řešené

Teplotní roztažnost a rozpínavost látek
1. Bimetal je zhotoven z ocelového a měděného pásku a jeho jeden konec je upevněn
k vodorovné podložce (viz.obr.). Určete závislost průhybu δ okraje bimetalu na teplotě t,
jestliže při teplotě t0 = 0o C mají oba pásky bimetalu stejnou délku l0 = 10 cm a tloušťku
d = 1 mm . Vypočtěte průhyb bimetalu pro teplotu t = 30 o C , jestliže součinitel délkové
teplotní roztažnosti pro ocel α1 = 1,2 ⋅ 10 −5 K -1 a pro měď α 2 = 1,7 ⋅ 10−5 K -1 .
Řešení:
Každý pásek bimetalu si budeme charakterizovat jeho střednicí, která bude mít po zahřátí o
∆t délku
l1 = l0 (1 + α1∆t ) ,
l2 = l0 (1 + α 2 ∆t ) .
δ
r
l0
ϕ
d d
Pro délky l1, l1 střednic pásků též platí l1 = ϕ(r − d / 2) a l2 = ϕ(r + d / 2) , kde r je poloměr
křivosti oblouku bimetalu a ϕ je úhel příslušný tomuto zakřivení. Platí tedy rovnosti
l0 (1 + α1∆t ) = ϕ(r − d / 2) ,
l0 (1 + α 2 ∆t ) = ϕ(r + d / 2) .
Podělením obou rovnic získáme
(1 + α 2 ∆t ) ( r + d / 2)
=
(1 + α1∆t ) ( r − d / 2)
⇒
r=
[2 + (α 2 + α1 )∆t ]d
.
2(α 2 − α1 )∆t
Pro úhel ϕ potom platí
ϕ=
l0 (1 + α1∆t ) l0
= (α 2 − α1 )∆t .
(r − d / 2)
d
Odchylka δ volného okraje bimetalu od původní svislé polohy je δ = r (1 − cos ϕ) = 0,75 mm .
2. Určete, jaké množství ledu o hmotnosti m1 = 1 kg a o teplotě t1 = 0o C roztálo při ponoření
do m2 = 1 kg vody o teplotě t2 = 50o C v kalorimetru s tepelnou kapacitou K = 150 J/K .
Měrná tepelná kapacita vody c = 4186 J kg -1K -1 a měrné skupenské teplo tání ledu
lt = 333,2 kJ kg -1 .
Řešení: Nejprve zjistíme, zda roztaje celé množství ledu tím, že porovnáme teplo Q1, které
musí led ( m1 = 1 kg ) přijmout, aby roztál, s teplem Q2, které musí odevzdat soustava voda +
kalorimetr při ochlazení na teplotu t1 = 0o C . Platí
Q2 = ( K + m2 c)(t 2 − t1 ) = 216,8 kJ .
Q1 = m1l t = 333,2 kJ ,
Jelikož Q1 > Q2 , tak neroztaje veškerý led, ale pouze
mx =
Q2 ( K + m2 c)(t 2 − t1 )
=
=& 0,65 kg .
lt
lt
3. Určete Poissonův součinitel κ směsi helia o hmotnosti m1 = 8 g a vodíku o hmotnosti
m2 = 2 g . Molární hmotnosti plynů jsou M 1 = 4 ⋅ 10−3 kg/mol a M 2 = 2 ⋅ 10 −3 kg/mol .
Předpokládejte, že plyny se chovají jako ideální plyn.
Řešení: Poissonův součinitel κ je definován jako poměr tepelných kapacit při stálém tlaku cp
a stálém objemu cv. Pro směs ideálních plynů můžeme psát bilanci tepla při změně teploty o
∆T jako
∆Q = ∆Q1 + ∆Q2 ,
∆Q = c(m1 + m2 )∆T ,
∆Q1 = c1m1∆T ,
∆Q2 = c2 m2 ∆T .
Z předchozích vztahů jednoduše můžeme vyjádřit měrné tepelné kapacity při stálém objemu
resp. při stálém tlaku jako
cv =
cv1m1 + cv 2 m2
,
m1 + m2
resp.
cp =
c p1m1 + c p 2 m2
m1 + m2
.
Pro tepelnou kapacitu ideálního plynu platí
cv =
i R
2M
a
cp =
i+2 R
,
2 M
kde i je počet stupňů volnosti molekul plynu ( i1 = 3, i2 = 5 ). Dosazením do výsledných
vztahů pro tepelné kapacity směsi plynů získáme pro Poissonův součinitel vztah
⎛ i1 + 2
⎜
c p ⎜⎝ 2
κ=
=
cv
⎛ i1
⎜⎜
⎝2
⎞
i +2 R
R
m
m
m1 + 2
m2 ⎟⎟ (i1 + 2) 1 + (i2 + 2) 2
M1
2 M2
M1
M2
⎠=
= 1,55.
m1
m2
⎞
i2 R
R
i1
+ i2
m1 +
m2 ⎟⎟
M
M2
M1
2 M2
1
⎠