diplomová práce

Transkript

diplomová práce

Česká zemědělská Univerzita v Praze
Fakulta životního prostředí
Katedra vodního hospodářství a environmentálního modelování
DIPLOMOVÁ PRÁCE
Jan Křivonožka
Matematické modelování pole proudění a
transportu pasivní příměsi v mezní vrstvě
atmosféry
Vedoucí diplomové práce: Doc. Mgr. Marek Vach, PhD.
Studijní program: Environmentální modelování
2009
Poděkování
Velice děkuji Doc. Mgr. Marku Vachovi, PhD., za nadšené a trpělivé vedení mé práce, předávání
zkušeností s praktickým řešení problémů proudění, důkladné zaškolení v programech Gambit
a Fluent, poskytnutou literaturu, cenné rady a volný čas, kterého tato práce zabrala velké
množství.
Velký dík patří také Radimu Pechalovi, který poskytl odborné rady a literuturu pro práci s
programem LATEX, ve kterém je tato práce vysázena.
Dále díky všem, kdo se podíleli na korekturách. Především však své studentce Marii Dvoryančikové za korekturu anglické verze abstraktu a dále Karolíně Pechalové, Miroslavu Štufkovi
a Michaele Mičkové za významné korektury českého textu.
Děkuji také Jiřímu Křivonožkovi za zapůjčení počítače k předlouhému sázení textu této
práce.
Nakonec také díky všem svým studentům fyziky z Klasického gymnázia Modřany za kritiku
práce, korektury a zejména za shovívavost k tomu, že jsem se jim až do dokončení této práce
nemohl naplno věnovat.
Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně, pod vedením Doc. Mgr. Marka
Vacha, PhD., a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a
jejím zveřejňováním.
V Praze dne 22. dubna 2009
Jan Křivonožka
i
Obsah
Úvod
1
1 Cíl práce a metodika
3
2 Základní aspekty problematiky ochrany ovzduší
2.1 Zdroje znečištění ovzduší a jejich srovnání . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Způsoby řešení nejzásadnějších problémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Různé metody modelování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Způsoby aplikace matematického a fyzikálního modelování v ochraně ovzduší
2.5 Problematika ochrany ovzduší v oblasti východních Krkonoš . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
5
5
6
7
8
9
3 Matematický model proudění tekutin
3.1 Základní sada rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Shrnutí výchozích rovnic obecného modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
15
4 Systémy rovnic a jejich aproximace
4.1 Rovnice stlačitelného proudění . . . . . . . . . . . .
4.2 Rovnice nestlačitelného proudění . . . . . . . . . .
4.3 Aproximace mělké vody . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Aproximace hluboké vody - anelastická aproximace
4.5 Hydrostatická aproximace . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Boussinesqova aproximace . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
16
17
18
19
19
20
21
5 Základy modelování turbulentního proudění
5.1 Pohybové rovnice turbulentního proudění . . . . .
5.2 Problém uzávěru . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Prandtlova teorie turbulentního přenosu hybnosti
5.4 Používané modely turbulence . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
25
26
28
30
6 Modelování transportu pasivní přímesi
6.1 Gaussovský model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Lagrangeův popis šíření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Eulerovská metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
34
35
7 Numerické řešení problému
7.1 Metoda konečných diferencí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Metoda konečných prvků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
36
37
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
7.3
Metoda konečných objemů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Tvorba výpočtové sítě
8.1 Zapracování komplikovaného terénu do výpočtové sítě .
8.2 Tvorba sítě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Model mezní vrstvy ve výpočtové síti . . . . . . . . . .
8.4 Zadání vstupních profilů rychlosti a modelu turbulence
39
.
.
.
.
41
41
42
43
45
9 Výsledky numerického modelu
9.1 Způsoby prezentování výsledků výpočtů a grafických výstupů . . . . . . . . . .
9.2 Diskuze dosažených výsledků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Vliv hustoty sítě, tvaru buněk a mezní vrstvy na výsledky výpočtu . . . . . . .
47
47
49
50
Závěr
51
Literatura
52
A Hlavní grafické výstupy - pro všechny sítě
A.1 Použité druhy sítí . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Tlakové pole těsně nad terénem . . . . . . . . . . .
A.3 Turbulentní kinetická energie těsně nad terénem . .
A.4 Vektory rychlosti těsně nad terénem . . . . . . . . .
A.5 Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem - horní
A.6 Vektory rychlosti pro boční profil . . . . . . . . . .
A.7 Rychlostní pole pro boční profil . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
55
55
55
55
55
55
68
70
.
.
.
.
.
.
72
72
72
72
72
75
75
.
.
.
.
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
boční náhled
. . . . . . . .
. . . . . . . .
B Vedlejší grafické výstupy - jen pro vybrané sítě
B.1 Hustotní pole a tok hmoty nad terénem . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Rychlostní pole na horní hranici oblasti . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Tlakové pole na horní hranici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Turbulentní viskozita na horní hranici terénu . . . . . . . . . . . . .
B.5 Typický histogram rychlosti v oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.6 Typický graf závislosti velikosti rychlosti na horizontální souřadnici
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Abstrakt
Název práce: Matematické modelování pole proudění a transportu pasivní příměsi v mezní
vrstvě atmosféry
Autor: Jan Křivonožka
Katedra: Katedra vodního hospodářství a environmentálního modelování
Vedoucí diplomové práce: Doc. Mgr. Marek Vach, PhD.
E-mail vedoucího: [email protected]
Cílem této diplomové práce je studium matematického modelování rychlostního pole a transportu pasivní přímesi při proudění nad velmi komplikovaným reálným terénem v mezní vrstvě
atmosféry. Podrobně je odvozen a popsán použitý matematický model. Věnujeme se také diskuzi
nad zahrnutím turbulence a transportní rovnice do modelu. Dále je široce diskutován problém
zjednodušení obecné soustavy rovnic a volba okrajových podmínek. Vzhledem k praktickému
zaměření práce dále řešíme metody zadání komplikovaného reálného terénu do výpočtu a tvorbu
výpočtové sítě. Nakonec jsou rozebrány numerické podmínky řešení a zejména praktický popis
řešení specifických aspektů souvisejících se zvloneným terénem a to už konkrétně v prostředí
softwaru Fluent. Výsledkem práce je srovnání vypočtených výsledků, které je uvedeno v příloze.
Klíčová slova: Mezní vrstva atmosféry, matematické modely proudění, turbulence, Boussinesqova aproximace, okrajové podmínky, Fluent, Gambit.
Abstrakt
Title: Mathematical modeling of flow field and passive admixture transport in atmospheric
boundary layer
Author: Jan Křivonožka
Department: Department of Water Resources and Environmental Modeling
Supervisor: Doc. Mgr. Marek Vach, PhD.
Supervisor’s e-mail address: [email protected]
The aim of this diploma thesis is the study of mathematical modeling of the flow field and
passive admixture transport above the real and very complicated topography in atmospheric
boundary layer. Mathematical model used is derived and explained in detail. We discuss the
turbulence model and using the transport equation as well. The simplification of the general
system of partial differential equations and choice of boundary conditions is also discussed in
great detail. Considering the practical side of this diploma thesis we also discuss how to describe
in detail and include complicated real topography into the computing scheme. In a special case
study we describe and discuss how to exactly make computing mash . Finally, we discuss numerical conditions of the solution and most importantly the practical describtion of solving specific
aspects relating to the chosen terrain, specificallz in the Fluent software. The result of this
thesis is the comparison of results, which are shown in the attachement.
Keywords: Atmosferic boundary layer, Mathmatical models of flow, turbulence, Boussinesq
approximation, boundary conditions, Fluent, Gambit.
Úvod
Tato práce se zabývá velmi aktuálním problémem, kterým je řešení transportních úloh v praktické meteorologii a zejména v problematice ochrany ovzduší. Matematické modelování má v
tomto oboru dnes již nezastupitelné místo, což je dáno úspěšnými aplikacemi řešení složitých
soustav parciálních diferenciálních rovnic pro modelování rychlostního pole proudění, či možná
ještě častěji, modelování transportu znečištění v ozvduší. Matematické modely jsou vhodné k
řešení praktických problémů z několika důvodů. Jednak řeší problémy s čím dál větší přesnosti,
čehož je dosaženo díky zlepšujícím se hardwarovým, ale i softwarovým možnostem, které nám
umožňují provádět numerická řešení i těch velmi složitých a ještě před několika lety neřešitelných
soustav rovnic s komplikovanými počátečními a okrajovými podmínkami. Dalším důvodem je
jistě i finanční dostupnost a jednoduchost oproti např. metodám fyzikálního modelování, kdy je
třeba vytvořit zmenšené modely reálných profilů a simulovat reálné proudění v aerodynamických
tunelech. Metody matematického modelování jsou v tomto případě mnohem flexibilnější. Oproti
tomu se setkáváme s velkou nevýhodou, která spočívá v tom, že celé řešení reálných problémů
je jaksi skryto v nepřehledných soustavách rovnic, kterým většina techniků či ekologů rozumí
jen v největších základech. Jde tedy o matematickou i do jisté míry programátorskou náročnost
řešení. Často se v praxi matematičtí modeláři setkávají s několikatýdenním odlaďováním svým
algoritmů. V našem případě si pomůžeme dnes již velmi často používaným softwarem Fluent,
pomocí nejž provedeme vetšinu potřebných výpočtů.
Nyní je třeba si uvědomit, že z hlediska praktického modelování je nutno rozlišovat jednotlivé
úlohy dle jejich měřítka. Ze všech možných aplikací se v této práci budeme věnovat řešení
proudových polí na relativně malém měřítku a to na oblastech o rozměrech přibližně 10 x 10
km. Půjde nám o řešení pole proudění a dále také, mimo jiné, pole tlakového nad topograficky
komplikovaným terénem.
Další problém, který lze označit za velmi základní, někdy i nejtěžší, výpočtově nejkomplikovanější a nutný doplnit důkladnou diskuzí, je tvar tzv. hraničních podmínek1 . Na této práci
bude zajímavé zejména to, že se budeme zabývat řešením problémů nad komplikovaným terénem, konkrétně nad horským terénem ve východních Krkonoších, což je typ terénu orograficky
velmi náročný díky velkému počtu údolí a vysokým vyškovým gradientům. Pro zadání takto
složité spodní hranice modelu si pomůžeme softwarem Gambit, který velice dobře spolupracuje
s výpočtovým prostředím programu Fluent. Otestujeme více možností tvorby výpočtové sítě
a diskutovat budeme jejich vliv na výsledný výpočet.
Co se týká struktury práce, tak si klademe za cíl před samotným řešením konkrétních problémů proudění nad reálným terénem předložit podrobný popis matematického modelu a to
včetně popsání a diskuze složitého modelu turbulence. Začneme popisem a odvozením základních a obecných rovnic. Přejdeme k jejich nejběžnějšímu zjednodušení, čímž bude vytvořen
jakýsi přehled nejběžněji používaných modifikací nejobecnějších rovnic. Chceme se tak vyhnout
1
V anglické literatuře boundary conditions, pozn. autora.
1
častému jevu, kdy v praxi používáme mocných softwarových nástrojů pro řešení velmi složitých
problémů bez dostatečného matematického porozumění detailům modelu, což téměř vždy vede
k velmi podivným až špatným interpretacím výsledků. Proto v další části textu diskutujeme i
vhodnost použítí jednotlivých modelů turbulence.
Věřím, že tato práce dobře poslouží jako přehledná pomůcka pro ty, kdož by se chtěli pokoušet
o matematické modelování proudění v mezní vrstvě atmosféry. Svým obsahem by měla zahrnout
potřebné matematické a fyzikální vysvětlení a diskuzi použitých metod. Dále tato práce může
být zdrojem inspirace pro ty, kdo se chtějí dozvědět o možnostech praktického využití pokročilé
matematiky v problémech ochrany proudění v atmosféře či ochrany ovzduší. V příloze jsou
uvedeny veškeré výstupy z modelování konkrétního krkonošského terénu.
2
Kapitola 1
Cíl práce a metodika
Pokusme se nyní více precizovat metodiku a cíl této práce. V tak široké problematice, jakou je
matematické modelování, je to více než nutné pro přesné pochopení toho, čemu se v této práci
věnujeme.
Nejprve definujeme základní aspekty problematiky ochrany ovzduší. Tato část práce je důležitá pro motivaci k následné podrobné analýze proudění a konkrétním výpočtům. Cílem této
části je velmi stručný přehled problémů ochrany ovzduší a srovnání různých vlivů s ohledem na
to, jak se uplatňují dnes oproti minulosti a jak se naopak situace bude vyvíjet do budoucna s
ohledem na plánované změny ve struktuře energetiky apod.
Dále je našim cílem pečlivě sestavit obecný systém rovnic, které popisují problémy proudění
v mezní vrstvě atmosféry. Neklademe při tom důraz na detailní matematickou preciznost, neboť
to by skutečně rozsahem i tématem přesahovalo rámec této práce, ale cílem je, aby čtenáři bylo
jasné, jak vzniknul nejobecnější systém rovnic. Důkazy konkrétních tvrzení jsou dále k prostudování v citované literatuře, která je více matematicky zaměřená. Při důsledném dokazování
veškerých tvrzení bychom při formulaci našeho problému došli velmi rychle až k Jarníkovým
biblím matematické analýzy. Z této práce by mělo být objasněno, jak lze dále obecnou soustavu
rovnic, kterou nejsme schopni ani numericky řešit, zjednodušit a tím dále postoupit numerickým metodám. Tato práce poskytuje poměrně obsáhlý výčet základních zjednodušujících metod,
které jsou podrobně popsány.
Stejně tak si klademe za cíl rozebrat teoreticky různé modely turbulence, což je z matematického hlediska problematika také značně obsáhlá a hlavně stále kompletně nedořešená. Nicméně
v matematickém modelování proudění v mezní vrstvě atmosféry se musíme o nějakou formulaci
turbulentního proudění pokusit, neboť při proudění nad reálnými terény a navíc v zajímavých
topografiích je turbulence velmi významný fenomén.
Dále je našim cílem popsat detailně metodiku řešení transportu pasivní přímesi. Tato problematika je obecně velmi zajímavá a je nutno ji v této práci prodiskutovat, neboť dle oficiální
metodiky SYMOS, která by měla sloužit v technických aplikacích pro řešení transportu přímesi
je založen na gaussovském modelu rozptylu, jehož předpoklady jsou velmi svazující pro většinu
reálných problémů. Porovnáme tedy v práci model gaussovský s pohledem lagrangeovským či
s nejmodernějším postupem, který je zahrnut například i v softwaru Fluent a tím je přímé
eulorovské modelování pasivní přímesi.
V neposlední řadě chceme v této práci popsat metody tvorby výpočtových sítí a zadávání
okrajových a počátečních podmínek. Tento praktický aspekt je v řešení praktických problémů
dosti zásadní, takže mu v této práci budeme věnovat značnou pozornost. Uvedeme různé možnosti tvorby výpočtové sítě, jejíž spodní hranice je tvořena reálným terénem. Porovnáme několik
3
Kapitola 1: Cíl práce a metodika
typů výpočtové sítě z hlediska její hustoty či tvaru buněk apod. Jednotlivé druhy sítě následně
porovnáme a zhodnotíme ve výsledcích výpočtu.
Podrobněji prodiskutujeme také základní numerické metody používané při problémech proudění. V této části nechceme opět podat podrobný popis fungování pokročilých numerických
metod, ale spíše nastínit cesty, kterými se vydávají vývojáři numerických softwarů a alespoň
srovnat vhodnost využití různých numerických metod s důrazem na naši konkrétní aplikaci v
softwaru Fluent.
Nakonec budou prezentovány výsledky výpočtu, tedy grafické znázornění rychlostních, tlakových, hustotních, viskózních či turbulentních polí v různých pohledem a řezech a zejména pro
různé výpočtové sítě a počáteční meteorologické podmínky.
Pokud jde o metodiku práce, tak můžeme celou práci rozdělit na teoretickou a praktickou
část. Část teroetická a její náplň byla vcelku podrobně rozvedena výše. Je pro tuto práci důležitým nástrojem pro následný přechod k praktickému modelování s cílem dosáhnout výsledků,
které mohou sloužit pro kvantitativní analýzu pro konkrétní území či srovnání různým modelů
či výpočtových sítí.
Pracovat budeme na jediném území o rozměrech 10x10 kilometrů. Na tomto terénu vytvoříme několik výpočtových sítí. Vytvořené síte bude možno rozdělit dle několika kritérií. Jedním
z nich bude hustota jednotlivých výpočtových bodů. Při tvorbě sítě byla použita vzdálenost
mezi body sítě 300 m, 200 m, 150 m, 100 m, 50 m a 25 m. Je to poměrně široká škála
hustot sítě a ukážeme si na výsledcích, jaký vliv má hustota bodů na výsledky.
Dalším kritériem je tvar výpočtových buňek. Sestavili jsme jednak sítě využívající hexagonální základní buňky a dále pak sítě postavené na tetraedrickém základu. Dále jsme k tomuto
připočetli rozdíl v tom, zda u sítě byla či nebyla sestrojena tzv. mezní vrstva1 .
Máme tedy k dispozici několik různých výpočtových sítí a pokusíme se na nich provést
kompletní výpočet s co nejsložitějším systémem rovnic a počtem iterací. Tato část práce bude
samozřejmě z praktického a časového hlediska nejvíce náročná, neboť každý z výpočtů trval
sám o sobě několik hodin. Při výpočtu experimentujeme u některých sítí se zadáním počátečního profilu větru. Zajímá nás chování pole na území při různých směrech větru, které jsou v
Krkonoších významné. Celkově uděláme výpočty pro 7 různých směrů větru.
Takto vypočtené hodnoty veličin na sledovaném území nám poskytnou poměrně široké spektrum výsledků pro jejich následnou analýzu.
Budememe se zajímat o to, jaký typ sítě je prakticky vhodný, jaká je optimální hustota
sítě a pro jaký druh aplikace, jak se vyvíjí výsledky modelu pro různé hodnoty počátečního
rychlostního profilu větru či nastavení modelu viskozity. Na všechny otázky tato práce odpoví.
Obecně se snažíme nejvíce o to, aby práce pomohla nejen nahlédnout na praktické řešení
problému, ale aby z ní témeř kdokoliv získal představu o tom, jaké předpoklady jsou nutné vzít
v potaz při tvorbě modelu, odkud pochází použité systémy rovnic a jejich zjednodušení, podle
jakých kritérií je tvořena výpočtová síť atd. Často se totiž bohužel v technické, přírodovědecké
či ochranářské praxi setkáváme se zajímavým jevem, že řešíme poměrně značně obtížné úlohy
pomocí velmi silných softwarových nástrojů, čímž dosáhneme jakýchsi výsledků, které následně
interpretujeme. Žel nezřídka se stává, že takovéto interpretace statistických či fyzikálních výsledků, které nejsou podloženy orientací ve fungování metod používaných softwarem, je poměrně
zavádějící a někdy dokonce účelové. Tomuto jevu se chce tato práce vyhnout a naopak se snaží
být pomůckou pro ty, kteří se dalšímu matematickému modelování chtějí věnovat. Snad se tento
nejdůležitější cíl povede splnit.
1
Více o této problematice bude rozepsáno v kapitole o tvorbě výpočtové sítě
4
Kapitola 2
Základní aspekty problematiky ochrany
ovzduší
Na tomto místě bude vhodné udělat několik krátkých motivačních poznámek k problematice
ochrany ovzduší, pro kterou je náš matematický aparát velmi vhodným pomocníkem. Pokusme
se však více nastínit o problematice v následujících bodech. V celé kapitole se budeme samozřejmě věnovat jen té části atmosféry, která je relevantní pro praktické aplikace, tedy uvažujme
zejména tzv. mezní vrstvu atmosféry, která je součástí troposféry. Většinou se při definici těchto
pojmů uvádí, že mezní vrstva sahá cca do 2km od povrchu Země. Smyslem pro její definici je
přítomnost konvekčních a hlavně turbulenčních pohybů způsobených jednak teplem, ale také
prouděním a následným třením o povrch atd.
2.1
Zdroje znečištění ovzduší a jejich srovnání
Míra znešičtění ovzduší je vztahována většinou k míře tzv. emisí, případně imisí. Připomeňme
zde jen, že emisemi myslíme látky, které jsou emitovány do atmosféry, zatímco imise jsou látky
přímo v atmosféře obsažené. Více o této problematice v pracech [36], [25], [44].
Znečištění atmosféry můžeme rozdělit na plynné škodliviny, pevné částice a dále hovoříme i
o tzv. tepelném znečištění a v neposlední řadě také o radioaktivním znečištění.
Mezi plyné škodliviny patří zejména skleníkové plyny, tedy oxid uhličitý CO2 , metan CH4 ,
oxid dusný N2 O a chlorfluorouhlovodíky, neboli freony, CF C. Dále jsou významnými znečišťovateli oxid siřičitý SO2 a další oxidy síry SOx , oxidy dusíku N Ox , oxid uhelnatý CO, sirovodík
H2 S a čpavek N H3 . Z uhlovodíků jsou to aldehydy, ketony a aromatické uhlovodíky, které jsou
součástí automobilových splodin.
Zmiňme zde i jedno z nejproblematičtějších znečištění ovdzduší, které je tvořeno dibenzodioxiny, polychlorovanými dibenzodioxiny či polycyklickými aromatickými uhlovodíky. Tyto látky
se hojně vyskytují v blízkosti provozu chemiček, papíren, textilních továren a prakticky všude
tam, kde se pracuje s chlórem. Nejzajímavějším problémem je samozřejmě spalování plastových
odpadů, které v současné době neprodukují jen spalovny, které jsou však částěčně vybaveny
filtry a spalují podstatně efektivnějšími metodami, než všichni občané, kteří se rozhodnou šetřit
na plynu, dřevu či uhlí a spalují podomácku PET lahve či další plasty. Tento druh znečištění je
nyní velmi aktuálním problémem zejména českého venkova.
Vysoce toxické látky tohoto typu však nejsou emitovány v plynné formě, neboť již v kouřovodu zkondenzují nebo přejdou do tuhého skupenství a sorbují se na emitované částice popílku
5
Kapitola 2: Základní aspekty problematiky ochrany ovzduší
apod. Emise těchto látek tedy patří víceméně do kategorie tuhých znečišťujících látek, čímž
máme na mysli různé druhy popílku, sazí a prachové částice.
U tepelného znečištění hrají významnou roli lidská sídla a poté lokální průmyslové zdroje
tepla. Existují však i antropogenní ochlazovači atmosféry, mezi než patří zejména umělé vodní
nádrže.
U radioaktivního znečištěštění jde o množství radonu Rn, či dalších radioaktivních prvků,
který se do atmosféry dostává z geologických podloží nejčastěji díky těžbě nerostů. Dále je
sledována radioaktivita z úložišť odpadů, paliv, různých havárií a pokusných jaderných výbuchů.
Pokud bychom znečištění ovzduší chtěli rozdělit podle původců, tak jednoznačně dostáváme
průmyslové podniky, energetické účely a také dopravu. Zmínit zde můžeme také zemědělství a
domácnosti, ale v celkovém měřítku jsou obě položky řádově nižší než prvně jmenované.
2.2
Způsoby řešení nejzásadnějších problémů
Uvěďme zde také několik zajímavých trendů z České republiky. Do roku 1990 jsme byli největším
světovým producentem oxidu siřičitého na obyvatele! Tento stav se díky odsíření provozů pomocí
mokré vápencové vypírky, či zdokonalení spalovacích technologií podařilo snížit na zhruba 10
% původního stavu.
Diskutovaným problémem jsou emise oxidů dusíku, které korelují přímo s rozvojem individuální automobilové dopravy. V blízkosti dopravních uzlů, zejména ve městech je tedy znečištění
tohoto druhu lokálně velmi významné. Tento problém je částečně řešen tzv. modernizací vozového parku, neboť nové spalovací motory prokazují menší množství emisí. Uvědomme si však,
že mnohem významnějším problémem, než samotné emise oxidů dusíku, jsou prachové částice
uvolňující se zejména z nákladních automobilů, na kterých jsou sorbovány vysoce toxické organické látky, viz. předchozí odstavec. Obecně lze říci, že z hlediska zenčištění ovzduší nejsou
problémem plynné polutanty, ale tuhé částice.
Za úvahu však stojí také zcela nový přístup k automobilismu, který není založen na využívání ropných produktů, tedy rozvoj elektromobilů, který už v těchto dnech nabývá obrovského
rozvoje, například ve státě California v USA jde v současné době o boom elektromobilních
technologií, neboť tamní úřady motivují občany zajímavými dotačními prostředky ke koupi čistých automobilů. Situace je tedy dlouhodobě zajímavě řešitelná, otázkou zůstává, nakolik jsme
ochotni ustoupit z využívání klasických spalovacích motorů. Tyto úvahy nebudeme dále rozvíjet,
neboť přesahují rámec práce.
Další významný problém jsou větší lokální topeniště na černé a zejména hnědé uhlí. Situace je
na místní úrovni řešena různě. Nejčastější jde o využívání omezení spalovacího objemu, filtrování
emisí, optimalizaci spalovacího procesu. Všechna řešení jsou však jen dočasného charakteru a
je těžko čekat jakékoliv zlepšení.
Co se týká produkce skleníkových plynů, tak na našem území je nyní zaznamenám mírný
nárust. Z dlouhodobého hlediska je však Česká republika vcelku stabilním přispěvatelem skleníkových plynů do atmosféry. V současné době bude projednáván nový zákon umožňující prosazení
efektivnějších a čistších postupů v energetice, průmyslu i domácnostech. Návrh zákona se snaží
kopírovat britský vzor, kde se podařilo novelou rozhýbat zkostnatělá energetická dogmata a
začít omezovat zejména skleníkové plyny. Podrobněji opět nebudeme tyto úvahy rozebírat. Více
lze najít o těchto problémech na webových stránkách sdružení Arnika, Hnutí DUHA, Českého
hydrometeorologického ústavu.
6
2.3
Různé metody modelování
Ujasněme nyní, jaké postupy lze pod pojmem modelování vlastně myslet. V následujícím textu
se nejvíce potkáme s pojemem matematické modelování, ale často budeme srovnávat výstupy
také s fyzikálním modelováním, takže je dobře na začátku více povědět o všech metodách. Poznamenejme však, že podrobněji je možno se o fyzikálním modelování a jeho principech dočíst v
pracech [26] a [9]. Pokud hovoříme o modelování daného problému, máme tím na mysli popsání
problému systémem rovnic. V případě proudění to je systém nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Tento systém musí být uzavřený, tedy je nutno, aby počet rovnic souhlasil s
počtem proměnných. Rovnice popisují základní fyzikální podstatu problému, tedy zákony zachování, termodynamické vztahy apod. Problém spočívá v jejich řešení, neboť jde o nelineární
parciální diferenciální rovnice, což je obecně problém řešitelný težko nebo spíše vůbec. Navíc
berme v úvahu komplikované počáteční a okrajové podmínky, které se v praktických aplikacích vždy vyskytují. Vždyť například řešení obecné formy Navierových-Stokesových rovnic je
zařazeno mezi 7 matematických problémů tisíciletí. Na řešení však můžeme nahlížet několika
způsoby. Podívejme se podrobněji, jak tedy se soustavami parciálních diferenciálních rovnic
naložit.
Explicitní řešení
Nejprve se vždy musíme pokusit o vyřešení soustavy přesně. Jde tedy o nalezení explicitního
řešení, které není založeno na žádném zjednodušení rovnic, tedy zanedbáním členů, které za
jistých podmínek zanedbat lze apod. Jde o skutečně přesné řešení kompletní soustavy. V případě
problémů proudění v mezní vrstvě atmosféry je však toto nemožné, vzhledem k nelineárnímu
chování některých rovnic a zejména také ke komplikovaných počátečním a hlavně okrajovým
podmínkám.
Pokud snížíme požadavky a pokusíme se, přeci jen, najít explicitní řešení rovnic, za podmínky značného zjednodušení rovnic, dostáváme sice nějaká řešení, ale musíme si uvědomit, že
tato jsou velmi vzdálena od praktické realizace problémů, takže je nazváženou, nakolik je užitečné tento postup aplikovat. Abychom řešení mohli nalézt je nutno například totálně zanedbad
vnitřní tření v tekutinách, stlačitelnost reálných tekutin apod. Dostáváme následně už poměrně
snadno řešitelnou soustavu. Více o různých možných zanedbáních a aproximacích obecných rovnic bude uvedeno dále a vše bude podrobně naznačeno a odvozeno. Máme však samozřejmě i
jiné možnosti, než hledání explicitního řešení.
Matematické modelování - numerické metody
Pokud bychom se snažili pracovat s nejobecnější formou rovnic, máme možnost sáhnout k poměrně mocným nástrojům, které poskytují výsledky numerické matematiky. Pomocí dynamicky
se rozvíjející výpočtové síly počítačů, dokonce už i domácích PC, můžeme pokročit ke hledání
přibližných řešení některými z numerických metod. Toto odvětví matematiky je v současné
době ve velkém rozvoji, což je způsobeno zvyšující se výpočtovou silou. Bohužel však i v tomto
případě neuspějeme s použitím nejobecnějších rovnic. Uvažujme například problém turbulence,
který je obecně špatně formulovatelný, natožpak řešitelný. Dále uvažujme silnou nelinearitu v
Navierových-Stokesových rovnicích, kde ani s nejsilnější výpočtovou silou nedostaneme řešení
v konečném čase. A to ani nemluvě o komplikovaných topografiích. Je tedy nutno i v tomto
případě použít řadu aproximací. Více opět v následujících kapitolách. Kombinací numerických
7
metod a vhodných aproximací rovnic můžeme velmi efektivně dosáhnout výborných výsledků i
pro komplikované praktické úlohy, kde jsou výpočtové sítě poměrně složité apod. Rozvoj zaznamenává i výpočetní software, který často v inženýrských aplikacích umožňuje problémy vcelku
snadno řešit. Je to však za cenu menší přesnosti, než při naprogramování softwaru tzv. na
míru. Každý problém potřebuje jinou formulaci numerické metody apod. Více však v kapitole
o numerických metodách.
Uveďme nakonec, že k hlavním výhodám matematického modelování, které využívá numerické postupy, je jeho přístrojová a tedy i finační nenáročnost, pokud tedy nepočítáme výkoný
počítač. Porovnejme tento fakt s tím, jaké vybavení musíme mít k řešení úloh metodami fyzikálního modelování.
Fyzikální modelování
Zcela jinou filozofii řešení problémů poskytují metody fyzikálního modelování. Ve zkratce jde
o způsob, jak fyzikální podmínky co nejvěrohodněji napodobyt modelem v malém měřítku.
Okrajové a vlastně i počáteční podmínky jsou tedy sestrojeny mechanickým modelem. Poté je
využit aerodynamický, nebo hydrodynamický tunel, který dokáže efektivně simulovat požadované proudění vzduchu, či vody přes sebevíce komplikovaný terén. existuje několik metod, jak
tyto experimenty analyzovat. Uveďme pro příklad jako základní laserovou dopplerovskou anemometrii či laserovou optoakustickou detekční metodu. Více o těchto metodách je k nalezení v
práci [9].
Výhodou a zároveň velkou nevýhodou fyzikálního modelování je nutnost pořízení robustní
aparatury, kterou je aerodynamický tunel a detekční zařízení. Pokud už však tuto investici podnikneme, dostáváme do rukou nástroj, jak řešit problémy v malých i velkých měřítcích, problémy
nejkomplikovanějších orografií. Na druhou stranu můžeme snadno měnit drsnost povrchů, směry
větru atd. V této práci se však dále fyzikálním modelováním zabývat nebudeme.
Přímé měření
Od matematického modelování přes fyzikální modelování vede k výsledkům ještě jedna cesta,
kterou je možno nazvat přímé měření. Jde v podstatě o nejvěrnější metodu, která spočívá v
praktickém měření skutečných hodnot přímo v požadovaném místě, tedy tzv. in situ metodou.
Je však jasné, že tento způsob je v mnoha ohledech extrémně náročný až nepoužitelný. Pokud
bychom chtěli dostat obdobnou informaci jako z matematického či fyzikálního modelování, museli bychom díky nestálosti podmínek v atmosféře mít přesně tolik měřících přístrojů, kolik je
bodů ve výpočtové síti, což je poměrně náročný požadavek. Dobrou pomůckou jsou v tomto
smyslu distanční metody Lidar a Sodar. I tak se však in situ měření používá spíše pro ověřování některých závěrů výše zmíněných modelů. Nehledě na omezené či spíše žádné možnosti
kvalitní predikce pomocí přímého pozorování.
2.4
Způsoby aplikace matematického a fyzikálního modelování v ochraně ovzduší
V této části zmiňme některé konkrétní problémy, které byly či jsou řešeny pomocí metod matematického či fyzikálního modelování.
8
Pokud jde o matematické modelování, tak jeho aplikace je namístě vždy, pokud je v našich
silách zadaný problém formulovat matematicky tak, že umíme v rozumném čase nalézt přesné,
nebo většinou přibližné řešení pomocí numerických metod. Jsou případy, kdy tato podmínka
není splněna. Jde zejména o případy kvalitního matematického modelování proudění v podzemních vodách, kde je výpočtová složitost neskutečně vysoká a zatím nejsme většinou schopni
dojít k uspokojivým výsledkům. Naopak pro úlohy transportu znečištění v mezní vrstvě atmosféry je situace mnohem lepší. Jde o to formulovat hranice a území problému, většinou pomocí
digitálního modelu terénu, dále zvolit okrajové podmínky a zvolit co nejpřesnější matematickou
formulaci úlohy. Použitím numerických metod dostáváme hledané pole proudění, pole tlakové
či pole koncentrační pro šíření znečištění. Limitující podmínkou bývá složitost terénu a rozsah území. Nejsme samozřejmě schopni při velké přesnosti výpočtové sítě modelovat situaci na
území o rozměrech stovek kilometrů. Většinou se jedná o menší měřítka.
Skupina zabývající se matematickým modelováním působící na Fakultě strojní ČVUT s
úspěchem modelovala proudění v kaňonu Vltavy v blízkosti Tróji. Dále aplikuje metody pro
komerční zakázky v případě uhelných dolů, kdy je modelováno znečištění prachovými částicemi
a testuje se vhodnost různých teréních úprav, zdí, výšek komínů, výsadeb stromů apod. na spád
prachu na obývané území apod. S úspěchem kolegové s Fakulty strojní modelovali intoxikaci polí
vedených v evidenci jakožto pozemky, kde hospodaří ekologičtí zemědělci, chemickými postřiky
s nedalekých pozemků. Je vidět, že škála problémů, které matematické modelování pomáhá řešit
je celá řada. Velmi často je však používano v kombinaci s modelováním fyzikálním a výsledné
závěry poté pocházejí z vhodného přihlédnutí k oběma metodám.
Fyzikální modelování je nejčastěji užíváno v případech extrémně náročných terénů, nebo
v případech, kdy je vyžadována velká přesnost, co do rozlišení výpočtových sítí, s čímž by
matematický model měl výrazné problémy. Jde zejména o modelování proudění či transportu
znečištěštění v městské zástavbě, jakožto liniový zdroj v konkrétních ulicích, nebo jako plošný
zdroj v plánovaných sídlištích apod. Metod nejvíce používá Ústav termomechaniky AV, jehož
pracovníkům se podařilo zlepšit situaci se znečištěním podhorské obce Jablonné v Podještědí,
kde díky výsledkům fyzikálního modelování, které prokázalo nadlimitní emise některých splodin,
byla prosazena změna v systému vytápění domácností a zejména pozměněn provoz přilehlých
továren. Kombinace fyzikálního a matematického modelování je používána např. v řešení problému Střáže pod Ralskem, kde je modelováno znečištění podzemních vod pocházející s bývalé
těžby uranu chemickou metodou.
Příkladů vhodného užití by byla celá řada. Uvedli jsme zde jen některé, které snad pomohlyáíiok ujasnit představu o možných aplikacích pokročilé matematiky či fyzikálních metod.
2.5
Problematika ochrany ovzduší v oblasti východních
Krkonoš
Krkonoše obecně vždy čelily vlivu emisí pocházejících z tepelných elektráren v Pardubickém
a Královehradeckém kraji, zejména však ze zdrojů umístěných u severních sousedů v Polsku
a Německu. Podobná situace však panuje i v sousedních Jizerských horách. V současné době
tyto emise doznaly výrazného útlumu díky odsiřovacím technologiím a částečného omezení provozu zmíněných zařízení. Nelze tedy hovořit z tohoto pohledu o nějakém typickém výrazném
znečišťovateli krkonošské oblasti na lokální úrovni.
Problémem samozřejmě zůstávají podniky v Hradci Králové, které svou činností oblast východních Krkonoší ovlivňují. Dále zmiňme provozy v Náchodě a elektrárnu v Trutnově. Míra
9
ovlivnění emisemi záleží na meteorologických podmínkách a nejvíce na směru a intenzitě proudění. Jako mnohem zásadnější však v současné době lze vnímat lokální znečištění v horských
obcích, které pochází z domácího spalování nekvalitních topiv, jako hnědé uhlí či kaly a zejména
platových hmot. Toto znečištění je často na lokální úrovni tak vysoké, že v některých krkonošských údolích je ovzduší horší než ve větších městech.
10
Kapitola 3
Matematický model proudění tekutin
Pokusme se v této kapitole formulovat obecný popis problému proudění v mezní vrstvě atmosféry. Budeme postupovat částečným odvození tzv. základní sady rovnic, které vyjadřují
základní fyzikální skutečnosti - například rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování hmoty,
Navierovy-Stokesovy rovnice vyjadřují v podstatě zákon zachování momentu hybnosti atd. Pro
začátek uvažujme prouděšní jako laminární. Podmínky turbulentího proudění zformulujeme v
dalších kapitolách.
3.1
Základní sada rovnic
Chování tekutiny popisujeme parciálními diferenciálními rovnicemi, které vyjadřují zákony zachování a termodynamické vlastnosti tekutiny. Uvažujme případ laminárního, vazkého, stlačitelného proudění a zaveďme základní rovnice pro popis tohoto proudění. Výsledkem bude
soustava rovnic, které následně budeme aplikovat pro modelování v mezní vrstvě atmosféry.
Rovnice kontinuity
Tato rovnice vyjadřuje zákon zachování hmoty. Označme čas t, polohový vektor x = (x, y, z),
∂
∂
∂
vektor parciálních derivací podle souřadnic ∇ = ( ∂x
, ∂y
, ∂z
). Uvažujme hustotu % = %(x, t)
proměnnou v prostoru a čase a rychlost u = (u, v, w).
Pro důkladnější odvození budeme potřebovat transportní teorém, který je více rozebrán
například v práci ([41]).
Věta 3.1.1 Transportní teorém.
Nechť je funkce F dána jako F : M (T1 , T2 ) 7−→ <, kde
M (T1 , T2 ) = {(x, y, z, t) ∈ <4 : t ∈ (T1 , T2 ), (x, y, z) ∈ Ωt }.
Nechť dále pro t0 ∈ (T1 , T2 ), ω(t0 ) je omezená oblast, pro kterou platí ω(t0 ) ⊂ Ωt0 .
Pro rychlosti ui platí ui ∈ C 1 (M ).
Potom existuje interval (t1 , t2 ) ⊂ (T1 , T2 ), pro který, za předpokladu spojitosti a omezenosti
prvních derivací funkce F na oblasti M platí:
∀t ∈ (t1 , t2 ) existuje konečná derivace F a lze ji vyjádřit ve tvaru
!
Z
d Z
∂F
∂F ui
F dx =
+
dx
dt ω(t)
∂t
∂xi
ω(t)
11
(3.1)
Kapitola 3: Matematický model proudění tekutin
S použitím transportního teorému a při dostatečné hladkosti funkcí lze odvodit (viz [37]):
∂%
+ ∇ · (%u) = 0
(3.2)
∂t
Častěji se však rovnici kontinuity i další rovnice pro popis proudění uvádí ve složkovém tvaru
s použitím Einsteinovy sumační konvence, což znamená, že pokud se v rovnici nachází některý
index dvakrát, sčítá se přes něj. Rovnici kontinuity tedy můžeme psát jako
∂% ∂(%ui )
+
= 0, (i = 1, 2, 3)
∂t
∂xi
(3.3)
Pohybová rovnice
Tato rovnice je odvozena přímo z 2. Newtonova zákona, který vyjadřuje vztah pro zrychlení
tekutiny a je vyjádřením zákona zachování hybnosti. Při dostatečné hladkosti funkcí a s použitím
transportního teorému máme pohybovou rovnici, která je podrobněji odvozena v práci [41].
∂(%ui ) ∂(%ui uj )
∂σij
+
= %fi +
, (i = 1, 2, 3)
∂t
∂xj
∂xj
(3.4)
kde f vyjadřuje objemové síly (např. tíhová síla, Coriolisova síla), σij je tenzor napětí, který
reprezentuje vnitřní síly (tlak, vazkost).
Pro popis proudění v atmosféře však budeme uvažovat tzv. newtonovské tekutiny, u nichž
platí lineární vztah mezi tenzorem napětí σij a tenzorem rychlosti deformace dij . Budeme tedy
předpokládat platnost Stokesovy hypotézy, podle které lze přepsat tenzor napětí do tvaru
!
σij
dij
∂uk
δij + 2µdij ,
= −p + λ
∂xk
!
1 ∂ui ∂uj
=
+
,
2 ∂xj
∂xi
(3.5)
(3.6)
kde pro rychlost a polohu používáme označení x = (x1 , x2 , x3 ) a u = (u1 , u2 , u3 ). Symbol
δij označuje Croneckerovo delta, tedy jednotkový tenzor. Dále µ a λ jsou dynamická viskozita
a druhý koeficient viskozity, pro které platí v případě jednoatomového plynu vztah µ = − 32 λ.
Z těchto obecných pohybových rovnic tedy odvodíme (viz [41], str. 19) následující pohybovou
rovnici, která je nejčastěji nazývána Navier-Stokesova rovnice.
∂(%ui ) ∂(%ui uj )
∂p
∂
∂uk
+
=−
+
λ
∂t
∂xj
∂xi ∂xi
∂xk
!
"
∂
∂ui ∂uj
+
µ
+
∂xj
∂xj
∂xi
!#
+ %fi , (i = 1, 2, 3) (3.7)
Rovnice energie
Z prvního termodynamického zákona lze odvodit rovnici bilance entalpie (nebo tepla), kterou
nyní zapíšeme s pomocí potenciální teploty, která je definována níže.
%cp
∂θ
∂θ
+ uj
∂t
∂xj
!
∂
∂θ
=
KT
∂xk
∂xk
12
!
+
∂R
, (i = 1, 2, 3)
∂xi
(3.8)
kde první člen na pravé straně představuje molekulární přenos tepla s koeficientem molekulární tepelné difuze KT a druhý člen představuje tepelný tok způsobený radiací. V mnoha
případech se uvažuje adiabatické chování tekutiny nebo velice malé změny teplot, takže neuvažujeme rovnici energie.
Stavová rovnice
Stavová rovnice dává obecně do souvislosti stavové veličiny a hustotu %. Pro účely popisu proudění v mezní vrstvě atmosféry se nejčastěji užívá stavová rovnice ve tvaru, který vyjadřuje vztah
mezi tlakem p a hustotou %,
p = %RT ,
(3.9)
zde p je tlak, T absolutní teplota a R je plynová konstanta 1 .
V případě modelování atmosféry navíc můžeme většinu dějů uvažovat za adiabatické. Pro
tyto děje tedy platí
pκ
= konst,
(3.10)
T
kde pro suchý a čistý vzduch je hodnota koeficientu κ = 0.286. Uvažujme T1 a p1 jako
počáteční teplotu a tlak soustavy. Potom z předchozí rovnice vyplývá
p
p1
T
=
T1
!κ
.
(3.11)
Tato rovnice umožňuje zavést tzv. potenciální teplotu definičním vztahem s použitím veličiny
cp , což je měrná tepelná kapacita plynu při konstantním tlaku
θ≡T
p
pr
!− R
cp
=T
pr
p
!κ
.
(3.12)
Potenciální teplota je teplota, kterou by měl uvažovaný plyn po adiabatické expanzi nebo
kompresi na referenční tlak pr = 105 P a.
Rovnice transportu
Pokud potřebujeme řešit problém šíření koncentrace pasivního kontaminantu v tekutině, je
nutno zadat rovnici transportu kontaminantu. Odvoďmě zde tvar transportní rovnice.
Vycházíme klasicky ze zákonů zachování. Tento předpoklad znamená představu, že časová
změna hmotnosti v nějakém objemu ω(t0 ) a v čase t0 je způsobena buďto vznikem či zánikem
kontaminantu ve zdrojích uvnitř oblasti ω(t0 ) nebo tokem příměsi skrze hranici oblasti, kterou
označme ∂ω(t0 ). Předpokládejme také, že neprobíhají chemické změny v kontaminantu či v jeho
reakci s prostředím uvnitř oblasti. Předpokládejme odvození pro oblast naplněnou vzduchem.
Definujme nejprve pojem koncentrace C vztahem
C=
%p
,
%p + %t
(3.13)
R = R∗ /M , kde R∗ je universální plynová konstanta a M je molární hmotnost plynu). Pro suchý a čistý
vzduch je hodnota R = 287 JK −1 kg −1
1
13
kde %p je hustota přímesi a %v je hustota tekutiny.
Pro odvození použijeme opět transportní teorém formulovaný výše. Začneme vyjádřením
zákona zachování v následujícím tvaru
d
mp (ω(t0 ), t0 ) = mvznik (ω(t0 ), t0 ) + mtok (ω(t0 ), t0 ),
(3.14)
dt
kde mp je hmotnost příměsi a produkci mvznik vyjádříme pomocí zdrojové funkce f (x(t), t)
vztahem
Z
mvznik (ω(t), t) =
%p (x, t)f (x, t)dx
ω(t)
(3.15)
Velmi podobně můžeme vyjádřit i druhý člen produkce změny hmotnosti příměsi mtok a to
pomocí hustoty toku q(x(t), t)
mtok (ω(t), t) = −
Z
q(x, t) · n̂(x, t)dS,
(3.16)
∂ω(t)
kde n̂(x, t) je vektor vnější normály k hranici oblasti.
Oba výrazy nyní dosadíme do rovnice (3.14) a s vyjádřením levé strany pomocí zdrojové
funkce a koncentrace dostáváme
Z
Z
d Z
q(x, t) · n̂(x, t)dS
%(x, t)f (x, t)dx −
%(x, t)C(x, t)dx =
dt ω(t0 )
∂ω(t0 )
ω(t0 )
(3.17)
Pokud na levou stranu aplikujeme, za předpokladu, že všechny funkce mají požadované
vlastnosti, transportní teorém, v prvním členu na pravé straně uděláme kosmetickou úpravu
složení funkcí a na tokový integrál známou gauss-ostrogradského větu (viz. [26]) dostáváme
rovnici
Z
ω(t0 )
"
#
Z
Z
∂qi
∂(%C)
∂(%Cui )
(%f )(x, t0 )dx −
dx
(x, t0 ) +
dx =
∂t
∂xi
ω(t0 ) ∂xi
ω(t0 )
(3.18)
Nyní uvažme, že volba času t0 byla libovolná a všechny výrazy funkce pod integrálem předpokládáme spojité, pak můžeme psát
∂(%C) ∂(%Cui )
∂qi
+
= %f −
,
∂t
∂xi
∂xi
příčemž vektor difúzního toku qi lze obecně vyjádřit jako
(3.19)
!
∂C
kT ∂T
kp ∂p
qi = −%D
+
+
,
∂xi
T ∂xi
p ∂xi
(3.20)
kde D je nazýván klasický koeficient difúze, který souvisí přímo s gradientem koncentrace,
DT = D kTT je koeficient termální difúze zavislý na teplotním gradientu a Dp = D kpp je tzv.
barodifúzní koeficient, který je úměrný tlakovému gradientu.
Ukažme si nyní přímo i aproximaci obecné rovnice (3.19). Teoreticky i experimentálně se
totiž ukazuje, že v podmínkách atmosféry můžeme bez větší chyby zanedbat členy závislé na
tlakovém i teplotním gradientu. Dostáváme tak pro difúzní tok tzv. Fickův zákon
qi = −%D
14
∂C
,
∂xi
(3.21)
který dosadíme do rovnice (3.19) a dostáváme tvar rovnici pro transport příměsi
∂(%C) ∂(%Cui )
∂
∂C
+
=
%D
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
!
+ %f
(3.22)
Nakonec přepišme ještě zdrojový člen %f pomocí častěji používaného Φc , takže konečná
rovnice má poté tvar uvedený v rovnici(3.27).
3.2
Shrnutí výchozích rovnic obecného modelu
Shrňme tedy přehledně základní rovnice popisující laminární, vazké, stlačitelné proudění newtonovské tekutiny.
1. Rovnice kontinuity
∂% ∂(%ui )
= 0, (i = 1, 2, 3)
+
∂t
∂xi
(3.23)
2. Pohybová rovnice
∂(%ui ) ∂(%ui uj )
∂p
∂
∂uk
+
=−
+
λ
∂t
∂xj
∂xi ∂xi
∂xk
!
"
∂
∂ui ∂uj
+
µ
+
∂xj
∂xj
∂xi
!#
+ %fi , (i = 1, 2, 3)
(3.24)
3. Rovnice energie
%cp
∂θ
∂θ
+ uj
∂t
∂xj
!
∂
∂θ
=
KT
∂xk
∂xk
!
+
∂R
, (i = 1, 2, 3)
∂xi
(3.25)
4. Stavová rovnice
p = %RT
(3.26)
5. Rovnice transportu
∂(%C) ∂(%Cui )
∂
∂C
+
=
%D
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
!
+ Φc
(3.27)
Tyto rovnice tvoří systém, který se v nejrůznějších zjednodušeních používá pro praktické
řešení modelování proudění. V dalším textu zavedeme několik základních úprav a aproximací,
které s modelováním proudění tekutin souvisí. Zaměříme se přitom již zejména na popis modelování atmosféry a mezní vrstvy atmosféry.
15
Kapitola 4
Systémy rovnic a jejich aproximace
4.1
Rovnice stlačitelného proudění
Popišme si nejprve obecnější případ laminárního, vazkého, stlačitelného proudění v mezní vrstvě
atmosféry. Pro tento případ potřebujeme k popisu použít úplný systém Navierových-Stokesových
rovnic, viz [7], str. 2. Tento systém zapíšeme přehledně pomocí vektorového zápisu pro 2-D
případ takto
∂
∂
∂
∂
∂
W+
F+ H=
R + T,
∂t
∂x
∂z
∂x
∂z
(4.1)
kde vektory mají složky
W = (%, %u, %w, e)T ,
F = (%u, %u2 + p, %uw, u(e + p))T ,
H = (%w, %uw, %w2 + p, w(e + p))T ,
R = (0, τ11 , τ12 , τ11 u + τ12 w + KT θx )T ,
T = (0, τ21 , τ22 , τ21 u + τ22 w + KT θz )T ,
a dále e je celková energie v jednotce objemu, θx a θz jsou parciální derivace potenciální teploty
podle x a z a τij je tenzor obsahující viskózní část tenzoru napětí, který je dle (3.5) dán vztahem
τij = 2µdij .
Situaci zjednodušíme uvažováním adiabatičnosti a Boussinesqovy aproximace (viz níže),
čímž dostáváme soustavu pro laminární, vazké a stlačitelné proudění, kde se neuvažuje rovnice
energie a pravá strana je zjednodušená na tzv. nestlačitelné proudění:
∂% ∂%u ∂%w
+
+
= 0,
(4.2)
∂t
∂x
∂z
!
!
∂%u
∂%u
∂%u
∂p
∂ 2u ∂ 2u
1
∂ ∂u ∂w
+u
+w
= −
+ %ν
+
+
%ν
+
∂t
∂x
∂z
∂x
∂x2 ∂z 2
3 ∂x ∂x
∂z
!
!
∂%w
∂%w
∂%w
∂p
∂ 2w ∂ 2w
1
∂ ∂u ∂w
+u
+w
= − − %g + %ν
+
+ %ν
+
∂t
∂x
∂z
∂z
∂x2
∂z 2
3 ∂z ∂x
∂z
V této soustavě je ν = ν(T ), dynamická viskozita závislá na teplotě. Platí samozřejmě
stavová rovnice (3.9). Dále je nutné určit vztah mezi proměnnými u, v, % a p v rovnicích (4.2).
Tyto rovnice mohou být dále zjednodušeny přechodem k tzv. nestlačitlenému proudění.
16
Kapitola 4: Systémy rovnic a jejich aproximace
4.2
Rovnice nestlačitelného proudění
Dále postupujme s popisem modelů nestlačitelného proudění. Jde o jednu z nejzákladnějších
aproximací v modelování chování tekutin, která se používá zejména pro modelování proudění
atmosféry, neboť předpoklad nestlačitelnosti v tomto případě není závažnou chybou, viz [26].
Většinou se proudění považuje za nestlačitelné, pokud jeho hustota je v průběhu pohybu
konstantní ve všech infinitezimálních částech tekutiny a to i přesto, že dochází například ke
změnám tlaku. Upravme rovnici kontinuity (3.3) na následující tvar
∂%
+ u · ∇% + %∇ · u = 0,
(4.3)
∂t
přitom pokud je hustota konstantní, tak její časové i prostorové derivace jsou nulové, takže
v tomto případě se rovnice kontinuity (4.3) redukuje na tvar
∇ · u = 0,
(4.4)
V tomto případě bychom mohli zavést i často užívanou identitu, která bývá nazývána Eulerův
vztah, a zavádí pojem úplné derivace podle času symbolem dtd , která se dá dle Eulerova vztahu
rozepsat jako
∂
d
=
+ (u · ∇).
(4.5)
dt
∂t
Obecně však není možné považovat hustotu za konstatní funkci. Předpoklad nestlačitelnosti
spočívá v tomto případě v tom, že hustota je nezávislá na tlaku a platí vztah (4.4), takže rovnice
kontinuity se zjednodušší na tvar
∂%
+ u · ∇% = 0.
(4.6)
∂t
Takto zadaná rovnice kontinity je nejčastějším způsobem zadání průběhu hustoty pro případ
tzv. stratifikovaného proudění, jak se dočteme například v práci [30].
Uveďme konkrétní systém rovnic řešící dvojrozměrné proudění v mezní vrstvě atmosféry.
Uvažujme osu x jdoucí ve směru proudu a osu z kolmou k povrchu. Máme tedy u = (u, w)
jako vektor rychlosti, %0 je hustota, která je konstantní, p je tlak, ν kinematická viskozita
a g gravitační zrychlení. Nejčastěji používaný model laminárního, vazkého a nestlačitelného
proudění v mezní vrstvě atmosféry je založen na následujících rovnicích
∂u ∂w
+
= 0,
∂x
∂z
!
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂ 2u ∂ 2u
+u
+w
= −
+ν
+
,
∂t
∂x
∂z
% ∂x
∂x2 ∂z 2
!
∂w
∂w
∂w
1 ∂p
∂ 2w ∂ 2w
+u
+w
= −
−g+ν
+
.
∂t
∂x
∂z
% ∂z
∂x2
∂z 2
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Pokud potřebujeme modelovat systém s většími změnami energie, je nutno k tomuto systému
přidat ještě rovnici energie (3.8) zapsanou pro teplotu nebo pro potencialni teplotu.
V našem případě půjde o tzv. nízkorychlostní proudění o rychlostech 2 − 10 m · s−1 , které se
vyznačuje nízkými hodnotami Machova čísla, Ma = 10−1 − 10−2 , a naopak vysokým Reynoldsovým číslem, Re = 108 − 109 .
17
Je několik možných modifikací zadání rovnice kontinuity. Jednou z nich je přidat následující
rovnici
∂%
∂%
∂%
+u
+w
= 0,
(4.10)
∂t
∂x
∂z
kterou lze interpretovat jako rovnici přenosu hustoty.
Je vidět, že rovnice (4.7) a (4.10) jsou vlastně jen přepsáním rovnice kontinuity v nestlačitelném proudění (4.6), přičemž poznamenejme, že rovnice (4.10) je typická rovnice hyperbolického
typu.
K rovnicím (4.7)-(4.10)se přidává stavová rovnice (3.9), která určuje vztah mezi hustotou a
stavovými veličinami.
Dále použijeme např. Boussinesqovu aproximaci, kde hlavní část proudového pole splňuje
rovnici hydrostatické rovnováhy, viz níže.
4.3
Aproximace mělké vody
Aproximace mělké vody, nebo též shallow water equations, je často používanou aproximací rovnice kontinuity, která vychází z představy, že se hustota atmosféry mění s výškou jako důsledek
stlačitelnosti, ale v horizontální rovině jsou změny v uvažované omezené oblasti relativně malé.
Okamžitou hustotu % lze proto rozložit na dvě složky
%(x, y, z) = %0 (z) + %0 (x, y, z),
(4.11)
kde %0 (z) je horizontálně homogenní složka hustoty, která se mění s výškou, %0 (x, y, z) pak značí
poruchu této homogenity. Pro měrný objem můžeme provést obdobnou úvahu
α(x, y, z) = α0 (z) + α0 (x, y, z)
(4.12)
Rovnici kontinuity (3.3) lze tak přepsat dle [26] na tvar
1
1 dα0
= (∇ · u)
α0 dz
w
(4.13)
Označíme-li levou stranu rovnice Hα−1 a pravou stranu L−1
z , potom veličina Hα charakterizuje
rozměr změny hustoty a Lz rozměr změny rychlosti. Charakteristický rozměr změny rychlosti,
který lze odhadnout rozměrem mezní vrstvy atmosféry Hα ≈ 1 km, je v atmosféře mnohem
menší než rozměr změny hustoty Lz ≈ 8 km, což je výška, ve které zaznamenáváme výrazné
změny hustoty. Platí tedy
Lz Hα
(4.14)
a rovnici (4.13) přejde do jednoduchého tvaru
∇ · u = 0,
(4.15)
který můžeme chápat tak, že se mezní vrstva atmosféry chová jako nestlačitelná tekutina s
konstatní hustotou.
Uveďme opět konkrétní systém rovnic pro popis proudění v mezní vrstvě atmosféry. Aproximace mělké vody se používá zejména pro 2-D případy proudění. Uvažujme stejně jako v případě
nestlačitelného proudění osu x jdoucí ve směru proudu a osu z kolmou k povrchu, u = (u, w)
18
vektor rychlosti, %0 hustota, p je tlak, ν kinematická viskozita a g gravitační zrychlení. Model
laminárního, vazkého proudění v aproximaci mělké vody pro mezní vrstvu atmosféry je založen
na následujících rovnicích
∂u ∂w
+
∂x
∂z
∂%
∂%0
+w
∂t
∂z
∂u
∂u
∂u
+u
+w
∂t
∂x
∂z
∂w
∂w
∂w
+u
+w
∂t
∂x
∂z
4.4
= 0,
(4.16)
= 0,
(4.17)
1 ∂p
∂ 2u ∂ 2u
+ν
,
+
% ∂x
∂x2 ∂z 2
!
1 ∂p
∂ 2w ∂ 2w
= −
−g+ν
+
.
% ∂z
∂x2
∂z 2
!
= −
(4.18)
(4.19)
Aproximace hluboké vody - anelastická aproximace
Pokud neuvažujeme proudění za nestlačitelné ve smyslu aproximace mělké vody, tedy pokud
uvažujeme místo vztahu (4.14) porovnání
Lz ∼ Hα
(4.20)
∇ · (%u) = 0
(4.21)
tak rovnici kontinuity (3.3) přepisujeme na
Takové přiblížení nazýváme aproximací hluboké vody, resp. anelastickou aproximací. Kompletní systém rovnic, které popisují dvojrozměrné proudění v anelastické aproximaci je tedy,
∂%u ∂%0 w
+
= 0,
∂x
∂z
!
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂ 2u ∂ 2u
+u
+w
= −
+ν
+
,
∂t
∂x
∂z
% ∂x
∂x2 ∂z 2
!
∂w
∂w
∂w
1 ∂p
∂ 2w ∂ 2w
+u
+w
= −
−g+ν
+
.
∂t
∂x
∂z
% ∂z
∂x2
∂z 2
4.5
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Hydrostatická aproximace
Je-li vzduch vůči zemi v relativním klidu a všechny síly působící ve vertikálním směru jsou
zanedbatelné vůči síle tíhové, hovoříme o tzv. hydrostatické rovnováze. Rovnice (3.7) se ve
vertikální směru redukuje dle [26] na
∂p
= −%g
(4.25)
∂z
Tato aproximace se využívá v dalším textu např. při aplikaci Boussinesqovy aproximace, pro
samostatný popis mezní vrstvy atmosféry se však příliš nehodí, neboť představuje pouze hrubé
přiblížení. Nebudeme zde vypisovat celý systém rovnic, neboť je stejný jako v předchoyzích
případech, jen pohybová rovnice (3.7) se změní ve vertikálním směru na tvar (4.25).
19
4.6
Boussinesqova aproximace
Předpokládejme dle [26], že:
1. termodynamický stav atmosféry je blízký stavu hydrostatické rovnováhy (4.25), který
budeme nazývat referenčním stavem značeným dolním indexem 0
2. vertikální odchylky hustoty, tlaku a potenciální teploty jsou vůči referenčnímu stavu malé
3. Machovo číslo Ma charakterizující vliv stlačitelnosti dosahuje malých hodnot
Následně můžeme, obdobně jako v aproximaci mělké vody, hustotu, tlak a potenciální teplotu
rozložit na referenční složku a odchylku
%(x, y, z) = %0 (z) + %0 (x, y, z),
p(x, y, z) = p0 (z) + p0 (x, y, z),
Θ(x, y, z) = Θ0 (z) + Θ0 (x, y, z).
(4.26)
Z předpokladu 2. vyplývá pro odchylky od referenčního stavu
%0 p0 Θ0
, ,
1
%0 p0 Θ0
(4.27)
Pro referenční tlak p0 platí rovnice hydrostatické rovnováhy
∂p0
= −g%
∂z
(4.28)
Zapišme nyní pohybovou rovnici ve vertikálním směru
1 ∂p
1
∂w
+ u · ∇w = −
− g + ∇(µ∇w).
∂t
%0 ∂z
%0
(4.29)
V této rovnici můžeme dosadit do prvních dvou členů na pravé straně z rovnic (4.26), takže
tyto členy pak vypadají
−
1
∂
1 ∂p0
1 ∂p0
0
(p
+
p
)
−
g
=
−
−
g
−
.
0
%0 + %0 ∂z
%0 + %0 ∂z
%0 + %0 ∂z
(4.30)
Nyní dosaďme na pravé straně za p0 z rovnice hydrostatické rovnováhy (4.28). Dostáváme
tak výraz
g%0
1 ∂p0
−
g
−
,
%0 + %0
%0 + %0 ∂z
což můžeme jednoduše upravit na
−
%0
1 ∂p0
−
.
−g
%0 + %0 %0 + %0 ∂z
(4.31)
(4.32)
Dále uvážíme, že člen %0 %0 , takže jej v obou jmenovatelých zanedbáme a dále pokud
vzpomeneme na definici potenciální teploty (3.12) a stavovou rovnici (3.9), takže platí
−
%0
θ0
= ,
%0
θ0
20
(4.33)
dostáváme tak
−
1 ∂p0
θ0
+g .
%0 ∂z
θ0
(4.34)
Rovnici (4.29) tedy přepíšeme do tvaru
∂w
1 ∂p0
θ0
1
+ u · ∇w = −
+ g + ∇(µ∇w),
∂t
%0 ∂z
θ0 %0
(4.35)
kde druhý člen na pravé straně je nazýván vztlakový člen, který velice úzce souvisí s charakterem stability v mezní vrstvě atmosféry. Připišme zbývající pohybové rovnice
∂u
1 ∂p0
1
+ u · ∇u = −
+ ∇(µ∇u) + Ω0 v,
∂t
%0 ∂x %0
∂v
1 ∂p0
1
+ u · ∇v = −
+ ∇(µ∇v) − Ω0 v.
∂t
%0 ∂y
%0
(4.36)
(4.37)
Velice podobně můžeme odvodit rovnici energie zapsanou pro potenciální teplotu a také
rovnici transportu přímesi
∂cp θ0
1
KT
+ u · ∇cp θ0 = − ∇(
),
∂t
%0
cp
1
∂C
+ u · ∇C = − ∇(%0 KC ∇C).
∂t
%0
(4.38)
(4.39)
Systém rovnic uzavírá vhodná rovnice kontinuity, kterou zde uvedeme například v anelastickém tvaru
u
∂%0 v
∂%0 w
∂%0 u
+v
+w
= 0.
∂x
∂y
∂z
(4.40)
Zapsali jsme tedy systém rovnic, který popisuje 3-D laminární, vazké proudění v anelastické
aproximaci s Navier-Stokesovými rovnicemi zapsanými v Boussinesqově aproximaci.
Boussinesqova aproximace je používána téměř při všech modelovaných situacích v mezní
vrstvě atmosféry a to jak pro stlačitelné, tak pro nestlačitelné proudění a pro modely různých
měřítek.
4.7
Okrajové podmínky
Matematické modelování proudění se realizuje tak, že příslušné pohybové rovnice jsou numericky
řešeny na zadané omezené oblasti. Pro tyto účely je tedy nutno systém pohybových rovnic
doplnit o tzv. okrajové podmínky, které určují chování systému na jeho hranicích.
Vycházejme s představy, že oblast, ve které budeme řešit matematický model je omezena
šesti stěnami. Vstupní stěna, dolní stěna, horní stěna, výstupní stěna a boční stěny. Konkrétní
charakter hranic však samozřejmě závisí na tom, o jakou fyzikální situaci se jedná. Na těchto
hranicích nějakým způsobem zadáváme hodnoty tlaku, rychlosti, potenciální teploty a koncentrace pasivní přímesi.
21
Jako dolní stěnu budeme uvažovat zemský povrch, který bude specifikován funkcí z = h(x, y),
která vyjadřuje nerovnosti a překážky na povrchu.
U definice horní stěny budeme uvažovat podmínku konečné hloubky, kde uvažujeme proudění v oblasti shora omezené pevnou hranicí, která se s časem nemění.
Pokud hustota na horní stěně je nulová, pak nazýváme tuto hranici volná hladina a pokládáme p = 0.
Tlak se na vstupní stěně často extrapoluje z vnitřku oblasti, nebo se využívá toho, že je v
přízemní vrstvě téměř konstantní. Na dalších stěnách se však používá i zadání Dirichletovými
či Neumannovými podmínkami.
Rychlost se zadává mnoha různými způsoby v závislosti na situaci. Většinou se však na
vstupní stěně zadává nějaký vstupní rychlostní profil. Na zemském povrchu se předepisují podmínky ulpívání rychlosti, které jsou v případě vazkého proudění vyjádřeny pomocí tzv. no-slip
conditions (viz níže) a v případě nevazkého se rychlost uvažuje jako tečná k povrchu. Na horní
stěně se rychlost zadává většinou Neumannovými podmínkami, neboť pokud by byla explicitně
zadána, mohlo by to mít za následek nežádoucí efekt, který by byl způsoben tím, že takto
zadaná rychlost by horní stěně dala charakter jakési další mezní vrstvy. Na výstupní stěně a
bočních stěnách se používají Neumannovy nebo Dirichletovy okrajové podmínky.
Potenciální teplota a koncentrace pasivní přímesi se zadávají Dirichletovými nebo Neumannovými podmínkami a záleží samozřejmě na modelované situaci.
Zapišme nyní jako příklad konkrétnější okrajové podmínky pro modelování laminárního,
vazkého, nestlačitelného proudění v obdélníkové oblasti mezní vrstvě atmosféry.
1. Vstupní stěna - předepisujeme Dirichletovy podmínky pro všechny proměnné. Předpokládáme tedy znalost tlaku p, složek rychlosti u, v a w, potenciální teploty θ a případně i
koncentrace příměsy C jako explicitně zadané funkce souřadnic (y, z). Pokud jde o počáteční podmínky rychlosti, tak máme několik možností, jak zvolit vstupní rychlostní profil.
• Konstantní rychlostní profil, kdy rychlosti (u, v, w) jsou zadány jako (u0 , v0 , w0 ), příčemž, u0 , v0 a w0 jsou konstanty.
• Logaritmický rychlostní profil, kdy (u, v, w) = (u0 ln(1 +
v0 , w0 ), kde c je vertikální rozměr oblasti.
z(e−1)
),
c
• Ekmanova spirála, což znamená, že (u, q
v, w) = (u0 (1 − e−Az ) ·
· cos(Az), v0 e−Az sin(Az), 0), kde A = Ω0 /2K, Ω0 je Coriolisův parametr a K je
konstanta.
2. Zemský povrch - potřebujeme podmínku pro rychlosti, zvanou no-slip condition, tedy
podmínku ulpívání proudu, která dává u = 0, v = 0 a w = 0. Potenciální teplotu předepisujeme Dirichletovou podmínkou. Pokud uvažujeme transport příměsy, tak na spodní
hranici se neuvažuje usazování příměsy, tedy ∂C
= 0, přičemž n je vektor normálový k
∂n
povrchu. V blízkosti povrchu platí také rovnováha mezi silou tlakového gradientu a silou
Coriolisovou v horizontálním směru.
3. Výstupní stěna - podmínky předepisujeme jako Neumannovy podmínky
∂u
∂v
∂w
∂C
∂θ
=
=
=
=
= 0,
∂n
∂n
∂n
∂n
∂n
kde n je vektor normálový ke stěnám.
22
(4.41)
4. Horní stěna - Pro rychlost a tlak jsou většinou předepisovány Dirichletovy okrajové
podmínky. Někdy se pro vertikální složku rychlosti používá Neumannova podmínka. Pro
koncentraci a potenciální teplotu bývá použita Neumannova podmínka, ale potenciální
teplota může být zadána i Dirichletovou podmínkou.
5. Boční stěny - Předepíšeme různé okrajové podmínky v závislosti na charakteru řešeného
fyzikálního případu.
• Zadáme periodické podmínky pro tlak, rychlost, potenciální teplotu a případně koncentraci.
• Předepíšeme Neumannovy podmínky, tedy
∂p
∂u
∂v
∂w
∂C
∂θ
=
=
=
=
=
= 0,
∂n
∂n
∂n
∂n
∂n
∂n
(4.42)
kde n je vektor normálový ke stěnám.
• Použijeme Dirichletovy podmínky, tedy zadáme tlak, rychlost, potenciální teplotu a
koncentraci jako funkce (x, z).
23
Kapitola 5
Základy modelování turbulentního
proudění
Vyskytují-li se v proudění tekutiny statisticky náhodné fluktuace, hovoříme o proudění turbulentním. Takové fluktuace si lze zjednodušeně představit jako chaoticky se pohybující víry různé
velikosti uvnitř proudící tekutiny. Oproti proudění laminárnímu mají proudnice turbulentního
proudění zcela nepravidelný tvar, rychle se mění s časem, protínají se a nelze je sledovat na větší
vzdálenosti. V mezní vrstvě atmosféry a ve spodní části troposféry se dle pozorování vyskytuje
proudění výhradně turbulentní.
Turbulentní proudění vzniká v proudící tekutině v případě, že setrvačné síly jsou dostatečně
velké ve srovnání se silami vazkého tření. Důležitou charakteristikou proudění je Reynoldsovo
číslo Re, které při přechodu proudění z laminárního do turbulentního dosahuje určité kritické
hodnoty.
Je obecně několik způsobů, jak můžeme popisovat turbulenci, přičemž k podrobnějšímu
popisu problematiky doporučme práci [26]. Můžeme sestavit rovnice pro dynamické chování
tekutiny a modelovat přímo veškeré hodnoty veličin v prostoru. Tato metoda je nazývána přímá
numerická simulace, neboli Direct Numerical Simulation (DNS) a nutno řící, že dosahuje
skvělých výsledků. Bohužel je numericky i pro současné technologie extrémně náročná a tudíž
nenachází uplatnění tak často jako metody jednodušší.
Jednodušším způsobem popisu turbulence je metoda velkých vírů, neboli Large Eddy Simulation. Tato metoda spočívá v rozdělení turbulentních pohybů na pohyby velkých a malých
měřítek. Pohyby velkých měřítek jsou popsány přímo Navierovými-Stokesovými rovnicemi a
pohyby malé jsou vhodně parametrizovány a to pomocí vyjádření tzv. turbulentní viskozity, o
kteréžto je více popsáno níže. Tato metoda je výpočtově mnohem příznivější, ale přesto je stále
dosti náročná.
Pro praktické účely se tedy nejčastěji používají tzv. statistické modely turbulence, které
pokládají chaotickou složku turbulence naprosto nefyzikálně za náhodnou. Je to velké zjednodušení, které je založeno na logickém úsudku, že pojmy chaotický a náhodný mohou mít často
velmi podobné důsledky. Statistický náhled zde popišme důkladněji.
Pro snadnější popis turbulentního proudění budeme uvažovat, že libovolná studovaná fyzikální veličina ψ se skládá z časově zprůměrované hodnoty ψ a složky ψ 0 , která kolem zprůměrované složky fluktuuje (složka turbulentní)
ψ = ψ + ψ0,
24
(5.1)
Kapitola 5: Základy modelování turbulentního proudění
přičemž platí dle [5]
ψ = 0,
ψ=
1
t
Z τ +t/2
(5.2)
ψdτ,
(5.3)
τ −t/2
kde τ je vhodně zvolený časový interval dostatečně velký, abychom získali reprezentativní střední
hodnotu a zároveň nesmí být příliš velký, aby nedošlo k vyhlazení meteorologicky významných
časových změn studované veličiny.
5.1
Pohybové rovnice turbulentního proudění
Složky pohybové rovnice turbulentního tření odvodíme dle [5] z pohybové rovnice (3.7). Nejprve
rozložíme tlak a rychlost vystupující v rovnici (3.7) dle konvence (5.1). Po časovém zprůměrování, uvážením Eulerova vztahu (4.5) a rovnice kontinuity (3.3) dostáváme při předpokladu
nestlačitelné tekutiny pro x-ovou složku rychlosti proudění
dū
1 ∂ p̄
∂ 2 ū 1 ∂
1 ∂
1 ∂
=−
+ Ω0 v̄ + ν 2 +
(−%u0 u0 ) +
(−%u0 v 0 ) +
(−%u0 w0 ),
dt
% ∂x
∂z
% ∂x
% ∂y
% ∂z
(5.4)
přičemž pro složky tíhové zrychlení platí gx = gy = 0,gz = g. Analogicky lze upravit rovnice
pro y-ovou a z-ovou složku rychlosti. Použijeme-li značení pro složky rychlosti (u1 , u2 , u3 ), výrazy obsahující členy −%u0i u0j mají význam tečné síly vztažené na jednotku plochy a nazýváme
je Reynoldosova napětí τij , která tvoří symetrický tenzor 2. řádu, tzv. Reynoldsův tenzor
napětí definovaný vztahem
(5.5)
τij = −%u0i u0j
Dosazením Reynoldsova napětí do námi výše odvozených Navierových-Stokesových rovnic
dostáváme pohybovou rovnici ve tvaru
dūi
1 ∂ p̄
∂
= −gδi3 − 2Ω0 ijk hj u¯k −
+
dt
% ∂xi ∂xj
∂ ūi
ν
∂xj
!
−
∂(u0i¯u0j )
∂xj
(5.6)
Poslední člen na pravé straně reprezentuje turbulentní tok hybnosti, který je reprezentován
výše definovanými složkami Reynoldsova tenzoru.
Sepišme na tomto místě ještě rovnice v konkrétním složkovém tvaru, tak jak jsme byli zvyklí
v kapitole o aproximacích rovnic. Dostáváme tedy s pomocí odvození v [6] soustavu
!
!
∂ ū
∂ ū
∂ ū
∂ ū
1 ∂ p̄
∂
∂ ū
∂
∂ ū
∂
∂ ū
+ ū
+ v̄
+ w̄
= −
+
ν
+
ν
+
ν
∂t
∂x
∂y
∂z
% ∂x ∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
!
1 ∂τxx ∂τyx ∂τzx
+λv̄ +
+
+
% ∂x
∂y
∂z
!
∂v̄
∂v̄
∂v̄
∂v̄
1 ∂ p̄
∂
∂v̄
∂
∂v̄
+ ū
+ v̄
+ w̄
= −
+
ν
+
ν
∂t
∂x
∂y
∂z
% ∂y ∂x
∂x
∂y
∂y
!
1 ∂τxy ∂τyy ∂τzy
−λū +
+
+
% ∂x
∂y
∂z
25
!
∂
∂v̄
+
ν
∂z
∂z
!
(5.7)
!
(5.8)
!
∂ w̄
∂ w̄
∂ w̄
1 ∂ p̄
∂
∂ w̄
∂
∂ w̄
∂ w̄
+ ū
+ v̄
+ w̄
= −
+
ν
+
ν
∂t
∂x
∂y
∂z
% ∂z ∂x
∂x
∂y
∂y
!
1 ∂τxz ∂τyz ∂τzz
+
+
+
% ∂x
∂y
∂z
!
∂
∂ w̄
+
ν
∂z
∂z
!
(5.9)
Tyto rovnice se nazývají Reynoldsovy středované Navierovy-Stokesovy rovnice (RANS) a
jsou to základní vztahy pro zkoumání proudění v mezní vrstvě atmosféry. Při jejich podrobnějším zkoumání zjistíme, že Reynoldsův tenzor je symetrický, což znamená, namísto 9 dalších
neznámých složek obsahuje 6 nových neznámých pro naši soustavu. Hledání vztahů pro jejich
určení je problém, který bývá nazýván problém uzávěru a dále se o něm ještě podrobněji zmíníme.
5.2
Problém uzávěru
Jak jsme se již zmínili analytické řešení základních rovnic pro proudění v mezní vrstvě atmosféry nelze nalézt. Numericky jsou dané rovnice řešitelné pouze do té míry, pokud nám to dovolí
výpočetní síla. Bohužel pro vysoká Reynoldsova čísla, což je konstanta vyjadřující míru turbulentních pohybů, se modelování stane nerealizovatelným. Pro názornost uveďme příklad dle [6].
Lze ukázat, že velikost Reynoldsova čísla přímo souvisí s poměrem měřítek výpočetní oblasti.
Poměr velikosti největšího měřítka lmax a nejmenšího měřítka lmin je dán jako
3
lmax
(5.10)
≈ Re 4
lmin
Znamená to tedy, že pro typickou hodnotu Reynoldsova čísla v mezní vrstvě atmosféry
≈ 105 . Pro 3D výpočet tedy dostáváme přibližnou
Re = 107 dostáváme poměr měřítek llmax
min
hustotu sítě 1015 , což je výpočetně nereálně velké číslo.
Je tedy nutno počítat s rovnicemi vystředovanými, kde jsou pohyby malých měřítek jaksi
redukovány. Při pohledu na rovnice (5.7), (5.8) a (5.9) však vidíme, že přibylo neznámých. Jde
o členy u0i u0j , případně, pokud bychom středovali rovnici teploty, dostali bychom člen θ0 u0j . Díky
těmto členům je náš systém neuzavřený. Je tedy nutno pro nové členy odvodit nové rovnice a
tím systém uzavřít. Pokusme se o tento postup. Vyjdeme z obecných Navierových -Stokesových
rovnic, kde položíme pro formální zjednodušení viskozitu konstantní a objemové síly nulové.
Rovnice upravíme vynásobením fluktuačními složkami rychlostí, sečtením a následným zprůměrováním.
Pro zjednodušení zápisu definujme operátor
ℵ(ui ) =
∂ui
∂ui
1 ∂p
∂ 2 ui
+ ui
+
−ν
.
∂t
∂xk % ∂xi
∂xk ∂xi
(5.11)
S ohledem na výše uvedené předpoklady můžeme tedy Navierovy-Stokesovy rovnice napsat
ve tvaru
ℵ(ui ) = 0
(5.12)
Nyní budeme postupovat dle výše naznačeného postupu, tedy přenásobení rovnic fluktuačními složkami, sečtení a středování. Dostáváme tak pro výpočet Reynoldsova tenzoru vztah:
26
u0i ℵ(uj ) + u0j ℵui = 0
(5.13)
Nyní pro přehlednost rozepíšeme jednotlivé členy.
Nestacionární člen:
∂uj
u0i
∂t
+
∂ui
u0j
∂t
=
=
=
=
=
∂(u¯j + u0j )
∂(ūi + u0i )
+ u0j
∂t
∂t
0
∂u
∂
u
¯
∂
ū
∂u0
j
i
u0i
+ u0i j + u0j
+ u0j i
∂t
∂t
∂t
∂t
0
0
∂u
∂u
u0i j + u0j i
∂t
∂t
0 0
∂uj ui
∂t
∂τij
−
∂t
u0i
(5.14)
Konvektivní člen:
u0i uk
∂(u¯j + u0j )
∂uj
∂ui
∂(ūi + u0i )
+ u0j uk
= u0i (u¯k + u0k )
+ u0j (u¯k + u0k )
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
0
0
∂(u¯j + uj )
∂(u¯j + uj )
= u0i u¯k
+ u0i u0k
∂xk
∂xk
0
0
∂(ūi + ui )
0
0 0 ∂(ūi + ui )
+ uj uk
+ ui u¯k
∂xk
∂xk
0 0
0
¯
∂u u
∂u
∂u0 u0
∂ ū0
= u¯k i j + u0i u0k j + u0j u0k i + u0k i j
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
0 0 0
∂u u u
∂ u¯j
∂ ūi
∂τij
− τik
− τjk
+ k i j
= u¯k
∂xk
∂xk
∂xk
∂xk
(5.15)
Tlakový gradient:
1 0 ∂p
∂p
1 0 ∂(p̄ + p0 ) 1 0 ∂(p̄ + p0 )
ui
+ u0j
=
u
+ uj
% ∂xj
∂xi
% i ∂xj
%
∂xi
1 0 ∂ p̄
1 ∂p
1 ∂ p̄
1 ∂p0
=
ui
+ u0i
+ u0i
+ u0j
% ∂xj % ∂xj % ∂xi % ∂xi
1 0 ∂p0
1 ∂p0
=
ui
+ u0j
% ∂xj % ∂xi
A jako poslední vazký člen:
ν
u0i
∂ 2 uj
∂ 2 ui
+ u0j
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
!
= νu0i
∂ 2 (u¯j + u0j )
∂ 2 (ūi + u0i )
+ νu0j
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
27
(5.16)
∂u0
∂
= ν
u0i j
∂xk
∂xk
= −ν
!
∂
∂u0
+ν
u0j i
∂xk
∂xk
!
− 2ν
∂ 2 τij
∂u0 ∂u0
− 2ν i j
∂xk ∂xk
∂xk ∂xk
∂u0i ∂u0j
∂xk ∂xk
(5.17)
Dáme-li nyní všechny tyto členy dohromady, dotáváme přímo rovnici pro Reynoldsův tenzor
∂τij
∂τij
+ uk
∂t
∂xk
∂uj
∂ui
∂u0 ∂u0
− τjk
+ 2ν i j
∂xk
∂xk
∂xk ∂xk
∂u0 u0 u0
1 0 ∂p
1 ∂p0
∂ 2 τij
+
ui
+ u0j
+ k i j +ν
% ∂xj % ∂xi
∂xk
∂xk ∂xk
= τik
(5.18)
Získali jsme tedy nyní rovnice pro neznámé členy Reynoldsova tenzoru. Pokud se podrobně
podíváme na strukturu výše uvedených rovnic, tak zjistíme, že jsme prakticky nic nevyřešili,
neboť v námi odvozených rovnicích se vyskytuje při započtení všech symetrií celkem 22 dalších
neznámých, které jsou vyjádřeny těmito členy
u0k u0i u0j → 10 neznámých
∂u0i ∂u0j
→ 6 neznámých
∂xk ∂xk
1 0 ∂p
1 ∂p0
ui
+ u0j
→ 6 neznámých
% ∂xj % ∂xi
2ν
Tento fakt je názorným příkladem problému, který jsme již naznačili výše. Jedná se o problém
uzávěru, který nelze řešit přidáváním rovnic pro neznámé členy. Vidíme tedy, že jde spíše o problém algebraický, než fyzikální, neboť z fyzikálního hlediska není na metodách řešení problému
uzávěru nic nového. Takovouto neuzavřenou soustavu rovnic turbulentního proudění nazýváme
Keller-Friedmanovy rovnice. Rovnice jsou typické tím, že jsou obecně řádu n a obsahují
přitom n + 1 neznámých. Jde nyní o to na nějaké úrovni zvolit rozumnou aproximaci nových
členů a tím systém uzavřít.
5.3
Prandtlova teorie turbulentního přenosu hybnosti
Nejjednodušším řešením problému uzávěru je tzv. Prandtlova teorie turbulentního přenosu hybnosti. Praktické použití rovnic (5.7), (5.8) a (5.9) naráží na značné potíže při určování členů
obsahujících Reynoldsova napětí. Proto je vhodné použít k vyjádření sil určitého přiblížení.
Základem teorie je formální podobnost chaotického pohybu vírů v turbulentním proudění s
náhodným termickým pohybem molekul v proudění laminárním. Vzhledem k této podobnosti
zavádíme analogicky k dynamickému koeficientu vazkosti µ daného vztahem ν = µ% , tzv. ko1
1
eficienty výměny Axz a Ayz (resp. koeficienty turbulentní difuze Kxz = %Axz
a Kyz = %Ayz
)pro
vertikální přenos x-ové a y-ové složky hybnosti pohybujících se vzduchových částic
τxz = −%u0 w0 = Axz
28
∂ ū
∂z
(5.19)
∂v̄
(5.20)
∂z
Prandtl dále zavádí směšovací délku l jako analogii ke střední volné dráze molekul. Uvážímeli tekutinu proudící průměrnou rychlostí ū ve směru osy x, dle Prandtlovy teorie představuje
0
vzdálenost, kterou urazí studovaná vzduchová částice, než ztratí své vlastsměšovací délka lxz
nosti vlivem turbulentních fluktuací a splyne s okolím. Index xz znamená, že se jedná o přenos
x-ové složky hybnosti ve vertikálním směru osy z. Studujme vzduchovou částici s turbulentní
fluktuací rychlosti u0 , která je z výchozí hladiny z, kde je zprůměrovaná rychlost horizontálního
0
,
proudění rovna ū(z), turbulentním promícháváním vertikálně transportována do hladiny z + lxz
v níž se smísí s okolím, tedy (dle [5])
τyz = −%v 0 w0 = Ayz
0
)
ū(z) + ū0 = ū(z + lxz
(5.21)
z čehož odvodíme
∂ ū
(5.22)
∂z
Z podmínky kontinuity proudění vyplývá, že vertikální turbulentní fluktuace rychlosti w0
musí mít řádově stejnou velikost jako u0 , avšak opačný směr tedy opačné znaménko. Z této
úvahy dostáváme pro Reynosldsovo napětí τij
0
0
ū0 = ū(z + lxz
) − ū(z)=l
˙ xz
02
τzx = −%u0 w0 = %lxz
∂ ū
∂z
!2
(5.23)
02 2
Zavedením střední kvadratické směšovací délky (lxz )2 = (lxz
) můžeme vztah (5.23) přepsat
τzx =
−%u0 w0
=
2
%lxz
∂ ū
∂z
!2
(5.24)
Porovnáním této rovnice se vztahem (5.19) dostáváme vyjádření pro koeficienty turbulentní
výměny a difuze pomocí směšovací délky
2
Axz = %Kxz = %lxz
∂ ū
∂z
(5.25)
Analogicky lze odvodit vztahy pro všechny tři složky hybnosti proudění, které jsou turbulentně
přenášeny podél všech tří os. Takto zavedené veličiny Aij a Kij tvoří tenzory 2. řádu. Pojem
směšovací délky byl v Prandtlovy teorii zaveden spekulativně, na základě formální analogie
s volnou dráhou molekul při termickém pohybu, proto jí nemůžeme vyjádřit jednoznačně a
univerzálně na základě měření pro všechny případy stejně. Určení směšovací délky je důležitým
problémem Prandtlovy teorie a její stanovení plyne z hypotézy o vyjádření směšovací délky, viz
[5]. Zpravidla neuvažujeme tenzorový charakter veličiny, tzn. různé velikosti l v různých směrech.
V přízemní vrstvě atmosféry silné několik desítek metrů je vhodnou hypotézou předpoklad
lineární závislosti l na vertikální souřadnici z
l = κ(z + z0 ),
(5.26)
kde κ představuje von Kármánovu konstantu (hodnota této bezrozměrné veličiny je různými
autory udávána v rozmezí 0,36–0,41, viz [5]) a z0 značí parametr drsnosti. Další vyjádření pro
směšovací délku lze nalézt v [5].
29
5.4
Používané modely turbulence
Prandtlova teorie je bohužel poměrně slabým řešením problému uzávěru, neboť je založená na
aplikaci vztahů z molekulové fyziky, které v tekutině platí na mikroskopických měřítcích, ale v
makroměřítku při jejich užívání dosti narážíme. Kromě nejjednoduššího modelu popsaného výše
se však používá celá řada dalších. Vesměs všechny metody fungují na tom principu, že se snažíme
v systému Keller-Friedmannových rovnic parametrizovat, tedy přibližně vyjádřit momenty n+1
řádu pomocí momentů alespoň o řád nižších. Tím poté dosáhneme uzavření soustavy rovnic a
říkáme, že jsme dostali model turbulence n-tého řádu.
Zaveďme nyní užitečné veličiny, které najdou uplatnění v dalším textu. Přímo z rovnic (5.7),
(5.8) a (5.9), lze totiž kontrakcí tenzorů (tedy předpokladem rovnosti indexů i a j a přesčítáním
přes i = 1, 2, 3) dostaneme rovnici pro kinetickou energii fluktuačního pohybu ve tvaru
1
(5.27)
k = ui ui
2
Nebo komplikovanější úpravou můžeme z téhož odvodit rovnici pro disipaci energie
ν X ∂ui ∂uj
+
=
2 i,j ∂xj
∂xi
!2
(5.28)
Modelů prvního a druhého řádu byla odvozena celá řada, přičemž nejvhodnější se doposud
zdají být modely druhého řádu, které můžeme rozdělit následovně:
1. Uzávěr prvního řádu - Ty modely, kde korelace druhého řádu uvádíme ve vztahu s
koeficienty turbulentní viskozity. Máme pak tyto varianty pro tento druh uzávěru:
• Předpokládáme prostě, že momenty druhého řádu jsou nenulové konstanty.
• Výše uvedená Prandtlova teorie, která je v podstatě příkladem algebraického uzávěru, kdy jsou momenty vyjádřeny pomocí algebraických vztahů jako (5.19) a (5.20).
Celkem tento model obsahuje tedy šest rovnic (3 pro složky roychlostí a 3 pro momenty).
• Přidáme jednu evoluční rovnici pro turbulentní kinetickou energii, tedy pro veličinu
k, resp. její odmocninu, která má zřejmě charakteristický rozměr rychlosti. Toto je
tzv. jednorovnicová metoda, která obsahuje celkem sedm rovnic.
• Přidáme rovnice pro k i a dostaneme tak dvourovnicovou k − metodu. Model
tak obsahuje osm rovnic.
2. Uzávěr druhého řádu - V tomto případě nahradíme v rovnicích (5.7), (5.8) a (5.9)
neznámé korelace vhodným přiblížením, čímž dostaneme celkově 18 rovnic pro osmnáct
neznámých.
Metody se různě navzájem kombinují a trendem ve vývoji je zkoumat různé druhy turbulentních pohybů a odhadnout pro daný typ turbulence ten nejideálnější model a tak se postupně
dostávat k nějakému modelu, který by bylo možno považovat za univerzální, třebaže obecně
univerzální model v podstatě neexistuje. Velmi podrobně se dalšími modely zabývají práce [33],
[34], [47] a také [45].
Věnujme se nyní už jen výše zmíněnému dvourovnicovému k − modelu, který bývá používán nejčastěji, jakožto vhodný kompromis mezi potřebou přesnějšího popsání turbulence a na
30
druhé straně limitujícím faktorem numerické náročnosti. Tento model už totiž vůbec nepoužívá
poměrně zavádějící pojem směšovací délky. Turbulentní viskozita je určena vztahem
k2
(5.29)
Celkově tedy máme pro uzavřený k − model turbulence v mezní vrstvě atmosféry soustavu,
která bývá aplikována nejčastěji v této formě1 :
K = Cµ
∂ui
∂t
∂k
∂t
∂
∂t
∂T
∂t
∂C
∂t
∂uk
∂xk
∂ui
+ uk
∂xk
∂k
+ uk
∂xk
∂
+ uk
∂xk
∂T
+ uk
∂xk
∂C
+ uk
∂xk
= 0
=
=
=
=
=
K =
(5.30)
T
1 ∂p
∂
K ∂ui
∂uk
gδi3 −
− 2ijk Ωj uk −
+
T0
% ∂xk
∂xk 2 ∂xk
∂xi
!
1 ν ∂T
∂uk
∂
K ∂k
gδi3 − τij
−+
T0 P r ∂xi
∂xk
∂xk P r ∂xk
!
2
∂ui
∂
K ∂
c1 τ ij
− c2 +
k
∂xk
k
∂xk Sc ∂xk
!
∂
K ∂T
∂xk P r ∂xk
!
∂
K ∂C
∂xk Sc ∂xk
k2
Cµ
!!
(5.31)
(5.32)
(5.33)
(5.34)
(5.35)
(5.36)
kde užíváme pro některé konstanty nejčastěji hodnot
cµ = 0.09, P r = 1, Sc = 1.3, c1 = 1.44, c2 = 1.92
(5.37)
Tento model je velmi dobře aplikovatelný pro oblasti proudění bez výskytu větších překážek
(horské hřebeny, stěny apod.). Pro použití na oblastech s výskytem těchto překážek je potřeba
k modelu dodat vhodné stěnové funkce, tak jak to činíme dále v rovnicích (8.1) a (8.2). Takto
modifikovaný model bývá označován jako Low-Reynolds Number model a podrobněji je o
něm zmíněno zejména v práci [35] a částečně i v [26].
1
Uveden je zde pro jednoduchost model předpokládající nestlačitelnost ve formě % = konst. V námi počítaném
konkrétním případě však používáme model stlačitelný, tedy s rovnicí kontinuity v obecném tvaru (3.3)
31
Kapitola 6
Modelování transportu pasivní přímesi
Při řešení transportu pasivní přímesi z nějakého zdroje do oblasti proudění je možno postupovat
hned několika způsoby. Historicky nejstarší a také nejjednodušší metodou je tzv. gaussovský
model rozptylu. Dále můžeme použít o řád složitější metodu založenou na Lagrangeově
popisu. Obě tyto metody jaksi dopočítávají prostorovou koncentraci kontaminantu až po vyřešení průběhu proudového pole rychlosti. Ve výpočtu pole však nefigurují. S tím je spojena
jistá relativní nepřesnost a nedokonalost obou metod, která je však vykompenzována relativní
jednoduchostí výpočtu. Ideální je však zahrnout do systému rovnic také transportní rovnici a
koncentraci počítat přímo s proudovým polem. Tuto metodu, která je nazývána eulerovské
řešení pole koncentrace, dnes využívá naprostá většina softwarových nástrojů pro řešení
proudění v atmosféře. Podrobnější přehled modelování transportu lze najít v pracech [45] a
[46]. Základům počítačového zpracování transportních problémů se hlouběji věnuje publikace
[18]. Jednou z používaných metod je také tzv. statistické modelování transportu, které nachází
uplatnění v některých specifických aplikacích a kterému se blíže věnuje například práce [27].
6.1
Gaussovský model
Tento způsob výpočtu prostorového rozložení koncentrace pasivní příměsi je založen na aproximaci, že rozptyl kontaminantu ze zdroje probíhá dle gaussovy křivky, což není nic jiného než
exponenciální průběh. Explicitní tvary uvedeme níže. Důležitým zjednodušujícím předpokladem je v tomto případě stacionárnost. Gaussovský model není schopen zahrnout časové změny
parametrů proudění, což je také hlavní nevýhodou tohoto přístupu. Tato aproximace je velmi
užitečná z toho důvodu, že je numericky velmi nenáročná. Stači v podstatě jen dosadit do poměrně komplikované, ale nediferenciální rovnice. Lehce se situace zkomplikuje požadujeme-li
výpočet pro plošný či liniový zdroj namísto zdroje bodového.
Vzhledem ke zjednodušením, které bereme v úvahu při výpočtu gaussovskou metodou, musíme výsledky takto dosažené podle tohoto také interpretovat. Gaussovská metoda výpočtu
koncentrace se používá zejména pro odhad dlouhodobých hodnot koncentrace, kde si vystačíme
s průměrnými hodnotami, které z tohoto modelu získáme. Tímto způsobem dostáváme dobré
odhady pro měsíční, či roční úhrny koncentrací vztažené většinou na větší prostorová měřítka.
Metoda je nejvíce využívána pro tzv. krizový management, kdy je třeba co nejjednodušeji a
nejrychleji učinit hrubý odhad znečištění apod. Podrobnější informace o povaze gaussovských
modelů lze najít v pracech [15], [13] a [14].
Model je tedy založen na tom, že pro koncentradci platí tento vztah
32
Kapitola 6: Modelování transportu pasivní přímesi
K
x2
c(x) = exp − 2 ,
v
σ
!
(6.1)
kde c je jednorozměrná koncentrace pasivní přímesi, v je zprůměrovaná rychlost proudění,
K je blíže nedefinovaná konstanta zahrnující veškeré prostorové a materiálové podmínky (v
dalším textu ji blíže specifikujeme) a σ je rozptylový parametr, který není ničím jiným, než
směrodatnou odhylkou normálního rozdělení.
Rovnice (6.1) je samozřejmě nepoužitelná díky nespecifikovaným konstantám a také je nepříjemně jednodimenzionální. Pro přehlednost a sjednocení postupů a náhledů na problematiku
je přesný tvar rovnice upraven metodikou Symos (více přímo oficiální metodika [13] a [14]). Dle
metodiky vyjadřujeme koncentraci plynné pasivní příměsi emitované ze stacionárního zdroje dle
vztahu
c(x, y, z) =
106 Mz
.
2π(σy + σy0 )(σz + σz0 )uh + Vs
!
−y 2
x
Kh .=,
exp
exp −ku
2(σy + σy0 )2
uh
(6.2)
kde Mz je emise kontaminantu, tedy pro bodové zdroje rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku, pro plošné zdroje je rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku z jednotky
plochy a pro liniové zdroje představuje hmotnostní tok násobený délkou liniového zdroje. Dále
jsou Vs objemový tok příměsi, uh je rychlost větru ve výšce h, σy příčný horizontální rozptylový
paramtetr, σz příčný vertikální rozptylový parametr a σy0 a σz0 jsou počáteční hodnoty rozptylového parametru pro plošné a liniové zdroje (tedy jsou nulové pro bodové zdroje), ϑ je koeficient
vyjadřující míru zvlněnosti terénu, h je výška umístění zdroje nad terénem, Kh je koeficient
zeslabení vlivu nízkých zdrojů na referenční body ve větších nadmořských výškách, ku je koeficient odstraňování, který zahrnuje suchou a mokrou depozici a míru chemické transpormace
kontaminantu a kde výraz = je roven
(z − h)2
= = exp −
2(σz + σz0 )2
"
!
(z + h)2
+ (1 − ϑ)exp −
2(σz + σz0 )2
!
(z − h)2
+ (1 + ϑ)exp −
2(σz + σz0 )2
!#
Pro výpočet koncentrace pevného kontaminantu lze použít obdobný vzorec, který zde uvedeme:
c(x, y, z) =
106 Mz
.
2π(σy + σy0 )(σz + σz0 )uh + Vs
!
rc
X
−y 2
x
αpi
exp
exp
−k
K
.=,
u
h
2
2(σy + σy0 )
uh
i=1 100
(6.3)
kde konstanta Mz je pro bodové zdroje rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku, pro
plošné zdroje je rovna hmotnostnímu toku za časovou jednotku z jednotky plochy a pro liniové
zdroje představuje délkovou intenzitu hmotnostního toku násobenou délkou liniového zdroje.
Dále je αpi procentuální zastoupení v jednotlivých třídách velikosti prašných částic. Zde je
výraz = roven
33
(z − H)2
= = exp −
2(σz + σz0 )2
"
!
(z + H)2
+ (1 − ϑ)exp −
2(σz + σz0 )2
!
(z − H)2
+ (1 + ϑ)exp −
2(σz + σz0 )2
!#
,
kde H = h + hgi je výška daná vztahem
x.vgi
,
(6.4)
uh
kde konečně vgi je pádová rychlost částic o průměru di .
Je vidět, že přesné vztahy pro praktické výpočty rozložení koncentrací nejsou sice diferenciální, ale vzhledem k jejich empirickému založení jsou poměrně plné mnoha specifiských konstant,
jejichž úloha je dosti důležitá pro přesné určení hodnot. S výhodou se samozřejmě používá uživatelky příjmených aplikací, pro výpočet koncentrací, které jsou implementačně velmi jednoduše
naprogramovatelné.
hgi =
6.2
Lagrangeův popis šíření
Narozdíl od Gaussova modelu se snaží Lagrangeův model popsat transport méně empiricky.
Popis využívá zjednodušenou diferenciální rovnici pro šíření koncentrace, pro jejíž řešení je
nutno znát předem přesný tvar proudnic. Lagrangeova metoda se tedy aplikuje po vyřešení
modelu proudového pole nad územím. Výhodou je, že tento druh modelování už připouští fakt,
že parametry proudění se v prostoru mohou měnit. Jediné omezení je tedy to, že Lagrangeův
popis je vázán výhradně na směr proudnic. Dle práce [15] je možno tyto modely dále dělit na:
• Jednoduché trajektoriové modely, které vytváří přibližné kvantitativní analýzy a jejich
cílem je vytipovat například nejvíce zasažené oblasti a vytvořit hrubou představu o charakteru pole znečištění.
• Vlečkové modely, které modelují vlastní tvar kouřových vleček za pomoci různého pohledu
na vertikální a horizontální charakteristiku rozptylu příměsí. Využívají tedy v podstatě
Gaussův model, který vylepší o přesnější tvar vleček.
• Puff-modely, které rozdělují vlečku na několik dílů, tzv. puffů, které jsou unášeny prouděním. Dokáží pracovat s časově proměnnými parametry proudění a dovolují zahrnout i vliv
chemických reakcí, ke kterým dochází při kontaktu různých látek s prostředímn apod.
• Kvalitnější puff-modely, které za jistých podmínem dokáží i dále členit jednotlivé puffy a
tím modelování podstatně zdokonalit. Pomocí tohoto modelu se už dokážeme velice dobře
přiblížit skutečnému charakteru difúze nečistot v atmosféře.
Obecněji lze nahlížet na Lagrangeův popis tak, že počítáme s jednotlivými částicemi kontaminantu modelově vnášenými do pole proudění, kdy je turbulentní rozptyl každé modelové
částice, tedy vektor připočítávaný k poli proudění, řešen pomocí náhodného parametru a je
dosahováno dosti realisticky vypadajících kouřových vleček. Naznačme způsob výpočtu:
Pro polohu nové částice platí
xi (t + ∆t) = xi (t) + (ui + u0i )∆t
34
(6.5)
Přitom vektor turbulentních fluktuací u0 lze dle [46] vyjádřit jako
u0i (t
+ ∆t) =
au0i (t)
∂σu2i
+ bσui ξ + δi3 (1 − a)TLi
,
∂t
(6.6)
√
− ∆t
kde ξ je náhodný parametr, který se pohybuje v mezích od b = 1 − a2 do a = e TL .
TL je Langrangeův integrální čas a σ je funkce
která je odvozena z turbu√ rychlostní variace,
√
lentní kinetické energie k vztahem: σu1 = 0, 91 k, σu2 = 0, 52 k. Detailněji je praktický popis
Lagrangeovy metody řešení transportu uveden v pracech [46], [40] a [31].
6.3
Eulerovská metoda
Tato metoda je založena na řešení rovnice transportu ve tvaru (3.19) nebo častěji ve zjednodušeném případě ve tvaru (3.27). Tato parciální diferenciální rovnice je řešena přímo v soustavě
rovnic, které komplexně popisují daný problém. Je to tedy metoda nejpřesnější, avšak výpočtově
nejnáročnější. Je velmi vhodná zejména při určování přesného vertikálního profilu koncentrace
znečištění, tedy hlavně v modelech znečištění městských zástaveb apod. Výpočtová složitost
tkví samozřejmě v nutnosti znát přesně pole proudění v dané lokalitě. Nutno je poznamenat,
že většina softwarových nástrojů pro řešení znečištění ve vodních zdrojích či v atmosféře mají
Eulerovu metodu výpočtu implementovánu.
35
Kapitola 7
Numerické řešení problému
Zde bychom rádi provedli popis používaných numerických metod, které nachází uplatnění při
řešení problémů proudění v atmosféře. Nebudeme popisovat detailní schémata, ani dokazovat
konvergenci metod, ale uvedeme rozdělení základních metod a jejich stručný popis. Naznačíme
jak různé metody pracují a k jakým aplikacím se proto užívají. Podrobněji se lze o numerických
metodách dočíst v pracech [19], [33], [47] a také v základních textech [28], [29].
7.1
Metoda konečných diferencí
Jedná se o jednu z nejzákladnějších metod řešení diferenciálních rovnic. Princip metody spočívá
v tom, že derivace umíme rozumně nahradit diferencemi a tím v podstatě dostaneme z rovnic
diferenciálních soustavu rovnic algebraických, které následně řešíme iteračními nebo přímými
metodami.
Při použití této metody používáme jako výpočetní síť pravidelné rozdělění oblasti pomocí
bodů na obdélníkové tvary. Metoda neumí zahrnout trojúhelníkový mash či podobné tvary.
Metoda je nejvíce aplikačně vhodná na řešení 1D problémů. Někdy se pro svou relativní
snadnost implementace využívá u problémů pro oblasti 2D. Proč je metoda snadná si ukážeme
na následujícím vysvětlení vyjádření derivací. Uvažujme pro jednoduchost 1D případ. Nechť
je f funkce, která ma na celé oblasti derivace alespoň do řádu 2. Použijeme klasické definice
derivace pomocí limity
f (x + h) − f (x)
df (x)
= lim
(7.1)
h→0
dt
h
Numerická metoda funguje tak, že zvolíme parametr h dostatečně malý a aproximujeme tak
výše uvedenou limitu. Parametr h je přitom závislý na hustotě bodů na dané oblasti. Pokud je
l délka intervalu a n počet bodů na intervalu, tak samozřejmě platí h = nl . Každou 1. derivaci
můžeme tedy nejjednodušeji vyjádřit takto
df (x)
f (xn ) − f (xn−1 )
≈
dt
h
Alternativně se však častěji používá numericky výhodnější schéma
df (x)
f (xn+1 ) − f (xn−1 )
≈
dt
2h
Druhé derivace se dají odvodit analogicky.
36
(7.2)
(7.3)
Kapitola 7: Numerické řešení problému
Problémy nastanou až u potřeby vyjádření nestacionárních jevů, tedy v případě, kdy se v
rovnicích objevují časové derivace. Navíc v praktických aplikacích se časová diskretizace řeší metodami Rungeovými-Kuttovými, o kterých je možno se podrobně dočíst v práci [6]. Ve srovnání
s komplikovaností následující metody konečných prvků je to však jen drobná komplikace a dále
už se zde této metodě věnovat nebudeme, přičemž odkážeme na práci [18], kde je o implementaci
této metody pojednáno více i z praktického hlediska.
7.2
Metoda konečných prvků
Jedná se o velmi silnou metodu, která má narozdíl od metody konečných diferencí poměrně
hluboký matematický základ a stojí na složitém aparátu funkcionální analýzy. Uveďme zde
alespoň nástin problematiky.
Metoda konečných prvků je jednou z variačních metod, které se snaží volbou vhodných
bázových funkcí a vhodných koeficientů aproximovat co nejlépe daný charakter paricální diferenciální rovnice. Při řešení se vychází z variační úlohy hlednání minima funkcionálu. Toto
definujme přesněji.
Formulujme zde základy tzv. Ritzovy metody, která je základem pro metodu konečných
prvků.
Ritzova metoda
Je nutno zavést pojem Hilbertova prostoru H, čímž budeme rozumět prostor funkcí omezený
na nějaké oblasti, na kterém je dobře definován skalární součin funkcí f, g ∈ H a to nejčastěji
vztahem
(f, g) =
Za
f (x)g(x)dx
(7.4)
b
Dále potřebujeme znalost pojmu funkcionálu, což je velmi stručně řečeno operátor zobrazující
svůj definiční obor do množiny reálných čísel.
Pokud bychom uvažovali parciální diferenciální rovnici Au = f , kde A je diferenciální operátor, který je pozitivní a symetrický (více o těchto pojmech v práci [28]), potom můžeme variační
problém definovaný na prostoru H psát jako hledání minima funkcionálu F definovaného jako
F u = (Au, u) − 2(f, u) =
Z
Au · udΩ − 2
Ω
Z
f · udΩ
(7.5)
Ω
Tento funkcionál je nazýván funkcionálem energie a důležitá je nyní poměrně silná věta,
která říká, že je-li u0 z H obecným řešením problému Au = f , pak pro u0 nabývá funkcionál
energie ostrého minima.
Tento princip je základem celé metody. Samozřejmě nehledáme minimum funkcionálu energie
na celém definičním oboru, ale jen na daném podprostoru, který má dimenzi problému. Prakticky
řešíme úlohu hledáním koeficientů pro vhodně zvolené bázové funkce, tak aby funkcionál vracel
minimální hodnotu. Hledáme přitom koeficienty ai pro bázové funkce νi . Funkce un je pak dána
jako
un =
n
X
i=1
37
ai ν i
(7.6)
Tento postup tedy znamená převod s nekonečnědimenzionálních problémů na problémy s
konečnou dimenzí a pro konečný počet bázových funkcí.
Metoda konečných prvků je potom nic jiného než Ritzova metoda se speciální volbou bázových funkcí ve formě tzv. spline funkcí.
Oblast, na které řešíme problém musí splňovat Lipschitzovskost a pro praktické řešení je
pak oblast rozdělena pomocí trojúhleníkové sítě. Někdy se používá síť čtyřúhelníková a často
i šestiúhelníková. Pro prostorové oblasti jde o dělení pomocí čtyřstěnů, pětistěnů či šestistěnů.
Způsob, jak pokrývat konkrétní oblasti je velmi komplikovaný. Poskytuje nám však obrovskou
výhodu ve flexibilitě narozdíl od čtvrcových sítí používaných metodou konečných difernecí.
Nejvýznamnější výhodou je možnost snadné volby zahuštění oblasti v místech, kde je potřeba
zvýšená preciznost výpočtu apod.
Metoda konečných prvků je nejčastěji používána na řešení plošných problémů, kde se ukazuje
být nejvýhodnější. Naopak pro řešení 3D úloh zatím nedosahuje takových výsledků jako metoda
konenčých objemů popsaná níže. Hlavní aplikace jsou při řešení nestacionárních úloh vedení
tepla, simulaci pružnosti, modelování elasticity a mnoha dalších průmyslových problémech.
Podrobnější aspekty, nechť čtenář vyhledá například v publikaci [17], která obsahuje rigorózní matematický výklad a zejména pak i konkrétní postupy pro různědimenzionální problémy, které již přesahují rámec této práce.
Galerkinova metoda
Na Ritzovu metodu dále navazuje další důležitá metoda nazývaná nejčastěji Galerkinova nebo
též metoda vážených reziduí. Aproximaci přesného řešení se však snažíme hledat pomocí analýzy
reziduí. Pokud je up přesné řešení problému Au = f , pak tomuto řešení se přibližujeme s
hledaným řešením pomocí bázových funkcí, které je možno zapsat vztahem (7.6). Můžeme tedy
psát
up ≈ un =
n
X
ai νi
(7.7)
i=1
Aproximace řešení un nesplňuje diferenciální rovnici přesně, tedy je
Aun − f = r 6= 0,
(7.8)
kde jsme zavedli r jako reziduum. Galerkinova metoda nyní hledá takovou aproximaci, která
splňuje podmínku ortogonality s váhovými funkcemi ωi . Ortogonalitu rozumíme ve smyslu skalárního součinu na Hilbertově prostoru H, takže hledáme takové koeficienty ai , že
Z
Ω
ω(Au − f )dΩ =
Z
Ω
ω(A
n
X
ai νi − f )dΩ = 0
(7.9)
i=1
Nyní se dostáváme k nejdůležitějšímu principu Galerkinovi metody, která z poměrně hlubokých důvodů mají speciální vyjádření váhových fukncí ωi , takové, že jsou váhové funkce brány
přímo jako funkce bázové, tedy platí ωi = νi .
Tímto jsme formulovali základy další variační metody, která se v technické praxi hojně užívá
pro svou relativně mnohem větší snadnost algoritmizace oproti Ritzově metodě a je velmi často
užíváná v řešičích založených na metodě konečných prvků.
38
7.3
Metoda konečných objemů
Nakonec se podrobněji zaměřme na vpodstatě nejpoužívanější numerickou metodu pro 3D oblasti a pro systémy rovnic používané pro řešení proudění v atmosféře.
Metoda konečných objemů vznikla teoreticky na začátku sedmdesátých let, ale podstatnějšího rozmachu a popularizace zaznamenala až v letech osmdesátých.
Základní myšlenkou této metody je vlastně rozdělění výpočtové oblasti na systém měnších
podoblastí - tzv. kontrolních objemů, které však nemusí nutně být totožné s buňkami sítě!
Pro každý kontrolní objem poté aplikujeme systém rovnic zvlášť. Pro kontrolní objemy platí
celá řada zajímavých vztahů, které dávají mnoho možností, jak problémy na celé oblasti velmi
zjednodušit. Uveďme zde například zákon zachování pro nějakou skalární veličinu A na oblasti
Ω. Zákon zachování má potom tento tvar
I
Z
∂ Z
AdΩ + F dS = QdΩ,
∂t
Ω
(7.10)
Ω
∂Ω
kde F vyjadřuje tok přes hranici oblasti Ω a Q je zdrojová funkce. Nyní si představme, že
rozdělíme oblast Ω úsečkou mezi body X a Y , které leží na hranici oblasti, na dvě další oblasti
Ω1 a Ω2 . Někde na hranici nové oblasti Ω1 si představme pomocný bod W a na hranici nové
oblasti Ω2 pomocný bod Z. Pro každou z těchto oblastí můžeme napsat zákony zachování takto:
I
∂ Z
AdΩ +
∂t
↔
Ω1
∂
∂t
Z
Ω2
F dS =
AdΩ +
QdΩ
(7.11)
QdΩ
(7.12)
Ω1
W XY
I
Z
F dS =
↔
Z
Ω2
XY Z
Snadno nahlédneme, že výše uvedené křivkové integrály přes hranici mají v obou rovnicích
společný úsek přes hranici oblastí mezi body X a Y . Je však zřejmé, že tyto integrály mají
stejnou velikost až na znaménko, které je díky opačnému směru integrace právě opačné. Tyto
integrály se tedy vyruší! Toto je veledůležitá vlastnost, která značí jistou konzervativnost, kterou
musí mít i naše výsledné výpočtové schéma.
Pokusme se ještě vyjádřit zákon zachování pro každý z kontrolních objemů a ne jen pro
dvě speciální oblasti. Představa je tedy taková, že máme vhodnou1 oblast Ω s hranicí ∂Ω. Tuto
oblast aproximujeme polygonální oblastí Ωpol s hranicí ∂Ωpol . Vrcholy této hranice samozřejmě
leží na hranici ∂Ω. Nyní vytvoříme dělení oblasti pomocí buněk, tedy vlastně pokryjeme oblast
Ωpol systémem podmnožin Ωi , což jsou naše kontrolní objemy s požadovanými vlastnostmi. Tyto
objemy mají potom prakticky tvar tetraedrický či hexagonální, což rozebereme v další kapitole.
Pokud zavedeme pojem míry objemu oblasti jako µ(Ωi ), tak platí zřejmá nezápornost objemů, disjunktnost a úplnost pokrytí oblasti Ωpol . Tedy
∀i je µ(Ωi ) > 0
(7.13)
!
[
Ωi = Ωpol
,
i
µ
\
Ωi = 0
(7.14)
i
1
Myslíme tím, že oblast je jednoduše souvislá a omezená, což požadujeme spolu s disjunktností a konvexností
buněk dělení oblasti i pro další uvažované oblasti v této kapitole.
39
Dále musíme vyřešit problémy s navzájem sousedícími oblastmi. Označme tedy jako Ki
množinu indexů všech sousedních oblastí s oblastí i-tého objemu, tedy prakticky těch buněk,
které mají i-tou stěnu společnou. Uvědomme si tedy, že pro každou ze stěn buňky Ωi může
nastat jedna z možností:
1. Stěna leží na hranici ∂Ωpol , tedy náleží jen jedné buňce Ωi .
2. Stěna leží právě ve dvou buňkách Ωi .
Pokud buňka Ωi obsahuje alespoň jednu stěnu prvého typu, pak jí říkáme hraniční, jinak
mluvíme o vnitřní buňce. Nadále uvažujme platnost výše znázorněné konzervativnosti v toku
mezi buňkami. Zákon zachování potom můžeme napsat diskretizovaně pro každý jednotlivý
kontrolní objem jako
X
∂
F nSi = Qµ(Ωi ),
(Ai µ(Ωi )) +
∂t
Ki
(7.15)
kde n je vektor vnější normály k hranici a Si je plocha příslušné stěny buňky.
Ukázali jsme si tedy názorně, jak funguje diskretizace výchozích rovnic.
Základní výhodou metody je to, že díky své obecnosti je použitelná na mnoha různých typech
sítě a to i v sítích strukturovaných do pravidelné struktury, ale i pro sítě jinak strukturované.
Pro vybraný typ sítě máme základní problém s rozložením neznámých uvnitř. Jsou zde typicky
tři základní možnosti umístění:
• cell centre - neznámé jsou umístěny do středů buňky sítě a hodnoty neznámých jsou
středovány v rámci buňky.
• cell vertex - neznámé jsou umístěny do síťových bodů, tedy vlastně do rohů buněk a
hodnoty jsou střední hodnotou vrámci daných hran.
• cell edges - neznámé jsou umístěny do středů stěn buněk a hodnoty jsou střední hodnotou
vrámci stěn.
Všechny možnosti jsou navzájem často kombinovány či doplňovány o modely umělé disipace.
Připomeňme nakonec, že metodu konečných objemů využívá také software Fluent, kterým
budeme řešit náš konkrétní problém.
40
Kapitola 8
Tvorba výpočtové sítě
V této části se pokusíme co nejstručněji a přitom jasně popsat vhodné postupy při zahrnutí
komplikovaného reálného terénu do matematického modelu. Při řešení problému nám vyvstává
několik zásadních otázek:
1. Jak matematicky formulovat komplikovanou orografii?
2. Jak vytvořit dobře aplikovatelnou výpočtovou síť, která bude schopná respektovat požadavky náročné orografie a přitom se nesnažit nijak terén zhlazovat či modifikovat, abychom
neztratili žádný ze zajímavých aspektů konkrétní oblasti (hluboká údolí, ostré hřebeny,
sedlové body, kolmé stěny apod.).
3. Jak zahrnout do výpočtové sítě model mezní vrstvy?
4. Nakonec můžeme diskutovat nad hustotou sítě, tvarem buňek a také vstupními profily a
modely turbulence.
8.1
Zapracování komplikovaného terénu do výpočtové sítě
Existuje obecně řada možností, jak zapracovat nerovnosti do výpočtové sítě.
Jedním z nich je použít k vyjádření tvaru terénu matematických křivek. Tím dostáváme samozřejmě jisté zkreslení. Další nevýhodou této metody je fakt, že zpracovat terén o větší rozloze
touto metodou je značně pracné a míra nepřesnoti se s topografickou složitostí samozřejmě zvyšuje. Metodu můžeme použít pro dílčí odhady či přibližná řešení, od kterých čekáme snadnou
implementaci a výpočetní složitost.
V dnešní době je však mnohem výhodnější použít technologií pracujících na bázi systémů
Gis apod. Není žádný problém získat tzv. digitální model terénu pro jakékoliv území. Modelů
je sice několik druhů a kvalitou se často liší. Princip funkce se však zachovává. Jde o to, že
terén je popsán digitálně vyjádřenými vrstevnicemi. Problém je v původu těchto vrstevnic.
Moderní metody používají umělou digitalizaci na počítači. V těchto modelech terénu se však
často objevují zkreslené křivky a jisté chyby. My jsme při zpracování terénu oblasti východních
Krkonoš použili model terénu, který pochází z ručně překreslovaných starých map, kde je kvalita
zakreslených křivek skutečně maximální.
Cesta k matematickému popsání terénu nyní vede přes zpracování digitálního modelu v
softwaru podobnému ArcGis, AcrView apod. My jsme zvolili software Illvis, který je distri-
41
Kapitola 8: Tvorba výpočtové sítě
buován jako freeware a funkčně je pro naše účely naprosto dostačující. Zpracování terénu dále
pokračuje v těchto bodech:
1. Načtení podrobné mapy do softwaru.
2. Výřez požadovaného území. V našem případě jsme použili území o rozměrech 10 km x 10
km.
3. Volba rozumné hodnoty nulové hladiny, tedy nastavení souřadnice nejníže položeného
bodu.
4. Volba rozlišení bodů, jimiž budeme terén popisovat. V softwaru totiž prakticky potřebujeme převést mapu ze svého klasického formátu do formy matice, kde figurují jako prvky
souřadnice jednotlivých bodů. V našem případě jsme vytvořili sít o hustotě bodů 1 bod
na 25 m, 1 bod na 50 m a nakonec síť s hustotou 1 bod na 100 m.
5. Ověření použitelnosti sítě v programu Gambit, který budeme používat ke tvorbě výpočtové sítě. Jde o to, že pokud síť obsahuje i nulové body, což se vcelku často stává, tak si
velice přiděláme práci v následném zpracování výpočtové sítě, neboť nám vznikne mnoho
nových umělých hran tím, že nulové body rozdělí například horizontální hranu na dvě
apod. Tomuto často se vyskytujícímu se problému předejdeme snadno parametrizací nulové hodnoty o několi málo metrů nad nulu. Tím jakoby uměle zvýšíme polohu terénu o
konstantu v řádu metrů, což není na závadu a výpočet to samozřejmě nijak neovlivní.
8.2
Tvorba sítě
Pro tvorbu sítě použijeme program Gambit a to z toho důvodu, že je navržen přímo pro
spolupráci s výpočtovým prostředím programu Fluent, který nám posléze poslouží k provedení
veškerých výpočtů.
Tvorba výpočtové sítě, někdy je tento pojem nazýván tvorba gridu, je realizovatelná i dalšími způsoby, které nejsou závislé na žádných komerčních softwarech. Už v případě 2D oblastí
je však gridování implementačně i výpočtově poměrně náročná záležitost. Navíc vzpoměňme
na oddíl o tvorbě mashů pro metodu konečných prvků či galerkinovu metodu, kde existuje nespočet algoritmů, jak danou oblast pokrýt pomocí různých buněk apod. Tato problematika je
skutečně maximálně náročná, nicméně je to alternativní cesta. Za diskuzi by stála úvaha, zda
výsledky dosažené pomocí gridu naprogravoného tzv. namíru dané oblasti budou srovnatelné
s tím, co obdržíme s pomocí softwarů Gambit a Fluent. Dostatečně dobré zpracování gridu
a numerického schématu by však vydalo na práci rozsahem mnohem větší než je tato, neboť
náročnost problému je poměrně vysoká.
Při tvorbě sítě postupujeme v principu tak, že nejprve načteme maticová data, která jsme
importovali z digitální mapy, což jsme popsali výše. Poté je třeba nechat Gambit, aby vytvořil
z těchto importovaných dat souvislou vrstvu, která následně bude tvořit nejdůležitější součást
sítě, tedy reálný povrch. Při zadávání parametrů importů postupujeme vždy tak, abychom
nijak neaproximovali, ani nezkreslovali tvar terénu. Zachování co nejvěrnějšího obrazu terénu je
hlavní prioritou. Základní postupy tvorby sítě je velmi přehledně popsán i v práci [8] a kompletní
dokumentaci je třeba hledat v příručce [22].
Postup tvorby sítě popišme v následujících bodech.
42
1. Načtení dat o terénu a vytvoření vrstvy odpovídající reálnému terénu
2. Přidání bočních stěn a horní hranice. Vytvoříme prakticky obdélník zadaných rozměrů,
který je umístěn na reálný terén. Důležitá je volba vertikálního rozměru, který položíme
roven 3000 metrům. Vzhledem k tomu, že vrchol Sněžky se nachází uvnitř oblasti, máme
tak jistotu, že máme dostatek prostoru ve vertikálním směru pro všechny potřebné výpočty.
3. Zkompletování všech stěn a průnik obdélníku s reálným terénem, více obr. (8.2). V tomto
bodě je pracné vybrat skutečně tu oblast, která nás pro výpočet zajímá. Je potřeba odstranit objem pod úrovní terénu a ponechat jen skutečnou výpočtovou oblast. Vznikne
tedy nakonec celkem šest stěn. Čtyři kolmé boční stěny o délce 10 km a dále horní plochá stěna čtvercového rozměru a spodní stěna ve tvaru terénu. Na obrázku (8.2) je vidět
výsledný objem.
4. Následuje zadání mezní vrstvy, což detailně probereme v následující části této kapitoly.
5. Dále zadáme charakter stěn s ohledem na to, jak se budou chovat ve smyslu toku veličin
atd. Máme možnost zvolit, zda stěna bude tzv. inletová, tedy taková, že rychlost do oblasti
proudí přímo skrze ní. Stejně tak můžeme nastavit, aby stěna byla pro proudění výstupní,
tzv. outflow, nebo aby se chovala neutrálně, tzv. symetry. Samozřejmě je nutno si uvědomit, že touto volbou zadáváme prakticky předpoklad o volné hranici horní vrstvy, jak
je uvedeno výše v kapitole o systémech rovnic. Tuto volbu jsme zadávali pro nevstupní
a nevýstupní stěny a horní hranici. Spodní hranici zvolíme nejlépe jako tzv. wall, což
znamená, že se jedná o pevnou hranici s jasně zadanými hodnotami veličin.
6. Nakonec je potřeba celou sít vyplnit mashem, tedy sítí, která tvoří výpočtové buňky. Je
praktické používat co nejvíce tetraedrální tvar buněk, neboť je výpočtově nejvýhodnější a
nejpřesněji umí zahrnout jak mezní vrstvu, tak komplikovaný terén. Bohužel je však více
náročný na výpočtový čas a paměť. Z toho důvodu se často užívá tvaru hexagonálních
buňek. Zadáme přesný typ a tvar buňky a hlavně hustotu bodů, neboli rozměr jedné
buňky. Pro tetraedrální buňky volíme rozměry 100, 200 a 300 metrů. Pro hexagonální
rozměry 50, 100, 150.
Tvorba sítě je přiblížena na následujících obrázcích.
8.3
Model mezní vrstvy ve výpočtové síti
Vzhledem k tomu, že chceme zahrnout do modelu zejména fakt, že se jedná o mezní vrstvu
atmosféry, je třeba tento model nějak zahrnout do přípravy sítě. Samozřejmě je tento fakt
zahrnut i ve vstupním formátu modelu v programu Fluent a to nastavenám drsnosti terénu
a také volbou profilu v k − modelu turbulence. V tomto případě však promluvme o přímých
úpravách sítě. Vzhledem k tomu, že nejzajímavější děje z hlediska turbulence i proudění budou
probíhat těsně nad terénem, bylo by moudré tento fakt zohlednit tím, že výrazně zhustíme
výpočtovou síť v nižžích výškách. V programu Gambit tohoto dosáhneme přidáním tzv. mezní
vrstvy. Což je přesně ono zhuštění bodů od hranice terénu až po zadanou výšku. Nastavujeme
výšku implicitně 1000 m a volíme co možná nejmenší rozměr spodní buňky zhušťované sítě.
V našem případě volíme 1 metr. Dále nastavíme koeficient zvětšování rozměrů pro následující
43
Obrázek 8.1: Vlevo načtení terénu ve formě datového souboru a vpravo vytvořená vrstva spodní
hranice.
Obrázek 8.2: Vlevo přilepování dalších vrstev k terénu a vpravo výsledný objem sítě - prázdný
grid.
Obrázek 8.3: Vlevo výsledný objem sítě a vpravo tvar sítě z různých pohledů.
44
Obrázek 8.4: Vlevo tvorba výsledné podoby sítě - nastavení tvaru mashů a vpravo výsledná
podoba výpočtové sítě připravené pro vstup do numerického modelu.
vrstvu. Tento koeficient je zvolen jako 1,2. Nakonec nastavíme homogenitu mezní vrstvy tím,
že horizontální rozměry buněk mezní vrstvy budou stále stejně velké.
Z experimentálních důvodů jsme vytvořili i 2 pokusné sítě (jednu hexagonální a jednu tetraedrickou) bez mezní vrstvy, abychom následně mohli porovnat vliv zadání mezní vrstvy do
modelu.
Jak prakticky vypadá vkládání mezní vrstvy do modelu ukazují následující obrázky.
Obrázek 8.5: Vlevo tvorba mezní vrstvy bez sloučení se spodním okrajem a dalšími stěnami a
vpravo mezní vrstva nastavená a sloučená z celkovým objemem sítě.
8.4
Zadání vstupních profilů rychlosti a modelu turbulence
Kromě klasických Neumannových podmínek, tedy nulových derivací počítaných parametrů, je
potřeba zadat na stěnách konkrétní vstupní hodnoty veličin. Vzhledem k tomu, že nemáme k
45
dispozici žádná experimentálně naměřená data, je třeba použít co nejlepšího odhadu. Rychlostní
profili na vstupu zvolíme podle odhadu chování rychlosti v mezní vrstvě atmosféry. Zvolíme
tedy logaritmický profil rychlostní složky, přičemž jako maximální hodnota profilu bude u všech
počítaných situací rychlost v0 = 5 m.s−1 .
Další podmínky je třeba určit pro teplotu, teplotní odchylky a tlak. Jako počáteční hodnoty
jsou v celé výpočtové oblasti nastaveny teploty i teplotní odchylky nulové. Hodnota tlaku je
nastavena také jako p0 = 101, 25 kP a, která je však pokládána jako nulová, takže v následujících
grafických výstupech pro tlakové pole je na stupnici odchylka od nulové hodnoty.
Turbulentní energii nastavíme na vstupních oblastech taktéž Neumannovými podmínkami.
Na spodním okraji nastavýme Dirichletovu podmínku nulové rychlosti a teploty, která se
nejvíce blíží realitě a z numerického hlediska je výhodná.
Vzhledem k tomu, že ve všech případech budeme počítat s k − modelem turbulence, je
třeba určit hodnoty parametrů k a , které vstupují do modelu. Vzhledem ke složitosti terénu
jsou oba parametry zohledněny stěnovými funkcemi, takže platí
u2
k = q∗
Cµ
=
u3∗
κz
(8.1)
(8.2)
Přičemž určíme hodnotu třecí rychlosti jako u∗ = 1 m.s−1 .
Zvolené vstupní hodnoty a profily jsou klasicky užívanou volbou pro tento typ modelování. V
pracech ([45]), ([46]), ([38]), ([7]) a ([6]) je uvedena velmi podobná volba podmínek. Problemaika
okrajových podmínek a vstupních profilů je z teoretického hlediska blíže diskutována také v
pracech ([1]), ([4]), ([3]), ([12]) a ([26]).
46
Kapitola 9
Výsledky numerického modelu
V této kapitole se snažíme prezentovat veškeré dosažené výsledky naší práce, ve které vyústila
předchozí hluboká teoretická průprava, zpracování digitálního modelu terénu, tvorba výpočtové
sítě a mnohahodinové výpočty. Uveďme v bodech předpoklady výpočetního modelu.
• Použity byly klasické výchozí rovnice (4.1) pro stlačitelné proudění.
• Tlakové pole vstupující do momentových rovnic pro výpočet rychlosti je přitom korigováno pomocí tlakové rovnice, která je odvozena z rovnice kontinuity a z NavierovýchStokesových rovnic a je užívána pod názvem Simplec algoritmus, který vychází z jednoduššího Simple algoritmu. Přesné odvození Simplec metody je publikováno v práci
[45].
• Okrajové a počáteční podmínky jsou diskutovány v předchozí kapitole a vstupní profily
větru jsou upřesněny v následujícím textu.
• Model turbulence byl zvolen dvourovnicový k − model s rovnicemi (5.30).
• U všech všech výpočtů s výjimkou sítě tetraedrální s rozměrem buňky 300 m, bylo použito
1000 iterací. Situace nekonvergovala k pevnému bodu, což jsme očekávali a počet iterací
1000 byl zvolen jako kompromis mezi precizností výpočtu a časovými možnostmi. Uvažme
totiž, že 1000 iterací proběhlo u všech sítí cca za 120 minut. V případě tetraedrální sítě
výpočet konvergoval už při počtu 350 iteracích a proběhl velmi rychle.
• Je nutno zde uvést, že sítě pro digitální model terénu o rozměrech bodů 25 metrů a 50
metrů, nebyly nakonec použity, neboť se ukázalo, že zvolený model v kombinaci s použitým
výpočtovým strojem nedokázal takto husté sítě vůbec zvládnout.
9.1
Způsoby prezentování výsledků výpočtů a grafických
výstupů
Grafické výstupy budeme prezentovat s požadavkem co největší míry možnosti srovnámí více
druhů sítí mezi sebou. Zde uveďme podrobnější specifikaci zkoumaných případů, které budeme
následně navzájem srovnávat a diskutovat.
47
Kapitola 9: Výsledky numerického modelu
1. Srovnáme výsledky pro síť založenou na hexagonálních buňkách se sítí tetraedrální a to
obě bez začlenění mezní vrstvy. Hexagonální síť měla základní rozměr buňky 150 metrů,
tetraedrická 200 metrů. U těchto sítí byla nastavena západní stěna jako vstupní, tedy tzv.
inlet a východní stěna jako výstupní, tedy tzv. outflow. Modelováno je tedy výrazně
západní proudění.
2. Ukážeme výsledky pro tetraedrální síť s rozměrem buněk 300 metrů. U této sítě uvažujeme
stejné vstupní podmínky jako v předchozím prípadě. Následně budeme diskutovat vliv
hustoty sítě na konečný výsledek.
3. Ukážeme výsledky pro nejvhodnější síť, tetraedrální s rozměrem buňky 200 metrů, a srovnáme výsledky pro celkem 7 různých situací:
• Západní stěna je vstupní. Východní stěna je výstupní. Jde o výrazně západní proudění. Obdobně další tři hlavní směry, avšak s logicky jinými vstupními a výstupními
stěnami. Tedy jde dále o výrazně východní proudění, severní proudění a jižní
proudění.
• Západní a severní stěna jsou nastaveny jako vstupní. Vstupní proudění má v obou
stejnou hodnotu a směr rychlosti míří k jihovýchodu. Jižní a východní stěna jsou
nastaveny jako výstupní. Jde tedy o výrazně severozápadní proudění.
• Západní a severní stěna jsou nastaveny jako vstupní. Vstupní proudění má v obou
stejnou hodnotu a směr rychlosti ze západní stěny je jihozápadní a ze severní stěny
severozápadní. Jižní a východní stěna jsou nastaveny jako výstupní. Jde tedy o severozápadní proudění sloučené s prouděním jihozápadním. Tímto schématem
jsme chtěli prozkoumat, jak se chovají dva na sebe narážející směry proudění, což je
v krkonošské oblasti poměrně častým jevem.
• Východní stěna je nastavena jako vstupní. Vstupní proudění má směr rychlosti mířící
k severovýchodu. Severní stěna je nastavena jako výstupní. Jde tedy o výrazně jihozápadní proudění vstupující do oblasti pouze ze západní části. Tímto schématem
jsme chtěli experimentovat s tím, jaká je schopnost proudění dostávat se skrze terén
i do oblasti, které jsou prouděním téměř nezasažené.
V následující tabulce jsou uvedeny všechny používané typy sítí, rozměrů buňek v metrech,
použítí či nepoužití mezní vrstvy a směr vstupního proudění. Vzhledem k počtu sítí a jejich
atribut je v celém přehledu poměrně zmatek.
Ozn. Tvar buňěk Rozměr Mezní vrstva
A
Hexagonální
150
ne
B
Tetraedrální
200
ne
C
Tetraedrální
300
ano
D-1 Tetraedrální
200
ano
D-2 Tetraedrální
200
ano
D-3 Tetraedrální
200
ano
D-4 Tetraedrální
200
ano
D-5 Tetraedrální
200
ano
D-6 Tetraedrální
200
ano
D-7 Tetraedrální
200
ano
48
Směr proudění
západní
západní
západní
západní
východní
severní
jižní
severozápadní
severozápadní a jihozápadní
jihozápadní
V dalším textu už budeme sítě zkráceně označovat dle znaků uvedených v prvním sloupci.
Veškeré grafy jedné veličiny jsou vztaženy k jedné stupnici, která je u výsledků graficky
znázorněna. Všechny výstupy dané veličiny se tak dají navzájem srovnávat. Veškeré grafické
výstupy jsou k nalezení v přílohách této práce.
9.2
Diskuze dosažených výsledků
Výpočetní oblast vznikla z digitálního modelu terénu. Jak bylo uvedeno, měli jsme k dispozici
modely terénu se vzdáleností bodů 25, 50 a 100 metrů. Je třeba říci, že pro nejhustší síť se
nepodařilo pomocí Gambitu jakoukoliv síť sestrojit, neboť to bylo výrazně nad paměťové pomožnosti používaného počítače. Pro takto husté sítě by bylo potřeba zmenšit výpočtovou oblast
alespoň o jeden řád a počítat dále v mnohem menším měřítku. Šlo by však poté již o zcela jiný
druh modelování.
Pro model o rozměrech 50 metrů se síť podařilo zhotovit. Jednalo se o hexagonální síť1 s
mezní vrstvou. Tato síť však po následném započetí numerického výpočtu hlásila silné divergence
z důvodu existence záporných objemů. Nepodařilo se tedy na takto husté síti výpočet dokončit.
Neúspěch si lze vysvětlit komplikovaností terénu, kdy řešič softwaru Fluent narazil na oblast,
která odporuje předpokladům užívaných numerických metod, viz kapitola (7).
Použili jsme tedy nakonec jen modely se vzdáleností bodů 100 metrů a vytvořili celkem 10
různých sítí, které jsou podrobně popsány výše.
Výpočty na všech sítích proběhly bez problému a vyjma sítě C bylo nutno nastavit pevný
počet iterací, neboť problém nekonvergoval do pevného bodu. To, že pro síť C byl problém velmi
rychle vyřešen po 350 iteracích si lze vysvětlit zejména tím, že síť měla rozměr tetraedrální buňky
300 metrů, což je o 100 metrů více než byl parametr ostatních sítí.
Pokud nahlédneme na výsledky numerického modelu uvedené v příloze, lze říci, že použitý
model byl velmi vhodný, neboť získané výsledky jsou velmi konzistentní. Veškeré vypočtené
rozložení veličin se mění dle parametrů terénu, ale není vidět žádná anomálie, která by nasvědčovala například systematické chybě způsobené numerickou metodou apod. Vzhledem k počtu
provedených výpočtů je vhodnost modelu vcelku dobře ověřena.
Co se týká tlakového pole těsně nad terénem, tak je vždy vidět silné ovlivnění vstupním
prouděním, které čím dál od vstupní stěny slábne. Dá se říci, že průběh tlakového pole není
nijak překvapující.
Zdařilý byl i výpočet pole turbulentní kinetické energie, která je jedním z hlavních ukazatelů
na přítomnost turbulence. V blízkosti povrchu byla turbulence velmi patrná a závislá na směru
proudění a topografii. Ve vyšších vrstvách nad povrchem už turbulence nehrála v podstatě roli,
jak dokládají i grafické výsledky.
Výsledky výpočtu rychlostních polí lze považovat za velice zdařilé. Ve všech sítích lze vidět
silné ovlivnění topografií terénu. Model dle očekávání odhalil několik míst, kde se tvoří silné
víry, či kde je směr proudění naprosto odlišný od hlavního proudění. Tato vlastnost je v horském
terénu velmi typická a náš model to dokládá.
Značné jsou rozdíly mezi sítěmi, kde byla použita mezní vrstva a sítěmi bez jejího jakéhokoliv
začlenění. Rychlostní pole v sítích bez mezní vrstvy (síťe A a B) je mnohem prudší a silnější při
povrchu. Naopak u ostatních sítí, kde byl zpřesněn výpočet u povrchu dle modelu mezní vrstvy
vidíme reálnější průběh pole rychlosti.
1
Tetraedrickou se z podobných důvodů jako u sítě 25 metrové nepodařilo zhotovit.
49
Experimentální síť D-6 pomohla odhalit chování dvou na sebe narážejících proudění, což je
v horských oblastech poměrně častý jev. Prokázáno bylo silné ovlivnění tlakového a zejména
rychlostního pole až do vyšších vrstev atmosféry, což u jiných sítí nenastalo. Rychlost na střetu
proudů dosáhla řádově téměř trojnásobku hodnot klasického proudění. Díky komplikovanému
terénu v okolí místa střetu proudů se oblast zvýšené rychlosti zdeformovala na mnohem komplikovanější oblast než by se dalo teoreticky očekávat.
Díky síti D-7 jsme se přesvědčili o jistém vlivu terénu na přenášení efektů proudění i do
oblastí, kam proudění přímno vůbec nezasahuje. Na bočních profilech rychlosti je však vidět,
že až k okrajovému profilu proudění témeř nezasáhlo a bylo utlumeno předchozí topografií.
Rozhodně se zde podařilo ukázat na velký význam samotného terénu na konkrétní charakter
proudění a vznikající anomálie.
Jinak je tvar proudových polí u všech sítí vcelku v očekávaných mezích a splňuje základní
teoretické předpovědi. Za překážkami pozorujeme útlumy rychlosti, časté víry či jiné projevy
turbulence.
Dle očekávání se neprojevily žádné výkyvy hustoty prostředí, kterou jsme očekávali velmi
stabilní. Pouze v jednom případě se ukázal významnější tok hmoty nad terénem. Vzhledem k
tomu, že se jednalo o terén C, který je velmi specifický velkými rozměry buňek, lze považovat
vzniklý jev za projev anomálie, způsobené nepříliš přesným výpočtem v lokální oblasti.
Podle očekávání jsou horní profily tlaku i rychlostí, až na výjimku sítě D-6, velmi stabilní a
odpovídají předpokladu, že komplikovaný terén má vliv zejména na proudění v nižších vrstvách
vzduchu a vzniklé zajímavosti v proudění se s výškou zhlazují.
9.3
Vliv hustoty sítě, tvaru buněk a mezní vrstvy na
výsledky výpočtu
Vycházejme z výše vedené diskuze nad výsledky modelu. Již bylo řečeno, že hustota sítě je spíše
limitujícím faktorem, který nás při modelování silně brzdí, pokud nemáme k dipozici skutečně
silné výpočetní stroje. Je tedy třeba uvážit kompromis mezi rozměry oblastí a jejich zahuštěním.
Ověřili jsme, že pro lokálnější modely je rozměr 10 x 10 km velmi rozsáhlý a není výpočtově
zvládnutelný.
Výsledky sítě C, která byla extrémně řídká ve srovnání s ostatními, ukazují, že většina jevů je
velmi podobně vypočtena. Objevil se však extrémnější vír a s ním i značný tok hmotnosti, který
může být způsoben lokální výpočtovou chybou. Z tohoto pohledu se zdá být síť C použitelná
spíše pro rychlé odhady, než pro kvalitní lokální úsudky.
Při srovnání výsledků jediné hexagonální sítě A a sítí dalších vidíme, že nelze poukázat na
výrazné odlišnosti. Síť A vykazuje lehce prudší proudové pole přes překázky, ale jinak je plnně
srovnatelná se sítí B. Rozhodně můžeme dle našich experimentů říci, že vliv tvaru buňek není
až tak podstatný jako jejich rozměr a už vůbec ne jako začlenění mezní vrstvy!
Sítě, které počítaly i s modelem mezní vrstvy doznaly dosti odlišných výsledků. Je tedy vidět,
že zapojení modelu mezní vrstvy je pro získaný výsledek velmi důležitým měřítkem. Vzhledem
k poznatkům o proudění v mezní vrstvě atmosféry lze říci, že sítě bez modelu mezní vrstvy
jsou pro modelování proudového pole a potažmo i následně pro řešení transportu kontaminantu
vcelku nevhodné. Proudění v těsné blízkosti terénu je o dost silnější a zdá se, že nedokáže
zahrnout reálné jevy jako drsnost, turbulenci apod.
50
Závěr
V této práci se podařilo předvést stručný základ teorie matematického modelování proudění v
mezní vrstvě atmosféry a transportu pasivní příměsi.
Částečně odvozen a formulován je jak obecný model složený ze soustavy parciálních diferenciálních rovnic. Dále je podáno odvození několika nejčastěji používaných zjednodušení obecného
modelu.
Podrobněji je formulována i problematika turbulentního proudění a problém zahrnutí turbulence do modelu obecně. Jsou odvozeny rovnice pro složky Reynoldsova tenzoru napětí a
ukázány další metody modelovaní turbulence s důrazem na hojně používaný k − model. Tento
model je dále užíván v numerickém modelu.
Stručně je v práci naznačena problematika numerických metod aplikovatelných na systémy
parciálních diferenciálních rovnic s důrazem na metodu kontrolních objemů, kterou využívá
použitý numerický software.
Podrobně je vysvětlen postup, jak zpracovat komplikovaný reálný terén a začlenit jej úspěšně
do matematického modelu. Podařilo se terén ve východních Krkonoších zpracovat několika způsoby, takže byl vytvořen vhodný prostor pro debatu o vlivech kvality vytvořené výpočtové sítě
na výsledky modelu.
Na všech vytvořených výpočtových sítích byl otestován výpočet. Pro vybrané sítě byl výpočet proveden i pro celkem sedm různých směrů větru, což umožňuje podrobněji pochopit
charakter problematiky proudění v dané oblasti.
Z výsledků vyplývá, že zvolená oblast je z výpočtového hlediska abnormálně zajímavá. Pro
každý směr větru dostáváme dosti odlišné tvary proudnic i tlakové pole. Tento efekt je způsoben
velmi členitým terénem. Jinak je z výsledků patrná konzistence výstupů numerického modelu.
Pro alternativní sítě bez mezní vrstvy či s jiným tvarem nebo hustotou bodů v oblasti jsou
ukázány výsledky a je uvedeno srovnání a diskuze ovlivnění výpočtu těmito faktory. Celkově se
ukazuje hustota výpočetní sítě u takto komplikovaných terénů jako významně limitující faktor
pro pouhý průběh modelu. U řídké sítě byla prokázána konvergence problému už u 350 iterací,
zatímco u velmi hustých oblasti software nedokázal výpočet provést. Mezní vrstva významně
ovlivňuje charakter proudění a zejména šíření rychlosti v oblasti.
Díky množství provedených výpočtů a poměrně komplikované skladbě parametrů sítí jsme
prokázali jejich vliv na konečný výsledek. Tento fakt je na této práci snad nejcennější, ačkoliv
je třeba vždy přihlížet k individuálním vlastnostem dané oblasti či vstupního proudění, takže
naše závěry rozhodně nelze brát za obecněji platné.
Celkově byla práce vzhledem k předem stanoveným cílům velmi úspěšná. Důležitý je fakt,
že tento text může být velmi vhodnou pomůckou pro budoucí řešitele problémů proudění v
atmosféře nad komplikovaným terénem.
51
Literatura
[1] Allen S. J., Newberger P. A., 1993: On intermediate models for stratified fluid, Journal of
Physical Oceanography, vol. 23, Oregon.
[2] Anders, A., 1989:Evaluation of a Turbulence Closure Schneme Suitable for Air-Pollution
Applications. Journal of applied Meteorology , Vol. 29, s. 224-239
[3] Barrabaa S., 2002: Ecoulements turbulents stratifies et simulations des grandes echélles,
Doctorat de lúniversité de Toulon et du Var, Toulon.
[4] Baines P.G., 1998: Topographic Effects in Stratified Flows, Cambridge University Press.
[5] Bednář J., Zikmunda O., 1985: Fyzika mezní vrstvy atmosféry, Academia, Praha.
[6] Beneš L., 2000: Numerické řešení proudění v mezní vrstvě atmosféry, Disertační práce,
České vysoké učení technické, Fakulta strojní, Praha.
[7] Beneš L., Bodnár T., Kozel K., 2006: Matematické modely stratifikovaného proudění, České
vysoké učení technické, Fakulta strojní, Praha.
[8] Beran, A., 2008: Využití CFD programu Fluent pro detailní řešení proudění v mezní
vrstvě atmosféry. Bakalářská práce, Česká zemědělaská Univerzita, Praha, 40 s.
[9] Bezpalcová, K., 2002: Odhad rozložení koncentrací od liniového zdroje v kaňonu ulice metodou fyzikálního modelování. Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity
Karlovy v Praze, 80 s.
[10] Boratov, O., Eden, A., Erzan, A., 1996:Turbulence Modeling and Vortex Dynamics.Proceedings of a Workshop Held at Istanbul, Turkey, 245 s.
[11] Boussinesq, J., 1877: Theory of Turbulence Flows. Par Diverse a Lácademic Des Línstitu
de France, Vol. 41, s. 46
[12] Brdička M., Samek L., Sopko B., 2005: Mechanika kontinua, Academia, Praha.
[13] Bubník J., Keder J., Macoun J., Maňák J., 2003: SYMOS’97 Metodicka přiručka - doplněk.
ČHMÚ, Praha.
[14] Bubník J., Keder J., Macoun J., Maňák J., 1998: SYMOS’97 Metodicka přiručka. ČHMÚ,
Praha.
[15] Bučánek, A., 2007: Modelování transportu a šíření znečištění v atmosféře pomocí gaussovských disperzních modelů. Bakalářská práce, MFF UK, Praha, 37 s.
52
LITERATURA
[16] Cederwall R. T., Street R. L., 1999: A study of turbulence in a evolving stable atmospheric
boundary layer using Large-Eddy simulation, First international symposium on turbulence
and shear flow, California.
[17] Čermák, L., 2005: Algoritmy metody konečných prvků. Fakulta strojního inženýrství, VUT
Brno. Elektronický učební text.
[18] Černý, R., 1997: Řešení transportních jevů na počítači. ČVUT Praha, 157 s.
[19] Deardorff, J., W., 1970: A three-dimensional numerical study of turbulent channelflow at
large Reynolds numbers. Journal Fluid Mechanics, Vol. 41, s. 453
[20] Dubrulle, B., Graner, F., Sornette, D., 1997: Scale invariance and beyond. EDP Sciences,
Paris, 286 s.
[21] Fluent Inc., 2006: Fluent documentation – user´s guide: Tutoriál guide. Manuál k programu.
[22] Fluent Inc., 2006: Gambit documentation – user´s guide: Tutoriál guide. Manuál k programu.
[23] Frisch, U., 1995: Turbulence. Cambridge University Press, Cambridge, 289 s.
[24] Grimshaw R., 2002: Enviromental stratified flows, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts.
[25] Hůnová, I., Janoušková, S., 2004: Úvod do problematiky znečištění venkovního ovzduší.
Univerzita Karlova v Praze, 144 s.
[26] Jaňour Z.: Modelování mezní vrstvy atmosféry, Učební texty University Karlovy, Praha,
2001.
[27] Kos, I., Belušič, D., Jeričevič, A., 2004: Initial development of the Atmospheric Langrangian
Particle Stochastic (ALPS) Dispersion Model. Geofizika., Vol. 21, s. 37-52
[28] Kozel, K., 2000: Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic. ČVUT Praha, 57 s.
[29] Kozel, K., Fořt, J., 2003: Numerické metody řešení problémů proudění II. ČVUT Praha,
63 s.
[30] Křivonožka J., 2007: Matematické modelování stratifikovaného proudění, Bakalářská práce,
Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta, Praha.
[31] Kurbanmuradov, O., Sabelfeld, K., 2004: Stochastic Lagrangian Models for Turbulent
Dispersion in Atmospheric Boundary Layer, Centre for Physics and Mathematics, Turkmenian State University.
[32] Kurien S., Smith L. M., Wingate B. A., 2002: A novel investigation of rotating and stratified
flows, Los Alamos Report, Los Alamos National Laboratory.
[33] Mellor, G., L., 1973: Analytic prediction of the properties of stratified planetary surface
layers. Journal Atmospheric sciences, Vol. 30, s. 1059-1070
53
[34] Mellor, G., L., Yamada, T., 1974: A hierarchy of turbulence closure models for planetary
boundary layer. Journal Atmospheric sciences, Vol. 31, s. 1780-1810
[35] Nagano, Y., Hishida, M., 1987: Improved Form of the k-eps Model for Wall Turbulent Shear
Flows. Journal Fluid Eng., Vol. 109, s. 156-160
[36] Najnarová, E., 2007: Chemie troposféry – reakční schéma oxidačního smogu. Bakalářská
práce, Česká zemědělaská Univerzita, Praha, 40 s.
[37] Novotný, R., Pech, P., 2008: Teorie polí v mechanice spojitých prostředí. ČZU v Praze, 260
s.
[38] Riley J. J., 2002: Turbulence in density-stratified flows, Mechanical engeneering faculty,
University of Washington, dostupné na internetové adrese:
http://faculty.washington.edu/rileyj/strat.html
[39] Rofail N., 1977: A mathematical model of stratified groundwater flow, Hydrological Sciences
Bulletin, Káhira.
[40] Ross, N., O., 2004: Recipe for 1-D Lagrangian particle tracking models in space-varying
diffusivity. Limnology and Oceanography: Methods., Vol. 2, s. 289-302
[41] Sládek I., 2004: Numerical solution of some problems in atmospheric boundary layer, Disertační práce, České vysoké učení technické, Praha.
[42] Smyth N. F., 1988: Dissipative effects on the resonant flow of a stratified fluid over topography, Journal for fluid mechanics.
[43] Straka et. al., 1993: Numerical Solutions of a Nonlinear Density-Current, International
Journal for Numerical Methods in Fluids, dostupné na internetové adrese:
http://www.mmm.ucar.edu/projects/srnwp tests/density/density.html
[44] Vacková, V., 2008: Systém ochrany ovzduší v ČR na jednotlivých úrovních státní správy.
Bakalářská práce, Česká zemědělaská Univerzita, Praha, 65 s.
[45] Vach, M., 2001: Modelování mezní vrstvy atmosféry v oblasti anemo-orografického systému
Krkonoš. Disertační práce, Česká zemědělská Univerzita, Praha, 49 s.
[46] Vach, M., 2006: Transport v atmosféře a dalších složkách prostředí. Habilitační práce, Česká
zemědělaská Univerzita, Praha, 102 s.
[47] Yamada, T., Mellor, G., L., 1975: A simulation of the Atmospheric Boundary Layer Data.
Geophysical Fluid Program, Princeton University.
54
Příloha A
Hlavní grafické výstupy - pro všechny
sítě
Grafické výstupy budou prezentovány v následujícím pořadí a to vždy pro všechny typy sítí.
Podrobnosti k jednotlivým vizualizacím jsou vždy uvedeny v příslušné sekci.
A.1
Použité druhy sítí
Čtyři základní typy sítí, na kterých se další výsledky počítaly.
A.2
Tlakové pole těsně nad terénem
Tlakové pole těsně nad terénem při pohledu shora.
A.3
Turbulentní kinetická energie těsně nad terénem
Rozložení turbulentní kinetické energie, která vyjadřuje míru turbulence v oblasti, těsně nad
terénem.
A.4
Vektory rychlosti těsně nad terénem
Rychlost ve formě vektorů těsně nad terénem při pohledu shora.
A.5
Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem - horní
a boční náhled
Stejná veličina, jen při použití kónických vektorů pro vizualizaci rychlostního pole. Použit je
boční náhled a pohled shora, v obou případech s vykreslením konkrétní sítě.
55
Obrázek A.1: Použité výpočetní sítě. Nahoře se jedná o síť hexagonální bez mezní vrstvy, dole
tetraedrickou o rozměrech buňky 300 m.
56
Obrázek A.2: Použité výpočetní sítě. Nahoře se jedná o tetraedrickou síť s rozměrem buněk 200
metrů a s mezní vrstvou při východním a dole při jižním proudění.
57
Obrázek A.3: Tlakové pole těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítě A, B, C, D-1 a D-2.
58
Obrázek A.4: Tlakové pole těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítě D-3, D-4, D-5, D-6 a
D-7.
59
Obrázek A.5: Pole turbulentní kinetické energie k těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítě
A, B, C, D-1 a D-2.
60
Obrázek A.6: Pole turbulentní kinetické energie k těsně nad terénem. Shora a zleva jde o sítě
D-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.
61
Obrázek A.7: Vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora. Shora a zleva jde o sítě
A, B, C, D-1 a D-2.
62
Obrázek A.8: Vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora. Shora a zleva jde o sítě
D-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.
63
Obrázek A.9: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při bočním pohledu a s vykreslením
sítě. Shora a zleva jde o sítě A, B, C, D-1 a D-2.
64
Obrázek A.10: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora a s vykreslením
sítě. Shora a zleva jde o sítě D-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.
65
Obrázek A.11: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při pohledu shora a s vykreslením
sítě. Shora a zleva jde o sítě A, B, C, D-1 a D-2.
66
Obrázek A.12: Kónické vektory rychlosti těsně nad terénem při bočním pohledu a s vykreslením
sítě. Shora a zleva jde o sítě D-3, D-4, D-5, D-6 a D-7.
67
A.6
Vektory rychlosti pro boční profil
Jde o velmi důležitý vertikální profil rychlosti na bočním řezu oblasti. Pro severní, jižní, východní
a západní proudění je brán takový profil, který je podélný se směrem proudění. Pro zbylé případy
je brán profil rovnoběžný s jižní stěnou. Tato volba je pro prokázání zajímavých jevů v oblasti
pravděpodobně nejlepší. Stupnice je shodná jako v minulých dvou vizualizacích.
Obrázek A.13: Vektory rychlosti na bočním profilu. Shora jde o sítě A, B, C, D-1.
68
Obrázek A.14: Vektory rychlosti na bočním profilu. Shora jde o sítě D-2, D-3, D-4, D-5, D-6,
D-7.
69
A.7
Rychlostní pole pro boční profil
Stejný případ jako v předchozí části, ale vykresleno je rychlostní pole místo vektorů. Stupnice
je shodná jako v minulých třech vizualizacích.
Obrázek A.15: Rychlostní pole na bočním profilu. Shora jde o sítě A, B, C a D-1.
70
Obrázek A.16: Rychlostní pole na bočním profilu. Shora jde o sítě D-2, D-3, D-4, D-5, D-6 a
D-7.
71
Příloha B
Vedlejší grafické výstupy - jen pro
vybrané sítě
Dále uvedeme pro zajímavost jen pro vybrané profily následující výsledky. Považujeme za zbytečné je uvádět pro všechny typy sítí, neboť jsou u všech sítí přibližně srovnatelné a liší se jen
výjimky, které chceme ukázat, nebo jde o ilustrační případ, který je totožný pro všechny sítě
apod. Na druhou stranu považujeme za důležité pro kompletnost výstupů z našeho výpočtu i
tyto výsledky uvést. Jde tedy o následující veličiny a jejich vizualizaci.
B.1
Hustotní pole a tok hmoty nad terénem
Ve všech případech je velmi nezajímavé a je prakticky shodné pro všechny sítě. Uvedeno bude
pro síť D-1.
Tok hmoty nad terénem (v kg.s−1 ) je uveden speciélně pro síť C, kde se jako u jediné objevil
netriviální výsledek. Viz průběh rychlosti v této síti, kde je v severovýchodním rohu vidět velmi
silný vír, který je zapříčiňuje velmi zajímavý lokální tok hmoty v daném místě.
B.2
Rychlostní pole na horní hranici oblasti
Uvádíme srovnání typického nezajímavého příkladu pro síť D-1 a sítě D-6, kde jde o střet dvou
proudění, což výrazně ovlivní i profil rychlosti vysoko nad terénem. Použita je stejná barevná
stupnice jako u předchozích rychlostních vizualizací.
B.3
Tlakové pole na horní hranici
Také vcelku nezajímavá veličina, jejíž hodnota je pro všechny sítě prakticky shodná. Uvedeno
bude pro síť D-1. Pro lepší možnot srovnání je zobrazeno také tlakové pole těsně nad terénem
pro stejnou síť. Stupnice je stejná jako v předchozích tlakových vizualizacích.
B.4
Turbulentní viskozita na horní hranici terénu
Uvedeno za všechny na terénu D-1 jako ověření předpokladu, že turbulence je ve větších výškách
nad terénem prakticky nulová.
72
Obrázek B.1: Nahoře rozložení hustoty při použití sítě D-1. Dole pak tok hmoty nad terénem
pro síť C.
73
Obrázek B.2: Rychlostní pole u horní hranice výpočetní oblasti. Vlevo síť D-1 s klasickým
západním prouděním a vpravo síť D-6, kde jde o střet proudění jihozápadního a severozápadního.
Obrázek B.3: Tlakové pole při horní hranici výpočetní oblasti při použití sítě D-1. Vpravo pak
pro srovnání tlakové pole těsbně nad terénem pro stejnou síť.
74
Obrázek B.4: Tlakové pole při horní hranici výpočetní oblasti při použití sítě D-1. Vpravo pak
pro srovnání tlakové pole těsně nad terénem pro stejnou síť.
B.5
Typický histogram rychlosti v oblasti
Za všechny ukázano na síti D-1. Histogramy dalších sítí vykazovaly stejnou strukturu, což svědčí
o tom, že model dává pro různé proudění v různých typech sítě, ale na stejném terénu velmi
konzistentní výsledky.
B.6
Typický graf závislosti velikosti rychlosti na horizontální souřadnici
Za všechny opět uvedeno pro síť D-1.
75
Obrázek B.5: Typický histogram rychlosti v bočním profilu pro síť D-1. Na horizontální ose je
zobrazena rychlost v m.s−1 . Na vertikální ose je procentuální zastoupení dané hodnoty veličin
na horizontální ose.
Obrázek B.6: Typický graf rychlosti v bočním profilu pro síť D-1. Na horizontální ose je zobrazena pozice v m. Na vertikální ose je hodnota rychlosti v m.s−1 .
76

diplomová práce

Transkript

Podobné dokumenty

Léto budiž pochváleno

Šablóna príspevku - Katedra zdravotního a ekologického inženýrství

zeměpis 7. ročník usa, kanada

Učitelství fyziky pro střední školy

1 Analýza nezávislých komponent

Zobecnění metody analytického prodloužení ve

Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice

Transfer - 27/2016 (2 756 kB) - Výzkumný a zkušební letecký ústav

Licotherm CZ

pojmenování cykloalkany

lokální prostorové klimatizační přístroje

1. Teorie grup - wiki skripta fjfi

Reaktivní multiagentní modely v ekonomii

Analýza SD a SM - Královéhradecký kraj

Slapové zahřívání ledových těles sluneční soustavy

15 Experimentální základy kvantové hypotézy

České akustické společnosti ročník 10, číslo 1 březen 2004 Obsah

brožuře FORAN pro_koně

VLIV ZPŮSOBU ZAPRAVENÍ STATKOVÝCH HNOJIV NA OBSAH

www.unipetrol.cz www.unipetrol.cz

Numerické modelování hydromagnetického dynama