9 Využití tabulkového procesoru Open.Office.org Calc při počítání s

St u d ijn í
9
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Využití tabulkového procesoru Open.Office.org Calc
při počítání s maticemi a determinanty
Tato kapitola je určena především pro ty čtenáře, kteří preferují nekomerční balík kancelářských
programů Open.Office. Ten si můžete zdarma stáhnout z http://www.openoffice.cz/stahnout. Osobně jej
také upřednostňuji.
Nebudu se zabývat součtem matic a k-násobkem matice, protože způsob výpočtu je stejný jako
v konkurenčním Excelu. Přejděme hned k násobení matic.
9.1 Součin matic
Průvodce funkcemi nejrychleji vyvoláte tlačítkem
mezi editačním řádkem a polem názvů. Druhou
možností, jak jej vyvoláte je Vložit/Funkce (Ctrl+F2). V Calc jsou funkce kategorizovány obdobně jako
v Excelu., s tím rozdílem, že zde najdete speciálně kategorii Matice (viz. obr).
Zvolíme tuto kategorii a nabídne se nám výčet funkcí nad maticemi a determinanty. Násobení matic
odpovídá funkce MMULT(matice,matice). Již zde si můžete všimnout, že v levém dolním rohu je
checkbox (zaškrtávací políčko) Matice. Toto zvýhodňuje ty, kteří neumějí určit typ výsledné matice.
Připomínám, že v Excelu musíte nejdříve vybrat oblast odpovídající vynásobené matici a teprve potom
vyvolat průvodce funkcí. Další „excelackou zradou“ je ona již zmiňovaná klávesová zkratka Ctrl+Shift5.
Toho všeho jste v Calc ušetřeni. Stačí jen zaškrtnout checkbox Matice.
5
Viz. strana 18 vpravo dole.
20/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
V prvním dialogovém okně klikneme na tlačítko Další, abychom přešli do druhého, kde do polí
matice vybereme matice, které násobíme (shora dolů v pořadí, jak matice násobíme). Pokud by matice
byly skryty dialogovým oknem, pomůžeme si tlačítkem
. Pokud ne, postačí okno přesunout
potažením za titulkovou lištu a následně vybrat jednu a pak druhou matici.
Následující obrázek názorně demonstruje, jak vybrat matice, které chceme násobit.
Všimněte si, jak se
funkce zapisuje
do editačního řádku
MMULT(B3:E5,
H3:I6).
Máme-li obě
matice vybrané,
stačí potvrdit
kliknutím na
tlačítko OK. Prvek
(1,1) výsledné
matice se vloží
do vybrané buňky.
V našem případě je
to buňka C8.
21/29
St u d ijn í
9.2
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Další funkce pro počítání s maticemi
a determinanty v Open.Office.Org Calc
V předchozí kapitole jste mohli názorně vidět, jak maticové funkce fungují. Ty zbyle již ponechám
na čtenáři. Připomínám jen, že pokud má být výsledkem matice, je třeba zaškrtnout checkbox v levém
dolním rohu průvodce funkcemi. Na závěr přikládám popis těch nejdůležitějších maticových funkcí:
Název funkce
Syntaxe
Popis
MDETERM
MDETERM(matice)
Vrací determinant matice.
MINVERSE
MINVERSE(matice)
Vrací inverzní matici k zadané.
MMULT
MMULT(matice,matice)
Vrací součin matic.
MUNIT
MUNIT(rozměry)
TRANSPOSE
TRANSPOSE(matice)
Vrací jednotkou matici určeného
rozměru.
Provede záměnu řádků a sloupců
matice.
Příklady: Řešte v tabulkovém procesoru. Zkuste Excel i Calc, ať se můžete rozhodnout, který Vám
bude více vyhovovat.
1. Zopakujte si všechny důležité typy matic. Dále určete matice inverzní k těmto maticím.
 1 − 4 − 3
A =  1 − 5 − 3
− 1
6
4
 − 18 − 16 − 11
 −6 −6 −4
B=
 − 11 − 10 − 7

−1 −1
− 14
12
5
8

1
2. Pojďme se nyní zabývat početními operacemi s maticemi. Nejdříve si ukážeme, jak se matice
v Excelu sčítají. Sečtěte matice A, B a matice C, D.
 1 − 4 − 3
A =  1 − 5 − 3
− 1
6
4
 11
 −5

C = − 23

 74
− 52
− 10
6
− 18
− 41
− 32
2
9
53

85
10
3
B =  0
 5
3
6
4
− 4
1 
2 
2
 25 − 32
− 22 − 6 − 9


C =  15
61 − 20


42 − 83
 − 74
 − 51
30 − 13
3. Vypočtěte k násobek matice A, jestliže k ∈ {− 3, − 2, 0, 5} . Využijte k tomu absolutní adresace buňky.
22/29
St u d ijn í


A=



ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
3 − 4 − 3
6
1
1
4
2
1

3
3
2
3
0
5
2
4. Na maticích A, B z třetího příkladu ověřte, zda je operace násobení matic komutativní.
5. Vynásobte matice z prvního příkladu s příslušnou inverzní maticí. Co byste řekli o výsledné matici?
6. Určete Q( A) pro danou matici A a polynom Q( X ) . Číslo 1 v kvadratickém trojčlenu považujte za
jednotkovou matici E .
1 1
 2

A= 3
1 2
Q( X ) = x 2 − x − 1
 1 − 1 0
7. Vypočtěte determinanty matic A, B . Řešte dvěma způsoby - vzorcem a přes průvodce funkcí.
2
3
4
 1

5
3
7 10
 4 −3
 2
 1 4


B =  3 −2
8
A=
C= 3
5 11 16


 3 5
 1 − 7 − 5
7
7
 2 −7
 1
4
5
3
5
13
21

2
10
8. Vypočtěte determinanty následujících matic a pozorujte jejich hodnoty v závislosti na řádcích, popř.
prvcích na hlavní diagonále.
0
0
 0

A=  3 −2
8
 1 − 7 − 5
 3 −2
B =  1
3
 3 − 2
4
2
4
 3 −2
D =  1
3
 2 − 4
 2 −4
E =  1
3
 3 − 2
6
2
4
4
2
6
9. Řešte následující soustavu užitím:
a) Cramerova pravidla,
b) Maticovou metodou.
x1
+
x2
+
x3
=
x1
− x1
−
+
x2
x2
−
+
x3
2 x3
=
=
 3
C =  1
 − 9
−2
4
3
2
6 − 12
0
0
 1

F =  0 −3
0
 0
0 − 5
6
0
1
23/29
St u d ijn í
10
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Užití determinantu ve vektorové algebře
a analytické geometrii
Užití determinantu ve vektorové algebře a analytické geometrii je značné a dle mého soudu nezbytně
nutné. V mnoha případech usnadňuje složité numerické výpočty a eliminuje vykonstruované algoritmy
známé z mnoha středoškolských učebnic matematiky. Ano, zasvěcený čtenář by mohl namítnout, že
maticový počet není standardní náplní gymnaziální látky, avšak řešení je nasnadě.
V úvodní sekci vektorové algebry stačí zavést pojem matice, jakožto schéma vzniknuvší „organizací“
čísel do řádků a sloupců. Následně definovat determinant, jakožto číslo příslušející pouze čtvercovým
maticím. Omezil bych se pouze na determinant druhého a třetího řádu. Pro výpočet determinantu druhého
řádu doporučuji aplikovat Sarrusovo pravidlo6, determinant matice třetího řádu je vhodné počítat
rozvojem prvního7 řádku. Obecný vzorec může zůstat studentům utajen.
Tento „matematický aparát“ je pro naše kapitoly naprosto dostačující. A jaké kapitoly mám vlastně
na mysli?
Jsou jimi:
vektorový součin,
smíšený součin,
obecná rovnice roviny
vzájemná poloha dvou přímek v prostoru.
Podrobný výklad výše zmiňovaných kapitol by jistě vystačil na další studijní materiál, a proto se jimi
budu zabývat jen okrajově a spíše zdůrazním aplikace maticového počtu – konkrétně determinantu.
Ostatně tento je předmětem našeho studia, ne?
10.1
Vektorový součin
Vektorový součin je v matematice označení binární operace mezi dvěma nenulovými vektory
v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu
skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár = číslo).
Definice:
r r r
Nechť u , v ≠ o a ϕ je úhel, jež tyto dva vektory
r r
svírají. Pak vektorovým součinem vektorů u , v
r
(v tomto pořadí) rozumíme vektor t , který má tyto
vlastnosti:
1. směr vektoru je kolmý na rovinu, do níž lze
r r
vektory u , v umístit,
r r r
r
2. velikost vektoru t se vypočítá t = u ⋅ v ⋅ sin ϕ ,
r
3. orientace vektoru t se řídí pravidlem pravé ruky8.
r r
r r
Vektorovým součinem vektorů u , v označíme u × v
6
Viz. kapitola 7.2 Výpočet determinantu
Výhradně prvního řádku (důvody budou vysvětleny v následující kapitole)
r
r r
8
Tj. umístíme-li malíkovou hranu pravé ruky do roviny určené vektory u , v tak, že prsty ukazují směr natočení vektoru u
r
r
k vektoru v , pak vztyčený palec určuje orientaci vektoru t .
24/29
7
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
r
A nyní, jak určíme souřadnice vektoru t .
r
r
r
r r
r r
Nechť je u = (u1 , u 2 , u3 ) , v = (v1 , v2 , v3 ) a t = (t1 , t 2 , t 3 ) = u × v . Vektorový součin vektorů u , v lze určit
pomocí determinantu takto:
r
t
t1 t 2
r
u = u1 u 2
r
v
v1 v2
t1 =
t3
u2
u3
v2 v3
u1 u3
= u 2 v3 − u3v2
u3 ⇒ t 2 = −
= −(u1v3 − u3v1 )
v1 v3
v3
u1 u 2
t3 =
= u1v2 − u 2 v1
v1 v2
r
t = (t1 , t 2 , t 3 ) = (u 2 v3 − u3v2 , u3v1 − u1v3 , u1v2 − u 2 v1 )
Jednotlivé souřadnice získáme ze subdeterminantů vyskytujících se ve vzorci pro výpočet
determinantu podle prvků 1. řádku. Jednoduše řečeno „škrtneme“ řádek a sloupec, v němž leží prvek a11 ,
a tak získáme subdeterminant pro výpočet první souřadnice vektorového součinu. U zbylých souřadnic
postupujeme analogicky, jen u druhé souřadnice musíme subdeterminantu předřadit záporné znaménko9.
Geometrický význam vektorového součinu
Věta:
r r
Nechť je dán rovnoběžník ABDC v prostoru. Považujeme-li strany AB a AC za umístění vektorů u , v ,
r r
pak obsah S rovnoběžníku ABDC lze vyjádřit rovností S = u × v , obsah trojúhelníku ABC
S=
1 r r
u ×v
2
Důkaz:
Vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku
1
S = c ⋅ vc
(1)
2
Z pravoúhlého trojúhelníku APC lze výšku na stranu c určit ze vztahu:
vc = b ⋅ sin α
(2)
(2) 
→ (1)
1
S = c ⋅ b ⋅ sin α
2
dále pak
r
u = B− A⇒
r
v =C − A⇒
(3)
r
u =c
r
v =b
(4)
(5)
(4) (5) 
→ (3) a α nahradíme ϕ
1 r r
S = u ⋅ v ⋅ sin ϕ
(6)
2
r r
r r
Z definice vektorového součinu u × v víme, že jeho velikost je rovna u ⋅ v ⋅ sin ϕ , proto platí dokázaný
vztah pro obsah trojúhelníku ABC . Obsah rovnoběžníku ABDC už je pouhým dvojnásobkem.
S ABC =
9
1 r r
u×v
2
r r
S ABDC = u × v
A proč? Vše je zřejmé ze vzorce pro výpočet determinantu podle prvků r-tého řádku (viz. kapitola 7.2 „Výpočet
determinantu“)
25/29
St u d ijn í
10.2
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Smíšený součin
Věta:
Nechť je dán rovnoběžnostěn ABCDA´B´C´D´ . Považujeme-li
r r r
hrany AB , AD , AA´ za umístění vektorů u , v , w , pak
pro objem rovnoběžnostěnu platí:
r r r
V = (u × v ) ⋅ w
Důkaz:
Z předchozí kapitoly víme, že obsah S rovnoběžníku ABCD
lze vyjádřit vektorovým součinem. Pro obsah podstavy
rovnoběžnostěnu platí:
r r
S = u×v .
Na obrázku je přímka AP kolmá k oběma stěnám ABCD a A´B´C´D´ , tzn., že úsečka AP je výškou
rovnoběžnostěnu ( v ). Budeme ji počítat z pravoúhlého trojúhelníku ∆AA´P :
AP
r
r r r
v
cos ϕ =
= r ⇒ v = w ⋅ cos ϕ 10, kde ϕ je odchylka vektorů u × v , w .
AA´ w
Pak pro objem rovnoběžnostěnu platí:
r r r
r r r
V = S ⋅ v = u × v ⋅ w ⋅ cos ϕ = (u × v ) ⋅ w ⋅ cos ϕ
r r r
Výraz v absolutní hodnotě vyjadřuje velikost skalárního součinu11 vektorů (u × v ) , w . Pak tedy:
r r r
V = (u × v ) ⋅ w
Poznámka:
r r r
r r r
Součin (u × v ) ⋅ w se nazývá smíšený součin vektorů u , v , w . (v tomto pořadí). Z geometrického
významu je zřejmé, že platí:
(ur × vr ) ⋅ wr = (vr × wr ) ⋅ ur = (ur × wr ) ⋅ vr
A jak využíváme determinantu při výpočtu smíšeného součinu? Takto:
r
u
u1 u 2 u3
r r r r
(u × v ) ⋅ w = v = v1 v2 v3 ,
r
w w1 w2 w3
Dále platí:
Vrovnoběžnostěnu
r
u
u1
r r r
r
= (u × v ) ⋅ w = v = v1
r
w
w1
u2
u3
v2
w2
v3
w3
Závěr:
r r r
Objem rovnoběžnostěnu , jehož hrany reprezentují vektory u , v , w vypočítáme jako absolutní hodnotu
z determinantu sestaveného z těchto vektorů.
10
Počítáme výšku. Ta musí být kladné R-číslo, a proto je výraz
cos ϕ v absolutní hodnotě. Pro případ, že by ϕ ∈  π , π  .
2
11

r r n
Skalární součin dvou vektorů: u ⋅ v = ui vi
Σ
i =1
26/29