Nelineární systémy a teorie chaosu

Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Nelineární systémy a teorie chaosu
Martin Duspiva
KOIF2 - 2007/2008
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Definice
Nelineární diferenciální rovnice
Lineární systém splňuje podmínky
linearita: f (x + y ) = f (x) + f (y )
aditivita: f (αx) = αf (x)
Každý systém, který nesplňuje jednu z předchozích podmínek
nazveme nelineární.
Příklady
x5 − x + 1 = 0
∂u
∂x
+ u2 = 0
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Definice
Nelineární diferenciální rovnice
Nelineární diferenciální rovnice
Problém nelineárních odr je nemožnost hledat řešení jako kombinace
předchozích řešení. (princip superpozice)
Analytické metody řešení nelineárních ode.
Rovnice prvního řádu - separace proměnných
Řešení rovnic vyšších řádů často v implicitním tvaru i s integrály
(close soloution)
Konkrétní postupy
použitím zákonů zachování
linearizace Taylorův rozvoj
bifukrační teorie (rozvětvení)
poruchová teorie
Analytické metody řešení nelineárních pde.
Transformace proměnných, převod na soustavu ode, scale theory
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Definice
Nelineární diferenciální rovnice
Nelineární diferenciální rovnice
Problém nelineárních odr je nemožnost hledat řešení jako kombinace
předchozích řešení. (princip superpozice)
Analytické metody řešení nelineárních ode.
Rovnice prvního řádu - separace proměnných
Řešení rovnic vyšších řádů často v implicitním tvaru i s integrály
(close soloution)
Konkrétní postupy
použitím zákonů zachování
linearizace Taylorův rozvoj
bifukrační teorie (rozvětvení)
poruchová teorie
Analytické metody řešení nelineárních pde.
Transformace proměnných, převod na soustavu ode, scale theory
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Definice
Nelineární diferenciální rovnice
Příklady nelineárních diferenciálních rovnic
Boltzmanova transportní rovnice:
∂f
∂f ~p
∂f ~
∂f
∂t + ∂~x m + ∂~p F = ∂t |coll
Navier-Stokesova
rovnice:
~
~
= −∇p + ∇ · T + ~f
ρ ∂v
+
v
·
∇~
v
∂t
Benjamin-Bona-Mahonyho rovnice (proudění kapalin):
ut + ux + uux + uxxt = 0
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Atraktory
Aplikace, příklady
Teorie chaosu
Popisuje chování nelineárních dynamických systémů, které
jsou velmi citlivé na počáteční podmínky.
(Dvě blízké trajektorie se postupem času rozbíhají exponenciálně.)
Chování systému se jeví jako náhodné, i přesto že je zcela
deterministické
Systém se chová stejně, jen pokud jeho počáteční konfigurace
stejná. (efekt motýlích křídel)
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Atraktory
Aplikace, příklady
Atraktory
Definice
Pokud popisujeme systém pomocí fázového diagramu, pak
trajektorie (bod), ve které systém končí nazveme atraktor.
Typy atraktorů
bodový atraktor: Pohyb ustane, často spojeno s disipací
energie.
eliptické cykly: Periodický pohyb.
podivné atraktory: chaotický pohyb, fraktály ⇒ složité
detailní struktury.
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Atraktory
Aplikace, příklady
Atraktory - příklady
Lorenzův atraktor
Nelineární 3. dimenzionální dynamický systém
dx
dt
dy
dt
dz
dt
=
σ(y − x)
=
x(r − z) − y
=
xy − bz
Pro jistou množinu hodnot parametrů σ, r , b vykazuje chaotické
chování, atraktor je fraktál s Hausdorfovou dimenzí mezi 2 a 3.
Systém vzniká v laserech, dynamech a specifických vodních kolech.
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lorenzův atraktor
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Atraktory
Aplikace, příklady
Aplikace, příklady
příklady chaotických systémů
dvojité kyvadlo
biliard
Herónova mapa
Chuasův elektrický obvod
aplikace
matematika, biologie, ekonomie, finance, psychologie, růst
populace
úspěšná aplikace v ekologii: „Rickerův modelÿ, ukázka růstu
populace
v medicíně: studium epilepsie
Nelineární systémy a teorie chaosu
Lineární systémy
Teorie chaosu
Informační zdroje
Informační zdroje
WWW
en.wikipedia.org
http://hypertextbook.com/chaos/ - online skripta, matematický základ
http://www.chaos.umd.edu/ - univerzita Maryland, katedra teorie chaosu
Knihy
Alligood, K. T. (1997). Chaos: an introduction to dynamical systems.
Springer-Verlag New York
Gollub, J. P.; Baker, G. L. (1996). Chaotic dynamics. Cambridge
University Press.
Filmy
π - Darren Aronowsky (1998)
The Butterfly Effect - Eric Bress (2004)
Nelineární systémy a teorie chaosu