4.2.4 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel

4.2.4
Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel
Problém s definicí funkcí sin ( x ) a cos ( x ) cosinus – definice pomocí pravoúhlého
 π
trojúhelníku je možné použít pouze pro x ∈ ( 0°;90° ) v obloukové míře x ∈  0;  ⇒
 2
potřebuju jinou definici, která musí splnit tyto požadavky:
• Definice umožní určit hodnoty sin ( x ) a cos ( x ) pro x ∈ R
•
•
 π
Pro x ∈  0;  definice zaručí stejné hodnoty funkcí jako definice pomocí
 2
pravoúhlého trojúhelníka.
Protože jde o funkci úhlu a praktická realizace úhlu se opakuje po 2π , měli by se
hodnoty nadefinovaných funkcí také opakovat s touto periodou.
Pro definici použijeme jednotkovou kružnici (kružnice o poloměru 1).
1
-1
R
1
S
-1
Do kružnice nakreslíme úhel o velikosti x, s počátečním ramenem SR.
1
T
x
-1
S
R
1
-1
1
Př: Nakresli do obrázku pravoúhlý trojúhelník a pomocí jeho stran urči hodnoty funkcí
sin ( x ) a cos ( x ) pro úhel x.
1
T
1
x
S
-1
a
R
b
1
-1
Strana ST je poloměrem kružnice a proto platí ST = 1 .
Vypočtu hodnoty sin ( x ) a cos ( x ) podle staré definice:
protilehlá a
= =a
přepona
1
přilehlá b
cos ( x ) =
= =b
přepona 1
Už je jasné proč jednotková kružnice ⇒ nemusím počítat poměry, stačí změřit odvěsny
trojúhelníka, abych získal hodnoty.
sin ( x ) =
Dokážu nakreslit obrázek i pro úhly větší než
π
?
2
Snadno, ale už tam nebudu mít trojúhelník s úhlem x .
Je možné interpretovat úseky a a b jinak než jako délky odvěsen v trojúhelníku?
Ano, úsečky mohu interpretovat také jako souřadnice bodu T.
π
⇒ pokud budu funkce sin ( x ) a cos ( x )
2
interpretovat jako souřadnice bodu T budu chopen spočítat hodnoty sin ( x ) a cos ( x ) i pro
Bod T bude mít souřadnice i pro úhly x ≥
x≥
π
2
.
Hodnotou funkce sin ( x ) rozumíme y-vou souřadnici bodu T na našem
náčrtku.
Hodnotou funkce cos ( x ) rozumíme x-vou souřadnici bodu T na našem
náčrtku.
2
⇒ vyhovuje všem třem požadavkům
1
cos(x)
sin(x)
x
cos(x)
S
-1
T
sin(x)
R
1
-1
Jak určit konkrétní hodnoty?
Př: Urči hodnoty funkcí sin ( x ) a cos ( x ) pro x = 120° .
Nakreslím si obrázek do jednotkové kružnice a vyznačím sin ( x ) a cos ( x ) :
T
1
sin(x)
120°
-1
cos(x) S
R
1
-1
Najdu v obrázku pravoúhlý trojúhelník se známým úhlem a z něj dopočtu délky odvěsen
(hodnoty sin ( x ) a cos ( x ) ).
3
1
T
1
a
sin(x)
60° 120°
b S
cos(x)
-1
R
1
-1
Souřadnice bodu T mohu určit pomocí odvěsen v tmavomodrém trojúhelníku.
a
3
= sin 60° ⇒ a = sin 60° =
1
2
3
sin120° je kladný a jeho velikost se rovná a ⇒ sin120° =
.
2
b
1
= cos 60° ⇒ b = cos 60° =
1
2
1
cos120° je záporný (je nalevo od počátku) a jeho velikost se rovná b ⇒ cos120° = − .
2
Poznámka: Hodnoty goniometrických funkcí mohu určit i jinak.
Nakreslím si obrázek do jednotkové kružnice a vyznačím sin ( x ) a cos ( x ) :
T
1
sin(x)
120°
-1
cos(x) S
R
1
-1
Najdu v obrázku pravoúhlý trojúhelník se známých úhlem, jehož odvěsny tvoří souřadnice
bodu T. K tomuto trojúhelníku najdu podobný trojúhelník v úhlem pravé horní čtvrtině, jehož
úhel je zároveň orientovaným úhlem (podobným úhlu na počátku kapitoly).
4
1
T
a
sin(x)
-1
1
sin(60°)
120°
60°
60°
R
b S cos(60°)
1
cos(x)
-1
Z obrázku je vidět, diky shodnosti obou tmavomodrých trojúhelníků, že platí:
3
sin120° = sin 60° =
2
1
cos120° = − cos 60° = −
( cos120° je orientován na druhou stranu).
2
Př: Urči hodnoty funkcí sin ( x ) a cos ( x ) pro x = 210° .
Nakreslím si obrázek do jednotkové kružnice a vyznačím sin ( x ) a cos ( x ) :
1
cos(x) 210°
S
-1
sin(x)
R
1
T
-1
Najdu v obrázku pravoúhlý trojúhelník se známých úhlem, jehož odvěsny tvoří souřadnice
bodu T. K tomuto trojúhelníku najdu podobný trojúhelník v úhlem pravé horní čtvrtině, jehož
úhel je zároveň orientovaným úhlem (podobným úhlu na počátku kapitoly).
5
1
cos(x) 210°
S
-1
30°
sin(x)
30°
cos(30°)
sin(30°)
R
1
T
-1
Z obrázku je vidět, diky shodnosti obou tmavomodrých trojúhelníků, že platí:
1
sin 210° = − sin 30° = −
2
3
cos 210° = − cos 30° = −
2
Př: Urči postupně hodnoty sin ( x ) a cos ( x ) pro úhly 315°;150°;330°; 240°;135°;300°; .
Př:
Doplň tabulku s hodnotami všech goniometrických funkcí pro x ∈ 0; 2π .
6
7