L`HOSPITALOVO PRAVIDLO

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 7.1 -
L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
LIMITY TYPU 0/0
PŘÍKLAD 1
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim
x →0
sin x
.
x
Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty 1
Přímočarým použitím věty o limitě podílu získáváme
sin x 0
sin x lim
= x →0
= .
x →0
x
lim x
0
lim
x →0
Jedná se tedy o neurčitou limitu typu 0/0 a můžeme použít L´Hospitalova pravidla.
Použití L´Hospitalova pravidla 2
sin x )′
(
sin x
cos x
lim
= lim
= lim
= lim cos x = cos 0 = 1 .
x →0
x
→
0
x
→
0
x →0
x
x′
1
PŘÍKLAD 2
1 − cos x
.
x →0
x2
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim
Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty
(1 − cos x ) 0
1 − cos x lim
x →0
=
= .
x →0
x2
lim x 2
0
lim
x →0
Použití L´Hospitalova pravidla
(1 − cos x )′ = lim 0 − ( − sin x ) = 1 lim sin x .
1 − cos x
lim
=
x →0
x →0
x →0
x2
2x
2 x →0 x
x2 ′
lim
( )
Použitím L´Hospitalova pravidla jsme tedy dospěli k limitě z příkladu 1. O té ale víme, že je
rovna jedné. Můžeme proto psát
1
Použití L´Hospitalova pravidla, ať již v základní verzi podle L´Hospitalovy věty nebo v některé z verzí rozšířených, zahrnuje vždy dva kroky: a) ověření předpokladů, za nichž lze výpočet provést, b) samotný výpočet.
Na místě je upozornění, že první krok je rovnocenný kroku druhému a není jej možno vynechat.
2
Uvedený příklad je pouze jednoduchou ilustrací použití L´Hospitalovy věty. Ve skutečnosti bychom takto
uvedenou limitu počítat nemohli, neboť k výpočtu potřebujeme znát derivaci funkce sinus a k určení této derivace zase počítanou limitu. Pohybujeme se tedy v kruhu. Stejná výhrada platí i pro příklad následující.
L´Hospitalovo pravidlo
- 7.2 1 − cos x 1
1
= ×1 = .
2
x →0
x
2
2
lim
Pokud bychom ale výsledek příkladu 1 neměli k dispozici, museli bychom použít
L´Hospitalova pravidla ještě jednou.
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 1 A 2
1. Pomocí L´Hospitalova pravidla určete následující limity.
e) lim
x →0
1 − cos x
ex −1 − x
x →0
x2
f) lim
1+ x −1
x
c) lim
tg x
x →0 x
d) lim
b) lim
e x − (1 + x )
ex −1
x →0
x
x sin x
x → 0 1 − cos x
a) lim
x →0
g) lim
x →0
arctg x
arcsin x
(1 + x)100 − (1 + 100 x)
x → 0 (1 + x ) 99 − (1 + 99 x )
h) lim
LIMITY TYPU ∞/∞
PŘÍKLAD 3
ln x
.
x →+∞ x
Pomocí L´Hospitalova pravidla určete lim
Řešení
Ověření předpokladů L´Hospitalovy věty
Přímočarým použitím věty o limitě podílu získáváme 3
ln x +∞
ln x xlim
.
= →+∞
=
x →+∞ x
+∞
lim x
lim
x →+∞
Jedná se tedy o neurčitou limitu typu ∞/∞ a můžeme použít L´Hospitalova pravidla.
Použití L´Hospitalova pravidla
ln x )′
(
ln x
1/ x
1
1
= lim
= lim
= lim =
= 0.
lim
x →+∞ x
x →+∞
x
→+∞
x
→+∞
x′
x +∞
1
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 3
1. Pomocí L´Hospitalova pravidla určete následující limity.
ln 2 x
x →+∞
x
a) lim
5
ln x
x →+∞
x
b) lim
3
c) lim
x →−∞
ln x
x
log 2 x
x →+∞
x
d) lim
(1 + x)100
x →+∞
x5
ex
x →+∞ x
g) lim
ex
, n∈`
x →+∞ x n
h) lim
e) lim
f) lim
(1 − 2 x)3
x →−∞ (1 + 2 x ) 3
Stačilo by ovšem ověřit jen, že lim | x | ≡ lim x = +∞ ( viz Breviář, L´Hospitalova věta).
x →+∞
x →+∞
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 7.3 -
LIMITY TYPU 0.∞
PŘÍKLAD 4
Určete lim+ ( x ln x ) .
x →0
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Limita, kterou se máme zabývat nyní, není ani neurčitou limitou typu 0/0, ani limitou typu
∞/∞. L´Hospitalova pravidla nemůžeme tedy použít, aniž provedeme jisté úpravy limitovaného výrazu. V tomto případě vede k cíli úprava
x ln x =
ln x
,
1/ x
která uvedenou limitu převádí na limitu typu ∞/∞. Platí totiž
lim+ ln x = −∞ a lim+
x →0
x →0
1
= +∞ .
x
Použití L´Hospitalova pravidla
ln x )′
 1 x2 
(
ln x
1/ x
= lim+
= lim+
= − lim+  ×  = − lim+ x = 0 .
lim ( x ln x ) = lim+
2
x → 0+
x →0 1/ x
x →0
x →0
x →0
x 1 
(1/ x )′ x→0 −1/ x
PŘÍKLAD 5
(
2
)
Určete lim x 2 e − x .
x →+∞
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Úprava
2 − x2
xe
=
převádí uvedenou limitu na typ ∞/∞. Platí totiž
x2
ex
2
,
2
lim x 2 = +∞ a lim e x = +∞ .
x →+∞
x →+∞
Při výpočtu této limity již můžeme použít L´Hospitalovo pravidlo.
Použití L´Hospitalova pravidla
(
2 − x2
lim x e
x →+∞
) = lim e
x2
x →+∞
x2
( x )′
2
= lim
x →+∞
( e )′
x2
= lim
x →+∞
2x
2 xe
x2
= lim
x →+∞
1
e
x2
=
1
= 0.
+∞
L´Hospitalovo pravidlo
- 7.4 -
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4 A 5
1. Určete následující limity.
a) lim− ( x 2 log | x |)
x →0
b) lim+ ( ln x × arctg x )
(
2
)
1

d) lim  x arctg 
x →−∞
x

c) lim x n e − x , n ∈ `
x →0
x →+∞
LIMITY TYPU 1∞, 00 a ∞0
PŘÍKLAD 6
1/ x
Určete lim+ (1 + ax ) , a ∈ \ .
x →0
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Ani při výpočtu této limity nelze použít L´Hospitalovo pravidlo přímo (jedná se o limitu typu
1∞) a je nutno nejdříve provést úpravu 4
(1 + ax )
1/ x
=e
ln (1+ ax )
1/ x
=e
ln (1+ ax )
Pak můžeme psát
lim (1 + ax )
1/ x
x → 0+
= lim+ e
ln (1+ ax )
x
x →0
.
x
=e
lim
ln (1+ ax )
x→0+
x
.
Použití L´Hospitalova pravidla
Především platí
lim+
x →0
ln (1 + ax )
ln (1 + ax )′
= lim+
= lim+
x →0
x →0
x
x′
1
1+ ax
a
1
= lim+
x →0
a
= a,
1 + ax
a proto i
lim+ (1 + ax )
1/ x
x →0
= ea .
PŘÍKLAD 7
Určete lim+ x x .
x →0
Řešení
Dříve, než použijeme L´Hospitalovo pravidlo, musíme provést úpravu
x x = e x ln x ,
pomocí které již můžeme psát
lim x ln x
lim+ x x = lim+ e x ln x = e x→0+
x →0
4
viz Breviář, kap. 1.6
x →0
.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 7.5 -
Tím je původní limita převedena na výpočet limity lim+ x ln x z příkladu 4, kde je ukázáno, že
x →0
lim ( x ln x) = 0 , a proto platí i
x → 0+
lim x x = e0 = 1.
x → 0+
PŘÍKLAD 8
1/ x
Určete lim (1 + ax ) , a > 0 .
x →+∞
Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Úprava, kterou použijeme před aplikací L´Hospitalova pravidla, je stejná jako v příkladech
6a7
(1 + ax )
1/ x
= eln (1+ ax )
1/ x
Můžeme tedy psát
lim (1 + ax )
1/ x
x →+∞
= lim e
=e
ln (1+ ax )
x
x →+∞
ln (1+ ax )
x
=e
lim
x→+∞
.
ln (1+ ax )
x
.
Použití L´Hospitalova pravidla
Samotné L´Hospitalovo pravidlo použijeme na výpočet limity v exponentu
1
ln (1 + ax )
ln (1 + ax )′
a
a
a
a
= lim
= lim 1+ ax = lim
=
=
=0.
x →+∞
x
→+∞
x
→+∞
x
→+∞
1
1 + ax 1 + a (+∞) +∞
x
x′
lim
Pro původní limitu takto získáváme
lim (1 + ax )
1/ x
x →+∞
= e0 = 1 .
CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 6 – 8
1. Určete následující limity.
1/ x
1+ x 
a) lim+ 

x →0  1 − x 
b) lim − ( sin x )
x →π / 2
tg x
c) lim+ (sin x) x
x →0
d) lim x n / x , n ∈ `
x →+∞
L´Hospitalovo pravidlo
- 7.6 -
LIMITY TYPU ∞ – ∞
PŘÍKLAD 9
 1

− tg x  .
Určete lim + 
x →π / 2  cos x

Řešení
Převedení na L´Hospitalovu limitu
Pomocí úpravy
1
1
sin x 1 − sin x
− tg x =
−
=
cos x
cos x cos x
cos x
převedeme původní limitu (typu ∞ – ∞) na novou limitu
lim
x →π / 2+
1 − sin x
,
cos x
která je typu 0/0. Při výpočtu této nové limity můžeme tedy použít L´Hospitalovo pravidlo.
Použití L´Hospitalova pravidla
lim +
x →π / 2
(1 − sin x )′ = lim 0 − cos x = lim cos x = 0 = 0 .
1 − sin x
= lim +
x →π / 2
x →π / 2+ − sin x
x →π / 2+ sin x
cos x
cos x′
1
CVIČENÍ K PŘÍKLADU 9
1. Určete následující limity.
 1

a) lim+ 
− cotg x 
x → 0  sin x

5
1
1 
b) lim+  −

x →0
 x tg x 
(5)
c) lim
x →+∞
(
3+ x − 2+ x
)
(6)
 1
1 
−
d) lim− 

x →1
1− x 
 1− x
(7)
Po použití L´Hospitalova pravidla využijte v závěrečných úpravách vhodně znalosti limity lim sinx x = 1 .
x→ 0
6
A nakonec něco z jiného soudku. Limita, kterou máte počítat, je sice limitou typu ∞ − ∞ , tentokrát je ale vhodnější úprava poněkud odlišná od té, kterou jsme provedli v předcházejících dvou cvičeních – limitovaný výraz
vynásobte jednotkovým zlomkem
3+ x + 2+ x
.
3+ x + 2+ x
7
I zde limitovaný výraz vhodně upravte a při výpočtu použijte lim−
x →1
1
1− x
= +∞ .