12 Vzorkovací teorém

12
VZORKOVACÍ TEORÉM
12
1
Vzorkovací teorém
Půvab vzorkovacího teorému spočívá v tom, že umožňuje vyjádřit spojité funkce jistého typu hodnotami
těchto funkcí (vzorky) v určitých izolovaných bodech. Přitom nejde o nějakou aproximaci, nýbrž o přesné
vyjádření funkce. Význam vzorkovacího teorému pro matematiku, vědu i techniku je mimořádně veliký
(viz např. [1], [2], [3], [4], [5]). Všeobecně je oceňován jeho význam pro teorii interpolace a teorii komunikace, kdy jde většinou o vzorkování funkce jedné proměnné. Vzorkování funkcí více proměnných
je užitečné např. v optice při zpracování obrazu a dává zajímavý pohled i na strukturní analýzu, neboť představuje reciprokou mřížku jako množinu bodů vzorkujících Fourierovu transformaci elementární
buňky.
12.1
Vzorkování funkce jedné proměnné
Věta 1: Jestliže o Fourierově transformaci F (X) funkce f (x) platí
F (X) = 0,
X 6∈ P − 12 X0 , P + 12 X0 ,
když
je funkce f (x) určena svými hodnotami v bodech xn =
∞
X
f (x) = exp(ikP x)
f
n=−∞
2π
n
kX0
2π
kX0
X0 > 0.
(1)
n, n = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . a platí
sin( 21 kX0 x − nπ)
P
.
exp −i2πn
1
X0
2 kX0 x − nπ
(2)
Důkaz: Podstata důkazu spočívá v tom, že vzhledem
k podmínce (1) můžeme napsat Fourierovu trans
X−P
formaci F (X) ve tvaru součinu funkce rect X0 a Fourierovy řady funkce F (X). Inverzní Fourierovou
transformací tohoto součinu je konvoluce a dokazované tvrzení je jejím výpočtem.
Pro účely této kapitoly (viz poznámka (ii) v dalším textu) redefinujeme funkci rect(x), a to takto:
rect(x) = 1,
když
|x| < 12 ,
rect(x) = 0,
když
|x| ≥ 12 .
Fourierovu transformaci F (X) splňující podmínku (1) pak můžeme napsat ve tvaru součinu
" ∞
#
X
X −P
F (X) =
Cn exp i2πnX/X0 rect
,
X0
n=−∞
a vypočítat Fourierovy koeficienty Fourierovy řady funkce F (X):
Cn
=
=
=
1
X0
Z
P +X0 /2
F (X) exp(−i2πnX/X0 ) dX =
P −X0 /2
P +X0 /2
2π
B
n X dX =
F (X) exp ik −
X0 B
kX0
P −X0 /2
1
2π
f −
n ,
B X0
kX0
1
Z
což je výsledek obdobný vztahu 3.3(8). Fourierova transformace F (X) má tedy tvar
#
"
∞
X
X −P
1
2π
F (X) = rect
f −
n exp(i2πnX/X0 ) .
X0
B X0 n=−∞
kX0
(3)
Podle 7.3(2) je inverzní Fourierova transformace tohoto součinu úměrná konvoluci inverzních Fourierových transformací součinitelů:
(
)
∞
X
X
−
P
1
2π
f (x) = A FT−1 rect
∗ FT−1
f −
n exp(i2πnX/X0 ) .
X0
B X0 n=−∞
kX0
Vypočítáme nyní obě inverzní Fourierovy transformace tvořící tuto konvoluci:
(4)
2
12
−1
FT
VZORKOVACÍ TEORÉM
Z P +X0 /2
sin( 1 kX0 x)
X −P
rect
.
=B
exp(ikxX) dX = B X0 exp(ikP x) 1 2
X0
P −X0 /2
2 kX0 x
(
FT−1
)
∞
X
1
2π
f −
n exp(i2πnX/X0 ) =
B X0 n=−∞
kX0
∞
X
1
2π
n FT−1 {exp(i2πnX/X0 )} =
=
f −
B X0 n=−∞
kX0
Z ∞
∞
2π
1 X
2π
exp ikX x +
=
f −
n
n
dX =
X0 n=−∞
kX0
kX0
−∞
∞
1 X
2π
2π
2π
=
n
δ x+
n =
f −
X0 n=−∞
kX0
|k|
kX0
∞
1 1 X
2π
2π
=
n δ x+
n .
f −
AB X0 n=−∞
kX0
kX0
Dosazením do (4) dostaneme
f (x)
=
=
∞
X
sin( 12 kX0 x)
2π
2π
∗
f
−
n
δ
x
+
n
=
1
kX0
kX0
2 kX0 x
n=−∞
∞
X
sin( 21 kX0 x + nπ)
2π
P
.
exp(ikP x)
f −
n exp i2πn
1
kX0
X0
2 kX0 x + nπ
n=−∞
exp(ikP x)
Odtud sčítáním v opačném pořadí (tj. n → −n) dostáváme tvrzení (2) vzorkovacího teorému.
Poznámky:
(i) Za hodnotu X0 nemusíme zvolit nejmenší z hodnot splňujících podmínku (1). Volbou X0 je ovšem
určena vzdálenost ∆x = xn − xn−1 = 2π/kX0 mezi body vzorkování. Je zřejmé, že při nejmenší
možné hodnotě X0,min je vzdálenost mezi body vzorkování největší, tj. vzorkování je nejřidší. Tato
maximální vzdálenost bodů vzorkování se nazývá Nyquistův interval ∆xmax = kX2π
a jeho
0,min
převrácená hodnota Xf,0,min =
k
2π
X0,min Nyquistova frekvence nebo Nyquistova míra vzorkování.
(ii) K tomu, aby pravá strana rovnice (2) jednoznačně určovala funkci f (x) je podstatné, aby Fourierova transformace F (X) byla nenulová jen v otevřeném intervalu, jak je tomu v předpokladu
(1). Kdybychom dovolili, aby funkce F (X) byla nenulová v krajních bodech X1 = P − 21 X0 a
X2 = P + 12 X0 intervalu, mělo by to za následek, že řada na pravé straně rovnice (2) by neurčovala
funkci f (x) jednoznačně. Funkce
X0
g(x) = exp(ikP x) sin k
x ,
2
jejíž Fourierova transformace
G(X) =
i δ X − P + 21 X0 − δ X − P − 12 X0
2B
je nenulová právě jen v krajních bodech X1 , X2 intervalu v (1), nabývá totiž nulových hodnot ve
2π
všech bodech xn = kX
n vzorkování:
0
g
2π
n
kX0
P
= exp i2πn
sin(πn) = 0.
X0
Kdybychom připustili, aby funkce F (X) byla nenulová také v krajních bodech intervalu (1), byla
by pravá strana rovnice (2) táž pro všechny funkce f (x) + αg(x), kde α je libovolná konstanta.
12
VZORKOVACÍ TEORÉM
3
V literatuře bývá věta (1) formulována pro případ, kdy je interval, v němž je Fourierova transformace
nenulová, symetrický kolem počátku, tj. ve tvaru: Je–li
F (X) = 0,
když
|X| ≥ 12 X0 > 0,
(5)
sin( 21 kX0 x − nπ)
.
1
2 kX0 x − nπ
(6)
je
∞
X
2π
f (x) =
n
f
kX0
n=−∞
Rovnice (6) bývá nazývána kardinální (interpolační) formulí a řada na její pravé straně kardinální řadou.
Jak jsme naznačili v úvodu k této kapitole, věta 1 má mnoho aplikací jak v matematice (teorie
interpolace), tak v přírodovědě a technice (teorie komunikací). Byla několikrát nezávisle objevena, a proto
bývá označována různými jmény. Nejčastějšími mezi nimi jsou E. T. Whittaker [6], H. Nyquist [7], V. A.
Kotěl’nikov [8] a C. E. Shannon [9].
Často máme co do činění s případem, který je svým způsobem komplementární k větě 1: Funkce f (x)
je nenulová pouze v nějakém konečném intervalu. Např. elementární buňka krystalu bývá charakterizována funkcí, která má nenulové hodnoty pouze uvnitř elementární buňky. V jednorozměrném případě
f (x) 6= 0 pro 0 ≤ x < a, kde a je mřížkový parametr (mřížková konstanta). Pak můžeme očekávat, že
Fourierovu transformaci takové funkce lze vyjádřit pomocí jejích hodnot v bodech vzorkování. Skutečně
tomu tak je a vypovídá o tom věta 2.
Věta 2: Jestliže pro funkci f (x) platí
f (x) = 0,
x 6∈
když
p−
1
1
x0 , p + x0 ,
2
2
x0 > 0,
je její Fourierova transformace F (X) určena svými hodnotami v bodech Xn =
1, 2, . . ., a platí
F (X) = exp(−ikXp)
∞
X
F
n=−∞
2π
n
kx0
2π
kx0
(7)
n, n = . . .,−2, −1, 0,
sin( 21 kXx0 − nπ)
p
exp i2πn
.
1
x0
2 kXx0 − nπ
(8)
Důkaz: Je obdobný důkazu věty 1. Vypočítáme koeficienty cn Fourierovy řady funkce f (x)
f (x) =
∞
X
cn exp(i2πnx/x0 ),
x∈
p−
n=−∞
cn
=
1
x0
Z
1
1
x0 , p + x0 .
2
2
p+x0 /2
f (x) exp(−i2πnx/x0 ) dx =
p−x0 /2
Z
p+x0 /2
=
1
A
A x0
=
1
2π
F
n ,
A x0
kx0
f (x) exp(−ik
p−x0 /2
2π
n x) dx =
kx0
což je známý výsledek 3.3(8). Funkci f (x) napíšeme ve tvaru součinu
#
"
∞
X
x−p
1
2π
f (x) = rect
·
n exp(i2πnx/x0 ) .
F
x0
A x0 n=−∞
kx0
Fourierovou transformací tohoto součinu je konvoluce
(
)
∞
X
x−p
1
2π
∗ FT
F (X) = B FT rect
F
n exp(i2πnx/x0 ) .
x0
A x0 n=−∞
kx0
Poněvadž
(9)
4
12
VZORKOVACÍ TEORÉM
sin( 21 kXx0 )
x−p
FT rect
= A x0 exp (−ikpX)
,
1
x0
2 kXx0
1
2π
FT {exp(i2πnx/x0 )} =
δ X−
n ,
B
kx0
(srov. 1.3(6), 1.3(3)), má konvoluce (9) tvar
∞
X
sin( 12 kXx0 )
2π
2π
F (X) = exp(−ikpX) 1
∗
n δ X−
n
F
kx0
kx0
2 kXx0
n=−∞
a je zřejmě rovna řadě (8).
Uvedeme ještě dva speciální případy věty 2.
Je–li interval, v němž f (x) 6= 0, symetrický kolem počátku, tj. je–li
f (x) = 0,
|x| >
když
1
x0 ≥ 0,
2
(10)
je
∞
X
2π
F (X) =
F
n
kx
0
n=−∞
sin( 21 kXx0 − nπ)
.
1
2 kXx0 − nπ
(11)
V krystalografii je zvykem popisovat elementární buňku tak, že počátek souřadnic je ve vrcholu
elementární buňky a souřadnice bodů elementární buňky jsou nezáporné. V jednorozměrném případě
tomu odpovídá situace, kdy x0 = a a p = a/2. Věta 2 má pak tvar: Je–li
f (x) = 0,
když
x∈
/ (0, a),
(12)
je
F (X) = exp(−ikXa/2)
∞
X
(−1)n F
n=−∞
2π
n
ka
sin( 12 kXa − nπ)
.
1
2 kXa − nπ
(13)
Vzorkovací teorém lze zobecnit na prostor EN . Toto zobecnění je snadné, když je obor, kde je f (~x) 6=
~ 6= 0, vymezen kvádrem, tj. když body vzorkování tvoří ortogonální mřížku. Pro E2 je
0, resp. F (X)
to uvedeno např. v [10], § 2.4, resp. [11], § 71.2, pro E3 v [12], § 8.11. Jestliže je obor, kde f (~x) 6= 0,
resp. F (X) 6= 0, vymezen nepravoúhlým rovnoběžnostěnem, je formulace vzorkovacího teorému obtížnější
[13]. Můžeme si to představit tak, že onen rovnoběžnostěn představuje elementární buňku mřížky a body
vzorkování pak jsou mřížkovými body reciproké mřížky. Vzorkovací teorém tak objasňuje pozoruhodnou
skutečnost: Chceme-li poznat elementární buňku prostřednictvím její Fourierovy transformace, stačí
znát Fourierovu transformaci v mřížkových bodech reciproké mřížky. Proto v difrakčním obrazci měříme
intenzitu pouze v difrakčních maximech, tj. v mřížkových bodech reciproké mřížky.
Reference
[1] Higgins J. R.: Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis. Foundations. Clarendon Press,
Oxford 1996.
[2] Higgins J. R., Stens R. L., (eds): Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis. Advanced Topics.
Oxford University Press 1999.
[3] Churgin Ja. I., Jakovlev V. P.: Metody těorii celych funkcij v radiofizike, těorii svjazi i optike.
Gosudarstvennoe izdatěľstvo fiziko–matěmatičeskoj litěratury, Moskva 1962.
[4] Charkevič A. A.: Spektry i analiz. Gosudarstvennoe izdatěľstvo těchniko–těoretičeskoj litěratury,
Moskva 1957.
[5] Papoulis A.: Systems and Transforms with Applications in Optics. McGraw-Hill, New York 1999.
12
VZORKOVACÍ TEORÉM
5
[6] Whittaker E. T.: On the Functions which are represented by the Expansions of the Interpolation–
Theory. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A, 35 (1915), 181–194.
[7] Nyquist H.: Certain Topics in Telegraph Transmission Theory. Transactions A.I.E.E. 47 (1928),
617–644.
[8] Kotěľnikov V. A.: O propustnoj sposobnosti „efiraÿ i provoloki v elektrosvajazi. Matěrialy k 1–u
Vsesojuznomu sjezdu po voprosam techn. rekonstrukcii děla svjazi i rozvitija slabotočnoj promyšlennosti, Moskva 1933. Citováno podle [3], str. 107, 225, [4], str. 87, 235.
[9] Shannon C. E.: Communication in the Presence of Noise. Proceedings of the I.R.E. 37 (1949), 10–21.
[10] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. 2nd ed. McGraw-Hill, New York, 1996.
[11] Hawkes R. W., Kasper E.: Principles of Electron Optics, Volume 3, Wave Optics. Academic Press,
London 1994.
[12] Brillouin L.: Science and Information Theory. 2nd ed. Academic Press, Inc., New York 1962.
[13] Petersen D. P., Middleton D.: Sampling and Reconstruction of Wave – Number – Limited Functions
in N –Dimensional Euclidean Spaces. Information and Control 5 (1962), 279–323.