17. Slovní úlohy II..notebook

17. Slovní úlohy II..notebook
Slovní úlohy o pohybu
Příklad:
Vzdálenost míst z Prahy do Olomouce je 257km. Z obou měst vyjela současně proti sobě auta. Auto z Olomouce jelo o 800m za hodinu pomaleji než auto z Prahy. Vypočítejte jejich rychlost, jestliže se setkala za 150 minut.
Slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic nebo jejich soustav II.
Řešení:
P
s
s2
s1
v1
O
v2
s ­ dráha z Prahy do Olomouce
150 minut = 2,5 hodiny
s1 ­ dráha, kterou ujelo auto z Prahy
s2 ­ dráha, kterou ujelo auto z Olomouce 800 m = 0,8 km
v1 ­ rychlost auta jedoucího z Prahy
v2 ­ rychlost auta jedoucího z Olomouce
Předmět: Matematika a její aplikace
Ročník: devátý
Klíčová slova: rovnost, úlohy o pohybu, úlohy na společnou práci, řešení lineární rovnice, řešení soustavy dvou lin. rovnic se dvěma neznámými, ověření správnosti řešení Označíme si rychlosti aut takto: v1 = x; dráhu s vypočítáme v2 = y podle vzorce s = v . t
Platí: s = 257 km s = s1 + s2 ; y = x ­ 0, 8 (km/h) ⇒ sestavíme soustavu
Anotace: Žáci si zopakují, upevní a procvičí poznatky z probraného učiva Datum: březen 2013 Jméno: Mgr. Vladimír Horký
257 = x . 2, 5 + y . 2, 5
Škola: Základní škola Mohelno, okres Třebíč, Mohelno 232
y = x ­ 0,8
dosazovací metodou vyřešíme
Řeš příklad:
Vzdálenost z místa A do místa B je 90km. Z místa A jede traktor průměrnou rychlostí 15km/h a současně proti němu jede z místa B nákladní auto průměrnou rychlostí 45km/h.
Kdy a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají?
257 = 2,5x + 2,5 . (x ­ 0, 8)
257 = 2,5x + 2,5x ­ 2
257 = 5x ­ 2 / +2
259 = 5x / :5
51,8 = x
x = 51,8 km/h
Řešení:
A
y = x ­ 0,8
y = 51,8 ­ 0,8
y = 51 km/h
s = 90km
B
s1
s2
traktor: v1=15km/h; t1 nákladní auto: v2=45km/h; t2
Zkouška (ověření úlohy):
Za 150 minut, tedy 2,5 hodiny ujelo auto z Olomouce
(2,5 . 51) km = 127,5 km.
Auto, které jelo z Prahy ujelo za stejnou dobu
(2,5 . 51,8) km = 129,5 km.
Součet obou těchto drah je tedy 127,5 + 129,5 = 257 km.
Rozdíl průměrných rychlostí aut odpovídá zadání úlohy
(0,8 km/h).
Odpověď:
Auto jedoucí z Prahy jelo průměrnou rychlostí 51 km/h,
auto jedoucí z Olomouce jelo průměrnou rychlostí 51,8 km/h.
t1 = t2 = x
s = s1 + s2
90 = v1.t1 + v2.t2
90 = 15.x + 45.x
90 = 60x / :60
1,5 = x
x = 1,5 hod.
Zkouška(ověření):
dráha traktoru: s1 =15 . 1,5 = 22,5km
dráha nákl.auta: s2 = 45 . 1,5 = 67,5km
Celkem 90km
s1 + s2 = s
Odpověď:
Traktor s nákladním autem se setkají za 1, 5 hodiny ve vzdálenosti 22,5km od místa A.
Příklad:
Za jak dlouho dojede cyklista turistu a v jaké vzdálenosti, jestliže turista jde rychlostí 4 km/h a za 1hodinu a 10minut za ním vyjede cyklista průměrnou rychlostí 18km/h?
Řešení:
rychlost turisty ..................v1 = 4km/h
rychlost cyklisty.................v2 = 18km/h
čas chůze turisty...............t1
1
1 hodina 10 minut = 1 (hod.)
čas jízdy cyklisty................t2 6
dráha turisty......................s1
1
platí: t2 = t1 ­ 1 (hod.)
dráha cyklisty....................s2
6
s1, v1
Platí: s1 = s2
s2, v2
s1 = v1 . t1 = 4 . t1
1
s2 = v2 . t2 = 18 . (t1 ­1 )
6
s1 = s2
1
4 . t1 = 18 . (t1 ­ 1 )
6
3
7
4t1 = 18t1 ­ 18 . 61
4t1 = 18t1 ­ 21 / ­18t1
4t1 ­ 18t1 = ­21
­14t1 = ­21 / :(­14)
t1 = 1,5 hodiny
t2 = 1,5 ­ 1 1
6
t2 = 90minut ­ 70minut
t2 = 20 minut 20 minut = 1 hod.
3
s2 = 18 . 1 = 6km
3
Zkouška(ověření úlohy):
s1 = 4 . 1,5 = 6km
s2 = 6km
s1 = s2 Slovní odpověď:
Cyklista dojede turistu za 20 minut ve vzdálenosti 6km.
17. Slovní úlohy II..notebook
Řeš příklad:
Slovní úlohy na společnou práci
Za cyklistou, který jede rychlostí 18km/h vyslali o 1,5 hodiny
později osobní auto, které ho má dostihnout za 30minut.
Jakou průměrnou rychlostí musí jet?
Dělník vykoná sám určitou práci za 6 hodin, učeň vykoná sám tu samou práci za 9 hodin. Za kolik hodin vykonají tuto práci oba společně?
Řešení:
s1; cyklista v1=18km/h ; t1
s2; os.auto v2=x km/h ; t2
Platí:
t1 = (1,5 + 0,5) = 2 hodiny
t2 = 0,5 hodiny
Zkouška(ověření úlohy):
Příklad:
30 minut = 0,5 hodiny
s1 = s2
v1 . t1 = v2 . t2
18 . 2 = x . 0,5
36 = 0,5x / :0,5
72 = x
x = 72km/h
Dráha cyklisty: s1 = 18 . 2 = 36 km
Dráha os.auta: s2 = 72 . 0,5 = 36km
s1 = s2
Řešení:
Hledaný počet hodin označíme ........ x
Dělník vykoná za 1hodinu ........... 1 práce
6
Učeň vykoná za 1hodinu ............. 1 práce
9
1 . x + 1 . x práce, tedy celek.
Za x hodin vykonají společně 9
6 Setavíme rovnici a vyřešíme:
1 . x + 1 . x
= 1 / .18
6
9
3,6 hodin = 3 hodiny 36 minut
3x + 2x = 18
5x = 18 /:5
x = 3,6 hodin
Odpověď:
Osobní auto musí jet průměrnou rychlostí 72km/h.
Řeš příklad:
Zkouška(ověření úlohy):
Dělník vykoná sám za 3,6 hodiny 3,6 . 1 práce, t.j. 0,6 práce.
6
1
Učeň sám vykoná za 3,6 hodiny 3,6 . práce, t.j. 0,4 práce.
9
Společně tedy vykonají za 3,6 hodiny (0,6 + 0,4) = 1 práce,
tedy celou práci.
Odpověď:
Dělník s učněm vykonají společně práci za 3,6 hodiny, t.j. 3 hodiny 36minut.
Jedním kohoutkem se naplní nádrž za 18 hodin, druhým kohoutkem za 6 hodin. Za jak dlouho se naplní nádrž,
budou­li otevřeny oba kohoutky?
Řešení:
1. kohoutkem..............................18 hodin
2. kohoutkem.............................. 6 hodin
Společně oba kohoutky.............. x hodin
x . 1 + x . 1 = 1 / .18
18
6
x + 3x = 18
4x = 18 / :4
x = 4,5
Zkouška(ověření úlohy):
1
= 0,25 objemu nádrže
18
0,25 + 0,75 = 1
1
2. kohoutkem: 4,5 . 6 = 0,75 objemu nádrže
1. kohoutkem: 4,5 . Odpověď:
Oběma kohoutky se naplní nádrž za 4,5 hodiny.
Použité zdroje:
K následujícím otázkám přiřaďte správné odpovědi:
MÜLLEROVÁ Jana, BRANT Jiří,HORÁČEK Rudolf, METELKA Josef, ŽENATÁ Emilie. Matematika pro 9. ročník základní školy: Algebra.1. vydání­dotisk. Kvarta Praha 2000. 192s. ISBN 80­86326­10­1.
ŽENATÁ Emilie.Sbírka úloh z matematiky pro 9. ročník s klíčem. BLUG.160s. ISBN 80­7274­933­1.
Aplikace SMART NOTEBOOK verze 10.8.364.0
http://www.beruska8.cz/fontany/fontany2/4.GIF
http://www.beruska8.cz/doprava/kola2/33.gif
http://www.beruska8.cz/pracovni/stavba2/11.gif
http://www.beruska8.cz/doprava/kola2/18.gif
http://www.beruska8.cz/doprava/auta2/73.gif
http://www.beruska8.cz/pracovni/stavba2/30.gif
Autorem materiálu, není­li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Horký