Elektrické filtry Garant předmětu

Transkript

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
Elektrické filtry
Garant předmětu:
Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc.
Autor textu:
Prof. Ing. Tomáš Dostál, DrSc.
Ing. Vladimír Axman
Elektrické filtry
1
Obsah
1
ÚVOD DO PŘEDMĚTU .................................................................................................8
1.1
1.2
1.3
1.4
2
ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU .........................................................8
CÍL A OBSAH PŘEDMĚTU ..............................................................................................8
STRUČNÁ ANOTACE .....................................................................................................8
VSTUPNÍ TEST ..............................................................................................................8
ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY.............................................................................9
2.1
ÚČEL A POUŽITÍ FILTRŮ ...............................................................................................9
2.2
TYPY FILTRŮ..............................................................................................................10
2.3
PRINCIP FILTRŮ ..........................................................................................................11
2.4
PŘENOSOVÁ FUNKCE FILTRU N-TÉHO ŘÁDU ...............................................................12
2.5
ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY RLC 2. ŘÁDU ...........................................................13
2.5.1
Dolní propust RLC ...........................................................................................13
2.5.2
Normovaná dolní propust RLC ........................................................................15
2.5.3
Horní propust RLC ...........................................................................................16
2.5.4
Pásmová propust RLC ......................................................................................16
2.5.5
Obecný RLC obvod 2. řádu ..............................................................................18
2.5.6
Pásmová zádrž RLC .........................................................................................19
2.5.7
Modifikovaná dolní propust RLC 2. řádu.........................................................20
2.5.8
Modifikovaná horní propust RLC 2. řádu ........................................................21
2.5.9
Všepropustný fázovací bikvad RLC ..................................................................21
2.5.10
Porovnání kmitočtových charakteristik základních propustí ...........................22
2.6
KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 2.........................................................................22
3
PASIVNÍ FILTRY RC...................................................................................................23
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
ÚČEL A POUŽITÍ PASIVNÍCH FILTRŮ RC .....................................................................23
PASÍVNÍ FILTRY RC 1. ŘÁDU .....................................................................................23
PASIVNÍ FILTRY RC 2. ŘÁDU .....................................................................................26
PASÍVNÍ FILTRY RC 3. ŘÁDU .....................................................................................29
KONTROLNÍ OTÁZKY A PŘÍKLADY KU KAPITOLE 3.....................................................29
PASIVNÍ FILTRY LC(R) VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ..............................................................30
4.1
PRINCIP, ÚČEL A POUŽITÍ FILTRŮ LC(R) VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ............................................30
4.2
NORMOVÁNÍ A TRANSFORMACE ................................................................................31
4.3
TYPY FILTRŮ DLE POUŽITÉ APROXIMACE ...................................................................34
4.3.1
Butterworthova aproximace .............................................................................34
4.3.2
Čebyševova aproximace ...................................................................................36
4.3.3
Cauerova aproximace ......................................................................................37
4.3.4
Besselova aproximace ......................................................................................37
4.3.5
Další aproximace..............................................................................................38
4.3.6
Srovnání různých aproximací...........................................................................39
4.4
NÁVRH PŘÍČKOVÝCH ČLÁNKŮ LC(R) ........................................................................42
4.4.1
Zadání požadavků na filtr.................................................................................42
4.4.2
Určení řádu NDP .............................................................................................43
4.4.3
Přepočet na parametry používané v katalogu ..................................................44
4.4.4
Výběr zapojení a určení hodnot NDP...............................................................45
4.4.5
Odnormování a kmitočtová transformace NDP na požadovaný typ filtru .......45
4.5
REÁLNÝ PŘÍČKOVÝ FILTR LC(R) ...............................................................................54
2
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
4.5.1
Vliv ztrát v reálném filtru ................................................................................. 54
4.5.2
Vliv tolerance hodnot použitých součástek ...................................................... 54
4.6
PÁSMOVÉ PROPUSTI S VÁZANÝMI STRUKTURAMI LC(R) ........................................... 55
4.7
KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 4 ........................................................................ 57
5
AKTIVNÍ PRVKY A FUNKČNÍ BLOKY VE FILTRECH ..................................... 57
5.1
AKTIVNÍ PRVKY FILTRŮ - ZESILOVAČE ...................................................................... 58
5.1.1
Operační zesilovače ......................................................................................... 58
5.1.2
Zesilovače napětí a proudu .............................................................................. 59
5.1.3
Transadmitanční zesilovače............................................................................. 59
5.1.4
Transimpedanční zesilovače ............................................................................ 60
5.1.5
Nortonův zesilovač........................................................................................... 60
5.2
FUNKČNÍ BLOKY ....................................................................................................... 61
5.2.1
Gyrátory ........................................................................................................... 61
5.2.2
Impedanční konvertory .................................................................................... 63
5.2.3
Proudové konvejory ......................................................................................... 65
5.3
SYNTETICKÉ PRVKY VE FILTRECH ............................................................................. 65
5.3.1
Syntetické induktory ......................................................................................... 65
5.3.2
Jednoduché syntetické induktory ..................................................................... 66
5.3.3
Syntetický prvek FDNR .................................................................................... 67
5.3.4
Syntetické dvojpóly vyšších řádů...................................................................... 67
5.4
KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 5 ........................................................................ 67
6
AKTIVNÍ FILTRY RC 1. A 2. ŘÁDU......................................................................... 68
6.1
AKTIVNÍ FILTRY RC 1. ŘÁDU .................................................................................... 68
6.1.1
Aktivní dolní propust RC 1. řádu – ADP1 ....................................................... 68
6.1.2
Aktivní horní propust RC 1. řádu – AHP1 ....................................................... 69
6.2
OBECNÉ STRUKTURY ARC FILTRŮ 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM ....................... 70
6.3
DOLNÍ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM .......................................... 71
6.3.1
Zapojení Sallen-Key SAB-LP-SK ..................................................................... 71
6.3.2
Zapojení Huelsman SAB-LP-H ........................................................................ 75
6.3.3
Další zapojení SAB-LP .................................................................................... 76
6.4
HORNÍ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM .......................................... 76
6.4.1
Zapojení Sallen-Key SAB-HP-SK .................................................................... 76
6.4.2
Zapojení Huelsman SAB-HP-H ....................................................................... 77
6.5
PÁSMOVÉ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM ..................................... 78
6.5.1
Kaskádní zapojení SAB-BP-K.......................................................................... 79
6.5.2
Zapojení Huelsman SAB-BP-H........................................................................ 79
6.5.3
Zapojení Sallen – Key SAB-BP-SK .................................................................. 79
6.5.4
Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D.................................................................. 80
6.5.5
Další zapojení SAB-BP .................................................................................... 81
6.6
FILTRY ARC 2. ŘÁDU S NETRADIČNÍMI AKTIVNÍMI PRVKY ....................................... 82
6.7
FILTRY ARC 2. ŘÁDU S NULOVÝMI BODY PŘENOSU ................................................. 85
6.7.1
Eliptické aktivní bikvady s dvojitým T-článkem............................................... 86
6.7.2
Eliptické Friendovy aktivní bikvady................................................................. 87
6.8
VLIV REÁLNÉHO AKTIVNÍHO PRVKU NA PARAMETRY FILTRU .................................... 89
6.9
FILTRY ARC 2. ŘÁDU S VÍCE AKTIVNÍMI PRVKY ....................................................... 90
6.9.1
Filtry ARC 2. řádu s dvěma aktivními prvky.................................................... 90
6.9.2
Zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP ...................................................... 91
6.9.3
Filtry ARC 2. řádu s třemi a více aktivními prvky ........................................... 92
Elektrické filtry
6.10
7
3
KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 6.........................................................................95
AKTIVNÍ FILTRY RC VYŠŠÍCH ŘÁDŮ ..................................................................96
7.1
KASKÁDNÍ SYNTÉZA ARC FILTRŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ.....................................................96
7.2
NÁVRH ARC FILTRŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ .........................................................................96
7.2.1
Normovaná dolní propust pro kaskádní syntézu ............................................100
7.2.2
Transformace NDP na DP .............................................................................100
7.2.3
Transformace NDP na HP .............................................................................100
7.2.4
Transformace NDP na PP..............................................................................100
7.2.5
Transformace NDP na PZ ..............................................................................101
7.3
KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 7.......................................................................103
8
FILTRY SE SYNTETICKÝMI PRVKY A FUNKČNÍMI BLOKY.......................103
8.1
FILTRY SE SYNTETICKÝMI INDUKTORY ....................................................................103
8.2
FILTRY S GYRÁTORY ...............................................................................................104
8.3
FILTRY DCR............................................................................................................105
8.4
FILTRY S INTEGRÁTORY ...........................................................................................106
8.5
AKTIVNÍ FILTRY R ...................................................................................................108
8.6
AKTIVNÍ FILTRY S PROUDOVÝMI KONVEJORY ..........................................................109
8.6.1
Filtry prvního řádu s konvejory......................................................................109
8.6.2
Filtry druhého řádu s konvejory.....................................................................109
8.7
9
ZVLÁŠTNÍ TYPY FILTRŮ........................................................................................112
9.1
VŠEPROPUSTNÉ FÁZOVACÍ DVOJBRANY ...................................................................112
9.1.1
Všepropustné dvojbrany n-tého řádu .............................................................112
9.1.2
Všepropustné dvojbrany 1. řádu.....................................................................113
9.1.3
Všepropustný dvojbran 2. řádu ......................................................................115
9.1.4
Aktivní všepropustný dvojbran .......................................................................115
9.2
KMITOČTOVÉ KOREKTORY ......................................................................................116
9.3
KMITOČTOVÉ ROZDĚLOVACÍ A SLUČOVACÍ OBVODY ...............................................117
9.4
FILTRY S NASTAVITELNÝMI PARAMETRY .................................................................118
9.5
10
FILTRY SE SPÍNANÝMI KAPACITORY...........................................................119
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
11
PRINCIP OBVODŮ SC................................................................................................120
SPÍNAČE ..................................................................................................................120
POPIS OBVODŮ SC ...................................................................................................121
PŘEDZKRESLENÍ CHARAKTERISTIK PROTOTYPU .......................................................122
SIMULACE REZISTORU SPÍNANÝM KAPACITOREM (R-SC)......................................122
SPÍNANÉ EKVIVALENTY INDUKTORŮ A BICISTORŮ (L-SC, D-SC) .........................123
SPÍNANÉ INTEGRÁTORY (I-SC) ...............................................................................123
BIKVAD SC S INTEGRÁTORY....................................................................................125
BIKVADY SC ODVOZENÍ Z OBVODŮ ARC................................................................125
EKVIVALENT SC PŘÍČKOVÉHO ČLÁNKU LCR......................................................128
FILTRU SC VYŠŠÍHO ŘÁDU ..................................................................................128
KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 10.................................................................128
FILTRY PRACUJÍCÍ NA JINÝCH FYZIKÁLNÍCH PRINCIPECH ...............130
11.1 FILTRY S PIEZOELEKTRICKÝMI REZONÁTORY ..........................................................130
11.1.1
Piezoelektrický rezonátor ...............................................................................130
4
11.1.2 Klasické filtry s PER ...................................................................................... 132
11.1.3 Monolitické filtry s PER................................................................................. 132
11.1.4 Keramické filtry.............................................................................................. 132
11.1.5 Monolitické filtry s PER................................................................................. 132
11.2 ELEKTROMECHANICKÉ FILTRY ................................................................................ 133
11.3 FILTRY S POVRCHOVOU VLNOU ............................................................................... 133
11.4 FILTRY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY ................................................................ 134
11.5 KONTROLNÍ OTÁZKY KU KAPITOLE 11 .................................................................... 136
12
DODATKY ............................................................................................................... 136
12.1 NÁVOD NA LABORATORNÍ A POČÍTAČOVÉ CVIČENÍ Č. 1 .......................................... 136
12.1.1 Doplnění poznatků z teorie ............................................................................ 136
12.1.2 Opakování teorie............................................................................................ 137
12.1.3 Schéma zapojení přípravku............................................................................ 137
12.1.4 Počítačové simulace....................................................................................... 137
12.1.5 Laboratorní měření ........................................................................................ 140
12.1.6 Pokyny k měření ............................................................................................. 141
12.2 NÁVOD NA LABORATORNÍ A POČÍTAČOVÉ CVIČENÍ Č. 2 .......................................... 141
12.2.1 Poznatky z teorie ............................................................................................ 141
12.2.2 Individuální zadání filtru ............................................................................... 142
12.2.3 Realizace filtru ............................................................................................... 142
12.2.4 Počítačové simulace....................................................................................... 142
12.2.5 Laboratorní měření ........................................................................................ 143
Elektrické filtry
5
Seznam obrázků
OBRÁZEK 2.1:
OBRÁZEK 2.1:
OBRÁZEK 2.2:
OBRÁZEK 2.3:
OBRÁZEK 2.4:
OBRÁZEK 2.5:
OBRÁZEK 2.6:
OBRÁZEK 2.7:
OBRÁZEK 2.8:
OBRÁZEK 2.9:
OBRÁZEK 2.10:
OBRÁZEK 2.11:
OBRÁZEK 2.12:
OBRÁZEK 2.13:
OBRÁZEK 2.14:
OBRÁZEK 2.15:
OBRÁZEK 2.16:
OBRÁZEK 4.1:
OBRÁZEK 4.2:
OBRÁZEK 4.3:
OBRÁZEK 4.4:
OBRÁZEK 4.5:
OBRÁZEK 4.6:
OBRÁZEK 4.7:
OBRÁZEK 4.8:
OBRÁZEK 4.9:
OBRÁZEK 4.10:
OBRÁZEK 4.11:
OBRÁZEK 4.12:
OBRÁZEK 5.1:
OBRÁZEK 5.2:
OBRÁZEK 5.3:
OBRÁZEK 5.4:
OBRÁZEK 5.5:
OBRÁZEK 5.6:
OBRÁZEK 5.7:
OBRÁZEK 5.8:
OBRÁZEK 5.9:
OBRÁZEK 5.10:
OBRÁZEK 5.11:
OBRÁZEK 5.12:
OBRÁZEK 5.13:
OBRÁZEK 5.14:
OBRÁZEK 5.15:
OBRÁZEK 5.16:
OBRÁZEK 6.1:
OBRÁZEK 6.2:
OBRÁZEK 6.3:
OBRÁZEK 6.4:
ZAPOJENÍ OBVODU K PŘ. 1.1............................................................................9
MODULOVÉ CHARAKTERISTIKY RŮZNÝCH PROPUSTÍ.....................................10
ZÁKLADNÍ FILTRAČNÍ OBVODY A JEJICH CHARAKTERISTIKY. ........................11
DOLNÍ PROPUST RLC 2. ŘÁDU ......................................................................13
MODULOVÁ CHARAKTERISTIKA DP 2.ŘÁDU PŘI RŮZNÉM NORMOVÁNÍ. ........14
VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKU .............................................15
HORNÍ PROPUST RLC 2. ŘÁDU ......................................................................16
PÁSMOVÉ PROPUSTI RLC 2. ŘÁDU. ...............................................................17
PÁSMOVÁ PROPUST 2. ŘÁDU..........................................................................17
VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKY PÁSMOVÉ PROPUSTI..............18
PÁSMOVÁ ZÁDRŽ 2. ŘÁDU. ........................................................................19
VLIV ČINITELE JAKOSTI NA CHARAKTERISTIKY PÁSMOVÉ ZÁDRŽE. ...........19
REALIZACE PÁSMOVÉ ZÁDRŽE RLC 2. ŘÁDU. ..........................................20
MODIFIKOVANÁ DOLNÍ PROPUST RLC 2. ŘÁDU.........................................20
MODULOVÉ CHARAKTERISTIKY MODIFIKOVANÉ DOLNÍ PROPUSTI. ............21
VŠEPROPUSTNÝ FÁZOVACÍ BIKVAD LCR...................................................22
POROVNÁNÍ KMITOČTOVÝCH CHARAKTERISTIK BIKVADŮ. ........................22
TRANSFORMACE TOLERANČNÍCH POLÍ RŮZNÝCH TYPŮ FILTRŮ......................32
KMITOČTOVÉ CHARAKTERISTIKY ZÁKLADNÍCH TYPŮ FILTRŮ........................34
BUTTERWORTHŮV FILTR................................................................................35
ČEBYŠEVŮV FILTR. ........................................................................................36
CAUERŮV FILTR.............................................................................................37
BESSELŮV FILTR. ...........................................................................................38
INVERZNÍ ČEBYŠEVOVA APROXIMACE RŮZNÉHO ŘÁDU ................................39
CHARAKTERISTIKY HP RŮZNÉHO ŘÁDU A TYPU APROXIMACE. .....................39
SROVNÁNÍ CHARAKTERISTIK FILTRŮ 4. ŘÁDU RŮZNÝCH TYPŮ ......................42
NOMOGRAMY K URČENÍ ŘÁDU NDP..........................................................44
GRAFY K PŘEPOČTU PARAMETRŮ. .............................................................45
KAPACITNĚ VÁZANÉ REZONANČNÍ OBVODY ..............................................56
BLOKOVÉ SCHÉMA TRANSKONDUKTIVNÍHO OPERAČNÍ ZESILOVAČE .............59
MODERNÍ TRANSKONDUKTIVNÍ OPERAČNÍ ZESILOVAČE. ...............................60
TRANSIMPEDANČNÍ ZESILOVAČ (A) A NORTONŮV ZESILOVAČ (B).................60
GYRÁTOR. .....................................................................................................61
MODEL REÁLNÉHO GYRÁTORU. .....................................................................61
RIORDANŮV GYRÁTOR S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI. .......................................63
GYRÁTOR JAKO ZÁKAZNICKÝ INTEGROVANÝ OBVOD (SN 15010) ................63
ZOBECNĚNÝ IMPEDANČNÍ KONVERTOR A JEHO POPIS. ...................................63
IMPEDANČNÍ KONVERTOR REALIZUJÍCÍ SYNTETICKÝ INDUKTOR,...................64
IMPEDANČNÍ KONVERTOR REALIZUJÍCÍ SYNTETICKÝ PRVEK FDNR,..........64
NEJPOUŽÍVANĚJŠÍ PROUDOVÉ KONVEJORY. ...............................................65
PLOVOUCÍ SYNTETICKÝ INDUKTOR REALIZOVANÝ DVĚMA ZIKY. .............65
SIMULACE SESKUPENÍ CÍVEK DVĚMA ZIK-Y..............................................66
PRESCOTTŮV SYNTETICKÝ INDUKTOR. ......................................................66
KMITOČTOVÉ ZÁVISLOSTI PARAMETRŮ PRESCOTTOVA SI. ........................66
JEDNODUCHÉ FDNR A JEJICH MODELY. ....................................................67
AKTIVNÍ DOLNÍ PROPUST RC 1. ŘÁDU – ADP1 .............................................69
OBECNÉ STRUKTURY ARC BIKVADU S JEDNÍM ZESILOVAČEM – SAB...........70
DOLNÍ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM ZESILOVAČEM...............................72
PÁSMOVÉ PROPUSTI ARC 2. ŘÁDU S JEDNÍM OPERAČNÍM ZESILOVAČEM ......78
6
OBRÁZEK 6.5:
OBRÁZEK 6.6:
OBRÁZEK 6.7:
OBRÁZEK 6.8:
OBRÁZEK 6.9:
OBRÁZEK 6.10:
OBRÁZEK 6.11:
OBRÁZEK 6.12:
OBRÁZEK 6.13:
OBRÁZEK 6.14:
OBRÁZEK 6.15:
OBRÁZEK 6.16:
OBRÁZEK 7.1:
OBRÁZEK 8.1:
OBRÁZEK 8.2:
OBRÁZEK 8.3:
OBRÁZEK 8.4:
OBRÁZEK 8.5:
OBRÁZEK 8.6:
OBRÁZEK 8.7:
OBRÁZEK 8.8:
OBRÁZEK 9.1:
OBRÁZEK 9.2:
OBRÁZEK 9.3:
OBRÁZEK 9.4:
OBRÁZEK 10.1:
OBRÁZEK 10.2:
OBRÁZEK 10.3:
OBRÁZEK 10.4:
OBRÁZEK 10.5:
OBRÁZEK 10.6:
OBRÁZEK 10.7:
OBRÁZEK 10.8:
OBRÁZEK 11.1:
OBRÁZEK 11.2:
OBRÁZEK 11.3:
OBRÁZEK 11.4:
OBRÁZEK 11.5:
OBRÁZEK 12.1:
OBRÁZEK 12.2:
OBRÁZEK 12.3:
OBRÁZEK 12.4:
SAB-BP-L S DVOJITÝM T-ČLÁNKEM............................................................ 82
BIKVAD ARC S TRANSADMITANČNÍM ZESILOVAČEM. .................................. 83
AKTIVNÍ PÁSMOVÁ PROPUST S NORTONOVÝMI ZESILOVAČI. ........................ 83
FILTRY 2. ŘÁDU S TRANSIMPEDANČNÍM ZESILOVAČEM ................................. 84
JEDNODUCHÁ PÁSMOVÁ PROPUST S DVCC V PROUDOVÉM MÓDU................ 84
VÍCEÚČELOVÝ ARC BIKVAD SE DVĚMA DVCC. ...................................... 85
ELIPTICKÉ AKTIVNÍ BIKVADY S DVOJITÝMI T-ČLÁNKY. ............................ 86
FRIENDOVY ELIPTICKÉ AKTIVNÍ BIKVADY................................................. 87
BLOKOVÉ SCHÉMA ODTLUMENÍ BIKVADU ZAVEDENÍM KLADNÉ ZV. ........ 91
DAB-BP-H UMOŽŇUJÍCÍ DOSÁHNOUT VYŠŠÍ HODNOTU Q........................ 92
BIKVAD TAB-KHN. ................................................................................. 93
VYBRANÉ BIKVADY S TŘEMI OA. ............................................................. 94
SYNTÉZA FILTRŮ ARC VYŠŠÍCH ŘÁDŮ.......................................................... 97
ZÁKLADNÍ OBVODY 2.ŘÁDU S GYRÁTOREM. ............................................... 104
PŘEMOSTĚNÉ STRUKTURY S GYRÁTORY...................................................... 105
FILTR DCR 5. ŘÁDU.................................................................................... 106
STAVEBNÍ FUNKČNÍ BLOK 1.ŘÁDU. A JEHO GRAF. ....................................... 107
GRAF SIGNÁLOVÝCH TOKŮ S PŘENOSEM 2. ŘÁDU. ...................................... 107
GRAF PŘÍMÉ REALIZAČNÍ STRUKTURY K(P) 5. ŘÁDU................................... 107
CAUEROVA DOLNÍ PROPUST 3. ŘÁDU S INTEGRÁTORY................................. 108
UNIVERZÁLNÍ BIKVAD R. ............................................................................ 109
PASIVNÍ VŠEPROPUSTNÉ FÁZOVACÍ DVOJBRANY 1. ŘÁDU. .......................... 114
AKTIVNÍ VŠEPROPUSTNÝ FÁZOVACÍ DVOJBRAN. ......................................... 116
KMITOČTOVÉ KOREKTORY.......................................................................... 117
KMITOČTOVÉ ROZDĚLOVACÍ A SLUČOVACÍ OBVODY. ................................. 118
SPÍNAČE V OBVODECH SC....................................................................... 121
SIMULACE REZISTORU SPÍNANÝM KAPACITOREM.................................... 123
SPÍNANÉ EKVIVALENTY INDUKTORŮ A BICISTORŮ. ................................. 124
OBR. 9.4 SPÍNANÉ INTEGRÁTORY. .......................................................... 125
SYNTÉZA BIKVADU SC............................................................................ 126
SC DOLNÍ PROPUST, EKVIVALENTNÍ SAB-DP-H. ................................... 127
SYNTÉZA EKVIVALENTU SC PŘÍČKOVÉHO ČLÁNKU LCR. ....................... 127
FILTR SC 5. ŘÁDU MHF 4413. ............................................................... 129
PIEZOELEKTRICKÝ REZONÁTOR. ............................................................. 130
FILTRY S PER. ........................................................................................ 131
ELEKTROMECHANICKÉ FILTRY................................................................ 133
FILTRY S POVRCHOVOU VLNOU............................................................... 134
OBVODY S ROZPROSTŘENÝMI PARAMETRY. ............................................ 135
SPOJENÍ ZDROJE A ZÁTĚŽE A) PŘES FILTRAČNÍ DVOJBRAN, B) PŘÍMO ...... 137
ZAPOJENÍ DOLNÍ PROPUSTI 5. ŘÁDU. ....................................................... 139
BLOKOVÉ SCHÉMA PRACOVIŠTĚ.............................................................. 140
SCHÉMA ZAPOJENÍ SAB-LP-SK ............................................................. 142
Elektrické filtry
7
Seznam tabulek
TABULKA 3.1: PŘEHLED PASIVNÍCH FILTRŮ RC 1. ŘÁDU ......................................................24
TABULKA 4.1: ZÁKLADNÍ TYPY PODOBVODŮ PŘÍČKOVÝCH STRUKTUR FILTRŮ LC(R). .........30
TABULKA 4.2: TRANSFORMACE A ODNORMOVÁNÍ NORMOVANÉ DOLNÍ PROPUSTI. ...............33
TABULKA 4.3: KOEFICIENTY JMENOVATELE NORMOVANÉ PŘENOSOVÉ FUNKCE FILTRŮ .......40
TABULKA 4.4: ROZKLAD JMENOVATELE NORMOVANÉ PŘENOSOVÉ FUNKCE FILTRŮ .............41
TABULKA 4.5: PŘÍKLAD USPOŘÁDÁNÍ KATALOGU PŘÍČKOVÝCH FILTRŮ RLC [ 6 ] ...............46
TABULKA 4.6: JEDNODUCHÝ KATALOG PRO NÁVRH PŘÍČKOVÝCH FILTRŮ RLC....................47
TABULKA 5.1: VYUŽITÍ GYRÁTORŮ K SIMULACI ČÁSTÍ FILTRŮ. ............................................62
TABULKA 6.1: HODNOTA A PRO RŮZNÉ APROXIMACE V SAB-LP-SK-3. ..............................74
TABULKA 6.2: SROVNÁNÍ NÁVRHOVÝCH VARIANT SAB-LP-SK ..........................................75
TABULKA 7.1: TABULKA PRO KASKÁDNÍ SYNTÉZU POLYNOMINÁLNÍCH FILTRŮ ARC. .........97
TABULKA 7.2: TABULKA PRO KASKÁDNÍ SYNTÉZU ELIPTICKÝCH FILTRŮ ARC. .......................98
TABULKA 8.1: BRUTONOVA TRANSFORMACE .....................................................................105
TABULKA 9.1: NORMOVANÉ PARAMETRY I-TÉHO PODOBVODU VE VPD N-TÉHO ŘÁDU ......113
TABULKA 9.2: REALIZAČNÍ PODMÍNKY VPD OBVODU NA OBRÁZEK 9.2D .........................115
8
1 Úvod do předmětu
1.1 Zařazení předmětu ve studijním programu
Elektrické filtry je jako volitelný oborový předmět zařazen v 4. semestru bakalářského
studia oboru Elektronika a sdělovací technika. Úzce navazuje na povinný předmět Analogové
elektronické obvody, který je nutno před ním absolvovat.
1.2 Cíl a obsah předmětu
Cílem předmětu je seznámit studenty s různými druhy moderních analogových filtrů.
Naučit je navrhnout pasivní a aktivní filtry vyšších řádů. Seznámit je s filosofii počítačem
podporovaného optimálního návrhu analogových filtrů, s vhodnou simulací a ověřovací
analýzou navržených obvodů. Důraz je kladen na individuální projekty.
Studenti se seznámí s moderními metodami návrhu analogových elektrických filtrů.
Prohloubí si znalosti z teorie obvodů a naučí se je vhodně aplikovat. Zdokonalí se v práci s
programem PSpice a naučí se používat další návrhové programy.
1.3 Stručná anotace
Princip kmitočtových filtrů a jejich dělení. Filtry 1., 2. a vyšších řádů různých typů a
aproximací. Parametry filtrů a jejich získání. Počítačová podpora návrhu. Kontrolní,
citlivostní a toleranční analýza filtrů. Kmitočtové a impedanční normování a transformace.
Pasivní RC a RLC filtry vyšších řádů. Aktivní filtry RC s jedním, dvěma a třemi OZ. Filtry s
nulovými body přenosu (Cauerovy). Filtry se syntetickými prvky (SI, FDNR) a funkčními
bloky. Fázovací všepropustné dvojbrany a pásmové korektory. Filtry v proudovém módu.
Filtry se spínanými kapacitory a struktury CCD. Elektromechanické a piezoelektrické filtry.
Filtry s povrchovou vlnou. Nastavování a řízené přelaďování filtrů. Optimalizace návrhu
filtrů. CAD, software SNAP, PSpice, NAF a Filter design.
1.4 Vstupní test
Příklad 1.1:
Vstupní test 1.1
Na Obrázek 1.1 je zapojení aktivního obvodu RC s operačním zesilovačem.
1) Jakého řádu je tento obvod?
2) Překreslete obvod tak, že podobvod tvořený operačním zesilovačem a rezistory R2, R3
nahradíte jiným funkčním blokem.
3) Odvoďte přenos napětí. Jakého je řádu? Souhlasí to s vaší odpovědí na první otázku?
4) Co podle vás obvod představuje?
5) Nakreslete rozložení pólů a nulových bodů.
6) Nakreslete předpokládaný tvar modulové charakteristiky.
7) Nakreslete předpokládaný tvar argumentové charakteristiky.
Elektrické filtry
Obrázek 1.1:
9
Zapojení obvodu k př. 1.1
2 Základní filtrační obvody
Cíle kapitoly: Seznámit studenty s účelem, principem, dělením a vlastnostmi základních
typů filtrů. Podrobněji rozebrat filtry prvního a druhého řádu, různých propustí a
zádrží. Zopakovat a prohloubit znalosti získané v předmětu Elektronické analogové
obvody[ 1].
Test předchozích znalostí
1. Jak vypadá obecná obvodová funkce z matematického pohledu a jak se dá rozložit?
Co jsou to nulové body a póly? Definujte přenosovou funkci napětí.
2. Jaké druhy kmitočtových charakteristik přenosu napětí znáte, jak jsou definovány, co
je to zisk?
3. Na několika příkladech ukažte souvislost mezi průběhem modulové a fázové
charakteristiky a polohou pólu resp. nulové bodu.
4. Uveďte vlastnosti a definujte parametry (Q, f0, Z v rezonanci) paralelního
rezonančního obvodu. Jaké stavy rozlišujeme v tomto obvodě vzhledem ke tlumení?
Nakreslete odpovídající rozložení nulových bodů resp. pólů. Nakreslete rezonanční
křivky pro dvě hodnoty Q1 < Q2. Vyznačte šířku propustného pásma.
2.1 Účel a použití filtrů
Kmitočtové filtry jsou dvojbrany (převážně lineární), které propustí (bez a nebo jen s
malým útlumem) harmonické složky spektra zpracovávaných signálů v určitém pásmu
kmitočtů, které nazýváme propustné pásmo. Mimo propustné pásmo jsou harmonické složky
naopak silně utlumovány - tzv. nepropustné pásmo.
Kmitočtové filtry jsou součástí řady obvodů a systémů, z nichž některé bude dále blíže
rozebírat. Například dolní propust se používá v usměrňovačích, kde je třeba oddělit
stejnosměrnou složku a potlačit všechny střídavé složky. Pásmová propust má např. uplatnění
v přijímačích, kde vybírá signál určitého vysílače. Řadu příkladů lze uvést i z měřící nebo
regulační techniky. Poslední dobou se v souvislosti s novými mikroelektronickými
technologiemi (novými aktivními prvky a funkčními bloky) rozvíjí aktivní filtry RC, na
vyšších kmitočtech pracující v proudovém módu. Induktory v RLC filtrech jsou totiž
nejobjemnější, nejdražší a hlavně těžko integrovatelné součástky. Snažíme se je proto s filtrů
odstranit resp. nahradit syntetickými ekvivalenty. Zcela novými přístupy jsou
charakterizovány filtry se spínanými kapacitory (pracující spojitě v hodnotách a diskrétně v
čase) a filtry číslicové (pracující diskrétně v čase i v hodnotách ). Specifickými typy jsou také
10
analogové filtry pracující na zvláštních principech, jako např. filtry s povrchovou vlnou, filtry
s piezoelektrickými rezonátory, keramické filtry, elektromechanické filtry a další.
2.2 Typy filtrů
Rozdělení filtrů lze provést z různých hledisek, nejdůležitější dělení je však
dle přenášeného kmitočtového spektra (Obrázek 2.1):
- dolní propust,
- horní propust,
- pásmová propust,
- pásmová zádrž,
- všepropustný (fázovací) dvojbran.
dle použitých prvků:
- pasivní filtry RC (resp. RLC),
- pasivní filtry LC,
- aktivní filtry RC,
se standardními operačními zesilovači,
se zvláštními typy OZ,
s ideálními zesilovači napětí,
- filtry RC s funkčními bloky,
s impedančními invertory a gyrátory,
s impedančními konvertory,
s proudovými konvejory,
aktivní filtry R,
- filtry se syntetickými prvky,
- filtry se spínanými kapacitory,
- filtry s povrchovou vlnou,
- filtry s piezoelektrickými rezonátory
- a další.
Obrázek 2.1:
Modulové charakteristiky různých propustí.
a) dolní propusti, b) horní propusti, c) pásmové propusti, d)pásmové zádrže.
Elektrické filtry
11
2.3 Princip filtrů
Základním principielním podobvodem filtrů, nazývaným někdy také půlčlánkem, je
kmitočtově závislý dělič (Obrázek 2.2 a), jehož přenos ( 2.1 ) bude kmitočtově závislý, je-li
alespoň jedna z impedancí kmitočtově závislá.
U
Z2
K (ω) = 2 =
.
( 2.1 )
U1 Z 1 + Z 2
Příklad 2.1:
Jednoduchá dolní propust
Příkladem pasivního filtru 1. řádu je dolní propust RC (Obrázek 2.1 b). Odvoďte její
přenosovou funkci.
Obrázek 2.2:
Základní filtrační obvody a jejich charakteristiky.
a) kmitočtově závislý dělič napětí,
b) dolní propust RC 1. řádu,
c) modulová kmitočtová charakteristika,
d) argumentová kmitočtová charakteristika.
Odvozenou přenosovou funkci lze převést do následujícího tvaru
1 − jωC
.
K (ω ) = Re K + j Im K = K (ω )e jϕ (ω ) =
( 2.2 )
1 + ω 2 R2C2
Modulová charakteristika tohoto obvodu je pak dána vztahem
1
2
2
K (ω ) = K (ω ) = ( Re K) + (Im K) =
.
( 2.3 )
1 + ω 2 R2C 2
Zisk v decibelech
1
k (ω ) = K dB (ω ) = 20 log K (ω ) = 20 log
.
( 2.4 )
1 + ω 2 R2C 2
Argumentová (fázová) charakteristika
Im K
ϕ (ω ) = arctg
= − arctg ωRC.
( 2.5 )
Re K
Obě skutečné kmitočtové charakteristiky často aproximujeme lomenými přímkami asymptotami, které poprvé zavedl Bode. Takto na Obrázek 2.2 c je modulová charakteristika
aproximována čárkovaně. U tohoto obvodu, který je 1. řádu má modulová charakteristika
sklon (-20) dB/dek., resp. (-6) dB/okt. Argumentová charakteristika má sklon (-45) o /dek.
Maximální odchylka aproximace modulu je 3 dB a argumentu 5,7o Obrázek 2.2.
12
Mezní kmitočet ωm je definován poklesem zisku o -3 dB, (argument je -45o)
K
KdB(ωm) = K0 dB - 3 ,
K (ω m ) = 0 , ( zde je K 0 = 1)
( 2.6 )
2
V tomto obvodě je dán vztahem
1
1
ωm = =
.
( 2.7 )
τ RC
Pro snazší návrh zavádíme ve filtrech normované kmitočtové proměnné
p
ω
(
s=
, Ω=
p
=
s
ω
ωN
ωN
2.8
)
N
resp.
Nejčastěji pak normujeme k meznímu kmitočtu ω N = ω m . Nemusí to však být
podmínkou, jak se blíže seznámíme v kap. 2.5.2
Obvodové funkce rozebírané dolní propusti 1. řádu jsou pak v normovaném tvaru
1
1
K ( s) =
, K ( Ω) =
, ϕ (Ω) = − arctg Ω.
( 2.9 )
1+ s
1 + Ω2
2.4 Přenosová funkce filtru n-tého řádu
Předpokládáme, že jste správně odpověděli na otázku 1 testu vašich znalostí. Pak lehce
pochopíte, že obecný tvar přenosové funkce filtru n-tého řádu může mít následující tvary
m
( m−1)
+ L + a0
U
N ( p ) am p + a(m−1) p
=
=
K ( p ) = out =
n
( n −1)
+ L +b0
U in
D( p )
bn p + b(n −1) p
= K0
∏(p − n )
= K ∏ K ( p ),
∏ (p − n )
( 2.10 )
i
m
k
0
j
k
n
kde ni jsou nulové body a pj jsou póly přenosové funkce filtru.
Ve filtrech s výhodou pracujeme i s tzv. normovaným tvarem ( 2.11 ), definovaným pro
normované kmitočtové proměnné zavedené vztahy ( 2.8 ). Pro odlišení zde budeme
koeficienty polynomů značit velkými písmeny.
m
( m −1)
+ L + A0
N (s ) Am s + A(m−1) s
K ( p) =
=
( 2.11 )
n
( n −1)
D (s )
+ L + B0
Bn s + B(n −1) s
Zvláštní, často používaná, skupina dolních propustí má nulové body pouze v nekonečnu.
Hovoříme pak o filtrech polynominálních (all-pole filters), které mají následující přenosovou
funkci
U
a0
K0
1
,
K ( p ) = out =
=
=
n
( n−1)
( 2.12 )
U in
D( p ) bn p + b(n−1) p
+ L +b0 ∏ ( p − n j )
n
Ve filtrech velmi často používáme relativní přenos, vzhledem k základnímu K0
K ( p)
,
K r ( p) =
k r (ω ) = 20 log K (ω ) − 20 log K 0 .
K0
Ve starší literatuře se místo přenosu používá inverzní funkce – útlum filtru
U
A( p) = in = K ( p) −1 ,
AdB (ω ) = 20 log A(ω ).
U out
( 2.13 )
( 2.14 )
Elektrické filtry
13
Při syntéze filtrů místo přenosu používáme někdy charakteristickou funkci filtrace, danou
vztahem ( 2.15 ), která odstraňuje iracionalitu zadání. Tato funkce v normovaném tvaru je
dána vztahem
D(s )D(− s )
F s2 =
.
( 2.15 )
N (s )N (− s )
( )
2.5 Základní filtrační obvody RLC 2. řádu
2.5.1 Dolní propust RLC
Strmost modulové charakteristiky se zvýší, nahradíme-li na Obrázek 2.2b rezistor R
induktorem L, dostáváme dolní propust RLC 2. řádu na Obrázek 2.3a. Poznamenejme, že
rezistor R vyjadřuje ztráty v obvodu.
Obrázek 2.3:
Dolní propust RLC 2. řádu
a) zapojení obvodu,
b) rozložení pólů a nulových bodů,
c) modulová charakteristika,
d) argumentová charakteristika.
Příklad 2.2:
Dolní propust RLC 2. řádu
Odvoďte přenosovou funkci dolní propusti RLC na Obrázek 2.3a v základním
symbolickém tvaru.
V Příklad 2.2 odvozený výsledek napěťového přenosu lze upravit a zobecnit do
následujících tvarů
K 0ω 2p
a0
1
K ( p) =
=
=
ωp
( 2.16 )
b2 p 2 + b1 p + b0 1 + pRC + p 2 LC
p2 +
p + ω 2p
Qp
Póly (Obrázek 2.3c) jsou komplexně sdružené (Im p1 = -Im p2 ), jejich kmitočet a
kvalita jsou dány vztahy:
14
ωp =
1
, Qp =
ωp
=
ω pL
.
( 2.17 )
2σ p
R
LC
U dolní propusti (DP) definujeme jako základní parametr mezní kmitočet ωm resp. fm,
kdy modulová charakteristika poklesne o – 3 dB (Obrázek 2.3c). V případě maximálně
ploché DP platí ωm = ωp, blíže viz. kap.2.5.2.
Příklad 2.3:
Kmitočtové charakteristiky dolní propusti RLC 2. řádu
Navrhněte dolní propusti RLC s parametry fm = 1 kHz, Q = 0,7. Zobrazte modulovou a
argumentovou charakteristiku v obvodovém simulátoru Pspice.
Příklad 2.4:
Kmitočtové charakteristiky dolní propusti RLC 2. řádu pro různé Q
Vycházejíc z Příklad 2.3, zobrazte modulové a argumentové charakteristiky dolní
propusti RLC 2. řádu pro různé hodnoty činitele jakosti Q = 0,5 1 2 5 10. V obvodovém
simulátoru Pspice k tomu využijete parametrickou analýzu.
Modulová kmitočtová charakteristika, určená vztahem ( 2.16 ), je na Obrázek 2.3c. Její
tvar závisí na hodnotě Q, která je dána ztrátami v obvodu LC (Obrázek 2.4). Běžně u dolních
propustí je hodnota Q malá (0,5 až 1). Významná je hodnota Q = 0.707, kdy modulová
charakteristika je maximálně plochá (Butterworthova aproximace). Pro větší hodnoty Q se
dolní propust chová jako nesymetrická pásmová propust. Hodnota převýšení zisku je 20 log
Qp (Obrázek 2.4). Činitel kvality má významný vliv i na další sledované charakteristiky
(Obrázek 2.5).
Obrázek 2.4:
Modulová charakteristika DP 2.řádu při různém normování.
a) vzhledem k meznímu kmitočtu,
b) vzhledem ke kmitočtu pólu.
Elektrické filtry
15
Obrázek 2.5:
Vliv činitele jakosti na charakteristiku
a) skupinového zpoždění,
b) fázovou,
c) přechodnou.
2.5.2 Normovaná dolní propust RLC
Přenos napětí v normovaném tvaru dostaneme dosazením ( 2.8 ) do ( 2.16 )
ω 2p
K0 2
K 0 Ω 2p
K0
ωm
=
=
K (s ) =
2
2
Ωp
B2 s + B1 s + B0
ωp
ωp
2
s + Ω 2p
s2 +
s+ 2 s +
Qp
ω mQ p
ωm
kde Ωp je normovaný kmitočet pólů, normovaný k meznímu kmitočtu ωm.
Ze vztahu (2-6) vyplývá pro přepočet koeficientů
Ωp
ω 2p
ωp
2
B0 = Ω p = 2 , B1 =
=
, B2 = 1
Q p ω mQ p
ωm
nebo pro jinou modifikaci, používanou např. v Tabulka 4.3
ωm
ω2
1
B0 = 1, B1 =
, B2 = m2 = 2
ω pQp
ωp Ωp
Pro opačný přepočet pak pro kmitočet pólu platí
B0
b
ω p = Ω p ω m =ω m
= 0,
B2
b2
a jeho kvalitu
B2 B0
bb
= 2 0.
Qp =
B1
b1
( 2.18 )
( 2.19 )
( 2.20 )
( 2.21 )
( 2.22 )
Ze vztahu ( 2.21 ) lze odvodit souvislost mezi kmitočtem mezním (ωm resp. fm) a pólu (fp)
pro různé druhy aproximací. Hodnoty normovaných koeficientů nalezneme v Tabulka 4.3
Snadno odvodíme pro aproximaci (kap. 4.3):
16
Butterworthovu
fm = fp,
Besselovu
fm = 0,786 fp,
Čebyševovu (-3 dB)
fm = 1,378 fp.
V této kapitole jsme použili normování vzhledem k meznímu kmitočtu (ωm) . Normovat
však můžeme i vzhledem ke kmitočtu pólu (ωp). Zavedeme normovaný kmitočet
~ ω
Ω=
( 2.23 )
ωp
jiný než ( 2.8 ). Na Obrázek 2.4 jsou pro porovnání uvedeny modulové charakteristiky
normované dolní propusti pro obě možnosti normování, a to jak vzhledem k meznímu
kmitočtu, tak i vzhledem ke kmitočtu pólu (rezonančnímu).
2.5.3
Horní propust RLC
Horní propust RLC 2. řádu je duální k dolní propusti RLC, rozebírané v předchozí kap.
2.5.1. Získáme ji záměnou cívky L (R) a kondenzátoru C v zapojení na Obrázek 2.3a.
Přenosová funkce napětí má obecný tvar
K0 p 2
a2 p 2
=
K ( p) =
ωp
b2 p 2 + b1 p + b0
( 2.24 )
p2 +
p + ω 2p
Qp
Obrázek 2.6:
Horní propust RLC 2. řádu
a) zapojení obvodu,
b) rozložení pólů a nulových bodů,
2.5.4
c) modulová charakteristika,
d) argumentová charakteristika.
Pásmová propust RLC
Různé realizace pásmových propustí RLC 2. řádu jsou na Obrázek 2.7.
Jejich přenosová funkce je obecně
ωp
K0
p
a1 p
Qp
K ( p) =
=
.
( 2.25 )
ωp
b2 p 2 + b1 p + b0
2
2
p +
p+ω p
Qp
Parametry pásmové propusti (PP), použité ve vztahu ( 2.25 ) jsou dány následovně
Elektrické filtry
17
ω p = ω rez =
1
LC
,
Qp =
ω pL
Rs
=
Rp
( 2.26 )
ω pL
Obrázek 2.7:
2. řádu.
Pásmové propusti RLC
a) se sériovým rezonančním obvodem
(s rezistorem Rs),
b) s paralelním rezonančním obvodem
(s rezistorem Rp),
c) s paralelním rezonančním obvodem a
proudovým buzením.
Vedle dvou komplexně sdružených pólů (Obrázek 2.8a) má PP 2. řádu jednu nulu v
počátku souřadnic a druhou v nekonečnu. Modulová charakteristika (Obrázek 2.8b) je
souměrná kolem ωp , asymptoty mají sklon (± 20) dB/dek. Vliv činitele jakosti na tvar
modulové charakteristiky je patrný z Obrázek 2.9a. Propusti se používají s větším Q,
abychom dosáhli potřebnou selektivitu. Šířku přenášeného pásma B = fh – fd určujeme
nejčastěji pro pokles – 3 dB. Argumentové charakteristiky (Obrázek 2.9b) mají stejný tvar
jako DP nebo HP, jen jsou posunuty (od + 90o do - 90o). Kmitočtová závislost skupinového
zpoždění je tedy stejná jako na Obrázek 2.5a - závisí pouze na jmenovateli přenosu a to
hlavně na hodnotě parametru Q.
Obrázek 2.8:
Pásmová propust 2. řádu.
a) rozložení pólů a nulových bodů,
b) modulová charakteristika
18
Obrázek 2.9:
Vliv činitele jakosti na charakteristiky pásmové propusti.
Přenosovou funkci pásmové propusti ( 2.25 ) někdy s výhodou modifikujeme do
normovaného tvaru
K0
s
K 0 ∆Ωs
Q
=
,
K ( s) =
( 2.27 )
1
1 + ∆Ωs + s 2
2
1+ s + s
Q
kde normovaná šířka pásma
B
∆Ω = Ω h − Ω d =
( 2.28 )
fp .
Činitel kvality určený z tvaru rezonanční křivky (Q ≈ Qp)
ωp
fp
1
=
=
Q=
B ∆Ω ∆ω
( 2.29 )
2.5.5 Obecný RLC obvod 2. řádu
Obecný obvod 2.řádu - bikvad má přenosovou funkci
ωn
+ ω n2
a2 p + a1 p + a0
Qn
(
p − n1 )( p − n2 )
K ( p) =
.
= K0
=K
( 2.30 )
( p − p1 )( p − p2 ) 0 p 2 + ω p + ω 2
b2 p 2 + b1 p +b0
p
Qp
Dva reálné nebo častěji komplexně sdružené póly leží v levé polorovině p a to z důvodu
stability. Jejich parametry - kmitočet a kvalitu lze určit z následujících vztahů (i = 1, 2)
ω pi
2
2
ω pi = (Im pi ) + ( Re pi ) ,
Q pi =
,
( 2.31 )
2 Re pi
Dva nulové body mohou být obecně umístněné v celé rovině p. Pro ně obdobně platí
ω ni
2
2
,
ω ni = (Im ni ) + ( Re ni ) ,
Qni =
( 2.32 )
2 Re ni
2
p2 +
Elektrické filtry
19
2.5.6 Pásmová zádrž RLC
Jsou-li nulové body a póly bikvadu ( 2.30 ) rozloženy na stejné kružnici (Obrázek
2.10a), tedy když mají stejný kmitočet ωn= ωp, pak obvod má symetrickou modulovou
charakteristiku (Obrázek 2.10b) s nulovým přenosem (nekonečný útlum) na kmitočtu ωn.
Tyto vlastnosti má pásmová zádrž 2. řádu s přenosem
K 0 ( p 2 + ω p2 )
a 2 p 2 + a0
=
⇐ ωn = ω p.
K ( p) =
ωp
b2 p 2 + b1 p + b0
( 2.33 )
2
2
p +
p +ωp
Qp
s parametry danými vztahy ( 2.26 ).
Obrázek 2.10:
Pásmová zádrž 2. řádu.
b) modulová charakteristika.
Argumentové charakteristiky (Obrázek 2.11b) mají tvar pro f < fn odpovídající DP, pro
f > fn pak HP, s inflexním bodem v fn. Vzhledem k tomu je kmitočtová závislost skupinového
zpoždění opět stejná (Obrázek 2.5a). Také i u tohoto typu filtru má na průběh kmitočtových
charakteristik značný vliv hodnota činitele jakosti pólu, jak je patrno z Obrázek 2.11.
Poznamenejme, že nulové body, ležící na imaginární ose (Obrázek 2.10a) mají nekonečnou
kvalitu. V reálném obvodě tomu tak nemusí být a útlum pak nebude nekonečný. Dvě možné
realizace pásmové zádrže RLC 2. řádu jsou uvedeny na Obrázek 2.12.
Obrázek 2.11:
Vliv činitele jakosti na charakteristiky pásmové zádrže.
20
Obrázek 2.12:
Realizace pásmové zádrže RLC 2. řádu.
a) se sériovým rezonančním obvodem,
b) s paralelním rezonančním obvodem.
2.5.7 Modifikovaná dolní propust RLC 2. řádu
Posuneme-li nulové body na imaginární ose tak, že fn > fp (Obrázek 2.13a), získáme
modifikovanou dolní propust s nulovým přenosem na kmitočtu fn, místo v nekonečnu, jak je
tomu u klasické DP. Budeme ji také nazývat dolní propustí s nulovým bodem přenosu (DPN)
nebo DP s rejekcí na kmitočtu fn.
Realizace takovéhoto RLC filtru je na Obrázek 2.13b nebo na Obrázek 2.13c. Rejekce
signálu na určitém kmitočtu (fn) je zde realizována buď sériovým nebo paralelním
rezonančním obvodem, který signál buď zkratuje nebo nepropustí. Tento typ filtru spojuje
vlastnosti DP a PZ. Jeho přenos je obecně dán
a 2 p 2 + ω n2
K 0 ( p 2 + ω n2 )
ωn > ω p
=
K ( p) =
,
ωp
ωp
( 2.34 )
2
2
2
2
p +
p +ω p p +
p +ω p
Qp
Qp
Vztah mezi kmitočty fn, fp a počáteční přenos K0 je pro zapojení na Obrázek 2.13c určen
velikostí jednotlivých indukčností. To se dá postihnout přes v ( 2.34 ) zavedený parametr a2
následujícím způsobem
ω 2p
L1
2
,
∈ (0,1).
ωn =
K 0 = K ( ∞) = a 2 ,
a2 =
( 2.35 )
a2
L1 + L2
Poznamenejme, že obdobné vztahy platí pro zapojení na Obrázek 2.13b, v tomto případě
pro kapacitory.
Modulová charakteristika, v normovaném tvaru, pro různé parametry Q a a2, je na
Obrázek 2.14. Čím více bude vzdálen nulový bod (nerovnost fn > fp bude větší, parametr a2
menší), tím více se charakteristika bude blížit tvaru klasické DP z Obrázek 2.4.
Obrázek 2.13:
Modifikovaná dolní propust RLC 2. řádu.
b) zapojení se sériovým rezonančním obvodem,
c) zapojení s paralelním rezonančním obvodem.
Elektrické filtry
21
Obrázek 2.14:
Modulové charakteristiky modifikované dolní propusti.
a) pro konstantní parametr a2 = K(∞) = 0,1 = -20 dB a různé Q,
b) pro konstantní Q = 3 a různý parametr a2
2.5.8 Modifikovaná horní propust RLC 2. řádu
Duální k DPN je modifikovaná horní propust RLC 2. řádu (HPN). Má obecný přenos
p 2 + a 0ω n2
, ω n2 = a 0ω 2p , ω n < ω p , K (0) = a 0 < 1.
K ( p) =
ω
( 2.36 )
p
p2 +
p + ω 2p
Qp
Kmitočtové charakteristiky HPN mají zrcadlový průběh k DPN (Obrázek 2.14).
Realizace HPN získáme z DPN (Obrázek 2.13), záměnou L a C. Tyto modifikované propusti
2. řádu HPN a DPN jsou základem složitějších eliptických Cauerových filtrů, vyznačujících
se větší strmostí modulové charakteristiky při nižším řádu filtru, blíže viz kap. 4.3.3.
2.5.9
Všepropustný fázovací bikvad RLC
Všepropustný fázovací bikvad (fázovací článek) má nulové body umístěny v pravé
polorovině symetricky ku dvěma komplexně sdruženým pólům (Obrázek 2.15a)
p1, 2 = − σ p ± jω~ p
n1, 2 = σ p ± jω~ p
( 2.37 )
,
.
Jedná se tedy o obvod s neminimální fází. Jeho přenos lze vyjádřit v obecném tvaru
ωp
2
−
p
p + ω 2p
2
Qp
p − b p + b0
=
.
K ( p) = 2 1
( 2.38 )
ω
p + b1 p + b0
p
2
2
p +
p +ω p
Qp
Čitatel a jmenovatel jsou shodné až na znaménko u druhého členu polynomu. Modul
přenosu je konstantní a argument (fáze) se s kmitočtem mění monotónně (kap. 9.1).
Realizace takovéhoto fázovacího bikvadu LCR obvodem ve tvaru křížového (X) článku
je na Obrázek 2.15b. Jeho návrh můžeme provést z následujících rovnic
Rb
R
b
1
, L2 = 0 , C2 = 1 ,
L1 = 0 1 , C1 =
b0
R0b1
b1
R0b0
( 2.39 )
2
2
2
~
b = 2σ , b = ω = σ + ω .
1
p
0
p
p
p
22
Nevýhodou je značný počet součástek L a C. V kap. 9.1.4 se seznámíme s vhodnějším
aktivním obvodem RC s operačním zesilovačem.
Obrázek 2.15:
Všepropustný fázovací bikvad LCR.
a) rozložení pólů a nulových bodů, b) obvodová realizace křížovým článkem.
2.5.10 Porovnání kmitočtových charakteristik základních propustí
Na závěr této kapitoly jsou na Obrázek 2.16 porovnány modulové i argumentové
charakteristiky nejpoužívanějších základních propustí DP, PP a HP. Všimněte si hlavně
průběhu charakteristik argumentových. Všechny mají stejný tvar, jen jsou posunuty. Každý
tento obvod 2. řádu natočí maximálně fázi o 180o avšak v jiném rozsahu, např. PP: od + 90o
do - 90o. Kmitočtová závislost skupinového zpoždění bude tedy u všech propustí stejná, závisí
pouze na jmenovateli přenosu. Připomeňme, že ta to hlavně na hodnotě parametru Q.
Obrázek 2.16:
Porovnání kmitočtových charakteristik bikvadů.
a) modulových,
b) argumentových.
2.6 Kontrolní otázky ku kapitole 2
1. Pojednejte o účelu a dělení filtrů. Nakreslete modulové charakteristiky různých
propustí.
2. Odvoďte modulovou a argumentovou charakteristiku dolní propusti RC 1. řádu.
Nakreslete jejich typický průběh a uveďte důležité parametry.
3. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů dolní
propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry.
Elektrické filtry
23
4. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů horní
propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry.
5. Nakreslete schéma, modulovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů
napěťově buzené pásmové propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry.
proudově buzené pásmové propusti RLC 2.řádu. Uveďte její přenos a parametry.
pásmové zádrže 2.řádu se sériovým obvodem LC. Uveďte její přenos a parametry.
pásmové zádrže 2.řádu s paralelním obvodem LC. Uveďte její přenos a parametry.
modifikované (eliptické) dolní propusti 2.řádu s nulovým přenosem na určitém
kmitočtu. Uveďte její přenos a parametry.
modifikované (eliptické) horní propusti 2.řádu s nulovým přenosem na určitém
kmitočtu. Uveďte její přenos a parametry.
11. Jak je definován všepropustný fázovací bikvad? Nakreslete modulovou a
argumentovou charakteristiku, rozložení pólů a nulových bodů. Nakreslete schéma
jeho realizace křížovým LC obvodem.
3 Pasivní filtry RC
Cíle kapitoly: Stručnou formou seznámit studenty s účelem, principem, dělením a
vlastnostmi základních typů pasivních filtrů RC.
propusti RC 1. řádu.
propusti RC 1. řádu.
3.1 Účel a použití pasivních filtrů RC
Pasivní filtry RC samostatně vykazují jen slabě selektivní vlastnosti. Můžeme z nich
sestavit jen nekvalitní filtry a to všech dříve uvedených typů DP, PP, HP, PZ. Využijeme je
však jako vhodných stavebních podobvodů v aktivních filtrech ARC.
3.2 Pasívní filtry RC 1. řádu
V Tabulka 3.1 je uveden přehled základních pasivních dolních a horních propustí RC 1.
řádu s odvozeným přenosem napětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy
rozložení pólů a nulových bodů a asymptotickým vyjádřením modulových charakteristik.
Příklad 3.1:
Dolní propust DP-RC-1B
Odvoďte přenos napětí K(p) dolní propusti DP-RC-1B Tabulka 3.1.
Příklad 3.2:
Horní propust HP-RC-1A
Odvoďte přenos napětí K(p) horní propusti HP-RC-1A Tabulka 3.1.
24
Tabulka 3.1:
Přehled pasivních filtrů RC 1. řádu
Elektrické filtry
Tab. 3.1. pokračování (část 2)
25
26
3.3 Pasivní filtry RC 2. řádu
V Tabulka 3.2 je uveden přehled nejpoužívanějších pasivních filtrů RC 2. řádu
s odvozeným přenosem napětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení
pólů a nulových bodů a asymptotickým vyjádřením modulových charakteristik.
Tabulka 3.2:
Elektrické filtry
27
28
Příklad 3.3:
Pásmová propust PP-RC-2B
Odvoďte přenos napětí K(p) pásmové propusti PP-RC-2B Tabulka 3.2.
Příklad 3.4:
Porovnání různých pásmových propustí
Pomocí obvodového simulátoru PSpice porovnejte modulové charakteristiky tří různých
pásmových propustí PP-RC-2A, PP-RC-2B a PP-RC-2W Tabulka 3.2, při hodnotách
součástek: R1 = R2 = 1 kΩ , C1 = C2 = 1 nF.
Příklad 3.5:
Pásmová zádrž PP-RC-2W
Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí K(p) (v symbolickém tvaru) pásmové
zádrže PP-RC-2W Tabulka 3.2. Zobrazte její modulovou charakteristiku při hodnotách
součástek: R1 = R2 = 1 kΩ , C1 = C2 = 1 nF.
Příklad 3.6:
Přemostěný T-článek RC
Pomocí obvodového simulátoru PSpice a vhodně použité parametrické analýzy
prostudujte vliv parametru (a) u progresivního souměrného přemostěného T-článku
PZ-RC-PT-A Tabulka 3.2.
Příklad 3.7:
Dvojitý T-článek RC
Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí K(p) (v symbolickém tvaru) souměrného
dvojitého T-článku PZ-RC-DT Tabulka 3.2. Zobrazte její modulovou charakteristiku při
hodnotách součástek: R1 = R2 = 1 kΩ , R3 = 500 Ω, C1 = C2 = 1 nF, C3 = 2 nF.
Elektrické filtry
29
3.4 Pasívní filtry RC 3. řádu
V Tabulka 3.3 jsou uvedeny dolní a horní propust RC 3. řádu s odvozeným přenosem
napětí, s vhodně zavedenými časovými konstanty, s grafy rozložení pólů a nulových bodů a
asymptotickým vyjádřením modulových charakteristik.
Tabulka 3.3:
Příklad 3.8:
Přemostěný T-článek RC
Pomocí obvodového simulátoru PSpice zobrazte (pro porovnání vhodně v jednom grafu)
modulové charakteristiky jednoho, dvou a tří kaskádně zařazených shodných DP-RC článků,
při hodnotách součástek: R = 1 kΩ , C = 1 nF.
3.5 Kontrolní otázky a příklady ku kapitole 3
propusti RC 2.řádu. Uveďte obecný tvar jejího přenosu.
propusti RC 2.řádu. Uveďte obecný tvar jejího přenosu.
pásmové propusti RC 2.řádu. Uveďte obecný tvar jejího přenosu.
Wienovy pásmové propusti RC 2.řádu.
Wienovy pásmové zádrže RC 2.řádu.
souměrného přemostěného T-článku RC.
30
souměrného dvojitého T-článku RC.
4 Pasivní filtry LC(R) vyšších řádů
Cíle kapitoly: Seznámit studenty se zadáváním požadavků a specifikací filtrů vyšších
řádů. S používanými aproximacemi, s kmitočtovou transformací a normováním.
S pomůckami pro návrh, s katalogy a programy. Naučit studenty navrhnout filtry
pasivních příčkových struktur LC(R) a filtry s vázanými rezonančními obvody.
1. Jak vypadá obecná přenosová funkce filtru vyšších řádů z matematického pohledu?
2. Definujte charakteristickou funkci filtrace.
3. Vysvětlete princip kmitočtového normování.
4. Jak určíme řád obvodu s minimální fází?
4.1 Princip, účel a použití filtrů LC(R) vyšších řádů
Zvětšení strmosti přechodu modulové charakteristiky jsme si ukázali na dolní propusti 1.
a 2. řádu (kap.2.5.1). Záměnou kmitočtově závislého induktoru L za nezávislý rezistor R jsme
získali strmější filtr. Obecně platí, že strmost filtru je dána jeho řádem (n *20 dB/dek).
Důraznější oddělení propustného a nepropustného pásma dosáhneme u filtrů LC(R) vyšších
řádů, které můžeme získat jednoduše kaskádním nebo složitějším řazením již uvedených
obvodů 1. a 2. řádu nebo jiných podobvodů (článků) z Tabulka 4.1. Syntéza není
jednoduchá, protože podobvody se vzájemně ovlivňují. Nejčastěji se tyto filtry vyskytují ve
formě příčkové struktury, vhodně složené z článků LC (Tabulka 4.1) a zakončené stejnými
zatěžovacími rezistory, někdy však tato shodnost není možná nebo požadována.
Tabulka 4.1:
Základní typy podobvodů příčkových struktur filtrů LC(R).
Libovolně složitý filtr LC(R) má napěťový přenos v obecném tvaru racionálně lomené
funkce ( 2.10 ). Zvláštní skupinu tvoří jednodušší polynominální filtry (all-pole), které mají
všechny nulové body v nekonečnu a tedy polynom pouze ve jmenovateli ( 2.12 ), odpadá u
nich nastavení konečných hodnot nulových bodů, dosahují však menší strmost pásma
Elektrické filtry
31
přechodu. Často ve filtrech pracujeme s relativním přenosem ( 2.13 ) (vzhledem ku Ko),
ziskem vyjádřeným v dB ( 2.13 ), popřípadě útlumem ( 2.14 ), což je inverzní hodnota
přenosu.
Při návrhu filtrů vycházíme ze zadaného tolerančního schématu (pole). Pro zadané
toleranční pole vybereme určitou aproximující funkci, ta musí probíhat ve vymezeném
kanálu. Podle způsobu aproximace pak rozlišujeme různé typy filtrů uvedené v kap. 4.3.
Butterworthovy filtry (kap.4.3.1) se vyznačují maximálně plochou modulovou
charakteristikou v propustném pásmu. Toho se dosahuje na vrub malé strmosti přechodu mezi
pásmy a nelineární argumentové charakteristiky. V řadě praktických použití však tyto filtry
nacházejí široké uplatnění (patří mezi obvodově nejjednodušší). Větší strmost mají filtry
Čebyševovy (kap. 4.3.2), které jsou založeny na izoextremální aproximaci (zvlnění) v
propustném pásmu. Cauerovy filtry (kap. 4.3.3) umožňují dosáhnout při stejném řádu největší
strmost modulové charakteristiky, zvlnění je jak v propustném tak i nepropustném pásmu.
Tyto filtry se nehodí pro přenos impulsů, z důvodu značných překmitů přechodné
charakteristiky, také fázová charakteristika je velmi nelineární (skupinové zpoždění je značně
zvlněné). Opačné vlastnosti, tedy konstantní skupinové zpoždění, mají filtry Besselovy.
Při návrhu filtrů používáme kmitočtové a impedanční normování, jehož výsledkem jsou
normované hodnoty součástek (kap. 4.2 ). V katalozích jsou tabelizovány normované dolní
propusti (NDP) různého řádu a typu aproximací. Proto zadané toleranční schéma (pole)
požadovaného typu filtru (např. PP) transformujeme a normujeme na toleranční pole NDP. K
němu v katalogu vybereme obvodovou strukturu NDP. V dalším kroku pak přecházíme,
zpětnou kmitočtovou transformací a odnormováním, z NDP na požadovaný typ filtru (např.
PP), což podrobně probereme v kap. 4.4.
4.2 Normování a transformace
Jak jsme již uvedli v předchozí kap. 4.1, při návrhu pasivních filtrů RLC s výhodou
používáme kmitočtové a impedanční normování a transformace různých typů filtrů (DP, PP,
HP, PZ) na NDP. Zjednoduší se tím výrazně podklady pro návrh, např. katalogy filtrů.
Kmitočtové normování jsme zavedli v kap. 2.3 a je definované vztahy ( 2.8 ). Společné
kmitočtové a impedanční normování lze definovat následovně
ω L
R
, l= 0
, c = ω 0 CR0 .
r=
( 4.1 )
R0
R0
Zde Ro je normující odpor (např. zatěžovací Rz), ωo je normující (např. mezní) kmitočet.
Výsledkem jsou normované hodnoty součástek, označované malými písmeny.
V katalozích (např. [ 6] nebo Tabulka 4.6) jsou tabelizovány normované dolní propusti
(NDP) různého řádu a typu aproximací. Proto zadané toleranční shéma (pole) požadovaného
typu filtru (např. PP) transformujeme a normujeme dle Obrázek 4.1 na toleranční pole NDP
(blíže kap. 4.4.1). K němu navrhneme (kap. 4.4.4) obvodovou strukturu NDP. Kmitočtovou
transformací a odnormováním, stručně zachyceným v Tabulka 4.2, pak přecházíme z NDP na
požadovaný typ filtru, v našem případě na PP ( blíže kap. 4.4.5).
32
Obrázek 4.1:
Transformace tolerančních polí různých typů filtrů.
DP, PP, HP a PZ na toleranční pole NDP.
V případě zadání šířky pásma (∆ω) u geometricky souměrných PP nebo PZ lze vypočítat
dolní a horní kmitočet ωc resp. ωs dle následujícího vztahu
∆ω 2 ∆ω
( 4.2 )
) ±
ω1,2 = ω 02 + (
2
2
Poznamenejme, že jen u velmi úzkého pásma lze geometrickou souměrnost nahradit
jednodušší souměrností aritmetickou.
Příklad 4.1:
Transformace tolerančního schématu pásmové zádrže
Toleranční schéma pásmové zádrže:
fc1= 2 kHz, fc2= 6 kHz, Ac =1 dB,
fs1= 3 kHz, fs2= 4 kHz, As =40 dB,
transformujte na normovanou dolní propust. Nakreslete obě toleranční schémata.
Elektrické filtry
Tabulka 4.2:
33
Transformace a odnormování normované dolní propusti.
K získání zapojení požadovaného typu filtru (DP, PP, HP, PZ).
34
Příklad 4.2:
Transformace tolerančního schématu pásmové propusti
Toleranční schéma pásmové propusti:
ωs1= 100 rad/sec, ωs2= 700 rad/sec, As =30 dB,
ωc1= 300 rad/sec, ωc2= 600 rad/sec, Ac =3 dB,
Příklad 4.3:
Transformace tolerančního schématu pásmové propusti
Toleranční schéma pásmové propusti:
fm1=900 Hz, fm2= 1100 Hz, Km =- 3 dB,
fp1= 800 Hz, fp2= 1200 Hz, Kp =-40 dB,
4.3 Typy filtrů dle použité aproximace
Pro zadané toleranční pole resp. útlumový plán (Obrázek 4.1) vybíráme určitou
aproximující funkci. V kap. 4.1 jsme stručně uvedli ty nejpoužívanější. Teď si je podrobně
rozebereme. Poznamenejme, že podle zvolené aproximace pak rozlišujeme a nazýváme i
různé typy filtrů. Na Obrázek 4.2 jsou uvedeny typické průběhy kmitočtových charakteristik
základních typů filtrů. Typické charakteristické rysy by jste si měli důkladně zapamatovat!
c)
Obrázek 4.2:
d)
e)
Kmitočtové charakteristiky základních typů filtrů
a) Butterworthův filtr, b) Čebyševův filtr, c) inverzní Čebyševův filtr, d) Cauerův filtr,
e) Besselův filtr a jeho srovnání s Butterworthovým.
4.3.1
Butterworthova aproximace
Charakteristickou funkci filtrace ( 2.15 ) lze vyjádřit ve tvaru polynomu
F (Ω 2 ) = β 0 + β 1Ω 2 +... β n Ω 2 n .
( 4.3 )
U Butterworthových (polynominálních) filtrů je tato funkce nahrazena jednodušším
vztahem (mocninová aproximace)
F (Ω 2 ) = 1 + ε 2 Ω 2 n
( 4.4 )
kde ε je parametr odpovídající šířce kanálu v propustném pásmu ((Obrázek 4.3a)
Elektrické filtry
Obrázek 4.3:
35
Butterworthův filtr.
a) Parametry útlumové charakteristiky, b) rozložení pólů (nulové body jsou v nekonečnu),
c) modulové charakteristiky různých řádů, d) přechodné charakteristiky pro různý řád,
d) charakteristiky skupinového zpoždění pro různý řád.
ε = 10 0,1 Amax − 1 .
Běžně pro
Amax = A( f c ) = 3,01 dB
ε = 1.
Přenosová funkce filtru má pak pro různý řád následující jmenovatele
D1 ( s) = 1 + s
D2 ( s) = 1 + 2 + s 2
(
D3 ( s) = 1 + 2 s + 2 s + s = (1 + s) 1 + s + s
2
3
2
)
Další koeficienty jsou až do 10-tého řádu uvedeny v Tabulka 4.3
Modulová charakteristika
K0
K ( Ω) =
1 + ε 2 Ω 2n
je v propustném pásmu maxiálně plochá (Obrázek 4.3)a, c.
( 4.5 )
( 4.6 )
( 4.7 )
( 4.8 )
36
4.3.2
Čebyševova aproximace
Čebyševova aproximace je izoextremální aproximace, kdy funkce filtrace ( 2.15 ) je
vyjádřena vztahem
F (Ω 2 ) = 1 + ε 2 Tn2 (Ω) ,
( 4.9 )
kde parametr ε (dovoleného zvlnění v propustném pásmu) je dán vztahem ( 4.5 ).
Čebyševovy polynomy jsou obecně definovány následovně
Tn (Ω) = cos(nar cos Ω),
Ω ≤ 1,
( 4.10 )
Tn (Ω) = cosh(n ar cosh Ω) ,
Ω >1 .
( 4.11 )
Absolutní hodnota polynomu Tn (Ω) pro Ω ≤ 1 kmitá mezi nulou a jedničkou ( 4.10 ).
Aproximace se proto nazývá izoextremální. Pro Ω > 1 hodnota monotónně narůstá ( 4.11 ).
→Ω
Obrázek 4.4:
Čebyševův filtr.
a) Parametry útlumové charakteristiky, b) rozložení pólů (nulové body jsou v nekonečnu),
c) modulové charakteristiky sudých řádů, s dovoleným zvlněním v propustném pásmu 3 dB,
d) jejich detail v propustném pásmu.
Modulová kmitočtová charakteristika (Obrázek 4.4) je dána vztahem
αK 0
K (Ω) =
,
1 + ε 2 Tn2 (Ω)
( 4.12 )
Elektrické filtry
37
kde
α = 1 , n − liché α = 1 + ε 2 , n − sudé
Přesné hodnoty normovaných koeficientů Bi jmenovatele přenosové funkce ( 2.11 ) jsou
opět uvedeny v Tabulka 4.3.
4.3.3
Cauerova aproximace
Cauerova aproximace je charakteristická zvlněním v propustném i nepropustném pásmu
(obr. 4.6a), nulovým přenosem (nulovými body) na konkrétním kmitočtu (Obrázek 4.5b).
Funkce filtrace ( 2.15 ) je aproximována vztahem
F (Ω 2 ) = 1 + ε 2 Rn2 (Ω) ,
( 4.13 )
Parametr dovoleného zvlnění ε je dán opět vztahem ( 4.5 ). Racionálně lomená funkce
Rn(Ω) je dána Jacobiho eliptickým dvojrozměrným sinem sn2 modulu d ( 4.15 ) a argumentu
u, který je určen eliptickými integrály K(d),K(k) ( 4.14 ), což je podrobněji rozebráno v [ 11].
K (d )
Rn (Ω) = sn 2 (nu d ) .
u=
F (arsinΩ d )
( 4.14 )
K(k )
Útlumový činitel (diskriminační faktor)
0 ,1 A
10 S − 1
d = 0,1 A
( 4.15 )
10 C − 1 .
Činitel selektivity (k) je dán vztahem ( 4.20 ). Modifikovaný činitel selektivity, jako
doplňkový faktor, je pak
( 4.16 )
k d = 4 1 − k −2
Modulární činitel (zavedený v teorii eliptických integrálů)
q = q 0 + 2q 05 + 15q 09 + 150q 013
kde
q0 =
1 1 − kd
2 1 + kd .
Obrázek 4.5:
Cauerův filtr.
a) Útlumová charakteristika,
4.3.4
( 4.17 )
b) rozložení pólů a nulových bodů
Besselova aproximace
Besselovy (Thomsonovy) filtry mají příznivější průběh přechodové charakteristiky,
konstantní skupinové zpoždění a lineární průběh fázové charakteristiky, v širokém
kmitočtovém pásmu, jak ještě ukážeme v kap. 4.3.6. Navržen je tak, aby skupinové zpoždění
bylo konstantní τ (Ω) = konst . pro Ω ≤ 1 .
38
Normované skupinové zpoždění (vzhledem k meznímu kmitočtu )
ω
τ ( Ω)
= f m τ ( Ω) = m τ ( Ω) .
τ N ( Ω) =
( 4.18 )
2π
Tm
V přenosu tohoto polynominálného filtru ( 2.12 ) jsou koeficienty Bi dány Besselovými
polynomy [ 11]
(2 N − i ) .
Bi = N −1
( 4.19 )
2 i !( N − 1)!
Jejich normované hodnoty (do n = 10) jsou opět uvedeny v Tabulka 4.3
Obrázek 4.6:
Besselův filtr.
a) modulové charakteristiky, b) přechodné charakteristiky, c) charakteristiky skupinového
zpoždění.
4.3.5
Další aproximace
Inverzní Čebyševova aproximace má plochou modulovou charakteristiku (Obrázek 4.7a)
v propustném pásmu a zvlněnou v pásmu tlumení, s výraznými rejekcemi (nulovými body).
Má lepší fázové vlastnosti a přechodnou charakteristiku (Obrázek 4.7b) téměř stejné jako u
odpovídající Butterworthovy aproximace a to za cenu větší složitosti filtru. Můžeme ji
navrhnout (inverzně) s využitím vztahů pro klasickou Čebyševovu aproximaci.
Tranzitivní Besselova-Butterworthova aproximace je kompromisem mezi lepšími
vlastnostmi Besselovy a větším útlumem v nepropustném pásmu Butterworthovy aproximace.
Míru kompromisu volíme hodnotou tranzitivního parametru. Lepších útlumových vlastností
dosáhneme i při lineární fázové charakteristice u tranzitivních aproximací s nulami přenosu,
např. s aproximací Feistelovou - Unbehauenovou.
Elektrické filtry
Obrázek 4.7:
39
Inverzní Čebyševova aproximace různého řádu
a) Modulové charakteristiky,
4.3.6
b) přechodné charakteristiky
Srovnání různých aproximací
Na závěr této kapitoly provedeme na dvou příkladech srovnání zavedených aproximací.
Na Obrázek 4.8 jsou uvedeny útlumové charakteristiky horních propustí různého řádu a typu
aproximace. Z něj je patrné, že Cauerův filtr 3. řádu dosahuje přibližně stejné strmosti jako
Čebyševův filtr 4. řádu a Butterworthův filtr 7. řádu.
Obrázek 4.8:
Charakteristiky HP různého řádu a typu aproximace.
Porovnání charakteristik různých typů polynominálních filtrů 4. řádu je na Obrázek 4.9.
Nejstmější je zde Čebyševův filtr. Strmější by byl Cauerův filtr (není však polynominální), u
něhož modulová charakteristika neklesá monotoně (zvlnění v nepropustném pásmu). Z
průběhu skupinového zpoždění (Obrázek 4.9d) je zřejmá výhoda Besselových filtrů. Ze
srovnání přechodových charakteristik (Obrázek 4.9b) je zřejmé, že tyto filtry jsou vhodné k
přenosu impulsů.
40
Tabulka 4.3:
Koeficienty jmenovatele normované přenosové funkce filtrů
( 2.11 ), pro různý řád (do n = 10) a při různých druzích aproximace.
Elektrické filtry
Tabulka 4.4:
41
Rozklad jmenovatele normované přenosové funkce filtrů
vhodný pro kaskádní syntézu, pro různý řád (do n = 10) a při různých druzích aproximace.
42
Obrázek 4.9:
Srovnání charakteristik filtrů 4. řádu různých typů
a) modulové charakteristiky,
c) charakteristiky skupinového zpoždění,
b) argumentové charakteristiky
d) přechodné charakteristiky
4.4 Návrh příčkových článků LC(R)
4.4.1 Zadání požadavků na filtr
Různě formulované požadavky zákazníka na filtr nutno upřesnit na přesně definované
toleranční pole modulové charakteristiky filtru Obrázek 4.1. V něm musí být specifikováno:
a) propustné pásmo
b) nepropustné pásmo
c) přechodné pásmo
- přípustné zvlnění přenosu ∆K, - minimální zaručený útlum As, - strmost charakteristiky,
- kmitočty fc a fs,
- požadované potlačení,
- dovolený max. útlum AC,
- činitel selektivity k.
- max. dovolený přenos KS,.
- nejmenší přenos KC,
- míra dovoleného zvlnění ε.
Elektrické filtry
43
Jen zřídka je zadán požadovaný skutečný průběh modulové charakteristiky, k němuž se
má filtr s dovolenou chybou přiblížit. V některých případech jsou zadány i požadavky na fázi
resp. skupinové zpoždění. Z takto zadaných požadavků volíme nejprve vhodnou aproximaci a
typ filtru (kap. 4.3).
Zadané toleranční pole požadovaného typu filtru (např. PZ) transformujeme a normujeme
dle Obrázek 4.1 na toleranční pole normované dolní propusti (NDP), čímž se návrh sjednotí a
zjednoduší.
4.4.2 Určení řádu NDP
Hlavní pomocnou veličinou, kterou nejprve určíme, je činitel selektivity
ω
ω
F
Pro NDP: k = s = Ω S , k > 1 , pro DP: k = s pro HP: k = c .
( 4.20 )
Fc
ωc
ωs
Podle zvoleného typu filtru (kap. 4.3) určíme některou z dalších pomocných veličin:
- útlumový činitel d ( 4.15 ),
- doplňkový činitel selektivity kd ( 4.16 ),
- modulární činitel q ( 4.17 ).
Z těchto pomocných veličin určíme pro zvolený typ filtru řád NDP. A to nejlépe dle
následujících vztahů. Pro Butterworthův filtr
log d
n≥
( 4.21 )
2 log k .
Pro Čebyševův filtr
arccos h d
n≥
arccos h k .
Pro Cauerův filtr
log 16d
n≥
log q −1
( ).
( 4.22 )
( 4.23 )
Jednodušší je použít nomogramy na Obrázek 4.10. Jejich použití je zřejmé z návodu na
Obrázek 4.10 d.
Řád NDP můžeme také určit z průběhu modulových charakteristik uvedených v kap.4.3.
V případě Besselova filtru, pro který neznáme potřebný vzorec, je to jediný způsob (Obrázek
4.6). Řád filtru nám určí i návrhové programy, jako je např. NAF.
Příklad 4.4:
Transformace PP na NDP
Maximálně plochá pásmová propust je dána toleranční polem:
fm1=900 Hz, fm2= 1100 Hz, Km =- 3 dB,
fp1= 800 Hz, fp2= 1200 Hz, Kp =-40 dB,
transformujte ji na normovanou dolní propust a určete řád filtru.
44
Obrázek 4.10:
Nomogramy k určení řádu NDP
a) pro Butterworthovy filtry,
c) pro Cauerovy filtry,
4.4.3
b) pro Čebyševovy filtry,
d) návod použití nomogramů.
Přepočet na parametry používané v katalogu
Pro některé katalogy je nutno vypočítat další, tam používané, parametry. Pro Saalův
katalog [ 6] je to činitel odrazu
ρ=
1 − 10 −0,1 Amax
,
a modulární úhel
180°
arcsin k −1 .
Θ=
π
Tyto vztahy jsou graficky zpracovány na Obrázek 4.11.
( 4.24 )
( 4.25 )
Elektrické filtry
Obrázek 4.11:
45
Grafy k přepočtu parametrů.
a) činitele odrazu,
b) modulárního úhlu.
4.4.4 Výběr zapojení a určení hodnot NDP
Z určeného řádu NDP (kap. 4.4.2) a dalších pomocných veličin (kap. 4.4.3) vybíráme pro
zvolenou aproximaci v katalogu zapojení a určujeme hodnoty součástek (r, l, c) normované
dolní propusti. Velmi kvalitní a obsáhlý je Saalův katalog [ 6]. Jeho uspořádání je patrno z
Tabulka 4.5. V běžné praxi však vystačíme s jednoduchým katalogem pro návrh příčkových
filtrů RLC, uvedeným v Tabulka 4.6. V případě, že vypočtený řád NDP v jednoduchém
katalogu pro zvolenou aproximaci není, volíme pochopitelně nejbližší řád vyšší, čímž
zaručíme, že filtr požadavky zákazníka určitě splní.
4.4.5
Odnormování a kmitočtová transformace NDP na požadovaný typ filtru
V posledním kroku návrhu filtru provedeme odnormování a kmitočtovou transformaci
NDP (nalezené v kap. 4.4.4 ) na požadovaný typ filtru (např. PP). Použijeme k tomu Obrázek
4.1 a Tabulka 4.2. Je zřejmé, že přechodem NDP na PP se změní úplně zapojení filtru, tak
jak nám to určí Tabulka 4.2. Postup návrhu si blíže osvětlíme na následujících příkladech.
Příklad 4.5:
Návrh Butterworthovy dolní propusti.
Navrhněte maximálně plochou Butterworthovu dolní propust, zatíženou R1=R2=600 Ω,
šířka kanálu v propustném pásmu je Amax =1,25 dB, propustné pásmo je 0 až 10 kHz, na
kmitočtu fs = 40 kHz požadujeme minimálně Amin =30 dB.
Příklad 4.6:
Návrh Cauerovy dolní propusti
Navrhněte Cauerovu eliptickou dolní propust, zatíženou R1=R2=1 kΩ, s mezním
kmitočtem fm = 1 kHz, dovolené zvlnění v propustném pásmu je ∆A =1,25 dB, v
nepropustném pásmu na kmitočtu fs = 2 kHz požadujeme minimální útlum Amin =35 dB.
K návrhu použijte a) Saalův katalog [ 6], b) jednoduchý katalog z Tabulka 4.6.
Příklad 4.7:
Modifikace Cauerovy dolní propusti.
Vypočítejte hodnoty součástek v Příklad 4.6 pro R1=R2=100 kΩ. Výsledeky porovnejte
z hlediska realizovatelnosti filtru.
Příklad 4.8:
Parametry Cauerovy dolní propusti.
V Příklad 4.6 určete a) přenos napětí K0 pro f→ 0, b) kmitočet nulového bodu, kdy filtr
má minimální přenos.
46
Příklad 4.9:
Návrh Cauerovy horní propusti.
Navrhněte horní propust s Cauerovou aproximací, zatíženou rezistory R1=R2=75 Ω,
s mezním kmitočtem fm = 174 MHz, v propustném pásmu je dovoleno zvlnění ∆K=- 1
dB, v nepropustném pásmu na kmitočtu fs = 122 MHz je dovolen max. přenos pouze
Kmax = -35 dB. K návrhu použijte Saalův katalog [ 6].
Tabulka 4.5:
Příklad uspořádání katalogu příčkových filtrů RLC [ 6 ]
Elektrické filtry
Tabulka 4.6:
47
Jednoduchý katalog pro návrh příčkových filtrů RLC.
48
Tabulka 4.6 Jednoduchý katalog pro návrh příčkových filtrů RLC – pokračování - část 2
Elektrické filtry
49
50
Elektrické filtry
51
52
Elektrické filtry
53
54
Příklad 4.10: Návrh Cauerovy pásmové propusti.
Navrhněte eliptickou Cauerovu pásmovou propust, se zatěžovacími rezistory R1=R2=800 Ω,
se středním kmitočtem fo = 1,4 kHz, se šířkou pásma B-1dB = 160 Hz, v propustném pásmu je
dovoleno zvlnění ∆K=- 1 dB, v nepropustném pásmu na kmitočtu fs1 = 1,1 kHz požadujeme
přenos (útlum) Ks1 = -50 dB.
Příklad 4.11:
Počítačová kontrolní analýza.
Pomocí obvodového simulátoru PSpice proveďte kontrolní analýzu navržených filtrů
v a) Příklad 4.6, b) Příklad 4.9, c) Příklad 4.10.
4.5 Reálný příčkový filtr LC(R)
4.5.1
Vliv ztrát v reálném filtru
Vliv ztrát cívek a kondenzátorů se dá postihnout velikostí činitelů jakosti (resp.
ztrátového úhlu kondenzátoru). Je zřejmé, že určující budou ztráty v cívkách.
1
ω L
QC−1 =tgδ =
QL = o ,
QC >> QL.
( 4.26 )
Rs
ω oCRP
Tímto jevem je bohužel nejvíce ovlivněno přechodné pásmo modulové a argumentové
charakteristiky reálného filtru. Daleko náročnější jsou PP a PZ.
Modelování ztrát na počítači je možné přidáním ztrátových odporů Rs resp. Rp. Vhodné
simulace umožňuje návrhový program NAF. Jev se dá dobře studovat i pomocí obvodového
simulátoru PSpice, kde ztrátové odpory zadáme vzorcem ( 4.26 ) a parametrickou analýzou
měníme přímo Q. Kontrolujeme zda se vejdeme do zadaného tolerančního pole. Opatřením
jsou kvalitní cívky - vf lanka (postříbřená) a dokonalá jádra. Popřípadě zkusíme zvýšit řád
filtru nebo místo příčkové struktury použijeme vázané obvody.
Příklad 4.12:
Určení hodnoty Q cívek v dolní propusti
Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete potřebnou
hodnotu kvality cívek, ve filtru navrženém v Příklad 4.6 tak, aby zadané toleranční
pole bylo dodrženo.
Příklad 4.13:
Určení hodnoty Q cívek v pásmové propusti
Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete potřebnou
hodnotu kvality cívek, ve filtru navrženém v Příklad 4.10 tak, aby zadané toleranční
pole bylo dodrženo.
4.5.2
Vliv tolerance hodnot použitých součástek
Vliv jednotlivých prvků filtru na přenosovou funkci lze posoudit citlivostní analýzou
[ 1].Každá obvodová funkce F(p,x) závisí obecně nejen na komplexním kmitočtu p (resp.
kmitočtu ω), ale i na parametrech (x) všech obvodových prvků. Velká změna modulu či
argumentu, která je u selektivních obvodů, je tedy vždy doprovázena velkou citlivostí na
změny obvodových prvků, přičemž v oblastech, kde se kmitočtové charakteristiky mění
rychleji, problémy s vysokými citlivostmi narůstají. Tak je tomu při vyšším řádu filtru,
vyšším činiteli jakosti Q, u PP a PZ a zvláště pak v oblasti přechodu mezi propustným a
nepropustným kmitočtovým pásmem.
Nejčastěji pracujeme s jednoparametrovou relativní citlivostí definovanou vztahem [ 1]
Sr ( F , x ) ≡ S xF =
∂ F F ∂ ln F
x
=
= Sa ( F , x )
∂x x
∂ ln x F
( 4.27 )
Elektrické filtry
55
Pak relativní změna obvodové funkce je dána
∆F
x ∂ F  ∆ x
 ∆ x
=&

 = Sr ( F , x ) 



 x 
F
F ∂x x
( 4.28 )
U jednoduchých obvodů můžeme srovnávat citlivosti v symbolickém tvaru, což nabízí
program SNAP. Pokud není výraz příliš složitý můžeme z něj usoudit o vlivu jednotlivých
součástek.
Tak jako každá obvodová funkce, tak i její relativní citlivost je obecně komplexní funkcí
kmitočtu a lze sestrojit odpovídající grafy udávající, v které kmitočtové oblasti je modul
(nebo i argument) citlivosti největší. To vše dovoluje opět program SNAP. Čistě numerickou
citlivostní a hlavně pak toleranční analýzu nabízí program PSpice.
Toleranční analýza - počítačové experimenty, zda charakteristika nevybočí ze zadaného
pole. Budeme provádět dva druhy počítačových experimentů:
a) zjištění přímého vlivu tolerance hodnot jednotlivých součástek individuálně, vyplyne z
toho na které součástce si výroba musí dát nejvíc záležet a zda je výroba filtru vůbec
reálná,
b) současná změna všech součástek, pro různé ∆L, ∆C, ∆R (dané výrobou), se náhodně
mění, použijeme metodu Monte Carlo resp. Worst case v PSpice, význam to má pro
sériovou výrobu, pro dodržení požadovaného tolerančního pole.
Největší citlivosti vykazují prvky podílející se na tvorbě nulových bodů (u Cauerových
filtrů). Citlivosti narůstají s řádem filtru, s činitelem kvality a větší selektivitou (užší pásmo).
Vedle citlivostí přenosových funkcí pracujeme i s citlivostmi parametrů filtrů, jako např.
citlivost mezního kmitočtu, citlivost činitele jakosti apod. Pro srovnání různých zapojení filtrů
používáme také víceparametrové citlivosti [ 1]
MSr ( F , x ) =
n
∑
Sr ( F , xi )
i =1
WSr ( F , x ) =
n
∑
Sr ( F , xi )
( 4.29 )
i =1
Blíže o citlivostech viz. Teorie obvodů [ 1].
Příklad 4.14:
Symbolická citlivostní analýza filtru.
Pomocí programu SNAP proveďte symbolickou citlivostní analýzu filtru navrženého v
Příklad 4.6. Prostudujte i kmitočtovou závislost jednotlivých relativních citlivostí.
Příklad 4.15:
Toleranční analýza dolní propusti.
Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete dovolenou
hodnotu tolerancí součástek, ve filtru navrženém v Příklad 4.6 tak, aby zadané
toleranční pole bylo dodrženo.
Příklad 4.16:
Toleranční analýza pásmové propusti.
Počítačovými experimenty, pomocí obvodového simulátoru PSpice, určete dovolenou
hodnotu tolerancí součástek, ve filtru navrženém v Příklad 4.10 tak, aby zadané
toleranční pole bylo dodrženo.
4.6 Pásmové propusti s vázanými strukturami LC(R)
Pro velmi selektivní (úzkopásmové) filtry (PP a PZ) jsou příčkové struktury méně
vhodné. A to pro velký rozptyl, popřípadě extremní hodnoty některých součástek. Nebo je
požadován velmi vysoký činitel kvality. Obojí způsobuje, že filtr je prakticky
nerealizovatelný. V tom případě s výhodou použijeme struktury LC(R) s vázanými
rezonanční obvody.
56
Základními stavebními bloky zde jsou paralelní rezonanční obvody Obrázek 4.12.
Ty mohou být vázány:
- vazebními kapacitory Cv,
jsou nejčastěji používané, proto omezíme na ně náš návrh,
- vazebními induktory Lv,
používané jen zřídka, technologicky je to méně vhodné,
- induktivní vazba M,
výrobně náročnější, použití v mf zesilovačích.
Rezonanční obvody mohou být:
- shodně laděné,
- různě - rozloženě laděné.
Kapacitně vázané rezonanční obvody jsou na Obrázek 4.12. Princip je zřejmý z
Obrázek 4.12b. Dvě impedance (Z1, Z2) 2. řádu (LC) jsou vázány vazebním kapacitorem Cv,
což v podstatě tvoří horní propust s velkým Q. Ta se zde využívá jako nesymetrická pásmová
propust Obrázek 4.12a.
Obrázek 4.12:
Kapacitně vázané rezonanční obvody
a) modulová charakteristika, b) dvě impedance vázané kapacitorem (Cv),
c) zapojení filtru 6. řádu
Návrh:
Zapojení prototypu polynominální normované dolní propusti podle kap.4.4.
Transformace na kapacitně vázanou strukturu provedeme tak, že v NDP všechny
součástky li, ci uvažujeme jako významově shodné koeficienty ai.
Podle následujících vztahů ( 4.30 ) vypočteme hodnoty součástek vázané struktury
(Obrázek 4.12c.):
1
∆fR
1
(
Cv =
− mCv
Li =
Ci =
2
2 2
4.30 )
2π f o R
2π f o ai
4π f o Li
kde m = 1 pro krajní a m = 2 pro vnitřní rezonanční obvody.
Je-li potřeba, provedeme impedanční přizpůsobení, připojením zátěže R na
odbočku, rozdělením posledního Ci na dva kapacitory.
Elektrické filtry
57
Příklad 4.17:
Návrh filtru s vázanými rezonančními obvody
Navrhněte pásmovou propust pro FM mf zesilovač, s vázanými rezonančními obvody,
se zatěžovacími rezistory R1= R2= 300 Ω, se středním kmitočtem fo = 10,7 MHz, se
šířkami pásma: B-3dB = 200 kHz a B-40dB = 200 kHz.
1. Pojednejte o pasivních filtrech RLC vyšších řádů, používané struktury zapojení, jejich
vlastnosti a využití.
2. Popište kmitočtové a impedanční normování používané při návrhu filtrů, uveďte
příklady použití.
3. Pojednejte o účelu a způsobu transformace různých propustí a zádrží na normovanou
dolní propust, uveďte příklady použití.
4. Nakreslete základní typy příčkových článků používaných v příčkových strukturách
filtrů RLC.
5. Pojednejte o typech filtrů podle použité aproximace. Proveďte jejich srovnání v
kmitočtové i v časové oblasti Pro uvedené typy nakreslete typické průběhy
kmitočtových charakteristik.
6. Pojednejte o Butterworthově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti.
7. Pojednejte o Čebyševově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti.
8. Pojednejte o Cauerově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti.
9. Pojednejte o Besselově aproximaci, uveďte princip a vlastnosti.
10. Nakreslete příklad Cauerovy (eliptické) dolní propusti RLC 3. řádu. Porovnejte
zapojení a vlastnosti se stejným filtrem Butterworthovým.
11. Popište způsob zadávání požadavků na filtr, přepočet na katalogové hodnoty.
12. Popište způsob určování řádu filtru při různých aproximacích.
13. Popište princip práce s katalogem filtrů.
5 Aktivní prvky a funkční bloky ve filtrech
Cíle kapitoly: Zopakovat aktivní prvky a funkční bloky, probrané v předmětu
Analogové elektronické obvody [ 1 ]. Zvláště se zaměřit na nejvíce používaný operační
zesilovač. Tyto znalosti rozšířit o moderní funkční bloky, používané v současných
filtrech.
V tomto případě půjde o náročnější a podrobnější zopakování znalostí z [ 1 ]. Veškeré
následující informace využijeme dalších kapitolách a budou součástí zkoušky z tohoto
předmětu. Než přistoupíte ke studiu další kapitoly měli by jste umět zodpovědět následující
otázky:
1. Vyjmenujte aktivní prvky a funkční bloky používané v moderních analogových
obvodech, se kterými jste se doposud seznámil.
2. Které řízené zdroje znáte?
3. Definujte zdroj napětí řízený napětím, uveďte jeho značku a model.
4. Definujte zdroj napětí řízený proudem, uveďte jeho značku a model.
5. Definujte zdroj proudu řízený napětím, uveďte jeho značku a model.
6. Definujte zdroj proudu řízený proudem, uveďte jeho uveďte a model.
7. Definujte imitanční invertor, uveďte jeho značku, druhy a kaskádní matici.
8. Definujte imitanční konvertor, uveďte jeho značku, druhy a kaskádní matici.
58
9. Definujte gyrátor, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti. Ukažte jeho
typické použití.
10. Definujte ideální zesilovač napětí, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti.
11. Definujte ideální diferenční zesilovač napětí, uveďte jeho značku, parametry, popis a
vlastnosti.
12. Definujte ideální sumační zesilovač napětí, uveďte jeho značku, parametry, popis a
vlastnosti.
13. Definujte ideální zesilovač proudu, uveďte jeho značku, parametry, popis a vlastnosti.
14. Definujte ideální operační zesilovač typu DISO, uveďte jeho značku, parametry, popis
a vlastnosti.
15. Nakreslete způsob stejnosměrného napájení a zemnění standardního operačního
zesilovače (DISO).
16. Nakreslete schéma a odvoďte zesílení neinvertujícího zesilovače s OA-DISO.
17. Nakreslete schéma a odvoďte zesílení invertujícího zesilovače s OA-DISO.
18. Definujte ideální operační zesilovač typu SIDO, uveďte jeho značku, parametry, popis
a vlastnosti. Ukažte jeho základní aplikaci – invertující proudový zesilovač a sledovač.
19. Definujte ideální operační zesilovač typu DIDO, uveďte jeho značku, parametry, popis
a vlastnosti. Ukažte jeho základní aplikaci – převodník U→I.
20. Pojednejte o současných moderních operačních zesilovačích.
21. Nakreslete a popište blokové schéma klasického (napěťového) operačního zesilovače.
22. Uveďte základní vlastnosti reálného klasického (napěťového) operačního zesilovače.
23. Nakreslete a popište kmitočtovou modulovou charakteristiku klasického (napěťového)
operačního zesilovače, standardního a nestandardního průběhu. Jak a proč se provádí
její korekce?
24. Nakreslete a popište pracovní (převodní) charakteristiku klasického (napěťového)
operačního zesilovače, definujte napěťový offset a drift, možnost a způsoby
kompenzace.
25. Pojednejte o klidových a zbytkových vstupních proudech reálného operačního
zesilovače a způsobech kompenzace.
26. Popište způsob vyšetřování stability obvodu s reálným operačním zesilovačem.
27. Co jsou to proudové konvejory, uveďte jejich vlastnosti, dělení a základní rozlišovací
znaky.
28. Definujte klasický tříbranový proudový konvejor, uveďte jeho značku, popis a
vlastnosti.
Pokud jste nedokázali zodpovědět na tyto otázky, zopakujte si kapitolu 5.4 ve skriptech
Analogové elektronické obvody [ 1].
5.1 Aktivní prvky filtrů - zesilovače
5.1.1
Operační zesilovače
Operační zesilovače (OA) jsou nejpoužívanějšími prvky v aktivních filtrech. Standardní
napěťové OA se však dají použít jen v pásmu nižších kmitočtů. Na vyšších kmitočtech
musíme použít rychlé OZ specielních struktur a jiné funkční bloky, o nichž se zmíníme
v dalších kapitolách.
Podrobnosti v požadovaném rozsahu o reálném napěťovém operačním zesilovači najdete
v kapitole 5.4 ve skriptech Analogové elektronické obvody [ 1].
Elektrické filtry
5.1.2
59
Zesilovače napětí a proudu
Ideální zesilovač napětí (IZN) s konečnou hodnotou zesílení A je v podstatě řízený zdroj
VCVS [ 1].Ve filtrech využíváme jak neinvertující (+A), tak i invertující(-A) typu SISO,
popřípadě DISO, což je diferenční IZN, kdy výstupní napětí je dáno zesílením rozdílu dvou
vstupních napětí. Tyto IZN často realizujeme pomocí OA.
V novějších filtrech se setkáme i s typem DIDO (diferenční je i výstup) a MIDO (s více
vstupy), který umožňuje realizovat IZN se sumací více napětí. Duální je ideální zesilovač
proudu (IZP), který se používá v moderních filtrech v proudovém módu [ 19]. V podstatě jde
o řízený zdroj CCCS [ 1] typu SISO, SIDO nebo i SIMO, v jehož vnitřní struktuře používáme
i několik proudových zrcadel [ 1],[ 19].
Podrobnosti v požadovaném rozsahu o těchto základních funkčních blocích najdete v
kapitole 5.4 ve skriptech Analogové elektronické obvody [ 1].
5.1.3 Transadmitanční zesilovače
Transadmitanční (TYOA) nebo transkonduktivní operační zesilovače jsou v podstatě
zdroje proudu řízené diferenčním napětím (VCCS-DISO), popsané vztahem
iout = YT (u 2 − u1 ) ,
( 5.1 )
s parametrem YT, představujícím přenosovou admitanci, popřípadě v jistém pásmu pouze
kmitočtově nezávislou vodivost GT. Průmyslově vyráběné TYOA v integrované podobě mají
možnost měnit v určitém širokém rozsahu hodnotu GT pomocným řídícím ss proudem (IQADJ
na Obrázek 5.2). To pak dovoluje elektronicky nastavovat parametry nebo přelaďovat
navrhované filtry ARC.
Obrázek 5.1:
Blokové schéma transkonduktivního operační zesilovače
Jedním z prvních integrovaných TYOA je RCA 3140. Z obvodového hlediska se tento
IO skládá (Obrázek 5.1) ze dvou podobvodů, s možností i odděleného použití. A to ze zdroje
proudu řízeného napětím (VCCS-DISO) a napěťového zesilovače resp. sledovače (VCVSSISO), při čemž oba pracují v značně širokém kmitočtovém rozsahu. Proto se také v některé
literatuře [ 9 ] RCA 3080 a RCA 3140 označují jako IO se sdruženými zdroji.
Příkladem moderních TYOA jsou LM 13700 (Obrázek 5.2a) a OP 660 (Obrázek
5.2b), který se komerčně nazývá „diamantový“ (myslí se ideální) tranzistor. Jedná se o
integrované obvody, všestranně použitelné v oblasti video. Dají se však vhodně použít i ke
konstrukci vf ARC filtrů, netradičních struktur, z nichž některé ukážeme v kap. 6.6
60
Obrázek 5.2:
a)
b)
Moderní transkonduktivní operační zesilovače.
5.1.4 Transimpedanční zesilovače
Transimpedanční (TZOA) nebo transrezistivní operační zesilovače jsou v podstatě zdroje
napětí řízené proudem (CCVS) s přenosovou impedancí ZT resp. rezistencí RT. Svými
vlastnostmi předčily klasické napěťové OA. Předně je to podstatně vyšší tranzitní kmitočet fT
(kolem 100 MHz) a větší hodnota přenosového parametru RT (až 109Ω). Dále pak větší
rychlost přeběhu, větší linearita pracovní charakteristiky a tím i dynamika, menší ztráty a
malé napájecí ss (nesymetrické) napětí.
Příkladem TZOA je AD 846 (Obrázek 5.3a). Ten má oproti jiným přístupnou
kompenzační svorku (Z), kterou budeme ve filtrech vhodně pracovně využívat. Dále má
vstupní neinvertrující vysokoohmovou svorku (Y) a nízkoohmovou (proudovou) invertrující
svorku (X). Vstupní část (X, Y, Z) představuje tříbranový proudový konvejor (CC II), na který
navazuje napěťový sledovač (Z, out). Tento prvek lze také nazvat OA s proudovou zpětnou
vazbou, kterou přivádíme do svorky X.
Obrázek 5.3:
5.1.5
a)
b)
Transimpedanční zesilovač (a) a Nortonův zesilovač (b).
Nortonův zesilovač
U Nortonova zesilovače (Obrázek 5.3b) byl klasický OA doplněn na vstupu proudovým
zrcadlem, čímž se získal proudem řízený prvek. Firma National semiconductor je již delší
dobu vyrábí ve dvojicích (LM 359) nebo i čtveřicích LM 3900 (s horšími parametry ale
výhodnou cenou). Hodí se k realizaci elektricky řízených zesilovačů, popřípadě i filtrů ARC,
využívajíc ss buzení do neinvertujícího vstupu.
Elektrické filtry
61
5.2 Funkční bloky
5.2.1
Gyrátory
S gyrátorem (Obrázek 5.4) jsme se seznámili v předmětu Analogové elektronické
obvody [ 1]. Je to pozitivní imitanční invertor, který ve filtrech využíváme k simulaci a
náhradě klasických cívek. Schématická značka s parametry – gyračními vodivostmi, je na
Obrázek 5.4a. Většinou bývá gyrátor symetrický g1 = g2= g. Možná je realizace gyrátoru
se dvěma antiparalelně zapojenými řízenými zdroji VCCS (Obrázek 5.4b). Tento obvod
použijeme také při simulaci ideálního gyrátoru v obvodovém simulátoru PSpice.
Obrázek 5.4:
Gyrátor.
a) schématická značka s parametry, b) možná realizace (model) s řízenými zdroji.
U reálného gyrátoru, jehož model je na Obrázek 5.5, uvažujeme gyrační vodivosti
kmitočtově závislé
g
1
g (ω ) =
,
τ=
.
( 5.2 )
1 + pτ
ωm
Obrázek 5.5:
Model reálného gyrátoru.
Model doplníme o parazitní ztrátové vodivosti (G1, G2) a zavedeme činitel jakosti gyrátoru
1 g1 g 2
Q=
( 5.3 )
2 G1G2
Gyrátor můžeme realizovat řízenými zdroji VCCS (Obrázek 5.4b) nebo i s jinými
funkčními bloky. Velmi vhodné je Riordanovo zapojení se dvěma operačními zesilovači na
Obrázek 5.6. Gyrátor se dá také pořídit jako hotový zákaznický integrovaný obvod (Obrázek
5.7). Komerčně dostupný masově vyráběný IO nám v současnosti není znám. Dostupné
gyrátory jsou většinou zemněné, plovoucí jsou zbytečně složité a nákladné.
Příklad 5.1:
Simulace indukčnosti gyrátorem
Gyrátor na Obrázek 5.4a zatižte na výstupní bráně (c, d) kapacitorem (C)a metodou
uzlových napětí vypočítejte vstupní impedanci na bráně (a, b).
62
Tabulka 5.1:
Využití gyrátorů k simulaci částí filtrů.
Elektrické filtry
63
Z Příklad 5.1 vyplývá, že vstupní impedance má ryze induktivní charakter
1
Z inp = p
C z = pLek .
( 5.4 )
g1 g 2
U reálného gyrátoru je na vstupu vedle požadované indukčnosti Lek i parazitní
kmitočtově závislá vodivost Gp(ω).
Obrázek 5.6:
Riordanův gyrátor s operačními zesilovači.
Obrázek 5.7:
Gyrátor jako zákaznický integrovaný obvod (SN 15010)
Využití gyrátorů k simulaci částí (podobvodů) filtrů je souhrnně uvedeno v Tabulka 5.1.
Poznamenejme, že zde velmi záleží na orientaci bran gyrátorů (znázorněnou tečkami).
Záměnou obvod nepracuje, jak požadujeme.
5.2.2
Impedanční konvertory
S impedanční konvertory (IK) jste se seznámili v [ 1 ]. Je-li konstantní činitel konverze
k nahrazen konverzní funkcí k(p) hovoříme o zobecněném impedančním konvertoru (ZIK).
Jeho shématická značka je na Obrázek 5.8. V některé literatuře se ZIK nazývá mutátor. Lze
jej popsat kaskádní maticí A (Obrázek 5.8).
Obrázek 5.8:
Zobecněný impedanční konvertor a jeho popis.
64
Na dalších obrázcích si uvedeme dva příklady realizace a využití ZIKů s operačními
zesilovači. ZIK na Obrázek 5.9 má konverzní funkci k(p) = pK a zatížený rezistorem (G6)
simuluje indukčnost (Lek).
Obrázek 5.9:
Impedanční konvertor realizující syntetický induktor,
s dvěma OA a konverzní funkcí k(p) = pK.
Představíme-li si v tomto zapojení (Obrázek 5.9) místo konkrétních prvků R a C obecné
admitance se stejnými indexy, můžeme odvodit následující obecné vztahy pro vstupní
impedanci a konverzní funkci
YY
Z inp = 3 5 Z 6 = k ( p ) Z 6 .
( 5.5 )
Y2Y4
Uvažujeme-li reálné operační zesilovače s A(ω) vztah ( 5.5 ) se rozšíří o multiplikativní
kmitočtově závislý faktor neideality M(p, A0, ωT).
Pro zapojení na Obrázek 5.9, dosazením do vztahu ( 5.5 ), dostaneme ekvivalentní
indukčnost
CG
Lek = 3 5 R6 .
( 5.6 )
G2G4
Obrázek 5.10:
Impedanční konvertor realizující syntetický prvek FDNR,
s dvěma OA a konverzní funkcí k(p) = p-1K.
Příklad 5.2:
Zobecněný impedanční konvertor realizující FDNR
Pomoci programu SNAP vypočítejte vstupní admitanci zapojení ZIK na Obrázek 5.10.
Z Příklad 5.2 vyplývá, že . ZIK na Obrázek 5.10 má konverzní funkci k(p) = p-1K a
zatížený rezistorem (G6) simuluje syntetický prvek nazývaný FDNR (kap.5.3.3).
Elektrické filtry
5.2.3
65
Proudové konvejory
Také s proudovými konvejory jste se seznámili v [ 1 ]. Tyto funkční mnohobrany mají
různě definovány vztahy mezi branovými proudy (konvejování proudů) a jinak a nezávisle
definovány vztahy mezi branovými napětími. Na Obrázek 5.11 jsou uvedeny dva
nejpoužívanější proudové konvejory – tříbranový a pětibranový.
Iy2
Iy
Vy
Ix
CC
y
Iz
z
x
Vx
Obrázek 5.11:
Vz
Iy1
Ix
(y2)
(y1)
Vy2
Vy1
(x)
Vx
DVCC
y-
z-
Vz2
(z2)
y+ z+
(z1)
x
Vz1
a)
Nejpoužívanější proudové konvejory.
a) tříbranový, b) pětibranový.
Iz2
Iz1
b)
Klasický tříbranový konvejor CC 30111 (Obrázek 5.11a), dříve označovaný CCII+, je
popsán následujícími vztahy mezi branovými veličinami
u X = uY , iY = 0, iZ = i X .
( 5.7 )
Reálné proudové konvejory mají lepší kmitočtové vlastnosti než běžné operační zesilovače.
S výhodou je použijeme v ARC filtrech v proudovém módu (kap. 6.6 ).
V poslední době se objevily nové typy vícebranových proudových konvejorů, které
dovolují širší využití a netradiční aplikace i v proudovém módu. Pětibranový proudový
konvejor s diferenčním napěťovým vstupem a vyváženým proudovým výstupem DVCC na
Obrázek 5.11b patří mezi nejvhodnější.
5.3 Syntetické prvky ve filtrech
5.3.1
Syntetické induktory
Kvalitní (bezeztrátové) zemněné syntetické induktory můžeme snadno realizovat
gyrátorem nebo ZIKem tak, jak jsme to popsali v předchozích kapitolách (kap. 5.2.1 a 5.2.2).
Plovoucí (neuzemněný) syntetický induktor můžeme lehce realizovat plovoucím gyrátorem,
který není uzemněn. Bohužel ten je však příliš obvodově náročný a drahý. Vhodnější varianta
je se dvěma zemněnými gyrátory, což je uvedeno v Tabulka 5.1. Obdobné zapojení se dvěma
zemněnými ZIKy je na Obrázek 5.12.
Obrázek 5.12:
Plovoucí syntetický induktor realizovaný dvěma ZIKy.
S dvěma zemněnými gyrátory nebo ZIKy lze realizovat i seskupení cívek. S gyrátory je
to opět uvedeno v Tabulka 5.1. Poznamenejme, že zde dochází i k topologické inverzi (např.
T-článku na Π-článek). K ni nedochází použijeme-li dva ZIKy (Obrázek 5.13). Činnost
mutátorů (ZIKů) se zde dá interpretovat jako transformace R na L, při zachování jejich
topologie.
66
Obrázek 5.13:
5.3.2
Simulace seskupení cívek dvěma ZIK-y.
Jednoduché syntetické induktory
Pro méně náročné aplikace můžeme použít jednoduché ztrátové syntetické induktory,
které vedle hlavního parametru – Lek vykazují i jistý ztrátový odpor (Rs resp Rp). U těchto
zapojení jsou však často tyto parametry navíc i kmitočtově závislé Lek(ω), Rs(ω).
Obrázek 5.14: Prescottův syntetický induktor.
Jednoduchý (a), s dvěma větvemi zpětné vazby (b) a jejich modely – sériový (c), paralelní (d).
Na Obrázek 5.14a je jednoduchý Prescottův syntetický induktor, s jednou větví (C)
zpětné vazby. Pro zesílení A = 1 je vstupní impedance obvodu
Z inp = 2 R + pCR 2 .
( 5.8 )
Obvod tedy představuje značně ztrátový syntetický induktor, s kmitočtově nezávislými
parametry Lek, Rs, (pozor odpor Rp(ω) je však kmitočtově závislý). Pro jinou hodnotu zesílení
A než jedna, budou všechny parametry kmitočtově závislé Lek(ω), Rs(ω). Tyto závislosti (v
normovaném tvaru) jsou pro vaši představu uvedeny na Obrázek 5.15. Příznivější vlastnosti
kmitočtového průběhu Lek(ω), Rs(ω) má Prescottův obvod, dvěma větvemi zpětné vazby
Obrázek 5.14b.
Obrázek 5.15:
Kmitočtové závislosti parametrů Prescottova SI.
Elektrické filtry
5.3.3
67
Syntetický prvek FDNR
Pro struktury filtrů DCR (kap. 8.3) využijeme syntetický prvek zvaný FDNR (kmitočtově
závislý negativní rezistor), se vstupní admitancí a s parametrem D
Yinp = p 2 D .
( 5.9 )
V některé literatuře se tento prvek také nazývá bicistor nebo méně vhodně dvojný kapacitor.
Jednodušší realizace FDNR vykazují branovou admitanci
Yinp = p 2 D + pC p
( 5.10 )
a jsou duální obdobou ztrátových induktorů.
S ideálním zemněným FDNR realizovaným ZIKem jsme se seznámili na Obrázek 5.10.
Podrobně jsme jej analyzovali v Příklad 5.2 a obdrželi parametr
CCG
Dek = 2 4 6 .
( 5.11 )
G3G5
Poznamenejme, že obdobně jako u syntetických induktorů, můžeme pomocí dvou ZIKů
realizovat plovoucí FDNR nebo jejich skupinu.
V méně náročných filtrech použijeme jednoduché zapojení FDNR. Příklad dvou
takovýchto zapojení je na Obrázek 5.16. U duálního Prescottova obvodu FDNR na Obrázek
5.16a, při nedodržení podmínky shodných hodnot kapacit nebo nedodržení zesílení A = 1,
budou parametry Dek(ω), Cp(ω) kmitočtově závislé.
Obrázek 5.16:
5.3.4
Jednoduché FDNR a jejich modely.
Syntetické dvojpóly vyšších řádů
Pro syntézu aktivních filtrů můžeme vhodně využít i syntetické dvojpóly vyšších řádů,
které se objevily v poslední době. Jde o obvody s operačními zesilovači nebo jinými
funkčními bloky (proudovými konvejory, TZOA, TYOA), které na vstupní bráně vykazují
impedanci
Z inp = X 0 + pX 1 + p 2 X 2 + ... + p n X N ,
( 5.12 )
nebo obdobnou admitanci. Jednoduchým děličem s těmito prvky můžeme přímo realizovat
polynominální filtry vyšších řádů, např. ss přesné dolní propusti pro převodníky.
Jiné aktivní obvody přímo realizují požadovanou impedanci, odpovídající kombinaci
více základních dvojpólů. Jako příklad uveďme přímou simulaci rezonančních obvodů. Ty
pak tvoří stavební bloky (podobvody) složitějších filtrů.
1. Pojednejte o vícebranovém zesilovači napětí, uveďte jeho popis a vlastnosti.
2. Pojednejte o vícebranovém zesilovači proudu, uveďte jeho popis a vlastnosti.
3. Pojednejte o Nortonůvu zesilovači, uveďte jeho popis a vlastnosti.
68
4.
5.
6.
7.
Definujte transimpedanční zesilovač, uveďte jeho popis a vlastnosti.
Definujte transadmitanční zesilovač, uveďte jeho popis a vlastnosti.
Nakreslete blokové schéma transkonduktivního operační zesilovače.
Definujte zobecněný imitanční konvertor, uveďte jeho popis, vlastnosti a pojednejte o
jeho použití ve filtech.
8. Nakreslete schéma zobecněného imitančního konvertoru se dvěma OA a ukažte, jak se
s ním dá simulovat uzemněný syntetický induktor.
9. Nakreslete schéma zobecněného imitančního konvertoru se dvěma OA a ukažte, jak se
s ním dá simulovat syntetický prvek FDNR.
10. Definujte gyrátor a ukažte jeho typické použití k simulaci uzemněného a plovoucího
syntetického induktoru.
11. Nakreslete schéma a vysvětlete jak se dá simulovat seskupení cívek pomocí dvou
gyrátorů.
12. Nakreslete schéma a vysvětlete jak se dá simulovat seskupení cívek pomocí dvou
zobecněných imitančních konvertorů.
13. Pojednejte o jednoduchých zapojeních syntetických induktorů, nakreslete a vysvětlete
alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu.
14. Pojednejte o bezeztrátových syntetických induktorech (zemněných i plovoucích),
nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu.
15. Pojednejte o realizaci zemněných i plovoucích ideálních FDNR, nakreslete a
vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu.
16. Pojednejte o realizaci jednoduchých FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno
schéma takovéhoto obvodu.
17. Pojednejte o syntetických prvcích vyšších řádů a jejich využití ve filtrech.
6 Aktivní filtry RC 1. a 2. řádu
Cíle kapitoly: Zopakovat aktivní filtry RC 1. a 2. řádu, probrané v předmětu Analogové
elektronické obvody [ 1].Tyto poznatky doplnit a rozšířit o další používaná zapojení.
Zvláště se zaměřit na filtry s jedním zesilovačem. Naučit studenty navrhnout tyto filtry.
Seznámit studenty s dalšími typy ARC bikvadů s dvěma i třemi OZ, s eliptickými
bikvady, s možnostmi přelaďování a nastavování jejich parametrů.
1. Nakreslete schéma invertujícího aktivního derivátoru s operačním zesilovačem. Co
představuje za filtr?
2. Nakreslete schéma invertujícího aktivního integrátoru s operačním zesilovačem. Co
představuje za filtr?
Pokud jste nedokázali zodpovědět na tyto otázky, zopakujte si kapitolu 12.3 ve skriptech
Analogové elektronické obvody [ 1].
6.1 Aktivní filtry RC 1. řádu
6.1.1
Aktivní dolní propust RC 1. řádu – ADP1
ADP1 má obecně přenosovou funkci
a0
K0
K ( p) =
,
K (s) =
.
b0 + b1 p
1 + B1 s
( 6.1 )
Elektrické filtry
69
Na Obrázek 6.1a je pasivní DP-RC s oddělovacím zesilovačem (ADP1-1) s přenosovou
funkcí v normovaném tvaru
K
R
1
p
,
ωm =
,
K ( s) = 0
s=
K0 = 1+ 2 .
( 6.2 )
1+ s
RC
R3
ωm
Invertující integrátor s operačním zesilovačem (ADP1-2) na Obrázek 6.1b (bez R2) má
přenosovou funkci
1
1
1
K (s) = − ,
ωm =
.
K ( p) = −
,
( 6.3 )
pR1C
R1C
s
Jeho modifikace na ztrátový integrátor (ADP1-3) přidáním rezistoru R2 (Obrázek 6.1b)
− K0
R
1
p
,
ωm =
,
K ( s) =
s=
K0 = 2 .
( 6.4 )
1+ s
R2 C
R1
ωm
Požadujeme-li základní přenos K0 s kladným znaménkem, tedy neinvertující integrátor
použijeme zapojení na Obrázek 6.1c nebo před invertující integrátor (Obrázek 6.1b) přidáme
invertující sledovač napětí s OZ.
Obrázek 6.1:
Aktivní dolní propust RC 1. řádu – ADP1
a) pasivní DP-RC s oddělovacím zesilovačem (ADP1-1), b) invertující integrátor s operačním
zesilovačem (ADP1-2) a jeho modifikace (čárkovaně) na ztrátový integrátor (ADP1-3),
c) neinvertující integrátor s operačním zesilovačem (ADP1-4).
6.1.2
Aktivní horní propust RC 1. řádu – AHP1
Aktivní horní propusti RC 1. řádu (AHP1) jsou duální k dolním ADP1. Jedno zapojení
AHP1-1 (Obrázek 1.1) jsme analyzovali v Příklad 1.1. Druhé zapojení AHP1-2 je derivátor
s operačním zesilovačem, který jste nakreslili ve vstupním testu této kapitoly.
Příklad 6.1:
Aktivní horní propust RC 1. řádu – AHP1-2
Odvoďte přenosovou funkci napětí, mezní kmitočet a K(∞) aktivního derivátoru
s operačním zesilovačem.
70
Příklad 6.2:
Rozložení pólů a nulových bodů ADP1 a AHP1
Snad i průměrný student dokáže nakreslit pro ADP1 a AHP1 rozložení pólů a nulových
bodů. Ti slabší si na pomoc mohou vzít Tabulka 3.1.
6.2 Obecné struktury ARC filtrů 2. řádu s jedním zesilovačem
Jak jsme již uvedli v kap. 2.5 filtry 2. řádu (bikvady) jsou základním stavebním blokem
pro kaskádní i jinou syntézu složitějších filtrů. Můžeme je však použít i přímo v méně
selektivních aplikacích. Nejpoužívanějšími aktivními bikvady jsou zapojení s jedním
zesilovačem, běžně označované SAB (single amplifier biquad). Existuje nepřeberné množství
těchto obvodů. Většinu z nich můžeme zařadit do některé z následujících obvodových
struktur, souhrnně uvedených na Obrázek 6.2.
Obrázek 6.2:
Obecné struktury ARC bikvadu s jedním zesilovačem – SAB.
a) s dvěma dvojbrany SAB-2D, b) s trojbranem SAB-TR, c) Bridgmanova-Brennarova
struktura SAB-BB, d) s dvěma T-články SAB-2T.
Elektrické filtry
71
Příklad 6.3:
Obecná struktura s dvěma dvojbrany SAB-2D
Předpokládejte, že oba pasivní dvojbrany v zapojení na Obrázek 6.2a jsou popsány
admitančními parametry. Pomocí programu SNAP vypočítejte přenos napětí.
Příklad 6.4:
Modifikace zapojení SAB-2D
Předchozí Příklad 6.3 modifikujte pro operační zesilovač A →∞.
Příklad 6.5:
Obecná struktura s trojbranem SAB-TR
Předpokládejte, že pasivní dvojbran v zapojení na Obrázek 6.2b je popsán
admitančními parametry. Pomocí programu SNAP vypočítejte přenos napětí.
Příklad 6.6:
Obecná struktura s dvěma T-články SAB-2T
Programem SNAP vypočítejte přenos napětí pro zapojení SAB-2T na Obrázek 6.2d.
Příklad 6.7:
Obecná Bridgmanova-Brennarova struktura SAB-BB
Programem SNAP vypočítejte přenos napětí pro zapojení SAB-BB na Obrázek 6.2c,
a) pro ideální zesilovač napětí (A), b) pro operační zesilovač A →∞.
Řada ARC bikvadů vychází z obecné struktury s trojbranem SAB-TR (Obrázek 6.2b).
Sem lze zahrnout i nejrozšířenější Bridgmanovu-Brennarovu strukturu SAB-BB se dvěma
smyčkami zpětné vazby (Obrázek 6.2c). Výsledek přenosu z Příklad 6.7 lze upravit do
následujícího obecného tvaru
A ⋅ N ( p)
K ( p) =
,
D1 ( p) − AD2 ( p)
N ( p) = Y1Y3 ,
( 6.5 )
D1 ( p) = (Y3 + Y4 + Y6 )(Y1 + Y2 + Y5 ) + Y3 (Y4 + Y6 ) ,
D2 ( p ) = Y6 (Y1 + Y2 + Y3 + Y5 ) + Y2Y3
Dle znaménka (±) zesílení A rozlišujeme různé modifikace tohoto zapojení. Z hlediska
citlivosti je vhodnější SAB-BB(-A) s invertujícím zesilovač (-A), protože jmenovatel
v přenosu ( 6.5 ) nebude dán rozdílem. U zapojení SAB-BB(+A) lze však dosáhnout většího
Q a zesilovač se lépe realizuje. Pro operační zesilovač (A →∞) dostáváme variantu SABBB(OA) s jednodušším přenosem, který lehce určíme limitou vztahu ( 6.5 ).
Na Obrázek 6.2d je obecná struktura s dvěma T-články SAB-2T. Je natolik obecná, že se
na ni dají převést všechny známé struktury, např. i SAB-BB. Tato struktura SAB-2T dovoluje
realizovat i eliptické bikvady s nulovými body přenosu (kap.6.7). Zapojení má několik variant
vyznačených v Obrázek 6.2d.
6.3 Dolní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem
Dolní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem SAB-LP mají přenos obecně daný
vztahem ( 2.16 ) nebo v normovaném tvaru ( 2.18 ). Existuje celá řada zapojení, z nichž čtyři
jsou uvedeny na Obrázek 6.3. Nejpoužívanější jsou zapojení Sallen-Key a Huelsman, které
v následujících kapitolách podrobně rozebereme.
6.3.1
Zapojení Sallen-Key SAB-LP-SK
Jde o konkretizaci a modifikaci SAB-BB(+A) (Obrázek 6.2c), kde Y6 = Y5 = 0. Tedy jde
o zapojení s jednou smyčkou zpětné vazby (Obrázek 6.3a). Neinvertující zesilovač je často
realizován známým obvodem s operačním zesilovačem (OA, RA, RB).
72
Obrázek 6.3:
Dolní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem.
a) zapojení Sallen – Key SAB-LP-SK, b) zapojení Huelsman SAB-LP-H,
c) zapojení se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D, b) zapojení pro ss přenos SAB-LP-DC.
Příklad 6.8:
Zapojení SAB-LP-SK (Sallen – Key).
Metodou uzlových napětí odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-SK na Obrázek 6.3a.
Z výsledků Příklad 6.8 lze pro SAB-LP-SK odvodit následující parametry
R
1
,
K0 = A = 1+ B , ω p =
RA
R1C 2 R3C 4
( 6.6 )
R3C 4
R1C 4
R1C 2
d =Q =
.
+
+ (1 − A)
R1C 2
R3C 2
R3C 4
Pro návrh v praxi používáme různé varianty, které v následujícím blíže rozebereme a
srovnáme, včetně citlivostí.
−1
6.3.1.1 Návrhová varianta SAB-LP-SK-1
Obecná nezjednodušená varianta SAB-LP-SK-1, má libovolné hodnoty součástek i
zesílení. Je výrobně i návrhově nejsložitější. Můžeme s ni však dosáhnout nejvyšší hodnotu
Q < 25.
Zavedeme poměrové veličiny
R
R
C
r= B,
n= 3,
m= 4.
( 6.7 )
RA
R1
C2
Pak pro parametry ( 6.6 )lze psát následující vztahy
1
K0 = A = 1+ r ,
,
ωp =
R1C 2 mn
( 6.8 )
m
r
−1
d = Q = mn +
−
.
n
mn
Elektrické filtry
73
Návrh varianty SAB-LP-SK-1:
1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 25) nejprve volíme hodnotu
C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné. Nemá-li jistou zkušenost a cit, pomůže nám
následující empirický vztah
10 −7
C≅
.
( 6.9 )
fp
2. Vypočteme poměrovou veličinu m a hodnoty kapacit
1
C
m≤ 2 ,
C2 =
,
C4 = C m.
Q
m
Skutečnou hodnotu C1 = C4 = C volíme co nejblíže z vyráběné řady
3. Vypočteme poměrovou veličinu n a hodnoty odporů filtru
1
1
R
n≤
,
R=
,
R1 =
,
R3 = R n .
2
2π f p C
mQ
n
4. Vypočteme poměrovou veličinu r a hodnoty odporů zesilovače
1
10 3
,.
r= 2,
R A = 10 3 r ,
RB =
Q
r
( 6.10 )
( 6.11 )
( 6.12 )
Příklad 6.9:
Návrh SAB-LP-SK-1
Navrhněte maximálně plochou (Butterworthovu) aktivní dolní propust 2. řádu,
s mezním kmitočtem fm = 100 Hz, s užitím návrhové varianty SAB-LP-SK-1.
Návrhová varianta SAB-LP-SK-2 má libovolné hodnoty součástek. Zesílení A = 1, což
má příznivé vlastnosti na stabilitu a nízké citlivosti obvodu (kap. 6.3.1.5). Můžeme s ni
dosáhnout hodnotu Q < 15. V zapojení na Obrázek 6.3a je:
RA = 0 a RB = ∞ (zkrat), R1 = R, R3 = nR, C2 = C, C4 = mC.
Tato varianta má parametry dány následujícími vztahy
1
m
K 0 = A = 1,
,
d = Q −1 = (n + 1)
.
ωp =
( 6.13 )
n
RC mn
C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, opět nám pomůže vztah ( 6.9 ).
1
m≤
,
C2 = C ,
C 4 = mC.
( 6.14 )
4Q 2
1
1
, R1 = R, R3 = nR.
n ≤ k + k 2 − 1, k =
− 1, R =
( 6.15 )
2
2mQ
2π f p C mn
Příklad 6.10:
Návrh SAB-LP-SK-2
Předchozí Příklad 6.9 modifikujte s návrhovou variantou SAB-LP-SK-2.
Návrhová varianta SAB-LP-SK-3 má stejné hodnoty součástek
R1 = R3 = R, C2 = C4 = C a A < 3.
Je velmi citlivá na přesnou hodnotu zesílení A. Při jeho nepatrné změně se mění výrazně Q a
typ aproximace, což dokumentuje Tabulka 6.1.
74
Parametry této varianty jsou dány jednoduchými vztahy
1
1
K0 = A ,
ωp =
,
Q=
RC
3− A
( 6.16 )
Tabulka 6.1:
Hodnota A pro různé aproximace v SAB-LP-SK-3.
Aproximace - Q:
zesílení A
Kritické tlumení (Q=0,5)
A=1
Besselova aproximace
A = 1,27
Butterworthova aproximace
A = 1,59
Čebyševova aproximace se zvlněním 0,5 dB
A = 1,84
Čebyševova aproximace se zvlněním 1 dB
A = 1,96
Čebyševova aproximace se zvlněním 0,5 dB
A = 2,23
A
=3
Nestabilní obvod (Q=∞)
2. Vypočteme hodnoty kapacit a hodnoty odporů filtru
1
C2 = C4 = C ,
R=
,
R1 = R3 = R.
( 6.17 )
2π f p C
3. Vypočteme zesílení a navrhneme odpory rezistorů zesilovače
1
10 3
1
,
r = 2− ,
RB =
R A = 10 3 r .
A = 3− ,
( 6.18 )
Q
Q
r
Příklad 6.11:
Návrh SAB-LP-SK-3
Příklad 6.9 modifikujte s návrhovou variantou SAB-LP-SK-3.
Návrhová varianta SAB-LP-SK-4 je charakteristická hodnotou zesílení
A = 2, , stejnými kapacitory C2 = C4 = C, ale různými rezistory R1 ≠ R3.
Tato varianta má parametry dány jednoduchými vztahy
R1
1
K0 = A = 2 ,
ωp =
,
Q=
R3
C R1 R3
( 6.19 )
2. Vypočteme hodnoty stavebních prvků filtru
R
QC
C2 = C4 = C ,
R1 =
,
R3 = 12 .
( 6.20 )
2π f p
Q
Pro zesílení A = 2 navrhneme odpory rezistorů zesilovače RA = RB.
Příklad 6.12:
Návrh SAB-LP-SK-4
Příklad 6.9 modifikujte s návrhovou variantou SAB-LP-SK-4.
6.3.1.5 Srovnání návrhových variant SAB-LP-SK
V Tabulka 6.2 jsou přehledně uvedeny relativní citlivosti všech návrhových variant
SAB-LP-SK. Z jejich srovnání vyplývají následující závěry:
• Mezní kmitočet resp. kmitočet pólu je u všech zapojení citlivý minimálně.
Elektrické filtry
75
•
Opak však platí pro činitele kvality. Jeho citlivost je přímo úměrná jeho hodnotě. Pro
Q > 5 je prakticky již neúnosná. Na štěstí u DP málo kdy požadujeme takovouto
hodnotu.
• Nejméně citlivá je varianta SAB-LP-SK-2, avšak na úkor většího rozptylu hodnot
součástek, což pro výrobu není příliš vhodné.
• Opak platí pro variantu SAB-LP-SK-3.
• U varianty SAB-LP-SK-1 je optimální volit co nejmenší hodnotu poměrové veličiny
m.
Tabulka 6.2:
Srovnání návrhových variant SAB-LP-SK
citlivost
S AQ
SAB-LP-SK-1
Q
mn
SAB-LP-SK-2
0,5
SAB-LP-SK-3
3Q-1
SAB-LP-SK-4
2Q
S RQ1 = − S RQ3
− 0,5 + Q mn
0
-0,5+2Q
0,5+Q
S CQ2 = − S CQ4
 m
 0,5
− 0,5 + Q 
+ mn 
 n

ωp
S A = 0,
S Rω,pC = 0,5
-0,5+2Q
0,5+Q
6.3.2
Zapojení Huelsman SAB-LP-H
Zapojení Huelsman SAB-LP-H je uvedeno na (Obrázek 6.3b). Patří v současnosti mezi
nejpoužívanější. Jde modifikaci SAB-BB (Obrázek 6.2c), s rozvětvenou zpětnou vazbou, kde
je použit místo IZN operační zesilovač (A = ∞).
Příklad 6.13:
Zapojení SAB-LP-H (Huelsman).
Metodou uzlových napětí odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-H na Obrázek 6.3b.
Z výsledků Příklad 6.13 lze pro SAB-LP-H odvodit následující parametry
C6  R2 R3
R3
R2 
1
R
+
+
, d = Q −1 =
K0 = − 2 , ω p =

 . ( 6.21 )
C5  R1
R2
R3 
R1
R2 C5 R3C6
Návrh bikvadu SAB-LP-H:
1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu K0, fp a Q (Q < 10) nejprve volíme
hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, opět nám pomůže vztah ( 6.9 ).
1
m≤
,
C5 = C
C 6 = mC.
( 6.22 )
2
4Q (1 − K 0 )
3. Vypočteme hodnoty odporů
R2 =
1 ± 1 − 4(1 − K 0 )Q 2 m
4π f p QmC
,
R1 =
R2
,
− K0
R3 =
1
.
4π f mC 2 R2
2
2
p
( 6.23 )
Příklad 6.14:
Návrh SAB-LP-H
Navrhněte Butterworthovu aktivní dolní propust 2. řádu, s mezním kmitočtem fm = 100
Hz a přenosem K0 = -10, s užitím bikvadu SAB-LP-H. Návrh porovnejte s Příklad 6.9.
Příklad 6.15:
Citlivosti bikvadu SAB-LP-H.
Pomocí programu SNAP vypočítejte relativní citlivosti přenosu napětí bikvadu SABLP-H na změnu jednotlivých pasivních prvků.
76
V Příklad 6.15 jsme vyšetřili relativní citlivosti přenosu napětí tohoto bikvadu, viděli
jsme složitý symbolický tvar a komplexní kmitočtovou závislost těchto funkcí. Pro posouzení
citlivosti daného zapojení je u bikvadu vhodnější vypočítat citlivosti jeho parametrů tak, jak
jsme to udělali i u SAB-LP-SK (Tabulka 6.2). Relativní citlivosti u tohoto zapojení
SAB-LP-H jsou následující:
S Rω2p = S Rω3p = S Cω5p = S Cωp6 = −0,5, S Rω1p = 0, S RK1 = − S RK2 = −1,
Q
Q
( 6.24 )
S CQ6 = − S CQ5 = −0,5, S Rd 2 ( 3) = 0,5 −
, S Rd1 =
ω p R 2 ( 3) C 5
ω p R1C 5
Z uvedeného vyplývá, že obě zapojení mají přibližně stejné vlastnosti a obě se také
nejvíce používají. Bikvad SAB-LP-H je obsahuje méně součástek (o jeden R), je méně citlivý
než základní varianta SAB-LP-SK-1, ale více než SAB-LP-SK-2, můžeme s ním dosáhnou
hodnotu činitele kvality jen Q < 10, což je méně než u SAB-LP-SK-1 (Q < 25).
6.3.3
Další zapojení SAB-LP
Vedle SAB-LP-SK a SAB-LP-H najdeme v literatuře celou řadu dalších bikvadů SABLP. Při jejich použití doporučujeme udělat si počítačovou analýzu, daného zapojení. Na
Obrázek 6.3c je příklad zapojení bikvadu se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D.
Příklad 6.16:
Bikvad se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D
Proveďte počítačovou analýzu bikvadu se dvěma dvojbrany SAB-LP-2D na Obrázek
6.3c, odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a návrhové vztahy.
Na Obrázek 6.3d je zapojení aktivní dolní propusti 2. řádu SAB-LP-SS, přenášející i
stejnosměrnou složku, což jiné SAB-LP neumožňují. Vychází ze zvláštní struktury uvedené v
[ 22 ]. Dá se použít pro běžnou kaskádní syntézu, ale i pro zvláštní řazení pod sebe, což tvoří
vlastně dvojpól vyššího řádu. Zapojení je velmi vhodné např. pro použití v A/D převodnících.
Stručně uvedeme jeho návrh. Pro zadaný mezní kmitočet fm a vybranou aproximaci, nebo-li
zadané normované koeficienty, vypočteme hodnoty rezistorů
2 B2
B1
,
,
R2 =
R1 =
( 6.25 )
4π f m C
2π f m B1C
.
když před tím jsme volili C1 = C2 = C. Počáteční přenos K0 = 1.
Příklad 6.17:
Bikvad přenášející i ss složku SAB-LP-SS
Proveďte počítačovou analýzu bikvadu SAB-LP-SS na Obrázek 6.3d, odvoďte přenos
napětí v symbolickém tvaru a uvedené návrhové vztahy.
6.4 Horní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem
Horní propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem (SAB-HP) jsou duální k SAB-LP.
Jejich přenos je obecně dán vztahem ( 2.24 ). Tak jako u pasivních filtrů i SAB-HP jednoduše
získáme ze stejného typu SAB-LP záměnou R ↔ C. Pro jejich návrh platí obdobné poznatky
jako pro SAB-LP. V reálném obvodě SAB-HP se však více uplatňují parazitní kapacity a
vnitřní odpor budicího zdroje.
6.4.1
Zapojení Sallen-Key SAB-HP-SK
Bikvad SAB-HP-SK získáme ze SAB-LP-SK na Obrázek 6.3a záměnou R ↔ C. Jde o
konkretizaci obecné struktury SAB-BB(+A) (Obrázek 6.2c), kde
Elektrické filtry
77
R
1
1
, Y3 = pC 3 , Y4 =
, Y5 = Y6 = 0. A = 1 + B
( 6.26 )
R2
R4
RA
Dosazením ( 6.26 ) do ( 6.5 ) získáme pro toto zapojení přenos a odvodíme návrhové
vztahy pro parametry SAB-HP-SK. Zavedeme-li poměrové veličiny
R
R
C
r= B,
n= 4,
m= 1.
( 6.27 )
RA
R2
C3
pak je lze psát v následující formě
1
ωp =
K0 = A = 1+ r ,
,
R4 C1 mn
( 6.28 )
1
m
−1
d =Q =
+
− r mn
n
mn
.
Pro návrh můžeme použít různé varianty, obdobně jako u LP v kap.6.3.1. My se
zaměříme pouze na nejvhodnější variantu se stejnými C a různými R. Můžeme s ni dosáhnout
hodnotu činitele jakosti Q < 25.
Návrh SAB-HP-SK:
1. Pro zadané parametry navrhovaného bikvadu fp a Q (Q < 25) opět nejprve volíme
hodnotu C. Pomohou nám následující vztahy
3,3 ⋅ 10 −7
C≅
,
C min > 4 ⋅ 10 −11 Q 2 .
( 6.29 )
fp
Y1 = pC1 , Y2 =
Skutečnou hodnotu C1 = C3 = C volíme co nejblíže z vyráběné řady, při tom větší než
Cmin.
1
R
,
,
R4 = R n .
n ≥ Q2 , R =
R2 =
( 6.30 )
2π f p C
n
3. Vypočteme poměrovou veličinu r a hodnoty odporů zesilovače
1
10 3
.
r= 2,
R A = 10 3 r ,
RB =
( 6.31 )
Q
r
4. Vnitřní odpor budicího zdroje signálu musí být menší než
Ri <
0,05
.
f 0 CQ
( 6.32 )
Příklad 6.18:
Návrh SAB-HP-SK
Navrhněte Besselovu aktivní horní propust 2. řádu, s mezním kmitočtem fm = 10 Hz,
s přenosem K(∞) = 1.
6.4.2
Zapojení Huelsman SAB-HP-H
Bikvad SAB-HP-H získáme ze SAB-LP-H na Obrázek 6.3b záměnou R ↔ C. I zde jde o
konkretizaci obecné struktury SAB-BB(+A) (Obrázek 6.2c), kde
1
1
, Y6 =
, A = ∞.
Y1 = pC1 , Y2 = pC 2 , Y3 = pC3 , Y4 = 0, Y5 =
( 6.33 )
R5
R6
Dosazením ( 6.33 ) do ( 6.5 ) můžeme odvodit koeficienty přenosu ( 2.24 ) v normovaném
tvaru
C + C 2 + C3
C
1
K 0 = − 1 , B0 = 1, B1 = 1
.
, B2 = 2
( 6.34 )
C2
ω m R6 C 2 C 3
ω m R5 R6 C 2 C 3
78
Návrh SAB-HP-H:
1) Zadaný je mezní kmitočet fm a zvolená je aproximace. Z Tabulka 4.3 určíme
normované koeficienty B.
2) U této varianty volíme stejné kapacitory C1 = C2 = C. Jejich hodnotu určíme
opět pomocí vztahu ( 6.29 ).
3) Vypočteme hodnoty rezistorů, dle následujících vztahů
3
1
R6 =
, R5 = 2 2
.
( 6.35 )
ω m CB1
ω m C R6 B 2
Poznamenejme, že z bodu dva vyplývá, že u této varianty je přenos K0 = 1.
6.5 Pásmové propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem
Pásmové propusti ARC 2. řádu s jedním zesilovačem SAB-BP se charakterizují
parametry ekvivalentního rezonančního obvodu tak, jak jsme seznámili v kap. 2.5.4. Jejich
přenos je obecně dán vztahem ( 2.25 ). Z celé řady zapojení SAB-BP uvádíme jen některá na
Obrázek 6.4 a to s operačním zesilovačem. S jinými funkčními bloky uvedeme ve zvláštní
kapitole. Pro větší hodnotu činitele jakosti Q > 25 musíme použít zapojení s více OA.
Obrázek 6.4:
Pásmové propusti ARC 2. řádu s jedním operačním zesilovačem
a) kaskádní zapojení SAB-BP-K, b) zapojení Huelsman SAB-BP-H, c) zapojení Sallen – Key
SAB-BP-SK, d) zapojení s Wienovým článkem SAB-BP-W, e) zapojení s dvojitým
T-článkem SAB-BP-2T, f) Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D.
Elektrické filtry
6.5.1
79
Kaskádní zapojení SAB-BP-K
Nejjednodušší SAB-BP získáme kaskádním spojením pasivních LP a HP 1. řádu
oddělených zesilovačem. Při volbě C1 = C2 = C a R1 = nR, R2 = R/n dostaneme přenos
pCnR
.
K ( p ) = K LP ⋅ K HP =
1 + n 2 
( 6.36 )
2
pC R + pCR 
 +1
 n 
Porovnáním ( 6.36 ) a ( 2.25 ) dostáváme pro činitele jakosti
n
Q=
, pro n = 1: Qmax= 0,5.
( 6.37 )
1+ n2
Zapojení je spíše ukázkou možností, pro malé Q je prakticky nevyužitelné.
6.5.2
Zapojení Huelsman SAB-BP-H
Zapojení s rozvětvenou zpětnou vazbou SAB-BP-H (Obrázek 6.4b) je opět modifikaci
SAB-BB (Obrázek 6.2c).
Příklad 6.19:
Zapojení Huelsman SAB-BP-H
Metodou uzlových napětí odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-H na Obrázek 6.4b.
6.5.2.1 Návrhová varianta SAB-BP-H-1
Varianta SAB-BP-H-1 uvažuje rezistor R5 (Obrázek 6.4b). Použijeme ji pro větší
hodnotu Q (Q < 15). Parametry přenosu ( 2.25 ) jsou dány vztahy
1 + R5 / R1
− R6 / R1
ωp =
,
,
K0 = −
R6 C 2 R5 C3
1 + C 2 / C3
 R5 C 2
R5 C 3 
+
d = Q −1 =

.
R6 C 2 
1 + R5 / R1  R6 C 3
Při návrhu volíme stejné kapacitory, dle vztahu ( 6.29 ) a vypočteme rezistory
2Q
Q
Q
, R6 =
, R5 =
.
R1 =
2
ω pC K 0
ω pC
(2Q − K 0 )ω p C
1
( 6.38 )
( 6.39 )
6.5.2.2 Další návrhové varianty SAB-BP-H
Varianta SAB-BP-H-2 je bez rezistoru R5 (Obrázek 6.4b) a je vhodná pouze pro malou
hodnotu činitele jakosti (Q < 5). Návrhové vztahy ( 6.38 ) se pak výrazně zjednoduší a
získáme je limitou pro R5 →∞.
Další možná varianta SAB-BP-H-3 vznikne, zaměníme-li v zapojení na Obrázek 6.4b
prvky R a C. Tato varianta je také bez rezistoru R5.
Příklad 6.20:
Návrh SAB-BP-H
Navrhněte aktivní pásmovou propust 2. řádu, na kmitočtu f0 = 10 Hz, s Q = 10 a
přenosem K0 = - 10, s užitím bikvadu SAB-BP-H.
6.5.3
Zapojení Sallen – Key SAB-BP-SK
Pásmová propust SAB-BP-SK s konečným kladným zesílením je na Obrázek 6.4c. I
v tomto případě je několik návrhových variant.
6.5.3.1 Návrhová varianta SAB-BP-SK-1
Při stejných hodnotách součástek C3 = C5 = C, R1 = R2 = R4= R (Obrázek 6.4c) má tyto
parametry přenosu ( 6.28 )
80
K0 =
A
,
4− A
ωp =
2
,
CR
Q=
2
.
4− A
( 6.40 )
6.5.3.2 Návrhová varianta SAB-BP-SK-2
Je modifikací předchozí varianty, předpokládá C3 = C5 = C, R1 = R2 = R a R4 = 2R. Pak
1
A
1
ωp =
,
K0 =
,
Q=
.
( 6.41 )
3− A
CR
3− A
Při návrhu volíme stejné kapacitory, dle vztahu ( 6.29 ). Vypočteme rezistory a
navrhneme zesilovač
1
1
R1 = R2 =
, R4 = 2 R1 , A = 3 − .
( 6.42 )
ω pC
Q
Další modifikace můžeme opět získat záměnou prvků R a C.
Příklad 6.21:
Návrh SAB-BP-SK
Navrhněte aktivní pásmovou propust 2. řádu, na kmitočtu f0 = 100 Hz, s Q = 1, s užitím
bikvadu SAB-BP-SK-2.
Příklad 6.22:
Návrh SAB-BP-SK
Zadání Příklad 6.21 navrhněte pomocí programu NAF.
6.5.4
Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D
Deliyannisův SAB-BP-D (Obrázek 6.4d) patří v současnosti k nejvíce používaným. Jde
o zapojení s rozvětvenou zpětnou vazbou a je opět modifikací SAB-BB (Obrázek 6.2c).
Vzniklo ze SAB-BP-H-2 (bez rezistoru R5) na Obrázek 6.4b, přidáním kmitočtově nezávislé
kladné zpětné vazby do neinvertujícího vstupu OA (RA, RB). Tím lze dosáhnout vyšších
požadovaných hodnot činitele jakosti Q.
Příklad 6.23:
Deliyannisovo zapojení SAB-BP-D
Programem SNAP vypočítejte přenos napětí pro zapojení SAB-BP-D na Obrázek 6.4f.
Z výsledků Příklad 6.23 lze pro SAB-LP-H odvodit následující parametry

R 
1
ωp =
,
K 0 = −1 + A Qω p R6 C 3 ,
RB 
R1C 2 R6 C 3

d =Q
−1
=
C3  R A
R1  C 2
+

−
R6  C 3
C 2  R B
R6 C 3
.
R1C 2
( 6.43 )
6.5.4.1 Návrhová varianta SAB-BP-D-1
Základní variantu SAB-BP-D-1 použijeme pro větší hodnotu Q (Q < 25). V zapojení na
Obrázek 6.4f předpokládá stejné kapacitory C2 = C3 = C a různé rezistory.
Návrh SAB-BP-D-1:
1. Vstupními parametry návrhu jsou fp a Q (Q < 25).
2. Nejprve volíme hodnotu C, dle vztahu ( 6.29 ) a hodnotu odporu RB.
R
R
1
1
n = 6 = 2Q, R1 =
).
, R6 = nR1 , R A = B (1 −
R1
Q
ω p C 2Q
2Q
( 6.44 )
Elektrické filtry
81
6.5.4.2 Návrhová varianta SAB-BP-D-2
Jde o modifikaci s plnou kmitočtově nezávislou zpětnou vazbou. V zapojení na Obrázek
6.4f je RA = 0 a RB = ∞ (zkrat). Tato varianta je vhodná pouze pro menší hodnotu Q (Q < 5).
Předpokládají se opět stejné kapacitory C2 = C3 = C a různé rezistory.
Návrh SAB-BP-D-2:
1. Zadáno je fp a Q (Q < 5).
2. Nejprve volíme hodnotu C, dle vztahu ( 6.29 ).
R
1
n = 6 = 4Q 2 , R1 =
, R6 = nR1 .
R1
2ω p CQ
( 6.45 )
Příklad 6.24:
Návrh SAB-BP-D-2.
Zadání Příklad 6.21 navrhněte s bikvadem SAB-BP-D-2.
6.5.5
Další zapojení SAB-BP
V literatuře najdeme celou řadu dalších zapojení. Na Obrázek 6.4 je ještě uvedeno
zapojení s Wienovým článkem SAB-BP-W (Obrázek 6.4d) a zapojení s dvojitým T-článkem
SAB-BP-2T (Obrázek 6.4e).
Příklad 6.25:
Zapojení s Wienovým článkem SAB-BP-W
Proveďte počítačovou analýzu bikvadu SAB-BP-W na Obrázek 6.4d, odvoďte přenos
napětí v symbolickém tvaru a návrhové vztahy zvolíme-li variantu C3 = 2C3, R4 =.2R1 a
R2 =.R1/3.
Příklad 6.26:
Zapojení s dvojitým T-článkem SAB-BP-2T
Programem SNAP vypočítejte přenos napětí v symbolickém tvaru pro zapojení SABBP-2T na Obrázek 6.4e.
S dvojitým T-článkem je také Limovo zapojení aktivní pásmové propusti SAB-BP-L na
Obrázek 6.5a. Vzniklo změnou konfigurace obvodu SAB-PZ-DT-3 (Obrázek 6.11b),
záměnou vstupní svorky a zemnění. Jeho předností je nezávislé nastavování požadovaných
parametrů K0, fp, Q. Tento atraktivní obvod pak můžeme použít v přeladitelných filtrech.
Zapojení bylo realizováno v hybridní integrované podobě (Obrázek 6.5b). Na
keramickou destičku je sítotiskovou metodou je nanesena vodivostní vrstva (šedé melírované
barvy). Tmavší plochy představují uhlíkové napařované rezistory. Jejich hodnota se v závěru
výroby dostavuje škrábáním laserovým paprskem. Tři monolitické čipové kondenzátory, ve
tvaru malých kvádrů (1*1*2 mm) s kovovými elektrodami, jsou vpájeny do obvodu pomocí
pájecí pasty. Čip operačního zesilovače (o ploše 1*1 mm) je kontaktován specielními drátky,
pomocí ultrazvukového zařízení. Takovéto obvody se vyrábějí na zakázku. Podobné hybridní
IO aktivních filtrů různých typů i vyšších řádů lze získat u známých světových firem.
82
Obrázek 6.5:
SAB-BP-L s dvojitým T-článkem.
6.6 Filtry ARC 2. řádu s netradičními aktivními prvky
Klasické aktivní filtry RC se standardními operačními zesilovači se nedají použít v
oblasti vyšších kmitočtů (např. video), jelikož to nedovolí vlastnosti dostupného OA [1]. Pro
takovéto filtry musíme vybrat jiný vhodný, aktivní prvek s vyšším tranzitním kmitočtem.
Moderní technologie přinesly celou řadu nových prvků a funkčních bloků, převážně již
v integrované monolitické formě nebo jako zákaznické hybridní obvody. V hodnými typy se
ukázaly Nortonovy OA, transadmitanční TYOA, transimpedanční TZOA a proudové
konvejory (CC). Ukážeme si několik příkladů jejich aplikace v jednoduchých ARC filtrech.
Na Obrázek 6.6 je obecná struktura bikvadu ARC s TYOA definovaným v kap. 5.1.3.
Příklad 6.27:
Bikvad ARC s transadmitančním zesilovačem
Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí obvodu na Obrázek 6.6.
Pro dolní propust je vhodné volit [ 9 ]
Y1 = G1 + pC1 , Y2 = G2 , Y3 = G3 + pC 3 , Y4 = Y4 = 0, K 0 = g T A.
( 6.46 )
Elektrické filtry
83
Filtry s TYOA přináší větší variabilitu návrhu, mají nižší citlivosti parametrů a menší
rozptyl hodnot součástek. Hlavní předností je však jejich možnost pracovat ve vyšších
kmitočtových pásmech než filtry s klasickými OA.
Obrázek 6.6:
Bikvad ARC s transadmitančním zesilovačem.
Obrázek 6.7:
Aktivní pásmová propust s Nortonovými zesilovači.
Na Obrázek 6.7 je aktivní pásmová propust s Nortonovými zesilovači (kap. 5.1.5). Jde o
zajímavé zapojení s vícesmyčkovou zpětnou vazbou, které umožňuje jednoduchým způsobem
měnit činitel jakosti Q, aniž se mění kmitočet fp. Zesilovač NZ-1 tvoří klasickou SAB-BP-H.
Rezistor Rf zavádí do ni doplňkovou zpětnou vazbou. Pomocný invertující zesilovač NZ-2
dovoluje změnou jeho zesílení K=Rb/Ra nastavit nezávisle činitel jakosti, což vyplývá z
následujících výsledků analýzy tohoto obvodu
R5 R5 R5
1
1
1
+
+
+
+
R1 R2 R f
R1 R2 R f
ωp =
,
Q=
.
( 6.47 )
C 3 C 4 R5
C 3  KR5 
C4
+
+ 1−
C3
C 4 
R f 
Pomocí rezistorů Rc a Rd nastavíme požadovanou rovnost vstupních proudů IN = IP a klidovou
hodnotu výstupního napětí (UN /2).
Ukázka použití transimpedančního zesilovače (kap. 5.1.4) v aktivních filtrech 2. řádu je
na Obrázek 6.8. Na Obrázek 6.8a je dolní propust v napěťovém (resp. smíšeném V/C
módu) SAB-LP-TZOA. Jde o modifikaci zapojení s OA (SAB-LP-H), kdy dvojpól připojený
přímo mezi vstup a výstup OA (C6) se v ekvivalentním obvodu se zapojí ke svorce Z a
uzemní se. Při této transformaci mají v ideálním případě oba bikvady shodné vlastnosti.
Reálný obvod SAB-LP-TZOA můžeme, na rozdíl SAB-LP-H s klasickým OA, provozovat i
ve vyšších kmitočtových pásmech (řádově 10 MHz). Ještě menších parazitních vlivů reálného
zesilovače dosáhneme ve filtrech pracujících v proudovém módu (zpracovávají proudové
84
signály, všechny uzly mají nízkou impedanci a tak se méně uplatní parazitní C) [ 19 ]. Příklad
horní propusti s TZOA v proudovém módu SAB-HP-TZOA-CM je na Obrázek 6.8a. Obvod
jsme získali přidruženou transformací [ 19 ] ze SAB-HP-H. Jeho návrh lze provést proto
stejně jako návrh prototypu v kap. 6.3.2.
Obrázek 6.8:
Filtry 2. řádu s transimpedančním zesilovačem
a) dolní propust v napěťovém módu, b) horní propust v proudovém módu
Také proudové konvejory jsou velmi vhodnými funkčními bloky pro ARC bikvady,
pracující ve vyšších kmitočtových pásmech a v proudovém módu. V kap. 5.2.3 jsme
konstatovali, že mezi nejvhodnější patří pětibranový DVCC, proto si ukážeme jeho aplikaci.
Jednoduchý obvod, realizující pásmovou propust 2. řádu, pracující v proudovém módu, s
jedním DVCC (SAB-BP-DVCC1), je uveden na Obrázek 6.9. Pro přenos proudu byl
odvozen následující vztah
I out
sC 2 R1
= 2
( 6.48 )
I inp s C1 R1C 2 R2 + s (C1 R1 + C 2 R2 − C 2 R1 ) + 1
Za předpokladu C1 = C2 = C přejde přenos ( 6.48 ) do požadovaného tvaru ( 2.25 ) pro
pásmovou propust. Pak lze pro parametry SAB-BP-DVCC1 odvodit jednoduché vztahy
R1
1
1
ω0 =
Ko =
Q=
( 6.49 )
CR2
C R1 R2
R1 R2
Obrázek 6.9:
Jednoduchá pásmová propust s DVCC v proudovém módu.
Se dvěma DVCC lze sestrojit víceúčelový ARC bikvad SAB-2DVCC (Obrázek 6.10),
který dovoluje realizovat dolní, horní i pásmovou propust 2. řádu současně.
Elektrické filtry
Obrázek 6.10:
85
Víceúčelový ARC bikvad se dvěma DVCC.
Kontrolní analýzou programem SNAP jsme získali následující přenos napětí
s 2 C1C 2Vi1 + sC1G2Vi 2 + sC1G 2Vi 3
Vout =
.
s 2 C1C 2 + sC1G3 + G1G3
Z něj jsme odvodili návrhové vztahy pro kmitočet pólu a činitel kvality
R3
C2
1
,
Q=
ωp =
C1 R1C 2 R2
R1 R2 C1
( 6.50 )
( 6.51 )
Z uvedených vztahů ( 6.51 ) je patrno, že u SAB-2DVCC lze výhodně nastavovat Q
změnou odporu R3 a to nezávisle na kmitočtu fp Tato vlastnost a možnost současné realizace
různých typů propustí i v oblasti video, jsou velkou předností SAB-2DVCC. Přidruženou
transformací [ 19 ], záměnou vstupu a vstupů na Obrázek 6.10, získáme duální bikvad
SAB-2DVCC-CM, pracující v proudovém módu.
6.7 Filtry ARC 2. řádu s nulovými body přenosu
S eliptickými pasivními filtry LCR 2. řádu, s nulovými body přenosu, jsme se seznámili
v kap. 2.5. Zde jsme uvedli jejich definici, dělení, vlastnosti a parametry. Nyní se seznámíme
s obdobnými eliptickými bikvady aktivními (SAB-E).
Tyto obvody umožňují realizovat nulové body přenosu na určitém kmitočtu (jeho
rejekci). Tím mohou být vhodnými stavebními bloky aktivních filtrů vyšších řádů
s Cauerovou nebo inverzní Čebyševovou aproximací.
Přenosová funkce eliptického bikvadu je obecně dána vztahem
a2 p 2 + a0
K 0 ( p 2 + ω n2 )
K ( p) =
=
.
ωp
b2 p 2 + b1 p + b0
( 6.52 )
2
2
p +
p +ωp
Qp
Podle vzájemné polohy dvou komplexně sdružených pólů (v levé polorovině p) a dvou
komplexně sdružených nulových bodů (na imaginární ose) rozlišujeme:
• ωn = ωp
pásmovou zádrž (BR),
s parametry definovanými v kap. 2.5.6,
• ωn < ωp
eliptickou dolní propust (LPN),
s parametry definovanými v kap. 2.5.7,
• ωn > ωp
eliptickou horní propust (HPN),
s parametry definovanými v kap. 2.5.8.
86
6.7.1
Eliptické aktivní bikvady s dvojitým T-článkem
Z kap. 3.3 je známo, že pasivní RC dvojitý T-článek (BR-RC-DT) pracuje jako BR s
malým činitelem jakosti potlačení signálu. Tuto jakost lze zvýšit, zařadíme-li BR-RC-DT do
zpětné vazby zesilovače. V kap. 6.2 jsme se seznámili s takovouto obecnou strukturu
(Obrázek 6.2) a ukázali jsme si, že obvod má celou řadu variant, které jsou blíže definovány
a podrobně rozebrány v [ 9] a [ 8]. Jednodušší zapojení se souměrnými T-články dovolují
realizovat pouze BR, s nesouměrnými články pak i DPN nebo HPN.
Vybraná dvě zapojení SAB-BR-DT jsou uvedena na Obrázek 6.11. Jednodušší varianta
SAB-BR-DT-1 (Obrázek 6.11a) má parametry přenosu ( 2.33 )
a)
b)
Obrázek 6.11:
Eliptické aktivní bikvady s dvojitými T-články.
a) aktivní pásmová zádrž SAB-BR-DT-1, b) Limovo zapojení SAB- BR -DT-2.
RB
1
1
, ωn = ω p =
, Q=
( 6.53 )
RA
2(2 − A)
CR
Pro zadaný kmitočet rejekce (f0 = fp = fn), při zvoleném C dle vztahu ( 6.29 ), vypočteme
R ( 6.53 ). Podle žádané selektivity (Q) určíme dle ( 6.53 ) požadované zesílení A a tím i K0.
Ze vztahu pro Q je zřejmé, že potřebné zesílení se mění pouze A = 1 ÷ 2. Další modifikace
SAB-DT, používající i nesouměrný DT-RC, najdeme v literatuře [ 9].
K0 = A = 1+
Elektrické filtry
87
Příklad 6.28:
Návrh SAB-BR-DT-1
Navrhněte pásmovou zádrž 2. řádu, na kmitočtu f0 = 50 Hz, s Q = 10, s užitím bikvadu
SAB-BR-DT-1.
Zajímavá je varianta SAB- BR -DT-2 na Obrázek 6.11b, která se také označuje jako
Limovo zapojení. Její předností je možnost nastavovat Q nezávisle na nastavení fn a to
změnou A. Parametry přenosu ( 2.33 ) u tohoto zapojení jsou
R
1
2 1 + 2q
1
K0 = , ωn = ω p =
, q= F
, d = Q −1 = 4 −
A
RE . ( 6.54 )
A 1+ q
R

q
C  +
R E 
 2 1+ q

6.7.2
Eliptické Friendovy aktivní bikvady
K realizaci aktivních eliptických bikvadů můžeme použít vedle DT i jiné struktury.
Nejpoužívanější jsou obvody SAB vycházející z obecné Friendovy struktury uvedené v [ 18].
a)
b)
Obrázek 6.12: Friendovy eliptické aktivní bikvady.
a) modifikovaná dolní propust SAB-DPN-F, b) . modifikovaná horní propust SAB-HPN-F
6.7.2.1 Eliptická dolní propust SAB-LPN-F
Takovéto velmi oblíbené zapojení eliptické dolní propusti SAB-LPN-F je na Obrázek
6.12a. Má obecný přenos( 2.34 ) a následující parametry
R1 ω n2
R
1
= 2 > 1,
K0 = 1+
ωp =
, ωn = ω p 1+ 1 .
( 6.55 )
R5 ω p
R5
C1 R1C 2 R2
Pro správnou činnost obvodu nutno splnit podmínku
2
R3 2 f p R2
= 2
.
R4
f n R1
( 6.56 )
88
Nevýhodou tohoto zapojení je, že počáteční přenos je vždy K0 > 1. Požadujeme-li K0 = 1
zvolíme obdobné zapojení se třemi C, uvedené v [ 17], [ 18].
Návrh SAB-LPN-F:
1. Vstupní údaje navrhovaného bikvadu jsou fp, fn a kvalita pólu Q (Q < 10).
2. U této varianty předpokládáme stejné kapacitory C1 = C2 = C.
3. Nejprve volíme hodnotu C, opět podle vztahů ( 6.29 ). Skutečnou hodnotu volíme co
nejblíže z vyráběné řady, při tom větší než Cmin.
4. Vypočteme poměrovou veličinu n a navrhneme hodnoty odporů R1 a R2
R
1
1
R
, R=
,
,
n= 2 =
R1 =
R2 = R n .
( 6.57 )
2
2π f p C
R1 4Q
n
5. Navrhneme hodnoty dalších odporů filtru
10 4 ω p R1
ω 2p
10 4 ω n 2 R2
R5 = R1 2
, R3 =
, R4 =
.
( 6.58 )
R1
2 R2
ω n − ω p2
ωp
ωn
Příklad 6.29:
Návrh SAB-LPN-F
Navrhněte eliptickou dolní propust 2. řádu, s kmitočtem pólu f0 = 1 kHz, s Q = 1,
s kmitočtem nulového bodu (rejekce) f0 = 10 kHz, s užitím bikvadu SAB-LPN-F.
6.7.2.2 Eliptická pásmová zádž SAB-BR-F
Stejným způsobem budeme navrhovat modifikaci tohoto obvodu na pásmovou zádrž
SAB-BR-F. Tehdy fp = fn a jak vyplývá ze vztahu pro R5 ( 6.58 ) tento rezistor u pásmové
zádrže nebude. Jinak je návrh shodný s kap. 6.7.2.1.
6.7.2.3 Eliptická horní propust SAB-HPN-F
Duální eliptickou horní propust dostaneme, zaměníme-li R a C ve smyčkách zpětné
vazby (mimo R3 a R4) v zapojení na Obrázek 6.12a. Tím získáme zapojení se třemi
kapacitory s K0 > 1, které je podrobně rozebráno v [ 17].
Vhodnější je varianta SAB-HPN-F na Obrázek 6.12b se dvěma C. Obvod má obecný
přenos ( 2.36 ) a následující parametry
RR
1
K 0 = K (∞) = 1,
,
ωp =
ωn = ω p 1− 1 3 .
( 6.59 )
R 4 R5
C1 R1C 2 R2
Pro správnou činnost obvodu nutno splnit podmínku
2
R3 2 f p R2
= 2 .
R4
f n R1
( 6.60 )
Návrh SAB-HPN-F:
1. Vstupní údaje navrhovaného bikvadu jsou fp, fn a kvalita pólu Q (Q < 10).
2. Optimální varianta u tohoto zapojení je stejné rezistory R1 = R2 = R a různé kapacitory
C1 a C2.
3. Nejprve volíme hodnotu C, opět podle vztahů ( 6.29 ).
4. Vypočteme poměrovou veličinu m a navrhneme hodnoty kapacitorů
C
1
C
, ,
,
n= 1 =
C2 =
C1 = C n .
( 6.61 )
2
C 2 4Q
n
5. Vypočteme hodnoty odporů R1 a R2
1
.
R1 = R2 = R =
( 6.62 )
2π f p C
6. Navrhneme hodnoty dalších odporů filtru
Elektrické filtry
89
ω 2p
10 4 ω n
,
R5 = 2 R2 2
R
=
3
ω p − ω n2
ωp
10 4 ω p
2 R2
, R4 =
R1
ωn
R1
.
2 R2
( 6.63 )
6.8 Vliv reálného aktivního prvku na parametry filtru
Každý reálný aktivní prvek se k definovaným vlastnostem ideálního jen více či méně
přibližuje a vedle základních parametrů se u něj objevují parametry a jevy parazitní. Ty pak
ovlivňují vlastnosti s ním navrženého aktivního filtru. Tyto jevy se více projevují při vyšších
nárocích na navrhovaný filtr, u filtrů na vyšších kmitočtech, s vyšší hodnotou Q, u pásmových
propustí a zádrží. Navrhovanému filtru musíme tedy vhodně vybrat a přizpůsobit aktivní
prvek.
Blíže se zaměříme na nejvíce používané operační zesilovače. Obdobně se však chovají i
další aktivní prvky. U reálného operačního zesilovače se na zkreslení parametrů filtru nejvíce
podílí výstupní odpor OA, hodnota zesílení a jeho kmitočtová závislost. To si ukážeme na
následujících příkladech.
Příklad 6.30:
Studium vlivu zesílení a výstupního odporu OA v SAB-LP-SK.
V Příklad 6.9 navržené Butterworthově dolní propusti SAB-LP-SK-1, s fm = 1 kHz,
simulacemi v PSpice prostudujte vliv zesílení a výstupního odporu. V obvodu budeme
modelovat reálný OA prvkem EAMP, s parametrem A = 103. Na výstupu ho doplníme
rezistorem R5, který si pro parametrickou analýzu označíme {ROUT } a jeho hodnotu
budeme měnit po dekádách od 0,1 do 1000 Ω. V druhém experimentu budeme při R5 =
100 Ω měnit zesílení A = 102 až 105 opět po dekádách.
V současné době je snaha využít aktivní filtry i ve vyšších kmitočtových pásmech až do
oblasti video, aby se pak tyto mohly vhodně realizovat v integrované formě, což u pasivních
filtrů činí potíže. Pro tyto aplikace jsou již dnes dostupné rychlé operační zesilovače nebo jiné
aktivní prvky, většinou však cenově náročnější. Proto vybíráme odpovídající typ OA,
většinou podle hodnoty tranzitního kmitočtu fT. Pro výběr můžeme orientačně použít
v literatuře [ 3 ] uváděný vztah
f T ≥ 200 ∗ f m ∗ Q
( 6.64 )
Jak uvidíme z následujících experimentů, pro vyšší kmitočtová pásma filtrů je tento
požadavek příliš krutý. Lépe je využít simulace daného filtru ve Spice, kde z knihovny
vybíráme vhodné OA a používáme jejich profesionální modely.
Poznáme-li vliv A(f) reálného OA na modulovou charakteristiku daného filtru, můžeme
filtr navrhnout předzkresleně tak, že v reálu bude mít charakteristika požadovaný tvar. To
v jistých mezích umožňuje návrhový program NAF, který nejdříve sdělí požadovanou
hodnotu fT a pak umožní najít korigované hodnoty pasivních součástek, pro nám dostupný
OA, s menší hodnotou fT. To je pochopitelně možné jen v určitém omezeném rozsahu, který
NAF sdělí.
Příklad 6.31:
Korekce hodnot součástek u reálné ARC dolní propusti.
Pomocí programu NAF navrhněte dolní propust ARC s parametry: aproximace
Butterworth (Q = 0,707), fm = 1 MHz, Km = -3 dB, fs = 6 MHz, Ks = -30 dB.
Zjistěte požadovaný fT a pokuste se najít potřebný operační zesilovač. Proveďte korekci
hodnot součástek pro předzkreslení filtru, použijeme-li v zapojení OA s fT = 50 MHz a
pak druhý typ s fT = 5 MHz.
90
Příklad 6.32:
Simulace reálné ARC dolní propusti s různými OA
Pomocí obvodového simulátoru PSpice nakreslete (v jednom grafu) a porovnejte
modulovou charakteristiku dolní propusti ARC z předchozího Příklad 6.31 při použití
ideálního OA (udělejte si svůj model), LM 741 (fT = 15 MHz), OP 471 (fT = 30 MHz) a
AD 844. (fT = 60 MHz).
Příklad 6.33:
Korekce hodnot součástek u reálné ARC pásmové propusti.
Pomocí programu NAF navrhněte pásmovou propust ARC 2. řádu, na středovém
kmitočtu f0 = 100 kHz a šířce pásma B-3 dB = 50 kHz. Zjistěte požadovaný fT a pokuste
se najít potřebný operační zesilovač. Proveďte korekci hodnot součástek pro
předzkreslení filtru, použijeme-li v zapojení OA s fT = 10 MHz.
Příklad 6.34:
Simulace reálné ARC pásmové propusti s různými OA
Pomocí obvodového simulátoru PSpice nakreslete (v jednom grafu) a porovnejte
modulovou charakteristiku pásmové propusti ARC z předchozího Příklad 6.33 při
použití ideálního OA a OA typu: LM 741 (fT = 1 MHz), OP 471 (fT = 30 MHz) a AD
844. (fT = 60 MHz).
Z předchozích příkladů je patrno, že u pásmové propusti vlivem reálného OA s nízkým fT
došlo ke snížení kmitočtu f0 filtru, k rozšíření šířky přenášeného pásma a tedy ke snížení
hodnoty Q.
6.9 Filtry ARC 2. řádu s více aktivními prvky
Rozvoj technologie integrovaných obvodů odsunul do pozadí snahu po co nejmenším
počtu aktivních prvků ve filtrech ARC. Bikvady s několika zesilovači (MAB) mají nižší
citlivosti, menší vliv reálných OZ a méně pasívních součástek s menším rozptylem hodnot
(výhodné pro integrované výrobní formy). Tyto obvody jsou univerzálnější (více výstupů s
různým charakterem). Mají také vyšší Q a možnost nezávislého nastavování parametrů. Na
druhé straně větší příkon, rozptyl výkonu (tepla) a větší šum.
6.9.1 Filtry ARC 2. řádu s dvěma aktivními prvky
Zatlumování bikvadu SAB-BP, vlivem reálného OA, můžeme eliminovat zavedením
kladné zpětné vazby. K tomu je nutno doplnit obvod o další sumační aktivní prvek. Nejčastěji
je realizovaný druhým OA. Tak získáme jednu skupinu bikvadů DAB. Tento princip blíže
rozebereme v kap. 6.9.2.
Jednodušší princip získání DAB tkví v oddělení RC článků, ve smyčce kmitočtově
závislé ZV v SAB. A to zařazením napěťového sledovače, realizovaného obvykle dalším OA.
Získání DAB ilustrujeme na několika příkladech.
Příklad 6.35:
Realizace DAB-LP-SK
Do klasického bikvadu SAB-LP-SK (Obrázek 6.3a) zařadíme oddělovací napěťový
sledovač a to do větve před R3. Obě zapojení symbolicky analyzujte SNAPem, určete
přenosy napětí a z nich odvoďte vzorce pro činitele jakosti.
Porovnáním v Příklad 6.35 odvozených symbolických vztahů jasně vyplývá, že došlo ku
zvýšení Q. Obdobně tak můžeme učinit i u SAB-LP-H. Na vzniklá zapojení DAB můžeme
pohlížet jako na dva integrátory ve smyčce, z nichž jeden je ztrátový a druhý bezeztrátový.
Zvýšení hodnoty Q budeme dokumentovat i následujícími simulacemi ve PSpice.
Elektrické filtry
91
Příklad 6.36:
Realizace DAB-BP-H
Do pásmové propusti SAB-BP-H navržené v Příklad 6.33 zařaďte do větve s C3
napěťový sledovač. Obě zapojení SAB i DAB numericky analyzujte v simulátoru
PSpice, se standardním OA typu LM741 a sledovačem, modelovaným prvkem EAMP.
Porovnejte získané modulové charakteristiky (v jednom grafu).
Obdobně lze získat i další bikvady DAB. Vložením oddělovacího zesilovače do SAB-BPSK Obrázek 6.4c získáme DAB-BP-SK. Toto zapojení se v literatuře označuje jako Mitrovo
(DAB-BP-M). Jeho návrh najdeme v [ 16 ].
6.9.2
Zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP
U pásmových propustí často potřebujeme hodnotu Q větší, než dovoluje daný SAB-BP.
Tehdy můžeme hodnotu Q navýšit odtlumením obvodu, zavedením kladné ZV. Blokové
)
schéma je na Obrázek 6.13. Původní SAB-BP, charakterizovaný přenosem K ( p ) v obecném
tvaru ( 2.25 ), je zde doplněn sumačním funkčním blokem, s násobícími koeficienty 1 a β, což
je zpětnovazební činitel (0 <β<1).
Obrázek 6.13:
Blokové schéma odtlumení bikvadu zavedením kladné ZV.
Celkový přenos blokové uspořádání se ZV je
ωp
p
)
Qp
K ( p)
K ( p) =
=
.
)
( 6.65 )
ωp
1 − β K ( p)
2
2
p +
p +ωp
Q p (1 − β ) −1
Z čehož vyplývá, že nový (požadovaný) efektivní (celkový) činitel jakosti Qef je dán
původním Qp a činitelem ZV (β).
Qp
Qef =
.
( 6.66 )
1− β
Většinou známe původní hodnotu Qp dosažitelnou daným SABem a požadovanou hodnotu Qef
a navrhujeme zpětnou vazbu
Qp
. Předpokládáme, že Qef > Qp.
β = 1−
( 6.67 )
Qef
Aplikaci ZV si ukážeme u SAB-BP-H. Původní schéma na Obrázek 6.4b doplníme
sumačním funkčním blokem, realizovaným druhým OA a dostáváme schéma DAB-BP-H na
Obrázek 6.14.
92
Obrázek 6.14:
DAB-BP-H umožňující dosáhnout vyšší hodnotu Q.
Návrh DAB-BP-H:
1. Ze zadaného požadovaného Qef a původního dosažitelného Qp navrhneme dle ( 6.67 )
zpětnou vazbu (β).
2. Není-li požadované Qef přímo zadáno, vypočteme ho jako činitele tvaru modulové
charakteristiky, ze známého vztahu
f
Qef = 0 , kde
B−3dB = ∆f −3dB = f m 2 − f m1 .
( 6.68 )
B−3dB
3. Volíme hodnotu C tak, aby hodnoty R vyšly realizovatelné, pomůže nám vztah
( 6.29 ).
4. Vypočteme hodnoty odporů jednotlivých rezistorů. Nejprve
2Q p
R
R1
R3 =
,
R1 = 3 ,
R2 =
.
( 6.69 )
ω pC
2
2Q p2 − 1
5. Volíme hodnotu R (řádově kΩ) a vypočteme další rezistory dle
R
R
R6 = ,
R4 = R,
R5 =
.
β
(1 − β ) K 0
( 6.70 )
Příklad 6.37:
Návrh DAB-BP-H
Navrhněte aktivní pásmovou propust 2. řádu s f0 = 3,6 kHz, B-3dB = 60 Hz, K0 = 3. Jak
zjistíte výpočtem požadovaného Q, nutno místo SAB-BP-H použít DAB-BP-H.
6.9.3 Filtry ARC 2. řádu s třemi a více aktivními prvky
Bikvady se třemi aktivními prvky (TAB) mají univerzálnější využití, díky třem výstupům
OA, na které lze připojit libovolnou zátěž, bez vlivu na činnost obvodu. Na výstupech
jednotlivých OA dovolují současně realizovat DP, PP a HP. Za použití čtvrtého OA,
realizujícího sumační funkční blok, kam svedeme všechny tři předešlé výstupy, lze také
současně realizovat i PZ, DPN a HPN. Tyto obvody mají větší možnosti nezávislého
nastavování parametrů a přelaďování. Na druhé straně větší příkon, rozptyl výkonu (tepla) a
větší šum.V literatuře (např. [ 16 ]) najdeme celou řadu zapojení TAB. My si blíže všimneme
nejvíce používaného zapojení TAB-KHN.
6.9.3.1 Bikvad TAB-KHN
Na základě popisu obecného bikvadu stavovými proměnnými a realizací těchto rovnic
dvěma integrátory ve smyčce (blíže viz. kap. 8.4), navrhli Kervin, Huelsman a Newcomb
bikvad TAB-KHN, jehož schéma je na Obrázek 6.15.
Elektrické filtry
Obrázek 6.15:
93
Bikvad TAB-KHN.
Na výstupech tří OA současně získáváme tři různé přenosy a to
OA1-HP:
a
,
K HP ( p) =
( 6.71 )
D( p )
OA2-PP:
− aC1 R1
K PP ( p) =
,
( 6.72 )
D( p)
OA3-DP:
aC R C R
K DP ( p) = 1 1 2 2 ,
( 6.73 )
D( p)
U všech je stejný jmenovatel D(p)
A ( A − 1)
A1 − 1
D( p) = p 2 + p 1 2
+
,
( 6.74 )
A2 C1 R1
C1 R1C 2 R2
a společné vhodně zavedené koeficienty
R
R
A
a= 1,
A1 = 1 + 6 , A2 = 1 + 3 .
( 6.75 )
A2
R5
R4
Obecný přenos 2. řádu
Jmenovatelem D(p) ( 6.74 ) jsou určeny společné dva základní parametry bikvadu
TAB-KHN a to je kmitočet a kvalita pólů
A1 − 1
A2
( A1 − 1) C1 R1 .
Q=
,
ωp =
( 6.76 )
( A2 − 1)A1
C1 R1C 2 R2
C 2 R2
Z těchto vztahů vyplývá následně uvedený postup návrhu a také úvaha o možnosti
nastavování parametrů tohoto bikvadu. Přelaďování (kmitočet pólů) je vhodné realizovat
současnou změnou R1 a R2 (tandemovým potenciometrem). Kvalitu pólů pak nastavit změnou
rezistoru R4.
Návrh TAB-KHN:
1. Vstupními údaji jsou kmitočet fp a kvalita pólu Q (Q < 25), popřípadě zisk K0.
2. Předpokládáme stejné kapacitory C1 = C2 = C.
3. Nejprve volíme hodnotu C, opět s pomocí vztahu ( 6.29 ).
4. Vypočteme hodnoty odporů R1 a R2
94
A1 ( A2 − 1)
A2 ( A1 − 1)
1
Q
,
.
R2 =
( 6.77 )
2π f p CQ A1 ( A2 − 1)
2π f p C
A2
5. Navrhneme hodnoty dalších odporů filtru s užitím vztahu ( 6.75 ). Poměrem A1/ A2 lze
snížit rozptyl hodnot odporů a dosáhnout požadovaný zisk filtru K0.
Úprava úrovně výstupního napětí na jednotlivých OZ a tím snížení nelineárního zkreslení
je uvedena v [ 16 ].
R1 =
6.9.3.2 Další bikvady s třemi OA
Další dva vybrané bikvady s třemi OA jsou pro ilustraci uvedeny na Obrázek 6.16.
Bikvad TAB-TT (Thomas, Tow) na Obrázek 6.16a je jinou, také vhodnou variantou,
předchozí struktury dvou integrátorů ve smyčce. V podstatě smyčku zde tvoří dva bloky.
První invertující integrátor (OZ1) je tlumený. Tlumící rezistor R1 je připojen paralelně ku
kondenzátoru C1. Druhý potřebný neinvertující integrátor je zde řešen kaskádním spojením
běžného neinvertujícího integrátoru (OZ2) a invertoru (OZ3).
Poznamenejme, že požadované blokové zapojení invertujícího a neinvertujícího
integrátoru, tedy dvou bloků ve smyčce je u TAB-KHN modifikován na zapojení tří bloků ve
smyčce, dvou standardních invertujících integrátorů a zvláštního invertoru.
Bikvad TAB-TG (Tarmy, Ghausi) na Obrázek 6.16b je příkladem moderní varianty,
využívající zesilovače s plovoucím výstupem. Jeho výhodou jsou nízké citlivosti a malý vliv
reálného přenosu zesilovače a jeho kmitočtové závislosti. Používá se na vyšších kmitočtech a
pro vyšší Q. V literatuře [ 16 ] je podrobný rozbor tohoto bikvadu. Najdeme zde i jeho
modifikaci, využívající běžné OA-DISO (Moschytz). Obvod je opět možné doplnit
sumátorem (čtvrtý aktivní prvek), pro získání obecného přenosu 2. řádu a filtrů s nulovými
body přenosu. Řadu dalších zapojení bikvadů s více OA najdeme v [ 16 ], [ 3 ], [ 9 ], [ 22 ] aj.
Najdeme tam i duální zapojení s jedním výstupem a třemi vstupy, různého charakteru filtrace
(DP, PP a HP).
a)
b)
Obrázek 6.16: Vybrané bikvady s třemi OA.
a) TAB Thomas-Tow, TAB Tarmy, Ghausi.
Elektrické filtry
95
1. Pojednejte o aktivních filtrech ARC, popište vlastnosti, dělení, obecná struktura.
2. Nakreslete schéma neinvertující aktivní dolní propusti 1.řádu s operačním
zesilovačem. Uveďte její vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových
bodů.
3. Nakreslete schéma invertující aktivní dolní propusti 1.řádu s operačním zesilovačem.
Uveďte její vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů.
4. Nakreslete schéma invertující aktivní horní propusti 1.řádu s operačním zesilovačem.
Uveďte její vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů.
5. Nakreslete schéma a popište alespoň dvě z obecně možných struktur filtru 2. řádu bikvadu ARC s jedním zesilovačem (SAB).
6. Nakreslete schéma aktivní dolní propusti 2.řádu s jednoduchou zpětnou vazbou SABDP-SK (Sallen - Key). Uveďte její vlastnosti.
7. Pojednejte o návrhových variantách obvodu SAB-DP-SK (Sallen - Key).
8. Nakreslete schéma aktivní horní propusti 2.řádu s jednoduchou zpětnou vazbou SABHP-SK (Sallen - Key). Uveďte její vlastnosti.
9. Nakreslete schéma aktivní dolní propusti 2.řádu s rozvětvenou zpětnou vazbou SABDP-H (Huelsman). Uveďte její vlastnosti.
10. Nakreslete schéma aktivní horní propusti 2.řádu s rozvětvenou zpětnou vazbou SABHP-H (Huelsman). Uveďte její vlastnosti.
11. Nakreslete schéma aktivní pásmové propusti 2.řádu s jednoduchou zpětnou vazbou
SAB-PP-SK (Sallen - Key). Uveďte její vlastnosti.
12. Nakreslete schéma aktivní pásmové propusti 2.řádu s rozvětvenou zpětnou vazbou
SAB-PP-H (Huelsman). Uveďte její vlastnosti.
13. Nakreslete alespoň jedno schéma ARC dolní propusti 2.řádu s moderním aktivním
prvkem jiným než operačním zesilovačem.
14. Nakreslete alespoň jedno schéma ARC horní propusti 2.řádu s moderním aktivním
prvkem jiným než operačním zesilovačem.
15. Popište princip eliptických (modifikovaných) bikvadů. Jaké typy SAB-E znáte?
Uveďte obecný vztah pro jejich přenos napětí.
16. Nakreslete schéma Friendova zapojení eliptické (modifikované) ARC dolní propusti
2.řádu SAB-DPN-F. Uveďte jeho vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a
nulových bodů.
17. Nakreslete alespoň jedno schéma aktivní pásmové zádrže SAB-BR. Uveďte jeho
vlastnosti, obecný přenos napětí, rozložení pólů a nulových bodů.
18. Nakreslete alespoň jedno schéma aktivního bikvadu RC s dvěma operačními
zesilovači (DAB). Uveďte jeho vlastnosti.
19. Pojednejte o možnostech zvýšení hodnoty činitele jakosti u SAB-BP.
20. Nakreslete a vysvětlete blokové schéma odtlumení bikvadu zavedením kladné ZV.
21. Nakreslete a vysvětlete schéma DAB-BP-H.
22. Pojednejte o filtrech ARC 2. řádu s třemi a více aktivními prvky. Uveďte jejich
výhody a nevýhody.
23. Nakreslete a vysvětlete schéma aktivního bikvadu RC s třemi operačními zesilovači
TAB-KHN.
24. Pojednejte o vlivu reálného aktivního prvku na parametry filtru ARC 2. řádu.
96
7 Aktivní filtry RC vyšších řádů
Cíle kapitoly: Seznámit studenty s principem kaskádní syntézy. S vlastnostmi aktivních
RC filtrů vyšších řádů. Se zadáváním požadavků na celé filtry i jejich stavební bloky.
S různými pomůckami pro návrh těchto obvodů. Naučit studenty navrhnout aktivní RC
filtry vyšších řádů různých typů pomocí zde uvedeného katalogu.
1. Jak vypadá obecná přenosová funkce filtrů vyšších řádů a jak se dá rozložit?
2. Jak jednoduše získáme celkový přenos napětí jsou–li bloky řazeny kaskádně?.
3. Jak jednoduše získáme celkovou modulovou charakteristiku v dB kaskádně řazených
bloků?
4. Co je to bikvad a jaké má parametry a obecnou přenosovou funkci?
5. Jaké kaskádně řazené bloky bude obsahovat filtr 7. řádu?
7.1 Kaskádní syntéza ARC filtrů vyšších řádů
Obvody ARC 1. a 2. řádu, uvedené v předchozí kapitole 6, lze využít jako stavební bloky
pro syntézu filtrů ARC vyšších řádů. Z různých možností zapojení těchto bloků se omezíme
na nejpoužívanější kaskádní řazení. Princip kaskádní syntézy je na Obrázek 7.1. Spočívá
v rozložení zadané přenosové funkce ( 2.10 ) na součin několika dílčích funkcí 2. řádu a jedné
1. řádu (pro lichá n)
a1 p + a0 n / 2 a 2i p 2 + a1i p + a 0i
K ( p) = K 0
( 7.1 )
∏
b1 p +b0 i =1 b2i p 2 + b1i p + b0i
Rovnici ( 7.1 ) odpovídá obvodová realizace na Obrázek 7.1a. Požadovaná modulová
charakteristika (Obrázek 7.1d) se v logaritmických souřadnicích (v dB) získá sečtením
charakteristik jednotlivých bloků tak, jak je naznačeno na Obrázek 7.1c. Zde jsou dva bloky
2. řádu s nulami přenosu a jeden blok 1. řádu. Poznamenejme, že na pořadí bloků v kaskádě
teoreticky nezáleží. U reálného obvodu však dosáhneme největší dynamiku jsou-li bloky
seřazeny podle narůstajícího Q. Z obrázku je zřejmý i vliv parametrů jednotlivých bloků na
výsledný tvar charakteristiky a tim i možnosti přesného dostavování celého filtru. Toto
oddělené dostavování jednotlivých sekcí je velká výhoda kaskádní realizace. Dají se tak lehce
potlačit parazitní jevy, hlavně ztráty, v reálném obvodě. Po přesném jednodušším nastavení
jednotlivých sekcí jsou zaručeny požadované vlastnosti celého filtru.
Na druhé straně nevýhodou kaskádní realizace jsou vyšší citlivosti výsledných parametrů
celého filtru na změnu parametrů dílčích bloků. Nižší citlivosti vykazují nekaskádní struktury
uvedené např. v [ 16 ]. Jedna z nich označovaná FLF (follow the leader feedback) je pro
ilustraci uvedena na Obrázek 7.1b. Syntéza takovýchto filtrů je však náročnější. V kap. 8 si
ukážeme ještě jiné principy a způsoby syntézy ARC filtrů vyšších řádů, využívající syntetické
prvky a funkční bloky.
7.2 Návrh ARC filtrů vyšších řádů
Při kaskádní syntéze ARC filtrů vyjdeme, stejně jako u pasivních filtrů LC(R), ze zadaného
tolerančního pole nebo ze základních parametrů požadovaného filtru (fm resp. fo , fp, Q, B) a
typu aproximace. Jako obvykle nejprve určíme řád NDP (n), a to dle kap.4.4.2.
Elektrické filtry
Obrázek 7.1:
Syntéza filtrů ARC vyšších řádů.
a) kaskádní struktura, b) nekaskádní struktura (FLF), c) modulové charakteristiky
jednotlivých bloků, d) modulová charakteristika celého filtru.
Tabulka 7.1:
Tabulka pro kaskádní syntézu polynominálních filtrů ARC.
(bez nulových bodů přenosu). Parametry NDP jsou normované ke kmitočtu pólů.
97
98
Tabulka 7.2: Tabulka pro kaskádní syntézu eliptických filtrů ARC.
Elektrické filtry
Tabulka pro kaskádní syntézu eliptických filtrů ARC (s nulovými body přenosu) –část 2.
99
100
7.2.1
Normovaná dolní propust pro kaskádní syntézu
)
Parametry jednotlivých bloků NDP pro kaskádní syntézu ( F0 , FN , Q ) najdeme pro určený
řád (n) a zvolenou aproximaci v Tabulka 7.1 resp. Tabulka 7.2. Lze také použít koeficienty
z Tabulka 4.4, což je však méně praktické.
NDP n-tého řádu se může skládat z jednoho bloku NDP 1. řádu (v případě že jde o
lichý řad), z několika NDP 2. řádu a v případě eliptických filtrů i z několika NDPN, s
nulovými body přenosu. Tyto bloky NDP jsou popsány těmito vztahy a parametry.
• NDP 1. řádu
Ω0
K ( s) =
( 7.2 )
s + Ω0 ,
•
NDP 2. řádu
Ω 02
K ( s) =
Ω
( 7.3 )
s 2 + )0 s + Ω 02
Q
,
• NDPN 2. řádu
Ω2
Ω 02 + s 2 N2
Ω0
K ( s) =
( 7.4 )
,
Ω0
2
2
s + ) s + Ω0
Q
kde Ω0 resp. ΩN je kmitočet pólů resp. nulových bodů NDP, normovaný k meznímu fc nebo
střednímu (rezonančnímu) kmitočtu fo celého filtru.
V dalším kroku NDP transformujeme na požadovaný typ filtru dle následujících vztahů.
7.2.2 Transformace NDP na DP
Přenosy K(s) ( 7.2 ), ( 7.3 ), ( 7.4 ) se transformují na K (p) stejného tvaru.
p = s.ω C
⇒
w
)
Q = Q.
f 0 = F0 . f C ,
f N = FN f C ,
( 7.5 )
kde s pruhem jsou označené parametry jednotlivých sekcí (odlišně značené od parametrů
celého filtru bez pruhu a NDP se střížkou).
7.2.3
Transformace NDP na HP
Přenosy K(s) ( 7.2 ), ( 7.3 ), ( 7.4 ) se transformují na K(p) duálního tvaru, kmitočtově
převráceného k fc.
p = ωC / s
⇒
f 0 = f C / F0 ,
7.2.4
w
f N = f C / FN ,
)
Q = Q.
( 7.6 )
Transformace NDP na PP
7.2.4.1 Transformace NDP 1. řádu na PP 2. řádu
Přenos ( 7.2 ) se transformuje na
w
ω
p. w0
w
ω0 w 2
Q
2
K ( p) =
D ( p ) = p + p. w + ω 0
,
D( p)
Q
.
( 7.7 )
Elektrické filtry
101
Parametry sekce jsou
w
w
f
f0 = f0 ,
Q= 0
F0 B
( 7.8 )
7.2.4.2 Transformace NDP 2. řádu na PP 4. řádu = 2*PP 2. řádu
w
w
ω 01
ω 02
K 01 p. w K 02 p. w
Q2
Q1
.
,
K ( p ) = K 1 ( p ).K 2 ( p ) =
D2 ( p )
D1 ( p )
Parametryw dvou různě nwaladěných podsekcí PP jsou
f 01 = f 0 .k F , f 02 = f 0 / k F , Q = Q1 = Q2 , K 01 = K 02 = K 0 .
Ty vypočteme pomocí
)
2 f0
α2
Q
α=
,
1 + α 2 + (1 + α 2 ) 2 − ) 2 ,
Q =
F0 B
Q
2
2
kF =
 Q 
Q
) +  )  − 1,
αQ
α Q 

1 
 + 1.
K 0 = Q 2  k F −
k F 

( 7.9 )
( 7.10 )
( 7.11 )
7.2.4.3 Transformace NDP 2. řádu na PP 4. řádu = DP 2. řádu + HP 2. řádu
w2
K 01ω 01
K p2
K ( p) = K 1 ( p ).K 2 ( p ) =
. 02 ,
( 7.12 )
D1 ( p) D2 ( p )
Parametry dvou různých podsekcí DP a HP určujeme stejně jako v předchozí kap. 7.2.4.2až
na určení přenosu K0, zde platí
K ω 02
.
K 01 = K 02 = 0
( 7.13 )
Q ω 01
7.2.4.4 Transformace NDPN na DPN + HPN
U eliptických filtrů nutno realizovat i nulové body. Přenos ( 7.4 ) se transformuje na
K ( p 2 + ω N2 1 ) ( p 2 + ω N2 2 )
K ( p) = K 1 ( p).K 2 ( p) = 0
.
.
( 7.14 )
D1 ( p )
D2 ( p )
Parametry pólů dvou eliptických podsekcí DPN a HPN určujeme stejně jako v kap. 7.2.4.2.
Podobně wurčíme parametry
nulových bodů
w
f N 1 = f 0 .k N , f N 2 = f 0 / k N ,
( 7.15 )
a to pomocí
1 + 1 + α N2
2 f0
( 7.16 )
,
.
kN =
αN =
FN B
αN
Konstanta přenosu je
Ω 20
K0 = 2 .
( 7.17 )
ΩN
7.2.5
Transformace NDP na PZ
7.2.5.1 Transformace NDP 1. řádu na PZ 2. řádu
102
w
p 2 + ω 02
ω
w
, D( p) = p 2 + p w0 + ω 02 .
D( p)
Q
Parametry sekce jsou
w
w f F
f0 = f0 , Q = 0 0 .
B
K ( p) =
( 7.18 )
( 7.19 )
7.2.5.2 Transformace NDP 2. řádu na DPN + HPN
K ( p 2 + ω N2 1 ) ( p 2 + ω N2 2 )
K ( p) = K 1 ( p).K 2 ( p ) = 0
.
.
( 7.20 )
D1 ( p )
D2 ( p )
Parametryw pólů dvou eliptických
podsekcí DPN a HPN jsou
w
f 01 = f 0 / k F , f 02 = f 0 .k F , Q = Q1 = Q2 , K 0 = 1.
( 7.21 )
Určujeme je podobně jako u PP v kap.7.2.4.2, dle vztahů ( 7.11 ), až na jiný vztah pro α
α =
2 f 0 F0
.
B
( 7.22 )
Nulové body (rejekce) jsou stejné, na kmitočtu
f N1 = f N 2 = f 0
( 7.23 )
7.2.5.3 Transformace NDPN na DPN + HPN
Přenos ( 7.4 ) se transformuje na ( 7.20 ). Parametry pólů určíme stejně jako v
předchozím případě (kap. 7.2.5.2), dle vztahů ( 7.21 ) a ( 7.22 ). Dále vypočteme parametry
nulovýchwbodů
w
f N 1 = f 0 / k N , f N 2 = f 0 .k N .
( 7.24 )
kde
αN
2 f 0 FN
,
=
B
kN =
1 + 1 + α N2
αN
.
( 7.25 )
Příklad 7.1:
Pasivní pásmovou propust v kaskádním zapojení
Navrhněte LCR pásmovou propust s následujícími parametry:
fC1 = 0,5 kHz, fC2 = 2 kHz, KC= -3 dB
fS1 = 0,1 kHz, , fS2 = 4 kHz, KS = -40 dB,
jako kaskádu DP a HP.
Příklad 7.2:
Aktivní dolní propust
Navrhněte ARC ekvivalent k pasivnímu filtru z Příklad 4.5.
Příklad 7.3:
Aktivní dolní propust
Navrhněte ARC dolní propust 3. řádu s přenosovou funkcí aproximovanou dle Bessela
pro fmez = 100 Hz a K0= 1.
Příklad 7.4:
Aktivní dolní propust vyšších řádů
Navrhněte ARC dolní propust s Cauerovou aproximací, s kaskádním řazením a
s následujícími parametry: fm = 3,4 kHz, : fS = 3,4 kHz, Kzvl = -0,1 dB, KS = -30 dB.
Příklad 7.5:
Aktivní pásmová propust vyšších řádů
Navrhněte ARC pásmovou propust s inverzní Čebyševovou aproximací, s kaskádním
řazením a s následujícími parametry: fm1 = 900 Hz, fm2 = 1100 Hz, fS2 = 1100 Hz, Kzvl = 3 dB, KS = -40 dB.
Elektrické filtry
103
Příklad 7.6:
Aktivní pásmová zádrž vyšších řádů
Navrhněte ARC pásmovou zádrž s Čebyševovou aproximací, s kaskádním řazením a
s následujícími parametry: f0 = 50 Hz, Kzvl = - 3 dB, KS = -30 dB, B-3dB = 8 Hz, B-30dB =
2 Hz.
Příklad 7.7:
Aktivní pásmovou propust
Navrhněte ARC ekvivalent k pasivnímu filtru z Příklad 4.10.
1.
2.
3.
4.
Vysvětlete princip kaskádní syntézy aktivních filtrů RC vyšších řádů.
Jak u kaskádní syntézy rozložíme zadanou přenosovou funkci?
Pojednejte výhodách a nevýhodách kaskádní syntézy.
Na příkladu filtru vyšších řádů s nulovými body přenosu ukažte jak se tvoří modulová
charakteristika při kaskádní syntéze.
5. Uveďte příklad nekaskádní syntézy, nakreslete blokové schéma.
6. Porovnejte postupy návrhu pasivních a aktivních filtrů.
8 Filtry se syntetickými prvky a funkčními bloky
Cíle kapitoly: Navázat na kap. 5, kde jsme se seznámili s moderními aktivní prvky a
různými funkční bloky. Ukázat jejich typické použití ve filtrech. Zvláště se zaměřit na
filtry s gyrátory, s integrátory a DCR struktury.
1. Definujte gyrátor a ukažte jeho typické použití k simulaci uzemněné a plovoucí cívky.
2. Nakreslete schéma a vysvětlete jak se dá simulovat seskupení cívek pomocí gyrátorů.
3. Pojednejte o jednoduchých zapojeních syntetických induktorů, nakreslete a vysvětlete
alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu.
4. Pojednejte o bezeztrátových syntetických induktorech (zemněných i plovoucích),
nakreslete a vysvětlete alespoň jedno schéma takovéhoto obvodu.
5. Jak je definován prvek FDNR?
6. Pojednejte o realizaci zemněných i plovoucích ideálních FDNR, nakreslete a
7. Pojednejte o realizaci jednoduchých FDNR, nakreslete a vysvětlete alespoň jedno
schéma takovéhoto obvodu.
Pokud jste nedokázali zodpovědět na tyto otázky, zopakujte si kapitolu 5.
8.1 Filtry se syntetickými induktory
V klasických filtrech LC(R) (kap. 4) můžeme nahradit cívku syntetickým induktorem
(kap. 5.3.1). Ten může být realizován pomocí zobecněného imitančního konvertoru (kap.
5.2.2) a nebo gyrátoru (kap. 5.2.1). V kap. 5.3 jsme ukázali, jak pomocí dvou funkčních bloků
lze efektivně realizovat i celé seskupení cívek.
104
8.2 Filtry s gyrátory
Využití gyrátorů k simulaci cívek, jejich seskupení, i celých částí filtrů je přehledně
uvedeno v Tabulka 5.1. Tak lze nahradit L v pasivních propustech LC(R) 2.řádu (DP, PP,
HP, kap. 2) a získat jejich aktivní ekvivalenty.
Obrázek 8.1:
Základní obvody 2.řádu s gyrátorem.
a) dolní propust, b) pásmová propust,
c) horní propust.
Na Obrázek 8.1 je ukázána jiná a to přímá realizace těchto propustí s gyrátorem (s
využitím přenosu gyrátoru). Přenosy všech těchto propustí mají stejného jmenovatele
 1
1 + R1 R2 g 2
1 
 p +
D( p) = p 2 + 
+
( 8.1 )
R1 R2 C1C 2
 R1C1 R2 C 2 
.
Pro jednotlivé obvody jsou pak různí čitatelé přenosů
Obrázek 8.1a:
g
,
DDP ( p ) =
( 8.2 )
R1 R2 C 2
Obrázek 8.1b:
DPP ( p ) = p
g
,
C2
( 8.3 )
Obrázek 8.1c:
g
.
( 8.4 )
C2
Pomocí gyrátorů lze také vhodně realizovat přemostěné struktury vyšších řádů (Obrázek
8.2), kde mezi nesousedními podobvody existují pólotvorné vazby. Při jejich syntéze se
využívá kaskáda dvou stejných gyrátorů (ideální transformátor). Přemostěné struktury jsou
zvlášť vhodné k realizaci eliptických filtrů. Syntéza vychází z prototypu LC(R). Na Obrázek
DHP ( p ) = p 2
Elektrické filtry
105
8.2a je to Cauerova DP 5. řádu s útlumovým plánem na Obrázek 8.2b. Přemostěná
gyrátorová struktura je na Obrázek 8.2c. Byla optimalizována tak, aby gyrační vodivosti
měly stejnou hodnotu.
Obrázek 8.2:
Přemostěné struktury s gyrátory.
a) prototyp LC(R) Cauerova filtru 5.řádu, b) útlumový plán filtru, c) ekvivalentní gyrátorová
struktura.
8.3 Filtry DCR
Filtry DCR využívají syntetický prvek FDNR, definovaný v kap. 5.3.3. K této DCR
struktuře jednoduše dospějeme z předem navrženého prototypu LCR, za použití Brutonovy
transformace [ 15 ].
Transformační funkcí T(p) se mění impedance Z∧ všech větví prototypu (LCR) na
impedanci Z struktury DCR, dle vztahu ( 8.5 ) Jednotlivé prvky se pak transformují tak, jak
přehledně uvádí Tabulka 8.1.
K
, Z = T ( p) Z ^
T ( p) =
( 8.5 )
p
kde K je vhodná konstanta.
Tabulka 8.1:
Brutonova transformace
Prototyp LCR
Ekvivalent DCR
Vztah
R^
C
C=1/KR^
L^
R
R=KL^
C^
D
D=C^/K
Poznamenejme, že Brutonova transformace je invariantní pouze vůči přenosu K(p),
nikoliv však vůči imitančním funkcím.
106
Obrázek 8.3:
Filtr DCR 5. řádu.
a) prototyp LCR normované dolní propusti, b) ekvivalentní struktura DCR,
c) úplné schéma filtru
Příklad filtru DCR, a to dolní propust 5. řádu, je na Obrázek 8.3. Návrh vychází z
prototypu DP-LCR na Obrázek 8.3a. Vzhledem k nižšímu počtu FDNR ve finálním obvodě
prototyp DP-LCR volíme s T-články. Má totiž menší počet C (po transformaci D), než
struktura s Π-články. Navržený prototyp DP-LCR převedeme pomocí Tabulka 8.1 na
ekvivalentní obvod DP-DCR na Obrázek 8.3b. Jednotlivé FDNR (D) pak budeme realizovat
bezeztrátovým zapojením se dvěma OA, dle Obrázek 5.10. Získáme tak výsledné zapojení na
Obrázek 8.3c.
Brutonovou transformací prototypů PP-LCR a. HP-LCR se ve finální struktuře DCR, v
podélných větvích objeví i FDNR plovoucí. Ty se realizují pomocí dvou ZIK-ů, obdobně jako
plovoucí SI na Obrázek 5.12. Stejně můžeme najednou realizovat i seskupení více FDNR
(obdoba Obrázek 5.13). V méně náročných filtrech použijeme jednoduché FDNR tzv.
ztrátové (Obrázek 5.16).
8.4 Filtry s integrátory
Z invertujícího integrátoru s OA vznikl, přidáním dalších vstupů, základní stavební blok
1.řádu (MISO) na Obrázek 8.4a. Jeho graf signálových toků je na Obrázek 8.4b. Ten
použijeme pro syntézu těchto filtrů. Ukážeme si to na několika příkladech.
Elektrické filtry
Obrázek 8.4:
107
Stavební funkční blok 1.řádu. a jeho graf.
Nejprve si ukážeme syntézu bikvadu s integrátory. Vycházíme z obecné přenosové
funkce 2. řádu ( 2.30 ), kde předpokládáme b2 = 1. Takovýto přenos má graf signálových toků
na Obrázek 8.5a. Jeho modifikace pro čtyři výstupy různého charakteru a to HP, PP, DP a
obecný bikvad je na Obrázek 8.5b. Graf pak přímo realizujeme odpovídajícím obvodem,
větve s přenosem p-1 realizujeme integrátory, ostatní větve zesilovači a sumátory. Takto
získané zapojení bikvadu obsahuje větší počet OA, než je obvyklé. Umožňuje však přímo,
jednoduše a nezávisle nastavovat jednotlivé koeficienty přenosové funkce ( 2.30 ). Snížení
počtu OA můžeme dosáhnout modifikací grafu, na úkor menšího využití obvodu.
Obrázek 8.5:
Graf signálových toků s přenosem 2. řádu.
Přímá realizace přenosové funkce vyšších řádů je možná analogovými strukturami
přenesenými z filtrů číslicových [ 9 ]. Na Obrázek 8.6 je graf přímé realizační struktury filtru
5.řádu. Tento graf byl již modifikován, aby se dal realizovat stavebním blokem z Obrázek
8.4a. Přímé realizační struktury se pro vyšší řády, z důvodu složitosti a velkých citlivostí,
používají málo.
Obrázek 8.6:
Graf přímé realizační struktury K(p) 5. řádu.
108
Výhodnější jsou filtry s integrátory, odvozené z prototypu LCR a z jeho stavového
popisu. Ukážeme si to na příkladu Cauerovy dolní propusti 3. řádu. Výchozí prototyp LCR je
na Obrázek 8.7a. V něm zvolíme stavové proměnné (u1, u3, i2) a napíšeme stavové rovnice,
popřípadě přímo nakreslíme odpovídající stavový graf na Obrázek 8.7b. Obdobně jako v
předchozích případech, pak z grafu sestrojíme filtr s integrátory, který je na Obrázek 8.7c.
Obrázek 8.7:
Cauerova dolní propust 3. řádu s integrátory.
a) prototyp LCR, b) stavový graf, c) ekvivalentní filtr s integrátory.
8.5 Aktivní filtry R
Aktivní filtry R využívají kmitočtovou závislost zesílení reálného OA. V podstatě jsou
zvláštní skupinou filtrů s integrátory (kap.8.4). Ten je zde realizován reálným OA s přenosem
A0
ω
≅ T,
A( p ) =
p
p
( 8.6 )
1+
ω0
kde ωT = A0 ω0 je tranzitní kmitočet a ω0 kmitočet dominantního pólu OA. On určuje
parametry filtru R. Kondenzátory se v těchto filtrech vyskytují pouze jako blokovací nebo na
úpravu charakteristiky reálného OA (změnu ωT). Pro kmitočet zpracovávaného signálu musí
platit f >> f0. Proto se tyto filtry používají v kmitočtových pásmech f > 50 kHz. Mají menší
rozměry, jednodušší výrobu stejnou technologii, nižší cenu a menší citlivosti. Na druhé straně
jejich vlastnosti závisí na parazitních, jen informativně definovaných, často i individuálních
parametrech použitých OA. Proto v současnosti tyto filtry nenašly přílišné uplatnění.
Pro ilustraci si ukážeme typickou strukturu bikvadů R. Na Obrázek 8.8 je univerzální
bikvad R (Brand – Schaumann). Na označených výstupech lze současně realizovat základní
propusti DP, PP, HP. Obvod byl odvozen ze stavového popisu , obdobně jako bikvady RC s
integrátory v kap.8.4. Jmenovatel je pro všechny přenosy stejný
Elektrické filtry
109
ω T 1 ω T 1ω T 2
.
+
( 8.7 )
A2
A1
Pro jednotlivé výstupy lze odvodit následující čitatele přenosů
ω ω
ω
1
.
N DP ( p) = − T 1 T 2 , N PP ( p) = − p T 1 , N HP ( p) = p 2
( 8.8 )
A3
A3
A3
Odpory rezistorů určují zavedené proměnné
R
R
R
R
R
R
A1 = 1 + 1 + 1 , A2 = 1 + 2 + 2 , A3 = 1 + 3 + 3 .
( 8.9 )
R 2 R3
R1 R3
R1 R2
Základní parametry toho bikvadu R jsou dány vztahy
ω T 1ω T 2
ωT 2
,
.
Q = A2
ωp =
( 8.10 )
A1
A1ω T 1
Z nich vyplývá, že kmitočet pólu budeme nastavovat změnou R1, činitel kvality změnou R2
Obrázek 8.8. V [ 16 ] jsou uvedeny další zapojení filtrů R a jejich modifikace pro nižší
kmitočtové pásma a větší dynamiku zpracovávaného signálu.
D( p ) = p 2 + p
Obrázek 8.8:
Univerzální bikvad R.
8.6 Aktivní filtry s proudovými konvejory
Aktivní filtry s proudovými konvejory využívají aktivní prvek , který se nazývá proudový
konvejor. Existují různé varianty těchto obvodů, které se od sebe liší přenosovými vlastnostmi
mezi jednotlivými svorkami, popřípadě počtem vstupních a výstupních svorek (viz.Proudové
konvejory)
8.6.1
Filtry prvního řádu s konvejory
Při konstrukci filtrů prvního řádu s konvejory je možno tento aktivní prvek použít jako
oddělovací stupeň pro impedanční oddělení vstupu a výstupu filtru. V tomto případě jsou
vhodnější aktivní filtry s klasickými operačními zesilovači nebo filtry s operačními zesilovači
s proudovou zpětnou vazbou.
8.6.2
Filtry druhého řádu s konvejory
Při návrhu a konstrukci aktivních filtrů druhého řádu s konvejory používáme jako aktivní
prvek převážně konvejor CC30111 (dříve označován jako CII+), protože je běžně komerčně
dostupný jako součást některých průmzslově v yráběných obvodů. Je dostupný například
110
v integrovaných obvodech AD844 (analog devices), OPA660, OPA2662 (Texas Instruments)
a MAX435, MAX436 (Maxim).
Příklad dolní propusti druhého řádu s konvejory znázorňuje obrázek 8.9. Toto zapojení
má přenosovou charakteristiku
U
a0
− G1G2
= 2
K ( p ) = OUTPUT =
( 8.11 )
2
U INPUT
b2 p + b1 p + b0 p C1C 2 + pC1G3 + G2 G3
ωP =
C1C 2 G2 G3
G 2 ⋅ G3
, QP =
C1 ⋅ G3
C1 ⋅ C 2
obrázek 8.9:
( 8.12 )
Dolní propust druhého řádu se dvěma konvejory.
Výhodné zapojení horní propusti druhého řádu s konvejory znázorňuje obrázek 8.10.
Toto zapojení má přenosovou charakteristiku
H ( p)
;
K ( p) =
H ( p) = p 2C1C2G ,
D( p)
( 8.13 )
D( p ) = p 2 (C1C 2 G1 + C1C 2 G2 + C1C 2 G3 )
+ p (C 2 G1G2 + C 2 G1G3 + C1G2 G3 − C 2 G1G4 ) + G1G2 G3
ωP =
C1C 2 G1G1G2 G3 (G1 + G2 + G3 )
G1G2 G3
, QP =
C 2 G1G2 + C 2 G1G3 + C1G2 G3 − C 2 G1G4
C1C 2 (G1 + G2 + G3 )
obrázek 8.10:
Horní propust druhého řádu se dvěma konvejory.
( 8.14 )
Elektrické filtry
111
Příklad pásmové propusti druhého řádu s konvejory znázorňuje obrázek 8.11. Toto
zapojení má přenosovou charakteristiku
U
a1 p
pC1G2
= 2
K ( p ) = OUTPUT =
( 8.15 )
2
U INPUT
b2 p + b1 p + b0 p C1C 2 + pC1G3 + G2 G3
ωP =
C1C 2 G2 G3
G 2 G3
, QP =
C1G3
C1C 2
obrázek 8.11:
( 8.16 )
Pásmová propust se dvěma konvejory.
Při konstrukci filtrů vyšších řádů bývají větší problémy při realizaci eliptických funkcí
než při realizaci přenosových funkcí bez nuly přenosu (rejekce).Zajímavou variantou je
Obvod umožňující realizovat pásmovou zádrž a normovanou dolní a horní propust, kde se
charakter filtru mění změnou jediného prvku v obvodu. Schéma zapojení tohoto filtru
znázorňuje obrázek 8.12. Přenosová charakteriszika má tvar
U OUTPUT
p 2 C1C 2 + p(C 2 G1 − C1G1 ) + G1G2
= 2
K ( p) =
( 8.17 )
U INPUT
p C1C 2 + p(C1G3 + C 2 G1 ) + G1G3
ωp =
C1C 2 G1G3
C1C 2 G1G2
G1G3
G1G2
, Qp =
, ωn =
, Qn =
C1G3 + C 2 G1
C 2 G1 − C1G1
C1C 2
C1C 2
obrázek 8.12:
Filtr s nulou přenosu se dvěma konvejory.
( 8.18 )
112
Jelikož výstupní impedance je u těchto filtrů vysoká, tak je nutno oddělit výstup filtru
nějakým oddělovacím obvodem aby se jeho vlastnosti neměnily s velikostí zátěže. U výše
jmenovaných obvodů je většinou oddělovací zesilovač již obsažen.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Nakreslete a popište schéma dolní propusti s gyrátorem.
Nakreslete a popište schéma horní propusti s gyrátorem.
Nakreslete a popište schéma pásmové propusti s gyrátorem.
Nakreslete schéma a vysvětlete princip přemostěných struktur s gyrátory.
Popište princip DCR struktur a jejich získání pomocí Brutonovy transformace.
Pojednejte o realizaci zemněných i plovoucích ideálních FDNR, nakreslete a
7. Pojednejte o přímé syntéze filtrů s integrátory.
8. Vysvětlete princip a uveďte příklad zapojení aktivních R filtrů.
9 Zvláštní typy filtrů
Cíle kapitoly: V přenosové technice se setkáváme s problémy, které nelze řešit běžnými
typy filtrů, uvedenými v předchozích kapitolách. Problémy jsou to různorodé a nutno k
nim přistupovat individuálně. Seznámíme se s některými z nich, a to s fázovacími
dvojbrany, s kmitočtovými korektory, s rozdělovacími a slučovacími obvody a s filtry s
nastavitelnými parametry.
1. Jaký je účel všepropustných fázovacích obvodů?
2. Jak je definován všepropustný fázovací obvod 2. řádu? Uveďte přenos napětí.
3. Nakreslete modulovou a argumentovou charakteristiku všepropustného fázovacího
obvodu.
4. Nakreslete rozložení pólů a nulových bodů všepropustného fázovacího obvodu.
5. Nakreslete schéma pasivního RLC všepropustného fázovacího obvodu 2. řádu.
9.1 Všepropustné fázovací dvojbrany
Všepropustné fázovací dvojbrany (VPD) umožňují korigovat průběh argumentové
charakteristiky určité soustavy a to beze změny charakteristiky modulové. Používají se v
syntéze zpožďovacích článků (vedení), fázovacích korektorů (vyrovnávačů), ale i ve filtrech,
místo integrátorů (kap.8.4), což umožnilo zlepšit jejich stabilitu a rozšířit přenášené pásmo
kmitočtů.
9.1.1
Všepropustné dvojbrany n-tého řádu
VPD vyššího řádu lze realizovat jako kaskádu VPD 1. a 2. řádu. Jeho přenos je dán
obecně resp. normovaně následujícími vztahy
N
K ( p) = K 0
∏ ( p 2 − b1n p + b0n )
n =1
N
∏( p
n =1
2
+ b1n p + b0 n )
N
, K (s) = K 0
∏ (B
2n
s 2 − B1n s + 1)
2n
s + B1n s + 1)
n =1
N
∏ (B
n =1
.
2
( 9.1 )
Elektrické filtry
113
Modulová charakteristika je konstantní. Fázová charakteristika je dána příspěvky natočení
fáze od jednotlivých pólů a nulových bodů
N
B1n Ω
ϕ (Ω) = ∑ ϕ n = −2∑ arctg
K(Ω) = K0 ,
( 9.2 )
.
1 − B2 n Ω 2
n
n
Nulové body přenosu ( 9.1 ) leží v pravé polorovině zrcadlově k pólům (Obrázek 9.2b).
VPD se často využívají ke zpožďování signálů, kdy požadujeme konstantní skupinové
zpoždění
dϕ (ω )
τ (ω ) = −
=konst.,
( 9.3 )
dω
pro celé kmitočtové spektrum zpožďovaného signálu. Pro VPD n-tého řádu lze normované
skupinové zpoždění ( 4.18 ) obecně určit z koeficientů přenosu ( 9.1 )
B1n (1 + B2 n Ω 2 )
1 N
τ N (Ω) = ∑
( 9.4 )
π n 1 + ( B1n 2 − 2 B2 n )Ω 2 + B2 n 2 Ω 4
V použitém pásmu nižších kmitočtů je skupinové zpoždění konstantní (Obrázek 9.1c), s
počáteční hodnotou
1 N
τ N (0) = ∑ B1n .
( 9.5 )
π n
V Tabulka 3.1 jsou uvedeny pro různý řád VPD (do n = 5) požadované normované
parametry kaskádně zapojených podobvodů, koeficienty B1i a B2i, hodnota činitele jakosti Qi,
normovaný kmitočet Fi při kterém dílčí podobvod natočí fázi o -90o resp.-180o a počáteční
hodnota normovaného skupinového zpoždění τN(0).
Tabulka 9.1:
n
1
2
3
4
5
9.1.2
Normované parametry i-tého podobvodu ve VPD n-tého řádu
i
1
2
1
2
1
2
1
2
3
B1i
0,6436
1,6278
1,1415
1,5092
2,3370
1,3506
1,2974
2,2224
1,2116
B2i
0,0000
0,8832
0,0000
1,0877
1,4878
1,1837
0,0000
1,5685
1,2330
Fi= fi/fm
1,554
1,064
0,876
0,959
0,820
0,919
0,771
0,798
0,901
Qi
0,58
0,69
0,52
0,81
τN(0)
0,2049
0,5181
0,8437
1,1738
1,5060
0,56
0,92
Všepropustné dvojbrany 1. řádu
Jednoduchý všepropustný dvojbran 1. řádu RC je na Obrázek 9.1a. Složitější křížový LC
článek na Obrázek 9.1b je pozoruhodně také VPD pouze 1. řádu. Oba obvody mají
následující jednoduchý přenos v obecném nebo normovaném tvaru
1 − B1 s
ω
p − b0
,
,
K ( p) = K 0
K ( s) = K 0
B1 = m .
( 9.6 )
1 + B1 s
p + b0
B0
Nulový bod a pól leží symetricky na reálné ose. Argumentová charakteristika je pak
ω
ϕ (ω ) = −2 arctg ,
ϕ (Ω) = −2 arctg ΩB1 ,
( 9.7 )
b0
a počáteční hodnota skupinového zpoždění
114
B1
( 9.8 )
π
Nyní si blíže rozebereme oba pasivní VPD 1.řádu. Jednoduchý VPD-RC - můstek RC
(Obrázek 9.1a) má plovoucí výstup, což může být někdy nevýhodné. Přenos napětí na tento
výstup naprázdno je dán vztahem ( 9.6 ), s následujícími konkrétními parametry
1
1
K0 = −0,5 ,
b0 =
p1 = −n1 =
,
( 9.9 )
RC
RC
Přenos má jeden záporný reálný pól (p1) v levé polorovině a jeden nulový bod (n1) zrcadlově
sdružený v pravé polorovině. Jeho kmitočtové charakteristiky a průběh skupinového zpoždění
jsou, pro R = 1kΩ, C = 100nF, na Obrázek 9.1c. Maximální fázové natočení je (-180o). To je
možné díky tomu, že obvod není obvodem s minimální fází. Hodnota skupinového zpoždění v
oblasti nízkých kmitočtů (Obrázek 9.1c) je konstantní a dána je vztahem ( 9.8 ).
τ N (0) =
Příklad 9.1:
VPD-LC - křížový článek LCR
Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru VPD-LC na
Obrázek 9.1b. a) při výstupu naprázdno, b) při zatížení obecnou rezistivní zátěží R,
c) při zatížení obrazovými impedancemi R0.
Obrázek 9.1:
Pasivní všepropustné fázovací dvojbrany 1. řádu.
a) můstek RC (VPD-RC),b) křížový článek LCR (VPD-LC), c) charakteristiky VPD-1.
Na základě výsledků z Příklad 9.1 lze konstatovat, že křížový článek LCR (VPD-LC),
(Obrázek 9.1b) má potřebné vlastnosti pouze při zatížení obrazovými impedancemi R0.
Tehdy jeho přenos a parametry jsou
p −ω p
L
1
R 0 = Z0 =
.
,
,
ωp =
K ( p) = −
( 9.10 )
C
p +ωp
LC
Pouze tehdy vykazuje obvod vlastnosti fázovacího článku 1. řádu, což někoho překvapí.
Poznamenejme, že vliv dalších nulových bodů a pólů se vyruší. Nevýhodou je značný počet
součástek a hlavně ty dvě potřebné cívky. Pro stejný mezní kmitočet (L = 0,1 H, C = 100 nF)
Elektrické filtry
115
má tento obvod shodné charakteristiky s obvodem předchozím, pro oba obvody dostáváme
kmitočtové charakteristiky na (Obrázek 9.1c).
9.1.3
Všepropustný dvojbran 2. řádu
Seznámili jsme se s ním v kap. 2.5.9. VPD 2. řádu ve tvaru křížového LCR článku je na
Obrázek 2.15b. Má přenosovou funkci v obecném tvaru ( 2.38 ) nebo normovaně
p 2 − b1 p + b0
B s 2 − B1 s + 1
,
,
K ( p) = K 0 2
K ( s) = K 0 2 2
( 9.11 )
p + b1 p + b0
B2 s + B1 s + 1
a fázovou charakteristiku
ΩB1
bω
,
ϕ (Ω) = −2 arctg
ϕ (ω ) = −2 arctg 1 2 ,
( 9.12 )
1 − Ω 2 B2
b0 − ω
Počáteční hodnota skupinového zpoždění je opět dána vztahem ( 9.8 ). Rozložení pólů a
nulových bodů přenosu je na Obrázek 2.15.
9.1.4
Aktivní všepropustný dvojbran
K realizaci VPD-ARC 1. a 2. řádu nejčastěji používáme zapojení na Obrázek 9.2d s
operačním zesilovačem a pasivním dvojbranem RC. Ten je tvořen některým z podobvodů RC
z Tabulka 3.1 nebo Tabulka 3.2, kde je uveden i jeho přenos K(p)∧. Celkový přenos K(p)
VPD-ARC lze pak vyjádřit vztahem
)
R
M= b
kde
K ( p) = − M + (M + 1)K ( p) ,
( 9.13 )
Ra .
[
]
Obvod na obr. 8.1d bude vykazovat vlastnosti všepropustného dvojbranu pouze při
splnění určité podmínky, uvedené v tab. 8.2.
Tabulka 9.2:
Realizační podmínky VPD obvodu na Obrázek 9.2d
Pasivní RC dvojbran Podmínka aby obvod byl VPD
Tabulka 3.1 a
R
M= b
Tabulka 3.2
Ra
DP-RC-1,
M=1
HP-RC-1
PP-RC-2A
R  C 
M −1 = 1 + 2 1 1 + 1 
R2  C 2 
PP-RC-2B
PP-RC-2W
PZ-RC-PT-A
PZ-RC-PT-B
PZ-RC-2W
 R 
M −1 = 1 + 21 + 2 
R1 

R C 
M −1 = 1 + 2 1 + 2 
 R2 C1 
R  C 
M = 1 + 2 1 1 + 1 
R2  C 2 

R 
1 + 1 
 R2 
C
R 
M = 1 + 2 1 + 2 
 C 2 R1 
M = 1+ 2
C1
C2
116
a)
b)
Obrázek 9.2:
Aktivní všepropustný fázovací dvojbran.
a) obecné schéma zapojení s jedním OA, b) rozložení pólů a nulových bodů přenosu.
Příklad 9.2:
Aktivní všepropustný fázovací dvojbran VPD-ARC-DP-RC-1
Podle Obrázek 9.2 a Tabulka 3.1 sestavte fázovací dvojbran VPD-ARC-DP-RC-1.
Pomocí programu SNAP odvoďte přenos napětí v symbolickém tvaru a určete
podmínku, aby obvod byl VPD. Výsledek porovnejte s Tabulka 9.2.
Příklad 9.3:
Aktivní všepropustný fázovací dvojbran VPD-ARC-PP-RC-2A
Podle Obrázek 9.2 a Tabulka 3.2 sestavte fázovací dvojbran VPD-ARC-PP-RC-2A.
Příklad 9.4:
Aktivní všepropustný fázovací dvojbran VPD-ARC-PZ-RC-2W
Podle Obrázek 9.2 a Tabulka 3.2 sestavte fázovací dvojbran VPD-ARC-PZ-RC-2W.
9.2 Kmitočtové korektory
Úkolem kmitočtových korektorů je změna přenosu dané přenosové soustavy, v závislosti
na kmitočtu. Korigují určitou nežádoucí kmitočtovou závislost reálné přenosové cesty K1(ω).
Do řetězce bloků zařadíme korektor s přenosem K2(ω), pro který platí
K1 (ω ) ⋅ K2 (ω ) = K0 = konst .
( 9.14 )
Jednoduché korekce lze dosáhnout pomocí pasivních RC obvodů s využitím aproximovaných
(Bodeho) charakteristik z Tabulka 3.2. Náročnější korektory pro individuální a měnící se
požadavky jsou složité aktivní obvody, jejichž návrh je značně náročný.
V elektroakustice se korektory používají na zdůraznění (potlačení) určitého kmitočtového
pásma. Jednoduché 1. řádu jsou jen dvoupásmové. Z nich nejpoužívanější jsou korektory
hloubek a výšek se směrnicí modulové charakteristiky 20 db/dek. Pro lepší korekci modulové
charakteristiky se používají vícepásmové korektory. Pro akustické aplikace se ustálil počet
pásem (5, 7, 10, 31) a jejich vymezení (korekční kmitočty), vycházející z logaritmického
dělení oktáv. Pro přesnou korekci se používají parametrické korektory, umožňující nastavit
libovolné hodnoty modulu přenosu, rezonančního či mezního kmitočtu a šířky pásma.
Na Obrázek 9.3a je korektor s invertujícím zesilovačem, realizující více pásmový filtr
prezence a absence. Kmitočtově závislé impedance (Zn) bývají realizovány sériovým
obvodem LCR. Podle polohy potenciometrů (Pn) se impedance Zn různě zařazují do zpětné
vazby (paralelně k R1 a R2), čímž dochází k potlačení nebo zvýraznění odpovídajícího
Elektrické filtry
117
rezonančního kmitočtu. Modifikací tohoto zapojení je Baxandalův sdružený korektor hloubek
a výšek na Obrázek 9.3b.
Korektor s neinvertujícím zesilovačem , tzv. rozdílový typ, je na Obrázek 9.3c. Když je
běžec potenciometru Pn v horní (dolní) polovině, zapojení realizuje filtr absence (prezence)
určitého kmitočtového pásma, daného impedancí Zn. Ta je tvořena pro PP sériovou kombinací
LCR, pro DP pouze RL a pro HP sériovým obvodem RC. V horní krajní poloze
potenciometru, obvod představuje kmitočtově závislý dělič R1 a Zn, zakončený sledovačem
(A=1). V dolní poloze se Zn spolu s R2 uplatní ve zpětné vazbě zesilovače s přenosem
R
K (ω ) = 1 + 2 .
( 9.15 )
Zn
Ve střední poloze potenciometru je přenos obvodu kmitočtově nezávislý (K = 1).
Na Obrázek 9.3d je zapojení pásmového korektoru se dvěma invertujícími zesilovači,
které je výhodné z hlediska nízkého šumu a konstantní (kmitočtově nezávislé) vstupní
impedance. Pasivní selektivní blok K^(p) může být opět realizován sériovým rezonančním
obvodem nebo selektivním obvodem RC z Tabulka 3.2. Podrobný návrh korektorů se
vymyká z rozsahu těchto skript. Doporučujeme použít některá osvědčená zapojení z literatury,
např. [ 3 ] aj.
Obrázek 9.3:
Kmitočtové korektory.
a) korektor s invertujícím zesilovačem,
c) korektor s neinvertujícím zesilovačem,
b) Baxandelovo zapojení,
d) pásmový korektor se dvěma zesilovači.
9.3 Kmitočtové rozdělovací a slučovací obvody
Kmitočtové rozdělovací a slučovací obvody jsou kmitočtové filtry , které dovolují signály
rozdělit do různých tras, nebo naopak z různých tras sloučit.
Na Obrázek 9.4a je kmitočtová dvoupásmová výhybka (rozdělovací obvod) s filtry LC 3.
řádu. Můžeme ji použít jako reproduktorovou výhybku, aby se zbytečně neztrácel výkon,
118
který hloubkový (výškový) reproduktor nepřemnění na výkon akustický. Pasivní obvody
používáme při přenosu větších výkonů. S aktivními filtry tento problém můžeme vyřešit
dvěma samostatnými zesilovači. Místo článků T můžeme použít i články Π. Pro jednodušší
aplikace vynecháme L3 a C3 nebo dokonce i L2 a C2. Výhybku na Obrázek 9.4a navrhneme
při zadaném společném mezním kmitočtu fm a stejných odporech reproduktorů R, dle
následujících vztahů
3R
3R
R
, L3 =
, L2 =
,
L1 =
4π f m
4π f m
8π f m
( 9.16 )
1
1
2
, C3 =
, C2 =
,
C1 =
3π f m R
3π f m R
π fmR
Třípásmová reproduktorová výhybka (pro hloubkový, středotónový a výškový
reproduktor) je na Obrázek 9.4d. Obdobný třípásmový rozdělovací obvod pro uzemněné
zátěže je na obr. 8.3c. Slučovací obvody se používají např. v anténních svodech. Příklad
zapojení je na obr. 8.3b. Při slučování blízkých úzkopásmových signálů použijeme v těchto
filtrech pásmové propusti. Při návrhu takovýchto obvodů s výhodou využíváme teorii
Zobelových filtrů.
Obrázek 9.4:
Kmitočtové rozdělovací a slučovací obvody.
a) dvoupásmmová výhybka,
b) dvoupásmmový slučovací obvod,
c) třípásmmová výhybka,
d) třípásmmový sériový rozdělovací obvod.
9.4 Filtry s nastavitelnými parametry
Dovolují snadnou (elektronicky řízenou) změnu parametrů a přelaďování filtrů. U
aktivních filtrů složených z bikvadů to budou základní parametry fm resp. fo a Q. Pro jejich
realizaci použijeme raději bikvady MAB (kap.6.9.3) s více OZ, které dovolují toto nezávislé
nastavování parametrů. Filtry ARC je vhodnější přelaďovat změnou odporu rezistorů, u
Elektrické filtry
119
některých zapojení (např. SAB-DP-SK-1) současně i dvou naráz (tandemovým
potenciometrem se zaručeným souběhem). K elektronickému ladění se využívají optočleny s
fotoodpory nebo spínané odpory. Výhodné také je nahradit R spínanými ekvivalenty R-SC
(kap.10.5), kde lze přelaďovat změnou spínacího kmitočtu. Ladění filtrů vyšších řádů je
obtížnější. Nutný je přesný souběh více ladících prvků. To lze přijatelně vyřešit u filtrů SC
(změnou spínacího kmitočtu). Nebo se tento problém obchází směšováním se signálem z
přelaďovaného oscilátoru a při tom selektivitu zabezpečíme pevným filtrem.
1. Jak je definován všepropustný fázovací dvojbran n-tého řádu? Uveďte přenos napětí.
2. K čemu se používají všepropustné fázovací obvody?
3. Jsou to obvody s minimálním nebo neminimálním fázovým posuvem a jaké důsledky
z toho vyplývají?
4. Uveďte definici skupinového zpoždění a jeho souvislost s fázovou charakteristikou.
5. Nakreslete schéma jednoduchého RC všepropustného fázovacího obvodu 1. řádu.
6. Nakreslete schéma fázovacího obvodu 1. řádu, ve tvaru RLC X-článku.
7. fázovacího obvodu 2. řádu, ve tvaru RLC X-článku.
8. Nakreslete modulovou a argumentovou charakteristiku fázovacího dvojbranu 1.řádu.
9. Nakreslete rozložení pólů a nulových bodů fázovacího dvojbranu 1. a 2. řádu.
10. Nakreslete blokové schéma aktivního RC všepropustného fázovacího obvodu
s operačním zesilovačem.
11. Co je účelem kmitočtových korektorů a jaké druhy se používají?
12. Nakreslete a vysvětlete schéma korektoru s invertujícím zesilovačem.
13. Nakreslete a vysvětlete schéma korektoru s neinvertujícím zesilovačem.
14. Nakreslete a vysvětlete schéma Baxandelova zapojení korektoru.
15. Co je účelem kmitočtových rozdělovacích a slučovacích obvodů a jaké druhy se
používají?
16. Nakreslete a vysvětlete schéma dvoupásmového slučovacího obvodu. Uveďte příklad
jeho využití.
17. Nakreslete a vysvětlete schéma třípásmového rozdělovacího obvodu. Uveďte příklad
jeho využití.
10 Filtry se spínanými kapacitory
Cíle kapitoly: Seznámit studenty s principem filtrů se spínanými kapacitory (SC),
jejich popisem v oblasti z, se spínanými ekvivalenty základních dvojpólů R-SC, L-SC,
FDNR-SC a se spínanými integrátory. Ukázat jim, jak se pomocí těchto stavebních
bloků získají filtry SC vyšších řádů. Naznačit některé problémy reálných obvodů SC a
technologie výroby těchto filtrů jako IO.
1. Nakreslete schéma invertujícího aktivního integrátoru s operačním zesilovačem.
Co představuje za filtr? Napište jeho přenosovou funkci.
2. Vysvětlete pojmy: signál vzorkovaný, kvantovaný a diskrétní.
3. Vysvětlete princip číslicových filtrů. Jaké jsou jejich základní stavební bloky?
4. Jak je definována z-transformace a k čemu se používá?
5. Jaké druhy aproximujících z-transformací znáte?
120
6. Uveďte vlastnosti bilineární z-transformace.
10.1 Princip obvodů SC
Filtry se spínanými kapacitory (SC) nahradily v některých nf aplikacích klasické filtry
ARC. Jejich hlavní výhodou je snadná integrovatelnost s jednotnou technologii [ 16 ]
(kapacitní čipy, OA i spínače jsou CMOS), vysoká přesnost požadovaných parametrů a
snadná přeladitelnost (změnou spínacího kmitočtu fs). Vyrábí se v hybridní nebo plně
integrované (IO) monolitické podobě. Pracovní kapacity u IO jsou velmi malé (řádově pF),
čipy mají malý rozptyl hodnot a dobrou teplotní stabilitu. Jejich výrobní tolerance i teplotní
závislost se navíc jen málo projeví na přenosové funkci , protože koeficienty jsou určeny
poměrem kapacit. Ten lze udržet s přesností větší než 0,1 %, což je až o 2 řády lepší než u IOARC. IO-SC jsou navíc daleko menší než obdobné IO-ARC (asi 400 x). Při hromadné výrobě
jsou IO-SC také lacinější.
10.2 Spínače
Elektronické spínače (Obrázek 10.1a) jsou realizovány MOS FET-y na Obrázek 10.1c.
12
2
Hodnoty odporů v sepnutém a rozepnutém stavu zde jsou řádově ROFF 10 Ω a RON 10 Ω.
Parazitní kapacity (Obrázek 10.1d) dosahují až 20% hodnot kapacit pracovních. Přes Cgs a
Cgd proniká do kanálu zpracovávaného signálu rušivé řídící napětí, které kompenzujeme
přivedením stejného napětí v opačné fázi, přes další (třeba i nefunkční) tranzistor. Přepínače
(obr. 9.1e) proto také obsahují více tranzistorů (Obrázek 10.1g).
Elektrické filtry
121
Obrázek 10.1: Spínače v obvodech SC.
a) obecný spínač sepnutý v sudé fázi,
b) vhodnější značka spínače,
c) FET jako spínač,
d) parazitní vlastnosti FET-u,
e) obecný řízený přepínač,
f) jeho vhodnější značka,
g) elektronický přepínač s více FET-y.
10.3 Popis obvodů SC
Obvody SC pracují diskrétně v čase, ale spojitě v hodnotě. U ideálních dochází při
sepnutí k mžikovému nabití C, nábojovými vzorky. Náboj se na C udrží beze změny až do
dalšího přepnutí. Vztah mezi vzorky nábojů a napětí lze popsat diferenčními rovnicemi nebo
vhodněji rovnicemi algebraickými v oblasti proměnné z. Požadovanou přenosovou funkci
U ( z ) a m z − m +......+ a 2 z −2 + a1 z −1 + a 0
,
=
K ( z) = 0
( 10.1 )
U i ( z)
bn z − n +......+b2 z −2 + b1 z −1 + b0
můžeme odvodit z analogového přenosu ( 2.10 ), pomocí transformace p-z. Připomeňme si
její definiční vztah a souvislost mezi oběma proměnnými
1
z = e p T , p = ln z ,
( 10.2 )
T
kde T = 1/fv je perioda vzorkování. Druhý vztah v ( 10.2 ) nelze přímo použít, protože bychom
dostali transcendentní výraz nevhodný k dalšímu zpracování. Z tohoto důvodu nahrazujeme
logaritmus v ( 10.2 ) řadou. Podle typu a počtu členů této řady rozlišujeme různé tzv.
aproximující transformace [ 14 ]. Nejpoužívanější je transformace BD (backward difference)
1
1
,
p = 1 − z −1 , z =
( 10.3 )
1 − pT
T
(
)
122
a transformace BL (bilinear)
2 z −1
2 + pT
p=
, z=
.
( 10.4 )
T z +1
2 − pT
Používají se i transformace FD, LDI a další tzv. parametrické, podrobně rozebrané v [ 14 ].
Aproximující transformace způsobují kmitočtovou deformaci modulových charakteristik.
Transformace BD stlačí a BL roztáhne kmitočtové měřítko [ 14 ]. Vedle deformace ve směru
osy jω existuje i deformace ve směru osy σ [ 14 ], což představuje změnu kvality pólů a tím i
tvaru modulových a zvláště pak fázových charakteristik. Pro transformaci BL, mezi
kmitočtem signálu analogového prototypu (ωA) a diskrétně pracujícím ekvivalentem SC (ωD)
lze odvodit následující vztah
1
2 ω T
fv .
ω AT < 1 , f <
ω D = tg A ,
( 10.5 )
2π
2
T
Zborcení charakteristik bude malé, při platnosti nerovností ve vztahu ( 10.5 ). To však z
technologických důvodů nelze vždy splnit.
10.4 Předzkreslení charakteristik prototypu
Kmitočtová deformace, způsobená zvolenou aproximující transformací p-z, se dá
odstranit metodou předzkreslení (prewarping technic) průběhu modulové charakteristiky
prototypu [ 16 ]. Postup si ukážeme na návrhu ekvivalentu SC pásmové propusti 2.řádu s
parametry fP = 1633 Hz, Q = 16, K0 = 10 dB. Prototyp můžeme popsat přenosovou funkcí
2,027 ⋅ 10 2 p
.
( 10.6 )
p 2 + 6,4128 ⋅ 10 2 p + 1,0528 ⋅ 108
Předpokládáme, že kmitočet vzorkování v obvodě SC je fv = 8 kHz. Podle vztahu ( 10.5 )
přepočteme rezonanční a mezní kmitočty: fp^ = 1902,2 Hz, fd^ = 1822,7 Hz, fh^ = 1981,7 Hz.
Z těchto hodnot pak určíme předzkreslenou přenosovou funkci
)
3,1592⋅10 3
.
K ( p) = 2
( 10.7 )
p + 9,9903 p + 1,4285⋅10 4
Substitucí definičního vztahu ( 10.4 ), použité transformace BL, dostaneme přenosovou
funkci ekvivalentního obvodu SC
0,1219 1 − z −1 1 + z −1
,
K ( z) =
( 10.8 )
1 − 0,5455 z −1 + 0,9229 z − 2
která bude základem pro jeho syntézu.
K ( p) =
(
)(
)
10.5 Simulace rezistoru spínaným kapacitorem
(R-SC)
V analogovém obvodě je rezistor ztrátový prvek (nevratná přeměna elektrické energie v
teplo). Má-li kapacitor, jako bezeztrátový akumulační prvek toto simulovat, musí se někde (ve
fázi L) vybít (předat náboj), když se předem (ve fázi S) nabil na pracovní bráně. Tento
nejjednodušší způsob simulace zemněného R-SC-BD je na Obrázek 10.2a. Ekvivalentní
odpor je nepřímo úměrný kapacitě a kmitočtu spínání fs
T
1
Re k =
= s.
( 10.9 )
f sC C
Vybíjení C, resp. předávání náboje, může být provedeno i jiným způsobem. Některé z nich
jsou uvedeny na Obrázek 10.2. Syntézu R-SC lze provést z ekvivalentních nábojových
Elektrické filtry
123
rovnic [ 14 ], které se transformují do oblasti proměnné z. Podle zvolené transformace pak
rozlišujeme daný typ R-SC.
Obrázek 10.2:
Simulace rezistoru spínaným kapacitorem.
a) spínaný ekvivalent zemněného rezistoru R-SC-BD, b) spínaný ekvivalent plovoucího
rezistoru R-SC-FD, c) spínaný ekvivalent R-SC-BD, d) spínaný ekvivalent R-SC-BL.
10.6 Spínané ekvivalenty induktorů a bicistorů (L-SC, D-SC)
Postupnou realizací nábojových vzorků v odvozených rovnicích [ 14 ], byla provedena i
syntéza ekvivalentů L-SC a D-SC. Na Obrázek 10.3 je uvedeno několik takovýchto příkladů.
Ekvivalent SC plovoucího induktoru L-SC-LDI je Obrázek 10.3a. Na dalších dvou obrázcích
jsou uvedeny spínané ekvivalenty zemněného bezeztrátového a ztrátového bicistoru D-SC.
10.7 Spínané integrátory (I-SC)
Získáme je náhradou rezistoru (R) ve známém analogovém invertujícím integrátoru s OA
(Obrázek 6.1a), jistým ekvivalentem R-SC z Obrázek 10.2.
Na Obrázek 10.4a je invertující spínaný integrátor II-SC-FD (realizující transformaci
FD) s přenosem v liché fázi (sudé vzorky se nepřenášejí)
124
Obrázek 10.3:
Spínané ekvivalenty induktorů a bicistorů.
a) ekvivalent SC plovoucího induktoru L-SC-LDI,
c) jednoduchý D-SC-BD.
b) ekvivalent SC zemněného bezeztrátového bicistoru D-SC-BL,
C1 z −1
, K ioSL = K ioSS = 0 .
K = L =−
( 10.10 )
−1
C2 1 − z
Ui
Integrátor na Obrázek 10.4b má stejné přenosové funkce, ale s kladným znaménkem, je
tedy neinvertující (NI-SC-FD). Další otočení fáze zajišťuje komutace C1. U tohoto zapojení se
navíc neprojeví parazitní kapacity [ 16 ]. Změnou sledu spínání (údaje v závorce) získáme IISC-BD. Při výběru lichých vzorků má totiž přenos
C
1
.
KioLL = − 1
( 10.11 )
C2 1 − z −1
Když na výstupu budeme vybírat sudé vzorky dostaneme
C
1
KioLS = 1 1/ 2
( 10.12 )
C2 z − z −1/ 2
a integrátor realizuje transformaci LDI [ 14 ].
Nahradíme-li R ekvivalentem R-SC-BL (Obrázek 10.2d) dostaneme velice atraktivní
integrátor II-SC-BL, a to vzhledem k příznivým vlastnostem transformace BL. U tohoto
obvodu je stejný přenos sudých i lichých vzorků
C 1 + z −1
.
KioSS = KioSS = − 1
( 10.13 )
C2 1 − z −1
Nahradíme-li v Obrázek 6.1b i R2 ekvivalentem R-SC, dostaneme spínaný integrátor
ztrátový (Obrázek 10.4d). Spínaný integrátor lze lehce modifikovat na diferenční (Obrázek
LL
io
U oL
Elektrické filtry
125
10.4e). Další podrobnosti, včetně rozboru parazitních vlivů a kmitočtových vlastností
reálných spínaných integrátorů, lze nalézt v [ 14 ].
Obrázek 10.4:
Obr. 9.4 Spínané integrátory.
a) realizující transformaci FD, b) zapojení necitlivé na parazitní kapacity,
c) realizující transformaci BL, d) ztrátový integrátor,
e) diferenční integrátor.
10.8 Bikvad SC s integrátory
Je ekvivalentem analogového bikvadu s obecným přenosem ( 2.30 ). Tento přenos má
graf na Obrázek 10.5a, který jsme odvodili dle kap. 8.4. Z realizačních důvodů v něm u
prvního integrátoru zaměníme znaménka větví (-1). Transformací BD ( 10.4 ) převedeme
graf do podoby na Obrázek 10.5b. Z tohoto grafu pak již snadno sestrojíme zapojení bikvadu
na Obrázek 10.5c. Provedena byla kontrolní analýza tohoto obvodu, programem COCO-SC,
při buzení v obou fázích a výběru sudých vzorků na výstupu je přenos dán vztahem
C6 z −2 + z −1 (C1C4 − C2 − 2C6 ) + C2 + C6
KioOS =
( 10.14 )
z −2 + z −1 (C3 C4 − 2C5 ) + C5 + 1
V literatuře [ 14 ] a [ 16 ] najdeme celou řadu modifikací tohoto a dalších zapojení.
10.9 Bikvady SC odvození z obvodů ARC
Nahradíme-li v zapojení SAB-DP-H na Obrázek 6.3b rezistory spínanými ekvivalenty
R-SC-BL (Obrázek 10.2d), dostaneme zapojení na Obrázek 10.6. Přenosová funkce tohoto
obvodu v sudé fázi je
KioSS =
(
K 1 + z −1
)
2
1 − z −1 B1 + z −2 B2
.
( 10.15 )
126
Obrázek 10.5:
Syntéza bikvadu SC.
a) graf analogového bikvadu, b) graf ekvivalentního bikvadu SC,
c) zapojení bikvadu SC.
Při transformaci BL ( 10.4 ), odpovídá ( 10.15 ) přenosu ( 2.16 ). Koeficienty v ( 10.15 ) jsou
dány poněkud složitějšími vztahy (poměrů kapacit α, zavedenými v Obrázek 10.6)
4α 2α 3
,
K=
1 + 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3
b1 =
b2 =
2(1 − 4α 2α 3 )
1 + 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3
,
1 + 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3
.
1 − 2(α 1 + α 2 β + α 3 ) + 4α 2α 3
( 10.16 )
Elektrické filtry
127
Obdobným způsobem můžeme získat spínané ekvivalenty PP-SC, HP-SC nebo i obecné
bikvady s více OA. Tato zapojení získaná přímou náhradou všech R, jsou však složitější než
předchozí (včetně návrhových vztahů).
Obrázek 10.6:
SC dolní propust, ekvivalentní SAB-DP-H.
Obrázek 10.7:
Syntéza ekvivalentu SC příčkového článku LCR.
a) stavový graf v proměnné z, b) eliptický filtr SC (ekvivalent LCR filtru C O35O).
128
10.10
Ekvivalent SC příčkového článku LCR
Syntéza filtru SC může výhodně vycházet ze známého prototypu LCR ve tvaru
příčkového článku. Využijeme při tom spínané integrátory (kap. 10.7), signálové grafy a
bohatě rozpracovanou metodiku návrhu z kap. 4.4 a kap. 8.4. Na Obrázek 8.7a je prototyp
příčkového článku LCR Cauerova filtru 3. řádu (C O35O). V kap. 8.4 jsme pro něj odvodili
stavový graf na Obrázek 8.7b. Odbobně jako v předchozích návrzích (v kap. 10.8), tento graf
prototypu převedeme, vybranou transformací p-z (zvolili jsme BD), na graf diskrétně
pracujícího SC ekvivalentu na Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.a. Z něj pak, pomocí
spínaných integrátorů z Obrázek 10.4b, sestrojíme zapojení filtru SC na Chyba! Nenalezen
zdroj odkazů.b.
10.11
Filtru SC vyššího řádu
Obdobným způsobem byl navržen monolitický integrovaný filtr SC pro koncovou
účastnickou připojovací jednotku (SLIC), sdělovacího telefonního systému PCM. Pro výběr
hovorového signálu jsou na filtr kladeny dost náročné požadavky. Zvlnění v propustném
pásmu 0,2 dB, útlum v nepropustném pásmu 32 dB (Obrázek 10.8b). Útlumový plán na
Obrázek 10.8b splňuje Cauerův filtr LCR 5. řádu (C 0520 54 [4]) na Obrázek 10.8a. Z
tohoto prototypu byl navržen dle kap. 10.10 ekvivalent SC na Obrázek 10.8c, kde veškeré
součástky jsou normovány vzhledem k Ro = 10 MΩ, fm = 3,4 kHz a fs = 128 kHz. V
integrovaném obvodě MHF 4413 (resp. MOTOROLA MC 14413) se nachází dva tyto filtry
(přijímací a vysílací), spolu s dvěma volnými OZ a pomocnými obslužnými obvody.
10.12
Kontrolní otázky ku kapitole 10
1. Vysvětlete princip, jak ztrátový prvek - rezistor může být simulován bezeztrátovým
akumulačním prvkem – kapacitorem.
2. Jak je realizován spínač v obvodech SC a jaké má v reálném obvodě vlastnosti?
3. Do jaké skupiny obvodů by jste zařadil filtry SC? Proč a jak je popisujeme v oblasti
proměnné z?
4. Jaké druhy aproximujících z-transformací používáme při popisu obvodů SC? Alespoň
u dvou uveďte definiční vztahy a ukažte vliv použité transformace na vlastnosti
obvodu SC.
5. Vysvětlete princip a účel metody předzkreslení charakteristik při návrhu filtrů SC.
6. Nakreslete a vysvětlete schéma spínaného integrátoru, realizujícího transformaci FD.
7. Nakreslete a vysvětlete schéma spínaného integrátoru, realizujícího transformaci BL.
8. Nakreslete a vysvětlete schéma spínaného integrátoru, realizujícího transformaci LDI.
9. Nakreslete a vysvětlete schéma ztrátového spínaného integrátoru.
10. Nakreslete a vysvětlete schéma diferenčního spínaného integrátoru.
11. Nakreslete a vysvětlete schéma neinvertujícího spínaného integrátoru.
12. Vysvětlete princip získání filtrů SC vyšších řádů, při použití spínaných integrátorů.
Elektrické filtry
Obrázek 10.8:
129
Filtr SC 5. řádu MHF 4413.
a) prototyp LCR, b) toleranční schéma, c) zapojení obvodu.
130
11 Filtry pracující na jiných fyzikálních principech
Cíle kapitoly: Do této kapitoly jsme zahrnuly filtry, které pracují na odlišných
fyzikálních principech a do předchozích kapitol se tématicky nevešly. Stručně si
vysvětlíme princip filtrů s piezoelektrickými rezonátory, jak klasických, tak
monolitických. Dále pak keramických filtrů, elektromechanických filtrů, filtrů s
povrchovou vlnou a filtrů s rozprostřenými parametry.
11.1 Filtry s piezoelektrickými rezonátory
Mají výbornou selektivitu (vysoké Q), malé ztráty,malou teplotní závislost parametrů,
dobrou kmitočtovou stabilitu a malé rozměry (umožňující miniaturizaci). Jejich návrh i
výroba jsou však náročné.
11.1.1 Piezoelektrický rezonátor
Piezoelektrický rezonátor (PER) je na Obrázek 11.1. K jeho výrobě se převážně
používají syntetické křemenné krystaly (SiO2). Krystal je elektricky aktivní při stlačení v
jakémkoliv směru, kromě optické osy (z). Používají se destičky, vyříznuté z krystalu pod
0
0
určitým úhlem (γ) (Obrázek 11.1d). Nejpoužívanější je řez BT (γ = 139 ) nebo AT (γ = 55 ).
Volbou úhlu řezu (γ) se dá dosáhnout výborné teplotní stability. Vedle malých ztrát je také
snaha potlačit nežádoucí parazitní rezonance (PER mechanicky kmitá nejednoznačným
způsobem). Většinou se používají PER ve tvaru kruhové destičky, opatřené elektrodami a
upevněné v kovovém nebo skleněném držáku. Rezonanční kmitočet závisí nepřímo úměrně
na tloušťce výbrusu (a) a použitém materiálu (pro AT: fs = 1675/a). Pro správný návrh filtru
je třeba znát parametry náhradního elektrického zapojení (Obrázek 11.1b). PER má dva
výrazné kmitočty sériové (fs) a paralelní (fp) rezonance a řadu dalších parazitních. Kmitočty
fs a fp jsou poměrně blízko sebe a jsou určeny následujícími vztahy
1
1
1
, ωp =
.
ωs =
+
( 11.1 )
LCs LC p
LCs
Obrázek 11.1:
Piezoelektrický rezonátor.
a) značka, b) náhradní schéma, c) kmitočtová závislost reaktance, d) volba řezu.
Elektrické filtry
131
Činitel jakosti PER (dosahuje hodnoty až 106) je dán
ω l
1
.
Q= s =
Rs
ω s Cs Rs
Při velkém Q platí mezi rezonančními kmitočty vztah

C 
f p = f s  1 + s  .
2C p 

Obrázek 11.2:
( 11.2 )
( 11.3 )
Filtry s PER.
a) Π-článek s PER, b) X-článek s PER, c) úzkopásmový filtr s PER, d) pásmová propust s
PER, e) základní monolitický filtr f) monolitický filtr s inverzí Uvýst , g) monolitický filtr s
více systémy, h) monolitický filtr s různými elektrodami, i) trilitický filtr, j) aktivní filtr s PER
132
11.1.2 Klasické filtry s PER
Jednoduchá příčková struktura, s jedním PER, je na Obrázek 11.2a. Obvod realizuje
kvalitní PP. Obdobně lze navrhnout článek T (X v příčné větvi).
Základním v praxi používaným obvodem s PER je křížový článek na Obrázek 11.2b
(souměrnost a lepší stabilita). Příkladem zapojení s více PER je úzkopásmový ryze krystalový
filtr na Obrázek 11.2c. Ten má vynikající selektivní vlastnosti, jeho návrh a pak i realizace
jsou však velmi náročné. Zapojení na Obrázek 11.2d je nejpoužívanější pásmová propust s
PER (s potlačením až 90 dB).
11.1.3 Monolitické filtry s PER
Monolitické filtry s PER jsou vícerezonátorové systémy realizované na jedné destičce z
piezoelektrického materiálu (na bázi křemene nebo keramiky). Základní uspořádání je na
Obrázek 11.2e. Systémy elektrod představují rezonanční obvody, které jsou propojeny
vazební oblastí (činitel vazby je určen vlastnostmi materiálu destičky a vzdáleností elektrod).
Při různém zatížení obvodu budou i elektrody mít různé rozměry (větší Rz menší plocha).
Monolitický filtr může mít i více rezonančních systémů (více párů elektrod) (Obrázek
11.2g). Vnitřní systémy mohou být i elektricky zkratovány (Obrázek 11.2g). Jednoduché
monolitické filtry se spojují do kaskády ve filtry bilitické, trilitické (Obrázek 11.2i) etc.
11.1.4 Keramické filtry
Jsou sestaveny z keramických PER, které mají obdobné vlastnosrti jako krystaly
křemenné, tedy i stejné náhradní schéma (Obrázek 11.1b). Značně větší je však hodnota Cp.
Své elektrické vlastnosti získávají až dodatečně, vytvořením orientovaných domén polarizací.
Proti krystalům mají větší ztráty, horší teplotní i časovou stabilitu a větší výrobní rozptyl
parametrů. Na druhé straně větší činitel elektromechanické vazby a výrazně nižší výrobní
cenu. Na trhu jsou keramické mf pásmové propusti (f0 = 450 kHz s B = 9 kHz a pro f0 = 10,7
MHz s B = 250 kHz) a keramické filtry pro nf aplikace (1 až 20 kHz).
11.1.5 Monolitické filtry s PER
Na Obrázek 11.2j je příklad aktivní PP 2.řádu s PER.
Krystal má náhradní schéma na (Obrázek 11.1b a tedy admitanci
1
p
L
,
Yx = pC p +
ωs
2
2
p +
p+ωs
Qs
kde činitel kvality a rezonanční kmitočet jsou
ω L
1
, ω s4 =
.
Qs = s
Rs
LCs
Přenosová funkce tohoto filtru je dána vztahem
U
K ( p) = 0 = R( A2 Yx − A1 pC )
Ui
.
( 11.4 )
( 11.5 )
( 11.6 )
Při dodržení podmínky A2 C p = A1C a dosazení ( 11.4 )do přenosové funkce ( 11.6 )
dostaneme hledaný přenos napětí, který potvrzuje, že se jedná o aktivní PP 2.řádu
Elektrické filtry
133
A2 R
L
K ( p) =
ω
p 2 + s p + ω 2s
Qs
.
p
( 11.7 )
11.2 Elektromechanické filtry
3
Velká selektivita těchto filtrů (Q až 10 ) je určena mechanickým rezonátorem (MR) nebo
mechanickou rezonanční soustavou. Tato soustava (Obrázek 11.3e) obsahuje rezonanční
(MR) a vazební (VP) prvky resp. oblasti. Realizace EMF však vyžaduje další části (Obrázek
11.3a). Jsou to měniče (M), zajišťující vazbu mezi MR a elektrickým obvodem (EO), tedy
přeměnu kmitů z elektrických na mechanické a naopak (Obrázek 11.3a). Používají se
magnetostrikční nebo piezoelektrické měniče.
Piezoelektrický měnič na Obrázek 11.3b se skládá z piezoelektrické destičky (2) a dvou
kovových válečků (1 a 3), tvořících MR. Ty se vyrábějí z legovaných (Mo, Cr, Ti, Al, Be)
feromagnetických elivarových slitin (Fe-Ni). Složením slitin a jejich teplotním zpracováním
(precipitačním vytvrzením) lze dosáhnout vysoké Q, stálost f0 a nízký teplotní koeficient
TKf0. Mechanické kmity v MR a VP mohou mít různé módy (často i jejich kombinace).
Základní jsou podélné (Obrázek 11.3c), torzní (Obrázek 11.3d) a příčné. Návrh EMF
přesahuje rámec těchto skript.
K získání zapojení požadovaného typu filtru (DP, PP, HP, PZ).
Obrázek 11.3: Elektromechanické filtry.
a) blokové schéma, b) piezoelektrický měnič, c) podélné kmity ve dvou MR, d) torzní kmity v
MR, e) pásmová propust z MR.
11.3 Filtry s povrchovou vlnou
Jsou založeny na akustickém elastickém vlnění na povrchu keramické destičky (D)
(Obrázek 11.4a). Mechanické kmity jsou buzeny interdigitálním měničem (M), pomocí
piezoelektrického efektu. Měnič je tvořen systémem páskových kovových (ZnO) elektrod
(prstů = digit), nanešených litografem. V podstatě by stačily jen dvě. Jejich větší počet však
134
zvyšuje účinnost buzení a variace délky prstů (apoidizace) (Obrázek 11.4c) vede k lepšímu
plošnému rozložení PAV (snížení ztrát, možnost realizace vhodné přenosové
funkce).Sousední elektrody mají odlišnou polaritu napětí. Mezi nimi vzniká nehomogenní,
časově proměnné elektrické pole. To vytváří místní mechanické napětí, které se šíří jako
PAV. Měniče jsou bilaterální a mohou tedy sloužit na druhé straně filtru k detekci PAV (M2).
Pro změnu směru PAV se používají páskové vazební členy (Obrázek 11.4d). Nežádoucím
odrazům PAV zamezují absorbční členy nebo tlumící natěry (Obrázek 11.4a). Filtry s PAV
se používají v mf zesilovačích přijímačů TV (PP, f0 = 30 MHz, Q = 105), jehož schéma je na
(Obrázek 11.4e) a při kompresi signálů v radiolokátorech. Modulová charakteristika mf filtru
s PAV je na Obrázek 11.4b.
Obrázek 11.4:
Filtry s povrchovou vlnou.
a) základní uspořádání, b) modulová charakteristika, c) tvar elektrod apoidizovaného měniče,
d) vázaná struktura PAV, e) zapojení filtru s PAV.
11.4 Filtry s rozprostřenými parametry
Ve vyšších kmitočtových pásmech, s omezením nefunkčních částí obvodů (převážně
integrovaných IO), přestávají mít pasivní prvky R a C charakter soustředěných prvků a
mluvíme o filtrech s rozprostřenými parametry (RP). Tyto filtry RP mohou být jak čistě
pasivní, nejčastěji RC, tak i aktivní ARC. Vyrábějí se v tenko i v tlustovrstvé technologii IO.
Jednoduchý obvod RC-RP dostaneme (Obrázek 11.5a) nanesením vodivé vrstvy (1) na
jednu stranu a odporové vrstvy (3) na druhou stranu dielektrické destičky (2). Schematická
značka RC-RP je na Obrázek 11.5b, náhradní obvod na Obrázek 11.5c. Homogenní obvod
RC-RP, u něhož platí (x, y udávají rozměr obvodu)
r ( x ) = r0 = konst . , c( x , y ) = c0 = konst . ,
( 11.8 )
Elektrické filtry
135
lze popsat admitanční matici (kde x je délka obvodu)
−1 

cot gh Θ

Θ
sinh Θ 
Y=
,

x ro  −1
cot gh Θ 

 sinh Θ
kde
( 11.9 )
Θ = x 2 c0 r0 jω .
Z matice ( 11.9 ) určíme, pomocí algebraických doplňků, přenos napětí [1]. Modulová
charakteristika je pak na Obrázek 11.5f.
Nanesením druhé odporové vrstvy (NR) na dielektrickou podložku, dostaneme složitější
strukturu RC-RP-NR (Obrázek 11.5e). Duální struktura je RC-RP-NC na Obrázek 11.5d.
Pasívní filtr RC-RP dostaneme připojíme-li na Obrázek 11.5b, mezi (c) a zem,
impedanci Z. Bude-li to sériová kombinace R1 a C1, přenos bude mít charakter PZ.
Jednoduchý (sériový nebo paralelní) RC obvod můžeme připojit i mezi svorky a,b.
Vhodnější je použít RC-RP v aktivním filtru. Na Obrázek 11.5g je prototyp pásmové
propusti ARC, z něhož lehce přejdeme na aktivní filtr PP s rozloženými parametry na
Obrázek 11.5h. Obdobná dolní propust s RC-RP je na Obrázek 11.5i.
Obrázek 11.5:
Obvody s rozprostřenými parametry.
a) konstrukce jednouchého RC-RP, b) schematická značka, c) náhradní obvod, d) obvod RCRP-NC, e) obvod RC-RP-NR, f) modulová charakteristika RC-RP(obr. 11.5b), g) prototyp
PP-ARC, h) ekvivalent PP-RP, i) aktivní DP-RP
136
1. Vysvětlete princip filtrů s piezoelektrickými rezonátory.
2. Nakreslete náhradní schéma piezoelektrického rezonátoru. Diskutujte jeho parametry.
3. Nakreslete a vysvětlete alespoň dva příklady klasických filtrů s piezoelektrickými
rezonátory.
4. Nakreslete schéma a vysvětlete princip monolitických filtrů s piezoelektrickými
rezonátory.
5. Nakreslete a vysvětlete schéma aktivního filtru s piezoelektrickým rezonátorem.
6. Vysvětlete princip keramických filtrů.
7. Nakreslete blokové schéma a vysvětlete princip elektromechnických filtrů.
8. Nakreslete principielní schéma a vysvětlete princip filtrů s povrchovou vlnou.
9. Pojednejte o měničích ve filtrech PAV.
10. Vysvětlete princip filtrů s rozprostřenými parametry.
11. Nakreslete a vysvětlete schéma aktivního filtru s rozprostřenými parametry.
12 Dodatky
12.1 Návod na laboratorní a počítačové cvičení č. 1
Název: Klasické pasivní filtry LC (R)
12.1.1 Doplnění poznatků z teorie
Jednu třídu elektrických filtrů tvoří pasivní filtry sestavené ze setrvačných prvků L, C
a zatěžovacích R (kap. 4). Vlastnosti takového reaktančního dvojbranu lze popsat pomocí
provozní míry přenosu [ 2 ]
1
U I
1 2 0 0
,
g = ln
( 12.1 )
2 1
U2I2
2
kde v čitateli je výkon, který by zdroj dodal přímo do zátěže (Obrázek 12.1b) impedančně
přizpůsobené vnitřnímu odporu zdroje (RZ = R1) a ve jmenovateli je výkon dodaný do zátěže
přes dvojbran (Obrázek 12.1a). Úpravou vztahu ( 12.1 ) dostaneme
U
R2
g = ln V
= b + ja .
( 12.2 )
2U 2 R1
Provozní míra přenosu ( 12.2 ) má reálnou část (b), což je provozní míra útlumu, která
vyjadřuje útlum filtru a část imaginární (a), vyjadřující posun výstupního napětí filtru vůči
vstupnímu napětí (provozní míra posunu) [ 2 ].
Vyjádříme-li provozní útlum filtru v dB dostaneme
U
R2
.
b = 20 log V
( 12.3 )
2U 2 R1
Při impedančním přizpůsobení R1 = R2 platí
U
U
b = 20 log V = 20 log V − 6,0206 [dB ] .
( 12.4 )
2U 2
U2
Přenos napětí Ku v dB
Elektrické filtry
137
K dB = 20 log
Obrázek 12.1:
U2
= 20 log U 2 − 20 log U V = U 2 dB − U VdB .
UV
( 12.5 )
Spojení zdroje a zátěže a) přes filtrační dvojbran, b) přímo
12.1.2 Opakování teorie
Zopakujte si podkapitoly 2.3, 2.4, 2.5 a celou kapitolu 4. Hlavně typy filtrů, způsob
zadávání požadavků na filtr, toleranční schéma a jeho parametry, druhy používaných
aproximací a jejich vlastnosti.
Butterworthovy filtry se vyznačují maximálně plochou útlumovou charakteristikou, která
má však ve srovnání a jinými filtry stejného řádu nejmenší strmost. Čím větší bude zvlnění
útlumové charakteristiky v propustném pásmu (Čebyševovy filtry), tím větší bude její
strmost. Největší strmosti dosahují filtry Cauerovy ovšem za cenu konečné hodnoty útlumu
v potlačovaném pásmu.
Výhodná realizace filtrů se provádí pomocí příčkových článků (Obrázek 12.2). Podle
typu filtru a dané aproximace se v podélných a přímých větvích vyskytují samotné induktory
a kapacitory nebo sériové a paralelní kmitavé okruhy. Nekonečné hodnoty útlumu se dosahuje
u dolní propusti Cauerova typu zařazením paralelního kmitavého okruhu do podélné větve
nebo sériového kmitavého okruhu do přímé větve.
12.1.3 Schéma zapojení přípravku
V přípravku se nacházejí tři pasivní dolní propusti a to:
a) Butterworthova typu
(Obrázek 12.2a),
b) Čebyševova typu
(Obrázek 12.2b),
c) Cauerova typu
(Obrázek 12.2c),
všechny jsou pátého řádu, s mezním kmitočtem fm = 1 kHz a přizpůsobovacími impedancemi
R1 = R2 = 1 kΩ.
Zapojení přípravku a hodnoty jednotlivých prvků jsou uvedeny na Obrázek 12.2.
12.1.4 Počítačové simulace
12.1.4.1 Počítačové simulace Cauerovy dolní propusti 5.řádu
1. Proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.2c s nominálními hodnotami
součástek. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku přenosu napětí. Určete
hodnoty významných a inflexních bodů.
138
2. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při výstupu naprázdno,
R2 = ∞.
3. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při silně nepřizpůsobeném vstupu
nakrátko, R1 = 0.
4. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při nepřizpůsobeném zatížení
filtru na vstupu i výstupu. Prostudujte vliv změny hodnot odporů obou zatěžovacích
rezistorů R1 a R2 o 30%.
5. Prostudujte vliv změny hodnot kapacitoru C1 o 30% na tvar modulové charakteristiky
filtru.
6. Prostudujte vliv změny kapacitoru hodnot C3 o 30% na tvar modulové charakteristiky
filtru.
7. Prostudujte vliv změny cívky hodnot L2 o 20% na tvar modulové charakteristiky filtru.
8. Prostudujte vliv změny cívky hodnot L4 o 20% na tvar modulové charakteristiky filtru.
9. Prostudujte vliv změny kapacitoru hodnot C5 o 30% na tvar modulové charakteristiky
filtru.
10. Určete toleranční kanál modulové charakteristiky při toleranci všech součástek
∆ = ± 10%.
11. Zobrazte přechodnou charakteristiku h(t) tohoto filtru.
12. Prostudujte vliv kvality Q jednotlivých cívek, simulací ztrát rezistorem Rs. Jak velké Q
bude zapotřebí, aby modulová charakteristika nevybočila z tolerančního kanálu 3 dB.
Elektrické filtry
139
Obrázek 12.2: Zapojení dolní propusti 5. řádu.
a) Butterworthova filtru, b) Čebyševova filtru, c) Cauerova filtru.
12.1.4.2 Počítačové simulace Butterworthovy dolní propusti 5.řádu
1. Proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.2a s nominálními hodnotami
hodnoty významných bodů.
2. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při výstupu naprázdno,
R2 = ∞.
140
3. Zobrazte modulovou charakteristiku přenosu napětí při silně nepřizpůsobeném vstupu
nakrátko, R1 = 0.
∆ = ± 10%.
5. Zobrazte přechodnou charakteristiku h(t) tohoto filtru, při různém Q.
12.1.4.3 Počítačové simulace Čebyševovy dolní propusti 5.řádu
1. Proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.2b s nominálními hodnotami
hodnoty významných a inflexních bodů.
∆ = ± 10%.
3. Zobrazte přechodnou charakteristiku h(t) tohoto filtru, při různém Q.
12.1.5 Laboratorní měření
1. Zapojte pracoviště dle blokového schématu na Obrázek 12.3.
Zde označené bloky jsou: G – generátor, V – milivoltmetr, OSC – osciloskop.
Obrázek 12.3:
Blokové schéma pracoviště.
2. Změřte modulovou charakteristiku Butterworthovy dolní propusti 5.řádu
(Obrázek 12.2a), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření
porovnejte s počítačovou simulací.
(Obrázek 12.2a), při výstupu naprázdno R2 = ∞. Výsledky měření porovnejte
s počítačovou simulací.
(Obrázek 12.2a), při vstupu nakrátko, R1 = 0. Výsledky měření porovnejte
5. Změřte modulovou charakteristiku pro část obvodu na Obrázek 12.2a, realizující
filtr 3. řádu. Určete strmost charakteristiky v nepropustném pásmu a porovnejte
s výsledky bodu 2.
6. Změřte modulovou charakteristiku Čebyševovy dolní propusti 5.řádu
(Obrázek 12.2b), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření
7. Změřte modulovou charakteristiku Cauerovy dolní propusti 5.řádu
(Obrázek 12.2c), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření
8. Změřte modulovou charakteristiku Cauerovy dolní propusti 5.řádu
(Obrázek 12.2c), při výstupu naprázdno R2 = ∞. Výsledky měření porovnejte
Elektrické filtry
141
9. Vypočítejte rezonanční kmitočet paralelních kmitavých okruhů, zařazených v
podélných větvích Cauerova filtru (Obrázek 12.2c). Porovnejte je s kmitočtem
maximálního útlumu a počítačovou simulací.
10. Změřte fázovou charakteristiku Butterworthovy dolní propusti 5.řádu
(Obrázek 12.2a), při impedančním přizpůsobení R1 = R2. Výsledky měření
11. V Cauerově dolní propusti 5.řádu přidejte postupně k jednomu příčnému a k
jednomu podélnému kapacitoru paralelně další kapacitor o hodnotě 47 nF a změřte
modulovou charakteristiku. Porovnejte ji s výsledky měření nominálního filtru
(bod 7).
12.1.6 Pokyny k měření
Při měření modulových charakteristik udržujte konstantní vstupní napětí Uv (Obrázek
1.1), a to s dostatečně velkou úrovní (např. +10 dB), aby kate mohli dostatečně přesně
proměřit útlumovou charakteristiku v nepropustném (potlačeném) pásmu. S výhodou můžete
použít decibelových stupnic milivoltmetrů a místo hodnoty napětí ve voltech odečítat přímo
úrovně napětí v dB (UVdB, U2dB ), které pak dosadíte do vztahu ( 12.5 ).
Kmitočet generátoru nastavujte s ohledem na použitou logaritmickou stupnici, jako
desetinásobek hodnot: 1, 2, 5 a 10, v rozsahu 10 Hz až 100 kHz. Mimo to změřte body, kdy
dochází k prudkým změnám útlumu. Zejména zachyťte extrémy útlumové charakteristiky.
12.2 Návod na laboratorní a počítačové cvičení č. 2
Název: Aktivní filtry RC 2. řádu
12.2.1 Poznatky z teorie
Aktivní filtry RC umožňují realizovat v oblasti nízkých kmitočtů (do 100 kHz) vysoce
efektivní filtry bez induktorů. Nejrozšířenější skupinou těchto filtrů jsou ARC filtry se
zesilovači. Na Obrázek 12.4 je oblíbené zapojení aktivní dolní propusti 2. řádu SAB-LP-SK
(Sallen – Key) s přenosem napětí obecně daným vztahem ( 2.16 ), která je podrobně
rozebrána v kap. 6.3.1. Neinvertující zesilovač napětí je realizován OZ a rezistory Ra, Rb. Jeho
zesílení výrazně určuje druh použité aproximace, resp. hodnotu činitele jakosti bikvadu
(Tabulka 6.1).
Pro návrh můžeme použít čtyři různé varianty:
Návrhová varianta SAB-LP-SK-1
A > 1, C2 ≠ C4, R1 ≠ R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 25.
Postup návrhu kap. 6.3.1.1.
A = 1, C2 ≠ C4, R1 ≠ R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 15.
A < 3, C2 = C4, R1 = R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 10.
Postup návrhu kap.6.3.1.3.
A = 2, C2 = C4, R1 ≠ R3, dosažitelná hodnota činitele jakosti Q < 10.
142
Obrázek 12.4:
Schéma zapojení SAB-LP-SK
12.2.2 Individuální zadání filtru
Navrhněte aktivní dolní propust 2. řádu SAB-LP-SK
variantu:
s počátečním přenosem K0:
,
s mezním kmitočtem fm:
,
,
s hodnotou činitele jakosti Q nebo zadanou aproximací:
Pro dosažení požadované hodnoty K0 a vyloučení vlivu vnitřního odporu zdroje
zpracovávaného signálu, předřaďte filtru další oddělovací zesilovač (druhý OZ). Použijte
operační zesilovače typu:
12.2.3 Realizace filtru
Navržené zapojení realizujte na nepájivém poli. Použité součástky si předem proměřte.
Požadovanou hodnotu se snažte získat co nejpřesněji kombinací více prvků.
12.2.4 Počítačové simulace
1. Programem SNAP odvoďte přenos napětí obvodu SAB-LP-SK na Obrázek 12.4.
2. Programem PSpice proveďte kontrolní analýzu obvodu na Obrázek 12.4s navrženými
nominálními hodnotami součástek a se zadaným typem OZ. Zobrazte modulovou a
fázovou charakteristiku přenosu napětí. Určete hodnoty významných bodů a strmost
charakteristiky v přechodném pásmu.
3. Bod 2 zopakujte s ideálním operačním zesilovačem a do jednoho grafu zobrazte obě
modulové charakteristiky.
4. Udělejte si v PSpice jednopólový model reálného OZ, s možností měnit zesílení A0,
výstupní odpor Rout a polohu pólu resp. tranzitní kmitočet (fT).
5. S použitím modelu z předchozího bodu a parametrické analýzy v PSpice, prostudujte
vliv A0 na parametry filtru.
Elektrické filtry
143
vliv fT na parametry filtru.
vliv Rout na parametry filtru.
8. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot odporu R1 o ± 50%
z nominální hodnoty na průběh modulové a fázové charakteristiky.
9. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot odporu R3 o ± 50%
10. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot kapacitoru C2 o ± 50%
11. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot kapacitoru C2 o ± 50%
12. Parametrickou analýzou v PSpice vyšetřete vliv změny hodnot zesílení A o ± 50%
13. Metodou Monte Carlo proveďte toleranční analýzu obvodu, zobrazte toleranční kanál,
při C ± 5% a R ± 1%.
14. Metodou Monte Carlo proveďte toleranční analýzu obvodu, zobrazte toleranční kanál,
při C ± 20% a R ± 5%.
15. Metodou Worst Case proveďte toleranční analýzu obvodu, zobrazte toleranční kanál,
při C ± 1% a R ± 1%.
16. Navrhněte pasivní filtr RLC se stejnými parametry, jako je váš ARC bikvad (dle
individuálního zadání) a bod 15 zopakujte pro tento filtr. Nakreslete odchylku
nejhoršího případu od nominálního průběhu modulové charakteristiky. Oba filtry,
pasivní a aktivní, takto porovnejte. Vyslovte závěr o tom, který z filtrů je citlivější a
ten prokazatelně kvantitativně doložte.
12.2.5 Laboratorní měření
1. Před vlastním laboratorním cvičením jednoduchým testem ověřte, že váš filtr pracuje
(např. OZ není saturován).
2. Změřte modulovou charakteristiku navrženého filtru, bod po bodu, obdobně jako v LC
1 (kap. 12.1.5). Výsledky měření porovnejte s počítačovou simulací.
3. Změřte fázovou charakteristiku navrženého filtru. Výsledky měření porovnejte
4. Zobrazte modulovou a fázovou charakteristiku navrženého filtru, s nominálními
hodnotami součástek na pracovišti automatizovaného měření.
5. Změňte hodnotu odporu R1 o 50% a zopakujte bod 4. Výsledky měření porovnejte
6. Změňte hodnotu odporu C2 o 50% a zopakujte bod 4. Výsledky měření porovnejte
7. Změňte hodnotu zesílení A o 50% a zopakujte bod 4. Výsledky měření porovnejte
144
Seznam použité literatury
[1]
Dostál, T.: Analogové elektronické obvody. Učební elektronické texty FEKT VUT,
Brno, 2002.
[2]
Pospíšil, J., Dostál, T.: Teorie elektronických obvodů. Skripta FEI VUT Brno,
VUTIUM, 2002.
[3]
Wai-Kai Chen: The circuits and filters hand book. Florida, CRC Press, 1995.
[4]
Williams, A.B., Taylor, F.J.: Electronic filter design handbook. New York, McGrawHill, Inc., 1995.
[5]
Kendall, L.S.: Analog filters. London, Chapman Hall, 1996.
[6]
Saal, R.: Handbuch zum Filterentwurf. Berlin, AEG-Telefunken, l979.
[7]
Moschytz, G.S. - Horn, P.: Active filter design handbook. New York, J.Wiley & sons,
1981.
[8]
Huelsman, L.P., Alen, P.E.: Introduction to the theory and design of active filters.
New York, McGraw-Hill, 1980.
[9]
Bowron, P., Stephenson F.W.: Active filters for communications and instrumentation.
New York, McGraw-Hill, 1979.
[ 10 ] Graeme, J.G., Tobey, G.E., Huelsman, L.P.: Operational amplifiers - design and
applications. New York, McGraw-Hill, 1971.
[ 11 ] Antoniou, .A.: Digital filters - analysis and design. New York, McGraw-Hill, 1988.
[ 12 ] Lanne, A.A. a kol.: Spravočnik po rasčjotu i proektirovaniju ARC-schem. Moskva,
Radio i svjaz, l984.
[ 13 ] Dostál, J.: Operační zesilovače. Praha, SNTL, 1981.
[ 14 ] Dostál, T.: Analýza a syntéza obvodů se spínanými kapacitory. In: Knižnice spisů
VUT Brno, sv. A-37, 1988.
[ 15 ] Bruton, L.T.: RC-active circuits. Theory and design. Englewood Cliffs, Prentice-Hall,
1980.
[ 16 ] Ghausi, M. S. - Laker K.R.: Active filter design - Active RC and switched capacitor.
Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1981.
[ 17 ] Hájek, J. - Sedláček, J.: Praktický návrh kmitočtových filtrů. Skriptum VA Brno, ES
VA, 1991.
[ 18 ] Huelsman, P.L.: Active and passive analog filter design. New York, MC Graw-Hill.
1993.
[ 19 ] Toumazou,C. etc.: Analogue IC design - The current mode approach. London,
Peregrinus, 1990.
[ 20 ] Ellis, M. G.: Electronic filter analysis and synthesis. London, Artech House, 1994.
[ 21 ] Paarmann, L.D.: Design and analysis of analog filters. Boston, Kluwer academ. pub.,
2001.
[ 22 ] Herpy, M. Berka, J.C.: Aktive RC-filter. Munchen, Franzis, 1984.

Elektrické filtry Garant předmětu

Transkript

Podobné dokumenty

Digitální wattmetr

Polovodiče – základní pojmy, vlastnosti. Přechody, diody, jejich

dalibor bartoněk počítačová grafika i

Funkční generátor na principu přímé digitální syntézy

Precizní analogové rozhraní pro zpracování zvuku

Pasivní lineární obvody 1. a 2. řádu (RC, RL a RLC články)

Sborník

práce SOČ

Zkušenosti s evropskými normami

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

7.1. Číslicové filtry IIR