
4. Po vyřešenı́ všech úloh programem ANSYS zı́skáme pomocı́ funkce ratiotest
hodnoty materiálových konstant, při nichž je odchylka deformacı́ numerického
modelu a experimentu minimálnı́
5. Spustı́me funkci givingconstants, jež nám automaticky zvolı́ nové (přesnějšı́)
intervaly, v nichž budeme v dalšı́ iteraci hledat hodnoty materiálových konstant
6. Pokračujeme bodem 2
5
Zadánı́ souboru inputmatsys.txt tı́mto způsobem je nutné. Ve zdrojovém kodu je totiž použit
přı́kaz *VWRITE, jež nenı́ podporován GUI softwaru ANSYS
55
Kapitola 7
Výsledky
Během tvorby metody byla provedena celá řada experimentů. Na závěr bylo pečlivě
testováno 5 vzorků nového tvaru. Tyto experimenty představovaly kalibračnı́ měřenı́
metody. Nejmenšı́ relativnı́ odchylky deformacı́ byly vyhodnoceny u kalibračnı́ch měřenı́
vzorků s čı́slem vz2arc4 a vzorek vz2arc21 . Hodnoty výsledků uvádı́ tabulka 7:
Z tabulky 7 vyplývá, že relativnı́ odchylka deformace ve směrech x a y je malá a
nepřesahuje 10%. Odchylka smykové deformace je ovšem značná. Všechny testované
vzorky vykázaly podobné hodnoty chyb. Zatı́mco ve směrech x a y bylo u některých
zkušebnı́ch vzorků dosaženo relativnı́ odchylky2 deformace již 4, 5%, u smykové deformace hodnota relativnı́ odchylky neklesla pod 80%.
1
Označenı́ vzorku je složeno z vz2, jež označuje, že se jedná o druhou variantu geometrického
uspořádánı́ vzorku (obrázek 4.4), arc specifikuje vzorek jako obdélnı́kový s radiusy a čı́slo 4 je pořadové
čı́slo vzorku.
2
Jedná se o dı́lčı́ odchylku v jednom směru. Nejmenšı́ kombinovanou chybu deformace dosáhl vzorek
vz2arc4, a proto je také uváděn jako výsledek hlavnı́.
Výsledky vzorku
Korelačnı́ koeficient
Počet iteracı́
Relativnı́ odchylka ǫxx
Relativnı́ odchylka ǫyy
Relativnı́ odchylka γxy
vz2arc2
vz2arc4
0, 993
0, 991
3
3
4, 515%
5, 635%
161, 213%
9, 051%
7, 021%
143, 608%
12, 570GPa 13, 125GPa
3, 515GPa 3, 812GPa
37, 700GPa 42, 505GPa
0, 363
0, 453
Ex
Ey
Gxy
ν
Tabulka 7.1: Výsledky vzorku vz2arc4
56
Vysoká chyba smykové deformace zcela zásadně ovlivňuje výsledky. Přı́liš vysoký smykový
modul pružnosti Gxy je zapřı́činěn přı́liš velkou nesourodostı́ dat experimentu a numerického modelu pro smykovou deformaci. Aby byla odchylka deformacı́ ǫxx a ǫyy minimalizována, nalezne k tuhému smykovému modulu přı́liš vysokou hodnotu Poissonovy
konstanty ν.
Princip metody považuji za správný. Po úvahách a interpretaci výsledků jsem došel
k závěru, že vysoká relativnı́ odchylka experimentu a numerického modelu u smykové
deformace může být zapřı́činěna jednı́m z následujı́cı́ch faktorů nebo jejich kombinacı́:
• Nedostatečná přesnost upnutı́ kamery - měřenı́ vodováhou a úhloměrem mohou
být nedostatečná a je proto nutné vytvořit kvalitnějšı́ upı́nacı́ zařı́zenı́ s odečı́tacı́
stupnicı́ nastavenı́ úhlů
• Rozdı́lnostı́ pojetı́ inženýrské a matematické teorii pružnosti při zpracovánı́ výsledků
a v softwaru MATLAB
• Aproximacı́ dat smykové deformace metodou nejmenšı́ch čtverců. Data smykové
deformace majı́ značný rozptyl. Hodnoty reziduı́ metody konečných prvků tak
mohou velmi výrazně odklánět aproximaci od skutečného stavu.
57
Kapitola 8
Závěry a doporučenı́
Byla vytvořena metoda stanovenı́ materiálových konstant ortotropnı́ho materiálu založená na principu porovnávánı́ experimentu a numerického modelu. Metoda splnila
většinu požadavků, jež na nı́ jsou kladeny. Je zejména nenáročná a proveditelná na
jednoosém zatěžovacı́m stroji. Nově navržená geometrie vzorku splnila předpoklad
dostatečně velkých, úspěšně měřitelných, deformacı́ ve směru x i y. Funkce programu
MATLAB, jež vznikly jako součást této metody plnı́ svou funkci a tvořı́ tak dohromady s experimentem ucelený, jasně definovaný, postup. Nepřı́znivým faktorem ovšem
zůstavajı́ dosud poněkud neuspokojivé výsledky relativnı́ odchylky u smykové deformace, jež narušuje přesnost identifikace konstant Ex , Ey , Gxy a ν.
Za doporučenı́ k této práci považuji dalšı́ pokračovánı́ v jejı́m vývoji, zejména potom
důkladnou analýzu vztahů užitých pro výpočet složek deformacı́ z naměřených posunutı́. Po eliminaci vlivů negativně ovlivňujcı́ch výsledky by metoda plnila efektivně
svůj účel. Dále by bylo vhodné softwarově optimalizovat jednotlivé funkce programu
MATLAB vytvořené jako součást této metody a implementovat je do sofistikovaného
celku s grafickým uživatelským rozhranı́m.
58
Literatura
[1] Baldi, A.: Full field methods and residual stress analysis in Orthotropic
material - Linear approach
Computers & Structures Volume 79, Issue 8, Březen 2001, s. 785 . . . 799
[2] Bruno, L., Felice, G., Pagnotta, L., Poggialini, A., Stigliano, G.: Elastic characterization of orthotropic plates of any shape via static testing
International Journal of Solids and Structures, Volume 45, Issue 3-4, Únor 2008,
s. 908 . . . 920
[3] Graham, I.: MATLAB Manual and Introductory Tutorials
University of Bath, Bath, 2005
[4] Heringová, B., Hora, P.: MATLAB Dı́l I. - Práce s programem
H - S, Plzeň, 1995
[5] Hibbeler, R. C.: Mechanics of Materials - fourth edition
Prentice Hall, Inc., New Jersey, 2000
[6] Hosford, W. F.: Mechanical behavior of materials - 2nd edition
Cambridge Universtity Press, Cambridge, 2010
[7] Jandejsek, I.: Development and Application of Digital Image Correlation
Methodology
CTU Reports: Proceedings of Workshop 2008, CTU Publishing House, Praha,
2008, s. 314. . . 315
Grant: GA MŠk(CZ) RP MSMT 2007 No. 29, Výzkumný záměr: CEZ:
AV0Z20710524
0313925 - UTAM-F 2009 RIV CZ eng K
[8] Lauwagiea, T., Solb, H., Roebbenc, G., Heylena, W., Shib, Y., Van der Biest, O.:
Mixed Numerical–experimental Identification of Elastic Properties of
Orthotropic Metal Plates
www.sciencedirect.com, 2003
59
[9] Léwinski T., Telega J. J.: Plates, Laminates and Shells - Asymptotic Analysis and Homogenization
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hong-Kong, 1999
[10] Lecompte, D., Smits, A., Sol, H., Vantomme, J., Van Hemelrijck, D.: Mixed
Numerical–experimental Technique for Orthotropic Parameter Identification Using Biaxial Tensile Tests on Cruciform Specimens
International Journal of Solids and Structures Volume 44, Issue 5, Březen 2007, s.
1643 . . . 1656
[11] Quaglini V., Corazza, C., Poggi, C.: Experimental Characterization of Orthotropic Technical Textiles under Uniaxial and Biaxial Loading Composites Part A: Applied Science and Manufacturing Volume 39, Issue 8, Srpen
2008, s. 1331 . . . 1342
[12] Ting, T. C. T.: Anisotropic Elasticity - Theory and Applications
Oxford Universtity Press, Oxford, 1996
[13] Zeman, J.: Analysis of Composite Materials with Random Microstructure
Czech Technical University in Prague, Praha, 2003
[14] cs.wikipedia.org, en.wikipedia.org
60
Seznam přı́loh
Součástı́ této práce je DVD obsahujı́cı́ přı́lohy v elektronické podobě. Rozvrženı́ a obsah
přı́loh zobrazuje následujı́cı́ tabulka:
Adresář
Přı́loha 1
Přı́loha 2
Přı́loha 3
Přı́loha 4
Obsah
Elektronická verze práce
Zdrojové kody programů a skriptů použitých v práci
Elektronické výsledky testovaných vzorků
Obrazová část
Tabulka 8.1: Seznam přı́loh na DVD
61