Příklady

Transkript

Příklady

Příklady k přednášce
25 – Dopravní zpoždění
Michael Šebek
Automatické řízení 2013
21-4-13
Dopravní zpoždění v Laplaceově transformaci
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
f (t ) : f (t )= 0 ∀t < 0, L { f (t )}=
f (t − τ ) : τ > 0, L { f (t − τ )} =
?
t − τ )}
L { f (=
− st
e
∫ − f (t )dt= f (s)
0
∞
− st
e
t −τ v
=
∫ − f (t − τ )dt ←
0
=∫
∞
=e
− sτ
=e
−s
−τ
− s ( v +τ )
e
f (v)dv
−
∞
∫τ
τ
∫ e
−
∞
− sv
e
f (v)dt
−
− sv
0−
= e − sτ f ( s )
Michael Šebek
∞
f (v)dt
− sτ
e
L {δ (t=
− τ )} e − sτ , L {1(t=
− τ )}
, 
s
ARI-25-2012
2
Příklad: Válcovací stolice
• dopravní zpoždění
na výstupu
• přenos
H ( s, e −τ s ) = G ( s )e −τ s
• tedy obsahuje dynamiku
bez zpoždění + zpoždění
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
3
Příklad: Pásový dopravník
Těžba fosfátu v Bou Craa, Západní Sahara:
100 km systém dopravníků
Bangladéš: 1 pás 17 km
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
4
Příklad: Regulace v buňce
x1 (t ) =
−λ1 x1 (t ) + c1 x2 (t − τ 1 )
x2 (t ) =
−λ2 x2 (t ) + g ( x1 (t − τ 1 ) )
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
5
Příklad: Hematologie
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
6
Příklad: Mechanismus aktivace enzymu
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
7
Příklady: Operační výzkum
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
8
Příklad: Tepelný systém
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
9
Příklad: Síťové řídicí systémy
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
10
Příklad: Router
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
11
Příklad:
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
12
Čisté zpoždění v Matlabu
D( s) = e− s
>> D = tf(1,1,'InputDelay',1)
Transfer function:
exp(-1*s) * (1)
>> s = tf('s'); D = exp(-s)
Transfer function:
exp(-s) * (1)
Step Response
1.5
Amplitude
1
0.5
>> step(tf(1),D)
>> bode(D)
>> nyquist(D)
0
1.5
1
0.5
0
2
2.5
3
5
4.5
4
3.5
Time (seconds)
Nyquist Diagram
1
0.8
Bode Diagram
1
0.6
0.4
0
Imaginary Axis
Magnitude (dB)
0.5
-0.5
-1
0
0.2
0
-0.2
-90
-0.4
Phase (deg)
-180
-270
-0.6
-360
-450
-0.8
-540
-1
-630
0
10
1
10
-1
Frequency (rad/s)
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
0.2
0.4
0.6
0.8
1
13
Systém se zpožděním na vstupu/výstupu v Matlabu
0.12
Amplitude
>> G = tf(1,[1 10],'InputDelay',2.1)
Transfer function:
1
exp(-2.1*s) * -----s + 10
>> G = tf(1,[1 10],'OutputDelay',2.1);
>> s = tf('s');GG= 1/(10+s);
G = exp(-2.1*s)*GG;
1
G ( s) =
e −2.1s
10 + s
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (seconds)
Nyquist Diagram
0.1
Bode Diagram
-20
0.08
0.06
-21
-21.5
0.04
-22
Imaginary Axis
Magnitude (dB)
-20.5
-22.5
-23
-23.5
0
0
-0.02
-0.04
-180
Phase (deg)
0.02
-360
-0.06
-540
-0.08
-720
-0.1
-0.2
-900
-1
10
Michael Šebek
0
10
Frequency (rad/s)
ARI-Pr-25-2012
1
10
-0.15
-0.1
-0.05
0
Real Axis
0.05
0.1
0.15
0.2
14
Systém s vnitřním zpožděním v Matlabu
Step Response
0.12
1
e −2.1s
T ( s ) = 10 + s
1
e −2.1s
1+
10 + s
e −2.1s
=
10 + s + e −2.1s
0.1
0.08
p tude
>> s = tf('s');GG= 1/(10+s);
>> G = exp(-2.1*s)*GG;
>> T=G/(1+G)
...
Output delays (seconds): 2.1
Internal delays(seconds):2.1
Continuous-time model.
>> step(T)
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Time (seconds)
Nyquist Diagram
Bode Diagram
-19
-19.5
0.15
-20.5
0.1
-21
-21.5
Imaginary Axis
Magnitude (dB)
-20
-22
-22.5
-23
0.05
0
-23.5
0
-180
-0.05
Phase (deg)
-360
-540
-0.1
-720
-0.1
-900
-1260
-1
10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Real Axis
-1080
0
10
1
10
Frequency (rad/s)
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
15
0.1
Příklad: Složitější systémy
H ( s, e − s ) =
>> delay=tf(1);set(delay,'ioDelay',1)
>> E=tf(delay),S=tf(s);
Transfer function:
exp(-1*s) * (1)
>> H=E/(S+a+S*b*E),step(H,20)
−s
e
s + 1 + se − s
Step Response
1.4
Bode Diagram
1.2
50
40
30
1
Magnitude (dB)
20
Amplitude
0.8
Nyquist Diagram
100
90
-30
-40
80
0.4
0
-10
-20
0 dB
0.6
10
-50
0
70
-720
0
0
2
4
6
8
10
Time (seconds)
12
-1440
Phase (deg)
0.2
Imaginary Axis
60
50
40
30
14
16
20
18
-2160
-2880
-3600
-4320
-5040
20
-5760
10
-6480
-2
10
-1
10
0
10
1
2
10
10
2 dB-2 dB
0
-10
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Real Axis
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
16
Příklad: Složitější systémy
H ( s, e
−0.2 s
,e
−0.3 s
)=
e
>> delay2=tf(1);set(delay2,'ioDelay',.2)
>> delay3=tf(1);set(delay3,'ioDelay',.3)
>> H=E2/(S+E3+2*E2);step(H,20)
>> E2=tf(delay2),E3=delay3,S=tf(s);
Transfer function:
exp(-0.2*s) * (1)
Transfer function:
exp(-0.3*s) * (1)
>> H=E2*S/(S+E3+2*E2);step(H,2)
−0.2 s
s + e −0.3 s + 2e −0.2 s
Nyquist Diagram
2
1.5
1
Bode Diagram
10
Imaginary Axis
1.2
1
Magnitude (dB)
Step Response
0.5
0
-0.5
0.8
Amplitude
-30 x 104
4.608
-1.5
-2
-1.5
0.4
-10
-20
-1
0.6
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
Real Axis
0.2
-4.608
-9.216
0
-0.2
-13.824
-1
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
10
1
10
2
10
3
4
10
10
Frequency (rad/s)
Time (seconds)
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
17
Pro zajímavost: Lambertova funkce
Lambertova W-funkce (také omega funkce)
• je inverzní funkce k f (W ) = WeW
• v reálném oboru rozumná,
ale v komplexním divoká
(nekonečně mnoho větví)
reálná
imaginární část Lambertovy funkce
(analytického prodloužení)
• http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
Michael Šebek
a
ARI-Pr-25-2012
18
Příklad: Retardovaný a neutrální systém
• Retardovaný systém
>> solve('exp(-tau*x)+x=0')
ans = lambertw(0, -tau)/tau
>> tau=1, r=lambertw(-10:10,-tau)./tau;
>> plot(real(r),imag(r),'+r')
cCL ( s )= s + e − s
80
60
40
20
0
• Neutrální systém
−s
(s) e s + 1
cCL =
-20
-40
-60
-80
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
>> solve('1+exp(-tau*x)*x=0')
ans = -lambertw(0, tau)/tau
>> tau=1,
r=-lambertw(-10:10,tau)./tau;
>> plot(real(r),imag(r),'+b')
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
19
Podmínky stability jednoduchého kvazipolynomu
(Kharitonov et al., 2004, p. 40)
• Systém s charakteristickým kvazipolynomem
a ( s, e −τ s ) = s + a + be −τ s
kde a + b > 0 (pokud ne, pak není stabilní ano bez zpoždění) je
• Stabilní nezávisle na velikosti zpoždění („iod“)
právě když a ≥ b . Jinak
b
• Pokud je a > 0, b > 0 , je stabilní
π − arccos ( a b )
∀τ <
2
2
3
2
1
b −a
• Pokud je a < 0, b > 0 , je stabilní
∀τ <
Michael Šebek
arccos ( a b )
b −a
2
0
-1
-2
2
-3
-3
ARI-Pr-25-2012
-2
-1
0
1
a
2
3
20
Příklad: Destabilizující efekt zpoždění
1
τ 0=
: s1 − K
=
G (s) =
, C ( s ) Ke −τ s=
s
τ = 0+ : max {Re si } <<< 0
cCL ( s )= s + Ke −τ s
τ =↑: max {Re si } ↑ 0
4
8
x 10
τ = 0, τ = 0++ , τ = 0+
6
4
2
0
-2
-4
>> solve('x+k*exp(-tau*x)=0')
ans = lambertw(0, -k*tau)/tau
>> k=1,tau=0.5
>> r1=lambertw(-10:10,-k*tau)/tau;
>> plot(real(r),imag(r),'+r')
-6
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
40
τ c = 1.5708
30
0.5
max Re
{si }
20
0
10
-0.5
0
-1
-10
-1.5
τ =1
-20
-2
-2.5
τ = 0.5
0
τc
2
Michael Šebek
4
6
8
10
τ
-30
12
ARI-Pr-25-2012
-40
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
21
0.5
Příklad: Stabilizující efekt zpoždění
cCL ( s ) = s 2 + 9 + 1.5e −τ s
• je nestabilní pro τ = 0,
• ale stabilní pro malá
nenulová zpoždění
• Srovnej jeho odezvu
s použitím PD regulátoru
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
22
Příklad: Zpoždění jako derivační ZV
u (t ) je nestabilní.
• Soustava s rovnicí y (t ) − 0.1y (t ) + y (t ) =
• Můžeme ji stabilizovat derivační ZV s zesílením k > 0.1
u (t ) = ky (t )
• Alternativně ji můžeme stabilizovat „zpožděnou ZV“
u (t ) = y (t − τ ) − y (t )
Step Response
k =1
• Což můžeme interpretovat jako ZV
s konečnou diferencí
 y (t ) − y (t − τ ) 
u (t ) = −τ 

τ


τ = 0.2
τ = 0.5
• Aproximujícím derivaci s
k =τ
Michael Šebek
1
ARI-Pr-25-2012
2
3
4
5
6
7
8
10
9
23
Padého Aproximace
• Henri Eugene Padé - francouzský matematik (1863-1953)
• dnes znám hlavně jako autor aproximace obecné funkce
pomocí racionální funkce,
• která je často lepší než Taylorova
Padého aproximace
• pro danou funkci f a přirozená čísla m,n je
Padého aproximant řádu (m,n)
p0 + p1 x + p2 x 2 +  + pm x m
R( x) =
1 + q1 x + q2 x 2 +  + qn x n
kde
f (0) = R (0)
f ′(0) = R′(0)
f ′′(0) = R′′(0)

f ( m + n ) (0) = R ( m + n ) (0)
• součet prvních m+n+1 členů Taylorových řad f a R je stejný
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
24
Příklad: Padého aproximace
>> del=tf(1);
>> set(del,'ioDelay',5); del
exp(st)
Transfer function:
exp(-5*s) * 1
>> pade1=pade(del,1)
Transfer function:
(1,1)
-s + 0.4
-------s + 0.4
Transfer function:
(2,2)
s^2 - 1.2 s + 0.48
-----------------s^2 + 1.2 s + 0.48
(3,3)
Transfer function:
-s^3 + 2.4 s^2 - 2.4 s + 0.96
----------------------------s^3 + 2.4 s^2 + 2.4 s + 0.96
>> step(del,pade1,pade2,pade3)
>> bode(del,pade1,pade2,pade3)
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
25
Příklad na „přesný“ návrh: P regulátor
•=
pro
G (s)
K −τ s
e , C (s) K p
=
Ts + 1
je
• a pro hodnoty K= T= τ= 1, K P= 2
• CL charakteristický kvazipolynom je
T (s) =
je
KK p e −τ s
(Ts + 1) + KK p e −τ s
2e − s
T (s) =
s + 1 + 2e − s
cCL ( s ) = s + 1 + 2e − s
• Pro K P = 5
je
cCL ( s ) = s + 1 + 5e − s
>> solve('x+1+5*exp(-x)=0')
ans = -1+lambertw(-5*exp(1))
>> r=-1+lambertw(-10:10,-5*exp(1));
>> plot(real(r),imag(r),'*')
>> solve('x+1+2*exp(-x)=0')
ans = -1+lambertw(-2*exp(1))
>> r=-1+lambertw(-10:10,-2*exp(1));
>> plot(real(r),imag(r),'*')
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
26
Příklad: CL stabilita
b −τ s
e
s+a
C (s) = k
G ( s )C ( s )
T (s) =
1 + G ( s )C ( s )
kb −τ s
e
= s+a
kb −τ s
e
1+
s+a
kbe −τ s
=
s + a + kbe −τ s
G (s) =
Michael Šebek
ARI-25-2012
27
Příklad na přesný návrh s I regulátorem
• Pro
K
1
=
G (s) =
, C (s)
Ts + 1
TI s
• je
Ke −τ s
T (s) =
TI s (Ts + 1) + Ke −τ s
• a pro hodnoty K= TI= T= τ= 1
e− s
T (s) =
s ( s + 1) + e − s
1.0e+002 *
-0.09225032465054+1.00357526290690i
-0.09096327458520+0.94065517770892i
-0.08958771536361+0.87772450636321i
-0.08811056322665+0.81478112589439i
-0.08651559672926+0.75182228804814i
-0.08478236381840+0.68884436592290i
-0.08288456611943+0.62584246447846i
-0.08078758735029+0.56280979999173i
-0.07844455447831+0.49973666852271i
-0.07578973834359+0.43660864096520i
-0.07272678028205+0.37340319845989i
-0.06910590713751+0.31008293641609i
-0.06467468145853+0.24658031170133i
-0.05895295773482+0.18275807028892i
-0.05081944749196+0.11828269472765i
-0.03610143271894+0.05213342976426i
-0.00037250765679+0.00819937714011i
• CL charakteristický kvazipolynom
cCL ( s ) = s 2 + s + e − s
• má nekonečně mnoho kořenů
část kořenů nad reálnou osou
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
28
Příklad: Smithův prediktor
• P regulátor se zesílením 2
2
−s
T (s) =
e
s + 1 + 2e − s
2 −s
T (s) =
e
s+3
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
29
• P regulátor se zesílením 5
5
−s
T (s) =
e
s + 1 + 5e− s
5
5
T (s) =
5 −s
e
s+6
• po odpojení větve bez prediktoru
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
30
• I regulátor a Smithův prediktor
1
s
1
s
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
31
Příklad: Nestabilní soustava
• Smithův prediktor nefunguje pro nestabilní soustavu! Proč?
−0.5 s
b
s
e
(
)
• Ale např. G=
přesto můžeme stabilizovat
(s) =
a(s)
s −1
• Pro toto konkrétní zpoždění, „iod“ to nejde
• P-regulátor se zesílením k = 1.5 dává stabilní
cCL ( s ) = s − 1 + 1.5e −0.5 s
1.5e −0.5 s
T (s) =
s − 1 + 1.5e −0.5 s
>> Gss=ss(1/(s-1));
>> set(Gss,'ioDelay',.5)
>>
Tss=feedback(1.5*Gss,1)
>> step(Gss,Tss,9)
Michael Šebek
>> solve('x + 3/(2*exp(x/2)) - 1 = 0')
ans = 2*lambertw(0, -3/(4*exp(1/2))) + 1
>> pol=2*lambertw(-10:10,-3/(4*exp(1/2)))+1;
>> plot(real(pol),imag(pol),'+r'),grid
ARI-Pr-25-2012
32
Příklad: Přiřazení konečného počtu pólů
• Nestabilní soustava
>> solve('1+exp(-x)=0')
ans = pi*i
>> zer=(pi.*(-10:10));
>> solve('x-exp(-x)=0')
ans = lambertw(0, 1)
>> pol=lambertw(-10:10,1);
>> plot(real(zer),imag(zer),…
'ob',real(pol),imag(pol),'+r')
b( s ) 1 + e − s
G=
(s) =
a(s) s − e− s
• Char. kvazipolynom
( s − e ) p(s) + (1 + e ) q(s) =s + 1
−s
−s
• Regulátor a CL
q( s) 1
= →
p( s) 1
1 + e− s
T (s) =
s +1
• Pro simulace s pade(3,3)
e− s =
>>
>>
>>
>>
>>
120 − 60 s + 12 s − s
120 + 60 s + 12 s 2 + s 3
Michael Šebek
2
3
ARI-Pr-25-2011
del=tf(1);set(del,'ioDelay',1);
pade3=sdf(pade(del,3));
G=(1+pade3)./(s-pade3);
T=(1+pade3)./(s+1);
step(tf(G),tf(L),0:.01:8)
33
Příklady k přednášce
25 – Systémy proměnné v čase
Michael Šebek
Automatické řízení 2012
21-4-13
Příklad: Houpačka
• dětská houpačka je kyvadlo s rovnicí (standardní předpoklady):
d
(ml 2ϕ ) + mgl sin ϕ =
0
dt
l (t ) ∈ [l − , l + ], L =
½ (l − + l + )
• ale délka je zde proměnná l =
• tedy celkem (pozor při derivaci!)
d
swing.mdl
(l (t ) 2 ϕ ) + gl (t )sin ϕ =
0
dt
2lϕ g sin ϕ
ϕ +
0
+
=
l
l
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
35
Pokračování: Parametrická rezonance
• Pro teoretické zkoumání označ. ν =lϕ ,ν =lϕ + lϕ ,ν =
l ϕ + 2lϕ + lϕ
a zjednodušíme rovnici
sin ϕ ≅ ϕ
1
2lϕ g sin ϕ

ν + ( g − l )ν =
0
ϕ +
+
=
0
l
l
l
= ω x
x′ dx dt
• Dosadíme l (t ) ≅ L(1 + ε cos ωt ) , označíme t ≅ ωt →=
2
2
′′

=
≅
ω
δ
ω
x
x
,
g
(
L
)
δ + ε cos t
a dostaneme
ν ′′ +
ν=
0
1 + ε cos t
2
2
cos
t
(1
)
cos
t
δ
+
ε
−
δ
ε
• Použijeme aproximaci 1. řádu
= δ + (1 − δ )ε cos t +
1 + ε cos t
1 + ε cos t
v ε a dostaneme tzv.
• Mathieuovu rovnici
swingMat.mdl
ν ′′ + (δ + ε (1 − δ ) cos t )ν =
0
• Ta má neomezené řešení
pokud ε = 0.1, δ = ¼ → ω = 2 g L = 2x přirozená frekvence kyvadla
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
36
Stabilita LTV
• Pro lineární systém proměnný v čase
=
x A(t ) x + B(t )u ,
x(t0 )
t ≥ t0
=
y C(t )x + D(t )u
• Je řešení je dáno stavovou maticí přechodu
s počáteční hodnotou
x(t ) = Φ(t , t )x(t )
0
0
Φ(t0 , t0 ) = I
• Definice stability je podobná jako u LTI, přesněji
• ekvilibrium v počátku je globálně stejnoměrně asymptoticky
stabilní právě když
− γ ( t −t )
Φ(t , t0 ) ≤ ke
0
, ∀t ≥ t0 ≥ 0
• Stabilitu ale nelze charakterizovat vlastními čísly matice A
ani v případě, že jsou tato čísla konstantní !
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
37
Příklad: Stabilita LTV systému
• LTV systém 2. řádu s A (ostatní matice jsou nulové)
 −1 + 1.5cos 2 t
1 − 1.5sin t cos t 
A(t ) = 

2
 −1 − 1.5sin t cos t −1 + 1.5sin t 
• má vlastní čísla nezávislá na t a ležící v levé polorovině
» syms t s
» A=[-1+1.5*cos(t)^2,1-1.5*sin(t)*cos(t);-11.5*sin(t)*cos(t),-1+1.5*sin(t)^2]
A =
[
-1+3/2*cos(t)^2, 1-3/2*sin(t)*cos(t)]
[ -1-3/2*sin(t)*cos(t),
-1+3/2*sin(t)^2]
» eig(A)
ans =
[ -1/4+1/4*i*7^(1/2)]
[ -1/4-1/4*i*7^(1/2)]
• Tedy by se zdálo, že je systém stabilní?
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
38
Příklad: Stabilita LTV systému
• Přitom ale je
neboť
 e0.5t cos t e − t sin t 
Φ(t , 0) =  0.5t

−t
e
t
e
t
sin
cos
−


» PHI=[exp(t/2)*cos(t),exp(-t)*sin(t);-exp(t/2)*sin(t),exp(-t)*cos(t)]
PHI =[ exp(1/2*t)*cos(t),
[ -exp(1/2*t)*sin(t),
exp(-t)*sin(t)]
exp(-t)*cos(t)]
» [simplify(A*PHI(:,1)-diff(PHI(:,1),t)),
simplify(A*PHI(:,2)-diff(PHI(:,2),t))]
ans = [ 0, 0]
[ 0, 0]
x(t ) = Φ(t , 0)x(0)
• Jelikož
• Tak zřejmě pp. libovolně blízko počátku, pro které řešení uteče
do nekonečna - systém je tedy nestabilní
• Pro časově proměnné systémy vlastní čísla nefungují!
Michael Šebek
ARI-Pr-25-2012
39

Příklady

Transkript

Podobné dokumenty

Simulace systemu

referenční list PDF ke stažení

Hypertextová podpora výuky v oblasti automatického řízení

Text práce ve formátu PDF

Základní pravidla MATLABu

diplomová práce

Ceník komponentů Intrusion - TZ