Numerické metody pro řešení zákonů zachování.

NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ ZÁKONŮ ZACHOVÁNÍ∗
Marek Brandner
†
Stanislav Míka
‡
Abstrakt
V textu se zabýváme přehledem současného stavu metod pro numerické řešení
parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu a jejich soustav.
1. Zákony zachování
Moderní numerické přístupy pro řešení nelineárních problémů mechaniky kontinua musí být v souladu s příslušnými obecnými zákony zachování, které zde v globální a lokální verzi stručně připomeneme. Nechť d určuje prostorovou dimenzi a
nechť Ω ⊂ Rd . Nechť u = u(x, t) je vektorová funkce zachovávaných veličin o skalárních složkách ui = ui (x, t), i = 1, 2, . . . , m (hustota, složky hybnosti, energie atd.),
tj. u : Ω × h0, T i → Rm , a nechť f = f(u) je tenzorová funkce hustoty toku vektoru u.
Vektorová funkce g = g(u, x, t) : Rm × Ω × h0, T i → Rm reprezentuje zdrojové členy.
Obecný zákon zachování formulujeme jako integrální rovnost
Z
Z
∂ Z
f(u) dS = g(u, x, t) dx, ∀t ∈ (0, T ), ∀Ω0 ⊂ Ω,
u(x, t) dx +
∂t
Ω0
∂Ω0
(1)
Ω0
kde Ω0 je bilanční sektor. Složkový tvar rovnosti(1) je
Z
Z
∂ Z
j
fi (u) nj dS = gi (u, x, t) dx, ∀t ∈ (0, T ), ∀Ω0 ⊂ Ω,
ui (x, t) dx +
∂t
Ω0
∂Ω0
Ω0
(2)
i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , d.
Za standardních předpokladů hladkosti lze formulovat lokální (diferenciální) verzi
systému zákonů zachování ve tvaru
∂fij (u)
(ui )t +
= gi , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , d.
∂xj
(3)
ut + div f(u) = g.
(4)
nebo
Funkce f j = f j (u) jsou vektorové složky tenzorové funkce f = f(u). Výraz [f j (u)]xj
často je vyjadřujeme ve tvaru [f j (u)]xj = Aj (u)uxj , kde Aj = Aj (u) je Jacobiho matice.
Podle vlastních čísel této matice provádíme klasifikaci rovnic typu (3). Uvedeme
některé konkrétní příklady zákonů zachování:
∗
Tato práce byla řešena v rámci projektu GA ČR 101/01/0938 (S. Míka) a v rámci výzkumného
záměru CEZ: J23/98: 235200001 (M. Brandner).
†
Centrum aplikované matematiky FAV, Západočeská univerzita, Plzeň
‡
Katedra matematiky FAV, Západočeská univerzita, Plzeň
1
(A) Volíme m = 1, d = 1, u1 = %, f11 = f a g1 = 0. Vztah (3) má tvar
%t + [f (%)]x = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T ),
(5)
a může být modelem dopravního proudu; % představuje hustotu vozidel a f =
f (%) je hustota toku vozidel.
(B) Volíme m = 4, d = 2 a




u=
u1
u2
u3
u4


 
 
=
 
%
%v1
%v2
%w




 1

 , f (u) = 


%v1
%v12 + p
%v1 v2
v1 (%w + p)




 2

 f (u) = 


%v2
%v1 v2
%v22 + p
v2 (%w + p)



 , g = 0,

(6)
kde % = %(x, t) je hustota, v1 = v1 (x, t), v2 = v2 (x, t) jsou složky rychlosti
v = (v1 , v2 ), %v je hustota hybnosti, %w hustota energie a p je tlak. V tomto
případě dostáváme model nestacionárního rovinného proudění nevazké stlačitelné tekutiny energeticky izolované od okolí.
(C) Klasický systém zákonů zachování hmotnosti, hybnosti a energie má v našem
schématu (d = 3, m = 5) následující podobu

u =







f 2 (u)
=







f 3 (u)
=







g =








%
%v1
 %v 2 − σ
%v1 
11


1


%v2  , f 1 (u) =  %v2 v1 − σ21


 %v3 v1 − σ31
%v3 
%w
%wv1 − (σ11 v1 + σ12 v2 + σ13 v3 ) + q1

%v2

%v2 v1 − σ12


2
%v2 − σ22
,


%v3 v2 − σ32
%wv2 − (σ21 v1 + σ22 v2 + σ23 v3 ) + q2

%v3

%v3 v1 − σ13


%v3 v2 − σ23
,

2

%v3 − σ33
%wv3 − (σ31 v1 + σ32 v2 + σ33 v3 ) + q3

0

%f1


%f2
,


%f3
%(f1 v1 + f2 v2 + f3 v3 ) + %q




,


(7)
kde v = (v1 , v2 , v3 ) je vektor rychlosti, f = (f1 , f2 , f3 ) je vektor hustoty vnějších
sil, q = (q1 , q2 , q3 ) je vektor tepelného toku, q je hustota tepelných zdrojů,
w = e + 21 ||v||2 , e je vnitřní energie a σij je tenzor napětí.
2
2. Skalární problém v jedné prostorové dimenzi, konzistence a konvergence
Uvažujme nelineární skalární rovnici
ut + [f (u)]x = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T )
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,
(8)
kde funkce f = f (u) je dostatečně hladká.
Definice. Funkce u ∈ C 1 (R×(0, ∞))∩C(R×{0}), která splňuje (8) v každém bodě,
se nazývá klasické (hladké) řešení úlohy (8).
Je známo, že už pro jednoduché nelineární rovnice (např. Burgersova rovnice) ani
pro hladká data neexistuje klasické (hladké) řešení. Proto musíme pracovat s tzv.
zobecněným řešením. Připomeneme pojem slabého a entropického řešení.
Definice. Nechť funkce u0 (x) ∈ L1,loc (R) a funkce f = f (u) je lipschitzovská.
Funkce u(x, t) ∈ L∞
loc (R × (0, ∞)) taková, že platí
Z∞ Z∞
Z∞
[φt u + φx f (u)] dx dt = −
0 −∞
φ(x, 0)u0 (x) dx
(9)
−∞
pro každou funkci φ ∈ C01 (R × R), se nazývá slabé řešení úlohy (8). Zde C01 (R × R)
je prostor spojitě diferencovatelných funkcí φ = φ(x, t), pro které
n
supp φ = (x, t) ∈ R2 : φ(x, t) 6= 0
o
je omezená množina.
Samotná existence slabého řešení nelineární úlohy nezaručuje jeho jednoznačnost.
Proto požadujeme navíc, aby řešení splňovalo nějakou fyzikálně rozumnou podmínku
(podmínku entropie).
Dále budeme pro jednoduchost předpokládat, že funkce f = f (u) je dostatečně
hladká a ostře konvexní (fuu > 0).
Definice. Slabé řešení úlohy (8) se nazývá entropické, pokud pro všechny konvexní
dostatečně hladké funkce η = η(u) (entropické funkce) a odpovídající entropické toky
ψ = ψ(u), tj. funkce splňující vztah ψu = ηu fu , platí ve slabém smyslu podmínka
entropie
[η(u)]t + [ψ(u)]x ≤ 0.
(10)
Dále definujeme řešení, které takovou podmínku splňuje.
3
Definice. Nechť uε je řešení úlohy
ut + [f (u)]x = εuxx , x ∈ R, 0 < t < T, ² > 0
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R.
(11)
u = lim u(ε) ,
(12)
Existuje-li limita
ε→0
nazývá se tato limita limitní (fyzikální) řešení úlohy (8).
Lze ukázat, že limitní řešení úlohy (8) je již určeno jednoznačně (bez dalších předpokladů).
Poznámka. Pouze pro případ skalárních rovnic platí obrácená implikace, tj., že
entropické řešení je řešením limitním.
Sestrojíme diskrétní úlohu: Na množině R × h0, T i sestrojíme obdélníkovou síť s uzly
(xj , tn ), xj = jh, h > 0, tn = nτ , τ >³ 0, j ´= 0, ±1, ±2, . . ., n = 0, 1, 2, . . . , N ,
N = T /τ . Označíme xj+1/2 = xj + h2 = j + 12 h.Parametr h se nazývá prostorový
krok, parametr τ se nazývá časový krok. Dále označíme Ujn aproximaci hodnoty
unj = u(xj , tn ) přesného řešení úlohy (8). Soubor hodnot {Ujn } je řešením odvozených
diferenčních rovnic (diferenčních schémat). Toto řešení definuje síťovou funkci Uτ =
Uτ (x, t), pro níž Uτ (xj , tn ) = Ujn . Závislost na h nemusíme explicitně požadovat,
neboť budeme dále předpokládat, že hτ = konst.
Pro řešení počátečních úloh typu (8), v nichž f (u) = au, a ∈ R s hladkou počáteční funkcí u0 = u0 (x) se užívají standardní diferenční metody (Laxova-Friedrichsova
metoda, Laxova-Wendroffova metoda apod.). Je vytvořena standardní teorie konzistence, stability a konvergence. V některých případech se používají speciální metody
(např. pro modelování šíření akustických vln je někdy vhodné použít nedisipativní
metody).
Základním principem diskretizace úlohy (8) je aproximace globální (integrální)
podoby příslušného zákona (1) metodou konečných objemů. V případě (8) bude mít
diskrétní podoba (tzv. konzervativní aproximace) zákona zachování tvar
xj+1/2
tZn+1
Z
[u(x, tn+1 ) − u(x, tn )] dx +
xj−1/2
[f (u(xj+1/2 , t)) − f (u(xj−1/2 , t))] dt = 0.
(13)
tn
Aproximace tokové funkce f = f (u) se nazývá numerický tok. Pro nelineární úlohy
budeme uvažovat numerická schémata ve tvaru
τ n
n
− Fj−1/2
),
Ujn+1 = Ujn − (Fj+1/2
h
kde
n
n
n
n
Fj+1/2
= Fj+1/2
(Uj−l
, . . . , Uj+k
),
4
(14)
n
n
n
n
Fj−1/2
= Fj−1/2
(Uj−l−1
, . . . , Uj+k−1
)
jsou jisté funkce l + k + 1 proměnných. Takové schéma se nazývá schéma v konzervativním tvaru. V případě úlohy, v níž f (u) = au, může mít numerický tok (metoda
prvního řádu) tvar
1
1
n
n
n
= a(Ujn + Uj+1
) − |a|(Uj+1
Fj+1/2
− Ujn )
2
2
(15)
a v případě úlohy (8) může mít numerický tok tvar
n
f (Uj+1
) − f (Ujn )
1
1 n
n
n
n
n
n
= [f (Uj ) + f (Uj+1 )] − |aj+1/2 |(Uj+1 − Uj ), aj+1/2 =
.
n
2
2
Uj+1
− Ujn
(16)
Numerický tok musí splňovat určité podmínky zajišťující tzv. konzistenci.
n
Fj+1/2
Definice. Numerický tok F definovaný metodou (14) se nazývá konzistentní s rovnicí (8), jsou-li splněny tyto dvě podmínky (pro libovolné n a j)
n
• Fj+1/2
(u, u, . . . , u) = f (u) pro ∀u ∈ R
n
• ∃K > 0 : |Fj+1/2
(uj−l , . . . , uj+k ) − f (u)| ≤ K max{|uj−l − u|, . . . , |uj+k − u|}
pro libovolné uj−l , . . . , uj+k ∈ R a u ∈ R.
Z teorie lineárních rovnic evolučního typu je známo, že postačující podmínkou konvergence metody je její konzistence a stabilita (u hyperbolických rovnic je podmínkou
stability tzv. Courantova-Friedrichsova-Lewyho podmínka). V případě nelineárních
rovnic také požadujeme konzistenci, vztaženou ovšem k numerickým tokům. Místo
jednoduché podmínky stability však klademe rozmanitější požadavky k zajištění konvergence, např. požadavek monotónie nebo nerostoucí totální variace.
Definice. Metoda se nazývá monotónní, jestliže pro každá dvě přibližná řešení Uτ ,
Vτ dané úlohy pro dvě počáteční funkce u0 (x), v0 (x) a pro každé n platí implikace
Ujn ≥ Vjn
∀j ⇒ Ujn+1 ≥ Vjn+1
∀j,
(17)
kde Uj0 = u0 (xj ) a Vj0 = v0 (xj ).
Poznámka. Teoretické entropické řešení má vlastnost monotónie, tj. platí
u0 (x) ≥ v0 (x)
∀x ⇒ u(x, t) ≥ v(x, t)
∀x, t.
Věta. Numerické řešení získané konzistentní metodou v konzervativním tvaru, která
je monotónní, konverguje pro τ → 0 k entropickému řešení.
Věta. Každá monotónní metoda je (až na speciální případy) nejvýše prvního řádu.
5
Z tohoto důvodu je snahou odvodit alespoň metody, které konvergují k řešení slabému. Totální variaci síťové funkce Uτ definujeme vztahem
T Vn (Uτ ) =
∞
X
n
|Uj+1
− Ujn |.
(18)
j=−∞
Definice. Mějme konzervativní metodu danou formulí (14). Řekneme, že metoda
má vlastnost TVD (Total Variation Diminishing), platí-li
T Vn+1 (Uτ ) ≤ T Vn (Uτ ) ∀τ < τ0 , 0 ≤ nτ ≤ T.
(19)
Poznámka. Teoretické slabé řešení splňuje podmínku
T V (u(·, t2 )) ≤ T V (u(·, t1 )) ∀t2 ≥ t1 .
Věta. Nechť metoda je určena formulí v konzervativním tvaru (14). Dále nechť
numerický tok definovaný touto formulí je konzistentní s rovnicí ut + [f (u)]x = 0,
metoda má vlastnost TVD a počáteční funkce u0 (x) má omezenou totální variaci a
nosič. Potom tato metoda konverguje pro τ → 0 ke slabému řešení.
Obvykle jsou používány metody, které mají tyto vlastnosti:
• konvergují ke slabému řešení,
• jsou s rozlišením vyššího (druhého) řádu (metody typu high-resolution), tzn.
jsou vyššího řádu v bodech, kde je řešení hladké a prvního řádu v okolí bodů,
kde řešení hladké není,
• mají vlastnost TVD.
L,n
H,n
Numerický tok zavádíme jako kombinaci toku Fj+1/2
prvního řádu a toku Fj+1/2
řádu
vyššího. Celkový numerický tok je pak dán
L,n
H,n
L,n
n
n
n
Fj+1/2
= Fj+1/2
+ Φ(Uj−l
, . . . , Uj+k
)(Fj+1/2
− Fj+1/2
),
(20)
n
n
kde Φ = Φ(Uj−l
, . . . , Uj+k
) je vhodná přepínací funkce.
Poznámka. Lze zkonstruovat metody, které mají vlastnost TVD, jsou typu highresolution (tj. nejsou monotónní), a přesto konvergují k entropickému slabému řešení.
V případě, že funkce f = f (u) není ani konvexní ani konkávní, situace se komplikuje. Kromě entropických slabých řešení lze připustit i tzv. neklasická slabá řešení,
která nemají obecně nerostoucí variaci. V tomto případě je třeba použít jiné metody
než metody s vlastností TVD. Pokud není rovnice autonomní, tj. f = f (u, x, t),
dostáváme další třídu problémů (vícefázové proudění, proudění tekutin v kanálech s
proměnnou geometrií, úlohy v heterogenním prostředí). Pokud není funkce f = f (u)
dostatečně hladká, nastává řada dalších problémů. V této oblasti zůstává řada otevřených otázek.
6
3. Soustava rovnic v jedné prostorové proměnné
Východiskem pro studium numerických schémat (8) je rovnice ut + aux = 0 s
konstantou a ∈ R. Podobně pro nelineární úlohu ve tvaru
ut + [f(u)]x = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T )
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,
(21)
kde u0 = u0 (x) : R → Rm , f = f(u) : Rm → Rm je východiskem lineární úloha
ut + Aux = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T )
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,
(22)
s reálnou čtvercovou maticí A řádu m a hladkou počáteční funkcí u0 = u0 (x) : R →
Rm . Existuje-li regulární matice S taková, že
Λ = S−1 AS,
kde Λ je diagonální matice a jsou-li vlastní čísla λi matice A reálná, nazývá se soustava hyperbolická. Pokud jsou navíc tato vlastní čísla navzájem různá, nazývá se
daná soustava silně hyperbolická; sloupce si matice S jsou příslušné vlastní vektory.
Soustavy uvedeného typu lze pak převést na kanonickou soustavu
uet + Λuex = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T )
ue(x, 0) = ue0 (x), x ∈ R,
(23)
kde u = Sue a ue0 (x) = S−1 u0 (x). Získáme tak soustavu nezávislých rovnic, kterou lze
řešit výše uvedenými metodami. Každá z rovnic soustavy má pak tvar
(uei )t + λi (uei )x = 0.
(24)
Metody typu high-resolution pro lineární soustavy konvergují k limitnímu řešení
úlohy.
Obrátíme nyní pozornost na nelineární úlohu (21). Tato úloha může být např.
modelem proudění nevazké stlačitelné tekutiny v jedné prostorové dimenzi (Eulerovy
rovnice). Tu lze upravit na tvar
ut + A(u)ux = 0, x ∈ R, t ∈ (0, T )
u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,
(25)
∂f
kde A(u) = ∂u
je Jacobiho matice funkce f = f(u). Existuje-li matice S = S(u)
regulární pro všechna u taková, že
Λ(u) = [S(u)]−1 A(u)S(u),
kde Λ(u) je diagonální matice a jsou-li vlastní čísla λi (u) matice A reálná, nazývá se
soustava hyperbolická. Pokud jsou navíc vlastní čísla λi (u) navzájem různá, nazývá
7
se soustava silně hyperbolická. Pro úlohu typu (21) chceme na každé časové vrstvě
a v každém uzlu nespojitosti xj+1/2 řešit Riemannův problém
ut + [f(u)]x = 0,
( t ∈ (tn , tn+1 i
Ujn ,
x < xj+1/2 ,
u(x, 0) =
n
Uj+1 , x > xj+1/2 .
(26)
Obvykle se však řeší linearizovaný Riemannův problém, například pro rovnici
b n , Un )u = 0,
ut + A(U
j+1 x
j
b je vhodná aproximace Jacobiho matice A(u) =
kde A
následujícím kriteriím:
(27)
∂f
.
∂u
b podléhá
Výběr matice A
• soustava (27) je silně hyperbolická,
b je linearizací f, tj.platí
• A
e − f(U)
b = A(
b U,
e U)(
b U
e − U)
b
e U,
b
f(U)
∀U,
b → A(U), tj. pro U
e → U, U
b → U platí A(
b U,
e U)
b → A(U).
• A
Poznámka. Druhé z výše uvedených kriterií je vektorově-maticovým analogem vztahu
anj+1/2 =
n
f (Uj+1
) − f (Ujn )
n
Uj+1
− Ujn
ze vzorce (16) pro skalární případ.
Jak jsme zmínili u skalárního problému, rozlišujeme dvě základní situace. Buď f (u) =
au je lineární funkce, nebo f (u) je ostře konvexní. Abychom mohli i pro soustavy
užít řešiče vytvořené pro takové skalární problémy, musíme i u soustav rozlišit tyto
dvě situace. Požadujeme proto pro každé vlastní číslo λi (u) Jacobiho matice soustavy
splnění právě jedné ze dvou podmínek
• ∇λi (u) · si (u) ≡ 0 ∀u (lineární degenerace),
• ∇λi (u) · si (u) 6= 0 ∀u (silná nelinearita),
kde si (u) je vlastní vektor matice A(u) příslušný číslu λi (u) (i-tý sloupec matice S(u)).
Poznámka. V případě, že konstrukce Riemannova řešiče je příliš složitá, lze použít
tzv. centrální metody, které jsou „Riemann-freeÿ, nebo relaxační metody.
Dodržíme-li všechna kritéria
• lze sestrojit metody prvního řádu, které zajišťují splnění podmínky entropie
(resp. její disktrétní analogie).
8
• V případě nelineárních soustav rovnic není obecně dokázána konvergence metod
(ani) ke slabému řešení (konvergence k entropickému řešení je dokázána pouze
v některých speciálních případech).
Poznámka. Je evidentní, že existují nelineární úlohy typu (21), které nepatří do
výše zmíněných kategorií. Například jsou to tzv. slabě hyperbolické soustavy (vlastní
čísla λi (u) nejsou navzájem různá).
4. Skalární problém ve více prostorových proměnných
Dále uvažujme nelineární úlohu ve dvou prostorových dimenzích
ut + [f 1 (u)]x + [f 2 (u)]y = 0, x ∈ R, y ∈ R, t ∈ (0, T )
u(x, y, 0) = u0 (x, y), x ∈ R, y ∈ R.
(28)
Konzervativní schéma pro tuto úlohu zapíšeme ve tvaru
τ n
τ
n
n
Uijn+1 = Uijn − [Fi+1/2,j
− Fi−1/2,j
] − [Gni,j+1/2 − Gi,j−1/2
].
h
k
(29)
Požadavek TVD (19) je vztažen k totální variaci síťové funkce Uτ = Uτ (x, y, t) (pro
níž Uτ (xi , yj , tn ) = Uijn )
T Vn (Uτ ) =
∞
X
n
n
[|Ui+1,j
− Uijn | + |Ui,j+1
− Uijn |].
(30)
i,j=−∞
Pro skalární úlohu v jedné prostorové proměnné jsme konstatovali (vztah (20)), že lze
zkonstruovat numerické toky pomocí hodnot Uj−l , . . . , Uj+k (pro zvolené l, k), které
jsou typu high-resolution a současně TVD. Pro skalární úlohu ve dvou prostorových
proměnných nelze však numerické toky (29) obecně sestrojit z okolních hodnot tak,
aby byly TVD a současně typu high-resolution, tj. vyššího řádu tam, kde je řešení
hladké. Ke konstrukci TVD metod typu high-resolution musíme v tomto případě
použít globální konstrukci numerických toků. To samozřejmě komplikuje realizaci
příslušných řešičů ([13]). Platí tedy následující věta.
Věta. Metody s vlastností TVD jsou ve dvou (a více) prostorových dimenzích nejvýše prvního řádu (až na speciální případy), tj. nelze obecně obecně sestrojit TVD
metodu, která je
• v konzervativním tvaru,
• druhého řádu v bodech, kde je řešení hladké,
• využívá pro výpočet pouze hodnoty síťové funkce v okolních bodech (je lokální
metodou).
Při řešení nelineárních úloh pro zákony zachování je důležité potlačit vznik numerických oscilací. Proto klademe na numerické řešení podmínku pozitivity.
9
n
n
n
n
n
n
n
n
Definice. Označme Nijn = {Ui−1,j−1
, Ui,j−1
, Ui+1,j−1
, Ui−1,j
, Ui,j
, Ui+1,j
, Ui−1,j+1
, Ui,j+1
,
n+1
n
n
n
n
Ui+1,j+1 } a Iij = hmin(Nij ), max(Nij )i. Metoda se nazývá pozitivní, pokud Uij ∈
Iijn
∀n, i, j.
Lze ukázat, že pozitivní metoda pro schéma v jedné prostorové proměnné (tj. (14,
n
20)) má vlastnost TVD. Při realizaci metody (29) se numerické toky Fi+1/2,j
, Gni,j+1/2
s vlastností pozitivity dají konstruovat lokálně, tj. na základě hodnot síťové funkce
v okolních uzlech, a výsledná metoda má charakter high-resolution ([10]).
Většina používaných metod je sestrojena zobecněním metod pro rovnice ut +
aux = 0. Důsledkem tohoto přístupu je, že metody jsou anizotropní (lokální diskretizační chyba je závislá na směru šíření vln). Ani použití metod založených na rovnici
ut + a · grad u = 0 však neřeší všechny problémy. Řada úloh má např. vlastnost,
která se nazývá „zachování vířivostiÿ. Tuto vlastnost nerespektuje v podstatě žádná
z používaných metod.
5. Soustava ve více prostorových proměnných
Uvažujme nelineární úlohy typu
ut + [f 1 (u)]x + [f 2 (u)]y = 0, x ∈ R, y ∈ R, t ∈ (0, T )
u(x, y, 0) = u0 (x, y), x ∈ R, y ∈ R,
(31)
které jsou modelem obecnějších systémů zákonů zachování (viz (6, 7)). Numerické
přístupy k těmto úlohám jsou postaveny na principech z předcházejících odstavců.
Společné principy:
1. Užití konzervativních schémat – tvar formálně shodný s (29).
2. Požadavek konzistence numerických toků (viz odstavec 2).
3. Dodržení podmínky TVD, pozitivity nebo jiného obdobného požadavku.
4. Konstrukce numerických toků typu high-resolution (viz (20)).
5. Linearizace Riemannova problému (viz odstavec 3).
Nové problémy:
I. Tokové funkce f 1 (u), f 2 (u) mají složitější vnitřně provázanou strukturu (nejde
pouze o problém změny dimenze vektoru u).
1
2
II. Spektrální vlastnosti Jacobiho matic ∂f
, ∂f
nelze přímo odvozovat ze spekt∂u
∂u
rálních vlastností matice A(u) z odstavce 3.
III. Analýza odpovídajících Riemannových problémů je komplikovanější a konstrukce Riemannových řešičů je náročnější.
10
IV. Technika převodu na kanonický tvar je prakticky nepoužitelná, neboť vyžaduje
komutativnost Jacobiho matic.
Konstrukce řešičů pro tyto obecné problémy se opírají o následující principy:
Princip štěpení – na každé časové vrstvě se na základě jednorozměrné FVM
diskretizace řeší střídavě dvě provázané jednodimenzionální úlohy.
Princip semidiskretizace – na základě prostorové diskretizace se řeší úlohy
v časové proměnné metodami Taylorova typu pro ODR.
Princip bez štěpení – Řešiče se konstruují na základě globální FVM diskretizace. Je třeba se vypořádat s problémem IV.
Vzhledem k tomu, že neexistuje teoretická analýza těchto přístupů pro danou obecnou úlohu, nelze dát ani doporučení jejich preferencí.
Reference
[1] P. G. LeFloch F. Coquel. An entropy satisfying MUSCL scheme for systems of
conservation laws. Numer. Math., 74:1–33, 1996.
[2] E. Tadmor G. S. Jiang. Non-oscillatory central schemes for multidimensional hyperbolic conservation laws.
Conservation Laws Preprint Server,
http://www.math.ntnu.no/conservation/, 1997.
[3] R. J. LeVeque J. B. Goodman. On the accuracy of stable schemes for 2D scalar
conservation laws. Math. Comp., 1985.
[4] R. J. LeVeque J. O. Langseth. A wave propagation method for three-dimensional
hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 165(1):126–
166, 2000.
[5] C. Lattanzio and D. Serre. Convergence of a relaxation scheme for hyperbolic
systems of conservation laws. Numer. Math., 88:121–134, 2001.
[6] P. G. LeFloch. Monotonicity consistent scheme for hyperbolic conservation laws.
In D. Bainov, editor, Fifth International Colloquium on Numerical Analysis,
Plovdiv, 1995.
[7] R. J. LeVeque. Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhauser Verlag,
Basel-Boston-Berlin, 1990.
[8] R. J. LeVeque. Finite difference methods for differential equations. 585-6 Notes,
University of Washington, 1998.
[9] E. G. Puckett P. Colella. Modern numerical methods for fluid flow. U.C.
Berkeley and U.C. Davis, 1994.
11
[10] A. Suresh. Positivity-preserving schemes in multidimensions. SIAM J. Sci.
Comput., 2000.
[11] E. Tadmor.
Approximate solutions of nonlinear conservation
laws
and
related
equations.
Conservation
Laws
Server,
http://www.math.ntnu.no/conservation/.
[12] E. Tadmor. Approximate solutions of nonlinear conservation laws. In A. Quarteroni, editor, Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic
Equations, Cetraro, Italy, 1997.
[13] J. D. Towers. TVD schemes for two–dimensional scalar conservation laws. Conservation Laws Preprint Server, http://www.math.ntnu.no/conservation/,
2001.
12