Goniometrie – základní pojmy - Fred

Transkript

teorie
řešené úlohy
cvičení
test
©
nápověda
Goniometrie –
základní pojmy
Víš, že…
pro úhly v geodézii se místo šedesátinného
dělení používá častěji dělení setinné, v němž
je plný úhel rozdělen na 400 gradů?
obloukovou lampu významně zdokonalil
český vynálezce František Křižík (1847–1941)?
jednotkovou kružnici najdeme i na pražském
orloji?
Naučíš se…
pracovat s orientovanými úhly.
určit velikost úhlu pomocí obloukové míry.
převádět stupně na radiány a naopak.
1
Název: Goniometrie - základní pojmy
Téma: ZÁVISLOSTI A FUNKČNÍ VZTAHY
Tento materiál je určen pouze pro užití ve výuce.
Více informací na www.fred.fraus.cz
© Nakladatelství Fraus, s.r.o. | www.fraus.cz
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Goniometrie – základní pojmy
S pojmem úhel jste se setkali již v geometrii na základní škole, většina z vás tento pojem zná a umí s ním intuitivně
pracovat. Například víte, že velikost úhlu můžeme měřit ve stupních, pravý úhel má 90° atd. Přesto však přesná
matematická definice úhlu není úplně jednoduchá a skrývá v sobě jistá úskalí. S popisem úhlu a jeho některými
vlastnostmi jsme se seznámili také v tématu Planimetrie (Základní planimetrické pojmy a poznatky). Obvykle je úhel
definován následovně:
zapamatujeme si
English Terms
Úhel AVB (značíme  AVB ) je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami,
které mají společný počátek. Polopřímky VA a VB nazýváme ramena úhlu,
bod V nazýváme vrchol úhlu.
goniometry / goniometrie
angle / úhel
arm of angle / rameno úhlu
vertex of angle / vrchol úhlu
anticlockwise direction / proti směru
hodinových ručiček
clockwise direction / po směru
hodinových ručiček
radian / radián
arc / oblouk
length of an arc of a circle / délka
kruhového oblouku
unit circle / jednotková kružnice
perigon / plný úhel
B
A
V
Pozor! Uvědomte si zejména, že:
• úhel nejsou pouze dvě ramena VA a VB, nýbrž část roviny mezi oběma rameny.
• bez dalšího vysvětlení ale není zřejmé, kterou část roviny máme na mysli, protože polopřímky VA a VB vymezují
dva různé úhly – konvexní úhel (obr. 1a) a nekonvexní úhel (obr. 1b).
B
B
A
V
obr. 1a
V
A
obr. 1b
Orientovaný úhel a jeho velikost
V další matematice, ale zejména fyzice a technických aplikacích, však s předchozí definicí úhlu nevystačíme.
Zkoumáme-li například otáčení těles, pohyb bodu po kružnici, vlnění atd., je obvykle důležité, zda se pohybujeme
z bodu A do bodu B nebo naopak. Není tedy důležitý jen samotný pohyb mezi body A a B, ale svou roli hraje také
jeho „orientace“. Z těchto důvodů označujeme jednu polohu (jedno z ramen úhlu) jako počáteční rameno a druhé
z ramen nazveme ramenem koncovým. Tak vzniká pojem orientovaný úhel.
zapamatujeme si
Uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB se nazývá orientovaný úhel AVB, značíme 
AVB. Polopřímku VA
nazveme počátečním ramenem, polopřímku VB označujeme jako koncové rameno a bod V se nazývá vrchol
orientovaného úhlu 
AVB .
2
teorie | 1
Více informací
na www.fred.fraus.cz
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
V souladu s fyzikální interpretací (počáteční a koncový stav nějakého tělesa) si lze orientovaný úhel představit
jako počáteční a koncovou polohu polopřímky, která se otáčí kolem vrcholu V
V. Otáčíme-li polopřímku proti směru
hodinových ručiček, mluvíme o kladném směru otáčení, zatímco při otáčení po směru hodinových ručiček budeme
mluvit o záporném směru otáčení (obr. 2).
B
V
−
+
V
B
A
obr. 2
A
Na obr. 3 vidíme, že polopřímka VA může přejít do polohy VB buď v kladném směru (otočením o úhel α), nebo
v záporném směru (otočením o úhel 360° - α).
B
B
α
V
V
360° − α
A
obr. 3
A
To ale není všechno. Zvolíme-li třeba kladný směr otáčení, pak polopřímku VA můžeme otočit kolem vrcholu V
z její počáteční polohy do koncové polohy VB nekonečně mnoha způsoby, jak naznačuje obr. 4.
B
B
α
V
V
A
360° + α
A
B
V
2 · 360° + α
A
obr. 4
Z obr. 4 je patrné, že zatímco velikost úhlu (vyjádřená ve stupních) je číslo z intervalu 〈0, 360), velikost orientovaného
úhlu může být libovolně velké (kladné i záporné) číslo. Přesto ale vidíme, že orientované úhly na obr. 4 mají něco
společného, a to je úhel α. To nás přivádí k definici základní velikosti orientovaného úhlu:
zapamatujeme si
Základní velikostí orientovaného úhlu β rozumíme velikost úhlu α, pro který platí:
1. β = α + k · 360°, k ∈  ,
2. α ∈ 〈0°, 360°).
3
teorie | 2
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Přestože nám připadá měření úhlů ve stupňové míře přirozené a názorné, existuje i jiný způsob, jak měřit velikosti
úhlů. Ten vychází z myšlenky měřit velikost úhlu pomocí délky kruhového oblouku, proto hovoříme o obloukové
míře. Základní jednotkou obloukové míry je radián. Radián je nejběžněji užívaná jednotka velikosti úhlu nejen
v matematice, ale zejména v aplikacích v přírodních vědách. Důvodem je skutečnost, že užití radiánů dovoluje velmi
jednoduché formulace řady matematických tvrzení. O této skutečnosti se přesvědčíme v následujících kapitolách.
zapamatujeme si
Radián je středový úhel, kterému přísluší na kružnici oblouk délky poloměru. Radiány budeme označovat
zkratkou „rad“.
Obvykle se pracuje s tzv. jednotkovou kružnicí, tj. kružnicí, jejíž poloměr má délku 1. Úhel o velikosti 1 rad je
vyznačen na obr. 5 – jde o úhel, který na jednotkové kružnici vytíná oblouk jednotkové délky.
1
1 rad
1
obr. 5
Vzniká přirozená otázka: kolik radiánů má „celá kružnice“? Hledáme tedy vzájemný vztah mezi stupni a radiány.
Ze základní školy víme, že délka kružnice s poloměrem r je rovna 2πr, a tedy délka kružnice s poloměrem 1 je 2π.
Z definice radiánu tedy vyplývá, že 360° (plný úhel) je rovno 2π radiánů. Tak dostáváme základní vztah, který nám
umožňuje převádět stupně na radiány a naopak.
zapamatujeme si
• 360° = 2π rad
π
2π
rad =
rad
360
180
360° 180°
=
=
 57, 296°
• 1 rad =
2π
π
• 1° =
Nejčastěji užívané velikosti úhlů vyjádřené ve stupních a radiánech jsou v následující tabulce:
stupně
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
radiány
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
3π
2
Poznámka: Při zápisech velikostí úhlů v radiánech obvykle vynecháváme značku rad (zapisujeme jen číselnou
hodnotu velikosti).
4
teorie | 3
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Převodní vztahy mezi stupni a radiány jsou vyjádřeny na obr. 6.
π
2
2π
3
3π
4
2,2
2,1
2,0
1,9
1,8
1,3
1,2
π
3
1,1
2,5
120
2,6
110
100
90
80
0,7
70
60
0,5
40
140
0,4
150
30
3,1
3,2
0,3
20
160
3,0
170
10
180
0 = 360
200
3,4
250
3,9
5,9
5,8
260
270
280
290
5,7
300
5,6
5,4
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7 4,8
11π
6
5,5
4,0
4π
3
6,0
310
240
3,8
4,1
6,1
320
230
3,7
obr. 6
0 = 2π
6,2
330
220
3,6
5π
4
0,1
340
210
3,5
0,2
350
190
3,3
π
6
0,6
50
130
2,9
π
4
1,0
0,8
2,8
7π
6
1,4
2,3
2,7
π
1,5
0,9
2,4
5π
6
1,7 1,6
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
7π
4
5π
3
3π
2
Podobně jako v případě, kdy velikost orientovaného úhlu vyjadřujeme ve stupních, zavedeme základní velikost
orientovaného úhlu měřeného v radiánech:
zapamatujeme si
Základní velikostí orientovaného úhlu β rozumíme velikost úhlu α, pro který platí:
1. β = α + k · 2π, k ∈  ,
2. α ∈ 〈0, 2π).
souvislosti
Goniometrie je slovo řeckého původu (gónia = úhel, metró = měřím) a označuje oblast matematiky, která se
zabývá goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens. Její důležitou součástí je trigonometrie,
která se věnuje užití těchto funkcí při řešení různých úloh o trojúhelnících.
5
teorie | 4
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Příklad 1
Určete základní velikost orientovaných úhlů:
a) 1 000°
b) -1 290°
c) 119 790°
řešení
a) 1 000°
1. krok
Číslo 1 000 je větší než 360, tj. odečteme 360.
2. krok
1 000 - 360 = 640
c) 119 790°
1. krok
Číslo 119 790 je veliké, a proto použít analogický
postup jako v bodech a) a b) je zde z časových
důvodů nemožné.
3. krok
Číslo 640 je větší než 360, tj. odečteme 360.
2. krok
Pro základní velikost úhlu platí:
119 790° = α + k · 360°
4. krok
640 - 360 = 280 < 360
3. krok
Odtud plyne: α = 119 790° - k · 360°
závěr
Základní velikost úhlu 1 000° je úhel 280°.
4. krok
Hodnotu k vypočteme dělením čísla 119 790
číslem 360.
b) -1 290°
1. krok
Číslo -1 290 je menší než 0, tj. přičteme 360.
5. krok
119 790
= 332,7…
360
6. krok
Odtud plyne, že k = 332 (tj. největší celé číslo
menší než číslo 332,7... ).
2. krok
-1 290 + 360 = -930
3. krok
Číslo -930 je menší než 0, tj. přičteme 360.
4. krok
-930 + 360 = -570
7. krok
Tedy α = 119 790° - 332 · 360° = 270°.
závěr
Základní velikost úhlu 119 790° je úhel 270°.
5. krok
6. krok
-570 + 360 = -210
7. krok
8. krok
-210 + 360 = 150
závěr
Základní velikost úhlu -1 290° je úhel 150°.
6
řešené úlohy | 1
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Příklad 2
a) 7π rad
b) -
15π
rad
4
c) 73π rad
řešení
a) 7π rad
1. krok
Číslo 7π je větší než 2π, tj. odečteme 2π.
2. krok
7π - 2π = 5π
3. krok
c) 73π rad
1. krok
Číslo 73π je veliké, a proto použít analogický postup
jako v bodech a) a b) je zde z časových důvodů
nešikovné.
2. krok
Pro základní velikost úhlu platí: 73π = α + k · 2π
3. krok
Odtud plyne: α = 73π - k · 2π
4. krok
5π - 2π = 3π
5. krok
4. krok
Hodnotu k vypočteme dělením čísla 73 číslem 2.
5. krok
73
= 36,5
2
6. krok
3π - 2π = π < 2π
závěr
Základní velikost úhlu 7π rad je úhel π rad.
6. krok
Odtud plyne, že k = 36 (tj. největší celé číslo menší
než číslo 36,5).
15π
rad
4
1. krok
15π
je menší než 0, tj. přičteme 2π.
Číslo 4
7. krok
Tedy α = 73π - 36 · 2π = π
b) -
závěr
Základní velikost úhlu 73π rad je úhel π rad.
2. krok
15π
7π
+ 2π = - .
4
4
3. krok
7π
Číslo je menší než 0, tj. přičteme 2π.
4
4. krok
π
7π
- + 2π =
4
4
závěr
15π
π
rad je úhel rad .
Základní velikost úhlu 4
4
7
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Příklad 3
Velikosti úhlů ve stupních vyjádřete v radiánech:
a) 40°
b) 120°
c) 67°30′
řešení
a) 40°
1. krok
π
rad .
Použijeme vztah 1° =
180
2. krok
π
2π
rad =
rad =
 0,698 rad
Pro úhel 40° tedy platí: 40° = 40 ·
180
9
závěr
40° =
 0,698 rad
b) 120°
1. krok
π
rad
Použijeme vztah: 1° =
180
2. krok
π
2π
rad =
rad =
 2,094rad
Pro úhel 120° tedy platí: 120° = 120 ·
180
3
závěr
120° =
 2,094rad
c) 67°30′
1. krok
Nejprve vyjádříme úhel 67°30′ desetinným číslem.
2. krok
67°30′= 67,5°
3. krok
π
rad .
Nyní použijeme vztah 1° =
180
4. krok
π
3π
rad =
rad =
 1,178 rad
Pro úhel 67,5° tedy platí: 67,5° = 67,5° ·
180
8
závěr
67,5° =
 1,178 rad
8
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Příklad 4
Velikosti úhlů v radiánech vyjádřete ve stupních:
7
a) π rad
4
1
b) − π rad
4
c)
12π
rad
5
řešení
a)
7
π rad
4
1. krok
Použijeme vztah 1 rad =
2. krok
Pro úhel
180°
.
π
7
7
7 180°
π rad tedy platí: π rad = π ·
= 315°
4
4
4
π
závěr
7
π rad = 315°
4
1
b) − π rad
4
1. krok
180°
.
π
2. krok
1
1
1
180°
= − 45°
Pro úhel − π rad tedy platí: − π rad = − π ·
4
π
4
4
závěr
1
− π rad = − 45°
4
c)
12π
rad
5
1. krok
2. krok
Pro úhel
180°
.
π
12π
12π
12π 180°
rad tedy platí:
rad =
·
= 432°
5
5
5
π
závěr
12π
rad = 432°
5
9
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Příklad 5
Vypočtěte vzdálenost v na zemském povrchu mezi obratníkem Raka (23°27′ s. š.) a obratníkem Kozoroha (23°27′ j. š.),
víte-li, že poloměr Země je 6 400 km.
řešení
1. krok
Nejprve si celou situaci schematicky znázorníme na obrázku:
Rak
0
rovník
640
α
Kozoroh
2. krok
Nyní vypočítáme velikost středového úhlu α:
α = 23°27′ + 23°27′ = 46°54′ = 46,9°
3. krok
Z vlastností kružnice o poloměru r plyne, že délka kruhového oblouku, který přísluší středovému úhlu 1°,
π
r.
se vypočte ze vztahu
180
4. krok
Odtud po dosazení plyne:
π
· 6 400 =
v = 46,9 ·
 5239 km
180
závěr
Vzdálenost na zemském povrchu mezi obratníkem Raka a obratníkem Kozoroha je přibližně 5 239 km.
10
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
teorie
řešené úlohy
cvičení
test
nápověda
Cvičení 1
výsledek/řešení
a) 1 111°
b) -660° 20′
c) -82 431°
Cvičení 2
výsledek/řešení
23π
rad
a)
12
b)
161π
rad
35
c) -
129
π rad
2
Cvičení 3
výsledek/řešení
Velikosti úhlů ve stupních vyjádřete v radiánech:
a) 255°
b) -270°
c) 227°30′
Cvičení 4
výsledek/řešení
Velikosti úhlů v radiánech vyjádřete ve stupních:
17
a) π rad
5
9
b) - π rad
2
c)
8π
rad
3
Cvičení 5
výsledek/řešení
The hands of a clock show 10:15. Express the obtuse angle formed by the hour
and minute hands in the radian measure.
11
cvičení | 1
Více informací
© Nakladatelství
Fraus, s. r. o.
Matematika pro střední školy
Tematický celek: Goniometrie a trigonometrie
Vedoucí projektu: doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc.
Autoři: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc.
Mgr. Šárka Gergelitsová (modely v programu GeoGebra)
Mgr. Jitka Schovancová (interaktivní cvičení)
Autor metodiky: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc.
Odborná spolupráce: Mgr. Michaela Petrová, Mgr. Růžena Písková, Mgr. Jitka Schovancová,
PhDr. Irena Vlachynská
Odborná redakce: Mgr. Miroslava Nováková
Grafická úprava, sazba a ilustrace: Marek Novotný
Redakce obrazové části: Dagmar Metlická
Koordinátorka e-produkce: Tereza Šitancová
Softwarový vývoj: Ing. Jaroslav Svoboda
Autoři a zdroje obrazového materiálu: uvedeno níže
Součástí flexibooku je následující autorsky chráněný materiál – texty, vyobrazení (fotografie, ilustrace, schémata aj.), rozšiřující multimediální materiál (video, audio) a programy
třetích stran (pro další rozšíření funkcí programu). Zdroje tohoto materiálu jsou popsány
v následující části tohoto dokumentu, materiál je níže rozčleněn podle typu (audio, video,
animace, …).
Způsob značení položek v tabulkách:
Obr 007_001 Nakladatelství Fraus / Petr Vítek
Obr – typ objektu (Ani, Aud, Dok, Obr, Vid, …)
007 – strana v i-učebnici
001 – pořadí objektu na stránce, směr značení
směr značení zleva doprava dolů (nejprve jsou uvedeny objekty, které jsou součástí stránky)
Nakladatelství Fraus / Petr Vítek – autor objektu
Fotografie, grafy a mapy
S-Obr 001_001
Shutterstock / © N.Minton, 2014
S-Obr 010_001
Shutterstock / © leonello calvetti, 2014
Obr 000_000
Nakladatelství Fraus / Olga Matulová; Shutterstock / © Chuhail, 2012
12
Dokumenty a pracovní aktivity
Dok 006_001
Nakladatelství Fraus
Dok 007_001
Dok 008_001
Dok 009_001
Dok 010_001
Dok 011_001
Dok 011_002
Dok 011_003
Dok 011_004
Dok 011_005
Dále jsou uvedeny materiály umístěné v samostatné vrstvě „citace – Fraus“. Tyto materiály,
označované též jako internetové zdroje a citace, jsou-li u daného titulu využity a nejedná-li se
o citace z jiných titulů Nakladatelství Fraus, poskytuje prodávající bezplatně.
Jedná se o programy a data, které lze podle sdělení jejich autorů, které měl prodávající
k dispozici v době vzniku matrice, pro účely školního vyučování užít volně. Prodávající do
těchto programů a dat nijak nezasáhl, pouze zprostředkovává jejich získání. V dále uvedených
tabulkách je pro každý z programů či datových souborů uveden internetový odkaz, případně
jiný zdroj (např. název CD s volně šířeným softwarem), kde se daný program či datový soubor v době vzniku instalačního datového balíčku nalézal nebo kde ho bylo možno v té době
získat. Na daném internetovém odkazu nebo v uvedeném zdroji mohou být uvedeny další
podrobnosti o možnosti využití nebo šíření programu či datového souboru.
Dále se jedná o citace ve smyslu §31, odst. (1) autorského zákona č. 121/2000 Sb., v takovém
případě je v tabulce vždy uveden zdroj a autor citovaného autorského díla.
GeoGebra / doplňkové materiály
Dok 003_001
GeoGebra
Dok 005_001
GeoGebra
Vydalo Nakladatelství Fraus, Edvarda Beneše 72, 301 00 Plzeň
Výhrada práv: Všechna práva vyhrazena. Reprodukce a rozšiřování díla nebo jeho částí jakýmkoliv způsobem jsou bez písemného souhlasu nakladatele zakázány, s výjimkou případů
zákonem výslovně povolených.
1. vydání
Copyright: © Nakladatelství Fraus, Plzeň 2014
13

Goniometrie – základní pojmy - Fred

Transkript

Podobné dokumenty

repertoár krb - FORTE o.p.s.