č. 16 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

č. 16 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

Název projektu OPVK: Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec
CZ.1.07/1.5.00/34.0766
Klíčová aktivita: IV/2
Číslo dokumentu: VY_42_INOVACE_M.S1.16
Typ výukového materiálu: Pracovní list pro žáka
Název výukového materiálu: Přirozená čísla, Fibonacciho čísla
Autor: PhDr. Jan Fiala, Ph.D.
Škola: Gymnázium V. Nováka Jindřichův Hradec
Obor vzdělávání: Gymnázium (všeobecné), osmileté
Ročník: I.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace
Vzdělávací obor: Matematika
Tématická oblast: Matematika - I.-IV. ročník osmiletého gymnázia
Datum vytvoření: 7. 10. 2012
Anotace: Pracovní list slouží žákům druhého ročníku osmiletého gymnázia k seznámení
se s tzv. Fibonacciho čísly a Fibonacciho posloupností a seznamuje žáky s jejím praktickým využitím v životě
dětí.
Fibonacciho čísla (čti fibonačiho čísla) patří
k nejpopulárnějším číslům v matematice. Datum jejich
objevu sahá až do roku 1202, kdy se o nich
poprvé zmínil Leonardo Pisánský (přezdívaný
Fibonacci) ve svém díle Liber Abaci.
Fibonacciho čísla se mohou poskládat vedle
sebe tak, že zleva stojí dvě jedničky a
následují další vyšší čísla. Říkáme, že jsme
takto vytvořili Fibonacciho posloupnost.
[1]
1, 1, 2, 3……
Fibonacciho
posloupnost
začne dvěma
jedničkami...
…a kde vlastně
Fibonacciho
posloupnost
skončí?
1. Dokážeš zapsat další členy Fibonacciho posloupnosti?
2. Jak najdeme každý následující člen? Vysvětli ostatním spolužákům.
Jistě všichni správně zjistili, že každý následující člen (po zapsání prvních dvou
jedniček vlevo na začátku) najdeme tak, že sečteme dva přímo předcházející členy. Podívej se
znovu na obrázek.
Na začátku
vždy
napíšu dvě
jedničky.
1 1
3
2
Číslo 2 dostanu
tak, že sečtu
1+1.
...
Číslo 3 dostanu
tak, že sečtu
1+2.
3. Napiš dalších deset členů Fibonacciho posloupnosti. Správnost členů zkontroluj se
spolužákem.
Členy Fibonacciho posloupnosti se vyskytují v mnoha příkladech kolem nás. Začneme
s úlohou na množení králíků. Jeden králičí pár bude mít po jednom měsíci jeden další pár
králíků. Ke konci druhého měsíce, kdy potomci dospějí, bude mít druhý pár další pár malých
králíků. Takto pokračuje množení králíků dále. Fibonacci se ptal na počet párů králíků, které
budou žít na konci každého roku. Prohlédni si schéma množení králíků. Tmavý puntík
-1-
1
1
2
3
5
8
znamená dospělý pár králíků, světlý puntík
znamená mladý pár králíků. Víme, že
během roku neuhyne žádný králík. Na
posledním řádku schématu je
vidět situace na konci května.
Levá zakroužkovaná část je
...
kopií řádku nad a pravá zakroužkovaná část je kopií čtvrtého řádku. Z toho
Fibonacci odvodil tuto rovnici: Počet párů po n měsících = počet párů po (n1) měsících + počet párů po (n-2) měsících.
[2]
4. Urči počet králíků na konci prosince.
Uveďme další příklady výskytu Fibonacciho čísel. Květenství
slunečnice typu úbor má v době zrání semena uspořádána do spirál tak, že
jedna spirála obsahuje 34 semínek v jednom směru, druhá spirála zase 55 v druhém směru.
Semínka borovicových nebo smrkových šišek jsou uspořádána pravo- nebo levotočivě do
šroubovic, jejichž počty jsou většinou 13 a 8. Podobné spirály se dají najít také například u
ananasů a artyčoků. To jsou všechno členy Fibonacciho posloupnosti. Fibonacciho čísla
využívají architekti v rozměrech budov či místností. Členy Fibonacciho posloupnosti využil
také například maďarský skladatel Béla Bartók (1881 – 1945) při komponování své Taneční
suity.
Úkoly k procvičení a opakování:
1. *Sestav posloupnost, která vznikne tak, že budeme tvořit součty od prvního až po daný
člen Fibonacciho posloupnosti. Zjisti vztah této nové k Fibonacciho posloupnosti.
2. *Sestav posloupnost, kterou tvoří druhé mocniny členů Fibonacciho posloupnosti. Poté
sestav posloupnost, jejíž členy vytvoříš sčítáním členů Fibonacciho posloupnosti se členy
z předchozí posloupnosti. Zjisti vztahy mezi nimi.
3. *Ve filmu Šifra mistra Leonarda zanechal Jacques Saunière (čti žak saniér) k rozluštění
prvních osm po sobě jdoucích Fibonacciho čísel. Najdi na internetu tuto šifru.
4. Taneční suitu Bély Bartóka si můžeš poslechnout na
http://www.youtube.com/watch?v=T6V1EJD0fig&feature=related .
5. *Zjisti, co jsou tzv. Lucasova čísla, resp. Lucasova posloupnost.
6. Zapiš si pod sebe rovnosti a vytvoř dalších 5 řádků: 1·8+1=9, 12·8+2=98, 13·8+3=…
Literatura a zdroje obrázků:
Obrázky vytvořil a fotografie pořídil autor.
1. Smeira, Fibonacci2.jpg [online]. 2007 [cit. 7.10.2012]. Dostupný pod licencí Creativ
Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fibonacci2.jpg?uselang=cs
2. Nino barbieri, Slunečnice [online]. 2006 [cit. 7.10.2012]. Dostupný pod licencí Creativ
Commons: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Helianthus_-_annuus_-_02.jpg
Prohlašuji, že při tvorbě výukového materiálu jsem respektoval(a) všeobecně užívané právní a morální zvyklosti, autorská a jiná práva třetích
osob, zejména práva duševního vlastnictví (např. práva k obchodní firmě, autorská práva k software, k filmovým, hudebním a fotografickým
dílům nebo práva k ochranným známkám) dle zákona 121/2000 Sb. (Autorský zákon). Nesu veškerou právní odpovědnost za obsah a původ
svého díla.
Prohlašuji dále, že výše uvedený materiál jsem ověřil(a) ve výuce a provedl(a) o tom zápis do třídní knihy. Dávám souhlas, aby mé dílo bylo
dáno k dispozici veřejnosti k účelům volného užití (§ 30 odst. 1 zákona 121/2000 Sb.), tj. že k uvedeným účelům může být kýmkoliv
zveřejňováno, používáno, upravováno a uchováváno.
-2-