Absolventská práce

22. základní škola Plzeň, příspěvková organizace
Na Dlouhých 49, 312 00 Plzeň
Absolventská práce
FIBONACCIHO POSLOUPNOST
Lukáš Pauliny
9. B
Vedoucí absolventské práce: Mgr. Martin Tomik
Školní rok 2010/2011
Prohlašuji, že jsem absolventskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené
literatury a zdrojů informací.
V Plzni dne 1. června 2011
Lukáš Pauliny
…………………….
Obsah
Obsah ...........................................................................................................................3
Anotace ........................................................................................................................5
Anotace v českém jazyce .......................................................................................5
Anotace v cizím jazyce ..........................................................................................5
Úvod .............................................................................................................................6
1 Fibonacci ...................................................................................................................7
1.1 Stručný životopis .................................................................................................7
1.2 Fibonacciho práce ................................................................................................7
1.2.1 Liber abbaci ..................................................................................................7
1.2.2 Úloha o králících ...........................................................................................8
2 Fibonacciho posloupnost ........................................................................................ 10
2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti ..................................................................... 10
2.2 Co je Fibonacciho posloupnost?......................................................................... 10
2.2.1 Definice ......................................................................................................10
2.3 Fibonacciho čísla v praxi ................................................................................... 10
2.3.1 Fibonacci retracement ................................................................................. 10
2.3.2 Příklad Fibonacci retracement ..................................................................... 11
2.3.3 Příklad stavba zdi ........................................................................................ 11
2.3.4 Geometrický paradox .................................................................................. 12
3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez ............................................... 14
3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku ........................................................ 14
3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla .............................................................................. 14
3.2.1 Definice zlatého řezu .................................................................................. 14
3.2.2 Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem ............................................. 15
4 Fibonacciho posloupnost v přírodě ........................................................................ 16
4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě...................................................... 16
5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi ........................................ 17
5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla .............................................. 17
5.1.1 Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla ....................................... 17
5.1.2 Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet) .............................. 17
5.1.3 Důkaz matematickou indukcí ......................................................................17
Závěr .......................................................................................................................... 19
3
Seznam použité literatury a zdrojů informací ......................................................... 20
Knihy a publikace ................................................................................................ 20
Elektronické zdroje .............................................................................................. 20
4
Anotace
Anotace v českém jazyce
Název práce je Fibonacciho posloupnost. Práce je rozdělena do několika kapitol.
V první kapitole bych vám chtěl přiblížit, kdo byl Fibonacci a co jsou Fibonacciho čísla
s pomocí úlohy o králících, která vedla ke vzniku samotné Fibonacciho posloupnosti.
V druhé kapitole jsem se již zabýval samotnou Fibonacciho posloupností, kde a jak se
dá využít. Ve třetí kapitole se zabývám Fibonacciho čísly v Pascalově trojúhelníku
a také jejich souvislostí se zlatým řezem. Ve čtvrté kapitole vám ukážu, kde všude
najdete Fibonacciho posloupnost a také jak se těmito čísly inspirovala matka příroda.
Anotace v cizím jazyce
The title of this work is the Fibonacci sequence. The thesis is devided into few
chapters. In the first one, I would like to make you acquainted with the personality of
Fibonacci and to explain what the Fibonacci numbers are through the auxiliary problem
about rabits, which have let to origination of the Fibonacci sequence itself. In the
second chapter I dealt with the Fibonacci sequence itself, where and how to use it. In
the third chapter I explain the problem of Fibonacci numbers in the Pascal triangle and
the connection between them and the gold chain. In the last chapter I would like to
show You the Fibonacci sequence in different occurrences and as an inspiration of the
mother nature.
5
Úvod
Když naší třídě oznámili, že si máme vybrat téma absolventské práce tak jsem
neměl žádnou představu o tom jaké téma bych chtěl zpracovat. Proto jsem si jednoho
dne zjistil, jaká témata pro absolventskou práci jsou k dispozici. Nakonec jsem se
rozhodl pro matematiku a to ze dvou důvodů. Proto, že vedoucím této práce je pan
učitel Martin Tomik, který patří k mým nejoblíbenějším učitelům a také proto, že o
tématu slyším poprvé a doufám, že si z této práce odnesu něco, co se mi bude
v budoucnu hodit a co využiji. Ve své práci se vám stejně jako sobě tedy pokusím
přiblížit, co jsou to Fibonacciho čísla, jak souvisí se zlatým řezem a proč tomu tak je.
Další část práce se týká Fibonacciho posloupnosti, kde a jak se dá využít za použití
známých úloh jako třeba známé Fibonacciho úlohy o králících. Když zde zmiňuji jméno
Fibonacci tak v mé práci také naleznete kdo Fibonacci byl a jakým způsobem přišel na
posloupnost, která dnes nese jeho jméno.
1. Portrét
2. Ukázka
3. Fibonacciho
zlatého řezu
Fibonacciho
čísla v přírodě
1.
4. úloha o
králících
2.
4.
3.
6
1 Fibonacci
1.1 Stručný životopis
Leonardo Pisánský známý též také pod přezdívkou Fibonacci, kterou dostal
podle svého otce, kterému se říkalo Bonacci (=dobromyslný člověk) proto přezdívka
Fibonacci (=syn dobromyslného člověka). Fibonacci se stal prvním významným
matematikem ve starém středověku. Narodil se roku 1170 v Italské Pise, avšak vzdělání
se mu dostalo až v Severní Africe, kde pobýval se svým otcem. Fibonacci později
získával poznatky při obchodních cestách ve Středomoří a v Orientu, proto měl možnost
vidět výsledky islámských, řeckých, egyptských a mezopotámských matematiků. Roku
1200 se rozhodl Fibonacci vrátit do italské Pisy, kde zůstal až do své smrti roku 1250.
1.2 Fibonacciho práce
Fibonacciho práce nemálo podpořily staré matematické dovednosti. V dnešní
době jsou nám k dispozici kopie jeho knih Liber abbaci z roku 1202, Praktica
geometriae z roku 1220, Flos 1225 nebo Liber quadratorum z roku 1225. Nás však
bude nejvíce zajímat kniha Liber abbaci (česky Svazek počítadla) o které pojednává
následující kapitola.
1.2.1 Liber abbaci
Liber abbaci je kniha z roku 1202 ve které Fibonacci shrnul poznatky
a myšlenky, které získal na svých cestách. Tato kniha také značně pomohla evropské
matematice tím, že využívala arabské číslice a přinesla také Dekadický systém, což je
poziční číselná soustava používající pro zápis 10 symbolů (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Ve třetí
části této knihy Fibonacci uvádí pro nás velmi důležitou a známou úlohu o králících.
7
1.2.2 Úloha o králících
Zadání:
Kolik králíků bude mít po uplynutí jednoho roku a budou-li platit tyto
podmínky:
1. Na začátku máme 2 králíky samce a samici
2. Králíci jsou schopni se pářit od konce prvního měsíce, takže ke konci druhého
už se narodí nový pár mláďat.
3. Po druhém měsíci se rodí pravidelně každý měsíc jeden pár mláďat.
4. Králíci nikdy neumírají.
Řešení (1. -matematické 2. -praktické) :
Číslo v závorce je číslo měsíce, a hodnota f (x) počet párů králíků na začátku daného
měsíce tím dostaneme:
f(1) = 1
f(2) = 1
f(3) = 2
f(4) = 3
f(5) = 5
8
1. Označíme nově narozené páry králíků písmenem N a dospělé králíky D,
dostaneme:
Měsíc 1: N
Měsíc 2: D
Měsíc 3: DN
Měsíc 4: DND
Měsíc 5: DNDNDN
Tato posloupnost má první 2 členy rovny jedné a každý další člen se pak rovná
součtu dvou předchozích. Takovouto řadu čísel označujeme jako F n a nazýváme
Fibonacciho čísla a říkáme, že čísla mají tzv. Fibonacciho posloupnost.
9
2 Fibonacciho posloupnost
2.1 Historie Fibonacciho posloupnosti
Fibonacciho čísla jsme mohli poprvé poznat v Indii v díle „Nauka o verši“ od
Indického matematika Pingala, ale jako posloupnost tato čísla poprvé použil a popsal již
výše zmíněný Leonardo z Pisy známý též jako Fibonacci, který tuto posloupnost použil
ve své knize Liber Abbaci, kterou se proslavil.
2.2 Co je Fibonacciho posloupnost?
2.2.1 Definice
Fibonacciho posloupnost je posloupnost, která má první dva členy rovny jedné
a každý další člen se pak rovná součtu dvou předchozích.
Posloupnost Fibonacciho čísel
Posloupnost Fibonacciho čísel
Způsob výpočtu daného čísla
1
=1
1
=1
2
3
5
8
13
21
1+1 1+2 2+3 3+5 5+8 8+13
2.3 Fibonacciho čísla v praxi
2.3.1 Fibonacci retracement
Snad nejpoužívanější metoda Fibonacciho čísel se nazývá „Fibonacci
retracement“ což je Fibonacciho úroveň zpětných pohybů. Tento nástroj odvozuje
z ukazatelů, které tvoří 4 po sobě jdoucí Fibonacciho čísla (Př. 13, 21, 34, 55) které
mezi sebou vydělíme a dostaneme tzv. podílového ukazatele.
Fibonacci retracement
13/21 = 0.618 (61.8%)
34/55 = 0.618 (61.8%)
34/21 = 1.618 (161.8%)
55/34 = 1.618 (161.8%)
21/55 = 0.382 (38.2%)
13/34 = 0.382 (38.2%)
V praxi jsou výše uvedené výpočty použity hlavně v analytických přístrojích
díky čemuž vám stačí znát pouze nejnižší číslo (dno) a nejvyšší číslo (vrchol)
významného pohybu a ostatní úrovně již nemusíme počítat, jelikož se nám samy
zakreslí do grafu.
10
2.3.2 Příklad Fibonacci retracement
Máme nyní společnost Forex. Pro společnost Forex jsou hlavní níže uvedené
Fibonacciho úrovně.
0.382
0,5
0.618
0.786
1,27
1.618
2.618
38,2%
50%
61,8%
78,6%
127%
161,8%
261,8%
Za nejsilnější úrovně jsou považovány hodnoty 38.2%, 50% 61.8% jsou to
v podstatě hodnoty které určují kam se bude trh či daný trend ubírat. Využití tohoto
zjištění je opravdu mnoho, například si můžeme vypočítat, kam až by mohla cena
výrobku této firmy dojít a prodat ji za nejvyšší možnou částku a to proto, že trh se po
každé větší změně vrací do předem předvídaných Fibonacciho úrovní.
2.3.3 Příklad stavba zdi
Máme cihly o velikosti 2x1. Chceme postavit zeď, která bude mít
výšku 2 a délku stejnou jako počet cihel, tj. 1 cihla=délka 1, 2 cihly=délka 2 atd. (viz
obrázek):
S 1 cihlou máme jen 1 možnost, jak postavit zeď
S 2 cihly máme 2 různé možnosti, jak zeď postavit
Se 3 cihlami máme 3 různé možnosti
Kolik budeme mít možností, jestliže budeme mít k dispozici 4 nebo 5 cihel?
11
1
cihla
2
cihly
3
cihly
Řešení:
řešení pro 4 cihly bude číslo 5, protože cihly můžeme poskládat následujícími způsoby:
Pro 5 cihel nemusíme dlouho přemýšlet výsledkem se stane číslo 8, protože
pokud výsledek pro 4 cihly bylo číslo 5 což je vlastně součet 2 předchozích variant tedy
2+3 proto výsledek pro 5 cihel se bude také rovnat součtu počtu dvou předchozích
řešení tedy 5+3 a proto výsledkem bude 8 možností.
2.3.4 Geometrický paradox
Geometrický paradox, neboli také problém chybějícího čtverečku je další z řady
příkladů, které potvrzují zajímavé vlastnosti Fibonacciho čísel.
12
Zadání úlohy a její řešení:
1. Rozstříhejte čtverec o straně délky 8 jednotek, tak jak je naznačeno na obrázku
níže a pak ze vzniklých dílů vytvořte obdélník.
2. Podivnost spočívá v tom, že ze čtverce o ploše 64 jednotek (8*8) poskládáme
obdélník o ploše 65 (3*13). Jak je to možné?
Řešení:
Kdybychom rýsovali
velmi
přesně v dostatečně velkém měřítku
zjistili bychom, že je zde ještě
jednotka, která má plochu rovnou
číslu 1, protože čísla 5,8,13 jsou 3 po
sobě jdoucí Fibonacciho čísla a proto
pro ně platí:
5*13-82=(-1)6, tj. 65-64=1
13
3 Fibonacciho čísla, Pascalův trojúhelník a zlatý řez
3.1 Fibonacciho čísla v Pascalově trojúhelníku
Fibonacciho čísla nesouvisí jenom se zlatým řezem, ale také s Pascalovým
trojúhelníkem a tudíž i s kombinačními čísly. Pokud si Pascalův trojúhelník narýsujeme
tak jak uvádím níže a sečteme čísla ve stoupajících úhlopříčkách uvidíme, že vychází
čísla tvořící Fibonacciho posloupnost.
3.2 Zlatý řez a Fibonacciho čísla
3.2.1 Definice zlatého řezu
Dříve než začneme zkoumat zlatý řez detailněji, tak se prosím podívejte na 2
následující obrázky.
A
B
Většina z nás se asi shodne, že obrázek A je přitažlivější než obrázek B to proto,
že umístění květiny na obrázku A se blíží hodnotě zlatého řezu.
14
A
B
Právě díky tomuto zjištění se také velké množství umělců na tuto hodnotu
zaměřilo a začali ji využívat při vytváření svých obrazů soch a staveb, ale nejen zde
najdeme zlatý řez ten se totiž vyskytuje všude kolem nás protože hodnotu zlatého řezu
stejně jako Fibonacciho čísla také využívá matka příroda a to v různých formách ať již
jako zlatou spirálu, trojúhelník a nebo jako zlatý obdélník.
Ukázka zlaté spirály v přírodě – zlatá spirála
Zlatá spirála
Hlavonožec Nautilus
3.2.2 Souvislost Fibonacciho čísel se zlatým řezem
Fibonacciho čísla také velice úzce souvisí s hodnotou zlatého řezu a to tak že
vezmeme li podíl po sobě jdoucích Fibonacciho čísel tak vzniklé číslo se bude postupně
přibližovat hodnotě zlatého řezu tedy číslu 1,618 033 988
15
4 Fibonacciho posloupnost v přírodě
S Fibonacciho posloupností se setkáváme každý den svého života.Dokonce
i matka příroda si z těchto čísel vzala příklad a snad právě proto je počet spirál na
borové šišce 13 levotočivých a 21 pravotočivých.Protože tato dvě čísla jsou zrovna
dvěma následujícími ve Fibonacciho posloupnosti není určitě náhoda, protože se s nimi
můžeme setkat u slunečnice ta má 34 pravotočivých a 55 levotočivých spirál. Možná se
ptáte, proč si příroda z těchto čísel bere příklad a přizpůsobuje se jim? Odpověď je
jednoduchá, díky této posloupnosti se pak na terčíku slunečnice může vyskytovat
nejvíce semen při jejich obvyklé velikosti. Překvapivý je i fakt že stejný princip jako na
borové šišce a slunečnici najdeme i na kaktusu.
4.1 Příklady Fibonacciho posloupnosti v přírodě
a) Kosatce 3vnější + 3 vnitřní okvětní lístky
b) Mochničky kuklíkovité 5 lístků
c) Kopretiny 21 okvětních lístků
a
b
c
16
5 Vlastnosti Fibonacciho čísel a příklady výpočtů s nimi
Fibonacciho čísla mají také vlastnosti, které nám umožňují vypočítat hodnotu
konkrétního čísla (n) aniž bychom museli vypisovat celou řadu.
5.1 Zjednodušení výpočtu hodnoty Fibonacciho čísla
Možnost výpočtu hodnoty konkrétního čísla v řadě jelikož existují vzorce, které
nám práci s Fibonacciho čísly velmi usnadní.
5.1.1 Zjednodušení výpočtů hodnoty Fibonacciho čísla
1.
2.
3.
4.
F1 + F2 + F3 + …. +Fn = Fn+2-1
F12 + F22 + F32 + …. +Fn2 = Fn * Fn+1
F1 + F3 + F5 + …. + F2n-1 = F2*n
F2 + F4 + F6 + …. + F2n = F2n+1-1
Výpočet u po sobě jdoucích F. čísel
Výpočet u F. čísel s druhou mocninou
Výpočet u F. čísel s lichým indexem
Výpočet u F. čísel se sudým indexem
5.1.2 Příklad užití ve výpočtu (1. a 2. Zjednodušený výpočet)
Pomocná řada F. čísel
F1
1
F2
1
F3
2
F4
3
F5
5
F6
8
1. ukázka pro n=4 u 1. zjednodušení
F1 + F2 + F3 + F4 = F4+2-1
1 + 1 + 2 + 3 =8-1
7=7
2. ukázka pro n=4 u 2. zjednodušení
F12 + F22 + F32 + F42 = F4 * F4+1
12 + 12 + 22 + 32= 3 * 5
1 + 1 + 4 + 9 = 15
15=15
5.1.3 Důkaz matematickou indukcí
Základní definice matematické indukce:
Matematická indukce je způsob dokázání tvrzení nebo matematické věty či
posloupnosti. Matematická indukce říká, že platí li pro číslo 1 určité pravidlo bude toto
pravidlo platit i u čísel vyšších v daném dokazovaném výpočtu, posloupnosti a dalších
tvrzeních.
Postup při provádění matematické indukce Fibonacciho posloupností:
1. nejdříve dokážeme, že tvrzení ve výpočtu platí je li n=1
2. Dokážeme, že rovnost opět platí, pokud zvýšíme číslo n o číslo 1 jedna
17
Pomocná řada F. čísel
F1
1
F2
1
F3
2
F4
3
Důkaz 1. výpočtu matematickou indukcí
1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1)
F1+2-1= F3-1=2-1=1
2. Indukční krok (n≠1)
F(n+1)+2-1=Fn+3-1
Důkaz 2. výpočtu matematickou indukcí
1. První krok důkazu matematickou indukcí (n=1)
F1*F1+1=F1*F2=1*1=1
2. Indukční krok ( n≠1)
F(n+1)*F(n+1)+1=F(n+1)*F(n+2)
18
F5
5
F6
8
Závěr
Téma mojí absolventské práce bylo Fibonacciho čísla a Fibonacciho posloupnost
a dnes již s jejím psaním končím. Co mi tato práce přinesla? Tato práce mě naučila
mnoha věcem, které se mi budou jistě hodit jako například zjišťování informací
a odhalila mi že v matematice nejde vždy jenom o čísla a naučila mě vytvářet příklady
ve kterých se vyskytují neznámé a zjistil jsem, že s jejich pomocí si lze velmi
zjednodušit matematické příklady. Tato práce mě však také naučila pečlivé a vytrvalé
práci. Avšak i když mi tato práce dala nepochybně hodně do budoucího studia na
střední škole tak jsem si také povšiml, že konec tohoto školního roku by mohl být
stráven lépe než psaním této absolventské práce. Konec tohoto školního roku by dle
mého názoru měl být stráven tak abychom na něj všichni rádi vzpomínaly a ne tak
abychom vzpomínaly na to, jak jsme psali absolventskou práci. Stálo proto za to se
touto prací zabývat? Mohl jsem se touto prací přestat zatěžovat a užívat si konec
školního roku podle mých představ avšak myslím si že pokud mi byl zadán jasný úkol
je mojí povinností jej splnit, jak nejlépe dokážu. Což je další věc, kterou mě tato práce
naučila a to je pečlivá práce a proto si myslím že tato práce má tak jako velká většina
školních úkolů dva způsoby projevení. První způsob projevení si nemusíme přibližovat
a všichni ho známe je jím otrávení z nově zadané práce, která nás v tu chvíli díky
přívalu instrukcí a úkolů dokáže znechutit natolik že každý z nás si velmi rozmýšlí zda
se do této práce vůbec pustit. Pak následuje 2 část, ve které zjišťujete, že práce není ani
zdaleka tak strašlivá jak jsme si zpočátku mysleli a pokud nás začne práce trochu bavit
tak postupem času už si na psaní do této práce zvykneme na tolik, že nám přestane dělat
jakékoli problémy. Mě se nakonec psaní této práce zalíbilo natolik, že jsem se začal
snažit o to aby byla z mého pohledu co nejlépe vypracovaná a doufám že i když tato
práce určitě nebude bez chyb tak vás čtení této práce nebude nudit natolik aby jste
hledali záminku k ukončení čtení. Takže co mi práce nakonec dala a vzala? Práce mi
vzala velké množství volného času, ale také mne mnoho jak se zmiňuji výše naučila a
myslím si, že absolventská práce má tak jako každá věc v životě svá plus i mínus.
19
Seznam použité literatury a zdrojů informací
Knihy a publikace
1. Eduard Fuchs a Magdalena Hykšová. Historický vývoj matematiky ve
vyučování matematiky v ZŠ. JČMF 2006.
Elektronické zdroje
2. http://absolventi.gymcheb.cz/2008/latran/oktava/definice.htm (17. 03.2011)
3. http://www.google.com/imghp?hl=cs&tab=wi (27. 03.2011)
4. http://www.fxstreet.cz/fibonacci-retracement-jak-pouzivat-tuto-metodu.html
(27. 03. 2011)
5. http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematick%C3%A1_indukce (1. 6. 2011)
20