cvičení

Elektrotechnika 1
Příklady k procvičení
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
doc. Ing. Milan Murina, CSc.
ÚSTAV TEORETICKÉ A EXPERIMENTÁLNÍ ELEKTROTECHNIKY
2
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Obsah
1
Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace .................................................... 3
2
Metoda zjednodušování obvodu ........................................................................................ 6
3
Metoda úměrných veličin................................................................................................. 10
4
Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ........................................................................... 13
5
Metoda smyčkových proudů (MSP) ................................................................................ 14
6
Metoda uzlových napětí (MUN) ...................................................................................... 20
7
Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN) ........................................................... 27
8
Metoda náhradního zdroje ............................................................................................... 29
9
Časově proměnné veličiny ............................................................................................... 32
10 Nelineární obvody ............................................................................................................ 37
11 Magnetické obvody .......................................................................................................... 46
Příloha – BH charakteristiky .................................................................................................... 58
Příloha - Program LinRov ........................................................................................................ 59
1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace
3
1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace
OHMŮV ZÁKON
U
U  R I
R
I
I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON (PROUDOVÝ):
I
k
0
k
Proudy tekoucí z uzlu bereme s kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu se záporným
znaménkem.
I2
I1  I 2  I 3  0
I1
I3
II. KIRCHHOFFŮV ZÁKON (NAPĚŤOVÝ):
U
k
k
0
Napětí (úbytky na rezistorech, napětí zdrojů), jejichž čítací šipka má směr, souhlasící se směrem oběhu kolem smyčky, bereme s kladným znaménkem, ostatní napětí se záporným znaménkem.
Ui1
U
UR3
Ui2
U
R3
R1
UR2
U i1  U R3 U i2  U R2  U R1  0
R2
UR1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 1.1
Napětí stejnosměrného zdroje naprázdno je 13 V. Při proudu 20 A je svorkové napětí 12 V.
Vytvořte napěťový a proudový model tohoto reálného zdroje.
Řešení
a) napěťový model
b) proudový model
Ii
Ri
Ui
I
U
U i  U 0  13 V
Ri 
U 0 U 13 12

 0, 05 Ω
20
I
Gi
Gi 
Ii 
1
 20 S
Ri
Ui
 260 A
Ri
4
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příklad 1.2
Stejnosměrný zdroj při připojeném R1  68 Ω dodává proud I1  0,15 A a při R2  100 Ω
pak I 2  0,106 A . Vytvořte napěťový a proudový model zdroje.
Řešení
R1 I1  U i  Ri I1 ,
Ri 
R2 I 2  U i  Ri I 2 ,
R1 I1  R2 I 2
 9, 091 
I 2  I1
Ri  9,091 Ω
Ri
Ui
U i  11,56 V
R1 I1  R2 I 2  U i  Ri I1 U i  Ri I 2
U i  Ri I1  R1 I1  11,56 V
Ii
I
Gi
Gi 
Ii 
U
1
1

 0,11S
Ri 9, 091
U i 11,56

 1, 272 A
Ri 9, 091
Příklad 1.3
Určete napětí U a proud IV dvou paralelně řazených elektrických zdrojů (např. nový a starší
chemický článek).
Ri1
Ui1
Ri2
U
Iv
U
U
Ui2
U i1  1,6 V U i2  1,45 V
Ri1  0,8  Ri2  1,2 Ω
Řešení
Aplikací II. K.z. na vyznačenou smyčku dostaneme Ri1 I V  Ri2 I V  U i2 U i1  0 .
U U i2
Vypočteme proud smyčky I V  i1
 0,075 A .
Ri1  Ri2
Výsledné napětí U je součtem napětí v jedné větvi U  Ri2 I V  U i2  1,54 V .
Poznámka: Paralelně řazené články jsou naprázdno, přesto uvnitř baterie teče proud. Proto nelze spojovat nové a staré elektrické články paralelně.
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 1.4
Určete napětí U:
a) přepočtem napěťových zdrojů na proudové,
b) aplikací základních zákonů elektrických obvodů.
1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace
R1
U1
U
R2
U
U1  70 V U 2  50 V
R1  9 Ω
R2  15 Ω
U
U2
5
Výsledek: U = 25 V
Příklad 1.5
Určete svorková napětí zdrojů U1 a U2 pro hodnotu zátěže a) Rz = 5 Ω a b) Rz = 3 Ω.
U1
U
U2
U
Ri1
Ui1
Ui2
I
U i1  1,6 V
U i2  1,2 V
Ri2
Ri1  0,8 Ω
Ri2  4 Ω
Rz
a) Výsledky:
b) Výsledky:
I  0, 2857 A
U1  1,371 V, U 2  0, 05714 V
I  0,359 A
U1  1,313 V, U 2  0,2359 V
Poznámka: Při vzájemném porovnání výsledků je vidět, že pro menší z hodnot Rz se otočí
polarita svorkového napětí U2. To může nastat v baterii z nestejných elektrických článků.
Příklad 1.6
Určete hodnotu odporu R3 tak, aby U ab  20 V .
a
R1
R2
U1
R3
U2
U
U3
U
U
U1  10 V, U 2  20 V, U 3  30 V
R1  5 Ω, R2  10 Ω
b
Nápověda: Přepočtěte zdroje na proudové a k řešení použijte I. K.z. pro uzel
Výsledek: R3 = 5 Ω
a
.
6
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
2 Metoda zjednodušování obvodu
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 2.1
Určete U4 metodou zjednodušování.
R1
U2
I1
U
R3
R2
R4
I2
U
U4
U  10 V,
R1  20 Ω,
I4
R2  100 Ω, R3  R4  50 Ω
Řešení:
R34  R3  R4  50  50  100 Ω
Celkový odpor
R234 
Proud ze zdroje
R  R1  R234  20  50  70 Ω
U
I1   0,1429 A
R
U 2  U  R1 I1  7,143 V
Hledané napětí
U4  U2
R2  R34
100 100

=50 Ω
R2  R34 100  100
R4
 3,571 V
R3  R4
Příklad 2.2
Vypočtěte proudy I, I2, I3.
I2
R1
R2
R3
I
I3
U
U  20 V
R1  R2  R3  R4  10 
R4
U
Řešení:
U
I
U
U
I
U
R23 
R23
R1
R2 R3
10 10

 5Ω
R2  R3 10  10
R4
R  R1  R23  R4  25Ω
R
I
U 20

 0,8A
R 25
2 Metoda zjednodušování obvodu
7
U 2  I  R23  0,8  5  4 V
U2
I2
R1
R2
R3
I
R4
I3
U
I2 
U2
4
  0,4 A
R2 10
I3 
U2
4
  0,4 A
R3 10
U
Příklad 2.3
Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5.
R2
R1
R3 I3
A
I2
U  20 V
R1  R3  R4  10 
B
I5
I
R2  20 
R4 I
4
U
U
R5
C
R5 = 15 
Řešení:
R2
R1
R34
I
U
I5
I2
R5
R345  R34  R5  20 Ω
R2345
I
I
U
U
U
R2
I
U
U
C
R3
I3
R4
I4
U
U 20

1 A
R 20
U1  U AB U  0  U AB  U U1
I
I2
A
R
R  R1  R2345  20 Ω
RR
R2345  2 345  10 Ω
R2  R345
R1
U
U
R1
I2
R345 I5
I
U
R3 R4
5Ω
R3  R4
R34 
R2
R1
I5
R5
B
U AB  U  I  R1  10 V
I2 
U AB 10

 0,5 A
R2
20
I 5  I 2  I  0  I 5  I  I 2  0,5 A
8
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
U AB  U AC  U 5  U AC  U AB U 5
U AC  U AB  I 5 R5  2,5 V
I3 
U AC 2,5

 0,25 A
R3
10
I4 
U AC 2,5

 0,25 A
R4
10
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 2.4
Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4
I2
R2
I1
R1
I3
R3
I4
R4
U = 50 V
R1 = 10 Ω
I
U
U
R2 = R3 = 20 Ω
R4 = 10 Ω
Výsledky: I  5,5 A, I1  3 A, I 2  2,5 A, I 3  1 A, I 4  2 A
Příklad 2.5
Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5
I2
R2
R1
I
U
C
A
U
R3
I3
R4
I4
I5
U = 20 V
R1 = 10 
B
R2 = R3 = 20 
R5
R4 = 40 
R6
I6
R5 = R6 = 30 
Výsledky: I  0,3725 A, I 2  0,2549 A, I 3  0,0784 A, I 4  0,0392 A, I 5  0,1176 A
Příklad 2.6
Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4, I5
I2
R2
I1
R1
I3
R3
I4
R4
U = 30 V
R1 = R3 = R5 =20 Ω
I
U
U
R2 = 10 Ω
I5
R5
R4 = 40 Ω
Výsledky: I  I 5  1,083A, I1  0,25 A, I 2  0,83 A, I 3  0,16 A, I 4  0,083 A
2 Metoda zjednodušování obvodu
9
Příklad 2.7
Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5, I6
I2
R2
R1
C
A
I
U
U
R3
I3
R4
I4
I5
B
R5
U = 50 V
R1 = 10 , R2 = 20 
R3 = 30 , R4 = 40 
R6
R5 = 50 , R6 = 60 
I6
Výsledky: I  I 6  0,585 A, I 2  0,451 A, I 3  0,0767 A, I 4  0,0576 A, I 5  0,134 A
Příklad 2.8
Určete všechny proudy v obvodu.
R1
I1
I3
U
U
I4
R3
R4
I2
R2
U  10 V
R1  R3  3 kΩ
R2  13 kΩ
R4  2 kΩ
Výsledky: I1  I 2  0,6723 mA, I 3  0,4213 mA, I 4  0,2528 mA
Příklad 2.9
Určete všechny proudy obvodu.
R2
I2
I3
I1
U
U
R1
R3
R4
I4
U  48 V, R1  2 Ω
R2  30 Ω, R3  40 Ω
I5
R4  10 Ω, R5  20 Ω
R5
Výsledky: I1  3,178 A, I 2  1,096 A, I 3  0,219 A, I 4  0,877 A, I 5  2,082 A
Příklad 2.10
Vypočtěte proudy I1, I2, I3, I4.
I2
R2
I1
R1
U = 50V, R1 = R4 =10 Ω
R3
I3
R2 =60 Ω, R3 = 20 Ω
U
U
Výsledky:
R4
I4
R5
R5 = 30 Ω
I1  2,143 A, I 2  0,8333 A, I 3  1,429 A, I 4  0,7143 A
10
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
3 Metoda úměrných veličin
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 3.1
Určete napětí U4 metodou úměrných veličin.
R1
R3
U2
I1
R2
I2
U
U
R4
U4
U  10 V,
I4
R2  100 Ω, R3  R4  50 Ω
Řešení:
Volíme U 4  50 V a vypočteme
R1  20 Ω,
I 4 
U 4
 1 A, U 2   R3  R4  I 4  100 V
R4
I 2 
U 2
 1A, I1  I 2  I 4  2 A
R2
U   U 2  R1 I1  140 V
U
k
 0,07143
U
U 4  kU 4  3,571 V
Koeficient úměrnosti
Hledané napětí
Příklad 3.2
Určete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin.
R1
I1
U
R3
1
I3
R2
U
U  10 V
R1  R3  3 kΩ
2
R5
R4
I2
I4
I5
0
Řešení: a) metodou zjednodušování:
R20 
R4 R5
 1,333 kΩ
R4  R5
R10 
R2  R3  R20 
 3,25 kΩ
R2  R3  R20
R  R1  R10  6,25 kΩ
U
I1   1,6 mA
R
U10  U  R1 I1  5,2 V
R2  13 kΩ
R4  2 kΩ
R5  4 kΩ
b) metodou úměrných veličin:
Volíme I 5  1 mA .
  R5 I 5  4 V
U 20
I 4 

U 20
 2 mA
R4
I 3  I 4  I 5  3 mA
  R3 I 3  13 V
U10  U 20
I 2 
U10
 1 mA
R2
3 Metoda úměrných veličin
I2 
11
U10
 0,4 mA
R2
I1  I 2  I 3  4 mA
U   U10  R1 I1  25 V
I 3  I1  I 2  1,2 mA
U
 0,4
U
I1  kI1  1,6 mA, I 2  kI 2  0,4 mA
U 20  U10  R3 I 3  1,6 V
I4 
U 20
 0,8 mA
R4
I5 
U 20
 0,4 mA
R5
k
I 3  kI 3  1,2 mA, I 4  kI 4  0,8 mA
I 5  kI 5  0,4 mA
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 3.3
Určete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin.
U
U  10 V
I4
I1
R5
U
R1
I3
I5
R3
R2
R1  R3  3 kΩ
R4
R2  13 kΩ
R4  2 kΩ
I2
R5  10 kΩ
Výsledky: I1  1,672 mA, I 2  0,672 mA, I 3  0,4202 mA, I 4  0,2510 mA, I 5  1,000 mA
Příklad 3.4
Vypočtěte proudy I1, I2, I3, I4.
I2
R2
I1
R1
U = 50 V, R1 = R4 =10 Ω
R3
I3
R2 =60 Ω, R3 = 20 Ω
U
U
R4
Výsledky:
I4
R5 = 30 Ω
R5
I1  2,143 A, I 2  0,83 A, I 3  1,429 A, I 4  0,7143 A
Příklad 3.5
Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4, I5.
I2
R2
I1
R1
I3
R3
I4
R4
U = 30 V
R1 = R4 = R5 = 20 Ω
I
U
U
I5
R5
R2 =40 , R3 = 10 Ω
12
Výsledky:
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
I  I 5  0,83 A, I1  0,5 A, I 2  0,3 A, I 3  0,3 A, I 4  0,16 A
4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů
13
4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 4.1
Obvod řešte aplikací Kirchhoffových zákonů.
1
R1
R3
R2  20 Ω
R2
I3
U1
U
R1  10 Ω
I2
I1
R3  15 Ω
U2
U1  6 V
U
U 2  18 V
0
Řešení:
I. K.z.: pro uzel 1
I1  I 2  I 3  0
R1 I1  R3 I 3 U1  0
II. K.z.:
R2 I 2  R3 I 3 U 2  0
 -1 -1 1   I1  0 

    
10 0 15   I 2    6 

    
 0 20 15  I  18

  3  
 -1 -1

R 0
 1
0 R
2

1   I1  0 
    
R3    I 2   U1 
    
R3   I 3  U 2 
I1  0,09231 A
 I 2  0,5538 A
I 3  0,4615 A
Příklad 4.2
Obvod popište pomocí K.z.
1
I
U
R3
IG
R4
R
I4 G I2
U
Řešení:
I1
I3
R1
2
R2
Nezávislé uzly n = 3, I. K.z.:
1:  I  I1  I 3  0
3:  I 2  I 4  I  0
Nezávislé smyčky s = 3, II. K.z.:
R1 I1 + RG I G − R3 I 3 =
0
R2 I 2 − R4 I 4 − RG I G =
0
R3 I 3  R4 I 4 U  0
1
0
1
0
0

1 1
0
0
1

 0 1 0
0
1

R
0
RG
 1 0 R3
0 R
0 R4 RG
2


0
R3
R4
0
 0
1  I1   0 
    
0   I2   0 
    
1   I 3   0 


0   I 4   0 
0   I G   0 
  
0   I  U 
2:  I1  I 2  I G  0
3
Popis obvodu pomocí K.z. vede na velké množství rovnic, proto se častěji používá metoda
smyčkových proudů nebo metoda uzlových napětí.
14
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
5 Metoda smyčkových proudů (MSP)
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 5.1
Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu.
I1
R1
U
I2
R3
U1  6 V, U 2  18 V
R2
Is1
Is2
U1
I3 U2
R1  10 Ω, R2  20 Ω
U
R3  15 Ω
Řešení:
Pro smyčky můžeme podle II. K.z napsat:
S1: R1 I s1  R3  I s1  I s2  U1  0  R1  R3  I s1  R3 I s2  U1
S2: R2 I s2  R3  I s2  I s1   U 2  0 R3 I s1   R2  R3  I s2  U 2
V maticovém zápisu:
 R  R3
 1
 R3

R3   I s1   U1 
   

R2  R3   I s2  U 2 
Pomocí Cramerova pravidla
 25 -15  I s1   6 

    
-15 35   I s2  -18
 
25
-15
 60
-18 35

60
I s1  1 
 0,09231 A

650
 650
-15 35
25 6
2 
 360
-15 -18

360
I s2  2 
 0,5538 A

650
I1  I s1  0,09231 A
I 2  I s2  0,5538 A
1 
6
-15

I 3  I s1  I s2  0,09231  0,5538  0,4615 A
Poznámka:
Soustavu rovnic pro MSP lze zapsat přímo v maticovém tvaru: R·Is = U.
Prvky hlavní diagonály odporové matice jsou dány součtem rezistorů příslušné smyčky.
Při volbě smyček jako ok sítě a souhlasném smyslu smyčkových proudů jsou ostatní prvky
matice R tvořeny záporně vzatou hodnotou rezistorů společných větví.
Prvky vektoru zdrojů napětí U jsou dány součtem napětí zdrojů v příslušné smyčce
s respektováním znaménka (+ pro nesouhlasnou orientaci napěťové šipky vzhledem ke smyčkovému proudu, - pro souhlasnou orientaci napětí a smyčkového proudu).
5 Metoda smyčkových proudů (MSP)
15
Příklad 5.2
Pomocí MSP určete proudy v obvodu.
R3
I
U
R1
I3
Is1
Is3
U
IG
I4
U 2V
R1  R3  20 Ω
I1
RG
Is2
R2  40 Ω, R4  10 Ω
I2
RG  25 Ω
R2
R4
Řešení:
 R  RG  R3
RG
 1

RG
R2  R4  RG


R3
 R4

I s1  0,04321 A,
R3   I s1   0 
    
 R4    I s2    0 
    
R3  R4   I s3  U 
 65 25 20  I s1   0

    
25 75 10   I s2    0

    
20 10 30   I   2

  s3   
I s2  0,0284 A, I s3  0,1049 A
I1  I s1  0,04321 A,
I 2  I s2  0,0284 A
I 3  I s3  I s1  0,06169 A , I 4  I s3  I s2  0,0765 A
I  I s3  0,1049 A,
I G  I s1  I s2  0,01481 A
Příklad 5.3
Určete proudy obvodu v pomocí MSP.
U
R1
U2
U1
Is3
Is1
R4
I1
I2
U
I4
R3
Is2
U1  5 V,
R2
R5
I3
R1  7,5 Ω, R2  2,5Ω
R3  5 Ω,
I5
U2  7 V
R4  2 Ω
R5  25Ω
Řešení:
 R  R4
R4
 1
 R4 R3  R4  R5

 0
 R5

0   I s1   U1 
   

 R5    I s2    0 
   

R2  R5   I s3  U 2 
I s1  0,4A, I s2  0,6A, I s3  0,8A
I1  I s1  0,4 A, I 2  I s3  0,8 A, I 3  I s2  0,6 A
I 4  I s1  I s2  1 A, I 5  I s2  I s3  0,2 A
(Zkouška : I 2  I 3  I 5  0,8 A)
9,5 -2
0   I s1   5 

    
 -2 32 -25    I s2    0 

    
 0 -25 27,5  I  -7

  s3   
16
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 5.4
Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3.
R2
R1
I1
U
I3
U1
R3
U2
I2
U3
U1  10 V, U 2  20 V, U 3  30 V
U
R1  R4  10 Ω
R2  R3  20 Ω
U
R4
Výsledky: I1  0,16 A, I 2  1,16 A, I 3  1,3 A
Příklad 5.5
Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3.
R1
U1  10 V
I1
U
I2
U1
R2
I3
U 2  30 V
R3
R1  R2  10 Ω
R3 =20 Ω
U
U2
Výsledky: I1  -0, 6 A, I 2  -1, 4 A, I 3  0,8 A
Příklad 5.6
Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3.
R3
R1
I1
U
U1
U2
I2
R4
U1  10 V, U 2  30 V
I3
U
R2
U3
R5
Výsledky: I1  0, 7 A,
U 3  20 V
U
R1  R4  R5  10 
R2  20 , R3  30 
I 2  1,3 A, I 3  -0, 6 A
5 Metoda smyčkových proudů (MSP)
17
Příklad 5.7
Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3.
I1
R1
U1
R3
U
I2
R2
I3
U2
U1  20 V, U 2  30 V
R1  R2  R4  10 
U
R3  20 
R4
Výsledky: I1  -1, 286 A, I 2  -0, 714 A, I 3  -0,571 A
Příklad 5.8
Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3.
R1
R4
I1
U
R2
U2
U 2  20 V
I3
I2
U1
U1  30 V
R3
U
U 3  40 V
U3
R1  R2  10 
U
R3  R4  20 
Výsledky: I1  0, 6 A, I 2  1,83 A, I 3  -1,16 A
Příklad 5.9
Určete proudy v obvodu pomocí MSP.
I3
U1
I1
I6
U
U1  110 V, U 2  15 V, U 3  90 V
R4
R1
U
R6
U3
R3
I5
R5
I4
U2
R1  500 Ω, R2  300 Ω, R3  500 Ω
I2
R2
R4  1000 Ω, R5  200 Ω, R6  700 Ω
U
Výsledky: I1  0, 06 A, I 2  0, 05 A, I 3  0, 04 A, I 4  0, 01 A, I 5  0, 05 A, I 6  0,1 A
18
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příklad 5.10
Metodou smyčkových proudů určete jednotlivé proudy ve větvích obvodu.
U4 I6
U
I5
I4
R5
U2
I2
R2
U
R4
R3
U3
U
I3
U1
I1
U
U1  100 V, U 2  30 V
U 3  10 V, U 4  6 V
R1  R2  10 Ω, R3  15 Ω
R4  6 Ω, R5  5 Ω
R1
Výsledky:
I1  5,05 A, I 2  0,95 A, I 3  3,117 A, I 4  2,166 A, I 5  4,1 A, I 6  1,933 A
Příklad 5.11
Metodou smyčkových proudů určete proudy obvodu a také výkony dodávané zdroji
a spotřebované rezistory.
U1
U
U
R6
I1
I6
R1
R4
U2
I2
R2
I4
R3
R5
I5
I3
U1  8V, U 2  8V
R1  22Ω, R2  5Ω, R3  16Ω
R4  15Ω, R5  9Ω, R6  14Ω
Výsledky:
I1  0,3956 A, I 2  0,5726 A, I 3  0,2772 A, I 4  0,1184 A, I 5  0,2954 A, I 6  0,177 A
PR1  R1 I12  3,443 W PR2  R2 I 22  1,639 W PR3  R3 I 32  1,229 W
PR4  R4 I 42  0,2103 W PR5  R5 I 52  0,7854 W
P
R
PR6  R6 I 62  0,4386 W
 7,745 W
P1  U1 I1  3,165 W, P2  U 2 I 2  4,581 W,
 P  7,746 W
Příklad 5.12
Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu.
PP
R
5 Metoda smyčkových proudů (MSP)
I6 R3
R6
U
I5
R4
U1  11 V, U 2  35 V
I1
R5
U1
R1
I3
R1  5 kΩ, R2  3 kΩ
U
I2
U2
I4
R2
19
R3  2 kΩ, R4  5 kΩ
R5  1 kΩ, R6  0,5 kΩ
Výsledky:
I1  2,25 mA, I 2  6,54 mA, I 3  7,48 mA, I 4  1,31 mA, I 5  8,79 mA, I 6  5,23 mA
20
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
6 Metoda uzlových napětí (MUN)
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 6.1
Určete napětí U1 a U2 pomocí metody uzlových napětí.
I
R1
U1
R2
U
I
R3
U A  20 V, U B  15 V
I  1,5 A
R1  R2  20 Ω
R4
U2
UB
U
UA
R3  R4  40 Ω
Řešení:
Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu a odpory na vodivosti:
U
U
I A  A  1 A, I B  B  0,375 A,
R1
R4
1
1
G1  G2 
 0, 05 S, G3  G4 
 0, 025 S
20
40
Očíslujeme uzly, jeden (označený
obvykle číslem 0) je referenční,
ostatní nezávislé.
I
I
1
IA
U10
G1 G2
0
U20
2: G4U 20  G3 U10 U 20   I  I B  0
G1  G2  G3 U10  G3U 20  I  I A
G3U 20  G3  G4 U 20  I  I B
2
G3
I
Pro uzly můžeme podle I. K. z. napsat:
1: G1  G2 U10  G3 U10 U 20   I  I A  0
I
G4
IB
V maticovém zápisu:
G1  G2  G3
G3  U10  I  I A 

  


G3
G3  G4  U 20   I  I B 

 0,125 0, 025 U10  2,5

  

0, 025
0, 05  U 20  1,875
Pomocí Cramerova pravidla určíme uzlová napětí:
0,125 0, 025

 5, 625 103
0, 025
0, 05

2,5 0, 025
U1  U10  1  -13,8 V
1 
 0, 078125

1,875
0, 05

2,5
U 2  U 20  2  30,5 V
 0,171875

0, 025 1,875
Poznámka: Soustavu rovnic pro MUN lze zapsat přímo v maticovém tvaru: G·U = I. Prvky
hlavní diagonály vodivostní matice jsou dány součtem vodivostí připojených do příslušného
uzlu. Ostatní prvky matice G jsou tvořeny záporně vzatou hodnotou vodivostí spojujících
mezi příslušnými uzly.
2 
0,125
6 Metoda uzlových napětí (MUN)
21
Příklad 6.2
Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I1, I2, I3.
I2
IA
R2
R1
I
IA  1 A
R3
I1
IB  2 A
I
IB
I3
G1  G3 
R1  R3  10 
G2 
R2  20 
1
 0,1 S
R3
1
 0, 05 S
R2
G
Řešení:
I2
1
IA
R2
U10 U20
R1
I
2
R3
I1
I3
I
IB
 U  I
G  G2
-G2  U10  I A 
 1
   

 -G2





G

G
U
I
2
3   20 
 B 

 0,15 0, 05 U10  1

    
0, 05 0,15  U 20   2 
 
0
G  G2
G2 
0,15 0, 05

  det  1
 0, 05
 G2
 0, 05 0,15
G

G
2
3


I A

G2
1 0, 05

1  det 
 0, 05
 I B G2  G3 
2
0,15


U10 
1 0, 05

 2,5 V

0, 02
G  G2 I A 
0,15 1

0, 25

2  det  1
 0, 25
U 20  2 
 12,5 V
 G2
 0, 05 2
I

0,
02
B


U10
U U 20 15
2,5
I1 

 0,25 A , I 2  10

 0,75 A ,
R1
10
R2
20
U
12,5
I 3  20 
 1,25 A .
R3
10
Příklad 6.3
Pomocí metody uzlových napětí určete proudy I1, I2, I3 v obvodu.
1
I2
I1
R1
R3
U1  6 V, U 2  18 V
R2
R1  10 Ω, R2  20 Ω
I3
U
U2
U1
0
Řešení:
U
R3  15 Ω
22
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
G1  0,1S, G2  0,05 S, G3  0,06 S
1
G1 G3
G2
U10
I
I
I z1 
U1
U
 0,6 A, I z2  2  0,9 A
R1
R2
Iz2
Iz1
0
Sestavíme rovnici pro uzel 1:
I z1  I z2  G1U10  G2U10  G3U10  0
U10 
I z1  I z2
 6,923 V
G1  G2  G3
Pozor – proudy I1, I2 je nutno určit z původního
obvodu!
I1  I z1  G1U10  0,0923A
I 2  I z2  G2U10  0,5539 A
I 3  G3U10  0,4616 A
Příklad 6.4
Určete proudy větví obvodu pomocí MUN.
R2
I1
R1 R4
U1
U
I2
I4
R5
R3
U1  5 V, U 2  10 V
I5
I3
R1  2 kΩ, R2  2 kΩ, R3  5 kΩ
U2
R4  3 kΩ, R5  1 kΩ
U
Řešení:
G2
1
I
Iz1
U10 U20
G1
Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu:
U
U
I z1  1  2,5 mA, I z2  2  2 mA
R1
R3
2
G5 G3
G4
I
Iz2
0
G  G2  G4
 1

G2

 U10   I z1 
     
G2  G3  G5  U 20   I z2 
G2
1,3 103 5 104  U10   2,5 103 

    

5 104 1, 7 103  U 20   2 103 

   

1, 3 103 5 104

 2, 016 106
4
3
5 10
1, 7 10
1 
 5, 25 106
U10 
1
 2,6033 V

2,5 10-3
 3,916 10-6
-3
2 10
U 20 
2
 1,9421 V

2,5 103 5 104
3
2 10
-3
1, 3 10
2 
-5 10-4
3
1, 7 10
6 Metoda uzlových napětí (MUN)
23
I1 
U1 U10
U U10
U U 20
 1,198 mA, I 2  20
 -0,3306 mA, I 3  2
 1,612 mA
R1
R2
R3
I4 
U10
U
 0,8678 mA, I 5  20  1,942 mA
R4
R5
Příklad 6.5
Určete napětí U1 a U2 pomocí MUN.
UA
R2
U
U A  20 V, U B  15 V
I
U1
I
R4
R3
U2
R1
I  1,5 A
R1  R2  20 Ω
R3  R4  40 Ω
U
UB
Řešení: Přepočet na proudové zdroje a výpočet vodivostí:
UA
U
 1 A, I z2  B  0,375 A,
R2
R4
1
1
G1  G2 
 0, 05 S, G3  G4 
 0, 025 S
20
40
I z1 
I
Iz1
G1  G2

 G2

2
1
G2
I
I
U10 U20
G1
I
G3 G4
IZ2
0
0,1 0, 05
 0, 0075
0, 05
0,1
0,5 0, 05
1 
 0,11875
1,375
0,1
0,1
0,5
2 
 0,1625
0, 05 1,375
 U10   I z1  I 
G2
 

G2  G3  G4  U 20  I z1  I z2 
 0,1 0, 05 U10   0,5 

    

0, 05
0,1  U 20  1,375

U10 
1 0,11875

 15,83 V

0, 0075
U 20 
2 0,1625

 21,6 V

0, 0075
Příklad 6.6
Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos KU a vstupní odpor Rvst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím (ZPŘN).
24
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
R1 =
5 kΩ, R2 =
50 kΩ, R3 =
1 kΩ,
R2
gm∙U12
1
I
U1
I
Rb =
5 kΩ, g m =
100 mS
I
2
R1
Rb
U2
R3
0
Razítko ZPŘN:
Řešení:
1
0
1
U12
gm∙U12
2
 g m g m 


g m g m 
2
2



3

3
 0, 42 10
0, 2 10  U10   I 

  
 0,1002
 U 20  0
0,1012

   
I
0
2
Matice MUN s doplněným razítkem ZPŘN:
G1  G2  Gb
 U10   I 
Gb

  
 Gb - g m
    0
G
G
+
g

m  U 20 
b
3
 

Pozor – pravou stranu rovnice tvoří pouze nezávislé zdroje.

Napětový přenos a vstupní odpor:
U 20 ∆ 2 / ∆ ∆ 2 0,1002 ⋅ I
K=
=
= =
= 0,99 .
U
U10 ∆1 / ∆ ∆1 0,1012 ⋅ I
∆1
U10
0,1012 ⋅ I
R=
= ∆
=
= 4505 Ω .
vst
I
I
2, 2464 ⋅10−5 ⋅ I
0, 42 103 0, 2 103
 2, 2464 105
0,1002
0,1012
1 
I 0, 2 103
 0,1012  I
0
0,1012
2 
0, 42 103
0,1002
I
 0,1002  I
0
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 6.7
Metodou uzlových napětí vypočtěte uzlová napětí U10 a U20 a poté proudy I1, I2, I3, I4.
R3
R1
I1
U
U
R2
I2
I3
R4
U10 U20
I
I
I4
=
U 10
=
V, I 2 A
R1 =20 Ω, R2 =10 Ω
R3 =40 Ω, R4 =50 Ω
Výsledky: U10  10 V, U 20  50 V, I1  0 A, I 2  1 A, I 3  -1 A, I 4  1 A
Příklad 6.8
Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I2 a I4.
R3
R2
R1
I
IA
I2
U = 20 V
I A 1=
=
A, I B 2 A
U
U
R4
I4
10 Ω
R=
R=
1
4
I
IB
Výsledky: I 2  -0, 4 A, I 4  0,9 A
20 Ω
R=
2
40 Ω
R=
3
6 Metoda uzlových napětí (MUN)
25
Příklad 6.9
Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I2, I3 a I4.
R1
U
R2
I2
R3
I3
U = 20 V
I =2A
U
R4
R=
R=
R=
R=
10 Ω
1
2
3
4
I
I4
I
Výsledky: I 2  -1, 2 A, I 3  0, 4 A, I 4  1, 6 A
Příklad 6.10
Pomocí MUN vypočtěte napětí U1 a U2 v obvodu na obrázku.
R3
UA
R2
U
U A  5 V, U B  10 V
U2
U1
R5
R4
I
I
R1
U
I  2 mA
R1  R2  2,2 kΩ, R3  5,6 kΩ
R4  3,3 kΩ, R5  1 kΩ
UB
Výsledky: U1= 0,2947 V, U2 = -6,242 V
Příklad 6.11
Pomocí MUN určete proudy v obvodu.
R6
R1
U1
U
I4
I6
R4 I5
R5
R3
I
U2
U1  12 V, U 2  16 V
I2
U
I z  3 mA, R1  1 kΩ, R2  2 kΩ
R3  1 kΩ, R4  5 kΩ
I3
I1
Výsledky:
R2
Iz
R5  4 kΩ, R6  2 kΩ
I1  1,409 mA, I 2  3,14 mA, I 3  -2,29 mA
I 4  2,118 mA, I 5  2,43 mA, I 6  0,7097 mA
Příklad 6.12
Pomocí MUN určete napětí U1 a U2 v obvodu na obrázku.
26
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
R3
R1
U A  5 V, U B  10 V
R4
U
UB
R6
R2
I
U2
U1
I  2 mA
R1  R2  2,2 kΩ
I
R3  5,6 kΩ, R4  2,7kΩ
U
UA
R5  1 kΩ, R6  4,7 kΩ
R5
Výsledky: U1 = -2,519 V, U2 = -9,316 V
Příklad 6.13
Určete proudy větví obvodu na obrázku pomocí MUN.
R2
1
I2
R1
U1
2
I1
U
I3
R7
R3
I6
R1  2 kΩ, R2  2 kΩ, R3  5 kΩ
I4
R5
I5
I7
U1  5 V, U 2  10 V
R4
U
R4  3 kΩ, R5  1 kΩ, R6  4 kΩ
U2
R7  10 kΩ
R6
3
0
Výsledky:
I1  0,7025 mA, I 2  0,101 mA, I 3  0,4 mA, I 4  2,525 mA,
I 5  2,424 mA, I 6  0,3433 mA, I 7  0,3595 mA
Příklad 6.14
Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos KU a vstupní odpor Rvst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím.
R1  5 k, R2  50 kΩ, R3  1 k,
R2
I
U1
R1
I
R3
U2
g m  100 mS
I
gm∙U1
0
Výsledky: K U  98, 02 , Rvst  458, 6 
7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
27
7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 7.1
Určete proudy v obvodu pomocí MMUN.
I
R1
U1
I2
R2
U
U1  5 V
I3
R3
I4
U
R4
U 2  10 V
U2
R1  R3  5Ω
I1
R2  R4  10 Ω
Řešení:
Zdroj U2 je ideální, nelze jej převést na zdroj proudový. Proto nejprve sestavíme matici
MUN pro zbylý obvod a doplníme podle K. z. řádek a sloupec pro zdroj U2.
Nejprve je nutno přepočítat zdroj napětí U1 na zdroj proudu a odpory na vodivosti:
U
1
1
G1  G3   0, 2 S, G2  G4   0,1S
I z1  1  1 A,
5
10
R1
2
1
U10
I
G1
G3
U20
G4
U2
U
G2
Iz1
I
I. K.z.
0
II. K.z.
Matice pro MUN:
G1  G2  G3
G3  U10   I z1 

  

G3  G4  U 20   0 
G3

Do uzlu 2 vtéká proud I, dále doplníme rovnici pro smyčku dle II. K.z U2 = U20, takže
dostaneme matici MMUN:
G1  G2  G3
G3
0  U10   I z1 

   

G3
G3  G4 1 U 20    0 

   

  I  U 
0
1
0

    2
Po dosazení hodnot:
 0,5 0, 2 0  U10   1 

   
0, 2 0,3 1 U 20    0 

   
 0
  I  10
1
0

   
Řešením MMUN dostaneme: U10  6 V, U 20  10 V, I  1,8 A
Pozor – proud I1 je třeba určit z původního obvodu!
I1   I z1  G1U10   0,2 A, I 2  U10G2  0,6 A
I 3  G3 U 20 U10   0,8 A, I 4  G4U 20  1 A
(Zkouška: I  I 3  I 4  0, U 2  U 20  0  U 2  U 20  10 V )
Poznámka: MMUN je výhodné použít i pro reálné zdroje napětí, pokud se zajímáme o proud
tekoucí zdrojem.
28
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příklad 7.2
Předešlý obvod řešte bez náhrady zdroje U1.
Řešení:
1
2
G3
Ia
G1
Ib
G4
G2
U
U1
0
U2
U
Podle II. K.z. napíšeme 2 rovnice:
U10 U1  R1 I a  0  U10  R1 I a  U1
U 20 U 2  0  U 20  U 2
Dále vezmeme v úvahu, že do uzlu 1 vtéjá
proud Ia a do uzlu 2 vtéká proud Ib.
U10   6 V 
G2  G3
G3
1 0  U10   0 
  

    

U 20   10 V 
 G3
G3  G4 0 1 U 20   0 

       Výsledek:    

 I  -0,2 A 
 1
  I  U 
R
0
0
1
 a  

  a   1



 I   1,8 A 


 0

I
U
1
0
0

  b   2

 b  
Dále je možno určit i proudy obvodu, viz předešlý příklad.
Příklad 7.3
Vypočtěte uzlová napětí a proud I v uvedeném obvodu pomocí MMUN.
2
R1
U  2 V, R1  R3  20 Ω
R2
R5
1
R3
3
R2  40 Ω, R4  10 Ω, R5  25 Ω
R4
0
I
U
U
Řešení:
Aplikací II. K.z.: U10 U 30 U  0  U10 U 30  U
Proud I vtéká do uzlu 1 a vytéká z uzlu 3.
G1  G3
G1
0
1 U10   0 

    
 G1
G1  G2  G5
G2
0  U 20   0 

    
 0
 U   0 


G
G
G
1
2
2
4

  30   
 1
1
0
0   I  U 

Řešením této maticové rovnice dostaneme:
U10  1,235 V, U 20  0,370 V, U 30  0,765 V, I  0,1049 A
Poznámka.: Je zřejmé, že MMUN vede na větší počet rovnic, což není při počítačovém zpracování na závadu.
8 Metoda náhradního zdroje
29
8 Metoda náhradního zdroje
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 8.1
V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R2 pomocí:
a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty.
R3
R1
U
U
U2
R2
U  20 V
R1  R3  10 Ω
R4
I2
R2  20 Ω, R4  40 Ω
Řešení: a) Pomocí Thèveninovy věty
R3
R1
Ui
R4
U
U
Ui  U
I2 
R3
R1
Ri
R4
Ri
U
I2 
U2
R2
U 2  I 2 R2
I2
Ui
U
Ui
Ri  R2
P2  U 2 I 2
R  R  R4  500
R3  R4
50
 20  16,6 V, Ri  1 3

 8,3 Ω
R1  R3  R4
R1  R3  R4
60
60
Ui
16,6

 0,5882 A, U 2  I 2 R2  0,5882  20  11,77 V
Ri  R2 8,3  20
P2  U 2 I 2  11,77  0,5882  6,92 W
b) Pomocí Nortonovy věty
R3
R1
U
Ii 
Ii
U
R3
R1
R4
Gi
R4
Ii
I
I 2  Ii
U2
Gi
U
R2
I2
G2
Gi  G2
U 2  I 2 R2
P2  U 2 I 2
U
20
1
1
1
1

 2 A, Gi  
   0,12 S
R1 10
R1 R3  R4 10 50
I 2  Ii
G2
0, 05
2
 0,5882 A, U 2  I 2 R2  11,77 V,
Gi  G2
0,12  0, 05
P2  U 2 I 2  6,92 W
Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ jednodušší díky snadnějšímu
určení Ii oproti napětí naprázdno Ui.
30
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příklad 8.2
V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R4 pomocí:
a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty.
R2
U
Iz
U
U  10 V
Iz  2 A
I4
R3
R1
U4
R4
R1  R3  10 
I
R2  20 , R4  40 
Řešení:
a) Pomocí Thèveninovy věty
U·G1
G1 G2
Iz
R3
G3
R1
Ui
I
I
I4 
Ri
R2
U
U
G1  G2 U i  UG1  I z  U i 
I4 
Ri
R4
U 4  I 4 R4
I4
U4
Ui
Ri  R4
P4  U 4 I 4
Ui
UG1  I z
RR
 6,6 V, Ri  R3  1 2  16,6 Ω
G1  G2
R1  R2
Ui
6, 6

 0,1177 A, U 4  I 4 R4  0,1177  40  4,706 V
Ri  R4 16,6  40
P4  U 4 I 4  4,7060,1177  0,5536 W
b) Pomocí Nortonovy věty
U·G1
G1 G2
I
Ui
I
R1
R2
U4
Ii
R3
G3
Iz
Ii
Gi
Gi
I
U
G1  G2  G3 U i  UG1  I z  I i U iG3 
Gi 
G1  G2  G3
G1  G2  G3
I 4  Ii
UG1  I z G3
G1  G2  G3
I 4  Ii

R4
I4
G4
Gi  G4
U 4  I 4 R4
P4  U 4 I 4
10  0,1 2 0,1
0,1  0, 05  0,1
 0,4 A
 0,06 S
G4
0, 025
 0, 4
 0,1177 A, U 4  I 4 R4  4,706 V
Gi  G4
0, 06  0, 025
P4  U 4 I 4  0,5536 W
Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ složitější, neboť určení proudu nakrátko Ii je komplikovanější ve srovnání s určením napětí naprázdno Ui.
8 Metoda náhradního zdroje
31
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 8.3
V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R2 pomocí:
a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty.
U2
R2 I
2
R4
U
U  20 V
R1  15 Ω
R3
R2  20 Ω
U
R1
R3  R4  10 Ω
Výsledky: U i  10 V, Ri  20 Ω, I 2  0,25 A, U 2  5,0 V, P2  1,25 W
Příklad 8.4
V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R3 pomocí:
a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty.
U3
R1
I3 R3
U
R2
R4 I
U  10 V, I  0,5 A
R1  R3  10 Ω
U
I
R2  20 Ω, R4  40 Ω
Výsledky: I 3  0,05882 A, U 3  0,5882 V, P3  0,0346 W
Příklad 8.5
V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji.
R2
R1
IG
RG
R3
U  2 V, R1  R3  20 Ω
R4
U
R2  40 Ω, R4  10 Ω
RG  25 Ω
U
Výsledky: U i  0,6667 V, Ri  20 Ω, I G  14,82 mA
32
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
9 Časově proměnné veličiny
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 9.1
Určete střední hodnotu (stejnosměrnou složku) I0,
střední absolutní hodnotu Isa a efektivní hodnotu I
pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li
Im = 1 A. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu
tohoto průběhu.
i
Im
0
T/4
3T/4
T/2
T
-Im/2
t
Řešení:
Střední hodnota (stejnosměrná složka):
3T
T
T
 T2
4

I m
1
1 
dt   I m dt  
I 0   i t  dt    I m dt  

2
T 0
T  0
3T
T

2
4
3T


5I
I m  T /2  t  4
T 
 t 0     t 3 T   m  0, 625 I m  0, 625 A
4 
 2  T
8
T 


2
Střední absolutní hodnota:
3T
T
T
 T2

4
Im
1
1 
dt   I m dt  
I sa   i t  dt    I m dt  

2
T 0
T  0
3T
T

2
4
3T


7I
I m  T /2  t  4
T 
 t 0     t 3 T   m  0,875 I m  0,875 A
4 
 2  T
8
T 


2
Efektivní hodnota:
T
I
1
T 0
3
T
T

T
 2
4
2 

I
1
 I 2 dt   m  dt  I 2 dt  
i 2 t  dt 
m
T  4  3 m 
T  0


T
2
4
3T


I m2  T /2  t  4
13
T 

I m  0,9014 A

t 0     t 3 T  
4 
 4  T
4
T 



2
Činitel tvaru je podíl efektivní a střední absolutní hodnoty:
kt 
I
0,9014

 1, 0302
I sa
0,875
Činitel výkyvu je podíl maximální a efektivní hodnoty:
kv 
Im
4

 1,1094
I
13
9 Časově proměnné veličiny
33
Příklad 9.2
Vypočítejte střední hodnotu I0, střední absolutní
hodnotu Isa a efektivní hodnotu I periodického
průběhu proudu na obrázku, je-li jeho maximální
hodnota Im = 5 A. Určete činitel tvaru a činitel
výkyvu.
Im
i
0
T/2
Řešení:
Rovnice popisující časový průběh proudu se určí pomocí směrnice: i t  
T
Střední hodnota:
1
1
I 0   i t  dt 
T 0
T
T 2

0
2Im
2I
tdt  2m
T
T
T 2
T
t
2I m
t
T
t2 
   I m  1, 25 A
2
4
 0
Střední absolutní
hodnota:
Protože průběh nabývá pouze kladných hodnot, platí I sa  I 0  1, 25 A
Efektivní hodnota:
1
1
I
i 2 t  dt 

T 0
T
Činitel tvaru: k t 
T
T 2
2
 2 I m 
4 I m2

  T t  dt  T 3
0
T 2
t3 
   I m  2, 041 A
3
6
 0
I
I
4

 1, 633 , činitel výkyvu: kv  m  6  2, 449
I sa
I
6
Příklad 9.3
Vypočítejte střední hodnotu U0, střední absolutní
hodnotu Usa a efektivní hodnotu U harmonického
průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální
hodnota Um = 10 V. Dále určete činitel tvaru
a činitel výkyvu tohoto průběhu.
u
Um
0
T/2
T
t
Řešení:
 2π 
Rovnice popisující časový průběh napětí je: u t   U m sin  t 
 T 
T
T
 2π 
U m
1
1
Stejnosměrná složka: U 0   u t  dt   U m sin  t  dt 
T 
2π
T 0
T 0
T
  2π 
 cos  t   0


  T  0
(Stejnoměrná složka je nulová, což je patrné ze symetrie průběhu.)
Střední absolutní
hodnota:
T
1
2
U sa   u t  dt 
T 0
T

U m
π
T /2
U
0
m
 2π 
sin  t  dt 
 T 
T /2
  2π 
2
 cos  t   U m 
 6,366 V
  T  0
π
(Vzhledem k symetrii průběhu lze provést integraci pouze za polovi-
34
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
nu periody, kdy je hodnota nezáporná).
T
Efektivní hodnota:
U
U m2
1
2π 
2
2


sin
d
U
t
t


m
T 0
T 
T
U m2

2T
Činitel tvaru: kt 
T
1
 2π 
t  dt 

 2 1 cos 2 T
0
T

 4π 
U
T
t  sin  t   m  7, 071 V
 4π  T  0
2
U
U
π

 1,1107 , činitel výkyvu: kv  m  2  1,141
U sa 2 2
U
Příklad 9.4
Proud i(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky:
I0 = 2 A; I1 = 10 A; I3 = 1,5 A; I5 = 0,6 A. Určete činitel zkreslení v %.
Řešení: Výpočet činitele zkreslení je možný podle dvou vztahů
I 22  I 32  
I 32  I 52
1,52  0, 62
k


 0,1616=16,16 %
I1
I1
10
k 
I 22  I 32  
I12  I 22  I 32  
I 32  I 52

I12  I 32  I 52

1,52  0, 62
102  1,52  0, 62
 0,1595  15,95 %
Je vidět, že obě hodnoty jsou velmi blízké. Stejnosměrná složka I0 nemá na činitel zkreslení
vliv. Časový průběh (pro porovnání s 1. harmonickou) a spektrum signálu jsou v grafech.
i (A)
10
i (t)
5
I1
0
-5
-10
0
1
2
3
t (ms)
4
5
6
9 Časově proměnné veličiny
I (A)
12
35
I1
10
8
6
4
I0
I3
2
0
0
1
2
3
k (-)
I5
4
5
6
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 9.5
Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) a efektivní hodnotu pro periodický průběh
proudu dle obrázku, je-li Im = 1 A.
i
Im
0
T/4
T/2
3T/4
T
t
-Im
Výsledky: I 0  0, 25 A, I  0,8660 A
Příklad 9.6
Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu
pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im
= 0,5 A. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu.
i
Im
0
T/4
T/2
3T/4
T
t
-Im/2
Výsledky: I 0  0,125 A, I sa  0,375 A, I  0,3953 A, kt  1, 054, kv  1, 265
Příklad 9.7
Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu
pro periodický průběh napětí dle obrázku, je-li Um
= 10 V. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu.
u Um
0
T
t
Um
Výsledky: U 0  0, U sa  5 V, U  5, 774 V, k t  1,155, k v  1, 732
Příklad 9.8
T/2
36
Vypočítejte střední hodnotu U0, střední absolutní
hodnotu Usa a efektivní hodnotu U usměrněného
harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li
jeho maximální hodnota Um = 10 V. Dále určete
činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu.
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
u
Um
0
T/2
T
t
Výsledky: U 0  6,366 V, U sa  6,366 V, U  7, 071 V, k t  1,1107, kv  1,141
Příklad 9.9
Napětí u(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky:
U0 = 1,5 V; U1 = 5,2 V; U2 = 0,35 V; U3 = 0,25 V a U5 = 0,12 V. Určete činitel zkreslení.
Výsledky: k  8,59 % , k   8,56 %
10 Nelineární obvody
37
10 Nelineární obvody
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Spektrum neharmonických průběhů
Příklad 10.1
Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu
z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = 3 + 2sin(ωt).
Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) = 0,1u2(t).
i(t)
u~
U0
u(t)
=
=
i 0,1 ⋅ u 2
Řešení:
Napětí zdroje obsahuje stejnosměrnou složku (3 V) a harmonickou složku (2 V):
u t   3  2sin t 
Proud nelineárním odporem je:
2
i t   0,1 u 2  0,13  2sin t   1,1  1, 2sin t   0, 2 cos 2t  .
Poznámka: bylo použito vztahu sin 2    0,5 1 cos 2  .
Proud obsahuje tedy stejnosměrnou složku (1,1 A), základní 1. harmonickou složku (1,2 A)
a 2. harmonickou složku (0,2 A). Spektra napětí i proudu jsou ukázána v grafech.
Ik
Uk
I1=1,2 A
U0=3 V
I0=1,1 A
U1=2 V
0
I2=0,2 A
k
1
0
1
k
2
Aproximace nelineárních charakteristik
Příklad 10.2
Pomocí metody nejmenších čtverců
aproximujte přímkou průběh funkce
y = f(x) zadané tabulkou v m = 5 bodech.
6
5
4
y 3
xj
0
1
3
5
6
yj
5
3
3
2
1
2
1
0
0
1
2
3
x
4
5
6
7
38
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Řešení:
Hledáme minimum tzv. kriteriální funkce, která je tvořena součtem odchylek aproximační
funkce od původní funkce v daných bodech.
Rovnice hledané aproximační funkce (přímky) je ya  a 0  a1 x , je třeba určit a0 a a1.
m
2
Kriteriální funkce je  a0 , a1     y j  a1 x j  a0  a hledáme min  a 0 , a1  .
j 1
Minimum se nalezne pomocí parciálních derivací kriteriální funkce, které se položí rovny
nule. V maticovém zápise tak dostaneme:
 m

 x
  j
 x    a     y  ,
 x   a   x y 
j
2
j
j
0
j
1
j
přitom členy rovnice nejlépe zjistíme pomocnou tabulkou.
Po dosazení do maticové rovnice
j
xj
yj
xj2
xj·yj
1
0
5
0
0
2
1
3
1
3
 5 15  a0  14 

    
15 71  a1   28
 
3
3
3
9
9
je řešení
4
5
2
25
10
5
6
1
36
6
 a0   4, 415 
 
.
 a1  0,538

  
Σ
15
14
71
28
Hledaná aproximační přímka je popsána rovnicí ya  4, 415  0,538  x a její průběh je uveden v grafu.
Příklad 10.3
Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka a graf naměřených bodů.
a) Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod
0,6 V ± 0,1 V.
b) Pro pracovní bod 0,6 V ± 0,1 V určete statický a dynamický odpor diody.
u (V)
0,20
0,40
0,50
0,55
0,60
0,625
0,65
0,675
0,70
i (A)
0
0
0,0005
0,004
0,02
0,20
0,45
0,60
1,0
Řešení:
Rovnice hledané aproximační funkce (polynomu 2. stupně) je ya  a 0  a1 x  a2 x 2 , hledáme koeficienty a0, a1 a a2. Polynom bude procházet 3 body, podle zadání pro u = (0,50;
0,60; 0,70) V, v tabulce vyznačeno tučně.
Rovnice polynomu musí vyhovovat těmto 3 určeným bodům:
10 Nelineární obvody
39
a0  a1u1  a2u12  i1
1 u1

a0  a1u2  a2u2 2  i2 , v maticovém zápise 1 u2
1 u
a0  a1u3  a2u32  i3
3

u12   a0   i1 
   
u22    a1   i2  .
   
u32   a2   i3 
Dosazením vybraných bodů z tabulky
1 0,5 0,52   a0  0, 0005

   

1 0, 6 0, 62    a    0, 02  dostaneme řešení
1

   

1 0, 7 0, 7 2   a   1, 0 
  2  


 a0   14,31 
  

 a1   52, 63 .
  

 a   48, 03 
 2 

Hledaná interpolační funkce je popsána rovnicí ia  14,31 52, 63 u  48, 03  u 2  A a její
průběh je uveden v grafu.
Statický odpor pro up = 0,6 V je:
Rs 0, 6 
Dynamický odpor lze určit z okolních bodů:
Rd 0, 6 
alternativně
up
ip

up
ip
0, 6
 30  .
0, 02

z interpolační
0, 7  0,5
 0, 2001  ,
1 0, 0005
funkce:
1
 di 
1
Rd 0, 6  Gd1   a   96, 06u  52, 63  0,1998 
 du 
1
0.5
0.5
i (A)
i (A)
1
0
0
-0.5
0.5
0.55
0.6
u (V)
0.65
0.7
-0.5
0.5
0.55
0.6
0.65
u (V)
0.7
Interpolační funkce (polynom 2. stupně)
Naměřené body charakteristiky diody
Metody řešení nelineárních obvodů
Příklad 10.4
Analytickým řešením určete proud I nelineárním obvodem.
U  10 V
R5
U
U n  3I 2  2 I
Řešení:
R
Podle II. K.z.:
3I 2  2 I  RI U  0
U n  RI U  0
3I 2  7 I 10  0
U
I
Un
40
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Řešení kvadratické rovnice je:
 I1  1 A
 
 I 2  3,3 A
23

V tomto případě má smysl pouze I  1 A .
7  7 2  4  3  10
I1,2 
Příklad 10.5
Stabilizátor napětí je zatížen odporem R2.
Určete napětí U2 na zátěži, má-li linearizovaný model stabilizační diody v závěrném
směru parametry: Ud = 5,7 V, Rd = 2 Ω.
R1
D
U
U
Rd
U2
R2
D
U
Ud
U  10 V, R1  100 , R2  250 
Řešení: linearizovaný obvod řešíme např. pomocí MUN.
R1
U
U
Rd
Ud
R2
G1 Gd
I
U2
I
U
I
Id
G2
I
U
10

 0,1 A
R1 100
Id 
U2
U d 5, 7

 2,85 A
Rd
2
G1  1001  0, 01S
G2  2501  0, 004 S
G1  G2  Gd U 2  I  I d
Gd  21  0,5 S
0,514 U 2  2,95 , U 2  5,739 V
Příklad 10.6
Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD 4V8 pracuje
R Iz
naprázdno (bez zátěže). Určete výstupní napětí při napájení ze zdroje U1 = 12 V. Dále určete, jak se změní U2 při
U U1
zvýšení vstupního napětí U1 z 12 V na 15 V a stanovte
činitel stabilizace obvodu. Vypočítejte ztrátový výkon
diody a rezistoru. Charakteristiku diody v závěrném směru udává tabulka, pro výpočet použijte linearizovaný mo- U1  12 V
del diody pro okolí Uz = 4,8 V.
U1  15 V
u (V)
-4,00
-4,50
-4,65
-4,80
-5,00
i (A)
-0,003
-0,012
-0,035
-0,15
-0,50
Řešení: Linearizaci charakteristiky diody provedeme aproximací metodou nejmenších čtverců:
j
uj
ij
uj2
uj·ij
1
-4,65
-0,035
21,623
0,1628
2
-4,80
-0,15
23,04
0,72
3
-5,00
-0,50
25
2,5
Σ
-14,45
-0,685
69,663
3,3828
D
U2
R  33 
 m

 u
  j
u
u
j
2
j
  a0    i j 
   

 a   u i 
  1    j j 
 3
14, 45  a0  0, 685

   

14, 45 69, 663   a1   3,3828 
 
 a0  6, 232
 

 a1   1,341 

  
10 Nelineární obvody
41
Linearizovaný model Zenerovy diody lze pro okolí
bodu Uz = 4,8 V popsat rovnicí pro Nortonův náhradní zdroj:
Gd
I
Id
D
I z  Gd U 2  I d  1,341U 2  6, 232 A .
Obvod s linearizovaným modelem pak řešíme např.
pomocí MUN.
U1 12
U  15
  0,36 A, I1  1   0, 45 A
R 33
R 33
I d  6, 232 A
Id
Gd
I
I1 
G
G
I1
U2
I
1
 0, 030 S, Gd  1,341S
33
Stabilizované výstupní napětí pro U1  12 V: U 2 
I1  I d
6,596

 4,811 V .
G  Gd 1,371
Stabilizované výstupní napětí pro U1  15 V: U 2 
I1  I d
6, 687

 4,876 V .
G  Gd 1,371
Výstupní napětí při změně U1 z 12 V na 15 V (∆U1 = 3 V) se změní pouze o ∆U2 = 4,876-4,811 = 66 mV.
U1
15 12
U1
12
Činitel stabilizace je: s 

 18, 2 .
4,876  4,811
U 2
4,811
U2
Proud diodou se určí z úbytku na R: I z 
Ztrátový výkon
U1 U 2 12  4,811

 218 mA .
R
33
na diodě:
PD  U 2 I z  4,811 0, 218  1, 048 W
na rezistoru:
PR  RI z2  33 0, 2182  1,569 W .
Příklad 10.7
Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD 4V8 pracuje
naprázdno (bez zátěže). Grafickou metodou určete pracovní bod diody (Uz, Iz) a její ztrátový výkon. Z grafu
zjistěte změnu výstupního napětí při změně vstupního
napětí o ±1 V. Charakteristiku diody v závěrném směru
udává graf.
R
U
U
Iz
Uz
D
U 6V
R  15 
Řešení:
Použijeme metodu zatěžovací přímky, kterou zakreslíme do grafu AV charakteristiky nelineárního prvku. Zatěžovací přímka představuje převrácenou AV charakteristiku náhradního
42
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
zdroje lineární části obvodu a je dána dvěma body – napětí naprázdno (dioda odpojena) a
proud nakrátko (dioda nahrazena zkratem), její směrnice tak odpovídá vodivosti 1/R.
U
6
  0, 4 A . Po zakreslení
R 15
přímky do grafu dostaneme průsečík – pracovní bod (4,75 V, 85 mA).
Napětí naprázdno je U 0  U  6 V , proud nakrátko je I k 
Ztrátový výkon diody je PD  U z I z  4, 75  0, 085  0, 404 W .
Při změně U o ±1 V se posunou zatěžovací přímky na [U0;Ik] = [-5;-0,333] resp. [-7;-0,466].
Této změně odpovídá změna výstupního napětí Uz na 4,65 V resp. 4,8 V.
-7
U z (V)
-6
-5
∆Uz
-4
-3
-2
-1
0
0
∆U
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
ZD4V8
I z (A)
-0.5
Příklad 10.8
Určete proud I nelineárním obvodem. Použijte Newtonovu
iterační metodu.
U  10 V
R  10 
R
U
I
Un
U
U n  20 I 2
Řešení:
Podle II. K.z.:
Newtonova iterace: ik 1  ik   k  , kde
U n  RI U  0
20 I k2 10 I k  10
f
je oprava pro k+1 krok.

f
40 I k  10
Jako počáteční odhad (nultou iteraci) volíme např. U/R = 1 A.
20 I 2  10 I 10  0
Iterační funkce:
f  20 I 2  10 I 10
Derivace:
df
f 
 40 I  10
dI
k   
k
0
1
2
3
I(k)
1
0,6
0,5059
0,5000
ε(k)
-0,4
-0,0941
-0,0059
-2,3∙10
Pro dostatečnou přesnost stačí 3 iterační kroky.
Proud obvodem je I = 0,5000 A.
4
-5
0,5000
-3,5∙10-10
10 Nelineární obvody
43
Příklad 10.9
Určete napětí Ud na křemíkové diodě. Charakteristika diody
je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme
hodnotu Ud v rozsahu 0,6 - 0,7 V. Použijte iterační metodu
půlení intervalu, řešte s chybou pod 1 mV.
R
U
I
Ud
U
U  5 V, R  150 
I d  2 1012 e38U d
Řešení:
Podle II. K.z.:
U d  RI U  0 , U d  3 1010 e38U d  5  0 .
Iterační funkce je f U d   U d  3 1010 e38U d  5 , počáteční interval a = 0,6 V a b = 0,7 V.
a b
. Při následující iteraci se upraví
2
interval podle toho, ve kterém leží hledaný kořen iterační rovnice. Iterace se ukončí, když
ba
chyba  k  
klesne pod zadanou hodnotu.
2
Odhad hodnoty je dán průměrem (půlením) u k  
f(b)
ε
 11,65276
102,6928
0,05
 1,813925
11,65276
0,025
 1,813925
0,0125
 0,499317
1,813925
0,00625
-0,5387
-0,05029
 0,499317
0,003125
0,61875
-0,05029
 0,216406
0,499317
0,001562
0,617188
-0,05029
0,081092
0,216406
0,000781
k
a
u(k)
b
f(a)
0
0,6
0,65
0,7
-2,00649
1
0,6
0,625
0,65
-2,00649
2
0,6
0,6125
0,625
-2,00649
3
0,6125
0,61875
0,625
-0,5387
4
0,6125
0,615625
0,61875
5
0,615625
0,617188
6
0,615625
0,616406
f(u(k))
-0,5387
Napětí na diodě je Ud = (616,4±0,8) mV
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 10.10
Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu
z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = 10sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena
rovnicí i(t) = 0,3u2(t)+2u(t).
i(t)
uz(t)
Pomůcka: sin 2    0,5 1 cos 2 
Výsledek: i t   15  20sin t  15cos 2t  .
Amplitudy harmonických složek proudu jsou: I0 = 15 A, I1 = 20 A a I2 = 15 A.
u(t)
44
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příklad 10.11
Určete kvadratický interpolační polynom ia  a0  a1u  a2u 2 , který aproximuje charakteristiku nelineárního prvku v bodech uvedených v tabulce. Extrapolujte pomocí vypočtené
aproximační funkce chybějící proud prvkem pro napětí 0,7 V. Pro tučně vyznačený pracovní
bod určete statický a dynamický odpor nelineárního prvku.
u (V)
0,1
0,2
0,45
i (mA)
0,1
0,35
0,85
Výsledky:
0,7
ia  0,1786  2,929u 1, 429u 2  mA ,
i u  0, 7 V   1,171 mA ,
Rs 0, 2  0,571  , Rd 0, 2  0, 4242 
Příklad 10.12
Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Metodou nejmenších čtverců proveďte aproximaci charakteristiky přímkou.
u (V)
0,6
0,625
0,65
0,675
i (A)
0,02
0,15
0,4
0,8
Výsledek: ia  10,36  u  6, 262 A .
Příklad 10.13
Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod 0,65 V±0,05 V.
u (V)
0,20
0,40
0,50
0,55
0,60
0,625
0,65
0,675
0,70
i (A)
0
0
0,0005
0,004
0,02
0,20
0,45
0,60
1,0
Výsledek: ia  4, 22  21, 4 u  24 u 2  A
Příklad 10.14
Určete napětí Ud na křemíkové diodě. Charakteristika diody
je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme
hodnotu Ud asi 0,7 V. Použijte Newtonovu iterační metodu,
řešte s chybou pod 1 mV.
U  10 V, R  50 
I d  5 1012 e38U d
Výsledek: U d  0, 6407 V
R
U
U
I
Ud
10 Nelineární obvody
45
Příklad 10.15
Předchozí zadání (Příklad 10.14) řešte pomocí metody půlení intervalu pro počáteční odhad
0,6 - 0,7 V.
Výsledek: U d  0, 6407 V
Příklad 10.16
Napětí na výstupu nelineárního obvodu lze popsat rovnicí U 3  5 U  0 . Vypočtěte hodnotu napětí U s přesností lepší než 0,5 %. Použijte Newtonovu iterační metodu s počátečním
odhadem U 0  3 V .
Výsledek: U  2, 2365 V .
Příklad 10.17
Grafickou metodou určete pracovní bod (Uz, Iz) a ztrátový výkon
diody v zatíženém stabilizátoru napětí. Charakteristiku použité
diody v závěrném směru udává graf.
R1
U
Iz
D
U
U2
R2
U  12 V, R1  33 , R2  470 
Nápověda: Náhraďte lineární část obvodu dle Thèveninovy věty.
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
u (V)
0
0
i (A)
-0.1
-0.2
ZD9V2
-0.3
-0.4
-0.5
Výsledky: Pracovní bod stabilizační diody je (9,15 V, 65 mA). Ztrátový výkon diody je
PD  U 2 I z  9,15  0, 065  0,595 W
46
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
11 Magnetické obvody
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 11.1
Dlouhým přímým vodičem protéká proud
I= 10 A. Určete velikost intenzity magnetického pole H ve vzdálenosti 1 m od vodiče.
I
l
r
H
Řešení:
Výchozí vztah
(Ampérův zákon celkového proudu):
Aplikace vztahu pro dané zadání:
(vektor H je všude rovnoběžný s dl)
 H  d  I

H  2πr  I
 H
I
10

 1,592 A/m
2πr 2π 1
Příklad 11.2
Na prstenci z transformátorových plechů průřezu S = 600 mm2 je vinutí s N = 200 závity.
Střední průměr prstence je Ds = 220 mm. Jak
velký proud I musí vinutím procházet, aby
vznikl magnetický tok Φ = 0,6 mWb?
I
N
Ds
Řešení:
Magnetické pole v prstenci lze považovat
přibližně za homogenní. Indukce v jádře je:
Bf 
Pro hodnotu Bf = 1 T zjistíme z magnetizační křivky transformátorových plechů (příloha na konci kapitoly) hodnotu intenzity:
Hf 
 330 A/m
Z Ampérova zákona lze psát pro intenzitu
pole ve feromagnetiku:
 H  d   I
Střední délka siločáry je:
 s  πDs  0, 6912 m
Hledaný proud je:
 0, 6 103

1T
S
6 104
 H f  s  NI

I
H f  s 330  0, 6912

 1,14 A
N
200
S
11 Magnetické obvody
47
Příklad 11.3
Cívka je navinuta na toroidním jádře, má
N = 200 závitů a protéká jí proud I = 1 A. Určete magnetický tok jádrem Φ a indukčnost cívky
L. Střední průměr toroidu Ds = 120 mm, průřez
magnetického obvodu S = 4 cm2. Rozptylové
toky zanedbejte.
I
Ds
N
F
Magnetické vlastnosti materiálu toroidu
Hf (A/m) 390 530 700 900
Bf (T)
0,6
0,7
0,8
0,9
Řešení:
Náhradní obvod obsahuje zdroj magnetického
napětí U mn  NI a magnetický odpor obvodu.
Magnetický odpor je tvořen feromagnetikem a
je proto nelineární. Úbytek magnetického napětí na odporu je U mf  H f  s .
Φ
Umf
Rmf
Umn
Platí obdoba II. K.z. – součet magnetických
U mn  U mf  NI  H f  s
napětí v obvodu je roven nule:
Střední délka siločáry:
 s  πDs  0,377 m
Intenzita magnetického pole v jádře je
Hf 
Tomu, odpovídá magnetická indukce v jádře
(odečteno z tabulky):
Bf  0, 7 T pro H f  530 A/m
Magnetický tok obvodem je:
  Bf  S  0, 7  4 104  280 μWb
Indukčnost cívky je podíl spřaženého magnetického toku Ψ = NΦ k proudu I:
L
Um
NI
200


 530 A/m
s
πDs 0,377
 N  200  280 106


 56 mH
I
I
1
Příklad 11.4
Prstenec z feromagnetického materiálu má
průměr D = 90 mm, plocha průřezu jádra je
S = 10×10 mm.
Ve
vzduchové
mezeře
lv = 1 mm požadujeme indukci Bv = 0,5 T. Vypočtěte potřebný počet závitů budicí cívky při
proudu I = 5 A a indukčnost cívky L pro tento
proud. Rozptylové toky zanedbejte.
Magnetické vlastnosti materiálu prstence
Bf (T)
0,3
0,5
0,7
0,9
Hf (A/m) 66
109 167 262
S
I
N
D
v
48
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Řešení:
Náhradní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí U mn  NI , magnetický odpor feromagnetika a
magnetický odpor vzduchové mezery.
Průřez S a stejně tak i magnetický tok jsou konstantní po celé délce siločáry,   Bf  S  Bv  S .
Z toho plyne, že indukce v jádře je shodná s indukcí
v mezeře, Bf  Bv .
Střední délka siločáry v magnetiku:
Umf
Umn
Φ
Umv
Rmf
Rmv
Ds  D 10  90 10  80 mm
 f  πDs   v  0, 2503 m
U mn  U mf  U mv
Platí II. K. z.:
Intenzita magnetického pole v jádře pro indukci
0,5 T
se
určí
pomocí
tabulky,
H f  Bf  0,5 T   109 A/m . Z předešlé rovnice
dostaneme:
5  N  109  0, 2503 
a z toho potřebný počet závitů budicí cívky:
N  85, 03  85
NI  H f  f  H v  v  H f  f 
Bv
v
0
0,5
1103
7
4π 10
3 2
N  N  Bv  S 85  0,5  10 10
Indukčnost této cívky pro I = 5 A je: L 


I
I
5

 850 μH
Příklad 11.5
Vypočtěte velikost magnetovacího proudu I potřebnou pro vytvoření magnetické indukce
ve vzduchové mezeře Bv = 0,5 T. Jádro je složeno z dynamových plechů s činitelem plnění
kp = 0,9 (činitel plnění jádra udává poměr průřezu samotného feromagnetika v jádře k celkovému průřezu jádra, tj. včetně izolace mezi plechy). Počet závitů cívky je N = 1000.
Rozměry jádra:
h
t
a  300 mm
t/2
b  200 mm
t  20 mm
h  30 mm
 v  5 mm
t
I
s
v
a
N
Náhradní obvod:
Umf
Umn
Φ
Rmf
Rmv
b
Umv
11 Magnetické obvody
49
Řešení:
Předpokládáme homogenní magnetické pole.
Pro sériový magnetický obvod platí (se započtením činitele plnění jádra):
  f   v  Bf  S  kp  Bv  S  konst.
Protože je průřez magnetického obvodu po celé
délce siločáry konstantní, je i indukce konstantní:
Bf  Bv / kp  0,5 / 0,9  0,556 T
Střední siločáru geometricky tvoří čtyři úsečky a čtyři čtvrtkružnice v rozích. Délka střední
siločáry ve feromagnetiku je tedy:
2π t / 2
 2 a  b  4t    t   v 
4
 2 0,3  0, 2  4  0, 02  0, 02π  0, 005  0,8978 m
 f  2 a  2t   2 b  2t    v  4 
Pro magnetické napětí lze psát:
U mn  NI  U mf  U mv 
 Hf  f  H v v  Hf  f 
Magnetické napětí na vzduchové mezeře je:
U mv 
Bv
v
0
Bv
0,5
5 103  1989 A
v 
7
0
4π 10
Intenzita magnetického pole v jádře (odečtená
z grafu magnetizační charakteristiky pro dynamové plechy v příloze na konci kapitoly) je:
H f  Bf  0,556 T   100 A/m
Magnetické napětí na feromagnetiku je:
U mf  H f  f  100  0,8978  89, 78 A
Potřebný magnetovací proud je:
I
U mf  U mv 89, 78  1989

 2, 08 A
N
1000
Příklad 11.6
Cívka elektromagnetu s N = 100 závitů je protékána proudem I = 100 mA. Jádro i kotva mají
stejný průřez S = 2,5 cm2. Střední délka magnetické siločáry v jádru je lj = 4 cm, v kotvě
lk = 2 cm. Délka vzduchové mezery je
lv = 0,05 mm. Relativní permeabilitu materiálu
jádra µrj = 500 a relativní permeabilitu materiálu kotvy µrk = 300 pokládáme za konstantní
(magnetický obvod je linearizován). Nakreslete
náhradní schéma obvodu, vypočtěte magnetická napětí na jednotlivých částech magnetického
obvodu a určete indukčnost cívky.
Magnetický odpor jádra:
Rmj 
j
0 rj S
I
N
j
v

k
v
4 102
 254648 H -1
4π 107  500  2,5 104
50
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Magnetický odpor kotvy:
Magnetický odpor vzduchové
mezery:
Magnetické napětí zdroje:
Magnetický indukční tok:
Umj
Umn
Umk
Rmk
Indukčnost cívky je:
Rmv 
2 v
2  0, 05 103

 318310 H -1
0 S 4π 107  2,5 104
U mn  N  I  100  0,1  10 A

U mn
10

 12, 736 μWb
Rmj  Rmk  Rmv 785164
U mj   Rmj  12, 736 106  254648  3, 243 A
Umv
Rmv
k
2 102

 212207 H -1
7
4
0 rk S 4π 10  300  2,5 10
Magnetická napětí na jednotlivých částech obvodu:
Φ
Rmj
Rmk 
U mk   Rmk  12, 736 106  212207  2, 703 A
U mv   Rmv  12, 736 106  318310  4, 054 A
Zkouška: U mn  U mj  U mk  U mv , 10 A  10 A
L
N  100 12, 736 106

 12, 74 mH
I
0,1
Příklad 11.7
Zkratový proud I1 = I2 = 40 kA (vzájemně
opačného směru) protéká dvěma paralelně uloženými vodiči vzdálenými od sebe r = 5 cm.
Jaká působí síla F na každý metr vodičů?
I1
I2
Řešení:
Fyzikální podstata silových účinků proudů
H1
F
I1
Výpočet magnetické indukce způsobené jedním
vodičem v místě druhého vodiče
Výpočet síly, která působí na druhý vodič
s proudem I2 v poli s indukcí B1 (vyvolané prvním vodičem) pro l = 1 m:
H1 
F
r
I1
2πr
I2
 B1  0 H1 
F  B1 I 2  
0 I1
2πr
0 I1
 I 2

I2  0
2πr
2π r
2

4π 107 40 103  1
2π  5 102
 6400 N
11 Magnetické obvody
51
Příklad 11.8
Prstencové jádro cívky z elektrotechnické
oceli E11 je složeno ze dvou přiléhajících
částí. Průřez prstence je S = 4 cm2, jeho střední průměr je Ds = 0,2 m a cívkou, která má
N = 100 závitů, protéká proud I = 5 A. Jak
velkou silou jsou drženy obě části pohromadě?
I
S
Ds
N
Řešení:
Intenzita magnetického pole v jádře
z Ampérova zákona celkového proudu:
je
Střední délka siločáry:
Výpočet intenzity magnetického pole:
U m  NI  H f  f
 Hf 
NI
f
 f  πDs  π  0, 2  0, 6283 m
Hf 
NI 100  5

 796 A/m
f
0, 6283
Z magnetizační křivky oceli E11 (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu magnetické indukce Bf  H f  769 A/m  1,38 T .
Výpočet síly (plochu průřezu je třeba započíst
dvakrát):
F 2
Bf2 S 1,382  4 104


 606 N
20
4π 107
Příklad 11.9
I
80
N
F
10
310
Elektromagnet z elektrotechnické oceli E11
zadaných rozměrů (v mm) má přitáhnout kotvu ze vzdálenosti 1 cm silou F = 5600 N. Jak
velký proud musí protékat cívkou, má–li cívka N = 500 závitů. Uvažujte rozšíření průřezu
magnetického pole ve vzduchové mezeře
o 10 %.
Řešení:
Průřez ve vzduchové mezeře je o 10 % větší:
S v  1,1 Sf  1,1 0, 08  0, 08  70, 4 104 m 2
350
80
52
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Pro vytvoření zadané síly je potřeba magnetické indukce ve vzduchu:
(Plochu mezery je třeba započítat dvakrát.)
F
Bv 
Z rovnosti magnetických toků ve feromagnetiku a ve vzduchové mezeře odvodíme magnetickou indukci v jádře:
Bv2 2 S v
20
0 F
4π 107  5600


 1T
Sv
70, 4 104
  Bf  Sf  Bv  S v  konst.
Bf 
Bv  S v Bv 1,1Sf

 1,1Bv  1,1 T
Sf
Sf
Z magnetizační křivky oceli E11 (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu intenzity magnetického pole H f  Bf  1,1 T   300 A/m .
Střední délka siločáry ve vzduchu:
 v  2  0, 01  0, 02 m
Střední délka siločáry ve feromagnetiku:
 f  2 0,31 0, 08  0,35  0, 08   v  0,98 m
Potřebné magnetické napětí zdroje je
Bv
dáno součtem magnetických napětí na U mn  NI  U mf  U mv  H f  f    v 
0
feromagnetiku a na vzduchové mezeře:
1
0, 02  16209 A
 300  0,98 
(všiměte si zanedbatelně malého Umf)
4π 107
Pro vytvoření přítahu 5600 N je třeba
proud
I
U mn 16209

 32, 4 A
N
500
Příklad 11.10
Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera
délky lv a s plochou Sv. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky lp a plochy
Sp. Určete magnetickou indukci ve vzduchové
mezeře při teplotě 20 ºC. Magnetizační křivka
použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové
toky zanedbejte.
S v  3 cm 2 ,  v  0,5 cm
S p  8 cm 2 ,  p  3 cm
Sp
p
PM
Sv
v
11 Magnetické obvody
Anizotropní ferit
53
Bp ≅ 250 mT
Hp ≅ 85 kA/m
Řešení:
Při zanedbání rozptylových toků platí:
 p   v  Bp  S p  Bv  S v  konst.
Bv 
Při zanedbání odporu nástavců platí:
Z průsečíku zatěžovací přímky obvodu a charakteristiky zdroje magnetického napětí (feritu) zjistíme pracovní bod Bp ≅ 250 mT,
Hp ≅ 85 kA/m. Z toho pak indukce v mezeře:
Příklad 11.11
Sv

8 102
Bp
3 102
U mn  H p  p  U mv 
Bv 
Spojením obou rovnic pro Bv dostaneme rovnici zatěžovací přímky magnetického obvodu,
kterou zakreslíme do grafu BH charakteristiky
feritu. Určíme např. dva body: B = 0; H = 0 a
B = 0,2827; H = 100 kA/m, viz graf.
Bp  S p
0 H p  p
v
Bv
 v , z toho
0
 7,5398 10-6 H p
8
Bp  7,5398 10-6 H p
3
Bp  2,8274 10-6 H p
8
Bv  Bp  0, 67 T
3
54
Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera
délky lv a s plochou Sv. V mezeře je třeba vytvořit pole s indukcí Bv = 0,5 T. Zdrojem pole
je permanentní magnet s optimálním pracovním bodem Bp ≅ 230 mT, Hp ≅ 90 kA/m.
Určete potřebnou výšku lp a plochu Sp permanentního magnetu. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte.
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Sp
p
PM
Sv
v
S v  5 cm 2 ,  v  0, 6 cm
Při zanedbání rozptylových toků platí:
 p   v  Bp  S p  Bv  S v  konst.
Z toho potřebná plocha PM:
Sp 
Při zanedbání odporu nástavců platí:
Potřebná výška PM:
Bv  S v 0,5  5 104

 10,87 cm 2
Bp
0, 23
U mn  H p  p  U mv 
p 
Bv
v
0
Bv  v
0,5  0, 6 102

 2, 653 cm
0 H p 4π 107  90 103
NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 11.12
Určete intenzitu a indukci magnetického
pole, magnetický tok a indukčnost cívky
navinuté na litinovém prstenci o kruhovém
průřezu s průměrem d =4 cm. Střední průměr prstence je Ds = 15 cm. Vinutí má
N = 220 závitů a budicí proud je I = 1 A.
d
I
N
Ds
Výsledky: H f  467 A, Bf  0,38 T,   478 μWb, L  105 mH
Příklad 11.13
Φ
11 Magnetické obvody
55
Jak velký proud musí protékat budicí cívkou,
která má N = 100 závitů, aby vznikl
v magnetickém obvodu tok Φ = 1 mWb.
Toroid vyrobený z dynamových plechů má
průřez jádra S = 1·10-3 m2 a střední průměr
Ds = 0,2 m.
I
Ds
N
Φ
Výsledek: I  1, 7 A
Příklad 11.14
I
300
Jádro z transformátorových plechů má rozměry dle obrázku. Jaký počet závitů N musí
mít magnetovací vinutí, má-li jádrem procházet magnetický tok Φ = 2 mWb při budicím proudu I = 2,2 A? Dále určete magnetický odpor Rm obvodu a indukčnost budicího vinutí L.
N
60
50
400
Výsledky: N  90, Rm  99000 H -1 , L  81,8 mH
Příklad 11.15
Feromagnetické jádro má tvar prstence (vlastnosti
materiálu
popisuje
tabulka)
o
průměru
D = 250 mm, průměr jádra je d = 50 mm.
a) Vypočtěte potřebný počet závitů N1 tak, aby
proudem I = 5A vznikla v jádru indukce
Bf = 0,7 T.
b) V jádru byla vytvořena vzduchová mezera
lv = 1 mm. Vypočtěte potřebný počet závitů
budicího vinutí N2 tak, aby indukce v jádru zůstala stejná.
Rozptylové toky zanedbejte.
Magnetické vlastnosti materiálu prstence
Bf (T)
0,3
0,5
0,7
0,9
Hf (A/m) 66
109 167 262
Výsledky: N1  21, N1  132
d
I
N
D
v
56
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příklad 11.16
Na toroidním jádře z ocelolitiny je navinuta cívka
N = 200 záv. Průměr toroidu je D = 120 mm, jeho
průřez má průměr d = 20 mm. V obvodu je vzduchová mezera lv = 1,2 mm, ve které je indukce
Bv = 0,8 T.
d
I
D
N
a) Vypočítejte magnetická napětí na feromagnetickém jádru Umf a na vzduchové mezeře Umv.
v
b) Vypočtěte budicí proud I cívky.
Rozptylové toky zanedbejte.
Výsledky: U mf  87,96 A, U mv  763,9 A, I  4, 26 A
Příklad 11.17
Určete magnetické napětí potřebné k vytvoření
magnetického pole s indukcí Bv = 1 T ve vzduchové mezeře. Průřez ocelového jádra (ocel E11)
je S = 16 cm2, délka vzduchové mezery
lv = 0,5 mm, délka střední siločáry v jádře je
lf = 1,1 m.
N
I
f
v
S
Výsledek: U mf  N  I  662 A
Příklad 11.18
Elektromagnet má jádro zadaných rozměrů
(v mm) z materiálu s velkou permeabilitou.
Cívka má 1200 závitů a je napájena proudem
4 A. Jak velká přítažná síla působí na kotvu?
N
50
3
300
Magnetický odpor jádra je zanedbatelný.
Rozšíření průřezu magnetického pole ve
vzduchové mezeře i rozptylové toky neuvažujte.
I
400
Výsledek: F  2011 N
Příklad 11.19
50
11 Magnetické obvody
Mezi pólovými nástavci permanentního magnetu je vzduchová mezera délky lv a s plochou
Sv. Určete potřebnou plochu Sp permanentního magnetu, má-li být magnetická indukce ve
vzduchové mezeře při teplotě 20 ºC
Bv = 0,5 T. Magnetizační křivka použitého
anizotropního feritu viz graf v příloze. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové
toky zanedbejte.
57
Sp
p
S v  3 cm 2 ,  p  20 mm,  v  4 mm
Výsledek: S p  3,125 cm 2 , plocha každého ze dvou PM.
PM
Sv
v
PM
58
Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení
Příloha – BH charakteristiky
Magnetizační charakteristika některých měkkých feromagnetických materiálů
1,5
dynamový plech
1,4
1,3
1,2
transformátorový
plech (4% Si)
ocel E11
1,1
1
ocelolitina
0,9
B (T)
0,8
0,7
litina
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
H (A/m)
Magnetizační charakteristika tvrdého anizotropního feritu (permanentní magnet)
Anizotropní ferit
1000
0 Příloha - Program LinRov
59
Příloha - Program LinRov
LinRov je jednoduchý program k řešení soustav lineárních rovnic 1. až 5. řádu.
Po spuštění programu se objeví okno kalkulátoru představující maticový zápis soustavy rovnic:
K⋅X =
Y,
kde K je matice koeficientů, X je vektor hledaných neznámých a Y je vektor pravých stran, tj.
budicích veličin.
Vlastní výpočet soustavy lineárních rovnic zahájíme volbou řádu soustavy rovnic (1 až 5).
Zadávání prvků matice je možné výběrem příslušného prvku (kliknutím myší nebo sekvenčně
klávesou Tab.)
• Hodnoty se zobrazují podle potřeby ve standardním či vědeckém tvaru.
• Při zadávání čísel se akceptuje desetinná čárka nebo tečka (podle nastavení národního
prostředí Windows). Je možné vkládat čísla i ve vědeckém tvaru (např. 1,6625E-5).
• Obvykle se bude zadávat diagonálně symetrická matice K. Pak stačí zadat hodnoty
prvků horního trojúhelníku matice a tlačítkem Kopíruj zkopírovat hodnoty do dolního
trojúhelníku.
• Celou rovnici je možno smazat tlačítkem Vymaž.
Výpočet se provede stiskem tlačítka Výpočet, zobrazí se i determinanty použitelné pro Cramerovo pravidlo. Program hlídá singularitu matice soustavy.