Determinanty: P ermutace: prosté zobrazení množiny na sebe, na

Determinanty: Permutace: prosté zobrazení množiny na sebe, na množině s n prvky, je n ! permut.; Složení permutací: i =2 1 i , =1 2 =2 °1 ;
Inverzní permut.: −1 Transpozice: cyklus dělky 2; Perm.sudá (+): sudý poč. transp. Perm.lichá (-): lichý poč. transp. Determin.: det A=∑ zn a 11 ⋯a n n
Lineár.prostory: Lin.vektor. prostor: D1: pro dva prvky jednoznačně součet D2: jednoznačně určen násobek prvku S1: u +v =v+u (komutativita) S2: (u+v)+w= u+ (v+w)
(asociativita) S3: exist. nulový prvek- u+0=0+u=u S4: exist. opačný prvek- u+(-u)=(-u) +u=0 N1: 12 u=1 u2 u N2: uv= u v N3:
1 2 u=1 2 u N3: 1 * u = u; Grupa: struktura jen s jednou operací +, a platí podmínky D1, S2, S3, S4, pokud navíc S1- Abelova grupa; Lin.vekt.prost.-příklady: a)
množina orientov. úseček v rov.i prostoru b)množ.všech reál.čísel c)prostor matic d)polynom do stupně n e) reálné fce, spojité na intervalu;Podprostor prostoru:
i x y∈ L ' ii  x∈ L ' Lineár. obal množiny M- <M>: M ={v 1 , v 2 ,} Množina <M> všech lineár.kombinací vektorů v; Množinou generátorů –
konečná množina M ⊂V vektorového prostoru, jestl. <M>=V. Jestliže V obsahuje množinu generátorů, je konečně generovaný.Báze: lineárně nezávisl. množina generátorů
prostoru. Dimenze: počet prvků báze prostoru; Steinitzova věta o výměně: Nechť M-množina generátorů prostoru L, N-množina lin. nezávisl.prvků prostoru L, Potom n <= m, a
některým m prvků množiny M lze nahradit prvky množiny N tak, že vzniklá množina je opět množinou generátorů prostoru V. Souřadnice prvku v bázi: značení- x , b...báze,
x=1 b1 ...n b n x =[1 , . . . , n ] Podprostory lin.vekt.prost.: dimU V dimU ∩V =dim U dim V
Hodnost matice: Minor řádu r: determinant z Ak 1 , . . . , k r /l 1 , . . . , l r  Hlavní minor řádu p: A[1, 2 ,. . . , p/1, 2 , . . . , p] Regulární mat.: hodnost jako řád
mat; Singulár. mat: hodnost menší než řád matice
Lin.zobrazení: Lin. zobrazení: L :U  V i L x y=L x L y ii L x= L x Jádro zobrazení L- (KerL): množina všech prvků, co se
zobrazí do prvku 0; Obraz zobrazení L-(ImL): množina obrazů všech prvků prostoru, ze kterého zobrazuji; Dimenze jádra a obrazu: U... prostor, ze kterého zobrazuji, dim
(KerL) + dim(imL) = dimU; Lin. zobraz.-monomorfismus: je-li prosté, KerL=0, x!= y; Lin.zobraz.-epimorfismus: je-li na V, ImL=V (V...prostor, do kterého zobrazuji); Lin.
zobraz.-izomorfismus: je-li prosté a na prostor, KerL=0, ImL= V; Matice lin.zobrazení: skládá se po sloupcích ze souřadnic obrazů báze prostoru U, v bázi prostoru V; A =
[
Lu 1   
Lu n ] , platí vztah: A x =y , Když zobrazení je isomorfismus, matice A regulární; Matice přechodu od báze f 1 , f 2 ,... f n , k bázi g 1 ,.. . g n :
g1  
g n ] , T je regulární matice, T x =x , x ...souřadnice x v bázi f, x ...souřadnice x v bázi g, T-1 matice
skládá se po sloupcích ze souřadnic báze g, v bázi f , T= [ 
přechodu od báze g, k bázi f;
Soustavy lin.rovnic: Frobeniova podmínka řešitelnosti: Ax = b, má řešení, ⇔ hodnost rozšířené matice, se rovná hodnosti nerozšířené mat.; Cramerovo pravidlo: Ax=b, řešení
soustavy přes determinant, x...řešení soustavy, xi=detAi / detA , detAi … determinant z A, vzniklý výměnou i-tého sloupce, za sloupec pravých stran;
Jordanův tvar matice: charakteristický polynom: det  I − A=0 vlastní čísla: kořeny polynomu vlastní vektor: det 0 I − A=0 podobné matice:
L f 1  , 
L f n  J-Jordanův kanonický tvar mat.
A=TBT −1 podobné mat.-stejné charakt. polyn. i vlast. čís. lineár. operátor: lin. zobraz. prostor. do sebe matice lin. op.: 
−1
A: J =diag [1 , , n ] , A=TJT lamda-různá vlast. čís., T-vlast.vektory A podobná diag. mat. ⇔ A – n lin. nezávisl. vlastn. vekt. řetězec zobecň. vlast. vekt.:
 I − A h1=0, h1≠0,  I − A h 2=−h 1 vektory příslušne vl. číslu, lineár. nezávislé, Jordanův blok (jordan. pole řádu n k vlast. číslu: J=
[1 0 0 ; 0  1 0 ;...] značí: J n 
Skalární násobení: Skalární součin na prostoru L: i x , x≥0 ii x , y= y , x iii x , y= x , y iv xz , y= x , y z , y
Euklidovský prostor: lin. vekt. prost. nad R se skalár. součinem Unitární prostor: lin. vekt. prost. nad C se skal. souč. Cauchy-Schwarzova nerovnost: x, y lib. prvky,
2
 x , y  ≤ x , x  y , y Norma – reálná fce : L  ℝ : i x≥0 ii x=∣∣ x iii x y≤ x y značení: ∥x∥
vzdálenost prvků x,y:  x , y=∥x− y∥ Norma indukovaná skalár. součin.: : L  ℝ -  x=   x , x Prvky x,y jsou kolmé (ortogonální):
x ⊥ y ⇒ x , y=0 Pythagorova věta: x ⊥ y ⇔∥x y∥2 =∥x∥2 ∥y∥2 Ortogonální báze prostoru L: n-nenulov.prvků prostoru, navzájem ortogonálních
Gram-Schmidtův ortogonaliz. proces:-jak určit ortogonální bázi: v 1 ⊥ v 2 : 0 =v 2 , v 1 = y 2  v 1 , v 1 = y 2 , v 1 v 1 , v 1  v 1= y 1 ,
v 2= y 2 v 1 , v 3= y 31 v 12 v 2 Ortonormální prvky: 1.e i , e j =0 2.e i , e i =1 Ortonormální báze: ortonormální prvky, tvořící bázi prostor. V
každém euklidov. nebo unitár.prostoru exist. ortonorm. báze. Ortogonální průmět vektoru v do podprostoru:- vektor v 0 : L...prostor, L1...podprostor, v ∈ L , v∉ L1 ,
v 0 ∈ L1 ⇒ v 0=1 b12 v 2 a v−v 0 ⊥ L1 ⇒ v , b k =1 b1 , b k  k b k , b k  , v−v 0 kolmý na bázi podprostoru V. Gremova matice:
G=[bi , b j ] - tvořená ze skalár. součinů prvků, symetrická! Ortogonální doplněk: všechny prvky x prostoru L ortogonálních k podporostoru U. dim(U)+dim(doplňku)
=dim L Metoda nejmenších čtverců: Máme polynom, který aproximuje naměřené hodnoty. Ty dosadíme za x a y do polynomu. Tím získáme soustavu rovnic s pravou stranou.
Uděláme ortogonální průmět pravé strany do prostoru, tvořeného vektory soustavy rovnic. řešení=vektor, minimalizující normu ∥Ax−d∥2=  Ax−d , Ax−d 
Bilineární a kvadratické formy: Bilineární forma na L: zobrazení  : L x L  R , jestliže platí: i xz , y= x , y z , y
ii x , y= x , y iii x , yz = x , y x , z  ii x ,  y=  x , y Příklad: skalární násobení v euklid. prostoru,
zobrazení dané předpisem:  x , y=2 x 1 y 13 x 1 y 2−x 2 y 15 x 2 y 2 Matice A bilin. formy:  v bázi b 1 , , b n Pro bilin. formu platí:
 x , y=x T A y Matice téže bilin.formy-vztah: A-.mat.v bázi b, B-mat.v bázi v, T-mat.přechodu od b k v, platí: B=TTAT, Kongruentní matice A,B: B=TTAT, T..
regulární matice, kongruentnost-vztah ekvivalence; Symetrická bilin.forma:jestliže  x , y= y , x Kvadrat. forma: k : L  ℝ k  x= x , x (symetrická
bilin.forma) A-reálná symetrická matice: 1)vlastní čís.reálná 2) exist.reáln.vlast.vektor 3)vlast.vektor.přísluš.různým vlast.čís. jsou ortogonální při skalář.násobení na prostoru.
Kongruent.reáln.symetr.matice: kongruent.s diagon.reál.maticí řádu n. Inercie symetric.matice A: značení: in(A) = (k, z, d), k...počet klad.vlast.čís, z...poč.záporn.vl.č., d...počet
nulových vlast.č., Reálná symetr.mat. je kongruent.s maticí: K =diag[1,...1, -1,...,-1, 0,...,0] Inercie kvadr.form: in(k)=in(A) Kvadrat.forma ve tvaru lin.kombinace čtverců
souřadnic: koeficienty-vlast.čísl.matice A, k  x=x T A x =x T TJT T  x =T T x T J T T x  T-ortonormální vlast.vektory; x =[1 , ,n ]T =T T x souřadnice prvku x v jiné bázi, k  x=1 12n 2n Kvadrat.forma je( n-dimenze prostoru): pozitivně definit.-k(x)>0, in(k)=(n, 0, 0); pozit. semidef.-k(x)> =0, in
(k)=(k, 0, d), d != 0; negativně defin.-k(x)<0, in(k)=(0, n, 0); negativ. semidef.-k(x)< =0, in(k)=(0, z, d), d != 0; indefinitní-k(x1)>0, k(x2)<0, in(k)=(k, z, d); Sylvestrovo
kritérium: k..kvadratická forma, A...matice kvadr.form. v bázi f, Potom kvadr.form. je pozitivně def. právě tehdy, když všechny hlavní minory mat.A jsou kladné.Užití kvadr.
forem: - kvadriky; Rovnice kvadriky: k  x x=0 , x T A xb T x=0 , T-matice se skládá po sloupcích z ortonorm.vlast.vektorů, proto T-1=TT,
 x T T  J T T xbT T T T x=0 , x T J x T T bT x =0 Základní tvar kvadriky – doplnění na čtverec;