3B Přechodné děje v obvodech RC a RLC

Transkript

3B Přechodné děje v obvodech RC a RLC
Cíl úlohy
Prohloubit teoretické znalosti o přechodných dějích na RC a RLC obvodu. Ukázat možnost měření parametrů
přechodných dějů v těchto obvodech. U obvodu 2. řádu (RLC) demonstrovat vliv tlumicího odporu na průběh
obvodových veličin.
Úkol

Zobrazte přechodný děj v obvodu RC při buzení obdélníkovým vstupním signálem. Měřením určete
časovou konstantu obvodu RC.
Zobrazte přechodný děj v obvodu RLC při buzení obdélníkovým vstupním signálem. Určete kmitočet
vlastních kmitů a činitel tlumení obvodu RLC.
Naměřené hodnoty ověřte výpočtem.
Teoretický úvod
Přechodným dějem nazýváme fyzikální děj, který vzniká při přechodu elektrického obvodu z jednoho ustáleného
stavu do druhého ustáleného stavu. V ustáleném stavu jsou elektrické obvodové veličiny popisující jeho stav napětí, proudy, energie – konstantní (stejnosměrný ustálený stav), nebo jsou periodickou funkcí času
(harmonický ustálený stav). Přechodné děje vznikají v elektrických obvodech připojováním nebo odpojováním
zdrojů, změnou topologie obvodu nebo změnou parametrů obvodových prvků – lit. [1].
Obvody prvního řádu - RC a RL
V první části úlohy budeme zkoumat přechodné děje v jednoduchých sériových obvodech RC a RL, vzniklé
připojováním zdroje stejnosměrného napětí a následným zkratováním obvodu - obr. 36.
1
R(
()
2
C
U
R
C(
R(
)
)
)
R
L
L(
)
R
L
obr. 36 K měření přechodných dějů v sériových obvodech RC a RL
Pro okamžité hodnoty napětí na jednotlivých prvcích sériového obvodu RC resp. RL během přechodného děje
vzniklého připojením stejnosměrného zdroje (s nulovými počátečními podmínkami) můžeme psát
U = u R ( t ) + uC ( t ) , U = u R ( t ) + u L ( t ) ,
U = R ⋅ i (t ) +
di ( t )
1
.
i (τ ) dτ , U = R ⋅ i ( t ) + L
dt
C ∫0
(V)
(101a, b)
(V)
(102a, b)
t
Analytickým řešením (102) získáme časové závislosti napětí a proudu v obvodu. Pro schéma obr. 36 platí
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
⎧U
uC ( t ) + u R ( t ) = uG ( t ) = ⎨
⎩0
pro nabíjení
pro vybíjení
.
(V)
(103)
Uvedené vztahy (101a, b), (102a, b) předpokládají ideální obvodové prvky. Při experimentálním zkoumání
přechodných dějů v reálných obvodech nemůžeme zanedbat parazitní vlastnosti prvků, především odpor reálné
cívky RL. Proto při řešení obvodu RL použijeme náhradní schéma cívky (sériové spojení rezistoru RL a induktoru
L) - viz obr. 36. Odpor a kondenzátor můžeme pro naše účely považovat za ideální.
Podrobný popis analytického řešení jednotlivých případů sériových obvodů RC, RL a RLC je uveden v [2], zde
se omezíme na shrnutí výsledných vztahů pro parametry jednotlivých obvodů s nulovými počátečními
podmínkami při připojení stejnosměrného zdroje (nabíjení C, přepínač v obr. 36 do polohy 1) a při následném
zkratování obvodu (vybíjení C, přepínač do polohy 2). Předpokládáme, že doba mezi přepnutím spínače
z polohy 1 do polohy 2 bude dostatečně dlouhá, aby předešlý přechodný děj odezněl.
Sériový obvod RC
a) Připojení zdroje k obvodu - nabíjení
−t
−t
⎛
⎞
u R ( t ) = R ⋅ i ( t ) = U ⋅ e τ , uC ( t ) = U ⋅ ⎜ 1 − e τ ⎟ .
⎝
⎠
(V)
(104a, b)
uR ( t ) = R ⋅ i ( t ) = −U ⋅ e τ , uC ( t ) = U ⋅ e τ ,
(V)
(105a, b)
kde je τ = RC ................... časová konstanta obvodu,
U ........................... napětí stejnosměrného zdroje.
(s)
(V)
b) Zkratování obvodu - vybíjení
−t
−t
Sériový obvod RL (reálná L)
a) Připojení zdroje k obvodu
uR ( t ) = R ⋅ i ( t ) =
−t
⎛
⎞
⎛R
R
R −τt ⎞
⋅ U ⋅ ⎜ 1 − e τ ⎟ , uL ( t ) = U ⋅ ⎜ L +
e ⎟.
RC
⎝
⎠
⎝ RC RC
⎠
(V)
(106a, b)
(V)
(107a, b)
b) Zkratování obvodu
uR ( t ) = R ⋅ i ( t ) = U ⋅
⎛R
⎞ −t
R −τt
⋅ e , uL ( t ) = U ⋅ ⎜ L − 1 ⎟ ⋅ e τ .
RC
⎝ RC
⎠
kde je RC = R+RL ............. celkový odpor obvodu,
τ = L/RC ................ časová konstanta obvodu.
(Ω)
(s)
Obvod druhého řádu - RLC
obr. 37 K měření přechodných dějů v sériovém obvodu RLC
Složitější průběh mají přechodné děje v sériovém obvodu RLC, vzniklé připojováním obvodu ke zdroji
stejnosměrného napětí a následným zkratováním obvodu - obr. 37.
Pro okamžité hodnoty napětí na jednotlivých prvcích sériového obvodu RLC (s nulovými počátečními
podmínkami) během přechodného děje vzniklého připojením stejnosměrného zdroje můžeme psát
U = u R ( t ) + u L ( t ) + uC ( t ) ,
U = R ⋅ i (t ) + L
di ( t )
dt
(V)
(108)
(V)
(109)
t
+
1
i (τ ) dτ .
C ∫0
Analytickým řešením (109) získáme časové závislosti napětí a proudu v obvodu. Vztahy (108) a (109)
předpokládají ideální obvodové prvky. Při experimentálním zkoumání přechodných dějů v reálných obvodech
nemůžeme zanedbat především parazitní odpor reálné cívky, ve všech vztazích proto budeme uvažovat za odpor
R celkový odpor obvodu (tedy se započítaným parazitním odporem cívky RL). Kondenzátor můžeme pro naše
účely považovat za ideální. Úpravou rovnice (109) dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu.
Kořeny její charakteristické rovnice jsou
λ1,2 = −δ ± δ 2 − ω02 ,
R
................. konstanta útlumu,
2L
1
ω0 =
........... rezonanční úhlový kmitočet.
LC
kde je δ =
(s-1)
(110)
(s-1)
(s-1)
Z hlediska řešení je významný diskriminant δ 2 − ω02 charakteristické rovnice (110); položíme-li tento výraz
roven nule, dostaneme vztah pro tzv. kritický odpor obvodu
Rk = 2 ⋅
L
,
C
(Ω)
(111)
Podle kořenů charakteristické rovnice (110) lze usuzovat na charakter přechodného děje v obvodu, viz obr. 38.
aperiodický děj
mez aperiodicity
i(t)
periodický děj
0
t
obr. 38 K přechodným dějům v RLC obvodu
Aperiodický děj
Platí při něm R > Rk, diskriminant rovnice (110) je kladný a její kořeny λ1, λ2 jsou reálné různé záporné.
Hodnoty všech obvodových veličin se blíží ke svým ustáleným hodnotám asymptoticky, bez oscilací. Mluvíme
o přetlumeném obvodu s okamžitými hodnotami obvodových veličin
i (t ) =
U
⋅ ( eλ1t − eλ2 t ) ,
L ⋅ ( λ1 − λ2 )
uL ( t ) =
U
⋅ λ1eλ1t − λ2 eλ2 t ,
( λ1 − λ2 )
uC ( t ) =
U
LC λ1λ2
(
)
⎛ λ eλ1t − λ1eλ2 t
⋅ ⎜1 + 2
λ1 − λ2
⎝
⎞
⎟.
⎠
(A)
(112)
(V)
(113)
(V)
(114)
Děj na mezi aperiodicity
V tomto případě je R = Rk, diskriminant rovnice (110) je roven nule a existuje jediný dvojnásobný kořen λ, pro
který platí
λ = −δ = −ω0 =
−1
LC
,
(A)
(115)
Všechny veličiny obvodu se opět bez oscilací asymptoticky blíží ke svým ustáleným hodnotám. Ustálení veličin
trvá na rozdíl od předešlého případu nejkratší možnou dobu, čehož se v praxi velmi často využívá. Mluvíme
o kritickém tlumení obvodu.
Pro obvodové veličiny obvodu RLC při kritickém tlumení (děj na mezi aperiodicity) platí
U
⋅ t ⋅ e −δ t ,
L
(A)
(116)
uL ( t ) = U ⋅ (1 − δ t ) ⋅ e −δ t ,
(V)
(117)
uC ( t ) = U ⋅ (1 − (1 + δ t ) ⋅ e −δ t ) .
(V)
(118)
i (t ) =
Periodický děj
Diskriminant rovnice (110) je pro R < Rk záporný a rovnice má komplexně sdružené kořeny λ1, λ2. Průběhy
veličin lze popsat pomocí harmonických funkcí času. Veličiny oscilují kolem své ustálené hodnoty s úhlovým
kmitočtem ω o něco menším než je rezonanční kmitočet ω0; amplituda kmitů exponenciálně klesá s časem.
Mluvíme o podkritickém tlumení obvodu.
Pro obvodové veličiny obvodu RLC při podkritickém tlumení (periodický děj) platí
i (t ) =
U −δ t
⋅ e ⋅ sin (ωt ) ,
ωL
(A)
(119)
δ
⎛
⎞
uL ( t ) = U ⋅ e −δ t ⋅ ⎜ cos (ωt ) − sin (ω t ) ⎟ ,
ω
⎝
⎠
(V)
(120)
⎛
δ
⎛
⎞⎞
uC ( t ) = U ⋅ ⎜ 1 − e −δ t ⋅ ⎜ cos (ωt ) + sin (ωt ) ⎟ ⎟ ,
ω
⎝
⎠⎠
⎝
(V)
(121)
kde je ω = 2πf = ω02 − δ 2 úhlový kmitočet vlastních kmitů obvodu.
(rad.s-1)
Domácí příprava

Do tab. 26 doplňte vypočtenou časovou konstantu τv článku RC. S využitím vztahů (104a, b) a (105a, b)
určete hodnoty napětí uC(t) a uR(t) pro časy t = τv/2 a t = 2τv pro nabíjení i vybíjení kondenzátoru.
Vypočtěte hodnotu kritického odporu Rk (111) obvodu RLC a podle následujících vztahů pak činitel tlumení
δ, rezonanční kmitočet f0 a kmitočet vlastních kmitů f. Hodnoty doplňte do tab. 27
δ=
f0 =
R
, kde R = 0,1 ⋅ Rk ,
2L
1
2π LC
,
(s-1)
(122)
(Hz)
(123)
(Hz)
(124)
2
f =
⎛δ ⎞
f02 − ⎜ ⎟ .
⎝ 2π ⎠
Pracovní postup
Názornou představu o fyzikálních poměrech při zkoumání přechodných dějů lze získat zobrazením časových
průběhů napětí a proudu na osciloskopu. Protože je jednodušší zachytit periodické průběhy, byl použit zdroj
periodického napětí obdélníkového průběhu. Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, který
zde slouží jako dvoukanálový osciloskop umožňující současné sledování vstupního i výstupního signálu. Buzení
článku odpovídající připojování zdroje a zkratování obvodu je z důvodu snadnějšího pozorování nahrazeno
periodickým průběhem - obdélníkovým napětím uG(t).
obr. 39 Zapojení pro měření přechodných dějů v obvodech RC a RLC
Měření přechodných dějů RC článku
Časovou konstantu τ obvodů můžeme zjistit graficky pomocí tečny k časovým průběhům napětí nebo proudů
v obvodu. Příkladem může být určení časové konstanty z nabíjecí (obr. 40) a vybíjecí (obr. 41) křivky napětí na
kondenzátoru v obvodu RC. Hodnotu τ lze snadno odečíst jako dobu, za kterou napětí na kondenzátoru vzroste
na 0,632 násobek resp. poklesne na 0,368 násobek maximální hodnoty, což plyne ze vztahů (104b) a (105b) po
dosazení t = τ.
1
1
0,8
0,8
0,632
−
⎛
u (t ) = U ⎜⎜ 1 − e τ
⎝
t
0,4
u (t ) = U ⋅ e
0,6
⎞
⎟
⎟
⎠
u/U
u/U
0,6
0,2
t
τ
0,368
0,4
0,2
τ
0
0
1
τ
0
2
3
4
0
t/τ
obr. 40
a)
−
Nabíjení kondenzátoru v obvodu RC
(připojení zdroje) – relativní měřítka
1
2
3
4
t/τ
obr. 41
Vybíjení kondenzátoru v obvodu RC
(zkratování obvodu) - relativní měřítk
Sestavte měřicí systém podle obr. 39. Do obvodu připojte přípravek RC článku, vstup IN B jednotky
A&DDU bude měřit napětí uC.
b) Spusťte programu RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Oscilloscope+Gen. Na generátoru
nastavte obdélníkový signál 5 V s kmitočtem 1000 Hz takto: v sekci Output zvolte tlačítko Open,
v dialogovém okně vyberte definiční soubor obdélníkového impulzu 1kHzPulse5V.aio. Rozsah zobrazení
kanálu OUT i B ponechejte ±5 V, rozsah časové osy 1,0 ms rovněž neměňte.
c)
Vyberte sekvenční měření Sequence. Stiskem virtuálního tlačítka B1 v sekci Measurement spusťte měření
uC(t) (žlutá křivka). Vstup IN B přepojte tak, aby měřil napětí uR(t). Stiskem virtuálního tlačítka B2 v sekci
Measurement spusťte měření uR(t) (modrá křivka).
d) Zapněte kursor (tlačítkem Cursor) a s jeho pomocí změřte na zobrazené křivce průběhu uC(t) časovou
konstantu τm podle výše popsaného postupu (obr. 40) pro nástupnou hranu (nabíjení C) i sestupnou hranu
(vybíjení C). Zjištěné hodnoty τm zapište do tab. 26.
Poznámka: od zobrazovaného času je potřeba odečíst čas počátku děje nabíjení resp. vybíjení (čas nástupné
resp. sestupné hrany budicího impulzu).
e)
Pomocí kurzorů změřte okamžité hodnoty napětí uC(t) a uR(t) pro čas t ≅ τm/2 a t ≅ 2τm od nástupné a od
sestupné hrany vstupního signálu. Zjištěné hodnoty zapište do tab. 26.
f)
Zapněte editaci popisů (Legend: Edit), přepište název okna Experiment na BEL2-přechodný děj RC,
namísto Jméno uveďte svá příjmení, v sekci Legend pojmenujte průběh B1 „uC(t)“ a průběh B2 „uR(t)“.
Editaci ukončete (Legend: End).
g) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka
Print vytiskněte zobrazený graf. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech
tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku
programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint nastavte počet tisknutých
stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor obsahující 2 grafy na jednom listě nad sebou
vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close).
Měření přechodných dějů v RLC obvodu
h) K měřicímu systému obr. 39 připojte přípravek s RLC článkem, do obvodu zapojte podkritický tlumicí
odpor s hodnotou 0,1Rk, vstup IN B bude měřit napětí uC.
i)
Stiskněte tlačítko Init, čímž uvedete systém do počátečního stavu. Na generátoru nastavte opět obdélníkový
signál 5 V s kmitočtem 1000 Hz (v sekci Output zvolte tlačítko Open, v dialogovém okně vyberte definiční
soubor obdélníkového impulzu 1kHzPulse5V.aio). Rozsah zobrazení kanálu OUT ponechejte ±5 V, rozsah
kanálu B změňte na ±10 V (Gain pomocí tlačítek cd), rozsah časové osy 1,0 ms.
j)
Vyberte sekvenční měření Sequence. Stiskem virtuálního tlačítka B1 v sekci Measurement spusťte měření
uC(t) pro podkritické tlumení (žlutá křivka).
k) Zapněte kursor (tlačítkem Cursor) a s jeho pomocí zjistěte polohu prvního a druhého kladného maxima
napětí uC(t) na charakteristice po nástupné hraně budicího napětí (uCm1, tm1, uCm2, tm2). Hodnoty zapište do
tab. 27.
Poznámka: od zobrazovaného času je potřeba odečíst čas počátku děje (čas nástupné hrany impulzu).
l)
Nahraďte přepojením vstupu přípravku odpor 0.1Rk kritickým odporem Rk. Stiskem virtuálního tlačítka B2
v sekci Measurement spusťte měření uC(t) pro kritické tlumení (modrá křivka).
m) Zapněte editaci popisů (Legend: Edit) přepište název okna na BEL2-přechodný děj RLC, namísto Jméno
uveďte svá příjmení, v sekci Legend pojmenujte průběh B1 uC(t) podkritické tlumení a průběh B2 uC(t)
kritické tlumení. Editaci ukončete (Legend: End).
n) Vytiskněte zobrazený graf přenosové charakteristiky postupem podle bodu g).
o) Ukončete program (Exit).
Zpracování
tab. 26 Přechodný děj v sériovém RC obvodu
Měřeno
τm
µs
t = τm/2
uC uR
V
V
Vypočteno
t = 2τm
uC uR
V
V
τv
µs
t = τv/2
uC uR
V
V
Odchylka
t = 2τv
uC uR
V
V
δτ
τ/2
2τ
δuC δuR δuC δuR
%
%
%
%
%
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
0,69
-1,0
0,66
-1,6
10,3
3,03 -3,03 0,68 -0,68 0,69
-2,6
-2,6
10,3
10,3
-
-
-
-
-
(R·C)
(104b) (104a) (104b) (104a)
(105b) (105a) (105b) (105a)
Nabíjení
58
1,95
3,05
4,25
0,75
57,6
1,97
Vybíjení
58
2,95 -2,95 0,75 -0,75 57,6
3,03
4,32
0,68
Poznámka: U = 5 V, R = 8 kΩ , C = 7,2 nF
Vytištěný graf průběhů:
Poloha maxim
tab. 27 Přechodný děj v sériovém RLC obvodu při podkritickém tlumení
Měřeno
uCm1 tm1 uCm2 tm2
Vypočteno
Rkm
∆t
fm
δm
Rk
δ
µs
kHz
s-1
kΩ
s-1
V
µs
V
µs
kΩ
-
-
-
-
-
8,5
46
6,8
142
11,5
f0
f
Odchylka
uC1
uC2
δRk
δδ
δf
V
V
%
%
%
(1)
(1)
(1)
0,9
-1,9
-2,2
kHz kHz
(125) (126) (127) (111) (122) (123) (124) (128) (128)
96
10,42
6926
11,4 7059 10,71 10,65 8,58
6,84
Poznámka: U = 5 V , 0,1Rk = 1,2 kΩ , L = 85 mH , C = 2,6 nF
p) Vypočtěte časovou vzdálenost dvou po sobě jdoucích kladných maxim napětí při podkritickém tlumení
∆ t = tm2 − tm1 ,
(s)
(125)
(Hz)
(126)
(s-1)
(127)
z toho kmitočet vlastních kmitů obvodu RLC
fm =
1
,
∆t
a činitel tlumení vlastních kmitů
⎛ uCm1 − U ⎞
⎟,
⎝ uCm2 − U ⎠
δ m = f m ⋅ ln ⎜
kde je U ........................... amplituda budicích obdélníkových kmitů (5 V).
q) S použitím vztahu (121) vypočtěte hodnoty napětí uC(t) pro časy tm1 a tm2 a zapište je do tab. 27. Do vztahu
(121) dosazujte vypočtené hodnoty δ (122) a f (124)
uC1 = uC ( tm1 ) , uC2 = uC ( tm2 ) .
(s-1)
r)
Spočtěte relativní odchylky veličin uvedených v tab. 26 a tab. 27.
s)
V tab. 27 porovnejte hodnoty naměřených a vypočtených hodnot uC(t) pro časy tm1 a tm2.
(128)
Seznam přístrojů

Přípravek s RC článkem
Přípravek s RLC článkem
Měřicí systém RC 2000 (A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC
Závěr

Pomocí naměřených hodnot tab. 26 ověřte, zda pro RC obvod platí vztah (103).
Vztah je platný, rozdíly jsou dány výše uvedenými nepřesnostmi měření.
Uveďte vliv velikosti odporu R (vzhledem k hodnotě Rk) na časový průběh veličin v obvodu RLC.
Při hodnotě tlumicího odporu R vyšší než je kritický odpor Rk dochází k přetlumení obvodu (aperiodický děj).
Při hodnotě R < Rk je obvod nedotlumený (periodický děj). Při kritické hodnotě R = Rk jde o děj na mezi
aperiodicity, přičemž tento přechodný děj má ze všech možných nejkratší dobu trvání (takto jsou tlumena ústrojí
měřicích přístrojů, podvozky automobilů …).
Na základě zjištěných relativních odchylek naměřených a teoretických hodnot se vyjádřete o přesnosti
provedeného měření přechodných dějů v sériovém RC a RLC obvodu.
Rozdíl hodnot je způsoben:
• nepřesným odečtením hodnot uC a t z grafů
• tolerancí hodnot prvků obvodu.
Stručné shrnutí
Uvedená úloha ukazuje možný způsob měření přechodných dějů a jejich parametrů v obvodech 1. a 2. řádu.
U RLC obvodu byl ukázán vliv tlumicího odporu na charakter děje, kdy tzv. kritické tlumení má v praxi velký
význam např. pro návrh tlumení kmitajících soustav. Při kritické hodnotě tlumicího odporu R má přechodný děj
RLC obvodu nejkratší dobu trvání, se zvyšováním či snižováním hodnoty odporu se doba děje prodlužuje.
Podkriticky tlumený RLC obvod vykazuje tlumený periodický přechodný děj, přičemž napětí na prvcích L a C je
vyšší než napájecí a jeho velikost záleží na činiteli jakosti obvodu (viz sériový rezonanční obvod – úloha 5A).