3.5. Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo) Věta 3.5

Matematika I, část II
Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
3.5. Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
Výklad
Věta 3.5.1. Nechť x0 ∈ R* a nechť
lim f ( x) = lim g ( x) = 0, resp.
x → x0
x → x0
lim f ( x) = ±∞ a
x → x0
lim g ( x) = ±∞. Nechť existuje
x → x0
f ′( x)
f ( x)
f ( x)
a platí lim
= a, a ∈ R* , pak existuje lim
= a.
x → x0 g ′( x)
x → x0 g ( x )
x → x0 g ( x)
lim
Bez důkazu.
Poznámka
f ( x)
f ′( x)
= lim
= a, a ∈ R* platí i pro jednostranné limity.
′
g
(
x
)
g
(
x
)
x → x0
x → x0
1.
Rovnost
2.
Z věty 3.5.1 vyplývá, že postup lze opakovat. Pak platí
lim
f ( x)
f ( n) ( x)
= lim
= a, a ∈ R*.
lim
(
n
)
x → x0 g ( x) x → x0 g ( x)
3.
Limity z věty 3.5.1 budeme symbolicky označovat
f ( x) 0
f ( x) ∞
= , resp. lim
= .
x → x0 g ( x) 0
x → x0 g ( x ) ∞
lim
4.
Věta 3.5.1 se nazývá L′Hospitalovo pravidlo.
Řešené úlohy
Příklad: Vypočtěte
Řešení: lim
x →0
lim
ex − x −1
x →0
x 2 + x − sin x
x
x 2 + x − sin x
e − x −1
=
.
0
2 x + 1 − cos x 0
2 + sin x
= lim
´= = lim
= 2.
x
0 x →0
0 x →0 e x
e −1
287
Matematika I, část II
Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
ln x
.
x →∞ x
Příklad: Vypočtěte lim
1
ln x ∞
1
= = lim x = lim = 0.
Řešení: lim
∞ x →∞ 1 x →∞ x
x →∞ x
x + sin x
.
x
x →∞
Příklad: Vypočtěte lim
x + sin x ∞
1 + cos x
= = lim
= lim (1 + cos x).
∞ x →∞
1
x
x →∞
x →∞
Řešení: lim
Tato limita vůbec neexistuje a nelze tedy L′Hospitalovo pravidlo použít. Platí však
x + sin x
sin x
= lim (1 +
) = 1 + 0 = 1.
x
x
x →∞
x →∞
lim
Poznámka
0
∞
Neurčité výrazy 0.∞, ∞ - ∞, 00 , ∞0 , 0∞ , 0∞ a 1∞ musíme upravit na tvar
nebo
.
0
∞
Řešené úlohy
1
Příklad: Vypočtěte lim x.sin .
x
x →∞
1
1
1
cos .(− 2 )
1
x
x = 0 = lim
x = lim cos 1 = 1.
Řešení: lim x sin = ∞.0 = lim
x
x
0 x →∞ ⎛ 1 ⎞
x →∞
x →∞ 1
x →∞
⎜− 2 ⎟
x
⎝ x ⎠
sin
⎛1
⎞
1
Příklad: Vypočtěte lim ⎜ −
⎟.
x → 0 ⎝ x ln(1 + x) ⎠
1
−1
⎛1
⎞
1
ln(1 + x) − x 0
1+ x
Řešení: lim ⎜ −
=
∞
−
∞
=
=
=
=
lim
lim
⎟
0 x → 0 ln(1 + x) + x
x → 0 ⎝ x ln(1 + x) ⎠
x → 0 x ln(1 + x )
1+ x
288
Matematika I, část II
Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
1−1− x
−x
0
1
1+ x
= lim
= lim
= = − lim
=
x
x
x
(1
+
)
ln(1
+
)
+
1+ x
x →0
x → 0 (1 + x ) ln(1 + x ) + x 0
x →0
ln(1 + x) +
+1
1+ x
1+ x
1
1
=− .
2
x →0 ln(1 + x) + 2
= − lim
Příklad: Vypočtěte
lim x x .
x → 0+
lim x ln x
Řešení:
lim x x = 00 = lim e x ln x = e x→0
x →0
+
x →0
+
+
= ea ,
1
ln x ∞
a = lim x ln x = 0.∞ = lim
= = lim x = − lim x = 0,
+
+ 1
∞ x → 0+ − 1
x →0
x →0
x → 0+
x
x2
lim x x = e0 = 1.
x → 0+
Kontrolní otázky
1. Při splnění předpokladů L´Hospitalova pravidla platí rovnost:
a)
⎛ f ( x) ⎞′
f ( x)
*
= lim ⎜
⎟ = a, a ∈ R ,
x → x0 g ( x ) x → x0 ⎝ g ( x) ⎠
b)
f ( x)
f ′( x)
= lim
= a, a ∈ R* ,
x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x)
c)
f ( x)
f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x)
= lim
= a, a ∈ R*.
2
x → x0 g ( x ) x → x0
g ( x)
lim
lim
lim
f ′( x)
f ( x)
neexistuje, pak lim
x → x0 g ′( x)
x → x0 g ( x )
2. Pokud při použití L´Hospitalova pravidla limita lim
a) neexistuje,
b) nelze tímto výpočtem rozhodnout,
c) existuje.
3. L´Hospitalovo pravidlo nemůžeme použít na výpočet limit vedoucích k výrazům
289
Matematika I, část II
a)
Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
1
, 0 ⋅ 0,
∞
b) 1∞ , ∞ − ∞,
c) 0 ⋅ ∞, ∞0 .
Odpovědi na kontrolní otázky
1. b); 2. b); 3. a).
Úlohy k samostatnému řešení
1. Vypočtěte:
a)
lim
ln x
,
x →1 x − 1
b)
d)
e x − e− x
,
x →0 ln(1 + x)
e)
lim
x − sin x
lim
x3
2 x2
x →0
lim
x → 0 tg 2 x
,
c)
,
f)
x2 − 1
lim
x →1 x3 − 2 x 2
x
x2
lim
x →0 2 x
−1
+ 2x −1
,
.
2. Pomocí L’Hospitalova pravidla vypočtěte cvičení 2.4.1 a 2.4.2.
3. Vypočtěte:
a)
lim
xn − x
x →1 x n
,
−1
ln(cos ax)
,
d) lim
x →0 ln(cos bx)
4. Vypočtěte:
ln x
lim
,
a)
x →+∞ x n
tg x
lim
,
d)
π − tg 3x
x→
b)
e)
b)
e)
2 cos x + x 2 − 2
lim
x 2 sin 2 x
x − arctg x
lim
,
x →0
x3
x →0
ln x
,
x →0 1 + 2 ln sin x
ln x
lim
,
x →0+ cotg x
lim
+
,
c)
ax − bx
,
x
x →0
f)
x −3a
.
x→a x − a
lim
3
c)
f)
lim
ln sin 2 x
,
x → 0 ln sin x
ex
lim
.
x →∞ x5
lim
+
2
5. Vypočtěte:
a)
lim x3e− x ,
x →+∞
b)
lim x n ln x ,
x → 0+
c)
lim x cotg(π x) ,
x → 0+
1
d)
2
lim x sin ,
x
x →∞
e)
2
lim x 2e x ,
x → 0+
290
f)
lim (1 − cos x) cotg x .
x →0+
Matematika I, část II
Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
6. Vypočtěte:
a)
1
lim (cotg x − ) ,
x
x →0
x
1
d) lim (
−
) ,
x →1 x − 1 ln x
7. Vypočtěte:
a)
x
lim x ,
x →0
+
b)
lim (
1
1
−
) ,
2
x →1 2 ln x x − 1
c)
e)
1
lim x(e x − 1) ,
x →∞
f)
b)
1
lim x x ,
x →∞
c)
d)
⎛1⎞
lim ⎜ ⎟
x → 0+ ⎝ x ⎠
,
e)
g)
1
lim (1 + mx) x ,
x →0
1
lim (e + x) x ,
x → 0+
1
h)
lim (cos 2 x) x ,
tg x
x
2
x →0
f)
i)
1
1
lim ( −
) ,
x
x →0 x e − 1
lim (1 − e2 x ) cotg x .
x → 0+
lim xsin x ,
x → 0+
1
1
−
lim x x ,
x →1
lim (tg x)cotg x .
x→
π−
2
Výsledky úloh k samostatnému řešení
1
1
n −1
1
a
1
a2
; c) 2; d) 2; e) 2; f)
. 3. a)
; b)
; c) ln ; d)
; e) ;
2
6
ln 2
12
3
n
b
b
1. a) 1; b)
f)
2
36 a
. 4. a) 0; b)
6. a) 0; b)
1
1
; c) 1; d) 3; e) 0; f) ∞ . 5. a) 0; b) 0; c) ; d) 2; e) ∞ ; f) 0.
2
π
1
1
1
; c) ; d) ; e) 1; f) -2. 7. a) 1; b) 0; c) 1; d) 1; e) e 2 ; f) e−1 ; g) em ;
2
2
2
h) e−2 ; i) 1.
Kontrolní test
tg x − 1
.
π sin 4 x
x→
1. Vypočtěte lim
4
1
a) − ,
8
1
1
b) − , c) .
2
2
3
2
x − 3x + x + 1
.
2. Vypočtěte lim
π
x →1
cos x
2
4
.
a) −2, b) 2,
c)
π
291
Matematika I, část II
Výpočet limit užitím derivace (L′Hospitalovo pravidlo)
e x − e− x
.
x
x →0
a) 2,
b) 0,
c) 1.
1 − 2sin x
.
4. Vypočtěte lim
π cos3 x
x→
3. Vypočtěte lim
6
1
3
, c) 3.
3
x − sin x
5. Vypočtěte lim
.
x →0 1 − cos x
1
a) 1,
b) 0,
c) .
2
x
−x
e − e − 2x
6. Vypočtěte lim
.
x →0
x3
1
c) 2.
a) 0, b) ,
3
ln x
7. lim
.
x →0+ ln(sin x )
a) 1, b) 0, c) −1.
a)
3
,
b)
8. Vypočtěte lim (e x − 1)cotg x.
x →0
a) 0, b) ∞, c) 1.
⎛1
⎞
1
9. Vypočtěte lim ⎜ −
⎟.
x →0 ⎝ x ln(1 + x) ⎠
1
a) ∞,
b) −∞, c) − .
2
10. Vypočtěte lim (sin x) tg x .
x →0 +
a) e,
b) 1,
c) 0.
Výsledky testu
1. b); 2. c); 3. a); 4. a); 5. b); 6. b); 7. a); 8. c); 9. c); 10. b).
Průvodce studiem
Pokud jste správně odpověděli nejméně v 7 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném
případě je třeba prostudovat kapitolu 3.5. znovu.
292