Vážení maturanti, chtěli bychom Vás informovat o

Vážení maturanti,
chtěli bychom Vás informovat o progresivní formě vysokoškolského studia
matematiky se zaměřením na aplikace v technických vědách a informatice. Při slově matematika teď asi chtějí mnozí z Vás naši knížečku zavřít,
protože o matematice už nechtějí nic slyšet. Prosíme – zadržte. Je možné,
že matematiku považujete za vědní obor, který je velice obtížný, nezajímavý a má velmi omezené možnosti praktického uplatnění. A matematika
si pravděpodobně představujete jako strohého podivína, chodící encyklopedii vzorců, rovnic a podivných konstrukcí, který kolem sebe nevidí nic
jiného.
My, kteří pro Vás píšeme tyto řádky, jsme matematikové a podobné
názory nás velmi mrzí. Domníváme se, že pramení z nepochopení smyslu
matematiky. Než Vás tedy konkrétně seznámíme s náplní studia a možnostmi uplatnění absolventů našeho oboru, chtěli bychom Vám poněkud
přiblížit matematiku jako takovou. A začneme poněkud netradičně – totiž
vtipem:
Biolog, fyzik a matematik jdou na procházku po Vysokých Tatrách,
když tu spatří pruhovaného kamzíka. „Jé, v Tatrách žijí pruhovaní kamzíci!ÿ vykřikne radostně biolog. „No, pozor,ÿ opraví ho fyzik, „nemůžeš říct
,kamzíci’. Já jsem viděl jenom jednoho.ÿ A matematik usadí oba: „Nevím,
jak vy, pánové, ale já můžu říct jen tolik: V Tatrách existuje alespoň jeden
kamzík, který je nejméně z jedné strany pruhovanýÿ.
Tento vtip dává docela přesnou odpověď na otázku, co je to vlastně
matematika a kdo je matematik. Matematika není „věda o číslechÿ ani
„nauka o rovnicíchÿ či o „kvantitativních vztazích reálného světaÿ. Matematikem se člověk nestane tak, že si zapamatuje padesát definic, osmdesát
matematických vět a sto dvacet vzorečků. Celá matematika není vlastně
nic jiného, než logické a precizní myšlení. A matematikem se člověk stane
v okamžiku, kdy je takového myšlení schopen.
Budete možná překvapeni, ale mnohé matematické problémy určitě znáte
a už teď byste je uměli vyřešit. A třeba jste už nyní matematiky, aniž o tom
víte. Zkuste se tedy jen tak pro potěšení zamyslet nad několika zajímavými
problémy, které jsme pro Vás vybrali.
Brno, 2006
Kolektiv matematiků
Ústavu matematiky FSI
Vysokého učení technického v Brně
Část I
Zajímavé matematické problémy
5
1
Radosti a strasti majitele nekonečného hotelu
Představte si, že byste se chtěli ubytovat v hotelu a od hoteliéra byste se
dozvěděli, že Vás nemůže ubytovat, protože má hotel plně obsazen. Neradi
se vzdáváte, takže požádáte hoteliéra: „Víte co, já zkusím hosty v pokojích
povyměňovat. Přesadím je jako žáky ve třídě – třeba se místo najdeÿ. Na
ta slova pro Vás hoteliér asi začne shánět převoz do psychiatrické léčebny.
Představte si ale „nekonečnýÿ hotel. Má jednolůžkové pokoje, které jsou
očíslovány přirozenými čísly 1, 2, 3, . . . Vymyslete si jakkoli „velkéÿ přirozené číslo – pokoj s takovým číslem vždycky najdete. Přišlo se ubytovat
nekonečně mnoho fotbalistů – každý z nich má na dresu jedno přirozené
číslo – fotbalista s číslem jedna se ubytoval na jedničce, dvojka šla na
dvojku, fotbalista s číslem n na pokoj číslo n (místo n si myslete jakkoli „velkéÿ přirozené číslo) – pokoj i příslušného ubytovaného fotbalistu
vždycky najdete. Hotel je plný.
Přijede se ale ubytovat další autobus – řekněme s jedenácti fotbalisty
a Vámi jako trenérem (trenérkou). Hoteliér vás opět odmítne s tím, že
má plno. Vy mu opět nabídnete, že hosty v hotelu „přesadíteÿ. Budete
chtít, aby bydleli všichni, kteří už v hotelu jsou, a navíc se budete snažit
ubytovat sebe a všech jedenáct Vašich svěřenců. A na rozdíl od předchozího
případu se Vám to nyní podaří. A možná dřív, než stačí hoteliér vytočit
číslo docenta Chocholouška. V tomto případě je totiž řešení překvapivě
snadné: hosta z pokoje číslo jedna přestěhujte na třináctku, hosta ze dvojky
na čtrnáctku, host z pokoje n půjde do pokoje n + 12. „Je snad někdo, kdo
nemá svůj pokoj? . . . Není tomu tak.ÿ A můžete se obrátit na své svěřence:
„Prosím pánové, našich prvních dvanáct pokojů je prázdných . . . ÿ
Přijede další autobus, tentokrát s nekonečně mnoha fotbalisty. Na dresech mají celá záporná čísla – mínus jedna, mínus dva, atd. Učenlivý hoteliér povzbuzen Vaším předchozím úspěchem řekne: „Okamžik, pánové,
pokusím se!ÿ A zjistí, že ani teď to není úkol složitý – host z pokoje číslo
jedna se přestěhuje na dvojku, host ze dvojky na čtverku, host ze trojky na
šestku, atd., host z pokoje číslo n na pokoj s číslem 2n. Každý svůj pokoj
najde. Jsou tedy obsazeny jenom sudé pokoje, takže celý „zápornýÿ autobus se může ubytovat: mínus jednička na jedničku, mínus dvojka na trojku,
mínus trojka na pětku, atd., fotbalista s číslem −n na pokoj s číslem 2n−1
6
a každý svůj pokoj opět najde.
Přijede nekonečně mnoho autobusů, v každém z nich nekonečně mnoho
fotbalistů. Každý z nich má na dresu zlomek – v prvním autobusu je jedna
lomeno jedna, jedna lomeno dvě . . . Ve druhém autobusu dvě lomeno jedna,
dva lomeno dvě, fotbalista ze sedadla n v autobusu číslo m má číslo m
lomeno n. Hoteliér řekne – okamžik pánové! A začne hosty přemísťovat. To
je tentokrát sice trochu složitější (a nebudeme to popisovat), ale i v tomto
případě všechny fotbalisty ubytuje.
Přijede „dvakrát víc autobusůÿ než v předchozím případě a v každém
z nich sedí také „dvakrát vícÿ fotbalistů. Autobusy jsou totiž očíslovány
kladnými i zápornými celými čísly, rovněž tak sedadla v každém z autobusů
– kladná i záporná čísla. Jak je nacpat do plného hotelu? Snadná pomoc:
hoteliér pronese svoje oblíbené „okamžik pánovéÿ a i v tomto případě bude
úspěšný.
A pak přijede jediný autobus. Fotbalistů bude oproti předchozím případům velice „máloÿ. Budou mít na dresech pouze čísla větší než tři a menší
než čtyři. Na rozdíl od předchozích hostů to ale nebudou jen zlomky (tj.
podíly dvou celých čísel), ale „všechna čísla mezi trojkou a čtverkou na
číselné oseÿ – tedy např. i odmocnina ze třinácti, π, logaritmus čísla 5424,
atd. Oblíbená kouzelná formulka „okamžik, pánovéÿ tentokrát hoteliérovi
uvízne v krku jako rybí kost. Náš milý hoteliér musí říci: „Promiňte pánové, vás je bohužel moc. Vy byste se mi sem nevešli, ani kdybych měl
hotel prázdný . . . ÿ
2
Vesmír v balíčku karet
Když antičtí matematikové hledali „největší přirozené číslo, které má ještě
praktický významÿ, snažili se (alespoň myšlenkově) počítat zrnka písku
na Sahaře. Možná také znáte legendu o vynálezci šachové hry, který si za
svůj vynález vyžádal od sultána zdánlivě skromnou odměnu - „hromádkuÿ
obilí, která se určí tak, že na první pole šachovnice se položí jedno zrnko, na
druhé dvě zrnka, na každé další vždy dvojnásobek předchozího počtu, až se
zaplní celá šachovnice. Sultán se podivil vynálezcově skromnosti a požádal
své matematiky, aby mu do ošatky zrnka přesně odpočítali. Ti však záhy
7
zjistili, že ošatka stačit nebude. „Hromádkaÿ totiž představovala množství
obilí sklizené v celé zemi za několik desítek let.
Pořídit si „praktický modelÿ obrovských přirozených čísel je možné překvapivě snadno. Hrajete mariáš? Pak vězte, že počet možností, jak rozmíchat balíček dvaatřiceti karet je 32! ≈ 2, 6 · 1035 . Počet zrnek písku na
Sahaře bledne závistí. Vezměte dva takové balíčky, které se liší např. zadní
stranou. Každým mícháním pak „vyrábíteÿ číslo 64! ≈ 1, 3 · 1089 . To je
sto milionkrát víc než je odhadovaný počet elementárních částic v celém
viditelném vesmíru!
Máte před sebou monitor počítače? Možná si to ani neuvědomujete, ale
počet „různých obrazůÿ, které je takový monitor schopen zobrazit, je také
konečný. Kolik těchto obrazů je? Kdyby byl na monitoru nastaven režim
True Color a monitor obsahoval jediný bod, pak je to 2563 = 16777216.
Tolika barvami je totiž možné obarvit jeden obrazový bod. Pokud by to
byly dva body, bylo by toto číslo 167772162 , tři body znamenají 167772163
možností, atd. Při nastaveném rozlišení 1024 × 768 = 786432 obrazových
bodů dospějeme k hodnotě 16777216786432 ≈ 105681751 . To je číslo, pro které
nemá vůbec smysl používat přívlastky jako obrovské či gigantické. Jakákoli
slova jsou v tomto případě naprosto směšná. Toto číslo se prostě vymyká
nejen lidskému slovníku, ale i jakékoli lidské představivosti.
3
Hanojské věže
Tento slavný orientální hlavolam je ukázkou toho, že několik řádků počítačového programu umí „matematicky uvažovatÿ podstatně lépe, než kterýkoli smrtelník. Máme tři kolíky, na prvním z nich je navlečeno n kotoučů
s otvorem uprostřed. Kotouče mají různou velikost a jsou naskládány tak,
že vždy menší leží na větším – viz Obrázek 1. Druhý a třetí kolík je prázdný.
Úkolem je přemístit všechny kotouče na druhý kolík tak, aby byly opět
zdola uspořádány od největšího k nejmenšímu. Kotouče musíme přenášet
po jednom, můžeme použít třetí kolík, ale vždy musíme „zachovat uspořádáníÿ, tj. nelze položit větší kotouč na menší.
Řešení tohoto problému spočívá v následující úvaze: Abychom na druhý
kolík mohli přemístit největší kotouč, musíme n−1 kotoučů, které jsou nad
8
ním, „ukliditÿ na třetí kolík, a to ve stejném pořadí, v jakém byly na prvním
kolíku. Po přemístění největšího kotouče z prvního na druhý kolík musíme
stejným způsobem „ukliditÿ n − 2 kotoučů z kolíku 3 na kolík 1, abychom
na druhý kolík mohli položit další kotouč – řešíme tedy tutéž úlohu, ovšem
s menším počtem kotoučů – původně jsme měli n kotoučů, nyní máme n−1
kotoučů. Úloha se tedy rozpadá do tří kroků:

 a) přenes n − 1 kotoučů z 1 na 3 ;
Přenes n−1 kotoučů z 1 na 2
b) přenes n-tý kotouč z 1 na 2 ;

c) přenes n − 1 kotoučů ze 3 na 2 .
Obrázek 1: Hanojské věže pro n = 21
Kroky a) a c) představují řešení stejné úlohy, jako byla úloha původní,
pouze s menším počtem kotoučů (a s jinými kolíky). Druhý krok je elementární a lze ho bezprostředně provést. Kroky a) a c) vyřešíme stejně jako
původní úlohu, tj. rozkladem do tří kroků. Takto budeme postupovat tak
dlouho, až se do elementárních kroků rozloží celá úloha.
Největším problémem pro člověka je, že musí v paměti úlohu rozložit až
na jednotlivé elementární kroky, kterých je již při malém počtu kotoučů
velké množství a které je pak navíc potřeba provádět „pozpátkuÿ. Počítači ovšem stačí „přeložitÿ vlastně jen tři výše uvedené řádky. Podívejme
se na následující proceduru, která je napsaná v Borland Delphi. Řešení
úlohy, které procedura provede pro čtyři kotouče, si můžeme prohlédnout
na připojeném Obrázku 2.
9
Obrázek 2: Řešení pro n = 4
4
procedure TForm1.Hanoj Veze(Sender: TObject);
var n:Integer;
procedure Prenes(n,A,B,C:Integer);
{Přenese n kotoučů z kolíku A na kolík B,
kolík C je odkládací}
begin
if n>0 then begin
{Přenášej z A na C, odkládej na B}
Prenes(n-1,A,C,B);
Memo1.Lines.Add(’Přenes kotouč z ’
+IntToStr(A)+’ na+IntToStr(B));
{Přenášej z C na B, odkládej na A}
Prenes(n-1,C,B,A);
end;
end;
begin
n:=SpinEditN.Value; Memo1.Clear;
Prenes(N,1,2,3);
end;
Přetěžký úkol pro osamělého jezdce
Mnohé matematické problémy mají překvapivá řešení. Demonstrujme to
na úloze pro osamělého šachového jezdce.
Obrázek 3: Úkol pro osamělého jezdce
V jednom rohu prázdné šachovnice stojí šachový jezdec (viz Obrázek 3).
10
Jeho úkolem je „ jízdaÿ podle pravidel šachu, při které má navštívit všechna
pole šachovnice. Žádné nesmí vynechat, na žádné však nesmí přijít dvakrát.
Jak stručně říkají matematikové – každé pole má navštívit právě jednou.
Výchozí pole (v našem případě a1) se přitom považuje za navštívené již
ve výchozí pozici. Cesta má skončit v protějším rohu šachovnice, v našem
případě na poli h8.
Začneme-li úlohu řešit „experimentálněÿ, tj. zkoušením nejrůznějších
možností, cest a variant, dříve či později se ve svých pokusech utopíme.
Vždyť kolik možností máme k dispozici jen na provedení prvních tří tahů!
Názorně to ukazuje Obrázek 4. Dříve či později bychom měli zcela změnit
taktiku, začít přemýšlet trochu jinak a položit si otázku: Jde to vůbec? Je
úloha vůbec řešitelná? Matematický problém lze totiž vyřešit také důkazem
jeho neřešitelnosti. Je tedy nejvyšší čas přestat experimentovat a začít
přemýšlet.
Obrázek 4: Možnosti tahu šachového jezdce
Není těžké přijít na to (a šachisté to jistě velmi dobře vědí), že jezdec
napadá vždy pole opačné barvy. Jezdec z černého pole táhne vždy na pole
bílé a naopak. Ve výchozí pozici je 63 nenavštívených polí, jezdec tedy
musí vykonat 63 tahů. Po lichém počtu tahů ovšem nutně skončí na poli
opačné barvy, než je barva pole výchozího. Protější roh šachovnice má ale
stejnou barvu, jako pole výchozí. Jezdec se na toto pole nemůže dostat po
63 tazích. Úloha je neřešitelná.
Matematikové znají řadu slavných úloh, jejichž osud byl podobný osudu
nešťastného šachového jezdce. Téměř dva tisíce let se pokoušeli například
o tzv. trisekci úhlu (tj. pomocí pravítka a kružítka rozdělit daný úhel na
11
třetiny), či kvadraturu kruhu (tj. sestrojit čtverec, který má stejný obsah
jako zadaný kruh). Neobyčejně dlouhé a úmorné hledání „cesty pro jezdceÿ
skončilo v okamžiku, kdy tyto úlohy vyřešila za geometrii moderní algebra. Svými specifickými nástroji dokázala, že tyto úlohy jsou pravítkem
a kružítkem neřešitelné.
5
Chcete si sami zjistit hodnotu čísla π?
Všichni známe vzorec na výpočet délky kružnice o = π · d, kde d je průměr
kružnice. Ne každý si však dovede spočítat hodnotu čísla π. Chcete-li to
udělat, můžete buď
. . . začít motat provázek. Již staří Egypťané věděli, že délka kružnice
je přímo úměrná jejímu průměru. Konstantu této úměrnosti, tedy číslo π,
zjišťovali způsobem, který dnes vzbuzuje úsměv. Změřili průměr kola, to
pak omotali provázkem, a pak změřili délku tohoto provázku. Ke zjištění
hodnoty čísla π pak stačilo pouhé jedno dělení. Zato o nějaké přesnosti
raději ani nemluvit.
. . . nebo sestrojovat monohoúhelníky. Známý antický filozof, fyzik a matematik Archimédes již zjišťoval tuto hodnotu velmi rafinovaně
– vepisoval a opisoval kružnici pravidelné n-úhelníky, jejichž obvody uměl
počítat. Od něj pochází skvělý odhad
223
22
<π< ,
71
7
což je hodnota s přesností na dvě desetinná místa.
. . . můžeme také sčítat nekonečné řady. Dnes můžeme při výpočtu čísla π vyjít ze známého vztahu tg π4 = 1. Použijeme-li k jeho zápisu
funkci inverzní k funkci tangens, můžeme psát π4 = arctg 1. Uvažujme nyní
geometrickou řadu s prvním členem a1 = 1 a kvocientem q = −x2 . Je-li
0 < x < 1, pak pro součet této řady platí
s=
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + . . .
2
1+x
12
Pokusme se tento vztah integrovat v mezích od 0 do t, tedy
Zt
s=
1
dx =
1 + x2
0
Zt
1 − x2 + x4 − x6 + . . . dx.
0
Pro konečný počet sčítanců je integrál ze součtu roven součtu integrálů.
Pro nekonečnou řadu to sice vždy neplatí, nicméně v tomto případě toto
pravidlo použít můžeme. Takže máme
Zt
s=
0
1
dx =
1 + x2
Zt
Zt
dx −
0
x2 dx +
0
Zt
0
x4 dx −
Zt
x6 dx + . . .
0
Integrály na pravé straně jsou velmi jednoduché. Lze ukázat, že integrál
na levé straně je roven arctg t. Takže
t3 t5 t7
+ − + ...
3
5
7
Tento vztah „fungujeÿ díky původní geometrické řadě, která má součet pro
t ∈ h0 ; 1). Dá se však ukázat, že řada konverguje i pro t = 1. Dosadíme-li
tuto hodnotu, máme
s = arctg t = t −
1 1 1
+ − + ...
3 5 7
Víme ovšem, že arctg 1 = π4 . Dosazením tedy obdržíme následující vyjádření pro číslo π
π
1 1 1
1 1 1
= 1 − + − + ... ⇒ π = 4 1 − + − + ...
4
3 5 7
3 5 7
arctg 1 = 1 −
Čím více členů sečteme, tím přesnější hodnotu čísla π dostaneme. Toto
vyjádření je sice velmi „pěknéÿ, k číslu π se však blíží velmi pomalu. Dnes
jsou známy desítky rafinovanějších „vzorcůÿ, které k π „sprintujíÿ velice
rychle.
. . . můžeme také házet kamínky. Narýsujte na zem čtverec o straně
délky jednoho metru a vepište do něj kruh, viz Obrázek 5. Tento obrazec
použijte jako terč. Náhodně do něj pouštějte z výšky kamínek a do hodnoty m připočítávejte jednotlivé zásahy čtverce. Pokud současně zasáhnete
13
i kruh, připočtěte jedničku i do hodnoty n. Dle Obrázku 5 je tedy v hodnotě n počet kroužků, v hodnotě m pak počet kroužků a křížků dohromady. Čím více pokusů provedete a čím méně při nich budete mířit, tím
lépe. A jak s tím souvisí číslo π? Obsah čtverce je S = 1 m2 , obsah kruhu
pak S = π4 m2 . Pravděpodobnost „zásahuÿ nějaké plochy je přímo úměrná
její „velikostiÿ, tj. jejímu plošnému obsahu. Při dostatečně velkém počtu
pokusů můžeme pravděpodobnost přibližně nahradit tzv. relativní četností
n
. Proto přibližně platí
jevu, což je v našem případě podíl m
π
n
S
π
≈
= 4 = ,
m
S
1
4
tedy
π≈4
n
.
m
Obrázek 5: Házení kamínků do čtverce
Šikovnější programátoři si mohou „terčÿ vyrobit v počítači a stroji svěřit
i „vrhání kamínkuÿ. Počítač pracuje samozřejmě podstatně rychleji a „nešvindlujeÿ – program nemusí umět vůbec „mířitÿ. Výsledek tak bude daleko
přesvědčivější.
. . . a Buffon házel jehlu. Vezměte si jehlu délky b a na velký list papíru sestrojte osnovu rovnoběžných, stejně od sebe vzdálených přímek, jejichž vzájemná vzdálenost je a (a > b). Pak jehlu házejte na papír podobně
jako v předchozím případě a počítejte celkový počet hodů, ten označme m.
Pokud jehlou zasáhnete některou z přímek, připočtěte jedničku i do hodnoty n. Opět platí: čím více pokusů provedete a čím méně při nich budete
„mířitÿ, tím lépe.
14
Obrázek 6: Házení jehly mezi rovnoběžky
Na Obrázku 6 máme osnovu rovnoběžek a jehlu, která žádnou z přímek
nezasáhla. Vpravo pak máme detail jehly, která jednu z přímek zasáhla.
Poloha jehly může být popsána pomocí úhlu x, který jehla svírá s některou
z rovnoběžek a vzdáleností středu S jehly od nejbližší rovnoběžky. Hodímeli jehlou, vždycky „trefímeÿ úhel x, pro který platí x ∈ h0; πi. Úhly x
a x − π totiž určují pouze orientaci jehly, tj. zda je špička nahoře nebo
dole, což ovšem v našem případě nemá na nic vliv. Dále vždy „trefímeÿ
vzdálenost y středu jehly od přímky, pro kterou je y ∈ 0; a2 . Máme-li
jehlou zasáhnout přímku, musí platit y ≤ 2b sin x. Je to tedy totéž, jako
Obrázek 7: Házení kamínků do obdélníku
bychom házeli kamínkem do obdélníku h0; πi × 0; a2 (viz Obrázek 7) a za
úspěšný považovali zásah červeně vyznačeného útvaru pod sinusoidou y =
b
2 sin x. Je to tedy kupodivu analogická situace jako v předchozím případě.
Obsah obdélníka na Obrázku 7 je
1
S1 = πa.
2
15
Obsah útvaru ohraničeného sinusoidou na Obrázku 7 je
Zπ
S2 =
b
b
sin xdx = [− cos x]π0 = b.
2
2
0
Pravděpodobnost zásahu je pak
p=
2b
S2
=
.
S1
πa
Tuto pravděpodobnost můžeme při dostatečném počtu pokusů opět nahradit relativní četností, tj. podílem počtu „úspěšnýchÿ pokusů k jejich
celkovému počtu, takže přibližně platí
n
2b
mb
≈
⇒ π≈2
.
m
πa
na
Číslo π se jmenuje po Ludolphu van Ceulenovi, který ho kolem roku 1600
spočítal na 35 desetinných míst. Chcete-li si číslo π jednou pro vždy zapamatovat, naučte se krátkou říkanku. Skrývá jeho hodnotu na dvanáct
desetinných míst. A přesněji to určitě nikdy potřebovat nebudete . . .
Lín a kapr u hráze
prohlédli si rybáře.
Udici měl novou,
jikrnáči neuplavou.
6
Matice do každého CAD systému!
Na střední škole jste se asi již setkali s maticemi. Možná však netušíte, že
právě maticím vděčí počítačové grafické systémy za to, že „umíÿ geometrická zobrazení – osovou souměrnost, otočení, atd. Jestliže chceme zjistit souřadnice bodu B = [b1 ; b2 ], který vznikl například posunutím bodu
A = [a1 ; a2 ] o vektor ~v = (v1 ; v2 ), stačí zřejmě k souřadnicím bodu A přičíst
souřadnice vektoru ~v , tj. použít jednoduchou soustavu rovnic
b 1 = a1 + v 1 ,
b 2 = a2 + v 2 .
16
Chceme-li bod C = [c1 ; c2 ] zobrazit do bodu D = [d1 ; d2 ] tak, že bod C
otočíme kolem počátku o úhel α, použijeme rovnice
d1 = c1 cos α + c2 sin α,
d2 = −c1 sin α + c2 cos α.
S takovými soustavami se však v programech velmi těžko pracuje, a to
zvlášť v případech, kdy potřebujeme provést několik zobrazení najednou
(tzn. zobrazení potřebujeme skládat).
Pak jsou výhodnější maticové zápisy. Například výše uvedené soustavy
lze zapsat ve tvaru
  

 
 
 
b1
1 0 v1
a1
d1
cos α sin α 0
c1
 b2  =  0 1 v2   a2 ;  d2  =  − sin α cos α 0   c2 .
1
0 0 1
1
1
0
0
1
1
posunutí
otočení
Každé zobrazení tak má svoji matici. Matici složeného zobrazení získáme pouhým vynásobením matic jednotlivých zobrazení. Chceme-li tedy
bod A posunout, a pak otočit, zobrazíme ho přímo do bodu D, a to pomocí
rovnice

 
 
 

a1
1 0 v1
cos α sin α 0
d1
 d2  =  − sin α cos α 0  ·  0 1 v2  ·  a2  .
1
0 0 1
0
0
1
1
Takovéto operace s maticemi se velmi snadno programují a lze jimi simulovat celou řadu technických pohybů. Například valení kružnice po přímce
skládáme právě z posunutí a otáčení a můžeme získat zajímavé obrázky,
například prodlouženou cykloidu, viz Obrázek 8.
Obrázek 8: Prodloužená cykloida
17
Potřebujete sestrojit úsečku a ztratili jste pravítko? Nezoufejte – jak je
vidět z našeho Obrázku 9, dvě kružítka docela stačí . . .
Obrázek 9: Konstrukce úsečky za pomoci dvou kružnic
7
Vezměte bod na procházku
aneb odkud znají rostliny lineární algebru?
Podívejme se nyní na dvě geometrická zobrazení.


 



 

p1
0, 8 0 0
q1
p1
1 0 0
q1
 q2  =  0 −1 0 · p2  ;  q2  =  0 0, 8 0 · p2  .
1
0
0 1
1
1
0 0 1
1
První z nich je osová souměrnost podle osy x, druhé zobrazení je stejnolehlost se středem v počátku a koeficientem λ = 0, 9. Vezměme bod
P = [−10; 1] a hoďme si mincí. Padne-li hlava, podrobme ho osové souměrnosti, padne-li orel, pusťme na něj stejnolehlost. Bod Q, který takto
vznikne, přejmenujme opět na P . Celý proces opakujme, a to co nejdéle.
Bod P je tak na jakési náhodné procházce, jejíž trasu vidíme na Obrázku 10.
Obrázek 10: Skládání stejnolehlosti a osové souměrnosti
18
Zopakujme totéž se čtyřmi zobrazeními, které mají tyto matice




0 0 0
0, 2
0 0
M1 =  0 0, 2 0  ; M2 =  −0, 3 0, 2 0  ;
0 0 1
0
1 1




−0, 1 0, 3 0
0, 83 −0, 05 0
M3 =  0, 3 0, 2 0  ; M4 =  0, 05 0, 83 0  .
0
0, 4 1
0
1
1
Necháme-li tentokrát pracovat počítač, může mít náhodná procházka desetitisíce zastávek, viz Obrázek 11. A pak už se jen můžeme ptát, kdo si
dal tu práci, že do tajů lineární algebry zasvětil i rostliny . . .
Obrázek 11: Lineární algebra schovaná v kapradině
8
Krajka vyšívaná komplexními čísly
Rovnice s maticemi (tzv. maticové rovnice) v předchozích dvou kapitolách
skrývaly vždy dvě lineární rovnice, jejichž neznámé udávaly souřadnice
bodu v „běžné geometrickéÿ rovině (tzv. euklidovské) rovině. Také komplexní čísla lze znázorňovat v rovině, tzv. rovině Gaussově. Místo soustav
rovnic s reálnými čísly

 
 

q1
1 0 0
p1
 q2  =  0 −1 0  ·  p2  ⇒ q1 = p1 ,
q2 = −p2 ,
1
0 0 1
1
19
pro osovou souměrnost podle osy x, resp.

 
 

0, 8 0 0
p1
q1
 q2  =  0 0, 8 0  ·  p2  ⇒ q1 = 0, 8 · p1 ,
q2 = 0, 8 · p2 ,
1
1
0
0 1
pro stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic v euklidovské
rovině použijme jednu rovnici
√
z2 = z1 − c,
kde z1 , z2 a c jsou komplexní čísla. Odmocnina z komplexního čísla má, jak
známo, dvě hodnoty. O to, kterou z nich použijeme, můžeme opět losovat.
Podobně jako v předchozí kapitole můžeme poslat na náhodnou procházku
třeba komplexní číslo 0 + 0 · i. Tato nula nám pak v Gaussově rovině vyšije
nádhernou krajku – tzv. Juliovu množinu, viz Obrázek 12.
Obrázek 12: Juliova množina
9
Stavět se dá i nakřivo aneb hledá se těžiště
Ze stejných homogenních obdélníkových cihel, jejichž nejdelší rozměr má
délku čtyři (lhostejno, v jakých jednotkách), stavíme „křivý sloupekÿ dle
připojeného Obrázku 13.
20
Přesahy p1 , p2 , p3 , . . . můžeme volit naprosto libovolně. Máme k dispozici
neomezené množství cihel, nesmíme však použít žádné pojivo. Otázkou
je, jaký je největší možný „celkový přesahÿ s, po jehož překročení stavba
spadne.
Obrázek 13: „Křivýÿ sloupek
Úloha je zdánlivě velmi jednoduchá. Vezmeme k cihel a zvolíme kon2
stantní přesah p1 = p2 = . . . = k−1
= p. Dostaneme „konstantně šikmýÿ
sloupek – viz Obrázek 14.
Obrázek 14: „Konstantně šikmýÿ sloupek
Těžiště sloupku se ocitne přesně nad hranou první cihly (při lichém počtu
cihel je přesně uprostřed té prostřední) a celkový přesah je roven délce
cihly. Naše stavba (při troše štěstí) stále stojí. Jakýkoli pokus přidat jakkoli
přesazenou (dokonce i nepřesazenou) další cihlu však má za následek posun
těžiště za hranu „základuÿ a neodvratný pád. Naše stavba dává odpověď
s = 4 a přesah zdánlivě není možné jakkoli zvětšit.
21
Přesto to možné je a výsledek bude pro mnohé z Vás možná velmi překvapivý. Náš sloupek začneme stavět (myšlenkově) od horní cihly tak, jak
je znázorněno na Obrázku 15.
Obrázek 15: Stavba zahájená od horní cihly
Vezměme první cihlu délky čtyři jednotky a podložme ji ve čtvrtině
délky. Zvolme souřadnou soustavu, jejíž osa y je určena okrajem první
cihly. Těžiště první cihly má x-ovou souřadnici rovnu dvěma. Souřadnice y
v tomto případě není zajímavá (výška sloupku nerozhoduje), proto budeme
stručně psát T1 = 2. Podobně těžiště druhé cihly je T2 = 3. Společné těžiště
těchto dvou cihel je pak T1,2 = 25 .
Obrázek 16: Čtyři cihly dávané shora
Na Obrázku 16 jsme pod tyto dvě cihly podložili další dvě, každá z nich
je „odsazenaÿ o polovinu jednotky. Snadno lze spočítat, že společné těžiště
22
těchto dvou cihel je T3,4 =
15
4
a společné těžiště T všech čtyř cihel je
T1,2 + T3,4
1
25
5 15
T =
= ·
+
= .
2
2
2
4
8
Okraj spodní cihly má však souřadnici 2 < 25
8 , takže naše stavba určitě
nespadne.
Pokračujme tímto způsobem dál. Podložme čtyři cihly, z nichž každou
„odsadímeÿ o čtvrtinu délky, dále osm cihel odsazených o osminu délky,
atd. Způsobem, který jsme uvedli, se můžeme vždy přesvědčit, že žádné
takové podložení neohrozí stabilitu naší stavby.
Jaký bude celkový přesah? Použijeme-li 1 + 2 + 4 + 8 = 15 cihel, bude
to
1
1 1 1 1 1 1 1 1
s = 1 + + + + + + + + + . . . + = 4,
2 2 4 4 4 4 |8 8 {z
8}
8×
tj. přesah, který se nám před chvílí zdál jako nejvyšší možný. My ale můžeme pokračovat. Použijeme-li 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 cihel, bude přesah
s=1+
1 1 1
1
1 1
1
1
= 5,
+ + + ... + + + ... + +
+ ... +
2 2 |4 {z 4} |8 {z 8} |16 {z 16}
4×
8×
16×
atd. Čím více cihel takto použijeme, tím bude přesah větší. Máme-li tedy
cihel neomezené množství, můžeme docílit naprosto libovolného přesahu.
Lze dokonce postavit daleko „křivějšíÿ stavbu. Použijeme-li na přesahy
místo posloupnosti
1 1 1 1 1 1 1 1
1; ; ; ; ; ; ; ; ; . . .
2 2 4 4 4 4 8 8
posloupnost
1 1 1 1 1 1 1 1
2; 1; ; ; ; ; ; ; ; ; . . .
2 3 4 5 6 7 8 9
bude naše stavba daleko „křivějšíÿ. Předem stanoveného přesahu docílíme
s menším počtem cihel. Přesto by (teoreticky) neměla spadnout – při použití této posloupnosti totiž konstrukci z n − 1 cihel podepíráme hranou
následující n-té cihly vždy přesně pod těžištěm . . .
23
10
Zachraňte umírajícího pavouka
Představte si místnost tvaru kvádru o rozměrech a = b = 3 m a c = 10 m.
V jedné její stěně sedí pavouk, kterému se do pavučiny na protější stěně
chytila moucha. Pozice mouchy a pavouka je patrná z Obrázku 17.
Obrázek 17: Zachraňte pavouka
Pavouk je však značně vyčerpaný a vyhladovělý. Jakmile urazí 13 m, zahyne. K mouše se musí dostat kratší cestou. Může lézt jen po stěnách, cesta
„vzduchemÿ je vyloučena. Zachráníte ho?
Obrázek 18: Řešení problému s pavoukem a mouchou
Řešení spočívá v konstrukci sítě kvádru představujícího místnost. Pokud
síť sestrojíme způsobem, který je vyznačen na Obrázku 18 vlevo, příliš si
24
nepomůžeme – cesta je dlouhá právě 13 m. Jednu z podstav však můžeme
„otočitÿ o 90◦ tak, jak ukazuje Obrázek 18 vpravo. Délka spojnice pavouka
a mouchy je tentokrát jen
p
p
2
2
d = 3, 5 + 12, 5 = 168, 5 < 13.
11
Kde se tam vzala ta černá díra?
Vystřihněte si z papíru pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a = 13 cm
a b = 5 cm a navíc ho rozstřihněte ještě na čtyři části podle Obrázku 19
nahoře. Z těchto rozstřižených části pak můžete sestavit trojúhelník dvojím
způsobem. Poněkud pikantní je skutečnost, že ve druhém případě v trojúhelníku chybí jeden čtvereček, viz Obrázek 19. Otázkou je, proč?
Obrázek 19: Kde se tu vzala černá díra?
Dovolte nám, abychom tento závěrečný „problémÿ ponechali bez řešení,
jistě ho objevíte sami. Prozraďme pouze, že celé zadání i Obrázek 19 je
jakýsi drobný podvůdek, který lze při troše šikovnosti odhalit se znalostmi
geometrie již ze základní školy.
Část II
Informace o studijním oboru
Matematické inženýrství
27
Studium oboru Matematické inženýrství je třístupňové:
1. stupeň: tříleté bakalářské studium (titul Bc.)
2. stupeň: dvouleté navazující magisterské studium (titul Ing.)
3. stupeň: tříleté doktorské studium (titul Ph.D. za jménem)
Co Vás u nás čeká?
• Příjemné a přátelské prostředí
• Moderní areál vybavený špičkovým informačním systémem
• V každé učebně kromě techniky i živý učitel
• Výuka v malých studijních skupinách
• Maximálně individuální přístup
• Široké možnosti podílet se na řešení výzkumných úkolů
• Možnosti zahraničních stáží a studia v zahraničí
Co Vám u nás nehrozí?
• Nezájem učitelů o Vaše studium
• Vaše proměna ve statistický údaj a periferní zařízení počítače
• Masová výuka televizním okruhem bez účasti učitele
• Zkoušky spočívající jen ve vyplňování elektronických dotazníků
28
Bakalářské studium
Obsah studia
Po absolvování nezbytných základů matematické analýzy, lineární i obecné algebry a konstruktivní a počítačové geometrie v 1. ročníku jsou v dalších ročnících studenti seznamováni s nejdůležitějšími odvětvími aplikované
matematiky, jako jsou diferenciální rovnice, funkcionální analýza, pravděpodobnost a matematická statistika, diskrétní matematika, numerické metody, optimalizace apod.
Z oblasti computer science jsou vyučovány základy programování, programovací techniky, moderní metody programování a progresivní obor počítačová grafika.
Nezbytným základem technického vzdělání je fyzika, která má podobu
dvousemestrálního kurzu. Na ni pak navazuje statika, termomechanika,
hydromechanika, teoretická mechanika, elektrotechnika a elektronika. Dalšími technickými předměty jsou základy konstruování, nauka o materiálu,
pružnost a pevnost, technologie, části a mechanizmy strojů a automatizace.
Možnosti uplatnění bakalářů
Absolventi bakalářského stupně studia jsou technicky vzdělaní bakaláři
s hlubšími znalostmi matematiky, kteří naleznou v praxi uplatnění v nejrůznějších průmyslových i jiných odvětvích. Předpokládá se však, že většina
z nich bude pokračovat dále ve studiu stejného oboru na magisterském
stupni.
Možnosti dalšího studia
Absolventi bakalářského stupně oboru Matematické inženýrství mohou
dále pokračovat ve studiu téhož oboru v dvouletém navazujícím magisterském studiu a získat tak titul inženýr. K tomuto magisterskému studiu jsou
přijímáni automaticky v rámci přijímacího řízení bez přijímací zkoušky.
Možnosti stáží a výjezdů studentů do zahraničí
Ústav matematiky FSI VUT v Brně má navázánu spolupráci s řadou
zahraničních univerzit. Možnosti stáží a výjezdů na tyto univerzity se však
týkají především studentů magisterského a doktorského studia.
29
Magisterské studium
V magisterském studiu je obor Matematické inženýrství součástí dvouletého navazujícího magisterského programu Aplikované vědy v inženýrství.
To znamená, že studium oboru má speciální charakter a po jeho absolvování získají absolventi titul inženýr. Jedná se o studium mezioborové, neboť
si klade za cíl vybavit absolventy hlubšími znalostmi matematiky a informatiky se zaměřením na jejich aplikace v technických oborech. V magisterském studijním programu Matematické inženýrství studenti podstatně
prohloubí a rozšíří vědomosti, které získali absolvováním programu bakalářského.
Obsah studia
Studenti oboru jsou seznamováni s dalšími matematickými disciplínami
majícími úzký vztah k technickým aplikacím, jako jsou funkce komplexní
proměnné, diferenciální geometrie, teorie grafů, stochastické procesy, základy optimálního řízení, variační počet, fuzzy množiny a aplikace apod.
Dále jsou vyučovány aplikované předměty jako vizualizace dat, numerické
metody analýzy obrazů, aplikace vícehodnotové logiky, matematické metody v teorii proudění, finanční matematika a analýza inženýrského experimentu.
Z nematematických předmětů absolvují studenti jakost a metrologii,
základy teorie dynamických systémů a mechatroniky, databázové systémy,
prostředky umělé inteligence a dva další informatické předměty, které si povinně vyberou (mezi operačními systémy a počítačovými sítěmi a mezi objektově orientovaným programováním v C++ a programováním pro Windows).
Během zimního semestru 1. ročníku magisterského studia si studenti
zvolí jedno z nabízených témat pro diplomovou práci, aby na něm mohli
již v následujícím semestru začít pracovat. Intenzivní práce na diplomové
práci je pak plánována na celý poslední ročník studia. V diplomové práci
studenti samostatně řeší zadaný technický problém matematické povahy
nebo obecný problém aplikované matematiky.
Cíle oboru
Cílem studia je vybavit absolventy hlubšími znalostmi matematiky a informatiky vzhledem k možnostem jejich využití při řešení náročných pro-
30
blémů technické praxe. Spolu se znalostmi základních technických oborů
získanými v bakalářském studiu se tak absolventi stanou teoreticky dobře
vybavenými inženýry, kteří naleznou uplatnění především v řídících a výzkumných týmech různých technických specializací.
Podmínky přijetí ke studiu
Podmínkou přijetí je bakalářský titul získaný buď studiem bakalářského
oboru Matematické inženýrství na FSI VUT v Brně, nebo studiem nějakého jiného oboru zaměřeného na matematiku (ať již na technické vysoké
škole či univerzitě). Všichni uchazeči, kteří splní tuto podmínku, jsou přijímáni ke studiu v rámci přijímacího řízení bez přijímací zkoušky. Absolventi bakalářského oboru Matematické inženýrství na FSI VUT v Brně
jsou přijímáni ke studiu magisterského oboru Matematické inženýrství bez
jakýchkoliv dodatečných podmínek. Absolventi matematicky zaměřeného
bakalářského studia na jiných školách si pak eventuálně zapíší některé dodatečné studijní předměty, které jsou pro magisterský program nezbytné.
Možnosti uplatnění
Absolventi oboru jsou inženýři vybavení vedle obvyklých technických
znalostí také hlubšími znalostmi matematiky a informatiky. To jim umožní
snadněji řešit nejrůznější inženýrské úlohy za efektivního využívání výpočetní techniky. Najdou proto uplatnění zejména ve výzkumných a vývojových týmech v rozmanitých technických profesích. Osvojené matematické
znalosti mohou aplikovat v řadě dalších odvětví – fyzika, biologie, lékařství.
Výhodou je dobrá orientace v nejmodernějších výpočetních technologiích.
Vzhledem k matematickému vzdělání je možné uplatnění i ve vědeckých
týmech, softwarových firmách, ekonomice, bankovnictví apod. U nejlepších z nich se předpokládá, že budou pokračovat ve studiu v doktorském
programu Matematické inženýrství na naší fakultě.
Možnosti stáží nebo zahraničních pobytů, zahraniční spolupráce
Nejlepší studenti magisterského oboru Matematické inženýrství mohou
strávit část studia na některé zahraniční univerzitě. Garantující Ústav
matematiky FSI VUT v Brně má navázánu spolupráci s řadou zahraničních univerzit, jmenovitě se jedná např. o Texas University in Austin
(USA), Molde University College (Norsko), University of Malta, L’Aquila
31
University (Itálie), Uniwersytet Marii Curie-Sklodowskiej w Lublinie (Polsko), Chalmers University of Technology (Švédsko), Technische Universität
Hamburg (Německo), Universität Potsdam (Německo), Technische Universität Wien (Rakousko), Université Pierre et Marie Curie, Paris (Frnacie).
Doktorské studium
Doktorské studium umožňuje studentům Matematického inženýrství na
FSI VUT v Brně a studentům z jiných vysokých škol s matematickým
a technickým zaměřením pokračovat ve studiu aplikované matematiky speciálně orientované na technické a fyzikální aplikace. Ve studiu je akcentována především schopnost samostatné tvůrčí vědecké práce v oblasti aplikované matematiky a schopnost spolupráce s odborníky jiných vědních
a technických oborů. Studenti jsou v maximální možné míře zapojováni
do vědeckovýzkumných projektů Ústavu matematiky FSI VUT v Brně.
Samozřejmostí je rozsáhlé využívání výpočetní techniky. V současnosti je
studium zaměřeno především do těchto speciálních oblastí:
• Matematické modelování problémů inženýrské praxe pomocí spojitých
modelů, které vedou na řešení diferenciálních rovnic (obyčejných, parciálních včetně stochastických). Jedná se zejména o úlohy mechaniky
kontinua, jako je modelování kompozitních materiálů a řešení úloh
proudění a dalších. Vedle analýzy problémů se zabývá také jejich numerickým řešením, včetně teorie numerických metod a jejich rozvojem,
zejména metody konečných prvků.
• Fuzzy modely a stochastické modely technických systémů a procesů
s aplikacemi v oblasti technologie, spolehlivosti, studia vlastností kovových materiálů a v oblasti řízení. Optimalizační metody a jejich
technické a ekonomické aplikace.
• Numerické metody analýzy obrazů a jejich aplikace v technice, biologii, lékařství, fyzice a kosmickém výzkumu. Počítačová grafika a aplikovaná geometrie a jejich využití v technických disciplínách. Digitální
topologie a její využití v oblasti zpracování obrazů a rozpoznávání
objektů.
32
• Diferenciální geometrie křivek a ploch a její aplikace. Aplikace variačního počtu v technických disciplínách.
Možnosti uplatnění absolventů doktorského studia
Absolventi doktorského studia Matematického inženýrství získají celosvětově uznávaný titul Ph.D. za jménem a naleznou uplatnění především
v oblasti aplikovaného výzkumu a technických vývojových týmech. Absolventi jsou též dobře připraveni pro řídící a analytické funkce ve firmách
vyžadující dobré znalosti matematického modelování, pravděpodobnosti,
statistiky a optimalizace. Široké zapojení výpočetní techniky do studia
dává absolventům též velké možnosti uplatnění v oblasti vývoje a provozu
vědeckého a technického softwaru. Základní charakteristikou každého absolventa by měla být schopnost týmové spolupráce na interdisciplinární
bázi.
Možnosti stáží nebo zahraničních pobytů, zahraniční spolupráce
Během studia Matematického inženýrství studenti mají možnosti odborných stáží v zahraničí a možnost rozsáhlé spolupráce se zahraničními
vysokými školami a výzkumnými institucemi. V současnosti je významná
spolupráce především s těmito zahraničními institucemi:
• Texas University in Austin, USA
• Molde University College, Norsko
• University of Malta, Department of Statistics and Operations Research, Faculty of Engineering, Malta
• Technische Universität Hamburg, Německo
• Universiteit of Gent, Belgie
• Laboratoire J.L.Lions, Université Pierre et Marie Curie, Francie
• Mathematical Sciences, Chalmers University of Technology, Göteborg,
Švédsko
• Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského, Bratislava, Slovensko
• Uniwersytet Marii Curie-Sklodowskiej w Lublinie, Polsko
• Uniwersytet Jagiellonski, Krakow, Polsko
33
• Universität Potsdam, Německo
• Universita degli Study dell’Aquila, Itálie
• Dalhousie University in Halifax, Kanada
• Science University of Tokyo, Japonsko
• Technische Universität Wien, Rakousko
Obsah
I
II
Zajímavé matematické problémy
1 Radosti a strasti majitele nekonečného hotelu . . . .
2 Vesmír v balíčku karet . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Hanojské věže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Přetěžký úkol pro osamělého jezdce . . . . . . . . . .
5 Chcete si sami zjistit hodnotu čísla π? . . . . . . . .
6 Matice do každého CAD systému! . . . . . . . . . . .
7 Vezměte bod na procházku aneb odkud znají rostliny
lineární algebru? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Krajka vyšívaná komplexními čísly . . . . . . . . . .
9 Stavět se dá i nakřivo aneb hledá se těžiště . . . . . .
10 Zachraňte umírajícího pavouka . . . . . . . . . . . .
11 Kde se tam vzala ta černá díra? . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
5
6
7
9
11
15
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
18
19
23
24
Informace o studijním oboru Matematické inženýrství
25