3 Subjekt-predikátová logika

Logika
Akademie managementu a komunikace, Praha
PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Logika
Tematické okruhy:
1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě
2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky
3. Subjekt-predikátová logika – Aristotelovský čtverec
4. Definice a terminologie
5. Polysémie, synonymie, homonymie, antonymie
6. Analýza chybných argumentací
7. Interpretace
8. Analýza konkrétního dialogu
Logika
Základní studijní literatura:
Online materiály plus jakákoli příručka základů logiky, např.
BEK, Roman. Logika. Praha: ČVUT, 1996, 2001.
GAHÉR, František. Logika pre každého. Bratislava: Iris, 1994, 2001.
PEREGRIN, Jaroslav. Logika a logiky. Praha: Academia, 2004
ŠTĚPÁN, Jan. Logika a logické systémy. Olomouc: Votobia, 1992.
ŠTĚPÁN, Jan. Klasická logika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2001.
NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013.
Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Požadavky na kontrolní práce
- absolvovat průběžná seminární cvičení, ze kterých každé bude ověřovat jednak
porozumění studenta přednášené látce a jednak jeho schopnost použít nabyté
poznatky v praxi. Cvičení budou mít charakter elektronických testů s výběrem
z několika odpovědí nebo doplnění krátké odpovědi.
Logika
Predikátová logika
Ve výrokové logice nezáleží na vnitřní struktuře výroku, protože výroková logika se zabývá
se pouze těmi strukturami (složenými výroky, argumenty), jejichž pravdivost či správnost
závisí pouze na způsobu, jak jsou mezi sebou jednoduché výroky spojeny. Pouze jen malá
část úsudků může být formalizována a dokázána v rámci výrokové logiky. V predikátové
logice záleží na vnitřní struktuře výroku. Pokud správnost argumentů závisí i na vnitřní
struktuře jednoduchých výroků, jsou podstatné ty prvky, kterým říkáme termíny.
Jsou situace, kdy je tato logika nedostačující, např. Aristotelovské sylogismy. Skládají se ze
dvou jednoduchých premis a jednoduchého závěru.
Petr je student.
Každý člověk je omylný.
Student je moudrý.
Jan je člověk.
Petr je moudrý.
Jan je omylný.
Označíme-li uvedené věty symboly p, q, r, pak pokus o formalizaci v rámci výrokové logiky
je dán následujícím úsudkem: p, q / r, což odpovídá formuli: (p ˄ q) Þ r.
upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Predikátová logika – Aristotelovský čtverec
Tato formalizace je však zřejmě nedostačující, a to z těchto důvodů:
Uvedené tři výroky jsou z hlediska VL elementární a navzájem nezávislé, avšak ve
skutečnosti mají vnitřní komponenty, jsou strukturované, a existuje mezi nimi
prostřednictvím těchto komponent vazba. Termín "člověk" se vyskytuje ve výrocích p i q,
termín "omylný" ve výrocích p i r, a termín "Jan" ve výrocích q i r.
Formule (p ˄ q) Þ r není tautologií, úsudek p, q / r není platný, i když úsudek
demonstrovaný příkladem evidentně platný je.
V predikátové logice, která je zobecněním výrokové logiky, je uvedený úsudek
formalizován jako
resp. následující formulí
x [p(x) Þ q(x)], p(J) |= q(J)
{ x [p(x) Þ q(x)] ˄ p(J)} Þ q(J)
upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Predikátová logika
• x je předmětová (individuová) proměnná probíhající určitou předmětnou oblast –
universum diskursu,
• J je individuová konstanta z dané předmětné oblasti (v uvedeném příkladě konkrétní
člověk Jan),
• p, q jsou určité vlastnosti předmětů z universa diskursu (v uvedeném příkladě je
interpretujeme jako vlastnosti myslících bytostí "být člověkem" a "být omylný"), p(x),
q(x) resp. p(J), q(J) značí, že x resp. J má vlastnost p resp. q ,
• zápis provsechna x[ ] značí, že pro všechna individua z předmětné oblasti platí to, co je
uvedeno v hranatých závorkách.
Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi
předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Predikátové logiky druhého a vyšších
řádů se zabývají formalizací úsudků, vlastnostmi vlastností a vztahy a o vztazích mezi
vlastnostmi a vztahy. Predikátová logika 1. řádu je zobecněním výrokové logiky, kterou
můžeme považovat za logiku nultého řádu.
upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Predikátová logika
Rozlišujeme dva druhy termínů:
• Obecné – jazykové výrazy, které označují větší množství předmětů, tj.
množinu předmětů. (člověk, město, číslo, …)
• Singulární – jazykové výrazy, které označují právě jeden předmět. (vlastní
jména jako je Pavel, Praha, …)
Singulární výroky
Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným
pomocí spony=slova „je“.
Příklad:
Pavel je člověk. (tj. Pavel patří do množiny lidí)
Praha je město. (tj. Praha patří do množiny měst)
Jednoduchý singulární výrok je způsob jednoduché predikce, jejímž smyslem je
vypovídat něco (člověk, město, ..) o něčem (Pavel, Praha, ..) (predikát, subjekt)
Na jednoduché singulární výroky lze aplikovat pravidla výrokové logiky, tj.
spojovat je do složených výroků pomocí logických spojek.
upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika
Obecný termín člověk lze spojovat pouze s jedním singulárním termínem
(jednou proměnnou)
Petr je člověk.
Jedná se proto o jednomístný predikát.
Existují i obecné termíny, které se vztahují k uspořádaným dvojicím. Nevyjadřují
jejich vlastnosti, ale jejich vzájemný vztah. („větší než“, bratr, …)
Petr je větší než Pavel.
(singulární termín) (obecný termín) (singulární termín)
Ivan je bratrem Ondry.
Takové obecné termíny se nazývají vztahové neboli relační termíny.
Existují i relační termíny, které vyjadřují vztah mezi více než dvěma předměty.
Pro vytvoření přislušného jednoduchého výroku potřebujeme příslušný počet
singulárních termínů. Jedná se o n-místný predikát.
K vyjádření vztahu, že Praha leží mezi Mělníkem a Benešovem potřebujeme
minimálně tři singulární termíny Praha, Mělník, Benešov.
upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika
Abeceda predikátové logiky je tvořena následujícími skupinami symbolů:
a) Logické symboly
předmětové (individuové) proměnné: x, y, z,... (příp. s indexy)
symboly pro spojky: ¬ ⌐ ˄ ˅ Þ ≡
symboly pro kvantifikátory ∀ provsechna, ∃ existuje
případně binární predikátový symbol = (predikátová logika s rovností)
b) Speciální symboly (určují specifiku jazyka)
predikátové symboly: p, q, r,... /příp. s indexy/
funkční symboly: f, g, h,... /příp. s indexy/
Ke každému funkčnímu a predikátovému symbolu je přiřazeno nezáporné číslo
n (n ≥ 0), tzv. arita, udávající počet individuových proměnných, které jsou
argumenty funkce nebo predikátu.
c) Pomocné symboly /závorky/: (,) /případně i [,],{,}/
upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Predikátová logika - Gramatika
a) termy: každý symbol proměnné je term
• jsou-li t1,…,tn (n ≥ 0) termy a je-li f n-ární funkční symbol, pak výraz f(t1,…,tn) je
term; pro n = 0 se jedná o nulární funkční symbol, neboli individuovou konstantu
(značíme a, b, c, …)
b) atomické formule:
• je-li p n-ární predikátový symbol a jsou-li t1,…,tn termy, pak výraz p(t1,…,tn) je
atomická formule
• jsou-li t1 a t2 termy, pak výraz (t1 = t2) je atomická formule
c) formule:
• každá atomická formule je formule
• je-li výraz A formule, pak ¬A je formule
• jsou-li výrazy A a B formule, pak výrazy (A Disjunkce B), (A Konjunkce B), (A implikace
B), (A ≡ B) jsou formule
• je-li x proměnná a A formule, pak výrazy provsechnaxA a existujexA jsou formule
• jen výrazy dle i. – iv. jsou formule
upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Predikátová logika - Gramatika
V predikátové logice vytvářejí členy strukturu pomocí predikátové konstanty (F) a
konstanty individuové (a). Pravdivost zde závisí na tom, zda spojíme vhodnou
predikátovou konstantu s vhodnou individuovou konstantou.
Co je vhodné spojení?
Výrok formy F(a) je pravdivý, právě tehdy, když je předmět, který označuje individuová
konstanta prvkem množiny, kterou označuje konstanta predikátová.
Výrok „Zinek je chemický prvek“ je pravdivý, pokud Zinek patří do množiny chemických
prvků. Výrokje nepravdivý, pokud Zinek nepatří do množiny chemických prvků.
Pravdivostní hodnotu výroku F(a) můžeme vysvětlit i pomocí přístupu Fregeho, přes
predikátové funkce.
Např. „Je chemický prvek“ vnímáme jako funkci, která pokud jí aplikujeme na zinek, je
pravdivá. (Zinek je chemický prvek) Pokud jí aplikujeme např. na vodu je nepravdivá.
(Voda je chemický prvek je nepravdivý výrok)
Přístupy
•
pomocí funkce přiřazující pravdu, nepravdu
•
pomocí množiny a vlastnosti patřit do ní, nepatřit do ní
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika - Obecné výroky
V přirozeném jazyce nacházíme výroky, které mají obecný charakter, např: Každý je
smrtelný, někteří psi jsou jezevčíci, žádný člověk není zvíře, ...
Analýza výroku Každý je smrtelný.
F ... být smrtelný (predikátová konstanta)
Individuová konstanta – není zřejmá, je jen nedefinovaný výraz každý
Jak tento výraz používáme?
Zkoumáme-li nějakou množinu individuí např. množinu lidí, je výrok Každý je smrtelný
pravdivý právě tehdy, když je smrtelný každý prvek této množiny.
Petr je smrtelný.
Ivan je smrtelný.
Jana je smrtelná.
atd. pro všechny prvky např. množiny lidí, kterou jsme se rozhodli zkoumat.
Výrok: Pro každé x platí: x je smrtelné.
F(x) ...x je smrtelné
Pro každé x platí: F(x)
∀ znak pro výraz pro každé. (obecný kvantifikátor)
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika - ČÁSTEČNÉ VÝROKY
Výroky, které začínají např. výrazem některý.
Někteří psi jsou jezevčíci.
Dvě predikátové konstanty G ...pes F .... jezevčík
Hledáme opět individua, která mají vlastnost, že současně x je pes a x je jezevčík.
K tomu, aby byl výrok pravdivý, stačí, aby existovalo alespoň jedno takové individum,
které je současně psem a současně jezevčíkem.
Existuje alespoň jedno x, pro které platí: x je pes a x je jezevčík.
Existuje alespoň jedno x, pro které platí: G(x) ˄ F(x)
∃
znak pro výraz existuje alespoň jedno (existenční kvantifikátor)
∃
x (G(x) ˄ F(x))
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika
Jestliže používáme kvantifikátory, pak musíme vzít do úvahy všechna individua předem
stanoveného oboru úvahy (universum diskursu).
Kritéria oboru úvahy:
1.
Musí obsahovat předměty, které jsou označeny individuovými konstantami
2.
Musí obsahovat předměty, které jsou označeny predikátovými konstantami
3.
Obor úvahy nesmí být prázdný.
Příklad:
Každý člověk je smrtelný. (obor úvahy: množina živočichů)
Někteří psi jsou jezevčíci. (obor úvahy: zvířata)
Pomocí predikátové logiky je možné vyjádřit např. aristotelovské výroky.
Zkoumáme například množinu živočichů (obor úvahy).
Každý pes je savec.
Dva obecné termíny
F pes
Žádný pes není savec.
G ....savec
Některý pes je savec.
Některý pes není savec.
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika
(1)
(2)
(3)
(4)
Přirozený jazyk
Každý pes je savec.
Žádný pes není savec.
Některý pes je savec.
Některý pes není savec.
aristotelsky
FaG
FeG
FiG
FoG
Predikátová logika
∀ x (F(x) Þ G(x))
∀ x (F(x) Þ ¬ G(x))
∃ x (F(x) ˄ G(x))
∃ x (F(x) ˄ ¬ G(x))
Obor úvahy = tříprvková množina (a,b,c) Individua: a,b,c
Vlastnost F (predikátová konstanta)
Výrok ∀ x F(x)
∀ x F(x) ≡ ( F(a) ˄ F(b) ˄ F(c) )
obecný kvantifikátor vyjádřený pomocí konjunkce
Výrok ∃ x F(x)
∃ x F(x) ≡ ( F(a) ˅ F(b) ˅ F(c) )
existenční kvantifikátor vyjádřený pomocí disjunkce
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika - Pravidla predikátové logiky
Pravidlo odstranění obecného kvantifikátoru:
Máme-li formuli ve tvaru : ∀ x F(x) , můžeme přejít k formuli F(a) (ve smyslu
pravdivosti označuje určitý předmět)
Jestliže každý člověk je živočich, potom Petr je živočich. (Petr je z množiny lidí)
Pravidlo zavedení existenčního kvantifikátoru:
Máme-li formuli ve tvaru F(a), můžeme přejít k formuli ∃ x F(x)
(platí tehdy, když a označuje určitý předmět)
Jestliže Petr je živočich, potom některý člověk je živočich. (Petr je člověk)
Pravidlo vztahu mezi existenčním a obecným kvantifikátorem
Máme-li formuli ve tvaru : ∀ x F(x) , můžeme přejít k formuli ∃ x F(x)
(platí tehdy, když obor úvahy není prázdný)
Jestliže každý člověk je živočich, potom některý člověk je živočich.
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika - Pravidla predikátové logiky
Vztah mezi konjunkcí a disjunkcí (de Morganův zákon)
(F(a) ˄ F(b) ˄ F(c) ) ¬ (¬ F(a) ˅ ¬ F(b) ˅ ¬ F(c) )
∀ x F(x) ≡ ¬ ( ∃ x ¬ F(x) )
¬ ∀ x F(x) ≡
x ∃ ¬ F(x)
∀ x ¬ F(x) ≡ ¬ (∃ x F(x) )
¬ (∀ x ¬ F(x) ) ≡ ∃ x F(x)
formule s existenčním kvantifikátorem bývá spojována s disjunkcí
formule s obecným kvantifikátorem bývá spojována s konjunkcí
vztah mezi implikací a konjunkcí:
(p
∀ q) ≡ ¬ ( p ˄ ¬ q)
( p ˄ q) ≡ ¬ ( p
¬ q)
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika
Predikátová logika - Aristotelovské výroky v predikátové logice
Každý pes je savec.
∀ x (F(x)
G(x))
Žádný pes není savec.
∀ x (F(x)
¬ G(x))
¬ ∃ x (F(x) ˄ ¬ G(x))
Některý pes je savec.
∃ x (F(x) ˄ G(x))
¬ ∀ x (F(x)
¬ G(x))
¬ ∃ x (F(x) ˄ G(x))
Některý pes není savec.
∃ x (F(x) ˄ ¬ G(x))
¬ ∀ x (F(x)
G(x))
affirmo (tvrdím, lat.) – neggo (popírám, lat.), subjekt (S) a predikát (P)
Každý (+)
kontrární
SaP
Nikdo (-)
SeP
subalternační
kontradiktorický
subalternační
Někdo (+)
subkontrární
Někdo (-)
SiP
SoP
Platí vztah kontradikce. Vztah kontrárnosti, subkontrárnosti a subalternace v predikátové logice
neplatí, protože můžeme používat prázdné obecné termíny. (např. jednorožec).
upraveno podle: : NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.