Stáhnout materiál Stereometrie

9. Stereometrie
9. STEROMETRIE
Čas ke studiu: 4 hodiny
Cíl
•
Stereometrie se zabývá studiem polohových a metrických vztahů mezi body ,
přímkami a rovinami v prostoru.
Abychom mohli tyto vztahy zkoumat, musíme nejdříve prostorové útvary zobrazit do roviny,
jednoduše řečeno nakreslit na papír. Metodami zobrazení prostorových útvarů do roviny se zabývá
samostatná disciplína – deskriptivní geometrie. V této kapitole budeme používat volné rovnoběžné
promítání.
9.1. Volné rovnoběžné promítání
Tato názorná zobrazovací metoda je vhodná pro řešení méně náročných úloh na jednoduchých
hranatých tělesech., na kterých můžeme demonstrovat vztahy prostorových útvarů.
Při zobrazování těles používáme tyto zásady:
•
Rovinný obrazec ležící v rovině rovnoběžné s nákresnou (tzv. průčelná poloha) se zobrazí ve
skutečné velikosti.
•
Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí jako rovnoběžky.
•
Dvě rovnoběžné a shodné úsečky se zobrazí jako rovnoběžné shodné úsečky.
•
Úsečky kolmé k nákresně zobrazujeme tak, že svírají s horizontálními přímkami úhel 45o a jejich
velikost zkracujeme na polovinu.
Řešený příklad
•
Zobrazte krychli ABCDEFGH o straně a = 12 .
Řešení
Přední stěna krychle čtverec ABFE je v průčelné poloze, narýsujeme ho ve skutečné velikosti, stranu
AB volíme v horizontální poloze vodorovně). Boční hrany AD, BC , FG, EH , které jsou k rovině
čtverce ABFE a tedy i k nákresně kolmé, narýsujeme tak, aby s přímkami AB, EF svíraly úhel 45°
a jejich velikost bude poloviční. Viditelnost hran volíme tak, aby obraz krychle byl nadhled zprava.
345
9. Stereometrie
•
Zobrazte kvádr ABCDEFGH o stranách a = AB = 12, b = BC = 6, c = AE = 8 .
Řešení
Přední stěna kvádru je obdélník ABFE o rozměrech 12 a 8 , který narýsujeme ve skutečné velikosti,
úsečky AD, BC , FG, EH rýsujeme pod úhlem 45° , jejich velikost bude poloviční, tedy 3 .
•
Zobrazte trojboký jehlan (čtyřstěn) ABCV výšky v = 12 , jehož podstava je rovnostranný
trojúhelník ABC o straně a = 10 .
Řešení
Nejdříve sestrojíme pomocný rovnostranný trojúhelník o straně 10 a jeho výšku. Pro konstrukci
jehlanu narýsujeme úsečku AB v horizontální poloze délky 10 a ve středu této úsečky narýsujeme
polopřímku tak, aby svírala s úsečkou AB úhel 45° a naneseme na ni polovinu výšky pomocného
346
9. Stereometrie
trojúhelníka, čímž získáme bod C . Sestrojíme střed podstavy jako těžiště trojúhelníka ABC ,
vztyčíme kolmici k přímce AB a vyznačíme bod V tak, že VS má velikost v = 12 .
•
Zobrazte pravidelný šestiboký hranol o hraně podstavy a = 4 a výšce v = 7 .
Řešení
Sestrojíme pomocný pravidelný šestiúhelník A1 B1C1 D1 E1 F1 a jeho úhlopříčky A1 E1 , B1 D1 , C1 F1 .
Jejich průsečíky jsou body P1 , Q1 . Pro konstrukci hranolu narýsujeme úsečku FC o velikosti 2a = 8
a vyznačíme na ní body P, Q , jejichž vzdálenosti od krajních bodů úsečky odměříme v pomocném
šestiúhelníku. V bodech P, Q narýsujeme přímky tak, aby svíraly s úsečkou FC úhel 45° a
naneseme na každou polopřímku od bodu P a Q polovinu úsečky PE1 . Získáme body A, B, D, E.
Ve všech bodech podstavy vztyčíme kolmice k úsečce FC a naneseme výšku v = 7 .
347
9. Stereometrie
•
Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV o hraně podstavy a = 12 a výšce v = 15 .
Řešení
Podstava pravidelného čtyřbokého jehlanu je čtverec ABCD , který sestrojíme stejně jako podstavu
krychle ABCDEFGH v prvním příkladu. Sestrojíme střed S čtverce jako průsečík úhlopříček.
V bodě S vztyčíme kolmici k úsečce AB a sestrojíme vrchol V tak, že VS = v = 15 .
•
Zobrazte pravidelný trojboký hranol ABCA′B ′C ′ o hraně podstavy a = 6 a výšce v = 10 .
Řešení
Podstava pravidelného trojbokého hranolu je rovnostranný trojúhelník ABC , který sestrojíme stejně
jako podstavu pravidelného trojbokého jehlanu ABCV ve třetím příkladu. Pro větší názornost
můžeme vrchol C sestrojit v dolní polorovině určené přímkou AB . V bodech podstavy A, B, C
vztyčíme kolmice k přímce AB a naneseme výšku v = 10 , obdržíme vrcholy horní podstavy
A′B ′C ′ .
348