počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků - FMMI

Transkript

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství
POČÍTAČOVÁ PODPORA LITÍ A
TUHNUTÍ ODLITKŮ
(studijní opory)
Jaroslav Beňo
Nikol Špirutová
Ostrava 2013
Recenzent: Ing. František Mikšovský, CSc.
Název:
Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků
Autor:
Ing. Jaroslav Beňo, Ph.D.
Ing. Nikol Špirutová
Vydání:
první, 2013
Počet stran:
104
Studijní materiály pro studijní obor Moderní metalurgické technologie (studijní program
Metalurgické inženýrství) navazujícího magisterskéhobakalářského studia Fakulty metalurgie
a materiálového inženýrství.
Jazyková korektura: nebyla provedena.
Určeno pro projekt:
Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnost
Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na
Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava
Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304
Realizace: VŠB – Technická univerzita Ostrava
Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR
© Jaroslav Beňo
© VŠB – Technická univerzita Ostrava
2
OBSAH
1. TEORETICKÝ ROZBOR TUHNUTÍ A CHLADNUTÍ ODLITKŮ ...... 8
1.1
Tuhnutí (krystalizace) odlitků.................................................................................... 8
1.1.1 Odlišnosti struktury taveniny a tuhé fáze ........................................................... 9
1.1.2 Termodynamika krystalizace .............................................................................. 9
1.1.3 Kinetika krystalizace ........................................................................................ 11
1.2
Vznik krystalizačních zárodků - nukleace ............................................................... 13
1.2.1 Homogenní nukleace ........................................................................................ 13
1.2.2 Heterogenní nukleace ....................................................................................... 16
1.2.3 Krystalizace slitin v reálných podmínkách ....................................................... 18
1.2.4 Růst krystalů ..................................................................................................... 20
1.2.5 Primární krystalizace odlitků ............................................................................ 20
1.2.6 Dendritický růst odlitků .................................................................................... 21
1.3
Tuhnutí odlitků ........................................................................................................ 22
1.3.1 Mrofologie tuhnutí ............................................................................................ 22
1.3.2 Kinetika tuhnutí ................................................................................................ 23
1.3.3 Průběh a doba tuhnutí odlitku ........................................................................... 23
2
VYUŽITÍ VÝPOČETNÍ TECHNIKY PRO SIMULACI LITÍ A
TUHNUTÍ ODLITKŮ .............................................................................. 27
2.1
Současný stav výpočetní techniky ve slévárenské technologii................................ 27
2.2
Možnosti simulačních programů ............................................................................. 28
2.3
Trendy vývoje simulačních programů ..................................................................... 30
3
MODELOVÁNÍ A SIMULACE ................................................................ 32
4
MODELOVÁNÍ SLÉVÁRENSKÝCH PROCESŮ ................................. 36
4.1
Rozdělení modelů .................................................................................................... 37
4.2
Fyzikální modelování slévárenských procesů ......................................................... 40
4.2.1 Podobnost systémů ........................................................................................... 40
4.2.2 Rovnice Fyzikálního modelu ............................................................................ 42
4.2.3 Bezrozměrové parametry .................................................................................. 49
4.2.4 Stanovení kritérií podobnosti pomocí rozměrové analýzy ............................... 50
4.2.5 Stanovení kritérií podobnosti metodou podobnostní transformace .................. 51
4.2.6 Stanovení kritérií podobnosti metodou rozměrové analýzy rovnic .................. 52
3
OBSAH
4.2.7 Přehled nejrozšířenějších bezrozměrových kritérií .......................................... 53
4.3
Matematické modelování slévárenských procesů ................................................... 56
4.3.1 Analytické metody ............................................................................................ 59
4.3.2 Počáteční a okrajové podmínky ........................................................................ 60
4.3.3 Numerické metody ........................................................................................... 63
5
NUMERICKÉ SIMULOVÁNÍ .................................................................. 75
5.1
Architektura simulačních programů ........................................................................ 75
5.1.1 Preprocessing .................................................................................................... 77
5.1.2 Mainprocessing ................................................................................................. 78
5.1.3 Postprocessing .................................................................................................. 79
6
7
8
VYUŽITÍ SIMULAČNÍCH PROGRAMŮ PRO RŮZNÉ
METODY LITÍ ......................................................................................... 80
6.1
Gravitační lití ........................................................................................................... 80
6.2
Lití do skořepinových forem ................................................................................... 84
6.3
Tlakové lití ............................................................................................................... 87
SIMULAČNÍ PROGRAMY VE SLÉVÁRENSTVÍ ............................... 91
7.1
Historický vývoj ...................................................................................................... 91
7.2
Přehled simulačních programů ................................................................................ 92
7.3
MAGMASOFT® ..................................................................................................... 94
7.4
ProCast ..................................................................................................................... 98
7.5
PAM CAST / SIMULOR ........................................................................................ 99
7.6
WINCast /SIMTEC ................................................................................................. 99
7.7
Nova Flow & Solid .................................................................................................. 99
KLÍČ K ŘEŠENÍ....................................................................................... 101
4
Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků – Pokyny ke studiu
POKYNY KE STUDIU
Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků
Pro předmět „Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků“ 4. semestru studijního oboru
Moderní metalurgické technologie jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum
pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.
1.
Prerekvizity
Pro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu:
Teorie slévárenských pochodů
Slévárenství slitin neželezných kovů
Metalurgie litin
Diagnostika a řízení kvality odlitků
Cílem předmětu a výstupy z učení
2.
Cílem předmětu je seznámení studenta se základy matematického a fyzikálního
modelování slévárenských procesů. V rámci studia bude posluchač seznámen s možností
použití simulačních programů s využitím výpočetní techniky pro návrh a výrobu modelu,
odlitků a forem. Student dále bude seznámen s možnostmi predikce řešení konstrukce a
eliminace vzniku vad. V rámci studia skripta student navíc získá informace o možnostech
využití simulačních programů pro speciální technologie výroby odlitků.
Po prostudování předmětu by měl student být schopen:
výstupy znalostí:
-
student bude znát základy modelování fyzikálních vlastností materiálů
-
student se bude orientovat v možnostech použití simulačních programů pro jednotlivé
postupy výroby odlitků
výstupy dovedností:
-
student bude umět vytvořit a zpracovat virtuální model včetně technologického
postupu výroby
-
student bude umět aplikovat metody výpočetní techniky pro výrobu odlitku
.
Pro koho je předmět určen
Předmět je zařazen do magisterského studia oboru Moderní metalurgické technologie
studijního programu Metalurgické inženýrství, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv
jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.
5
Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované
látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit,
proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná
struktura.
Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:
Čas ke studiu: xx hodin
Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování daného úseku látky. Časový
harmonogram je pouze orientační, záleží pouze na schopnostech daného studenta a na tom,
zda se již s danou problematikou setkal anebo má v daném oboru již bohaté zkušenosti Tento
údaj Vám může sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu nebo
kapitoly.
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět
 definovat ......
 popsat ...
 vyřešit ....
Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých by jste měli dosáhnout po prostudování dané
kapitoly, tzn. konkrétní dovednosti a znalosti
Výklad
Následuje vlastní výklad studované látky, zavedení nových pojmů a jejich vysvětlení,
vše je doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a literaturou ze které lze čerpat pro další
studium nebo v případě nejasností u některých pojmů.
Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)
Na závěr kapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy, které jste si měli osvojit. Pokud
některému z nich nerozumíte, vraťte se k němu ještě jednou.
Otázky k probranému učivu
Za účelem ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici i
několik teoretických otázek.
Klíč k řešení
Výsledky teoretických otázek jsou uvedeny v závěru studijní opory v Klíči řešení.
Používejte je až po samostatném zodpovězení úloh, jen tak si samostatně ověříte, že jste
obsah kapitoly skutečně úplně zvládli. Úspěšné a příjemné studium s touto oporou Vám přeje
autor výukového materiálu - Jaroslav Beňo
6
Způsob komunikace s vyučujícími:
Během studia daného předmětu pro udělení zápočtu musí student předložit semestrální
práci, jejíž téma bude voleno individuálně s ohledem na předchozí zkušenosti studenta se
simulačními slévárenskými programy, popřípadě s ohledem na jeho pracovní zařazení. Pro
úspěšné udělení zápočtu, musí daná práce splňovat formální i obsahové náležitosti, které
budou zadány na počátku přímé kontaktní výuky.
Během studia, nad rámec kontaktní výuky, jsou možné individuální konzultace, po
předchozí domluvě s vyučujícím předmětu.
Kontaktní údaje na vyučujícího:
Ing. Jaroslav Beňo, Ph.D.
+420 597 325 413
[email protected]
.
7
Tuhnutí a chladnutí odlitků
1.
Teoretický rozbor tuhnutí a chladnutí odlitků
1.1 Tuhnutí (krystalizace) odlitků
Čas ke studiu: 9 hodin
 definovat uspořádání tuhé fáze a taveniny;
definovat mechanismy a principy vzniku zárodků a růstu krystalů
definovat vliv materiálových vlastností formy na její termo-fyzikální
vlastnosti
 popsat termodynamické a kinetické podmínky krystalizace;
popsat základní rozdíly mezi homogenní a heterogenní nukleací,
popsat krystalizaci v reálných podmínkách
 vyřešit kritickou velikost zárodku;
vyřešit dobu tuhnutí odlitku
Výklad
Výroba odlitků do slévárenských forem představuje složitý děj spojený s procesem
prostorového přenosu nejen tepla, ale i hmoty při souběžně probíhajících fyzikálněchemických dějích v nestacionárních podmínkách. S ohledem na čas, při kterém daný proces
probíhá, lze celý proces přenosu tepla mezi odlitkem a formou rozdělit na tuhnutí a chladnutí
odlitku.
Na mechanismu tuhnutí (krystalizace) slitin závisí mikrostruktura slitiny a tudíž její
mechanické vlastnosti. Tuhnutí slitin má dvě stádia:

nukleaci krystalů

růst krystalů
Při nukleaci vznikají na mnoha místech v tavenině stabilní zárodky budoucích
krystalů. Každý krystal postupně roste, a to tak dlouho, než se jednotlivé krystaly setkají.
Z každého zárodku krystalu pak vzniká zrno tuhého roztoku s vlastní orientací krystalové
struktury nebo částic jiné fáze (Obr. 1.). Z tohoto důvodu jsou obecně kovové materiály
polykrystalické.
8
Tuhnutí a chladnutí odlitků
Obr.1.
Nukleace a růst krystalů v kovu (l - tavenia, s - tuhá fáze)
1.1.1 Odlišnosti struktury taveniny a tuhé fáze
Kovy a slitiny v tuhém stavu se vlivem působení vazebních sil vyznačují pravidelným
uspořádáním atomů v prostoru, čímž vzniká krystalická mřížka. Její geometrické vlastnosti
jsou charakterizovány elementární buňkou. V každé krystalové mřížce, nevyjímaje čisté kovy,
existují různé poruchy. V mřížce jsou určité uzlové polohy neobsazené atomy, vznikají tzv.
vakantní místa, jejichž počet se mění s teplotou.
Vedle vakantních míst, která patří k bodovým poruchám, se v krystalové mřížce
vyskytují ještě čárové poruchy (dislokace), které prostupují krystalovou mřížkou v určitých
rovinách.
Taveniny, stejně jako tuhé fáze patří k tzv. kondenzovaným fázím, kde vlivem
dostatečně těsného přiblížení se atomů dochází k významné deformaci elektronového obalu a
jisté kolektivizaci vnějších elektronových obalů, což společně vytváří vazebné síly, jejíchž
působením jsou atomy udržovány v určitých polohách.
Nejznámější pozorovatelný rozdíl mezi kapalným a tuhým stavem spočívá v tekutosti,
tj. schopností zaplnit prostor, v němž se látka nachází. K výrazným rozdílům mezi
uvažovanými stavy patří větší entropie kapaliny, větší stlačitelnost a teplotní roztažnost
taveniny i vyšší hodnoty koeficientu difúze v tavenině.
Podle vakantní teorie, resp. teorie děr, vypracované EYRINGEM, resp.
FRENKELEM, v tavenině je prostorové uspořádání atomů podobné uspořádání v tuhém stavu
s vyjímkou výrazně vyššího počtu vakancí. Rozdíl mezi tuhou fází a taveninou se projevuje
především v hustotě vakancí, která je v tavenině v blízkosti teploty tání výrazně vyšší (o
několik řádů) než v tuhé fázi, poblíž této teploty. Jinými slovy s teplotou počet děr roste a
roste i tak celkový objem taveniny. Naopak při přechodu tekuté fáze na fázi tuhou (v souladu
se změnou uspořádání z blízké na větší vzdálenost) se mění objem.
1.1.2 Termodynamika krystalizace
Krystalizací je označována fázová přeměna doprovázená změnou objemu za
současného uvolnění skupenského tepla krystalizace. Průběh krystalizace je řízen obecnými
zákonitostmi platnými pro všechny fázové přeměny.
Obecným kritériem, které slouží k působení možnosti samovolného průběhu libovolné
fázové přeměny je změna volné entalpie G, definované vztahem:
G  H  T  S
9
Termodynamika a kinetika krystalizace
Kde H je změna entalpie a S změna entropie provázející tuto přeměnu. Volná
entalpie představuje podíl energie, kterou soustava může přeměnit v práci, tj. v daném případě
k uskutečnění fázové přeměny.
Při krystalizaci čistého kovu je změna volné entalpie dána rozdílem volných entalpií
daného kovu v tuhém (GS) a v kapalném (GL) stavu:
G  GS  GL
Existuje teplota, při níž původní fáze a fáze nově vznikající je ve stavu
termodynamické rovnováhy. Podmínkou rovnováhy je rovnost volné entalpie DG obou fází
(Obr.2.)
Obr.2. Změna volné entalpie G s teplotou pro tuhou a tekutou fázi kovu
Příčinou krystalizace je snaha kovu nebo slitiny dosáhnout při ochlazení stabilního
stavu. Z hlediska termodynamických zákonitostí je stabilní stav definován minimální volnou
entalpií.
Nad teplotou T0 (Obr. 2.) jsou hodnoty volné entalpie taveniny nižší a proto je
termodynamicky stabilnější než fáze krystalická. Při teplotě T0 existuje rovnováha mezi
oběma fázemi. Označuje se jako teoretická teplota krystalizace.
Jelikož je krystalizace difúzním pochodem, nelze očekávat její započetí při teplotě T0.
Musí dojít k určitému přechlazení T pod tuto teplotu tak, aby změna volné entalpie G mezi
původní a nově vznikající fází byla dostatečná k tomu, aby byla vlastní krystalizace
podnícena. Rozdíl entalpií (G) uhradí veškerou práci, která je nutná pro vznik a růst
zárodků.
V praxi skutečný vznik zárodků krystalizace probíhá při přechlazení menším než
10 °C.
10
1.1.3 Kinetika krystalizace
Z hlediska kinetiky se krystalizace skládá ze dvou na sobě nezávislých dějů, tj. vzniku
zárodků krystalu a jeho růstu v závislosti na teplotním gradientu (rovinné, buněčné,
dendritické).. Jinými slovy přemístění mezifázové hranice směrem do tekuté fáze. Každý
z těchto hlavních dějů je složen z několika dalších dílčích dějů. Z nichž nejpomalejší děj
limituje rychlost celého děje. Například v případě nukleace se uskutečňuje shromáždění
vhodných druhů atomů difúzním nebo jiným pohybem, jejich vzájemné vnitřní uspořádání,
vytvoření mezifázové hranice apod. Stejně tak i růst zahrnuje transport atomů starou fází,
jejich přeskok mezifázovou hranicí a transport atomů novou fází. Většina těchto dějů je
tepelně aktivována, tzn., že energetické bariéry jsou překonávány tepelným pohybem
energeticky aktivovaných atomů nebo jejich skupin.
Přechod taveniny v tuhou krystalickou fázi lze studovat ze dvou hledisek:

Z hlediska rychlosti růstu nové fáze v závislosti na podmínkách odvodu tepla
z taveniny. Jinými slovy na základě objemu vzrostlé tuhé fáze za daných
podmínek ochlazování.

Z fyzikálně - chemického hlediska (mechanismu tuhnutí)
Při vysoké rychlosti tvorby krystalizačních zárodků (velký počet zárodků) a malé
lineární rychlosti dalšího růstu krystalu je výsledná struktura tvořena jemnými zrny a naopak
při nízké rychlosti vzniku krystalizačních center a vysoké lineární rychlosti růstu vznikají
hrubá polyedrická zrna.
Rychlost tvorby zárodků KZ dle TAMMANNA je definována:
pocet zarodku
KZ 
cm3  min
a lineární rychlost růstu dendritů KG:
KG 
kde:
  TLITÍ  TTUH 
L x
 - tepelná vodivost tekutého kovu
L - latentní teplo krystalizace
x - tloušťka vrstvy tekuté fáze
Grafickou závislost změny lineárního růstu v závislosti na stupni přechlazení pak
zachycují Obr. 3a a 3b.
11
3a Změna lineární rychlosti růstu v závislosti 3b Změna lineární rychlosti růstu v závislosti
na stupni přechlazení
na stupni přechlazení (kovy a slitiny)
Obr.3. Změna lineární rychlosti růstu
K dosažení jemnější mikrostruktury tedy dochází v případě zvýšení ochlazovací
rychlosti taveniny, čímž je dosažena vyšší hnací síla tuhnutí. Jemnozrnné materiály a
materiály s jemnými částicemi fází mají vyšší pevnostní vlastnosti v porovnání
s hrubozrnnými. Uvedený postup však lze pouze aplikovat u malých objemů taveniny,
protože u velkých objemů taveniny nelze ochlazovací rychlost příliš zvyšovat, neboť je
limitována odvodem tepla z roztavené slitiny.
Pro zjemnění mikrostruktury se proto ve větší míře používá očkování. Principem
očkování je úmyslné vnášení jemných cizorodých částic do taveniny, které se stávají
krystalizačními zárodky, přičemž je dosaženo rovněž jemné mikrostruktury.
Zárodky krystalizace mohou vznikat samovolně (homogenní nukleací) nebo jsou
vneseny do taveniny (heterogenní nukleace).
12
Homogenní a heterogenní nukleace
1.2 Vznik krystalizačních zárodků - nukleace
Pojmem nukleace se označuje tvorba nové fáze, která v případě krystalizace je
oddělena od svého okolí diskrétní hranicí.
K samovolné, nebo-li spontánní nukleaci bez ovlivnění stěnami, vměstky, přísadami
či tlakovými impulsy dochází velmi vzácně, obecně lze říct, že se jedná pouze o nukleaci
v laboratorních podmínkách. V takovýchto případech hovoříme o homogenní nukleaci.
V reálných podmínkách nukleace obvykle začíná na povrchu formy, kokily či různých částic
přítomných v tavenině. V tomto případě se hovoří o heterogenní nukleaci.
1.2.1 Homogenní nukleace
Tímto termínem se označuje vznik zárodků nové fáze uvnitř oblasti staré fáze. Vzniká
z center shluků atomů, jež vznikají v tavenině přirozeným způsobem. Blíží-li se teplota
taveniny teplotě tuhnutí (Tt), dochází v ní k přirozené fluktuaci koncentrací, čímž vznikají
shluky s geometricky pravidelným uspořádáním atomů, které odpovídá krystalickému stavu
hmoty, jinými slovy ke vzniku nové fáze. Množství vzniklých zárodků za jednotku času a
v jednotce objemu lze vyjádřit statistickou pravděpodobností počtu homeofáových fluktuací.
Změny v koncentraci jsou také doprovázeny změnami v energii soustavy, tj. tepelnými
fluktuacemi. Skutečnými - aktivními - zárodky se tyto shluky stávají v okamžiku, kdy jsou
termodynamicky stabilní. To znamená, že disponují menší volnou energií než původní tekutá
fáze.
Celková změna volné entalpie při vzniku zárodků tuhé fáze v tavenině je dána
uvolněním volné entalpie při vzniku kulového zárodku o poloměru r a energií nutnou
k vytvoření povrchu zárodku (hranice zárodek - tavenina). Vzhledem k malému objemu
zárodků a tím pádem i velkému poměru povrchu k objemu, hraje mezifázová energie
významnou roli.
Práce nutná k vytvoření zárodu (nukleus) je úměrná volné entalpii, která pro vznik
zárodku v tavenině je dána vztahem:
G  GV  GS
kde: G - celková změna volné entalpie
GV - změna volné entalpie soustavy při přechodu fáze tekuté ve fázi tuhou
GS - volná entalpie potřebná k vytvoření mezifázové hranice
Při vytvoření kulovitého shluku o rozměru r se musí určité množství energie uvolnit.
4
Toto množství je definováno součinem objemu shluku ( V  r 3 ) a volné energie (volné
3
entalpie) objemové jednotky:
Gm
4
E1  GV  r 3 
3
Vm
13
kde: Gm - rozdíl molárních volných entalpií tuhé a tekuté fáze, který je při
krystalizaci záporný
Vm - měrný molární objem
Hodnota volné energie GV, o kterou bude snížena energie soustavy, nabývá záporné
hodnoty (vzhledem k soustavě) a činí soustavu termodynamicky stabilní.
Hodnota energie potřebné k vytvoření mezifázové hranice krystal - tavenina je úměrná
velikosti plochy (A) fázového rozhraní () a velikosti povrchového napětí. Tato energie
představuje přírůstek energie soustavy a proto je kladná. Pro vznik mezifázové hranice pro
kulový zárodek tedy platí rovnice:
E2  GS  4r 2
Pak celková volná energie (entalpie) při vzniku krystalizačního zárodku v tavenině je
definována vztahem:
Gm
4
EC  G  GV  GS  4r 2  r 3 
3
Vm
Energetické poměry při tvorbě krystalických zárodků lze popsat i graficky (Obr. 4),
přičemž průběh křivky E2 odpovídá kvadratické parabole, křivka E1 má charakter paraboly
kubické.
Obr.4. Změna volné entalpie (G) zárodku v závislosti na jeho poloměru
Maxima součtové křivky EC = E2 - E1 je dosaženo při kritické velikost zárodku rkr.
S ohledem na kritickou velikost zárodku platí, že částice, které jsou menší než rkr se budou
zpětně rozpouštět, naopak částice větší než rkr budou dále růst, neboť oba děje jsou spojeny
s poklesem volné entalpie.
Kritickou velikost zárodku lze stanovit pomocí první derivace pro stanovení celkové
volné energie (stanovení extrému funkce)položené rovno 0 a při dodržení podmínky:
14
EC
0
r
EC
0
r
pak lze kritickou velikost zárodku definovat dle rovnice:
rkr  2
kde
Vm
2MT

Gm
lg T
T - skutečná teplota krystalizace
M - molekulová hmotnost krystalizující látky
Práce spojená s tvorbou zárodku lze odvodit ze vztahu
Ekr 
16 3 Vm

3
Gm
Kritická velikost zárodku rkr je nepřímo úměrná velikosti podchlazení T (Obr.5).
S rostoucím podchlazením T klesá poloměr kritické velikosti zárodku. Kritické podchlazení
taveniny, kdy se homogenní zárodek stává stabilním a je schopen dalšího růstu je dle
DAVIESE (Obr.6.):
Tkr  0,2Tt
Obr.5. Závislost kritické velikost zárodku
na podchlazení
Obr.6. Vliv podchlazení na průběh
nukleace
15
1.2.2 Heterogenní nukleace
V reálných podmínkách probíhá heterogenní nukleace při mírnějším přechlazení.
Krystalizace je vyvolána přítomností různých vměstků – oxidů, křemičitanů, nitridů i
nekovových vměstků apod., rovněž probíhá na stěnách formy a nerovnostech formy. Jedná se
o běžnou krystalizaci, aniž by vzniklo nutné přechlazení k zahájení spontánní krystalizace.
Pro vznik krystalů je postačující přechlazení cca 0,02 Tt. Z toho vyplývá, že tato krystalizace
předchází spontánní krystalizaci. Nukleace heterogenní probíhá mnohem rychleji než
homogenní
Aby se vměstek mohl stát cizím krystalizačním zárodkem, musí splňovat daná kritéria:

musí mít příbuznou krystalickou mřížku

zárodek musí být smáčen taveninou; Čím je krystalická příbuznost mřížek
kovu a vměstku větší, tím menší je úhel smáčení a tím snáze se zárodek stává
aktivním krystalizačním zárodkem

příměsi vnášené do taveniny cílevědomě, při krystalizaci působí jako aktivní
podložky; Označují se jako očkovadla (např. Ti a Zr u slitin Al a FeSi u litin).
Existují však i další vlivy, které ovlivňují vlastní průběh krystalizace:

Čistota kovu (v případě, že kov obsahuje plyny, vměstky, vzduch, pak
nepotřebuje výrazného přechlazení k zahájení krystalizace)

Pohyb taveniny (jakýkoliv pohyb taveniny, jako např. vibrace, chvění,
proudění atd. snižuje nutné přechlazení k tvorbě zárodku)

Tlak (vysoký vnější tlak napomáhá krystalizaci)

Stupeň přehřátí kovu – při nejnižším stupni je nejjemnější struktura, se
zvyšujícím se stupněm roste rozměr zrna a potom od určité kritické teploty se
opět struktura zjemňuje
Fyzikální podstata krystalizace z heterogenních zárodků spočívá ve snížení
mezifázového napětí v soustavě tavenina - cizí částice – vznikající zárodek a proto je taky
hodnota nutné energie pro vznik aktivního zárodku nižší. Z tohoto důvodu probíhá
heterogenní krystalizace již při malém přechlazení.
Povrchové mezifázové napětí a smáčivost mezi zárodkem a taveninou jsou
nejdůležitější veličiny, které rozhodují o tom, zda se cizí zárodek stane aktivním. Povrchové
mezifázové napětí a úhel smáčení mezi taveninou (T), zárodkem (Z) a krystalickou fází (K)
vznikající na cizím zárodku (Obr. 7) lze definovat dle vztahu:
 TZ   KZ   KT  cos 
kde úhel smáčení je roven:
cos  
 TZ   KZ
 KT
16
Obr.7. Heterogenní nukleace
Podmínkou krystalizace taveniny z daného zárodku je tedy dobrá smáčivost a musí
platit:
 TZ  KZ
Čím je úhel smáčení  menší, tím větší je předpoklad, že zárodek bude aktivní,
schopen většího růstu a termodynamicky stabilní. Čím je krystalická příbuznost mřížek kovu
a vměstku větší, tím menší je úhel smáčení a tím snáze se zárodek stává aktivním
krystalizačním zárodkem. Energie potřebná pro vznik heterogenního zárodku je dána vztahem
Gh. z. 

3
4 KT
2  3 cos   cos 3 
3GV2
A kritická velikost rozměru zárodku je
rkr 
2 KT
GV2
17

Krystalizace slitin v reálných podmínkách
1.2.3 Krystalizace slitin v reálných podmínkách
Krystalizační poměry v procesu tuhnutí slitin lze hodnotit pomocí rovnovážných
stavových diagramů (obr.8.). Jejich platnost je však omezena pouze na děje ochlazování slitin
s velmi malou ochlazovací rychlostí. Z důvodu existence teplotního rozdílu mezi likvidem a
solidem, při každé teplotě jsou v termodynamické rovnováze tuhá a tekutá fáze s různým
chemickým složením.
Obr.8. Krystalizace slitin v reálných podmínkách
Složení I odpovídá koncentraci C0. Při dosažení teploty likvidu (tl) tuhnou první
krystaly taveniny, jejichž složení je Ck. Vylučováním krystalů tuhé fáze se postupně mění
složení taveniny podél křivky likvidu, takže zbytek taveniny tuhne za teploty (ts) o
koncentraci CL. Za rovnovážných podmínek se bude měnit koncentrace taveniny od C 0 do CL
a koncentrace tuhé fáze od Ck do C0. Poměr koncentrací přísad v krystalech a v tavenině lze
charakterizovat „rozdělovacím koeficientem K“. Tento koeficient je definován dle vztahů:
KS 
CK
1
C0
KL 
C0
1
CL
K
CK
 K S  K L 1
C0
Postupnou změnou koncentrace tuhé fáze dochází k nehomogenitám (první krystaly
bohaté na složku A, až na posledně tuhnoucí ochuzené složkou A), Vytváří se tak celková
heterogenita krystalu, která se částečně vyrovnává difúzí v tuhé i tekuté fázi, nikoliv však
úplně.
Po skončení krystalizace by se veškeré koncentrační rozdíly měly vyrovnat. Při
rychlém ochlazování odlitků však zůstane odmíšení zachováno (segregace).
V reálných podmínkách krystalizace je nutno počítat jen s velmi malou účinností
difúze. Vyšší pohyblivost atomů je v tavenině, přesto nelze počítat s rovnoměrnou
koncentrací jednotlivých prvků v nejbližším okolí krystalu. Změna koncentrace CL(x)
přísadového prvku v tavenině (Obr. 9.) v okolí rostoucího krystalu je příčinou změny teploty
likvidu (tL(x)), která je nižší v okolí mezifázového rozhraní a směrem do taveniny se zvyšuje
k rovnovážné teplotě likvidu tL.
18
Obr.9. Změna koncentrace přísadového prvku B v tavenině na vzdálenosti krystalizační
fronty.
Nejnižší teploty (nejvyšší přechlazení) je dosaženo na hranici forma-kov, směrem do
odlitku se teplota zvyšuje, přičemž maximální hodnoty dosahuje v tepelné ose odlitku, tj.
v místě, které tuhne naposledy (Obr.10)
Obr.10. Průběh teploty a konstitučního přechlazení taveniny
Rozdíl mezi průběhem skutečné teploty (tt) a změnou teploty likvidu (tL(x)) udává tzv.
konstituční přechlazení (tk), jehož hodnota se zvětšuje s rostoucí vzdáleností od hranice
krystalu a pak klesá až k nule. Konstituční přechlazení ovlivňuje výslednou primární strukturu
krystalizující taveniny a je příčinou větvení při růstu kovových krystalů.
19
1.2.4 Růst krystalů
Předpokladem růstu krystalů po vzniku zárodku je větší tepelný tok z odlitku než
z centra k povrchu odlitku, nastává z termodynamicky stabilních (aktivních) zárodků
krystalizace za poklesu volné energie G soustavy. Jiným slovy stálý odvod latentního tepla
tuhnutí od mezifázové hranice. Toto je možné pouze při určitém teplotním gradientu v oblasti
přiléhající k hranici tuhá fáze - tekutá fáze.
Obecně je rychlost růstu exponenciální funkcí energetických podmínek růstu a teploty.
Základní otázkou mechanismu růstu je způsob připoutání atomů na povrchu rostoucího
zárodku. K upoutání atomů z taveniny je nutní, aby na povrchu existovaly vhodné stupně.
Nejprve dochází k růstu krystalů z jednotlivých zárodků (mikroměřítko), později narůstá
souvislá vrstva proti směru odvodu tepla v daném čase (makro měřítko).
Za těchto podmínek se krystalizace neřídí rovnovážnými podmínkami. Byla by
dosažena pouze při nízké rychlosti tuhnutí. Rozvětvenou krystalizační strukturu lze rozdělit
do několika struktur: rovinná struktura, buněčná struktura, buněčno-dendritická a dendritická
struktura.
1.2.5 Primární krystalizace odlitků
Pro vnitřní (exogenní) zárodky krystalizace platí základní pravidlo, že pokud jsou
v kontaktu se stěnami formy, přednostně vyrůstají ve stabilní krystaly, pak litá primární
struktura na povrchu odlitku se musí sestávat z tolika krystalů, vyrůstajících kolmo k povrchu
stěny formy.
V reálných podmínkách (Obr.11) obsahuje povrchová oblast odlitku nahodile
orientované krystaly (globulity). V důsledku rychlého ochlazování má potom tato licí kůra
jiné mechanické vlastnosti, než střed odlitku a zárodky, které jsou v dobrém kontaktu se
stěnami formy, rostou přednostněji. Lokální přednostní růst probíhá v místech zvýšené
tepelné vodivosti.
Na tuto licí strukturu navazuje oblast protáhlých kolumnárních krystalů, jejichž hlavní
osy jsou rovnoběžné se směrem maximálního odvodu tepla z odlitku a mají typický
dendritický charakter.
Ve středu odlitku se nachází oblast rovnoosých globulitických (polyedrických)
krystalů. U odlitků nemusíme vždy tyto typy struktury najít. Struktura odlitků je tvořena jen
z kolumnárních krystalů, které se stýkají v tepelné ose (transkrystalizace), nebo naopak je celá
struktura rovnoosá. Tohoto zjemnění lze dosáhnout dalšími zásahy do tuhnutí, např.
očkováním nebo rušenou krystalizací působením vnějších sil (vibrace, ultrazvuk atd.)
20
Obr.11. Nejčastější struktura v odlitcích
V technických slitinách probíhá po primární krystalizaci k fázovým přeměnám
v tuhém stavu, k tzv. překrystalizaci, které rovněž ovlivňují konečnou strukturu odlitků (např.
přeměna feritu v austenit při poklesu teploty).
1.2.6 Dendritický růst odlitků
Tento druh krystalizace je typický právě pro slitiny Fe. Předpokladem pro dendritický
růst je vysoká krystalizační rychlost. Za existence podmínek rychlé krystalizační rychlosti a
podchlazené vrstvy taveniny před mezifázovým rozhraním (konstituční přechlazení) se
výrazně uplatňují krystalografické vlivy, energetické poruchy a výstupky - nerovnosti na
hraničním povrchu zárodku (krystalu). Na nich se začnou ukládat atomy difundující
z taveniny proti směru ochlazování rychleji a krystal se protahuje a roste do víceosého
stromečku(Obr.12) s výraznou hlavní osou.
Obr.12. SEM obrázek dendritu a jeho model
S rostoucí rychlostí krystalizace se vyvíjí zřetelněji dendritická struktura a vzniká
husté síťoví sekundárních a terciárních os do stromečkovitého tvaru. Při velké rychlosti
ochlazování se vzdálenosti mezi primárními větvemi zmenšují, až sekundární a terciární větve
zanikají.
21
Tuhnutí odlitků
1.3 Tuhnutí odlitků
Tuhnutím se rozumí postup krystalizačních vrstev, jejich usměrněnost za účelem
vysoké vnitřní homogenity odlitku a řada průvodních jevů tuhnutí. Pojem tuhnutí odlitku má
všeobecnější smysl, než pojem krystalizace. Kromě fázové přeměny zahrnuje i morfologické,
fyzikální a objemové změny. S ohledem na výše uvedené procesy nás zajímá především
kinetika tuhnutí
1.3.1 Mrofologie tuhnutí
Vzhledem k postupu tuhnutí v objemu odlitku se rozlišují dvě morfologie tuhnut

Exogenní

Endogenní
U exogenního tuhnutí se zárodky nacházejí na povrchu formy a tuhnutí postupuje od
povrchu odlitku do jeho středu. Rozlišujeme (Obr.12) :
a1)Tuhnutí na hladké vrstvě krystalů (s rovinným fázovým rozhraním).
a2)Tuhnutí na členitém fázovém rozhraní.
a3)Houbovité tuhnutí se silně rozvětvenými dendrity.
U endogenního tuhnutí se kromě toho vytvářejí zárodky a z nich krystaly v celém objemu
taveniny. Rozlišujeme (Obr.13) :
b1) Kašovité tuhnutí. Jde o objemové tuhnutí.
b2)Vrstevnaté tuhnutí, rovněž objemové tuhnutí; od povrchu se však tvoří vrstva
globulitických krystalů.
Obr.13. Morfologie tuhnutí
22
Tuhnutí odlitků
1.3.2 Kinetika tuhnutí
V reálných podmínkách přichází v úvahu pouze tuhnutí slitin v intervalu teplot.
Během tuhnutí pak mohou vedle sebe existovat tři pásma (Obr. 13). Od povrchu ve styku
s formou je to pásmo tuhého kovu (x), jehož tloušťka se s časem neustále zvětšuje. Vedle něj
existuje dvoufázové pásmo (), jehož šířka závisí na intervalu tuhnutí a teplotním gradientu,
s časem se rozšiřuje. Posledním pásmem, je pás taveniny, jehož šířka se stále zmenšuje.
Tepelnou osou pak rozumíme množinu bodů, kde se setkávají krystalizační plochy
(izosolidy). Šířka dvoufázového pásma, které je omezeno plochami izosolidu a izolikvidu,
ovlivňuje výskyt a rozsah mikropórovité struktury. V případě širokého pásma vznikají
izolované ostrůvky taveniny v oblasti tepelné osy, jejichž tuhnutím a smrštěním vznikají
mikrostaženiny. Šířku dvoufázového pásma ovlivňuje:

Interval tuhnutí slitiny (to je definováno chemickým složením slitiny

Rychlost ochlazování (tepelná akumulace formy bf)
b f  f cf   f
f - tepelná vodivost formy
kde:
cf - měrné teplo formy
f -objemová hmotnost formy
Čím je akumulační schopnost formy vyšší, tím je příčný teplotní gradient větší a tím
dvoufázové pásmo je užší.
1.3.3
Průběh a doba tuhnutí odlitku
Proces tuhnutí odlitku od stěny formy probíhá určitou rychlostí, kterou lze posuzovat
podle tloušťky ztuhlé vrstvy slitiny za jednotku času (obr.14.) Pro výpočet doby tuhnutí
vycházíme z tepelné bilance odlitku a formy při tuhnutí:
Q1 = Q2
[J]
Kde indexem 1 je označen odlitek, indexem 2 pak forma
Pro polonekonečnou formu tvaru desky můžeme Q1 zjednodušeně vyjádřit vztahem:
Q1  S1  x1  1L  c1 (T1  Ts )
K určení množství tepla, jež přijala (akumulovala) forma se vychází z rovnice
rozdělení teplot ve formě, která odpovídá průběhu Gaussovy křivky.
T  T2v
2

T2 p  T2v

u
u
 e  du 
2
0
2

G(
x
2 a
23
Tuhnutí odlitků
Rychlost odvodu tepla z kovu do formy pak odpovídá hustotě tepelného toku:
qs ( ) 
(T2 p  T2v )
dQ
 t
  (
)  
d
 x
a
Obr.14. Podmínky tuhnutí na rozhraní forma - kov
A množství tepla prošlého celkovou plochu odlitku S:
f   f cf
bf
  2S1 (T2 p  T2v ) 




Q2  S  qs ( )  d  (T2 p  T2v )  S1
0
Po zjednodušení předchozích rovnic a dosazení do vztahu pro Q1 = Q2:
V1  1 L  c1 (T1  Ts )  2S1  Ti
bf
 

se získá definiční vztah pro výpočet doby tuhnutí:
  12 L  c1 (t1  t s )
V
  ( 1 )2 
S1
4  Ti 2  b 2f
2
V
je relativní tloušťka (modul) odlitku, kterou definoval
S
CHVORINOV. Relativní tloušťka odlitku je poměr objemu odlitku (jeho tepelné kapacity)
k povrchu. Pak s rostoucí masivností odlitku (s rostoucím R) se prodlužuje doba tuhnutí.
Kde podíl
R
24
Tuhnutí odlitků
 Volná entalpie
 Zárodek
 Homogenní nukleace
 Heterogenní nukleace
 Konstituční přechlazení
 Segregace
 Dendrit
 Tepelná akumulace formy
 Modul (relativní tloušťka)
1. Jak probíhá tuhnutí slitin, jaké stádia rozeznáváme?
2. Na čem závisí mikrostruktura slitiny a tudíž její mechanické vlastnosti?
3. Čím lze ovlivnit charakter mikrostruktury?
4. Čím je vyvolán samovolný průběhu libovolné fázové přeměny?
5. Co je příčinou krystalizace kovů nebo slitin?
6. Jaký je rozdíl mezi homogenní a heterogenní nukleací?
7.
Který způsob vzniku zárodků se uplatňuje v reálných podmínkách tuhnutí kovů a slitin?
8. Jaké podmínky musí mít vměstek, aby se mohl stát krystalizačním zárodkem?
9. V čem spočívá fyzikální podstata krystalizace z heterogenních zárodků?
10. Co je to segregace?
11. Jaké druhy krystalů můžeme ve struktuře odlitku nalézt
12. Jaké druhy tuhnutí rozeznáváme
13. Co je to tepelná osa
14. Čím lze ovlivnit šířku dvoufázového pásma pozorovatelného u tuhnutí odlitků
25
Tuhnutí odlitků
Použitá literatura, kterou lze čerpat k dalšímu studiu
HAVLÍČEK, F.: Teorie slévárenství (výběr z přednášek). VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 1992.
s.130
JELÍNEK, P.: Slévárenství. VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 2000. s.251
MYSLIVEC, T.: Fyzikálně chemické základy ocelářství. SNTL, Praha, 1971, s. 445
MICHNA, Š., NOVÁ, I.: Technologie a zpracování kovových materiálů. ADIN, Prešov,
2008, s. 326, ISBN 978-80-89244-38-6
VOJTĚCH, D.: Kovové materiály. VŠCHT Praha, Praha, 2006, s. 185, ISBN ISBN: 80-7080600-1
PŘIBYL, J.: Tuhnutí a nálitkování odlitků. SNTL, Praha, 1954, s.312
KUBÍČEK, L.: Krystalizace kovů a slitin. VŠCHT Praha, Praha, 1991, s. 238, ISBN 80-7080130-1
KUCHAŘ, L. Metalurgie čistých kovů. VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 1988, s. 338
STEFANESCU, D.M. Solidification and modeling of cast iron—A short history of the
defining moments. Materials Science and Engineering A 413–414 (2005) 322–333
26
Využití výpočetní techniky pro simulaci lití a tuhnutí odlitků
2
2.1
Současný stav výpočetní techniky ve slévárenské technologii
Čas ke studiu: 2 hodiny
 definovat možnosti oblasti využití výpočetní techniky ve slévárenské
praxi, které jevy při řešení tuhnutí a chladnutí odlitků lze pomocí
simulačních programů definovat a řešit. Dále popsat rozdíly
v jednotlivých běžně používaných simulačních programech
 popsat hlavní problémy, které jsou pomocí simulačních programů řešeny
v oblasti plnění pískové formy, pro formy trvalé a pro oblast lití odlitků
pod tlakem; ve fázi tuhnutí a chladnutí souběžně s materiálovými
vlastnostmi a možnosti úprav při přípravě postupu výroby odlitků ......
Výklad
Výroba odlitků do slévárenských forem představuje složitý děj spojený s procesem
prostorového přenosu nejen tepla, ale i hmoty při souběžně probíhajících fyzikálněchemických dějích v nestacionárních podmínkách. S ohledem na čas, při kterém daný proces
probíhá, lze celý proces přenosu tepla mezi odlitkem a formou rozdělit na tuhnutí a chladnutí
odlitku.
Bez možnosti využití potřebné výpočetní techniky bylo tuhnutí a krystalizace kovů a
jejich slitin sledováno nejčastěji pomocí metalografických rozborů makrostruktury a
mikrostruktury. Zhruba od 80. let minulého století začaly vznikat první simulační softwary
zaměřené na tuhnutí odlitků. Zdokonalováním výpočetní techniky a rozvojem
experimentálních technik byly rovněž zdokonalovány simulační programy, pomocí kterých
lze studovat a sledovat tuhnutí odlitku nejen v celém komplexu, ale rovněž v krátkých
časových intervalech. Z tohoto pohledu se numerické simulace staly často a efektivně
využívaným nástrojem využívaným nejen pro optimalizaci navrhovaných technologií výroby
odlitků, ale i opěrným bodem ve výzkumu tepelných dějů v soustavě odlitek–forma–okolí.
Moderní simulační programy zahrnují predikci taveniny během plnění formy,
vzájemnou interakci kovu a formy, deformace odlitku - pnutí a predikci struktury i
mikrostruktury odlitku. Jednotlivé modely započítávají přestup tepla, rychlost a způsob
formy, proudění kovu ve formě, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely pórovitosti,
odmíšení v intervalu tuhnutí a v neposlední řadě výpočet pnutí.
27
I když má každá technologie výroby odlitků své odlišnosti a specifika, v současné
době existují plnohodnotné numerické simulace pro většinu běžně používaných technologií
výroby odlitků. Jedná se zejména o technologie gravitačního odlévání do pískových a
kovových forem, dále jsou zpracovány modely pro nízko- i vysokotlaký způsob odlévání
odlitků, pro metodu Lost foam a pro tzv. procesy Semi-solid.
2.2 Možnosti simulačních programů
S neustálým vývojem v oblasti hardware a software roste rovněž možnost a přesnost
výpočtů a simulační programy jsou neustále zdokonalovány. Pomocí simulačních programů
jsou v dnešní době řešeny následující hlavní skupiny problémů:
Ve fázi plnění klasické pískové formy:

výpočet doby plnění formy daného různými kritérii

způsob plnění taveniny a míst vzniku turbulence, vírů

sledování tlaku a teploty v tavenině

rychlost proudění kovu v jednotlivých částech systému (charakter proudění závisí na
hodnotě Reynoldsova kritéria)
Ve fázi tuhnutí:

časy tuhnutí, teplotní gradienty a chladící poměry v každém bodě

výpočet teplotních polí, podílu tekuté fáze, staženin a ředin

teplotní zatížení jader a formy

křivky chladnutí v kterékoliv oblasti

účinnost exotermického či izolačního nástavce

segregace prvků
Ve fázi chladnutí a s tím související materiálové vlastnosti:

rozložení napětí v odlitku a částech formy a jader

deformaci odlitku a formy v závislosti na čase a rozložení teploty

teplotní a difúzní tok

určení struktury materiálu v různých etapách chladnutí

výpočet doby transformace (dle ARA, IRA diagramů)

výpočet mechanických vlastností materiálu, výpočet tvrdosti

zahrnutí vlivu formy na průběh grafitické expanze
28
Pro technologii lití do kovových forem (gravitační, či tlakové)

rozložení teplotního pole v jednotlivých etapách výrobního cyklu

teplotní zatížení jader a formy

proudění kovu

napětí v různých částech formy a odlitku

návrh tlaků pro jednotlivé kroky procesu

návrh technologicky optimálních časů

teplotní režim při náběhu výroby

otevření a uzavření formy definovat v závislosti na čase nebo na teplotě

vliv postřiků a nátěrů

kontrola funkce chladících kanálů
Technolog může pomocí simulačního software upravovat a dolaďovat:

optimalizaci vtokové soustavy

optimální umístění nálitku a chladítek

redukci velikosti a počtu nálitku a chladítek

minimalizaci zbytkových napětí a optimalizaci rozložení napětí po vychladnutí

odhad a minimalizaci deformace, zkroucení a smrštění

optimalizaci podmínek plnění tlakového lití, časů a optimalizace licího cyklu, redukci
teplotního namáhání jader

zlepšení funkce chladících kanálu v závislosti na informacích z termočlánku při
tlakovém lití
Kvalita jednotlivých simulačních programů, jejich vypovídající hodnota včetně shody
výsledků simulace s reálnými ději je ovlivněna především následujícími okolnostmi:
1. kvalitou matematického popisu dílčích dějů - tj. rozpracováním Fourierovy
diferenciální rovnice vedení tepla, která je silně ovlivněna správností volby
počátečních a okrajových podmínek;
2. zahrnutím odchylky chování a stavu odlévaného materiálu od ideálního předpokladu
jednofázového stavu taveniny (např. nenewtonská kapalina, teplotní závislost
postupného uvolňování latentního tepla při tuhnutí taveniny atd.);
29
3. tepelně-fyzikálním definováním vlastností forem i odlévaného materiálu v závislosti
na teplotě v celé potřebné šíři teplotního intervalu.
Neméně důležitým faktorem je fakt, jakým způsobem tyto simulační programy
definují proudění kapaliny pomocí zákona zachování hmoty (rovnice kontinuity) a hybnosti
(Navier-Stokesův zákon), přenos tepla při tuhnutí a chladnutí odlitků (Fourierova
diferenciální rovnice), úroveň zbytkových či vnitřních pnutí, zákony mechaniky tuhého tělesa
při plastické a elastické deformaci atd. S tím je úzce spojena i volba výchozích a okrajových
podmínek řešení, které výrazně ovlivňují výsledky numerické simulace
Poměrně velkým problémem při simulačních výpočtech je stanovení hodnot
potřebných tepelně-fyzikálních veličin v závislosti na teplotě. Toto je nejčastější příčinou
rozdílů mezi výsledky získanými simulačním výpočtem a experimentálním měřením při
srovnatelných podmínkách.
Numerická simulace a modelování hraje důležitou roli při současné optimalizaci a
plánování slévárenských procesů. Účelem modelování - simulace je dosažení předpovědi s co
možná největší přesnosti a tím ušetření času a finančních prostředků při řízení, ovládání,
vývoji a výrobě. Snaha o dosažení výrazného nárůstu produktivity, zvyšování jakosti a
urychlení inovačního procesu vede k využití výsledků získaných z numerické simulace do
dalších procesů. Existují snahy zabudovat simulace do informačních a optimalizačních
technologií, případně do dalších technických výpočtů, které dokáží využít provedené analýzy
(např. využití rozložení zbytkových pnutí v odlitku do následných nárazových zkoušek
automobilů). Vše vede k vytvoření určitého virtuálního testovacího prostředí, které umožní
maximální zdokonalení výrobku během konstrukčního návrhu a prototypové výroby.
2.3 Trendy vývoje simulačních programů
V posledních několika letech se v oblasti slévárenství při výrobě odlitků objevila řada
významných zlepšení, zejména pokud jde o možnost aplikace výpočetního simulačního
nástroje. Použití simulace při odlévání odlitku má významný vliv na potlačení výskytu
staženin, zvýšení využití tekutého kovu a optimalizaci vtokové a výfukové soustavy u forem
pro vysokotlaké lití. Vývoj těchto nástrojů však neustále pokračuje, a to v daleko širších
souvislostech než doposud. Tím vznikají nové a vylepšené moduly pro více slévárenských
technologií. Firmy zabývající se vývojem a prodejem těchto programů vkládají značné úsilí a
finanční prostředky do uspokojení potřeb trhu a svých zákazníků. Vývoj a výzkum je zaměřen
zejména do následujících oblastí:

zpřesnění a zrychlení numerických výpočtových metod

zpřesnění a doplnění databází termofyzikálních dat, koeficientů přestupu tepla a
dalších veličin nezbytných pro výpočet

možnosti výpočtů nových slévárenských procesů a materiálů

vývoj modelů pro tzv. mikro-modelování

zdokonalení kritérií pro vyhodnocení výsledků simulací

zavedení optimalizačních technik do numerické simulace
30

možnosti využití výsledků simulace pro další technické výpočty, informační a
kontrolní procesy
mikrostruktury odlitku. Jednotlivé modely započítávají přestup tepla, rychlost a způsob
formy, proudění kovu ve formě, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely pórovitosti,
odmíšení v intervalu tuhnutí a v neposlední řadě výpočet pnutí
1. Co lze predikovat při procesu tuhnutí pomocí simulačních programů
2. Co je účelem modelování, resp. simulace slévárenských pochodů?
VRÁBEL, P.: Vývojové směry ve slévárenství. Slévárenství, č. 10, 2004, s. 411- 413;
ČECH, J. et.al.: Výroba odlitků s použitím počítačových simulaci a programů ve firmě ŽĎAS
a.s.. Slévárenství, č. 10, 2004, s. 405-407,
KRUTIŠ, V., KUZMA, Z.: Numerická simulace ve slévárenské technologii, MM spektrum.
dostupné z: <http://www.mmspektrum.com/clanek/numericka simulace-ve-slevarensketechnologii]
VLADÍK, R. Simulace proudění kovu ve slévárenské formě z hlediska jeho reoxidace.
Disertační práce, 2011, VŠB-TU Ostrava
KRUTIŠ, V.: Trendy a vývoj v oblasti numerických simulací. Slévárenství 2004, 52, 10, 408
– 410
BONOLLO ,F., ODORIZZI, S. Numerical Simulation of Foundry Processes. 1st ed. Padova:
S.G.E., 2001, 264 p. ISBN 88-86281-63-3
LICHUN, LCH., SCOTT, H. Casting design and modeling, ASM International, 2009, s. 295,
ISBN 978-0-87170-724-6
MICHNA, Š. Počítačové simulační programy pro odlévání materiálu – jako moderní nástroj
pro získání kvalitních odlitků, dostupné
z:<http://www.stefanmichna.com/download/progresivnitechnologie/pocitacove_simulacni_pr
ogramy.pdf>.
31
Modelování a simulace
3
Čas ke studiu: 1 hodina
 definovat základní pojmy modelování a simulací používaných při studiu
obecných systémů a rozdíly mezi nimi
 definovat jednotlivé kroky modelovacích a simulačních procesů
 popsat postup simulace reálného systému
Výklad
Pojmem modelování se rozumí experimentální proces, který slouží k získávání
informací o jednom systému využitím jiného systému – modelu. Systémem se pak rozumí
soubor elementárních částí, prvků, které mají vzájemné specifické vazby. Jelikož i model
představuje systém, využívá se této podobnosti při modelování. Význam modelování spočívá
v tom, že informace o daném systému jsou výhodněji, rychleji a často i ekonomičtěji
získávány experimentováním na jejich modelech, než originálech. Obecně lze jakýkoliv
systém lze studovat dle následujícího schématu (Obr.15):
Obr.15. Obecný princip studia libovolného systému
32
Podstatou modelování je tedy náhrada zkoumaného systému jeho modelem
(přesněji: systémem, který jej modeluje), jejímž cílem je získat pomocí pokusů s
modelem informaci o původním zkoumaném systému
Pro jednoduché modelované systémy, lze chování systému definovat matematickými
vztahy a hledané veličiny stanovit pomocí matematických prostředků. Výsledkem jsou pak
funkční vztahy, ve kterých jako proměnné veličiny figurují parametry modelu.
Pro složitější systémy, jejichž specifickými vlastnostmi jsou velká rozsáhlost,
neúplnost daných informací, kvalitativní charakter parametrů, velká dynamičnost
probíhajících procesů a složitý charakter vztahů mezi prvky systému je třeba komplexní
analýzy. V tomto případě pak modelování obecně probíhá v několika krocích:
1.
Vytvoření abstraktního modelu – formulován
zjednodušeného popisu zkoumaného systému
na
základě
účelového
a
2.
Vytvoření simulačního modelu – vzniká zápisem abstraktního modelu pomocí
programovacího jazyky (simulačního programu)
3.
Simulace – vlastní experimenty s reprezentací simulačního modelu. Cílem této etapy
je analýza chování systému v závislosti na vstupních veličinách a na hodnotách
parametrů. Proces simulace spočívá v opakovaném řešení modelu, prováděním
simulačních běhů, při kterých jsou vyhodnocována výstupní data definující chování
systému. Simulační běhy se tak provádějí tak dlouho, dokud se nezískají dostateční
informace o systému nebo pokud nebudou nalezeny takové hodnoty parametrů, pro
které má systém požadované chování.
Simulace je výzkumná technika, jejíž podstatou je náhrada zkoumaného
dynamického systému jeho simulátorem s tím, že se simulátorem se experimentuje s
cílem získat informace o původním zkoumaném dynamickém systému.
Před vlastní simulací je zařazen první krok –verifikace simulačního modelu, nebo-li
ověření správnosti modelu. Účelem verifikace modelu je tedy například vyvrácení
potencionálních chyb v příslušném programu, nebo zda v něm není použita nevhodná
numerická metoda.
Dalším neméně důležitým krokem je neustálá konfrontace informací, které o
modelovaném systému máme a které simulací získáváme. Tím dochází k ověření validity
(platnosti) modelu. Ověřování validity modelu je tedy proces, v němž se se snažíme dokázat,
že je skutečně pracováno s modelem adekvátním modelovanému systému.
V případě, že chování modelu neodpovídá předpokládanému chování originálu, je
nutné model modifikovat s ohledem na získané informace, které byly získány předcházející
simulací (viz Obr.16).
33
Obr.16. Postup simulace reálného systému
Postup simulace reálného systému lze shrnout do několika po sobě jdoucích kroků:
1.
stanovení účelu simulace a sledované výstupy
- na základě výstupů je možné stanovit zúčastněné procesy
2.
vytvoření simulačního modelu
- izomorfní vztah s abstraktním modelem
- součástí je naplnění modelu daty
3.
validace modelu
4.
vytvoření počítačového modelu
5.
ověření funkčnosti počítačového modelu
6.
návrh experimentů
7.
zpracování výsledků
-
záznam průběhu simulace
-
vizualizace, animace
-
analýza, porovnání s reálnými daty a výběr nejlepší alternativy

Systém

Model

Modelování

Simulace

Verifikace modelu
34

Validace modelu
1. Co se rozumí pojmem systém?
2. Jaká je podstata modelování?
3. Co je to simulace?
4. Co se označuje pojmem verifikace modelu?
5. Co se označuje pojmem validita modelu?
35
Modelování slévárenských procesů
4
 definovat způsoby modelování slévárenských procesů
 popsat kritéria dělení modelů definovat základy fyzikálního a









matematického modelování
popsat rozdíly mezi fyzikálním a matematickým modelováním
definovat podobnost systémů
vyřešit stanovení kritérií podobností metodou rozměrové analýzy
vyřešit stanovení kritérií podobností metodou podobnostní transformace
vyřešit stanovení kritérií podobností metodou rozměrové analýzy rovnic
definovat základní rovnice fyzikálního modelování slévárenských
procesů
definovat numerické metody využívané pro simulaci slévárenských
procesů
popsat analytické a numerické metody matematického modelování
popsat a vyřešit podmínky jednoznačnosti
Výklad
Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, modelováním je definován experimentální
proces, při kterém se studovanému systému (originálu) jednoznačně přiřazuje podle daných
kritérií jiný systém, fyzický nebo abstraktní, nazývaný model.
Cílem je co nejvěrohodněji zachytit chování reálného systému pomocí matematického
nebo fyzikálního modelu. Na základě výsledků dosažených na modelu lze pak zpětně
předpovídat chování reálného systému při různých změnách procesu. Úlohou modelování je
dále rozvíjet teorii fyzikálních, chemických a tepelných dějů, a tyto teorie dále využívat v
praxi modelování.
Pomocí modelování lze bez měření například na příslušném průmyslovém zařízení:

stanovit dynamické vlastnosti systému

stanovit vliv změn okrajových podmínek provozování systému
36

optimalizovat metalurgické a jiné systémy a stanovit podmínky jejich činnosti

doporučit optimalizaci rozměrů a jiných technických parametrů zařízení
Modelování procesů lze rozčlenit na dva základní směry. První směr je reprezentován
metodami fyzikálního modelování, které většinou řeší procesy probíhající na skutečném
zařízení a jeho zmenšených modelech skutečných zařízení a při normálních teplotách okolí.
Využívá se přitom teorie fyzikální podobnosti mezi dvěma systémy. Dva jevy jsou fyzikálně
podobně tehdy, jestliže se popisují stejnou kriteriální rovnicí a jestliže jsou odpovídající
kritéria podobnosti v homologických bodech stejně veliká.
Ve srovnání s matematickými modely, fyzikální modely definují úplněji a spolehlivěji
vlastnosti modelovaného systému. Vyplývá to ze skutečnosti, že fyzikální modelování řeší
úlohy v substanci, kdežto matematické modelování analyzuje strukturu problému. Navíc při
stavbě fyzikálních modelů není nutné znát matematický popis zkoumaného procesu. Naopak
fyzikální modely jsou spojeny s vyššími pořizovacími cenami některých modelů, mají
ohraničenou použitelnost konkrétního modelu a často se obtížně mění velikost modelových
parametrů, což někdy vede k nutnosti se spokojit jen s kvalitativním řešením.
Druhou cestou je pak matematické modelování, které zahrnuje experimentálněstatistické modely a modely analytické Matematické modelování je založeno na matematické
analogii (podobnosti) dvou rozdílných procesů. Jevy rozdílné fyzikální povahy jsou
matematicky podobné tehdy, jsou-li popsány formálně shodnými (izomorfními) základními
rovnicemi. Z matematické podobnosti pak vyplývá úměrnost mezi odpovídajícími si
veličinami analogických jevů.
Příkladem můžou být přenosové jevy, tj. procesy, při kterých se z jednoho místa do
druhého přenáší hybnost (viskozita), energie (vedení tepla) i hmotnost (difúze). Všechny tyto
děje souvisí s neuspořádáným tepelným pohybem molekul. Je-li slněna podmínka analogie, tj.
izomorfizmus základních rovnic, pak důsledná analogie mezi výše uvedenými jevy
způsobuje, že konkrétní vzorce jsou pro sdílení tepla konvekcí a pro molekulovou difúzi,
stanovené experimentálně, v určitých mezích shodné.
Metoda analogie se s výhodou používá tehdy, jestliže neumíme řešit základní rovnice
analyticky.
4.1 Rozdělení modelů
Existuje celá řada kritérií, podle kterých dělíme modely do jednotlivých skupin
(Obr.17). Mezi základní kritéria patří dělení modelů podle:
A. Charakteru procesu na modelu:

deterministické – ty se vyznačují jednoznačně přiřazenými příčinami a jejich
následky, tzn., že všechny proměnné, konstanty a funkce v modelu jsou
deterministické (nenáhodné) veličiny nebo funkce.

stochastické – alespoň jedna proměnná, konstanta nebo funkce v modelu je náhodná
veličina nebo náhodná funkce, tzn., že buď sám zkoumaný problém, nebo metoda
řešení mají náhodný charakter. Tohoto postupu používáme tehdy, když nejsme
schopni odvodit deterministický model, nebo při aplikaci některých speciálních
algoritmů automatického číslicového řízení.
37
B. Hlediska podobnosti (podobnost mezi originálem a modelem):

fyzikální

fyzikálně matematické

matematické
C. Účelu modelu:

poznávací

řídící
Obr.17. Dělení modelů podle různých kritérií
D. Hlediska vnějšího působení:

neřízené

řízené
E. Zpracování modelové informace:

analogové

číslicové
38

hybridní
Dále existuje dělení modelů z hlediska vyjádření prostoru a času, jako jsou modely:

prostorově spojité

prostorově nespojité

neustálené, časové spojité

neustálené, časově nespojité

ustálené
Nebo dělení modelů z hlediska zachování podobnosti modelu:

úplné – úplná podobnost modelu v prostoru a čase

neúplné – částečná podobnost

přibližné – některé závislosti se u modelu vyjadřují přibližně
39
Fyzikální modelování slévárenských procesů
4.2 Fyzikální modelování slévárenských procesů
Během lití, tuhnutí a chladnutí odlitku probíhají ve formě velmi složité procesy, při
nichž se využívá mnoha fyzikálních a chemických zákonů. Na úrovni dnešního poznání není
ovšem možné vytvořit exaktní model těchto procesů. Musíme proto vycházet z modelu, který
je možné fyzikálně i matematicky popsat, ale zároveň je řešitelný. Přičemž základní
podmínkou je stejná fyzikální podstata modelu i díla. Klíčový význam v modelu mají termofyzikální data, nezbytná pro výpočet přenosu tepla během slévárenského procesu.
Teorie fyzikálního modelování rozeznává a využívá různé druhy podobnosti systémů,
jednak geometrickou, tak i jiné, které charakterizují různé fyzikální děje (oblast
termodynamiky, oblast sdílení tepla atd). Podobnost dvou systémů pak vyžaduje podobnost
všech podstatných veličin v celém objemu jak modelu, tak i díla.
4.2.1 Podobnost systémů
V případě tvarové podobnosti dvou systémů, hovoříme o geometrické podobnosti.
Systémy jsou si geometricky podobné, když poměr odpovídajících lineárních systémů na
modelu a díle je stejný, tento poměr je označován jako konstanta podobnosti (Obr.18).
Geometrická podobnost je jeden ze základních parametrů, které je nezbytně nutné dodržet.
V případě, kdy není možné úplné dodržení geometrické podobnosti, je nutné alespoň dodržet
geometrickou podobnost modelu a díla v kritických a nejdůležitějších rozměrech.
Obr.18. Geometrická podobnost
Slévárenské procesy odlévání, tuhnutí a chladnutí odlitků se řídí zákony
hydrodynamiky a přenosu tepla. Z tohoto důvodu při fyzikálním modelování sehrává
důležitou roli kinematická, dynamická a tepelná podobnost.
Kinematická podobnost vyjadřuje podobnost rychlostních polí a polí zrychlení.
V podstatě se jedná o rovnováhu pozorovanou mezi dvěma geometricky podobnými systémy,
ve kterých je poměr rychlosti stálý v navzájem si odpovídajících místech modelu a díla,
přičemž v obou systémech je totožný směr rychlosti nebo zrychlení (Obr. 19)..
40
Obr.19. Kinematická podobnost
Podobnost sil mezi dvěma geometricky podobnými systémy, ve kterých je poměr sil
navzájem odpovídajících místech a časech stálý a směr jejich působení totožný, se označuje
jako dynamická podobnost (Obr. 20). U dynamické podobnosti se předpokládá geometrická
i kinematická podobnost.
Obr.20. Dynamická podobnost
Podobnost teplot, teplotních gradientů i tepelných toků v odpovídajících časech
procesu a odpovídajících místech geometricky podobných systémů charakterizuje tepelná
podobnost (Obr.21.). Tepelnou podobnost je nutno zajistit při modelování neizotermických
procesů.
Obr.21. Tepelná podobnost
41
Ve fázi odlévání a tuhnutí dochází hlavně k přenosu tepla a hmoty. Při chladnutí je
přenos hmoty omezen z důvodů postupného tuhnutí odlitku a jeho zanedbání ve fyzikálním
modelu nemá zásadní důsledky pro výsledky simulace jako ve fázi lití. Při krystalizaci se
přenos tepla v soustavě krystal - tavenina uskutečňuje vedením (konvekcí), v tavenině navíc
přirozeným a vynucením prouděním. K přenosu hmoty v tavenině dochází difuzí a prouděním
taveniny. U krystalizace čistého kovu je tento proces ovlivňován pouze transportem tepla,
který se v pevné fázi realizuje vedením. Pokud se nejedná o čistý kov, je krystalizace
ovlivňována dále atomy příměsi. V roztaveném kovu je vhodné zohlednit dále vliv proudění
taveniny vyvolané důsledkem teplotního rozdílu. Ve formovací směsi je přenos tepla
uskutečněn vedením v místě styku dvou sousedních zrn. V prostorách mezi zrny je pak
realizován sáláním.
Proces řešení těchto fyzikálních pochodů je založen na složitém řešení rovnic
mechaniky tekutin a termodynamiky. Podmínkou pro výpočet je, že počet rovnic se musí
rovnat počtu neznámých. Takovou soustavu potom můžeme nazývat soustavou bilančních
rovnic. Veličiny těchto rovnic jsou obvykle hmotnost, hybnost, energie.
4.2.2 Rovnice Fyzikálního modelu
Přenos hmoty
Proudění roztavených kovů až do nástupu tuhnutí se řídí základními principy
mechaniky tekutin. Přenos hmoty je definován zákonem zachování hmotnosti, který je
všeobecně znám jako rovnice kontinuity. Rovnice kontinuity určuje vztah mezi střední
rychlostí ustáleného proudu nestlačitelné kapaliny a proměnným průřezem proudu S.
V prostředí se přenos hmoty uskutečňuje především různými druhy difuze (tlaková,
koncentrační, termická a nucená). Dalším způsobem přenosu hmoty je přenos přirozenou
nebo nucenou konvekcí, nebo přenos hmoty může nastat také turbulentními víry. V obecném
případě probíhá přenos hmoty při nestacionárním hromaděním nebo úbytku hmoty, a také při
přeměnách jednotlivých látkových složek daného prostředí.
Bilanci hmoty při přenosu i-té látky udává rovnost
dmi  dmdif ,i  dmkonv,i  dmprem,i
dmi   d i dV
kde
V
představuje změnu hmotnosti tekutiny v elementárním objemu
Této rovnici můžeme rozumět tak, že změna hmoty i-té látky v objemu V je rovna
součtu přítoku hmoty i-té látky difuzí a konvekcí a přítoku nebo úbytku způsobeného různými
(např. chemickými) přeměnami za čas dτ.
Po úpravách lze napsat rovnici přenosu i-té látky daného prostředí ve tvaru:



i
 div q  div q
 div q
0
dif ,i
konv,i
prem,i

42
Jednotlivé členy této rovnice označují změnu a přenosy i-té reagující látky tohoto
prostředí při uvažování jeho přeměn v jednotkovém objemu za jednotku času. Základní
proměnnou veličinou v této rovnici je parciální hustota ρi.
Jelikož celková hustota prostředí v jednotlivých místech uvažovaného objemu je rovna
součtu parciálních hustot jejich jednotlivých složek ρ = Σ ρi, musí se celkový výsledný difuzní
přenos všech parciálních hustot rovnat nule. Pro podmínku zachování celkové hmoty v
jednotkovém objemu je nutné, aby byla splněna rovnice:


 div ( v  )  0

Kde ρ je celková hustota prostředí. Tuto rovnici nazýváme rovnicí kontinuity
proudícího prostředí a platí za podmínky, že se nevyskytují nespojitosti u proudících hmot
tohoto prostředí. Rovnice vyjadřuje skutečnost, že změna hmoty určitého objemu v čase je
definována rozdílem mezi množstvím vtékající a vytékající hmoty z objemu ( – vektor
rychlosti).
Často je třeba tuto rovnici modifikovat, jelikož platí, že




 ( vx  v y  vz )

x
y
z
Pak lze rozepsat rovnici kontinuity do tvaru:
 






vx 
vy 
vz    ( vx  v y  vz )
 x
y
z
x
y
z
Levá strana rovnice představuje substancionální derivace hustoty, tj. derivace podle
času pro dráhu sledující pohyb tekutiny, v souladu s rovnicí definující substancionální
derivaci:
D  




vx 
vy 
vz
Dt  x
y
z
Pak lze definovat rovnici kontinuity ve zjednodušeném tvaru:
D
 div ( v)
Dt
Rovnici kontinuity v tomto tvaru popisuje rychlost změny hustoty, jak ji vidí
pozorovatel „unášený“ proudící tekutinou.
Velmi důležitý speciální tvar rovnice kontinuity je tvar rovnice pro nestlačitelnou
tekutinu s konstantní hustotou:
divv  0
V reálných řešeních není žádná tekutina absolutně nestlačitelná, ale v praxi se velmi
často dosáhne podstatného zjednodušení, když se předpokládá konstantní hustota a nezávádí
se prakticky žádná chyba.
43
Difúzní rovnice (druhý Fickův zákon difuze)
Jde-li o nestlačitelnou tekutinu, kdy hustota je konstantní, rovnice kontinuity se
zjednoduší a nabývá tvaru:



vx  v y  vz  0
x
y
z
Tato rovnice platí pro nestlačitelné tekutiny i při neustáleném proudění. Pro časovou
změnu koncentrace látek v určitém místě lze také definovat závislost, kde D je součinitel
difúzního přenosu hmoty. Difuzní součinitel je obecně funkcí teploty, tlaku a složení směsi,
především velikosti a pohyblivosti částic. Pro odhad difuzního součinitele D v jednotlivých
konkrétních aplikacích existuje řada empirických a semiempirických vztahů. Například pro
difuzi ve zředěných roztocích koloidních částic nebo polymerů se používá StokesovyEinsteinovy rovnice
D
kT
6   2 r1
,
kde k je Boltzmannova konstanta, T je termodynamická teplota, 2 je viskozita
disperzního prostředí, r1 je poloměr disperzní částice.
Pak časová změna koncentrace látek v daném místě je definována závislostí:
i 
 v  i  D   2 i

Je-li rychlost nulová, dostáváme rovnici
i
 D   2 i

Tato rovnice se označuje, jako druhý Fickův zákon, který vyjadřuje změnu gradientu
koncentrace s časem.Druhý Fickův zákon umožňuje určit rozložení koncentrace v závislosti
na čase a na vzdálenosti x od dané vztažné roviny a určuje časovou změnu hmotnostní
koncentrace.
Tato rovnice se obvykle používá pro určení difuze v nehybných látkách nebo tuhých
kapalinách. Je velmi podobná rovnicí vedení tepla. Této podobnosti se využívá při
analogickém zpracování problémů vedení tepla a difuze v tuhých látkách.
Pohybová rovnice vazké tekutiny
Při proudění pohybová (Eulerova) rovnice vyjadřuje na základě d´Alembertova
principu rovnováhu sil hmotnostních, tlakových a setrvačných:
dFm  dFp  dFs
Při proudění dokonalých tekutin neexistuje vnitřní tření ani přenos tepla. Ovšem
převážná většina procesů při pohybu reálných kapalin se tímto způsobem popsat nedá.
44
Dochází k disipaci mechanické energie vzájemným ovlivňováním částic tekutiny,
které se pohybují různou rychlostí. Jak je vidět z existence vnitřního tření a z přenosu tepla,
jde o nevratné děje.
Pokud budeme brát v potaz součet všech sil působících v elementárním objemu dV a
změnu hybnosti, lze sestavit pohybovou rovnici vazké kapaliny. Zde se mimo sil vnějších,
setrvačných a tlakových, které jsou spojeny s vlastním pohybem částic tekutiny, berou v potaz
také síly třecí, které jsou způsobeny vzájemným pohybem částic. Rovnováha je dána
vektorovým součtem
Pokud budeme zkoumat proudění v gravitačním poli za působení tlakové síly a se
zohledněním síly vnitřního tření, dospějeme k rovnici, která nám vyjadřuje zachování součtu
sil nebo hybností. Ve vektorovém tvaru lze psát tuto silovou rovnici
V souřadných osách x, y, z, je možno napsat Navier-Stokesovu pohybovou rovnici
vazkého prostředí ve tvaru
Tato soustava rovnic se dá vyjádřit slovy, že změna hybné síly (tlakové, gravitační) je
spotřebována na změnu rychlosti proudění v daném objemu a pokrytí ztrát třením. Při
konstantních veličinách ρ a η se rovnice upraví do tvaru
Pro ideální tekutinu (η=0) se dále zjednoduší na Eulerovu rovnici, která se používá
k opisu pohybu prostředí, v proudící tekutině mají velký význam viskózní vlivy:
Integrací Eulerových pohybových rovnic můžeme odvodit zákon zachování energie,
tzv. rovnici Bernoulliho, která má velmi široké použití v praxi a lze ji napsat ve tvaru.
45
Tato rovnice vyjadřuje fakt, že za ustáleného pohybu nevazké nestlačitelné tekutiny je
součet potencionální, tlakové a kinetické energie v libovolném bodě gravitačního pole
konstantní. Při turbulentním proudění se tlak, rychlost a další veličiny mění nepravidelně.
Pohyb má stochastický, náhodný charakter.
Turbulentní proudění je tak složité, že se nedá přesně matematicky popsat ani u těch
nejjednodušších kapalin. Vzhledem k nepravidelnosti a ke komplexnosti turbulentního
pohybu se zavádějí střední časově vyhlazené hodnoty okamžitých rychlostí a tlaků. Okamžitá
rychlost turbulentního proudění wi se tak rozkládá na střední rychlost a na fluktuační rychlost
wi´ podle rovnice.
Kde
Obdobné výrazy se zavádí pro tlak, teplotu a ostatní použité veličiny
Rovnice kontinuity i pohybové rovnice, uvedené pro laminární proudění skutečné
tekutiny, platí taky pro turbulentní proudění. Tyto rovnice při turbulentním proudění nelze
řešit, a proto je nutné rovnice upravit tak, aby popisovaly časově vyhlazené rozdělení
rychlostí a tlaku.
Časově vyhlazená rovnice kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu ve složkovém tvaru
je:
A časově vyhlazená rovnice pohybu ve směru osy x
Rovnice pohybu tekutiny ve směru os „y“ a „z“ jsou analogické.
Časově vyhlazené rychlosti a tlaky nahradily okamžité složky. V rovnici pohybu se
navíc objevily nové členy, které souvisejí s fluktuacemi turbulentní rychlosti. Výrazy
typu
se dají považovat za dodatečná napětí způsobená turbulencí přidána navíc k
46
vazkým napětím a nazýváme jej Reynoldsova napětí. Pokud bychom chtěli dostat popis
rychlostí, musíme za ně dosadit nějaký výraz.
K jejich vyjádření se používají různé polo-empirické vztahy (turbulentní viskozita,
Prantlova směšovací délka, aj…) Určování použitých parametrů a jejich ovlivňování v
různých oblastech proudu patří tak k hlavním úlohám experimentálního výzkumu
turbulentního proudění.
Přenos energie
Přenos energie může probíhat v různých podmínkách. V pevných tělesech se
uskutečňuje přenos energie vedením tepla. V pohyblivých prostředích se energie kromě
vedení tepla přenáší prouděním hmoty prostředí v prostoru. Tento způsob přenosu se nazývá
konvekce. Mimo vedení a konvekce se může energie přenášet i zářením a dalšími formami
energie. Všechny zmiňované druhy se často vyskytují současně.
Při interakci formy s tekutým kovem odvádí forma z kovu teplo, teplota formy stoupá
a teplota kovu se snižuje. Klesne-li teplota kovu na teplotu tuhnutí, nastává přechod kovu z
kapalného skupenství do tuhého stavu. Tento proces se děje postupně od stěny formy či jádra
směrem k teplené ose odlitku. Čím rychleji odvádí forma z kovu teplo, tím je rychlejší
krystalizační pochod. Tyto zmiňované aspekty mají vliv na celkový charakter krystalizace a
tím potažmo na vlastnosti odlitku. Jelikož rychlost odvodu tepla z kovu formou je přímo
závislá na tepelně fyzikálních vlastnostech formy, lze z toho vyvodit, že rychlost tuhnutí
odlitku je závislá na fyzikálních a geometrických vlastnostech odlitku a formy.
Podmínky přestup tepla z kovu do formy během fáze odlévání, tuhnutí a chladnutí se
mění neustále. V průběhu plnění formy se realizuje přechod tepla z kovu do formy
bezprostředně interakcí tekoucího kovu se stěnami formy. Po odlití je ještě určitou dobu
tekutý kov v bezprostředním styku se stěnami formy. Po vytvoření vrstvičky ztuhlého kovu u
stěny formy se mění podmínky pro přestup tepla z odlitku do formy, jelikož stěna formy je ve
styku s vrstvou ztuhlého kovu. Odvod tepla z tekutého kovu do formy tedy probíhá přes tuto
ztuhlou vrstvu kovu, jejíž tloušťka se s časem roste.
Po vytvoření vrstvičky ztuhlého kovu se v důsledku smršťování tvoří mezera mezi
odlitkem a stěnami formy. Od této chvíle se odvod tepla z taveniny do formy uskutečňuje
jednak přes vrstvu již ztuhlého kovu, ale zároveň i přes vzniklou mezeru. Tepelná vodivost
mezery je menší než tepelná vodivost formy a ztuhlého kovu. Tato skutečnost má za následek
snížení intenzity odvodu tepla z taveniny. Vzniklá mezera roste v závislosti na smršťování
odlitku a její tloušťka je závislá na smrštění kovu a rozměrech odlitku. Odvod tepla kovu
formou je nestacionární tepelný pochod. Teplota jednotlivých bodů soustavy odlitek-forma je
s časem proměnná. Pro řešení těchto nestacionárních děju je nutno najít závislosti teploty a
množství sdíleného tepla dle času pro libovolnou část tělesa.
Při plnění formy, tuhnutí a chladnutí odlitku probíhají v soustavě odlitek-forma tyto
tepelné pochody:

Vedení tepla tekutým kovem

Vedení tepla tuhým kovem

Přestup tepla z taveniny do formy

Přestup tepla z tuhého kovu do formy
47

Přestup tepla z taveniny do tuhého kovu

Přestup tepla z tuhého kovu do formy přes mezeru

Vedení tepla formou

Sálání tepla vtokovou soustavou a otevřenými nálitky
Bilanci energie je možné v obecném případě vyjádřit rovnicí
Změna celkové vnitřní energie v objemu V za čas dτ je rovna přívodu entalpie difúzí,
konvekcí, zářením a celkovou energií ze zdrojů.
Změna celkové vnitřní energie se skládá ze změny vnitřní energie prostředí v objemu
V, změny jeho kinetické energie, změny potencionální energie možných přeměn prostředí a
změny zářivé energie Uzář v objemu V:
Energie zdrojů je možno vyjádřit integrálem:
kde qzdroj (V) je měrný výkon všech vnitřních zdrojů energie v daném objemu V.
Získaný vztah se dá upravit do tvaru parciální diferenciální rovnice, jež popisuje
sdílení energie v homogenní tekutině a tuhé látce. Ve většině aplikací se však neřeší ve své
komplexní podobě, ale zjednodušuje se podle druhu řešeného procesu. Tyto upravené tvary
rovnice šíření energie jsou pak výchozími rovnicemi pro řešení různých konkrétních úloh ze
sdílení tepla.
Například rovnice nestacionárního kombinovaného přenosu tepla konvekcí a vedením
s vnitřními zdroji tepla má tvar:
V případě, kdy je prostředí v klidu (w= 0), dostaneme rovnici šíření tepla vedením
A pro jednotlivé souřadnice „x“, “y“, “z“ má tvar
48
Uvedený tvar diferenciální rovnice vedení tepla představuje matematický popis časové
změny teploty v libovolném místě tělesa vyvolané přenosem tepla a působením zdrojů
energie. Pokud je tepelná vodivost konstantní a nejsou definovány tepelné zdroje, tak má
rovnice tvar:
Respektive
Napjatost a deformace
Obecně můžeme říci, že působením vnějších silových či teplotních účinků vznikají v
tělese vnitřní síly. Intenzitu vnitřních sil nazýváme napětí, jehož složky lze uspořádat do
tensoru napětí. Vztahy vyjadřující složkové a momentové rovnice rovnováhy, které je na
povrchu S podrobeno silovým účinkům, a v objemu tělesa objemovým silám jsou:
Dále pro řešení úloh pružnosti je nutno určit změnu tvaru tělesa pomocí složek
deformace, které v obecnějším případě mohou zahrnovat geometrickou změnu tvaru tělesa.
Vazba mezi napjatostí a popisem deformace určuje chování tělesa při působení vnějších sil
4.2.3 Bezrozměrové parametry
Vyjádření podobnosti dvou systémů pomocí konstant podobnosti je z praktického
hlediska nepříliš rozšířený. Obvyklejší způsob je využití bezrozměrových parametrů za
účelem vyjádření podobnosti dvou systémů.
Bezrozměrový parametr má v homologických bodech podobných systémů stejnou
hodnotu, tzn. že se nemění (I. Věta podobnosti), nicméně nemá ve všech bodech těchto
systémů stálou hodnotu. V oblasti aplikace teorie podobnosti a modelování jsou
bezrozměrové parametry nazývány kritérii podobnosti a obvykle má své specifické označení.
Většinu těchto kritérií lze vyjádřit pomocí vhodně zvoleného poměru vybraných sil
působících v systému.
Většinu fyzikálních systémů lze popsat úplnou fyzikální rovnicí, která se vyznačuje
tím, že bere v úvahu všechny relevantní veličiny, tzn. veličiny, které mají v daném systému
význam. Sjednocením úplné fyzikální rovnice s podmínkami jednoznačnosti se získá základní
rovnice, jejichž řešení k popisu fyzikálního jevu je obvykle časově náročné, potažmo těžko
řešitelné. Z tohoto důvodu se používají kriteriální rovnice, kde relevantní veličiny jsou
nahrazeny kritérii podobnosti, které jsou z těchto relevantních veličin odvozeny (II. Věta
podobnosti). Vzájemné funkční závislosti mezi bezrozměrovými parametry se určují
experimentálně na daném modelu měřením.
49
Obecný tvar kriteriální rovnice lze odvodit pomocí rozměrové analýzy nebo pomocí
analýzy diferenciálních rovnic popisujících daný děj.
4.2.4 Stanovení kritérií podobnosti pomocí rozměrové analýzy
Rozměrová analýza se používá v případě, kdy není znám matematický popis děje a
existuje pouze předpoklad, že studovaný děj je funkcí relevantních fyzikálních veličin.
Podstata rozměrové analýzy je založena na Buckinghamově teorému ( – teorém).
Jeho podstatou je, že každou rozměrově homogenní rovnici lze transformovat do
podoby navzájem nezávislých bezrozměrových parametrů, vzniklých vhodným seskupením
daných veličin. Vzájemná nezávislost znamená, že kterýkoliv bezrozměrový parametr nelze
vyjádřit součinem různě umocněných parametrů.
Princip této metody si ukážeme na jednoduchém příkladu. Na definované těleso
ponořené v proudící kapalině působí síla F, která závisí na rychlosti proudění tekutiny w, její
hustotě , dynamické viskozitě  a charakteristickém rozměru l. Je patrné, že k vyjádření
těchto pěti relevantních veličin potřebujeme pouze tři základní veličiny, a to délku [m], čas t
[s] a hmotnost m [kg]. Z rozdílu relevantních a základních veličin vyplývá, že k popisu děje
potřebujeme dvě bezrozměrová kritéria, která označíme K1 a K2 a vyjádříme je v obecné
formě:
K1  F  wa1   a 2  l a3
K1    wb1   b 2  l b3
Obě rovnice vyjádříme s využitím základních veličin v rozměrovém tvaru:
K1  kg  m  s 2  (m  s 1 ) a1  (kg  m3 ) a 2  ma3
K 2  kg  m1  s 1  (m  s 1 )b1  (kg  m3 )b 2  mb3
Aby byly oba parametry bezrozměrové, musí platit, že součet rozměrových exponentů
pro každou základní veličinu se musí rovnat nule. Vytvoříme tedy systém rovnic s použitím
rozměrových exponentů:
Pro m: 0 = 1+a13a2+a3
Pro s: 0 = -2 –a1
Pro kg: 0 = 1+2a
Řešením těchto rovnic získáme:
a1 = -2; a2 = -1; a3 = -2
Bezrozměrové kritérium K1 pak nabývá tvar:
K1  F  w2   1  l 2 
F
w l
2
2

p
w2 
50
Toto bezrozměrové kritérium je známo jako jako Eulerovo kritérium –Eu.
Analogicky lze postupovat i pro druhé kritérium, pro nějž pak dostáváme tvar:
K 2    w1   1  l 1 



w l
wl
Což je převrácená hodnota Reynoldsova kritéria – 1/Re
Uvedeným postupem lze původní funkci, která se sestává z pěti základních veličin,
transformovat do kombinace dvou bezrozměrových kritérií K1, K2 ve tvaru:
f ( K1 , K 2 )  f (
p 
,
)0
w2  w l
S ohledem na studovanou sílu F pak platí:
F
w l
2
2
 f(

wl
)
nebo-li, jinými slovy tato rovnice vyjadřuje fakt, že Eulerovou kritérium je funkcí
kritéria Reynoldsova.
Tento příklad poukazuje na výhody i nevýhody metody stanovení bezrozměrových
parametrů pomocí rozměrové analýzy. Spojovat relevantní veličiny do známých a
osvědčených bezrozměrových kritérií je velmi užitečné, nicméně tento postup neumožňuje
nalézt tvar vztahu mezi jednotlivými veličinami.
4.2.5 Stanovení kritérií podobnosti metodou podobnostní transformace
Pokud lze popsat daný určitou formou základní rovnicí, lze pro odvození
bezrozměrových kritérií použit metod, které vychází ze tvaru těchto rovnic. V podstatě se
jedná o dva postupy při analýze těchto rovnic a stanovení bezrozměrových kritérií.
Metoda podobnostní transformace
Podstatu této metody ukážeme na analýze diferenciální rovnice toku skutečné viskózní
kapaliny:
wx
wx wx
wx
 2 wx  2 wx  2 wx
p

 (

wy 
wz )    g x    ( 2 
 2 )

x
y
z
x
x
y 2
z
Pro libovolný podobný systém systému základnímu lze tuto rovnici vyjádřit pomocí
konstant podobnosti, kdy se provede podobnostní transformace rovnice, která nabývá tvaru:
MMw
M
2
wx M  M w
w w
w


  ( x  x wy  x wz ) 

M
x
y
z
 M  M g    gx 
M p p M  M w  2 wx  2 wx  2 wx

( 2  2  2 )
M l x
M l2
x
y
z
51
Kde M q 
q´
q
q´- hodnota veličiny q na modelu
q - hodnota veličiny q na díle
Obě výše uvedené rovnice budou identické, tzn., aby byla zachována podobnost dějů,
když vzniklé komplexy konstant podobnosti u každého členů rovnice budou shodné, tj:
MMw
M

M  M w2
M
 MMg 
Mp
Ml

M M w
M l2
Po úpravě nabývá tato rovnice tvaru:
M gMl
Mp
M
Ml



1
2
2
M w M
Mw
M  Mw M  Ml Mw
Tyto bezrozměrové komplexy skládájící se z konstant podobnosti jednotlivých veličin
se označují jako indikátory podobnosti. U podobných jevů jsou pak tyto indikátory rovny
jedné. (první věta podobnosti).
Tvar bezrozměrových parametrů u výše řešeného příkladu toku viskózní kapaliny lze
získat úpravou jednotlivých indikátorů z podobnostní rovnice:
l´
l
Ml

1
M w M  w´  ´

w 
w´  ´ w 

 Ho
l´
l
pak platí
Tento bezrozměrový parametr je znám jako kritérium honochronismu. Obdobným
způsobem lze odvodit další parametry:
Fr 
w2
g l
Eu 
p
  w2
Re 
wl


wl

tedy Froudeho (Fr), Eulerovo (Eu) a Reynoldsovo (Re) kritérium.
Celá rovnice toku viskózní kapaliny lze vyjádřit využitím bezrozměrových kritérií do
tvaru:
 ( Ho; Fr ; Eu; Re)  0
4.2.6 Stanovení kritérií podobnosti metodou rozměrové analýzy rovnic
V předešlém případě řešenou rovnici toku viskózní kapaliny lze využít při stanovení
bezrozměrových parametrů i jiným způsobem. Je patrné, že všechny členy této rozměrově
homogenní rovnice mají shodný rozměr, v tomto případě kg.m-2.s-2. Podělíme - li tuto rovnici
jedním ze sčítanců, přejde rovnice do bezrozměrového tvaru, ze které lze snadno stanovit tvar
bezrozměrových parametrů. Celá rovnice může být vyjádřena pomocí fyzikálních veličin:
52
2
  w   w 
 p    w 

  (   g )      2 


     
l  l 
Vydělením druhým členem převedeme tuto rovnice na bezrozměrový tvar, čímž
získáme rovnici, jejíž jednotlivé členy představují jednotlivá kritéria, která jsou uvedená výše
v textu:
 l 
 g l   p   
  

  (1)   2   
2 
 w  
 w     w     wl



4.2.7 Přehled nejrozšířenějších bezrozměrových kritérií
Reynoldsovo kritérium
Na základě Reynoldsova čísla se posuzuje charakter proudění tekutin. Toto kritérium,
které vyjadřuje poměr sil setrvačných a vazkých, má zásadní význam při výpočtech proudění
tekutin (tření v potrubích a armaturních prvcích, míchání atd.). Jak vyplývá z definice, lze
kritérium Re stanovit dle rovnice:
Re 
wl  


wl

Hodnota Re rozděluje proudění tekutin na laminární a turbulentní, přičemž nízké
hodnoty Re identifikují laminární proudění tekutiny. Kritická hodnota Re kritéria (Rek), při
kterém dochází k přechodu laminárního proudění na turbulentní je závislá na tvaru prostředí,
ve kterém proudění probíhá a rovněž na charakteristickém rozměru l.
Froudeho kritérium
Toto kritérium vyjadřuje poměr setrvačných a tíhových sil. Zajišťuje přibližnou
dynamickou podobnost proudění, v nichž dominují setrvačné a gravitační síly. Froudeho
kritérium je definováno vztahem:
Fr 
w2
g l
Eulerovo kritérium
Eulerovo kritérium vyjadřuje podíl charakteristické hodnoty síly tlakové a síly
setrvačné (toku hybnosti prouděním), tj. poměr toků hybnosti tlakovými silami a
makroskopickým prouděním. Lze jej definovat vztahem:
Eu 
p
  w2
Hodnota tohoto kritéria je velmi často hledána, jelikož obsahuje hledanou veličinu
tlakové ztráty, a je v podstatě vyjadřována jako závislost na ostatních kritériích, např.:
53
Eu   (Re)
Eu   (Re; Fr )
Eu   (Re; Ma)
Strouhalovo kritérium (kritérium Homochronismu)
Toto kritérium je bráno jako ukazatel časově ustálené rychlosti pohybu elementu
systému. Kritérium homochronismu lze používat pro vyjádření bezrozměrového (relativního)
času pohybu daného elementu nebo pro vyjádření bezrozměrové (relativní) dráhy. Kritérium
Ho je definováno dle vztahu:
Ho 
w 
l
Stokesovo kritérium
Stokesovo kritérium lze definovat jako součin kritérií Eu a Re. V případě velmi
pomalého laminárního proudění jsou setrvačné síly jak v kritérii Re, tak i v Eu zanedbatelné
ve srovnání se silami vazkými i vyvolanými rozdílem tlaku a tím pádem i příslušná kritéria
Re a Eu ztrací smysl. V takovém případě je vhodné setrvačné síly eliminovat. Stokesovo
kritérium je definováno jako:
w  d 2   p  l
Stk 

 l
w 
Weberovo kritérium
Weberovým kritériem je definován poměr setrvačných sil a sil kapilárních, které jsou
vyvolané povrchovým napětím. Při modelování metalurgických systémů v praxi je
v některých případech nutno zajistit souběžné plnění tohoto kritéria a kritéria Fr. Weberovo
kritérium je definováno jako:
  w2  l
We 

Prandtlovo kritérium
Prandtlovo kritérium zahrnuje vlastnosti tekutiny, které jsou důležité při molekulárním
sdílení hybnosti a tepla. Lze jej vypočíst jako podíl kritéria Pécletova, které definuje vedení
tepla v mezní vrstvě, a Reynoldsova. Prandtlovo kritérium je definováno vztahem:
v l
Pe
 c p 
Pr 
 a  
Re v  l a


54
Nusseltovo kritérium
Nusseltovo kritérium definuje sdílení tepla konvekcí. V podstatě se jedná o
bezrozměrový součinitel přestupu tepla a jeho závislost na podmínkách sdílení tepla se
vyjadřuje jako funkce dalších kritérií:
Nu  C (Gr Pr) n
Kde C, n jsou konstanty; Gr - Grashofofo kritérium definující přirozenou konvekci
vazké tekutiny, Pr - Prandtlovo kritérium.
Intenzitu přestupu tepla pak vyjadřuje koeficient přestupu tepla , jehož velikost
závisí na vlastnostech média, rychlosti a charakteru proudění a geometrií obtékaného
povrchu. Hodnotu  lze určit pomocí Nusseltova kritéria:
Nu 
  LC

kde LC - je charakteristický rozměr (definován geometrií obtékaného tělesa)
55
Matematické modelování slévárenských procesů
4.3 Matematické modelování slévárenských procesů
Matematický model je tvořen abstraktním systémem matematických vztahů, které
popisují podstatné vlastnosti zkoumaného objektu, a tak poskytují srozumitelný popis všech
relevantních faktorů dané situace a umožňují odhalit podstatné vztahy mezi prvky
studovaného systému.
Pro matematický popis vlastností a chování objektu je nutné stanovit veličiny, které
vystihují, jak okolí ovlivňuje systémy (vstupy) a veličiny, kterými se systém projevuje vůči
svému okolí (výstupy). Matematický model pak vyjadřuje závislost výstupů na vstupech
popsanou matematickými vztahy. Tyto vztahy se stávají matematickým modelem teprve
tehdy, když jsou jednoznačně přiřazeny ke konkrétnímu procesu nebo jevu. Proces zjišťování
matematického popisu systému nazýváme identifikací systému. Při identifikaci se snažíme
model získat v takovém tvaru, v jakém bude použitelný v oblasti, ve které ho chceme
využívat.
Proces (systém), který chceme matematicky popsat, se řídí podle určitých fyzikálních,
fyzikálně-chemických a chemických zákonů, které mají své matematické vyjádření. Z tohoto
vyjádření zákonů při sestavování deterministických modelů vycházíme. Někdy takto můžeme
popsat všechny zadané podmínky a vztahy modelovaného procesu úplně a získat tak přesný
matematický model. Takový matematický model ale bývá tak složitý, že jeho řešení je
prakticky neproveditelné. Navíc většinou ani úplný popis získat nemůžeme, protože průběh
děje do potřebných podrobností neznáme. V praxi ale obvykle nepotřebujeme naprosto přesné
výsledky, stačí, když model vystihuje podstatné vlastnosti a chování procesu. Můžeme si tedy
dovolit některé méně podstatné vlivy a vztahy zanedbat nebo zjednodušit. Konečným
kritériem kvality a použitelnosti modelu je vždy jeho souhlas s realitou v souladu s účelem, ke
kterému byl vytvořen. Na Obr.22 jsou schematicky znázorněny jednotlivé fáze vytváření
deterministického modelu.
Obr.22. Postup vytváření matematického modelu
56
Při sestavování matematického modelu je nutná:

důkladná analýza systému a rozhodnutí o podstatnosti následujících prvků a
tím jejich zařazení do modelu nebo ne:
– specifikace dějů, které v procesu probíhají a určení jejich podstaty
– vymezení vlivů působících na proces a jeho průběh
– určení veličin popisujících proces
Tímto krokem se získává teoretický model, ten sice nepopisuje zcela přesně
skutečnost, ale jeho výhoda spočívá v jednoduchosti, přehlednosti a následně i ve snazším
řešení výsledných rovnic.
Na základě teoretického modelu následuje matematický popis procesu. Tento krok
zahrnuje výběr matematického popisu zákonitostí použitých v teoretickém modelu, vytvoření
modelových rovnic, tj. doplnění vybraných vztahů o zjednodušující předpoklady a potřebné
matematické úpravy a na závěr podmínek řešení (obvykle počáteční a okrajové podmínky pro
řešení diferenciálních rovnic). V této fázi se obvykle využívají matematické rovnic
vyjadřujících známé zákony a vztahy z fyziky, fyzikální chemie, chemie atd. Výsledkem
tohoto postupu je obecný matematický model procesu.
Třetí fází celého postupu je řešení modelu, to znamená vytvoření simulačního
programu, kdy se volí metoda řešení modelových rovnic, následuje jejich zpracování za
účelem nalezení vhodného algoritmu řešení. Čtvrtou fází je vytvoření tzv. simulačního
modelu. Jejím výsledkem je počítačový program vhodný pro používání v praxi. Tato fáze
zahrnuje následující kroky:

identifikace modelu, tj. nalezení neznámých hodnot parametrů modelu (např. porovnáním
získaných výsledků řešení s údaji z literatury, s experimentálními hodnotami apod.),

verifikace modelu, tj. řešení kontrolních úloh a analýza jejich výsledků za účelem ověření
správnosti modelu v celé předpokládané oblasti použití, posouzení přesnosti a vhodnosti
modelu pro daný účel.
Základem struktury matematického popisu procesů v metalurgii tekutých kovů je
výběr vhodného hydrodynamického modelu procesu. Dále následuje popis fyzikálních,
fyzikálně chemických, tepelných a dalších dějů daného procesu v podobě soustavy
diferenciálních rovnic, které obsahují i empirické rovnice. Výpočet těchto rovnic je většinou
realizován numerickými integracemi. Matematický model složitého systému je schopen
obsahovat až 105 proměnných a tomu odpovídající počet rovnic. U velmi složitých systémů
nelze vůbec sestavit odpovídající model anebo nelze sestavený model matematicky vyřešit.
Pro řešení matematického modelu lze použít dva způsoby řešení:

Analytické (explicitní) řešení spočívá v nalezení přesného řešení pomocí
analytických matematických metod (řešení soustav rovnic, řešení úlohy na
vázaný extrém atd.).

Numerické (přibližné) řešení se používá pří řešení modelů, u kterých nelze
problém řešit analyticky nebo v případech, kdy je analytické řešení obtížné a
57
složité. Při numerickém řešení je nutné uvažovat jeho numerickou stabilitu,
konvergenci a chybu, která řešením vznikne
Analytické modely jsou sestrojeny na základě popisu vnitřní struktury systému, tzn.
znalosti přírodních zákonitostí procesů a konstrukce zařízení, ve kterých dané děje probíhají.
Výhodou těchto modelů je jejich možnost aplikace na širší oblast použití. Nevýhoda je dosti
složité sestavování modelu, výpočtového programu a vysoké nároky na čas pro modelování.
Analytické modely jsou převážně používány pro menší a jednodušší systémy.
58
Matematické modelování slévárenských procesů – Analytické metody
4.3.1 Analytické metody
Analytické metody umožňují získat řešení dané úlohy ve tvaru matematického výrazu
pro hledanou proměnnou jako funkci prostorových souřadnic a času. Řešení musí odpovídat
určité rovnici a podmínkám jednoznačnosti. Ve většině technických úloh je obvykle nutno
zjednodušit matematický model procesu tak, aby úloha byla řešitelná. Správně určit stupeň
zjednodušení matematického modelu při zachování jeho věrohodnosti je stěžejním
problémem při používání analytických metod.
Mezi klasické analytické metody patří metoda separace proměnných, nazývaná také
Fourierovou metodou. Jinou skupinu analytických metod tvoří metody integrálních
transformací, založené na principu matematické transformace proměnných. Nejběžnější jsou
Laplaceova a Fourierova transformace. Pro metody integrálních transformací stejně jako pro
klasické analytické metody platí omezení jejich použití na lineární úlohy s okrajovými
podmínkami a jednodušší oblasti.
Obr.23. Obecný postup při matematickém modelování
Dalšími z užívaných metod jsou metody variační. Ty jsou na rozdíl od předchozích
vhodné i pro přibližné řešení nelineárních úloh. Jejich princip spočívá v tom, že se místo
řešení diferenciálního matematického modelu fyzikálního pole řeší variační úloha o extrému
některého funkcionálu v integrálním tvaru, charakterizující daný proces.
Obvykle jde o minimum funkcionálu energie. Z řady variačních metod patří k
nejznámějším Ritzova metoda. Další analytické metody převádějí úlohy s okrajovými
podmínkami na jiné typy rovnic a úloh, např. využitím Besselových funkcí apod.
59
Obr.24. Postup při modelování konkrétního případu
Pro řešení technických úloh mají analytické metody omezené použití. Přesné metody
slouží především pro kontrolní řešení obvykle jednorozměrných úloh s jednoduššími
okrajovými podmínkami, přibližné i pro složitější okrajové podmínky. Přibližné analytické
metody používají integrální transformace Laplaceovy a variačních metod. Řešení se dostává
ve tvaru poměrně jednoduché závislosti, například několika členů řady. Přesnost výsledků je
obvykle postačující.
4.3.2 Počáteční a okrajové podmínky
U modelů popsaných diferenciálními rovnicemi musíme popis doplnit příslušným
počtem okrajových a počátečních podmínek (podmínky jednoznačnosti). Pro každou
nezávisle proměnnou potřebujeme tolik vzájemně nezávislých podmínek, jaký je nejvyšší v
rovnicích se vyskytující řád derivace podle této proměnné.
Formulace počátečních a okrajových podmínek je nedílnou součástí vytváření
matematického modelu. Některé podmínky vyplývají zcela jednoduše ze zadání úlohy (např.
na počátku je teplota ve všech bodech stejná a rovná určité hodnotě), jiné musíme odvodit
stejnými postupy jako matematický model (např. na základě bilance). Jako kontrola
správnosti jejich odvození nám může sloužit skutečnost, že obecně co do matematického
tvaru existuje jen několik druhů podmínek, a tedy v konkrétním případě musíme dosáhnout
shody s jedním z nich.
Pro popis obecného matematického tvaru druhů počátečních a okrajových podmínek
použijeme následující označení veličin:
u – závisle proměnná; t – teplota; tp – teplota na povrchu tělesa
 – čas,
x, y, z – souřadnice,
f – funkční předpis, jehož tvar je znám a hodnota funkce lze kdykoliv vypočíst.
60
Pro přehlednost budou zde uvedeny příklady podmínek jednoznačnosti pro vedení
tepla
Počáteční podmínka je obvykle jedna a definuje situaci na počátku řešení. Obecně ji
lze zapsat ve tvaru
pro  = 0:
u = f (x,y,z)
Pro vedení tepla: pro  = o = 0
t = f(x, y, z)
jinými slovy na počátku procesu, tzn. v čase t0 je závisle proměnná u známou funkcí
souřadnic x, y, z.
Okrajové podmínky se vyskytují v případech, kde jako nezávisle proměnné vystupují
souřadnice. Rozeznáváme tři základní typy okrajových podmínek :
a)
okrajová podmínka 1.druhu (Dirichletova):
pro x = x0 :
u = f (x,y,z,)
Pro vedení tepla: tp = f(x, y, z, )
tj. hodnota závisle proměnné v místě x0 je známou funkcí ostatních souřadnic a času.
b)
okrajová podmínka 2.druhu (Neumannova) :
 u 
 f ( y , z , )
 
 x  x  x0
pro x = x0 :
Pro vedení tepla:
se definuje rozložení hustoty tepelného toku q na povrchu tělesa jako funkci souřadnic
a času
 t 
q = - gradt = -   
 n  p
q = f(x,y,z,), tudíž
1. Fourierův zákon
kde n je normála k povrchu tělesa
čili hodnota derivace závisle proměnné podle jedné souřadnice (např. podle x v bodě
x0) je známou funkcí ostatních souřadnic a času. Často se setkáváme s okrajovou podmínkou
2. druhu ve tvaru
pro x = x0 :
u
0
n
tj. derivace závisle proměnné podle normály k nějaké ploše je nulová.
c)
okrajová podmínka 3.druhu (Newtonova) :
pro x = x0 :
 u 
a  u ( x0 , y, z, )  b 
 f  y , z , 
 x  x  x0
61
Pro vedení tepla se používá tehdy, je-li zadaná teplota okolního prostředí tok a
součinitel přestupu tepla do okolí c: pak platí:
 t 
q   c t p  tok     
 n  p
tj. hodnota lineární kombinace hodnoty závisle proměnné u v bodě x0 a její derivace
podle x v místě x0 je známou funkcí ostatních souřadnic a času; konstanty a, b jsou
koeficienty lineární kombinace
62
Numerické metody
4.3.3 Numerické metody
Při technických výpočtech je nutná znalost nejen počátečních a okrajových podmínek,
ale také znalost materiálových charakteristik všech materiálů řešené soustavy. V mnoha
článcích o matematickém modelování ve slévárenství můžeme nalézt větu, že znalost
termofyzikálních dat je alfou i omegou přesnosti obdržených výsledků. A zcela bezpochyby
tedy platí – jak přesná vstupní data použijeme, tak přesný můžeme očekávat výsledek. Mezi
základní vstupní materiálová data patří viskozita, tepelná vodivost, entalpie, hustota a podíl
tuhé fáze.
Při výpočtech napětí a deformací k nim navíc přistupují znalosti modulů pružnosti,
teplotních roztažností a další. Je nutné podotknout, že tato data jsou pro výpočet užitečná
pouze v případě, jsou-li funkcí teploty.
Data lze získat:

z materiálové databáze simulačního programu

z odborné literatury, kde jsou však uváděna především pro čisté prvky, nebo
pro základní druhy materiálu a většinou pouze pro pokojové teploty

přímým experimentálním měřením (finančně náročné)

inverzním modelováním (kombinace experimentu a numerických výpočtů).
Jejich podstata spočívá v diskretizaci proměnných, a proto mají právě značný
potenciál uplatnění v počítačovém modelování. Je pro ně charakteristická opakovatelnost
jednoduchých algebraických operací určitého typu, což odpovídá operačním vlastnostem
číslicových počítačů. Numerické metody umožňují získat řešení úloh v konečném počtu
diskrétních míst (uzlů) zvolené diferenční sítě nebo sítě konečných prvků, a to v celé oblasti
či v její povrchové části.
Numerické metody se rozdělují:

metody konečných diferencí (Finite Difference Method - FDM)

metody konečných objemů (Finite Volume Method - FVM)

metody konečných prvků (Finite Element Method - FEM)

metody okrajových (hraničních) prvků (Boundary Element Method – BEM)
V simulačních programech slévárenských procesů se nejčastěji vyskytují výpočtové
moduly používající metodu konečných diferencí a metodu konečných prvků. Z toho důvodu
se zaměříme pouze na krátký popis pouze těchto dvou zmíněných metod.
Metoda konečných diferencí (FDM)
Metoda sítí se stává jednou z nejužívanějších přibližných metod numerického řešení
parciálních rovnic. Je jednoduchá, universální a dá se užít k velmi rozmanitým typům
hraničních úloh včetně nelineárních. Velká část nejdůležitějších technických problémů
vedoucích k parciálním diferenciálním rovnicím se proto řeší touto metodou.
63
Numerické metody
Podstata metody konečných diferencí, kterou někdy také nazýváme metodou sítí,
spočívá v aproximaci základní diferenciální rovnice s příslušnými okrajovými podmínkami
odpovídající rovnici diferenční, jež má tvar soustavy algebraických rovnic. To znamená, že se
parciální derivace v diferenciálních rovnicích popisujících chování modelu nahrazují
diferencemi, tj. lineárními kombinacemi funkčních hodnot hledané funkce v okolních bodech:
f ´(a)  lim
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
f´(a) - derivace funkční hodnoty v bodě a, f(a) - funkční hodnota v bodě a, h - délka kroku
Krok h bývá často nahrazován časovou změnou, Tomuto tvaru se říká dopředná
diference. Funkční hodnotu derivace lze vyjádřit jako:
f ´(a) 
f ( a  h)  f ( a ) R ( a )

h
h
kde R(a) určuje chybu měření, kterou do výpočtu nezahrnujeme. Tuto nerovnost
označujeme jako chybu diskreditační. Celková nepřesnost výpočtu je pak součtem právě této
odchylky a zaokrouhlovací chyby.
Aproximace je tím dokonalejší, čím přesnějšími výrazy nahrazuje derivace. Zmíněná
diferenční aproximace se nazývá „explicitní diferenční schéma“. Náhrada se provádí
v diskrétních místech tvořenými uzly sítě pokrývající zkoumanou oblast. Konečným
výsledkem algebraických operací je určení hledané hodnoty v daném uzlu.
Odvození příkladu řešení provedeme na obecné úloze ve dvou prostorových
dimenzích:
u
 2u  2u
 u  f x, y, t   2  2  f x, y, t 
t
x
y
kde
t  0, T ,
x, y    a, bxa, b)
a pro
Počáteční podmínku (v podstavě)
ux, y,0  g x, y  , x, y  
Okrajové podmínky (v bočních stěnách)
u x, y, t    x, y, t  , t  0, T 
x, y 
na hranici 
se odvodí síťové rovnice, kde: N, r - jsou přirozená čísla, h = (b-a)/N;  
64
T
r
Numerické metody
V oblasti pak uvažujeme síť tvořenou uzly (xi, yj, tk)
xi  a  ih, i  0,..., N
y j  a  jh, j  0,..., N
tk  k , k  0,..., r
Pro pevné k budeme množinu bodů (xi, zj, tk ) nazývat k - tou časovou vrstvou
Derivací podle času t nahradíme dopřednou diferenci
ui , j
k 1) 
 ui , j
k 

Kde ui , j
(k )
je přibližné řešení úlohy v uzlu (xi, zj, tk )
Derivací podle proměnných x a y pak nahradíme následovně:
k 
k 
k 
k 
k 
Derivaci podle x pomocí hodnot
ui 1, j , ui , j , ui 1, j
Derivaci podle y pomocí hodnot
ui , j 1 , ui , j , ui , j 1
k 
Na k-té časově vrstvě pak platí:
A následné derivace nabývají tvaru:
u ui , j

x
k 
k 
ui 1, j  ui , j
 2u

2
 x
h2


 ui 1, j
k 
u ui , j

y
h
k 

ui , j
k 
1
k 
k 
k 
ui 1, j  2ui , j  ui 1, j
2
h
 ui 1, j
h2

k 

k 
k 
 ui , j 1
h
k 
k 
k 
k 
ui , j 1  ui , j
ui , j  ui , j 1
 2u



2
2
2

y
h
h
65


1
k 
k 
k 
ui , j 1  2ui , j  ui , j 1
2
h

Numerické metody
Celkem lze tedy rovnici přepsat pomocí diferencí takto:

 2u  2u 1
k 
k 
k 
k 
k 


ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  4ui , j
x 2 y 2 h 2

Obr.25. Vizualizace explicitní metody
Z hodnot na k-té časové vrstvě se počítá nová hodnota ui,j na (k+1)-ní vrstvě. Tento
způsob se nazývá explicitní metoda, pomocí které dostáváme přímo rekurentní vztah a není
potřeba řešit soustavu rovnic. Pokud chceme získat konvergentní a numericky stabilní
metodu, používá se implicitní metoda, která využívá zpětnou diferenci a zároveň diferenci
druhého řádu.
Při náhradě derivace podle času t dopřednou diferencí, analogické derivaci podle
proměnných x a y a náhradě pomocí hodnot na (k+1) časové vrstvě:
ui 1, j
k 1
, ui , j
k 1
, ui 1, j
k 1
k 1
ui , j 1
, ui , j
k 1
k 1
, ui , j 1
se získá analogický vztah
ui , j
k 1
 ui , j

k 



1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
ui 1, j
 ui 1, j
 ui , j 1
 ui , j 1
 4ui , j
 fi
2
h
Tím se získá soustava rovnic (implicitní metoda). Tato metoda je početně náročnější.
Tento nedostatek lze kompenzovat využitím velkých časových kroků.
Obr.26. Vizualizace implicitní metody
66
Numerické metody
Kombinaci implicitní a explicitní metody (lineární kombinace) představuje CrankNicolsonova metoda, která využívá diferenci v čase n+1/2 a opět centrální diferenci druhého
řádu. Tato metoda je vždy konvergentní a numericky stabilní. Vellikost odchylky roste
v závislosti na vzdálenosti bodu od okraje, a proto je nutné použít časově jemnou mřížku.
Obr.27. Crank - Nicolsonova metoda
Výsledný tvar řešení modelové rovnice nabývá tvaru:
ui , j
 k 1
 ui , j



k 


h
2
u
k 1
i 1, j
 ui 1, j
 k 1
 k 1
 ui , j 1
 k 1
 ui , j 1
 4ui , j
 k 1


1 
k 
k 
k 
k 
k 
 k 1
k 
ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  4ui , j  f i , j
 1    f i , j
2
h
Obecný postup metody FDM pak probíhá v následujících krocích:
Výběr vhodné množiny uzlů (výběr sítě) - metoda konečných diferencí se používá
pouze pro uzavřené oblasti, se známými okrajovými podmínkami na hranicích oblasti.
Vytvoření hustší sítě představuje přesnější výpočet, ovšem zabírá více paměti v
počítači a výpočet je delší. Můžeme také zvolit proměnlivou hustotu sítě. Tam kde, se
hodnota sledované funkce více mění, nadefinujeme hustší síť a na zbytek geometrie zvolíme
síť méně jemnou.

Obr.28. Příklad sítí s různými uzly
67
Numerické metody
Aproximace diferenciálního operátoru diferenčním
Představuje již zmíněnou záměnu diferenciální rovnice za diferenční. Následné řešení
je vypočítáváno pouze v uzlech definované sítě.

Sestavení soustavy rovnic (okrajové podmínky)
Dále se tyto rovnice sestavují do výpočtové matice a přidělují se jednotlivým uzlům
souřadnice.

Řešení soustavy rovnic
Při řešení rovnic používáme Gaussovu eliminaci, vlastní čísla-vektory či iterační
metody.

Metody konečných diferencí lze podle druhu zvoleného diferenčního výrazu rozdělit
na explicitní, implicitní a kombinované, přičemž mohou být realizovány jako jednovrstvé,
vícevrstvé nebo vícenásobné.
Snaha zmenšit rozsah výpočetních operací při řešení různě složitých a vicerozměrových úloh vede k vytváření stále ekonomičtějších diferenčních výrazů, vhodných pro
výkonné číslicové počítače. K základním charakteristickým vlastnostem při vzájemném
posuzování metod patří konvergence, přesnost a stabilita řešení.
Používané sítě můžeme rozdělit na čtvercové, obdélníkové a to pravidelné či
nepravidelné a speciální jako např. šestiúhelníkové, polární apod. Dnes prakticky
nejpoužívanější druhy jsou pravoúhlé sítě. Nepravidelné se používají k usnadnění formulace
okrajových podmínek a k zhušťování, resp. zřeďování sítě, protože přesnost aproximace
závisí na hustotě sítě. Při zahušťování však roste numerická pracnost výpočtu a je proto
výhodné zhušťovat síť jen v těch místech, kde nás zajímá zvýšená přesnost.
Výhodou metod FDM je jednoduchost při programování a numerické realizaci a
relativní jednoduchost v nelineárních matematických modelech. Naproti nevýhodu je problém
s aproximací okrajových podmínek na jednotlivých částech hranic, které nejsou vhodně
použitelné na rozdílné husté sítě, a dále zhoršení přesnosti aproximovaného řešení pro síť s
různým odstupem uzlů.
Obr.29. Síť generovaná metodou FDM
68
Numerické metody
Z uvedeného je vidět, že metoda sítí je v podstatě použitelná pro libovolný typ
parciální diferenciální rovnice. U některých typů úloh je však často nutné omezit se na
speciální tvar sítě, kde časové dělení je závislé na prostorovém dělení.
Metoda konečných prvků (FEM)
Metoda konečných prvků patří mezi variační metody. Tyto metody vznikly na základě
objevu Dirichletova principu řešení diferenciálních rovnic. Základem těchto metod je výběr
řešení problému z celé třídy možných řešení. Při variačních metodách hledáme řešení dané
úlohy pomocí pokusného řešení. Spojitá oblast se rozdělí na konečné prvky vhodného tvaru,
vzájemně spolu vázané v uzlech.
Spojitost funkcionálu i rozložení hodnot v prvcích je provázena nespojitostí na jejich
hranicích. Proto je vhodné použít k určení hledané závislosti integrálního funkcionálu. Je
představován integrálem po celé oblasti a části hranice, na níž nejsou známy příslušné funkce
teploty nebo jejich derivací Postupujeme tak, že daný funkcionál vyjádříme jako funkci
předpokládaného pokusného řešení. Ze všech možných řešení, splňující okrajové podmínky,
pak vybereme to, které činí daný funkcionál stabilní - zajistí jeho minimum.
Máme-li parciální diferenciální rovnici:
  2u    2 u 
 2    2   0
 x  y
Která je definovaná v omezené oblasti G se známou okrajovou podmínkou na hranici
 ve tvaru: u=g(s)
lze sestavit následující Dirichletův integrál:
2
 u   u 
I u         dxdy
x   y 
G
2
Nalezením funkce, která minimalizuje tento funkcionál, je nalezeno řešení dané
diferenciální rovnice
Je-li dán funkcionál například ve tvaru:
x2
   F ( x, y, y´, y´´)dx
x1
definovaný v uzavřeném intervalu <x1,x2> s předepsanými funkčními hodnotami
v krajních bodech: y = y1 a y = y2, potom funkce y na obr. 30 představuje přesné řešení úlohy.
Variační metoda hledá k němu blízké řešení. Dvě takováto řešení jsou na obrázku označená


jako y1 a y2 . Jakékoliv takové pokusné řešení lze vyjádřit pomocí funkce popisující přesné
řešení a její variace y. Potom platí rovnost:

y  y  y
69
Numerické metody
Variace funkce y = y(x) je potom definována jako libovolná nekonečná malá změna
funkce pro danou hodnotu nezávisle proměnné x.
Obr.30. Variační metoda řešení hodnoty funkce
Metoda konečný prvků spočívá pak v tom, že se těleso rozdělí na tzv. konečné prvky.
Konečným prvkem, který je základem této metody, rozumíme zvolený element (objemu,
plochy, délky) definovaný uzly v rozích, popř. i na hranách. Takto převedeme indiskrétní
těleso na těleso diskrétní, složené z prvků, které jsou navzájem spojeny v uzlech v konečném počtu bodů.
Řešení diferenciální rovnice se na elementárních oblastech aproximuje jednoduchými
funkcemi – lineárními či kvadratickými polynomy. Výchozí parciální diferenciální rovnice se
převádí na soustavu lineárních algebraických rovnic pro hledané hodnoty potenciálu v
uzlových bodech.
Obecný postup metody FEM lze rozdělit do následující kroků:

Diskretizace analyzované oblasti
Rozdělení analyzované oblasti na podoblasti (konečné prvky – elementy), které mají
vlastnosti:



vzájemně se nepřekrývají
jejich sjednocení zahrnuje celou analyzovanou oblast
v každém prvku sítě konstantní parametry analyzované struktur
Mohou mít tvar:
o úsečky (1D)
o trojúhelníky (2D)
o obdélníky (2D)
o čtyřstěny ( 3D)
70
Numerické metody
Nejjednodušším prvkem pro rovinné úlohy je trojúhelníkový prvek se třemi uzlovými
body, který hledanou funkci aproximuje lineárním polynomem s parametry a1, a2, a3 ve tvaru:
u  a1  a2 x  a3 y
Aproximace hledané funkce
Fyzikální vlastnosti tělesa, posunutí, napětí, teplota atd. lze nahradit funkcí
prostorových souřadnic. Tato funkce se nazývá aproximační funkcí nebo také funkcí tvaru.

Sestavení maticové rovnice
 Vyřešení maticové rovnice (pomocí inverzní matice, Gaussovou eliminací)
Použití metody FEM (metody konečných prvků) umožňuje řešit obrovské soustavy až
o miliónech rovnic a milionech neznámých na počítačích s paralelní architekturou.

Obr.31. Síť generovaná metodou FEM
Porovnání metod FDM a FEM
Odpověď na otázku, která z uvedených metod je výhodnější, není jednoznačná.
Obecně platí, že FDM umožňuje snadnou diskretizaci, což představuje menší nároky na
hardware počítače i kratší dobu výpočtu. Na druhou stranu proložení sítě geometrickým
modelem deformuje oblé či skosené části modelu (zejména při větších roztečích jednotlivých
bodů sítě), což se projeví v přesnosti výpočtu, pokud se neprovede lokální korekce. Některé
metody řešení mají zabudován algoritmus, který automaticky během výpočtu provádí opravu
objemu a ploch elementů v závislosti na skutečné geometrii a použitých materiálech modelu.
Výhoda metody FEM spočívá v tom, že lépe kopíruje geometrický tvar povrchu
modelu, umožňuje lokální zahuštění, tj. navolení větší hustoty sítě v určitých problémových
místech. Na rozdíl od FDM lze řešit i deformace odlitku při vzájemné interakci s formou,
neboť zavedení nelinearit typu velké deformace a kontaktní podmínky (teplotní i deformační)
je u FEM poměrně jednoduché. Nevýhodou pak jsou větší nároky na hardware počítače a
delší doba výpočtu. Obě metody se ale dají i kombinovat. Například vlastní proces lití tj.
výpočty proudění a přenosu tepla řešit FDM s následným řešením pevnostní a deformační
problematiky pomocí FEM. Je však nutný přenos hodnot z uzlů sítě FDM do uzlů sítě FEM.
71
Numerické metody

Fyzikálního modelování

Matematické modelování

Podobnost

Geometrická, kinematická a dynamická podobnost

Kritéria podobnosti

Analytické řešení

Numerické řešení

Podmínky jednoznačnosti

Metoda konečných diferencí (Finite Difference Method - FDM)

Metoda konečných prvků (Finite Element Method - FEM)
1. Co lze řešit pomocí modelování na příslušném průmyslovém zařízení?:
2. Jak dělíme modelování procesů?
3. Jaké jsou hlavní rozdíly mezi fyzikálním a matematickým modelováním?
4. Co je to geometrická podobnost?
5. Co je to kinematická podobnost?
6. Jaká další podobnosti mezi modelem a modelovaným systémem musí být splněna, aby
platila kinematická podobnost?
7. Co je to dynamická podobnost?
8. Jaká další podobnost mezi modelem a modelovaným systémem se předpokládají, aby
platila dynamická podobnost?
9. Které základní rovnice jsou řešeny při fyzikálním modelování slévárenských procesů?
10. Co je to bezrozměrový parametr (kritérium podobnosti)?
11. Co říká I. Věta podobnosti?
12. Co je to základní rovnice?
13. Co říká II. Věta podobnosti?
14. Co má klíčový význam v modelu pro výpočet přenosu tepla během slévárenského
procesu?
15. Jaké způsoby řešení matematického modelu lze použít, jaké jsou mezi nimi rozdíly?
16. Co jsou to podmínky jednoznačnosti?
17. Kolik druhů okrajových podmínek známe a jaké?
72
Numerické metody
18. Jaké numerické metody se nejčastěji používají pro simulaci slévárenských prvků?
19. Co se rozumí pojmem diskretizace analyzované oblasti?
KŘIVÝ, I., KINDLER, E.: Simulace a modelování, Studijní opora. Ostravská univerzita,
2001,
S.G.E., 2001, 264 p. ISBN 88-86281-63-3
VAŽAN, P., SCHREIBER, P., TANUŠKA, P., The opportunities and problems of simulation
optimization, In Proceedings of 40th Spring International Conference Modelling and
Simulation od Systems, Ostrava, 2006, ISBN 80-86840-21-2, s. 59-65.
RÁBOVÁ, Z. et.al. Modelování a simulace, VUT Brno, 1992
PELÁNEK, R. Modelování a simulace komplexních systémů, MuniPress, Brno 2011, 233s.
ISBN978-80-210-5318-2
NOSKIEVIČ, P. Modelování a identifikace systémů, Montanex Ostrava1999,276 s. , ISBN807225-030-2
S.G.E., 2001, 264 p. ISBN 88-86281-63-3
HERMAN, A., et.al.: Počítačové simulace ve slévárenství, ČVUT, Praha, 2000, ISBN 80-0102220-X.
VLADÍK, R.: Simulace proudění kovu ve slévárenské formě z hlediska jeho reoxidace
RÉDR, M, PŘÍHODA, M.: Základy tepelné techniky, Praha SNTL, 1991
PŘÍHODA, M., RÉDR, M.: Sdílení tepla a proudění, Ostrava1998, 180s.
TRBIŽAN, M., et. al.: Casting Simulation – Background and Examples from Europe and
USA. World Foundrymen organization, Lubljana, ISBN 961 –90130-2-6, 2001,
CHARVÁT, O.: Novinky v oblasti numerické simulace slévárenských procesů: FOND-EX
2008, Slévárenství, 5-6, 2008, s. 257 – 260
MICHÁLEK, K.: Využití fyzikálního a numerického modelování pro optimalizace
metalurgických procesů, Ostrava, VŠB TU Ostrava, 2001, ISBN 80-7078-861-5.
BURBELKO, A., KAPTURKIEWICZ, W.: Methods of Casting Solidification Modelling, XI
Miedzynarodowa konferencja odlewnikow Polskich, Czeskich i Slowackich, In Spolupráca,
Zakopane, 2005
73
Numerické metody
PASTIRCAK, R., SLADEK, A.: Zlievarenske procesy a pocitacova simulacia, Materialove
Inžinierstvo, č. 3, 2003, s. 119-123.
KOSOUR, V., HORÁČEK, M.: Simulation of foundry processes, In Proceedings of 10th
International Foundrymen Conference, Univerzity of Zagreb, Chorvatsko, 2010, s. 50-58,
ISBN 978-953-7082-11-6.
KOZUBKOVÁ, M.: Modelování proudění tekutin FLUENT, CFX, Ostrava, VŠB-TU
Ostrava, 2003, ISBN 978-80-248-1913-6.
DRÁBKOVÁ, S. a kol.: Mechanika tekutin, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 2007. 248 s. ISBN
978-80-248-1508-4.
FELCMAN, J.: Matematické metody v mechanice tekutin, Praha, KNM Press, 2006 95s.
FOŘT, J.: Numerická simulace proudění, Praha, ČVUT, 2005, ISBN 80-01-03162-4
CWUDZINSKI, A.: Numerical simulation of liquid steel flow and behaviour of non-metalic
inclusion in one-strand slab tundish with subflux turbulence controller and gas permeable
barrier, Ironmaking & Steelmaking, vol. 37, č.3, 2010, s. 169-180.
PLACHÝ, J., NĚMEC, M., BEDNÁŘ, B.: Teorie slévání, Praha, ČVUT, 2002, ISBN 80-0102471-7.
HAVLÍČEK, F.: Teorie Slévárenství, Ostrava, VŠB-TU, 1992, 130 s
RUSÍN, K.: Teorie Slévárenských procesů, Praha, SNTL, 1987, 224 s.
NOVÁ, I.: Teorie slévání Díl 1., Liberec, Technická univerzita, 2006, ISBN 80-7372-149-X.
BARKHUDAROV, M. R.: Advanced Simulation of the Flow and Heat Transfer Processes in
Simultaneous Engineering, Flow Science, Inc. technical note #42, FSI-95-TN42, 1995
MOLNAR, D., KAROLY, B., JENO, D., Investigation and simulation of residual stress at
cast iron castings, Sborník mezinárodní konference - Výzkum a vývoj ve slévárenství, Ostrava,
VŠB-TU Ostrava, 2005, ISBN 80-248-0899-4, s. 16-22
DITTEL, D., FOJTÍK, P., VELIČKA, M.: Numerické simulování tepelných procesů při plynulém
odlévání oceli, In sborník – XXIX. Setkání kateder mechaniky tekutin a termomechaniky, Ostrava,
VŠB-TU Ostrava, 2010, s. 33-36, ISBN 978-80-248-2244-0.
ŠPANIEL, M., HORÁK, Z.: Úvod do metody konečných prvků, Praha, ČVUT, 2011, ISBN 97880-01-04665-4.
74
Numerické simulování
5
5.1 Architektura simulačních programů
Čas ke studiu: 2 hodiny
 definovat závislosti dynamiky procesu přenosu tepla
 definovat jednotlivé kroky simulačního výpočtu
 popsat architekturu simulačních programů...
Výklad
Numerická simulace slévárenských procesů si v posledních letech vybojovala pevné
místo mezi nástroji používanými pro optimalizaci navrhovaných technologií výroby odlitků.
Ačkoli vlastní zkušenosti technologa jsou stále nezastupitelné, simulační software může být v
jeho rukách mocným nástrojem, který mu umožní optimalizovat procesy, zvýšit využití kovu
či snížit procento neshodných výrobků a tím zefektivnit výrobu. Cílem matematického
modelování je doladění navrhované technologie ve fázi přípravy výroby tak, abychom se
vyhnuli nákladnému experimentálnímu zkoušení.
Všechny dostupné simulační programy se na první pohled liší grafickou úpravou
uživatelského prostředí, ale jejich architektura si je navzájem velmi podobná a nezáleží na
operačním systému, pod nímž pracují (Obr 32.)
75
Obr.32. Hlavní etapy simulačních výpočtů
Krystalizace odlitků ve formách je řízena způsobem přenosu tepla v systému odlitek –
forma – okolní prostředí. Z odlitého kovu je v průběhu tuhnutí nutno odvést teplo přehřátí
z tekutého kovu a krystalizační teplo, přičemž platí:
Qkovu  Q formy  Qokolí
Dynamika procesu přenosu tepla je závislá na:

Geometrickém uspořádání a hmotnostech jednotlivých komponent mkovu; mforma

Způsob plnění formy tekutým kovem

Počátečních teplotách všech prvků systému a jejich prostorovém rozložení

Intervalu krystalizace TL a TS a krystalizačním teplu kovu Qkrystal.

Součiniteli vedení tepla kov;forma

Měrné tepelné kapacitě ckov;cforma

hustotách kov;forma

Podmínkách přenosu tepla z kovu do formy definovaných součinitelem přestupu tepla
k-f
76

Podmínkách ochlazování na vnějším povrchu formy většinou vyjádřené teplotou
okolního média a TOK a součinitelem přestupu tepla do f-ok
Z tohoto důvodu před samotnými operacemi simulačních výpočtů obvykle bývá
předřazena databáze kovových a formovacích materiálů. Základem správných a v praxi
použitelných výsledků simulací je znalost tepelně-fyzikálních vlastností konkrétních
materiálů formy a odlitku. Použití neodpovídajících hodnot potřebných veličin bývá nejčastěji
příčinou rozdílů mezi výsledky získaných simulací a experimentálním měřením při
srovnatelných podmínkách.
Pokud databáze neobsahuje skutečně používaný materiál pro konkrétní případ pak se
musí doplnit, např. experimentálně, a doladit na dané podmínky.
Základní tepelné vlastnosti α, c, λ, ρ aj. by měly být definovány v závislosti na teplotě.
Obr.33. Hlavní etapy simulačních výpočtů
5.1.1 Preprocessing
Tento krok představuje vytvoření geometrických dat odlitku. Geometrická data se
vnášejí do programu dvěma způsoby. Buď jsou data přenášena z externích CAD systémů
v různých exportních formátech (.stl, .ogs, .dxf, .iges, aj.), nebo je vytvoření kompletní
geometrie odlitku v rámci simulačního programu Geometrické funkce sí’tového generátoru,
který pomáhá CAD systému zpracovávat konstrukci pro prostorovou simulaci tuhnutí
příslušného odlitku.
V některých simulačních programech je nutné geometrii vytvořenou v CAD aplikaci
převést v generátoru FEM, a teprve poté tento formát načíst v simulačním software. Jedná se
hlavně o nadefinování ploch, kontrolu vygenerované sítě a její opravu. Někdy v tomto CAD
programu musíme dodefinovat tvar formy s její návazností na vygenerovanou síť odlitku
77
Obr.34. Model odlitku importovaný do simulačního programu Pam-QuikCAST
Dále se v tomto kroku přiřazují materiály jednotlivým položkám (kov, forma, jádro,
chladítka, obklady nálitků, filtry a další). Preprocesor také slouží k definování velikosti formy
a poloze odlitku v ní, k zadání materiálů odlévaného kovu včetně licí teploty z databáze,
materiálu formy případně jádra a jejich výchozí teploty apod. Zkoumaná oblast se rozdělí na
podoblasti, v kterých potom probíhá vlastní výpočet. S jemností dělení souvisí přesnost
výpočtu, ale taky doba výpočtu a nároky na hardware počítače (operační paměť) a stanoví se
po jakých krocích a jaká data se mají ukládat na disk.
Nadefinují se okrajové a počáteční podmínky (teploty, rychlosti, tlaky atd.) a probíhá
zde potřebné rozšiřování povrchu /objemu tělesa pro některou z metod diskretizace řešení
(FDM, FEM aj.).
Nastavení okrajových a počátečních podmínek je pro správnou simulaci to
nejdůležitější. Vždy vycházíme ze stanoveného technologického postupu a dodržíme zde
všechny parametry, které jsou v postupu vyjmenovány. Těmito parametry může být myšlena
licí teplota, teplota formy, licí výška, správné nadefinování podmínek přestupu a odvodu
tepla, nadefinování tloušťky formy, prodyšnost formy, drsnost povrchu (průměrná tloušťka
ostřiva) a další. Zde záleží na typu simulačního software.
Některý software má velice jednoduché zadání počátečních podmínek (toto může být
pouze nadefinování odvodu tepla pouze na vnější stěny formy) a jiný velice komplikované
(mohu si ve fázi přípravě geometrie nadefinovat x ploch a na každou plochu mohu zadat
několik počátečních a okrajových podmínek - někdy i časově proměnných). Následným
důležitým krokem je nastavení bodu, plochy, kde vstupuje kov do vtokové soustavy, a
přiřazení počátečních podmínek určitému objemu. Pro zjištění průběhu teplot v jednotlivých
částech odlitku a formy můžeme nadefinovat umístění „pomyslných“ termočlánků.
5.1.2 Mainprocessing
Tento krok představuje hlavní krok celého simulačního výpočtu. Jedná se o vlastní
výpočtový modul, který po zvolených krocích ukládá zvolená data numerického řešení
definovaného simulačního modelu na disk. Program vypočte změny teplot během
simulovaného slévárenského procesu, popřípadě se provede analýza napětí nebo
mikrostruktury.
78
5.1.3 Postprocessing
Slouží k vyvolání vypočtených datových souborů, k jejich prohlížení, vizualizaci a
studiu vypočtených a uložených datových souborů. Sledujeme a analyzujeme na nich
rychlostní, teplotní a tlaková pole během plnění dutiny formy, postup tuhnutí odlitku, tvorbu
staženin, lze zde získat dobu tuhnutí a u vyspělejších SW lze pozorovat vnitřní pnutí (tahová a
tlaková napětí), zbytkové deformace a predikovat strukturu a mikrostrukturu odlitku.

Architektura simulačního programu

Preprocessing

Mainprocessing

Postprocessing
ČECH, J., et.al.: Výroba odlitků s použitím počítačových simulaci a programů ve firmě
ŽĎAS a.s., Slévárenství, č. 10, 2004, s. 405-407.
KOVAŘÍK J., et.al.: Optimalizace technologie pomocí programu ProCast., Slévárenství, č.
10, 2004, s. 414-417.
HERMAN, A., et. al.: Počítačové simulace ve slévárenství, Vydavatelství ČVUT, Praha,
2000, ISBN 80-01-02220-X.
WARIJA, U., BROWNE M., BROWNE D., J.: As-cast grain size distribution prediction for
grain refined castings via simulating free equiaxed dendrite transport during solidification,
International Foundry Research, 63, 2011, č. 1, s. 28-32
ČECH, J., et. al.: Predikce pórovitosti a mikrostruktury u tlakově litého odlitku z Al slitiny
pomocí simulace a experimentu, Slévárenství, č. 3-4, 2010, s. 83 - 89.
KOTAS, P., TIEDJE, N., S.: Ověření přesnosti numerické simulace pro gravitační lití do
pískových forem, Slévárenství, č. 7-8, 2009, s. 259 - 262.
VLADÍK, R.: Simulace proudění kovu ve slévárenské formě z hlediska jeho reoxidace
79
Metody lití - gravitační lití
Využití simulačních programů pro různé metody lití
6
6.1 Gravitační lití
 definovat základní princip metody gravitačního lití
 definovat oblasti, které se při simulacích gravitačního lití převážně
sledují
Výklad
Technologie výroby odlitků metodou gravitačního lití patří mezi základní technologie
výroby odlitků. Forma je plněna vlivem vlastní tíhy roztaveného kovu. Gravitační způsob
odlévání lze rozdělit na dva způsoby.
Prvním způsobem je gravitační lití odlitků do pískových (netrvalých) forem, kdy lze
vyrobit jakýkoliv odlitek bez ohledu na složitost, tvar, rozměry, hmotnost i materiál. Nicméně
tento způsob je spojen s nižší rozměrovou přesností, nižším využitím kovu atd. Druhou
možností je potom gravitační lití do kokil.
Jedná se o poměrně jednoduchou technologii. Formy obvykle bývají zhotoveny
odléváním z litiny s kuličkovým grafitem. Dělící rovina, upínací výstupky a vyhazovací
otvory jsou obrobeny, funkční plocha dutiny formy zůstává často v litém stavu. Výhodou této
technologie je rychlejší tuhnutí odlitků než v pískových formách. Takto vyrobené odlitky mají
jemnozrnější strukturu, lepší povrchovou jakost atd. Na straně druhé, náklady na formy jsou
výrazně vyšší, tato technologie je určena jen pro určitý druh slitin.
Z hlediska využití simulačních programů, se v technologii gravitačního lití nejčastěji
řeší:

Charakter plnění dutiny formy s ohledem na druh slitiny, geometrie navržené vtokové
soustavy,

Způsob tuhnutí odlitků, umístění tepelných os a uzlů a tím spojených vad typu
staženiny a řediny,

Umístění a účinnost technologických přídavků (dimenzování a účinnost nálitků)
80

Výpočet tuhnutí, případně chladnutí odlitku, jaká zbytková pnutí mohou zůstat v
odlitku, jaká je náchylnost ke vzniku trhlin a prasklin a jak se odlitek bude deformovat
Obecně se plnění formy tekutým kovem řídí zákony hydromechaniky, řeší se rychlost
plnění dutiny formy, způsob proudění, zda je dutina formy plněna poklidně, tj. laminárně
nebo zda je rychlost plnění příliš vysoká a proud tekutého kovu má turbulentní charakter a
dochází k následné oxidaci kovu.
Obr.35. Vizualizace plnění formy tekutým kovem
Při návrhu nové technologie, se snažíme zabránit vzniku slévárenských vad typu
staženin a ředin, případně jejich minimalizace nebo přemístění tak, aby byly akceptovatelné.
Tento typ vad se vyskytuje u většiny technických slitin a jejich podstata je spojena s úbytkem
objemu tzv. stahováním, ke kterému dochází v průběhu ochlazování taveniny a tuhnutí.
Nemá-li v odlitku vzniknout staženina, je nutno tento objemový deficit doplnit z dostatečně
dimenzovaných nálitků, které lze na základě opakované simulace dále .
Na tyto otázky nám může pomoci odpovědět numerická simulace. První výpočet
tuhnutí samotného odlitku (bez nálitků, vtokové soustavy) napoví, jakým způsobem odlitek
tuhne, kde dochází ke vzniku tepelných uzlů a kde jsou poslední místa tuhnutí. Tato analýza
napomůže při návrhu rozmístění nálitků, případně dalších prvků ovlivňujících tepelné poměry
během tuhnutí a chladnutí (chladítka, izolace). Následuje opětovná fáze tzv. preprocesingu,
při které technolog připraví návrh velikosti a umístění jednotlivých nálitků, případně dalších
částí. Abychom obdrželi přesnější představu o tepelné bilanci řešené soustavy, je vhodné
modelovat plnění formy
81
Obr.36. Zobrazení tuhnutí odlitku
Na výsledky provedených analýz plnění navazuje výpočet tuhnutí, případně chladnutí
odlitku (napětí a deformace). Z charakteru teplotního pole během tuhnutí lze sledovat, zda
dochází k usměrněnému tuhnutí a zda nálitky jsou tepelně i objemově dostatečné. Z postupu
fronty tuhnutí s případným použitím speciálních kriteriálních funkcí lze určit dosazovací
vzdálenosti nálitků. Přímo tedy vidíme, zda nedochází k samostatnému tuhnutí některých
částí odlitku, které jsou odděleny od dosazování tekutého kovu z nálitků
Obr.37. Zobrazení tuhnutí a vzniku pórozity v odlitku: predikce vzniku staženin v odlitku
V případě, že zvolená technologie řeší uspokojivě problémy spojené s tuhnutím,
můžeme dále optimalizovat například velikost a typ použitých nálitků. V dnešní době je
běžnou praxí používání izolačních nebo exotermických obkladů. I tyto moderní technologické
pomůcky mohou být zahrnuty do výpočtu.
U složitých odlitků, které mají komplikované přechody stěn, nás často zajímá, jaká
zbytková pnutí mohou zůstat v odlitku, jaká je náchylnost ke vzniku trhlin a prasklin a jak se
odlitek bude deformovat. Materiálové modely zahrnují elastické, elasto-plastické nebo elastoviskózní vlastnosti odlitku nebo formy. Během výpočtu se uvažuje s odtržením ztuhlého
povrchu odlitku od formy a tedy s formováním vzduchových mezer. Koeficient přestupu tepla
je automaticky přepočítáván, což umožní přesné výpočty přenosu tepla během tuhnutí a
chladnutí. U nepoddajných forem můžeme sledovat vliv brzděného smrštění na vznik napětí v
82
odlitku, případně následné deformace po vyjmutí z formy. Tyto výpočty specifikují příčiny
vzniku nežádoucích jevů a podněcují úvahy o změně tepelné bilance procesu, případně jsou
argumentem k zásahu do geometrie součásti

Režim plnění dutiny formy

Tuhnutí odlitků

Staženiny a řediny

Porozita
.
83
Metody lití - lití do skořepinových forem
6.2
Lití do skořepinových forem
 definovat základní princip metody lití do skořepinových forem
 definovat oblasti, které se při simulacích přesného lití převážně sledují
 definovat rozdílné podmínky a pochody při lití do skořepinových forem
od ostatních běžných metod lití odlitků
Výklad
Obecně lze říci, že, v průběhu tuhnutí je nezbytně nutné odvést teplo přehřátí
z tekutého kovu a krystalizační teplo z odlitého kovu.
V případě skořepinových forem je toto teplo částečně akumulováno ve skořepinové
formě a částečně odvedené do okolí. Tím se liší tepelné pochody při lití do skořepinových
forem od jiných slévárenských technologií. Na rozdíl od běžně používaných forem
z disperzních materiálů (pískových forem) se při lití do žíhaných relativně tenkostěnných
forem je rozhodující podíl tepla odvedeného do okolí.
Teplotní režim formy vzniká v několika po sobě jdoucích krocích:

žíhání skořepiny

transport z žíhací pece na licí pole

prodleva na licím poli až do počátku lití

odvod tepla z formy po odlití tekutého kovu
Počáteční teplotní profil vzniká v okamžiku vyjmutí formy z žíhací pece, kdy ve formě
existuje homogenní teplotní pole a dochází k ochlazování. Odvod tepla probíhá v této fázi
převážně radiací a konvekcí do okolního prostředí, což představuje relativně těžko
definovatelné podmínky, v nichž sehrává svou roli i nucené ochlazování v důsledku pohybu
formy a vzduchu. Při stání formy na licím poli do okamžiku lití probíhá odvod tepla
prouděním a sáláním do okolního prostředí.
Z tohoto důvodu je nezbytně nutné řešit průběh chladnutí a krystalizace kovu
komplexně ve všech výše uvedených etapách. Množství akumulovaného tepla závisí na
poměru hmotnosti kovu a formy a na počáteční teplotě formy. Při odlévání do forem s
vysokou počáteční teplotou (po žíhání) je význam akumulace tepla ještě snižuje. Tepelně
84
akumulační schopnost skořepinových forem je významná u tenkostěnných a tvarově
rozlehlých odlitků s krátkou dobou tuhnutí. U silnostěnných odlitků kompaktního tvaru je
významnější podíl tepla, odvedeného během tuhnutí z formy do okolí.
Celková intenzita tepelného toku z formy do okolí závisí na rozdílu teplot vnějšího
povrchu formy Tf a teploty okolí TOK, ochlazované ploše S a na celkovém efektivním
součiniteli tepla celk, který je tvořen složkou radiační a složkou konvektivní:
dQ f ok   celk T f  Tok Sdt
 celk  ( kon   rad )
Akumulace tepla z kovu ve skořepině je definována na základě přestupu tepla mezi
odlitkem a formou vedením na rozhraní obou prostředí. Tepelný tok v každém okamžiku je
úměrný součiniteli přestupu tepla mezi kovem a formou a rozdílu teplot Tk (kovu) a Tf
(formy). Část tohoto tepla je ve formě akumulováno v souladu se vztahem:
.
q f ak  m f  c f  T
Kde T je změna teploty, mf je hmotnost elementu formy a cf představuje měrné teplo
formy.
Odvod tepla konvekcí, který představuješ nejjednodušší část výpočtu, se řídí
Newtonovým ochlazovacím zákonem definující závislost hustoty tepelného toku na
součiniteli přestupu tepla. Intenzitu přestupu tepla pak vyjadřuje koeficient přestupu tepla ,
jehož velikost závisí na vlastnostech média, rychlosti a charakteru proudění a geometrií
obtékaného povrchu. Hodnotu  lze určit pomocí Nusseltova kritéria:
Nu 
  LC

kde LC - je charakteristický rozměr (definován geometrií obtékaného tělesa)
 - součinitel tepelné vodivosti tekutiny
Intenzita tepelného vyzařování tělesa závisí na teplotě a „vyzařovací schopnosti“ jeho
povrchu. Reálná tělesa vyzařují podobně jako těleso šedé, což je těleso, u kterého
předpokládáme, že poměrná spektrální zářivost je v celém rozsahu vlnových délek
konstantní. Pokud nebude docházet k příliš velkým změnám jejich teplot, pak se reálná tělesa
chovají jako těleso šedé. Reálné hodnoty spektrální celkové emisivity závisí především na
materiálu a povaze (např. kvalitě opracování) povrchu. Emisivita keramických materiálů se
pohybuje mezi 0,4 a 0,8. Emisivitu lze experimentálně zjišťovat pomocí termokamery
snímající povrch skořepiny s termočlánkem, kterým se zaznamenává povrchová teplota,
potřebná pro výpočet emisivity.
Tuto tepelnou situaci lze řešit pro reálné konfigurace skořepin pouze numerickou
simulací. Pro výpočet je nutno s dostatečnou přesností analyzovat okrajové podmínky a vliv
geometrického uspořádání celé soustavy. Numerické řešení problému transportu tepla
z tekutého kovu a z formy do okolního prostředí vyžaduje zadání počátečních a okrajových
podmínek a tepelně - fyzikálních parametrů všech složek.
85
Obrázek 38 znázorňuje schéma žíhání skořepiny, odlévání a tuhnutí kovu. Toto
schéma zjednodušeně ukazuje materiálová tepelně-fyzikální data, počáteční a okrajové
podmínky, které jsou nutné pro výpočet přestupu tepel. Nicméně řada z těchto parametrů není
zavedena v databázích simulačních programů nebo nejsou dostatečně verifikována, a tak musí
být stanovena individuálně pro daný proces experimentem.
Obr.38. Schéma přestupu tepla při procesu přesného lití a termofyzikální data nutná pro
numerický výpočet

Skořepinová forma

Newtonův ochlazovací zákon

Nusseltovo kritérium
86
Metody lití - tlakové lití
6.3 Tlakové lití
 definovat základy technologie lití odlitků pod tlakem
 definovat oblasti, které se při simulacích tlakového lití převážně sledují
Výklad
Lití pod tlakem představuje jednu z nejrozšířenějších technologií pro výrobu odlitků
Tlakové lití je nejdůležitější technologií výroby hliníkových odlitků. Principem výroby je
vstřikování roztavené slitiny do dutiny kovové formy vysokou rychlostí 40-60m/s a tuhnutí
pod vysokým tlakem až 250 MPa. Za těchto podmínek je možné vyrábět tvarově velmi
komplikované odlitky s tloušťkou stěn od přibližně 1-2 mm, za určitých podmínek a u
některých slitin i méně, než 1 mm. Rozměry odlitků jsou velmi přesné – u menších rozměrů
lze dosáhnout přesnosti až 0,3-0,5 %.
Numerická simulace umožňuje sledovat tlakovém lití ve všech jeho fázích:

cyklování

pohyb pístu v komoře

plnění dutiny formy kovem

odvzdušnění

chladnutí odlitku

dotlak
Znalost rozložení teplotních polí v průběhu celého cyklu lití je velmi důležitá, nejen
z hlediska zatížení formy, ale stejně i pro navrhování účinného systému chladících nebo
temperačních kanálů. Dalším výstupem z cyklování je také stanovení přesné teploty formy na
počátku cyklu pro výpočet plnění formy.
Jakost odlitku během výrobního cyklu je výrazně ovlivněna první fází lisování. Pohyb
pístu a chování kovu v komoře může predikovat množství uzavřeného vzduchu v této fázi
procesu, což se může projevit množstvím a druhem vzniklých vad. Navíc simulace pohybu
pístu lze využít k určení rychlosti kovu v naříznutí, která patří mezi klíčové parametry
87
z pohledu finální jakosti odlitku Dále je možné velice snadno odhalit místa s turbulentním
plněním a zhodnotit správnost umístění přetoků
Změnou geometrických parametrů nebo procenta zaplnění komory je pak možné
eliminovat nepříznivé situace, které jsou příčinou vzniku různých vad (např. porezity).
Snížení porezity lze dosáhnout řízením parametrů procesu jako je rychlost plnění, intenzita
chlazení, množství a typ postřiku formy nebo odvzdušnění formy.
.
Obr.39. Průběh teplotního pole tlakově litého odlitku
Znalost pohybu kovu ve formě napomáhá k definici kritických míst konstrukce
odlitku, které se během reálných experimentů projeví jako vady odlitků. Pomocí simulace lze
definovat optimální polohu vtoku a přetoků, odvzdušnění i volbu optimální rychlosti plnění
dutiny formy a ověření licí teploty kovu.
Porezita, jak již bylo uvedeno, patří mezi nejrozšířenější vady odlitků vyráběných
vysokotlakým litím. Vznik porezity, ať už je vyvolána smršťováním vlivem nedostatečného
doplňování tekutého kovu mezi teplotami likvidu a solidu nebo zamícháním vzduchu do
rychle proudící taveniny při plnění formy, lze predikovat pomocí simulačních programů (Obr.
38) a následně upravit parametry, které vznik porezity významně ovlivňují.
Jedná se především o pracovní tlak, který je vyvozený pístem a doplňuje kov při
smrštění. Dále doba plnění a rychlost v zářezu. Nemalý vliv má i způsob a druh použitého
nástřiku na ochranu formy. Smrštění materiálu je ve všech místech stejné, ale porezita
vyvolána smrštěním se vyskytuje pouze u tlustých stěn odlitku, tj. v místech, která tuhnou
jako poslední. Tento efekt lze ovlivnit řízeným chlazením a kontrolou formy.
88
Obr.40. Rychlost plnění modelového odlitku
Obr.41. Hodnocení mikroporezity u HPDC technologie
89

Naříznutí

Cyklování

Staženina a porezita

Dotlak
MICHNA, Š., et. al.: Encyklopedie hliníku, ADIN, Prešov, 2005, s.700, ISBN 80-89041-88-4
LICHÝ, P., ELBEL, T.: Speciální metody výroby odlitků. Studijní opora VŠB-TU Ostrava,
2008
KRUTIŠ, V., KUZMA, Z. Numerická simulace ve slévárenské technologii. MM spektrum,
dostupné
z
<http://www.mmspektrum.com/clanek/numericka-simulace-ve-slevarensketechnologii.html>
KOVÁČ, M.,et. al. Přenos tepla při odlévání do skořepinových forem. Sborník vědeckých
prací VŠB-TUO, řada hutnická, 50, 1, s. 143-150
ROUČKA, J. et.al. Teplotní procesy při odlévání do samonosných skořepinových forem a
jejich numerická simulace, In Proceeding Metal 2008, 13-15.5.2008, Hradec nad Moravicí
HERMAN, A.: Přesné lití na vytavitelný model. Studijní opora, ČVUT Praha
HERMAN, A., et. al. Počítačové simulace ve slévárenství, ČVUT, Praha, 2000
NOVÁ, I. Simulační výpočty tuhnutí a chladnutí odlitků jako účinný nástroj výroby
jakostních odlitků. Slévárenství, 50, 8-9, 2002, 322-325
KÁBOVÁ, H.: Počítačová simulace jako prostředek k urychlení předvýrobních etap.
Slévárenství, 50, 8-9, 2002, 328-331
KALPAKIAN, S., SCHMID, S.R. , Pearson Education, 2006
ANGLADA, E., et.al.: Adjustment of Numerical Simulation Model to the Investment Casting
Process. In. Proceedings of the 5th Manufacturing Engineering Society. International
Conference – Zaragoza, June 2013
90
Simulační programy ve slévárenství
7
 definovat ......
 popsat ...
 vyřešit ....
Výklad
7.1 Historický vývoj
Obecně lze počítačovou simulaci označit jako vysoce účinný nástroj optimalizace
procesů a dějů s využitím vysoce výkonných počítačů. V 60. letech se při řešení některých
úloh nestacionárního sdílení tepla a hmoty začaly uplatňovat analogové počítače, kdy plnění
forem a tuhnutí se řešilo numerickou simulací na velkých počítačích, které tehdy vlastnily
velké podniky nebo výzkumné ústavy.
V 80. letech, kdy se podařilo zapojit do tohoto procesu významné evropské
vysokoškolské instituce specializované na slévárenství, se objevily první slévárenské
simulační softwary zaměřené na tuhnutí odlitků. V Japonsku byly známé pod označením
Ishikawajima Harima, Kawasaki Steel, Kawasaki Heavy Industry, Komatu Seisakusho, Kobe
Steel, Toyota; v USA se jednalo o Cast Anasys, Marc, Mitas II.
V Evropě vznikly první simulační programy na Slévárenském institutu RWTH Aachen
v Německu (software neměl označení) a v Anglii simulační program Duct. Před rokem 1990
některé programy některé programy zpracovávaly pouze přestup tepla, příkladem byl
SOLSTAR od Foseca. Ukázaly slévačům, že simulace není záležitostí vědců a že poskytují
cenné konkrétní výsledky v praxi
Od výstavy GIFA v roce 1989 se objevily na trhu první kompletní programy, které
řešily i otázky plnění forem. To byl příklad MAGMA-soft, ProCast, Flow3D a SIMULORu
Dnes nacházíme na evropském trhu celou řadu slévárenských komplexních
simulačních programů, které dávají uživateli možnosti řešení různých úloh, stále se inovují a
doplňují
.
91
7.2 Přehled simulačních programů
Modelování tuhnutí, kterým se ve většině případů při návrhu nebo úpravě technologie
zaobíráme, spočívá v řešení rovnice přestupu tepla entalpickou metodou spojenou s modely
adaptovanými na určité skupiny slitin. Pomocí termomechanických modelů se počítají
deformace odlitků. K tomu všemu přistupuje vizualizace izoterm , ztuhlých částí, vad typu
staženin a deformací vzniklých během tuhnutí a ochlazování odlitků. Přídavné moduly
předvídají mikrostrukturu LKG, jemnost zrna, výskyt bublin u slitin Al atd.
Pro tyto účely simulační programy obsahují matematické rozpracování nejrůznějších
rovnic a fyzikálních zákonů:

Navier – Stokesův zákon zachování hybnosti

Fourierovu diferenciální rovnici nestacionárního přestupu tepla

Zákony mechaniky tuhého tělesa při plastické a elastické deformaci

Rovnice pro stanovení napětí a deformace

Transformační a strukturní diagramy
Implementace simulačních programů do technologického postupu výroby odlitků
zobrazuje schéma na Obr.42.
Obr.42. Zapojení simulačních programů při tvorbě technologického postupu výroby
92
Přehled nejrozšířenějších simulačních programů využívaných pro simulaci
slévárenských programů zachycuje Obr..43. V simulačních programech slévárenských
procesů se nejčastěji vyskytují výpočtové moduly používající metodu konečných diferencí
(FDM) a metodu konečných prvků (FEM).
Simulační programy prodělávají neustálý vývoj, dochází k vývoji, upřesňování a
ladění různých modulů určených pro danou problematiku (predikce mikrostruktury apod.).
Výpočty se zkrátily z několika dnů na několik hodin. Tím se z numerické simulace stal
nástroj dialogu mezi účastníky vývoje odlitků a byl umožněn nástup simultánního inženýrství
a metod RAPID PROTOTYPING ve slévárenství. Zvýšila se tak schopnost konkurence
sléváren, které přestaly být obyčejným subdodavatelem polotovarů, ale staly se přímým
účastníkem tvorby výrobků.
Obr.43. Přehled nejběžnějších simulačních programů používaných ve slévárenství.
93
7.3 MAGMASOFT®
Software MAGMASOFT® představuje nejrozšířenější simulační systém - zhruba 750
instalací z toho 12 v ČR., jehož vývoj a distribuci zabezpečuje německá firma MAGM
GmbH.
Jedná se komplexní modulární simulační program, který byl vyvinut na Technické
univerzitě v Aachen ve spolupráci s firmou MAGMAsoft® GmbH Aachen a Technické
univerzitě v Kodani.
Skládá se z jednotlivých modulů, je to vysoce propracovaný program simulace 3D,
pomocí kterého lze zobrazit dynamiku tečení taveniny, tuhnutí a popřípadě chladnutí odlitků
ve slévárenské formě, proudění kapalin, přestupu tepla a zbytkových pnutí pro všechny hlavní
slévárenské procesy. Další možností programu je výpočet eroze formy, a to jak u pískových
forem, tak u kokil pro vysokotlaké lití. Při výpočtu se vychází z referenčních hodnot, po
jejichž překročení dochází k erozi. Velmi efektivní funkci je výpočet přetlaku vzduchu, který
vzniká při plnění dutiny formy. Přitékající tavenina stlačuje vzduch, který se nachází uvnitř, a
ten má možnost unikat pres samotnou formu nebo odvzdušňovací kanály. Tak se dostává
slévárenským technologům do rukou nástroj, který podstatně zjednodušuje návrh a následnou
optimalizaci vtokové a odvzdušňovací soustavy
.Má vlastní CAD interface pro tvorbu geometrie a přípravu výpočetní sítě. Simulační
program pracuje na základě metody konečných diferencí. Tento proces generování sítě je
prováděn plně automaticky a doba trvání síťování se pohybuje okolo 1 minuty.
Do tohoto automatického procesu muže uživatel vstoupit pro určení velikosti
jednotlivých elementu a jejich vzájemného poměru. Předností FDM metody je její rychlost,
automatizace a přesnost bez nutnosti podrobných znalostí o generování sítí.
Vygenerování sítě netvoří síť pouze pro odlitek, ale také pro vtokovou a nálitkovou
soustavu, formu, jádro a chladící kanály. Pomocí diferenční metody se úloha převede dle
diferenciálního operátora (nejčastěji pomocí Taylorova rozvoje) na diferenciální rovnice,
podle níž se různá tělesa mohou řešit za určitých omezení – okrajové podmínky pro řešení
diferenciálních rovnic.
V programu MAGMASOFT®-5 jsou všechny kroky procesu simulace prováděny
paralelně: je možné interaktivní zobrazení a definice procesu lití, manipulace s geometrií nebo
simultánní vyhodnocování výsledku.
Lze jej aplikovat u procesů :

ocel, litiny, slitiny Al a neželezných kovů,

pro lití do pískových a kovových forem,

při lití gravitačním , nízkotlakém a tlakovém,

přesné lití do skořepinových forem.
94
.
Obr.44. Popis základních modulů software MAGMASOFT®
V následujícím textu si rozebereme některé základní moduly simulačního programu
MAGMASOFT® a vysvětlíme si jejich funkci.
MAGMASOFTfill je modul, který simuluje vyplnování dutiny formy tekutým
kovem. Reší plnení vtokové soustavy, odhaduje možnost vzniku eroze formy, provádí
výpocet plnících casu a výpocet ruzných kritérií. Dále sleduje prubeh proudení a vznik
turbulentních oblastí, sleduje tlaky a teploty v tavenine, jakož i rychlosti proudení kovu v
jednotlivých cástech technologie. Na obrázku 42 je zobrazena ukázka simulace průběhu
plnění u vysokotlakého lití (úprava tvaru naříznutí). Vlevo je vidět špatné zaústění vtokové
soustavy. V důsledku přítomnosti vzduchu, který je z počátku uzavřen v této oblasti a
následně je vehnán do prostoru odlitku, lze předpokládat zvýšenou porezitu.
Stejnou situaci zobrazuje i obrázek napravo, nicméně je zobrazen pomocí tzv.
trasovacích částic, pomocí kterých lze rozpoznat turbulentní charakter plnění dutiny formy.
95
Obr.45. Průběh plnění u vysokotlakého lití.
MAGMASOFTbatch je urcen pro rešení problematiky odlévání v licích cyklech
dotrvalých forem (kokil). Tato cást reší rozložení teplotního pole a podmínky tecení, casy
cyklu za kriteriálních podmínek, teploty formy a odlitku v case otevrení a nazacátku nového
cyklu, optimální cas otevrení.
MAGMASOFThpdc se používá pri analýzách vysokotlakého lití. Pri tomto zpusobu
odlévání jsou zohledneny jednotlivé etapy výrobního procesu, jako plnení plnící komory,
pohyb pístu a samotné plnení odlitku. Modul nabízí možnost simulování libovolného poctu
cyklu, kontrolu chladících okruhu, použití postriku a náteru formy, jakož i pusobení dotlaku
pri tuhnutí (lokální squeeze casting).
MAGMASOFTsolid reší problémy teplotního toku ve forme pri uvažování teplotne
promenných vlastností taveniny a umožní získat informace o zaplnení a porezite ve forme.
Reší casy tuhnutí, teplotní gradienty a chladící pomery v každém bode, teplotní zatížení jader
a formy, chladící krivky, vhodnost umístení nálitku, jakož i možnost provádet jejich dolévání.
MAGMASOFTpost je urcen k analyzování výsledku simulace. Tyto výsledky
jsouprezentovány v trírozmerných barevných pohledech a popisují napríklad rychlost a cas
plnení dutiny formy, vektory smeru proudení kriteriální funkce pro staženiny, krivky
chladnutí a dosazovací schopnosti nálitku.
MAGMASOFTthixo je modul pro simulaci procesu thixotropního lití. Tento způsob
výroby odlitků se v současné době stává alternativou procesům odlevání a kování. Pro
simulaci tohoto způsobu výroby odlitků zejména z hliníkových a hořčíkových slitin, je pro
simulaci plnění použita speciální pohybová rovnice. Obr. 43 zobrazuje průběh plnění u
thixotropního lití.
Ve slévárenské výrobě se objevuje řada případů využití simulace napětí a deformace.
Jedná se především o změny tvaru, výskyt trhlin za tepla, vznik zbytkových pnutí, napětí
v kokile apod. Pomocí simulačního programu MAGMASOFT®, lze predikovat napětí a
deformaci odlitků.
Výpočet je založen na základě teplotního pole v odlitku v průběhu plnění a tuhnutí a
místního ochlazování na základě výsledků standardního programu MAGMASOFT®.
Výsledky moho být prezentovány jako normálové napětí v ose X, Y nebo Z, von Miessovo
napětí, zkroucení a posunutí v jednotlivých osách. Uživatl má rovněž k dispozici kritérium
pro popis výskytu trhlin a napěťových gradientů. Z rozložení zbytkových pnutí (Obr.44) lze
predikovat silně namáhaná místa a případně i na deformaci odlitku.
96
Obr.46. Průběh plnění u thixotropního lití
Obr.47. Rozložení zbytkových pnutí u odlitku
97
7.4 ProCast
Jedná se o profesionální slévárenský simulační program, který byl vyvinut americkou
firmou UES Software, Inc. Jedná se o systém, který slouží pro simulaci tepelných procesů
vedením, prouděním i sáláním. Umožňuje simulaci dynamiky tečení taveniny a tepelného
toku, optimalizaci vtokové soustavy, výpočet napětí a deformaci odlitku, stanovení predikce
změn struktury kovů a vad odlitků při plnění formy a jejich tuhnutí i určení parametrů
technologického procesu výroby. Je velmi kompatibilní i s experimentálně získánými
výsledky.
Tento program dále umožňuje definovat a stanovit technologické podmínky pro
výrobu odlitků gravitačním litím do pískových forem i kokil, nízkotlakým a vysokotlakým
litím do trvalých forem, umožňuje stanovit specifika lití do skořepinových forem a do forem
na vytavitelný a vypařitelný model. Navíc umožňuje simulovat lití ve vakuu, odstředivé a
sklopné lití, kontinuální lití, lití monokrystalické struktury a jiné specifické technologické
postupy.
Součástí programu je preprocesor Mesh-cast umožňující tvorbu geometrie a přípravu
výpočetní sítě. Geometrie z CAD systému se může přenášet ve formátech IGES, Step, STL
nebo PARASOLID. Výpočetní sítě lze přenášet z programu I-DEAS. Tento simulační
program pracuje na systému konečných prvků a umožňuje řešit:

vznik porézních oblastí, ředin a trhlin,

zavaleniny, nezaběhnutí taveniny,

napětí a deformace odlitků,

životnost formy a licích částí,
Je aplikován u procesů :

odlévání do pískových a kovových forem,

při použití gravitačního, nízkotlakého a vysokotlakého lití.

plynulé a odstředivé lití,

kompozity s kovovou matricí,

odlévání thixotropních a reologicky složitých materiálů,

squeeze casting,
pro slitiny Fe, Al, CO, Cu, Mg, Ni, Ti,, Zn
Firma má zastoupení v České republice u firmy MECAS Plzeň
98
7.5 PAM CAST / SIMULOR
Tento simulační program plně řeší Navier-Stokesovy rovnice turbulentního proudění
kovu současně s rovnicemi tepelné bilance. Síťování je vytvořeno metodou konečných
objemů (FDM).
Navíc umožňuje tvorbu formy, její plnění, tuhnutí, mikrostruktura a zbytková pnutí.
Při použití nadstavbových modulů lze zjišťovat tvrdost a deformace. Predikci vad lze
provádět podle více kritérií.
Obvykle bývá aplikován u procesů :
 ocel, litiny a slitiny Al.
 při lití do písku a do kovových forem,
 a při přesném lití.
Firma má zastoupení v České republice u firmy MECAS Plzeň.
7.6 WINCast /SIMTEC
Jedná se o německý simulační program. Základem struktury simulačního programu
WinCast jsou moduly, které umožňují průběh potřebného simulačního výpočtu. Metoda
řešení, která je v tomto programu využívána, je metoda konečných prvků.
Software je schopen simulovat jednoduché plnění formy a tuhnutí k předvídání vad
spojených s prouděním. Provádí analýzu tuhnutí a může předvídat vady, včetně staženin,
trhlin, segregací a zbytkových pnutí. Rozložení teplot během tuhnutí, popř. chladnutí se počítá
nejen v bodech, ale i v celém objemu odlitku. Současně lze provést i rozložení teplot ve
slévárenské formě.
Aplikován u procesů :

odlévání do pískových a trvalých kovových forem,

přesné lití do skořepinových forem.

Tlakové lití (nízko i vysokotlaké)

lost foam,

lití poloztuhlých kovů,

kontinuální lití

odstředivé lití

squeeze casting.
7.7 Nova Flow & Solid
Jedná se o švédské simulační programy, které pracují na bázi metoda konečných
diferencí. Zahrnuje oddělený modul pro 3D modelování tvaru a tvorbu sítě a dále moduly pro
přestup tepla, proudění, tuhnutí a kalibraci. Geometrie modelu se provádí pomocí CAD
souborů ve formátu STL nebo DXF. Simulace mohou být sledovány teplotou, tekutou fází,
smršťování, určuje se doba tuhnutí, rychlost proudění a 2D nebo 3D řezy vizualizované za
rotace.
99
Do výpočtu lze zahrnout i případný nátěr a izolaci formy nebo rozložení filtrů apod.
Systém je založen na společném řešení rovnic proudění s uplatněním nestlačitelné tekutiny
v závislosti na Reynoldsově čísle, na výpočtu třecích ztrát a směru gravitace. Současně
využívá rovnici přenosu tepla. Program je proti výše uvedeným simulačním programům
jednodušší a má pouze informativní charakter predikce tuhnutí a chladnutí vyráběných
odlitků.
Lze jej aplikovat u procesů:
 pískové formy s horizontální a vertikální dělící rovinou,
 přesné lití do skořepinových forem,
 trvalé formy,
 odlévání oceli, litin, slitin Al a slitin Cu.
www.MAGMAsoft®soft.com
BARINOVÁ, D. Rozbor termofyzikálních parametru ovlivňujících experimentální merení a
simulaci u odlitku pro automobilový prumysl. Disertacní práce v oboru „Strojírenská
technologie“. Brno: VUT-FSI, Ústav strojírenské technologie. 2006. 185 s.
MICHNA, S., aj. Encyklopedie hliníku. 1. vyd. Decín: ALCAN, 2005. 699 s. ISBN 8089041-88-4.
AXIOM TECH [online]. 2011 [cit. 2011-05-31]. MAGMASOFT®-5 - rychlý, spolehlivý a
intuitivní nástroj pro optimalizaci slévárenské výroby. Dostupné z www:
<http://www.axiomtech.cz/article/68455.MAGMAsoft®-5-8211-rychlyspolehlivyaintuitivni-nastroj-pro-optimalizaci-slevarenske-vyroby/>.
MAGMASOFT®soft, User‘s manual, Aachen, Nemecko, 1998.
VRÁBEL, P. Vývojové směry ve slévárenství. Slévárenství. 2004, LII, c.10, s. 411-413. ISSN
0037-6825.
www.esi-group.com
www.novacast.se
www.simtec-inc.com
100
Klíč k řešení
8
Klíč k řešení
Zde jsou uvedeny odpovědi na teoretické otázky z jednotlivých kapitol, které Vás
prověří, jak jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli.
O 1.1.
Tuhnutí kovů a slitin má dvě stádia. Tuhnutí začíná nukleací krystalů, které
následuje samotný růst krystalů.
O 1.2.
Mikrostruktura slitiny a tudíž její mechanické vlastnosti závisí na mechanismu
tuhnutí (krystalizace)
O 1.3.
Čím lze ovlivnit charakter mikrostruktury lze ovlivnit zásahem do tuhnutí odlitků,
očkováním nebo rušenou krystalizací nebo působením vnějších sil (vibrace,
ultrazvuk atd.)
O 1.4.
Změnou volné entalpie G
O 1.5.
Příčinou krystalizace je snaha kovu nebo slitiny dosáhnout při ochlazení
stabilního stavu. Z hlediska termodynamických zákonitostí je stabilní stav
definován minimální volnou entalpií.
O 1.6.
Při homogenní nukleaci vznikají zárodky nové fáze přímo z fáze původní. Jedná se
o „laboratorní“ případ, kdy je třeba velkého přechlazení. Zárodky vznikající
heterogenní nukleací vznikají v důsledku přítomnosti cizích vměstků, jedná se o
mechanismus vzniku zárodků v reálných kovech a slitinách.
O 1.7.
Který způsob vzniku zárodků se uplatňuje v reálných podmínkách tuhnutí kovů a
slitin?
O 1.8.
Musí dosáhnout kritické velikosti rkr.
O 1.9.
Fyzikální podstata krystalizace z heterogenních zárodků spočívá ve snížení
mezifázového napětí v soustavě tavenina - cizí částice – vznikající zárodek a proto
je taky hodnota nutné energie pro vznik aktivního zárodku nižší
O 1.10.
Segregací, tj. odmíšením, se rozumí rozdílné koncentrace přísadového prvku
v tuhé fázi v důsledku rychlého ochlazování odlitků v reálných podmínkách
krystalizace.
O 1.11.
V reálných podmínkách obsahuje povrchová oblast odlitku nahodile orientované
krystaly (globulity). Na tuto licí strukturu navazuje oblast protáhlých
kolumnárních krystalů, jejichž hlavní osy jsou rovnoběžné se směrem
maximálního odvodu tepla z odlitku a mají typický dendritický charakter.Ve
středu odlitku se nachází oblast rovnoosých globulitických (polyedrických)
krystalů. U odlitků nemusíme vždy tyto typy struktury najít.
O 1.12
Vzhledem k postupu tuhnutí v objemu odlitku se rozlišují dvě morfologie tuhnut a
to a) Exogenní a b)Endogenní
Tepelnou osou pak rozumíme množinu bodů, kde se setkávají krystalizační plochy.
O 1.13.
O 1.14.
Šířku dvoufázového pásma ovlivňuje interval tuhnutí slitiny (to je definováno
chemickým složením slitiny) a rychlost ochlazování (tepelná akumulace formy bf)
101
Klíč k řešení
O 2.1.
mikrostruktury odlitku. Jednotlivé modely započítávají přestup tepla, rychlost a
způsob formy, proudění kovu ve formě, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely
pórovitosti, odmíšení v intervalu tuhnutí a v neposlední řadě výpočet pnutí
O 2.2.
Účelem modelování - simulace je dosažení předpovědi s co možná největší
přesnosti a tím ušetření času a finančních prostředků při řízení, ovládání, vývoji a
výrobě.
O 3.1.
Systémem se pak rozumí soubor elementárních částí, prvků, které mají vzájemné
specifické vazby
O 3.2.
Podstatou modelování je náhrada zkoumaného systému jeho modelem, jejímž
cílem je získat pomocí pokusů s modelem informaci o původním zkoumaném
systému
O 3.3.
Simulace představuje výzkumnou techniku, jejíž podstatou je náhrada
zkoumaného dynamického systému jeho simulátorem s tím, že se simulátorem se
experimentuje s cílem získat informace o původním zkoumaném dynamickém
systému
O 3.4.
Pojmem verifikace modelu se rozumí ověření správnosti modelu, tj. například
vyvrácení potencionálních chyb v příslušném programu, nebo zda v něm není
použita nevhodná numerická metoda
O 3.5.
Validitou modelu se rozumí ověřování platnosti modelu na základě informací,
které o modelovaném systému máme a které simulací získáváme. Tímto krokem se
snažíme dokázat, že je skutečně pracováno s modelem adekvátním modelovanému
systému.
O 4.1.
Pomocí modelování lze stanovit dynamické vlastnosti systému, stanovit vliv změn
okrajových podmínek provozování systému, optimalizovat metalurgické a jiné
systémy a stanovit podmínky jejich činnosti, doporučit optimalizaci rozměrů a
jiných technických parametrů zařízení
O 4.2.
Modelování procesů dělíme na fyzikální a matematické modelování
O 4.3.
Fyzikální modelování většinou řeší procesy probíhající na skutečném zařízení a
jeho zmenšených modelech skutečných zařízení a při normálních teplotách okolí.
Využívá se přitom teorie fyzikální podobnosti mezi dvěma systémy. Ve srovnání s
matematickými modely, fyzikální modely definují úplněji a spolehlivěji vlastnosti
modelovaného systému. Fyzikální modelování řeší úlohy v substanci, kdežto
matematické modelování analyzuje strukturu problému. Navíc při stavbě
fyzikálních modelů není nutné znát matematický popis zkoumaného procesu.
Matematické modelování, které zahrnuje experimentálně-statistické modely a
modely analytické. Matematické modelování je založeno na matematické analogii
(podobnosti) dvou rozdílných procesů. Jevy rozdílné fyzikální povahy jsou
matematicky podobné tehdy, jsou-li popsány formálně shodnými (izomorfními)
základními rovnicemi.
O 4.4.
Systémy jsou si geometricky podobné, když poměr odpovídajících lineárních
systémů na modelu a díle je stejný, tento poměr je označován jako konstanta
102
Klíč k řešení
podobnosti
O 4.5.
Vyjadřuje podobnost rychlostních polí a polí zrychlení. V podstatě se jedná o
rovnováhu pozorovanou mezi dvěma geometricky podobnými systémy, ve kterých
je poměr rychlosti stálý v navzájem si odpovídajících místech modelu a díla,
přičemž v obou systémech je totožný směr rychlosti nebo zrychlení.
O 4.6.
Geometrická podobnost mezi modelem a modelovaným systémem.
O 4.7.
Podobnost sil mezi dvěma geometricky podobnými systémy, ve kterých je poměr
sil navzájem odpovídajících místech, a časech stálý a směr jejich působení
totožný.
O 4.8.
Geometrická a kinematická podobnost.
O 4.9.
Proudění roztavených kovů až do nástupu tuhnutí se řídí základními principy
mechaniky tekutin, tudíž rovnicí kontinutity, Bernoulliho rovnicí, Eulerova
rovnice, Navier-Stokesova, z hlediska tuhnutí odlitků pak Fourierovu diferenciální
rovnici nestacionárního tepla
O 4.10.
Vyjadřuje podobnost dvou systémů (model, modelovaný systém)
O 4.11.
Bezrozměrový parametr má v homologických bodech podobných systémů stejnou
hodnotu, tzn., že se nemění, nicméně nemá ve všech bodech těchto systémů stálou
hodnotu
O 4.12
Základní rovnice popisuje fyzikální systém, vzniká sjednocením úplné fyzikální
rovnice, která bere v úvahu všechny relevantní veličiny systému, s podmínkami
jednoznačnosti
O 4.13.
Definuje použití kriteriálních rovnic, kde relevantní veličiny jsou nahrazeny
kritérii podobnosti, které jsou z těchto relevantních veličin odvozeny.
O 4.14.
Klíčový význam v modelu mají termo-fyzikální data
O 4.15.
Analytické a numerické. Analytické (explicitní) řešení spočívá v nalezení přesného
řešení pomocí analytických matematických metod (řešení soustav rovnic, řešení
úlohy na vázaný extrém atd.), zatímco numerické (přibližné) řešení se používá pří
řešení modelů, u kterých nelze problém řešit analyticky nebo v případech, kdy je
analytické řešení obtížné a složité.
O 4.16.
Podmínky jednoznačnosti jsou okrajové a počáteční podmínky charakterizující
daný systém. Platí pravidlo, že pro každou nezávisle proměnnou potřebujeme tolik
vzájemně nezávislých podmínek, jaký je nejvyšší v rovnicích se vyskytující řád
derivace podle této proměnné.
O 4.17.
Tři - Dirichletova, Neumannova, Newtonova
O 4.18.
Metoda konečných diferencí (metoda sítí) - FDM a metoda konečných prvků FEM.
O 4.19.
Rozdělení analyzované oblasti na podoblasti
103

počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků - FMMI

Transkript

Podobné dokumenty

Novela Vyhlášek 241/2002 Sb. a 223/1995 Sb.

Masters WCh-2014-Results-TEAMS

Rigorózní práce - Martin Tomáš

základy procesního inženýrství - Vysoká škola báňská

PT2008 - Biologická olympiáda

číslo 4 - Strojírenská technologie

Duha 3/2012 - M-Phoenix

Habilitační přednáška

1–3. ročník - Supš a Voš Turnov

Přehledový příspěvek Vzájemné působení kmitající soustavy a

AX ZPR08.indd - AXIOM TECH sro

Disertacka-kap 5-9

AXIOM TECH Zpravodaj 2005 ke stažení

2013/53/ES

Životopis - buracek.net

Zobrazit článek ve formátu PDF

document [] - Vysoké učení technické v Brně

1/2015 - Ředitelství vodních cest ČR

Vměstky - OtahalConsult