Diferenciální rovnice v biologii II

DIFERENCIÁLNI ROVNICE V BIOLOGII II
Milan Kučera
Obsah
I. Modely jedné populace s difúzı́
1.1
Stabilizačnı́ vliv difúze a Dirichletových podmı́nek – dimenze 1
1.2
Stabilizačnı́ vliv difúze a Dirichletových podmı́nek – obecná dimenze
1.3
Model obaleče s difúzı́ – dimenze 1
1.4
Model obaleče s difúzı́ – obecná dimenze
1.5
Bifurkace z prostého charakteristického čı́sla
1.6
Převedenı́ okrajové úlohy na operátorovou rovnici, slabá řešenı́
1.7
Lokálnı́ bifurkace stacionárnı́ch řešenı́ pro populačnı́ model
1.8
Obecné věty o globálnı́ bifurkaci
1.9
Globálnı́ bifurkace pro populačnı́ model v dimenzi 1
1.10 Globálnı́ bifurkace pro populačnı́ model v obecné dimenzi
II. Systémy reakce-difúze
2.1
Podmı́nky pro nestabilitu způsobenou difúzı́
2.2
Oblast stability a nestability
2.3
Tvar vlastnı́ch funkcı́, řešenı́ linearizovaného systému
2.4
Bifurkace stacionárnı́ch prostorově nehomogennı́ch řešenı́
2.5
Konkrétnı́ modely
1
1
1.1
Modely jedné populace s difúzı́
Stabilizačnı́ vliv difúze a Dirichletových podmı́nek –
dimenze 1
Vrátı́me se k modelům jedné populace popsané jedinou rovnicı́, ale budeme ted’
uvažovat i prostorové rozloženı́ hustoty populace a vliv difúze. Pro jednoduchost
uvažujme nejprve prostorovou dimenzi jedna a oblastı́ bude interval (0, L).
Neznámá funkce u proměnných t ∈ [0, +∞), x ∈ [0, L] bude popisovat hustotu
populace, tj. u(t, x) je hustota populace v čase t a v bodě x. Vliv difúze na růst
populace je popsán členem
∂2u
∂x2 .
Tedy napřı́klad logistická rovnice s difúzı́ má
tvar
∂u
∂2u
u
(t, x) = d 2 + ru 1 −
na (0, +∞) × (0, L),
(1)
∂t
∂x
K
kde d je koeficient difúze (rychlost difúze), r je koeficient růstu populace, K je
kapacita prostředı́. Viz [1], kap. 1.
K tomu, aby bylo jednoznačně určeno řešenı́ takové rovnice, je kromě počátečnı́
podmı́nky, která je tvaru u(0, x) = u0 (x) (u0 je daná funkce na [0, L]), nutno
zadat ještě okrajové podmı́nky v bodech 0 a L. Uvažujme nejprve nulové Dirichletovy okrajové podmı́nky, tj.
u(t, 0) = u(t, L) = 0
∀t ≥ 0.
(2)
Úloha (1), (2) má zřejmě triviálnı́ stacionárnı́ řešenı́ u ≡ 0. Zdůrazněme, že dalšı́
stacionárnı́ řešenı́ už snadno nenajdeme. V přı́padě logistické rovnice (obyčejné)
bez difúze bylo na prvnı́ pohled druhým stacionárnı́m řešenı́m u ≡ K, které nynı́
sice splňuje rovnici (1), ale nesplňuje okrajové podmı́nky (2). Dále uvidı́me, že
pro některé parametry d netriviálnı́ a navı́c prostorově nehomogennı́ (nekonstantnı́) stacionárnı́ řešenı́ existujı́, ale jejich nalezenı́ nenı́ jednoduchá záležitost.
Také uvidı́me, že difúze spolu s okrajovými podmı́nkami může ovlivnit stabilitu.
Budeme zkoumat obecnějšı́ úlohu typu
∂2u
∂u
= d 2 + ru + g(u) na (0, ∞) × (0, L),
∂t
∂x
(3)
kde g je spojitá reálná funkce,
g(u) = o(|u|) pro |u| → 0,
2
(4)
(tedy g je člen vyššı́ho řádu). Přı́pad Dirichletových podmı́nek (2) porovnáme
s přı́padem Neumannových okrajových podmı́nek
∂u
∂u
(t, 0) =
(t, L) = 0
∂x
∂x
∀t ≥ 0.
(5)
Mohli bychom ovšem uvažovat i podmı́nky smı́šené, tj. Dirichletovu na jednom
a Neumannovu na druhém konci intervalu.
Poznámka 1. Dirichletovy okrajové podmı́nky odpovı́dajı́ situaci, kdy hranice
oblasti (v tomto přı́padě body 0, L) jsou pro naši populaci zcela nehostinné
– populace má na hranici nulovou hustotu, vymı́rá tam. Neumannovy okrajové
podmı́nky znamenajı́, že hranici nelze překročit – tok hranicı́ je nulový, tj. žádný
jedinec nemůže z oblasti odejı́t ani do nı́ zvenku přijı́t.
Budeme v dalšı́m pro zkrácenı́ psát ut mı́sto
∂u
∂t
a ux , uxx mı́sto
∂u ∂ 2 u
∂x , ∂x2
a pod.
Podotkněme, že (dı́ky podmı́nce (4)) linearizovanou rovnicı́ k (3) je rovnice
ut = duxx + ru.
(6)
O stabilitě nulového řešenı́ úlohy (3) s okrajovými podmı́nkami (2) resp. (5)
vypovı́dajı́ vlastnı́ čı́sla úlohy
duxx + ru = λu
(7)
u(0) = u(L) = 0
(8)
∂u
∂u
(0) =
(L) = 0.
∂x
∂x
(9)
s okrajovýmı́ podmı́nkami
resp.
Uvědomı́me si, že tuto úlohu na vlastnı́ čı́sla jsme dostali z linearizované úlohy
stejně jako v přı́padě obyčejných diferenciálnı́ch rovnic a také že kritérium stability nulového řešenı́ v následujı́cı́ větě je podobné větě 3.1 z [1]. Rozdı́l je v
tom, že v přı́padě obyčejných rovnic se jednalo o vlastnı́ čı́sla matice, kterých
bylo jen konečně mnoho, a proto z podmı́nky Re λ < 0 pro všechna vlastnı́ čı́sla
plynulo automaticky Re λ < −ε pro nějaké ε > 0. Z druhé strany úloha (7) má
pouze reálná vlastnı́ čı́sla (jak se snadno zjistı́), proto nemusı́me ted’ mluvit o
3
Re λ, ale pouze o λ. (V přı́padě obecnějšı́ch parciálnı́ch rovnic či jejich systémů,
kdy existujı́ i komplexnı́ vlastnı́ čı́sla, jsou ovšem opět podstatné jejich reálné
části. Viz též dále.)
Věta 1.1. Bud’ g(u) = o(|u|) pro |u| → 0. Jestliže existuje ε > 0 takové, že
λ < −ε pro všechna vlastnı́ čı́sla λ úlohy (7), (2), resp. (7), (5), pak nulové
řešenı́ úlohy (3), (2), resp. (3), (5) je asymptoticky stabilnı́ ve W 1,2 normě.
Jestliže existuje kladné vlastnı́ čı́slo úlohy (7), (2), resp. (7), (5), pak nulové
řešenı́ úlohy (3), (2), resp. (3), (5) je nestabilnı́.
Poznámka 2. Je dobře známo a snadno se ověřı́, že úloha
−uxx = κu na (0, L)
(10)
s okrajovými podmı́nkami (8) má vlastnı́ čı́sla
κn =
nπ 2
L
, n = 1, 2, . . .
s přı́slušnými vlastnı́mi funkcemi
en (x) = sin
nπ
x, n = 1, 2, . . . .
L
Podobně úloha (10), (9) má vlastnı́ čı́sla
κn =
nπ 2
L
, n = 0, 1, 2, . . .
s přı́slušnými vlastnı́mi funkcemi
en (x) = cos
nπ
x, n = 0, 1, 2, . . . .
L
Vypočtěme nynı́ vlastnı́ čı́sla úlohy (7), (8). Rovnici (7) můžeme psát ve tvaru
−uxx =
r−λ
u.
d
Tedy λ je vlastnı́ čı́slo úlohy (7), (8) právě když κ =
r−λ
d
je vlastnı́ čı́slo úlohy
(10), (8). Podle poznámky 2 tedy všechna vlastnı́ čı́sla úlohy (7), (8) tvořı́
posloupnost
λn = r − d
Největšı́ z nich je λ1 = r − d
nπ 2
L
,
n = 1, 2, . . .
π 2
L
a to je záporné právě tehdy, když
r
d
L < Lc := π
.
r
4
(11)
Pro L > Lc existuje kladné vlastnı́ čı́slo úlohy (7), (8).
Analogický výpočet můžeme provést pro přı́pad podmı́nek (9), tedy úloha (7),
2
(9) má vlastnı́ čı́sla λn = r − d( nπ
L ) , n = 0, 1, 2. Podstatné je, že nynı́ sčı́táme
od nuly, nikoli od jedné (druhá část pozn. 2). Tedy největšı́ vlastnı́ čı́slo λ0 = r
je vždy kladné.
Tedy z věty 1.1 plyne následujı́cı́ tvrzenı́.
Věta 1.2. Bud’ g(u) = o(|u|) pro |u| → 0. Pak pro L < Lc , kde Lc je zavedeno
v (11) (tj. pro intervaly kratšı́ nežli jistá kritická délka) je nulové řešenı́ úlohy
(3), (2) asymptoticky stabilnı́ ve W 1,2 (0, L) normě, pro L > Lc je nulové řešenı́
této úlohy nestabilnı́. Nulové řešenı́ úlohy (3), (5) je nestabilnı́ vždy.
Připomeňme, že nulové řešenı́ stejné rovnice bez difúze je nestabilnı́ (viz kap.
1). Tedy difúze spolu s nulovými Dirichletovými okrajovými podmı́nkami má
stabilizačnı́ vliv na nulové řešenı́, pokud délka intervalu je dostatečně malá. To
souhlası́ s všeobecnou představou, že difúze zhlazuje, ustabilňuje. (Obecně to ale
nenı́ pravda, jak uvidı́me v přı́padě systémů). Zde se však jedná o souhru difúze s
Dirichletovou okrajovou podmı́nkou. Difúze zajišt’uje pohyb populace z vnitřku
oblasti, kde se množı́, k hranici, na nı́ž vymı́rá. Samotná difúze stabilizačnı́ vliv
v našı́ úloze nemá, jak je vidět z přı́padu Neumannových okrajových podmı́nek.
q
Poznámka 3. Kritická délka intervalu Lc = π dr závisı́ zcela přirozeným způ-
sobem na rychlosti difúze d a koeficientu růstu r. Čı́m většı́ je rychlost difúze,
tı́m většı́ může být oblast, aby ještě difúze stačila donést k hranici dostatečné
množstvı́ populace, která tam vymı́rá a tı́m se stabilizuje nulové ekvilibrium.
Čı́m většı́ je koeficient růstu r, tı́m menšı́ musı́ být oblast, aby difúze spolu s
Dirichletovými okrajovými podmı́nkami překonala základnı́ destabilizujı́cı́ vliv
logistického členu.
1.2
Stabilizačnı́ vliv difúze a Dirichletových podmı́nek –
obecná dimenze
Můžeme uvažovat též analogickou úlohu na omezené oblasti Ω v RN s lipschitzovskou hranicı́ ∂Ω, tj.
∂u
= d∆u + ru + g(u)
∂t
na Ω napřı́klad se smı́šenými okrajovými podmı́nkami
u = 0 na ΓD ,
(12)
∂u
= 0 na ΓN ,
∂n
kde ΓD , ΓN jsou otevřené disjunktnı́ části hranice ∂Ω, ΓD ∪ ΓN = ∂Ω,
derivaci ve směru vnějšı́ normály.
5
(13)
∂u
∂n
značı́
Poznámka 4. Vlastnı́ čı́sla úlohy
−∆u = κu na Ω
(14)
s okrajovými podmı́nkami (13) tvořı́ v přı́padě ΓD 6= ∅ nekonečnou posloupnost
κn , n = 1, 2, ..., 0 < κ1 < κ2 ≤ κ3 ≤ ..., v přı́padě ΓD = ∅ (tj. ΓN = ∂Ω) má
tato úloha kromě kladných vlastnı́ch čı́slel i vlastnı́ čı́slo nulové κ0 = 0, tedy
všechna vlastnı́ čı́sla tvořı́ posloupnost κ0 < κ1 ≤ κ2 ≤ ....
Pro stabilitu triviálnı́ho řešenı́ platı́ analogie věty 1.1, musı́me ovšem nahradit
úlohu (7), (8) úlohou
d∆u + ru = λu
(15)
s okrajovými podmı́nkamı́ (13). Úplně stejně jako v přı́padě prostorové dimenze
jedna zjistı́me, že vlastnı́ čı́sla úlohy (15), (13) jsou
λn = r − dκn , n = 1, 2, . . . při ΓD 6= ∅, resp. n = 0, 1, 2, . . . při ΓD = ∅.
Uvažujme nynı́ oblast LΩ = {x0 ∈ RN ; x0 = Lx, x ∈ Ω}. Tedy s rostoucı́m L se
oblast zvětšuje při zachovánı́ tvaru. Položı́me x0 = Lx a zavedeme novou funkci
ũ(x0 ) = u(x) pro x0 = Lx. Dostáváme
∂
∂u
∂ ũ 0
(x ) =
(x) · 1/L pro x0 = Lx, x ∈ Ω, x0 ∈ LΩ
u(x0 /L) =
∂xj
∂xj
∂xj
a dále
∂ 2 ũ 0
∂2u
(x ) =
(x) · 1/L2 pro x0 = Lx, x ∈ Ω, x0 ∈ LΩ.
2
∂xj
∂x2j
Odtud plyne (pı́šeme-li všude u mı́sto ũ), že rovnice (12) resp. (14) resp. (15)
na oblasti LΩ s okrajovými podmı́nkami
u = 0 na L · ΓD ,
∂u
= 0 na L · ΓN ,
∂n
(16)
jsou po řadě ekvivalentnı́ s rovnicemi
resp.
d
∂u
= 2 ∆u + ru + g(u) na Ω,
∂t
L
(17)
d
∆u + ru = λu na Ω
L2
(18)
s okrajovými podmı́nkami (13). Rovnici (18) lze psát jako −∆u =
proto úloha (18), (13) má vlastnı́ čı́sla λn = r −
d κLn2 ,
r−λ 2
d L u
a
n = 1, 2, ... (v přı́padě
ΓD 6= ∅) resp. n = 0, 1, 2, ... (v přı́padě ΓD = ∅). Tedy největšı́ vlastnı́ čı́slo
6
κ1
úlohy (18), (13) je λ1 = r − d L
2 (v př ı́padě ΓD 6= ∅) resp. λ0 = r (v př ı́padě
ΓD = ∅). V přı́padě ΓD 6= ∅ tedy největšı́ vlastnı́ čı́slo je záporné právě když
r
d
κ1 .
L < Lc :=
r
Pro L > Lc má (18), (13) kladné vlastnı́ čı́slo λ = r. Zřejmě nulové řešenı́ úlohy
(17), (13) na Ω je stabilnı́ právě když nulové řešenı́ úlohy (12), (16) na LΩ je
stabilnı́. Dospı́váme tedy k následujı́cı́mu závěru.
Věta 1.3. Bud’ g(u) = o(|u|) pro |u| → 0. Je-li ΓD 6= ∅, pak pro L < Lc (tj.
pro oblasti tvaru Ω nedosahujı́cı́ jisté kritické velikosti) je nulové řešenı́ úlohy
(15) na LΩ, (16) a tedy i nulové řešenı́ úlohy (18),
q (13) asymptoticky stabilnı́
d
r κ1 je nulové řešenı́ těchto
ve W 1,2 (LΩ) resp. W 1,2 (Ω) normě, pro L > Lc =
úloh nestabilnı́. Je-li ΓD = ∅, pak nulové řešenı́ je vždy nestabilnı́.
Situace je tedy obdobná jako v dimenzi jedna. Rozdı́l je ovšem v tom, že vlastnı́
čı́sla Laplaciánu (tj. úlohy (14), (13)) obecně analyticky vypočı́tat neumı́me
(s výjimkou speciálnı́ch oblastı́ jako je obdélnı́k, kruh ap.), lze je ovšem vypočı́tat
numericky.
Poznámka 5. Čı́slo Lc je nejmenšı́ parametr L, pro který úloha (18), (13) má
největšı́ vlastnı́ čı́slo nulové.
Poznámka 6. Uvažujme nynı́ pro jednoduchost přı́pad ΓD = ∂Ω, ΓN = ∅ a
pišme κn (Ω) mı́sto κn a pod. pro zvýrazněnı́ závislosti vlastnı́ch čı́sel Laplaciánu
na oblasti. Je známo, že nejmenšı́ vlastnı́ čı́slo κ1 (Ω) úlohy (14), (13) s ΓD = ∂Ω
je variačně charakterizováno jako
R
R
|∇ϕ|2 dx
|∇ϕ|2 dx
Ω
Ω
R
κ1 (Ω) = minϕ∈W 1,2 (Ω) R
=
inf
.
ϕ∈D(Ω)
0
|ϕ|2 dx
|ϕ|2 dx
Ω
Ω
Odtud ihned plyne, že pro Ω0 ⊂ Ω je κ1 (Ω0 ) ≥ κ1 (Ω). Bud’ nynı́ Ω1 např.
čtverec s délkou
strany jedna. Pak je κ1 (Ω1 ) = 2π 2 . Z věty 1.3 vı́me, že pro
q
L < Lc = 2 dr π je nulové řešenı́ našı́ úlohy na LΩ1 stabilnı́. Ale zároveň pro
libovolnou oblast Ω0 ⊂ LΩ1 je
λ1 (Ω0 ) = r − dκ1 (Ω0 ) ≤ r − dκ1 (LΩ1 ) = r − dκ1 (Ω1 )/L2 < 0
pro L < Lc . Tedy na každé podoblasti Ω0 ⊂ LΩ s L < Lc a s Dirichletovými
podmı́nkami na hranici populace vymı́rá.
1.3
Model obaleče s difúzı́ – dimenze 1
Uvažujme jako přı́klad model obaleče z kap. 1, ke kterému přidáme difúznı́ člen.
V přı́padě prostorové dimeze 1 máme tedy rovnici
7
bu2
u
− 2
na [0, ∞) × [0, L].
(19)
ut = duxx + ru 1 −
K
a + u2
Doplňme ji Dirichletovými podmı́nkami (2). Je to speciálnı́ přı́pad rovnice (3)
r 2
u −
s g(u) = − K
bu2
a2 +u2 .
Zřejmě je g(u) = o(|u|) pro |u| → 0. Tedy z věty 1.2
q
plyne, že nulové řešenı́ je stabilnı́ pro L < Lc = π dr a nestabilnı́ pro L > Lc ,
tj. v L = Lc docházı́ ke ztrátě stability.
Připomeňme, že úloha bez difúze má v závislosti na parametrech jedno až
tři kladná stacionárnı́ řešenı́ (viz [1], kap. 1). Předpokládejme, že r, K, a, b
jsou pevná a taková, že zmı́něná kladná stacionárnı́ řešenı́ jsou tři. Numerické výpočty ukazujı́, že pak stacionárnı́ řešenı́ úlohy (19), (2) lze znázornit
následujı́cı́m obrázkem (bifurkačnı́m diagramem).
V bodě L = Lc bifurkujı́ (větvı́ se) z nulového řešenı́ nenulová stacionárnı́ řešenı́,
která jsou kladná na (0, L), symetrická vzhledem ke středu intervalu [0, L] a
nabývajı́ v
L
2
svého maxima. Na svislé ose je nanášena velikost tohoto maxima,
tedy toto maximum se asymptoticky blı́žı́ k u1 pro L → ∞. Tato řešenı́ jsou
stabilnı́, tedy v bodě Lc docházı́ nejen ke ztrátě stability nulového řešenı́ (věta
1.2), ale stabilitu zde přebı́rá nové nenulové bifurkujı́cı́ řešenı́ ( exchange of sta”
bility“). Toto nové řešenı́ je kvalitativně odlišné – je prostorově nekonstantnı́
(na hranici nulové podle (2), uvnitř (0, L) kladné).
Dále existuje L0 > Lc , ve kterém vzniká jedno dalšı́ kladné netriviálnı́ řešenı́,
které se při dalšı́m růstu parametru L ihned dělı́ na dvě řešenı́ – většı́ z nich
je stabilnı́ a jeho maximum pro L → +∞ se blı́žı́ hodnotě u3 (stacionárnı́ stav
rovnice bez difúze odpovı́dajı́cı́ ekologické katastrofě), menšı́ je nestabilnı́ a jeho
maximum se blı́žı́ u2 (hodnota, která v přı́padě rovnice bez difúze je hranicı́ mezi
oblastmi atrakce stabilnı́ch řešenı́ u1 a u3 ). V dalšı́m ukážeme, že existence bifurkace v bodě Lc je zcela zákonitá dokonce i v přı́padě libovolné prostorové
dimenze.
Poznámka 7. Představme si, že koeficient růstu populace r a koeficient difúze
d jsou dané a známé. Pak také kritická délka Lc je známá. Předpokládejme, že
model popisuje realisticky chovánı́ obaleče, který žije napřı́klad v pásu lesa délky
L, na jehož koncı́ch je hustota obaleče nulová (např. dı́ky přirozenému okolı́ nebo
chemickému ošetřenı́) a z nějakého důvodu je přirozené považovat populaci za
homogennı́ vzhledem k šı́řce pásu (napřı́klad pás je dostatečně úzký). Pokud je
8
L < Lc = π
q
d
r,
pak nulové řešenı́ je stabilnı́ a populace bude k němu konver-
govat, tj. bude vymı́rat. (Máme zde na mysli konvergenci ve W 1,2 (0, L)–normě,
která dı́ky spojitosti vnořenı́ W 1,2 (0, L) ⊂ C([0, L]) implikuje speciálně stejnoměrnou konvergenci – viz odst. 1.10 dále. Pokud L > Lc , má smysl napřı́klad
pás rozdělit na části s délkami menšı́mi než Lc a oddělit je pruhy, ve kterých
obaleč nemůže žı́t – napřı́klad tyto pruhy budou chemicky ošetřovány tak, že
hustota obaleče na nich bude nulová. Pak populace bude všude opět vymı́rat. Je
možno zvolit také strategii využı́vajı́cı́ toho, že pro L ∈ (Lc , L0 ) existuje jediné
stabilnı́ řešenı́, které má menšı́ maximum, nežli je u1 – tj. přijatelná (i když
kladná) koncentrace škůdce(viz [1], kap. 1). V tomto přı́padě můžeme očekávat,
že stačı́ les rozdělit na pásy délky menšı́ než L0 a hustota populace se bude blı́žit
s rostoucı́m časem rozloženı́ ne většı́mu než u1 , což je přijatelná situace.
1.4
Model obaleče s difúzı́ – obecná dimenze
Uvažujeme rovnici
bu2
u
− 2
ut = ∆u + ru 1 −
K
a + u2
na [0, ∞) × LΩ
(20)
s okrajovými podmı́nkami (16), kde Ω je pevná oblast, L je parametr (srov. s
odst. 1.2). Přı́mo z věty 1.3 plyne následujı́cı́ tvrzenı́.
Věta 1.4. Pro L < Lc (tj. pro oblasti tvaru Ω nedosahujı́cı́ jisté kritické
1,2
velikosti) je nulové řešenı́
q úlohy (18), (13) asymptoticky stabilnı́ ve W (Ω)
d
normě, pro L > Lc =
r κ1 je nulové řešenı́ nestabilnı́. Je-li ΓD = ∅, pak
nulové řešenı́ je vždy nestabilnı́.
Podotkněme, že vlastnı́ čı́slo κ1 Laplaciánu (závisejı́cı́ na dané oblasti Ω i na
ΓD , ΓN ) lze vypočı́tat přinejmenšı́m numericky.
Poznámka 8. Bud’ O daná oblast. Označme Ω obdélnı́k s délkou strany 1 a
bud’ L < Lc . Pak O můžeme pokrýt konečným počtem čtverců Ωj , j = 1, ..., k
o straně L. Triviálnı́ řešenı́ rovnice (20) na každém z těchto čtverců s Dirichletovými podmı́nkami na celé jeho hranici je stabilnı́. Podle poznámky 6 je
stabilnı́ i triviálnı́ řešenı́ rovnice (20) na každé z množin O ∩ Ωj s Dirichletovými
podmı́nkami na celé jejı́ hranici. Tedy na každé z těchto množin opatřené Dirichletovými podmı́nkami populace vymı́rá. Rozdělı́me-li proto les na oblasti O na
podoblasti O ∩Ωj , na jejichž hranicı́ch budeme udržovat nulovou hustotu škůdce
třeba chemickým ošetřenı́m, bude škůdce vymı́rat na celé ploše O.
9
Poznámka 9. Uvědomme si, že v přı́padě nulových Dirichletových okrajových
podmı́nek (alespoň na části hranice) hledánı́ stacionárnı́ch řešenı́ našı́ úlohy znamená hledánı́ řešenı́ okrajové úlohy pro obyčejnou (v přı́padě dimenze 1) nebo
parciálnı́ (v přı́padě vyššı́ dimenze) diferenciálnı́ rovnici. Nulové řešenı́ existuje
vždy, ale hledánı́ nenulových řešenı́ už je netriviálnı́ záležitost. (Všechna taková
řešenı́ jsou už prostorově nekonstantnı́.) Jejich existenci můžeme dostat např.
na základě teorie bifurkacı́. V přı́padě nulových Neumannových podmı́nek na
celé hranici ovšem všechna prostorově konstantnı́ (i nenulová) řešenı́ dostaneme
jako řešenı́ algebraické rovnice ru + g(u) = 0 stejně jako u obyčejných rovnic.
Kromě nich ovšem mohou existovat i prostorově nehomogennı́ řešenı́, jejichž
hledánı́ opět znamená řešit diferenciálnı́ rovnici.
1.5
Bifurkace z prostého charakteristického čı́sla
Bud’ H reálný Hilbertův prostor se skalárnı́m součinem h., .i a přı́slušnou normou
k·k, A : H → H lineárnı́ kompaktnı́ operátor, N : R×H → H nelineárnı́ spojitý
kompaktnı́ operátor splňujı́cı́ podmı́nku
N (µ, u)
= 0 stejnoměrně na kompaktnı́ch µ–intervalech,
kuk
kuk→0
lim
(21)
tj. N je v okolı́ nuly malá kompaktnı́ perturbace. Speciálně tedy platı́ N (µ, 0) =
0 pro všechna µ ∈ R a rovnice
u − µAu − N (µ, u) = 0
(22)
má pro všechna µ ∈ R triviálnı́ řešenı́ u = 0.
Definice 1. Čı́slo µ0 ∈ R nazveme bifurkačnı́m bodem rovnice (22), jestliže
v každém okolı́ bodu (µ0 , 0) v R × H existuje netriviálnı́ řešenı́, tj. dvojice
(µ, u) ∈ R × H splňujı́cı́ (22), u 6= 0. Čı́slo µ0 ∈ R nazveme charakteristickým
čı́slem operátoru A, jestliže existuje nenulový prvek u0 ∈ H (charakteristický
nebo vlastnı́ vektor) takový, že u0 = µ0 Au0 .
Lemma 1.5. Je-li A kompaktnı́ lineárnı́ operátor v Hilbertově prostoru a spojitý kompaktnı́ operátor N splňuje (21), pak každý bifurkačnı́ bod úlohy (22) je
charakteristickým čı́slem operátoru A. Je-li µn → µ0 , kun k → 0, µn , un splňujı́
(22),
un
kun k
* w (slabá konvergence), pak
un
kun k
→ w i silně a w je charakteri-
stický vektor přı́slušný charakteristickému čı́slu µ0 .
10
Lemma 1.5 mj. řı́ká, že netriviálnı́ řešenı́ bifurkujı́ ve směrech charakteristických
vektorů.
Důkaz Je-li wn :=
un
kun k
* w, pak z kompaktnosti lineárnı́ho operátoru A plyne
Awn → Aw silně. Z rovnice (22) s µ = µn , u = un po vydělenı́ kun k dostaneme
s použitı́m předpokladu (21), že wn konvergujı́ silně v H a w = µ0 Aw, tedy w
je charakteristický vektor přı́slušný charakteristickému čı́slu µ0 .
Poznámka 10. Bud’ µ0 charakteristické čı́slo operátoru A. Násobnostı́ (alge∞
S
ker(I −
braickou) charakteristického čı́sla µ0 nazýváme dimenzi podprostoru
k=1
µ0 A)k . (Násobnost charakteristického čı́sla může být většı́ než jeho geometric”
ká násobnost“, tj. dimenze podprostoru ker(I − µ0 A)). Charakteristické čı́slo
µ0 nazýváme prosté, jestliže jeho násobnost je rovna jedné. Je známo, že µ0 je
prosté právě tehdy, když dim ker(I − µ0 A) = 1 a přitom hu0 , u∗0 i 6= 0, kde u∗0
je vlastnı́ vektor adjungovaného operátoru A∗ . Pokud je operátor A symetrický
(tedy samoadjungovaný), pak ovšem u∗0 = u0 a poslednı́ podmı́nka je automaticky splněna.
Věta 1.6. (viz např. [3]) Jestliže µ0 je prosté charakteristické čı́slo kompaktnı́ho
lineárnı́ho operátoru A a spojitý kompaktnı́ operátor N splňuje (21), pak µ0 je
bifurkačnı́ bod rovnice (22).
Poznámka 11. Jsou-li splněny předpoklady věty 1.6 a zobrazenı́ N je navı́c
třı́dy C k , k ≥ 2 (tj. k–krát spojitě diferencovatelné ve smyslu Frechetově,
viz např. [3]), pak existujı́ ε0 > 0 a C k−1 –zobrazenı́ µ̃ : (−ε0 , ε0 ) → R, ũ :
(−ε0 , ε0 ) → H taková, že µ̃(0) = µ0 , ũ(0) = 0, µ̃(ε), ũ(ε) splňujı́ (22) pro každé
ε ∈ (−ε0 , ε0 ) a naopak, jestliže (µ, u) splňuje (22), přičemž |µ − µ0 | a kuk > 0
jsou dostatečně malá, pak µ = µ̃(ε), u = ũ(ε) pro nějaké ε ∈ (−ε0 , ε0 ). Navı́c
platı́ ũ(ε) = ε(u0 + w̃(ε)), kde w̃(0) = 0, w̃ : (−ε0 , ε0 ) → H je C k−1 –zobrazenı́,
u0 je vlastnı́ vektor operátoru A přı́slušný µ0 . Tedy v přı́padě hladkých zobrazenı́
tvořı́ bifurkujı́cı́ řešenı́ dvě hladké polovětve“, bifurkujı́cı́ v µ = µ0 z nulového
”
řešenı́ ve směrech +u0 a −u0 .
1.6
Převedenı́ okrajové úlohy na operátorovou rovnici, slabá
řešenı́
Vrátı́me se nynı́ k otázce existence stacionárnı́ch řešenı́ okrajové úlohy (3), (2).
Hledáme tedy řešenı́ rovnice
11
duxx + ru + g(u) = 0
na (0, L)
(23)
s okrajovými podmı́nkami (8). Vı́me už, že pokud d, r jsou dané a jediný
parametr je L, docházı́ v L = Lc ke ztrátě stability nulového řešenı́ úlohy (3),
(2) a numerické výpočty ve speciálnı́ch přı́padech ukazujı́, že v Lc docházı́ k
bifurkaci stacionárnı́ch řešenı́. Dokážeme tuto skutečnost na základě věty 1.6.
Předevšı́m převedeme naši rovnici na intervalu (0, L) závislém na parametru na
rovnici na intervalu (0, 1), přičemž parametr L se přemı́stı́ do rovnice samé. Dále
pomocı́ slabých řešenı́ pak tuto rovnici převedeme na operátorovou rovnici typu
(22) ve vhodném Sobolevově prostoru.
Stejně jako v odst. 1.2 snadno zjistı́me substitucı́ y = x/L a zavedenı́m nové
funkce
v(y) = u(Ly) pro y ∈ (0, 1),
(24)
že úloha (23), (8) je ekvivalentnı́ s úlohou
d
vyy + rv + g(v) = 0
L2
na (0, 1),
v(0) = v(1) = 0.
(25)
(26)
Položme µ = dr L2 a pišme poslednı́ rovnici ve tvaru
µ
g(v) = 0
na (0, 1).
(27)
r
Zavedeme nynı́ slabé řešenı́ úlohy (27), (26). Položme H = W01,2 (0, 1) (podvyy + µv +
prostor Sobolevova prostoru obsahujı́cı́ funkce s nulovými hodnotami na hranici
intervalu (0, 1)). Je to Hilbertův prostor se skalárnı́m součinem
hu, vi =
Z1
ux vx dx
0
a přı́slušnou normou k·k, která je na
W01,2 (0, 1)
ekvivalentnı́ s klasickou W 1,2 (0, 1)
normou (podrobněji viz [?]). Slabé řešenı́ úlohy (27), (26) je funkce v ∈ H
taková, že
Z1
vx ϕx − µvϕ −
µ
g(v)ϕ dx = 0
r
∀ϕ ∈ H.
(28)
0
Definujme operátory A : H → H a N : R × H → H předpisem
hAv, ϕi =
Z1
vϕ dy
0
12
∀v, ϕ ∈ H,
(29)
hN (µ, v), ϕi =
µ
r
Z1
∀v, ϕ ∈ H, ∀µ ∈ R.
g(v)ϕ dy
(30)
0
Integrál v (29) je konečný pro každé v, ϕ ∈ H a pro pevné v definuje spojitý
lineárnı́ funkcionál (v proměnné ϕ) na H. Ten lze podle Rieszovy věty reprezentovat jediným prvkem (který značı́me Av) tak, že platı́ (29). Takto je definován
lineárnı́ operátor A. Ten je navı́c kompaktnı́, nebot’ je-li un * u v H (slabá
konvergence), pak z kompaktnosti vnořenı́ W 1,2 (0, 1) ⊂ C([0, 1]) plyne un → u
v C([0, 1]), tedy
kAun − Auk = sup
kϕk≤1
Z1
(un − u)ϕ dx ≤ C
Z1
|un − u| dx → 0.
0
0
Operátor N je též korektně definován. Pro v ∈ H je totiž g(v) ∈ C([0, 1]) (opět
vnořenı́ W 1,2 (0, 1) ⊂ C([0, 1])), tedy speciálně integrál v (30) je konečný pro
každé ϕ ∈ H a definuje spojitý lineárnı́ funkcionál (v proměnné ϕ) na H. Ten
lze podle Rieszovy věty reprezentovat jediným prvkem (který značı́me N (µ, v))
tak, že platı́ rovnost v (29). Kompaktnost ověřı́me podobně jako u operátoru A
– pokud µn → µ, un * u v H, pak un → u v C([0, 1]), tedy g(un ) → g(u) v
C([0, 1]). Odtud
kN (µn , un ) − N (µ, u)k = sup
kϕk≤1
≤C
Z1
|
Z1
0
µ
µn
g(un ) − g(u) ϕ dx
r
r
µn
µ
g(un ) − g(u)| dx → 0.
r
r
0
Pokud g(ξ) = o(|ξ|) pro |ξ| → 0, lze ověřit i podmı́nku (21) (podrobně viz
poznámka 12 nı́že).
Z definice skalárnı́ho součinu a operátorů A, N je ihned vidět, že funkce v ∈ H
je slabé řešenı́ okrajové úlohy (27), (26) právě tehdy, když
hv − µAv − N (µ, v), ϕi = 0
∀ϕ ∈ H,
což je ale ekvivalentnı́ s operátorovou rovnicı́ (22) v prostoru H.
Poznámka 12. Jestliže g(ξ) = o(|ξ|) pro |ξ| → 0, pak ke každému ε > 0
existuje δ > 0 takové, že
|g(s)|
|s|
< ε pro všechna |s| < δ. Je-li kuk < δ, pak ze
13
spojitosti vnořenı́ W01,2 (0, 1) ⊂ C([0, 1]) plyne max |u(x)| ≤ Ckuk a tedy pro
x∈[0,1]
kuk <
δ
C
dostáváme kukC([0,1]) ≤ δ a
kN (µ, u)k
= max
kuk
kϕk≤1
Z1
µ g(u(x))
ϕ(x) dx ≤
r kuk
0
≤C
µ |g(u(x))| u(x)
µ
dx ≤ C 2 ε.
r |u(x)| kuk
r
Z
{x:u(x)6=0}
Ale ε > 0 bylo libovolné, tedy platı́ (21).
Poznámka 13. Je-li v klasické řešenı́ našı́ okrajové úlohy, pak je to také jejı́
slabé řešenı́. K tomu stačı́ rovnici (27) vynásobit libovolnou testovacı́ funkcı́
ϕ z H, integrovat přes interval (0, 1) a užı́t integraci per partes. V našem
jednoduchém přı́padě snadno ověřı́me i opačnou implikaci – každé slabé řešenı́
je i řešenı́m klasickým. To však zdaleka neplatı́ vždy (podrobněji viz např [?]).
Poznámka 14. Rovnice
v = µAv
je slabou formulacı́ úlohy na vlastnı́ čı́sla
−v 00 = µv
v(0) = v(1) = 0.
(31)
Čı́slo µ je charakteristické čı́slo operátoru A a nenulový prvek v je přı́slušný
vlastnı́ vektor právě tehdy, když µ je vlastnı́ čı́slo úlohy (31) a v je přı́slušná
vlastnı́ funkce (v tom přı́padě ovšem je v ∈ C 2 ([0,1]), nejen v ∈ H - viz pozn.
13). Úloha (31) má vlastnı́ čı́sla
κn = (nπ)2 ,
n = 1, 2, . . .
a přı́slušné vlastnı́ funkce jsou sin nπx, to jsou tedy zároveň všechna charakteristická čı́sla a vlastnı́ vektory operátoru A. Každému vlastnı́mu čı́slu κn
úlohy (31) tedy přı́slušı́ (až na násobek) jediná vlastnı́ funkce sin nπx. Tedy také
dim ker(I − µn A) = 1, ker(I − µn A) = span{sin nπx}. Operátor A je symetrický
(platı́ hAu, vi = hAv, ui), tedy A∗ = A má stejné vlastnı́ vektory. Z poznámky 10
plyne, že všechna charakteristická čı́sla operátoru A jsou (algebraicky) prostá,
nebot’ je vždy automaticky splněna podmı́nka hu0 , u∗0 i = hu0 , u0 i =
6 0.
14
1.7
Lokálnı́ bifurkace stacionárnı́ch řešenı́ pro populačnı́
model
Vrat’me se k původnı́ úloze (23), (8) s parametrem L. Jejı́ slabé řešenı́ (pro
dané L) definujeme podobně jako v přı́padě úlohy (27), (25), tj. jako funkci
u ∈ W01,2 (0, L) takovou, že
ZL
dux ϕx − ruϕ − g(u)ϕ dx = 0
∀ϕ ∈ W01,2 (0, L).
0
Protože prostor se měnı́ s parametrem, nemůžeme bifurkačnı́ bod definovat
stejně jako v definici 1.5 (pro definici bifurkačnı́ho bodu bylo podstatné vědět, co
je okolı́ bifurkačnı́ho bodu, a to neumı́me v přı́padě měnı́cı́ho se prostoru přı́mo
definovat). Nazveme proto parametr L̃ > 0 bifurkačnı́m bodem úlohy (23), (8),
jestliže L̃ je bifurkačnı́m bodem rovnice (22) s výše zavedenými operátory A,
N , což je slabá formulace úlohy (25), (26). Tedy L̃ > 0 je bifurkačnı́m bodem
úlohy (23), (8), jestliže ke každému okolı́ bodu (L̃, 0) v R × W01,2 (0, 1) existuje (L, v) ∈ R × W01,2 (0, 1), v 6= 0, v je slabé řešenı́ úlohy (25), (26). Dvojice
(µ, v) ∈ R × W01,2 (0, 1) splňuje rovnici (22) s našimi speciálnı́mi operátory A,
N , tj. v je slabé řešenı́ úlohy (27), (26) právě tehdy, když u přiřazené v vztahem
(24) q
je slabé (a podle poznámky 13 zároveň klasické) řešenı́ úlohy (23), (8) s
L = µ dr . Podle věty 1.6 a poznámky 14 je každý bod µn = (nπ)2 bifurkačnı́
q
bod rovnice (22) a tedy každé Ln = πn dr je bifurkačnı́ bod původnı́ úlohy
(23), (8).
Lze ukázat, že pokud g je k-krát spojitě diferencovatelná, pak též operátor N je
k-krát Frechetovsky spojitě diferencovatelný. Tedy podle poznámky 11 v okolı́
bodu (µn , 0), µn = (nπ)2 , jsou netriviálnı́ řešenı́ úlohy (27), (26) typu
ṽn (ε) = ε(vn + w̃n (ε)),
kde w˜n (0) = 0, ṽn , w̃n : (−ε0 , ε0 ) → W01,2 (0, 1) jsou hladká zobrazenı́, vn (y) =
sin nπy. Tedy netriviálnı́ řešenı́ úlohy (23), (8) v okolı́ bodu (Ln , 0) jsou typu
ũn (ε) = ε(un + z̃n (ε)),
ε ∈ (−ε0 , ε0 ),
kde z̃n (0) = 0, un (x) = sin nπ
L x. Pro ε malé, tj. blı́zko bifurkačnı́ho bodu, majı́
tato řešenı́ charakter funkce sin nπ
L x. Tedy pro n = 1 neměnı́ na (0, L) znaménko
(jsou kladná pro ε > 0, záporná pro ε < 0), zatı́mco pro n > 1 znaménko měnı́.
Nás zajı́majı́ z hlediska popisu hustoty populace pouzeqnezáporná řešenı́, tj.
jediný pro nás zajı́mavý je bifurkačnı́ bod L1 = Lc = π dr a jediná zajı́mavá
řešenı́ ležı́ na kladné polovětvi“ ũ1 (ε) = ε(u1 + z̃1 (ε)).
”
15
1.8
Obecné věty o globálnı́ bifurkaci
Zformulujeme zde dva známé obecné výsledky, které lze užı́t pro zkoumánı́
množiny řešenı́ okrajových úloh.
Operátor N v sekci 1.5 nemusel být ve skutečnosti definován na celém R × H,
ale jen na okolı́ bodu [µ0 , 0]. Někdy tato skutečnost může být důležitá, např.
operátor N může na parametru záviset tak, že jej nelze dodefinovat pro µ = 0.
V dalšı́m bude O daná otevřená množina v R × H, kde H je Hilbertův prostor.
Operátory A, N budou jako v sekci 1.5, jen N bude v následujı́cı́ větě definován
pouze na O.
Označme C uzávěr množiny netriviálnı́ch řešenı́ úlohy (22), tj.
C = {[µ, u] ∈ O; [µ, u], splňuje (22), u 6= 0}.
Přı́mo z definice bifurkačnı́ho bodu plyne, že µ0 je bifurkačnı́ bod právě když
[µ0 , 0] ∈ C.
Věta 1.7. (P. H. Rabinowitz [15]) Bud’ µ0 charakteristické čı́slo kompaktnı́ho
lineárnı́ho operátoru A, které má lichou násobnost. Bud’ O otevřená množina
v R × H, N : O → H spojitý kompaktnı́ operátor splňujı́cı́ (21). Pak µ0 je bifurkačnı́ bod rovnice (22). Navı́c bifurkace v bodě µ0 je globálnı́ v tom smyslu,
že komponenta C0 množiny C obsahujı́cı́ bod [µ0 , 0] splňuje alespoň jednu z
následujı́cı́ch podmı́nek.
(a) Existuje µ̂ 6= µ0 takové, že [µ̂, 0] ∈ C0 .
(b) Existuje posloupnost [µn , un ] ∈ C0 taková, že [µn , un ] → ∂O nebo kun k +
|µn | → ∞.
Poznamenejme, že podmı́nka (a) znamená, že větev C0 se vracı́ do nulového
u v nějakém charakteristickém čı́sle různém od µ0 (viz lemma 1.5). Podmı́nka
(b) obecně znamená, že množina C0 nenı́ kompaktnı́, v přı́padě O = R × H
znamená, že C0 je neomezená.
Je-li charakteristické čı́slo ve větě 1.7 dokonce prosté, tj. má násobnost 1, tedy
speciálně existuje až na násobek jediný vlastnı́ vektor u0 , pak komponenta C0
ze zmı́něné věty se skládá ze dvou polovětvı́ C0+ a C0− bifurkujı́cı́ch ve směru u0
a −u0 . Vysvětleme to přesněji. Zvolme libovolné pevné η ∈ (0, 1) a označme
Kη+ = {[µ, u]; h
u
u
, u0 i > η}, Kη− = {[µ, u]; h
, u0 i < −η}
kuk
kuk
a Br (µ0 , 0) = {[µ, u] ∈ R × H; |µ − µ0 | + kuk < r}. (Z druhé části lemmatu
1.5 snadno plyne, že C0 ∩ Br (µ0 , 0) ⊂ (Kη+ ∪ Kη− ∪ {[µ0 , 0]}.) Existujı́ souvislé
množiny C0+ a C0− s následujı́cı́mi vlastnostmi:
16
C0 = C0+ ∪ C0− , C0+ ∩ C0− ∩ Br (µ0 , 0) = {[µ0 , 0]},
C0+ ∩ Kη+ ∩ ∂Br (µ0 , 0) 6= 0, C0− ∩ Kη− ∩ ∂Br (µ0 , 0) 6= 0
(32)
pro všechna dostatečně malá r > 0.
Speciálně odtud a z druhé části lemmatu 1.5 plyne, že C0+ resp. C0− obsahuje
posloupnost [µn , un ] → [µ0 , 0] takovou, že
un
kun k
→ u0 resp.
un
kun k
→ −u0 . Po-
drobně např. viz [3].
V dalšı́ větě budeme uvažovat jen přı́pad O = R × H.
Věta 1.8. (E. N. Dancer [16]) Bud’ µ0 prosté charakteristické čı́slo kompaktnı́ho
lineárnı́ho operátoru A a bud’ N : R × H → H spojitý kompaktnı́ operátor
splňujı́cı́ (21). Pokud C0+ ∩ C0− obsahuje pouze bod [µ0 , 0], pak C0+ i C0− jsou
neomezené.
1.9
Globálnı́ bifurkace pro populačnı́ model v dimenzi 1
Budeme nynı́ zkoumat existenci a rozloženı́ netriviálnı́ch stacionárnı́ch řešenı́
úlohy (25), (26) a použijeme k tomu globálnı́ bifurkačnı́ větu 1.8 z předcházejı́cı́ho
odstavce. Pro jednoduchost se omezı́me na přı́pad dimenze 1.
K tomu, aby větev řešenı́ z Rabinowitzovy nebo Dancerovy věty nemohla být
neomezená jen v argumentu u a musela být neomezená v µ (resp. v L), budeme
předpokládat, že existujı́ δ > 0, c > 0 taková, že
g(ξ) ≤ −c|ξ|1+δ pro všechna ξ > 0.
Funkce typu g(ξ) = −rξ 2 z logistické rovnice i g(ξ) = −rξ 2 −
(33)
ξ2
1+ξ 2
z modelu
obaleče tento předpokladqovšem splňujı́ s δ = 1.
V dalšı́m bude Lc = π dr vždy značit hodnotu, ve které docházı́ ke ztrátě
stability triviálnı́ho řešenı́ úlohy (3), (2) (odst. 1.1).
Věta 1.9. Předpokládejme, že spojitá funkce g : R → R splňuje (33) a g(ξ) =
o(|ξ|) pro |ξ| → 0. Pak pro každé L > Lc existuje alespoň jedno kladné (na
(0, 1)) řešenı́ úlohy (25), (26) a pro žádné L ≤ Lc kladné řešenı́ neexistuje.
Přesněji, označı́me-li S0+ komponentu množiny
S + = {[L, u] ∈ (0, ∞) × W01,2 (0, 1); [L, u] splňuje (25), (26), u > 0 na (0, 1)},
obsahujı́cı́ bod [Lc , 0], pak
ke každému L > Lc existuje u > 0 na (0, 1) takové, že [L, u] ∈ S0+ ,
(34)
pro každé [L, u] ∈ S0+ , [L, u] 6= [Lc , 0] je u > 0 na (0, 1), L > Lc .
(35)
17
Věta 1.9 speciálně řı́ká, že Lc je bifurkačnı́ bod a z něho vycházejı́cı́ větev je
neomezená v parametru L.
Poznámka 15. Je-li H Hilbertův prostor, A : H → H lineárnı́ kompaktnı́ a
symetrický operátor, pak má A nekonečnou posloupnost vlastnı́ch čı́sel, přičemž
největšı́ vlastnı́ čı́slo je
λmax = maxu∈H,
u6=0
hAu, ui
= maxu∈H,kuk=1 hAu, ui.
kuk2
(36)
Z poznámky 14 tedy plyne, že v přı́padě našeho operátoru A z (29) je µ0 := κ1 =
1
λmax
nejmenšı́ charakteristické čı́slo operátoru A a zároveň nejmenšı́ vlastnı́ čı́slo
úlohy (31).
Lemma 1.10. Pokud funkce g : R → R splňuje podmı́nku g(ξ) < 0 pro každé
ξ > 0 a u je nezáporné netriviálnı́ řešenı́ úlohy (8), (26) pro nějaké L, pak
L > Lc .
Pokud g(ξ) < 0 pro každé ξ > 0, g(ξ) > 0 pro každé ξ < 0 a u je dokonce
jakékoli netriviálnı́ řešenı́ úlohy (8), (26) pro nějaké L, pak L > Lc .
Podotkněme, že v přı́padě logistické rovnice nebo modelu obaleče je splněn
pouze znaménkový předpoklad z prvnı́, nikoli druhé části lemmatu. V obou
těchto přı́padech se dá ukázat, že existujı́ záporná řešenı́ s L < Lc bifurkujı́cı́ z
Lc . (Transkritická bifurkace - jedna polovětev bifurkuje doprava, druhá doleva.)
Oba předpoklady z druhé části lemmatu jsou splněny např. pro funkce typu
g(ξ) = −ξ 3 .
Důkaz: Volbou testovacı́ funkce ϕ = u v definici slabého řešenı́ (srov. s (28))
dostaneme
d
L2
Z
1
2
|ux | dx =
0
Z
1
(ru2 + g(u)u)dx.
0
Vydělı́me-li poslednı́ rovnost kuk2, dostaneme s pomocı́ znaménkových předpokladů
a poznámky 15
Z 1
Z 1
Z 1
d
u2
g(u)u
u2
d
=
(r
+
)dx <
r
dx ≤ maxkϕk=1
rϕ2 dx = rλmax = 2 .
2
2
2
L2
kuk
kuk
kuk
L
0
0
0
c
Tedy L > Lc .
Lemma 1.11. Bud’ C0+ resp. C0− větev netriviálnı́ch řešenı́ rovnice (22) v prostoru H = W01,2 s operátory z (29), (30), bifurkujı́cı́ v µ0 := κ1 (= dr L2c ) ve směru
u0 resp. −u0 z Dancerovy věty 1.8. Pak
u > 0 na (0, 1) pro všechna [µ, u] ∈ C0+ s u 6≡ 0,
u < 0 na (0, 1) pro všechna [µ, u] ∈ C0− s u 6≡ 0.
18
(37)
Důkaz: Nejdřı́ve ukážeme, že existuje r > 0 takové, že
u > 0 na (0, 1) pro všechna [µ, u] ∈ C0+ ∩ Br (µ0 , 0) ∩ Kη+ s u 6≡ 0.
(38)
Jinak by z vlastnostı́ (32) množiny C0+ a lemmatu 1.5 plynula existence posloupnostı́ [µn , un ] ∈ C0+ a xn ∈ (0, 1) takových, že [µn , un ] → [µ0 , 0], kun k =
6 0,
un
kun k
→ u0 a un (xn ) = 0, xn → x0 . Máme u0 > 0 na (0, 1) a protože
un
kun k
→ u0
stejnoměrně na [0, 1] dı́ky spojitosti vnořenı́ H do C([0, 1]), musı́ být x0 = 0
nebo x0 = 1. Uvažujme prvnı́ přı́pad, druhý vede ke sporu analogicky. Vzhledem
k tomu, že
g(un )
kun k
→ 0 stejnoměrně na [0, 1] dı́ky předpokladu g(u) = o(|u|) pro
|u| → 0, dostaneme vyjádřenı́m z rovnice, že
u00
n
kun k
→ u000 a odtud
u0n
kun k
→ u00
stejnoměrně na [0, 1]. Podrobněji viz pozn. 16. Podle věty o střednı́ hodnotě
existujı́ x̄n ∈ (0, xn ) taková, že 0 =
un (xn )−u(0)
xn kun k
=
u0n (x̄n )
kun k
→ u00 (0). Máme ale
u00 (0) 6= 0, což je spor a existence dost malého r > 0 splňujı́cı́ho (38) je dokázána.
Kdyby neplatilo celé tvrzenı́ (37), pak by odtud plynula existence posloupnosti
[µn , un ] ∈ C0+ takové, že un > 0 na (0, 1), [µn , un ] → [µ̃, u], přičemž bud’
u 6≡ 0, u(x0 ) = 0 pro nějaké x0 ∈ (0, 1),
(39)
u ≡ 0, µ̃ 6= µ0 .
(40)
nebo
V přı́padě (39) z nezápornosti u plyne i u0 (x0 ) = 0. Úloha má ale triviálnı́ řešenı́
a z jednoznačnosti řešenı́ procházejı́cı́ho daným bodem a splňujı́cı́m u(x0 ) =
u0 (x0 ) = 0 by plynulo u ≡ 0, což by byl spor. V přı́padě (40) by byl µ̃ bifurkačnı́ bod a podle lemmatu 1.5 též charakteristické čı́slo operátoru A, tedy
µ̃ = κn pro nějaké n > 1 (viz pozn. 14). Měli bychom přitom
un
kun k
→ en ≥ 0
(charakteristická funkce úlohy (10), (8) odpovı́dajı́cı́ κn ). Ale en (x) = sin nπx
pro n > 1 měnı́ znaménko, opět spor. Tedy prvnı́ tvrzenı́ v (37) je dokázáno.
Druhé tvrzenı́ bychom ovšem dokázali analogicky.
Důkaz věty 1.9: Označme
r
r
d
d
+
+
−
S0 = {[L, u]; L =
µ, [µ, u] ∈ C0 }, S0 = {[L, u]; L =
µ, [µ, u] ∈ C0− },
r
r
kde C0+ resp. C0− je větev netriviálnı́ch řešenı́ rovnice (22) v prostoru H = W01,2
s operátory z (29), (30), bifurkujı́cı́ v µ0 := κ1 (= dr L2c ) ve směru u0 resp. −u0
z Dancerovy věty 1.8. Ukážeme, že S0+ má všechny vlastnosti z našeho tvrzenı́.
Z lemmatu 1.11 plyne, že C0+ ∩ C0− obsahuje pouze bod [µ0 , 0]. Podle Dancerovy
věty 1.8 jsou tedy množiny C0+ , C0− a tedy i S0+ , S0− neomezené. Zřejmě S0+ je
souvislá část množiny S + ze zněnı́ věty. Ukážeme, že S0+ musı́ být neomezená
19
v argumentu L. V opačném přı́padě by existovala posloupnost [Ln , un ] ∈ S0+
taková, že Lc < Ln < C (s nějakým C > 0) a kun k → ∞ (viz též lemma 1.10).
Volbou ϕ = un v definici slabého řešenı́ dostáváme dı́ky předpokladu (33) a již
dokázané podmı́nce (1.10)
Z 1
Z 1
d
d
2
2
|(u
)
|
−ru
−g(u
)u
dx
≥
|(un )x |2 −ru2n +c1 u2+δ
0=
n
x
n
n
n
n dx. (41)
2
2
0 C
0 Ln
Integrál z prvnı́ho výrazu konverguje k nekonečnu podle předpokladu, poslednı́
R1
je nezáporný a tedy musı́ být 0 ru2n dx → ∞. Ale ze spojitosti vnořenı́ L2+δ do
L2 dostaneme
Z
1
0
tedy
Z
−r
0
1
u2n dx
+ c1
Z
1
0
u2n dx
u2+δ
n dx
≤ c3
Z
1
Z
1
0
≥ −rc3
0
2
2+δ
u2+δ
n dx
2
2+δ
u2+δ
n dx
,
+ c1
Z
1
0
u2+δ
n dx → ∞.
Tedy celý poslednı́ integrál v (41) konverguje k nekonečnu pro n → ∞. To je
spor a důkaz věty je dokončen.
un
kun k → u0
g(un (x)) un (x)
un (x) kun k . Proto z
Poznámka 16. Máme un → 0,
un (x) 6= 0 je
|ξ| → 0 plyne
g(un (x))
kun k
g(un )
kun k →
=
stejnoměrně. Pro x taková, že
předpokladu g(ξ) = o(|ξ|) pro
0 stejnoměrně. Slabá řešenı́ un jsou v uvažovaném přı́padě
µn
r g(un ). Po vydělenı́ kun k
konvergentnı́ v L2 , tedy kuunn k je Cauchyovská
Přitom kuunn k → u0 ve W 1,2 (0, 1) a tedy musı́
2,2
1
i řešenı́ klasická (pozn. 13), tedy u00n = −µn un −
dostáváme, že posloupnost
a tedy konvergentnı́ ve W
být
un
kun k
un
kun k
→ u0 ve W
2,2
u00
n
kun k
2,2
je
(0, 1).
(0, 1). Ze spojitosti vnořenı́ W
(0, 1) do C ([0, 1]) plyne
1
→ u0 v C ([0, 1]).
1.10
Globálnı́ bifurkace pro populačnı́ model v obecné dimenzi
V přı́padě dimenze N > 1 nemusı́ integrál
W
1,2
R
Ω
g(u)ϕdx pro libovolná u, ϕ ∈
(Ω) ani existovat. Budeme proto předpokládat, že existuje C > O splňujı́cı́
podmı́nku
|g(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|q−1 ) pro všechna ξ ∈ R,
kde q je libovolné při N = 2, 1 ≤ q <
(42)
2N
při N > 2.
N −2
Pak je totiž možno užı́t dvě následujı́cı́ skutečnosti.
Věta o vnořenı́. Platı́ W 1,2 (Ω) ⊂ Lq (Ω) pro libovolné q ≥ 1 v přı́padě N = 2
a pro q ∈ [1, N2N
−2 ) v přı́padě N > 2. Toto vnořenı́ je navı́c kompaktnı́. Speciálně
pokud un * u ve W 1,2 (Ω) pak un → u v Lq (Ω) s uvedeným q.
20
Věta o Němyckého operátoru. Je-li funkce g měřitelná a splňuje podmı́nku
růstu |g(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|r/s ) pro všechna ξ ∈ R, pak zobrazenı́ u → g(u) (tzv.
Němyckého operátor) je spojité zobrazenı́ prostoru Lr (Ω) do Ls (Ω).
Je-li nynı́ u ∈ W 1,2 (Ω), pak z věty o vnořenı́ u ∈ Lq (Ω) s uvedeným q. Pokud
1/q + 1/q ∗ = 1, pak
q
q∗
= q − 1, tedy z věty o Němyckého operátoru g(u) ∈
Lq∗ (Ω). Z Hölderovy nerovnosti pak plyne
Z
g(u)ϕdx ≤
Ω
Z
Ω
1/q∗ Z
1/q
q
|g(u)| dx
|ϕ| dx
,
q∗
Ω
tedy integrál je konečný a předpisem
Z
g(u)ϕdx pro každé u, ϕ ∈ W 1,2 (Ω)
hG(u), ϕi =
Ω
je korektně definován operátor G : W 1,2 (Ω) → W 1,2 (Ω). Je-li µn → µ, un * u
ve W 1,2 (Ω), pak z věty o vnořenı́ un → u v Lq (Ω) s uvedeným q a tedy z věty
o Němyckého operátoru g(un ) → g(u) v Lq∗ (Ω). Z Hölderovy nerovnosti a věty
o vnořenı́ pak plyne
kG(un ) − G(u)k = maxkϕk≤1
Z
(g(µn , un − g(µ, u))ϕdx ≤
Ω
maxkϕk≤1
Z
Ω
C
1/q∗ Z
1/q
|(g(µn , un − g(µ, u))|q ∗ dx
|ϕ|q dx
≤
Ω
Z
Ω
1/q∗
∗
|(g(µn , un − g(µ, u))|q dx
→ 0.
tedy G(un ) → G(u).
Ověřenı́ podmı́nky (21) je podstatně obtı́žnějšı́ než v dimenzi 1, viz např. [?].
Tvrzenı́ věty 1.9 platı́ za dodatečného předpokladu (42) i přı́padě omezené
oblasti s lipschitzovskou hranicı́ v RN , N > 1. Důkaz použitého lemmatu 1.10
je v obecné dimenzi úplně stejný jako v dimenzi 1 a v důkaze věty 1.9 se
předpoklad o dimenzi 1 použil pouze při aplikaci lemmatu 1.11, v jehož důkaze
jsme užili vnořenı́ W 1,2 do prostoru spojitých funkcı́, které v obecné dimenzi
neplatı́. K důkazu tohoto lemmatu ve vyššı́ dimenzi lze použı́t princip maxima.
21
2
Destabilizačnı́ vliv difúze
Uvažujme omezenou oblast Ω v Rn s lipschitzovskou hranicı́. Zkoumejme okrajovou úlohu
ut = d1 ∆u + f (u, v)
vt = d2 ∆v + g(u, v)
)
na [0, +∞) × Ω
(43)
∂v
∂u
=
= 0 na ∂Ω,
(44)
∂n
∂n
kde f, g jsou dané reálné, pro jednoduchost diferencovatelné, funkce dvou proměnných
a d1 , d2 jsou nezáporné parametry (koeficienty difúze). Předpokládejme, že
f (ū, v̄) = g(ū, v̄) = 0
(45)
pro nějaké konstanty ū, v̄ ≥ 0. Tedy U = [ū, v̄] je stacionárnı́ řešenı́ úlohy (43),
(44). Ukážeme, že za jistých přirozených předpokladů docházı́ k následujı́cı́mu
efektu objevenému v r. 1952 A. M. Turingem [13]. Konstantnı́ řešenı́ U je asymptoticky stabilnı́ jakožto řešenı́ systému přı́slušných obyčejných diferenciálnı́ch
rovnic bez difúze (tj. pro d1 = d2 = 0 v (43)), ale pro některé kombinace koeficientů difúze d1 , d2 je nestabilnı́m řešenı́m úlohy (43), (44). Vzhledem k tomu, že
uvažujeme nulový tok hranicı́ (Neumannovy okrajové podmı́nky (44)), nenı́ proces ovlivněn z vnějšku a proto tato ztráta stability (oproti systému bez difúze)
musı́ být způsobena difúzı́. Popı́šeme přesně oblasti parametrů d1 , d2 , pro něž je
U stabilnı́m řešenı́m úlohy (43), (44) (oblast stability DS ) a pro něž je řešenı́m
nestabilnı́m (oblast nestability DU ).
Dı́ky ztrátě stability stacionárnı́ho prostorově homogennı́ho řešenı́ U docházı́ k
bifurkaci stacionárnı́ch prostorově nehomogennı́ch (nekonstantnı́ch) řešenı́. Ty
popisujı́ vznik prostorových struktur (spatial patterns) v řadě modelů v biologii.
Základnı́ idea vzniku prostorových struktur v biologii. Uvažujme, že ve
zkoumané tkáni (např. v embryu či jeho části) jsou geneticky dané chemické
látky (morfogeny), které spolu reagujı́ a zároveň difundujı́ v prostoru a jejichž
koncentrace ovlivňuje dalšı́ chovánı́ buněk. Pokud morfogeny jsou v prostoru homogenně rozloženy, nenı́ důvod ke vzniku odlišnostı́ v chovánı́ buněk v různých
mı́stech sledované tkáně. Pokud z jakéhokoli důvodu dojde k nehomogennı́mu
rozloženı́ morfogenů, má to za následek rozdı́lný vývoj různých částı́ tkáně.
Předpokládá se, že reakce a difúze morfogenů je popsána systémem typu (43),
kde u a v popisujı́ koncentrace morfogenů. Pokud parametry jsou takové, že
je stabilnı́ základnı́ prostorově konstantnı́ stacionárnı́ řešenı́ odpovı́dajı́cı́ jisté
rovnováze, tlumı́ se drobné náhodné poruchy a koncentrace morfogenů se bude
udržovat v blı́zkosti prostorově homegennı́ho stavu. Pokud se ale parametry
22
změnı́ tak, že prostorově konstantnı́ stacionárnı́ řešenı́ stabilitu ztratı́ a zı́ská
ji jiné prostorově nehomogennı́ stacionárnı́ řešenı́, dá se očekávat, že i vlivem
malých poruch dojde k rostoucı́ nehomogennosti rozloženı́ morfogenů a následně
k prostorově nehomogennı́mu vývoji tkáně. Na základě této myšlenky řada autorů zkoumala vznik prostorových struktur v řadě situacı́. Mezi nejatraktivnějšı́
patřı́ pokus o vysvětlenı́ regeneračnı́ch schopnostı́ nezmara ([14]) nebo vznik
vzorků na srsti zvı́řat ap. (např. [4]). Zdůrazněme, že tato teorie neodporuje
např. teorii Darvinově, jak by se mohlo zdát. Jde tu totiž o vysvětlenı́ jediného
kroku vývoje – jak ke zmı́něnému vzniku prostorových rozlišenı́ docházı́. Proč
k němu docházı́ je otázka jiná a odpověd’ lze hledat v genetice – předpokládá
se, že morfogeny jsou geneticky určeny. Teorie byla řadou autorů dlouho zkoumána čistě z teoretického hlediska, bez důkazu existence morfogenů ap. V
devadesátých letech se ale podařilo sledovat v laboratoři skutečnou chemickou
reakci vykazujı́cı́ vznik prostorových struktur ([11]) a v poslednı́m desetiletı́ byla
zjištěna v některých speciálnı́ch situacı́ch existence morfogenů ([?]). Reálnost
této teorie tı́m opět stoupla. Je nutno podotknout, že teoriı́ popisujı́cı́ch vznik
prostorových struktur je vı́ce.
2.1
Podmı́nky pro nestabilitu způsobenou difúzı́
Zformulujme podmı́nky, za nichž k výše zmı́něnému efektu docházı́. Označme
B = (bij )2i,j=2 = F 0 (U ) Jacobiho matici zobrazenı́ F = [f,g] v bodě U , tj.
∂f
∂f
(ū, v̄), b12 =
(ū, v̄),
∂u
∂v
∂g
∂g
(ū, v̄), b22 =
(ū, v̄).
=
∂u
∂v
b11 =
b21
Naši úlohu můžeme zapsat ve tvaru linearizace v bodě U plus malá perturbace
daná jistými funkcemi n1 , n2 , tj.
ut = d1 ∆u + b11 (u − ū) + b12 (v − v̄) + n1 (u, v),
vt = d2 ∆v + b22 (u − ū) + b22 (v − v̄) + n2 (u, v),
kde n1 , n2 jsou zbytky v Taylorově rozvoji funkcı́ f, g v bodě ū, v̄ tj.
nj (u, v) = o(|u − ū| + |v − v̄|) pro u → ū, v → v̄,
f (u, v) = b11 (u − ū) + b12 (v − v̄) + n1 (u, v)
g(u, v) = b21 (u − ū) + b22 (v − v̄) + n2 (u, v).
(Připomeňme, že platı́ (45)).
23
(46)
Předpokládejme, že
det B > 0, tr B < 0,
(47)
kde detB je determinant a trB stopa matice B (tj. trB = b11 + b22 ). Tento
předpoklad zaručuje, že ū, v̄ jakožto řešenı́ systému obyčejných diferenciálnı́ch
rovnic ut = f (u, v), vt = g(u, v) (tj. našeho systému bez difúze) je asymptoticky
stabilnı́.
Dále předpokládejme, že matice B je jednoho z typů
!
!
!
+−
++
−+
,
,
,
+−
−−
−+
−−
++
!
.
(48)
Přitom třetı́ typ se dostane z prvnı́ho a čtvrtý z druhého pouhou záměnou u a
v, tedy stačı́ uvažovat prvnı́ dva.
Představme si, že systém (43) popisuje chemickou (biochemickou) reakci, u(t, x)
a v(t, x) jsou koncentrace dvou reaktantů v čase t a bodě x. Uvažujme prvnı́
typ matice B ze (48), tj.
b11 > 0, b12 < 0, b21 > 0, b22 < 0.
(49)
Pak se jedná v okolı́ stacionárnı́ho řešenı́ o reakci typu aktivátor-inhibitor.
Z rovnic (46) je vidět, že čı́m vı́ce převyšuje u rovnovážnou hodnotu ū, tı́m vı́ce
přispı́vá k produkci sebe sama (nebot’ b11 > 0), zatı́mco čı́m vı́ce v převyšuje v̄,
tı́m vı́ce brzdı́ produkci u (nebot’ b12 < 0). Stejně z druhé rovnice pro produkci
v. Tedy u aktivuje tvorbu sebe sama i tvorbu v, zatı́mco v inhibuje tvorbu u i v
(mı́něno v okolı́ rovnovážného stavu ū, v̄ – pro hodnoty vzdálené ū, v̄ už mohou
hrát podstatnou roli nelinearity n1 , n2 , které jsou malé pouze v okolı́ ū, v̄).
Druhý typ matice B z (48), tj.
b11 > 0, b12 > 0, b21 < 0, b22 < 0
(50)
odpovı́dá reakcı́m označovaným jako ”positive feedback”(což je zavádějı́cı́ označenı́
užı́vané snad s ohledem na historii zkoumánı́ takových systémů) nebo ”substrate
depletion”. Při koncentracı́ch blı́zkých rovnovážnému stavu ū, v̄ nárůst koncentrace prvnı́ho i druhého reaktantu zvyšuje produkci prvnı́ho a snižuje produkci
druhého reaktantu.
Poznámka 17. Je přirozené položit w = u − ū, z = v − v̄, ñj (w, z) = nj (w +
ū, z + v̄) a zkoumat systém
wt = d1 ∆w + b11 w + b12 z + ñ1 (w, z)
zt = d2 ∆z + b22 w + b22 z + ñ2 (w, z).
24
(51)
Jeho řešenı́ w, z popisuje odchylky skutečného řešenı́ u, v původnı́ho systému od
stacionárnı́ho stavu ū, v̄. Stabilita řešenı́ ū, v̄ systému (43), (44) je ekvivalentnı́
se stabilitou nulového řešenı́ systému (51), (44). Funkce ñj jsou ovšem v okolı́
nuly malé perturbace, tj.
ñj (w, z) = o(|w| + |z|) pro |w| + |z| → 0.
2.2
(52)
Oblast stability a nestability
O stabilitě řešenı́ U vypovı́dajı́ znaménka reálných částı́ vlastnı́ch čı́sel úlohy
d1 ∆u + b11 u + b12 v = λu
d2 ∆v + b21 u + b22 v = λv na Ω
(53)
s okrajovými podmı́nkami (44).
Věta 2.1. (Viz např. [12].) Jestliže pro dané (d1 , d2 ) ∈ R2+ existuje ε > 0
takové, že Re λ ≤ −ε pro všechna vlastnı́ čı́sla úlohy (53), (44), pak řešenı́ U
systému (43), (44) je stabilnı́ v normě W 1,2 (Ω). Pokud existuje vlastnı́ čı́slo λ
úlohy (53), (44) takové, že Re λ > 0, pak řešenı́ U je nestabilnı́.
Pokusme se zjistit, pro která d1 , d2 je splněna některá z podmı́nek z věty 2.1.
Slabé řešenı́ úlohy (53), (44) je dvojice U = [u, v] ∈ W 1,2 (Ω)×W 1,2 (Ω) taková,
že
Z
ZΩ
d1 ∇u · ∇ϕ − (b11 u + b12 v − λu) ϕdx = 0
(54)
d2 ∇v · ∇ϕ − (b21 u + b22 v − λv) ϕdx = 0
Ω
pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Ω).
Prostor W 1,2 (Ω) je Hilbertův prostor se skalárnı́m součinem
Z
hu, vi =
∇u∇v + uv dx.
Ω
Definujme operátor A : W
1,2
(Ω) → W 1,2 (Ω) předpisem
hAu, ϕi =
Z
∀u, ϕ ∈ W 1,2 (Ω).
uϕ dy
(55)
Ω
Stejně jako v sekci 1.5 je operátor A je lineárnı́, kompaktnı́ a symetrický. Vzhledem k tomu, že (54) můžeme ekvivalentně zapsat jako
Z
d1 (∇u · ∇ϕ + uϕ) − ((b11 + d1 )u + b12 v − λu) ϕdx = 0
ZΩ
d2 (∇v · ∇ϕ + vϕ) − (b21 u + (b22 + d2 )z − λv) ϕdx = 0
Ω
pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Ω),
25
(56)
plyne přı́mo z definice skalárnı́ho součinu a operátoru A, že U = [u, v] ∈
W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω) je slabé řešenı́ právě když
d1 u − (b11 + d1 )Au − b12 Av + λAu = 0
(57)
d2 v − b21 Au − (b22 + d2 )Av + λAv = 0.
Označme
D(d) =
d1 , 0
0, d2
!
b11 + d1 , b12
, B(d) =
b21
, b22 + d2
!
Au
, AU =
Av
!
.
(58)
Můžeme ted’ (57) zapsat ve vektorovém tvaru jako
D(d)U − B(d)AU + λAU = 0.
(59)
−∆u = κu na Ω
(60)
Úloha
∂u
= 0 na ∂Ω
∂n
má nekonečnou posloupnost vlastnı́ch čı́sel κj , j = 0, 1, 2, . . . přičemž κ0 = 0
a přı́slušná vlastnı́ funkce e0 je konstantnı́. Slabé řešenı́ úlohy (60) je funkce
u ∈ W 1,2 (Ω) taková, že (po vhodném přepsánı́)
Z
∇u · ∇ϕ + uϕ − (1 + κ)uϕdx = 0 pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Ω),
(61)
Ω
což je ekvivalentnı́ rovnici
1
1+κ u
= Au. Ze známých výsledků o regularitě slabých
řešenı́ (viz např. [?]) plyne, že řešenı́ úlohy (61) jsou klasické vlastnı́ funkce úlohy
(60). Odtud plyne, že operátor A má vlastnı́ čı́sla νn =
1
1+κn ,
kde κn jsou vlastnı́
čı́sla úlohy (60), a že přı́slušné vlastnı́ vektory operátoru A jsou vlastnı́ funkce
úlohy (60). Vlastnı́ vektory lineárnı́ho kompaktnı́ho symetrického operátoru v
Hilbertově prostoru lze vybrat tak, že tvořı́ ortonormálnı́ systém en (viz např.
[3]) a tedy pro náš operátor A to je zároveň ortonormálnı́ (ve W 1,2 (Ω)) systém
vlastnı́ch funkcı́ úlohy (60).
Tedy libovolnou dvojici U = [u, v] ∈ W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω) můžeme zapsat ve
tvaru (ve W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω) konvergentnı́) řady
U (x) =
∞
X
Fj ej (x),
(62)
j=0
kde Fj = [a1j , a2j ]T ∈ R2 , tj. máme u(x) =
Dı́ky spojitosti lineárnı́ho operátoru A je
P∞
j=0
a1j ej (x), v(x) =
P∞
j=0
a2j ej (x).
∞
k
k
∞
X
X
X
X
Fj Aej .
AFj ej =
Fj ej ) = limk→∞
Fj ej ) = A(limk→∞
A(
j=0
j=0
j=0
26
j=0
Dosazenı́m do (59) dostáváme
∞
X
(D(d) − B(d)A + λA)Fj ej = 0.
j=0
1
1+κj ej
Odtud s užitı́m toho, že Aej =
∞
X
a vynásobenı́m 1 + κj dostáváme
((1 + κj )D(d) − B(d) + λE)Fj ej = 0,
j=0
kde E je jednotková matice. Vzhledem k tomu, že B(d) − D(d) = B a že ej je
ortogonálnı́ systém ve W 1,2 (Ω), je tato rovnost splněna právě když
(κj D(d) − B + λE)Fj = 0
(63)
pro všechna j = 0, 1, 2, . . . . (Uvědomme si, že stále pracujeme s vektorovými
zápisy, speciálně poslednı́ výraz je prvek R2 .) Dále λ je vlastnı́ čı́slo úlohy (53),
(44) (tj. (59)) právě když existuje nenulové řešenı́, tj. U pro něž Fj 6= 0 v rozvoji
(62) pro nějaké j. Algebraická rovnice (63) (pro dvě neznámé a1j , a2j ) má přitom
nenulové řešenı́ Fj = [a1j , a2j ] ∈ R2 právě když
det(κj D(d) − B + λE) = 0, tj.
0 = (κj d1 − b11 + λ)(κj d2 − b22 + λ) − b12 b21
= λ2 + λ[κj (d1 + d2 ) − (b11 + b22 )] + (κj d1 − b11 )(κj d2 − b22 ) − b12 b21 .
Tedy λ je vlastnı́ čı́slo úlohy (53), (44) právě když pro nějaké j je to kořen této
(j)
(j)
kvadratické rovnice, tj. λ = λ1 nebo λ = λ2 , kde
p
b11 + b22 − (d1 + d2 )κj ± [b11 + b22 − (d1 + d2 )κj ]2 − 4Hd (κj )
(j)
λ1,2 =
, (64)
2
kde značı́me
Hd (κ) = (κd1 − b11 )(κd2 − b22 ) − b12 b21 .
Z předpokladu (48) o tvaru matice B máme b12 b21 < 0 a tedy pro d2 > 0 z
Hd (κj ) = 0 plyne d1 κj < b11 a
d2 =
1 b12 b21
+ b22 ,
κj d1 κj − b11
b11
b22
κj a d2 = κj .
R2+ , nebot’ smysl
(65)
což je rovnice hyperboly, která má asymptoty d1 =
Zajı́má nás
ovšem pouze jejı́ část ležı́cı́ v kladném kvadrantu
majı́ pouze
kladné koeficienty difúze d1 , d2 .
Označme
Cj = {d = [d1 , d2 ] ∈ R2+ ; platı́ (65)} = {d = [d1 , d2 ] ∈ R2+ ; Hd (κj ) = 0}
27
pro j = 1, 2, . . . . (Pro j = 0 je κ0 = 0, Hd (0) = detB 6= 0 pro všechna d a za
předpokladu (47) proto C0 = ∅). Tedy Cj je ta část výše zmı́něné hyperboly,
která ležı́ v kladném kvadrantu. Tyto křivky Cj majı́ tvar patrný z obr. 1.
Výpočtem se zjistı́, že majı́ společnou tečnu T , která procházı́ počátkem.
Poznámka 18. Jsou-li všechna vlastnı́ čı́sla Laplaciánu na našı́ oblasti prostá,
tj. κn < κn+1 pro všechna n = 0, 1, 2, ..., pak Cn 6= Cj pro všechna n 6= j. Pokud
vlastnı́ čı́slo κn má násobnost mj , tj. κn−1 6= κn = ... = κn+mj −1 < κn+mj pak
Cn−1 6= Cn = ... = Cn+mj −1 6= Cn+mj .
Označme nynı́ CE obálku křivek Cj (j = 1, 2, . . . ), viz obr. 1, a položme
DS = {d ∈ R2+ ; d ležı́ vpravo od CE (tj. od všech Cj )},
DU = {d ∈ R2+ ; d ležı́ vlevo od CE (tj. alespoň od jedné Cj )}.
Následujı́cı́ věta nás opravňuje nazývat DS oblast stability a DU oblast nestability.
Věta 2.2. Necht’ platı́ (47) a matice je jednoho z typů v (48). Pak pro d ∈ DS
existuje ε > 0 takové, že Re λ < −ε pro všechna vlastnı́ čı́sla λ úlohy (53), (44).
Pro d ∈ DU existuje vlastnı́ čı́slo λ > 0 úlohy (53), (44). Přesněji, pro vlastnı́
(j)
čı́slo λj := λ1
z (64) platı́ Reλj < 0 pro d vpravo od hyperboly Cj , λj = 0 pro
d ∈ Cj a λj > 0 pro d vlevo od Cj . Pro d ∈ CE ∩ Cj je λj = 0 vlastnı́ čı́slo
s největšı́ reálnou částı́ úlohy (53), (44). Vždy je Reλ2 < b11 + b22 < 0.
Speciálně stacionárnı́ řešenı́ Ū je stabilnı́ v normě W 1,2 (Ω) pro d ∈ DS a nestabilnı́ pro d ∈ DU .
28
Poznamenejme, že pro d dostatečně daleko vpravo od Cj je λj komplexnı́, tedy
musı́me skutečně mluvit o reálné části, ale pro d blı́zko Cj a vlevo od této
hyperboly je λj reálné, jak plyne ze vzorce (64).
(j)
(j)
(j)
< 0
Důkaz: Jak jsme viděli výše, všechna vlastnı́ čı́sla úlohy (53), (44) jsou λ1 , λ2 ,
j = 0, 1, 2, . . . z (64). Z předpokladu (47) ihned dostaneme, že Re λ2
vždy pro všechna j = 0, 1, 2, . . . a Re
Hd (κj ) = 0,
(j)
λ1
(j)
λ1
< 0 pro Hd (κj ) > 0,
> 0 pro Hd (κj ) < 0. (Přitom
(j)
λ1
(j)
λ1
= 0 pro
je reálné pro Hd (κj ) > 0 dost
malé.) Zároveň ale je Hd (κj ) > 0 pro d vpravo od Cj , Hd (κj ) = 0 pro d ∈ Cj a
Hd (κj ) < 0 pro d vlevo od Cj . Tedy přı́mo z definice DS , DU , Cj plyne, že pro
(j)
d ∈ DS je Reλ1
(j)
< 0 pro všechna j, pro d ∈ DU je Reλ1
(pro ta j, pro něž d je vlevo od Cj ) a pro d ∈ Cj je
(j)
λ1
> 0 pro nějaké j
= 0, j = 1, 2, ....
Kdyby pro nějaké d ∈ DS neexistovalo ε > 0 takové, že Reλj1 < −ε pro všechna
j, pak by existovala posloupnost indexů nj taková, že λnj → 0. Zřejmě by muselo
být nj → ∞ a ze vzorce (64) by plynulo Hd (κnj ) → 0. Přitom ale z definice
Hd (κ) plyne Hd (κ) → +∞ pro κ → ∞. To je spor a existence zmı́něného malého
ε > 0 je dokázána.
(j)
(k)
Je-li d ∈ CE ∩ Cj , pak λ1 = 0 pro všechna taková j a Reλ1 < 0 pro všechna
k, pro něž d ∈
/ Ck , protože d ležı́ vpravo od těchto hyperbol. Tedy λ = 0 je
vlastnı́ čı́slo s největšı́ reálnou částı́.
Tvrzenı́ o stabilitě plyne ted’ z věty 2.1.
Poznámka 19. Většinu úvah nad větou 2.2 (výpočet vlastnı́ch čı́sel, formálnı́
odvozenı́ křivek Cj , na nichž je jisté vlastnı́ čı́slo nulové) lze provést i bez
předpokladu (48), ale elementárnı́mi úvahami se zjistı́, že Cj 6= ∅ pro nějaké
j právě když je to pravda pro všechna j = 1, 2, . . . , a platı́ to za předpokladu
(47) právě když matice B je jednoho z typů uvedených v (48). Bez předpokladu
(47) nemá ovšem smysl mluvit o ztrátě stability vlivem difúze, nebot’ stacionárnı́
řešenı́ Ū je nestabilnı́ i pro systém
! bez difúze.
−+
Např. pro matice typu
splňujı́cı́ (47) je Cj = ∅, nebot’ pro libovolné
+−
d = [d1 , d2 ] ∈ R2+ máme
Hd (κj ) = (κj d1 − b11 )(κj d2 − b22 ) − b12 b21 > b11 b22 − b12 b21 > 0,
!
++
tedy d ∈
/ Cj . Pro matice typu
neplatı́ (47).
+−
2.3
Tvar vlastnı́ch funkcı́, řešenı́ linearizovaného systému
Ukážeme nynı́, že při odvozenı́ věty 2.2 jsme vlastně zároveň odvodili tvar
vlastnı́ch funkcı́ úlohy (53), (44). Jejich obě složky jsou dány vlastnı́mi funkcemi
29
Laplaciánu. Speciálně pro λ = 0 dostaneme řešenı́ linearizovaného systému.
Věta 2.3. Je-li λ vlastnı́ čı́slo úlohy (53), (44), pak přı́slušné vlastnı́ vektory
tvořı́ podprostor
Ed (λ) = span{[ei ,
d1 κi − b11 + λ
ei ]}i∈Id (λ) ,
b12
(66)
kde Id (λ) = {j; (63) má netriviálnı́ řešenı́}.
Důkaz: Z úvah před větou 2.2 plyne, že λ je vlastnı́ čı́slo úlohy (53), (44) právě
když algebraická rovnice (63) má pro nějaké j netriviálnı́ řešenı́ a že vlastnı́
P
vektory jsou dvojice U =
Fj ej , kde se sčı́tá přes všechna j, pro něž má (63)
netriviálnı́ řešenı́ Fj . Řešenı́ rovnice (63) jsou právě všechny násobky vektoru
[1,
d1 κj −b11 +λ
],
b12
tedy platı́ (66).
Věta 2.4. Necht’ j-té vlastnı́ čı́slo κj úlohy (60) je prosté. Pokud d ∈ Cj , d ∈
/ Ck
pro všechna k 6= j (tj. d ležı́ pouze na jedné hyperbole), pak řešenı́ úlohy (53),
(44) s λ = 0 tvořı́ podprostor
Ed (0) = span{[ej ,
d1 κj − b11
ej ]}.
b12
Necht’ vlastnı́ čı́sla κj , κk úlohy (60) jsou prostá, j 6= k. Pokud d ∈ Cj ∩ Ck , (tj.
d ležı́ v průsečı́ku dvou různých hyperbol), pak řešenı́ úlohy (53), (44) s λ = 0
tvořı́ podprostor
span{[ei ,
d1 κi − b11
ei ]}i∈{j,k} .
b12
Důkaz: Necht’ nejdřı́ve d ∈ Cj , d ∈
/ Ck pro všechna k 6= j. Z odvozenı́ Cj plyne,
že det(κn D(d) − B) = 0 právě jen pro n = k, tedy (63) s λ = 0 má netriviálnı́
řešenı́ právě jen pro uvažované j. Tedy ve větě 2.3 je Id (0) = {j} a tvrzenı́ plyne
z této věty. Necht’ nynı́ d ∈ Cj ∩ C` , Cj 6= C` . Pak det(κn D(d) − B) = 0 právě
jen pro n = j a n = `, tedy (63) s λ = 0 má netriviálnı́ řešenı́ právě jen pro
uvažované j a `. Tedy Id (0) = {j, `} a tvrzenı́ plyne opět z věty 2.3.
Věta 2.5. Pokud vlastnı́ čı́sla κj úlohy (60) jsou obecně násobná, označme mj
násobnost vlastnı́ho čı́sla κj , tj. platı́ κj−1 6= κj = ... = κj+mj −1 6= κj+mj a tedy
/ Ck pro všechna
také Cj−1 6= Cj = ... = Cj+mj −1 6= Cj+mj . Pokud d ∈ Cj , d ∈
k pro něž Ck 6= Cj (tj. d ležı́ pouze na jedné hyperbole), pak řešenı́ úlohy (53),
(44) s λ = 0 tvořı́ podprostor
E(d) = span{[ei ,
d1 κj − b11
j+m −1
ei ]}i=j j .
b12
(67)
Pokud , d ∈ Cj ∩ Ck , Cj 6= Ck (tj. d ležı́ v průsečı́ku dvou různých hyperbol),
pak řešenı́ úlohy (53), (44) s λ = 0 tvořı́ podprostor
span{[ei ,
dκi − b11
ei ]}i∈Ij,k ,
b12
30
kde Ij,k = {j, ..., j + mj − 1} ∪ {k, ..., k + mk − 1}.
Důkaz plyne z definice hyperbol a z věty 2.3 podobně jako věta 2.4.
(j)
(j)
V následujı́cı́m bude λj := λj1 vlastnı́ čı́slo z (64) úlohy (53), (44), Fj = [a1 , a2 ]
řešenı́ systému algebraických rovnic (63) a ej bude j-tá vlastnı́ funkce Laplaciánu
(tj. úlohy (60)).
Věta 2.6. Funkce Wj (t, x) = eλj t Fj ej (x) je řešenı́m linearizovaného systému
wt = d1 ∆w + b11 w + b12 z
(68)
zt = d2 ∆z + b22 w + b22 z
s (44). Specálně je-li d vlevo od Cj , pak lim|Uj (t, x)| = ∞ pro všechna x ∈ Ω.
Uvědomme si, že (68) je linearizacı́ (51), jehož řešenı́ popisujı́ odchylky (poruchy)
od rovnovážného stavu Ū (viz pozn. 17). Poznamenejme, že též libovolný (i libovolně malý) násobek dvojice funkcı́ Wj (t, x) je opět řešenı́ (68), (44) dı́ky
linearitě systému. Tedy pokud d je vlevo od nějaké hyperboly Cj , pak libovolně
malé násobky funkce Fj ej jsou počátečnı́mi podmı́nkami, ze kterých řešenı́ linearizovaného systému (68), (44) konvergujı́ k nekonečnu. Obecněji, bud’ d ∈ DU
P∞
a uvažujme libovolnou poruchu (počátečnı́ podmı́nku) W0 (x) := j=0 εj Fj ej (x),
kde εj 6= 0 alespoň pro jedno j, pro něž d je vlevo od Cj . Pak se tato porucha
P∞
s časem zvětšuje, nebot’ jejı́ vývoj je popsán funkcı́ W (t, x) = j=0 eλj t εj Fj ej ,
která je řešenı́m systému (68), (44).
Zdůrazněme, že zde nejde o původnı́ systém nelineárnı́, ale i pro něj je pro
d ∈ DU triviálnı́ řešenı́ nestabilnı́ podle věty 2.2.
Důkaz věty 2.6 se provede přı́mým dosazenı́m a užitı́m (63).
2.4
Bifurkace stacionárnı́ch prostorově nehomogennı́ch řešenı́
Uvažujme systém (51) popisujı́cı́ odchylky od základnı́ho rovnovážného stavu Ū .
Zkoumejme stacionárnı́ řešenı́ tohoto sytému na oblasti LΩ s Neumannovými
okrajovými podmı́nkami. Koeficienty difúze d1 = d01 , d2 = d02 budou pevné a
velikost oblasti L bude bifurkačnı́ parametr. Stejně jako v sekci 1.2 hledánı́
stacionárnı́ch řešenı́ této úlohy na LΩ je ekvivalentnı́ hledánı́ řešenı́ analogické
úlohy na pevné oblasti Ω, přičemž parametr L přejde do koeficintů difúze, tedy
d01
∆w + b11 w + b12 z + ñ1 (w, z) = 0
L2
0
d2
∆z + b21 w + b22 z + ñ2 (w, z) = 0.
L2
31
(69)
Budeme zkoumat slabá řešenı́, tj. dvojice W = [w, z] ∈ W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω)
takové, že
d01
∇w · ∇ϕ − (b11 w + b12 z + ñ1 (w, z)) ϕ dx = 0
2
Ω L
Z
d02
∇z · ∇ϕ − (b21 w + b22 z + ñ2 (w, z)) ϕ dx = 0
2
Ω L
Z
(70)
pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Ω).
V přı́padě N > 1 integrály z ñj (w, z)ϕ pro všechna w, z, ϕ nemusı́ bez dodatečných předpokladů ani existovat. Budeme proto předpokládat existenci konstanty C > 0 takové, že
|ñj (w, z)| ≤ C(1 + |w|q−1 + |z|q−1 ) pro všechna w, z ∈ R,
kde q je libovolné při N = 2, 1 < q <
(71)
2N
při N > 2.
N −2
Srov. se sekcı́ 1.10.
V dalšı́m budeme řešenı́m mı́nit vždy slabé řešenı́.
Bifurkačnı́m bodem úlohy (69), (44) mı́nı́me parametr L0 takový, že v libovolně malém okolı́ bodu [L0 , 0] v prostoru R × W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω) existuje
[L, w, z] ∈ R × W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω) s [w, z] 6= [0, 0], splňujı́cı́ (70) (tj. (69), (44)
ve smyslu slabého řešenı́).
Následujı́cı́ tvrzenı́ řı́ká, že je-li L0 bifurkačnı́ bod, pak linearizovaná úloha
d01
∆w + b11 w + b12 z = 0
(72)
L2
d02
∆z + b21 w + b22 z = 0.
L2
s L = L0 a s (44) má netriviálnı́ řešenı́ a jedině ve směru těchto netriviálnı́ch
řešenı́ mohou řešenı́ nelineárnı́ úlohy bifurkovat.
Lemma 2.7. (Srov. s lemmatem 1.5.) Je-li L0 bifurkačnı́ bod úlohy (69), (44),
d0
∈ Cj pro nějaké j. Je-li [Ln , wn , zn ] → [L0 , 0, 0] v
L20
vn
un
kun k+kvn k * w0 , kun k+kvn k * z0 , [wn , zn ] jsou řešenı́
un
vn
Ln , pak kun k+kv
→ w0 , kun k+kv
→ z0 a [w0 , z0 ] je
nk
nk
pak
R×W 1,2 (Ω)×W 1,2 (Ω),
úlohy (69), (44) s L =
řešenı́ úlohy (72), (44)
s L = L0 .
Důkaz vyplyne přı́mo z obecnějšı́ho lemmatu 2.9 užitého na operátory nad nı́m
zavedenými.
Označme T společnou tečnu k hyperbolám Cj a S uzávěr množiny netriviálnı́ch
(slabých) řešenı́ úlohy (69), (44) tj.
S = {[L, w, z] ∈ R × W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω); platı́ (70), [w, z] 6= [0, 0]}.
Přı́mo z definice plyne, že [L0 , 0] ∈ S právě když L0 je bifurkačnı́ bod.
32
Věta 2.8. Necht’ platı́ (47) a matice B je jednoho z typů v (48). Necht’ d0 =
[d01 , d02 ] pevné ležı́ nad tečnou T . Uvažujme L0 takové, že d0 /L20 ∈ Cn pro nějaké
n, d0 /L20 ∈
/ Ck pro všechna k 6= n, tedy speciálně vlastnı́ čı́slo κn úlohy (60)
je prosté. Předpokládejme, že je splněna podmı́nka (52) a v přı́padě N > 1
také (71). Pak L0 je bifurkačnı́ bod úlohy (69), (44). Navı́c bifurkace v bodě L0
je globálnı́ v tom smyslu, že komponenta S0 množiny S obsahujı́cı́ bod [L0 , 0]
splňuje alespoň jednu z následujı́cı́ch podmı́nek.
(a) Existuje L̂ 6= L0 takové, že [L̂, 0] ∈ S0 .
(b) Existuje posloupnost [Ln , Wn ] ∈ S0 taková, že Ln + kWn k → ∞ nebo Ln →
0+.
V přı́padě (a) je ovšem
d0
L̃2
∈ Cj pro nějaké j podle lemmatu 2.7.
Poznámka 20. Pokud v okolı́ bodu [0, 0] ∈ R2 neexistujı́ [ξ, η] ∈ R2 splňujı́cı́
nj (ξ, η) = 0, j = 1, 2, pak úloha (69), (44) nemá prostorově konstantnı́ řešenı́
blı́zká řešenı́ nulovému. Tedy bifurkujı́cı́ řešenı́ ležı́cı́ v blı́zkosti bifurkačnı́ho
bodu musı́ být nekonstantnı́, tj. popisujı́ prostorové vzorky.
Položme H = W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω). Pro důkaz věty 2.8 přepı́šeme naši úlohu na
operátorovou rovnici v tomto prostoru H.
Prostor W 1,2 (Ω) je Hilbertův prostor se skalárnı́m součinem
Z
∇u∇v + uv dx
hu, vi =
Ω
a tedy H je Hilbertův prostor se skalárnı́m součinem
hU, W i = hu, vi + hw, zi pro U = [u, v], W = [w, z] ∈ H.
Definujme operátory A : W 1,2 (Ω) → W 1,2 (Ω) a Nj : H → H předpisem
hAw, ϕi =
Z
wϕ dy
∀w, ϕ ∈ W 1,2 (Ω),
(73)
Ω
hNj (w, z), ϕi =
Z
ñj (w, z)ϕ dy
∀v, ϕ ∈ H.
(74)
Ω
Podobně jako v sekci 1.10 tyto operátory jsou spojité a kompaktnı́. Přitom A
je lineárnı́, Nj jsou malé nelineárnı́ perturbace, tj.
kNj (w, z)k
= 0.
kwk+kzk→0 kwk + kzk
lim
(75)
Důkaz poslednı́ho tvrzenı́ je v obecné dimenzi podstatně složitějšı́ než v poznámce
12 pro dimenzi 1 (viz [?]). Vzhledem k tomu, že (70) můžeme ekvivalentně zap-
33
sat jako
Z
d01
d01
(∇w
·
∇ϕ
+
wϕ)
−
(b
+
)w
+
b
z
+
ñ
(w,
z)
ϕdx = 0
11
12
1
2
L2
Ω L
Z
d02
d02
(∇z · ∇ϕ + zϕ) − b21 w + (b22 + 2 )z + ñ2 (w, z) ϕdx = 0
2
L
Ω L
(76)
pro všechna ϕ ∈ W 1,2 (Ω),
plyne přı́mo z definice skalárnı́ho součinu a operátorů, že W = [w, z] je slabé
řešenı́ právě když
d01
d01
w
−
(b
+
)Aw − b12 Az − N1 (w, z) = 0
11
L2
L2
d0
d02
w − b21 Aw − (b22 + 22 )Az − N2 (w, z) = 0.
2
L
L
(77)
Užijeme-li označenı́ (58) a ještě
Ñ (W ) = [N1 (w, z), N2 (w, z)]T ,
můžeme (77) zapsat ve vektorovém tvaru jako
D(d0 /L2 )W − B(d0 /L2 )AW − Ñ (W ) = 0.
(78)
Položme µ = L2 , označme O = {[µ, U ]; µ > 0, U ∈ H} a zaved’me konečně
operátory T, N : O → H předpisem
T (µ, W ) = D(d0 /µ)−1 B(d0 /µ)AW, N (µ, W ) = D(d0 /µ)−1 Ñ (W ),
(79)
kde D−1 značı́ matici inverznı́ k D. Pro pevné µ je
Tµ := T (µ, ·)
lineárnı́ operátor v H, N je malá perturbace a rovnice (78) má tvar
W − Tµ (W ) − N (µ, W ) = 0.
(80)
Tato rovnice má pro každé µ > 0 nulové řešenı́ W = 0.
Bifurkačnı́m bodem zde mı́nı́me parametr µ0 takový, že v každém okolı́ bodu
[µ0 , 0] v R × H existuje netriviálnı́ řešenı́, tj. [µ, U ] splňujı́cı́ (80), U 6= 0.
Lemma 2.9. Je-li µ0 bifurkačnı́ bod rovnice (80), pak linearizovaná rovnice
W − Tµ0 (W ) = 0
(81)
má netriviálnı́ řešenı́, tj. λ = 0 je vlastnı́ čı́slo operátoru I − Tµ0 . Jestliže
[µn , Wn ] splňujı́ (80) a [µn , Wn ] → [µ0 , 0],
Wn
kWn k
* W0 , pak
Wn
kWn k
→ W0 a
W0 splňuje (81), tj. W0 je vlastnı́ vektor operátoru I − Tµ0 přı́slušný λ0 .
34
Důkaz je skoro stejný jako důkaz lemmatu 1.5. Stačı́ si uvědomit, že je-li Wn *
W , µn → µ pak Tµn (Wn ) → Tµ (W ), což plyne z kompaktnosti operátoru A a
ze (79).
Pro rovnice typu (80) jsme v předchozı́ kapitole bifurkačnı́ věty neformulovali, ale můžeme pro ni použı́t obecnějšı́ následujı́cı́ globálnı́ bifurkačnı́ větu.
Ta zhruba řečeno zaručuje, že pokud vlastnı́ čı́slo λ liché násobnosti úlohy
W − Tµ W = λW
(82)
přecházı́ přes nulu (měnı́ znaménko) při přechodu parametru µ přes dané µ0 ,
pak µ0 je globálnı́ bifurkačnı́ bod.
Označme C uzávěr množiny netriviálnı́ch řešenı́ úlohy (80), tj.
C = {[µ, W ] ∈ O; [µ, W ] splňuje (80), W 6= 0}.
Tedy µ0 je bifurkačnı́ bod právě když [µ0 , 0] ∈ C.
Věta 2.10. (viz např. [?]) Uvažujme reálný Hilbertův prostor H a spojité
kompaktnı́ operátory T, N : O → H, kde O je otevřená množina v R × H.
Předpokládejme, že Tµ := T (µ, ·) je lineárnı́ pro každé pevné µ pro něž [µ, 0] ∈ O
a
kN (µ, U )k
= 0 stejnoměrně pro µ z kompaktnı́ch intervalů.
kU k
kUk→0
lim
(83)
Uvažujme µ0 takové, že [µ0 , 0] ∈ O a pro µ z okolı́ bodu µ0 má úloha (82) vlastnı́
čı́slo λµ liché násobnosti závisejı́cı́ spojitě na µ a takové, že
λµ0 = 0, signλµ0 +ε = −signλµ0 −ε pro všechna malá ε.
(84)
Pak µ0 je bifurkačnı́ bod rovnice (80). Navı́c bifurkace v bodě µ0 je globálnı́ v tom
smyslu, že komponenta C0 množiny C obsahujı́cı́ bod [µ0 , 0] splňuje alespoň jednu
z následujı́cı́ch podmı́nek.
(a) Existuje µ̂ 6= µ0 takové, že [µ̂, 0] ∈ C0 .
(b) Existuje posloupnost [µn , Wn ] ∈ C0 taková, že [µn , Wn ] → ∂O nebo kWn k +
|µn | → ∞.
Poznámka 21. Uvažujme speciálnı́ přı́pad Tµ = µA, kde A je lineárnı́ kompaktnı́ operátor a bud’ µ0 jeho charakteristické čı́slo, u charakteristický vektor,
tedy u − µ0 Au = 0. Vynásobenı́m
µ0 +ε
µ0
dostaneme
µ0 + ε
ε
u − (µ0 + ε)Au = 0, tj. u − (µ0 + ε)Au = − u.
µ0
µ0
Tedy operátor I − (µ0 + ε)A = I − Tµ0 +ε má vlastnı́ čı́slo λµ0 +ε = − µε0 a u je
jeho vlastnı́ vektor. Máme λµ0 +ε < 0, λµ0 −ε > 0 pro ε > 0, tedy podmı́nka (84)
35
je splněna. Vlastnı́ čı́sla − µε0 operátoru I − (µ0 + ε)A majı́ stejnou násobnost
jako charakteristické čı́slo µ0 operátoru A. Speciálně věty 1.6 a 1.7 plynou z
věty 2.10.
Důkaz věty 2.8 Položme H = W 1,2 (Ω) × W 1,2 (Ω), O = (0, ∞) × H. Ověřı́me,
že předpoklady věty 2.10 jsou splněny pro µ0 = L20 a operátory ze (79) s µ = L2 .
Spojitost a kompaktnost operátorů A, Nj se ověřı́ stejně jako v předchozı́ kapitole, matice D(d0 /µ), B(d0 /µ) závisı́ spojitě na µ ∈ (0, +∞) a proto operátory
T, N jsou spojité a kompaktnı́. Pro ověřenı́ (83) (které je složitějšı́ než v dimenzi
1 uvažované v poznámce 12) viz např. [?]. Řešenı́ rovnice W − Tµ0 W = 0 jsou
řešenı́ úlohy (59) s λ = 0 a podle věty 2.4 jsou jimi právě všechny násobky
dvojic funkcı́ W0 = {[en ,
d01 µ−1
0 κn −b11
en ]},
b12
tedy tvořı́ jednodimenzionálnı́ pros-
tor. Speciálně λ = 0 je geometricky prosté vlastnı́ čı́slo operátoru I − Tµ0 . Pro
důkaz jeho (algebraické) prostoty zbývá dokázat, že hW0 , W0∗ i 6= 0 (viz pozn.
10), kde W0∗ je vlastnı́ vektor adjungovaného operátoru I − Tµ∗0 . Podobně jako
větu 2.3 bychom dokázali, že W0∗ = {[en ,
d0
∈ Cn (tedy Hd0 /µ0 (κn )
L20
0 −1
d1 µ0 κn −b11
d0 µ−1
0 κn −b11
= 1 + d01 µ−1
b21
2 0 κn −b22
použitı́m toho, že
1+
d01 µ−1
0 κn −b11
b12
d01 µ−1
0 κn −b11
en ]}.
b21
Výpočtem pak s
= 0) dostaneme hW0 , W0∗ i =
=
(d01 +d02 )µ−1
0 κn −(b11 +b22 )
d02 µ−1
0 κn −b22
> 0
podle předpokladu (47).
Stejnou metodou jako při odvozenı́ (64) můžeme vyjádřit všechna vlastnı́ čı́sla
operátoru I − D(d)−1 B(d)A v závislosti na d a zjistit, že n-té vlastnı́ čı́slo λn je
nulové právě na hyperbole Cn a je kladné resp. záporné pro d vpravo resp. vlevo
od Cn . Z obrázku hyperbol plyne, že
d0
µ0 −ε
a
d0
µ0 +ε
ležı́ na opačných stranách od
Cn za předpokladu, že d0 ležı́ nad společnou tečnou hyperbol a d0 /µ0 ∈ Cn .
Proto je splněno (84).
Bud’ nynı́ C0 množina z tvrzenı́ věty 2.10 a položme
S0 = {[L, W ]; L = µ1/2 , [µ, W ] ∈ C0 }.
Snadno zjistı́me, že tato množina má vlastnosti z tvrzenı́ věty 2.8.
2.5
Konkrétnı́ modely
Giererův-Meinhardtův systém v nejjednoduššı́ formě má tvar
2
ut = d1 ∆u + ρ0 − µu + c uv
vt = d2 ∆v − νv + c0 u2 ,
(85)
kde ρ0 , µ, c, ν, c0 jsou kladné konstanty, speciálně ρ0 resp. µ je konstantnı́ zdroj
resp. koeficient rozpadu aktivátoru u, ν je koeficient rozpadu inhibitoru v.
(Přı́padně může být i ρ0 = 0).
36
2
Položı́me-li f (u, v) = ρ0 − µu + c uv , g(u, v) = −νv + c0 u2 , pak nulové izoklı́ny
funkcı́ f, g (v rovině u, v) jsou grafy funkcı́
vf (u) =
c0
cu2
, vg (u) = u2 .
µu − ρ0
ν
Přı́pad ρ0 > 0. Zajı́majı́ nás pouze kladná u, v, speciálně na prvnı́ izoklı́ně je
u>
ρ0
µ .
Platı́
lim
vf (u) = lim vf (u) =
ρ
u→
0
µ
u→+∞
+
a funkce vf nabývá minima v u =
lim vg (u) = +∞, vg (0) = 0
u→+∞
2ρ0
µ .
Graf obou funkcı́ (tedy tvar nulových
izoklı́n) je na obr. 3b a jejich průsečı́k
Ū = [ū, v̄] =
1
cν 1
ρ0 + 0 , 2 (c0 ρ0 + cν)2
µ
c
µ
je jediným prostorově homogennı́m stacionárnı́m řešenı́m systému (85) s Neumannovými okrajovými podmı́nkami (5). Je f (u, v) < 0 resp. f (u, v) > 0 pro
u, v nad resp. pod izoklı́nou funkce f , podobně g(u, v) < 0 resp. g(u, v) > 0
pro u, v nad resp. pod izoklı́nou funkce g. Odtud plyne, že pokud jsou parame2ρ0
cν
µ , tj. c0 > ρ0 , tedy izoklı́ny se protı́najı́ v
∂g
∂f
rostou, pak ∂u (ū, v̄) > 0, ∂f
∂v (ū, v̄) < 0, ∂u (ū, v̄) > 0,
−
= F 0 (Ū ) je typu +
+ − , tj. jedná se o systém typu ak
−
parametry takové, že ū < 2ρµ0 je B typu −
+ − , tedy
try ρ0 , c, ν, c0 , ν 0 takové, že ū >
bodě, kde obě funkce
∂g
∂v (ū, v̄)
< 0. Tedy B
tivátor-inhibitor. (Pro
nejde o přı́pad uvažovaný v souvislosti s Turingovou myšlenkou.)
Máme f (u, vf (u)) = 0, g(u, vg (u)) = 0, tedy
∂f
dvf (u)
∂g
∂g
dvg (u)
∂f
(u, vf (u))+ (u, vf (u))·
= 0,
(u, vg (u))+ (u, vg (u))·
= 0.
∂u
∂v
du
∂u
∂v
du
37
Odtud
∂f
∂g
(u, vf (u)) dvg
dvf
∂u (u, vg (u))
,
.
(u) = − ∂u
(u)
=
−
∂f
∂g
du
du
∂v (u, vf (u))
∂v (u, vg (u))
Z obrázku plyne (za předpokladu ū >
∂f
− ∂u
∂f
(ū, v̄)
∂v (ū, v̄)
∂g
< − ∂u
∂g
2ρ0
µ ),
(ū, v̄)
∂v (ū, v̄)
že
dvf
du
(ū) <
dvg
du (ū),
tedy
, tj. det F 0 (U ) > 0.
Podmı́nku tr F 0 (U ) < 0 je ovšem nutno ověřit výpočtem.
−
Přı́pad ρ0 = 0. Podmı́nka B = +
+ − vyjde automaticky vždy, protože vf (u) =
c
’
µ u je ted lineárnı́ funkce a v průsečı́ku [ū, v̄] obě funkce vf i vg rostou. Stejně
jako v přı́padě ρ0 > 0 dostaneme i det F 0 (U ) > 0, nebot’ vg0 (ū) > vf0 (ū) (obr.
3a). Výpočtem dostaneme postupně ū =
cν
c0 µ ,
v̄ =
c2 ν
c0 µ2 ,
tr F 0 (U ) = µ − ν < 0 pro µ < ν, det F 0 (U ) = µν > 0 vždy.
Giererův-Meinhardtův systém se saturačnı́m členem obsahuje v rovnici
pro aktivátor člen popisujı́cı́ zpětnou vazbu zaručujı́cı́, že pro vysoké koncentrace
aktivátoru už jeho vliv na vlastnı́ produkci přı́liš neroste:
2
u
ut = d1 ∆u + ρ0 − µu + c v(1+Ku
2)
vt = d2 ∆v − νv + c0 u2 .
(86)
Izoklı́ny přı́slušných funkcı́ f, g majı́ ted’ tvar z obr. 3c,
cu2
,
(µu − ρ)(1 + ku2 )
c0
vg (u) = u2 .
ν
vf (u) =
Majı́ vždy jediný průsečı́k U = [ū, v̄], ale matice B = F 0 (U ) má tvar
+−
+−
pouze pro parametry, pro něž nastává situace z obr. 3b, tj. když v ū obě funkce
vf (u), vg (u) rostou. V tom přı́padě je též vg0 (ū) > vf0 (ū) a odtud dostaneme
det F 0 (U ) > 0 stejně jako dřı́ve.
Nekonstantnı́ zdroj. Pro modelovánı́ regeneračnı́ch schopnostı́ nezmara použili
Gierer s Meinhardtem následujı́cı́ systém s nekonstantnı́mi koeficienty (viz [14]):
ut = d1 ∆u + ρ0 ρ − µu +
cρu2
v
vt = d2 ∆v − νv + c0 ρ0 u2 ,
kde ρ a ρ0 jsou nynı́ kladné funkce prostorové proměnné, které se přı́liš od konstantnı́ch funkcı́ nelišı́. Speciálně člen ρ0 ρ zde popisuje zdroj aktivátoru závisejı́cı́
38
na prostorové proměnné. Závislostı́ koeficientů na prostoru je dána polarita (viz
[14]). Model ovšem nezapadá do teorie popsané v předchozı́ch sekcı́ch, neexistuje
vůbec stacionárnı́ prostorově konstantnı́ řešenı́.
Thomasův model (1975) odpovı́dá skutečné reakci kyseliny močové s kyslı́kem
a má tvar
ρuv
1 + u + ku2
ρuv
.
vt = d2 ∆v + α(b − v) −
1 + u + ku2
ut = d1 ∆u + a − u −
V závislosti na parametrech má tento systém doplněný Neumannovými okrajovými podmı́nkami 1 − 3 stacionárnı́ prostorově konstantnı́ řešenı́, která jsou
průsečı́ky nulových izoklı́n funkcı́ f (u, v) = a − u −
ρuv
1+u+ku2 ,
g(u, v) = α(b −
ρuv
v) − 1+u+ku
2 . Př ı́klady kvalitativně odlišných situacı́ jsou na obr. 4a,b. Zmı́něné
izoklı́ny jsou grafy funkcı́
vf (u) =
(a − u)(1 + u + ku2 )
1 + u + ku2
, vg (u) = αb
.
ρu
ρu + α(1 + u + ku2 )
Vždy platı́
vf (a) = 0, vf (u) > 0 pro u ∈ (0, a), vf (u) < 0 pro u > a,
lim vf (u) = −∞, vf lim vf (u) = +∞,
u→+∞
u→0+
vf má vždy jedno lokálnı́ minimum a jedno lokálnı́ maximum, která se nabývajı́
v bodech závisejı́cı́ch na parametrech (obr. 4). Vždy je
vg (0) = lim vg (u) = b
u→+∞
a vg nabývá v jediném bodě (opět závislém na parametrech) svého minima.
Máme f (u, v) < 0 nad nulovou izoklı́nou f , f (u, v) > 0 pod izoklı́nou a podobně
g(u, v) < 0 nad izoklı́nou g, g(u, v) > 0 pod izoklı́nou, tedy funkce f, g rostou při
překračovánı́ svých izoklı́n shora dolů. Tedy lze očekávat, že matice B = F 0 (ū) je
v přı́padě (a) z obr. 4 typu +−
+− . (Našı́ úvahou nelze vyloučit, že některý prvek
matice je nulový, to je nutno ověřit výpočtem). Dále je z obrázku
dvf
du
dvg
du (ū)
(ū),
∂f
∂f
dvf
∂g
∂g
dvg
(ū, v̄) +
(ū, v̄) ·
(ū) = 0,
(ū, v̄) +
(ū, v̄)
(ū) = 0
∂u
∂v
du
∂u
∂v
du
tedy pro libovolné parametry, pro něž izoklı́ny majı́ tvar z obr. 4a je
∂f
− ∂u
∂f
(ū, v̄)
∂v (ū, v̄)
∂g
< − ∂u
∂g
(ū, v̄)
∂v (ū, v̄)
39
, tj. det B > 0.
>
Podmı́nku tr B < 0 ovšem z obrázku nevyčteme, pro konkrétnı́ parametry ji
musı́me ověřit výpočtem.
V přı́padě (b) na obr. 4 máme 3 stacionárnı́ prostorově homogennı́ stavy. Ze
znamének f a g pod a nad přı́slučnou izoklı́nou dostaneme
−−
−−
+−
F 0 (S1 ) =
, F 0 (S3 ) =
, F 0 (S2 ) =
.
−−
+−
+−
Tedy z hlediska Turingova efektu by mohl být zajı́mavý pouze stav S2 . Ale
analogickou úvahou jako v přı́padě (a) ted’ dostaneme detF 0 (S2 ) < 0, nebot’
izoklı́na f nynı́ roste v S2 rychleji než izoklı́na g (opačná situace než v přı́padě
(a)).
Obr. 4 a) jediné stacionárnı́ řešenı́ splňujı́cı́ naše předpoklady,
b) tři stacionárnı́ řešenı́, naše předpoklady nesplňuje žádné z nich
Lengyel-Epsteinův model (1991) vznikl na základě skutečné laboratornı́
chemické reakce a má tvar
4uv
1+u2
uv
1+u2 ).
ut = d1 ∆u + a − u −
vt = d2 ∆v + b(u −
40
(87)
Literatura
[1] M. Kučera: Diferenciálnı́ rovnice v biologii I.
[2] P. Drábek: Introduction to bifurcation theory. Západočeská univerzita. Plzeň.
[3] P. Drábek, J. Milota: Methods of Nonlinear Analysis. Applications to Differential Equations. Birkhäuser 2007.
[4] J. D. Murray: Mathematical Biology. Springer-Verlag 1989, 1993.
[5] J. D. Murray: Mathematical Biology II. Spatial Models and Biomedical Applications. Springer-Verlag 2003. 1989, 1993.
[6] L. Edelstein-Keshet: Mathematical Models in Biology. Birkhäuser Mathematics Series, McGraw-Hill 1988.
[7] R. S. Cantrell, C. Cosner: Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations.
John Willey & Sons 2003.
[8] N. F. Britton: Reaction-Diffusion Equations and their Applications to Biology. Academic Press 1986.
[9] D. S. Jones, B. D. Sleeman: Differenetial Equations in Biology. Chapman&Hall/CRC 2003.
[10] S. A. Levin, T.G. Hallam, L.J. Gross (Eds.): Applied Mathematical Ecology. Biomathematics Texts Vol 18, Springer-Verlag 1989.
[11] P. De Kepper, J. Boissonade, and I. R. Epstein, J. Phys. Chem. 94, 6525,
1990.
[12] J. Smoller: Shock Waves and Reaction Diffusion Equations. New York:
Springer 1983.
[13] A. M. Turing: The chemical basis of morphogenesis. Phil. Trans. Roy. Soc.
London Ser. B (1952), 37 – 72.
[14] A. Gierer, H. Meinhardt: A theory of biological pattern formation. Kybernetik 12 (1972), 30-39.
[15] P. H. Rabinowitz: Some global results for nonlinear eigenvalue problems,
J. Funct. Anal. 7 (1971) 487–513.
[16] E. N. Dancer: On the structure of solutions of nonlinear eigenvalue problems. Indiana Univ. Math. J., 23 (1974), 1069–1076.
Czechoslovak Math. J. 47 (122) (1997), 469–486.
41