IAD metody v poˇcıt´anı Markovov´ych retˇezc˚u

Komentáře

Transkript

IAD metody v poˇcıt´anı Markovov´ych retˇezc˚u
.
IAD metody v počı́tánı́ Markovových řetězců
Ivana Pultarová
Katedra matematiky, Fakulta stavebnı́, ČVUT
Ústav informatiky, AV ČR
SNA 2006
.
Přehled
• Markovovy řetězce, stochastické matice, 2.
• Iteračnı́ agregačnı́ - deagregačnı́ (IAD) metody, 3-5.
• Lokálnı́ konvergence pro polynomickou základnı́ iteraci, 6-15.
• Diskuse, otázky, 16.
• Literatura, 17.
1
.
Stochastická matice B typu N
× N:
B ≥ 0,
eT B = eT .
Hledáme vektor stacionárnı́ho rozdělenı́ pravděpodobnosti x̂ matice B (Perronův - Frobeniův
vektor),
B x̂ = x̂.
Perronova - Frobeniova věta. Existence a jednoznačnost x̂ pro B ireducibilnı́.
Např. mocninná metoda pro ireducibilnı́ a necyklickou matici B ,
x̂ = lim B k y.
k→∞
2
.
Základnı́ označenı́
n je počet agregačnı́ch skupin (Gi ),
G1 , . . . , Gn jsou disjunktnı́ množiny indexů, ∪ni=1 Gi = {1, . . . , N },
I je jednotková matice a e je vektor jedniček,
R je matice redukce typu n × N , Rij = 1 pro j ∈ Gi a 0 jinak,
S(x) je matice prolongace typu N × n, Sji (x) = xj /
P (x) je projekce P (x) = S(x)R
3
P
k∈Gi
xk pro j ∈ Gi a 0 jinak,
Obecná iteračnı́ agregačnı́ - deagregačnı́ (IAD) metoda. Opakujı́ se kroky 2 - 5:
x0 > 0, ||x0 ||1 = 1, a matice základnı́ iterace T ;
1 Zvolı́ se počátečnı́ aproximace
k := 0.
2 Vyřešı́ se RBS(xk )z
3 Prodlouženı́ z na y k
= z.
= S(xk )z .
4 Korekce základnı́ iteracı́ xk+1
5 Test konvergence, k
= T yk .
:= k + 1.
Základnı́ iterace v kroku 4 může odpovı́dat např. mocninné metodě, blokové Jacobiově nebo
Gaussově-Seidelově metodě, atd.
Jako základnı́ iterace použı́váme násobenı́ maticı́
Takovou IAD metodu nazveme Algoritmus 1.
4
p(B), kde p je polynom, p(1) = 1.
Známé výsledky
Stewart (94) - odhad faktoru konvergence pro téměř úplně rozložitelné matice, kvantitativnı́
odhady při splněnı́ 4 podmı́nek (matice i řešenı́) a ǫ → 0.
Mandel, Sekerka (83) - Odhad asymptotického faktoru konvergence pro matici B s pozitivnı́m
řádkem.
Courtois, Semal (86) - Konvergence pro cyklickou iteračnı́ matici blokové Jacobiovy metody
M −1 W , I − B = M − W , je-li prováděna agregace. Otázka četnosti agregačnı́ho kroku.
Marek, Mayer (98 a 03) - Odvozenı́ tvaru chybové matice. Poprvé uvedena tzv. rychlá konvergence.
Ipsen, Kirkland (04) - Speciálnı́ volba agregačnı́ch skupin. Studium konvergence na základě
jiné formulace algoritmu a použitı́ stochastického doplňku.
5
Lokálnı́ konvergence
Chyba se řı́dı́ vztahem
xk+1 − x̂ = J(xk )(xk − x̂),
kde
J(x) = T (I − P (x)Z)−1 (I − P (x)),
kde Z je dáno spektrálnı́m rozkladem matice B ,
B = P + Z, P 2 = P, P Z = ZP = 0,
P je Perronova-Frobeniova projekce přı́slušná B .
Studiem J(x̂) lze najı́t některé postačujı́cı́ podmı́nky pro lokálnı́ konvergenci.
Rekurentnı́ formule pro J(x), je-li T
= B,
J(x) = B(I − P (x)) + BP (x)J(x).
6
Věta 1. Je-li p(t)
přesné řešenı́ x̂.
= αt + (1 − α) a α ∈ (0, 1i, pak jediným pevným bodem Algoritmu 1 je
Věta 2. Je-li p(t) = αt + (1 − α) a α ∈ (0, 1), pak Algoritmus 1 konverguje lokálně pro
každou ireducibilnı́ stochastickou matici B k přesnému řešenı́.
Věta 3. Je-li p(t)
= t a základnı́ iterace je doplněna krokem
xk+1 := αxk+1 + (1 − α)xk ,
α ∈ (0, 1), pak Algoritmus 1 konverguje lokálně pro každou ireduciblinı́ stochastickou
matici B k přesnému řešenı́ x̂.
Věta 4. Je-li p(t) = t a diagonála matice
k přesnému řešenı́ x̂.
B je kladná, pak Algoritmus 1 konverguje lokálně
7
Věta 5.
Je-li p(t) = t a matice B obsahuje alespoň jeden kladný řádek, pak Algoritmus 1 konverguje
lokálně k přesnému řešenı́ x̂ a asymptotický faktor konvergence je
kde β je minimálnı́ prvek tohoto řádku.
p
1 − β,
Je-li matice B kladná, pak asymptotický faktor konvergence je
1 − β,
kde
β = max{||v||1 ; B ≥ veT , v ≥ 0}.
8
Divergence.
Obecně lze tedy ukázat, že
ρ(J(p, x̂)) < 1
pro p(t)
= αt + (1 − α) a α ∈ (0, 1), ale
ρ(J(p, x̂)) ≤ 1
pro α = 0 nebo 1. Právě pro
k řešenı́ ani v lokálnı́m smyslu.
α = 1 lze najı́t matici takovou, že Algoritmus 1 nekonverguje
Přı́klad 1.

1/2
0 1/2

B =  1/2
0


0 1/2 ,
1 0
agregačnı́ skupiny G1 = {1} a G2 = {2, 3}. Polynom
pouze pro množinu počátečnı́ch přiblı́ženı́ mı́ry nula.
9
p(t) = t. Oscilace. Konvergence
Zobecněnı́ takové situace.
Přı́klad 2.







B=





× ... ×
×
0
..
.
..
.
× ... ×
×
0
...
0 ... 0
× ... ×
0
×
0
0
... ×
... 0
..
.
..
.
..
.
0
0
...
..
.
..
.
..
.
0
...
...
0
..
.
0
..
.
×
0







.





Vysvětlenı́ na základě formulace algoritmu pomocı́ stochastického doplňku.
Lemma 1. Pro aproximace xk , k
= 1, 2, . . ., zı́skané Algoritmem 1 pro p(t) = t platı́
BP (xk )xk+1 = xk+1 .
10
Vyberme některou aggregačnı́ skupinu Gi . Potom (po vhodné permutaci) máme B ve tvaru
B=
C
BG
i
B11
R
BG
i
BGi
.
Stejně rozdělı́me P (xk ) na blokově diagonálnı́ matici
P (xk ) =
k
P (x )1
0
0
P (xk )Gi
Potom rovnice BP (xk )xk+1 = xk+1 lze vyjádřit ve tvaru
ρk+1 je faktor zaručujı́cı́ ||xk ||1 = 1 a
B̃Gi (xk ) =
k
0 (I − B11 P (x )1 )
0
SGi (xk )
−1
C
BG
i
.
xk+1 = ρk+1 B̃Gi (xk )e, kde
0
P (xk )Gi
kde SGi je stochastická matice,
R
k
k
−1 C
SGi (xk ) = BGi + BG
P
(x
)
(I
−
B
P
(x
)
)
BGi .
1
11
1
i
11
,
Věta 6. Je-li matice SGi (x) cyklická indexu m pro některý vektor x potom posloupnost
{xk }∞
k=0 zı́skaná Algoritmem 1 konverguje k přesnému řešenı́ x̂ pouze v přı́padě, že částečné
součty části x0Gi počátečnı́h vektoru x0 odpovı́dajı́cı́ blokům cykličnosti matice SGi (x) jsou
stejné.
Z toho ihned dostaneme
Věta 7. Je-li matice SGi (x) cyklická pro některý vektor x, pak možina počátečnı́ch přiblı́ženı́,
pto která Algoritmus 1 konverguje k přesnému řešenı́, má mı́ru nula v množině všech přı́pustných
počátečnı́ch přiblı́ženı́.
12
Vyššı́ stupeň polynomu p
Přı́klad 3. Uvažujme primitivnı́ stochastickou matici B1

0 1/2 0
0 1/2 0 

0 0 1 
.
1 0 0 
0 0
 1 1/2

B1 = 
 0 0
 0 0

0 1/2
Agregačnı́ skupiny jsou G1
0
0
0
= {1, 2} a G2 = {3, 4, 5}. Potom máme
x̂1 = (1, 4, 2, 2, 2)T /11.
Nechť p1 (t)
= t a p2 (t) = t2 . Spektrálnı́ poloměry matic J(., x̂1 ) jsou
ρ(J(p1 , x̂1 )) = 1
a
ρ(J(p2 , x̂1 )) = 1.1570 > 1.
13
Přı́klad 4.
0
 1

B2 = 
 0
 0

0
Agregačnı́ skupiny jsou G1
pravděpodobnisti x̂2 máme
0
1/2
0
1/100
1/2
1/2
0
0
1/2
0
99/100
0
0
0
0

0
1/100 

99/100 
.

0
0
= {1, 2} a G2 = {3, 4, 5}. Potom pro stacionálnı́ rozdělenı́
ρ(J(p1 , x̂2 )) = 0.9855 < 1
a
ρ(J(p2 , x̂2 )) = 1.1271 > 1
kde opět p1 (t)
= t a p2 (t) = t2 .
Všimňeme si, že Algoritmus 1 s p(t) = tk konverguje loálně pro k = 1 ale
diverguje (i v lokálnı́m smyslu) pro k = 2. Tedy vı́ce kroků v základnı́ iteraci porušı́ konvergenci.
14
Spectral radii of J
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
Exponent k
10
12
Figure 1: Spektrálnı́ poloměr matic J(pk , x̂) pro B2 a pk (t)
15
14
= tk .
Závěr a dalšı́ otázky
• Lokálnı́ konvergence IAD metody nenı́ zaručena pro B ireducibilnı́ a necyklickou. Tyto
výsledky zatı́m platı́ pro T = B k .
• Otázky.
Jaká mocnina je dostatečná pro lokálnı́ konvergenci - na základě struktury nenulových
prvků matice B ?
Oscilace v přı́padě divergence?
Je bloková Jacobiova metoda postačujı́cı́ pro lokálnı́ konvergenci?
Je konvergence v lokálnı́m smyslu vždy postačujı́cı́ pro konvergenci?
Poděkovánı́.
Tato práce byla podpořena projektem Informačnı́ společnost č. 1ET400300415.
16
Literatura
• P. J. Courtois, P. Semal, Block iterative algorithms for stochastic matrices, 1986
• I. C. F. Ipsen, S. Kirkland, Convergence analysis of an improved PageRank algorithm,
2004
• I. Marek, P. Mayer, Convergence theory of some classes of iterative aggregation disaggregation methods for computing stationary probability vectors of stochastic matrices, 2003
• I. Marek, I. Pultarová, A note on local and global convergence analysis of iterative
aggregation-disaggregation methods, 2004
• I. Pultarová, Local convergence analysis of IAD methods with polynomial correction
based on sparsity of stochastic matrices, 2005
• W. J. Stewart, Introduction to the numerical solutions of Markov chains, 1994
17

Podobné dokumenty

NSS - B Lo-18 - Plachetnice41.cz

NSS - B Lo-18 - Plachetnice41.cz %5#5, & $ I  042-  3 2Z2 04L.

Více

tisku - FSE UJEP

tisku - FSE UJEP Obecně, tento popis vzájemného vztahu probı́há tak, že hodnotám jedné veličiny (tzv. nezávisle proměnné) přiřazujeme hodnoty druhé veličiny (tzv. závisle proměnné). Definice 0.1.1...

Více

Základy obecné algebry

Základy obecné algebry 4) T 7→ M \ T =: T ′ je unárnı́ operace na množině všech podmnožin P(M ) množiny M . Definice 1.4. Bud’ A množina, n ∈ N0 , D ⊆ An . Potom zobrazenı́ ω : D → A se nazývá n-árnı́ parciáln...

Více

nosnostní tabulka - odporově svařované rošty sp

nosnostní tabulka - odporově svařované rošty sp Fv = hodnoty zatížení u rovnoměrně rozložené zátěže v kN/m² f = průhyb při zatížení v mm při zatížení Fv Fp = hodnoty zatížení u středově působící jednotlivé zátěže v kN na ploše 200 x 200 mm f1 = ...

Více