5 MB - Transformační technologie

Sborník článků z on-line pokračujícího zdroje
┌TRANSFORMAČNÍ┐
└ TECHNOLOGIE ┘
na téma
Vybrané statě z technických nauk
Datum:
Jméno:
2016-08-02
ISSN 1804-8293
www.transformacni-technologie.cz
Tento sborník obsahuje články z on-line pokračujícího zdroje Transformační
technologie. Aktuální verzi článků naleznete na adrese http://www.transformacnitechnologie.cz nebo na adresách uvedených na konci každého článku.
Licence
Články jsou původní. Veškerý převzatý obsah je řádně citován. Obsah
těchto stránek můžete svobodně sdílet, kopírovat, prezentovat a upravovat za těchto
podmínek:
1. Uznání autorství. Musíte uvést autora práce a další identifikační údaje zdroje (online adresa, název, rok zveřejnění, v obrázcích ponechat viditelný copyright autora*).
2. Zachování autorství. Při prezentacích (např. během výuky, školení atd.) nesmí být
záměrně zatajován původní autor a z doprovodného komentáře prezentace nesmí
vyplývat jiný autor než ten, který je uveden jako skutečný autor či spoluautor obsahu.
3. Zachování původního autorství a licence. V případě úpravy obsahu stránek
(obrázky, text a další objekty) musíte uvést původního autora a doplnit popisek nebo
jinak graficky znázornit změny v obsahu (v obrázcích nelze odstraňovat copyright
původního autora*). I upravený obsah musí být dále šířen za stejných podmínek, jaké
jsou zde uvedeny.
4. Nevyužívejte dílo komerčně. Pro komerční využití obsahu nebo jiné využití, než je
uvedeno v této licenci, mě kontaktujte.
*Poznámka ke copyrightu
Jestliže chcete použít obrázek ve vyšší kvalitě a bez copyrightu, tak mi napište a určitě se
domluvíme. Mohu případně poskytnout i zdrojový soubor ve vektorové grafice, který
lze použít k další úpravě.
Obsah
42. TECHNICKÁ MATEMATIKA
— 1 — Pár vět z algebry — 2 — Jak lze počítáním objevit nová čísla — 3 — Imaginární
a komplexní čísla — 4 — Zaokrouhlování čísel — 4 — Rychlé a přibližné výpočty — 4 —
Jak rychle sčítat a odčítat bez kalkulačky — 5 — Jak rychle násobit a dělit bez kalkulačky
— 6 — O logaritmech — 7 — Násobení a dělení pomocí logaritmické stupnice — 9 —
Přibližné výpočty mocnin — 9 — Dosazovaní do vzorců — 10 — Iterační výpočet vzorce
— 11 — Od vzorců k funkcím — 11 — Grafické vyjádření funkcí aneb analytická
geometrie v rovině — 11 — Výpočty vzorců pomocí nomogramů — 13 — Spojnicové
nomogramy — 15 — Vytvoření rovnice ze vzorců a jejich řešení — 16 — Úpravy rovnic
— 17 — Substituce v rovnicích — 17 — A jak je to s úpravou nerovnic? — 17 —
Soustavy rovnic — 18 — Řešení rovnic n-stupně — 19 — Řešení jiných typů rovnic
— 20 — Drobná rada na závěr k rovnicím — 20 — Matematické stroje neboli počítače
— 22 — Výpočtové metody matematického softwaru — 25 — Goniometrie — 26 —
Výpočet a přepočet goniometrických funkcí — 26 — Přibližné goniometrické výpočty
— 27 — Cyklometrické funkce — 27 — Stupně nebo radiány? — 28 — Analytická
geometrie v prostoru — 29 — Transformace pravoúhlých souřadnic do válcových
souřadnic — 30 — Parciální derivace — 31 — Parciální derivace ve válcové soustavě
souřadnic — 32 — Totální diferenciál — 33 — Aplikace vektorového počtu v mechanice
kontinua — 34 — Gradient skalárního pole — 34 — Totální diferenciál podruhé aneb
přírůstek funkce — 35 — Potenciální (konzervativní) vektorové pole — 36 — Rotace
vektoru, vírový a nevírový pohyb — 38 — Potenciál rychlosti a proudová funkce — 39 —
Divergence vektoru — 40 — Aproximace v logaritmické soustavě souřadnic — 41 —
Odkazy
43. TECHNICKÁ TERMOMECHANIKA
— Technická termodynamika — Čtyři zákony termodynamiky — Teplota, práce, energie
a teplo — Vztahy mezi různými druhy energií — Tepelný oběh a jeho realizace
— Carnotův oběh — Energetická bilance průtočných strojů — Účinnost transformace
energie a entropie — Proudění — Termodynamické vlastnosti látek — Konstrukce T-s
a i-s diagramů ideálních plynů — Konstrukce T-s a i-s diagramů reálných plynů
— Odkazy
46. PŘENOS ENERGIE ELEKTROMAGNETICKÝM ZÁŘENÍM
— Vlnová teorie elektromagnetického záření — Světlo jako elektromagnetické záření
— Kvantová teorie elektromagnetického záření — Tepelné záření, tepelná emise, sálání
— Bilance dopadajícího elektromagnetického záření — Odkazy
47. JADERNÁ ENERGIE A IONIZUJÍCÍ ZÁŘENÍ
— Složení atomového jádra a základní pojmy — Vazebná energie — Štěpení jader atomů
— Jaderná syntéza — Radioaktivita a vliv ionizujícího záření — Ionizující záření
— Radioaktivita — Účinky ionizujícího záření — Biologické účinky ionizujícího záření
— Odkazy
PŘÍLOHY
REJSTŘÍK
SEZNAM ČLÁNKŮ
—1—
42. Technická matematika
Autor: Jiří Škorpík, [email protected] : aktualizováno 2016-08-02
Použitím názvu Technická matematika nechci matematiku rozdělovat na
technickou a netechnickou, ale pouze chci vyjádřit způsob a hloubku výkladu
matematiky jaký je pro techniky běžný. V užším smyslu lze za technickou matematiku
považovat frekventované matematické postupy v daném technickém oboru. Jejím
hlavním znakem bývá, že úlohy v prostoru mají tři rozměry a při nestacionárních
úlohách je čtvrtým rozměrem čas.
Pro techniky je také typické, že hledají pomocí matematiky prakticky použitelný
výsledek. A co je ten prakticky použitelný výsledek? Samotná matematika dokáže pouze
převádět zadání do jiné podoby. Například výsledek řešení rovnice 3x+1=7, což je x=2,
vlastně neobsahuje žádnou informaci navíc. Na počátku byla rovnice o jedné neznámé
a na konci opět rovnice o jedné neznámé akorát je v použitelnější podobě [17, s. 21],
[24, s. 42]. V širších souvislostech na technikovi není pouze nalézt použitelný výsledek,
ale často i samotné zadání, protože to prakticky nikdy nedostane úplné. Úplné zadání si
musí vytvořit sám, pomocí svých zkušeností založené na využití podobnosti, znalostí
a přemýšlení bez kterého to opravdu nejde.
V technické matematice často také nejde o dokonale přesné výsledky, ale postačují
alespoň výsledky přibližné, které umožňují realizaci konkrétního díla a přibližnou
predikci jeho vlastností.
Jako učebnice matematiky, které obsahují i úlohy z technické praxe, doporučuji
knihy Matematika pro dělníky a mistry [13] a Přehled technické matematiky [8] a pro
ucelený přehled matematiky knihu Přehled užité matematiky [1].
Tento článek sice předpokládá, že čtenář má za sebou základní matematický dril
z aritmetiky a algebry tj. v rozsahu základní školy například v rozsahu úvodních kapitol
knihy Matematika pro dělníky a mistry [13, s. 9...144], přesto začnu drobným
připomenutím:
Pár vět z algebry
Algebra je o zápisu početních operacích a jejich úpravách. Charakteristické pro ni
je, že čísla nahrazuje písmeny nebo jinými symboly a tím zdůrazňuje, že uvedený
způsob matematického výkonu platí pro jakékoliv číslo, které je dosazeno za uvedená
písmena. Například pro algebraické výrazy se závorkami platí:
1.id982 Matematické výkony se závorkami.
Mnohočlen v závorce je roven nějakému konkrétnímu
číslu, takže se závorkou jako celkem se pracuje jako
s jedním číslem tj. může se sním násobit, dělit sčítat
i odčítat.
42.
—2—
Zlomek jako celek, podobně jako závorka, se také chová jako jeden člen:
2.id826 Matematické výkony se zlomky.
Nakonec několik základních matematických výkonů s mocninami a odmocninami:
3.id986 Matematické výkony s mocninami a odmocninami.
Šipka ve druhém sloupci říká „takže platí“. Druhé pravidlo ve třetím sloupci znamená, že nejdříve se umocňuje
a potom odmocňuje.
Jak lze počítáním objevit nová čísla
Pouze pomocí znalostí toho co jednotlivá čísla vyjadřují lze správně interpretovat
výsledky. Základním stavebním kamenem čísel jsou přirozená čísla jako 1, 2, 3, 4...,
které mají přímou souvislost s fyzickým světem při označovaní množství (tři jablka,
sedm dnů...). Až používáním matematických operacích (sčítání, odčítání, násobení,
dělení) s přirozenými čísly byla objevena čísla další, nejprve jako mezivýsledky a
později našla uplatnění i jako konečné výsledky.
Přímou souvislost s fyzickým světem mají i čísla racionální. Jedná se o čísla
vzniklá podílem dvou přirozených čísel (například polovina jablka 1/2=0,5). Výsledkem
operace dělení nemusí a často ani nebývá celé číslo jakými jsou čísla přirozená, ale číslo
desetinné, přičemž před i za desetinou čárkou může být libovolný počet čísel.
Na první pohled se zdá, že jakékoliv přirozené číslo lze dělit nekonečným počtem
jiných přirozených čísel, a tak by bylo možné vyjádřit jakékoliv desetinné číslo, leč není
tomu tak. Lze celkem jednoduše dokázat, že například číslo √2= 2,4142... nelze vyjádřit
podílem dvou přirozených čísel (krásné důkazy, že toto číslo nelze vyjádřit jako zlomek
přirozených čísel jsou uvedeny v [21, s. 31] a [20, s. 113]). Čísla, která nelze takovým
podílem vyjádřit se nazývají iracionální čísla.
Při odčítání předešlých typů čísel byla objevena čísla záporná (nejprve používaná
pouze jako mezivýsledky) například 2-4=-2.
42.
—3—
Poznámka
Víte proč platí (-3)·(-3)=9 a ne (-3)·(-3)=-9? Násobením dvou záporných čísel vyjde
číslo kladné, to je jedno z pravidel aritmetiky. Kdyby tomu tak nebylo a pravidlo by
znělo například tak, že násobením dvou záporných čísel vyjde číslo záporné musela by
být aritmetická pravidla zvlášť pro kladná a záporná čísla [23, s. 45].
Představené typy čísel jsou souhrnně nazývána jako čísla reálná a hranice mezi
kladnými a zápornými čísly je nula – při počítání má význam jako nic, prázdno apod. a
není to reálné číslo. Reálná čísla a nulu lze znázornit i graficky pomocí osy, kde jsou
seřazena čísla podle velikosti, přičemž vzdálenost mezi nimi je dána vzdáleností mezi
jednotlivými přirozenými čísly, které jsou stejné:
4.id1065 Osa reálných čísel.
Množství vyznačených stupnic mezi dvěma přirozenými čísly označující dekadická racionální čísla 1/10,
1/100... (zde vyznačena pouze 1/10) je dána pouze rozlišením tj. vzdáleností přirozených čísel. Iracionální a
některá racionální čísla nelze na ose reálných čísel nikdy přesně zakreslit (mohou mít nekonečně mnoho
desetinných míst), pouze lze jejich polohu zpřesňovat vyčíslením jejich velikosti na co nejvíce desetinných míst.
Šipka na pravé straně označuje směr růstu kladných čísel.
Imaginární a komplexní čísla
Některé matematické operace v technické praxi mohou končit výsledkem ve tvaru
a±√c (kde a je jakékoliv reálné číslo nebo nula a c je záporné reálné číslo c<0 např. -2).
Protože druhá odmocnina ze záporného čísla je neurčitý výraz, tak tento výsledek už
nelze dále zjednodušit a jedná se tedy o tzv. složené číslo navíc lze dokázat, že číslo √c
nemůže být na reálné ose čísel, protože není reálné. Druhá odmocnina je považována
v aritmetice za obrácenou operaci k operaci druhé mocniny, jenže druhá mocnina
z jakéhokoliv reálného čísla (kladného či záporného) je vždy číslo kladné, takže výraz √c
nelze považovat za reálné číslo [23, s. 192], jedná se o nový druh čísel, které nemají
spojitost s fyzickým světem a nazývají se imaginární čísla.
Matematický dvojčlen a±√c se označuje jako komplexní číslo (kombinace
reálného a imaginárního čísla) a zapisuje se obvykle ve tvaru a±i·b, kde ±√(c)=±i·b, b je
reálné kladné číslo a √(-1)=i je tzv. imaginární jednotka*. S komplexním číslem se
pracuje jako s matematickým dvojčlenem akorát dělení je trochu složitější [1, s. 9] a je
potřeba si dát pozor na i součin i·i, který nemůže být roven 1, protože to už je reálné
číslo.
Výsledky ve tvaru komplexních čísel se poprvé začaly objevovat při řešení
kvadratických rovnic a později i jako řešení diferenciálních rovnic. Takový výsledek se
dá interpretovat více způsoby (pokud se nejedná o mezivýsledek, se kterým se dále
pracuje). Vždy záleží na spojitosti s výpočtem respektive co je vlastně počítáno.
Mimo zmíněná čísla existují ještě čísla nazývaná kvaterniony a oktoniony [9], ale
ty se v běžné technické praxi už nevyskytují.
42.
—4—
*Poznámka
Pojem imaginární jednotka respektive znak i pro √(-1) zavedl Leonhard Euler (17071783) [21, s. 138]. Mimo imaginárního číslo je neurčitý výraz i výsledek dělení nulou.
Proto v aritmetice je dělení nulou zakázáno. Někdy se uvádí při dělení nulou jako
výsledek nekonečno (znak ∞), ale to jen ve speciálních případech, protože obrácená
operace dělení je násobení a při násobení nekonečna nulou je výsledek opět nula a ne
původní dělenec, více v [23, s. 93].
Zaokrouhlování čísel
V současné době díky počítačům není problém pracovat s čísly, které mají velký
počet desetinných míst. Taková čísla jsou matematicky sice velmi přesná, ale technicky
nepotřebná zvláště pro přibližné a rychlé výpočty je lepší taková čísla zaokrouhlovat
(zkracovaní čísla). Základní matematická pravidla zaokrouhlování jsou tři , která se dají
shrnout do těchto tří příkladů: 4,335≐4,34≐4,3, ale pokud se jedná o desetinné číslo
končící číslicí 5 s následujícími nulami zaokrouhluje se obvykle na nejbližší sudé číslo:
4,38500≐4,38, 4,37500≐4,38 [8, s. 32].
Pro rychlé přibližné výpočty se čísla zaokrouhlují obvykle pouze na dvouciferné
desetinné místo například: 4335≐4,3·103 , 0,004335≐4,3·10-3 .
Zaokrouhlováním se dopouštíme jisté chyby. O teorii chyb bylo napsáno spousta
knih, ale pro přibližné výpočty v technické praxi lze doporučit jedno "lidové" pravidlo
a to zaokrouhlovat na stranu bezpečnou. To znamená, že počítáme-li přibližně nosnost
nějaké konstrukce tak zaokrouhlujeme čísla dolů. Konečný výsledek sice bude nepřesný,
ale s vědomím, že skutečná nosnost bude vyšší a ne nižší. Naopak budeme-li počítat
velikost zatěžující síly, tak zaokrouhlováním vždy nahoru bude výsledek nepřesný, ale
s vědomím, že skutečná zatěžující síla bude menší apod.
Rychlé a přibližné výpočty
Rychlé přibližné výpočty se dělají obvykle bez elektroniky. Například pomocí
počítání z paměti, pomocí tužky a papíru nebo pomocí předem připravených jiných
výpočetních pomůcek. Především kontrolní výpočty je dobré provádět jiným nástrojem
než byl proveden kontrolovaný výpočet, kvůli tzv. "autorské slepotě" a opakovaným
překlepům s tím, že postačuje zkontrolovat jestli se přibližný výsledek blíží přesnému
výpočtu. Rychlé výpočty technici ocení také při práci v terénu pro získání rychlé
orientace v problému.
Jak rychle sčítat a odčítat bez kalkulačky
Tzv. sčítání, odčítání pod sebou souvisí se zavedením pozičního systému zápisu
arabských čísel [9], [10], který se do západní Evropy dostal pomocí spisů perského
učence Muhamad ibn Músa al-Chwárizmí (780-850) [9], [10]. V takovém případě
stačí napsat čísla pod sebe a jednotlivé řády k sobě přičítat respektive odčítat:
42.
—5—
5.id921 Princip sčítaní a odčítání dvou čísel pod
sebou.
Při odčítání většího čísla od menšího je praktičtější
jejich pozice přehodit a rozdíl doplnit znaménkem -.
Uvedené matematické operace jsou přesné, nicméně v kanceláři jsou rychlejší
pomůcky pro výpočet a mimo kancelář obvykle nebo pro kontrolu stačí přibližné
výpočty pomocí zaokrouhlování čísel na dva první řády, aby počítání bylo snažší.
Například součet 4346+6328 lze zaokrouhlit na 4300+6300=10600.
Rychlé zaokrouhlené sčítání a odčítání lze provádět pomocí analogových pomůcek
jako je posuvné pravítko pro sčítání a odčítání. Posuvné pravítko je složeno ze dvou
identických posuvných lišt s číselnou osou, kde jednotlivé stupnice musí být od sebe
stejně vzdálené (vlastně se jedná o dvě osy reálných čísel). Takové pravítko lze vytvořit
například ze dvou stejných pravítek pro rýsování. Vzhledem k omezení viditelnosti
stupnice by pravítko o délce 20 centimetrů se stupnicí po 0,5 mm bylo schopno přičítat
nebo odečítat čísla od 1 do 10 s přesností na 0,05 a pod.
Takové pravítko, zvyšuje přesnost oproti přibližnému výpočtu "z hlavy" málo
a nemá praktický smysl ho používat. Ale existuje případ, kdy ho lze vytisknout na papír
a nosit třeba jako součást osobních tabulek. Pomocí vytisknutého posuvného pravítka
v jedné poloze lze velmi rychle přičítat nebo odečítat často používané konstanty.
Například k naměřené teplotě ve stupních Celsia se musí přičíst teplota absolutní nuly
(273,15 °C), pro získání teploty absolutní:
6.id1066 Příklad pravítka pro součet/rozdíl stále stejného čísla.
Na tomto obrázku je příklad pravítka pro převod jednotek teploty ve °C na absolutní teplotu v Kelvinech. Na
obrázku je vyznačen případ, kdy teploměr ukazuje 156 °C, pomocí narýsovaného pravítka velmi rychle
vypočítáme, že tato teplota odpovídá 429,15 K.
Další podobný případ je práce s absolutním tlakem, kdy k odečtenému tlaku
z manometru se musí přičíst tlak atmosférický (101,325 kPa), pro získání tlaku
absolutního apod. Pravítka pro převod jednotek teploty a tlaku jsou uvedeny
v Tabulce 42.1047 a Tabulce 42.1046.
Jak rychle násobit a dělit bez kalkulačky
Operace násobení a dělení jsou obtížnější, co se týká výpočtů z hlavy. Podobně
jako pro sčítání a odčítání tak i pro násobení a dělení lze provádět metodou "počítáním
pod sebe". Při násobení se násobená čísla napíši pod sebe podle řádů jako u sčítání
a postupně se vzájemně násobí jednotlivé řády činitelů, tyto násobky se na konci sečtou.
Při dělení se hledají násobky dělitele, který se postupně odečítá od dělence:
42.
—6—
7.id1064 Princip násobení a dělení dvou čísel metodou "zapisování pod sebe".
Násobení i dělení jsou stále složité i po uplatnění zaokrouhlování na dvouciferné
členy např. 4400·6300 a špatné zaokrouhlování může mít na výsledek velký vliv např.
1400:20 – provnejte s výše uvedenými příklady. Naštěstí novověcí matematici nám dali
do ruky ještě mocnější nástroj pro rychlé násobení a dělení, tyto nástroje vycházejí
z vlastností logaritmů.
O logaritmech
Logaritmy jsou založeny na faktu, že každé kladné reálné číslo y lze vyjádřit
umocňováním ve tvaru y=nx (záporná reálná čísla lze vyjádřit umocňováním pomocí
algebry komplexních čísel). Logaritmus čísla je tak definován jako logn nx =x·1, kde n je
základ umocňování respektive logaritmu a logn n=1. Alegebra logaritmů je shrnuta
v [1, s. 14]
Nejčastěji se používají tzv. dekadické logaritmy, což je logaritmus o základu 10,
a proto se zkráceně označují pouze log. Přirozený logaritmus se označuje ln (dříve lg),
ten je o základu e=2,71828... (tzv. Eulerovo číslo, které souvisí s nekonečnými řadami).
V počtu pravděpodobnosti a informatice se také používá logaritmus o základu 2 tj. log2 ,
který už speciální označení nemá. Logaritmy o různých základech lze převádět mezi
sebou pomocí vztahu logn x=(ln x)/(ln n). Log 0 je v matematice neurčitý výraz a pokud
to lze definuje se jako 0·log 0=0 [17, s. 16].
Z historie logaritmů
Na přelomu 16. a 17. století bylo matematické zkoumání algebry a matematické
aritmetiky velmi oblíbené [10, s 87] a tak využití logaritmů pro snadnější násobení a
dělení si postupně všimlo více matematiků současně [11]. Jako první o objevených
vlastnostech logaritmů při sčítání a odčítání publikoval skotský zeman John Neper
někdy psán jako Napier (1550-1610). Při odkrývání těchto vlastností logaritmů
postupoval systematicky a tak zemřel dříve než mohl publikovat konečnou myšlenku
pomocí dekadických logaritmů (stačil publikovat pouze logaritmy přirozené – proto se
někdy označují jako Neperovy), to za něj učinil až jeho společník Henry Briggs (15611630).
42.
—7—
8.id1071 Porovnání lineární a logaritmické stupnice kladných reálných čísel.
Horní osa je osa přirozených čísel od 1 do 10 o délce η=17 cm, takže jeden stupeň na stupnici je
1=85/100 mm, dolní osa je logaritmická stupnice od od 1 do 10 o délce ξ=17 cm. V logaritmické stupnici se
interval mezi krokem 0,1 zkracuje, přičemž lze jednoduše dokázat, že vzdálenost mezi jednotlivými řády je
stejná* např. úsek 1-10 je stejně dlouhý jako 10-100 atd. Jednotlivé vzdálenosti mezi stupni logaritmické
stupnice v mm se vypočítají jako poměr konkrétní logaritmické hodnoty ku logaritmické hodnotě celé stupnice.
Takže log y musí být ekvivalentní vzdálenosti ξ(log y - log min)/(log max - log min), v tomto případě
log min =log 1=0, log max=log 10=1.
*Poznámka
To je dáno tím, že podíl mezi řády jsou stejné 10/1=100/10=1000/100.... Tato vlastnost
podílů mimo jiné byla impulsem k vytvoření logaritmického počtu [24, s. 245].
Z vlastností logaritmů [1, s. 14] lze součin čísel a a b převést na součet dvou
logaritmů A a B: a·b=c→log 10A+log 10B=log 10C→A+B=C a obdobně pro podíl dvou
čísel a·b-1 =c→log 10A+log 10-B=log 10C→A-B=C.
Pro řešení logaritmů respektive pro násobení a dělení je nutné znát hodnoty
logaritmů. Ty se dříve tabelizovaly* a první tabulky dekadických logaritmů publikoval
Briggs. Nicméně logaritmické tabulky jsou další z archaických vybavení technika, ale lze
je nalézt v knihovnách např. [12].
Tabulky logaritmů se udávaly na pět i více desetinných míst, používaly se až pro
přesnější výpočty, protože hledání v tabulkách bylo zdlouhavé. Pro rychlé přibližné
výpočty se používalo logaritmické pravítko vynalezené anglikánským duchovním
a matematikem Williamem Oughtredem (1575-1660).
*Tabulky logaritmů
V té době vyčíslení logaritmů představoval pracný ruční výpočet přirozeného logaritmu a
převodu na dekadický logaritmus. Současné matematické softwary a kalkulačky tyto
tabulky obsahují nebo si je počítají v reálné čase numerickým způsobem na
požadovanou přesnost pomocí Taylorových řad [17, s. 182] viz. dále.
Násobení a dělení pomocí logaritmické stupnice
Mezi nástroje s logaritmickou stupnicí patří i logaritmické pravítko. Logaritmické
pravítko funguje stejně jako posuvné pravítko pro sčítání a odčítaní s tím rozdílem, že
obě stupnice odpovídají logaritmům čísel. Takže při násobení čísla 4,4 a 6,3 stačí sečíst
logaritmy těchto čísel na dvou zrcadlově otočených pravítkách s logaritmickou stupnicí.
Při dělení se logaritmy odčítají:
42.
—8—
9.id1073 Příklad násobení pomocí logaritmického pravítka.
Zde je zobrazen případ přibližného součinu čísel 4346 a 6328, pomocí dvou pravítek se stupnicemi od 0 do
20 rozdělených po log 0,1. Přibližný součin je proveden tak, že činitelé se zaokrouhlí na 4400 a 6300, potom
4400·6300=4,4·6,3·10 6 respektive log 4,4+log 6,3=log 27,8+log 10 6. Podle pravítka je výsledek
27,8·10 6, oproti přesnému výsledku je rozdíl 498 512, což odpovídá chybě 1,8%.
Nicméně logaritmické pravítko je také už archaická pomůcka, ale opět je užitečné si
vytisknout logaritmické pravítko, které bude násobit stále stejnou hodnotu (vzájemný
posun stupnic bude stálý). Například se hodí při převodu jednotek nebo pro násobky či
podíly Ludolfova čísla π=3,14159... apod.
10.id1074 Příklad logaritmického pravítka pro násobení nebo dělení konstantou.
Příklad logaritmického pravítka pro součiny čísla π. Na pravítku je vyznačen příklad součinu čísla π a čísla
324 představující průměr kruhu, takže výsledkem bude obvod tohoto kruhu. Ten podle pravítka činí asi 1010
(x=2), což představuje chybu od přesnějšího výsledku (1017,88) asi 0,77%.
Pro konstrukci logaritmických stupnic o velikosti 10x až 10x+1 s přesností 0,1·10x
můžete použít tabulku logaritmů čísel 1 až 100 uvedené v Tabulce 42.942.
Vyšší přesností výpočtu, pomocí zobrazeného logaritmického pravítka, lze provést
rozkladem činitele 324 na 324=3·102 +2·102 +4, takže předchozí příklad by se počítal:
π·324=π(3·102 +2·102 +4) odtud řešení 9,42·102 + 6,28·101 + 10,6 = 1015,4. Chyba je
v tomto případě přibližně 0,24%. Tento postup (více o něm v [13]) je sice přesnější, ale
už postrádá rychlost a jednoduchost.
Příklady logaritmických pravítek násobící stále stejnou hodnotu jako logaritmické
pravítko pro výpočet plochy kruhu, převody jednotek délky, hmotnosti, energie
a výkonu jsou uvedeny v Tabulce 42.1021, 42.1023, 42.1026, 42.1034
a Tabulce 42.1045.
42.
—9—
Přibližné výpočty mocnin
V tomto případě lze také využít vlastností logaritmů a mocninu ab =c zapsat i ve
tvaru b·log a=log c [1, s. 14]. K přibližnému řešení mocnin lze opět použít malou
tabulku logaritmů čísel 1 až 100 uvedené v Tabulce 42.942.
Pří přibližném výpočtu mocniny 14468,563 se nejprve zaokrouhlí jednotlivé členy,
tak aby šla použít tabulka logaritmů čísel 1 až 100, 14468,563 ≐14,53 ·109 . Nyní
postačuje vyřešit mocninu 14,53 . Pomocí logaritmů, je hledané řešení ve tvaru
3·log 14,5=log c. log 14,5 je podle tabulky přibližně 1,16, takže lze psát 3,48≐log c.
Z velikosti levé strany rovnice je evidentní, že c je větší jak tisíc a musí být menší než
deset tisíc, protože log 100 =0, log 101 =1, log 102 =2, log 103 =3.... Odtud lze c vyjádřit
i jako c=x·102 , takže 3,48≐log c=log x+2, kde 1,48=log x odtud z tabulek log x≐30,5,
c≐30,5·102 a 14468,563 ≐30,5·1011 , přičemž podle kalkulačky 14468,563 ≐30,29·1011 .
Dosazovaní do vzorců
Za vzorec považujeme algebraický zápis výpočtu různých veličin. Vzorce naleznete
v příručkách, učebnicích a dalších dokumentech zabývající se výpočtem konkrétních
veličin. Výhodou vzorce je, že stačí do něj dosadit potřebná čísla a máme hledanou
veličinu.
Při dosazování do vzorce je nutné mít na paměti, že matematickou operaci lze
provádět pouze mezi dvěma čísly. To znamená, že výpočet vzorce se skládá z několika
elementárních kroků (matematická operace mezi dvěmi čísly) jejichž výsledkem je jedno
nové číslo a tak se postupně lze dopracovat k výsledku. Například vzorec pro výpočet
rychlosti obvodu kola u=π·d·n už obsahuje násobení tří čísel. Obvodová rychlost je zde
označena písmenem u [m·s-1 ], d [m] je průměr kola a n [s-1 ] jsou otáčky. V tomto
případě podle pravidel algebry pro násobení [25, s. 78] je jedno v jakém pořadí se budou
jednotlivá čísla násobit tzv. komutativní zákon pro násobení. Nejpřehlednější je násobit
čísla v pořadí zápisu ve vzorci tj. nejprve vynásobit π a průměr a mezivýsledek
vynásobit otáčkami. Existují ale i složitější vzorce například:
11.id961 Jaký bude postup při dosazování do
tohoto vzorce?
Symboly a, b, c, d, f, g, h zastupují dosazovaná čísla,
jejich hodnoty známe.
Při dosazování lze postupovat různě, podle toho zda se počítá ručně, pomocí
kalkulačky nebo nějakého složitějšího počítacího stroje, který umožňuje zápis vzorce
přímo v algebraickém tvaru doplněný o hodnoty přiřazených jednotlivým písmenům.
Při dosazováním se první dvojice čísel pro výpočet obvykle stanoví zpětně tj. co
bude poslední operace celého výpočtu, pak předposlední až první. V případě dosazení
do Vzorce 11 bude poslední operací sečtení výsledků prvního zlomku se zlomkem
druhým. Při sčítání/odčítání se postupuje zleva doprava takže se stanoví hodnota
prvního zlomku atd.
42.
— 10 —
Při výpočtu zlomků se postupuje od čitatele ke jmenovateli. Při operacích se
závorkami se nejprve musí stanovit hodnoty uvnitř závorek.
Důležité je do vzorců dosazovat jednotlivé veličiny v požadovaných jednotkách což
je u vzorečků napsáno (jak je to u výše uvedeného vzorce pro výpočet obvodové
rychlosti), nejčastěji se dosazuje v tzv. základních jednotách IS [26].
Existují ale vzorce, ve kterých počítaná veličina není vyjádřená přímo například:
12.id824 Jaký bude postup při dosazování do
tohoto vzorce?
Symboly r, ε zastupují dosazovaná čísla, jejich
hodnoty známe. λ veličina, kterou máme vypočítat.
Problém poslední rovnice je v tom, že λ se vyskytuje jak na levé tak na pravé
straně vzorce. V takových případech se aplikuje iterační neboli numerický postup
výpočtu:
Iterační výpočet vzorce
Iterační metody výpočtu se používá pro řešení rovnic* či nerovnic v nepřímém
tvaru. Výpočet probíhá v několika krocích, které se opakují (počítání ve smyčce)
a obsahují podmínku (obvykle přesnost výsledku, počet cyklů aj.), která definuje
kolikrát se tyto kroky budou opakovat.
Iterační výpočet vzorce spočívá v tom, že se postupně zadávají vhodně vybrané
hodnoty (odhady) počítané veličiny (v případě Rovnice 12 je to λ) a sleduje výsledky na
levé a pravé straně rovnice – čím bližší si budou tím více se výpočet přiblížil ke skutečné
hodnotě λ. Metoda výběru dosazovaných hodnot záleží na metodě iteračního výpočtu.
V technické praxi je nejrozšířenější iterační metoda Monte carlo** nebo Newtonova
iterační metoda [1, s. 612], která už předpokládá znalost diferenciálního počtu.
*Vzorce, rovnice a nerovnice
Pro vzorec lze současně použít i název rovnice pokud levá strana vzorce se rovná pravé.
Existují ale i vzorce, kde místo rovnosti obou stran musí platit nerovnost, takové vzorce
jsou nerovnicemi, například pokud vzorec doporučuje aby tloušťka stolu byla větší než
bude výsledek výpočtu t>2·m, kde t [mm] je tloušťka stolu a m [kg] je hmotnost závaží.
**Monte Carlo
Jedná se o "náhodné" testování různých řešení (v případě Rovnice 12 hodnot λ). Pokud
rovnice má nějaké řešení, tak touto metodou máte možnost jej nalézt, ale s omezenou
přesností. Úspěch tohoto výpočtu podstatně závisí na prvním odhadu (číslo, o kterém se
předpokládá, že leží blízko řešení). Následně se porovná výsledek práve a levé strany
rovnice a podle jejich rozdílu odhaduje nová hodnota veličiny λ. Obvykle platí, že
jestliže se rozdíl výsledku levé a pravé strany rovnice vzdalují při zvyšování odhadu λ,
tak by správná hodnota λ měla být menší než odhad a obráceně (i když to nemusí platit
vždy záleží na typu rovnice a intervalu čísel, kde předpokládáme řešení). Hledat tímto
způsobem řešení ručeně je časově náročené, přesto díky matematickým strojům neboli
výpočetní technice velmi oblíbené viz. další kapitoly.
42.
— 11 —
Od vzorců k funkcím
Vzorce máme proto, že pro každý jednotlivý případ může být hodnota počítané
veličiny jiná se změnou zadávaných hodnot. To znamená, že počítaná veličina je závislá
neboli je funkcí jiných veličin, které se mohou měnit. Takže když se řekne, že nějaká
veličina je funkcí jiné, tak tím zdůrazňujeme její závislost na jedné nebo více jiných
veličin [24, s. 133].
Například v případě vzorce pro obvodovu rychlost lze konstatovat, že obvodová
rychlost u je funkcí průměru kola d a otáček n. V řeči matetematiky se to vyjádří
zápisem u=f(d, n) nebo také f(d, n)=π·d·n, v technické praxi je obvyklejší kratší
označení u(d, n). Písmeno f označuje, že se jedná o funkci.
Grafické vyjádření funkcí aneb analytická geometrie v rovině
Výpočty vzorců lze provádět i pomocí analytické geometrie.
Spojitost mezi geometrií a algebrou objevil francouzský matematik René Descartes
(1596-1650) [21, s. 161], [10, s. 97]. Jeho objev znamená, že geometrické útvary,
jejichž souřadnice jsou zapsány v pravoúhlé soustavě souřadnic, lze zapsat
algebraickou rovnicí a naopak. Pro dvourozměrné geometrické útvary postačí systém
souřadnic x-y a pro trojrozměrné objekty x-y-z viz. dále kapitola Analytická geometrie
v prostoru. Písmena x, y jsou označení os (stupnic) reálných čísel, které jsou na sebe
kolmé:
13.id999 Znázornění přímky v soustavě souřadnic
zavedené Descartem.
Každý bod přímky odpovídá vzorci y=a 1·x+a 2, kde
a 1, a 2 jsou konstanty, lze v soustavě souřadnic x-y
vyjádřit jednoznačně souřadnicí [x, y]. Na obrázku je
přímka o parametrech: a 1=1,2; a 2=-0,7. Bodu P lze
jednoznačně přiřadit souřadnici [x 1; y 1]. Čtyři
základní oblasti pravoúhlé soustavy souřadnic se
nazývají kvadranty (1) až (4), což umožňuje snadnější
orientaci v takové rovině při ústním podání apod.
Další frekventované funkce znázorňované v rovině
naleznete například v [1, s. 163].
Grafické znázornění rovnic se nazývá grafem. Graf zkonstruovaný za účelem
nalezení řešení vzorce pro vybrané proměnné se nazývá nomogram:
Výpočty vzorců pomocí nomogramů
Nomogram je grafická analogová výpočetní pomůcka [14], [15]. Jedná se o převod
funkcí do grafické podoby ve vhodně vybraném soustavě souřadnic (často pravoúhlé).
Nomogramy, na rozdíl od pravítek, umožňují rychlý výpočet rovnic více proměnných.
Používají se pro rychlý přibližný výpočet často používaných vzorců.
42.
— 12 —
Například nomogram pro výpočet obvodové rychlosti kola tvořen přímkami,
protože pro konstantní průměr kola je tato rovnice rovnicí přímky. Takový nomogram
lze zkonstruovat pouze pravítkem. Nutné je stanovit rozsah jednotlivých proměnných
(podle toho, které kombinace d a n nás zajímají):
14.id1077 Nomogram pro výpočet obvodové
rychlosti kola.
u [m·s-1]; d [m]; n [s-1]. Osa otáček je v intervalu 1
až 10 s-1, osa obvodové rychlosti kola 0 až 300 m·s1
. Do oblasti řešení, která je vymezená vodorovnou
osu hodnot pro otáčky a svislou pro obvodovou
rychlost kola se zakreslují průběhy změn obvodové
rychlosti v závislosti na otáčkách pro jednotlivé
průměry kola (čára, na které je jedna z proměnných
konstantní – v tomto případě průměr kola se nazývá
izopléta). První izopléta byla nakreslena ze souřadnic
u=3,1415 při n=1 do bodu u=31,415 při n=10.
Následující izopléty byly nakresleny stejným
postupem. Obvodová rychlost kola se odečte
z průsečíku zadaných hodnot otáček a průměru kola.
Je očividné, že takový nomogram pro funkci tří proměnných nemůže pokrýt
všechny možnosti řešení v navrženém intervalu vstupních proměnných, to by musel
obsahovat nekonečný počet izoplét, a nikoliv jen deset. Jestliže nomogram neobsahuje
izoplétu splňující zadání, je nutné její průběh určit alespoň přibližně tak jak naznačuje
přerušovaná čára příkladu výpočtu obvodové rychlosti pro n=6,3 s-1 a d=5,6 m.
Přesnost nomogramů je dána převážně jeho fyzickou velikostí. Rozsah chyby
(chyba, která vznikne na délce 1 mm osy nomogramu) lze jednoduše stanovit z měřítka
nomogramu. Tato chyba nemusí být na celé ploše nomogramu stejná. Například
v případě posledního nomogramu v oblasti kolem n=2, d=2 bude vzdálenost 1 mm na
ose obvodových otáček kola představovat chybu o velikosti ~24% a v oblasti n=9, d=10
ta chybě jen ~1%. Rozdíly v přesnosti lze vyřešit nelineárními stupnicemi os, tak aby
chyba v odečtu byla přibližně stejná na celé ploše nomogramu.
Typ nelineární stupnice osy závisí na druhu rovnice, kterou nomogram zobrazuje,
přičemž každá osa může mít jinou stupnici. Pro exponenciální rovnice (včetně
exponentu 1) se nejčastěji používá logaritmická stupnice, ale ve speciálních případech lze
použít stupnici kvadratické (pro kvadratické rovnice) atd.
V případě logaritmické stupnice je její výhoda i v tom, že jakékoliv exponenciální
rovnice se dají znázornit jako přímky, například rovnice a·b3,4 =c bude v přímkou
ve tvaru log a + 3,4·log b = log c apod.
42.
— 13 —
15.id1078 Nomogram pro výpočet obvodové
rychlosti kola v logaritmické soustavě souřadnic.
Velikost tohoto nomogramu je 8,35x8,35 cm, takže
chyba 1 mm v oblasti n=2, d=2 je asi 6,6% a
v oblasti n=9, d=10 je také 6,6%, přičemž přesnost
lze zvýšit zvětšením velikosti plochy nomogramu a
zvýšením hustoty stupnic. V logaritmické soustavě
souřadnic tedy lze dosáhnout stejné přesnosti
respektive nepřesnosti na celé ploše nomogramu.
Více o rozboru chyb v logaritmické soustavě
souřadnic v [14, s. 12].
Do jednoho nomogramu lze zakreslit i více rovnic, které mají stejné proměnné.
Například do nomogramu pro obvodovou rychlost kola lze zakreslit i průběh pro kritické
otáčky hřídele s tímto kolem, které se s průměrem kola budou měnit (kritické otáčky
jsou funkcí průměru kola a tuhosti hřídele, která je v tomto případě stejná).
Lze vytvořit nomogramy i pro jednoduché rovnice jako je nomogram pro sčítání
dvou čísel nebo nomogram pro násobení či dělení viz Tabulka 42.1067
a Tabulka 42.1068.
Nomogram zvládne i více proměnných než jen tři, takové nomogramy se nazývají
sdružené. Jedná se vlastně o dva nomogramy, které mají jednu společnou stupnici, která
slouží jako výstup prvního a vstup do druhého viz například Nomogram pro výpočet
Reynoldsova čísla v Tabulce 38.1038.
Typy nomogramů, které zde byly doposud uváděné se nazývají průsečíkové.
Mimo přibližné výpočty se průsečíkové nomogramy dodávají k různým výrobkům
s regulačními členy jako pomůcka pro koncového uživatele o změnách parametrů stroje.
Například nomogramy u soustruhů, pro odečet otáček nebo posuvu při změně
převodového poměru, nomogramy regulačních ventilů, ze kterých lze vyčíst změnu
průtoku a tlakové ztráty při změně zdvihu vřetena ventilu apod.
Nevýhodou průsečíkových nomogramů u koncového uživatele je relativně obtížný
odečet (musí hledat společný průsečík tří různoběžných čar) i velká hustota čar, proto se
konečným uživatelům, pokud to jde, dodávají spíše spojnicové nomogramy.
Spojnicové nomogramy
Spojnicový nomogram pro tři proměnné je složen ze tří stupnic, na kterých jsou
v příslušných měřítkách vyneseny hodnoty jednotlivých proměnných. Konstruktér
nomogramu musí navrhnout typ stupnic a jejich měřítka, jejich tvar a jejich vzájemné
vzdálenosti tak, aby průsečíky na jednotlivých osách, které vzniknout nakreslením
libovolné přímky, byly řešením příslušné rovnice.
42.
— 14 —
Nejednodušším spojnicovým nomogramem je případ, kdy tvarem stupnic jsou
přímé navzájem rovnoběžné čáry, tzv. součtový spojnicový nomogram. V takovém
případě se upravuje pouze měřítko a typ stupnic a může i vzájemná vzdálenost.
16.id1079 Základní součtový spojnicový
nomogram.
V tomto případě je jedna z os přesně uprostřed dvou
dalších, ale lze ji podle potřeby posouvat, pokud to
sníží komplikace s měřítkem jednotlivých stupnic.
Tento tvar spojnicového nomogram je vhodný pro
rovnice ve tvaru α+β=2 γ (odvození je
v Příloze 1079.), například a·x+b·y=c·z, kde a, b, c
jsou konstanty; například x 2+y 2=z2, což je
Pythagorova věta apod. Jestliže osy jsou logaritmické
stupnice lze tento součtový spojnicový diagram také
použít pro součin např. rovnici x·y=z, která bude mít
v
logaritmických
souřadnicích
tvar
log x+log y=log z, což už je rovnice přímky.
Všechny stupnice nemusí být stejně dlouhé, lze je
měnit podle požadovaného rozsahu jednotlivých
veličin.
Spojnicové nomogramy lze také konstruovat pro více jak tři proměnné spojením
několika nomogramů tzv. sdružený spojnicový nomogram. Dokonce lze kombinovat
průsečíkové nomogramy s nomogramy spojnicovými [14, s. 136], [15, s. 215].
Existují i jiné tvary průsečíkových a spojnicových nomogramů jejiž konstrukce,
obvykle vyžadují většího duševního úsilí a více zkušeností. U nomogramů mohou být
osy různě skloněny, zakřiveny, mohou být různého typu i měřítek délek.
17.id1080 Spojnicový nomogram pro výpočet
obvodové rychlosti kola.
Konstrukce tohoto nomogramu je popsána
v Příloze 1080.
42.
— 15 —
Tvar nomogramu také ovlivňuje, jaké veličiny budou na jednotlivých osách, což je
důležité především u spojnicových nomogramů. Ten kdo nemá dostatek zkušeností
může vycházet při konstrukci nomogramu z podobnosti s jiným nomogramem, přičemž
lze čerpat z katalogů nomogramů uvedených v [14], [15].
Z historie nomogramů
Nomogramy na první pohled vypadají jako jednoduché efektivní výpočetní pomůcky,
alespoň pro rychlé a přibližné výpočty výpočtářem často používaných vzorců, přesto
první použitelné nomogramy zkonstruoval až průmyslník Louis Pouchet (1748-1809),
které převáděly staré Francouzské jednotky vah na kilogramy [14], [16].
Vytvoření rovnice ze vzorců a jejich řešení
Rovnicí je i vzorec, protože jeho levá strana se rovná pravé, přesto při vyslovení
slova rovnice je obvykle myšlen její širší význam tedy něco do čeho nestačí jen dosadit
a získáme použitelný výsledek. Rovnici máme obvykle upravit či vyřešit. Rovnici
nejčastěji získáme při řešení složitějších úloh kombinací dvou a více vzorců.
Sestavování rovnic je ryze lidská schopnost. Při řešení úloh postupujeme systematicky
po krocích, které jsou přehledné a srozumitelné, což se nejlépe ukáže na úloze:
Vypočítejte jakou vzdálenost ujela tramvaj, když víte, že ze zastávky nejdříve zrychlovala stálým zrychlením
2 m·s-2 po dobu 70 s, pak 240 s jela ustálenou rychlostí a nakonec zpomalovala ustáleným zpomalením 2 m·s2
.
Úloha 1.id931
Ze zadání úlohy je zřejmé, že výsledná rovnice bude obsahovat minimálně tři
vzorce, a to pro výpočet vzdálenosti při rovnoměrně zrychleném pohybu, při konstantní
rychlosti a při rovnoměrném zpomaleném pohybu. Celkovou ujetou vzdálenost si
označme jako x1 (písmeno x se používá k označení veličin, které nejsou známy
respektive nejdou jednoduše ze zadání vyčíst), vzdálenost při rovnoměrném zrychlení
x2 , vzdálenost ujetou konstantní rychlosti x3 a vzdálenost ujetou při zpomalování x4 . Je
evidentní, že celková vzdálenost x1 bude součtem vzdáleností x2 , x3 a x4 :
Vzorce pro řešení Úlohy 1.
S fyziky si připomeňme vzorec pro výpočet ujeté
vzdálenosti při rovnoměrně
zrychleném či
zpomaleném pohybu l=1/2(a·t2) [3, s. 39], kde l [m]
je ujetá dráha, a [m·s-2] je zrychlení (pokud to bude
záporné číslo tak zpomalení) a t [s] je doba trvání.
x 5 [m·s-1] rychlost tramvaje na konci zrychlování – je
označena písmenem x, protože je také neznámá.
Vzorec pro rychlost na konci rovnoměrného zrychlení
z nuly má tvar c=a·t, kde c [m·s-1] je rychlost na
konci zrychlení [3, s. 39]. Výsledné skupině rovnic se
říká soustava pěti rovnic o pěti neznámých.
42.
— 16 —
Nyní jsou v podstatě dvě možnosti jak dosáhnout užitečného výsledku neboli řešení
těchto pěti rovnic. Myšlenkově nejméně náročné je postupně vypočítat jednotlivé
neznáme dosazením hodnot za zrychlení a čas. Druhou možností je z těchto pěti rovnic
udělat jen jednu respektive vytvořit relativně složitý vzorec pro přímý výpočet ujeté
vzdálenosti tramvaje. Takový vzorec vznikne tzv. dosazováním do první rovnice, kdy
za jednotlivé neznámé x2 ...x5 se dosazují vzorce pro jejich výpočet:
Úlohy 1: výsledný vzorec.
Nevýhodou výsledného vozorce je, že nejsou okamžitě patrny mezivýsledky, které
bývají u složitějších úloh důležité, protože z nich plyne celková představa o situaci a lépe
se hledají ve výpočtu případné chyby.
Pro sestavení rovnice někdy pomáhá i grafická představa průběhu jednotlivých
rovnic (jejich částí, například průběh levé a pravé části rovnice apod).
Úpravy rovnic
Při sestavování rovnic se často stává, že neznámá není samostaně na jedné straně
rovnice například 2,54 + a = b·x2 +(2x2 +c)d, takže je potřeba ji tzv. separovat neboli
osamostatnit. To se dělá vhodnými promyšlenými matematickými operacemi, při kterých
musí být zachována rovnost pravé a levé strany rovnice. Například, přičítáním stejného
čísla k pravé i levé straně rovnice, tak aby byla zachována její rovnost. To samé pravidlo
platí i pro jiné matematické operace včetně umocňování, logaritmování atd. Například
u poslední zmíněné rovnice lze při separaci neznámé x postupovat takto:
18.id901 Příklad separace neznáme v rovnici.
V tomto případě stačilo 6 kroků a výpočet veličiny x už nebude problém. Do uvedených šesti kroků jsem
zahrnul i zjednodušování rovnice, například kroky 2 a 3 zkušení výpočtáři slučují apod.
Nutno podotknout, že ne vždy lze neznámou separovat na jednu stranu rovnice
a ostatní členy na druhou jako v případě Rovnice 12 v předchozí kapitole Dosazování do
vzorců. To zjistíte tak, že to zkusíte a ono to nejde. Věřte, že s přibývajícími
zkušenostmi takovou záludnou rovnici rozeznáte. Takové rovnice se řeší iteračním
výpočtem, a protože iterační výpočty jsou díky výpočetní technice oblíbenější než
duševní námaha používají se i pro řešení rovnic, u nichž by úprava byla prostě pracná
(myšleno separace neznámé na jednu stranu stranu rovnice).
42.
— 17 —
Substituce v rovnicích
Především při úpravách je dobré rovnici co nejvíce zjednodušit, taky abychom se
v ní neztráceli a nemuseli neustále opisovat spoustu symbolů. Například během úprav
Rovnice 18 lze x2 označit zkráceně například symbolem y a v kroku 5 opět dosadit x2 .
Také se může vyskytnout logaritmická rovnice a místo x2 v předchozí rovnici může být
například log 2x opět by šlo za tento výraz při úpravách dosadit symbol y a v pátém
kroku dosadit zpět log 2x apod.
A jak je to s úpravou nerovnic?
Nerovnice znamená, že levá strana se nerovná pravé například 2,54 + a > b·x2 +
(2x2 +c)d. Úprava respektive separace neznáme na jednu stranu nerovnice probíhá stejně
jako v předchozím případě rovnic. Jedna záludnost tu ale je: Jedna strana nerovnice je
větší než ta druhá a když k pravé i levé straně přičteme stejné číslo (nebo odečteme)
vždy vztah (nerovnost) mezi oběma stranami zůstane stejný. Když je vynásobíme
kladným číslem stále zůstane stejný. Ale při násobení záporným číslem (nejčastěji -1) se
kladná čísla stanou zápornými a naopak, takže byl-li člen na pravé straně nerovnice větší
než pravý tak po vynásobení tomu musí být naopak, takže i nerovnost musíme obrátit
například:
19.id874 Příklad změny nerovnosti při vynásobení
nerovnice záporným číslem, v tomto případ -1.
Soustavy rovnic
Asi si dokážeme představit, že existují složitější rovnice s více neznámými než bylo
řešeno v Úloze 1, obecně se zapisují takto:
20.id915 Obecný tvar soustavy rovnic o více
neznámých.
a, b jsou konstanty, mohou být i rovny nule, a21
znamená, že se jedná o konstantu z druhého řádku
před první neznámou. Tento typ soustavy rovnic se
nazývá soustava lineárních rovnic.
Všimněte si, že každá neznámá se zapisuje v jednotlivých rovnicích ve stejném
pořadí. Například soustavu rovnice z Úlohy 1 by byla stejným způsobem zapsána takto:
42.
— 18 —
21.id902 Soustava rovnic z Úlohy 1 zapsaná v
obecném tvaru.
Upozornění: indexování u písmen a a t je stejné jako
při řešení Úlohy 1 a nemá nic společného
s indexovacím systémem obecného tvaru rovnic.
Do obecného tvaru se soustavy rovnic zapisují kvůli přehlednosti, porovnání
s jinými již vyřešenými úlohami a především kvůli mechanickým postupům vyvinutých
pro jejich řešení. Jedeno z možných řešení lineární soustavy rovnic je způsob
dosazovací, který byl použit při řešení Úlohy 1. Tj. nejdříve se upravuje pořadí rovnic
v soustavě, je totiž pro co nejrychlejší řešení vhodné, aby poslední rovnice obsahovala
co nejmenší počet neznámých, předposlední tyto neznámé a alespoň jednu další
neznámou navíc atd. Při řešení soustavy se pak postupuje od poslední rovnice k první.
Nejdříve se u poslední rovnice separuje jedna neznámá a výsledek se dosadí za tuto
neznámou do předposlední rovnice atd. Je to pracné ale vede to k výsledku.
Existují i jiné více či méně zmechanizované postupy řešení lineární soustavy rovnic
[8, s. 61] nebo [1, s. 32]. Obvykle sestavených nejdříve do matice. V praxi asi
nejpoužívanější způsob řešení je systematická metoda nazývaná zkratkou GEM neboli
Gaussova eliminační metoda [27, s. 196], kterou dnes zvládají i programovatelné
kalkulačky.
Řešení rovnic n-stupně
Jedná se o rovnice, které obsahují neznámé umocněné celým číslem. Takové
rovnice se obvykle upravují za účelem rychlého vyhledání řešení do obecného tvaru, tak
aby mocninami byla pouze přirozená čísla*:
22.id963 Obecný tvar rovnice n-tého stupně.
n≥1; první rovnice je rovnice prvního stupně neboli
lineární, druhá rovnice je rovnice druhého stupně
neboli kvadratická, rovnice třetího stupně neboli
kubická atd. a0, a1, a2, a3...jsou konstanty a kromě
a 0 mohou být i rovny nule, takže x 3+a 1=0 je stále
kubická rovnice.
*Poznámka
V případě že výchozí tvar rovnice obsahuje záporný exponent např. 2,35x-2 +1,03x=7,
pak stačí levou i pravou stranu rovnice vynásobit členem x2 a tím všechny exponenty
převedeme na kladné 2,35+1,03x3 =7x2 . Úprava této rovnice na obecný tvar je už pak
triviální.
42.
— 19 —
Jakoukoliv rovnice n-tého stupně zapsanou v obecném tvaru Rovnic 22 lze také
převést na mnohem jednodušší následující tvar a0 (x-b1 )k 1 (x-b2 )k 2 ...(x-br)k r=0,
k1 +k2 +..+kr=n, r≤n kde b je konstanta, k, r jsou přirozená čísla, [1, s. 21]. Z takové
tvaru rovnice je zřejmé, že řešení rovnice n-tého stupně může existovat několik a
maximálně rovné nejvyšší mocnině x1 =b1 , x2 =b2 atd., protože rovná-li se jakákoliv
závorka 0 je celá rovnice rovna 0. Jednotlivá řešení rovnic n-tého stupně se také
označují jako kořeny rovnice a zmíněný jednoduchý tvar rovnice n-tého stupně se
nazývá součin kořenových činitelů.
Problém je, že převést rovnici libovolného n-tého stupně pomocí algebraických
úprav na součin kořenových činitelů je velmi obtížné a pracné (neexistuje žádný obecný
postup pro takovou úpravu, který by vždy vedl k řešení). V praxi obvykle každý takový
pokus o vyhledání součinu kořenových činitelů končí ztrátou času. Naštěstí existuje
obecné řešení pro rovnice alespoň do n=4*. Řešení pro rovnice 2 až 4 stupně jsou
uvedena [1, s. 38], [8]. Zde uvádím řešení pro rovnici kvadratickou, která se v technické
praxi vyskytuje nejčastěji:
23.id812 Řešení kvadratické rovnice.
D tzv. diskriminant. Pokud bude diskriminant menší než nula D<0, pak má kvadratická rovnice komplexní
kořeny. Další záludností řešení kvadratických rovnic je že mohou mít dva kořeny (nejčastěji jeden záporný a
jeden kladný) respektive dvě řešení, ale technik hledá pouze jedno, a tak v takových případech vybírá to, které
lépe vyhovuje očekávání (obvykle je to ten kladný kořen) a takový výsledek dává smysl.
*Poznámka
Geniální mladý norský matematik Niels Abel (1802-1829) [24, s. 85], dokázal že pro
stupně rovnice n>4 obecné řešení nelze nalézt.
Rovnice 5-tého a 6-stupně mají obecná řešení, jestliže je dopředu znám alespoň
jeden respektive dva kořeny nebo jsou-li tyto rovnice současně i reciproké. Reciproké
rovnice jsou takové rovnice n-tého stupně, které mají jeden z kořenů roven 1 nebo -1.
To jestli je rovnice reciproká či nikoliv lze zjistit podle jednoduchého pravidla uvedeného
například v [1, s. 43], [8, s. 111]. Tam naleznete i jak postupovat dále při řešení, ale
vzhledem k možnostem dnešních počítačů a numerických metod a velmi nízkého
výskytu těchto případů v praxi se s tato metoda stala zajímavou pouze pro matematiky.
V současnosti je rychlejší řešit rovnice vyššího stupně numericky například iteračními
metodami uvedenými v [1, s. 603].
Řešení jiných typů rovnic
Jinými typy rovnic jsou zde myšleny algebraické rovnice jiných typů než zde byly
do tohoto místa popisovány. Například rovnice s neceločíselnými mocninami (např. 2,5
x2,3 +x+3,6=0) nebo rovnice kde mocninou je neznáma (např. 2,5x +3x=0), jejich
kombinace apod. Takové rovnice, kromě triviálních případů*, se řeší numericky.
42.
— 20 —
*Poznámka
Triviálními případy jsou myšleny takové, kdy jde neznáma algebraickými úpravami
separovat na jednu stranu rovnice. Například 2,5x =3 lze vyřešit logaritmováním levé
i pravé strany rovnice x·log 2,5=log 3 apod.
Popis dalších typů rovnic bude příležitostně probíhat i v další části článku.
Drobná rada na závěr k rovnicím
Než začnete řešit nějakou úlohu či přímo rovnice snažte se zamyslet zda by na ně
nemohlo být aplikováno jedno dobré matematické přísloví: Převeď úlohu na podobný již
vyřešený případ.
Matematické stroje neboli počítače
Matematické postupy se vyznačují svou univerzálností, proto není divu, že se
postupně objevovaly úvahy do jaké míry lze sestavit stroje, které by počítaly –
vynechme různé pomůcky a strojky pro základní aritmetické operace. Touto otázkou se
zabýval i anglický matematik Alan Turing (1912-1954), který dokázal že řešení
matematické úlohy lze provést strojem lze-li ji zapsat do tzv programu [24, s. 305],
[28, s. 171], [29, s. 371]. Program je postup výpočtu pro stroj, jeho elementární
jednotkou je instrukce nebo-li pokyny pro stroj jakou operaci má provést zapsané
v pořadí v jakém se budou provádět. Každá instrukce musí obsahovat jeden operační
znak* a adresu jednotky počítače, která má operaci provést (kam ho uložit – do jaké
části počítače) nebo naopak odkud vzít údaj pro zpracování.
*Operační znak
Každá samostatná operace, které je stroj schopen má svoje číslo, tomuto číslu se říká
operační znak.
Univerzální samočinný počítač schopný pracovat podle programu je strojový celek
obsahující minimálně pět samostatných ale spolu komunikujících jednotek:
24.id815 Blokové schéma počítače.
I vstup; E výstup; Ř řadič; OP operační paměť; OJ
operační jednotka; CPU centrální procesorová
jednotka (Central Processing Unit). Jedná se
o schéma počítače, které navrhl americký matematik
John von Neumann (1903-1957). Tento typ
počítače obsahuje pět jednotek, takže instrukce
programu může mít pět různých adres. Existují i jiná
bloková schémata počítače, ale velmi podobná.
42.
— 21 —
Řadič
Řadič je jednotka, která je schopna přečíst program, tomu odpovídá jeho konstrukce. Na
základě instrukcí v programu rozesílá požadavky do dalších čtyř jednotek. Existují
počítače, které nemají cestu z operační paměti do řadiče. U těchto počítačů je program
uložen v řadiči a nelze ho měnit nebo má svůj vlastní vstup pro změnu programu
zvnějšku. Tak tomu bylo i v raných dobách stavby počítačů. Současné počítače obsahují
i několik časově synchronizovaných řadičů. Konstrukce řadiče [17, s. 154].
Operační paměť
Dříve jen paměť – je schopna uchovávat čísla tj. mezivýsledky, výsledky a i program,
který je také napsán ve formě čísel. Do ni může zapisovat řadič, operační jednotka
i vstupní zařízení. Od řadiče může dostat příkaz k odeslání čísla do výstupní jednotky.
Vstup
Ze vstupních zařízení se dostávají čísla nebo i program do paměti (například klávesnice,
měřící čidla apod).
Výstup
Ve výstupních zařízení se ukládají/zobrazují/zapisují konečné výsledky (například
tiskárna, monitor, paměť apod). Vstupy a výstupy určené pro lidské smysly jsou tomu
uzpůsobeny.
Operační jednotka
Operační jednotka je zařízení, jehož konstrukce zvládá početní operace jak základní
aritmetické tak logické, proto se ji také říká aritmeticko-logická jednotka. Počet operací,
které tato jednotka zvládne přímo je dána její konstrukcí. Obvykle umí přímo základní
aritmetické operace. Například pokud má obvody pro násobení, tak násobí přímo
(v programu je napsáno násob dvě čísla a operační jednotka ví jak to má udělat– má pro
to číslo operace). Jestliže obvod pro násobení nemá musí program obsahovat i postup
násobení obvody, které k dispozici má. Dnešní počítače mohou obsahovat i několik
operačních jednotek. Konstrukce operační jednotky např. v [17, s. 148].
Množství operací, kterých je matematický stroj schopen záleží na jeho konstrukci.
Seznam těchto možných operací se nazývá operační kód. Čím větší je operační kód
stroje tím je rychlejší a jeho programování snažší na druhou stranu je složitější a dražší.
Turing dokázal, že nejjednodušší počítač, který by dokázal splnit jakýkoliv složitou
výpočetní operaci by měl operační kód o velikosti 6*.
*Turingův stroj
Takový stroj by obsahoval řadič s programem, nekonečnou pásku pro zápis/čtení
výsledků, čtecí, záznamové, posouvací a mazací zařízení. Na pásce by byl záznam ve
dvojkové soustavě, která je minimalistická co se týká množství potřebných znaků [28].
Operační kód by vypadal takto (1) posun pásky o jedno políčko doleva; (2) posun pásky
o jedno políčko doprava; (3) zaznamenat symbol 0; (4) zaznamenat symbol 1; (5)
smazat zaznamenaný symbol; (6) zastavit se [17, s. 87]. Jedná se o jednoduchý stroj, ale
jeho programování by bylo obtížné a úlohy by plnil velmi pomalu.
42.
— 22 —
Z pohledu konstrukce respektive fungování počítačů je lze rozdělit ještě na
analogové a číslicové neboli digitální. Analogové počítače pracují na principu velikosti
signálů, kterým může být síla, napětí, tlak, posun apod. Například pro násobení by
mohlo být používáno logaritmické pravítko, u kterého by se snímal posuv. Je očividné,
že složitější analogový počítače by byl náchylný na chyby a poruchy [17], které by
souvisely s přesností výroby a dnes se prakticky používají jen jako neprogramovatelné
jednoduché stroje například pro regulaci.
Číslicové počítače pracují na principu nějaký signál (posun, napětí, tlak, síla)
žádný signál respektive rozlišují pouze dva stavy a nikoliv sílu signálu. Počítání pouze se
dvěma možnými stavy lze díky Booleovy algebře [17, s. 105]. Tuto algebru vytvořil
anglický matematiky George Boole (1815-1864) při popisu se obvykle tyto stavy
označují symboly či výrazy 0/1, ano/ne apod.
Velikost a text programu počítače závisí na jeho operačním kódu případně i na
výrobci. Během desítek let vývoje počítačů ale došlo k vývoji normovaných
programovacích příkazů neboli vzniku programovacích jazyků, těch je více. Takový
programovací jazyk je lépe srozumitelný lidem použitím mnohem širší sady symbolů než
0/1. Program napsaný v tomto jazyce potom jiný tzv. kompilační program přepisuje do
konečného programu pro počítač. Dnešní matematické stroje obsahují speciální
programy pro komunikaci s člověkem (nebo i jinými zařízeními), toto programové
vybavení se nazývá software. Dříve se vkládal program přímo do řadiče. Software také
programově obsluhuje vstupy a výstupy, tak aby byly čitelné pro člověka případně jiný
počítač nebo zařízení, které je na ně napojeno.
Výpočtové metody matematického softwaru
Hlavní přesnou výpočetní pomůckou technika je počítač případně kalkulačka.
Z pohledu uživatele není podstatná samotná konstrukce a princip matematických strojů,
ale jejich způsob komunikace s uživatelem tj. forma zadání a forma výsledků, což
zajišťuje v tomto případě matematický software. Matematický software lze rozdělit
podle výpočetní metody, pro kterou je primárně určen. Výpočetní metody jsou
analytické a numerické.
Software pracující s analytickými metodami pracuje přímo s funkčními
závislostmi mezi jednotlivými proměnnými a vztahy mezi nimi. Požadovaným
výsledkem je nový tvar funkční závislosti. Například analytické řešení rovnice
a1 ·x+a2 =a3 je x=(a3 -a2 )/a1 .
Celý proces probíhá v několika krocích, kdy výpočtář zadá tvar rovnice, definuje
co je konstanta co proměnná a jaký tvar výsledku je požadován (v tomto případě
vyjádření proměnné x) a následuje krok softwaru, který vygeneruje řešení. Počet
nutných kroků se podle softwaru může lišit, velmi záleží na tom jakou vlastnost software
přiřazuje jednotlivým znakům, které lze při zápisu rovnice použít.
Představitelem tohoto typu softwaru je například Maple [18]. Tento typ softwaru
obvykle dokáže zpracovat většinu algebraických úloh a například umí nalézt řešení
i neurčitých integrálů apod. Jestliže je požadován číselný výsledek stačí zadat hodnoty
konstant.
42.
— 23 —
25.id1082 Základní kroky při řešení rovnice
analytickým softwarem.
Zkratka var označuje proměnnou; zkratka con
konstantu.
Software pro numerické výpočetní metody se obvykle omezuje pouze na číselné
řešení zadané úlohy (bez algebraických úprav). K tomu využívá buď přímé metody
výpočtu, iterační metody výpočtu a nebo metodu výpočtu Monte Carlo uvedené výše.
V případě přímé metody výpočtu musí být zadán výpočetní vzorec v použitelné podobě
například x=(a3 -a2 )/a1 . Vyčíslení může proběhnout zadáním konstant a1..3 . Mezi
typické softwary primárně určené pro přímý numerický výpočet patří tabulkové
procesor, ve kterých se jednotlivé konstanty a vzorce zadávají do buněk s unikátní
adresou. Mezi tabulkové procesory patří například Calc, který je součásti kancelářského
balíku OpenOffice.org [7] nebo Exel, který je součástí kancelářského balíku Microsoft
Office [6].
26.id1083 Základní kroky při výpočtu vzorce
numerickým softwarem užitím přímé metody.
vlevo obecný zápis; vpravo způsob zápisu
v tabulkovém procesoru.
Mezi software určený pro iterační metody patří i softwary metody konečných
prvků (MKP) používané v mechanice kontinua pro zjištění napětí v součásti či tvaru
proudového pole tekutiny a pod. (v těchto případech se výpočet ukončuje po splnění
okrajových podmínek). Většina softwarů nedokáže jen podle tvaru rovnice určit iterační
metodu (například porovnáním podobnosti s jinými úlohami uložených v knihovně
softwaru). Tuto metodu musí vybrat výpočtář včetně logické podmínky ukončení
výpočtu. Zadání iteračního výpočtu je náročnější než u předchozích metod nicméně lze
jej zadat (naprogramovat) i v tabulkovém procesoru či programovatelné kalkulačce.
Sestavte numerický postup výpočtu dekadického logaritmu čísla 324 s přesností na čtyři desetinná místa.
Využijte k tomu mocninou řadu pro pro stanovení přirozeného logaritmu.
Úloha 2.id1084
Mocninná řada pro přirozený logaritmus
k Úloze 2.
Zdroj [1, s. 625].
42.
— 24 —
Řešení Úlohy 2.
Obecný zápis jednotlivých kroků výpočtu logaritmu čísla 324. Bližší popis je uveden v Příloze 1084.
Řešení Úlohy 2.
Algoritmus pro kalkulačku HP 35s. Písmeno L zde označuje (log 324)n-1, písmeno G~(log 324)n a písmeno
M~log 3,24. Výsledek činí log 324≐2,5105 (po 5 cyklech).
Software pracující na principu metody Monte Carlo obsahuje algoritmus, který
náhodně testuje různá řešení. Obecně se za řešení považuje množinu čísel, interval na
reálné ose čísel nebo konkrétní číslo, o kterém se předpokládá, že leží blízko řešení.
Následně matematický software různými postupy dosazuje různá čísla do rovnice jehož
řešení hledá a vyhodnocuje zda se od řešení vzdaluje nebo přibližuje a tak neustále
zužuje oblast, ve kterém je hledán výsledek. Na typu metody zužování oblasti, kde by
mohl ležet výsledek podstatně závisí konvergence výpočtu, protože čím je větší oblast,
ve které se hledá výsledek, tím je menší pravděpodobnost, že bude nalezen. V knize
Matematické stroje [17] přirovnávají autoři metodu Monte Carlo k myšlenkovým
pochodů člověka s tím že lidská mysl má zatím neznáme metody pro zužování oblastí,
ve které se nachází množina možných řešení.
Je zřejmé, že metoda Monte Carlo je nejvíce náročná na rychlost hardwaru
počítače. Pomocí této metody se řeší diferenciální rovnice, ale využívá se dost často pro
hledání řešení i mnohem méně náročných rovnic např. 3·x+1=7, protože rychlost
stolních počítačů je vysoká a šetří tak duševní úsilí výpočtáře a tuto metodu výpočtu
obsahují i kancelářské tabulkové procesory. Výpočet probíhá tak, že software náhodně
dosazuje proměnnou x a testuje jestli se hodnota pravé strany rovnice vzdaluje od levé a
podle toho vybíráí další tip pro řešení.
42.
— 25 —
Goniometrie
Výpočet úhlů pravoúhlého trojúhelníka a nebo délky jeho stran jsou-li známy jeho
úhly je relativně frekventovanou úlohou v technické praxi. Za tímto účelem se používají
tzv. goniometrické funkce. Tyto funkce označují poměry dvou stran, přičemž mohou
existovat tři základní kombinace.
Pomocí goniometrických funkcí lze zjistit nejen úhly trojúhelníka, ale i jeho
orientaci v rovině:
27.id401 Základní goniometrické funkce.
x [°] úhel ve stupních dekadických nebo radiánech viz. další kapitola; sin funkce sinus; cos funkce kosinus;
tg funkce tangens (označuje se i jako tan). Na obrázku jsou dva trojúhelníky (a) a (b), přičemž oba úhly x
jsou kótovány od stejného počátku, aby šlo vidět, že lze pracovat v trigonometrii i s úhly většími jak 90°*. a, b
nejkratší strany pravoúhlého trojúhelníku se nazývají odvěsny; c nejdelší strana se nazývá přepona.
*Poznámka
Délka přepony c je vždy kladné číslo, ale délky odvěsen mohou být i záporné podle toho
na jaké straně osy je odvěsna. Tímto způsobem lze jednoznačně určit orientaci
trojúhelníku v soustavě souřadnic respektive v jakém jeho kvadrantu se vyskytuje.
Délka odvěsen trojúhelníku (a) je kladná a u trojúhelníku (b) je vodorovná odvěsna
záporná a proto cos x vyznačeného úhlu bude záporný, ale sin x už kladný a pod.
Takové případy se vyskytují například při konstrukci rychlostních trojúhelníků
lopatkových strojů), kde hledáme orientaci rychlosti pomocí úhlu a délky jedné strany.
Dalším příkladem skládání sil, kdy jednotlivé složky síly mohou být i v různých
kvadrantech apod.
Sekans, kosekans a kotangens
Jsou převrácené hodnoty goniometrických funkcí sinus, kosinus a tengents.
Z definice je zřejmé, že funkce sinus a kosinus mohou mít velikost od -1 do 1,
kdežto maximální a minimální hodnoty funkce tangents jsou neomezené. Maximální
vnitřní úhel pravoúhlého trojúhelníku je 90°, ale pří kótování úhlu podle Obrázku 15
může úhel x teoreticky dosáhnout velikosti 360° (plný úhel), pro případ, kdy se přepona
otočí kolem počátku o celou otáčku. Jestliže se přepona otočí o čtvrt otáčky bude úhel
90°, o půl otáčky 180° a o tři čtvrtě otáčky 270°:
42.
— 26 —
28.id402 Grafy goniometrických funkcí..
Typická úloha v trigonometrii obvykle vychází ze znalosti úhlu x a jedné strany,
přičemž úkolem je vypočítat velikost další strany. K tomu je ale nutné znát hodnotu
příslušné goniometrické funkce při zadaném úhlu, ta se hledá v tabulkách
goniometrických funkcí nebo se jednoduše vypočítá pomocí kalkulačky nebo jiného
matematického stroje.
Výpočet a přepočet goniometrických funkcí
Dříve se goniometrické tabulky počítaly pracným půlením úhlů, kterým se dá
hodnota poměru stran přiřadit přesně, což jsou obvykle úhly odpovídající pravidelným
mnohoúhelníkům [23, s. 153] vepsaných do jednotkové kružnice. Po objevu
Taylorového rozvoje se počítají goniometrické funkce pomocí Taylorovy řady pro
funkci sinus [1, s. 389], které lze pomocí jednoduchých vztahů [1, s. 74] přepočítat na
funkci cosinus cos x=sin (x+90°) a nebo tangents tg x=sin x/cos x*. Matematické stroje
jako kalkulačky a počítače využívají buď hodně přesnou tabulku goniometrických funkcí
a nebo algoritmus pro výpočet Taylorovy řady příslušné goniometrické funkce v reálném
čase podobně jako se počítají hodnoty logaritmů uvedené v Úloze 2.
*Operace s goniometrickými funkcemi a rovnicemi
Souhrn základních vztahů mezi goniometrickými funkcemi například jak je sčítat,
odčítat, násobit a dělit mezi sebou jsou uvedeny v [1, s. 72-78]. Obecné řešení rovnic
obsahující goniometrické funkce existuje pouze pro funkce jednoho proměnného úhlu. V
případě více proměnných úhlů se postupuje numericky vhodnou iterační metodou, to
platí i pro případy funkce jedné proměnné, u kterých nelze separovat neznámý úhel.
Přibližné goniometrické výpočty
Bez kalkulačky lze provést přibližný výpočet goniometrických funkcí pomocí
základní tabulky hodnot sinu a tangentu v intervalu 0° až 90°. Tento krátký interval
postačuje, protože hodnoty pro další úhly lze odvodit z podobnosti křivek
na Obrázku 28. Například hodnota sin 200° bude stejná jako -sin 20° apod. Tabulky
goniometrických funkcí sinus a tangents jsou uvedeny v Tabulce 42.971.
42.
— 27 —
Cyklometrické funkce
Přirozeně existují i obrácené úlohy a to výpočet úhlu x, jestliže je znám poměr
dvou stran. K tomu se využívá vlastností cyklometrických funkcí. Existují tři základní
cyklometrické funkce, které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím, takže platí
x=arcsin b/c (arkussinus), x=arccos a/c (arkuskosinus), x=arctg b/a (arkustangents).
Problém je v tom, že jednoznačnou hodnotu cyklometrické funkce lze přiřadit
maximálně na intervalu dlouhým maximálně 180°. Například arcsin na intervalu 90° až
270°, arccos na intervalu 0° až 180° a arctg na intervalu 90° až 180°. Ale na intervalu 0°
až 180° má arcsin dvě řešení (arcsin 0,5 může znamenat buď 30° nebo 150°) atd.
Z toho důvodu je při výpočtu už nutné znát orientaci trojúhelníku v navrženém soustavě
souřadnic respektive v jakém je kvadrantu.
Například bude-li poměr protilehlé strany ku přeponě pravoúhlého trojúhelníku,
který leží v druhém kvadrantu roven 0,5, potom úhel x z Tabulce 42.971 musí být 150°
a ne 30°.
Stupně nebo radiány?
V technické praxi se velmi často místo jednotky pro velikost úhlu stupeň [°]
používá jednotky radián [rad] tzv. oblouková míra. Použití obou jednotek má své
opodstatnění.
Zatímco v případě stupňů používáme 360 dílnou stupnici tak v u radiánů se
stupnicí o velikosti 2π. To má výhodu především pro případy, kdy se s úhly dále pracuje
navazujících výpočtech (i v jiných než v trigonometrických), protože součin úhlu
v radiánech a délky přepony je délkou oblouku vytvořené přeponou (v tomto případě se
nazývá průvodič). Takže při pootočení průvodiče o celou otáčku bude délka oblouku
rovna obvodu kruhu 2π·c, proto plný úhel v radiánech je roven právě 2π=360°. Podobně
oblouk vytvořený pootočením průvodičem o čtvrt otáčky musí být velký jako čtvrt
kruhu 2π·c/4, takže π/2=90° apod. Převod stupňů na radiány je potom jednoduchý
X/2π=x/360, kde velké X je úhel v rad (viz. také Tabulka 42.981).
29.id403 Vlastnosti úhlu vyjádřeného v radiánech.
Úhel v radiánech násobený délkou průvodiče c je
roven velikosti oblouku kružnice o poloměru c.
42.
— 28 —
A proč tedy používáme i stupně? Pro výpočet oblouku pomocí zadaného úhlu ve
stupních je sice nutné tyto úhly převést na radiány, ale jednotky stupně mají výhodu ve
velmi jemné stupnici a důležité úhly jako pravý úhel 90°, ostrý úhel 45°, přímý úhel 180°
a další frekventované úhly 30° a 60° jsou celá čísla. Proto se s dekadickou stupnicí úhlů
pracuje mnohem snáz při konkrétních geometrických představách a používají se pro
kótování úhlů ve výrobní dokumentaci nějaké součástky, v plánech domů a jiných
technických dokumentacích. Radiány ale mají výhodu při širších výpočtech, kdy
trigonometrický výpočet je součástí rozsáhlejšího výpočtu a úhly jsou vstupem i do
jiných výpočtů (velikosti oblouku, úhlové rychlosti apod.).
Analytická geometrie v prostoru
V předchozí kapitole Grafické vyjádření rovnic aneb analytická geometrie v rovině
je popsáno zobrazení funkcí dvou proměnných v pravoúhlé soustavě souřadnic x-y.
Podobným způsobem lze zobrazovat funkce tří proměnných rozšířením soustavy
souřadnic o třetí osu kolmou na dvě předchozí obvykle označovanou z:
30.id389 Znázornění přímky v prostorové soustavě souřadnic.
(a) rovnice popisující přímku τ v prostoru*; (b), (c), (d) jsou rovnice průmětů přímky do souřadnicových
soustav x-y, x-z a z-y; a1..a14 jsou konstanty; P libovolný bod v prostoru má tři souřadnice (v tomto případě
leží na přímce τ).
Poznámka
Každá z uvedených rovnic je rovnicí prostorově orientované roviny, průsečík těchto
rovin je přímka. Existuje, ale více možností jak definovat přímku v prostoru [1, s. 200].
V prostorové (nebo také tříosé či 3D) soustavě souřadnic lze zobrazovat jakékoliv
prostorové objekty jako koule, krychle, roviny a pod. Další často se vyskytující funkce
zobrazené v prostorové soustavě souřadnic jsou uvedeny v [1, s. 191].
Znázorňovat funkce lze i v jiných soustavách souřadnic než je pravoúhlá [3, s. 14]
pokud je to výhodnější. Nejčastěji se lze setkat v technice s válcovou soustavou
souřadnic a méně se sférickou (kulovou, polární) soustavou souřadnic [1, s. 192].
42.
— 29 —
Transformace pravoúhlých souřadnic do válcových souřadnic
Pro pohyb kolem osy, se používá válcová soustava souřadnic. Poloze bodu P1
o souřadnicích [x1 , y1 , z1 ] v pravoúhlé soustavě souřadnic x, y, z odpovídá poloha ve
válcovém soustavě souřadnic r1 , u1 , a1 . Obvodová vzdálenost leží smluvně v rovině xy
a axiální směr je totožný se směrem osy z. Protože, obvodová vzdálenost je funkcí
průvodiče a úhlu ν lze tuto polohu vyjádřit také souřadnicemi r1 , ν1 , a1 :
31.id419 Válcová soustava souřadnictransformace z pravoúhlé soustavy souřadnic.
Ve válcové soustavě souřadnic je poloha bodu
vyjádřitelná vzdáleností respektive délkou oblouku
u [m] (obvodovou) od počátku úhlového souřadného
systému ν [rad] (0 až 2π), a vzdálenosti ve směru
osy kolem niž se bod pohybujeod počátku souřadného
systému označována a [m] (axiální) a vzdáleností
kolmé k ose r [m] (radiální). Počátek pootočení
ν [rad] je vhodné ztotožnit od nějaké osy (zde s osou
z), obvodová vzdálenost se vypočítá z nejkratší
vzdálenost bodu od osy tedy r (také se označuje jako
průvodič) u=r·ν.
Válcová soustava souřadnic se používá v lopatkových strojích, při sestavování
rovnic pro osově symetrické proudění [16.]. Každý bod v objemu pracovní tekutiny
v lopatkové části lopatkového stroje má polohu popsanou třemi souřadnicemi, takže
vektor rychlosti (šipka ukazující směr a velikost proudění ve vyšetřovaném bodě)
pracovní tekutiny proudící kolem lopatek může mít tři průměty a to do axiálního,
obvodového a radiálního směru:
32.id861 Válcové souřadnice aplikované na
lopatkový stroj.
ω [rad·s-1] úhlová rychlost rotoru; c → [m·s-1]
rychlost tekutiny ve vyšetřovaném bodě.
42.
— 30 —
Parciální derivace
V technice a fyzice se často vyskytují veličiny, které jsou funkcí více nezávislých
proměnných a právě takových funkcí se týká parciální neboli částečná derivace.
Například pro u=f(x, y) je veličina u funkcí dvou veličin tj. polohy v rovině x-y. Takový
typ rovnice je možné derivovat podle proměnné x i y přičemž, když se derivuje podle
jedné proměnné tak druhá je považována za konstantu. Výsledkem parciální derivace
takové funkce je soustava dvou rovnic*:
33.id269 Parciální derivace funkce u=f(x, y).
(a) označení parciální derivace písmenem d (dolní
index označuje, která proměnná je při derivaci
konstantní) [8, s. 189]; (b) pro přehlednost se upouští
od indexů a pro označení parciální derivace se
používá místo písmene d znak ∂.
*Poznámka
Taková soustava rovnic se využívá například při hledání gradientu nebo přírůstku funkce
známé jako totální diferenciál. Oba tyto matematické pojmy mají své vlastní kapitoly
uvedené v další části článku.
Obecně platí, jestliže funkce obsahuje n nezávisle proměnných, potom výsledkem
parciální derivace takové funkce bude soustava s n rovnicemi. Při derivování podle jedné
proměnné jsou zbylé proměnné považovány za konstantu jako v případě funkce o dvou
proměnných [1, s. 395].
Při parciální derivaci platí úplně stejná pravidla derivovaní jako pro funkce jedná
proměnné, a parciální derivace má i stejnou interpretaci (jedná se o směrnici tečny
k průběhu funkce ve směru osy proměnné podle, které se derivace provádí). To
znamená, že uvedené dvě parciální derivace v určitém bodě souřadnicového systému ux-y, ve které je nakreslen průběh funkce f jako plocha, představují dvě tečny k této
ploše. Tyto tečny jsou na sebe kolmé. Tečna, která je výsledkem parciální derivace
podle proměnné x leží v rovině kolmé na osu y, a tečna která je výsledkem parciální
derivace podle proměnné y leží v rovině kolmé na osu x.
Vlastnosti a postup při parciální derivaci lze dobře předvést na příkladu jednoho
z nejznámějších vztahů v termodynamice, což je rovnice pro hmotnostního průtoku
ideálního plynu tryskou při podzvukových rychlostech:
Proveďte parciální derivaci rovnice pro hmotnostní průtok ideálního plynu tryskou podzvukovou rychlostí.
Předpokládejte konstantní celkovou teplotu plynu před tryskou.
Úloha 3.id214
Rovnice pro hmotnostní průtok tryskou k Úloze 3.
m• [kg·s-1] hmotnostní průtok plynu tryskou; pe [Pa] tlak na výtoku z trysky; κ [-] konstanta adiabaty;
pic [Pa] celkový tlak na vstupu do trysky; Ae [m2] průtočný průřez na vstupu do trysky; r [J·kg-1·K-1]
individuální plynová konstanta plynu; Tic [K] celková teplota plynu; a, b, c, d, e konstanty.
42.
— 31 —
Uvedená rovnice má dvě nezávisle proměnné a to celkový tlak před tryskou pic a
tlak za tryskou pe , podle toho jak se tyto tlaky mění se mění i hmotnostní průtok
plynu m. Rovnice má reálné řešení pouze pro pe >p*, kde p* je kritický tlak, při kterém
plyn na výtoku z trysky dosáhne rychlosti zvuku.
Řešení této rovnice představuje plochu v třírozměrné soustavě souřadnic m-pic -pe .
Protože funkce je podobná rovnici elipsy je výsledná plocha tvořena z nekonečného
množství křivek podobných elipsám a celkově připomíná plochu kužele, proto se tento
útvar nazývá průtokový kužel trysky:
Obrázek k Úloze 3.
Grafická interpretace parciálních derivací. Na obrázku je znázorněna pro hmotnostní průtok tryskou. Funkce
g(p ic) představuje hmotnostní průtok, jestliže se mění pouze tlak před tryskou, naopak funkce h(p e)
představuje hmotnostní průtok, jestliže se mění pouze tlak za tryskou.
Algebraický zápis soustavy parciálních derivací
k Úloze 3.
Parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic
Parciální derivace se v tomto případě provádí podle proměnných r, u a a. Protože
diference v obvodovém směru lze vyjádřit jako součin délky průvodiče a diference úhlu
ν tj. du=r·dν má soustava parciálních diferenciálních rovnic například funkce k=f(r, ν, a)
tvar:
34.id679 Parciální derivace pro jednotlivé
proměnné funkce k=f(r, u, a) ve válcové soustavě
souřadnic.
42.
— 32 —
Totální diferenciál
Totálním diferenciálem se nazývá přírůstek funkce, která má dvě či více
proměnných. Označuje se stejně jako přírůstek funkce jedné proměnné, takže totální
diferenciál funkce u=f(x, y) dvou proměnných x, y bude du. Totální diferenciál du
představuje přírůstek funkce ve vyšetřovaném bodě (ve kterém jsou známy parciální
derivace) třírozměrné soustavě souřadic u-x-y, jestliže se změní velikost proměnných
o diferenciály dx, dy:
35.id263 Totální diferenciál funkce u=f(x, y).
V tomto případě se jedná o funkci, jejiž přírůstek ve
směru x je klesající du y<0 a ve směru y rostoucí
du x>0. Totální diferenciál neboli přírůstek funkce v
okolí vyšetřovaného bodu je tedy součtem přírůstků
v jednotlivých směrech (parciálních přírůstků)
du=du y+du x.
Rovnici pro totální diferenciál lze dále upravit na tvar du=duy /dx·dx+dux /dy·dy=∂u/
∂x·dx+∂u/∂y·dy. Takový součet platí i pro funkce z více jak dvěma proměnnými
[1, s. 396]:
36.id377 Totální diferenciál funkce j-proměnných.
j počet proměnných; n proměnná.
Určete totální diferenciál průtoku plynu tryskou. Využijte poznatků z Úlohy 3.
Úloha 4.id205
Úloha 4: Výsledek.
Určete totální diferenciál rovnice kontinuity proudění tekutiny v kanále. Rovnice má tvar A·ρ·c=K, kde A [m2]
je průtočný průřez kanálu, ρ [kg·m-3] je hustota, c [m·s-1] rychlost tekutiny, K [kg·s-1] je hmotnostní průtok,
který je konstantní.
Úloha 5.id387
Úloha 5: Výsledek.
42.
— 33 —
Aplikace vektorového počtu v mechanice kontinua
Mechanika kontinua se zaměřuje na popis spojitých vlastností a stavu látky či
energie ve vyšetřovaném prostoru a čase*. Jakákoliv sledovaná veličina (tlak, teplota,
rychlost, hustota, vnitřní energie apod.) se může spojitě měnit ve vyšetřovaném objemu
podle souřadnice i v čase. Například rychlost proudění ve vyšetřovaném objemu se
může měnit podle toho jaké působí na proudící tekutinu síly a pokud se bude tato síla
v čase měnit lze očekávat, že měnit se bude i rychlost tekutiny:
37.id916 Rychlost tekutiny ve vyšetřovaném objemu.
Ω vymezení vyšetřovaného objemu; Ψ proudnice (trajektorie částic tekutiny); i vstup tekutiny
do vyšetřovaného objemu; e výstup tekutiny z vyšetřovaného objemu; B poloha vyšetřovaného bodu. c x, y,
z
[m·s-1] složky rychlosti tekutiny do jednotlivých směrů ve vyšetřovaném bodě.
*Poznámka
Nespojité vlastnosti a stav látky či energie v prostoru a čase popisuje kvantová
mechanika.
Rovnice k popisu rychlosti ve vyšetřovaném objemu musí tedy obsahovat tři
rovnice (pro každý směr jednu) a v případě, že se bude jednat o nestacionární proudění
budou rovnice funkcí i času [5, s. 294]. Navíc tvary rovnic budou ovlivněny i polohou
a orientací soustavy souřadnic. Naštěstí zápis těchto rovnic a operace s nimi usnadňují
pravidla vektorové alegebry (například zápis vektoru, vektorový součet, součin apod),
jejich soupis lze nalézt v [4], [1, s. 219], [8, s. 342]. Vektorovou algebru zavedl Němec
Hermann Grassmann (1809-1877) povoláním učitel [10, s. 180], [21, s. 66]. Hlavní
výhody vektorového zápisu/počtu názorně vyjadřuje následující citace:
Jeho největší výhody záleží v tom, že jednak pomocí zvláštní symboliky
umožňuje velmi jednoduchý zápis vztahů, které by se jinak vyjadřovaly
těžkopádnými a nepřehlednými vzorci, jednak dává možnost vyjádřit různé
zákony ve tvaru nezávislém na zvolené soustavě souřadnic. František Kejla
[1, s. 219]
Následuje několik příkladů aplikace vektorového počtu v mechanice kontinua.
42.
— 34 —
Gradient skalárního pole
V mechanice kontinua gradient určuje "směr" a velikost změny sledované veličiny
ve vyšetřovaném objemu, je to tedy vektor. Touto veličinou může být nejen rychlost ale
i teplota, hustota, pevnost, tlak, energie či další stavové veličiny. Takže podle této
definice bude směr gradientu potenciální energie vody v nádobě na Obrázku 38, proti
směru gravitačního zrychlení. Jelikož souřadnicový systém je vytvořen tak, že osa
y směřuje proti směru gravitačního zrychlení bude i gradient potenciální energie vody
v nádobě ve směru y. Potenciální energie v homogenním gravitačním poli se vypočítá
jako součin gravitačního zrychlení a vzdálenosti od počátku navrženého souřadného
systému (dno nádoby) e=g·y. Velikost změny potenciální energie ve směru osy y je
rovno derivaci rovnice potenciální energie podle osy y, což je de/dy=g:
38.id918 Gradient potenciální energie v nádobě
s vodou.
grad e [J·m-1·kg-1] gradient potenciální energie
(směr růstu potenciální energie ve vyšetřovaném
bodě a jeho velikost v závislosti na souřadnici);
g [m·s-2] gravitační zrychlení. V tomto případě se
potenciální energie vody zvyšuje proti směru
gravitačního zrychlení tedy. Vyšetřovaná oblast Ω je
celý objem vody v nádobě.
Nechť veličina u je dána funkcí u=f(x, y, z) v oblasti Ω tzv. skalární pole (tzn.
v každém bodě oblasti Ω má veličina u danou hodnotu – skalár, číslo). Plochy, na
kterých je u=konst. jsou tzv. hladiny skalárního pole [1, s. 226].
39.id417 Gradient funkce u = f(x, y, z).
∇ (nabla) diferenciální operátor (možno použít místo zkratky grad). V případě gradientu ve válcové soustavě
souřadnic se vychází z Rovnice 34 pro parciální derivace ve válcové soustavě souřadnic.
Vektor grad u se nazývá gradient daného skalárního pole. Gradient funkce je tedy
vektor. Gradient skalárního pole v bodě x0 , y0 , z0 a je kolmý k hladině procházející
tímto bodem.
Totální diferenciál podruhé aneb přírůstek funkce
Porovnáním rovnice pro gradient a Rovnice 36 pro totální diferenciál lze tvrdit, že
přírůstek du veličiny u je skalárním součinem gradientu funkce u=f(x,y,z) a
elementárního vektoru ds→. Této vlastnosti se využívá při odvozování rovnic
v mechanice kontinua – pro stanovení hodnoty veličiny u v blízkém bodě stačí přičíst
přírůstek u+du:
40.id677 Totální diferenciál jako skalární součin.
42.
— 35 —
Poznámka
Příkladem využití gradientu funkce při odvozování rovnice pro její přírůstek je například
odvození Eulerovy n-rovnice popisující proudění tekutiny po zakřivené dráze.
Určete gradient tlaku kapaliny v nádobě na obrázku v bodě x i, y i, zi. Zakreslete hladinu procházející bodem x i,
y i, zi, a sestavte rovnici totálního diferenciálu tlaku. Uvažujte, že na kapalinu působí pouze tíhové zrychlení
(homogenní tíhové pole).
Úloha 6.id1085
Obrázek k Úloze 6.
V tomto případě je tlak skalární veličina, která je
funkci hloubky respektive souřadnice y ve
vyšetřovaném objemu p=f(y), přičemž v celém tomto
objemu je možné tlak vypočítat z výšky sloupce
kapaliny nad vyšetřovaným bodem [2, s. 17].
Vyšetřovaný objem je tedy "vyplněn" skalárním
polem.
Úloha 6: řešení.
-1
ρ [kg·m ] hustota; ∇p [Pa·m-1] gradient statického
tlaku, který ukazuje směr růstu tlaku ve
vyšetřovaném bodě a jeho velikost v závislosti na
souřadnici.
Úloha 6: řešení.
Rovnice přírůstku tlaku podle Rovnice 40.
Pomocí gradientu funkce lze určit nejen směr růstu tlaku, potenciální energie, ale
i tepla, entropie, entalpie či rychlosti definovaných na oblasti Ω jak ukáží další příklady.
Potenciální (konzervativní) vektorové pole
Vektorové pole vytvořené z gradientu nějaké funkce má tu vlastnost, že cirkulace
vektoru po uzavřené cestě (v prostoru orientovaná křivka) je rovna nule.
Cirkulace vektoru
Jedná se o integraci skalárního součinu dvou vektorů na nějaké křivce:
41.id390 Cirkulace vektoru na křivce K.
(a) obecná definice; (b) cirkulace vektoru a → po
uzavřené křivce K v potenciálním poli; (c) cirkulace
vektoru a → po uzavřené křivce K v poli, které není
potenciální.
42.
— 36 —
Jestli že a→ by byla síla, tak v potenciálním poli by práce, kterou vykoná po křivce
spojující dva body A, B nezávisela na tvaru této křivky.
Předpoklad, že nějaké vektorové pole je potenciální se využívá ve fyzice i technice
relativně často. V takových případech lze použít obráceně definici gradientu funkce tj. je
dáno potenciální vektorové pole, o kterém víme, a tak můžeme nalézt funkci (nalezením
gradientu této funkce) pomocí které lze tento vektor vypočítat v kterémkoliv bodu pole.
Jak je ukázáno v dalších kapitolách.
42.id678 Aplikace potenciálního vektorového pole.
Aplikace na případ gradientu tlaku p z Úlohy 6. Rozdíl tlaků mezi body A a C nezáleží na tom po jaké dráze
je provedena integrace přírůstku tlaku p. Rozdíl tlaků mezi body A a B je tedy správně roven rozdílů tlaků
mezi hladinami tlaku, ve kterém tyto body leží. Gradient tlaku vytvořil potenciální vektorové pole.
Rotace vektoru, vírový a nevírový pohyb
Rotace vektoru je definována jako rychlost odklánění jednotlivých složek vektoru
od původního směru:
43.id421 Rotace vektoru-definice.
(a) v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) ve válcové soustavě souřadnic – diferenciální operátor ∇ má jiný tvar
než pro gradient funkce [1, s. 229].
Jestliže je rotace vektoru na vyšetřované oblasti Ω nenulová rot a→≠0→ znamená
to, že látka ve vyšetřovaném bodě respektive v jeho okolí* se otáčí kolem tohoto bodu
jako celek přičemž délka vektoru rot a→ je dvojnásobek úhlové rychlosti této rotace
(2·ω). V takovém případě se toto pole nazývá vírové vektorové pole [4, s. 202].
*Poznámka
V případě vyšetřování rychlosti proudění tekutiny toto okolí nesmí být moc malé. Při
velmi malém okolí už by mohl převažovat termokinetický pohyb molekul nad pohybem
proudění látky jako celku.
Dosazením definice gradientu funkce do rovnice rotace vektoru lze velmi snadno
odvodit, že rotace potenicálního vektorového pole je nulová:
42.
— 37 —
44.id681 Rotace potenciálního vektorového pole.
Odvození této rovnosti je uvedeno v Příloze 681.
Interpretovat rotaci vektoru pohybu látky c→ lze následujícím způsobem:
45.id920 Typy pohybu látky podle rotoru
rychlosti.
(a) charakter nevírového proudění respektive
potenciálního proudění* (částečky proudící látky
konají pouze posuvný pohyb v celém vyšetřovaném
objemu); (c) charakter vírového pohybu (částečky
pohybující se látky se otáčí kolem vyšetřovaného
bodu B a zároveň mohou konat i posuvný pohyb).
*Poznámka
Definice potenciálního proudění usnadňuje řešení především energetických a silových
bilancí proudění. Rotace látky ve vyšetřovaném bodě totiž může spotřebovávat či
produkovat energii, která ovlivňuje i posuvný pohyb, proto jsou-li tyto vlivy malé lze
s dostatečnou přesností aplikovat rovnice potenciálního proudění i na proudění, které
očividně potenciální není například případy rot a→=konst., rot a→≐0.
V technické praxi se lze velice často setkat s pohybem látky po kružnici nebo
trajektoriím blízkým kružnicím. Typickým příkladem je osově symetrické proudění či
rotace disku setrvačníku. Zatím co lze dokázat, že rychlostní pole hmoty setrvačníku
vytváří vírové pole, proudění po kruhové dráze nevírové být může:
46.id1086 Vektorové pole rychlosti pohybu po kružnici.
(a) charakteristika posuvného pohybu tekutiny po kružnici kolem středu S, rot c →=0 tzv. potenciální vír
[2, s. 219]; (b) rotace hmoty setrvačníku (hmota v bezprostředním okolí jakéhokoliv bodu setrvačníku rotuje
kolem osy rotace s úhlovou rychlostí ω), rot c →≠0. (c) rovnici pro rychlost proudění lze odvodit z Rovnice 44
pro c a=0, c r=0 (podmínka pro posuvný pohyb na kružnici) - hledá se řešení soustavy parciálních
diferenciálních rovnic gradientu (rovnici lze odvodit i z integrálu cirkulace rychlosti po uzavřené křivce K,
který musí být roven nule); (d) rovnice pro kruhový pohyb pevného disku setrvačníku je převzata z [3, s. 42]tato rovnice je odlišná od rovnice pro potenciální vektorové pole rychlosti, takže vektorové pole rychlosti
nemůže být nevírové, lze také dokázat, že uvedená rovnice pro rychlost není gradientem žádné funkce, proto i
cirkulace rychlosti po uzavřené křivce K je různá od nuly*. a1 [m2·s-1] konstanta; ω [rad·s-1] úhlová rychlost.
Odvození je uvedeno v Příloze 1086.
42.
— 38 —
*Poznámka
Křivkový integrál lze rozdělit na čtyři úseky-dva úseky po radiálách jsou přímkami, dva
úseky jsou kruhovými oblouky. Integrály po radiálách budou rovny nule, protože
rychlost nemá radiální složku cr=0. V případě integrálu po vnějším oblouku lze před
integrál vytknout obvovodou rychlost cu , která je konstatní a integrál po kruhovém
oblouku bude roven délce oblouku. Stejnou operaci lze provést na vnitřním oblouku
s tím, že obvodová rychlost i délka oblouku bude menší a záporného znaménka. Protože
integrace cirkulace rychlosti na vnějším oblouku je větší bude i výsledek různý od nuly.
Potenciál rychlosti a proudová funkce
Jiné typy potenciálního proudění než kruhové lze popsat pomocí veličin zvané
potenciál rychlosti a proudová funkce.
Vektor rychlosti c→(x, y, z) ustáleného potenciálního proudění v oblasti Ω
(proudové pole) lze tedy podle Rovnic 39, 44 vyjádřit ve tvaru c→= grad Φ, kde
funkce Φ=f(x, y, z) se v hydrodynamice nazývá potenciál rychlosti [2, s. 207].
Přírůstek potenciálu rychlosti lze odvodit pomocí Rovnice 40. ve tvaru
dΦ=cx dx+cy dy+czdz. Rovnice pro výpočet složek rychlosti cx , cy , cz vychází z rovnic
pro zachování energie a kontinuity upravené pro konkrétní tvar oblasti (kanálu, ve které
tekutina proudí), pro případ nestlačitelného proudění se například používá Bernoulliho
rovnice. Pro výpočet proudového pole lze použít analytické nebo numerické metody
výpočtu, případně lze pro přibližný výpočet použít grafickou metodu odhadu tvaru
trajektorií rychlosti jak je popsáno v [2, Obr. 208]. Navíc pro většinu případů postačuje
zjednodušení celého úlohy na proudění v rovině [5, s. 388]. Potenciál rychlosti má
vlastnosti hladiny skalárního pole popsané výše, to znamená, že křivky s konstantní
hodnotou Φ=konst. (dΦ=0) jsou kolmé na vektor rychlosti proudění a tečna k funkci Φ
v konkrétním bodě je normála proudnice.
47.id171 Příklad proudění v rovině.
Φ [m2·s-1] potenciál rychlosti; Ψ(x, y) [m2·s-1]
proudová funkce (funkce kolmá na potenciál
rychlosti, na čáře proudnice je její hodnota
konstantní); n normála proudnice. Odvození těchto
rovnic je uvedeno v Příloze 171.
Potenciál rychlosti a proudová funkce mají své ekvivalenty v jiných potenciálních
polí například elektromagnetického (siločary, potenciál) nebo gravitačního (potenciální
energie, zrychlení) apod.
42.
— 39 —
Divergence vektoru
Divergenci vektoru a→(a1 , a2 , a3 ) se nazývá skalár (výsledkem je číslo) [1, s. 228]
(svým způsobem se jedná o opak gradientu):
48.id420 Divergence vektoru-definice.
(a) v pravoúhlé soustavě souřadnic; (b) ve válcové soustavě souřadnic – diferenciální operátor ∇ má jiný tvar
než pro gradient funkce [1, s. 229].
Příklad použití divergence vektoru
Je-li a→ vektor rychlost nestlačitelné kapaliny (stacionární proudění) je součet derivací
rychlosti v jednotlivých směrech roven nule. Sníži-li se rychlost proudění v jednom nebo
dvou směrech (derivace rychlosti v takových směrech je záporná-zpomalení) musí se
v dalším směru/směrech zvýšit (derivace v takových směrech je kladná– zrychlení), aby
byl zachován průtok. Více v [1, s. 228]:
49.id680 Zápis rovnice kontinuity a zrychlení tekutiny pomocí divergence rychlosti.
(a) rovnice kontinuity pro ustálené nestlačitelné proudění; (b) rovnice kontinuity pro ustálené stlačitelné
proudění. a [m·s-1] zrychlení proudu tekutiny. Rovnice pro zrychlení tekutiny je odvozena v Příloze 680.
Určete zrychlení respektive divergenci rychlosti proudu tekutiny v potrubí tepelného výměníku: (a) pro
nestlačitelné proudění, (b) stlačitelné proudění. Uvažujte stacionární proudění ideální tekutiny a velkou
tepelnou vodivost pracovní tekutiny.
Úloha 7.id1087
Úloha 7: výsledky.
(a) výsledek pro nestlačitelné proudění; (b) výsledek pro stlačitelné proudění. Q • [W] celkový tepelný výkon
předávaný tekutině v potrubí; v [kg·m-3] měrný objem tekutiny; dq [J·kg-1] měrné množství tepla přivedené
tekutině uvnitř elementárního objemu z venčí; i [J·kg-1] měrná entalpie tekutiny; l [m] délka. Jestliže částice
tekutiny zrychlují znamená to, že na ně působí nějaké síla, tato síla vzniká z nutné diference tlaku podél
potrubí, kterou lze odvodit z rovnosti sil na okrajích vyšetřovaného elementu dx podle d'Alembertova principu
[5, s. 45] viz rovnice (c) (porovnejte výsledek pro zrychlení ve směru x s Eulerovou rovnicí hydrodynamiky
[2, s. 243]). Pokud přívod tepla podél potrubí bude rovnoměrný bude derivace dq/dx konstanta.
42.
— 40 —
Poznámka k Úloze 7
Funkcí tepelného výměníku je ohřev pracovní tekutiny s co nejmenší tlakovou diferencíztrátou, proto u stlačitelných látek je pokles tlaku co nejmenší a takový, aby
kompenzoval pouze zvýšení měrného objemu a třecí ztráty.
Aproximace v logaritmické soustavě souřadnic
Pro aproximaci naměřených dat vhodnou funkcí lze využít logaritmický papír
respektive logaritmického soustavy souřadnic, zvláště pokud očekávaný tvar vzorce je
exponenciální. Na logaritmickém papíře jsou i exponenciální křivky přímkami, a proto
aproximace bodů z naměřených dat není tak obtížné. Za tímto účelem je
v Tabulce 42.1070 zobrazen logaritmický papír o velikosti 17x17cm.
Nalezněte přibližnou hodnotu konstanty potrubního systému potrubního systému určeného pro vytápění.
Potrubním systémem proudí horká voda. K dispozici jsou naměřené průtoky (V [m3·s-1]) systémem a
příslušná tlaková ztráta (Δp [Pa]).
Úloha 8.id1081 Převzato a upraveno z [14, s. 17]
V·10^5 [m3·s-1] 19,64 29,64 50,07 74,61 113,9 161 233,7
------------------------------------------------------------------Δp
[Pa]
10
25,1
62
140
320
700 1400
Naměřené hodnoty k Úloze 8.
Rovnice charakteristika potrubního systému má tvar Δp=K·V2 (K [kg·m-7] konstanta potrubního systému),
v logaritmických souřadnicích log Δp=2log V + log K. To znamená, že že naměřené body by měly ležet co
nejblíže přímce o směrnici 2, z takové přímky lze následně snadno určit konstantu K.
Řešení Úlohy 8.
Přímka (a) je obecná přímka se směrnicí 2 tj. logaritmus tlakové ztráty roste 2x rychleji než logaritmus
objemového průtoku. Přímka (b) je přímka se směrnicí 2, které prochází co nejblíže naměřenými body
(křížky). Konstanta K se určí ze dvou bodů na přímce (b), takže K=260,15·10 6 kg·m-7.
42.
— 41 —
V logaritmických souřadnicích se hledají i zcela nové empirické vztahy především
kritérií podobnosti.
Odkazy
1. REKTORYS, Karel, CIPRA, Tomáš, DRÁBEK, Karel, FIEDLER, Miroslav, FUKA,
Jaroslav, KEJLA, František, KEPR, Bořivoj, NEČAS, Jindřich, NOŽIČKA, František,
PRÁGER, Milan, SEGETH, Karel, SEGETHOVÁ, Jitka, VILHELM, Václav,
VITÁSEK, Emil, ZELENKA, Miroslav. Přehled užité matematiky I, II, 2003. 7.
vydání. Praha: Prometheus, spol. s.r.o., ISBN 80-7196-179-5.
2. MAŠTOVSKÝ, Otakar. Hydromechanika,
nakladatelství technické literatury.
1964.
2.
vydání.
Praha: Statní
3. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1. vydání. Praha: Mladá fronta,
ISBN 80-204-0237-3.
4. GARAJ, Jozef. Základy vektorového počtu, 1957. Vydanie prvé, Bratislava:
Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, n.p.
5. MACUR, Milan. Úvod do analytické mechaniky a mechaniky kontinua, 2010. Brno:
Vutium, ISBN 978-80-214-3944-3.
6. Microsoft Office, kancelářský balík. Výrobce: Redmond, Washington, USA. Web:
https://products.office.com.
7. OpenOffice, kancelářský balík. Výrobce: The Apache Software Foundation, adresa:
Forest Hill, Maryland, USA. Web: https://www.openoffice.org.
8. DOBROVOLNÝ, Bohumil, ŽĎÁREK, Josef. Přehled technické matematiky, 1954.
Vydání 3. rozšířené. Praha: ROH - PRÁCE. 432 stran.
9. MAREŠ, Milan. Příběhy matematiky, 2008. Příbram: Pistorius&Olšanská, s.r.o.
ISBN 978-80-87053-16-4.
10. STRUIK, Dirk. Dějiny matematiky, 1963. Praha: Orbis.
11. TESAŘÍK, Bohumil. Objev logaritmů měl na vědu dopad srovnatelný s vynálezem
počítače, Technický týdeník, č. 09, 2015. Praha: Business Media CZ, ISSN 0040-1064.
12. VACEK, Adolf. Technické početní tabulky, 1953. Praha: ROH-PRÁCEvydavatelství knih.
13. KUNC, Antonín, JOZÍFEK, Vítěslav. Matematika pro dělníky a mistry, 1963.
Praha: Statní nakladatelství technické literatury, stran 380.
14. PLESKOT, Václav. Nomografie v technické praxi, 1947. Vydání první. Praha:
SPASEI. Stran 207+11.
15. ŠTĚPANSKÝ, Václav. Nomogramy, 1970. Vydání druhé. Praha: SNTL. 252 stran.
42.
— 42 —
16. EVESHAM, Harold. The History and Development of Nomography, 1982. Boston:
Docent press, LLC. ISBN
17. GECSEI, Ján, KLÍR, Jiří, PELIKÁN, Pavel. Matematické stroje, 1964. 1. vydání.
Praha: Orbis. 270 stran.
18. Maple, Computer Algebra Systems. Výrobce: Maplesoft™, adresa: 615 Kumpf
Drive Waterloo, ON Canada N2V 1K8, web: http://www.maplesoft.com/.
19. MAROŠ, Bohumil, MAROŠOVÁ, Marie. Základy numerické matematiky, 1997.
Brno: VUT v Brně. ISBN 80-214-0826-X.
20. THIELE, Rüdiger. Matematické důkazy, 1985. Vydání první. Praha: Statní
nakladatelství technické literatury, 164 stran, 60 obrázků.
21. DEVLIN, Keith. Jazyk matematiky, 2003. První vydání v českém jazyce. Praha:
Dokořán, s.r.o. ISBN 80-86569-09-08.
22. LIVIO, Mario. Zlatý řez, 2008. První vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán,
s.r.o. ISBN 80-7363-064-8.
23. STEWART, Ian. Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta, 2013. První
vydání v českém jazyce. Praha: Dokořán, s.r.o. ISBN 978-80-7363-292-2.
24. MAREŠ, Milan. Slova, která se hodí, aneb, Jak si povídat o matematice,
kybernetice a informatice. Praha: Academia, 2006. ISBN 80-200-1445-4.
25. KONÍČEK, Oldřich. TICHÝ, Zdeněk. VESELKA, Josef. Strojnická příručka, díl
první Matematika, 1956. Praha: SNTL. 232 stran.
26. ŠINDELÁŘ, Václav, Ladislav SMRŽ a Zdeněk BEŤÁK. Nová soustava jednotek
SI. 3. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989.
27. SCHMIDTMAYER, Josef. Maticový počet a jeho použití v technice, 1967. Vydání
druhé. Praha: SNTL. 384 stran.
28. GLEICK, James. Informace: Historie, Teorie, Zábava, 2013. 1. vydání. Praha:
Argo, ISBN 978-80-7363-415-5.
29. NAUMANN, Friedrich. Dějiny informatiky, 2009. 1. vydání. Praha: Academia,
ISBN 978-80-200-1730-7.
Bibliografická citace článku
ŠKORPÍK, Jiří. Technická matematika, Transformační technologie, 2009-03, [last
updated 2016-08-02]. Brno: Jiří Škorpík, [on-line] pokračující zdroj, ISSN 1804-8293.
Dostupné z http://www.transformacni-technologie.cz/technicka-matematika.html.
©Jiří Škorpík, LICENCE
42.
43. Technická termomechanika
Autor: Jiří Škorpík, [email protected] : aktualizováno 2016­03­03
Termín Technická termomechanika jsem si vypůčil ze stejnojmenné knihy od Prof.
Josefa Kalčíka a Prof. Karla Sýkory [4]. Technická termomechanika se zabývá vlivem
tepla, které je speciálním druhem energie, na stav látek a jeho přenosem respektive
případy běžné v technické praxi. Z toho důvodu je článek rozdělen na dvě části a to
Technická termodynamika a Sdílení tepla (tato část zatím chybí).
Technická termodynamika
Pilíři termodynamiky jsou její čtyři zákony.
Naše duše je vržena do těla, tam nachází čísla, čas, rozměry; o tom všem
přemýšlí a nazývá to přirozeností, nutností; a na nic jiného věřit nemůže.
Blaise Pascal (1623­1662) [1, s. 99]
K tomuto citátu zbývá pouze dodat, a tak člověk vytvořil fyziku k popisu fyzikální
reality, kterou kolem sebe nejdříve vnímal svými smysly a později zachycoval i pomocí
přístrojů a nebo dokonce pozoroval jejich vliv na stroje, které vytvořil. Fyzika se dělí na
mnoho skupin a podskupin, které mají mezi sebou pouze formální hranice, protože jak
vyjadřuje přísloví "všechno souvisí se vším". Fyzika je odrazem našeho vnímání světa
kolem nás v určitém okamžiku (čas) a prostoru, ve kterém se nachází hmota v různých
stavech, která je přímo úměrná fyzikální veličině energie a ke všemu tato hmota je
ovlivňována silami, které na ni působí. V tomto článku je stručný popis principu
transformace tepla a vnitřní energie látek na jiné formy energie. Jedná se o aplikace
zákonů termodynamiky, tedy ta část fyziky zabývající se stavem látek, změnou těchto
stavů a jejími důsledky, protože právě tyto změny jsou to co využívají transformační
technologie.
Čtyři zákony termodynamiky
Nultý zákon termodynamiky
Je­li termodynamická systém A v teplotní rovnováze s termodynamickým systémem B a
současně je termodynamický systém B v teplotní rovnováze s termodynamickým
systémem C, potom je také termodynamický systém C v teplotní rovnováze
s termodynamickým systémem A.
První zákon termodynamiky (1847 Herman von Helmholtz)
Součet energie termodynamických systémů, které jsou vzájemně v interakci zůstává
konstantní:
Druhý zákon termodynamiky (1850 Rudolf Clausius)
Entropie izolované termodynamického systému vzrůstá v průběhu každé samovolné
změny.
Třetí zákon termodynamiky (1906 Walther Nernst)
Žádným konečným počtem tepelných oběhů nelze dosáhnout teploty T=0 K.
Tyto zákony vycházejí z pozorování chování molekul či atomů, ale daleko častěji
je aplikujeme na systémy velkých shluků těchto částic. Ta část termodynamiky
zabývající se aplikací jejich zákonů na velké shluky části se nazývá klasická
termodynamika [4] a statistická termodynamika [8] aplikující zákony na jednotlivé
částice, která shledává samotnou podstatu zákonů termodynamiky v kvantové
mechanice [9]. Existuje i část fyziky, která se zabývá projevy termodynamiky
v biologii, která se nazývá biotermodynamika [10].
Teplota, práce, energie a teplo
Nultý zákon termodynamiky nám umožňuje zavést fyzikální veličinu, která
porovnává stav molekul a atomů (dále jen částic) v jednotlivých systémech, touto
veličinou je teplota. Mnohem bližší, než sledování stavu jednotlivých částic, je člověku
vnímání teploty systémů obsahující obrovské množství částic, tak obsáhlé, že je lze
vidět v podobě předmětů (pevné látky, kapaliny) kolem sebe či cítit jak nás obklopují
například plyny. Člověk svými smysly je v určitém rozmezí teplot schopen rozlišovat
mezi teplejšími a chladnějšími systémy. Pro přesné měření teplot, respektive
dorozumění mezi lidmi byly zavedeny definice stupnice teplot [6, s. 9], [2, s. 58],
především stupnice Celsiova či Klausiova nebo Farenheitova stupnice vycházející
z teploty lidského těla. Na atomární úrovni se projevuje teplota látky pohybem či
vibracemi. Čím vyšší je teplota látky tím rychleji se atomy a molekuly, ze kterých je
složena, pohybují a naopak. V případě molekul navíc dochází k pohybu, který by se dal
přirovnat k vibracím atomů v rámci molekuly. U pevných látek se molekuly a atomy
v rámci vyšetřovaného objemu nepohybují, ale mají své místo v krystalické mřížce a
čím je jejich teplota vyšší tím větší mají amplitudu vibrací (při určité teplotě může
dokonce dojít ke zhroucení mřížky­tání).
Teplota sama o sobě nepostačuje k určení stavu vyšetřovaného množství látky.
Další tzv. stavovou veličinou je např. objem, hmotnost, hustota (množství látky ve
vyšetřovaném objemu) a u tekutin i tlak. Tlak představuje sílu, kterou působí tekutina
na vyšetřovanou plochu (v tomto případě tedy je myšlen tlak kinetický [2, s. 84]). Tato
síla vzniká tak, že částice látky do vyšetřované plochy naráží a mění svou hybnost
[2, s. 22]. Z této definice je zřejmé, že tlak bude tím větším čím větší bude teplota látky
a její hustota:
1.id115 Stav plynu v nádobě.
N nádoba (dokonale izolovaná, rozdělená na dvě části oddělené od sebe pístem, v dolní části je plyn v horní
se nachází vzduchoprázdno neboli vakuum); P píst. g→ [m·s­2] gravitační zrychlení [2, s. 21]; m [kg]
hmotnost závaží; Fg [N] síla, kterou působí závaží na píst; V0 [m3] objem plynu pod pístem; T0 [°C] teplota
plynu uzavřeného v nádobě; p0 [Pa] tlak plynu pod pístem; Fp [N] síla, kterou působí plyn pod pístem na píst
prostřednictvím svého tlaku. Pod pístem je uzavřený plyn o teplotě T0. Plyn je uzavřen pomocí pístu P a
zatížen závažím o hmotnosti m. Toto závaží přes píst působí na plyn silou Fg vyvolanou gravitačním
zrychlením a stlačuje jej. Plyn v nádobě má tlak p0, tento tlak působí na píst P silou Fp. Protože gravitační
zrychlení g je stálé i tlak p nachází se píst v rovnovážné poloze, ve které je síla Fg stejná jako síla Fp.
Pohyb částic plynu tedy dokáže vytvořit takovou sílu, že udrží píst v rovnovážné
poloze. Je evidentní, že pokud by se hybnost částic plynu zvýšila mohla by vzniklá síla
píst posunout výše a tím vykonat práci posuvem závaží proti působení tíhové síly.
Hybnost částic lze zvýšit zahřátím plynu například pomocí nádoby s vodou o vyšší
teplotě přiloženou ke dnu nádoby s plynem:
2.id929 Změna stavu plynu v nádobě způsobena jeho
ohřátím.
N2 nádoba s teplou vodou. Tx [°C] teplota plynu
uzavřeného v první nádobě na konci ohřevu; px [Pa]
tlak plynu uzavřeného v první nádobě na konci
ohřevu; Vx [m3] objem plynu uzavřeného v první
nádobě na konci ohřevu; T2 [°C] teplota teplé vody v
druhé nádobě na počátku ochlazování. Přiložením
nádoby N2 s teplou vodou k první nádobě N se začne
plyn v první nádobě ohřívat, protože jeho teplota je
nižší než teplota teplé vody. V důsledku zvyšování
hybnosti částic plynu se začne píst se závažím
posouvat z bodu 0 až do bodu x, kdy se teploty
v obou nádobách téměř vyrovnají.
Změna stavu plynu v první nádobě způsobila vykonání práce:
3.id935 Práce vykonaná při změně stavu plynu v uzavřené nádobě s pístem.
A [J] práce vykonaná pracovním plynem při posuvu pístu mezi polohami 0 a x. Rovnice práce plynu je
odvozena v Příloze 935.
K tomu, aby se stav plynu v nádobě N změnil bylo nutné ho ohřát pomocí vody
v nádobě N2. Během ohřívání plynu se voda ochlazovala (změna stavu vody). Pokud
látka změnou svého stavu je schopna vykonat práci říkáme, že obsahuje energii
[3, s. 72]. Její obsah v látce je opět udáván v jednotce práce tedy "Joulech" označuje se
písmenem E. Jelikož je v tomto případě tato forma energie* ukryta uvnitř látky (ve
formě pohybu molekul) nazýváme ji "vnitřní tepelná energie" označujeme písmenem
U. Vnitřní tepelná energie látky se může měnit jestliže se změní její stav je tudíž také
stavovou veličinou.
*Změna vnitřní tepelné energie
Vnitřní tepelná energie látky se může měnit, pouze tak, že část své energie předá či
naopak získá od svého okolí. V uvedeném případě plyn v nádobě zvýšil svou vnitřní
tepelnou energii z nádoby s teplou vodou, ale zároveň část této získané vnitřní energie
transformována na práci A. O tuto vykonanou práci se zvýšila potenciální energie závaží
s pístem. Další druh energie, která látka může mít vzhledem ke svému okolí je například
kinetická energie, jaderná energie, chemická energie a další. Veškeré energie látky lze
sčítat a jsou schopny při své transformaci konat práci. Přes velké množství druhů
energií, které látka může obsahovat se místo "vnitřní tepelná energie" zkráceně používá
"vnitřní energie" pokud to vyplývá z kontextu sdělení.
Je zřejmé, že vnitřní tepelná energie látky souvisí s její teplotou. Pokud by její
teplota byla rovna absolutní nule není schopna konat práci ani předávat (zvyšovat
teplotu) okolních látek. Navíc při této teplotě jsou veškeré látky v pevném stavu.
K tomu přidejme poznatek, že po vykonání práce zdvihem závaží došlo i ke zvýšení
objemu plynu a ke snížení hustoty plynu a přesto tlak v nádobě zůstal stejný protože píst
se závažím zůstal v nové poloze a neklesá. Jestliže se snížila hustota plynu musela se
zvýšit hybnost částic plynu­teplota, aby tlak zůstal zachován. To znamená, že úbytek
vnitřní tepelná energie vody v nádobě N2 byl větší než práce vykonaná plynem, protože
část této energie bylo potřeba ke zvýšení vnitřní tepelná energie plynu. Což, potvrzuje
formulace prvního zákona termodynamiky:
4.id937 První zákona termodynamiky pro uzavřený systém.
(a) energetická bilance první a druhé nádoby; U [J] vnitřní tepelná energie látky; ΔU2 [J] změna vnitřní
tepelná energie teplé vody nádobě N2; ΔU [J] změna vnitřní tepelná energie plynu v nádobě N. (b) zápis
předchozího případu se zavedením veličiny teplo; Q [J] teplo; ΔQ [J] teplo dodané plynu v nádobě N. (c)
obecný diferenciální zápis* uvedeného případu­infinitezimální množství dodaného/odvedeného tepla způsobí
infinitezimální změnu vnitřní tepelná energie látky a vykoná infinitezimální množství práce. Zápis (c) je
matematický zápis prvního zákona termodynamiky a rovnice platí pro jakýkoliv uzavřený objem látky.
*Teplo
Všimněte si, že o teplu jako fyzikální veličině se mluví pouze v souvislosti se změnou
vnitřní tepelné energie látky. Teplem se označuje pouze množství energie přestupující
mezi oblastmi způsobenou rozdílem jejich teplot. Proto pojem "tepelná energie" je
nadbytečný.
Z poslední rovnice je napovězeno jakým způsobem lze stanovit vnitřní tepelnoun
energii látky respektive její změnu při zahřívání. Jestliže vyšetřovaná látka bude
uzavřena v nádobě s neměnným objemem (p∙dV=0) při zahřívání/ochlazování, bude
vykonaná práce tepla rovna nule a veškeré teplo bude použito na zvýšení/snížení vnitřní
tepelná energie látky v nádobě. Jak už je výše uvedeno projevem změny vnitřní tepelná
energie látky je změna její teploty, přičemž teplo v Jaulech potřebné na ohřátí 1 kg látky
se nazývá měrná tepelná kapacita při stálém objemu*:
5.id965 Vnitřní tepelná energie látky.
c v [J·kg­1·K­1] měrná tepelná kapacita látky při
stálém objemu.
*Měrná tepelná kapacita při stálém objemu
Jedná se o veličinu, která je proměnná, jelikož je funkcí druhu a stavu látky a to jak
funkcí stavových veličin, tak i skupenského stavu látky. Při malých změnách teploty a
tlaku (beze změny skupenství) je ovšem tato veličina velmi blízká konstantě (okolnosti
se liší podle druhu a stavu látky). Pro každý druh látky je nutno cv měřit pro určité stavy
látky. Tyto naměřené hodnoty se uvádí v tabulkách termodynamických vlastností látek
např. [4], [11].
Vztahy mezi různými druhy energií
Vnitřní tepelnou energii je možné transformovat na práci, a lze to i obráceně práci
lze transformovat na vnitřní energii. A nejen to, na vnitřní tepelnou energii lze
transformovat přímo či nepřímo jakýkoliv druh energie a to bezezbytku. Například
kinetická energie tělesa se přemění na teplo, které zvýší vnitřní tepelnou energii
okolních těles, třením o okolní látku:
6.id960 Transformace potenciální energie na kinetickou a vnitřní tepelnou energii.
Koule o hmotnosti m [kg] visí nad vodní hladinou v nádobě ve výšce h [m] a vůči hladině má potenciální
energii Ep [J]. Při volném pádu dosáhne těsně nad hladinou rychlosti w [m·s­1] a kinetické energie Ek [J].
Při nárazu na vodní hladinu se zbrzdí a pohyb ke dnu nádoby třením o vodu se zmaří i zbytek její kinetické a
potenciální energie na vnitřní energii vody hmoty koule (zahřejí se). Nárazem dojde k transformaci
kinetické energie Ek koule a na vnitřní energii vody, která se zvýší o ΔU [J]. Odpor prostředí při pádu (mimo
vodu) a změna hladiny při ponoření koule byly zanedbány.
Dalšími příkladem je přímá transformace elektrické energie v odporovém drátu
nebo elektrický větrák v místnosti, kdy větrák sice část elektrické energie transformuje
na kinetickou energii proudícího vzduchu, proud vzduchu je brzděn o okolní tělesa,
takže vnitřní tepelnou energie látek v místnosti se zvyšuje o elektrický příkon
ventilátoru. I energie uvolněná při štěpení jader atomu se postupně transformuje na
vnitřní tepelnou energii. Energie fotonu pohlceného látkou také látku zahřívá. A
tokových příkladů je kolem nás nesmírné množství.
Jak už bylo naznačeno různé druhy energií se mohou transformovat nejen na
vnitřní tepelnou energii ale i na jiné druhy energie přičemž platí "Zákon zachování
energie", který byl objeven a formulován postupně v průběhu 19. století mnoha učenci,
inženýry a dalšími osobami [12, s. 390]. Což znamená, že bude­li v izolovaném systému
látka s různými druhy energií například část energie bude obsahovat ve formě kinetické
energie, část elektrické, jaderné, chemické, vnitřní tepelné... a proběhnou­li v tomto
systému nějaké transformace potom součet množství energie v systému zůstane stejný.
Co je potřeba mít na zřeteli, tak základním energetickým projevem látky je její vnitřní
tepelná energie, proto veškerou energii lze na tuto energii beze zbytku transformovat,
ale obráceně už to neplatí viz poslední kapitola.
Tepelný oběh a jeho realizace
Výše uvedený příklad ukazuje jakým způsobem působí teplo na stav látky, jak
prostřednictví této látky vykonat práci. Technické uplatnění takových dějů, při kterém
se transformuje teplo na práci či naopak se uskutečňuje pomocí tzv. tepelných oběhů
(cyklů).
Tepelný oběh představuje sérii změn stavových veličin pracovní látky (tzv.
termodynamické změny) na jehož konci je pracovní látka v původním energetickém
stavu jako na začátku změn­stavové veličiny pracovní látky jsou stejné jako na začátku
změn. Změna stavových veličin se projevuje například ochlazováním, ohříváním,
stlačováním a rozpínáním pracovní látky. Realizace oběhu spočívá v tom, že pracovní
látka je uzavřena uvnitř nějakého stroje. Mezi částmi tohoto stroje a pracovní látkou je
silové působení, které se mění v závislosti na změně stavových veličin pracovní látky a
právě působením těchto sil se práce koná. Tepelné oběhy lze uplatnit i pro opačný
proces, při kterém se práce využívá ke zvýšení hodnot některých stavových veličiny
pracovní látky (např. chladící oběh).
Takovým strojem, ve kterém se může realizovat tepelný oběh může být válec
s pístem, ve kterém je jako pracovní látka uzavřen plyn. Potřebná změna stavových
veličin je provedena jeho řízeným ohříváním respektive chlazením, odtud vznikají
proměnlivé síly působící na píst:
7.id603 p­V diagram tepelného oběhu realizovaný v pístovém stroji.
Uvnitř válce je plyn, který sdílením tepla s okolím mění své stavové veličiny. 1­2 plyn je ohříván
(dodávání/přivádění tepla do oběhu); 2­3 plyn je ochlazován (odvod tepla z oběhu). A1­2 [J] práce vykonaná
plynem* během pohybu pístu z polohy 1 do polohy 2; A2­3 [J] práce vykonaná plynem během pohybu pístu
z polohy 2 do polohy 3 (plyn uvnitř válce byl ochlazen tak, aby v bodě 3 byl jeho stav totožný se stavem v
bodě 1 a oběh by tak mohl být uzavřen). Uzavřená integrace změny vnitřní tepelné energie musí být rovna
nule, protože se jedná o integraci stavové veličiny a pracovní látka se na konci oběhu vrátí do původního
termodynamického stavu. Zde zatím není řešeno jakým způsobem je plyn ohříván, jakým způsobem se
ohřev přeruší a zahájí se ochlazování plynu.
*Poznámka Jelikož pracovní látka je uzavřena uvnitř stroje nazývá se vykonaná práce pracovní
látkou vnitřní prací stroje.
Uvedený princip platí pro všechny skupenství látek, ale protože u pevného
skupenství látky je změna objemu působením síly nulová a u kapalného skupenství také
nulová nebo velmi malá je reálně využitelné skupenství pro transformaci tepla v práci
jako pracovní látkou pouze plyn*. Pracovní plyn uzavřený ve válci mění svůj tlak podle
toho jaký objem momentálně zaujímá, jaká je jeho teplota a také jaké je jeho složení:
8.id955 Stavová rovnice ideálního plynu.
m [kg] hmotnost plynu ve válci; r [J·kg­1·K­1] individuální plynová konstanta pracovního plynu. Rovnice se
nazývá zkráceně jen rovnice stavu [4, s. 66]. Rovnice je platná pro ideální plyn tzn. pro plyn, kde objem
molekul plynu je nevýznamný vůči objemu, který zaujímá jako celek a mezimolekulové síly jsou
zanedbatelné. V případě, že je plyn už velmi stlačen či podchlazen a samotný objem molekul je
nezanedbatelný je nutné vycházet ze stavové rovnice reálných plynů [4, s. 195]. Přesto ve velké většině
technických případů postačí použití rovnice pro ideální plyn.
*Poznámka Pevné i kapalné látky mají teplotní roztažnost [5, s. 612] tzn. při změně teploty mění
svůj objem, ale tyto změny jsou tak malé, že jsou, až na speciální výjimky, pro
transformaci tepla v práci a naopak technicky nevyužitelné. Roztažnost pevných a
kapalných látek se využívá při měření teploty (rtuťový teploměr, bimetalový teploměr)
a při přímé transformaci tepla v elektrickou energii pomocí termoelektrického článku
[5, s. 606] tvořený dvěma kovy s rozdílnými elektrickými vlastnostmi. V důsledku
těchto rozdílů vzniká mezi nimi elektrické napětí [5, s. 862]­tzv. termoelektrický jev
[5, s. 955].
V případě obrázku k Rovnici 7 byl použit záznam dvou stavových veličin do grafu,
a to tlak plynu v závislosti na objemu, který v daný okamžik pracovní plyn zaujímal ve
válci. Tomuto zobrazení se říká p­V diagram a plochy v něm vyjádřené jsou
ekvivalentní integraci součinu tlaku a diference objemu tzn. vyjadřují práci plynu.
Z obrázku je patrno, že tlak se měnil. Ale je také možný i jiný pohyb pístu a to
například takový, při kterém by bylo možné regulovat tepelný tok do plynu tak, že by se
tlak neměnil. Například při pohybu pístu mezi body 1­2 by byl tlak konstantní, potom
bychom říkali, že mezi body 1­2 probíhá izobarická změna (děj). Nebo naopak,
bychom v bodě 1 pohyb pístu zcela zablokovali, ale přesto by bylo plynu dodáváno
teplo. V takovém případě by se tlak zvyšoval při konstatním objemu a hovořili bychom
o izochorické změně. Pokud by tato změna probíhala beze ztrát hovoříme o takové
změně jako o vratné termodynamické změně, protože existuje fyzikálně reálný
termodynamický proces, kterým by se stav plynu vrátil po stejné "cestě" zpět do
původního stavu (podrobnosti o vratných změnách je v další kapitole "Účinnost
transformace energie a entropie":
9.id859 Izobarická a izochorická změna stavu plynu.
(a) izobarická změna stavu plynu (p=konst.); (b) izochorická změna stavu (V=konst.). Křivky v diagramech
zaznamenávající změny stavu při izobarickém nebo izochorickém ději se nazývají izobary respektive
izochory.
Tyto dva typy změn stavu plynu jsou jednoduše v p­V diagramu zaznamenatelné
jelikož jsou tvořeny přímkami vedoucí z počátečního stavu plynu. Existují ale i další
změny, kdy je jedna ze stavových veličin konstantní, ale nemusí to být tlak ani objem
například teplota (izotermická změna respektive izotermický děj). Další důležitou
změnou je taková změna stavu plynu v nádobě, při které je dokonale izolován od okolí,
ale píst je přesto v pohybu (Na základě nerovnováhy sil působící na píst), tato změna se
nazývá adiabatická změna respektive adiabatický děj:
10.id945 Izotermická a adiabatická změna stavu plynu.
(a) izotermická změna stavu plynu (T=konst.); (b) adiabatická změna stavu (dq=0). κ [­] Poissonova
konstanta (záleží na druhu plynu). Při izotermické změně je teplo do válce dodávano/odváděno tak, aby i
přes pohyb pístu, byla teplota pracovního plynu konstantní. Adiabatická změna je taková, při které je
sledované množství látky dokonale izolováno od vnějšího vlivu­proto se můžeme paradoxně setkat i
s pojmem adiabatické hoření (teplo se uvolňuje pouze uvnitř objemu). V případě plynu uzavřeného ve válci
s pístem bude probíhat adiabatická změna jestliže bude válec dokonale izolován proti sdílení tepla s okolím.
Při výpočtu změny tlaku ve válci, v případě adiabatické změně, vystupují dvě neznámé tj. tlak i teplota,
proto při výpočtu je nutná další rovnice a tou je již zmíněná rovnice Prvního zákona termodynamiky pro
uzavřený systém. Následnou kombinací s rovnicí stavu lze odvodit exponenciální závislost změny objemu
vzhledem k počátečnímu stavu při adiabatické změně [4, s. 87].
Abychom odlišili uvedené změny od změn biologických, chemických, jaderných a
pod. nazýváme tyto změny zároveň termodynamickými změnami.
Místo diagramu p­V lze použít diagram p­v, ve kterém jsou změny vztaženy na
1 kg pracovní látky. Malé v označuje tzv. měrný objem, což je údaj jaký objem zaujímá
1 kg pracovní látky [m3·kg­1]. Tento typ diagramu se používá mnohem častěji stejně tak,
se pracuje s dalšími měrnými veličinami jako je měrné teplo q, měrná vnitřní tepelná
energie b a měrná práce b. Výhoda tohoto způsobu výpočtu je, že není nutné znát přesné
energie b a měrná práce b. Výhoda tohoto způsobu výpočtu je, že není nutné znát přesné
množství látky ani objem stroje, pouze její měrný objem. Tak lze rovnici prvního
zákona termodynamiky a stavovou rovnici upravit na tvar měrných veličin:
11.id956 Rovnice prvního zákona termodynamiky pro uzavřený systém a stavová rovnice vztažené na 1 kg
pracovní látky.
­1
q [J·kg ] měrné teplo sdělené pracovní látce; u [J·kg­1] měrná energie pracovní látky; v [m3·kg­1] měrný
objem pracovní látky.
Carnotův oběh
Definice základních termodynamických změn, jakožto jejich přesných popisů
umožnila vytvoření mnoha ideálních oběhů. Tyto oběhy byly vytvořeny za účelem
sestrojení strojů, ve kterých by se transformovalo teplo na práci. Mezi takové oběhy
patří i Carnotův oběh. Pracovní látkou Carnotova oběhu je ideální plyn hermeticky
uzavřen ve válci s pohyblivým pístem, který koná přímočarý vratný pohyb a pohání
například klikovou hřídel:
12.id53 Jedna z možných realizací Carnotova oběhu.
­1
qD [J·kg ] dodané (přivedené) měrné teplo; qOd [J·kg­1] odvedené měrné teplo.
Jeden pracovní oběh (jedna otáčka klikovou hřídelí) se skládá ze čtyř vratných
termodynamických změn pracovního plynu:
Izotermická expanze (a)
Na začátku oběhu (nazvěme stav 1) je píst v horní úvrati a ve zbylém objemu je stlačen
pracovní plyn o teplotě TT, tlaku p1 a měrném objemu v1. Pracovnímu plynu je přes
stěny válce dodáváno teplo (je ohříván). Plyn se začne rozpínat a tím posune píst (práce
je konána). Teplo je pracovnímu plynu dodáváno v takovém množství, aby se během
expanze neměnila jeho teplota (izotermický děj), ale tlak i měrný objem plynu se mění
až do stavu 2, kdy se přívod tepla ukončí, a který se nachází někde mezi horní a dolní
úvrati pístu. Za celý průběh této změny bylo dodáno každému kilogramu plynu teplo qD.
Adiabatická expanze (b)
Ze stavu 2 následuje adiabatická změna, a proto musí být během této změny válec
dokonale tepelně izolován od okolí. Plyn stále expanduje a působí na píst silou (práce se
koná), ale s tlakem se při této změně mění i teplota pracovního plynu, protože plynu
není dodáváno teplo. Tato změna končí ve stavu 3, kdy píst dosáhne dolní úvrati.
Teplota pracovního plynu je v tomto bodě TS.
Izotermická komprese (c)
Píst se pohybuje ze stavu 3 z dolní úvrati k úvrati horní a přitom stlačuje izotermicky
pracovní plyn ve válci (práce se spotřebovává). Energii pro stlačení píst získává
z otáčející se klikové hřídele. Při stlačování se plyn zahřívá, aby komprese probíhala
izotermicky je nutné odvádět z plynu teplo tak, aby teplota plynu byla během této
změny TS=konst. Tato změna probíhá až do stavu 4, který nastane někdy mezi dolní a
horní úvrati pístu. Za celý průběh této změny bylo odvedeno každému kilogramu plynu
teplo qOd (má záporné znaménko, protože teplo je z plynu odváděno).
Adiabatická komprese (d)
Probíhá ze stavu 4. Během této změny musí být válec dokonale tepelně izolován od
okolí. Plyn je stále komprimován pístem (práce se spotřebovává) a působí na píst silou,
ale s tlakem se při této změně mění i teplota pracovního plynu, protože z plynu není
odváděno teplo zahřívá se. Tato změna končí v počátečním stavu 1, kdy píst dosáhne
horní úvrati a veškeré stavové veličiny pracovního plynu jsou v tomto bodě stejné jako
na počátku oběhu a teplota je tedy TT.
Zakreslením změn stavových veličiny pracovního plynu v p – v diagramu
(p=f(v, T)) umožňuje přesně navrhnout délku jednotlivých změn, které musí být takové,
aby vytvořily uzavřený oběh:
13.id957 Carnotův oběh v p­v.
1­2 izotermická expanze při teplotě TT (teplo je
pracovnímu plynu dodáváno); 2­3 adiabatická
expanze (pracovní plyn je tepelně izolován od okolí);
3­4 izotermická komprese při teplotě TS (teplo je z
pracovnímu plynu odváděno); 4­1 adiabatická
komprese (pracovní plyn je tepelně izolován od
okolí).
Carnotův oběh ovšem nelze technicky realizovat. Překážkou je především rychlé
střídání ohřevu ochlazení na stejné teplosměnné ploše válce. Ale má jednu zvláštní
vlastnost, která je zdůrazněna v poslední kapitole. Nicméně existují další oběhy, které
lze realizovat alespoň přibližně a některé z nich popisuji v článku 6. Tepelné oběhy a
jejich realizace.
Zatím jsem zde popisoval možnost realizovat celý tepelný oběh v jednom válci
(uzavřeném objemu) hovoříme o objemovém stroji. V takovém případě je vyšetřováno
určité uzavřené množství pracovní látky ve válci a proto takové případy jsou nazývané
jako uzavřené termodynamické systémy. Například v případě výbušného oběhu
pístového motoru se sice náplně po každém oběhu vymění, ale jeden oběh je stále se
stejnou náplní (zanedbáme­li jisté změny chemického složení při hoření směsi ve válci,
ovšem vzniklé spaliny mají velmi podobné termodynamické vlastnosti jako počáteční
směs). Další vlastnosti uvedených strojů je, že pracují cyklicky­uvnitř stroje se opakuje
v určité časové periodě stejná sekvence termodynamických změn. Opakem takových
strojů pracující cyklicky jsou stroje pracující kontinuálně nepřetržitě:
Energetická bilance průtočných strojů
Na rozdíl od objemových strojů průtočné stroje pracují kontinuálně. Průtočné
stroje lze dále rozdělit na proudové stroje, které neobsahují žádné pohyblivé části a
slouží například ke zvyšování rychlosti pracovní látky, zvýšení tlaku pracovní látky, pro
měření a pod. Mezi proudové stroje patří například clony, ejektory a injektor, raketový
motor. Další skupinovou průtočných strojů jsou lopatkové stroje. Lopatkové stroje již
pohyblivou část obsahují a obvykle transformují různé druhy energií přímo či nepřímo
na práci a obráceně. Mezi lopatkové stroje patří turbíny (vodní, parní...),
turbokompresory, ventilátory, turbodmychadla, hydrodynamická čerpadla, vrtule...
Průtočné stroje pracují, téměř bez výjimky, s tekutinou jako pracovní látkou. Některé
z průtočných strojů mohou být konstruovány tak, že mohou transformovat vnitřní
tepelnou energii, kinetickou energii, potenciální energii i tlakovou energii pracovní látky
na práci či obráceně*.
*Poznámka Kinetická energie ve stroji se může transformovat na základě změny hybnosti pracovní
látky, čímž vznikne síla působící na části stroje, kterou popisuje Eulerova rovnice.
Potenciální energie pracovní látky se transformuje na práci nepřímo, například tím, že
se nejdříve transformuje na kinetickou nebo tlakovou energii pracovní látky. Tlaková
energie se transformuje na práci nepřímo tím, že zvyšuje rychlost proudění, což je
obrácený proces probíhající v difuzoru.
Průtočné stroje vytváří tzv. otevřený termodynamický systém, kdy při stacionární
práci tohoto stroje je sice obsah pracovní látky ve stroji konstantní, ale látka jimi
protéká. Při stacionárním provozu stroje stejné množství pracovní látky za jednotku
času do stroje vstupuje i vystupuje.
Jestliže proudový stroj koná práci je tato práce, podle I. zákona termodynamiky
pro otevřený systém, rovna rozdílu jejího energetického stavu před a za strojem
[5, s. 37], [6, s. 51 – zde jsou uvedeny podmínky, za jakých lze tuto rovnici použít].
Pokud tedy existuje stroj, který dokáže transformovat energii obsaženou v pracovní
tekutině a to kinetickou energii, potenciální energii, tlakovou, vnitřní tepelnou energii a
sdělené teplo bude vnitřní měrná práce takového stroje rovna:
14.id288 Měrná vnitřní práce průtočného stroje (pro ustálené proudění) v diferenciálním tvaru a po
integraci mezi vstupem a výstupem*.
Index i označuje vstup, index e výstup ze stroje. q [J·kg­1] měrné teplo pracovní tekutiny sdílené s okolím
(kladná hodnota­teplo je do stroje dodáváno, záporná hodnota­teplo je ze stroje odváděno); i [J·kg­1] měrná
entalpie** pracovní tekutiny; H [m] výška vstupního respektive výstupní hrdla nad základní rovinou; ic [J·kg­
1
] měrná celková entalpie pracovní tekutiny; e p [J·kg­1] měrná potenciální energie pracovní tekutiny;
p·v [J·kg­1] tlaková energie (v Česku se lze setkat i s názvem energie proudu [4, s. 344] nebo tlaková
potenciální energie); MK [N·m] kroutící moment na hřídeli rotoru. Tato energetická bilance se nazývá První
zákon termodynamiky pro otevřený systém. Odvození rovnice I. zákona termodynamiky pro otevřený
systém je uvedeno v Příloze 288.
*Poznámka Tuto rovnici lze aplikovat i na libovolný kontrolní objem vymezený uvnitř stroje. Pro
elementární objem pracovní látky dV lze aplikovat poznatky pro uzavřený systém,
jestliže lze tento objem považovat za uzavřený (nedochází ke sdílení tepla a látky s
okolními elementárními objemy). V takovém případě lze zavést rovnost 0=dq­du­pdV
(respektive 0=dq­di+vdp) z Rovnice 11. Velmi často se při ideálním proudění plynů dále
zanedbává vliv hmotnosti a při dosazení rovnic z předchozí věty lze psát pro vnitřní
práci dai=­v∙dp, proto se člen ­v∙dp nazývá měrná technická práce.
**Entalpie
Tímto pojmem se označuje součet vnitřní a tlakové energie látky (i=u+p∙v). Především
u plynů je přívod/odvod tepla do/z pracovní látky často spojen se změnou jak vnitřní i
tlakové energie, jestliže plyn mění svůj objem i tlak. Například při zahřívání
vyčleněného objemu plynu v potrubí se plyn bude rozpínat a tím vytěsňovat okolní plyn
za stálého tlaku­teplo je spotřebováno na ohřev i zvýšení tlakové energie (dodané teplo
je součtem přírůstku těchto dvou energií). Podobná situace nastává u horkého vzduchu
kolem topidla v domě­vzduch se zahřívá a zvyšuje svůj objem za stálého tlaku. Proto se
entalpii někdy říká, že představuje tepelný obsah látky.
Je­li definována veličina entalpie je možné dále upravit rovnici I. zákona
termodynamiky pro uzavřený systém Rovnice 4:
15.id964 Druhá forma zápisu I. zákona termodynamiky uzavřeného systému.
Tato forma zápisu je oblíbená pro energetické bilance tepelných otevřených systémů, která je součástí
většího uzavřeného systému. Například byla použita při odvození množství regenerovaného tepla v
regenerátoru Stirlingova motoru (pracovní objem Stirlingova motoru je uzavřený mezi dvěma písty,
regenerátor se nachází uvnitř této sestavy tj. vůči ostatním objemům motoru je otevřený). Odvození druhé
formy rovnice I. zákona termodynamiky pro uzavřený systém je uvedeno v Příloze 964.
Entalpie látky se zjišťuje podobně jako vnitřní tepelná energie látky. Jestliže objem
sledované látky bude uzavřen v nádobě s pístem, jehož pohyb bude takový, aby v
nádobě byl neustále stejný tlak (v∙dp=0) při zahřívání/ochlazování, bude veškeré teplo
použito na zvýšení/snížení entalpie látky v nádobě. Projevem této změny musí být
zvýšení její teploty. Přičemž množství tepla v [J] potřebné na ohřátí 1 kg látky takovým
způsobem se nazývá měrná tepelná kapacita při stálém tlaku*:
16.id966 Entalpie látky.
c p [J·kg ·K ] měrná tepelná kapacita látky při
­1
­1
stálém tlaku.
*Měrná tepelná kapacita při stálém tlaku
Jedná se o veličinu, která je proměnná, jelikož je funkcí druhu a stavu látky a to jak
funkcí stavových veličin, tak i skupenského stavu látky. Při malých změnách teploty a
tlaku (beze změny skupenství) je ovšem tato veličina velmi blízká konstantě (okolnosti
se liší podle druhu a stavu látky). Pro každý druh látky je nutno cp měřit pro určité stavy
látky. Tyto naměřené hodnoty se uvádí v tabulkách termodynamických vlastností látek
např. [4], [11]. Správný výpočet měrné tepelné kapacity je velmi důležitý v technické
praxi a proto podrobněji je tato problematika popsána v kapitole "Expanze a komprese
reálných plynů" uvedené níže.
Při porovnání definice tepelných kapacit cv, cp je z zřejmé, že pro plyny bude platit
cv<cp. Pro skupenství kapalné a pevné cv≐cp.
Mimo čistě průtočných strojů existují i stroje pracující střídavě jako uzavřený a
otevřený systém. Typickým příkladem je pístový parní motor.
Účinnost transformace energie a entropie
Teplo lze transformovat prostřednictvím tepelného oběhu realizovaných pomocí
strojů na práci. Účinnost takové transformace je poměr vykonané práce a dodaného
tepla, proto takto definovanou účinnost nazýváme i tepelná účinnost oběhu:
17.id616 Tepelná účinnost oběhu­definice.
Index D označuje teplo, které bylo dodáno
(přivedeno) do oběhu.
Tepelná účinnost oběhu nemůže být ani teoreticky rovna 1. To je dáno tím, že část
vykonané práce (která vznikla transformací dodaného tepla) se zase spotřebuje na to,
aby se pracovní látka vrátila do původního stavu a oběh se mohl znova opakovat.
Například tepelná účinnost Carnotova oběhu Obrázek 13. bude:
18.id54 Energetická bilance Carnotova oběhu.
τ [­] teplotní poměr; qOd [J·kg­1·K­1] teplo z oběhu odvedené*. Protože na úsecích 2­3 a 4­1 probíhají
adiabatické děje může být teplo dodáváno pouze na úsecích izotermických dějů 1­2 a 3­4. Bilance tepla na
úseku 1­2 bude mít kladné znaménko (v 1<v 2)­teplo je dodáváno, bilance tepla na úseku 3­4 bude mít
záporné znaménko (v 4>v 3)­teplo je odváděno. Odvození rovnic pro energetickou bilanci Carnotova oběhu je
uvedeno v Příloze 54.
*Poznámka Protože práce oběhu je rovna uzavřené integraci tepelného toku (viz Rovnice 7) musí
být práce oběhu také rovna a=qD+qOd, což paralelně vyplývá ze zákonu zachování
energie:
Podobně lze postupovat i při odvození tepelné účinnosti jakéhokoliv tepelného
oběhu.
Pro technickou praxi je tepelná účinnost oběhu velmi důležitá, protože jen
v opakujícím se cyklu, ve kterém je pracovní látka na konci cyklu ve stejném stavu jako
na jeho začátku lze transformovat teplo na práci stabilně dlouhodobě. Zároveň zdroj
tepla má v dnešním světě konkrétní finanční hodnotu a proto je požadavek na co
největší tepelnou účinnost, protože to souvisí s provozní ziskem (samozřejmě záleží i na
provozních nákladech celého zařízení pro realizaci takového oběhu). Odpověď na to
jakou největší tepelnou účinnost lze dosáhnout je ale nutné hledat ve fyzikální kvalitě
termodynamických dějů respektive ve způsobu jejich provedení.
Účinnost tepelného oběhu se vztahuje pouze k transformaci tepla na práci nic
jiného nevyjadřuje z pohledu vnějšího přívodu tepla do systému. To jakým způsobem
dochází k transformaci tepla při termodynamické změně popisuje veličina zvaná
entropie*, kterou definoval a pojmenoval v roce 1850 Rudlof Clausius (1822­1888)
[3, s. 72]. Přivedené teplo během termodynamické změny může být transformováno na
energii tlakovou, kinetickou či potenciální (mechanické energie) a práci a nebo se
využije ke zvýšení vnitřní tepelné energie pracovní látky­zahřeje se. Ale nejen to, v
průběhu termodynamické změny v transformačním stroji probíhají reverzní změny, při
kterých se mechanická energie a práce transformuje zpět na teplo (například kinetická
energie se transformuje zpět na teplo třením o části stroje, vířením směšováním apod
toto teplo se nazývá ztrátové teplo**, pokud vzniká jen v důsledku tření a víření
tekutiny používá se označení třecí teplo (popis takového procesu je uveden
v kapitolách 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny, 37. Vznik trvalé tlakové
v kapitolách 38. Vznik tlakové ztráty při proudění tekutiny, 37. Vznik trvalé tlakové
ztráty při škrcení), typickým reverzním procesem je turbulizace pracovní látky během
transformace apod.). Na rozdíl od tepla dodaného pracovní látce z vnějšku, které může
mít kladné i záporné znaménko (viz dodané/odvedené teplo) teplo vzniklé z reverzního
procesu má znaménko vždy kladné ("vzniká" uvnitř pracovní látky z transformací) a
zpět na další druhy energie v následujícím okamžiku se může transformovat pouze
z části, což má na reálné termodynamické změny v přírodě i technice fatální dopad.
*Entropie
V průběhu objevování různých druhů energie a způsobu jejich transformace bylo čím
dál tím zřejmnější, že veškeré energie lze postupně transformovat bezezbytku na teplo.
Tato myšlenka vyvrcholila právě definicí entropie, což je množství transformovaného
tepla (součet tepla dodaného/odvedeného a ztrátového teplo) na práci a machanickou
energii, připadající na 1 stupeň teplotní hladiny (měřeno od absolutní nuly), při které se
transformace odehrává. Vztažení na teplotu nám poskytuje informaci o tom jak se mění
vnitřní energie pracovní látky­pokud se nemění znamená to, že veškeré sdílené teplo
bylo transformováno na mechanickou energii. Slovo entropie se ale používá nejen
v termodynamice, ale i v informatice, kde představuje neurčitost rozhodování
(Shannonova entropie) v jakém stavu se mohou nacházet členy pozorovaného systému,
jeho jednotkou je bit a počítá se pomocí vzorce H=­(p1log2p1 + p2log2p2 + ... +
pnlog2pn), kde p označuje pravděpodobnost, že tento stav nastane a n je počet stavů,
kterých může systém dosáhnout [19, s. 15] (log o základu dvě, proto že stav může buď
nastat nebo nenastat). Rovnice byla odvozena na základě požadavků na to co by měla
neurčitost rozhodování znamenat [19, s. 14]. Maximální neurčitosti dosáhne systém
jsou­li všechny stavy, které může systém dosáhnout stejně pravděpodobné [19, s. 15].
Neurčitost rozhodování systému lze měnit pomocí informace o systému přesněji
zprávou, která mění pravděpodobnost v jakém stavu se systému může nacházet (buď ji
zvyšuje nebo snižuje). Množství informace v bitech je potom rozdíl neurčitosti
rozhodování před přijetím informace a po přijetí informace. Nejčastěji neurčitost
rozhodování vztahujeme na soubor dat, který obsahuje binární členy, takže každý z nich
může být ve stavu 0 nebo 1. Soubor dat, který obsahuje jeden binární čelen může mít
maximálně 1 bit. Soubor dat, který obsahuje dva binární členy může mít maximálně
2 bity atd.
**Ztrátové teplo
Jedná se o přírůstek vnitřní tepelné energie, který pochází z transformace práce nebo
jiného druhu energie (reverzní proces), zároveň se látka po této transformaci dostala do
stavu, ze kterého již nelze toto množství transformovat zpět na uvedené energie
v původních poměrech bez zásahu z venčí.
Nejvíce tepla se transformuje na uvedené energie v případě izotermické změny,
jelikož transformace probíhá při konstantní teplotní hladině, žádné teplo není
spotřebováno na změnu vnitřní tepelné energie látky. Se změnou teplotní hladiny během
termodynamické změny se změní i entropie pracovní látky oproti izotermické změně při
stejném počátečním stavu a stejnému množství dodaného tepla. Tyto změny se
zakreslují do T­S diagramu:
19.id968 Definice entropie a příklady změny entropie pro vybrané termodynamické změny.
Definiční rovnice entropie je v diferenčním i diferenciálním tvaru. ΔS [J·K­1] změna entropie během
termodynamické změny systému; Qz [J] teplo vzniklé reverzními procesy během sledované termodynamické
změny (ztrátové teplo); T‾ [K] střední absolutní teplota, při které v systému proběhla termodynamická
změna. a izotermická vratná/ideální změna (bez reverzních dějů); b, c polytropická vratná/ideální
změna* – s přívodem tepla; d adiabatická vratná/ideální (tzv. izoentropická). V případě změn a, b a c je
dodané teplo během změny stejné. U polytropické změny b klesala teplota, proto je na konci změny je
entropie výšší než při izotermické změně a. Při polytropické vratné změně c byla část dodávaného tepla
využita ke zvýšení vnitřní tepelné energie pracovní látky odpovídají změně teploty a tak se mohla
transformovat jen část dodávaného tepla. Adiabatická vratná změna d nebyla doprovázena přívodem tepla a
tak veškeré změny proběhly na úkor vnitřní tepelné energie pracovní látky, což odpovídajícím způsobem
snížilo její teplotu.
*Poznámka Polytropický děj lze rozdělit na velké množství izotermických dějů se stále nižší/vyšší
teplotou.
Poznámka Diferenciální tvar rovnice změny entropie se mnohem častěji píše ve tvaru pro ideální
změnu tj. v čitateli je infinitezimální změna dQ a jedná se tedy o reverzibilní teplo. To
znamená, že reverzní procesy nejsou uvažovány [6, s. 51].
Odtud je zřejmé, že pokud v izolovaném systému budou probíhat transformace
bude entropie nulová nebo se bude zvětšovat, tak jak se postupně transformuje vnitřní
energie systému na energie další a zpět. Aby entropie klesala muselo by mít čitatel
záporné znaménko. To lze dosáhnout pouze je­li teplo odváděno mimo vyšetřovaný
systém, tedy systém by byl neizolován.
Druhý zákon termodynamiky
Entropie izolovaného termodynamického systému vzrůstá v průběhu každé samovolné
změny.
Vzrůst entropie souvisí s množstvím stavů, které může pracovní látka dosáhnout
na molekulární úrovni, což souvisí s mechanismem sdílení tepla, které znamená, že
teplo přestupuje z teplé látky na studenou a nikoliv naopak. Více informací o tomto ději
v [6], [7, s. 396].
Oproti p­v diagramu lze v T­s diagramu vyjádřit teplo Q i teplo vzniklé reverzními
ději Qz:
20.id969 Příklad termodynamické změny (adiabatická expanze), ve kterém probíhal reverzní proces­
vznikaly ztráty.
(a) adiabatická expanze pro případ ΔQz=0 – izoentropická expanze; (b) adiabatická expanze pro případ
ΔQz≠0 – expanze se ztrátami. Index iz označuje stav pracovního plynu ve válci na konci izoentropické
expanze. Jestliže během expanze budou probíhat transformace energie za vzniku ztrátového tepla, tak stav
pracovního plynu na konci expanze bude odpovídat bodu 2 (případ (b)). Stav 2 se vyznačuje vyšší teplotou
(vyšší vnitřní tepelná energie plynu) a vyšší entropií než stav 2iz. Ztrátové teplo vzniká transformací některé
z uvedených energií na vnitřní tepelnou energii pracovní látky, to způsobí ve vyšetřovaném objemu lokální
změny teploty v určitém místě a tedy sdílení tepla s bezprostředním okolím, které je chladnější. Tímto
mechanismem se snižuje průměrná statická teplota místa vzniku ztrátového tepla a tedy i schopnost
pracovní látky konat práci. Pro vnějšího pozorovatele se jeví tato expanze jako polytropická. Protože
jednotlivé transformace během změny se sčítají je nárůst entropie tím větší čim vyšší je počet transformací
ztrátového tepla mezi počátečním a konečným stavem.
Poznámka Opakem vratné adiabatické expanze beze ztrát (tzv. izoentropická expanze) je
adiabatická komprese. Při vratné adiabatické kompresi ve směru 2iz­1 se spotřebuje
stejné množství práce jako při vratné expanzi ze stavu 1­2iz. Proto se takové změny
nazývají vratné změny. Pro návrat plynu ze stavu 2 do stavu 1 nepomůže ani vratná
adiabatická komprese (tzv. izoentropická komprese). Aby se plyn vrátil do stavu 1 ze
stavu 2 musí se minimálně část tepla z předchozích reverzních procesů odvést. Proto se
termodynamické změny, při kterých se odehrávají reversní procesy nazývají nevratné
změny. viz také [7, s. 396].
Poznámka Expanzi či kompresi směsi plynů nelze dosáhnout izoentropicky. Jednotlivé plyny mají
rozdílené individuální plynové konstanty a při změně tlaku se změní jejich teplota
různě, takže některé složky plynu se ohřívají od teplejších a naopak. Tyto děje jsou
zpožděny za změnou tlaku a tím se musí měnit i entropie směsi.
Popište nárůst entropie při proudění plynu v potrubí s trvalou tlakovou ztrátou. Úloha 1.id985
Úloha 1: řešení.
Stav na začátku sledovaného úseku potrubí je označen indexem 1 respektive indexem 2 na jeho konci.
s [J·K­1·kg­1] měrná entropie látky (změna entropie připadající na 1 kg pracovní látky); Θ [K] teplotní
ekvivalent rychlosti (zvýšení teploty plynu při dokonalé přeměně kinetické energie proudu na vnitřní
tepelnou energii); Tc [K] celková teplota plynu; qz [J·kg­1] měrné ztrátové teplo; Δpz [Pa] tlaková ztráta.
Během proudění klesá vnitřní tepelná energie plynu, která se transformuje na kinetickou a tlakovou energii
podobně jako ztrátové (třecí) teplo.
Praktická ukázka zvyšování entropie vlivem tepla z reverzních procesů jsou patrny
například při adiabatické expanzi v tepelné turbíně či adiabatické kompresi
v turbokompresoru. Zajímavým případem je i škrcení plynu a par při průtoku clonou.
Změna entropie se využívá k zaznamenání stavu pracovních látek v závislosti na
dodaném teplu. Tyto stavy se zaznamenávají do grafů či tabulek:
21.id970 Příklad zakreslení stavů vody v T­s diagramu.
1 počáteční stav měření; 2p konečný stav měření pro izobarický děj (čára 1­2p je tedy izobarou vody a vodní
páry v T­s diagramu); 2v konečný stav měření pro izochorický děj (čára 1­2v je tedy izochorou vody a vodní
páry v T­s diagramu). Měření začalo při teplotě a tlaku odpovídající kapalné fázi vody. Změna entropie se
počítá z dodaného tepla na základě záznamu teploty vůči počátečnímu stavu (v současnosti není nutné
provádět měření a pro konstrukci takových diagramů existují velmi přesné rovnice stavu látky [4, s. 242]).
Záznam stavů látky v závislosti na změně entropie lze provádět i k jiným veličinám než teplotě, v technické
praxi se často používá i­s diagram, kde se na svislou osu místo teploty vynáší entalpie pracovní látky.
Skutečný t­s diagram vody a vodní páry je uveden v Tabulce 43.797. a i­s diagram vody a vodní páry je
uveden v Tabulce 43.888. Termodynamika par včetně konstrukce T­s respektive i­s diagramů je popsána
v [4, s. 213 až 260] a v kapitole "Expanze a komprese reálných plynů" uvedené níže.
T­s diagram se používá v technické praxi jako pomůcka pro odečet stavu pracovní
látky a zjištění energetických toků pro sledované termodynamické změny či celých
oběhů z těchto změn složených. Například takto by vypadal záznam stavů pracovní
látky Carnotova oběhu v T­s diagramu a rovnice výpočtu energetické bilance pomocí
entropie, které jsou výrazně jednodušší a názornější než v případě Rovnice 18:
22.id601 Výpočet energetické bilance Carnotova oběhu pomocí T­s diagramu.
Předpoklady řešení: je k dispozici T­s diagram pracovního plynu; oběh se realizuje podle popisu na
Obrázku 12 a Obrázku 13 bez jakýkoliv ztrát tzn. bez úniku pracovní plynu mimo pracovní objem (válec)
bez reverzní procesů (termodynamické změny jsou beze ztrát). Stav 1 odpovídají teplotě T1 (teploměr) a
tlaku p1 (tlakoměr): odečte se měrná entropie s1 a příslušný měrný objem v 1 a z objemu válce se dopočítá
hmotnost pracovního plynu ve válci. Výpočet měrného objemu v 2 z hmotnosti pracovního plynu a objemu
válce V2. Protože mezi stavy 1­2 probíhá izotermický děj, bude stav 2 odpovídat průsečíku izotermy TT a
izochory v 2. Odtud probíhá izoentropická expanze. Konec této expanze je průsečíkem izoentropy
s izochorou v 2. Podobně se určí bod 3 v T­s diagramu, který bude v průsečíku izotermy TS a izoentropy
z bodu 1.
Poznámka V tomto případě odpovídá plocha 1­2­3­4 práci pro ideální realizaci oběhu­bez
reversních dějů (proto index id). V případě, že by například expanze z 1­2 neprobíhala
izoentropicky, ale se ztrátami, tak by na konci expanze byla vyšší entropie. Potom, aby
se stav pracovní látky vrátil do stavu 2, je nutné odvést více tepla. Což podle poznámky
pod Rovnicí 18 povede ke snížení práce a ke snížení účinnosti tepelného oběhu, protože
množství dodaného tepla QD zůstane stejné. Je nutné mít na paměti, že ne vždy
uzavřená plocha tepelného oběhu v T­s diagramu je ekvivalentní k práci oběhu,
ekvivalentní je pouze v ideálních případech realizace, kdy nevzniká teplo
z reverzních procesů:
23.id972 Carnotův oběh s nedokonalou realizací.
Oproti předchozí ideální realizaci, zde probíhá
expanze pracovního plynu na úseku 2­3 sice
adiabaticky, ale se ztrátami. Teplo z reverzních
procesů je na obrázku označeno jako qz. Aby se stav
pracovního plynu vrátil na izoentropu respektive do
stavu 3iz musí být, část tohoto ztrátového tepla
odvedeno mimo oběh při konstantním objemu
odpovídající ploše pod izochorou na úseku 3­3iz. Což
znamená, že se snížila práce oběhu, protože rovnice
pod Rovnicí 18 je stále platná.
Při vyšetřování reálného tepelného oběhu se v technické praxi nevychází pouze
z T­s diagramu, ale data se kombinují hned z několika diagramů pro získání více
vstupních dat při řešení rovnic. Proto je schopnost sestrojit stejný tepelný oběh
v několika diagramech naprosto klíčová.
Na začátku této kapitoly je pojednáno o uzavřeném tepelném oběhu, kde je
konstatováno, že část vykonané práce je spotřebována při návratu stavu látky do
počátečního stavu, přičemž se musí část tepla i odvádět. Otázka je, jakou maximální
tepelnou účinnost může tepelný oběh dosáhnout?
24.id582 Odvození rovnice pro maximální účinnost tepelného oběhu.
T‾T [K] střední teplota přívodu tepla do oběhu; T‾S [K] střední teplota odvodu tepla z oběhu. Popis řešení:
Tepelný oběh je realizován v izolovaném termodynamickém systému označené písmenem Ω. V tomto
systému se nachází mimo jiné dvě oblasti, a to oblast i a oblast e, přičemž teplota oblasti i je větší než
oblasti e (Ti>Te). Mezi těmito oblastmi se nachází ideální tepelný stroj Ψ schopný realizovat vratné
termodynamické změny (tj. beze ztrát). Uvnitř stroje je pracovní plyn, jehož prostřednictvím se realizuje
tepelný oběh O, který dosahuje maximální měrné entropie smax respektive minimální smin. Protože se veškeré
termodynamické změny realizují ideálně bude se teplo do oběhu přivádět s rostoucí entropií (úsek smin­smax) a
s klesající odvádět (úsek smax­smin), což plyne z definice entropie. Střední teplota přívodu tepla do oběhu je
označena T‾T (index T jako teplá), střední teplota odvodu tepla z oběhu je označena T‾S (index S jako
studená). Bude­li teplota T‾T<Ti může stroj teplo odebírat z oblasti i. Bude­li teplota T‾S>Te může stroj teplo
odvádět do oblasti e. Entropie oblasti i se sice bude takto snižovat, ale o stejnou hodnotu se bude muset
zvětšit entropie oblasti e, která se bude ohřívat. Takže entropie izolovaného systému Ω bude konstantní.
Odtud plyne rovnost (a). Rovnice (b) je rovnice práce jako součet qD a qOd. Rovnice (c) je rovnice tepelné
účinnosti takového ideálního oběhu ηt,max, která je zároveň maximální účinností pro tepelné oběhy, protože v
případě realizace oběhu se ztrátami bude tepelná účinnost jistě menší. Odvození například i [6, s.54].
Uvedený vztah pro maximální účinnost poprvé odvodil William Thomson.
Protože u ideální realizace Carnotova oběhu je střední teplota přívodu tepla do
oběhu rovna teplotě T1 a střední teplota odvodu tepla z oběhu T3 je účinnost Carnotova
oběhu Rovnice 18. To znamená, že Carnotův oběh dosahuje maximální tepelné
účinnosti jaké vůbec mohou tepelné oběhy dosahovat. Účinnost reálných tepelných
oběhů se pohybuje do 80% účinnosti ideálního Carnotova oběhu, ale velmi záleží na
typu oběhu, jeho realizaci a i výkonu stroje. Obvykle platí, čím výkonější stroj tím
vyššý tepelnou účinnost lze očekávat.
Termodynamické vlastnosti látek
Z výše uvedených odstavců je zřejmé, že k přesnému výpočtu práce a tepelných
toků ve stroji je nezbytné mít k dispozici i­s nebo T­s digram příslušné pracovní
tekutiny. Nejčastějším pracovní tekutinou je voda přesněji H2O a vzduch.
Pokud se jedná o vodu jsou k dispozici volně dostupná data v širokém rozsahu její
stavů. Tato data spravuje nezisková organizace IAPWS (The International Association
for the Properties of Water and Steam [13]), která podporuje výzkum, zpracování
a zveřejňování vlastností vody. Tyto údaje se využívají v tabulkách termodynamických
vlastností vody např. [14], [15], ve kterých jsou uvedeny i polynomy nejsledovanějších
křivek (izobar, izochor, izoterem a pod.) v diagramech.
Termodynamická data pro vzduch jsou také volně dostupná respektive
jednotlivých plynů a vodní páry ve vzduchu obsažených. Pomocí těchto
termodynamických dat si musí konstruktér, pro dané složení vzduchu, vytvořit diagram
sám nebo častěji pomocí softwarového nástroje.
Konstrukce T­s a i­s diagramů ideálních plynů
Volná dostupnost termodynamických dat dalších (technických) plynů a směsí
plynů je horší. Jednou z možností jak si diagramy takových plynů vytvořit
(zkonstruovat izobary a izochory) je vycházet z jejich měrných tepelných kapacit.
Měrná tepelná kapacita při stálém objemu i tlaku ideálního plynu je konstantní
(c=konst.) pro celý rozsah teplot a tlaků. Odtud lze odvodit rovnice pro konstrukci
izobary i izochory v T­s diagramu přesněji rovnice pro jakýkoliv bod těchto křivek:
25.id310 Rovnice pro konstrukci izobary a izochory
v T­s diagramu
(a) rovnice izobary; (b) rovnice izochory. Index p
označuje bod na izobaře a index v na izochoře.
Rovnice jsou odvozeny pro c=konst. v Příloze 310.
Z posledních rovnic je patrné, že Δs na jakékoliv izobaře pro stejný rozdíl teplot je
stejné, protože rovnice nejsou funkcí tlaků. To znamená, že pro konstrukci průběhu děje
v T­s diagramu mezi dvěma izobarami stačí znát pouze tvar jedné izobary, která se proto
označuje jako porovnávací izobara*) a tu posouvat v diagramu T­s ve vodorovném
směru pro získání potřebných izobar. Posunutí mezi jakoukoliv izobarou a porovnávací
izobarou odpovídá rozdílu entropie při izotermickém ději mezi těmito tlaky. Podobně
lze postupovat i při konstrukci izochor.
*Porovnávací izobara p0
Porovnávací izobara je referenční křivkou v T­s diagramu pro určitý (porovnávací) tlak
(většinou atmosférický tlak pat). Změna entropie na této izobaře je k vybranému
referenčnímu stavu 0 (většinou se jedná o teplotu 0 °C):
26.id124 Konstrukce T­s diagramu pomocí
porovnávací izobary.
Obrázek znázorňuje posunutí dvou izobar pi a pe vůči
porovnávací izobaře p0 přičemž pe<pi<p0. p0 porovnávací izobara; 0 referenční stav na
porovnávací izobaře (horním indexem 0 jsou
označeny stavy na porovnávací izobaře). Odvození
rovnice pro rozdíl entropie na izotermě je uvedeno
v Příloze 124.
Konstrukce i­s diagramu je stejná pouze se osa teploty přepočítá na hodnoty
entalpie podle vzorce i=cp(T­273,15), který lze jednoduše odvodit z Rovnice 16.
Měrná tepelná kapacita směsi plynu je rovna součtu měrných tepelných kapacit
jednotlivých složek plynu:
27.id814 Měrná tepelná kapacita směsi plynů.
ωi [­] hmotnostní podíl jednotlivé složky plynu; c i [kJ·kg­1·K­1] měrná tepelná kapacita jednotlivé složky
plynu; m [kg] hmotnost plynu v kontrolním objemu; mi [kg] hmotnost jednotlivé složky plynu v kontrolním
objemu; k [­] počet složek plynu.
Poznámka ke konstrukci i­s a T­s diagramů pro případ ρ≐konst. V takových diagramech jsou izobary stejné křivky vzájemně posunuté ve směru osy
teploty či entalapie. To je dáno tím, že pro tento případ lze zanedbat vliv změny vnitřní
tepelné energie i hustoty takže vyjde Δi≈Δp∙ρ­1.
Problém je, že měrné tepelné kapacity reálných látek nemusí být konstantní ve
vyšetřovaném rozsahu teplot a tlaků.
Konstrukce T­s a i­s diagramů reálných plynů
Měrné tepelné kapacity reálných plynů a plynných směsí nemusí být konstantní v
celém rozsahu teplot a tlaku (c≠konst.) a obvykle jsou funkcí teploty a tlaku (c=f(T, p)).
Například měrná tepelná kapacita při stálém tlaku cp suchého vzduchu o teplotě 1000 °C
je o 18% větší než při teplotě 0 °C (pro atmosférický tlak). Důsledek: na konci
termodynamické změny reálného plynu a plynných směsí může být teplota jiná než na
konci stejné termodynamické změny ideálního plynu při stejné výchozí teplotě a tlaku.
To omezuje platnost Rovnic 25 pro konstrukci izobar a izochor a další rovnice například
rovnice pro rozdíl entalpií, která byla odvozena za předpokladu cp=konst.
Pro malé změny měrné tepelné kapacity lze vycházet ze střední hodnoty tepelných
kapacit na daném úseku izobary či izochory:
28.id448 Střední hodnota měrné tepelné kapacity mezi počátkem a koncem termodynamického děje.
c str [J·kg­1·K­1] střední hodnota měrné tepelné kapacity mezi počátkem a koncem děje; c 1/2 [J·kg­1·K­1] měrná
tepelná kapacita na počátku/konci děje. Výpočet měrné tepelné kapacity tímto způsobem je dostatečný pro
rozdíl teplot mezi počátkem a koncem děje cca do 200 °C.
Velmi dobrých výsledků, při výpočtu rozdílů entalpie reálných plynů, lze
dosáhnout, jestliže je uvažována závislost měrné tepelné kapacity pouze na teplotě
c=f(T) [16, s. 79] (vliv tlaku na c bývá mnohem menší než teploty). To sice zhoršuje
přesnost výsledků, ale jestliže změna měrné tepelné kapacity plynu při stálém tlaku je
funkcí pouze teploty (nikoliv tlaku) platí, že izobary v T­s diagramu jsou opět stejné a
od sebe posunuty ve směru osy entropie (podobně jako pro cp=konst.), a pro konstrukci
T­s diagramu stačí znát pouze porovnávací izobaru, přičemž změny tepelných kapacit
má na tvar izobary následující vliv:
29.id123 Izobary v T­s diagramu pro případy
c p=konst. a c p=f(T).
(a) izobara pro c p=konst.; (b) izobara v případě, že
c p s teplotou klesá; (c) izobara pro případ, že c p s
teplotou roste. 0 výchozí stav. Při c p=f(T) již izobary
nejsou logaritmické křivky.
Rostoucí cp s teplotou zvyšuje spotřebu tepla na ohřev plynu nebo pro případ
chlazení zvyšuje množství odvedeného tepla. Klesající cp s teplotou snižuje spotřebu
tepla na ohřev plynu nebo pro případ chlazení snižuje množství odvedeného tepla. Pro
energetickou bilanci izobarické změny je tedy důležité stanovit přibližný skutečný tvar
izobary v T­s diagramu, který by reflektoval změnu cp.
Přesnější porovnávací izobaru v T­s diagramu reálného plynu nebo směsi plynů lze
zkonstruovat pomocí funkce cp=f(T) nebo z tabulkových hodnot T­cp (stejné pravidlo lze
použít i pro izochoru):
30.id813 Konstrukce porovnávací izobary reálného plynu.
(a) konstrukce jakékoliv bodu izobary pomocí funkce c p=f(T); (b) konstrukce izobary pomocí tabulkových
hodnot T – c p. Hodnota funkce Φ v bodě nula je 0 (Φ(T0)=0). Změna entropie s­s0 se proto označuje Φ(T).
Odvození těchto rovnic je uvedeno v Příloze 813.
Funkce Φ(T) pro různé plyny bývají uvedeny v termodynamických tabulkách např.
[17], ve zkrácených verzích tabulek pro inženýry jsou obvykle uvedeny pouze
tabulkově hodnoty této funkce nebo jen hodnoty tepelné kapacity:
t cp Φ(T) [°C] [J·kg­1·K­1] [J·kg­1·K­1] ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 0 .. 0 5 .. .. 10 .. .. 31.id703 Příklad tabulkového zápisu porovnávací
izobary p0=....Pa pro plyn, t0=...°C.
Posunutí jednotlivých izobar od porovnávací izobary v T­s diagramu se
samozřejmě počítá stejně jako v případě T­s diagramů ideálních plynů
Přepočítat T­s diagram na i­s reálných plynů není obtížný. Pro rozdíl entropie se
použije opět funkce Φ:
32.id858 Rovnice pro konstrukci i­s diagramu.
Výpočet měrné entalpie pracovního plynu v bodě k při teplotě Tk. Rovnice je odvozena z Rovnice 30.
Při výpočtu entalpického spádu je výhodnější pracovat s porovnávací izobarou
přímo v i­s diagramu. Proto termodynamické tabulky obsahují také měrné entalpie na
porovnávací izobaře (díky tomu není nutný pracný přepočet). Jestliže je cp=f(T) potom i
měrná entalpie pracovního plynu i je i=f(T) a tedy i izobary v i­s diagramu jsou stejné
pouze posunuté ve směru osy entropie. V tomto případě lze porovnávací izobaru
zkonstruovat z funkce i=f(s) (pro čistý plyn) [17] nebo i=f(t) [18, s. 25] (tato funkce je
vhodná pro stanovování energetické bilance při přestupu tepla a při výpočtu teploty
nechlazeného plamene viz. 3. Entalpie spalin – entalpie směsi plynů). Jestliže jsou data
nechlazeného plamene viz. 3. Entalpie spalin – entalpie směsi plynů). Jestliže jsou data
entalpie k dispozici ve formě i=f(t) je potřeba je přepočítat do formy i=f(s) následujícím
způsobem:
33.id924 Rovnice pro konstrukci i­s diagramu
pomocí funkce i=f(T).
Odvození této rovnice je uvedeno v Příloze 924.
Rovnice pro výpočet entalpie směsi plynů měrná entalpie směsi plynů se, podobně
jako v případě měrné tepelné kapacity směsi plynů Rovnice 27, vypočítá jako součet
měrných entalpií složek směsi plynu odpovídající jejich hmotnostnímu podílu ve směsi.
Turbokompresor stlačuje suchý vzduch o atmosférickém tlaku a teplotě 14,35 °C s kompresním poměrem
23. Stanovte teplotu vzduchu na konci komprese a měrnou vnitřní práci turbokompresoru. Izoentropická
účinnost komprese je 0,85. Zanedbejte vliv kinetické energie vzduchu na vstupu a výstupu z
turbokompresoru Úloha 2.id704
Teiz [°C] 421,6224 aiz [kJ·kg­1] 416,05 ai [kJ·kg­1] 489,4706 Te [°C] 474,3564
Úloha 2: souhrn výsledků.
Odkazy
1. PASCAL, Blaise. Myšlenky, 2000. 2. vydání. Praha: Mladá fronta, ISBN 80­204­
0850­9. Z francouzského originálu Pensées přeložil Miloslav Žilina v roce 1973.
2. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1. vydání. Praha: Mladá fronta,
ISBN 80­204­0237­3.
3. ASIMOV, Isaac. Slova vědy­co se za nimi skrývá,1978. Praha: nakladatelství
Panorama. Do češtiny přeloženo z amerických originálů Words of Science and History
behind them a More Words of Science vydané nakladatelstvím Houghton Miffin
Company, Boston v letech 1959 a 1972. Americké vydání doplnil a upravil Koryta Jiří.
4. KALČÍK, Josef, SÝKORA, Karel. Technická termomechanika, 1973. 1. vydání,
Praha: Academia.
5. HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František, ŠINDELÁŘ, Václav. Technická fysika,
1961. 3. vydání. Praha: SNTL.
6. ATKINS, Peter. Čtyři zákony, které řídí vesmír, 2012. První vydání. Praha:
Academia, ISBN 978­80­200­2108­3.
7. HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František. Fyzika. Příručka pro vysoké školy
technického směru., 1976. 2. přepracované vydání. Praha: SNTL. 424 stran, dva svazky.
8. HÁLA, Eduard, BOUBLÍK, Tomáš. Úvod do statistické termodynamiky, 1969.
Vydání 1. Praha: Academia, 200 stran.
9. SKÁLA, Lubomír. Úvod do kvantové mechaniky, 2011. Vydání druhé. Praha:
Karolinum, ISBN 978­80­246­2022­0.
10. DVOŘÁK, Ivan, MARŠÍK, František, ANDREJ, Ladislav. Biotermodynamika,
1982. Vydání 1. Praha. Acadamia. 248 stran.
11. POLESNÝ, Bohumil a kol. Termodynamická data pro výpočet tepelných a
jaderných energetických zařízení, 1990. Brno: Vysoké učení technické v
Československé redakci VN MON, ISBN 80­214­0160­5.
12. BERNAL D. John. Věda v dějinách, 1960. První vydání. Praha: SNPL. Jedná se o
český překlad anglického originálu Science in History, London: 1954, vydalo Watts and
Comp.
13. The International Association for the Properties of Water and Steam (IAPWS).
Dostupné on­line na adrese: http://www.iapws.org, [2013­02].
14. MAREŠ, Radim, ŠIFNER, Oldřich, KADRNOŽKA, Jaroslav. Tabulky vlastností
vody a páry, podle průmyslové formulace IAPWS­IF97, 1999. Vydání první. Brno:
VUTIUM. ISBN 80­2141316­6.
15. KLOFMAR, Jaroslav, ŠIFNER, Oldřich. Mezinárodní standardy termofyzikálních
vlastností vody a vodní páry. Zkrácené parní tabulky do 1000 °C a 1000 MPa, 1996.
Vydání 1. Praha: Academia, ISBN 80­200­0596­X.
16. KOUSAL, Milan. Spalovací turbíny, 1980. 2. vydání, přepracované. Praha:
Nakladatelství technické literatury, n. p.
17. RAŽNJEVIĆ, Kuzman. Termodynamické tabuľky, 1984. 1. vyd. Bratislava: Alfa, 2
sv. Edícia energetickej literatúry (Alfa).
18. BUDAJ, Florian. Parní kotle, Podklady pro tepelný výpočet, 1992. 4. vydání. Brno
:VUT Brno. 4. vyd. 200 s. ISBN 80­214­0426­4.
19. GECSEI, Ján, KLÍR, Jiří, PELIKÁN, Pavel. Matematické stroje, 1964. 1. vydání.
Praha: Orbis. 270 stran.
Citace tohoto článku
ŠKORPÍK, Jiří. Technická termomechanika, Transformační technologie, 2013­06,
[last updated 2016­03­03]. Brno: Jiří Škorpík, [on­line] pokračující zdroj, ISSN 1804­
8293. Dostupné z http://www.transformacni­technologie.cz/technicka­
termomechanika.html.
©Jiří Škorpík, LICENCE
www.transformacni­technologie.cz
46. Přenos energie elektromagnetickým zářením
Autor: Jiří Škorpík, [email protected] : aktualizováno 2014­08
Hmotné částice respektive tělesa vyzařují (emitují) elektromagnetické záření*
v důsledku jeho vybuzení (excitace) nebo přijímat toto záření. Toto záření je ve formě
fotonu či proudu fotonů, které představují určité množství energie pohybující se
prostorem. Způsobů vybuzení částic je mnoho a liší se podle druhu částice a velkosti
vyzářené energie (např. doposud jsou objeveny tyto způsoby excitace: fosforescence,
fluorescence, chemická luminiscence, štěpení jader, anihilace částic, rádiové vysílání,
tepelná emise atd.) [8, s. 27].
*Poznámka Existují výjimky (např. černé díry, tělěsa při teplotě absolutní nuly* aj.) a třeba
radioaktivní tělesa vyzařují i ionizující záření.
Absolutní nula
Při chladnutí ustává pohyb tepelný pohyb částic v tělese až se při jisté teplotě úplně
zastaví. Tato teplota se nazývá teplota absolutní nuly ­273,15 °C [14, s. 161] a nezávisí
na složení tělesa.
Některé vlastnosti elektromagnetického záření připomínají parametry vlny stejně
tak jako značky jednotek některých veličin. To se využívá i v názvosloví veličin
používaných při popisu a proto se někdy hovoří o elektromagnetickém záření jako o
elektromagnetickém vlnění.
Vlnová teorie elektromagnetického záření
Vytvořit si ve své mysli plastickou představu fotonu je pravděpodobně nemožné.
Naše mysl si vytváří představy poskládané ze zkušeností našich smyslů, kdežto foton je
částice pohybující se nejvyšší známou rychlostí ve vesmíru, rychlosti světla, při které,
jak již dnes tušíme, vypadá svět úplně jinak než jaký vnímáme při rychlostech, ve
kterých žijeme a při kterých se vyvíjely naše smysly. Proto poznávání vlastností fotonu
vedla přes důsledné experimenty a matematický popis sledovaných jevů, který nám
umožnil elektromagnetismus "zviditelnit".
Počátečním systematickým krokem k objevování vlastností světla pravděpodobně
bylo první změření rychlosti světla Dánem Ole Rømer (1644­1710) v roce 1676
pomocí měření zpoždění stínů na povrch Jupitera vrhané jeho měsíci [6, s. 75].
Rømerovi se podařila vzhledem k přesnosti tehdejší měřící techniky změřit rychlost
světla jen řádově asi 2∙108 m∙s­1, přičemž přesná rychlost světla ve vakuu na 9 míst je
299 792 459 m∙s­1 a označuje se obvykle písmenem c. Zajímavé je, že vzhledem k velmi
vysoké rychlosti světla dlouho trvalo než lidé myšlenku konečné rychlosti světla vůbec
přijali, protože vliv konečné rychlosti světla našimi smysly není postřehnutelná. Ale
ještě větší šok týkající se rychlosti světla měl teprve přijít. Současně se ve vědeckých
kruzích 17. století rozšiřoval hypotéza, že světlo je tvořeno proudem velmi malých
částic zvaných korpuskule.
To, že světelný paprsek má vlnovou povahu asi jako první nevědomky objevil
Angličan Isaac Newton (1643­1727), který při optických experimentech
s monochromatickým světlem (jednobarevné) zjistil, že při správném odrazu několika
paprsků (odraz pod určitým úhlem dvou rovnoběžných paprsků, které se "slijí do
jednoho") od skleněné destičky vzniknou tmavé a světlé proužky. Toto chování světla si
nedovedl vysvětli, protože zastával hypotézu, že světlo je tvořeno proudem korpuskulí
[9], [10, s. 89]. Tento jev se podařilo vysvětlit až Nizozemci Christiaanu Huygensovi
(1629­1695), který navrhl, že kdyby se světelný paprsek choval jako vlna efekt proužků
by vzniknout mohl. Sčítáním amplitud (tzv interference [2, s. 173]) dvou stejných vln
totiž, při vhodné fázovém posunu (o polovinu vlnové délky), se mohou oba paprsky
"vyrušit" či při jiném posunu vznikne paprsek jiný [6, s. 68­71]. Později tuto teorii
doplnil francouzký fyzik Augustin­Jean Fresnel (1788­1827), na základě dalších
optických pokusů, že světlo je příčné vlnění [10, s. 130].
1.id1008 Důsledky vlnových vlastností světla při interferenci objevené Newtonem.
λ [m] vlnová délka světelného paprsku; l [m] vzdálenost mezi přední a zadní odrazovou plochou; k [­] celé
číslo; α [°] sklon skleněné destičky od hlavního směru světelných paprsků. a zdroj monochromatického
světla (např. kuchyňská sůl hoří jasně žlutým plamenem); b tenká skleněná destička; c paralelní světelné
paprsky, které se odrazí od přední nebo zadní strany skleněné destičky; d oko pozorovatele; e smíchání
odražených paprsků od přední a zadní stěny. Popis experimentu: Monochromatické světelné paprsky jsou z
velké části usměrněny směrem ke skleněné destičce, některé z nich se odrazí od přední nebo zadní stěny
destičky přičemž oko pozorovatele d zachytí ty paprsky, které se odrazily k němu společným směrem
(paprsky odražené od zadní stěny se sloučí s paprsky odražené od přední stěny a společně vytvoří odražený
obraz, který vidí pozorovatel). Při určitém náklonu destičky o úhel α je zpoždění odražených paprsků od
zadní stěny přesně o polovinu vlnové délky paprsku při porovnání s paprsky odraženými od přední stěny.
Toto posunutí způsobí, že oba paprsky se vyruší e a odraz zdroje světla pozorovateli v určité pozici zmizí.
Vlnové vlastnosti světla podporovaly hypotézu, že veškerý prostor je vyplněn
éterem (který je dostatečně řídký aby neovlivňoval pohyb hmoty a hmotou i procházel,
ale tuhý aby přenášel světlo o velmi malé vlnové délce), ve kterém se šíří světlo
podobným principem jako zvuk ve vzduchu, a tedy i rychlost světla v éteru je
konstantní všemi směry od zdroje. Například Země se otáčí kolem své osy, takže světlo
ze zdroje umístěné na jejím povrchu by dorazilo k pozorovateli na západní straně od
zdroje dříve, i když by oba byli od zdroje stejně daleko a stáli na stejné zeměpisné šířce.
Navíc by oba naměřili jinou vlnovou délku světla. Tj. jedná se o ekvivalent Dopplerova
jevu v akustice [2, s. 216]. Na to jak ověřit tuto hypotézu přišel Američan Albert A.
Michelson (1852­1931), který společně s dalším americkým fyzikem Edwardem W.
Morleym (1838­1923) provedli experiment, který ale naopak vedl k pochybnostem
o existenci éteru. Experiment spočíval v měření rozdílu doby, kterou urazí na stejné
dráze světelný paprsek ve směru sever­jih a východ­západ.
2.id1009 Michelson­Morleyův experiment, kterým chtěli dokázat existenci éteru.
uprostřed kopie experimentálního přístroje vystavená v Postupimi [7]. S sever; J jih; Z západ; V východ; a
zdroj světla, b tenká skleněná destička; c zrcátko; d zrcátko; b stínítko; s1 světelný paprsek ze zdroje; s2
interferenční světelný paprsek vzniklý složením dvou paprsků vzniklých rozložením paprsku s1 a
nasměrovaných do ramene stroje |BC| a |BD|; u [m·s­1] obvodová rychlost otáčení Země na zeměpisné šířce
prováděného experimentu; τ|BC| [s] očekávaná doba, za kterou světelný paprsek urazí vzdálenost |BC|
nejprve ve směru sever jih a potom ve směru východ západ, tedy ve směru obvodové rychlosti Země. Ve
směru východ­západ by tato doba měla být delší. Protože měření tak malých časových rozdílů bylo mimo
technické možnosti tehdejší doby využili experimentátoři interferenci světelných paprsku tj. světelný
paprsek z jednoho zdroje rozdělili­jeden směřoval na sever a zpět druhý na západ a zpět. Po setkání by
měly vytvořit interferenci, a protože očekávali různé doby návratu tak by se zpět složilo světlo jiné barvy a
tedy i rozdílných interferenčních proužků. To se však nestalo a obě varianty experimentu vykazovaly stejné
tvary interferenčních proužků. Odvození rovnic pro Michelson­Morleyho experiment je uvedeno
v Příloze 1009.
Michelson­Morley experiment se dal vysvětlit tak, že Země se vůči éteru
nepohybuje respektive, že éter je v klidu vůči všem předmětům ať jsou v pohybu nebo
v klidu, protože interferenční proužky na experimentálním zařízení by se měnily
i během dne tak, jak se mění rychlost Země vůči Slunci. Další vysvětlení nabízela
hypotéza nizozemského fyzika Hendrika A. Lorentze (1853­1928), ve které
předpokládal, že pohyb má vliv na rozměry tělesa respektive prostoru. Kompletní
teoretické vysvětlení Michelson­Morley experimentu vznikalo dalších 18 let a
vyvrcholilo Speciální teorií relativity [2, s. 189], kterou postupně, včetně Lorentze,
formulovali francouzký matematik Henri Poincaré (1854­1912), německý matematik
Hermann Minkowski (1864­1909) a především německý fyzik Albert Einstein (1879­
1955). Později na jejím základě Einstein formuloval Obecnou teorii relativity, která
zahrnuje i vliv gravitace na dilataci času a prostoru. Tyto teorie teoreticky objasňují
jevy, které vznikají při vysokých rychlostech a pobytu v gravitačních polích a v praxi
jsou důležité při využití rychle pohybujících se částic.
Podle speciální teorie relativity je rychlost světla stejná ve všech vztažných
soustavách tj. ať se pozorovatel pohybuje seberychleji vždy bude na něj dopadat světlo
stejnou rychlostí a stejnou rychlostí se bude z této soustavy světlo šířit. Znamená to, že
se délkové rozměry ve směru pohybu takového tělesa prodlužují a plynutí času zkracuje
až u těles pohybujících se rychlosti světla by došlo k zastavení plynutí času. Současně
se mění hmotnost těles bez ohledu na to jakou mají hmotnost v klidu, dokonce tato
teorie předpovídala, že hmotnost při rychlostech světla by mohli mít i částice, které
nemají klidovou hmotnost. Tyto úvahy, že světelná vlna by mohla přeci mít vlastnosti
částic jako hmotnost a hybnost potvrdila kvantová hypotéza a experimenty, ke kterým
inspirovala.
Světlo jako elektromagnetické záření
Odpověď souvisí s výzkumem elektrického a magnetického pole respektive
elektromagnetického pole, které vytváří nabité částice (s kladným a záporným
elektrickým nábojem). Jestliže je toto pole statické povahy působí podobně jako
gravitační pole, ve kterém na elektricky nabité částice působí síly podobně jako na
hmotu působí gravitační síly. Rozdíl je v tom, že v elektromagnetickém poli mohou být
tyto síly nejen přitažlivé ale také odpudivé podle elektrického náboje. Pokud je takové
pole proměnné mění se jeho potenciál, což je spojeno s vyzařováním
elektromagnetických vln. Elektromagnetické vlny vyzařují nabité částice, které změnou
své rychlosti způsobují změnu elektromagnetického pole. Existenci
elektromagnetických vln teoreticky předpověděl a matematicky popsal skotský
matematik a fyzik James Maxwell (1831­1879) v roce 1872. Maxwellova práce
znamenala, že energii by bylo možno přenášet na dálku. Právě tímto způsobem existenci
elektromagnetických vln dokázal německý fyzik Heinrich R. Hertz (1857­1894) v roce
1887, který sestrojil první jednoduchý vysílač i přijímač elektromagnetických vln a tak
jejich existenci dokázal. Herz dále s elektromagnetickými vlnami experimentoval a
zjistil, že mají stejné vlastnosti jako světelné vlny tj. lom a odraz i rychlost. Ale nejen
to, Maxwell a další významní vědci té doby se domnívali, že mnoho záření do té doby
objevených (tepelné, infračervené, ultra fialové..) je zároveň i elektromagnetickým lišící
se od sebe vlnovou délkou [10, s. 171], [9]. Také v rovnicích pro elektromagnetické
záření se vyskytovala velmi často i rychlost světla. Bylo­li by světlo
elektromagnetickým zářením znamenalo by to, že pro vodiče by světlo bylo neprůchozí,
což se také výzkumem potvrdilo a energie fotonu ovlivňuje energie elektronů ve vodiči.
Vlnová délka elektromagnetického záření udává i vlastnosti tohoto záření, která
určuje jeho chování při průchodu různým prostředím a jeho vliv na toto prostředí. Např.
záření v rozsahu vlnových délek 0,3969∙10­6 m až 0,7682∙10­6 m nazýváme viditelné a
člověk ho vnímá jako světlo. Člověk je schopen vnímat ještě záření vyšších vlnových
délek jako teplo. Naopak nižší vlnové délky mohou být pro lidské zdraví škodlivé kvůli
jejich vysoké energii.
3.id249 Rozdělení známých elektromagnetických vln do spektrálních oborů a prostupnost jednotlivých
vlnových délek vrstvami atmosféry Země.
DV dlouhé vlny; SV střední vlny; VKV krátké a velmi krátké vlny; HV Hertzovy vlny; UVM ultrakrátké
vlny mikrovlny; TZ tepelné záření (sálaní); IČ infračervené záření (1800); UF ultrafialové záření (1801);
MX měkké paprsky X (rentgenové­1895); TX tvrdé paprsky X; Mγ měkké záření γ (gamma); Tγ tvrdé
záření γ; EMSKP elektromagnetická složka kosmických paprsků (ultragama). Šrafováním je vyznačena
propustnost zemské atmosféry v různých výškách nad povrchem. Zdroje dat [1, s. 727], [2, s. 168]. Na
obrázku jsou i elektromagnetické vlny, které ještě v poslední čtvrtině 19. století nebyly objeveny viz rok
objevu v závorce.
Kvantová teorie elektromagnetického záření
Dalším úkolem fyziků bylo stanovit energii elektromagnetického vlnění. Nejdříve
se podívejme na klasické mechanické vlnění například zvukové vlny a jejich energii. Na
Obrázku 4 je generátor zvukových vln, který generuje vlny o stejné energii avšak
vlnovou délku může měnit. Nosné prostředí vlny je izotropní tj. jeho vlastnosti jsou
všude stejné (vzduch). Generátor zvukových vln je tvořen reproduktorem a trubicí
o délce l. Základní harmonická frekvence generátoru vln je funkcí délky trubky
generátoru a rychlosti zvuku a (to je dáno charakterem zvukové vlny, která je podélná,
kdy stejnou vlnu může generátor vyvolat až poté co se vrátí vzduch do původní polohy
a tato doba je dána délkou trubice a rychlostí šíření zvuku v trubici, převrácená hodnota
periody je pak frekvence). V případě označeném písmenem (a) je vlnová délka dvakrát
větší než délka trubice. Jedná se o nejdelší harmonickou vlnu, kterou generátor může
vytvořit, proto pro přehlednost následujícího výkladu nazývám periodu této základní
harmonické frekvence generátoru pulsem.
V generátoru lze vyvolat i vlny o jiné frekvenci, ale aby tato vlna byla pravidelně
opakovatelná (tj. o stejné energii) musí se jednat o tzv vyšší harmonickou frekvenci (pro
zvýšení frekvence generátoru je nutné zkrátit periodu tak, aby se vzduch vrátil opět do
původní polohy). Druhá vyšší harmonická frekvence odpovídá vlnové délce rovnající se
délce trubice­případ (b), třetí vyšší harmonická má délku vln už jen 2/3 délky trubice­
případ (c) atd. Generátor by mohl generovat i vlny v jiných než harmonických
frekvencích, ale potom by vlny nebyly stejné­disharmonické vlnění a hlavně by každá
měla jinou energii.
4.id1011 Energie zvukové vlny.
E [J] energie vlny; h [J·s] charakteristika generátoru vln; τ [s] perioda vlny; f [s­1] frekvence vlnění
(generování vln); a [m·s­1] rychlost zvuku; ØD [m] průměr trubice generátoru; l [m] délka turbice.
Všimněte si, že zvyšováním frekvence se nemění energie jedné vlny, přesto energie vyslaná za jeden puls
se s frekvencí zvyšuje, protože jeden puls obsahuje více vln. Toto zvýšení odpovídá změně frekvence
generátoru, to znamená, že energie vyslaná během jednoho pulsu je úměrná součinu konstanty h (což je
poměr energie a frekvence pulsu při základní harmonické frekvenci generátoru) a frekvenci. Konstantu h
nazvěme pro přehlednost třeba charakteristikou generátoru. Závislost energie obsažená v jednom pulsu na
frekvenci je tedy lineární, takový generátor se nazývá lineární oscilátor. Změnou charakteristiky
generátoru h (například zvětšením průměru trubice zvýšení výkonu reproduktoru při konstantní frekvenci)
bude obsah energie v jednom pulsu jiný.
Generátorem elektromagnetických vln jsou částice (atom, elektron, nukleon..),
přičemž tytéž částice mohou vyzařovat záření o různé frekvenci a energii. Německý
fyzik Max Planck (1858­1947) aby určil energii elektromagnetických vln vyslovil
hypotézu, že částice se při vyzařování elektromagnetických vln chovají také jako
lineární oscilátory. To znamená, že energie v jednom pulsu je funkcí pouze frekvence,
kterou stanovil jako podíl rychlosti šíření vlny tedy rychlosti světla a jeho vlnové délky.
Toto množství energie dnes nazýváme kvantum energie respektive energie na začátku
článku zmíněného fotonu a charkteristiku zdroje Planckovou konstanta neboli
účinkovým kvantem [6, s. 149] a označujeme se písmenem h:
5.id740 Energie elektromagnetického kvanta.
Ef [J] energie kvanta (fotonu); h [J·s] Planckova konstanta; f [s­1] frekvence elektromagnetického vlnění;
c [m·s­1] rychlost světla ve vakuu.
Tuto hypotézu potvrdil experiment amerického fyzika Arthura H. Comptona
(1892­1962) z roku 1923, který sledoval odraz rentgenových paprsků od uhlíkové
destičky:
6.id742 Comptonův experiment.
z zdroje rentgenových paprsků; e ­ elektron; λ' [m]
vlnová délka kvanta po srážce s elektronem; φ [°]
odklon kvanta od původního směru po srážce
s elektronem. Popis následuje.
Při odrazech rentgenových paprsků od uhlíkové destičky, byl pozorován rozptyl
těchto paprsků od očekávaného směru odrazu. V případě, že by důvodem bylo nejprve
pohlcení (absorpce) kvanta elektronem a následné opětovné vyzáření měl by podle
Planckovy kvantové teorie paprsek sice jiný směr, ale stále by musel mít stejnou
vlnovou délku, tato délka byla ovšem jiná. Compton dokázal, že ke změně vlnové délky
došlo při srážkách paprsků s elektrony, kterým předal část své energie což vedlo
k odchýlení kvanta a ke zvětšení jeho vlnové délky a to v souladu s&nbap;Planckvou
teorií, kdy energie kvanta se s frekvencí změnila lineárně. Pokus dokázal platnost
Planckovy teorie lineární závislosti frekvence a energie kvanta, ale i to, že kvantum má
hybnost*, protože se změnila nejen kinetická energie elektronu ale i jeho směr. Tedy
energie elektromagnetického kvanta má tím pádem i částicové vlastnosti a pro tuto
částici se vžil název foton obvykle označované řeckým písmenem γ (gamma).
Předávání hybnosti a kinetické energie může probíhat i obráceně tj. foton při srážkách
energii získává což zkracuje jeho vlnovou délku. Důkazem tohoto je například
ultragamma záření přicházející z okolního vesmíru.
Hybnost fotonu
Podle speciální teorie relativity foton neexistuje v klidu vždy má maximální rychlost
vzhledem k jakémukoliv pozorovateli a v soustavě spojené s ním v čase neexistuje
vůbec tzn. že nemá ani klidovou hmotnost přesto má hybnost. Tato hybnost byla
nejdříve odvozena pomocí rovnic speciální teorie relativity aplikované na tělesa a
částice pohybující se vysokými rychlostmi tzv. rovnice mechaniky rychle se
pohybujících těles [6, s. 135] a Comptonovým experimentem dokázána. Zákon
zachování hybnosti je platný i při těchto rychlostech což znamená, že svou hybností
ovlivňuje foton tělesa, od kterých se odráží, které ho pohltí i vyzáří. Takže foton nejen,
že změní hybnost zářiče i přijímače, ale také jejich hmotnost:
7.id1010 Hybnost fotonu.
pf [N·s] hybnost fotonu; Δmf [kg] úbytek respektive přírůstek klidové hmotnosti zářiče respektive přijímače
jednoho fotonu [1, s. 437].
Problém částice, která vyzáří foton je v tom, že o vyzářené kvantum energie
skokem příjde (na rozdíl od lineárního generátoru na Obrázku 4, kde je energie
dodávána z vnějšku), pokud zároveň další kvanta energie nepřijímá. Takový stav vede
ke snížení jeho kinetické energie (jak dokazuje Comptonův jev) nebo potenciální pokud
ke snížení jeho kinetické energie (jak dokazuje Comptonův jev) nebo potenciální pokud
se pohybuje v nějakém silovém poli. Nižší energetický stav takové částice ji může
přivést do stavu, kdy už takové kvantum energie nemůže vyzářit (obsahovalo by větší
množství energie než má částice k dispozici). Na druhou stranu se může dostat do stavu,
kdy je schopno vyzářit foton o nižší harmonické frekvenci a tedy i energii, jen takovým
způsobem se může chovat lineární oscilátor [6, s. 155]. Jestli v takovém stavu je nebo
není záleží nejen na kombinaci jeho kinetické energie a potenciální energie ale i
prostoru, ve které se částice může pohybovat. Takové harmonické stavy se nazývají
energetickými hladinami. Takto po "skocích" může snižovat například elektron svou
kinetickou energii až na určité minimum, kdy jeho energie nebude stačit na minimální
kvantum energie a tak se jeho rychlost přestane snižovat a vyzařovat fotony, této
rychlosti se říká nulový pohyb elektronu [6, s. 159]. Důkazem kvantového chování je
například fotoelektrický jev teoreticky popsaný už Albertem Einsteinem:
8.id1012 Fotoelektrický jev jako důkaz kvantové
teorie elektromagnetického záření.
s.t. skleněná trubice; k katoda (kovová destička); a
anoda; e.o. elektrický obvod; V galvanický článek
udržující napětí v elektrickém obvodu; A
ampérmetr­měření proudu v obvodu. Popis
následuje.
Při fotoelektrickém jevu dochází v důsledku pohlcování elektromagnetického
záření katodou k emitaci elektronů, které jsou přitahovány anodou. Průchod elektronů je
detekován ampérmetrem, který měří proud v obvodu. Podstatou důkazu je fakt, že
elektrony z kovu dokázal "vyrazit" pouze proud fotonů o určité vlnové délce a vyšší bez
ohledu na intenzitu záření (počet fotonů dopadajících na plochu za jednotku času).
Proud elektronů způsobil proud ve vodiči spojující katodu s anodou. Jestliže vlnová
délka záření byla menšení k emitaci elektronů z kovu nedocházelo ani když se intenzita
záření zvýšila a proud smyčkou neprocházel.
Později se prokázala i vlnová povaha pohybu částic, která se projevuje u částic
nejen tím jakým způsobem vyzařují fotony, ale jevy spojených s jejich pohybem.
Například interference dvou paralelně se pohybujících elektronů při průchodu dvěma
štěrbinami [6, s. 169]. Tím, že jejich pohyb je vlnový existují již zmíněné jisté
harmonické podmínky jejich pohybu a proto nemohou přijmout (pohltit) jakékoliv
kvantum energie, ale toto kvantum musí být takové, aby mohla částice přejít na další
nejbližší harmonický pohyb. Jinak dojde pouze ke srážce popsané Comptonovým
jevem.
Důsledky vlnově­částicového dualismu (dvojí povaha fotonu): částicové
vlastnosti fotonu jsou důležité pro zachování platnosti zákonů zachování jako je zákon
zachování energie, hmoty a hybnosti. Nebýt částicové povahy fotonu tyto zákony by
nebyly universální. Vlnová povaha fotonu souvisí s tím, že kvantum částice uvolňují či
pohlcují skokově, ale ztráta či nabití energie probíhá v jistém časovém intervalu
(periodě τ), během které urazí určitou vzdálenost. Z těchto důvodů matematický tvar
vlny vyjadřuje vlastně pravděpodobnost výskytu kvanta na vymezeném úseku prostoru
tzv. aplitudu pravděpodobnosti. Vlnovou rovnici sestavil Erwin Schrödinger (1887­
1961), a její interpretaci jako aplitudu pravděpodobnosti předložil Max Born (1882­
1970).
Tepelné záření, tepelná emise, sálání
Veškeré látky (v kapalném, tuhém i plynném skupenství [8], [13], [1, s. 834])
emitují elektromagnetické záření o vlnové délce odpovídající jejich teplotě. Zdrojem
tohoto záření je tepelný pohyb nabitých částic tělesa, proto název tepelné záření či
sálání. Tento tepelný pohyb se zářením snižuje (těleso chladne) pokud nepřijímá z okolí
teplo není jiné záření o stejném nebo vyšším výkonu. Těleso, které nesálá by mělo
teplotu absolutní nuly [4, s. 6], [10, s. 154].
Pevné látky emitují elektromagnetické záření svým povrchem, kapalné a plynné
celým svým objemem.
V technické praxi se s problematikou sálaní setkáváme při přenosu tepla například
únik tepla z tepelných akumulátorů, kotlů, potrubí s horkým médiem a nebo naopak
ohřev akumulátorů chladu teplem z okolí a pod. Obvykle se na celkové energetické
bilanci sdílení vyšetřovaného tělesa s okolím významně projevuje sálání až od vyšších
teplot (respektive, kdy je rozdíl teploty tělesa a okolí řádově v 10kách až stovkách °C)
(jak bude dokázáno níže) a větší vliv při nižších teplotách má sdílení tepla vedením či
konvekcí [3]. To kdy je významné počítat i se sdílením tepla sáláním záleží na typu
zařízení/tělesa. V případech vysokých rozdílů teploty tělesa a okolí nás nejvíce zajímá
sálavý výkon (tj. množství vyzářeného tepla do okolí):
9.id743 Tepelný výkon záření vyzařovaný z povrchu tělesa.
Q·τ [W] tepelný výkon tepelného záření (tepelný tok z tělesa ve formě elektromagnetického záření);
e τ [W·m­2] intenzita vyzařování z povrchu tělesa v důsledku tepelného pohybu částic (tepelný výkon
vztažený na jednotku plochy, těleso může mít na povrchu proměnnou intenzitou podle toho jak se teplota
jeho povrchu mění se souřadnicí); S [m2] povrch tělesa.
Přímý výpočet intenzity vyzařování reálných těles je prakticky nemožný, protože
záleží na mnoha faktorech a především na rozložení vlnových délek, protože těleso
o konkrétní teplotě nevyzařuje ze svého povrchu všechny fotony o stejné energii
respektive vlnové délce, ale celková energie je v ideálním případě rozložena mezi
fotony různých vlnových délek i když určitý rozsah vlnových délek převažuje. Proto při
výpočtu se vychází z podobnosti reálného tělesa s černým tělesem*. U černého tělesa
totiž lze vypočítat intenzitu vyzařování pro jednotlivé vlnové délky přesně na základě
kvantové teorie vyzařování, která dokonale vysvětluje spektrum záření černého tělesa
na rozdíl od předpokladu, že částice mohou vyzařovat spojité spektrum vln o jakékoliv
energii [6, s. 150]. Rovnici pro výpočet intenzity elektromagnetického záření černého
tělesa připadající na fotony o jednotlivých vlnových délkách z této teorie odvodil
Planek [1, s. 842] a proto se ji také říká Planckův vyzařovací zákon.
*Černé těleso nebo černý zářič
Je ideální těleso, které pohlcuje veškeré záření dopadající na jeho povrch a současně
dosahuje maximální možné intenzity vyzařování ze svého povrchu, které způsobuje
teplo v tělese tj. vyzařování nezávisí na jeho složení [14, s. 161]:
10.id250 Planckův vyzařovací zákon a celková intenzita vyzařování černého tělesa.
e τ0λ [kW·m­2·μm­1] intenzita elektromagnetického záření černého tělesa (proto index 0) připadající na fotony
o vlnové délce λ [μm] (tomuto rozložení se také říká monochromatická zářivost); e τ0 [kW·m­2] intenzita
záření černého tělesa; σ0 [W·m­22·K­4] konstanta sálání černého tělesa (Stefan­Boltzmannova konstanta)
σ0=5,775∙10­8 W∙m­2∙K­4; T [K] absolutní teplota povrchu tělesa. Intenzita vyzařování černého tělesa e τ0 je
integrací rovnice e τ0λ. Jedná se o součet energií vyzařovaných tělesem na všech vlnových délkách. Výsledný
vztah je nazýván Stefan – Boltzmannův zákon. Odvození Planckova vyzařovacího zákona je uvedeno
například v [1, s. 842], Stefan­Boltzmannova zákona v [8, s. 40].
Černé těleso o teplotě povrchu 600 K vyzařuje velmi malý poměr fotonů s vlnovou
délkou menší 2 μm a zároveň většina vyzářených fotonů bude mít vlnovou délku cca
5 μm. Což není ještě ve viditelném rozmezí. Při 700 K je většina vyzařované energie
menší vlnové délky a v tmavé místnosti by povrch tělesa mělo již tmavou červeň. Při
teplotě 2000 K už povrch velmi jasně září a při 6000 K se objevuje maximum
vyzařované energie tělesa uprostřed oblasti viditelného světla [3, s. 119].
Černá tělesa se v přírodě nevyskytují nejvíce se jim asi blíží Slunce respektive
hvězdy. Černé díry nejsou rozhodně dokonalým zářičem. Reálná tělesa jsou horším
zářičem než černá a nemají tak spojité rozložení zářivosti jako černá tělesa ale víme, že
jejich intenzita vyzařování při stejné teplotě je menší. Intenzitu vyzařování reálného
tělesa není jednoduché exaktně určit, proto se reálná tělesa nahrazují šedými tělesy*
o stejné teplotě povrchu.
*Šedé těleso
Šedé těleso má menší intenzitu vyzařování než černé těleso při stejné teplotě povrchu
přičemž poměr intenzity vyzařování šedého tělesa ku intenzitě vyzařování černého
tělesa se nazývá poměrná zářivost nebo také emisivita. Poměr intenzity vyzařování
šedého tělesa ku intenzitě vyzařování černého tělesa připadající na konkrétní vlnovou
délku je také rovna poměrné zářivosti:
11.id741 Rozložení zářivosti reálného tělesa do konkrétních vlnových délek a jeho nahrazení šedým
tělesem.
a rozložení zářivosti černého tělesa jehož teplota povrchu je 1000 K; b příklad rozložení zářivosti reálného
tělesa o teplotě 1000 K; c rozložení zářivosti šedého tělesa při stejné teplotě o poměrné zářivosti ε=0,6.
ε [­] poměrná zářivost.
Rovnici Stefan – Boltzmannova zákona lze tedy aplikovat na černé a šedé zářiče.
S dostatečnou přibližností také pro pevná reálná tělesa s výjimkou některých kovů, u
nichž je vyzařovaná energie vyšší než odpovídá čtvrté mocnině teploty povrchu a při
technických výpočtech se vychází z experimentálně naměřených dat [8, s. 89]. Tyto
odchylky od teorie jsou tím větší čím více se blíží frekvence tepelného záření frekvenci
srážek volných elektronů v mřížce. Jsou­li však částice v energeticky nerovnovážném
stavu s teplotou tělesa může těleso, v určitých částech spektra, vyzařovat mnohokrát
větší energii (například díky předchozí chemické reakci uvnitř těles) než odpovídá
záření černého tělesa při stejné teplotě (záření světlušky, elektrická luminiscence plynů,
rádiové vysílače a pod...).
Podrobnosti o vyzařování kapalin a plynů jsou uvedeny v [8].
Bilance dopadajícího elektromagnetického záření
Na tělesa zároveň dopadá elektromagnetické záření o různých vlnových délkách
od okolních těles o celkové intenzitě záření eτ2 část nebo všechna energie takového
záření je buď tělesem pohlcena e , odražena e a nebo tělesem prostoupí e . Při
záření je buď tělesem pohlcena eτ2A, odražena eτ2R a nebo tělesem prostoupí eτ2D. Při
výpočtu se plně uplatňují teorie optických jevů např. zákon odrazu, viditelnosti (jedno
těleso může ozařovat druhé jen na straně k ní převrácené) atd.
12.id739 Bilance dopadajícího elektromagnetického záření na těleso.
­2
e τ2 [W·m ] celková intenzita dopadajícího elektromagnetického záření na povrch tělesa; e τ2A [W·m­2] část
e τ2, která je tělesem pohlcena (absorpce)*; e τ2R [W·m­2] část e τ2, která je povrchem tělesa odražena
(odrazivost); e τ2D [W·m­2] část e τ2, která tělesem prostoupí (průteplivost); a [­] součinitel relativní
absorpce (poměrná tepelná pohltivost povrchu tělesa); r [­] poměrná tepelná odrazivost; d [­] poměrná
průteplivost.
*Absorpce tepelného záření Pokud je pohlcené záření přeměněno na vnitřní tepelnou energii tělesa (zvýší se teplota
tělesa) hovoří se o tzv. tepelné absorpci.
Černé těleso veškerý dopadající výkon v podobě elektromagnetického záření
pohlcuje (a=1, r=0, d=0). Těleso, které veškerý dopadající výkon v podobě
elektromagnetického záření ze svého povrchu odráží (a=0, r=1, d=0) se nazývá bílé
těleso. Těleso přes které veškerý dopadající výkon v podobě elektromagnetického
záření prochází (a=0, r=0, d=1) se nazývá dokonale průteplivé těleso či diatermní.
Uvedená tělesa se v běžném prostředí nevyskytují a většinou se jedná o tělesa
s kombinovanými vlastnostmi tj. část záření odrazí, část pohltí a část tělesem prostoupí.
Tuhá tělesa a kapaliny jsou prakticky neprůteplivé. Jsou však tělesa, která jsou
neprůteplivá jen pro některé délky vln (např. okenní sklo propouští jen paprsky
světelné, ale téměř nepropouští paprsky ultrafialové a tepelné). Záleží i na kvalitě a
barvě povrchu tělesa. Bílý povrch dobře odráží elektromagnetické záření viditelné
(sluneční), ale elektromagnetické záření mimo viditelné spektrum už pohlcuje bílý
povrch jako tmavý. Pro pohltivost a odrazivost má větší význam stav povrchu než
barva. Nezávisle na barvě je odrazivost hladkých a leštěných povrchů mnohonásobně
větší (alobal). Naproti tomu drsná černá barva nejčastěji naftové saze pohlcují 90 až
96% dopadající zářivé energie. U plynů záleží vetšinou na velikosti molekul. Pro
vlnovou délku elektromagnetických vln, které vyzařují tělesa běžných teplot je vzduch
například průteplivý, ale obsahuje­li vodní páru nebo CO2 je jen částečně průteplivý ,
což má vliv na množství zachycené energie v atmosféře při skleníkovém efektu.
Šedá těleso odráží stejný díl elektromagnetického záření bez ohledu na jejich
vlnovou délku. Poměrná pohltivost šedého tělesa je menší jak jedna (a<1). Odtud lze
odvodit Kirchhoffův zákon*.
*Kirchhoffův zákon
Bude­li těleso (černé nebo šedé) přijímat elektromagnetické záření pouze od okolních
těles (které budou černé nebo šedé) bude jeho absorpce rovna poměrné zářivosti (a=ε).
Odvození např. [3, s. 117]. Například je­li těleso obklopeno pouze dalšími tělesy
(černými nebo šedými), které mají stejnou teplotu povrchu jako vyšetřované těleso.
Pokud má vyšetřované těleso mnohem nižší teplotu povrchu než okolní tělesa/o
(například povrch Slunce versus solární kolektor) už tato rovnost platit nemusí.
Jaká by byla teplota povrchu desky s vlastnostmi černého tělesa ve stejné vzdálenosti od Slunce jako je
střední vzdálenost Země od Slunce? Považujte odvrácenou stranu desky od Slunce za dokonale tepelně
izolovanou. Úloha 1.id23
Úloha 1: výsledek.
t [°C] 117,75
Dále se definuje barevné těleso, které odráží jen elektromagnetické záření o
určitých vlnových délkách odpovídajících jeho barvě. Například zelené těleso odráží
pouze elektromagnetické záření s vlnovou délkou odpovídající zelené barvě Obrázek 3.
Součet vyzářené energie a odražené energie tělesa se nazývá efektivní sálavost
tělesa.
Odkazy
1. HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František. Fyzika. Příručka pro vysoké školy
technického směru., 1976. 2. přepracované vydání. Praha: SNTL. 424 stran, dva svazky.
2. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1. vydání. Praha: Mladá fronta,
ISBN 80­204­0237­3.
3. JÍCHA, Miroslav. Přenos tepla a látky, 2001. Brno: Vysoké učení technické v Brně,
ISBN 80­214­2029­4.
4. ASIMOV, Isaac. Slova vědy­co se za nimi skrývá,1978. Praha: nakladatelství
Panorama. Do češtiny přeloženo z amerických originálů Words of Science and History
behind them a More Words of Science vydané nakladatelstvím Houghton Miffin
Company, Boston v letech 1959 a 1972. České vydání doplnil a upravil Koryta Jiří.
5. KALČÍK, Josef, SÝKORA, Karel. Technická termomechanika, 1973. 1. vydání,
Praha: Academia.
6. PEIERLS, R. E. Zákony přírody, 1963. Praha: Orbis. Z anglického originálu "The
Laws of Nature", vydaného nakladatelstvím George Allen & Unwin v Londýně roku
1957.
7. Wikimedia Commons – uložiště volného multimediálního obsahu. [on­line]. [2013].
Dostupné z http://commons.wikimedia.org.
8. HOTTEL, C. Hoyt, SAROFIM Adel F. Přenos tepla zářením, 1979. 1. vyd. Praha:
Státní nakladatelství technické literatury, 1979, 499 s.
9. ŠTĚPÁNEK Josef. Optika, 2010. Elektronická prezentace http://kdf.mff.cuni.cz/~koudelkova/U3V/Stepanek_Svetlo.pdf.
na adrese
10. OCHOA, George. COREY Melinda. Věda­dějiny v datech, 2000. První vydání.
Praha: Euromedia Group, ISBN 80­242­0477­0. Přeložena z anglického originálu "The
Timelin Book of Science" vydaného roku 1995 nakladatelstvím A Stonesong Press
Book v New Yorku.
11. EINSTEIN, Albert. Z mých pozdějších let, Jak vidím svět II, 1995. z anglického
originálu Out of My Later Years. Praha: Lidové noviny. ISBN 80­7106­116­6.
12. KULHÁNEK, Petr. Kvantová http://www.aldebaran.cz/studium/kvantovka.pdf
teorie, 2012. Praha.
13. ULLMANN, Vojtěch. Jaderná a radiační fyzika, nedatováno. Článek na webu Astro
Nukl Fyzika, adresa článku http://astronuklfyzika.cz/JadRadFyzika.htm.
14. CHOWN, Marcus. Kvantová teorie nikoho nezabije, 2010. Vydání první. Zlín:
Kniha Zlín. ISBN 978­80­87167­59­0. Překlad z anglického originálu Quantum Theory
Cannot Hurt You, 2009, Vydaného nakladatelstvím Faber and Faber Ltd.
Citace tohoto článku
ŠKORPÍK, Jiří. Přenos energie elektromagnetickým zářením, Transformační
technologie, 2011­05, [last updated 2014­08]. Brno: Jiří Škorpík, [on­line] pokračující
zdroj, ISSN 1804­8293. Dostupné z http://www.transformacni­technologie.cz/prenos­
energie­elektromagnetickym­zarenim.html.
©Jiří Škorpík, LICENCE
www.transformacni­technologie.cz
47. Jaderná energie a ionizující záření
Autor: Jiří Škorpík, [email protected] : aktualizováno 2013­01
Složení atomového jádra a základní pojmy
Atom se skládá z těžkého kladně nabitého jádra obklopeného lehkými záporně
nabitými elektrony. Nejjednodušším atomem je vodík s jedním protonem tvořící jádro a
jedním elektronem obíhajícím kolem jádra. Jádro každého atomu se skládá z protonů.
Většina jader obsahuje i neutrony, které jsou bez náboje. Neutrony i protony se
souhrnně nazývají nukleony*. Atomy, které mají jednoznačně určený počet protonů a
neutronů se nazývají nuklidy (svým způsobem slovo nuklid nahrazuje slovo prvek).
Nuklidy téhož prvku, jejichž atomy mají stejný počet protonů, ale různý počet neutronů
se nazývají izotopy (izotop je pojem užší než nuklid a měl by se používat pouze tehdy,
jde­li o nuklid téhož prvku, píše se tedy o izotopech uhlíku, síry, kyslíku apod.).
Všechny izotopy daného prvku mají stejné chemické vlastnosti. Ještě lze připomenout
termín izobary, což jsou nuklidy, které mají stejné nukleonové a různé protonové číslo.
*Poznámka Protony a neutrony jsou složeny z ještě menších částic. Podrobností o složení a podstatě
hmoty populárně naučnou formou např. v [8].
1.id72. Bohrův model vodíkového atomu, základní názvosloví a značení atomů.
(a) izotop vodíku; (b) typy nuklidů. X značka chemického prvku; A [množství] nukleonové číslo;
Z [množství] protonové číslo; N [množství] neutronové číslo. Protium, „lehký vodík“ je nejednodušším
atomem a nejčastější izotop vodíku. Deuterium, „těžký vodík“, jádro obsahuje na rozdíl od předchozího
izotopu i jeden neutron. Poslední izotop vodíku tritium obsahuje v jádře dva neutrony a navíc je oproti
dvěma předchozím izotopům vodíku radioaktivní. Literatura [1], [2].
Obyčejný „lehký vodík“ je v přírodě běžný (99,9885% člověku dostupného
vodíku). Nejčastěji je na povrchu Země přítomen ve vodě H2O (lehká voda). Deuterium
„těžký vodík“ se v přírodě vyskytuje v množství pouze 0,0115%. Při sloučení
s kyslíkem vznikne tzv. těžká voda někdy označována jako D2O. Těžká voda není
radioaktivním, má pouze některé drobné fyzikální odlišnosti oproti lehké vodě. Tritium
je radioaktivní s poločasem rozpadu přibližně 12,32 let a proto se v přírodě ve
využitelném množství nevyskytuje. Lze jej však vyrobit pomocí neutronového
ozařování lehkého vodíku i deuteria.
Vazebná energie
Aby se nukleony v jádře udržely pohromadě je k tomu potřeba „neviditelné“
vazebné energie. Největší vazebná energie na jeden nukleon (nasycení jaderných sil) je
u Fe. Vazebná energie se projeví i na hmotnosti jádra viz níže. Při zvyšování
nukleonového čísla do 56 se slučováním nukleonů energie uvolňuje a dochází k poklesu
hmotnosti jádra oproti stavu před sloučením (součet hmotnosti jednotlivých vstupujících
protonů a neutronů – klidová hmotnost jádra). Naopak při dalším zvyšování
nukleonového čísla je nutné energii dodávat a měrná hmotnost vztažená na jeden
nukleon v jádře opět roste:
2.id71. Přibližný trend změny vazebné energie připadající na jeden nukleon jádra atomu.
EV [MeV] vazebná energie v jádře atomu; e V [MeV] vazebná energie v jádře atomu připadající na jeden
nukleon; Δmj [kg] přírůstek/úbýtek hmotnosti jádra atomu změnou vazebné energie (schodek hmotnosti
jádra); c [m·s­1] rychlost fotonu ve vakuu. e V nejprve rychle roste (největší skok je od deuteronu k 4He), pak
je zhruba stejně velká (nasycení jaderných sil), maximum má železo 5626Fe a u těžších jader opět klesá
následkem elektrického odpuzování. Křivka udává jen hrubý trend: skutečné hodnoty drobně kolísají podle
toho, jak je počet protonů a neutronů blízko k tzv. magickým číslům, je­li sudý nebo lichý ap. Zdroj dat
[4, s. 305].
Z obrázku je patrné, že energie se uvolňuje při zvyšování počtu nukleonů v jádře
přibližně do izotopu železa 5626Fe potom je nutné při zvyšování počtu nukleonů v jádře
energii dodávat. Proto těžké prvky mohly vzniknout pouze zhroucením dávných hvězd a
„okamžitým“ uvolnění obrovského množství energie. Naopak v jádru hvězd probíhá
slučování lehkých jader vodíku na těžší jádro Helia a tím se energie uvolňuje. Ke
slučování nukleonů ovšem nedojde jen tak. Za normálních podmínek jsou mezi jádry
jednotlivých prvků takové odpudivé síly, že se k sobě nepřiblíží a tedy nemůže dojít k
sloučení v těžší jádro a k uvolnění energie. K tomu, aby se jádra prvků k sobě přiblížily
je potřeba velkých tlaků a teplot. Což vzniká například gravitačním působení
obrovského množství hmoty v jádru slunce. Tomuto procesu se říká jaderná syntéza.
Opakem jaderné syntézy je jaderné štěpení. Při štěpení se energie uvolní rozdělí­li se
(rozštěpí) těžké jádro na dvě jádra jejichž hmotnostní čísla budou nižší.
Posledním způsobem získávaní energie přetvářením hmoty je anihilace hmoty.
Tato, zatím jen teoretická možnost předpokládá existenci antihmoty. Při setkání hmoty
a antihmoty dojde k přeměně obou podle rovnice E=m∙c2 na energii (kde E [J] je
množství uvolněné energie; m [kg] celková hmotnost anihilované hmoty), energie je
uvolněna ve formě fotonů. V současnosti lze vyrobit pouze pozitron e+, který je
antičástici k elektronu e­ známého z běžné hmoty. Při anihilaci jádra vodíku by se
uvolnilo o několik řádů více energie než při syntéze.
Štěpení jader atomů
Štěpením těžkého atomového jádra, na dvě nebo více jader lehčích, se uvolní část
vazebné energie. Tato energie se uvolňuje ve formě kinetických energií štěpných
produktů. Štěpení probíhá vyvoláním silové nerovnováhy v jádru atomu například
pomocí neutronu, který je absorbován jádrem, přitom se mohou uvolnit další neutrony.
Pokud uvolněné neutrony způsobí štěpení dalších jader sousedních atomů, potom
nastala řetězová reakce. Pokud tato řetězová reakce není omezována potom nastala
neřízená štěpná reakce (např. u jaderná exploze*). Pokud, množství rozštěpených jader
v daném čase je regulováno, potom nastala řízená štěpná reakce, které se využívá
především v energetice v zařízeních zvané jaderné reaktory, ve kterých se transformuje
jaderná energie na energii tepelnou.
*Jaderná exploze
Jedná se o druh štěpných jaderných reakcí, při kterých téměř okamžitě dojde k
jaderným reakcím v celém objemu štěpitelného materiálu (lavinovité štěpení). Aby se
tak stalo musí tento objem štěpitelného materiálu být velice čistý a mít určitou hmotnost
(kritická hmotnost). Jako palivo pro takovou lavinovitou štěpnou reakci se nejčastěji
používá čistý izotop 235U nebo 239Pu. Kritické množství u izotopu 235U je cca 50 kg, u
izotopu 239Pu je 15 kg [5, s. 222].
Nejčastěji se využívá pro řízenou štěpnou reakci izotop uranu 235U. Štěpení jádra
probíhá pomocí jednoho tzv. pomalého neutronu (viz dále), který je tímto jádrem
absorbován. Jádro uranu 235U tedy zvýší počet nukleonů na 236 a vznikne izotop uranu
236
U. Tento izotop je vysoce nestabilní a je velmi vysoká pravděpodobnost (cca 88%), že
se ihned rozpadne na dvě jádra těžkých prvků (v opačném případě je pouze vyzářeno z
jádra γ záření). Nejčastěji to bývá dvojice prvků 144Ba a 90Kr nebo 101Sr a 133Xe. Dále se
uvolní určitý počet neutronů podle toho, kolik nukleonů právě vzniklé prvky
dohromady obsahují. Tyto jádra mají v okamžiku vzniku vysokou kinetickou energii
rovnající se přibližně energii 166 MeV, což je ale jennom část celkové energie uvolněné
při štěpení 235U*. Nárazy jader do krystalické mřížky okolních prvků se snižuje jejich
kinetická energie ve prospěch zahřívání okolní hmoty.
*Sekundární energie uvolněná při štěpení 235U
Dále se uvolní energie ve formě kinetické energie sekundárních neutronů o celkové
energii přibližně 6 MeV. Energie ve formě přímého gamma záření o celkové energii
přibližně 10 MeV. Ionizující záření produktů štěpení o celkové energii přibližně
18 MeV. Celkem se tedy při štěpení uvolní energie v různých formách v množství
přibližně 200 MeV [7, s. 19]:
235
3.id73. Příklad řízené štěpné reakce izotopu uranu U pomocí moderátoru.
a volný neutron je zachycen jádrem 235U; b vzniklý izotop 236U se rozštěpí na dvě těžká jádra přičemž se
uvolní energie a několik neutronů; c snížení rychlosti neutronů v moderátoru; d zachycení nadbytečných
neutronů v absorbátoru.
Při rozpadu izotopu 236U se uvolní také několik neutronů podle typu vzniklých
jader. V případě Rovnice 3 se uvolnily dva neutrony. Tyto neutrony mají mnohem vyšší
rychlost než původní neutron, který způsobil štěpení, proto se takovým neutronům říká
rychlé neutrony. Tyto dva rychlé neutrony o energiích >1,1 MeV mohou způsobit
celkem 3 případy:
(1) Uniknout z látky schopné reakce. (2) Jsou pohlceny příměsnými látkami případně jinými izotopy Uranu (za vzniku γ záření, tzv. přeměna gamma popsaná níže). (3) Jsou absorbovány jádry 235U. 4.id523. Možnosti rychlého neutronu v látce obsahující 235U, [6, s. 1352].
Pro energetické využití je požadován případ číslo 3. Tedy, aby neutron byl
absorbován jádrem 235U a následovaly události vedoucí až ke štěpné reakci uvedené
v předchozím odstavci. Pravděpodobnost, že neutron bude absorbován v dané látce
jádrem je vyjádřena účinným průřezem pro absorpci neutronu*, dále jen účinný průřez.
Čím je účinný průřez jádra vyšší tím vyšší je i pravděpodobnost absorpce neutronu
jádrem 235U. Účinný průřez se zvětší, když klesne rychlost neutronu, protože pak má
menší kinetickou energii a jádro může svým silovým působením jeho dráhu ovlivnit
natolik až neutron narazí do jádra. Nejčastěji se snižuje rychlost neutronů na cca 2 km∙s­
1
do 4 km∙s­1 (to odpovídá energii přibližně od 0,025 do 0,085 eV [7, s. 30]). Při této
rychlosti jsou neutrony v molekulárně kinetické rovnováze se svým okolím (uvedený
rozsah rychlostí odpovídá teplotám od 20 °C do 700 °C). Takovým neutronů se říká
termické neutrony, protože tato rychlost je menší než rychlost neutronu po štěpné
reakci – nazývají se také pomalými neutrony (rychlost většiny neutronů těsně po
štěpení je intervalu 14000 do 20000 km∙s­1 [7, s. 30]), maximální účinný průřez pro
absorpci neutronu je při rychlosti neutornu 40 km∙s­1 [7, s. 31] (kinetická energie
neutronu při této rychlosti 7 eV). Ke zpomalení neutronů v reaktoru dochází v
moderátoru. U lehkovodních reaktorů je moderátorem (a zároveň chladivem) voda dále
jim může být těžká voda, grafit... Vlastnost moderátoru musí být taková, aby
zpomaloval neutrony na požadovanou rychlost, ale zároveň aby znatelně tyto neutrony
nepohlcoval. To bývají obvykle lehčí prvky, ale některé lehké prvky jsou pohlcovači
neutronů například bor a kadmium. Prvky moderátoru bývají extrémně čisté. Zpomalení
se děje ve formě pružných srážek neutronů s jádry moderátoru.
*Účinný průřez pro absorpci neutronu
Vyjadřuje míru pravděpodobnosti, že neutron v určitém stavu (kinetické energii) bude
absorbován jádrem atomu o určité velikosti za daných podmínek.
Objem paliva, ve kterém probíhají řízené jaderné reakce se nazývá aktivní zóna.
V aktivní zóně mohou z pohledu bilance neutronů nastat tři stavy:
(1) PODKRITICKÝ­­Počet štěpných reakcí způsobené neutrony uvolněné při štěpení v první generaci je menší než počet štěpných reakcí v první generaci. To může být způsobeno úbytkem jader 235U­spotřeba paliva, neutrony opouští aktivní zónu a zbylé neutrony nejsou schopny zajistit konstantní štěpný výkon, neutrony jsou absorbovány okolními látkami (příměsi v palivu) či moderátorem. Postupně může dojít k ukončení řetězové štěpené reakci v daném objemu paliva. Tento stav je žádoucí například při snižování výkonu reaktoru. (2) KRITICKÝ­­Počet štěpných reakcí v druhém sledu způsobené neutrony uvolněné při štěpení v první generaci je stejný jako počet štěpných reakcí v první generaci. Po štěpení jednoho jádra dojde k absorpci všech neutronů jinými než štěpitelnými jádry (nebo opustí aktivní zónu) kromě počtu neutronů potřebných k rozštěpení dalšího jednoho jádra 235U. Konstantní výkon aktivní zóny/reaktoru. (3) NADKRITICKÝ­­Počet štěpných reakcí v druhé generaci je vyšší než počet štěpných reakcí v první generaci. Vzniká, když neutrony vzniklé při štěpení jednoho jádra způsobí v průměru štěpení více jak
jednoho jádra. Tento stav je žádoucí například při zvyšování výkonu aktivní zóny. Pokud se děje neřízeně, může dojít k přehřátí aktivní zóny a její destrukci (roztavení). Zvyšování výkonu aktivní zóny. 5.id524. Základní stavy aktivní zóny.
Výše uvedené tři stavy aktivní zóny vyjadřuje multiplikační faktor k [­], který je
definován jako průměrný počet neutronů, které způsobily štěpení připadají na jeden
neutron, který způsobil štěpení v předchozí generaci. Pokud je k<1 jedná se o
podkritický stav aktivní zóny; k=1 jedná se o kritický stav aktivní zóny; k>1 jedná se o
nadkritický stav aktivní zóny. Regulace výkonu aktivní zóny se z výše uvedeného
provádí změnou multiplikačního faktoru respektive regulací počtu neutronů v aktivní
zóně.
Výkon aktivní zóny v jaderném reaktoru se standardně reguluje pomocí
regulačních tyčí obsahující absrobátor*, které se do aktivní zóny zasouvají (výkon
klesá) nebo vysouvají (výkon roste). Regulací lze docílit kritického stavu při
požadovaném výkonu, kdy se regulační tyče ustálí v jisté poloze.
*Absorbátor
Absorbátor musí ve velké míře pohlcovat neutrony. To je například bór a kadmium.
Zasouváním regulačních tyčí dochází k pohlcování neutronů. Při přechodu ze
stavu podkritického na nadkritický stav se musí tyče začít opět vysouvat a řetězová
štěpná reakce se obnovuje pomocí zpožděných neutronů* v aktivní zóně nebo jiného
zdroje neutronů v okolí aktivní zóny.
*Zpožděné neutrony
Tyto neutrony se uvolňují při přirozeném rozpadu některých těžkých jader vzniklých při
štěpení viz výše. Některá tyto jádra jsou izotopy s poločasem rozpadu v řádech jen
desítek sekund. Takže po odstranění absorbátoru z aktivní zóny tyto zpožděné neutrony
mohou nastartovat opět štěpnou reakci v aktivní zóně.
Jaderná syntéza
Zařízení, ve kterém se může uskutečňovat řízená syntéza lehkých jader se jmenuje
termonukleární reaktor nebo také fúzní reaktor. Za přírodní termonukleární reaktor lze
považovat i Slunce. Jaderná syntéza patří ve vesmíru k té nejzákladnější reakci, která
ovšem je pro nás stále nedostupná v řízené podobě. V podobě neřízené je známa jako
vodíková bomba. Jaderná syntéza v jádru Slunce probíhá za velmi vysokých teplot a
tlaků, pouze takto získávají jádra vodíku potřebnou kinetickou energii k překonání
odpudivých jaderných sil:
6.id74. Některé rovnice jaderné syntézy.
(a) úhrnná reakce jaderné syntézy lehkého jádra
vodíku v jádru Slunce; (b) jaderná syntéza deuteria;
(c) jaderná syntéza deuteria s tritiem. νe neutrino.
Rovnice 6a
Tato reakce je velice pomalá a mezi její levou a pravou stranou probíhá několik reakcí
dílčích; některé z nich potřebují jako vstupní produkty jiná jádra (např. uhlík) a pak je
nezměněna zase uvolní – tato jádra plní funkci katalyzátoru reakce [4, s. 313].
Rovnice 6b
Tato reakce probíhá při nižších teplotách a tlacích a za kratší dobu než je reakce lehkého
vodíku. Proto i technické řešení termonukleárních reaktoru by bylo méně náročné.
Rovnice 6c
Jedná se o nejrychlejší známou termojadernou reakci, při které se reakce nastartuje při
nejnižší teplotě [3, s. 22]. Jedná se o slučování deuteria a tritia. Proto pravděpodobně
první termojaderné reaktory budou využívat k výrobě energie slučování deuteria a tritia.
Naproti tomu u této reakce obsahuje kinetická energie jádra helia asi jen 3,5 MeV zbylá
kinetická energie 14,1 MeV je v kinetické energii neutronu (problém neutronového
bombardování nádoby reaktoru, tím se sice kinetická energie neutronu přemění na
tepelnou /zpomalí/, ale bombardovaný materiál mění vlastnosti).
(a) Doplňte tabulku. (b) Jaké množství čistého uranu 235U nebo vody (lehká voda) by bylo potřeba k
nahrazení energie veškerých fosilních paliv spotřebovaných v ČR v roce 2005? Úloha 1.id525
způsob palivo využitelná energie využití [MJ·kg­1] ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ hoření sláma 14 hoření č. uhlí 27,3 štěpení 235U (čistý 100 %) ? štěpení přírodní uran ? slučování H2O ? Tabulka k Úloze 1.
(a) 235U [MJ·kg­1] 82 150 234 (a) přírodní uran [MJ·kg­1] 575 052 (a) H2O [MJ·kg­1] 71 526 927 (b) 235U [kg] 18 137 (b) H2O [kg] 20 831 Úloha 1: souhrn výsledků.
Radioaktivita a vliv ionizujícího záření
Ionizující záření, radionuklid či radioaktivita jsou obecně známe pojmy spojené
především s jadernou energií respektive s jadernou energetikou. Všechna tělesa vyzařují
energii (elektromagnetické záření) odpovídající jejich teplotě, ale za jistých podmínek
může vyzařovat energii mnohem větší. Pokud je vyzářená energie tak vysoká (>25 eV),
že je schopna při průchodu prostředím atomy a molekuly v tomto prostředí ionizovat a
excitovat (to znamená, že tato energie způsobí změny v elektronovém obalu atomu
nebo dokonce změny v jádře atomu) potom se toto záření nazývá ionizující záření.
Ionizující záření
Pro ionizující záření se vžily i názvy jaderné nebo radioaktivní záření. Jaderné je
věcně správný avšak zahrnuje pouze ionizující záření vzniklé v jádrech atomu.
Radioaktivní je ale chybný, protože ionizující záření samo o sobě není radioaktivní (je
už produkt radioaktivity). Výjimkou je záření neutronové, protože volné neutrony se po
několika minutách rozpadají za vzniku ionizujícího záření.
Mezi ionizující záření patří např. záření elektromagnetické (γ záření – produkt
radioaktivní přeměny je to foton o vysoké energii), záření elektronové neboli beta
záření (je tvořeno elektronem a označováno β­ – produkt radioaktivní přeměny, např.
urychlovačích elektronů), záření pozitronové (je tvořeno pozitronem a označováno β+ –
jedná se o protiklad k elektronu), záření těžkých kladných částic neboli alfa záření (je
tvořeno jádrem Helia označováno α – produkt radioaktivní přeměny např. v
urychlovačích), záření neutronové (je tvořeno neutronem n – produkt radioaktivní
přeměny, např. ze samovolného štěpení jader atomů, vzniká v neutronových
generátorech i jaderných reaktorech).
Prostředí jenž pohltí ionizující záření získá energii ε [J], což je energie sdělená
látce. Dávka záření je veličinou vyjadřující velikost sdělené energie na 1 kg látky.
Rozměr jednotky dávky záření je označovaný Gy (Gray), přičemž 1 Gy znamená
energii 1 joulu absorbovanou 1 kg látky:
7.id84. Dávka záření.
D [J·kg ] dávka záření; ε [J] energie sdělená látce;
m [kg] hmotnost látky.
­1
Rychlost s jakou je energie látce sdělována vyjadřuje dávkový příkon:
8.id535. Dávkový příkon.
D [Gy·s ; W·kg­1] dávkový příkon; t [s] čas.
­1
Radioaktivita
Je to vlastnost některých jader atomů samovolně se rozpadat (přeměňovat) na jádra
menší nebo při deexcitaci jádra vyzařovat energii. Při tomto procesu se uvolní část
vazebné energie jádra ve formě elektromagnetického záření a kinetické energie
produktů rozpadu – uvolňuje ionizující záření.
"Z více než dvou tisíc známých nuklidů je jen 266 stálých, ostatní, ať se
nacházejí v přírodě nebo vznikají jadernými reakcemi, se více nebo méně
rychle samovolně přeměňují na jiný nuklid tj. jsou radioaktivní." Jiří Hála [1]
Jsou rozeznávány tři skupiny radioaktivních přeměn:
(1) Přeměny, při nichž se mění Z při konstantním A (například přeměna β­, β+) (2) Přeměny, při nichž se současně mění Z i A (například přeměna α...). (3) Přeměny způsobené deexcitací jádra, při nichž se mění pouze energetický obsah jádra (například uvolnění záření gamma ­ γ). 9.id85. Základní skupiny radioaktivních přeměn [1, s. 31].
Základní zákon radioaktivních přeměn říká, že za dostatečně krátký časový
interval se přemění vždy stálá část z přítomného počtu R atomů radioaktivního nuklidu.
Tato stálá část se označuje přeměnová konstanta:
10.id536. Přeměnová konstanta.
λ [s­1] přeměnová konstanta (například l=1∙10­3 s­1 znamená, že ve velkém souboru atomů daného
radioaktivního nuklidu se každou sekundu přemění jedna tisícina z přítomného počtu radioaktivních atomů);
A+ [1·s­1; Bq] aktivita (časová změna (úbytek) počtu radioaktivních atomů za časovou jednotku);
R [množství] počet přítomných radioaktivních nuklidů.
Z přeměnové konstanty a molové hmotnosti lze určit poločas rozpadu daného
radioaktivního nuklidu. Což je doba, za kterou se přemění polovina množství atomů
daného radioaktivního nuklidu ve velkém souboru atomů.
Přeměna β­ vzniká při přeměně neutronu v jádře radionuklidu na proton:
11.id538. Příklad přeměny β­*.
ν­e antineutrino.
*Poznámka Této přeměny se využívá při stanovování stáří odumřelých organismů. Radionuklid 14C
vzniká v horních vrstvách atmosféry reakcí kosmického záření s dusíkem. Tento
radionuklid se prostřednictvím molekuly CO2 dostává do živých organismů. Díky
metabolismu organismu se neustále uhlík v organismu vyměšuje a zase přijímá. Po
odumření organismu se tato výměna zastaví a radionuklid 14C se rozpadá s poločasem
rozpadu 5730 let na izotop dusíku 14N podle Rovnice 10. Podle poměru obsahu izotopů
14
C a 14N v odumřelém organismu lze tedy určit dobu, kdy organismus zemřel. Tuto
metodu lze spolehlivě uplatnit pro stáří zkoumaného organismu 5 000 až 20 000 let.
Přeměna β+ vyskytuje se u radioaktivních nuklidů připravených jadernými
reakcemi. Vzniká při přeměně nadbytečných protonů v jádře na neutron, elektron a
neutrino:
12.id539. Příklad přeměny β+.
Přeměna α se vyskytuje převážně u přirozených i umělých radioaktivních nuklidů
těžkých prvků, kde se v jádru projevuje silné odpuzování protonů. Při této přeměně
jádro emituje shluk dvou protonů a neutronů (jádro helia):
13.id540. Příklad přeměny α.
Přeměna γ: Jádra, která vzniknou radioaktivní přeměnou se velmi často vyskytují
v excitovaném stavu (například jádra izotopu 236U, která vznikla z izotopu 235U
absorbováním jádra a přesto nedošlo ke štěpení). Což je způsobeno tím, že po změnách
v počtu nebo typu nukleonů v jádře se nemusí vyskytovat v nejnižších možných
energetických stavech. Následuje proto reorganizace nukleonů do energeticky
výhodnějšího stavu­ deexcitace jádra. Přitom dojde k emisi γ záření. Protože emise γ
může být velice opožděná za předchozí radioaktivní přeměnou má vlastní poločas
přeměny nezávislý na poločasu předchozí přeměny. Nuklid v excitovaném stavu s
delším poločasem přeměny γ se nazývá jaderný izomer.
Účinky ionizujícího záření
Nejsou dány pouze aktivitou zdroje záření, ale závisí také na tom, jakou energii
záření nese a jak účinně ji předává prostředí, kterým prochází:
druh látka tl. záření ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ α vzduch 10 cm (úplné pohlcení) β vzduch 20 cm (úplné pohlcení) γ olovo 35 cm (snížení výkonu záření na 10 000 000­1)
14.id875. Schopnost některých druhů zaření pronikat daným prostředím, [7, s. 97 až 99].
Biologické účinky ionizujícího záření
Pozorovatelné účinky ionizujícího záření mají svůj počátek vždy v dějích, které
ionizující záření vyvolává v buňkách (rozklad molekul, vznik radikálů HO2 a O­2).
Zpravidla platí, že buňky, které se nedělí (nerozmnožují) nebo se dělí pomalu jsou
odolnější než buňky, které se dělí rychleji (vlasy). Nejzávažnější jsou změny na
struktuře a biosyntéze DNA. Jakýkoliv zásah do biochemického cyklu DNA má za
následek buď selhání buněk, která přestane vytvářet potřebnou bílkovinu nebo dokonce
může tvořit bílkoviny, které jsou pro tělo cizí nebo dokonce toxické.
Při extrémně vysokých dávkách (<= 103 Gy) hynou buňky již během ozařování v
důsledku štěpení vnitro buněčných bílkovin (atomární smrt). Biologické účinky
ionizujícího záření závisí na dávce záření a době za jakou je tělu sděleno. Buňky však
mají jistou schopnost poškození enzymaticky opravit. Prakticky to znamená, že při
určité dávce je poškození organismu menší, je­li tkáň nebo organismus touto dávkou
ozářen nikoliv najednou, ale je­li dávka buď rozprostřena rovnoměrně na delší dobu,
nebo rozdělena na několik menších dávek s časovými prodlevami mezi nimi
(frakcionance dávky). Účinek na tkáň podstatně závisí i na druhu ionizujícího záření.
Např. neutrony způsobí v živé tkání větší „škodu“ než elektrony a částice α zase větší
škodu než neutrony. Biologická účinnost jednotlivých druhů záření se vyjadřuje pomocí
tzv. jakostního faktoru. Dávka záření vynásobená jakostním faktorem se nazývá
dávkový ekvivalent a jeho jednotkou je Sievert [Sv; J·kg­1] [2, s. 144]. Dávkový
ekvivalent tedy zahrnuje fyzikální veličinu dávka záření, druh záření a míru vlivu na
danou tkáň v porovnání s fotonovým zářením:
Každý orgán v těle je však jinak citlivý na ionizující záření, proto se dávkový ekvivalent ještě násobí
faktorem, který tuto skutečnost zohledňuje. Například pro žaludek je tento faktor 0,12 a pro kůži 0,01 [1].
Součin dávkového ekvivalentu a tohoto faktoru se nazývá ekvivalentní dávka. 15.id541. Definice ekvivalentní dávky.
Ionizující záření má převážně na organismus (lidský) negativní vliv, jsou ale
známy případy, kdy ionizující záření vyvolává v živých organismech změny pozitivní.
Při nízké úrovni nelze zjistit žádné škodlivé účinky ionizujícího záření na lidský
organismus. Ty se projevují až při dávkových ekvivalentech, převyšujících 500 mSv. V
České republice je zákonem stanoven nejvyšší přípustný limit ozáření běžného
obyvatele během jednoho roku ve výši 5 mSv. Dávkový ekvivalent záření z přírodních
zdrojů je kolem 2,5...3 mSv za rok, umělé zdroje (včetně jaderných zařízení) přispívají
ročně jen zcela minimálně, kolem 0,01 mSv. Velice ovšem závisí do jakého období je
dávka rozložena, jestli mezi jednotlivými dávkami je dostatečná doba pro regeneraci
tkání atd:
16.id86. Odezva organismu na ozáření.
Zde je prahová ekvivalentní dávkou myšlena dávka,
při které poškození organismu vlivem ionizujícího
záření způsobí smrt. Obrázek ukazuje
pravděpodobnost poškození organismu (nevratného)
v závislosti na obdržené dávce. Podrobnější popis
například v [1, s. 145].
Výběr některých reakcí lidského těla na ionizující záření z [1].
Akutní nemoc z ozáření nastává po dávce 1 až 2 Sv (závisí na individuální odolnosti).
Následuje několik fázi onemocnění (nevolnost, skleslost, bolesti hlavy, zvracení a různé
závažné změny v krevním obrazu podle stupně ozáření). Poté následuje latence a poté
padání vlasů, silná vnímavost vůči infekcím. Při ozáření dávkou 6 Sv převládá
hematologická (krvetvorba) forma nemoci pravděpodobnost přežití 20 %, při 10 Sv
pravděpodobnost přežití se blíží k 0 %. O záření ekvivalentní dávkou 50 Sv způsobuje
nervovou formu nemoci projevující se psychickou dezorientací a zmateností, křečemi a
bezvědomí. Během několika hodin až dnů nastává smrt v důsledku oběhového kolapsu,
zástavy dýchání a poruch mozku.
Hematologické změny (změny ve složení krve) lidského organismu způsobené
inozujícím ozařením jsou uvedeny v [9, s. 691].
Odkazy
1. HÁLA, Jiří. Radioaktivita, ionizující záření, jaderná energie, 1998. 1. vydání. Brno:
KONVOJ, ISBN 80­85615­56­8.
2. PRÁŠIL, Zdeněk, ŽILKA, Luděk, SATORIE, Zdeněk, PALEK, Miroslav,
DUFKOVÁ, Marie. Užitečné záření, 1992. 3. vydání, přepracované. Praha: ČEZ, a.s.,
ISBN 80­7073­047­1.
3. ŘÍPA, Milan, WEINZETTL, Vladimír, MLYNÁŘ, Jan, ŽÁČEK, František, Řízená
termojaderná syntéza pro každého, 2005. 2. vydání. Praha: Ústav fyziky plazmatu AV
ČR, ISBN 80­902724­7­9.
4. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1. vydání. Praha: Mladá fronta,
ISBN 80­204­0237­3.
5. VACÍK, Jiří, BARTHOVÁ, Jana, PACÁK, Josef, STRAUCH, Bohuslav,
SVOBODOVÁ, Miloslava, ZEMÁNEK, František. Přehled středoškolské chemie,
1995. 1. vydání. Praha: SPN­pedagogické nakladatelství, a.s., ISBN 80­85937­08­5.
6. HORÁK, Zdeněk. KRUPKA, František, ŠINDELÁŘ, Václav. Technická fysika,
1961. 3. vydání. Praha: SNTL.
7. NĚSTĚRENKO, G., SOBOLEV, A., SUŠKOV, J. Atomová letadla, 1959. Vydání
první. Praha. Naše vojsko, z ruského originálu Primeněnije atomonych dvigatělej v
avijaciji.
8. WILCZEK, Frank. The Lightness of Being: Mass, Ether, and the Unification of
Forces, 2008. New York: Basic Books. České vydání: Lehkost bytí aneb Bytí jako
světlo, 2011. První vydání vydaly společně nakladatelství Paseka (ISBN 978­80­7432­
146­7), Argo (ISBN 978­80­257­0544­5), Dokořán (ISBN 978­80­7363­395­0).
9. GARLÍK, Bohumír. Energie elektromagnetického pole, inteligentní budovy a lidský
organismus, Energetika, číslo 12, 2012, ročník 62. Praha: ČSZE, ISSN 0375–8842.
Citace tohoto článku
ŠKORPÍK, Jiří. Jaderná energie a ionizující záření, Transformační technologie,
2006­10, [last updated 2013­01]. Brno: Jiří Škorpík, [on­line] pokračující zdroj, ISSN
1804­8293. Dostupné z http://www.transformacni­technologie.cz/jaderna­energie­a­
ionizujici­zareni.html.
©Jiří Škorpík, LICENCE
www.transformacni­technologie.cz
—1—
—2—
4
Tato Příloha 54 je součástí článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
4
3
4
1
1
2
3
4
a=∮ p⋅dv=∫ p⋅dv+∫ p⋅dv+∫ p⋅dv+∫ p⋅dv
p4⋅v κ4 (1
∫ p⋅dv= 1 κ (v 1
1
4
[43. id603].
1
1
[43. id956]
v
(a)
pracovní plyn v průběhu změny stavu
nemění individuální plynovou konstantu,
T=T1=konst. na tomto úseku probíhá izotermická
změna stavu pracovního plynu,
r=konst.
2
v
1
r⋅T1 ∫ ⋅dv=r⋅T 1 ln 1 .
v2
1 v
3
2
Rovnice pro tlak je stejná jako na řádku (a) ovšem děj
neprobíhá izotermicky, ale adiabaticky a teplota se tedy v
průběhu děje mění:
( )
κ
[43. id945]
p 2⋅v κ2 (1
1
κ
∫ p⋅dv=p 2⋅v 2∫ v κ⋅dv= 1 κ (v 3
2
2
3
κ)
) jedná se o stejnou adiabatickou
3
4
2
1
∫ p⋅dv+∫ p⋅dv=
1
( p ⋅v κ⋅v (1 κ) p2⋅v 2+p 4⋅v κ4⋅v(11 κ) p 4⋅v 4 )=
1 κ 2 2 3
vκ
vκ
1
=
p2 2κ v 3 p 2⋅v 2 +p4 4κ v 1 p4⋅v 4 =
1 κ
v3
v1
1
=
( p ⋅v p ⋅v +p ⋅v p ⋅v )
1 κ 3 3 2 2 1 1 4 4
=
(
)
Ze stavové rovnice ideálního plynu (a) pro izotermický
děj:
∫ p⋅dv=?
p=p2
v(1
4
Přičemž součet integrálů na úsecích 2-4 a 4-1
(součet adiabatických prací) je nulový:
∫ p⋅dv=?
v2
v
κ)
změnu jako na úseku 2-3, která ovšem začíná v bodě 4.
2
p=r⋅T
4
prvním úseku 1-2 s tím rozdílem, že tentokrát se změna
koná při teplotě T3.
Měrná práce Carnotova oběhu
2
v
∫ p⋅dv=r⋅T 3 ln v 3 jedná se o izotermickou změnu jako na
(b)
3
κ)
v (1
2
κ)
)
p1·v1=p2·v2=r·T1; p3·v3=p4·v4=r·T3.
Odtud:
3
4
2
1
∫ p⋅dv+∫ p⋅dv=0 .
Celková měrná práce Carnotova oběhu tedy je:
a=∮ p⋅dv=r⋅T 1 ln
v1
v
+r⋅T3 ln 3 .
v2
v4
—3—
—4—
Teplo dodané do Carnotova oběhu
Pro úsek 1-2:
2
2
2
v
q1 2 =∫ dq=∫ c v⋅dT+∫ p⋅dv=r⋅T1 ln 1 >1
v2
1
1
1
protože v1>v2.
Pro úsek 2-3:
q2 3 =∫ dq=0 .
Pro úsek 3-4:
3
()
( )
κ
p1 v 4
T ⋅v T
v
=
= 1 4→ 3= 1
p4 v1
v1⋅T 4 T1 v 4
(κ 1)
(κ 1)
,
v2 v1 v4 v1
= → = .
v 3 v 4 v3 v 2
2
q3 4=∫ dq=r⋅T 3 ln
()
( )
κ
p3 v2
T ⋅v T
v
=
= 3 2 → 3= 2
p2 v3
v 3⋅T2 T 1 v 3
odtud je zřejmé, že musí platit rovnost poměrů:
3
4
[1, s. 106]:
v3
<1 protože v3<v4.
v4
Takže teplo dodané bude rovno dodanému teplu na úseku
1-2.
qD=q1-2.
Teplo na úseku 3-4 se nazývá teplo odvedené:
qOd=q3-4.
Tepelná účinnost Carnotova oběhu
v3
a
v4
ηt= =1+
[43. id616]
qD
v1
T1 ln
v2
T3 ln
Ze stavové rovnice (a) a z rovnice adiabaty lze pro poměr
měrných objemů mezi body 2-3 a 4-1 odvodit podle
v4
v3
a
ηt= =1
=1
qD
v1
T 1 ln
v2
T3 ln
T3
.
T1
Odkazy
1. KALČÍK, Josef, SÝKORA, Karel. Technická
termomechanika, 1973. 1. vydání, Praha: Academia.
—5—
—6—
Tato Příloha 124 je součásti článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
Tato Příloha 171 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
Rovnice pro rozdíl entropie na izotermě v T-s
diagramu
Rovnice pro potenciální proudění v rovině
Posunutí mezi jakoukoliv izobarou a porovnávací izobarou
odpovídá rozdílu entropie při izotermickém ději mezi
těmito tlaky:
p
T
p0
Přírůstek potenciálu rychlosti neboli jeho totální
diferenciál je podle kapitoly 42. Potenciál rychlosti a
proudová funkce:
d Φ=c x dx+c y dy nad [42. id171]
Protože potenciál rychlosti je funkcí dvou proměnných
Φ=f(x, y) bude jeho totální diferenciál podle [42. id377]
také roven:
d Φ= ∂ Φ dx+∂Φ dy
∂x
∂y
T0
∆s
(b).
Porovnáním rovnic (a) a (b) lze pro složky rychlosti psát:
s
Izobary v T-s diagramu a jejich vzájemná vzdálenost při cp=konst.
Horizontální posunutí izobary p vůči porovnávací izobaře
p0:
dT=0 ,
dq di – v⋅dp c p dT – v⋅dp
v⋅dp
ds= =
=
=
,
T
T
T
T
v⋅dp
ds=
,
T
p
p
p
ds=
r
=∆s= r⋅ln 0 .
∫
∫ dp
p
p0
p0 p
(a).
c x = ∂ Φ , c y= ∂ Φ .
∂x
∂y
Rovnice čáry potenciálního proudění tj. čáry Φ=konst. lze
odvodit z rovnice přírůstku potenciálního proudění (a) pro
případ dΦ=0:
0=c x dx+c y dy
(c).
Nyní lze odvodit rovnice pro proudovou funkci. Proudnice
Ψ nechť jsou čarami proudová funkce v proudovém poli.
Tyto čáry jsou kolmé na čáry potenciálu rychlosti viz.
Obrázek 1.
—7—
ϕ dx
Ψ
—8—
Porovnáním rovnice (e) s (f) je patrné, že pro složky
rychlosti lze psát také:
Φ
dy
y
ϕ cx
cy
⃗
c
ϕ dy
dx
c x = ∂ Ψ , c y= ∂ Ψ .
∂y
∂x
Nebo tytéž výrazy s opačným znamínkem [1, s. 209].
Odkazy
x
Znázornění čar potenciálu rychlosti a čáry proudové funkce.
Tečna k čáře proudové funkce je vektorem rychlosti takže
její derivace bude přímo úměrná složkám rychlosti:
dy c y
= .
dx c x
Rovnice čáry proudové funkce tedy je podle poslední
derivace:
0=c y dx c x dy .
Na proudnici bude přírůstek proudové funkce roven nule:
dΨ=0
(d).
Za pravou stranu poslední rovnice dosadíme z Rovnice (d)
a vznikne rovnice přírůstku proudové funkce:
d Ψ=c y dx c x dy
(e).
Protože proudová funkce je funkcí dvou proměnných
Ψ=f(x, y) bude jeho totální diferenciál podle [42. id377]
také roven:
d Ψ= ∂ Ψ dx+∂ Ψ dy
∂x
∂y
(f).
1. MAŠTOVSKÝ, Otakar. Hydromechanika, 1964.
2. vydání. Praha: Statní nakladatelství technické literatury.
—9—
— 10 —
Tato Příloha 288 je součástí článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
teplo, což znamená, že energie pracovní látky na výstupu
bude větší než na vstupu. V případě opačného děje tzn.
teplo je ze stroje odváděno bude energie na výstupu ze
stroje menší:
Odvození rovnice pro práci průtočného stroje
(rovnice I. zákona termodynamiky pro
otevřenou soustavu)
V průtočném stroji se může transformovat kinetická
energie, potenciální energie, tlaková a tepelná energie
pracovní látky.
Celková energie elementu pracovní látky o hmotnosti ∆m
vstupující do stroje, jejíž části mohou transformovány na
práci a mezi sebou:
(
2
)
c
Ei =∆m ui+(p⋅v)i+ i +g⋅Hi
2
(a).
V případě izolované soustavy tzn. stroj je dokonale tepelně
izolován a není odváděna žádná práce zůstane součet
energie týž pouze rozložení jednotlivých energií se může
změnit [43. pod id960]:
(
Ee=∆m ue+(p⋅v)e +
c 2e
+g⋅He
2
)
(b).
Takže pro dokonale izolovanou soustavu bude rozdíl
energie ve vyšetřovaném elementu roven nule:
Ee-Ei=0.
Bude-li soustava neizolovaná může do stroje proudit vnější
Ee-Ei=∆m·q
q [J·kg-1] množství tepla přivedeného na 1 kg
pracovní látky ve stroji, v případě, že je teplo odebíránopracovní látka je ochlazována bude mít veličina q záporné
znamínko.
Jestliže se jedná o stroj schopný transformovat výše
uvedené energie na práci či obráceně-práci na uvedené
druhy energie opět to bude snižovat součet energií
pracovní látky na výstupu ze stroje:
Ee-Ei=∆m·q-ai (c)
ai [J·kg-1] měrná vnitřní práce stroje tzn. práce
vykonaná každým kilogramem pracovní látky, která prošla
strojem, případě, že stroj práci spotřebovává bude mít
veličina ai záporné znamínko.
Dosazením rovnic (a), (b) do (c):
(
)(
c2e
ue+(p⋅v)e + +g⋅He
2
)
c 2i
ui+(p⋅v)i+ +g⋅Hi = q+ai .
2
Elementární množství pracovní tekutiny procházející
strojem tedy může vykonat vnitřní měrnou elementární
práci dai:
dai=dq du d(p⋅v)
dc2
g⋅dH .
2
— 11 —
Poslední rovnice se také nazývá rovnice prvního zákona
termodynamiky pro otevřený systém.
— 12 —
Tato Příloha 310 je součástí článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
Rovnice izobary a izochory v T-s diagramu
V T-s diagramu platí pro izobarický děj ideálního plynu,
kdy cp=konst.:
ds=
dq
,
T
pro dp=0→sp – s0 =c p ln
T
=∆sp
T0
kde za dq je dosazena rovnice Prvního zákona
termodynamiky pro uzavřený systém přesněji jeho druhou
formu zápisu [43. id964].
V T-s diagramu platí pro izochorický děj ideálního plynu,
kdy cv=konst.:
ds=
dq
,
T
pro dp=0 → sv – s0=c v ln
T
=∆ sv
T0
kde za dq je dosazena rovnice Prvního zákona
termodynamiky pro uzavřený systém přesněji jeho první
formu zápisu [43. id956].
Odkazy
1. KALČÍK, Josef, SÝKORA, Karel. Technická
termomechanika, 1973. 1. vydání, Praha: Academia.
— 13 —
— 14 —
Tato Příloha 680 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
Podle pravidel vektorového počtu [2, s. 219] lze poslední
rovnici zapsat ve tvaru:
⃗
a =c x
∂ cx ⃗
∂ cy ⃗
∂ cz ⃗
i +c y
j +c z
k =⃗
c di v ⃗
c =⃗c (∇ ⃗
c ).
∂x
∂y
∂z
Zrychlení tekutiny-odvození vektorového
zápisu
Poznámka
Součin c ∇ c  není ten samý jako c ∇ c.
Vektor zrychlení tekutiny bude ve tvaru:

a =ax i ay j az 
k.
Odkazy
Přičemž zrychlení v jednotlivých směrech bude derivací
příslušné složky rychlosti podle času [1, s. 13]:
1. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1.
vydání. Praha: Mladá fronta, ISBN 80-204-0237-3.
a x=
∂ cx
∂c
∂c
, a y= y , a z= z .
∂t
∂t
∂t
∂c
∂c
∂c
⃗
a = x ⃗i + y ⃗j + z ⃗
k
∂t
∂t
∂t
2. REKTORYS, Karel, CIPRA, Tomáš, DRÁBEK, Karel,
(a).
Rychlost ve jednotlivých směrech je derivací polohy podle
času [1, s. 13]:
cx =
∂x
∂y
∂z
,c = ,c = .
∂t y ∂ t z ∂ t
Z posledních rovnic lze určit odtud pro diferenciál času:
∂ t=
∂x
∂y
∂z
∂ t= , ∂ t=
,
cx
cy
cz
Kombinací diferenciálu času z rovnice (b) s rovnicí (a)
vznikne vektor zrychlení proudu tekutiny jako funkce
rychlosti:
⃗
a =c x
∂ cx ⃗
∂c
∂c
i +c y y ⃗j +c z z ⃗
k.
∂x
∂y
∂z
(b).
FIEDLER, Miroslav, FUKA, Jaroslav, KEJLA, František,
KEPR, Bořivoj, NEČAS, Jindřich, NOŽIČKA, František,
PRÁGER, Milan, SEGETH, Karel, SEGETHOVÁ, Jitka,
VILHELM, Václav, VITÁSEK, Emil, ZELENKA,
Miroslav. Přehled užité matematiky I, II, 2003. 7. vydání.
Praha: Prometheus, spol. s.r.o., ISBN 80-7196-179-5.
— 15 —
— 16 —
Tato Příloha 681 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
Tato Příloha 813 je součásti článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
Rotace potenciálního vektorového pole
Rovnice porovnávací izobary v T-s diagramu
⃗i ,
∂
,
rot(∇ u)= ∂ x
∂u
∂x
Jestliže změna měrné tepelné kapacity plynu při stálém
tlaku je funkcí pouze teploty (nikoliv tlaku) platí podobně
jako pro cp=konst., že izobary v T-s diagramu jsou stejné
a od sebe posunuty ve směru osy entropie. To lze dokázat
z I. zákona termodynamiky, kdy platí pro izobarickou
změnu z teploty T0 na teplotu T rozdíl entropie:
∣
(
+
∂2 u
∂z ∂x
⃗j ,
∂
,
∂y
∂u
∂y
∣
⃗
k
∂
,
∂2u
∂z =
∂y ∂z
∂u
∂z
(
) (
2
∂2 u
∂ u ⃗
j+
∂ x∂ z
∂ x∂ y
)
∂2 u ⃗
i+
∂z ∂y
)
2
∂ u ⃗ ⃗
k=0 .
∂ y ∂x
ds=
dq di – dat c p (T)dT – v⋅dp
=
=
,
T
T
T
dp=0 ,
s
T
s0
T0
∫ ds=∫
cp (T)
dT
T
Integrací
∫
(a).
c p (T)
dT vznikne funkce Φ(T) (přičemž pro
T
Φ(T0)=0) a výsledek integrace rovnice (a) je:
T
s s0 =Φ (T)=∫
T0
c p (T)
dT .
T
Převod na diferenční počet [1] pro bod k na isobaře, která
je sestrojena z minimálně k+1 počtu bodů (bod „navíc“
zahrnuje počátek):
i=k
Φ( Tk )=∑
i=1
c pi; i 1
(T T i 1 )
T i;i 1 i
— 17 —
c pi; i 1=
c p, i+cp ,i
2
1
střední hodnota měrné tepelné kapacity
pracovního plynu při stálém tlaku mezi dvěma právě
vyšetřovanými body,
Ti ;i 1 =
Ti +T T ,i
2
1
střední hodnota teploty pracovního plynu
mezi dvěma právě vyšetřovanými body.
i=k
Φ(T k)=∑
i=1
c p, i+cp ,i 1
(Ti Ti 1 ) .
Ti+Ti 1
Odkazy
1. PRÁGEROVÁ, Alena. Diferenční rovnice, 1971. Vydání
první. Praha: Státní nakladatelství technické literatury.
— 18 —
Tato Příloha 924 je součásti článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
Rovnice pro konstrukci porovnávací izobary
v i-s diagramu
Jestliže je cp=f(T) potom i měrná entalpie pracovního
plynu i je i=f(T) a tedy i izobary v i-s diagramu jsou stejné
pouze posunuté ve směru osy entropie. To lze dokázat z
I. zákona termodynamiky, kdy platí pro izobarickou změnu
pracovního plynu z měrné entalpie i0 na měrnou entalpii i
rozdíl entropie:
ds=
dq di – dat di – v⋅dp
=
=
,
T
T
T
dp=0 ,
s
i
s0
i0
∫ ds=∫
Integrací
1
di
T
(a).
∫ 1T di vznikne funkce Φ(i) (přičemž pro
Φ(i0)=0) a výsledek integrace rovnice (a) je:
i
s s0 =Φ (i)=∫
i0
1
di .
T
Převod na diferenční počet [1] pro bod k na isobaře, která
je sestrojena z minimálně k+1 počtu bodů (bod „navíc“
zahrnuje počátek) :
— 19 —
i=k
Φ( ik )=∑
1
(ii ii 1 )
Ti; i 1
Ti +T T ,i 1
střední hodnota teploty pracovního plynu
1=
2
i=1
Ti ;i
mezi dvěma právě vyšetřovanými body.
i=k
Φ( ik )=∑
i=1
2
(i i ) .
Ti +Ti 1 i i 1
— 20 —
Tato Příloha 935 je součásti článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
Odvození rovnice pro práci plynu uzavřeného
v nádobě s pístem
Dolní index i je v tomto případě čítací index.
Vykonaná práce plynem, který zdvihá píst se závažím tj. je
přímo úměrná síle a dráze pístu:
Odkazy
A=F·(x-0) [1, s. 24]
1. PRÁGEROVÁ, Alena. Diferenční rovnice, 1971. Vydání
první. Praha: Státní nakladatelství technické literatury.
Síla o síle F jsou přesné informace, protože je známo
gravitační zrychlení, které je konstantní i délka dráhy,
proto není problém množství práce vyčíslit ze vzorce (a).
(a)
Úlohu ale zobecněme a to tak, že sílu F neznáme, ale
známe pouze změnu stavových veličin plynu, které jsou
měřeny. Potom při posunutí o elementární vzdálenost dx
bude vykonaná elementární práce dA:
g
Fg
x
dx
dV
Fp
0
Znázornění elementární změny objemu
plynu v nádobě.
— 21 —
— 22 —
dA=p·S·dx
Tato Příloha 964 je součásti článku 43. Technická
termomechanika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-termomechanika.html.
S [m2] plocha pístu, na kterou působí tlak p.
S·dx=dV (elementární změna objemu plynu v nádobě)
dA=p· dV
Integrace rovnice (b) na vzdálenosti 0 až x musí tedy
odpovídat vykonané práci z rovnice (a):
x
A=∫ p⋅dV .
(b).
Odvození druhé formy zápisu I. zákona
termodynamiky pro uzavřený systém
Zápis I. zákona termodynamiky pro uzavřenou soustavu:
dq=du+p⋅dv [43. id937].
0
Odkazy
1. MACHÁČEK, Martin. Encyklopedie fyziky, 1995. 1.
vydání. Praha: Mladá fronta, ISBN 80-204-0237-3.
Přičemž entalpie je definována jako součet vnitřní energie
tlakové energie vyšetřovaného objemu látky. Tedy
elementární změna entalpie 1 kg látky je způsobena
součtem elementární změny vnitřní a tlakové energie této
látky:
di=du+d(pv)=du+v·dp+p·dv
[43. id288].
Separací změny vnitřní energie z poslední rovnice a
dosazením do první rovnice:
dq=di-v·dp.
— 23 —
— 24 —
Tato Příloha 1009 je součástí článku 46. Přenos energie
elektromagnetickým zářením, http://www.transformacnitechnologie.cz/prenos-energie-elektromagnetickymzarenim.html.
Rovnice Michelson-Morleyho experimentu
Světelný paprsek by měl urazit dráhu |BC| ve směru sever
jih za dobu odpovídající dráze světelného paprsku
vzhledem k nehybnému éteru. Během experimentu urazí
měřící přístroj dráhu u·τ|BC|:
τ∣BC∣=
u
|BC|
c
c
√c2
u2
c
©2014 Jiří Škorpík
u·τ|BC|
Z rychlostního trojúhelníku [11. id257] uvedeného na
pravé straně náčrtku lze stanovit složku rychlosti ve směru
sever-jih. Touto rychlostí urazí světelný paprsek za dobu τ|
BC| dráhu 2·|BC|:
2 · ∣BC∣=( √ c 2 u2 )τ∣BC∣
τ∣BC∣=
2 · ∣BC∣ 2 · ∣BC∣
=
c
√ c 2 u2
√
1
1
u2 .
c2
Stejným postupem odvodíme vztah pro předpokládanou
dobu, za kterou urazí světelný paprsek na dráhu |BC|
a zpět otočíme-li aparaturu o 90° ve směru východ západ.
Relativní rychlost světelného paprsku (rychlost světelného
paprsku vzhledem k aparatuře) ve směru od skleněné
destičky k zrcátku c je c-u. Relativní rychlost v opačném
směru tj. od zrcátka ke skleněné destičce bude očekávána
c+u. Takže celková doba, za kterou světelný paprsek urazí
dráhu |BC| a zpět bude součet doby ve směru k zrcátku
a od zrcátka ke skleněné destičce:
∣BC∣ ∣BC∣ 2 · ∣BC∣
+
=
c u c+u
c
1
u2 .
1
2
c
— 25 —
— 26 —
Tato Příloha 1079 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
α+β=2⋅γ .
z
x
Základní spojnicový diagram-odvození
rovnice
Jedná se nejednoduší typ spojnicového nomogramu, ve
které jsou všechny tři osy úsečkami přičemž jedna úsečka
je přesně uprostřed dvou.
z
x
y
η
ξ
2
ξ
1. Tvar a rozměry nejednoduššího spojnicového nomogramu.
Jestliže řešení rovnice musí ležet na jedné přímce musí
platit pro body α, β, γ odečtené na stupnici, které na této
přímce leží zobrazené na Obrázku 2:
α γ γ β
tan δ= ξ = ξ
2
2
y
δ
δ
α
γ
β
2. Obrázek pro odvození vlastnosti rovnice, kterou lze v tomto typu nomogramu
zobrazit.
Vzhledem k tvaru rovnice pro vztah mezi veličinami
odečtenými na přímce na tomto typu spojnicového
nomogramu se tento typ spojnicové nomogramu nazývá
součtový nebo-li spojnicový nomogram pro součet.
— 27 —
— 28 —
Tato Příloha 1080 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
α=
Jestliže osa otáček kola bude mít rozsah n=1 až n=10 a její
délka bude ξ mm, potom vzdálenost β bude rovna na
logaritmické stupnici:
Spojnicový nomogram pro výpočet
obvodových otáček kola
β=
Obvodové otáčky kola se vypočítají z rovnice:
u=π⋅d⋅n
(a).
Řešení této rovnice lze provést ve spojnicovém
nomogramu vhodný pro součin [1, s. 155] nebo tento vztah
upravit pro logaritmický souřadný systém, ve kterém by
vztah měl tvar součtový a šlo by využít základní
spojnicový nomogram pro součet:
logu=log π+logD+log n
(b).
Podle obrázku základního spojnicového nomogramu pro
součet v [42.] musí poslední rovnice splňovat rovnost:
α+β=2⋅γ [mm]
log D log1
ξ=ξ log d .
log 10 log1
(c).
log n log 1
ξ=ξ log n .
log10 log1
Jestliže osa obvodové rychlosti kola bude mít rozsah u=π
až u=π·100 a její délka bude ξ mm, potom vzdálenost γ
bude rovna na logaritmické stupnici:
γ=
log u logπ
1
log u log π
ξ=ξ (log u logπ) .
ξ=
log π⋅100 log π
log100
2
Pro kontrolu lze dosadit poslední tři rovnice do
rovnice (c):
1
ξ logd+ξ log n=2⋅ξ (logu logπ)
2
log d+log n=log u log π
log d+log n log π=log u .
kde α je souřadnice na ose x, β souřadnice na ose y a γ je
souřadnice na ose z.
Poslední rovnice je rovna rovnici (b), takže výběr tvaru
spojnicového nomogramu je správný.
Nyní jednotlivé proměnné je nutné přiřadit k jednotlivým
osám, tak aby splnily tvar rovnice (c):
Odkazy
logd=x , logn=y , log u=z
Jestliže osa průměru kola bude mít rozsah d=1 až d=10 a
její délka bude ξ mm, potom vzdálenost α bude rovna na
logaritmické stupnici:
1. ŠTĚPANSKÝ, Václav. Nomogramy, 1970. Vydání
druhé. Praha: SNTL. 252 stran.
— 29 —
— 30 —
Tato Příloha 1084 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
než 0,0001 ukončí se řešení při platnosti tj.:
Stanovení postupu iteračního výpočtu
logaritmu přirozeného čísla
Odkazy
1
log x=
ln x ≐ 0,434294⋅ln x
ln 10
(log324)n
≤1,0001 .
(log 324)n 1
[1, s. 14]
Nejprve je nutné zápis mocninné řady pro přirozený
logaritmus převést na sumační vzorec, který se bude při
výpočtu opakovat tak dlouho dokud nedosáhne číslo
požadované přesnosti.
lnx=2
[
( ) ( ) ]
3
( )
5
∞
x 1 1 x 1
1 x 1
1
x 1
+
+
+... =2 ∑
x +1 3 x +1
5 x +1
2n+1
x +1
n=0
2n+1
Zbývá určit počáteční kroky a podmínku ukončení
výpočtů.
Je očividné, že konečný počet cyklů k bude tím větší čím
větší bude požadovaná přesnost a velikost čísla x.
Logaritmus čísla 324 lze vyjádřit i takto
log324=log 100+log 3,24=2+log3,24 .
k
log324 ≐ 2+0,434294⋅2 ∑
n=0
k
=2+0,868588 ∑
n=0
(
1
3,24 1
2n+1 3,24+1
)
2n+1
=
1
0,52830189 2n+1 .
2n+1
Jestliže správné řešení bude při k cyklu bude chyba menší
1. REKTORYS, Karel, CIPRA, Tomáš, DRÁBEK, Karel,
FIEDLER, Miroslav, FUKA, Jaroslav, KEJLA, František,
KEPR, Bořivoj, NEČAS, Jindřich, NOŽIČKA, František,
PRÁGER, Milan, SEGETH, Karel, SEGETHOVÁ, Jitka,
VILHELM, Václav, VITÁSEK, Emil, ZELENKA,
Miroslav. Přehled užité matematiky I, II, 2003. 7. vydání.
Praha: Prometheus, spol. s.r.o., ISBN 80-7196-179-5.
— 31 —
— 32 —
Tato Příloha 1086 je součástí článku 42. Technická
matematika, http://www.transformacnitechnologie.cz/technicka-matematika.html.
Takže obvodová rychlost musí být rovna:
Odvození rovnice pro potenciální vír
Naopak lze dokázat, že nelze nalézt gradient funkce k jejíž
parciální derivace v obvodovém směru by měla tvar:
1
c u= a1 .
r
Jestliže má vektorové pole rychlostí pohybu po kružnici
být nevírové musí pro rychlost platit:
1 ∂k
=r⋅ω=c u ,
r ∂ν
⃗
c =∇⋅k [42. id681].
protože řešením posledně uvedeného je:
Kde k je hledaná funkce. Vektor rychlosti pohybu po
kružnici bude mít nenulovou složku pouze v obvodovém
směru, takže poslední rovnici lze rozepsat:
k=r 2⋅ω⋅ν+a1 .
∂ k ⃗ 1 ∂k ⃗ ∂ k ⃗
⃗
c (0, c u , 0)=
i + ∂ν j+ k
∂r
r
∂a
(a).
Podle poslední rovnice bude funkce k funkcí pouze jedné
proměnné k=f(υ). Tato funkce musí být řešením soustavy
diferenciálních rovnic gradientu:
∂k
=0
∂a
1 ∂k
=c u
r ∂ν
∂k
=0 .
∂r
Řešením této soustavy parciální diferenciálních rovnic je
rovnice přímky ve tvaru:
k=a1⋅ν +a2
kde a1, a2 jsou konstanty.
To znamená, že parciální derivace v radiálním směru bude
různá od nuly
∂k
≠0 ,
∂r
což odporuje zadání rovnice (a).
Rejstřík
Index
A
A
• Abel Niels 42.
• absolutní charakteristika kompresoru 26.
• absolutní nula (teplota) 46.
• absolutní rychlost 11.
• absorbátor 47.
• absorpce fotonu 46.
• absorpce tepelného záření 46.
• adiabatická expanze 13.
• adiabatická komprese 13.
• adiabatické hoření 3.
• adiabatický děj 43.
• adresa (program) 42.
• aerobní 3.
• aerobní fermentace 3.
• aeroderivát 23. 27.
• aerodynamický tunel 16.
• aerodynamika osamoceného profilu 16.
• aktivační energie 1.
• aktivita 47.
• aktivní zóna 47.
• akumulační elektrárna 5.
• Al-Chwárizmí Muhamad ibn Músa 42.
• alfa záření 47.
• alkoholová fermentace 3.
• amplituda pravděpodobnosti 46.
• anaerobní 3.
• anaerobní fermentace 3.
• analytická metoda 42.
• analogový počítač 42.
• anihilace 47.
• antihmota 47.
• antipompážní regulace 26.
• atmosférický tlak 1.1035
• atom 47.
• ATP 1.
• antracit 7.
• axiální stupeň 19. 11.
• axiální ventilátor 22.
• absolute velocity 11.
• absolute zero (temperature) 46.
• absorptivity of photon 46.
• absorptivity of heat radiation 46.
• additional losses 13.
• additional heating 23.
• adiabatic compression 13.
• adiabatic expansion 13.
• adiabatic process 43.
• admission of steam piston engine 28. 29.
• aeroderivative 23. 27.
• Al-Khwārizm Muhammad
ibn Mūsā 42.
̣
• alloys steel 15. 21.
• aluminum 15.
• angle of attack 15. 16.
• angle of camber of flow 15.
• angle of deviation 15.
• angle of glide 16.
• anti-stall system 26.
• atmospheric pressure 1.1035
• atom 47.
• attack velocity 15.
• axial fan 22.
• axial stage 19. 11.
B
B
• bandáž 11. 24. 17.
• barevné těleso 46.
• Bealovo číslo 36.
• Bendemannova elipsa 40.
• Benz Carl 1.
• Bernoulliho rovnice 11. 13. 42.
• beta záření 47.
• bezlopatkový difuzor 12. 20. 11.
• bezlopatkový rozvaděč 12. 20. 11.
• bezrozměrové otáčky 26.
• bezrozměrový průtok 26.
• bílé těleso 46.
• bio-materiál 15.
• biomasa 3.
• bioplyn 3.
• bit43.
• Boole George 42.
• Born Max 46.
• Boussinesq Joseph 38.
• Brayton Georg 1.
• Braytonův oběh 6. 27.
• Briggs Henry 42.
• bronz 15.
• bubnový rotor 24.
• buňka 1.
C–Č
• Carnotův oběh 43.
• carnotizace 6. 25. 27.
• celková energie kapaliny 11. 21. 13.
21.949
• celková entalpie 43.
• celková teplota 43.
• cirkulace rychlosti 12.
• cirkulace vektoru 42.
• clona 37.
• Colebrook Cyril 38.
• Colebrookova rovnice 38. 42.
• Compton Arthur 46.
• Curtisův stupeň 19. 24.
• černé těleso 46.
• back-pressure 40.
• back-pressure steam turbine 23.
• balancing valve 37.
• base airfoil 15.
• Beal number 36.
• Bendemann ellipse 40.
• Bernoulli equation 11. 13. 42.
• bio-material 15.
• biogas 3.
• biomass 3.
• blade 11. 15.
• blade passage 15. 11.
• blade profile 15. 16.
• blade profile angle 15.
• blade row 11. 15. 16.
• blower 23.
• boiler 1. 7.
• Born Max 3.
• boundary layer 38. 17.
• Boussinesq Joseph 38.
• branches of turbomachines 15. 17. 11.
• Brayton Georg 1.
• Brayton cycle 6. 27.
• Briggs Henry 42.
• bronze 15.
• burning 1.
• burning of wood 3.
• by-pass governing 25.
• by-pass ratio 23.
C
• carbon steel 15.
• Carnot cycle 43.
• carnotization 6. 25. 27.
• cast iron 15.
• cavitation 21.
• ceramics 15.
• characteristics of axial turbine stage 24.
27.
• characteristics of compressor 24. 26.
• characteristics of combustion turbine 24.
• characteristics of fan 22. 21.
• characteristics of piping system 38. 21.
• characteristics of pump 21.
• characteristics of radial turbine stage 24.
• číslicový počítač 42.
• characteristics of steam turbine 24. 25.
• characteristics of wind turbine 22.
• CHP at domestic 10.
• CHP unit 10.
• circular function 42.
• circulation compressor 23.
• circulation of velocity 12.
• circulation pump 11.
• circumference velocity 11.
• coal gas 7.
• coefficient of performance 6.
• cogeneration unit 6.
• Colebrook Cyril 38.
• combined cycle gas turbine (CCGT) 23.
25.
• combined heat and power (CHP) 6.
• combined heat and power plant 6.
• combustion chamber 27.
• combustion turbine 24. 27., 23. 11.
• composite 15.
• compressed air energy storage (CAES)
23.
• compression fan 39.
• compression ratio 13. 26. 6.
• compressor station 23.
• Compton Arthur 46.
• condensate pump 11. 23.
• condensing turbine 23. 25. 24. 41.
• configuration of Stirling engine 33.
• control valve 37.
• controlled extraction 23. 25.
• convergent passage 15.
• cooling of blade 23.
• cooling of compressor 23. 26. 13.
• cooling tower 1.
• copper 15.
• corrected flow 26.
• corrected speed 26.
• crankshaft 31.
• crankshaft mechanism 31.
• critical enthalpy 40.
• critical flow (nozzle) 40.
• critical flow (Reynolds number) 38.
• critical flow area 40.
• critical pressure ratio 40.
• curl 42.
• Curtis stage 19. 24.
• cylindrical coordinate system 42.
D
• Daimler Gottlieb 1.
• Darcy Henry 38.
• Darcy-Weisbachova rovnice 38.
• deexcitace jádra 47.
• Descartes René 42.
• deuterium 47.
• dávka záření 47.
• dávkový ekvivalent 47.
• dávkový příkon 47.
• dendromasa 3.
• diagonální stupeň 19. 11.
• diatermní těleso 46.
• Diesel Rudolf 1.
• Dieselův oběh 6.
• difuzní záření 2.
• difuzor 41. 38. 17.
• difuzorový kanál 15.
• diskový rotor 24. 22.
• diskriminant 42.
• distribuční soustava 1. 10.
• divergence vektoru 42.
• dmychadlo 23.
• domácnost10.
• dosazení 42.
• druhý zákon termodynamiky 43.
• dusík 7. 3.
• dvojčinný pístový parní motor 28.
• dvojčinný Stirlingův motor 33.
• dvousedlový ventil 37.
• dvoutlakový oběh 23. 27.
E
• Edison Thomas 1.
• efektivní sálavost 46.
• efektivní účinnost stupně 14.
• Einstein Albert 46.
• ejekční poměr 41.
• ejektor 41.
• ekvivalentní dávka 47.
• ekvivalentní délka potrubí 38.
D
• Darcy Henry 38.
• Darcy-Weisbach equation 38.
• density of blade row 15.
• Descartes René 42.
• Diesel Rudolf 1.
• Diesel cycle 6.
• diagonal stage 19. 11.
• diffuser 41. 38. 17.
• diffuser passage 15.
• disc rotor 20. 22.
• direct Air-Cooled 23. 25. 26.
• distribution point 28.
• divergence 42.
• double pressure cyle 23. 27.
• double-acting steam piston engine 28.
• double-acting Stirling engine 33.
• double seat valve 37.
• draft tube 13. 21.
• drum rotor 24.
E
• efficiency of Carnot cycle 43. 6.
• effective efficiency of stage 14.
• efficiency of heat cycle 43.
• efficiency of heat power plant 6. 7.
• efficiency of jet engine 23.
• efficiency of propeller 13.
• efficiency of steam cycle 6. 25. 9.
• efficiency of turboset 14.
• ekvivalentní průměr 38.
• elektromagnetické záření 46.
• elektron 47.
• emise 7.
• energetická hodnota 1.
• energetická tloušťka 38.
• energetický mix 1.
• entalpie 43. 13.
• entalpie směsi 3.
• entropie 43. 13.
• EP 15.
• Ericsson John 1. 33.
• éter 46.
• Euler Leonhard 1. 42.
• Eulerova rovnice 12.
• Eulerova n-rovnice 16.
• Eulerova rovnice hydrodynamiky 19.
• Eulerova turbínová rovnice 12.
• excitace 47.
• exentricita šoupátka 30.
• expanzní vlny 39.
• exponent polytropy 40.
F
• Fannova křivka 38. 37.
• Faraday Michael 1.
• Fermi Enrico 1.
• Ferraris Galile 1.
• fosilní paliva 7. 23.
• fotoelektrický jev 46.
• fotolýza 3.
• foton 46.
• fotosyntéza 3.
• fotovoltaický systém 2.
• Francisova turbína 21. 5. 11. 20.
• Fresnel Augustin-Jean 46.
• funkce 42.
• fytomasa 3.
G
• Galvani Luigi 1.
• gamma záření 46. 47.
• geotermální elektrárna 8.
• geotermální energie 8.
• efficiency of wind turbine 13. 22.
• ejector 40.
• enthalpy 43.
• enthalpy of gases mix 3.
• entropy 43. 13.
• EP 15.
• Ericsson John 1. 33.
• Euler equation 12.
• Euler Leonhard 1.
• Euler turbomachinery equation 12.
• evaporative cooling 1.
• evaporator 6.
• equation for difference of specific
enthalpy between two states 13. 40.
• equation of enthalpy for difference
between two states 13.
• equation of state of ideal gas 43.
• equation for crankshaft mechanism 31.
• equivalent length in pipe diameters 38.
• excitation 47.
• expansion fan 39.
F
• fan 11. 22.
• Fann's plot 38. 37.
• feed pump 11. 23.
• fire 1.
• first law of thermodynamics for open
system 43.
• flash point 1.
• flow coefficient 18.
• flow factor 37.
• flow rate cone of nozzle 42.
• fossil fuels 7. 23.
• Francis turbine 21. 5. 11. 20.
• friction factor of pipe 38.
G
• gas turbine 6. 23. 24. 27. 11.
• geothermal energy 8.
• geothermal power plant 8.
• Glauert-Prandtl rule 16.
• geotermální výtopna 8.
• Gibbs John 1.
• Glauert-Prandtlovo pravidlo 16.
• goniometrické funkce 42.
• gradient 42.
• graf 42.
• grafit 15.
• Gramme Zénobe 1.
• Grassmann Hermann 42.
• Gray Stephen 1.
• Gualard Lucien 1.
• Guericke Otto 1.
H – Ch
• Hagen Gotthilf 38.
• Hahn Otto 1.
• Herz R. Heinrich 46.
• Hilsch Rudolf 37.
• hladina skalárního pole 42.
• hliník 15.
• hoření 1.
• hoření dřeva 3.
• hrdla lopatkových strojů 15. 17. 11.
• Hugoniotův teorém 39.
• hustota lopatkové mříže 15.
• Huygens Christian 46. 1.
• hybnost tekutiny 12.
• hydraulický lopatkový stroj 11.
• hydraulická účinnost 13. 41.
• hydrodynamické čerpadlo 21. 11.
• charakteristika čerpadla 21.
• charakteristika kompresoru s
redukovanými parametry 26.
• charakteristika parní turbíny 25.
• charakteristika potrubního systému 38.
21.
• charakteristika spalovací turbíny 27.
• charakteristika stupně lopatkového stroje
18.
• charakteristika ventilátoru 22. 21.
• charakteristika větrné turbíny 22. 4.
• chladící faktor 6.
• chladící oběh 6. 8.
• chladící věž 1.
• chlazení kompresoru 23. 26. 13.
• governing of fan 22.
• governing of steam turbine 25. 24.
• gradient 42.
• graphite 15.
• Grassmann Hermann 42.
H
• Hagen Gotthilf 38.
• heat 43.
• heat of combustion 1.
• heat capacity 43.
• heat machine 6. 11.
• heat pump 8. 6.
• heat turbomachine 11.
• heat cycle 43. 6.
• heater of Stirling engine 33.
• heating value 1. 44.1043
• Hugoniot condition 39.
• hydraulic efficiency 13.
• hydraulic turbomachine 11.
• chlazení lopatky 23.
• chlazení odparem 1.
• chlazení vzduchem 23. 25. 26.
I
• i-s diagram 43. 13. 19. 20. 40.
• ideální tekutina 38.
• ignition timing 6.
• imaginární číslo 42.
• imaginární jednotka 42.
• impulsní tloušťka 38.
• indikátorový diagram 30.
• injekční poměr 41.
• injektor 41.
• instrukce 42.
• intenzita vyzařování 46.
• intenzita záření 2.
• inverzní křivka 37.
• ionizující záření 47.
• ITER-International Thermonuclear
Experimental Reactor 1.
• iracionální čísla 42.
• iterační výpočet 42.
• izobar 47.
• izobara (izobarická termodynamická
změna) 43.
• izochora (izochorická termodynamická
změna) 43.
• izoentropický děj (změna) 43. 13.
• izopléta 42.
• izotermický děj 43.
• izotop 47.
J
• jaderná bezpečnost 9.
• jaderná elektrárna 9.
• jaderná energie 45.
• jaderná syntéza 47.
• jaderný izomer 47.
• jaderný reaktor 9. 1.
I
• i-s diagram 43. 13. 19. 20. 40.
• impulse stage 12. 19. 24. 22.
• impulse passage 15.
• injector 40.
• iteration calculation 42.
• intercooling 23. 26. 27.
• internal combustion engine 6. 23.
• internal efficiency of steam piston engine
29.
• internal efficiency of Stirling engine 35.
• internal efficiency of turbomachine 13.
• internal efficiency of turbomachine stage
14.
• internal efficiency of turbomachine stage
14.
• internal energy 43.
• internal friction 38.
• internal heat 43.
• internal losses 11. 13.
• internal power input of turbomachine 11.
13.
• internal power output of steam piston
engine 29.
• internal power output of turbomachine
11. 13.
• internal work of turbomachine 11. 13. 14.
• internal work of steam piston engine 29.
• internal work of Stirling engine 35. 34.
• irreversible process 43.
• isentropic process 43. 13.
• isopleth 42.
J
• jet engine 23. 27.
• Joule–Thomson effect 37.
• jakostní faktor 47.
• jednosedlový ventil 37.
• jednostupňová parní turbína 11. 24.
• jmenovitý výkon 14.
• Joule Prescott 1.
• Joulův-Thomsonův jev 37.
• Junkers Hugo 1.
K
K
• Kalinův oběh 25.
• Kalina cycle 25.
• kalorimetrická rovnice 43.
• Kaplan turbine 21. 1. 11. 19.
• kamenivo 15.
• Kutta–Joukowski theorem 12.
• Kaplanova turbína 21. 1. 11. 5. 19.
• kavitace 21. 20.
• keramika 15.
• kliková hřídel 31.
• klikový mechanismus 31.
• klouzací poměr 16.
• klouzavý úhel 16.
• koeficient rychloběžnosti 22.
• kogenerační jednotka 6.
• Kolben Emil 1.
• kombinovaná výroba elektřiny a tepla
(KVET) 6.
• komplexní čísla 42.
• kompozit 15.
• kompresní poměr 13. 26. 6.
• kompresní stanice 23.
• kompresní vlny 39.
• kondenzační turbína 23. 25. 24. 41.
• kondenzátní čerpadlo 11. 23.
• konfuzorový kanál 15.
• korpuskule 46.
• kořeny rovnice 42.
• kosinus 42.
• kotangens 42.
• kotel 1. 7.
• kritérium podobnosti 18.
• kritická entalpie 40.
• kritická rychlost 40.
• kritické proudění (Reynoldsovo číslo) 38.
• kritické proudění 40.
• kritický průřez 40.
• kritický tlakový poměr 40.
• kroutící moment pístového parního
motoru 31.
• Křižík František 1.
• kuželový stupeň 19.
• kůň (výkon) 1.
• kvantum 46.
• KVET v domácnosti 10.
• kompresní poměr 13. 26.
L
• Labe 5.
• labyrintová ucpávka 37. 24.
• laminární proudění 38.
• Langen Eugenem 1.
• Laval Carl Gustav 1.
• Lavalova tryska 40.
• Lavalova turbína 11. 1.
• Lenoir Jean 1.
• Lenoirův motor 1. 6.
• Lenoirův oběh 6.
• lignit 7.
• lineární oscilátor 46.
• litina 15.
• lodní šroub 11.
• logaritmické pravítko 42.
• logaritmy 42.
• lopatka 11. 15.
• lopatková mříž 11. 15. 16.
• lopatkový kanál 15. 11., 40.
• lopatkový stroj 11.
• Lorentz A. Hendrik 46.
M
• Machovo číslo 39.
• Machův úhel 39.
• materiály lopatkových strojů 15. 23. 27.
• Maxwell James 46.
• mechanická energie 43.
• Meitner Lise 1.
• metoda charakteristik 40.
• mez stability (charakteristika čerpadel,
ventilátorů a turbokompresorů) 21.
• mezichlazení 23. 26. 27.
• mezní vrstva 38. 17.
• měď 15.
L
• labyrinth seal 37. 25.
• laminar flow 38.
• Laval Carl Gustav 1.
• Laval nozzle 40.
• Laval turbine 11. 1.
• leading edge of blade of blade 11.
• Lenoir cycle 6.
• Lenoir engine 1. 6.
• Lenoir Jean 1.
• logarithmic paper 42.
• logarithms 42.
• loss heat 43. 13.
• loss of stage through leaks 17.
• losses inside branches 17.
• losses through leaks of piston rings 36.
• losses through stall and outlet recilculation
41. 17. 19. 20.
• low pressure fan 11.
M
• Mach angle 39.
• Mach number 39.
• marine screw propeller 11.
• mass flow coefficient 40.
• materials of turbomachine 15. 23. 27.
• mean aerodynamic velocity 12. 16.
• mean camber line 15.
• mean temperature of input heat of cycle
6.
• mean temperature of rejection heat to
cycle 6.
• method of characteristics 40.
• měrný objem 43.
• Michelson A. Albert 46.
• Minkowski Hermann 46.
• mocnina 42.
• modifikace Stirlingova motoru 33.
• Monte Carlo 42.
• Moody Lewis 38.
• Moodyho diagram 38.
• Morava 5.
• Morley W. Edward 46.
• motor s vnitřním spalováním 6.
• multiplikační faktor 47.
• Musschenbroek Pieter 1.
N
• najížděcí diagram 25.
• náběžná hrana lopatky 11.
• náporový motor 41.
• NBR 15.
• nadzvukový difuzor 41. 39.
• napájecí čerpadlo 11. 23.
• nátoková rychlost 15.
• Neper John 42.
• neregulovaný odběr 23. 25.
• Net-metering 10.
• Neumann John 42.
• neutron 47.
• neutronové záření 47.
• nevírové proudění 42.
• nevratná změna 43.
• Newcomen Thomas 1.
• Newton Isaac 46.
• Nikuradse Johann 38.
• nízkotlaký ventilátor 11.
• nomogram 42.
• normála proudnice 42.
• normální stupeň 19.
• NOx 7.
• nuklid 47.
• nukleon 47.
• nukleonové číslo 47.
• nula 42.
• numerická metoda 42.
O
• momentum of fluid 12.
• Moody chart 38.
• Moody Lewis 38.
• multi-casing steam turbine 24. 11.
• multi-stage pump 11. 21.
• multi-stage turbocompressor 11. 24. 26.
23.
• multi-stage steam tubine 11. 24. 25.
N
• NBR 15.
• Nikuradse Johann 38.
• nominal power 14.
• nomograph 42.
• non-dimensional speed 26.
• non-dimensional flow 26.
• nozzle 40.
• nozzle governing 25.
• NOx 7.
• nuclear energy 45.
• nuclear fission of atom 47.
• nuclear power plant 9.
• nuclear reactor 9. 1.
O
• oběhové čerpadlo 11.
• oběhový kompresor 23.
• objemový stroj 11.
• oblouková míra 42.
• obohacování uranu 9.
• obtokový poměr 23.
• obvodová práce 12. 14.
• obvodová rychlost 11.
• obvodová účinnost 14. 19. 20.
• ocel slitinová 15. 21.
• ocel uhlíková 15.
• odběr páry 23.
• odpor (potrubí) 38.
• odporová síla 16. 17.
• Odra 5.
• odstavení parní turbíny 25.
• odtoková hrana lopatky 11.
• odvěsna 42.
• Ohain Hans 1.
• oheň 1.
• ohřívák Stirlingova motoru 33.
• okrajová ztráta 17. 25. 14.
• olejový okruh 24.
• operační znak 42.
• optimální výkon 14.
• organic Rankine cycle (ORC) 25.
• osamocený profil 16.
• ostatní ztráty stupně lopatkového stroje
14. 17.
• otevřený oběh 6.
• Otto Nikolaus A. 1.
• Ottův motor 1.
• Ottův oběh (zážehový) 6.
• Oughtred William 42.
P
• p-V diagram 43.
• p-V diagram pístového parního motoru
29.
• Paciontti Antonio 1.
• palivová kazeta 9.
• palivová tableta 9.
• palivový proutek 9.
• Papin Denis 1.
• parabolické zrcadlo 2.
• oblique shock wave 39.
• one-stage steam turbine 11. 24.
• open cycle 6.
• optimal power 14.
• orfice plate 37.
• organic Rankine cycle (ORC) 25.
• other losses of turbomachine stage 14.
17.
• Otto engine 1.
• Otto Nikolaus A. 1.
• Otto cycle (spark ignition) 6.
• Oughtred William 42.
• overexpansion nozzle 40.
P
• p-V diagram 43.
• p-V diagram of steam piston engine 29.
• parabolic reflector 2.
• partial admission 17. 25.
• PEEK 15.
• Pelton turbine 21. 5. 11.
• performance of combustion turbine 24.
27.
• piston machine 11.
• parciální derivace 42.
• parciální ostřik 17. 25.
• parní oběh 6. 25. 23.
• parní turbína 11. 24. 23. 25. 1.
• paroplynový oběh 23. 25.
• Parsons Charles Algernon 1.
• Parsonsova turbína 1.
• PEEK 15.
• Peltonova turbína 21. 5. 11.
• Pfleiderer Carl 17.
• pístový parní motor 28. 1.
• plamen 1.
• Planck Max 46.
• Planckova konstanta 46.
• Planckův vyzařovací zákon 46.
• plnění pístové parního motoru 28. 29.
• plynová turbína 6. 23. 24. 27. , 11.
• podexpandovaná tryska 40.
• Poiseuille Jean 38.
• Poincaré Henri 46.
• pojistný ventil 37.
• polytropická expanze 13.
• polytropická komprese 13. 26.
• polytropický děj 43.
• pomalé neutrony 47.
• poměrná zářivost 46.
• popeloviny 3.
• porovnávací izobara 43.
• pošinovací tloušťka 38.
• potenciál rychlosti 42.
• potenciální energie vodního spádu 5.
• potenciální proudění 42.
• potenciální vektorové pole 42.
• potenciální vír 42.
• potlačená kondenzace/vakuum 23.
• Pouchet Louis 42.
• PPS 15.
• pracovní stroj 11.
• Prandtl-Meyerova funkce 39.
• pravoúhlá soustava souřadnic 42.
• Priestley Joseph 1.
• primární energie 1.
• profil lopatky 15. 16.
• profilová mříž 11.
• profilová ztráta 17. 16. 14.
• Program 42.
• pitch of blade row 11. 15.
• Poiseuille Jean 38.
• polytropic compression 13. 26.
• polytropic expansion 13.
• polytropic index 40.
• polytropic process 43.
• potential flow 42.
• potential vortex 42.
• power coefficient 4. 22.
• power to heat ratio 6. 23.
• PPS 15.
• Prandtl-Meyer equation 39.
• preheat factor 13.
• pressure energy 43.
• pressure drop 38. 37.
• pressure gradient 42. 19. 17.
• pressure ratio 40.
• pressure reduction 37.
• pressure reduction valve 37.
• pressure side of blade 16. 11.
• pressurized-water reactor 9. 23.
• profile losses 17. 16. 14.
• profile row 11.
• propeller 13. 22. 11.
• propulsion efficiency 13. 23.
• PVC 15.
• propulzní účinnost 13. 23.
• protiběžný vír 20.
• protitlak 40.
• protitlaková parní turbína 23.
• protium 47.
• proton 47.
• protonové číslo 47.
• proudová funkce 42.
• proudová trubice rotoru 13. 11.
• proudové čerpadlo 41.
• proudové pole 42.
• proudový motor 23. 27.
• průmět (matematika) 42.
• průtočná elektrárna 5.
• průtokový kužel trysky 42.
• průtokový součinitel 18.
• průtokový součinitel armatury 37.
• průvodič (matematika) 42.
• první zákon termodynamiky pro otevřený
systém 43.
• první zákon termodynamiky pro
uzavřený systém 43.
• přečerpávací elektrárna 5.
• předstih 6.
• přeexpandovaná tryska 40.
• přeměna alfa 47.
• přeměna beta 47.
• přeměna gamma 47.
• přeměnová konstanta 47.
• přenosová soustava 1. 10.
• přeplňování 6.
• přepona 42.
• přepouštěcí ventil 37.
• přestupník 29.
• přetlakový stupeň 12. 19. 20. 22. 14.
• přetlaková strana lopatky 16. 11.
• přihřívání páry 25. 23.
• příčné proudění 17.
• přídavné ztráty 13.
• přílivová elektrárna 22.
• přímá lopatka 11. 19. 20.
• přímé záření 2.
• přírodní uran 9.
• přirozená čísla 42.
• přírůstek 42.
• přitápění 23.
• pumpovní čára 26.
• PVC 15.
• pyrolýza 3.
R
R
• racionální čísla 42.
• radiální čerpadlo 21.
• radiální stupeň 20. 11.
• radiální ventilátor 12. 22.
• radioaktivita 47.
• raketový motor 40.
• Rankine-Hugoniotovy rovnice 39.
• Ranque Georges 37.
• rašelina 7.
• rázová vlna 39.
• reálná čísla 42.
• redukce tlaku 37.
• redukčně-chladící stanice 37.
• redukční stanice 37. 23.
• redukční ventil 37.
• redukované otáčky 26.
• redukovaný průtok 26.
• referenční otáčky (kompresor) 26.
• referenční poloměr lopatky 19.
• referenční průtok 26.
• referenční výkon větrné turbíny 4. 22.
• regenerace tepla (parní oběh) 25. 23.
• regenerace tepla (spalovací turbína) 27.
23.
• regenerace tepla (Stirlingův motor) 35.
• regenerátor 33.
• regulace hydrodynamického čerpadla 21.
• regulace obtokem 25.
• regulace parní turbíny 25. 24.
• regulace škrcením 22. 25. 26.
• regulace ventilátoru 22.
• regulační stupeň 24. 25.
• regulační tyče 9.
• regulační ventil 37.
• regulovaný odběr 23. 25.
• relativní drsnost trubek 38.
• relativní rychlost 11.
• relativní vlhkost vzduchu 1. 26.
• Reteau Augustem 1.
• reverzní turbína 11. 21.
• radial fan 12. 22.
• radial pump 21.
• radial stage 20. 11.
• Rankine-Hugoniot equations 39.
• re-usable heat 13.
• reaction 18. 20. 19.
• reaction stage 12. 19. 20. 22. 14.
• reducing pressure unit 37. 23.
• reducing-cooling unit 37.
• reference power of wind turbine 4. 22.
• reference radius of blade 19.
• reffered speed (compressor) 26.
• reffered flow 26.
• refrigeration cycle 6. 8.
• regeneration of heat (combustion turbine)
25. 23.
• regeneration of heat (steam turbine) 27. ,
23.
• regeneration of heat (Stirling engine) 35.
• regenerator 33.
• reheat factor 13.
• reheating of steam 25. 23.
• relative humidity of air 1. 26.
• relative roughness of tubes 38.
• relative velocity 11.
• relief valve 37.
• resistance coefficient 38. 37.
• reversible compressor 23.
• reversible process 43.
• reversible turbine 11. 21.
• Reynolds number 38., 38.1038
• rocket engine 40.
• root of blade 11. 15.
• rotating reduction 37.
• rotodynamic pump 21. 11.
• rotor friction loss 17. 14. 12. 19. 20. 26.
13.
• rotor of turbomachine 11. 24.
• reverzační kompresor 23.
• Reynoldsovo číslo 38. 38.1038
• ropa 7.
• rotace vektoru 42.
• rotor lopatkového stroje 11. 24.
• rovnice 42.
• rovnice adiabatického proudění plynu za
přítomnosti tření 38.
• rovnice klikového mechanismu 31.
• rovnice kontinuity ve vektorovém tvaru
42.
• rovnice Kutta–Žukovského 12.
• rovnice pro rozdíl entalpií mezi dvěma
stavy 13. 40.
• rovnice radiální rovnováhy pro proudění
po válcové ploše 19.
• rovnotlaký kanál 15.
• rovnotlaký stupeň 12. 19. 24. 22.
• rozteč lopatkové mříže 11. 15.
• rozvodový okamžik 28.
• Rømer Ole 46.
• rychlost proudění v potrubí 38. 38.1039
• rychlost světla ve vakuu (fotonu) 46.
• rychlost větru 4.
• rychlost zvuku 39.
• rychlostní pole lopatkové mříže 17.
• rychlostní poměr 18.
• rychlostní součinitel 40. 14.
• rychlostní trojúhelník 11. 19. 22.
• rychlý nutron 47.
S–Š
S
• sací strana lopatky 16. 11.
• sací trouba 13. 21.
• Saint-Venant Adhémar Jean Claude Barré
1.
• Saint Vénant-Wantzelova rovnice 40.
• Savery Thomas 1.
• Segnerovo kolo 12.
• selektivní vrstva 2.
• separátor vlhkosti 23. 26.
• setrvačník 42. 31.
• Scheele Carl 1.
• Schiller Ludwig 38.
• Schmidtův oběh 34.
• Saint-Venant Adhémar Jean Claude Barré
1.
• Saint Vénant-Wantzel equation 40.
• Schiller Ludwig 38.
• Schmidt cycle 34.
• Schrödinger Ervin 46.
• Segner wheel 12.
• shaft work 12. 14.
• shaft work efficiency 14. 19. 20.
• shock wave 39.
• shroud 11. 24. 17.
• single seat valve 37.
• slide rule 42.
• Schrödinger Ervin 46.
• Siemens Werner 1.
• sinus 42.
• síra 7. 3.
• skleníkový efekt 7.
• skluz 20.
• skupinová regulace 25.
• Slunce 2.
• sluneční konstanta 2.
• solární energetika 2. 1.
• solární elektrárna 2. 1.
• solární kolektor 2.
• solární komín 2.
• součinitel odporu 16.
• součinitel průtoku (pro průtok uzavřeným
kanálem) 40.
• součinitel přebytku vzduchu 1.
• součinitel relativní absorpce 46.
• součinitel skluzu 20.
• součinitel tření v potrubí 38.
• součinitel přídavných ztrát 13.
• součinitel vztlaku 16.
• součinitel zpětného využití ztrát 13.
• spaliny 1.
• spalné teplo 1.
• spalovací motor 6. 23.
• spalovací komora 24.
• spalovací turbína 24. 27. 23. 11.
• spalování 3. 6. 1. 7.
• specifické otáčky 18. 21. 22.
• specifický impuls 40.
• spirální skříň 12. 15.
• start parní turbíny 25.
• stator lopatkového stroje 11.
• stavová rovnice ideálního plynu 43.
• Stefan-Boltzmannova konstanta 46.
• Stefan-Boltzmannův zákon 46.
• stechiometrické spalování 1.
• Stirling Robert 33.
• Stirlingův motor 33.
• Stirlingův oběh 34.
• Stodola Aurel 17.
• střední aerodynamická rychlost 12. 16.
• střední čára profilu 15.
• střední kvadratický poloměr lopatky 19.
• střední poloměr lopatky 19.
• slide valve of steam piston engine 30. 28.
• solar power industry 2. 1.
• solar collector 2.
• solar power plant 2. 1.
• Solar thermal collector 2.
• specific impulse 40.
• specific speed 18. 21. 22.
• specific volume 43.
• speed of sound 39.
• spiral casing 12. 15.
• stage of turbomachine 11. 19. 20.
• stator of turbomachine 11.
• stagger angle 15. 19. 22.
• stagnation enthalpy 43.
• stagnation temperature 43.
• steam cycle 6. 25. 23.
• steam extraction 23.
• steam piston engine 28. 1.
• steam turbine 11. 24. 23. 25. 1.
• Stirling engine 33.
• Stirling cycle 34.
• Stirling Robert 33.
• stoneware 15.
• straight blade 11. 19. 20.
• stream-tube of rotor 13. 11.
• suction side of blade 16. 11.
• Sun 2.
• supercharging 6.
• supersonic diffuser 41. 39.
• suppressed condensation 23.
• surge line 24. 26.
• Sutherland William 38.
• střelivina 1.
• stupeň lopatkového stroje 11. 19. 20.
• stupeň reakce 18. 20. 19.
• střední teplota odvodu tepla z oběhu 6.
• střední teplota přívodu tepla do oběhu 6.
• supratekutost 38.
• Sutherland William 38.
• světlo 46.
• svítiplyn 7.
• šedé těleso 46.
• šikmá rázová vlna 39.
• šikmo seříznutá tryska 40.
• škrcení (proudění) 37.
• šoupátko pístového parního motoru 30.
28.
• štěpení jader atomů 47.
T
• T-s diagram 43. 13. 19. 20. 23. 27.
• tah proudového motoru 23.
• tah vrtule 13.
• tangens 42.
• teflon 15. 36.
• technická práce 43.
• tekutina 38.
• teorie relativity 46.
• tepelná akumulační elektrárna 23.
• tepelná elektrárna 6. 23.
• tepelná kapacita 43.
• tepelná odrazivost povrchu 46.
• tepelná pohltivost povrchu 46.
• tepelná průteplivost 46.
• tepelná účinnost 43.
• tepelné čerpadlo 8. 6.
• tepelný lopatkový stroj 11.
• tepelný oběh 43. 6.
• tepelný stroj 6. 11.
• teplárna 6.
• teplárenský modul 6. 23.
• teplo 43.
• teplo znovu využité 13.
• teplota hoření 1.
• teplota nechlazeného plamene 3.
• teplota pracovního plynu ve Stirlingově
motoru 34.
T
• T-s diagram 43. 13. 23. 27.
• teflon 15. 36.
• temperature of burning 1.
• temperature of working gas inside Stirling
engine 34.
• temperature ratio (Stirling engine) 34.
• thermal efficiency 43.
• thermal power plant 6. 23.
• thermoregulation 1.
• throttle governing 25. 26.
• throttling (flow) 37.
• thrust of jet engine 23.
• tah of propeller 13.
• tidal power plant 22.
• tip clearance loss 17. 25. 14.
• tip-speed ratio 22.
• torque of steam piston engine 31.
• total energy of liquid 11. 21. 13. 21.949
• trailing edge of blade 11.
• Turbinia 1. 23.
• turbocharger 11. 23.
• turbo-expander 23. 26. 37.
• turbocompressor 24. 26. 23. 11.
• turbomachine 11.
• turboset 11. 14.
• turbulent flow 38.
• twisted blade 19. 11.
• teplota vznícení 1.
• teplotní ekvivalent rychlosti 43. 19.
• teplotní poměr (Stirlingův motor) 34.
• termické neutrony 47.
• termonukleární reaktor 9. 1.
• termoregulace 1.
• Tesla Nikola 1.
• Tháles z Milétu 1.
• tlaková energie 43.
• tlaková ztráta 38. 37.
• tlakový součinitel 18.
• tlakovodní reaktor 9. 23.
• tlakový gradient 16. 19. 17.
• tlakový poměr 40.
• točivá redukce 37.
• topný faktor 8.
• Torricelli Evangelista 1.
• transparentní vrstva 2.
• tritium 47.
• tryska 40.
• třaskavá směs 1.
• Turbinia 1. 23.
• turbodmychadlo 11. 23.
• turboexpandér 23. 26. 37.
• turbokompresor 24. 26. 23. 11.
• turbosoustrojí 11. 14.
• turbostroj 11.
• turbulentní proudění 38.
• Turing Alan 42.
U
• účinnost Carnotova oběhu 43. 6.
• účinnost difuzoru 41.
• účinnost parního oběhu 6. 25. 9.
• účinnost proudového motoru 23.
• účinnost tepelné elektrárny 6. 7.
• účinnost tepelného oběhu 43.
• účinnost trysky 40.
• účinnost turbosoustrojí 14.
• účinnost turbosoustrojí 14.
• účinnost vrtule 13.
• účinný průřez pro absorpci neutronů 47.
• uhlí 7.
• uhlík 7. 3.
• úhel deviační 15.
U
• uncontrolled extraction 23. 25.
• underexpansion nozzle 40.
• uranium 9. 47. 27.
• úhel náběhu 15. 16.
• úhel nastavení profilu v mříži 15. 19. 22.
• úhel profilu 15.
• úhel zakřivení proudu 15.
• univerzální charakteristika kompresoru
26.
• uran 9. 47. 27.
V
• válcová soustava souřadnic 42.
• vazebná energie 45.
• ventil pístového parního motoru 28.
• ventil s difuzorem 37. 41. 25.
• ventilační ztráta 17. 14. 12. 19. 20. 26.
13.
• ventilátor 11. 22.
• vějířová ztráta 17. 19.
• větrná elektrárna 4. 22. 1.
• větrná turbína 22. 13. 12. 11.
• virtuální elektrárna10.
• vírová trubice 37.
• vířivé čerpadlo 37.
• vlnově-částicový dualismus 46.
• vnitřní tepelná energie 43.
• vnitřní práce lopatkového stroje 11. 13.
14.
• vnitřní práce pístového parního motoru
29.
• vnitřní práce Stirlingova motoru 35. 34.
• vnitřní tepelná energie 43.
• vnitřní tření 38.
• vnitřní účinnost lopatkového stroje 13.
• vnitřní účinnost pístového parního
motoru 29.
• vnitřní účinnost Stirlingova motoru 35.
• vnitřní účinnost stupně lopatkového
stroje 14.
• vnitřní ztráty 11. 13.
• vícestupňové čerpadlo 11. 21.
• vícestupňová parní turbína 11. 24. 25.
• vícestupňový turbokompresor 11. 24. 26.
23.
• vícetělesová parní turbína 24. 11.
• vírové vektorové pole 42.
• vírový pohyb 42.
V
• valve of steam piston engine 28.
• valve with diffuser 37. 41. 25.
• velocity of flow inside pipe 38. 38.1039
• velocity triangle 11. 19. 22.
• Velocity field of blade row 17.
• velocity coeffcient 40. 14.
• vaneless confuser 12. 20. 11.
• vaneless diffuser 12. 20. 11.
• viscosity 38. 21.
• viskozita 38. 21.
• vnitřní příkon lopatkového stroje 11. 13.
• vnitřní výkon lopatkového stroje 11. 13.
• vnitřní výkon pístového parního motoru
29.
• vodní elektrárna 5.
• vodní kolo 1. 11. 12.
• vodní spád 5.
• vodní turbína 21. 1. 5. 11.
• Volta Alssendro 1.
• vratná změna 43.
• vrtule 13. 22. 11.
• vrtulová turbína 5. 21.
• výhřevnost 1. 44.1043
• výkonový koeficient 4. 22.
• výkonový součinitel 18.
• výparník 6.
• vyrovnávací buben 24.
• vyvažovací armatura 37.
• výživová hodnota 1.
• vzorec 42.
• vztlak 12.
W
• Wantzel Pierre 1. 40.
• Watt James 1.
• Weisbach Julius 38.
• Whittl Frank 1.
Z-Ž
• základní profil 15.
• zápalná teplota 1.
• závěs lopatky 11. 15.
• Země 2.
• zemní plyn 7.
• zkroucená lopatka 19. 11.
• zplyňování 3.
• zpožděné neutrony 47.
W
• Wantzel Pierre 1. 40.
• water power plant 5.
• water trap 23. 26.
• water turbine 21. 1. 5. 11.
• water wheel 1. 11. 12.
• Weisbach Julius 38.
• wind power plant 4. 22. 1.
• wind tunel 16.
• wind turbine 22. 13. 12. 11.
• water potential gradient 5.
• ztráta nesprávným úhlem náběhu 17.
• ztráta netěsností pístních kroužků 36.
• ztráta rázem při obtékaní profilu 17.
• ztráta třením v mezní vrstvě 17. 14.
• ztráta v hrdlech strojů 17.
• ztráty v lopatkových strojích 17.
• ztráta vířením za odtokovou hranou 17.
• ztráta vířením při odtržení mezní vrstvy
41. 17. 19. 20.
• ztráta vnitřní netěsností stupně 17.
• ztrátové teplo 43. 13.
• ztrátový součnitel 38. 37.
©Jiří Škorpík, LICENCE
www.transformacni-technologie.cz
Články
Articles
Zdroje a přeměna energie
Sources and transformation
of energy
1. Historie transformačních technologií
1. History of transformation technologies
2. Sluneční záření jako zdroj energie
2. Sun radiation as source of energy
3. Biomasa jako zdroj energie
3. Biomass as source of energy
4. Využití energie větru
4. Use of wind energy
5. Využití energie vodního spádu
5. Use of water gradient
6. Tepelné oběhy a jejich realizace
6. Heat cycles and their realizations
7. Fosilní paliva, jejich využití
v energetice a ekologické dopady
7. Fossil fuels, their use in energy industry
and environmental impact
8. Využití tepla Země
8. Use of heat of Earth
9. Jaderná energetika
9. Nuclear energy industry
10. Principy výroby elektřiny a tepla
v domácnostech
10. Principles of production of electricity
and heat in household
Teorie lopatkových strojů
Introduction to turbomachinery
11. Lopatkový stroj
11. Turbomachine
12. Základní rovnice lopatkových strojů
12. Essential equations of turbomachines
13. Energetické bilance lopatkových strojů 13. Energy balances of turbomachines
14. Vztah mezi obvodovou a vnitřní prací
stupně lopatkového stroje
14. Relation between shaft work and
internal work of turbomachine stage
15. Geometrie a materiály lopatkových
strojů
15. Shapes of parts and materials of
turbomachines
16. Základy aerodynamiky profilů lopatek
a lopatkových mříží
16. Fundamentals of aerodynamic of blade
profiles and blade rows
17. Ztráty v lopatkových strojích
17. Losses in turbomachines
18. Podobnosti lopatkových strojů
18. Similarities of turbomachines
19. Návrh axiálních a diagonálních stupňů
lopatkových strojů
19. Design of axials and diagonals
turbomachine stages
20. Návrh radiálních stupňů lopatkových
strojů
20. Design of radials turbomachine stages
21. Vodní turbíny a hydrodynamická
čerpadla
21. Water turbines and rotodynamic pumps
22. Větrné turbíny a ventilátory
22. Wind turbines and fans
Tepelné turbíny a turbokompresory
Heat turbines and turbocompressors
23. Tepelné turbíny a turbokompresory
23. Heat turbines and turbocompressors
24. Návrh a konstrukce tepelných turbín a
turbokompresorů
24. Design and construction of heat
turbines and turbocompressors
25. Parní turbína v technologickém celku
25. Steam turbine in technological unit
26. Turbokompresor v technologickém
celku
26. Turbocompressor in technological unit
27. Plynová turbína v technologickém
celku
27. Gas turbine in technological unit
Pístový parní motor
Steam piston engine
28. Pístový parní motor (Parní stroj)
28. Steam piston engine
29. Termodynamický návrh pístového
parního motoru
29. Thermodynamic design of steam
piston engine
30. Vyšetření pohybu a rozměrů šoupátka
30. Calculation of move and dimensions of
slide valve
31. Základní rovnice klikového
mechanismu parního motoru
31. Essential equations of crank
mechanism of steam engine
32. Pístový parní motor v technologickém
celku
32. Piston steam engine in technological
unit
Článek je zatím neveřejný.
The article is not public yet.
Stirlingův motor
Stirling engine
33. Stirlingův motor
34. Stirling engine
34. Oběh Stirlingova motoru
34. Stirling Engine Cycle
35. Energetická bilance oběhu Stirlingova
motoru
35. Energy balance of Stirling engine
cycle
36. Ztráty ve Stirlingových motorech
36. Losses in Stirling engines
Proudění
Flow
37. Škrcení plynů a par
37. Throttling of gases and steam
38. Vznik tlakové ztráty při proudění
tekutiny
38. Formation of pressure drop during
fluid flow
39. Efekty při proudění vysokými
rychlostmi
39. Effects at high velocity flow
40. Proudění plynů a par tryskami
40. Flow of gases and steam through
nozzles
41. Proudění plynů a par difuzory
41. Flow of gases and steam through
diffusers
Vybrané statě z technických nauk
Some chapters of technical sciences
42. Technická matematika
42. Engineering mathematics
43. Technická termomechanika
43. Engineering thermomechanics
44. Technická chemie
44. Engineering chemistry
Článek je zatím neveřejný.
The article is not public yet.
45. Elektrotechnika
45. Electrical engineering
Článek je zatím neveřejný.
The article is not public yet.
46. Přenos energie elektromagnetickým
zářením
46. Transmission of energy by
electromagnetic radiation
47. Jaderná energie a ionizující záření
47. Nuclear energy and ionizing radiation
48. Deformace těles
48. Deformation of bodies
Článek je zatím neveřejný.
The article is not public yet.
49. Kmitání
49. Vibration
Článek je zatím neveřejný.
The article is not public yet.
50. Části strojů
50. Mechanical engineering
Článek je zatím neveřejný.
The article is not public yet.
©Jiří Škorpík, LICENCE
www.transformacni­technologie.cz