Náhodný jev

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
PRAVDĚPODOBNOST
Náhodné pokusy
Pokusy ve fyzice, chemii
ƒ při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek
ƒ Př. Změna skupenství vody při 100°C a tlaku 100 kPa
Pokusy v praxi, vědě, výzkumu
ƒ při dodržení stejných pravidel různé výsledky, tj. výsledek závisí na náhodě
ƒ Př. Hod kostkou, Ruleta, Sportka, Karty
Def.: Náhodný pokus je pokus závisející nejen na předepsaných podmínkách, ale
také na náhodě.
Poznámka: Náhoda je soubor drobných, ne zcela zjistitelných vlivů, které
způsobují změnu výsledku.
Náhodný jev
= jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o kterém lze rozhodnout, zda je
pravdivé či nepravdivé
Příklad: Náhodný pokus – hod kostkou
Náhodný jev – padnutí stěny s číslem tři, padnutí sudého čísla
Elementární jev – jev, který už nelze rozložit
– příklad: Padnutí stěny s číslem 4
Nemožný jev – jev, který nikdy nenastane
– příklad: Padnutí stěny s číslem 7
Jistý jev – jev, který vždy nastane
– příklad: Padnutí jednoho z čísel 1–6
Značení jevu: velké písmeno, např. A
A – jev
A, A´ – jev OPAČNÝ, doplňkový
– nastane právě tehdy, když nenastává jev A
Příklad: A: Na kostce padne číslo 5.
A´: Na kostce padne cokoliv kromě čísla 5.
Vztahy mezi jevy:
Jev A je podjevem jevu B; jev A je částí jevu B
značení: A ⊂ B
Příklad: A: Hod čísla pět.
B: Hod lichého čísla.
1
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Průnik jevů A, B
značení: A ∩ B
nastane právě tehdy, když nastanou jevy A, B současně
Příklad: A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo.
A ∩ B: Padne číslo 3.
Poznámka: Je-li A ∩ B = 0, pak nazýváme dané jevy neslučitelné.
Sjednocení jevů A, B
značení: A ∪ B
nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B
Příklad: A: Padne číslo dělitelné 3. B: Padne liché číslo.
A ∩ B: Padne právě jedno z čísel 1; 3; 5; 6.
Pravděpodobnost náhodného jevu
Často si před náhodným pokusem klademe otázku, jaká je naděje (pravděpodobnost), že daný jev nastane.
PRAVDĚPODOBNOST
– zkoumá matematické zákonitosti projevující se v náhodných pokusech
= míra očekávání, že daný náhodný jev nastane
™ Některé pokusy mají n stejně možných výsledků
1
⇒ každý výsledek má pravděpodobnost
n
Příklad: Padnutí čísla na kostce, vylosování konkrétního čísla
™ některé pokusy nemají všechny výsledky stejně možné
⇒ po provedení velkého počtu pokusů lze zjistit, v kolika případech jev nastal
a provést odhad pravděpodobnosti
Příklad: Narození chlapce, výroba kvalitního výrobku
Klasická pravděpodobnost
Má-li pokus n stejně možných elementárních výsledků, které se navzájem
m
vylučují, je pravděpodobnost číslo
m - počet „příznivých“ výsl.
P ( A) =
n
n - počet všech výsledků
Příklad 1: Jaká je při hodu hrací kostkou pravděpodobnost, že padne stěna se
sudým počtem bodů?
Řešení:
Příklad 2: V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že
váš zakoupený los vyhraje?
Řešení:
2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost, že vyhrajete ve sportce první cenu, vyplníte-li
jednu sázenku? Uvažujeme pouze 6 tažených čísel z osudí 49 čísel.
Řešení: Počet všech možných výsledků:
⎛ 49 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 13 983 816
⎝6⎠
1. cena ⇔ uhodneme všech 6 tažených čísel Æ P =
1
= 0,000 000 072
13983816
Příklad 4: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu třemi kostkami bude
součet bodů 12?
Řešení: Počet všech možných výsledků: 6 ⋅ 6 ⋅6 = 216
Některé součty mají různé výsledky, např. 6,5,1; 6,1,5; 5,1,6; 5,6,1;
1,6,5; 1,5,6 Æ 6 příznivých výsledků
Součet 12:
P(12) =
6
6
6
3
3
1
+
+
+
+
+
= 0,116
216 216 216 216 216 216
Statistická pravděpodobnost
Nelze-li použít klasickou def. pravděpodobnosti, vycházíme z výsledků již
provedených pokusů a k odhadu pravděpodobnosti využijeme statistiku.
Statistická pravděpodobnost je založena na relativní četnosti jevů při dostatečně
velkém počtu na sobě nezávislých pokusů.
n(A) - počet pokusů, ve kterých jev A nastal
n( A)
P( A) ≈
n - celkový počet pokusů
n
Příklad: Při 4 040 hodech mincí padl rub 2 048×, při 12 000 hodech 6 019×, při
24 000 hodech 12 012×. Proveďte odhad pravděpod. padnutí rubu mince
Řešení:
3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Věty o pravděpodobnosti
V1: Každému náhodnému jevu A je přiřazena pravděpodobnost P(A); 0 ≤ P(A) ≤ 1.
V2: Pravděpodobnost jistého jevu je 1.
Pravděpodobnost nemožného jevu je 0.
V3: Pravděpodobnost sjednocení neslučitelných jevů je součet pravděpodobností
těchto jevů.
Poznámka:
Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při tahu sportky bude taženo alespoň jedno
jednociferné číslo?
Řešení: P( A) = 1 − P(A )
P( A) = 1− 0,274
P( A) = 0,726
⎛ 40 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
6
P( A ) = ⎝ ⎠ = 0,274
⎛ 49 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝6⎠
Cvičení:
Příklad 1: Jaká je pravděpodobnost, že při jednom hodu dvěma kostkami bude
součet 6? Je tato pravděpodobnost větší než u součtu 7?
Příklad 2: Ve třídě je 40 žáků, z toho 25 dívek a 15 chlapců. Náhodně vylosujeme
2 žáky. Jaká je pravděpodobnost, že to bude 1 chlapec a 1 dívka?
Příklad 3: Jaká je pravděpodobnost výhry páté ceny ve sportce (3 čísla ze 6 tažených), je-li 13 983 816 možných výsledků losování?
Příklad 4: V bedně je 30 výrobků, z nichž 3 jsou vadné. Jaká je pravděpodobnost,
že mezi 5 náhodně vybranými výrobky bude nejvýš 1 vadný.
Příklad 5: 40 studentů má být náhodně rozděleno na 4 stejně početné skupiny.
Mezi studenty jsou i Adam a Eva. Jaká je pravděpodobnost, že budou
oba zařazení do téže skupiny?
Pravděpodobnost sjednocení
Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem neslučitelných jevů je rovna součtu
jejich pravděpodobností: P ( A ∪ B) = P( A) + P(B )
Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem slučitelných jevů je rovna:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
4
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR
Příklad: Hodíme dvěma kostkami – bílou a modrou. Jev A – na bílé padne číslo
≥ 3, jev B – na modré padne číslo ≤ 3. S jakou pravděpodobností nastává
jev A; jev B; jev A i B současně; jev A nebo jev B?
Řešení: Počet všech možných výsledků: 6 ⋅ 6 = 36
a) na bílé kostce padne číslo ≥ 3
Počet příznivých výsledků: 4 ⋅ 6 = 24
b) na modré kostce padne číslo ≤ 3
Počet příznivých výsledků: 4 ⋅ 6 = 24
c) na bílé kostce padne číslo ≥ 3 a na modré číslo ≤ 3
Počet příznivých výsledků: 4 ⋅ 3 = 12
d) na bílé kostce padne číslo ≥ 3 nebo na modré číslo ≤ 3
– nezávislé jevy
Cvičení:
Příklad 1: V tombole se prodalo 500 slosovatelných lístků, ze kterých pět vyhrává
1. cenu, deset 2. cenu a čtyřicet 3. cenu. Jaká je pravděpodobnost
výhry na právě jeden zakoupený lístek?
Příklad 2: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne alespoň
na jedné kostce šestka?
Příklad 3: Ve třídě je 70 % chlapců a 30 % dívek. S vyznamenáním studuje 20 %
chlapců a 10 % dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný
žák studuje s vyznamenáním?
5