cauchys teorém

Zákony bilance
•Bilance hmotnosti
•Bilance hybnosti
•Bilance momentu hybnosti
•Bilance mechanické energie
Kontinuum – termodynamický systém
• Pevné těleso = většinou uzavřený systém
• Konstantní hmotnost - nezávisí na čase
• Dochází k výměně energie mezi systémem a okolím
přestupem tepla a prací povrchových a objemových sil
• Stavové veličiny: tlak, objem, teplota, entropie
• extensivní (aditivní – jsou úměrné množství hmotnosti v
soustavě : entropie, energie apod. ) a intensivní (nezávislé na
množství hmotnosti: tlak, teplota apod.)
Bilance veličiny
Bilancovaná veličina   t  má hustotu
  X, t  v materiálovém a   x, t  v prostorovém popisu.
Celková hodnota veličiny je dána integrálem
  t      X, t  dV     x, t  dv
V
v
Časová změna (přírůstek) veličiny může být způsoben:
1. Přítokem /odtokem veličiny přes hranici tělesa J(Φ)
2. Vznikem (zdrojem) / zánikem (propadem) veličiny uvnitř tělesa P(Φ)
To vyjadřuje bilanční rovnice:
d
   J    P   ,
dt
J          dA       da, ,   hustoty toku v mater. a prost. popisu
S
s
P          dV       dv, ,   hustoty produkce veličiny 
V
v
Reynoldsův transportní teorém I.
• RTT má jméno po Osborne Reynoldsovi (1842-1912)
• RTT se používá při derivaci veličin v integrálech
• Používá se při formulaci základních zákonů zachování v
mechanice kontinua
• V rovnicích Navier-Stokes
Reynoldsův transportní teorém II.
• Často potřebujeme materiálovou derivaci integrálů typu:
I  t      x, t  dv,
v
• Kde integrovaná funkce i integrační oblast jsou v prostorové
konfiguraci
• Oblastí integrace je objem v, který se mění s časem a tedy
nelze prohodit derivování a integrování
• Integrál převedeme do materiálové konfigurace:
I t  
DI  t  D
D


x
,
t
dv

    X, t  , t  J  X, t  dV
 


Dt
Dt v
Dt V
• Nyní se oblast integrace nemění a lze prohodit integraci a
derivaci – nejprve derivovat za integr. symbolem
Reynoldsův transportní teorém III.
D
I t  
    X, t  , t  J  X, t  dV 

Dt V
      X, t  , t  J  X, t       X, t  , t  J  X, t   dV 
V

J  X, t  
      X, t  , t       X, t  , t 
 J  X, t  dV .
J  X, t  
V 
Nyní lze integrál převést zpět do prostorové konfigurace:
J  X, t 
 div v  x, t  , J  X, t  dV  dv,
J  X, t 
I  t      x, t     x, t  div v  x, t   dv,
v
D
 dv      div v  dv.

Dt v
v
Reynoldsův transportní teorém IV.
• Budiž T libovolná skalární, vektorová, nebo tenzorová funkce
T    x, t     X, t  ,
Platí:
D
T dv   T dv,

Dt v
v
Důkaz:
   x, t  dv     X, t  JdV      X, t  dV
0
v
V
V
  X, t 
D
0  X, t  dV   0
dV    0T dV 

Dt V
t
V
V
X  konst
  J T dV   T dv.
V
v
Bilance hmotnosti – rovnice kontinuity
• Předpokládáme, že během pohybu tělesa hmotnost nově nevzniká aniž by
zanikala. Celková hmotnost nějakého objemu je konstantní během
pohybu.
• Předp., že těleso v čase t=0 má hustotu ρ0 a objem V a zaujímá oblast Ω0 , v
čase t má hustotu ρ a objem v a zaujímá oblast Ω.
• Z principu zachování hmotnosti vyplývá:
 0  X  dV     x, t  dv, kde
V
v
dv
J
dV
    X   J     X, t  , t   dV  0  globální tvar,
  X   J     X, t  , t  = lokální tvar.
D     X, t  , t 
D   X  DJ

    X, t  , t   J
,
Dt
Dt
Dt
0
V
0
0
0   J div v  J   rovnice kontinuity
0   div v  
Bilance hybnosti v prostorové konfiguraci
Vt objem vyjmutý z deformovaného
tělesa, St jeho povrch. Na jednotku
objemu působí spojitá objemová síla
b(x,t), na povrch oblasti působí vektor
napětí t(x,t).
Výsledná síla na vyjmutou oblast
f  t    b  x, t dVt   t  x, t dSt
Vt
St
Hybnost v oblasti: p  t     v  x, t dVt   0 V  X, t dV0
Vt
V0
Bilance hybnosti - materiálový časový přírůstek hybnosti je roven výsledné síle
Dp
D
f 
 v  x, t dVt   b  x, t dVt   t  x, t dSt .
Dt
Dt Vt
Vt
St
 a  x, t dV   b  x, t dV   t  x, t dS
t
Vt
t
Vt
St
t
v prostorové konfig.
Bilance hybnosti v materiálových souřadnicích
B=objemová síla v materiálovém popisu (pseudo-síla) [N/m3]
T=napěťový vektor v materiálovém popisu ) [N/m2]
 b  x, t dV   b    X, t  , t J  X, t  dV   B  X, t  dV ,
t
Vt
0
0
V0
V0
 t  x, t dS   T  X, t , N dS ,
t
St
0
S0
D
0 VdV   B  X, t  dV0   T  X, t , N dS0 .
Dt V0
V0
S0
1. Cauchyho pohybová rovnice v prostorovém a materiálovém popisu:
 t  x, t , n dS     x, t  n dS   div  x, t  dV ,
t
St
t
t
St
Vt
D
 v  x, t dVt   (b  x, t   div  x, t )dVt  1. Cauchy pohyb. rov.

Dt Vt
Vt
  div  b   v dV
t
Vt
div  b   v
0
  DivP  B   V dV
0
0
0
V0
 ab
 ba   va
xb
DivP  B  0 V
PaB
 Ba  Va .
X B
Bilance momentu hybnosti, symetrie Cauchy napěťového tenzoru
Výsledný moment sil působících na vyjmutou oblast
M  t    r  b  x, t dVt   r  t  x, t dSt
Vt
St
Vnitřní moment hybnosti v oblasti: J  t    r   v  x, t dVt   r  0 V  X, t dV0
Vt
V0
Bilance momentu hybnosti - materiál. derivace mom. hybn. je rovna výsled. momentu
DJ  t 
D
 M t  
r   v  x, t dVt   r  b  x, t dVt   r  t  x, t dSt 
Dt
Dt Vt
Vt
St
 r  t  x, t dS   r    x, t  ndS    r  div  ε :  dV ,
T
t
St
t
St
Vt
 r    v  div  b dV   ε : 
t
Vt
T
dV  ε :  T  0  abc cb  0     T .
Vt
Pokud v tělese nepůsobí objemové síly v podobě rovnoměrně rozložených momentů
(nepolární kontinuum), je Cauchyho napěťový tenzor symetrický – 2. Cauchyho
pohybová rovnice. Vyplývá z toho, že 2.P-K tenzor napětí S a Kirchhoff. tenz. nap. τ=Jσ
jsou rovněž symetrické.
Bilance mechanické energie = důsledek Cauchyho první
pohybové rovnice
•
•
Předpokládáme dynamický proces daný Cauchyho tenzorem napětí (x,t) a
pohybem x=χ(X,t), který deformuje oblast Ω0 na Ω s hranicí δΩ
Vnější mechanický výkon Pext(t), kinetická energie K(t) a výkon napětí Pint(t)
Výkon vnějších sil :
ext
t    b  vdv   t  vds,
t     : d dv   tr  d  dv,

Výkon vnitřních sil :

T
int

Kinetická energie :

t    12  v dv   12  v  vdv,
2


Bilance mechanické energie v prostorovém popisu :
D
t  int t  ext t .
Dt



• Součet časového přírůstku kinetické energie a výkonu vnitřních sil (výkonu napětí)
je roven výkonu vnějších sil (hmotových sil a povrchových sil).
• Je-li Pext=0, pak se jedná o vlastní kmity. Pokud je roven 0 časový přírůstek K(t),
pak se jedná o kvazistatický problém.
Vnitřní energie
•
Zaveďme vnitřní energii - termodynamická stavová veličina – hustota vnitřní energie
u(x,t) na jednotku objemu v deformované konfiguraci. Pokud bereme v úvahu pouze
mechanickou energii, pak časový přírůstek vnitřní energie U(t) je roven výkonu napětí
Pint(t):
D
t   u x, t dv,
t 
t
int
Dt

Celková energie je součet kinetické a vnitřní energie

 

1

t     v 2  u  dv
2


D
t 
t  ext t

Dt
1

2

v

u
 dv   b  vdv   t  vdv,
  2




t 
D
Dt
D
Dt





Bilance mechanické energie v materiálovém popisu
Výkon vnějších sil :
ext
 t    B  VdV  
0
0
1
1
2
 t     0 V dV    0 V  VdV ,
2
2
0
0
Kinetická energie :
Výkon vnitřních sil :
-1
t


:
d
dv


:
FF



 dv 
int



   F -T : F dv 


0
T  VdS ,

J  F -T : F dV   P : F dV 
0
T
tr
P
F  dV


0
Bilance mechanické energie v materiálovém popisu:
D 1
2

V
dV   P : F dV   B  VdV   T  VdS .
0

Dt 0 2
0
0
0
• Konjugované dvojice
• = jejich skalární součin (dvojí kontrakce (:)
napěťového tenzoru a sdruženého tenzoru
rychlosti deformace) představuje skutečný
fyzikální výkon – časový přírůstek práce
vnitřních sil (výkon napětí) na jednotku
objemu
Alternativní vyjádření pro výkon napětí – konjugované dvojice
int
 t    σ : d dv,
Cauchy tenzor napětí : grad v

int
t   
Jσ : d dV ,
t   
P : F dV ,
1. Piola-Kirch. tenzor napětí : F
t  
S : E dV 

Finger tenzor napětí : grad v
0
int
0
int

0
int
S:
0
1 1
 t     : C C dV ,
2
0
int  t   
1
C dV , 2. Piola-Kirch. : E
2
Mandel tenzor napětí
J  R T σR  :  R 1dR T
0
 dV


Jσ r : Dr dV ,
0
rotované σ a d
int
t   
0
symTB : U dV .
Biot tenzor napětí : U