POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ

POTENCIÁL ELEKTRICKÉHO POLE
ELEKTRICKÉ NAPĚTÍ
ELEKTRICKÝ POTENCIÁL
Elektrická potenciální energie
Newtonův zákon
pro gravitační sílu
Coulombův zákon
pro elektrostatickou sílu
m1m2
F =G 2
r
Q1Q2
F =k 2
r
Pro elektrostatickou sílu platí řada stejných obecných závěrů jako pro
sílu gravitační:
ƒ Elektrostatická síla je síla konzervativní.
ƒ Existuje tedy elektrostatická (elektrická) potenciální energie
(pro systém dvou nebo více částic).
ƒ Změní-li se poloha nabité částice, vykoná na ní elektrostatická síla
práci. Pak změně potenciální energie odpovídá
∆E p = E p , f − E p ,i = −W
ƒ Protože je elektrostatická síla konzervativní, platí, že
práce touto silou vykonaná nezávisí na trajektorii.
ƒ Pro jednoznačné určení potenciální energie je nutno zvolit
konfiguraci, pro níž pokládáme potenciální energii za nulovou.
Elektrostatickou potenciální energii nabité částice pokládáme
za nulovou, je-li částice od systému nekonečně vzdálená.
ƒ Práci, kterou vykonají elektrostatické síly při přesunu nabité částice
z nekonečna do místa, kde chceme znát potenciální energii,
označíme symbolem W∞ . Pak je potenciální energie
E p = −W∞
.
Elektrický potenciál
Elektrický potenciál neboli potenciál elektrického pole definujeme:
G Ep
ϕ (r ) =
Q
Potenciál
• nezávisí na náboji testovací částice Q0 ,
G
• charakterizuje elektrické pole v místě s polohovým vektorem r ,
• je skalární veličina – skalární funkce prostorových proměnných.
G
ϕ =ϕ (r ) =ϕ (x, y, z)
Volíme-li v nekonečnu E p ,i = 0 , pak také potenciál v nekonečnu ϕ i = 0 .
Protože E p = −W∞ je hodnota v libovolném místě elektrického pole
W∞
ϕf = −
Q
Elektrické napětí, definice
Rozdíl potenciálů mezi dvěma libovolnými body nazýváme
elektrické napětí mezi těmito body.
E p, f
E p ,i
∆E p
W
U = ∆ϕ = ϕ f − ϕ i =
−
=
=−
Q
Q
Q
Q
Î
W
U =−
Q
Jednotka napětí
1J
[U ] = 1V=
= 1JC-1 , 1 volt
1C
Umožňuje zavést používanější jednotku pro intenzitu elektrického pole.
G
Vhodnější jednotka pro E :
G
G
G F
N
Jm -1
V
E = , [ E ] = 1 = 1 -1 = 1 = 1Vm-1
C
JV
m
Q
Poznámka:
Často užívaná jednotka pro energii elektronů, děr, elementárních částic:
1 elektronvolt = 1 eV = e (1V) = 1,6.10-19 C. J. C-1 = 1,6.10-19 J
Důležitá poznámka z HRW.
Ekvipotenciální plocha
Plochu, na níž má potenciál
stejnou hodnotu. nazveme
ekvipotenciální plocha
Přemístí-li se po libovolné dráze
náboj mezi dvěma body téže
ekvipotenciální plochy,
nevykoná elektrické pole
žádnou práci.
Plyne to z dříve uvedeného
vztahu pro napětí
Části čtyř ekvipotenciálních ploch
Čtyři trajektorie nabité testovací částice
Naznačeny dvě elektrické siločáry
W
(U = ϕi − ϕ f = − ).
Q
Je-li ϕ i = ϕ f , musí být W = 0 .
Elektrické siločáry a příčné řezy ekvipotenciálních ploch
Homogenní
elektrické pole
Elektrické pole
bodového náboje
(centrální pole)
Pole
elektrického dipólu
Výpočet potenciálu ze známé intenzity elektrického pole
Kladný testovací náboj Q0 se
pohybuje v elektrickém poli z bodu (i)
do bodu (f). Hledáme
G práciG
elektrostatické síly F = Q0 E .
G
dr
G G
G G
Platí, že dW = F ⋅ dr = Q0 E ⋅ dr .
Protože elektrostatická síla je konzervativní, vedou všechny možné
cesty z (i) do (f) ke stejnému výsledku. Nemusíme integrovat po určité
křivce, stačí uvést výchozí a koncový bod.
G G
W = ∫ dW = Q0 ∫ E ⋅ dr
f
i
Vyjádříme rozdíl potenciálů
f
G G
Q0 G G
W
ϕ f − ϕ i = − = − ∫ E ⋅ d r = − ∫ E ⋅ dr ⇒
Q0
Q0 i
i
f
G G
(U ) = ϕ f − ϕi = − ∫ E ⋅ dr
f
i
Potenciál bodového náboje
G
dr ′
G
G
′
E
d
r
↑↑
∞
N áboj Q vyvolává v bodě PG
elektrické pole o intenzitě E
a potenciálu ϕ . Potenciál
v bodě P určujeme pomocí
testovacího náboje Q0 , který
přemísťujeme z bodu P do
nekonečna.
P
∞
∞
G G
ϕ f − ϕi = ϕ (∞) − ϕ (r ) = − ∫ E ⋅ dr ′ = − ∫ E dr ′ cos 0° = − ∫ E dr ′ =
r
∞
r
∞
1
Q
Q
1
Q
= −∫
dr ′ = −
dr ′ = −
2
2
∫
4πε 0 r ′
4πε 0 r r ′
4πε 0
r
∞
r
∞
⎡ 1⎤
⎢⎣ − r ′ ⎥⎦ =
r
Q ⎡1⎤
Q ⎛ 1
1⎞
Q ⎛
1⎞
1 Q
=+
=
− ⎟=
0− ⎟ = −
⎜
⎜
⎢
⎥
4πε 0 ⎣ r ′ ⎦ r 4πε 0 ⎝ ( ∞) r ⎠ 4πε 0 ⎝
r⎠
4πε 0 r
Odvodili jsme
1 Q
ϕ (∞) − ϕ ( r ) = −
. Nulovou hladinu volíme v ∞ , tj. ϕ ( ∞ ) = 0 ,
4πε 0 r
potom
1 Q
ϕ (r ) =
4πε 0 r
Potenciál pro kladný náboj v bodě P
Pro více nábojů (soustavu) platí princip superpozice.
Počítačem vytvořený prostorový diagram
průběhu elektrického potenciálu ϕ v bodech
roviny z = 0 v závislosti na vzdálenosti r od
kladného bodového náboje v počátku roviny
xy. Hodnoty potenciálu v bodech této roviny
jsou vyneseny svisle. Nekonečná hodnota
potenciálu ϕ není samozřejmě zobrazena.
Soustava bodových nábojů – princip superpozice
n
n
Qi
ϕ = ∑ ϕi =
∑
4πε 0 i =1 ri
i =1
Nabité těleso
dϕ
P
ρ
R
1
1 dQ
1 ρ dV
=
dϕ =
4πε 0 R 4πε 0 R
ϕ=
dQ=ρdV
1
∫ dϕ = 4πε 0 ∫
(V )
(V )
ρ dV
R
Výhoda: při výpočtu potenciálu stačí spočítat
jen jeden integrál (ϕ je skalární Gfunkce).
Po nalezení potenciálu ϕ lze snadno
určit souřadnice vektoru E
G
jak uvidíme dále ze vztahu: E = − grad ϕ (což je pouhé derivování).
(V)
Příklad HRW 25.21.
Částice na obr. mají náboje Q1= +Q, Q2= -3Q. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu
a určete na ose x všechny body, v nichž je potenciál jimi vytvořeného
elektrického pole roven nule.
Hledaný bod se může nacházet:
a) mezi náboji Q1, Q2, nebo
b) vlevo od náboje Q1.
Vzdálenost tohoto bodu od náboje Q1 označíme x.
ad a) Vpravo od náboje Q1
y
Q2
Q1
x
d-x
x
d
Platí princip superpozice, proto potenciály sečteme.
Platí tedy
−3Q
ϕ = ϕ1 + ϕ2 =
+
=0 ⇒
4πε 0 x 4πε 0 ( d − x )
Q
Q
Odtud je
3Q
=
4πε 0 x 4πε 0 ( d − x )
d
d − x = 3x ⇒ x = .
4
ad b) Podobně pro bod vlevo od náboje Q1
y
Q1
Q2
x
d
x
−3Q
+
=0 ⇒
ϕ = ϕ1 + ϕ2 =
4πε 0 ( x ) 4πε 0 ( d + x )
Q
Q
3Q
=
4πε 0 x 4πε 0 ( d + x )
d
d + x = 3x ⇒ x =
2
nalevo, tj. v poloze
d
x=− .
2
Výpočet intenzity elektrického pole ze známého potenciálu
G
Známe ϕ = ϕ (r ) = ϕ ( x, y, z )
v každém místě elektrického pole.
G G
∆ϕ = ϕ f − ϕi = − ∫ E ⋅ dr ,
f
Víme, že
G
dr
i
pro elementární změnu pakG platí
G G
dϕ = − E ⋅ dr . Hledáme E .
Protože ϕ je skalár, platí tento vztah
G
i pro jednotlivé složky vektoru E , tj.:
G
G
dϕ =−Ex⋅ dx i =−Ex dx ,
dϕ =−E y dy ,
dϕ =−Ez dz
G
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
Odtud složky E : Ex = −
Ez = −
Ey = −
∂y
∂z
G ∂x
Složka intenzity pole E v libovolném směru je rovna poklesu potenciálu
v tomto směru připadajícímu na jednotkovou vzdálenost.
Z předchozí strany:
Ex = − ∂ϕ
∂x
E y = − ∂ϕ
∂y
Ez = − ∂ϕ
∂z
Nyní můžeme intenzitu elektrického pole vyjádřit vektorově:
G
G
G
G
∂ϕ G ∂ϕ G ∂ϕ G ⎞
⎛
E = E i + E j + E k = −⎜ i +
j+
k⎟=
x
y
z
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
∂ G
∂ G ∂ G⎞
⎛
j + k ⎟ ϕ = − gradϕ
= −⎜ i +
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
grad
G
E = −grad ϕ
G
Známe-li potenciál ϕ = ϕ ( r ) = ϕ ( x, y, z ) ve všech bodech elektrického pole,
G
lze určit složky intenzity Ex , E y , Ez a tím také vektor E v libovolném bodě pole.
Elektrická potenciální energie soustavy bodových nábojů
Vyjdeme z definičního vztahu pro potenciál, tj
Ep
G
ϕ (r ) =
Q
a potenciální energii budeme hledat ze vztahu
G
E p = ϕ (r ) Q
.
Dva bodové náboje Q1 a Q2 ve vzdálenosti r
Bodový náboj Q1 , vytvoří elektrické pole, které má v místě bodového
náboje Q2 potenciál
1 Q1
ϕ (r ) =
.
4πε 0 r
Přítomnost náboje Q1 se projevuje elektrostatickou silou působící na
náboj Q2 . Bude-li náboj Q2 přemísťován, bude práce při přemísťování
rovna ϕ Q2 . Elektrická potenciální energie této dvojice nábojů je potom
E p = ϕ (r ) Q2 =
1
QQ
4πε
r
1
0
2
.
Soustava bodových nábojů:
a) Stanoví se elektrická potenciální energie každé dvojice nábojů.
b) Výsledná potenciální energie soustavy je jejich součtem.
Potenciál nabitého vodiče
Ve všech vnitřních bodech izolovaného vodiče se volný náboj rozmístí
vždy pouze po jeho vnějším povrchu.
G
Pak z Gaussova zákona plyne, že uvnitř vodiče je E = 0, tj. platí:
G
E = −grad ϕ = 0
⇒
ϕ = konst.
Tzn., že vodič musí mít všude stejný potenciál (uvnitř i na povrchu).
Nabitá kulová plocha
a) Závislost potenciálu na vzdálenosti r od středu izolované kulové vodivé
plochy. Vně koule se celkový náboj jeví jako bodový, umístěný ve středu
koule. Při přenesení náboje dovnitř koule (malým otvorem) nekonáme
práci, protože na náboj uvnitř koule nepůsobí elektrická síla. Potenciál má
tedy ve všech bodech uvnitř koule stejnou hodnotu jako na povrchu.
G
b) Průběh velikosti intenzity elektrického pole E (r) stejné kulové plochy.
Na povrchu koule je intenzita nespojitá.
Rozložení náboje na povrchu vodiče, který není kulově symetrický
9 Je-li izolovaný vodič vsunut do vnějšího elektrického
pole, pak bude
G
ve všech jeho bodech stejný potenciál ( ⇒ E je ve všech bodech
vodiče nulová). Volné náboje vodiče se rozdělí po jeho vnějším
povrchu.
9 Rozložení náboje není obecně rovnoměrné, závisí na tvaru vodiče.
Hustota náboje roste se zakřivením povrchu. V místech
s velkou
G
křivostí (hrany, hroty) bývá hustota náboje (a tím i E ) velmi vysoká.
9 Siločáry výsledného pole těsně nad
povrchem vodiče jsou kolmé k jeho
povrchu.
9 Hrot je místo s vysokou koncentrací
náboje ⇒ je zde vysoká intenzita pole
a tím může dojít k ionizaci vzduchu
a poté ke koronovému výboji,
předzvěsti blesku.
Koronové výboje mohou vypadat jako
zježené vlasy.
Koronové výboje, jako předzvěsti blesku
mohou vidět také např. hráči golfu na
koncích golfových holí, horolezci na koncích
cepínů, turisté na koncích větví keřů apod.
G
Uvnitř vodiče je vždy pole E nulové.
Užití: ochrana před vnějším elektrickým
polem v dutině vodivého předmětu (tzv.
Faradayova klec).
Příkladem je karosérie auta, kterou zasáhla
mohutná elektrická jiskra. Ta přeskočila
přes izolující levou přední pneumatiku do
země. Je vidět, že osoba v autě nezraněna.