Cvičení 2 Vlastnosti polynomů, Lagrange ův a Newtonův

Cvi ení 2
Vlastnosti polynom , Lagrange v a Newton v interpola ní polynom, Legendreovy
polynomy.
1) Polynom Pn(x) je Legendre v polynom n-tého stupn . Nalezn te polynom Q(x) t chto
vlastností:
a) Q(x)=P2(x) P3(x).
b) Q(x) je násobkem polynomu P4(x), hodnota Q(0,5)=37.
d) 0,5 je ko en Q(x), 1 je koeficient u nejvyšší mocniny Q(x) a Q(x)=c P2(x) +d P3(x).
2) Použijte Tabulku Legendreových polynom k ur ení grafu funkce T(x), jestliže
a) T(x)=-P3(x).
b) T(x)=1/2P4(x).
c) T(x)=P2(x+1).
d) T(x)=|P4(x)|.
e) T(x)=P3(|x|).
3) Pomocí a) lineární, b) kvadratické, c) kubické interpolace najd te p ibližné hodnoty
cos 33°40´10´´ a arctan 0.3. Pro funkce cos x a arctan x jsou známy následující hodnoty:
33°40´00´´ 33°40´40´´ 33°41´10´´ 33°42´00´´
0.832277 0.832169 0.832089 0.831954
xi
cos xi
0.176327
xi
arctan xi
10°
0.267949
15°
0.363970
20°
0.466308
25°
4) Je dána ekvidistantní tabulka funkce y=f(x) s krokem h=0.1. Kvadratickou interpolací
a) Lagrangeovým, b) Newtonovým polynomem vypo ítejte p ibližné hodnoty funkce f
v bodech xi = xi+h/2, i=0,...,3.
0.6
0.7
0.8
0.9
xi 0.5
yi 0.53125 0.07776 -0.33193 -0.67232 -0.90951
5) Graf funkce y=f(x) prochází body [10,3], [15,7], [17,11], [20,17]. Pomocí lineárního, resp.
kvadratického polynomu a) Lagrangeova, b) Newtonova najd te p ibližnou hodnotu
argumentu x, pro kterou je f(x)=10.
6) Graf funkce y= sinh x prochází body [2.2,4.457], [2.4,5.466], [2.6,6.695]. Pomocí
a) Lagrangeova, b) Newtonova interpola ního polynomu najd te p ibližnou hodnotu
argumentu x tak, aby sinh x=5.
*7) Parametrické rovnice Bernoulliovy lemniskáty (x2+y2)2= x2-y2 jsou
t 1+ t2
t 1− t2
x=
,
y
=
. Sestrojte kubickou interpolaci ásti lemniskáty, pro kterou platí
1+ t4
1+ t4
x≥0, y≥0. Na rtn te.
(
)
(
)
3t
3t 2
y
,
=
. Sestrojte
1+ t3
1+ t3
kubickou interpolaci ásti listu, pro kterou platí a) x≤ 0, y≥ 0 , b) x≥ 0, y≥ x . Na rtn te.
*8) Parametrické rovnice Descartova listu x3+y3-3xy= 0 jsou x =
(
)
1− t 2
t 1− t2
,
y
=
.
1+ t2
1+ t2
Sestrojte kubickou interpolaci strofoidy, pro kterou platí a) x≥ 0, y≥ 0, b) x≤ 0, y≥ 0.
Na rtn te.
*9) Paramertické rovnice strofoidy x(x2+y2)-(x2-y2)= 0 jsou x =
10) Sestrojte Lagrange v interpola ní polynom fce y=f(x) na intervalu
ekvidistantní argumenty s krokem h, tj. xk=x0+kh. Uvažujte
a) n=2,
b) n=3,
*c) n∈ N.
11) Sestrojte Newton v interpola ní polynom fce y=f(x) na intervalu x0 , x n pro
ekvidistantní argumenty s krokem h, tj. xk=x0+kh. Uvažujte
a) n=2,
b) n=3,
*c) n∈ N.
Domácí cvi ení 2: Jedna úloha, ur ená vyu ujícím, ze souboru cvi ení 3.
x0 , xn
pro