KTX Pro1

XXVI. ASR '2001 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26 - 27, 2001
Paper 75
Využití delta modelů pro seřízení analogových a
číslicových regulátorů
VÍTEČKOVÁ, Miluše
Doc. Ing., CSc.,
katedra ATŘ, FS VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu 15, 708 33 OstravaPoruba,
[email protected]
Abstrakt: Příspěvek je věnován jednotnému přístupu k seřizování analogových a číslicových
regulátorů typu PI a PID pro nekmitavé proporcionální regulované soustavy s dopravním
zpožděním. Přístup je v podstatě analytický a je založen na delta modelech a jim odpovídající
D-transformaci. Jeho výhodou je jednoduchost a možnost rychlého seřízení regulačního
obvodu při skokové změně polohy žádané veličiny nebo poruchové veličiny působící na
výstupu regulované soustavy pro požadovaný mezní nekmitavý regulační pochod nebo pro
požadovaný relativní překmit okolo 25 %.
Klíčová slova: dopravní zpoždění, seřízení regulátorů, delta modely
1 Úvod
Podle autorů Åström a Hägglund (1995) 95 % všech regulačních smyček využívá regulátorů
typu PI a PID. Z tohoto důvodu je těmto regulátorům v odborné literatuře věnována značná
pozornost. Cílem příspěvku je seznámit širokou odbornou veřejnost s původní jednoduchou
metodou seřizování analogových a číslicových regulátorů typu PI a PID pro nekmitavé
proporcionální regulované soustavy s dopravním zpožděním.
2 Delta modely a D-transformace
Delta modely nejčastěji vycházejí z relativní dopředné diference
x[( k + 1)T ] − x ( kT )
δx ( kT ) =
,
T
pro kterou platí
lim δx (kT ) = x& (kT ) ,
T →0
(1)
(2)
kde δ je operátor relativní dopředné diference (delta operátor), T – vzorkovací perioda, k –
relativní diskrétní čas (k = 0, 1, 2,…).
Při práci s delta modely je výhodné použití D-transformace, která je definována vztahy
(Middleton – Goodwin, 1990; Feuer - Goodwin, 1996)
∞
X ( d ) = D{x ( kT )} = T ∑ x( kT )(1 + dT ) −k ,
(3)
k =0
x ( kT ) = D −1{ X ( d )} =
1
X ( d )(1 − dT )k −1 d d ,
2πj C∫
(4)
kde x je originál, X – obraz, D a D −1 - operátor přímé a zpětné D-transformace, d –
komplexní proměnná v D-transformaci.
Uzavřená integrační cesta C leží uvnitř oblasti konvergence obrazu X(d) a obsahuje také jeho
všechny singulární body. Podmínky pro originál jsou stejné jako u Z-transformace.
-1-
Podrobnější informace lze nalézt např. v publikacích (Midleton - Goodwin 1990, Feuer Goodwin 1996, Mindeková 1996).
Mezi komplexními proměnnými, obrazy a přenosy platí jednoduché převodní vztahy:
komplexní proměnné
s = lim d ,
(5)
T →0
z = dT + 1 ;
obrazy veličin
X ( s ) = lim X ( d ) ,
(6)
(7)
T →0
X ( z) =
1
X (d )
z −1;
T
d=
T
(8)
přenosy
G ( s ) = lim G ( d ) ,
(9)
T →0
G ( z ) = G (d ) d = z − 1 .
(10)
T
V případě, že použijeme v regulačním obvodu s číslicovým regulátorem Č/A převodník
odpovídající vzorkovači a tvarovači 0. řádu, pro celkový přenos regulované soustavy platí
  G ( s ) 

d
D  L−1  S 
GS (d ) =
(11)
.
dT + 1   s  t =kT 
Jsou zpracovány obsáhlé slovníky D-transformace, viz např. (Mindeková 1996, Gebauerová
1997), které umožňují a významně usnadňují její používání.
3 Určení regulátoru a jeho seřízení
Předpokládá se použití jednoduché struktury regulačního obvodu podle obr. 1, kde W, V a Y
jsou obrazy žádané, poruchové a regulované veličiny, GR a GS jsou přenosy regulátoru a
regulované soustavy.
W
V
GR
GS
Y
Obrázek 1 - Schéma regulačního obvodu
V souladu s obr. 1 a metodou inverze dynamiky pro přenos doporučeného regulátoru platí
(Vítečková 1998)
GR =
Go*
,
GS
(12)
kde Go* je požadovaný přenos otevřeného regulačního obvodu, který je zvolen ve tvaru
k
T
Go* (d ) = o (dT + 1) − ri ,
ri = di ,
i = 1,2
d
T
a je zřejmé, že pro něj platí
k
Go* ( s ) = lim Go* ( d ) = o e −Tdi s ,
T →0
s
-2-
(13)
(14)
Go* ( z ) = Go* (d )
z −1
d=
T
=
k o T − ri
z ,
z −1
(15)
kde Tdi je dopravní zpoždění, ri - relativní diskrétní dopravní zpoždění, ko - zesílení
otevřeného regulačního obvodu.
Tabulka 1: Náhradní přenosy regulovaných soustav
1
2
G S (s )
G S (d )
k1
e −Td 1s
T1 s + 1
−
k1 (1 − c1 )
(dT + 1)−r1 , c1 = e T1
dT + 1 − c1
k1
(T2 s + 1)2
e −Td 2 s
T


T 
dT + (1 − c 2 )2 
k1 1 − c 2 − c 2
T2 


(dT + 1 − c2 )2
(dT + 1)
− r2
, c2 = e
−
T
T2
V tab. 1 znamená: k1 - koeficient přenosu regulované soustavy, Ti - setrvačná časová
konstanta regulované soustavy, Tdi - dopravní zpoždění regulované soustavy, i – řád
regulované soustavy (i = 1, 2).
Tabulka 2: Přenosy regulátorů typu PI a PID
Typ
G R (d )
G R (s )
G R (z )
1
PI
 dT + 1 

k P 1 +
T
d
I



1 

k P 1 +
T
s
I 


T z 

k P 1 +
T
z
−
1
I


2
PID
 dT + 1 TD d 

+
k P 1 +
TI d
dT + 1 



1
+ TD s 
k P 1 +
 TI s


T z −1
T z

+ D
k P 1 +
 TI z − 1 T z 
V tab. 2 znamená: k P - zesílení regulátoru, TI - integrační časová konstanta, TD - derivační
časová konstanta.
Jako regulované soustavy jsou uvažovány pouze takové, jejichž L-přenosy mají některý ze
dvou tvarů uvedených v tab. 1. Odpovídající D-přenosy byly určeny pomocí vztahu (11).
Na základě vztahů (12) a (13) pro D-přenos regulované soustavy v 1. řádku tab. 1 se po
úpravě dostane D-přenos regulátoru typu PI, viz tab. 2, kde
k T
c
TI = 1 T .
(16)
kP = o I ,
k1
1 − c1
Podobně na základě vztahů (12) a (13) pro D-přenos regulované soustavy ve 2. řádku tab. 1 se
po úpravě dostane D-přenos regulátoru typu PID, viz tab. 2, kde
k o (dT + 1)TI
2c 2
,
TI =
T,
TD = 0,25TI .
(17)
k P (d ) =
T
1 − c1


1 − c 2 − c 2 T

2

k1 
Td
+
1
 (1 − c2 )2



Aby bylo možné použít konvenční regulátor typu PID, zesílení k P nesmí být funkcí
komplexní proměnné d. Vhodné je použití aproximace
-3-
k o TI
,
(18)
d →0
k1
která zachovává shodu v ustáleném stavu a v případě číslicového regulátoru při malých
vzorkovacích periodách T významným způsobem odstraňuje kmitavost akční veličiny
(Vítečková 1998).
Pro praktické použití jsou vztahy pro určení integrační časové konstanty TI v (16) a (17)
nevhodné, proto je účelné tyto vztahy zjednodušit pomocí Padého rozvoje 1. řádu
T
T
1
−
−
2Ti
ci
T
ci = e Ti ≈
⇒
≈ Ti − ;
i = 1,2 .
(19)
T
1 − ci
2
1+
2Ti
Vztahy (16) a (17) pro určení hodnot stavitelných parametrů regulátorů typu PI a PID po
uvažování zjednodušení (18) a (19) budou mít tvary:
k P = lim k P (d ) =
regulátor PI (regulovaná soustava v 1. řádku tab. 1)
k P* =
k o TI*
,
k1
T I* = T1 −
T
2
regulátor PID (regulovaná soustava v 2. řádku tab. 1)
k T*
k P* = o I ,
T I* = 2T2 − T ,
k1
(20)
TD* = 0,25TI* .
(21)
Hodnoty stavitelných parametrů jsou označeny hvězdičkou, aby bylo zřejmé, že jde o hodnoty
doporučené.
Nyní je třeba určit zesílení otevřeného regulačního obvodu ko , které zajistí požadované
vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu s charakteristickým mnohočlenem
N (d ) = d (dT + 1)ri + k o ,
(22)
který se získá snadno na základě přenosu otevřeného regulačního obvodu (13).
Z rovnic
d N (d )
N (d ) = 0
a
=0
(23)
dd
se obdrží dvojnásobný stabilní reálný kořen
1
d1,2 = −
,
(24)
T (1 + ri )
kterému odpovídá zesílení otevřeného regulačního obvodu
ri
 ri 
1


=
T (1 + ri )  1 + ri 
zajišťující mezní aperiodický průběh regulované veličiny.
Výhodné je použití aproximace (Vítečková 1998)
k oa
r
i
1
 ≈
,
(4 − e )T + eTdi

které vychází ze shody přesného a přibližného řešení pro ri = 1 a ri = ∞ .
k oa
 ri
1

=
T (1 + ri )  1 + ri
(25)
(26)
Určit kritické zesílení otevřeného regulačního obvodu kok , znamená řešit charakteristickou
rovnici uzavřeného regulačního obvodu
-4-
N (d ) = 0
pro nejméně jednu dvojici kořenů
e ± jϕ − 1
d1,2 =
,
T
které leží na kružnici o poloměru
(27)
(28)
1
1
se středem v bodě − na záporné poloose v komplexní
T
T
rovině d. Základní řešení má tvar
π
ϕ=
,
(29)
1 + 2 ri
2
ϕ 2
π
k ok = sin = sin
.
(30)
T
2 T
2(1 + 2 ri )
Podobně jako v předchozím případě [viz vztahy (25) a (26)] je vhodné použití aproximace
(Vítečková, 1998)
2
π
1
≈
,
(31)
k ok = sin
2
2
T
2(1 + 2ri ) 
1 − T + Tdi
π
 π
která rovněž zachovává shodu přesného a přibližného řešení pro ri = 1 a ri = ∞ .
Na základě přibližných vztahů (26) a (31) lze předpokládat, že zesílení otevřeného
regulačního obvodu ko , které zajistí požadované vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu
vyjádřené relativním překmitem regulované veličiny κ bude dáno vztahem
1
ko =
,
(32)
α (κ )T + β (κ )Tdi
kde koeficienty α (κ ) a β (κ ) v souladu se vztahy (26) a (31) mají hodnoty
2
α (0) = 4 − e =& 1,282 , α (1) = 1 − ,
(33)
π
2
β (0) = e =& 2,718 ,
β (1) = .
(34)
π
Z Ziegler-Nicholsovy metody i ze zkušeností se seřizováním regulačních obvodů vyplývá, že
při použití proporcionálního regulátoru amplitudová bezpečnost pro mezní aperiodický
regulační proces je 4 a pro regulační proces s přibližně 25% relativním překmitem 2 (Kozák
1997). Pro střední hodnoty lze proto psát
α (0)
+ 2α (1)
e 2
α (0,25) = 2
= 2 −  +  = 2 − β (0,25) =& 0,684 ,
(35)
2
4 π 
β (0)
+ 2 β (1)
e 2
β (0,25) = 2
= + =& 1,316 .
(36)
2
4 π
Experimentálně číslicovou simulací byly získány hodnoty (Vítečková 1998): α (0,25) = 0,697
a β (0,25) = 1,337 . V obou případech rozdíly jsou menší než 2 %.
Koeficienty α a β pro mezní aperiodický regulační proces a pro regulační proces s 25%
relativním překmitem jsou uvedeny v tab. 3.
Tabulka 3: Hodnoty koeficientů α a β pro relativní překmit 0 a 25 %
0
0,25
κ
α
1,282
0,684
β
2,718
1,316
-5-
U nekmitavé proporcionální regulované soustavy lze přímo z její filtrované nebo jinak vhodně
upravené přechodové charakteristiky určit časovou konstantu T1 , resp. T2 a odpovídající
dopravní zpoždění Td 1 , resp. Td 2 (viz tab. 1) na základě obr. 2 a vztahů (Vítečková 1998)
T1 = 1,245(t 0,7 − t 0,33 ),
(37)
Td 1 = 1,498t 0,33 − 0,498t 0,7 ,
resp.
T2 = 0,794(t 0,7 − t 0,33 ),
(38)
Td 2 = 1,937t 0,33 − 0,937t 0,7 .
Koeficient přenosu k1 u proporcionálních regulovaných soustav pro jednotkovou skokovou
změnu akční veličiny, tj. ∆u (t ) = η (t ) , je dán ustáleným stavem na přechodové charakteristice
k1 = hS (∞ )
(39a)
Pokud vstupní skok není jednotkový, pak koeficient přenosu k1 je dán poměrem změny
regulované veličiny ∆y = hS (∞) ke změně akční veličiny ∆u v ustáleném stavu, tj.
∆y
(39b)
k1 =
∆u
Obrázek 2 - Vyhodnocení nekmitavé přechodové charakteristiky pro proporcionální
regulované soustavy
Vztahy (37) byly získány analyticky a vztahy (38) numericky ze shody náhradní přechodové
charakteristiky se skutečnou přechodovou charakteristikou v hodnotách y (0) = 0 ,
y (t 0,33 ) = 0,33 y ( ∞) , y (t 0,7 ) = 0,7 y (∞) a y (∞) , viz obr. 2.
Pokud lze snadno určit doplňkovou plochu S nad přechodovou charakteristikou, viz obr. 2,
pak je možno pro kontrolu použít vztahy
S
iTi + Tdi =
,
i = 1,2 .
(40)
y (∞ )
Na základě vztahů (20), (21), (32), (37), (38) a (39) a tab. 3 se obdrží jednoduché výpočetní
formule:
PI regulátor
κ =0
T I* = 1,25(t 0,7 − t 0,33 ) − 0,5T ,
k P*
T I*
=
,
k1 (1,28T + 4,07t 0,33 − 1,35t 0,7 )
-6-
(41)
(42)
κ = 0,25
PID regulátor
κ =0
k P* =
TI*
,
k1 (0,68T + 1,97t 0,33 − 0,66t 0,7 )
(43)
T I* = 1,59(t 0,7 − t 0,33 ) − T ,
(44)
TD* = 0,25TI* ,
(45)
k P* =
T I*
,
k1 (1,28T + 5,26t 0,33 − 2,55t 0,7 )
(46)
TI*
.
(47)
k1 (0,68T + 2,55t 0,33 − 1,23t 0,7 )
Ve všech výpočetních formulích číselné hodnoty jsou zaokrouhleny na dvě desetinná místa a
platí jak pro číslicové (T > 0), tak i pro analogové (T = 0) regulátory. Pro číslicové regulátory
je doporučena volba velikosti vzorkovací periody v závislosti na dopravním zpoždění
regulované soustavy, která je vyjádřena vztahem (Vítečková 1998)
T < 0,32Td .
(48)
κ = 0,25
k P* =
4 Příklad
U regulačního obvodu s regulovanou soustavou
2
G S (s ) =
e −8 s
(49)
3
(4 s + 1)
je třeba určit stavitelné parametry číslicového i analogového regulátoru typu PI a PID, který
zajistí mezní nekmitavý regulační proces a regulační proces s relativním překmitem 25 %.
Měřením byly zjištěny doby t 0,33 = 16,1 s a t0,7 = 22,4 s.
Řešení:
Analogový PI regulátor
Pro výpočet stavitelných parametrů analogového regulátoru PI použijeme vztahy (41) – (43)
pro T = 0:
T I* = 1,25(t 0,7 − t 0,33 ) = 1,25(22,4 − 16,1) =& 7,88 ,
κ =0
k P* =
κ = 0,25
k P*
TI*
7,88
=
=& 0,11 ,
k1 (4,07t 0,33 − 1,35t 0,7 ) 2(4,07 ⋅ 16,1 − 1,35 ⋅ 22,4 )
TI*
7,88
=
=
=& 0,23 ,
k1 (1,97t 0,33 − 0,66t 0,7 ) 2(1,97 ⋅ 16,1 − 0,66 ⋅ 22,4 )
Analogový PID regulátor
Pro výpočet stavitelných parametrů analogového regulátoru PID použijeme vztahy (44) – (47)
pro T = 0:
TI* = 1,59(t0,7 − t0,33 ) = 1,59(22,4 − 16,1) = 10,02 ,
TD* = 0,25TI* = 0,25 ⋅ 10,02 =& 2,50 ,
T I*
10,02
=
=
=& 0,18 ,
k1 (5,26t 0,33 − 2,55t 0,7 ) 2(5,26 ⋅ 16,1 − 2,55 ⋅ 22,4 )
κ =0
k P*
κ = 0,25
k P* =
T I*
10,02
=
=& 0,37 .
k1 (2,55t 0,33 − 1,23t 0,7 ) 2(2,55 ⋅ 16,1 − 1,23 ⋅ 22,4 )
-7-
Číslicový PI regulátor
Pro výpočet stavitelných parametrů číslicového regulátoru PI použijeme vztahy (41) – (43)
pro T = 1. Volba vzorkovací periody T byla provedena s ohledem na doporučený vztah (48):
T I* = 1,25(t 0,7 − t 0,33 ) − 0,5T = 1,25(22,4 − 16,1) − 0,5 =& 7,38 ,
κ =0
k P*
TI*
7,38
=
=
=& 0,10 ,
k1 (1,28T + 4,07t 0,33 − 1,35t 0,7 ) 2(1,28 + 4,07 ⋅ 16,1 − 1,35 ⋅ 22,4 )
κ = 0,25 k P* =
T I*
7,38
=
=& 0,21 ,
k1 (0,68T + 1,97t 0,33 − 0,66t 0,7 ) 2(0,68 + 1,97 ⋅ 16,1 − 0,66 ⋅ 22,4 )
Číslicový PID regulátor
Pro výpočet stavitelných parametrů analogového regulátoru PID použijeme vztahy (44) – (47)
pro T = 1:
T I* = 1,59(t 0,7 − t 0,33 ) − T = 1,59(22,4 − 16,1) − 1 = 9,02 ,
TD* = 0,25TI* = 0,25 ⋅ 9,02 =& 2,26 ,
κ =0
k P*
T I*
9,02
=
=
=& 0,16 ,
k1 (1,28T + 5,26t 0,33 − 2,55t 0,7 ) 2(1,28 + 5,26 ⋅ 16,1 − 2,55 ⋅ 22,4 )
TI*
9,02
=
=& 0,32 .
k1 (0,68T + 2,55t 0,33 − 1,23t 0,7 ) 2(0,68 + 2,55 ⋅ 16,1 − 1,23 ⋅ 22,4 )
Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu s analogovým PI a PID
regulátorem jsou na obr. 3. Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu
s číslicovým PI a PID regulátorem jsou téměř shodné s uvedenými přechodovými
charakteristikami pro analogové regulátory, proto nejsou zvlášť uvedeny. Přechodové
charakteristiky byly získány číslicovou simulací pomocí simulačního programu SIPRO
(Farana 1996).
κ = 0,25 k P* =
Obrázek 3 - Přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu s analogovým PI a
PID regulátorem
5 Závěr
V příspěvku je na základě delta modelů plně odvozeno seřizování analogových i číslicových
regulátorů typu PI a PID pro nekmitavé proporcionální soustavy s dopravním zpožděním.
Přístup umožňuje jednoduše seřídit regulační obvod tak, aby regulační proces byl mezní
-8-
nekmitavý nebo s relativním překmitem okolo 25%. V případě potřeby regulační proces může
být snadno experimentálně „doladěn“ pouze změnou zesílení regulátoru.
Příspěvek vznikl za podpory projektů MSM 272300012 a FR MŠMT F1/0347.
6 Literatura
ALEXÍK, M. Analytická syntéza PIDD2 algoritmu pre systém III. rádu. AT&P JOURNAL
9/2000, str. 62-65
ÅSTRÖM, K. & HÄGGLUND, T. PID Controllers. 2nd Edition. North Carolina: Instrument
Society of America, Research Triangle Park, 1995.
DOSTÁL, P. & BOBÁL, V. Využití polynomiální metody v návrhu jednoduchých regulátorů
pro řízení systémů s dopravním zpožděním. Článek v časopise AT&P JOURNAL, č. 11,
1999, str. 60-61, ISSN 133
FARANA, R. Univerzální simulační program SIPRO 3.4. Uživatelská příručka. Ostrava: FS
VŠB-TU Ostrava, 1996.
FEUER, A. & GOODWIN, G. C. Sampling in Digital Signal Processing and Control.
Boston: Birkhäuser, 1996.
FILASOVÁ, A. Robust Control Design. An optimal control approach. In: Proceedings of the
3rd IEEE International Conference on InteligentEngineering Systems INES'99. Stara
Lesna, Slovakia, 1999, s. 515-518.
FILASOVÁ, A. Robust Controller Design for Large-scale uncertain dynamicsystem.
Preprints of the 2nd IFAC Workshop on New Trends in Design ofControl Systems 1997.
Smolenice, Slovakia, 1997, s.127-132.
GABAUEROVÁ, M. Využití delta modelů v teorii automatického řízení (vedoucí: M.
Vítečková). Ostrava: Diplomová práce, FS VŠB-TU Ostrava, 1997.
KOZÁK, Š. Graficko-analytické metódy určovania koeficientov spojitých a diskrétnych
regulátorov. AT&P JOURNAL 7/1997, ročník 4, str. 36-38.
MIDDLETON, R. H. & GOODWIN, G. C. Digital Control and Estimation. A Unified
Approach. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1990.
MINDEKOVÁ, D. Použití delta modelů při syntéze lineárních regulačních obvodů (vedoucí:
M. Vítečková). Ostrava: Diplomová práce, FS VŠB-TU Ostrava, 1996.
VÍTEČKOVÁ, M. Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. Ostrava: Skripta FS VŠBTU Ostrava, 1998.
-9-