Matematika

Transkript

Matematika

WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA
Matematika
MATURITNÍ OTÁZKY
Ostrava 2008
Tomáš Vejpustek
OBSAH
1
Obsah
1 Výrazy a jejich úpravy
1.1 Mocniny a odmocniny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Umocňování v racionálních rovnicích a nerovnicích . . . .
2 Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy
2.1 Lineární funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Absolutní hodnota . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Soustava lineárních rovnic . . . . . . . . . . . .
2.4 Lineární nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Lineárně lomené funkce . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
9
10
11
3 Kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy
3.1 Absolutní hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Řešení kvadratické rovnice . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Soustavy lineárních a kvadratických rovnic . . . .
3.4 Kvadratické nerovnice . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
13
13
4 Shodná a podobná zobrazení
4.1 Shodná zobrazení . . . . . .
4.1.1 Identita . . . . . . .
4.1.2 Osová souměrnost .
4.1.3 Středová souměrnost
4.1.4 Posunutí . . . . . . .
4.1.5 Otočení . . . . . . .
4.1.6 Analyticky . . . . .
4.1.7 Využití . . . . . . .
4.2 Homotetie . . . . . . . . . .
4.2.1 Stejnolehlost kružnic
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Funkce, binární relace
5.1 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Zadání . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Souměrnost . . . . . . . . . .
5.1.3 Periodicita . . . . . . . . . .
5.2 Okolí bodu . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Monotónnost a extrémy . . . . . . .
5.4 Inflexe . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Spojitost funkce . . . . . . . . . . .
5.5.1 Spojitost v intervalu . . . . .
5.5.2 Věty o spojitosti . . . . . . .
5.6 Limita funkce . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Nevlastní limita . . . . . . .
5.6.2 Limita v nevlastním bodě . .
5.6.3 Nevlastní limita v nevlastním
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
14
14
15
15
15
15
16
16
16
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
bodě
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
18
18
18
18
19
19
19
20
20
20
21
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
22
22
22
23
23
23
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
25
25
26
26
26
26
27
27
27
27
28
28
28
28
29
29
29
29
7 Řešení rovnic v oboru komplexních čísel
7.1 Zavedení komplexních čísel . . . . . . . .
7.2 Rovnice vyššího stupně . . . . . . . . . . .
7.2.1 Hornerovo schéma . . . . . . . . .
7.2.2 Rovnice s racionálními kořeny . . .
7.2.3 Bikvadratická rovnice . . . . . . .
7.2.4 Reciproké rovnice . . . . . . . . . .
7.2.5 Viètovy vzorce . . . . . . . . . . .
7.3 Odmocnění komplexního čísla . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
30
30
30
31
31
31
32
32
32
8 Obor komplexních čísel
8.1 Zavedení komplexních čísel . .
8.1.1 Gaussova rovina . . . .
8.2 Goniometrický tvar . . . . . . .
8.3 Operace s komplexními čísly . .
8.3.1 Geometrická inerpretace
8.3.2 Moivrova věta . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
34
34
34
34
5.7
5.8
5.9
5.6.4 Věty o limitě . . . . . . . . .
5.6.5 Výpočet limity . . . . . . . .
Inverzní funkce . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Binární relace . . . . . . . . .
Derivace . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Věty o derivaci . . . . . . . .
5.8.2 L’Hospitalovo pravidlo . . . .
Primitivné funkce a neurčitý integrál
6 Trojúhelník a čtyřúhelník
6.1 Trojúhelník . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Trojúhelníková nerovnost .
6.1.2 Dělení trojúhelníků . . . . .
6.1.3 Střední příčka . . . . . . . .
6.1.4 Výška . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Těžnice . . . . . . . . . . .
6.1.6 Kružnice opsaná a vepsaná
6.1.7 Sinová věta . . . . . . . . .
6.1.8 Cosinová věta . . . . . . . .
6.1.9 Obvod a obsah . . . . . . .
6.2 Rovnoramenný trojúhelník . . . . .
6.3 Čtyřúhelník . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Tětivový čtyřúhelník . . . .
6.3.2 Tečnový trojúhelník . . . .
6.3.3 Rovnoběžník . . . . . . . .
6.3.4 Lichoběžník . . . . . . . . .
6.3.5 Deltoid . . . . . . . . . . .
6.4 Mnohoúhelník . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
8.4
3
Binomická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Logaritmické, exponenciální a goniometrické
9.1 Exponenciální funkce . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Exponenciální rovnice . . . . . . . . .
9.2 Logaritmická funkce . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Argument . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Logaritmické rovnice . . . . . . . . . .
9.3 Logaritmické a exponenciální nerovnice . . .
9.4 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Goniometrické rovnice . . . . . . . . .
fce
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
36
36
37
37
38
38
38
39
10 Kružnice, oblouk, kruh, kulová plocha, elipsa
10.1 Kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Analytické vyjádření . . . . . . . . . . .
10.1.2 Obvodový a středový úhel . . . . . . . .
10.2 Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Analytické vyjádření . . . . . . . . . . .
10.4 Poloha přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Tečna kružnice . . . . . . . . . . . . . .
10.4.2 Tečná rovina kulové plochy . . . . . . .
10.4.3 Tečna elipsy . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Mocnost bodu ke kružnici . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
41
42
42
42
42
43
43
43
43
43
11 Parabola
11.1 Analytické vyjádření . . . . . . . . . .
11.2 Parabola jako graf kvadratické funkce
11.3 Parabola a přímka . . . . . . . . . . .
11.3.1 Tečna paraboly . . . . . . . . .
11.3.2 Ohniskové vlastnosti . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
44
45
45
45
46
12 Hyperbola
12.1 Analytické vyjádření . . . .
12.2 Hyperbola a přímka . . . .
12.2.1 Tečna hyperboly . .
12.2.2 Asymptoty . . . . .
12.2.3 Ohniskové vlastnosti
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
48
48
48
48
13 Polohové vlastnosti bodů, přímek
13.1 Omezené útvary . . . . . . . . .
13.2 Průsečík a průsečnice . . . . . . .
13.3 Rovnoběžnost . . . . . . . . . . .
13.4 Mimoběžnost . . . . . . . . . . .
13.5 Volné rovnoběžné promítání . . .
13.5.1 Osová afinita . . . . . . .
a
.
.
.
.
.
.
rovin
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
50
50
51
51
52
52
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
4
13.5.2 Středová kolineace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
14 Metrické vlastnosti bodů, přímek a
14.1 Teorie míry . . . . . . . . . . . . .
14.2 Odchylka . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Kolmost . . . . . . . . . . .
14.3 Vzdálenost . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Vzdálenost analyticky . . .
rovin
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
53
54
54
55
55
55
15 Vektor
15.1 Vektorový prostor . . . . .
15.2 Lineární závislost . . . . . .
15.3 Lineární kombinace vektorů
15.4 Souřadný systém . . . . . .
15.5 Operace s vektory . . . . .
15.5.1 Velikost vektoru . .
15.5.2 Skalární součin . . .
15.5.3 Vektorový součin . .
15.5.4 Smíšený součin . . .
15.6 Normálový vektor . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
57
58
58
58
58
58
59
59
59
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16 Parametr – rovnice a nerovnice,
16.1 Rovnice s parametrem . . . . .
16.2 Nerovnice s parametrem . . . .
16.3 Parametrické systémy funkcí . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
jejich
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
soustavy
60
. . . . . . . . . . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . . . . 61
17 Objemy hranatých i rotačních těles, obsah
17.1 Teorie míry . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Obsah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Primitivné funkce a neurčitý integrál . . . .
17.4 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 Integrační metody . . . . . . . . . . . . . .
17.5.1 Substituce . . . . . . . . . . . . . . .
17.5.2 Per partes . . . . . . . . . . . . . . .
17.5.3 Racionální lomené funkce . . . . . .
17.5.4 Nevlastní integrál . . . . . . . . . . .
17.6 Objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.7 Další využití určitého integrálu . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
62
63
63
63
64
64
65
65
66
66
66
18 Věty Thaletova, Pythagorova a Euklidovy
18.1 Thaletova věta . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Pythagorova věta . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.1 Obrácená věta . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Velká Fermatova věta . . . . . . . .
18.3 Euklidovy věty . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1 Euklidova věta o výšce . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
67
68
68
69
69
OBSAH
5
18.3.2 Euklidova věta o odvěsně . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
19 Kombinatorika
19.1 Základní pravidla kombinatoriky . .
19.2 Faktoriál . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3 Kombinační číslo . . . . . . . . . . .
19.3.1 Vlastnosti kombinačního čísla
19.3.2 Pascalův trojúhelník . . . . .
19.3.3 Binomická věta . . . . . . . .
19.4 k-členné skupiny . . . . . . . . . . .
19.4.1 Variace . . . . . . . . . . . .
19.4.2 Permutace bez opakování . .
19.4.3 Permutace s opakováním . . .
19.4.4 Kombinace . . . . . . . . . .
19.5 Dirichletův princip . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
70
70
70
70
70
71
71
71
71
72
72
72
72
20 Pravděpodobnost a statistika
20.1 Klasická pravděpodobnost . . . . . .
20.1.1 Sjednocení jevů . . . . . . . .
20.1.2 Nezávislost jevů . . . . . . .
20.1.3 Bernoulliho schéma . . . . . .
20.1.4 Podmíněná pravděpodobnost
20.1.5 Úplná pravděpodobnost . . .
20.2 Geometrická pravděpodobnost . . .
20.3 Statistika . . . . . . . . . . . . . . .
20.3.1 Popisná statistika . . . . . .
20.3.2 Dvourozměrná statistika . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
74
74
74
74
75
75
75
75
77
21 Posloupnost
21.1 Určení posloupnosti . . . . . . . . .
21.2 Vlastnosti posloupností . . . . . . .
21.3 Aritmetická posloupnost . . . . . . .
21.4 Geometrická posloupnost . . . . . .
21.4.1 Úrokování . . . . . . . . . . .
21.5 Limita posloupnosti . . . . . . . . .
21.5.1 Věty o limitách . . . . . . . .
21.6 Nekonečná řada . . . . . . . . . . . .
21.6.1 Nekonečná geometrická řada
21.7 Eulerovo číslo . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
78
78
79
80
80
80
81
81
82
82
22 Základy diferenciálního počtu
22.1 Okolí bodu . . . . . . . . . .
22.2 Monotónnost a extrémy . . .
22.3 Inflexe . . . . . . . . . . . . .
22.4 Spojitost funkce . . . . . . .
22.4.1 Spojitost v intervalu .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
83
84
84
84
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
6
22.4.2 Věty o spojitosti . . . . . . . . . .
22.5 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . .
22.5.1 Nevlastní limita . . . . . . . . . .
22.5.2 Limita v nevlastním bodě . . . . .
22.5.3 Nevlastní limita v nevlastním bodě
22.5.4 Věty o limitě . . . . . . . . . . . .
22.5.5 Výpočet limity . . . . . . . . . . .
22.5.6 Asymptota funkce . . . . . . . . .
22.6 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6.1 Věty o derivaci . . . . . . . . . . .
22.6.2 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . .
22.6.3 Derivace elementárních funkcí . . .
22.6.4 Fyzikální význam . . . . . . . . . .
22.7 Průběh funkce . . . . . . . . . . . . . . .
22.7.1 Monotónnost . . . . . . . . . . . .
22.7.2 Inflexe . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7.3 Postup . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
85
85
86
86
86
87
87
87
88
88
88
89
89
90
90
90
23 Výroková logika, důkazové metody
23.1 Složený výrok . . . . . . . . . . . .
23.2 Predikát . . . . . . . . . . . . . . .
23.3 Úsudek . . . . . . . . . . . . . . .
23.4 Matematické důkazy . . . . . . . .
23.4.1 Přímý důkaz . . . . . . . .
23.4.2 Nepřímý důkaz . . . . . . .
23.4.3 Důkaz sporem . . . . . . .
23.4.4 Matematická indukce . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
91
92
92
92
93
93
93
93
24 Množiny číselné a bodové
24.1 Mohutnost množiny . .
24.2 Množinové operace . . .
24.3 Grupa . . . . . . . . . .
24.4 Číselné obory . . . . . .
24.4.1 Přirozená čísla N
24.4.2 Celá čísla Z . . .
24.4.3 Racionální čísla .
24.4.4 Reálná čísla . . .
24.4.5 Interval . . . . .
24.5 Vennovy diagramy . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
94
94
95
96
96
96
97
97
98
98
98
25 Užití trigonometrie ve slovních úlohách
25.1 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
25.2 Sinová věta . . . . . . . . . . . . . . . .
25.3 Cosinová věta . . . . . . . . . . . . . . .
25.4 Obsah trojúhelníka . . . . . . . . . . . .
25.5 Poloměry kružnic . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
99
99
100
100
101
102
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
26 Platónská tělesa
7
103
1
VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY
1
8
Výrazy a jejich úpravy
Vzorce (a+b)2 , (a+b)3 , a2 −b2 , a3 +b3 , dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny,
vlastnosti logaritmů, vztahy mezi goniometrickými funkcemi, slovní úlohy na
sestavování výrazů.
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi, logaritmickými a exponenciálním funkcemi jsou v otázce zabývající se těmito funkcemi.
Dělení mnohočlenů a polynomy – viz 7, strana 301 .
Co se týče vzorců typu (a+b)n – binomická věta v kombinatorice.
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
Není moc co dokazovat – prostě to roznásobte. . .
1.1
Mocniny a odmocniny
Níže uvedená definice není úplná, pro záporná čísla se musí dodefinovat dělením,
pro racionální odmocněním. Pro definici na reálná čísla lze použít limita.
a
| · a · a{z· a · · · a}
b
= ab
,b ∈ N
Odmocňování je opačná operace k umocňování. Zatímco liché umocňování zachovává znaménko a tudíž je zachovává i liché odmocňování, sudé odmocňování
je nezachovává:
x2k = (−x)2k , k ∈ N
Proto v argumentu sudé odmocniny nemůže
být záporné číslo2 a odmocnina
√
kladného čísla má vždy dva výsledky ( 0 = 0):
√
x2 = a ⇒ |x| = a ⇒ x = ±a
1.1.1
Umocňování v racionálních rovnicích a nerovnicích
Umocnění celé rovnice je neekvivalentní úprava, je tedy nutné provést zkoušku,
která vyřadí „pirátskéÿ kořeny.
Iracionální nerovnici můžeme umocnit pouze, jsou-li obě její strany nezáporné.
1 Komu
se chce používat složité dělení, když existuje Hornerovo schéma. . .
čísla. . .
2 Komplexní
2
LINEÁRNÍ ROVNICE A NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
2
9
Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy
Početně i graficky, s absolutní hodnotou i bez; vlastnosti lineárních funkcí –
rostoucí, klesající, konstantní, omezená, intervaly, definiční obor, obor hodnot
funkce, užití ve slovních úlohách.
Nevím, proč mi to příjde neskutečně primitivní. Pozor na příklady.
2.1
Lineární funkce
f (x) = kx + q, Df = R, Hf = R
Kde q ∈ R, k ∈ R∗ . Grafem je přímka, přičemž k je její směrnice (k = tg ϕ).
Není omezená, je monotónní a je zároveň konvexní i konkávní. Je prostá. Monotónnost:
rostoucí pro k ∈ R+
klesající pro k ∈ R−
V každém bodě je spojitá a má derivaci.
Speciálním případem je přímá úměrnost, pro q = 0, která je lichá.
Pro její kořen platí:
q
x=−
k
2.2
Absolutní hodnota
Absolutní hodnota celé funkce (f (x) = |kx + q|) zobrazí její část pod osou x
souměrně podle této osy, absoulutní hodnota argumentu (f (x) = k|x| + q) ji činí
souměrnou podle podle osy y. Rovnice s absolutní hodnotou řešíme nalezením
nulového bodu, ve kterém je nulová, a rozdělením na intervaly.
2.3
Soustava lineárních rovnic
Pro více proměnných má lineární funkce tvar:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) =
n
X
ki xi + q
i=1
Předvedu jak řešit soustavu linárních rovnic pomocí matice, ostatní
metody jsou primitivní.
Abychom mohli jednznačně určit kořeny, potřebujeme n rovnic, přičemž
žádné dvě nejsou svou lineární kombinací (když máme vektor f1 (k1 ; k2 ; . . . ; kn ) =
cf2 (l1 ; l2 ; . . . ; ln )).
Lineární funkce můžeme zapsat do matice:
2





k11
k21
..
.
k12
k22
..
.
...
...
..
.
k1n
k2n
..
.
q1
q2
..
.
kn1
kn2
...
knn
qn
10





Přičemž ji lineárními kombinacemi řádkových vektorů (ke každému řádku
můžeme přičíst násobek jiného řádku), upravíme na Gaussův tvar (tj. pod hlavní
diagonálou – aii – budou nuly). Pokud má matice menší hodnost než maximální
(dáno počtem řádků původní matice), má nekonečně mnoho nebo nula kořenů.
Záleží na hodnosti matice doplněné o poslední sloupec. Pokud je stejná, zvolíme
jeden kořen jako parametr. Pokud je větší, kořeny neexistují.
V tomto tvaru zjistíme xn . Další kořeny zjišťujeme zpětným dosazováním
nebo eliminací prvků nad hlavní diagonálou.
Mějme soustavu rovnic:
x + 3y + 2z = 5
2x + y + 3z = 4
−x + 7y + 2z = 7
Převedeme na matici a

1
 2
−1
upravíme do Gaussova tvaru:
 
1 3
2
3 2 5
1 2 4  ∼  0 −5 −2
7 2 7
0 10
4

5
−6 
12
Je jasné, že poslední dva řádkové vektory jsou svou lineární kombinací a
matice i doplněná matice mají stejnou hodnost. Proto zvolíme z ∈ R. Zpětným
dosazením:
2(z − 3)
−5y − 2z = −6 ⇒ y = −
5
6
4z + 3
x − (z − 3) + 2z = 5 ⇒ x = −
5
5
Kořeny rovnice tedy jsou:
4z + 3 2(z − 3)
K=
−
;−
;z : z ∈ R
5
5
2.4
Lineární nerovnice
Určuje binární relaci – polorovinu pod nebo nad přímkou.
2
2.5
11
Lineárně lomené funkce
S x ve jmenovateli. Všeobecně je to podíl dvou lineárních funkcí:
k1 x + q1
q2
k1
f (x) =
, Df = R \ −
, Hf = R \
k2 x + q2
k2
k2
Pokud nejsou funkce lineárně závislé, je její kořen − kq11 . Vhodnou úpravou
lzou převést na tvar:
n qo
a
f (x) =
, Hf = R \ {b}
+ b, Df = R \ −
kx + q
k
Grafem je hyperbola. Asymptoty jsou dány přímkami x = − kq a y = b. Střed
je pak jejich průsečíkem. Je prostá. Dělí se na dvě větve:
levou x ∈ −∞; − kq
pravou x ∈ − kq ; ∞
Pokud ka > 0, jsou větve klesající, levá je konkávní a v posunutém třetím
kvadrantu a pravá konvexní a v posunutém prvním kvadrantu.
Pokud ka < 0, jsou větve rostoucí, levá je konvexní a v posunutém druhém
kvadrantu a pravá konkávní a v posunutém čtvetém kvadrantu.
3
KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
3
12
Kvadratické rovnice, nerovnice a jejich soustavy
Početně i graficky, s absolutní hodnotou i bez, vlastnosti kvadratických funkcí,
rostoucí, klesající, omezená, definiční obor a obor hodnot funkce, vlastnosti
kořenů, soustavy lineárních a kvadratických rovnic, extrémy funkce s užitím
diferenciálního počtu, slovní úlohy.
f (x) = ax2 + bx + c, a ∈ R∗ , Df = R
Grafem je parabola. Její vrchol a tedy globální extrém můžeme určit úpravou
na čtverec nebo derivací, je tedy omezená. Monotónní je pouze na intervalech a
má jednotnou inflexi. Na celém svém definičním oboru je spojitá a má na něm
derivaci. Není prostá a pokud b = 0, je sudá. Rozlišujeme dva typy:
a ∈ R+ Vrchol je globální minimum, je tedy omezená zespoda. V intervalu (−∞; xV )
je klesající, v jeho doplňku rostoucí. Je konvexní.
a ∈ R− Vrchol je globální maximum, je tedy omezená shora. V intervalu (−∞; xV
je rostoucí, v jeho doplňku klesající. Je konkávní.
Můžeme říci, že hodnota a určuje rychlost růstu paraboly, hodnota b posunutí rovnoběžně s osou prvního a třetího kvadrantu a c posunutí rovnoběžné
s osou x.
3.1
Absolutní hodnota
Absolutní hodnota celé funkce zobrazí její část pod osou x souměrně podle této
osy. Na člen druhého stupně nemá vliv (|x|2 = x2 ) a absolutní hodnota prvního
členu ji činí souměrnou podle osy y.
Řešením je rozdělení intervalů podle nulových bodů (tj. bodů, kde argument
absolutní hodnoty je nulový).
3.2
Řešení kvadratické rovnice
Kromě rozložení na součin kořenových činitelů (a(x − x1 )(x − x2 )) lze použít pro
rovnici v normovaném tvaru (a = 1) Viètovy vzorce, které odpovídají tomuto
rozložení:
x2 + px + q = 0, x1 + x2 = −p, x1 x2 = q
Univerzálním postupem je řešení pomocí dikriminantu:
D = b2 − 4ac
Podle hodnoty diksriminantu rozeznáváme:
D > 0 Dva rozdílné reálné kořeny – funkce protíná osu x ve dvou bodech.
3
KVADRATICKÉ ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
13
D = 0 Jeden dvojnásobný reálný kořen – funkce se osy x dotýká.
D < 0 Žádný reálný kořen3 – funkce osu x neprotíná, platí tedy:
f (x) ∈ R+ ⇔ a ∈ R+
f (x) ∈ R− ⇔ a ∈ R−
Pro D ≥ 0 jsou pak kořeny rovnice:
x1,2 =
√
−b ± D
2a
Kořeny jsou vždy souměrné podle vrcholu.
3.3
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic
Pro dvě proměnné má kvadratická funkce tvar:
f (x; y) = ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + f
Soustava s lineárními rovnicemi se typicky řeší vyjádřením jedné proměnné
z lineární rovnice a jejím dosazením do rovnice kvadratické.
3.4
Kvadratické nerovnice
Určují binární relaci, část roviny, která je pod nebo nad křivkou.
3 Viz
komplexní čísla.
4
SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ
4
14
Shodná a podobná zobrazení
Definice, vlastnosti, konstrukční úlohy s užitím shodných a podobných zobrazení, skládání shodných zobrazení, řešení metodami analytické geometrie, stejnolehlost – definice, aplikace.
Zobrazení je předpis, kterým se přiřazuje každému prvku jedné množiny
jednoznačně prvek jiné množiny.
V geometrii je zobrazení předpis, který přiřazuje každému bodu v daném prostoru (například rovině) jiný bod tohoto prostoru. Samodružným bodem (také
invariantním) vzhledem k danému zobrazení nazýváme bod, který se zobrazí
sám na sebe. Samodružným útvarem rozumíme ten, který se zobrazí sám na
sebe. Může být samodružný bodově, kdy je každý jeho bod samodružný, nebo
jen útvarově.
Pokud máme dvě zobrazení A → B a B → C, rozumíme složením zobrazení
A → C.
4.1
Shodná zobrazení
Zobrazení, při kterém se všechny míry zachovávají (viz teorie míry). Můžeme je
brát jako speciální případ afinních zobrazení, při kterých se zachovává rovnoběžnost.
Platí pro ně základní vlastnosti:
• Složením shodných zobrazení vzniká opět zobrazení.
• Pro každé shodné zobrazení existuje inverzní shodné zobrazení, přičemž
složením zobrazení s jeho inverzním zobrazením vzniká identické zobrazení
(viz níže).
• Shodné zobrazení a zobrazení k němu inverzní jsou vždy stejného typu.
Budeme projednávat především shodná zobrazení v rovině.
4.1.1
Identita
Speciální případ shodného zobrazení, kdy jsou všechny body samodružné. Jedná
se tedy o zobrazení, které přiřazuje každému prvku množiny tentýž prvek.
A→A
4.1.2
Osová souměrnost
Osová souměrnost je dána přímkou (osou), jejíž body samodružné. Vzor a obraz
bodu jsou od osy stejně vzdálené, přičemž jejich pravoúhlý průmět na osu je
shodný. Proto jsou také všechny přímky kolmé na osu samodružné.
O(o) : A → A0 , o → o
4
15
Osová souměrnost je sama sobě inverzní. Útvar nazýváme osově souměrným,
pokud se v nějaké osové souměrnosti zobrazí sám na sebe.
V rovině převrací orientaci útvarů – jedná se tedy o nepřímé zobrazení.
Osové zobrazení je výjimečné tím, že z konečného počtu osových souměrností
lze v rovině složit všechna shodná zobrazení. Pak obecně platí, že zobrazení
složená ze sudého počtu osových souměrností jsou přímá, z lichého nepřímá.
4.1.3
Středová souměrnost
Středová souměrnost je dána bodem (středem), který je samodružný. Vzor a
obraz bodu leží na opačných polopřímkách ze středu, ve stejné vzdálenosti od
něj. Všechny přímky procházející středem jsou samodružné.
S(S) : A → A0 , S → S
Středová souměrnost je sama sobě inverzní. Útvar nazýváme středově souměrným, pokud se v nějaké souměrnosti zobrazí sám na sebe.
Lze ji složit ze dvou kolmých osových souměrností, kde {S} = o1 ∩ o2 , nebo
ji lze brát jako otočení o π kolem daného středu.
4.1.4
Posunutí
Také translace. Je dáno vektorem posunutí – prakticky tedy v souřadném systému změní všechny body danou souřadnici o stejnou hodnotu. Nemá žádné
samodružné body, ale všechny přímky ve směru vektoru posunutí jsou samodružné.
τ (~a)A → A0 , A0 = A + ~a
Inverzí posunutí je posunutí s opačným vektorem.
Lze jej složit ze dvou osových souměrností, přičemž platí: |o1 o2 | =
4.1.5
|~
a|
2
Otočení
Také rotace. Je dána bodem (středem) a orientovaným úhlem. Střed je samodružný a všechny ostatní body se zobrazují tak, že | <
) ASA0 | je shodná s velikostí
úhlu otočení.
R(S; ±α) : A → A0 | <) ASA0 | = α, S → S
Inverze je otočení se stejným středem a úhlem s opačným znaménkem.
Lze jej složit ze dvou osových souměrností, přičemž platí: {S} = o1 ∩ o2 ,
ϕ(o1 , o2 ) = α2
4.1.6
Analyticky
Nejjednodušší je vektorové posunutí, zde lze uplatnit přičíátní vektorů.
Středová souměrnost lze vyjádřit:
−→
A0 = A + 2AS
⇒
A0 = 2S − A
4
16
Při osové souměrnosti můžeme využít toho, že bod A0 , průmět bodu A
na osu, je středem souměrnosti úsečky AA0 . Protože AA0 ⊥ o, postupujeme
podobně jako při počítání vzdálenosti bodu od přímky (viz metrické vlastnosti).
−→ −−→
Při rotaci vycházíme z toho, že ϕ(SA; SA0 ) = α a skalárního součinu.
−→ −−→0
−→ −−→
SA · SA = |SA||SA0 | cos α
4.1.7
Využití
Při konstrukci využíváme shodná zobrazení především u souměrných útvarů.
4.2
Homotetie
Jedná se o podobné zobrazení, tedy zachovávají se poměry mír a úhly. Zároveň
je afinní, zachovává se tedy rovnoběžnost.
Je dána bodem (středem) a koeficientem podobnosti κ ∈ R∗ . Úsečce AB
přiřazuje úsečku o délce |κ||AB|. Střed je samodružný, stejně tak všechny přímky
jím procházející.
−→
−−→
H(S; κ) : A → A0 , |SA0 | = |κ||SA|(κ > 0 ⇒ A ∈ SA|κ < 0 ⇒ A ∈ −SX)
Inverzním zobrazením je homotetie se stejným středem a opačným koeficientem κ0 = κ1 .
Analyticky platí:
−−→0
−→
SA = κSA
Využívá se především, jsou-li útvary v nějakém poměru.
4.2.1
Stejnolehlost kružnic
Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé podle dvou středů. Není bez zajímavosti,
že středy homotetie leží na středně kružnic, a jsou-li mimo kružnice, leží na
společných tečnách kružnic.
H(S1 ; κ) : k → k 0
H(S2 ; −κ) : k → k 0
5
FUNKCE, BINÁRNÍ RELACE
5
17
Funkce, binární relace
Definice, vlastnosti, obory funkce; grafické řešení rovnic s absolutní hodnotou
i bez; limita a spojitost funkce, inverzní relace, základní typy funkcí; aplikace
grafů funkcí a binárních relací, derivace funkce, primitivní funkce
Základní typy funkcí z ostatních otázek.
Zobrazení je předpis, který přiřazuje prvkům množiny jednoznačně prvky
jiné množiny. Jednoznačnost znamená, že prvku zobrazované množiny je přiřazen nejvýše jeden prvek druhé množiny.
f :A→B
Množině všech prvků, kterým lze přiřadit zobrazením prvek jiné množiny, se
nazývá definiční obor (Df ⊆ A). Skutečnost, že prvek x ∈ A se zobrazí na
prvek y ∈ B lze zapsat:
y = f (x)
Obraz množiny X ⊆ A je množina Y ⊆ B, která je množinou všech zobrazených
prvků množiny X. Speciálním případem je obor hodnot (Hf ⊆ B), který je
zobrazením definičního oboru (Hf = f (Df )).
Surjekce Je zobrazení f : Df → Hf .
Injekce Také prosté zobrazení. Různým prvkům přiřazuje různé obrazy.
∀x1 , x2 ∈ A, x1 6= x2
@y ∈ B, y = f (x1 ) = f (x2 )
Bijekce Zároveň injekce a surjekce – každému prvku výchozí množiny přiřazuje
právě jeden prvek cílové množiny.
5.1
Funkce
Zobrazení z množiny M do množiny čísel (nebo vektorů). Úžeji pak mluvíme
o spojitém zobrazení, které zobrazuje ze spojité množinu čísel do spojité množiny čísel. Nejčastější je f : R → R. Pokud jde o diskrétní zobrazení, mluvíme
o posloupnosti.
5.1.1
Zadání
Funkci můžeme analyticky definovat různými způsoby.
Explicitně y = f (x)
Implicitně F (x, y) = 0
Parametricky Soustavou rovnic, kde t je parametr. x = f1 (t), y = f2 (t)
5
5.1.2
18
Souměrnost
Důležité jsou především dva druhy souměrnosti. Pro oba platí, že definiční obor
je souměrný, tedy x ∈ Df ⇔ −x ∈ Df .
sudá funkce Souměrná podle osy y. Platí pro ni:
f (x) = f (−x)
Pozor, nikdy není prostá!
lichá funkce Souměrná podle počátku. Platí pro ni:
f (x) = −f (−x)
5.1.3
Periodicita
Funkce je periodická s periodou t, platí-li:
∃t ∈ R
∀x ∈ Df : f (x + t) = f (x)
Primitivní perioda je nejmenší kladná perioda.
5.2
Okolí bodu
Okolí bodu je bod a „blízkéÿ body v danném topologickém prostoru. V oboru
reálných čísel se ε-okolím bodu a (ε ∈ R+ ) rozumí interval Uε (a) = (a−ε; a+ε).
Pro každý x bod okolí platí |x − a| < ε. Prakticky se tedy jedná o interval.
Levé okolí bodu je interval (a − ε; ai.
Pravé okolí bodu je interval ha; a + ε).
Prstencové okolí bodu je pak okolí bez bodu samotného. Pro jeho každý bod
x tedy platí 0 < |x − a| < ε.
5.3
Monotónnost a extrémy
Lokální extrém je bod funkce, jehož funkční hodnota je vyšší (maximum) nebo
nižší (minimum) než hodnoty bodů v některém jeho okolí.
V bodě a je lokální maximum, pokud platí:
∃ε ∈ R+ ∀x ∈ R, 0 < |x − a| < ε, f (a) > f (x)
Analogicky, v bodě a je lokální minimum, pokud platí:
∃ε ∈ R+ ∀x ∈ R, 0 < |x − a| < ε, f (a) < f (x)
Pokud je okolím bodu celý definiční obor, hovoříme o globálním extrému.
Fuknce je monotónní v danném otevřeném intervalu (tedy okolí bodu), pokud je v něm spojitá a nenacházejí se v něm žádné lokální extrémy. Rozlišujeme
více druhů monotónnosti – podle toho, co platí pro libovolné body x1 a x2
z daného intervalu (původně se definuje pro okolí bodu):
5
19
konstantní f (x1 ) = f (x2 )
rostoucí x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
klesající x1 > x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
nerostoucí x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
neklesající x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
5.4
Inflexe
Označení pro změny rychlosti růstu funkce, tedy zakřivení jejího grafu.
Funkce spojitá na otevřeném intervalu (a; b) je konvexní, jsou-li všechny její
funkční hodnoty intervalu pod spojnicí [a; f (a)] a [b; f (b)]. Naopak je konkávní,
jsou-li všechny funkční hodnoty intervalu nad touto spojnicí. Lineární funkce je
tedy zároveň konvexní a konkávní.
(a)
x + q, přičemž g(a) = f (a) a g(b) =
Tedy pokud definujeme g(x) = f (b)−f
b−a
f (b), funkce je konvexní, platí-li:
∀x ∈ ha; bif (x) ≤ g(x)
Naopak, je konkávní, jestliže:
∀x ∈ ha; bif (x) ≥ g(x)
Body, ve kterých funkce mění svou inflexi se nazývají inflexní body.
5.5
Spojitost funkce
Vlastnost funkce v okolí bodu (a také v bodě samotném). Funkce je spojitá
v intervalu právě tehdy, když je spojitá ve všech jeho bodech, spojitou funkci si
intuitivně lze představit jako funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, lépe
funkci, která pro libovolně malou změně x se f (x) změní libovolně málo.
Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně malému okolí
bodu f (a) můžeme najít takové okolí bodu a, že pro všechna x
z tohoto okolí patří f (x) do daného okolí f (a).
∀ε ∈ R+ ∃δ ∈ R+ : ∀x ∈ R, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Pro důkaz spojitosti v bodě je třeba nalézt vztah mezi ε a δ. Funkce může být
v bodě také spojitá jen zprava nebo jen zleva, kdy se pracuje s pravým nebo
levým ε okolím.
5.5.1
Spojitost v intervalu
Funkce je spojitá v otevřeném intervalu, je li spojitá ve všech jeho bodech.
Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu ha; bi, je-li spojitá ve všech bodech
intervalu (a; b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.
5
5.5.2
20
Věty o spojitosti
Pakliže jsou v bodě a spojité funkce f (x) a g(x), jsou v bodě a spojité také
(x)
funkce f (x) + g(x), f (x) − g(x), f (x)g(x) a fg(x)
(za předpokladu, že g(a) 6= 0).
Věta Bolzanova-Weierstrassova: Nechť je f (x) spojitá v intervalu
ha; bi a platí, že f (a) 6= f (b). Pak ke každému k ∈ hf (a); f (b)i existuje c ∈ ha; bi,
pro které f (c) = k.
Věta Weierstrassova: Je-li f (x) spojitá v intervalu ha; bi, existuje alespoň jeden bod x1 ∈ ha; bi, že pro všechna x ∈ ha; bi platí f (x) ≤ f (x1 ) a
alespoň jedno x2 ∈ ha; bi takový, že pro všechna x ∈ ha; bi platí f (x) ≥ (x2 ).
Tedy, je-li funkce spojitá v daném uzavřeném (!) intervalu, má v něm minimum a maximum.
Darbouxova vlastnost: Nechť je f (x) spojitá na intervalu ha; bi a platí
f (a)f (b) < 0. Pak ∃c ∈ ha; bi takové, že f (c) = 0.
Důsledek věty B-W – pokud je funkce spojitá na intervalu, který začíná pod
osou x a končí nad osou x, nebo naopak, má v tomto intervalu kořen.
5.6
Limita funkce
Zatímco spojitost je vlastnost v okolí bodu, limita je vlasnost v prstencovém
okolí bodu (tedy bez bodu samotného). Funkce tedy nemusí být v bodě nutně
spojitá, aby v něm měla limitu a zajímat nás budou právě limity bodů nespojitosti.
Limita v bodě můžeme brát jako hodnotu, kterou by funkce v bodě měla,
kdyby do něj spojitě pokračovala.
Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému
okolí bodu L existuje okolí bodu a takové, že pro všechna reálná
čísla x z tohoto okolí (x 6= a) náleží jejich funkční hodnoty f (x)
danému okolí bodu L.
lim f (x) = L
x→a
⇔
∀ε ∈ R+ ∃δ ∈ R+ ∀x ∈ R, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Můžeme opět pracovat i s jednostrannými limitami v bodě – tj. pro x jdoucí
k bodu zprava nebo zleva. Pak platí:
lim f (x) = lim f (x) = L
x→a−
x→a+
5.6.1
⇒
lim f (x) = L
x→a
Nevlastní limita
Pokud funkce blížící se k bodu stále stoupá nebo klesá, mluvíme o nevlastní
limitě, tedy že:
lim f (x) = ±∞
x→a
Funkce má nevlastní limtu v bodě, pokud pro každé reálné K lze zvolit δ okolí
bodu takové, že hodnota všech x v něm ležících je větší (nebo menší) než K.
lim f (x) = ∞
x→a
⇔
∀K ∈ R∃δ ∈ R+ : 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > K
5
21
Obdobná je definice limity v −∞.
5.6.2
Limita v nevlastním bodě
Sleduje chování funkce pro vysoké absolutní hodnoty x, tedy pro x jdoucí k ±∞.
Funkce má v nevlastním bodě limitu L, pokud pro každé okolí L existuje takové
x0 , že pro všechna větší (nebo menší) x leží f (x) v tomto okolí.
lim f (x) = L
x→∞
∀ε ∈ R+ ∃x0 ∈ R : x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε
⇔
Obdobně je tomu pro x jdoucí k −∞.
5.6.3
Nevlastní limita v nevlastním bodě
Pokud pro x jdoucí k ±∞ funkce stále stoupá nebo klesá, hovoříme o nevlastní
limitě v nevlastním bodě. Funkce má v nevlastním bodě nevlastní limitu, pokud
pro každé reálné K existuje takové x0 , že pro všechna větší (nebo menší) x je
f (x) větší (nebo menší) než K.
lim f (x) = ∞
x→∞
⇔
∀K ∈ R∃x0 ∈ R : x > x0 ⇒ f (x) > K
Obdobně je tomu pro opačné limity a x jdoucí do opačného extrému.
5.6.4
Věty o limitě
Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.
Důkaz provádíme sporem – dvě různé limity a z definice hledáme ε-okolí,
pro které nemůžeme najít žádné společné δ-okolí.
Funkce f (x) je v bodě a spojitá právě tehdy, když lim f (x) =
x→a
f (a).
Důkaz je třeba provádět oběma směry. Prakticky vyplývá z podobnosti definic spojitosti a limity.
Jestliže pro všechna x 6= a z určitého okolí bodu a platí f (x) =
g(x) a současně lim f (x) = L, pak také lim g(x) = L.
x→a
x→a
Důkaz postaven na definici limity v okolí. Spolu s předchozí větou umožňuje
počítat limity nespojitých funkcí v bodě a tím, že je nahradíme funkcí v bodě
a spojitou, jejíž limita je dána funkční hodnotou.
Jestliže pro všechna x 6= a z určitého okolí bodu a platí, že g(x) ≥
f (x) ≥ h(x) a lim g(x) = lim h(x) = L, pak také lim f (x) = L4 .
x→a
x→a
x→a
Umožňuje nám určit jednu důležitou limitu:
lim
x→0
4 Také
věta o dvou policajtech
sin x
=1
x
5
5.6.5
22
Výpočet limity
Využíváme známých limit, popřípadě nahrazení spojitou funkcí a následující
věty:
Jestliže lim f (x) = A a lim g(x) = B, pak platí (podobně jako u spojitosti):
x→a
x→a
1. lim [f (x) + g(x)] = A + B
x→a
2. lim [f (x) − g(x)] = A − B
x→a
3. lim f (x)g(x) = AB
x→a
f (x)
x→a g(x)
4. lim
=
A
B (B
6= 0)
5. lim Cf (x) = CA(C ∈ R)
x→a
5.7
Inverzní funkce
Inverzní zobrazení k zobrazení f je takové zobrazení f −1 , že f −1 (f (x)) = x.
Takhle jej samozřejmě můžeme definovat pouze pro prosté funkce, pro funkce,
které nejsou prosté nastává situace, kdy jednomu x ∈ A můžeme přiřadit více
x ∈ B. Ty nazýváme relace.
Taková relace lze popsat pomocí zobrazení, kdy množině přiřazujeme prvky
potenční množiny druhé množiny.
f −1 : A → P(B)
Pro inverzní funkci platí:
Df −1 = Hf
5.7.1
Hf −1 = Df
Binární relace
Vyjadřuje vztah mezi prvky ze dvou množin. Můžeme ji značit jako množinu
uspořádaných dvojic, přičemž první prvek je z první množiny a druhý z množiny
druhé. Relace je vždy podmnožinou kartézského součinu (každý prvek s každým)
danných množin. Je:
symetrická [x; y] ∈ R ⇒ [y; x] ∈ R
tranzitivní [x; y], [y; z] ∈ R ⇒ [x; z] ∈ R
reflexivní [x; x] ∈ R
5
5.8
23
Derivace
Určuje směrnici tečny v bodě. Postupujeme následovně. Vezměme si sečnu funkce,
která ji protíná v bodech [x0 ; f (x0 )] a [x; f (x)], kde x > x0 . Její směrnice je
f (x)−f (x0 )
. Tečna je vlastně limitou sečny, kdy oba body splývají, proto:
x−x0
f 0 (x0 ) =
df (x)
f (x) − f (x0 )
= lim
x→x0
dx
x − x0
Za předpokladu, že se jedná o vlastní limitu. Také ji můžeme zapsat ve tvaru,
kdy místo druhého bodu bereme přírustek vzdálenosti, ∆x:
f 0 (x0 ) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x)
∆x
Můžeme definovat i jednostrannou definici, pro ∆x jdoucí k nule zleva a
zprava.
Funkce má derivaci v intervalu (a; b), jestliže má derivaci v každém jeho
bodě. V intervalu ha; bi má derivaci, má-li derivaci v intervalu (a; b) a v bodě a
má derivaci zprava a v bodě b zleva.
5.8.1
Věty o derivaci
Jestliže funkce f, g mají v bodě derivaci, pak má v bodě derivaci také součet,
rozdíl, součin a podíl (za předpokladu, že g(x0 ) 6= 0) funkcí. Platí:
1. (cf )0 (x) = cf 0 (x)(c ∈ R)
2. (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
3. (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
4. (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
5.
(x) =
g
g 2 (x)
Jestliže f (x) má derivaci v bodě x a g(x) má derivaci v bodě f (x), má
složená funkce g(f (x)) derivaci v bodě x a platí:
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x)
5.8.2
L’Hospitalovo pravidlo
Nechť je limita funkcí f (x) a g(x) pro x jdoucí k určitému bodu rovna nule nebo
0
(x)
vlastní nebo nevlastní limitu. Pak:
nekonečnu a zároveň má funkce fg0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
5
5.9
24
Mějme dvě funkce F, f definované v otevřeném intervalu. Jestliže pro všechna x
z tohoto intervalu platí F 0 (x) = f (x), pak funkce F je primitivní funkcí funkce
f v daném intervalu.
Protože derivace konstanty je nulová, platí: Je-li funkce F v určitém otevřeném intervalu primitivní funkcí k funkci f , každá primitivní funkce k funkci f
v daném intervalu lze zapsat ve tvaru F (x) + C, kde C ∈ R.
Z
f (x)dx = F (x) + C
Ke každé funkci spojité v otevřeném intervalu existuje v tomto intervalu
primitivní funkce.
6
TROJÚHELNÍK A ČTYŘÚHELNÍK
6
25
Trojúhelník a čtyřúhelník
Konstrukční úlohy, vlastnosti, obvod a obsah, užití vektorového a skalárního
součinu, vztahy pro výpočet obsahu s užitím goniometrických funkcí, těžnice,
těžiště, sinová a kosinová věta, součet vnitřních úhlů n-úhelníku, výpočet počtu
úhlopříček, důkazy některých vět.
Zaměřit se na příklady!
rovinný útvar Geometrický útvar, který je podmnožinou roviny. Omezené
útvary se označují jako obrazce. Jejich hranicemi jsou úsečky – strany,
které mají společné krajní body – vrcholy 5 .
kružnice vepsaná Kružnice, které náleží všechny vrcholy rovinného útvaru.
kružnice opsaná Kružnice, která se dotýká všech stran rovinného útvaru.
6.1
Trojúhelník
Trojúhelník je rovinný útvar, který je dán třemi nekolineárními body. Můžeme
jej definovat jako průnik tří polorovin.
Mějme tři nekolineární body A, B a C. Pak existuje trojúhelník ABC.
Úsečky AB, AC a BC jsou stranami trojúhelníka a jejich velikosti označujeme
(po řadě) c, b a a. Úhly CAB, <) ABC a <) BCA jsou vnitřními úhly trojúhelníka
a jejich velikosti po řadě označujeme α, β a γ. Vnější úhly jsou úhly doplňkové
k úhlům vnitřním.
Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je úhel přímý6 .
α+β+γ =π
Z toho pak velikost vnějšího úhlu je součtem velikostí vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech:
α0 = β + γ
β0 = α + γ
γ0 = α + β
Všimněme si, že proti větší straně leží větší úhel a naopak:
a>b⇔α>β
6.1.1
Trojúhelníková nerovnost
Protože body trojúhelníku jsou nekolineární, platí, že součet délek libovolných
dvou stran je větší než délka strany třetí.
a + b > c, a + c > b, b + c > a
⇒
|a − b| < c < a + b
Obecně pak můžeme říci, že platí-li pro délky tří úseček trojúhelníková nerovnost, mohou být stranami trojúhelníka.
5 Kružnici
6 Důkaz
můžeme brát jako limitu.
provedeme například tak, že vedeme rovnoběžku s AB vrcholem C.
6
6.1.2
26
Dělení trojúhelníků
Obecně dělíme trojúhelníky podle vztahů délek jeho stran a velikostí jeho vnitřních úhlů.
obecný a 6= b 6= c
rovnoramenný Dvě strany mají stejnou délku.
rovnostranný trojúhelník Všechny strany mají stejnou délku. Všechny úhly
mají velikost π3 .
ostroúhlý Všechny úhly jsou ostré, tj. α, β, γ ∈ 0; π2 .
tupoúhlý Jeden úhel je tupý, tedy větší než
tupý nejvýše jeden úhel.
π
2.
Dle součtu vnitřních úhlů je
pravoúhlý Jeden úhel je pravý, tedy rovný
pravý.
π
2.
Opět, nejvýše jeden úhel je
6.1.3
Střední příčka
Jakákoli úsečka spojující středy stran. Každá střední příčka je rovnoběžná se
stranou, jejíž střed nespojuje a má oproti ní poloviční velikost. Trojúhelníky
ABC a ASAB SAC jsou si podobné.
6.1.4
Výška
Výška je úsečka, jejíž krajními body jsou vrchol a pata kolmice z tohoto vrcholu
na protější stranu. Délky výšek na vrcholy trojúhelníku se po řadě označují va ,
vb a vc . Platí:
1 1 1
v a : vb : vc = : :
a b c
Z pravoúhlých trojúhelníku daných patami výšek můžeme odvodit jejich délku:
va = b sin γ = c sin β
vb = a sin γ = c sin α
vc = a sin β = b sin α
Všechny výšky se protínají v bodě zvaném ortocentrum.
6.1.5
Těžnice
Úsečka spojující vrchol se středem protilehlé strany. Délky těžnic se po řadě
značí ta , tb a tc . Protínají se v jednom bodě, těžišti, které dělí těžnice na třetiny:
|AT | : |T Sa | = 2 : 1
Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva trojúhelníky se stejným obsahem.
6
6.1.6
27
Kružnice opsaná a vepsaná
Každý trojúhelník má kružnici opsanou a vepsanou. Střed kružnice opsané leží
na průsečíku os stran (tj. na přímkách, od kterých mají dva vrcholy stejnou
vzdálenost), střed kružnice vepsané leží na průsečíku os úhlů (tj. na přímkách,
od kterých mají strany stejnou vzdálenost).
Existují ještě tři kružnce připsané, které se dotýkají strany a dvou dalších
prodloužených stran – mají středy na spojnicích os vnějších úhlů.
6.1.7
Sinová věta
Poměr všech délek stran a sinů protilehlých úhlů v trojúhelníku je
konstantní.
b
b
a
=
=
= 2r
sin α
sin β
sin γ
Kde r je délka kružnice opsané.
6.1.8
Cosinová věta
Zobecnění Pythagorovy věty pro nepravoúhlé trojúhelníky.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Analogicky platí pro další jiné úhly.
6.1.9
Obvod a obsah
Obvod trojúhelníka se spočítá jako součet délek jeho stran.
o=a+b+c
Obsah trojúhelníka se spočítá jako polovina součinu strany a příslušné výšky.
1
1
1
S = ava = bvb = cvc
2
2
2
Můžeme využít vektorového součtu vektorů dvou stran, jehož velikost je stejná
jako dvojnásobek velikosti obsahu.
Heronův vzorec – pokud neznáme výšku.
p
a+b+c
S = s(s − a)(s − b)(s − c), s =
2
Odvodit jej můžeme když si výšku vyjádříme pomocí stran (výška rozděluje
stranu na dvě části a trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky).
Protože výška se dá také vyjádřit pomocí sinu úhlu:
1
1
1
S = ab sin γ = ac sin β = bc sin α
2
2
2
Protože poloměry kružnice vepsané kolmé na strany dělí trojúhelník na tři
části složené vždy ze dvou pravoúhlých trojúhelníků:
S=
a+b+c
% = s%
2
6
6.2
28
Rovnoramenný trojúhelník
Tím, že má stejně dlouhá ramena, je osově souměrný podle jejich osy, která
je zároveň i výškou a těžnicí na daný vrchol. Z toho také plyne, že úhly při
základně jsou stejné. Z Pythagorovy věty:
r
1
1
z2
S = zvz = z r2 −
2
2
4
6.3
Čtyřúhelník
Rovinný útvar daný čtyřmi body, z nichž žádné tři neleží na jedné přímce.
Budeme mluvit především o konvexních čtyřúhelnících, tedy těch, jejichž vnitřní
úhly jsou menší než π.
Součet všech vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 2π
Úhlopříčky jsou úsečky spojující protější vrcholy, obvyklé je značíme: u =
|AC|, v = |BD|. Pro obsah obecného čtyřúhelníku platí:
S=
1
uv sin ϕ
2
Kde ϕ je úhel, který svírají. Dokázat si to můžeme rozdělením čtyřúhelníku na
čtyři trojúhelníky.
6.3.1
Tětivový čtyřúhelník
Takový, kterému lze opsat kružnici (jeho strany jsou pak její tětivy). Pro jeho
úhlopříčky platí:
ac + bd = uv
Jeho obsah můžeme vyjádřit (podobně jako Heronův vzorec):
S=
p
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d), s =
a+b+c+d
2
Součet protějších vnitřních úhlů je rovný π (důkaz z věty o středovém a obvodových úhlech oblouku):
α+γ =β+δ =π
6.3.2
Tečnový trojúhelník
Takový, kterému lze vepsat kružnici (jeho strany jsou pak její tečny). Pro jeho
strany platí:
a+c=b+d
Jeho obsah můžeme vyjádřit (podobně jako u trojúhelníku):
S=
a+b+c+d
% = s%
2
6
6.3.3
29
Rovnoběžník
Tětivový čtyřúhelník. Jeho protilehlé strany jsou rovnoběžné, z toho také plyne,
že jsou stejně velké. Jeho úhlopříčky se půlí.
K výpočtu obsahu můžeme použít vektorový součin přilehlých stran, jehož
velikost je stejná jako velikost obsahu. Nebo také S = ava = ab sin α.
Kosočtverec Všechny strany jsou stejně dlouhé. Jeho úhlopříčky svírají pravý
úhel. Tětivový čtyřúhelník.
Obdélník
Všechny vnitřní úhly jsou pravé.
Čtverec Všechny strany jsou stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly pravé, jeho
úhlopříčky svírají pravý úhel. Tětivový čtyřúhelník.
6.3.4
Lichoběžník
Je vymezen dvojicí rovnoběžných stran a a c.
(a + c)v
2
Pokud b = d, jedná se o rovnoramenný lichoběžník, který je tětivový čtyřúhelník.
S=
6.3.5
Deltoid
Tečnový čtyřúhelník, určen dvěma dvojicemi přilehlých stejně velkých stran.
Úhlopříčky svírají pravý úhel, ale nepůlí se a nejsou stejně velké.
6.4
Mnohoúhelník
Je dán n body a má n stran. Úhlopříčka je spojnice libovolných dvou bodů,
které nejsou spojeny stěnami, pro počet úhlopříček tedy platí:
1
n(n − 3)
2
Pokud chceme vypočítat součet vnitřních úhlů, zvolíme si bod uvnitř núhelníku. S každou stranou tvoří trojúhelník, přičemž součet jejich vnitřních
úhlů γ při tomto bodě je 2π. Pak součet dalších vnitřních úhlů α a β těchto
trojúhelníků je součet vnitřních úhlů n-úhelníku.
nu =
n
X
i=1
γi = 2π
ϕ=
n
X
(αi + βi )
i=1
Pro každý z těchto trojúhelníků platí, že αi + βi + γi = π, a proto:
n
n
X
X
ϕ=
(π − γi ) = nπ −
γi = (n − 2)π
i=1
i=1
7
ŘEŠENÍ ROVNIC V OBORU KOMPLEXNÍCH ČÍSEL
7
30
Řešení rovnic v oboru komplexních čísel
Kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a D < 0, vlastnosti kořenů kvadratických rovnic, řešení rovnic vyšších stupňů s užitím substituce, binomické
a reciproké rovnice, kvadratické rovnice s imaginárními koeficienty, odmocnina
z komplexního čísla.
Co se týče řešení kubických rovnic, doporučuju MFT a Cardanovy
vzorce.
7.1
Zavedení komplexních čísel
Mějme kvadratickou rovnici x2 + 1 = 0. V R řešení neexistuje. Předpokládejme,
že existuje prvek, jehož druhá mocnina je -1.
√
/ R, i ∈ C
i2 = −1 ⇒ i = −1, i ∈
Řešme obecnou kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0, pro kterou ale D < 0.
Protože víme, že i2 = −1, můžeme napsat:
√
−b ± −Di
x1,2 =
2a
Vezměme jeden z kořenů. Toto je komplexní
číslo, které má reálnou část (<(x) =
√
−D
b
− 2ac ) a imaginární částé (=(x) = 2a ), která je násobkem imaginární jednotky. Všimněme si, že oba kořeny mají stejnou reálnou a opačnou imaginární
část. Taková čísla se nazývají komplexně sdružená.
<(x) = <(x̄)
∧
=(x) = −=(x̄)
Všechny kvadratické rovnice a rovnice vyššího stupně s reálnými koeficienty mají kromě reálných kořenů jeden nebo více komplexně sdružených kořenů. Z toho také vyplývá, že polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má
alespoň jeden reálný kořen.
7.2
Rovnice vyššího stupně
Polynom n-tého stupně nad číselnou množinou F je uspořádaná n-tice obsahující proměnnou, která se dá vyjádřit:
f (x) =
n
X
ai xi , ai ∈ F, an 6= 0
i=0
Kde a0 , . . . , an jsou jeho koeficienty. Kořen polynomu je takové x, pro které
f (x) = 0. Každý polynom n-tého stupně má n kořenů, z čehož některé ale
mohou být komplexní.
7
31
Polynom se dá rozložit na kořenové činitele (kde x1 , . . . , xn jsou kořene).
f (x) = an
n
Y
(x − xi )
i=1
Pokud a je kořen polynomu, platí (x − a)|f (x)7 .
Platí, že každý polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen.
7.2.1
Hornerovo schéma8
Pokud existují polynomy f (x) a g(x), existují také polynomy q(x) a r(x), přičemž platí:
f (x) = g(x)q(x) + r(x)
Toho využívá Hornerovo schéma9 , což je efektivní algoritmus na rozklad polynomů.
Mějme polynom f (x), polynom nižšího stupně q a konstantu a. Platí:
f (x) = (x − a)q(x) + r
f (x) = (x − a)
n−1
X
bi xi = bn−1 xn +
i=0
n−2
X
(xbi xi − abi+1 xi+1 ) − ab0 + r
i=0
Z toho plyne:
an = bn−1
a
∀k ∈ {1, . . . , n − 1}bk−1 = abk + ak
r = ab0 + a0 = f (a)
an
an−1
· · · a0
bn−1 abn−1 + an−1 · · · r
Pokud r = 0, je a kořenem polynomu f (x).
7.2.2
Rovnice s racionálními kořeny
Pokud ∃x0 = pq p, q ∈ N, pak platí, že p|a0 a q|an . Důkaz bychom provedli
dosazením pq do polynomu a postupným vynásobením q n−1 a vydělením p, kdy
využijeme toho, že p a q jsou nesoudělná čísla.
7.2.3
Bikvadratická rovnice
Rovnice ve tvaru ax2n + bxn + c = 0. Řeší se substitucí za xn stejně jako
kvadratická rovnice.
7 Důkaz
sporem
semináře, doufejte, že to nebudou chtít odvodit.
9 Za tuhle návaznost neručím.
8 Ze
7
7.2.4
32
Reciproké rovnice
Jistý druh souměrnosti – absolutní hodnoty koeficientů z obou „koncůÿ se sobě
rovnají. Rozlišujeme na záporně (an−k = −ak ) a kladně (an−k = ak ) reciproké.
Reciproké rovnice mají triviální kořeny:
kladně záporně
n = 2k
–
±1
n = 2k + 1
-1
1
Kladně reciproké rovnice sudého stupně lze řešit substitucí za x + x1 .
7.2.5
Viètovy vzorce
Vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomu. Dány změnou mezi polynomem
v základním tvaru a rozloženým na součin kořenových činitelů. Pro normovaný
polynom (an = 1) platí:
an−1 = −(x1 + x2 + · · · + xn )
an−2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + x1 xn + x2 x3 + · · · + xn−1 xn
an−3 = −(x1 x2 x3 + · · · + xn−2 xn−1 xn )
···
a0 = (−1)n x1 x2 · · · xn
7.3
Odmocnění komplexního čísla
Při řešení kvadratických rovnic s komplexními koeficienty se může stát, že diksriminant vyjde komplexní. Pak je třeba jej odmocnit.
Můžeme předpokládat, že odmocnina hledaného komplexního čísla je jiné
komplexní číslo.
√
a + bi = c + di ⇒ a + bi = c2 + 2cdi − d2
Řešíme pak soustavu rovnic:
a = c2 − d2
∧
b = 2cd
8
OBOR KOMPLEXNÍCH ČÍSEL
8
33
Obor komplexních čísel
Operace s komplexními čísly v algebraickém i goniometrickém tvaru – početně
i graficky, absolutní hodnota, geometrické interpretace operací s komplexními
čísly, čísla komplexně sdružená, rovnice v C, Gaussova rovina, užití binomické
věty v C.
8.1
Zavedení komplexních čísel
Mějme kvadratickou rovnici x2 + 1 = 0. V R řešení neexistuje. Předpokládejme,
že existuje prvek, jehož druhá mocnina je -1.
√
/ R, i ∈ C
i2 = −1 ⇒ i = −1, i ∈
Řešme obecnou kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0, pro kterou ale D < 0.
Protože víme, že i2 = −1, můžeme napsat:
√
−b ± −Di
x1,2 =
2a
Vezměme jeden z kořenů. Toto je komplexní
číslo, které má reálnou část (<(x) =
√
−D
b
− 2ac
) a imaginární částé (=(x) = 2a
), která je násobkem imaginární jednotky. Všimněme si, že oba kořeny mají stejnou reálnou a opačnou imaginární
část. Taková čísla se nazývají komplexně sdružená.
<(x) = <(x̄)
∧
=(x) = −=(x̄)
Všechny kvadratické rovnice a rovnice vyššího stupně s reálnými koeficienty mají kromě reálných kořenů jeden nebo více komplexně sdružených kořenů. Z toho také vyplývá, že polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má
alespoň jeden reálný kořen.
Rovnost komplexních čísel nástává: z1 = z2 ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2 .
8.1.1
Gaussova rovina
Reálná čísla znázorňujeme na číselné ose. Abychom mohli znázornit komplexní
číslo, musíme zavést ještě imaginární osu. Vznikne nám pak souřadný systém
s osami <(z) a =(z). Komplexní číslo pak znázorňujeme jako bod (nebo jako
vektor). Komplexně sdružená čísla jsou souměrná podle reálné osy.
Absolutní hodnota reálného čísla je jeho vzdálenost jeho obrazu od počátku.
Stejně je tomu i u komplexního čísla, jen je třeba vycházet z Pythagorovy věty:
p
|z| = |a + bi| = a2 + b2
Komplexní jednotka je pak každé komplexní číslo, jehož absolutní hodnota
je rovna jedné. Tvoří jednotkovou kružnici.
8
8.2
34
Goniometrický tvar
Souřadnice komplexního čísla můžeme změnit na polární. Pak je každé komplexní číslo dáno svou absolutní hodnotou a odchylkou vektoru od reálné osy.
Podle goniometrický funkcí je a = |z| cos ϕ a b = |z| sin ϕ. Komplexní číslo
v goniometrickém tvaru je tedy:
|z|(cos ϕ + i sin ϕ)
Pomocí Eulerova vztahu je možno komplexní číslo zapsat jako |z|eiϕ .
8.3
Operace s komplexními čísly
sčítání z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i
odčítání z1 − z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − b) + (c − d)i
násobení 10 z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 )r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
(a+bi)(c+di)
a+bi
c+di =
c2 +d2
r1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 )
r1
r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) = r2
dělení
=
(ac−bd)+(ad+bc)i
c2 +d2
[cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )]
Pro čísla v goniometrickém tvaru pak platí obecně11 :
n
Y
zk =
k=1
8.3.1
n
Y
|zk | cos
k=1
n
X
k=1
ϕk + i sin
n
X
!
ϕk
k=1
Geometrická inerpretace
Sčítání komplexních čísel je ekvivalentní sčítání vektorů.
Násobení reálným číslem je ekvivalentní stejnolehlosti se středem v počátku.
Násobení komplexní jednotkou je ekvivalentní otočení vektoru o argument
komplexní jednotky.
8.3.2
Moivrova věta12
∀n ∈ N : (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ
Toho se s výhodou dá využít při umocňování komplexního čísla v goniometrickém tvaru:
n
[r(cos ϕ + i sin ϕ)] = rn (cos nϕ + i sin nϕ)
10 Přes
goniometrické vztahy pro součet úhlů.
– matematická indukce.
12 Důkaz – matematická indukce.
11 Důkaz
8
8.4
35
Binomická rovnice
xn − a = 0 a ∈ C, n ∈ N
Mějme x, které je kořenem rovnice. Platí:
|x|n (cos ϕ + i sin ϕ)n = |a|(cos α + i sin α)
√
Platí tedy, že x = n a a z Moivrovy věty α = nϕ. Protože jsou ale goniometrické
funkce periodické, je argumentem goniometrického tvaru a α + 2kπ, k ∈ N. Platí
tedy:
α 2k
π
nϕ = α + 2kπ ⇒ ϕ = +
n
n
Binomická rovnice má tedy n kořenů:
p
α 2k
α 2k
x = n |a| cos
+
π + i sin
+
π
n
n
n
n
Kde k ∈ {0, . . . , n−1}. Kořenypbinomické rovnice tak tvoří pravidelný n-úhelník
vepsaný kružnici o poloměru n |a|.
9
LOGARITMICKÉ, EXPONENCIÁLNÍ A GONIOMETRICKÉ FCE
9
36
Řešení logaritmických, exponenciálních a goniometrických rovnic
Vlastnosti logaritmických, exponenciálních a goniometrických funkcí, vlastnosti
a definice dekadických a přirozených logaritmů, vztahy mezi goniometrickými
funkcemi – součtové vzorce, vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel.
Bylo by dobré se kouknout na příklady a zjistit, jestli se nevyužívají nějaké triky.
9.1
Exponenciální funkce
f (x) = ax , a ∈ R+ \ {1}
Df = R
Hf = R+
Kde a se nazývá základem exponenciální funkce. Na celém svém definičním
oboru je spojitá, ryze monotónní a kovexní. Je to funkce prostá.
rostoucí a ∈ (1; ∞)
klesající a ∈ (0; 1)
Nemá v žádném svém bodě maximum ani minimum, ale je zdola omezená. Na
jedné straně Df konverguje k nule, na druhé k nekonečnu, ale nemá asymptoty.
• a ∈ (1; ∞) : lim ax = 0, lim ax = ∞
x→−∞
x→∞
x
• a ∈ (0; 1) : lim a = 0, lim ax = ∞
x→∞
x
−x
Funkce a a a
=
1
ax
x→−∞
jsou osově souměrné podle osy y.
∀a ∈ R+ \ {1} : a0 = 1
Zvláštním případem je funkce se základem e (Eulerovo číslo), pro kterou
platí f 0 (x) = f (x) (viz derivace). Má ještě další alternativní definice:
n X
∞
1
1
e = lim 1 +
=
n→∞
n
n!
n=0
9.1.1
Exponenciální rovnice
Pokud jsou si základy rovny, jsou si rovny i exponenty:
ax = ay
⇒
x=y
Jsou-li si rovny exponenty, jsou si rovny i základy:
ax = bx
Dále platí:
⇒
a=b
9
37
• (ab)x = ax bx
x
x
• ab = abx
• a−x =
1
ax
• ax ay = ax+y
•
ax
ay
= ax−y
• (ax )y = axy
√
1
• x a = ax
9.2
Logaritmická funkce
Inverzní funkce k exponenciální funkci.
f (x) = loga x, a ∈ R+ \ {1}
Df = R+
loga ax = x
aloga x = x
Hf = R
Kde a se nazývá základem logaritmické funkce. Na celém svém definičním oboru
je spojitá a ryze monotónní. Je to funkce prostá.
rostoucí, konvexní a ∈ (1; ∞)
klesající, konkávní a ∈ (0; 1)
Není omezená, konverguje k nekonečnu a v nule má zprava nevlastní limitu,
nemá asymptoty.
• a ∈ (1; ∞) : lim loga x = ∞, lim loga x = −∞
x→∞
x→0+
• a ∈ (0; 1 : lim loga x = −∞, lim loga x = ∞
x→∞
x→0+
Funkce loga x a − loga x = log a1 x jsou souměrné podle osy x.
∀a ∈ R+ \ {1} : loga 1 = 0
Zvláštním případem je lineární logaritmus (se základem loge x = ln x) a
dekadický logaritmus (se základem deset log10 x = log x).
9.2.1
Argument
Skládáním funkcí – vložením funkce do argumentu, se posouvá definiční obor
logaritmu. Vložením absolutní hodnoty se stává logaritmus sudou funkcí s Df =
R∗ .
9
9.2.2
38
Logaritmické rovnice
Pokud máme na každé straně rovnice součin, můžeme ji zlogaritmovat nebo
odlogaritmovat (s jedním základem). Pokud se rovnají argumenty, rovnají se
i základy:
loga x = logb x ⇒ a = b
Dále platí:
loga xy = y loga x
loga xy = loga x + loga y
loga
x
y
= loga x − loga y
loga x =
1
logx a
loga x =
logb x
logb a
9.3
=
ln x
ln a
Logaritmické a exponenciální nerovnice
Vždy je třeba brát ohled na základ, tedy jestli je funkce rostoucí nebo klesající.
• a ∈ (1; ∞) : ax > ay ⇒ x > y
• a ∈ (0; ∞) : ax > ay ⇒ x < y
9.4
Goniometrické funkce
Funkce úhlu, jsou periodické. Základními funkcemi jsou sin x a cos x, další důležitá je tg x. Definují se více způsoby:
v pravoúhlém trojúhelníku Pomocí přepony (c) a odvěsny přilehlé (b) a protilehlé (a) úhlu.
sin ϕ =
a
c
cos ϕ =
b
c
tg ϕ =
sin ϕ
a
=
cos ϕ
b
na jednotkové kružnici Tedy kružnice x2 + y 2 = 1. Zde je také základ obloukové míry, která udává délku oblouku příslušející úhlu na jednotkové
kružnici. sin ϕ je dán jako y-souřadnice bodu, cos ϕ jako x-ová a tg ϕ jako
směrnice ramene.
Z této definice si můžeme všimnout, že perioda funkce je 2kπ, k ∈ Z.
diferenciální rovnicí Jak sin ϕ, tak cos ϕ jsou definovány diferenciální rovnicí:
y 00 = −y
Přičemž záleží na počáteční podmínce – pro sin ϕ platí y(0) = 0, y 0 (0) = 1
a pro cos ϕ platí y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
Funkce tg ϕ je definována y 0 = 1 + y 2 pro počáteční podmínku y(0) = 0.
9
39
Dsin x = Dcos x = R
Hcos x = Hsin x = h−1; 1i
n
o
π
Dtg x = R \ (2k + 1) ; k ∈ Z
Htg x = R
2
Sinus je lichá funkce (sin −x = − sin x), cosinus sudá (sin −x = sin x). Tangens i cotangens (tg x · cotg x = 1) jsou liché.
Funkce sinus a cosinus jsou monotónní pouze v intervalech mezi maximy
a minimy, konvexní jsou v částech pod osou x, konkávní nad ní. To že jsou
inflexní body shodné s kořeny je dáno definicí (y 00 = −y). V nevlastních bodech
divergují.
S
Funkce tangens je v intervalech
(2k − 1) π2 ; (2k + 1) π2 rostoucí. Bod ink∈Z
flexe je 2kπ, k ∈ Z, přičemž dělí daný interval definičního oboru na levou konkávní a pravou konvexní část. V bodech nespojitosti má asymptoty bez směrnice.
Limity v těchto bodech jsou pouze jednosměrné.
Některé důležité hodnoty:
x sin x cos x tg x
0
0
1
0
√
√
π
6
π
4
π
3
π
2
9.4.1
1
√2
2
√2
3
2
3
√2
2
2
1
2
1
0
3
3
1
√
3
−
Goniometrické rovnice
Rovnají-li se funkce stejného typu, rovnají se i argumenty funkcí, pozor ale na
periodu 2kπ, k ∈ Z.
sin2 x + cos2 x = 1
Důkaz z Pythagorovy věty.
cos x = sin
π
2
−x
Z jednotkové kružnice – otočení.
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
Důkaz provádíme například pomocí skalárního součtu vektorů, kdy si určíme
jednotkové vektory ~u(sin α; cos α), který svírá s osou x úhel α, a ~v = (cos β; sin α),
který svírá úhel β s osou y. Pak pro úhel ϕ, který oba vektory svírají platí (v ortonormálním systému):
α+β+ϕ=
π
2
⇒
cos ϕ = sin(α + β)
9
40
Pak můžeme postupovat dle skalárního součinu:
cos ϕ =
~u · ~v
= sin α cos β + cos α sin β = sin(α + β)
|~u||~v |
U jiných vzorců postupujeme podobně.
Z těchto vzorců můžeme vyjádřit vzorce pro dvojnásobný úhel:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Vzorce pro poloviční úhel můžeme získat rozepsáním cos x = cos2
vyjádřením požadované funkce. Vyjde nám:
r
r
x
1 − cos x
x
1 + cos x
sin =
cos =
2
2
2
2
sin x ± sin y = 2 sin
x
2
− sin2
x
2
a
x±y
x∓y
cos
2
2
x+y
x−y
x+y
x−y
cos
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
2
2
Dokážeme ze součtových vzorců, pokud si argumenty funkcí rozepíšeme:
cos x + cos y = 2 cos
x=
x+y x−y
+
2
2
y=
x+y x−y
−
2
2
10
KRUŽNICE, OBLOUK, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, ELIPSA
10
41
Kružnice, kruhový oblouk, kruh, kulová plocha, elipsa
Konstrukční úlohy s užitím množin bodů – planimetricky; obvodový a středový úhel; množiny bodů analyticky, vzájemná poloha přímky, kružnice a elipsy,
přímky a kulové plochy, rovnice tečen, tečna z bodu, tečna v bodě, tečná rovina.
Ty množiny daných bodů – co s tím?
Množina bodů dané vlastnosti je množina bodů splňující tyto podmínky:
1. Každý bod množiny má danou vlastnost
2. Každý bod, který má danou vlastnost patří do množiny
Příkladem jsou osy, kuželosečky a další geometrické útvary.
Základím principem řešení úloh s množinami bodů dané vlastnosti je rozložení na více vlastností, jejichž interpretaci (analytickou) známe. Výsledná množina je pak průnikem vzniklých množin.
10.1
Kružnice
Kružnice je uzavřená rovinná křivka, kuželosečka. Můžeme ji definovat:
množinově Kružnice je množina bodů roviny, které mají konstatní vzdálenost
(poloměr – r) od jednoho bodu (střed kružnice).
kuželosečka Kružnici tvoří řez kuželovou plochou rovinou, která je kolmá na
její osu.
Všechny kružnice jsou si podobné. Navíc se jedná o vysoce souměrný útvar,
který je středově souměrný podle svého středu, osově souměrný podle jakékoli
přímky procházející jeho středem a symetrický vůči rotaci kolem svého středu
o jakýkoli úhel.
Kruhový oblouk je spojitá část kružnice, kruh je množinou bodů v rovině,
které mají od bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru. Kruh je rovinný
útvar s největším poměrem obsahu na obvod.
10.1.1
Analytické vyjádření
Pokud si vezmeme konstantní vzdálenost od středu S[m; n], platí:
p
(x − m)2 + (y − n)2 = r ⇒ (x − m)2 + (y − n)2 = r2
Roznásobením dostaneme obecnou rovnici (pozor, pro některé obecné rovnice
kružnice neexistují):
x2 + y 2 + Ax + By + C = 0
10
10.1.2
42
Obvodový a středový úhel
Máme-li na kružnici kruhový oblouk určený krajními body A a B, pak pro
libovolný bod X kružnice, který není shodný s body A a B platí:
| <) AXB| =
1
|<
) ASB|
2
Všechny obvodové úhly příslušející danému oblouku jsou tedy stejně velké (a poloviční vůči středovému úhlu).
10.2
Kulová plocha
Velice podobné kružnici (všechny podobné, symetrické, koule má největší objem
na povrch). Množina bodů v prostoru, které mají od bodu konstatní vzdálenost.
Pro střed S[m; n; o] má rovnici:
(x − m)2 + (y − n)2 + (z − o)2 = r2
10.3
Elipsa13
Uzavřená rovinná křivka, kuželosečka. Definujeme dvěmi způsoby:
množinově Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají konstatní součet
vzdáleností od dvou bodů (ohniska – F1 , F2 ).
kuželosečka Elipsu tvoří řez kuželovou plochou rovinou, která je rovnoběžná
(ale ne shodná) s vrcholovou rovinou, která má s kuželovou plochou společný pouze vrchol.
Kromě toho, že je souměrná středově, je elipsa souměrná podle dvou os –
hlavní, která prochází ohnisky a vedlejší, která je na ni kolmá a prochází středem. Průsečíky os s elipsou jsou vrcholy – hlavní (A, B) a vedlejší (C, D).
|AS| = |BS| = a. . . hlavní poloosa
|CS| = |DS| = b. . . vedlejší poloosa
Přičemž z Pythagorovy věty platí vztah (kde e, excentricita, je vzdálenost ohnisek od středu):
a2 = e2 + b2
10.3.1
Z množinové definice pro bod elipsy B[x; y], máme-li ohniska F1 [0; −e] a F2 [0; e]:
p
p
(e − x)2 + y 2 + (e + x)2 + y 2 = 2a
Po dvojím umocnění a úpravách dostaneme:
x2
y2
+
=1
a2
b2
13 Ještě je možné mluvit o proužkové konstrukci, ohniskových vlasnostech, sdružených průměrech a zobrazení elipsy na kružnici – afinita.
10
43
Pro obecný střed je pak středový tvar rovnice elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x:
(y − yS )2
(x − xS )2
+
=1
2
a
b2
Obecný tvar rovnice má elipsa stejný jako kružnice.
10.4
Poloha přímky
Vzhledem k uzavřené křivce může mít přímka tři polohy:
vnější přímka Nemá s kuželosečkou žádný průsečík.
sečna Protíná kuželosečku ve dvou bodech. Uzavřená křivka na ní vytíná tětivu.
tečna Dotýká se kuželosečky v jednom bodě.
10.4.1
Tečna kružnice
Tečna je kolmá k poloměru v bodě dotyku.
Mějme kružnici se středem S[m; n], na ni bod T [x0 ; y0 ] a mimo kružnici bod
−→ −−→
X[x; y], jehož souřadnice neznáme. Podle skalárního součinu vektorů ST a SX:
−→ −−→
(x0 − m)(x − m) + (y0 − n)(y − n) = |ST ||SX| cos ϕ
−−→
−→
Ale protože SX cos ϕ = |ST | = r, můžeme rovnici tečny kružnice zapsat jako:
(x − m)(x0 − m) + (y − n)(y0 − n) = r2
10.4.2
Tečná rovina kulové plochy
Všechny tečny kulové plochy v jednom bodě dotyku tvoří tečnou rovinu. Ta je
kolmá na poloměr v bodě dotyku.
(x − m)(x0 − m) + (y − n)(y0 − n) + (z − o)(z0 − o) = r2
10.4.3
Tečna elipsy
Tečna elipsy půlí vnější úhel průvodičů v bodě dotyku.
(x − m)(x0 − m) (y − n)(y0 − n)
+
=1
a2
b2
10.5
Mocnost bodu ke kružnici
Nechť je dána kružnice k(S; r) a bod M , který na ni neleží. Nechť je p libovolná
sečna kružnice k procházející bodem M , která protíná kružnici v bodech A a
B. Pak platí, že mocnost bodu M ke kružnici k je m = |M A||M B|.
Pro limitní případ tečny tečny platí z Pythagorovy věty:
m = |T M |2 = |SM |2 − |ST |2 = v 2 − r2
Množinou bodů, které mají stejnou mocnost ke dvěma kružnicím je chordála,
přímka kolmá ke středně těchto kružnic.
11
PARABOLA
11
44
Parabola
Definice, ohnisko, osa, řídící přímka; parabola jako graf kvadratické funkce; parabola jako množina bodů analyticky; přímka a parabola, tečna paraboly.
Parabola je rovinná křivka – kuželosečka. Definujeme ji:
množinově Parabola je množina bodů roviny, které mají stejnou vzdálenost od bodu (ohnisko – F ) a přímky (řídící přímka – d), která tímto
bodem neprochází.
kuželosečka Parabolu tvoří řez rotační kuželové plochy rovinou, která je
rovnoběžná s její tečnou rovinou (ale nesplývá s ní).
Parabolu můžeme brát také jako limitu posloupnosi elips s jedním pevně
danným ohniskem a druhým ohniskem vzdalujícím se do nekonečna. Všechny
paraboly jsou si podobné.
Parametr paraboly je vzdálenost řídící přímky a ohniska.
p = |F d|
Osa paraboly Osa souměrnosti paraboly. Je kolmá na řídící přímku a prochází
ohniskem.
Vrchol paraboly Průsečík paraboly s osou. |V d| = |V F | =
11.1
p
2
Vyjdeme z definice paraboly jako množiny bodů danných vlastností. Mějme
řídící přímku d : x = 0 a bod F [p; 0]. Pro bod B[x; y] paraboly platí:
p
|x| = (x − p)2 + y 2
x2 = x2 − 2xp + p2 + y 2
p
y 2 = 2p(x − )
2
Rovnice pravo-levě orientované paraboly ve vrcholovém tvaru je pak:
(y − yV )2 = 2p(x − xV )
Z toho obecný tvar:
y 2 + Ay + Bx + C = 0
11
PARABOLA
11.2
45
Parabola jako graf kvadratické funkce
Vezměme vrcholový tvar shora-dolů orientované paraboly:
(x − xV )2 = 2p(y − yV )
Úpravou dostaneme:
y=
(x − xV )2
+ yV
2p
Což je vrcholový tvar kvadratické rovnice. Všimněme si především, jak parametr
ovlivňuje strmost funkce.
11.3
Parabola a přímka
Body roviny, které na parabole neleží, můžeme ve vztahu k parabole (a tím i
kuželové ploše) rozdělit:
vnější body Jejich vzdálenost od řídící přímky je menší než vzdálenost od
ohniska.
vnitřní body Jejich vzdálenost od řídící přímky je větší než vzdálenost od
ohniska.
Přímka pak může podle vztahu k parabole být:
vnější přímka Nemá průnik s parabolou, obsahuje pouze vnější body.
sečna Protíná parabolu ve dvou bodech. Obsahuje vnější i vnitřní body paraboly.
tečna Má s parabolou společný jeden bod. Kromě něj obsahuje jen její vnější
body.
rovnoběžka s osou Protíná parabolu v jednom bodě. Nejedná se o pravou
tečnu, protože obsahuje vnitřní i vnější body paraboly.
11.3.1
Tečna paraboly
Tečna půlí vnější úhel průvodičů v bodě dotyku. Je tedy osou úsečky QF , přičemž bod Q je průsečík průvodiče bodu
dotyku k řídící přímce s řídící přímkou.
Mějme parabolu x2 = 2py (F 0; p2 , d : y =− p2 ) a její
bod T [x0 ; y0 ]. Vedeme
p
tímto bodem tečnu. Ta je osou úsečky QF (Q x0 ; − 2 ).
t : −x0 x + py + c = 0
Protože bod T na ni leží, platí:
x20 − py0 = c
⇒
c = py0
t : x0 x = py + py0
11
PARABOLA
11.3.2
46
Ohniskové vlastnosti14
Usnadňují konstrukci.
1.
Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem podle všech
tečen paraboly je řídící přímka.
2.
Množina pat P kolmic spuštěných z ohniska na všechny tečny
paraboly je vrcholová tečna.
14 Tohle
je z deskriptívy, ale můžete se tím blýsknout.
12
HYPERBOLA
12
47
Hyperbola
Definice, vlastnosti, asymptoty, rovnoosá hyperbola, hyperbola jako množina
bodů analyticky; hyperbola jako graf nepřímé úměrnosti a lineární lomené funkce
– slovní úlohy; přímka a hyperbola, tečna.
Hyperbola je rovinná křivka – kuželosečka. Můžeme ji definovat:
množinově Hyperbola je množina bodů roviny, které mají konstantní
rozdíl vzdáleností od dvou bodů (ohnisek – F1 , F2 ).
kuželosečka Hyperbolu tvoří řez rotační kuželové plochy rovinou, která
je je rovnoběžná s její sečnou rovinou a nesplývá s ni.
Hyperbola má dvě větve.
Asymptoty Ve velkých vzdálenostech se hyperbola přibližuje dvěma přímkám
– asymptotám. Nikdy jich ale nedosáhne. Nejčastěji se značí u a v.
Střed hyperboly Hyperbola je středově souměrná – její střed je středem úsečky
F1 F2 .
Osy hyperboly Hyperbola je souměrná podle dvou os, které jsou na sebe
kolmé. Obě prochází středem, přičemž hlavní osa je spojnicí ohnisek. Na
hlavní ose hyperboly leží její hlavní vrcholy (A a B).
Excentricita Vzdálenost ohnisek od středu hyperboly. Značí se e.
Hyperbolami jsou grafy všech lineárně lomenných funkcí15 .
12.1
Mějme ohniska F1 [−e; 0] a F2 [e; 0]. Pro bod hyperboly B[x; y] platí:
p
p
(e + x)2 + y 2 − (e − x)2 + y 2 = 2a
Po dvojím umocnění dostáváme:
x2 (e2 − a2 ) − a2 y 2 = a2 (e2 − a2 )
⇒
x2
y2
−
=1
a2
e2 − a2
Což je středová rovnice hyperboly se středem v bodě [0; 0]. Podobně jako elipsa
má dvě poloosy – hlavní (a) a vedlejší (b – podle Pythagorovy věty b2 = e2 −a2 ).
Pokud a = b, je hyperbola rovnoosá. Hyperbola s obecným středem:
(x − xS )2
(y − yS )2
−
=1
2
a
b2
Jedná se o pravo-levě orientovanou hyperbolu. Roznásobením pak dostáváme
obecnou rovnici:
x2 − y 2 + Ax + By + C = 0
15 Chtělo
by to dokázat. . .
12
HYPERBOLA
12.2
48
Hyperbola a přímka
Podle vztahu k hyperbole (a tím ke kuželové ploše) dělíme body roviny, které
na hyperbole neleží:
vnější body Rozdíl jejich vzdáleností od ohnisek je menší než 2a.
vnitřní body Rozdíl jejich vzdáleností od ohnisek je větší než 2a.
Přímky pak podle vztahu k hyperbole můžeme dělit:
vnější přímka Nemá průnik s hyperbolou, obsahuje pouze její vnější body.
sečna Protíná hyperbolu ve dvou bodech, obsahuje vnější i vnitřní body.
tečna Dotýký se hyperboly v jednom bodě, kromě něj obsahuje vnější body.
asymptotický tečna Rovnoběžka s asymptotou. Protíná hyperbolu v jednom
bodě, obsahuje vnější i vnitřní body.
12.2.1
Tečna hyperboly16
Půlí vnitřní úhel průvodičů17 v bodě dotyku. Tečna hyperboly má rovnici:
(x − xS )(x0 − xS ) (y − yS )(y0 − yS )
−
=1
a2
b2
12.2.2
Asymptoty
Rovnici asymptot můžeme odvodit pomocí vztahu k = limx→∞
nice jsou:
b
y = ± (x − xS ) + yS
a
12.2.3
(x)
x .
Jejich rov-
Ohniskové vlastnosti18
Usnadňují konstrukci.
1.
Množina všech pat P kolmic spuštěných z obou ohnisek na
všechny tečny hyperboly je vrcholová kružnice se středem ve
středu hyperboly a poloměrem a.
2.
Množina všech bodů Q souměrně sdružených s jedním ohniskem podle všech tečen hyperboly je řídící kružnice se středem
v druhém ohnisku a poloměrem 2a.
16 Chtělo
by to nějak odvodit, ale věřte mi, že to nechcete zkoušet.
bodu s ohnisky.
18 Opět z deskriptívy, ale můžou se hodit.
17 Spojnice
13
13
POLOHOVÉ VLASTNOSTI BODŮ, PŘÍMEK A ROVIN
49
Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin
Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin (různoběžky, rovnoběžky, mimoběžky,
úsečka, polopřímka, polorovina, průsečnice rovin, roviny rovnoběžné, průsečík
přímky a roviny, vzájemná poloha tří rovin, kritéria rovnoběžnosti) – stereometricky i analyticky; řezy a průniky ve volné rovnoběžné projekci na tělesech
bod Základní bezrozměrný objekt. Dá se říci, že se jedná o útvar nultého rozměru. Všechny geometrické útvary lzou definovat jako množiny bodů.
Je pevně určen souřadnicemi B[b1 ; b2 ; . . . ; bn ], kde n je rozměr prostoru,
ve kterém se nachází.
přímka Základní jednorozměrný objekt. Každými dvěmi body prochází právě
jedna přímka (v Euklidovské geometrii).
Analyticky je určena bodem, který na ni leží a směrovým vektorem. Bod
na přímce:
Parametrické vyjádření Pomocí směrového vektoru a bodu. Jedinné
platné vyjádření přímky v prostoru.
X = A + t~u, t ∈ R
p(t ∈ R) :
x = a1 + tu1
y = a2 + tu2
z = a3 + tu3
···
obecná rovnice Pouze pro přímky v rovině, dána normálovým vektorem
(~n(a; b), ~u(n; −a)).
ax + by + c = 0
směrnicový tvar Jako lineární funkce. Směrnice – k = tg ϕ =
tangens odchylky od osy x.
u2
u1 ,
tedy
y = kx + q
rovina Dvourozměrný objekt – je isomorfní s dvourozměrným lineárním prostorem (dán lineární kombinací dvou vektorů). Můžeme ji určit:
1. Třemi nekolineárními body (tj. neleží v jedné přímce).
2. Přímkou a bodem, který na ni neleží.
3. Dvěmi nestejnými rovnoběžnými přímkami
4. Dvěmi různoběžnými přímkami.
Analyticky je určena bodem a dvěmi lineárně nezávislými vektory. Pro
bod v rovině:
13
50
Parametrické vyjádření Pomocí lineární kombinace vektorů X = A +
t~u + s~v .
ρ(t, s ∈ R) :
x = a1 + tu1 + sv1
y = a2 + tu2 + sv2
z = a3 + tu3 + sv3
···
Obecná rovnice Dána normálovým vektorem (~n = ~u × ~v ).
ax + by + cz + d = 0
13.1
Omezené útvary19
Na rozdíl od přímky a roviny jsou následující útvary omezené.
polopřímka Máme-li bod ležící na přímce, rozděluje ji na dvě opačné polopřímky a je jejich společným počátkem. Polopřímka je dána dvěmi body,
na jejichž pořadí záleží – je počátkem.
Analyticky se v parametrickém vyjádření zapisuje stejně jako přímka, ale
dána je počátečním bodem a t ∈ R0+ (nebo naopak).
polorovina Máme-li přímku ležící v rovině, rozděluje ji na dvě opačné poloroviny a je jejich společným počátkem. Polorovina je vždy definována svou
hraniční přímkou (a objektem, který je její podmnožinou, například bodem nebo rovnoběžkou s hranicí).
úsečka Máme-li na přímce dva neshodné body, ohraničují úsečku. Tu můžeme
brát také jako průnik dvou opačných polopřímek.
Pro analytické vyjádření úsečky platí, že t náleží určitému intervalu (máme−−→
li úsečku AB a přímku vyjádříme jako X = A + tAB, pak h0; 1i).
13.2
Průsečík a průsečnice
Jedná se o množinu bodů, která je společná dvěma útvarům. Analyticky se jedná
o body, které vyhovují rovnicím obou objektů – řešíme soustavu rovnic.
průsečík Bod, který leží zároveň na dvou útvarech, je jejich průsečíkem. Nejčastěji mluvíme o průsečících dvou přímek. Každé dvě přímky, které mají
dva nestejné průsečíky, jsou totožné.
průsečnice Přímka, která leží zároveň ve dvou útvarech, je jejich průsečnicí.
Nejčastěji mluvíme o průsečnici dvou rovin. Pokud mají dvě různé
roviny společný bod, mají společnou přímku, která společným
bodem prochází. – 4. axiom Euklidovské geometrie. Pokud mají dvě
roviny alespoň dvě různé průsečnice, jsou totožné.
19 Pozor,
takhle jsem si je nazval já.
13
51
O přímkách nebo rovinách, které mají společné body říkáme, že jsou rovnoběžné. Stejně tak může být rovnoběžná přímka s rovinou.
Trs přímek Množina všech přímek, které procházejí daným bodem, středem
trsu.
Trs rovin Množina všech rovin, které procházejí daným bodem.
Svazek rovin Množina všech rovin se společnou průsečnicí.
13.3
Rovnoběžnost
V rovině (a Euklidovské geometrii) jsou rovnoběžky přímky, které nemají žádný
průsečík, nebo jsou totožné. Rovnoběžnost zachovává vzájemnou vzdálenost
(pro různoběžné přímky nemá vzdálenost smysl). Pokud tedy v prostoru můžeme dvěmi přímkami proložit rovinu a jsou v ní rovnoběžné, jsou rovnoběžné
i v prostoru.
Každým bodem A lze vést právě jednu rovnoběžku s přímkou p.
– 5. axiom Euklidovské geometrie.
Rovnoběžnost je tranzitivní (a k b ∧ b k c ⇒ a k c) a symetrická.
Kritéria rovnoběžnosti:
1. Přímka je rovnoběžná s rovinou, pakliže v rovině existuje alespoň jedna
přímka s danou přímkou rovnoběžná.
2. Dvě roviny jsou rovnoběžné, pokud v jedné z nich existují dvě různoběžky,
které jsou rovnoběžné s druhou rovinou.
Pokud jsou dvě přímky nebo dvě roviny rovnoběžné a mají společný bod,
jsou totožné. Má-li přímka společný bod s rovinou, která je s ní rovnoběžná, leží
v ní.
Směrové (a také normálové) vektory rovnoběžných přímek jsou lineárně závislé. Normálové vektory rovnoběžných rovin jsou lineárně závislé.
Obecně jsou dvě křivky rovnoběžné, je-li možné přiřadit si vzájemně a jednoznačně body obou křivek tak, aby měly v odpovídajících si bodech společné
hlavní normály.
13.4
Mimoběžnost
O mimoběžnosti hovoříme, pokud dvě přímky v prostoru nemají průsečík a
nejsou rovnoběžné. Mimoběžky neleží v jedné rovině.
Každá přímka protínající dvě mimoběžky je příčka mimoběžek. Příčka, která
je pak kolmá na obě mimoběžky je osa mimoběžek. Vzdálenost mimoběžek je
pak délka úsečky ohraničené průsečíky osy s mimoběžkami.
13
13.5
52
Volné rovnoběžné promítání
Nejedná se o promítání (nemá průmětnu a směr), ale o zobrazení, kdy bodům
prostoru jsou přiřazeny jisté body nákresny. Incidence bodů a přímek se zachovává, stejně tak rovnoběžnost a poměr velikostí rovnoběžných úseček.
Všechn útvary v rovině rovnoběžné s promítací se zobrazují v původní velikosti, úsečky kolmé k projekční rovině se zobrazují pod úhlem 45circ s poloviční
délkou.
13.5.1
Osová afinita
Jedná se o zobrazení roviny na jinou rovinu s ní různoběžnou, přičemž vztah
vzor-obraz je dán kolmostí na rovinu, do které body zobrazujeme. Osa afinity je
pak průsečnice těchto rovin. Platí, že přímka a její obraz mají průsečík (který
leží na ose).
Využívá se u hranatých těles, které mají stěny kolmé na podstavy, především
při sestrojování řezů.
13.5.2
Středová kolineace
Opět zobrazení roviny na jinou rovinu s ní různoběžnou, přičemž vztah vzorobraz je dán homotetií (stejnolehlostí) podle určitého středu. Osa kolineace je
průsečnice těchto rovin. Platí, že přímka a její obraz mají průsečík (který leží
na ose).
Využívá se u hranatých těles s podstavou a vrcholem (jehlany), především
při sestrojování řezů.
14
14
METRICKÉ VLASTNOSTI BODŮ, PŘÍMEK A ROVIN
53
Metrické vlastnosti bodů, přímek a rovin
V rovnoběžné projekci na tělesech odchylky přímek a rovin, vzdálenosti bodů,
přímek a rovin, kolmost přímek a rovin; analyticky – kolmost vektorů, lineární
kombinace vektorů, závislost vektorů, odchylky vektorů, přímek, rovin, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin,
užití při výpočtech objemů a povrchů těles.
bod Základní bezrozměrný objekt. Dá se říci, že se jedná o útvar nultého rozměru. Všechny geometrické útvary lzou definovat jako množiny bodů.
Je pevně určen souřadnicemi B[b1 ; b2 ; . . . ; bn ], kde n je rozměr prostoru,
ve kterém se nachází.
přímka Základní jednorozměrný objekt. Každými dvěmi body prochází právě
jedna přímka (v Euklidovské geometrii).
Analyticky je určena bodem, který na ni leží a směrovým vektorem. Bod
na přímce:
Parametrické vyjádření Pomocí směrového vektoru a bodu. Jedinné
platné vyjádření přímky v prostoru.
X = A + t~u, t ∈ R
p(t ∈ R) :
x = a1 + tu1
y = a2 + tu2
z = a3 + tu3
···
obecná rovnice Pouze pro přímky v rovině, dána normálovým vektorem
(~n(a; b), ~u(n; −a)).
ax + by + c = 0
směrnicový tvar Jako lineární funkce. Směrnice – k = tg ϕ =
tangens odchylky od osy x.
u2
u1 ,
tedy
y = kx + q
rovina Dvourozměrný objekt – je isomorfní s dvourozměrným lineárním prostorem (dán lineární kombinací dvou vektorů). Můžeme ji určit:
1. Třemi nekolineárními body (tj. neleží v jedné přímce).
2. Přímkou a bodem, který na ni neleží.
3. Dvěmi nestejnými rovnoběžnými přímkami
4. Dvěmi různoběžnými přímkami.
14
54
Analyticky je určena bodem a dvěmi lineárně nezávislými vektory. Pro
bod v rovině:
Parametrické vyjádření Pomocí lineární kombinace vektorů X = A +
t~u + s~v .
ρ(t, s ∈ R) :
x = a1 + tu1 + sv1
y = a2 + tu2 + sv2
z = a3 + tu3 + sv3
···
Obecná rovnice Dána normálovým vektorem (~n = ~u × ~v ).
ax + by + cz + d = 0
14.1
Teorie míry
Zabývá se matemetikým uchopením pojmu kvantita z nejobecnějšího hlediska.
Míra je pak zobrazení přiřazující nezáporná kladná čísla na skupinu objektů.
Z neformálního hlediska je to zobecnění pojmů jako je délka, obsah, objem a
dalších.
Platí pro ni, že pokud je jedno těleso podmnožinou druhého, všechny jeho
míry jsou menší (T1 ⊆ T2 : µ(T1 ) ≤ µ(T2 )). Pokud jsou tělesa shodná, jsou
jejich míry stejné.
Povrch je mírou hranice tělesa (pozor, hranice tělesa tvoří těleso samo o sobě
– hranice tělesa, které je podmnožinou jiného tělesa není podmnožinou hranice
tohoto tělesa).
Pro objem platí Cavalieriho princip: Jestliže pro dvě tělesa existuje taková
rovina, že jakákoli s ní rovnoběžná rovina protíná tělesa v rovinných útvarech
se stejným obsahem, pak se jejich tělesa rovnají.
14.2
Odchylka
Máme-li dvě různoběžné přímky (tj. mají jeden průsečík), jejich odchylka je
velikost úhlu ϕ ≤ π2 , který svírají.
Odchylka přímky a roviny je odchylka přímky a jejího pravoúhlého průmětu
do dané roviny. Odchylka dvou rovin je odchylka přímek rovin kolmých na průsečnici nebo odchylka normálových přímek (přímky kolmé na rovinu).
Analyticky lze využít skalárního násobení vektorů, kdy platí:
~u · ~v = |~u||~v | cos ϕ
Odchylka dvou přímek je dána odchylkou jejich směrových nebo normálových
vektorů, odchylka roviny a přímky odchylkou směrového vektoru přímky a normálového vektoru roviny (pozor π2 − ϕ) a odchylka dvou rovin odchylkou jejich
normálových vektorů.
14
14.2.1
55
Kolmost
Speciální případ odchylky, kdy velikost úhlu svíraného přímkami je π2 . Obecně,
vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin nulový. Pozor, kolmost je symetrická, ale není tranzitivní.
Kritéria kolmosti:
1. Přímka je kolmá k rovině, jestliže v rovině existují dvě různoběžky, ke
kterým je daná přímka kolmá.
2. Dvě roviny jsou kolmé, jestliže v jedné z nich existuje přímka kolmá
k druhé rovině.
14.3
Vzdálenost
Je kvantitativní vyjádření vzájemné polohy dvou bodů. Je to také délka úsečky,
s danými krajními body. Vzdálenost bodu od přímky je dána nejkratší vzdáleností bodu a libovolného bodu na přímce, jedná se o kolmou vzdálenost, vzdálenost bodu a jeho kolmého průmětu na přímku. Vzdálenost dvou rovnoběžek
je vzdálenost libovolného bodu jedné od druhé přímky.
Vzdálenost bodu od roviny je dána jako nejkratší ze vzdáleností daného bodu
a libovolného bodu roviny, opět se jedná o pravoúhlou vzdálenost. Vzdálenost
přímky nebo roviny od roviny (za podmínky, že jsou rovnoběžné) je pak dána
vzdáleností jejich libovolného bodu od roviny.
14.3.1
Vzdálenost analyticky
−−→
Vzdálenost dvou bodů A a B je dána velikostí vektoru AB.
p
|AB| = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + · · · + (bn − an )2
Určujeme-li vzdálenost bodu M od přímkyp, předpokládá se, že existuje
bod X ∈ p, jehož vzdálenost od bodu M je ze vzdáleností všech bodů přímky
nejmenší. Můžeme postupovat třemi způsoby:
1. Jako minimum funkce. Vezměme bod přímky X [(a1 + tu1 ); . . . ; (an + tun )] , t ∈
R. Pak jeho vzdálenost od bodu M můžeme vyjádřit jako:
|M X|2 =
n
X
(mi − ai − tui )2
i=1
Vyjde nám funkce proměnné t, jejíž minimum je vzdálenost bodu (minimum zjistíme například derivací podle t).
−−→
2. Na základě kolmosti vektorů. Víme, že M X ·~u = 0, a bod X má souřadnice
dané parametrickým vyjádřením přímky, tedy:
n
X
i=1
ui (ai − mi + tui ) = 0
14
56
Zjistíme hodnotu t, z ní souřadnice bodu X, a pak můžeme vypočítat
−−→
velikost vektoru M X.
3. Pro vzdálenost bodu od přímky v rovině a bodu od roviny v trojrozměrném prostoru platí vzorce založené na normálovém vektoru (a tedy obecné
rovnici):
|am1 + bm2 + c|
√
v(M ; p) =
(a; b) 6= (0; 0)
a2 + b2
v(M ; %) =
|am1 + bm2 + cm3 + d|
√
a2 + b2 + c2
(a; b; c) 6= (0; 0; 0)
15
VEKTOR
15
57
Vektor
Operace s vektory v souřadnicovém systému i bez – početně, graficky; vektorový,
skalární a smíšený součin a jejich užití při výpočtech obsahů a objemů, lineární
kombinace a lineární závislost vektorů; směrový a normálový vektor přímky a
roviny – užití, vektor jako posunutí, vektorová interpretace součtu a rozdílu
komplexních čísel (viz komplexní čísla).
Vektor je uspořádaná n-tice prvků, typicky, čísel, označovaných jako složky
(komponenty) vektoru. Obecněji je to prvek abstraktního vektorového prostoru.
Počet složek vektoru pak souvisí s dimenzí vektorového prostoru.
~u(u1 ; u2 ; . . . ; un )
15.1
Vektorový prostor20
Vektorový prostor definovaný nad tělesem F (např. R) je množina V společně se
dvěma operacemi:
Sčítání vektorů ~u + ~v ~u, ~v ∈ V
~u + ~v = (u1 + v1 ; u2 + v2 ; . . . ; un + vn )
Násobení skalárem a~u ~u ∈ V, a ∈ F
a~u = (au1 ; au2 ; . . . ; au3 )
Ty splňují:
1. V společně se sčítáním tvoří komutativní grupu.
(a) Existuje nulový vektor (neutrální prvek) ~0 = (0; . . . ; 0)
∀~v ∈ V, ~v + ~0 = ~v .
(b) Pro každý vektor existuje opačný vektor w
~ (inverzní prvek) ~u + w
~ = ~0
w
~ = −~u = (−u1 ; −u2 ; . . . ; −un )
(c) Sčítání vektorů je asociativní. ~u + (~v + w)
~ = (~u + ~v ) + w
~
(d) Sčítání vektorů je komutativní. ~u + ~v = ~v + ~u
2. Násobení skalárem je asociativní. a(b~u) = (ab)~u
3. Platí j~u = ~u, kde j je jednotkový prvek F (nejčastěji 1).
4. Operace jsou distributivní.
a(~u + ~v ) = a~u + a~v
(a + b)~u = a~u + b~u
15.2
Lineární závislost
Dva vektory ~u a ~v jsou lineárně závislé, pakliže ∃k ∈ R∗ , ~u = k~v .
20 Ať
je tu nějaká teorie, o které se dá mluvit. Už mě nenávidíte?
15
VEKTOR
15.3
58
Lineární kombinace vektorů
Vektor ~a je lineární kombinací vektorů ~u a ~v , pakliže ∃k, l ∈ R∗ , ~a = k~u + l~v .
Báze vektorového prostoru je množina vektorů, jejichž lineární kombinací lze
vyjádřit každý jeho vektor. Nejčastější báze používá jednotkové vektory (tedy
velikost vektoru je jedna). Například pro trojrozměrný prostor:
B = {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}
15.4
Souřadný systém
Vektor lze znázornit pomocí orientované úsečky, má směr a velikost. Pomocí
vektorového prostoru nad R můžeme tedy definovat souřadný systém, kde báze
je množina os. Pokud jsou na sebe vektory báze kolmé, mluvíme o ortogonálním
souřadném systému. Pokud mají navíc stejnou velikost, mluvíme o ortonormálním souřadném systému, vlastně kartézském souřeadném systému.
Bod v souřadném systému lze brát jako vektor položený do počátku. Vektor
je pak také posunutí bodů (a všeobecně těles):
−−→
AB = B − A = (b1 − a1 ; b2 − a2 ; . . . ; bn − an )
15.5
Operace s vektory
Kromě sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem máme další operace:
15.5.1
Velikost vektoru
Podle Pythagorovy věty platí pro velikost vektoru:
q
~u = u21 + u22 + · · · + u2n
15.5.2
Skalární součin
Jedná se o zobrazení dvou vektorů na těleso, nad nímž je daný vektorový prostor
definován.
a = ~u · ~v
Z geometrického hlediska představuje velikost průmětu ~v do směru ~u, tedy:
~u · ~v = |~u||~v | cos ϕ
Kde ϕ je odchylka vektorů. Pro vektorový prostor nad R:
~u · ~v =
n
X
i=1
ui vi
15
VEKTOR
15.5.3
59
Vektorový součin
Binární operace mezi dvěma vektory v trojrozměrném prostoru. Výsledkem je
vektor kolmý k oběma vektorům. Pozor, je antikomutativní:
w
~ = ~u × ~v = −~v × ~u
Z geometrického hlediska je velikost tohoto vektoru rovna velikosti plochy rovnoběžníku, který definují.
|~u × ~v | = |~u||~v | sin ϕ
Počítá se z determinantu matice, kde ~i, ~j a ~k jsou jednotkové vektory (u výsledného vektoru přijdou k jeho složkám).
i
~u × ~v = u1
v1
j
u2
v2
k
u3
v3
Nulový vektorový součin značí lineárně závislé vektory.
15.5.4
Smíšený součin
Absolutní hodnotu smíšeného součinu lze považovat za objemo rovnoběžnostěnu, který je definován třemi vektory21 .
~u · (~v × w)
~
Při cyklické permutaci vektorů se jeho hodnota nemění.
15.6
Normálový vektor
Normálový vektor daného (n − 1)-dimensionálního vektorového subprostoru
(tedy přímky, jsme-li v rovině, nebo roviny, jsme-li v prostoru), je vektor kolmý
na daný podprostor.
Pro přímku platí:
~u · ~n = 0
⇒
~n = (u2 ; −u1 )
Normálový vektor roviny se vypočítá vektorovým součinem:
~n = ~u × ~v
Rovnice roviny a přímky využívající normálových vektorů, stejně jako analytická definice přímky a roviny – viz předchozí dvě otázky.
21 Lze to ukázat graficky – obsah rovnoběžníku krát výška, která je vlastně promítnutím
jednoho vektoru na přímku kolmou k rovině rovnoběžníku.
16
PARAMETR – ROVNICE A NEROVNICE, JEJICH SOUSTAVY
16
60
Rovnice, nerovnice a jejich soustavy s parametrem a diskuse
Vzhledem k parametru – početně i graficky.
Lineární, kvadratické, logaritmické, exponenciální, goniometrické rovnice s parametrem; grafy funkcí a binárních relací s parametrem.
Těžištěm této otázky je dobrá znalost funkcí, dále jen pár praktických rad.
16.1
Rovnice s parametrem
Pokud se v rovnici vyskytuje zlomek s parametrem ve jmenovateli, rovnice není
pro parametr rovný nulovému bodu jmenovatele definována.
Pokud dělíme výrazem s parametrem, je nutné rozdělit postupy řešení rozdělit:
1. Původní rovnice pro kořeny výrazu.
2. Dělení výrazem s parametrem pro všechny ostatní hodnoty parametru.
Pokud je ve jmenovateli některého zlomku výraz s proměnnou (x), je třeba
ještě zkontrolovat výsledek a rozhodnout, pro které parametry rovnice nemá
řešení.
Specificky pro řešení kvadratických rovnic s parametrem je dobré určit, pro
které hodnoty parametru se koeficient druhého stupně rovná nule a rovnice tedy
není kvadratická.
Řešení rovnic s parametrem se zapisuje do tabulky, kde v levém sloupci je
množina parametrů a v pravém odpovídající množina výsledků.
3p
2x + p
−
=2
x+1
x−p
Pro x = −1 a x = p tedy rovnice nemá řešení.
2x+p
x+1
3p
− x−p
=2
2xp + 2x + p2 + p = 0
2x(p + 1) = −p(p + 1)
p = −1 : p 6= −1 :
0=0
2x = −p
p∈R
x = − p2
Je třeba ještě výsledky zkorigovat podle podmínek.
Protože pro x = −1 nemá rovnice řešení, pro první větev platí p = −1 ⇒
x ∈ R \ {−1}, což koresponduje s podmínkou pro x 6= p.
16
PARAMETR – ROVNICE A NEROVNICE, JEJICH SOUSTAVY
61
Pro druhou větev řešíme obě podmínky:
−1 6= −
p
⇒ p 6= 2
2
p 6= −
m
⇒ m 6= 0
2
Výsledek tedy je následující:
p
−1
2; 0
R \ {−1; 0; 2}
16.2
K
R \ {−1}
∅
− p2
Nerovnice s parametrem
Kromě podmínek a toho, že výsledek je interval, musíme brát na vědomí, že
znaménko výrazu s parametrem není známo, a tedy, násobíme-li jím, musíme
rozdělit řešení na dvě větve (klasické násobení záporným číslem).
−3ax ≤ a
a<0:
a=0:
−3x ≥ 1
0≤0
x ≤ − 13 x ∈ R
a
0
R−
R+
16.3
a>0:
−3x ≤ 1
x ≥ − 31
K
R
−13
−∞;
− 13 ; ∞
Parametrické systémy funkcí
Zde je třeba vycházet z dobré znalosti funkcí a podle pozice intervalu vědět, jak
danou funkci ovlivní.
17
OBJEMY HRANATÝCH I ROTAČNÍCH TĚLES, OBSAH
17
62
Výpočet objemů hranatých i rotačních těles,
výpočet obsahů
Rovinných obrazců – s užitím vzorců ze stereometrie a planimetrie a s užitím
integrálního počtu; integrační metody, určitý integrál.
17.1
Teorie míry
Zabývá se matemetikým uchopením pojmu kvantita z nejobecnějšího hlediska.
Míra je pak zobrazení přiřazující nezáporná kladná čísla na skupinu objektů.
Z neformálního hlediska je to zobecnění pojmů jako je délka, obsah, objem a
dalších.
Platí pro ni, že pokud je jedno těleso podmnožinou druhého, všechny jeho
míry jsou menší (T1 ⊆ T2 : µ(T1 ) ≤ µ(T2 )). Pokud jsou tělesa shodná, jsou
jejich míry stejné.
Povrch je mírou hranice tělesa (pozor, hranice tělesa tvoří těleso samo o sobě
– hranice tělesa, které je podmnožinou jiného tělesa není podmnožinou hranice
tohoto tělesa).
Pro objem platí Cavalieriho princip: Jestliže pro dvě tělesa existuje taková
rovina, že jakákoli s ní rovnoběžná rovina protíná tělesa v rovinných útvarech
se stejným obsahem, pak se jejich tělesa rovnají.
Všimněme si jedné zajímavé věci, na míru objektu nemá vliv, jestli jsou hranice součástí objektu nebo ne. To má za následek „stoupnutí prostoruÿ, tedy
míry trojrozměrného prostoru jsou dvojrozměrné a tedy mají nulovou trojrozměrnou míru.
Míra se stanovuje:
• Míra prázdné množiny je rovna nule.
• Míra spočetné množiny je rovna nule.
• Míra otevřeného nebo uzavřeného intervalu je rovna jeho délce.
µ(a; b) = µha; bi = µ(a; bi = µha; b) = b − a
• Míra kartézského součinu intervalů M1 × M2 × · · · × Mn je rovna součinu
délek jednotlivých intervalů. Označíme-li délku intervalu jako |M |, pak:
µ(M1 × M2 × · · · × Mn ) =
n
Y
|Mi |
i=1
• Míra disjunktních intervalů je rovna součtu jejich měr.
17
17.2
63
Obsah
Vyjadřuje míru dané dvojrozměrné části prostoru. U hranatých těles můžeme
využít délky jejich stěn. Základem je obsah obdélníka, který je roven součinu
délek jeho stran (dva intervaly a jejich kartézský součin).
Problém je ovšem obsah obrazce pod křivkou.
Mějme funkci definující křivku a interval ha; bi (o délce ∆x), ve kterém je
spojitá. Víme, že obsah plochy bude ohraničen obdélníky:
f (a)∆x ≤ ∆S ≤ f (b)∆x
∆S
≤ f (b)
∆x
Když budeme zmenšovat interval (a tím ∆x), budeme zpřesňovat aproximaci
obsahu.
∆S
lim f (a) ≤ lim
≤ lim f (b)
∆a→x
b→x
∆x→0+ ∆x
dS
f (x) ≤
≤ f (x)
dx
dS = f (x)dx
f (a) ≤
Abychom mohli zjistit obsah, musíme použít postup opačný k derivaci – zjistit,
jaká funkce má danou derivaci.
17.3
Mějme dvě funkce F, f definované v otevřeném intervalu. Jestliže pro všechna x
z tohoto intervalu platí F 0 (x) = f (x), pak funkce F je primitivní funkcí funkce
f v daném intervalu.
Protože derivace konstanty je nulová, platí: Je-li funkce F v určitém otevřeném intervalu primitivní funkcí k funkci f , každá primitivní funkce k funkci f
v daném intervalu lze zapsat ve tvaru F (x) + C, kde C ∈ R.
Z
f (x)dx = F (x) + C
Ke každé funkci spojité v otevřeném intervalu existuje v tomto intervalu
primitivní funkce.
17.4
Určitý integrál
Nyní můžeme aplikovat integraci na obsah:
Z
dS = f (x)dx ⇒ S(x) = f (x)dx = F (x) + C
Ještě zbývá se zamyslet nad integrační konstantou. Začínáme ale měřit v bodě
a, proto F (a) + C = 0 ⇒ C = −F (a).
S(x) = F (x) − F (a)
17
64
Celkově zapisujeme určitý integrál:
b
Z
f (x)dx = F (b) − F (a)
S=
a
Podle definice určitého integrálu si můžeme všimnout, že změnou znaménka se
prohodí meze integrace:
Z
−
b
Z
f (x)dx =
a
17.5
a
f (x)dx
b
Integrační metody
Podobně jako u derivace platí:
Z
Z
Z
(f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + f (x)dx
Z
Z
(f (x) − g(x)) dx =
Z
Z
f (x)dx −
g(x)dx
Z
cf (x)dx = c
f (x)dx, c ∈ R
Základem je přímá metoda, kdy na základě známých integrálů přímo přiřazujeme primitivní funkci.
R
dx = x + C
R a
a+1
x dx = xa+1 + C, a 6= −1
R dx
x = ln x + C
R x
e dx = ex + C
R x
x
a dx = lna a + C, a 6= 1
R
sin xdx = − cos x + C
R
cos xdx = sin x + C
R dx
1+x2 = arctg x + C
17.5.1
Substituce
Máme-li složenou funkci F (g(x)), je její derivací funkce F 0 (g(x))g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x).
Pokud si zvolíme substituci t = g(x), platí dt = g 0 (x)dx.
Nechť funkce F (t) je primitivní funkcí k funkci f (x) v intervalu
(α; β). Nechť funkce t = g(x) má derivaci v intervalu (a; b) a pro
každé x ∈ (a; b) patří g(x) do intervalu (α; β). Pak v intervalu (a; b)
je funkce F (g(x)) primitivní funkcí funkci f (g(x))g 0 (x).
17
Z
2x
t = x2 + 5
dx =
=
2
dt = 2xdx
x +5
Z
65
dt
= ln t + C = ln(x2 + 5) + C
t
Zvláštním
druhem je pak substituce a sin t = x, kterou uplatníme, je li ve
√
výrazu a2 − x2 .
Z
Z
Z
dx
cos t
sin t = x
√
p
=
=
dt = dt = t + C = arcsin x + C
cos tdt = dx
1−x
1 − sin2 t
Pozor při určité integraci je potřeba provést po substituci změnu mezí podle
substitučního vzorce. Na druhou stranu se poté nemusí provádět zpětná substituce.
17.5.2
Per partes
Vycházíme ze znalosti derivace součinu funkcí: (uv)0 = u0 v + v 0 u. Z toho plyne
věta:
Mají-li funkce u a v v intervalu (a; b) spojité derivace, pak pro
tento interval platí:
Z
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) −
Z
u0 (x)v(x)dx
Předvedeme si pro dvě důležité integrace:
Z
Z
u = ln x u0 = x1
= x ln x − dx = x(ln x − 1) + C
ln xdx = 0
v =1
v=x
Z
sin2 xdx =
Z
u0 = cos x
= − sin x cos x +
1 − sin2 x dx
v = − cos x
Z
Z
sin2 xdx = − sin x cos x + x + C 0 − sin2 xdx
u = sin x
v 0 = sin x
Z
17.5.3
sin2 xdx =
− sin x cos x + x
+C
2
Racionální lomené funkce
Je možný rozklad na parciální zlomky:
1
A
B
=
+
f (x)g(x)
f (x) g(x)
Pozor:
1
A
B
C
= 2
+
+
f 2 (x)g(x)
f (x) f (x) g(x)
17
17.5.4
66
Nevlastní integrál
Pokud je interval integrace z některé strany neomezený, počítáme limitu:
Z ∞
∞
e−x dx = −e−x 0 = − lim e−x + 1 = 1
x→∞
0
17.6
Objem
Charakterizuje míru dané části prostoru. Pro pravoúhlé rovnoběžníky můžeme
použít násobek stran, pro kosé útvary pak platí Cavalieriho princip, tedy pro
dannou vzdálenost podstav mají stejný objem jako pravoúhlá tělesa. Pro rovnoběžnostěny můžeme využít smíšený součin vektorů.
krychle Stěny tvoří šest stejných čtverců.
V = a3
kvádr Pravoúhlý rovnoběžnostěn.
V = abc
hranol Mnohostěn, jehož dvě stěny – podstavy – leží v rovnoběžných rovinách
a jsou shodné.
V = Sp v
jehlan Mnohoúhelníková podstava, jejíž vrcholy jsou spojeny s bodem mimo
její rovinu – vrcholem.
1
V = Sp v
3
rotační tělesa Vycházíme z objemu válce, jehož objem je dán V = Sp v =
πr2 v. Vezměme plochu ohraničenou funkcí f (x), která rotuje kolem osy
x. Obdobně jako při obsahu jsme brali obsah obdelníka můžeme teď brát
objem rotačního válce:
Z b
V =π
f 2 (x)dx
a
17.7
Další využití určitého integrálu
Tyto vzorce nebudeme dokazovat22
Délka křivky
Z
d=
b
q
2
1 + (f 0 (x)) dx
a
Obsah rotační křivky
Z
S = 2π
b
q
2
|f (x)| 1 + (f 0 (x)) dx
a
22 Nechce se mi a vypadají docela složitě. Maximálně bych si troufl odvodit obsah plochy
z délky křivky.
18
VĚTY THALETOVA, PYTHAGOROVA A EUKLIDOVY
18
67
Užití Thaletovy věty, Pythagorovy věty, Euklidových vět
Důkazové úlohy, trigonometrické úlohy, konstrukční úlohy, konstrukce algebraických výrazů, proměna obrazců stejného obsahu, zobrazování čísel na číselné ose,
výpočty obsahů a objemů.
Tahle otázka není dobrá, alespoň ty věty nadefinuju a dodám balast. Neprojdete si příklady a máte smůlu.
18.1
Thaletova věta
Z každého bodu kružnice,je její libovolný průměr, který neobsahuje
daný bod, vidět pod pravým úhlem.23
Máme-li úsečku AB, pak pro všechny body X ležící na kružnici k SAB ; |AB|
2
platí: | <
) AXB| = π2 .
Dokázat ji můžeme na základě poznatku, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je π, a že v rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně stejně
velké. Mějme kružnici k(S; r) a její průměr AB, S ∈ AB. Pro bod X na kružnici
(X 6= A, B) pak platí |SX| = |SA| = |SB|. Pokud si označíme | <) XAS| = α a
| <) XBS| = β, pak | <
) AXB| = α + β a pro celý trojúhelník platí:
2α + 2β = π
⇒
α+β =
π
2
Kružnice, jejíž průměrem je úsečka, je Thaletovou kružnicí nad danou úsečkou. Jedná se o množinu bodů dané vlastnosti:
n
πo
τAB = X; | <) AXB| =
2
Nejčastějším využítím Thaletovy věty je, když potřebujeme sestrojit „odloženýÿ pravý úhel, například u tečen kružnice a podobně.
Dá se říci, že Thaletova věta je konkrétní případ věty o středovém a obvodových úhlech. Nad úsečkou pak můžeme sestrojit všeobecně množiny bodů dané
vlastnosti, při jejichž konstrukci využijeme této věty:
MAB = {X; | <
) AXB| = α}
Výsledná množina bodů jsou dva kruhové oblouky se stejným poloměrem a
různými středy ležícími na ose úsečky AB. Platí: | <) ASB| = 2α
18.2
Pythagorova věta
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného
trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami.
23 Těch
formulací je strašná spousta. . .
18
68
Tedy druhá mocnina délky přepony (nejdelší strany) je rovna součtu druhých
mocnin délky odvěsen (kratších stran – svírají pravý úhel).
c 2 = a 2 + b2
Můžeme ji dokázat například pomocí podobných trojúhelníků. Mějme pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Vedeme z vrcholu C kolmici
na protilehlou stranu o délce v. Ta rozdělí přeponu c na části přilehlé odvěsnám
a a b – ca a cb (ca + cb = c). Platí:
c
a
=
ca
a
⇒
a2 = cca
c
b
=
cb
b
⇒
b2 = ccb
a2 + b2 = c(ca + cb )
⇒
a2 + b2 = c2
Čtverce se dají nahradit jinými rovinnými útvary, pokud jsou si podobné. To
je způsobeno tím, že obsah každého rovinného obrazce je přímo úměrný obsahu
čtverce a pokud jsou tyto útvary podobné, jsou i jejich obsahy přímo úměrné
úměrné.
Pro vektory platí, že čtverec délky vektoru je roven součtu čtverců jeho
souřadnic v libovolné ortonormální bázi (tj. osy jsou kolmé a jednotky stejně
dlouhé).
n
X
|~u| =
u2i
i=1
Není-li úhel svíraný odvěsnami pravý, platí cosinová věta, Pythagorova věta
je pak jejím speciálním případem:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
18.2.1
Obrácená věta
Platí-li pro strany trojúhelníka a2 + b2 = c2 , pak je pravoúhlý (pravý úhel je
naproti straně c).
18.2.2
Velká Fermatova věta24
@x, y, z ∈ Z∗ , n ∈ N, n > 2 : xn + y n = z n
Stanovena v 17. století a během následujích století byly dokázány některé speciální případy věty. Definitivní důkaz byl získal britský matematik Andrew Wiles
až v roce 1994 a je to jeden z nejsložitějších důkazů v historii matematiky.
Sama o sobě nemá Fermatova věta dosud využití, její důkaz, především pro
myšlenky a teorie, které používá, je však neocenitelný pro moderní vědu.
24 Je
možné to zmínit, má podobný tvar.
18
18.3
69
Euklidovy věty
Geometrická tvrzení o vlastnostech pravoúhlého trojúhelníka. Ukážeme si ji na
pravoúhlém trojúhelníku ABC, kde pravý úhel je při vrcholu C, se stranami a, b
a c. Vedeme z bodu C výšku v, tedy kolmici na protilehlou stranu. Ta rozděluje
přeponu na dva úseky přilehlé odvěsnám ca a cb .
Důkaz provádíme na základě podobnosti, nebo z Pythagorovy věty.
18.3.1
Euklidova věta o výšce
Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je
roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků odvěsny.
v 2 = ca cb
Vycházíme z podobnosti:
v
ca
=
v
cb
18.3.2
⇒
v 2 = ca cb
Euklidova věta o odvěsně
Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka
je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony
přilehlého k této odvěsně.
a2 = cca
b2 = ccb
Opět můžeme vycházet z podobnosti:
a
c
=
a
ca
⇒
a2 = cca
19
KOMBINATORIKA
19
70
Kombinatorika
Kombinace, variace, permutace s opakováním i bez, faktoriály, kombinační čísla
– vlastnosti, Pascalův trojúhelník, užití při úpravách výrazů, v rovnicích, nerovnicích a ve slovních úlohách. Binomická věta.
Kombinatorika je oblast diskrétní matematiky. Obvykle se zabývá počtu
objektů s definovanou strukturou (splňující určitovanou vlastnost). Klasická
kombinatorika vytváří z n prvků množiny k-členné skupiny prvků.
19.1
Základní pravidla kombinatoriky
Kombinatorické pravidlou součinu
Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý
člen po výběru prvního členu n2 způsoby, až k-tý člen po výběru (k − 1)-tého
členu nk způsoby, je roven n1 · n2 · · · nk .
Tedy máme-li tři sukně a dvě halenky, můžeme se obléci šesti způsoby.
Kombinatorické pravidlo součtu
Jsou-li A1 , A2 , . . . , An konečné disjunktní množiny, které mají po řadě p1 , p2 , . . . , pn
prvků, pak počet prvků množiny A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An je roven p1 + p2 + · · · + pn .
19.2
Faktoriál
Faktoriál kladného celého čísla je součinem všech menších nebo stejně velkých
celých kladných čísel.
n
Y
∀n ∈ N : n! =
k
k=1
Lze jej také definovat rekursivně:
0! = 1, ∀n ∈ N : n! = n(n − 1)!
19.3
Kombinační číslo
Matematická funkce, která udává počet různých k-prvkových podmnožin z nprvkové množiny (je jasné, že n, k ∈ N a n ≥ k).
n
n!
∀n, k ∈ N ∧ n ≥ k :
=
(n − k)!k!
k
19.3.1
Vlastnosti kombinačního čísla
Z definice kombinačního čísla můžeme odvodit několik jeho vlasntností.
1. Okrajové hodnoty: n0 = nn = 1
n
2. Symetrie: nk = n−k
n
3. Součet: nk + k+1
= n+1
k+1
19
KOMBINATORIKA
19.3.2
71
Pascalův trojúhelník
Geometrické uspořádání kombinačních čísel do trojúhelníku. Využívá součtové
vlastnosti kombinačních
čísel, kdy každé číslo je součtem dvou čísel nad ním.
0
1
0 1 1
1
1
0 1 2 2 2
1
2
1
0 1 2 3 3 3 3
1
3
3
1
0 1 2 3 4 4 4 4 4
1
4
6
4
1
0 1 2 3 4
..............
........
Všimněme si, že čísla v n-tém řádku souvisí s počtem prvků poteční množiny
(systém všech podmnožin) množiny s n prvky. To je dáno vlastnostmi kombinačního čísla, které určuje počet k-prvkových podmnožin (viz výše). Z binomické
věty pak platí:
kP(X)k = 2kXk
19.3.3
Binomická věta
Řeší vzorec (a + b)n . Využívá zákonů kombinatoriky.
n X
n n−k k
∀a, b ∈ R, n ∈ N : (a + b) =
a
b
k
n
k=0
Dokázat ji můžeme matematickou indukcí. Plyne z ní také jiné možné pojmenování kombinačního čísla, binomický koeficient.
19.4
k-členné skupiny
k-tice, které klasická kombinatorika vytváři mohou mít tyto vlastnosti:
uspořádané tedy záleží na pořadí prvků
neuspořádané tedy na pořadí prvků nezáleží
opakující se jeden prvek se může opakovat vícekrát
neopakující se každý prvek může být ve skupině pouze jednou
19.4.1
Variace
Variace jsou uspořádané k-tice, záleží tedy na pořadí prvků.
bez opakování Máme-li n prvků, pro výběr prvního prvku máme n možností,
pro výběr druhého (n − 1) možností a tak dále. Podle kombinatorického
pravidla součinu:
k−1
Y
Vk (n) =
(n − i)
i=0
19
KOMBINATORIKA
72
To se dá také vyjádřit pomocí faktoriálu:
Vk (n) =
n!
(n − k)!
s opakováním Protože se můžou prvky opakovat, máme na každou pozici n
možností. Podle kombinatorického pravidla součinu:
Vk0 (n) = nk
19.4.2
Permutace bez opakování
Jedná se o variaci n-té třídy z n prvků, tedy počet možných přeuspořádání
množiny.
P (n) = Vn (n) = n!
19.4.3
Permutace s opakováním
Má zvláštní význam, jedná se o permutaci skupiny, ve které se některé prvky
opakují. Označíme-li počet jednotlivých prvků k1 až kn , pak25 :
P 0 (k1 , k2 , . . . , kn ) =
19.4.4
(k1 + k2 + · · · + kn )
k1 !k2 ! · · · kn !
Kombinace
Kombinace jsou neuspořádané k-tice, nezáleží tedy na pořadí prvků.
bez opakování Souvisí s kombinačními čísly (podle definice), proto:
n
Ck (n) =
k
s opakováním Jejich počet můžeme odvodit následujícím myšlenkovým postupem. Víme, že kombinace má vždy k prvků, přičemž každý z nich můžeme
přidělit konkrétnímu prvku, těchto k prvků rozdělujeme do n „přihrádekÿ.
Ty si můžeme představit jako (n − 1) dělících čar, které pokládáme mezi
prvky, přičemž máme uspořádanou k prvků a (n − 1) čar, které permutujeme.
n+k−1
(n + k − 1)!
0
0
Ck (n) = P (n − 1, k) =
=
k!(n − 1)!
k
19.5
Dirichletův princip26
Je-li n různých objeltů rozděleno do m různých disjunktních množin a platí-li
přitom pro n, m ∈ N : n > km, kde k ∈ N, pak alsepoň v jedné množině více
než k objektů.
25 Můžeme odvodit tím, že se jedná o permutaci všech prvků, protože jsou ale některé prvky
stejné, podělí se ještě jejich permutacemi.
26 Pozor, na Wikině najdete: Pokud nekonečná množina vznikla spojením konečného počtu
množin, je alespoň jedna z nich nekonečná.
20
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
20
73
Pravděpodobnost a statistika
Základní pojmy statistiky, klasická definice pravděpodobnosti, pravděpodobnost jevů závislých, nezávislých, slučitelných, neslučitelných, pravděpodobnost
sjednocení, průniku, Bernoulliho schéma, užití ve slovních úlohách, práce s kalkulačkou.
Pravděpodobnost se zabývá náhodným pokusem, tedy činností, která nemá
pevně daný výsledek.
Náhodný jev je výsledek náhodného pokusu.
Ω. . . jevové pole prostor všech jevů
∅. . . nemožný jev nenastane nikdy
I. . . jistý jev nastane vždy
E. . . elementární jev nelze rozložit na další jevy. Všechny elementární jevy
jsou neslučitelné a jejich sjednocením je jev jistý.
neslučitelné jevy A ∩ B = ∅
opačný jev A0 = I \ A (také Ā)
Pravděpodobnost jevu je numerické ohodnocení naděje, že daný jev nastane
při náhodném pokusu.
20.1
Klasická pravděpodobnost
Laplaceova definice: Nechť je výsledků náhodného jevu konečný počet, všechny
jsou stejně možné a jsou na sobě nezávislé. Pak platí:
p(A) =
m
n
m. . . počet příznivých jevů
n. . . celkový počet jevů v Ω
Dá se říci, že klasická pravděpodobnost je speciálním případem statistické
pravděpodobnosti a je limitou relativní četnosti jevu (tedy poměrem počtu pokusů, jejichž výsledek byl daný jev, k celkovému počtu pokusů) pro počet pokusů
jdoucí k nekonečnu.
Platí pro ni tři základní axiomy:
1. p(A) ≥ 0. . . pravděpodobnost jevu je větší nebo rovna jedné.
2. p(I) = 1. . . pravděpodobnost jevu jistého je rovna jedné.
3. p(A1 , A2 , . . . , An ) =
n
P
p(Ai ). . . pravděpodobnost sjednocení neslučitel-
i=1
ných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
20
74
Z toho plynou její vlastnosti:
1. p(A) ∈ h0; 1i
2. p(A0 ) = 1 − p(A)
20.1.1
Sjednocení jevů
Máme-li dva jevy, platí pro pravděpodobnost jejich sjednocení (tedy že nastane
jeden nebo druhý):
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Obecně (tedy pro větší počet jevů) platí princip inkluze a ekxkluze, který jednoduše funguje tak, že nejdříve sečteme pravděpodobnosti jevů, pak od nich
odečteme pravděpodobnosti průniků všech dvojic jevů, pak přičteme pravděpodobnost průniků všech trojic jevů a tak dále.
20.1.2
Nezávislost jevů
Nezávislostí je myšleno, že nastání jednoho jevu nemá žádný vliv na nastání
nebo nenastání druhého. Matematicky:
Dva jevy A a B jsou nezávislé, jestliže pro jejich pravděpodobnosti platí: p(A ∩ B) = p(A)p(B).
Obecně platí, že více jevů je nezávislých, pokud pravděpodobnost průniku
jevů libovolné podmnožiny všech těchto jevů je součinem pravděpodobností
těchto jevů.
Jsou-li jevy nezávislé, pak jsou nezávislé i když nahradíme libovolný počet
z nich jevy opačnými.
20.1.3
Bernoulliho schéma
Binomické rozdělení (podle binomické věty). Mějme n nezávislých pokusů, pro
které nastává buď určitý jev se stejnou pravděpodobností p, nebo jev opačný.
Pak pravděpodobnost, že právě k pokusů skončí jevem můžeme vyjádřit:
n k
pk =
p (1 − p)n−k
k
20.1.4
Podmíněná pravděpodobnost
Týká se především jevů, které jsou na sobě závislé. Ptáme se, jaká je pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B.
Aby mohl výsledek ω nastat pokud nastane jev B, musí platit ω ∈ B. Pak
pokud platí:
p(ω)
p(ω|B) =
p(B)
20
75
Jev A je dán sumou pravděpodobností všech svých výsledků, musíme ale vzít
pouze ty, které nastanou, pokud nastane B.
p(A|B) =
X
ω∈A∩B
p(ω)
p(A ∩ B)
=
p(B)
p(B)
Pro závislé jevy pak platí:
p(A ∩ B) = p(A|B)p(B)
20.1.5
Úplná pravděpodobnost
Mějme jevy B1 , B2 , . . . , Bn , které se navzájem vylučují a jejich sjednocením je
jev úplný. Pak pro pravděpodobnost libovolného jevu A platí:
p(A) =
n
X
p(Bi )p(A|Bi )
i=1
20.2
Geometrická pravděpodobnost
Je založena na poměr objemů, ploch a délek, tedy rozměrů objektu.
p(A) =
µ(A)
µ(Ω)
Používá se pro spojité jevy – například čísla v intervalu.
20.3
Statistika
Statistika zkoumá jevy na velkém souboru případů a hledá vlastnosti, které se
projeví až na statistickém souboru. Jejím výchozím prvkem je statistický soubor,
jehož prvky se nazývají statistické jednotky. Statistické jednotky pak sledujeme
na základě zvolených znaků, u nichž zjišťujeme hodnotu.
Četnost hodnoty znaku je počet jednotek souboru, u kterých má sledovaný
znak danou hodnotu. Relativní četnost je pak poměrem četnosti k rozsahu souboru. Kumulativní četnost pak značí počet znaků, které mají hodnotu menší
nebo rovnu dané hodnotě.
20.3.1
Popisná statistika
Také jednorozměrná – sleduje hodnoty veličiny. Můžeme sledovat charakteristiky polohy, které charakterizují polohu znaku na číselné ose, a variability, které
charakterizují proměnlivost hodnoty znaku.
aritmetický průměr Pokud mají znaky stejnou váhu.
n
x̄ =
1X
xi
n i=1
20
76
harmonický průměr Většinou jde o nepřímou úměru.
n
x̄H = Pn
1
i=1 xi
geometrický průměr Používá se na koeficenty.
x̄G =
n
Y
√
n
xi
i=1
modus (x̂) Nejčetnější hodnota v souboru.
kvantil Rozděluje na soubor na části. Je ve tvaru xp , kde p jsou procenta (od
toho p-procentní kvantil). Je to prvek s indexem mezi np a np + 1. Pokud
vyjdou indexy celá čísla, počítá se aritmetický průměr dvou prvků.
x̃ medián – rozděluje soubor na poloviny
x25 dolní kvartil
x10 dolní decil
Významný jsou ještě horní decil a kvartil.
variační rozpětí R = xmax − xmin
průměrná odchylka (d) Aritmetický průměr odchylek. Příliš se nepoužívá,
podobně jako relativní průměrná odchylka (d¯ = x̄d )
k-tý centrální výběrový moment Určuje variační hodnoty statistického souboru27 .
n
1X
µk =
(xi − x̄)k
n i=1
rozptyl σx2 = µ2
směrodatná odchylka (σx ) – určuje rozptyl hodnot – interval, ve kterém jsou
2
3 hodnot znaku.
variační koeficient Určuje rozptyl hodnot vzhledem k aritmetickému průměru
σx
vx =
x̄
Kromě rozptylu a směrodatné odchylky existují ještě jejich výběrové ekvivalenty,
přičemž do rozsahu, který udávají se vejde více hodnot statistického souboru
1
(místo n1 mají n−1
).
27 Vzorec se, proboha, neučte – i když, tohle jsem psal před tím, než se nás na něco podobného
v hodině zeptal.
20
20.3.2
77
Dvourozměrná statistika
Sleduje vztah dvou veličin.
korelace Měří těsnost vztahu. Tu udává korelační koeficient r ∈ h−1; 1i. Čím
vyšší má absolutní hodnotu, tím jsou těsněji svázané.
n
r=
1X
k
,k =
(xi − x̄)(yi − ȳ)
σx σy
n i=1
regresní analýza Měří funkční závislost – snaží se najít funkci popisující do
jisté míry (určené korelací) vztah dvou veličin. Podle výsledné funkce můžeme rozlišit lineární, kvadratickou, exponenciální a další regrese.
Y = β0 + β1 X
21
POSLOUPNOST
21
78
Posloupnost
Posloupnost jako funkce, graf, způsoby určení posloupnosti; vlastnosti posloupnosti; zvláštní druhy posloupností – aritmetické, geometrické; limita posloupnosti, nekonečná geometrická řada, užití posloupností a řad při řešení slovních
úloh, úrokování.
Jako posloupnost se označuje každá funkce, jejíž definiční obor je diskrétní.
Pokud má definiční obor menší mohutnost než ℵ0 , hovoříme o konečné poslounposti, pokud má mohutnost rovnu ℵ0 , jedná se o nekonečnou posloupnost.
Obecněji můžeme posloupnost (nekonečnou) chápat jako zobrazení, které
přiřazuje každému přirozenému číslu prvek určité množiny (protože jsou diskrétní, můžeme vždy uvažovat o jejich definičním oboru jako o N). Číselná
posloupnost přiřazuje každému n ∈ N konstantu an , která je závislá pouze na
čísle n. Existují ještě i posloupnosti funkcí.
Prvky posloupnosti se indexují přirozenými čísly:
(an )∞
n=1
Grafem posloupnosti je množina izolovaných bodů o souřadnicích [n; an ],
z čehož si můžeme všimnout, že jejich průměty na osu x jsou od sebe vždy
stejně vzdálené. Dále budeme hovořit o nekonečných číselných posloupnostech.
21.1
Určení posloupnosti
Posloupnost, tedy hodnotu členu v závislosti na jeho indexu, můžeme určit
dvěma způsoby.
vzorcem pro n-tý člen Posloupnost můžeme určit podobně jako funkci.
an = f (n)
an = n2 + 3n
rekurentně Protože se pohybujeme v diskrétní matematice, můžeme také určit
hodnotu členu v závislosti na hodnotě členu předchozího (nebo předchozích). Je ovšem třeba vyjádřit první člen posloupnosti. Například:
a1 = 2, an+1 = 2an + 3
Oba vztahy lze převádět, avšak pokud převádíme rekurentně určenou posloupnost na posloupnost určenou vzorcem pro n-tý člen, je na místě důkaz matematickou indukcí.
21.2
Vlastnosti posloupností
Posloupnost je:
rostoucí ∀r, s ∈ N : r < s ⇔ ar < as
Pokud se jedná o neostrou nerovnost, je neklesající.
21
POSLOUPNOST
79
klesající ∀r, s ∈ N : r < s ⇔ ar > as
Pro neostrou nerovnost je nerostoucí.
shora omezená ∀n ∈ N : an ≤ h
Prvek ak = h je pak maximem posloupnosti.
zdola omezená ∀n ∈ N : an ≥ d
Prvek ak = d je pak minimem posloupnosti.
omezená Jestliže je omezená shora i zdola.
Pro určování monotónosti posloupnosti jsou důležité věty (podobně bychom
je definovali i pro neostré nerovnosti):
1. Posloupnost je rostoucí právě tehdy, když ∀n ∈ N platí: an < an+1
2. Posloupnost je klesající právě tehdy, když ∀n ∈ N platí: an > an+1
První z nich si dokážeme (musíme oběma směry – protože dokazujeme ekvivalenci):
1. Předpokládejme, že posloupnost je rostoucí. Zvolíme-li za dvě přirozená
čísla n a n + 1, okamžitě dostáváme:
an < an+1
2. Předpokládejme, že pro libovolné n platí, že an < an+1 . Rozdíl mezi libovolnými přirozenými čísly r a s pak můžeme rozložit:
ar < ar+1 < ar+2 < · · · < as
21.3
Aritmetická posloupnost
∀n ∈ N : an+1 = an + d
Číslo d ∈ R je diference posloupnosti, pokud je nulová, mluvíme o triviální
aritmetické posloupnosti. Pro n-tý člen tedy platí:
an = a1 + (n − 1)d
Jednoduše můžeme odvodit, že pro dva členy posloupnosti platí:
ar = as + (r − s)d
Součet prvních n členů posloupnosti můžeme odvodit sčítáním prvků stejně
vzdálených od začátku a od konce. Vyjde nám28 :
sn =
28 Důkaz
– matematická indukce
n
(a1 + an )
2
21
POSLOUPNOST
21.4
80
Geometrická posloupnost
∀n ∈ N : an+1 = an q
∗
Číslo q ∈ R je kvocient posloupnosti. Pokud je roven jedné, mluvíme o triviální
geometrické posloupnosti. Pro n-tý člen tedy platí:
an = a1 q n−1
Jednodušem můžeme odvodit, že pro dva členy posloupnosti platí:
ar = as q r−s
Součet prvních n členů (pokud q 6= 1, pak sn = na1 )29 :
sn = a1
21.4.1
qn − 1
q−1
Úrokování
Praktické využití geometrické posloupnosti – dáno p% přírustkem.
p
p p n+1
an+1 = an + an
= an 1 +
= a0 1 +
100
100
100
Pokud počítáme úvěr se splácením – složené úrokování:
p −s
an+1 = an 1 +
100
Kde s je splátka. Pokud si vyjádříme vzorec pro n-tý člen, dojdeme k vzorci
podobnému pro součet členů geometrické posloupnosti:
p n
1 + 100
−1
p n
−s
an = a0 1 +
p
100
1 + 100 − 1
21.5
Limita posloupnosti
Popisuje chování posloupnosti pro velmi vysoká n, tedy n jdoucí k nekonečnu.
Pokud se hodnoty členů posloupnosti blíží určitému číslu, nazýváme jej limitou,
posloupnost je pak konvergentní (pozor, může se jednat i o limitu konvergující
k nekonečnu, kdy hodnoty členů stále stoupají). Limita ve vlastním bodě:
∀ε ∈ R+
∃n0 ∈ N
∀n ∈ N, n > n0
|an − a| < ε
⇒
lim an = a
n→∞
Pro každé kladné reální ε existuje přirozené n0 , při čemž pro všechna větší n
platí, že jsou v ε-okolí bodu a30 . Pak je bod a limitou posloupnosti.
Pokud chceme dokázat, že bod je limitou funkce, musíme najít vztah mezi
ε a n0 .
29 Důkaz
30 Okolí
opět matematickou indukcí.
bodu je dáno intervalem (a − ε; a + ε) a můžeme jej zapisovat Uε (a).
21
POSLOUPNOST
81
Pro konvergentní posloupnosti s nevlastní limitiou platí:
∀h ∈ R
∀d ∈ R
∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n > n0
∃n0 ∈ N
∀n ∈ N, n > n0
an > h
an < d
⇒
⇒
lim = ∞
n→∞
lim = −∞
n→∞
Posloupnost bez limity je divergentní.
21.5.1
Věty o limitách
Každá konvergetní posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Dokazuje se sporem, kdy předpokládáme, že posloupnost má dvě limity od
sebe vzdálené a hledáme ε okolí, pro které neplatí definice limity.
Konvergetní posloupnost je omezená.
Protože víme, že vždy existuje nějaké ε okolí bodu, pro které n0 = 1.
∞
Pokud máme posloupnosti (an )∞
n=1 a (bn )n=1 ,
pro které lim an = lim bn = a a posloupnost (cn )∞
n=1 ,
n→∞
n→∞
pro kterou ∃n0 , ∀n ∈ N, n > n0 , an ≥ cn ≥ bn , pak lim cn = a.
n→∞
Známa také jako věta o dvou policajtech, tedy pokud dvě konvergentní
funkce se stejnou limitou omezují od určitého bodu třetí funkci, má tato stejnou
limitu.
Máme-li dvě konvergentní posloupnosti lim an = a a lim bn = b, pak
n→∞
n→∞
platí31 :
• lim (an + bn ) = a + b
n→∞
• lim (an − bn ) = a − b
n→∞
• lim (an bn ) = ab
n→∞
an
bn
a
b
b 6= 0
• lim (can ) = ca
c∈R
• lim
n→∞
n→∞
21.6
=
Nekonečná řada
∞
X
an
(an )∞
n=1
n=1
Pokud si posloupnost vyjádříme pomocí posloupnosti (sn )∞
n=1 , kde sn =
n
P
k=1
pro součet nekonečné řady platí:
∞
X
an = lim sn
n=1
31 Všechny
důkazy vycházejí z definice limity.
n→∞
ak ,
21
POSLOUPNOST
82
Pokud je tímto součtem konkrétní číslo, řada je konvergentní.
21.6.1
Nekonečná geometrická řada
Pokud je absolutní hodnota kvocientu menší než jedna, je nekonečná geometrická řada konvergentní.
∞
X
n=1
21.7
an = lim a1
n→∞
a1
a1
qn − 1
=
lim (q n − 1) =
q−1
q − 1 n→∞
1−q
Eulerovo číslo
Eulerovo číslo lze vyjádřit jako limitu posloupnosti:
n
1
e = lim 1 +
n→∞
n
22
ZÁKLADY DIFERENCIÁLNÍHO POČTU
22
83
Základy diferenciálního počtu
Elementární funkce a jejich vlastnosti, limita funkce, funkce spojitá, nespojitá,
derivace funkce, geometrický a fyzikální význam derivace, pravidla pro derivování, derivace složené funkce, derivace funkce určené implicitně, tečna ke křivce,
extrémy funkcí a jejich užití ve slovních úlohách, průběh funkce
Elementární funkce – viz další otázky.
22.1
Okolí bodu
Okolí bodu je bod a „blízkéÿ body v danném topologickém prostoru. V oboru
reálných čísel se ε-okolím bodu a (ε ∈ R+ ) rozumí interval Uε (a) = (a−ε; a+ε).
Pro každý x bod okolí platí |x − a| < ε. Prakticky se tedy jedná o interval.
Levé okolí bodu je interval (a − ε; ai.
Pravé okolí bodu je interval ha; a + ε).
Prstencové okolí bodu je pak okolí bez bodu samotného. Pro jeho každý bod
x tedy platí 0 < |x − a| < ε.
22.2
Monotónnost a extrémy
Lokální extrém je bod funkce, jehož funkční hodnota je vyšší (maximum) nebo
nižší (minimum) než hodnoty bodů v některém jeho okolí.
V bodě a je lokální maximum, pokud platí:
∃ε ∈ R+ ∀x ∈ R, 0 < |x − a| < ε, f (a) > f (x)
Analogicky, v bodě a je lokální minimum, pokud platí:
∃ε ∈ R+ ∀x ∈ R, 0 < |x − a| < ε, f (a) < f (x)
Pokud je okolím bodu celý definiční obor, hovoříme o globálním extrému.
Fuknce je monotónní v danném otevřeném intervalu (tedy okolí bodu), pokud je v něm spojitá a nenacházejí se v něm žádné lokální extrémy. Rozlišujeme
více druhů monotónnosti – podle toho, co platí pro libovolné body x1 a x2
z daného intervalu (původně se definuje pro okolí bodu):
konstantní f (x1 ) = f (x2 )
rostoucí x1 > x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
klesající x1 > x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
nerostoucí x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
neklesající x1 > x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
22
22.3
84
Inflexe
Označení pro změny rychlosti růstu funkce, tedy zakřivení jejího grafu.
Funkce spojitá na otevřeném intervalu (a; b) je konvexní, jsou-li všechny její
funkční hodnoty intervalu pod spojnicí [a; f (a)] a [b; f (b)]. Naopak je konkávní,
jsou-li všechny funkční hodnoty intervalu nad touto spojnicí. Lineární funkce je
tedy zároveň konvexní a konkávní.
(a)
x + q, přičemž g(a) = f (a) a g(b) =
Tedy pokud definujeme g(x) = f (b)−f
b−a
f (b), funkce je konvexní, platí-li:
∀x ∈ ha; bif (x) ≤ g(x)
Naopak, je konkávní, jestliže:
∀x ∈ ha; bif (x) ≥ g(x)
Body, ve kterých funkce mění svou inflexi se nazývají inflexní body.
22.4
Spojitost funkce
Vlastnost funkce v okolí bodu (a také v bodě samotném). Funkce je spojitá
v intervalu právě tehdy, když je spojitá ve všech jeho bodech, spojitou funkci si
intuitivně lze představit jako funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, lépe
funkci, která pro libovolně malou změně x se f (x) změní libovolně málo.
Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně malému okolí
bodu f (a) můžeme najít takové okolí bodu a, že pro všechna x
z tohoto okolí patří f (x) do daného okolí f (a).
∀ε ∈ R+ ∃δ ∈ R+ : ∀x ∈ R, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Pro důkaz spojitosti v bodě je třeba nalézt vztah mezi ε a δ. Funkce může být
v bodě také spojitá jen zprava nebo jen zleva, kdy se pracuje s pravým nebo
levým ε okolím.
22.4.1
Spojitost v intervalu
Funkce je spojitá v otevřeném intervalu, je li spojitá ve všech jeho bodech.
Funkce je spojitá v uzavřeném intervalu ha; bi, je-li spojitá ve všech bodech
intervalu (a; b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.
22.4.2
Věty o spojitosti
Pakliže jsou v bodě a spojité funkce f (x) a g(x), jsou v bodě a spojité také
(x)
funkce f (x) + g(x), f (x) − g(x), f (x)g(x) a fg(x)
(za předpokladu, že g(a) 6= 0).
Věta Bolzanova-Weierstrassova: Nechť je f (x) spojitá v intervalu
ha; bi a platí, že f (a) 6= f (b). Pak ke každému k ∈ hf (a); f (b)i existuje c ∈ ha; bi,
pro které f (c) = k.
22
85
Věta Weierstrassova: Je-li f (x) spojitá v intervalu ha; bi, existuje alespoň jeden bod x1 ∈ ha; bi, že pro všechna x ∈ ha; bi platí f (x) ≤ f (x1 ) a
alespoň jedno x2 ∈ ha; bi takový, že pro všechna x ∈ ha; bi platí f (x) ≥ (x2 ).
Tedy, je-li funkce spojitá v daném uzavřeném (!) intervalu, má v něm minimum a maximum.
Darbouxova vlastnost: Nechť je f (x) spojitá na intervalu ha; bi a platí
f (a)f (b) < 0. Pak ∃c ∈ ha; bi takové, že f (c) = 0.
Důsledek věty B-W – pokud je funkce spojitá na intervalu, který začíná pod
osou x a končí nad osou x, nebo naopak, má v tomto intervalu kořen.
22.5
Limita funkce
Zatímco spojitost je vlastnost v okolí bodu, limita je vlasnost v prstencovém
okolí bodu (tedy bez bodu samotného). Funkce tedy nemusí být v bodě nutně
spojitá, aby v něm měla limitu a zajímat nás budou právě limity bodů nespojitosti.
Limita v bodě můžeme brát jako hodnotu, kterou by funkce v bodě měla,
kdyby do něj spojitě pokračovala.
Funkce f má v bodě a limitu L, jestliže k libovolně zvolenému
okolí bodu L existuje okolí bodu a takové, že pro všechna reálná
čísla x z tohoto okolí (x 6= a) náleží jejich funkční hodnoty f (x)
danému okolí bodu L.
lim f (x) = L
x→a
⇔
∀ε ∈ R+ ∃δ ∈ R+ ∀x ∈ R, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
Můžeme opět pracovat i s jednostrannými limitami v bodě – tj. pro x jdoucí
k bodu zprava nebo zleva. Pak platí:
lim f (x) = lim f (x) = L
x→a−
x→a+
22.5.1
⇒
lim f (x) = L
x→a
Nevlastní limita
Pokud funkce blížící se k bodu stále stoupá nebo klesá, mluvíme o nevlastní
limitě, tedy že:
lim f (x) = ±∞
x→a
Funkce má nevlastní limtu v bodě, pokud pro každé reálné K lze zvolit δ okolí
bodu takové, že hodnota všech x v něm ležících je větší (nebo menší) než K.
lim f (x) = ∞
x→a
⇔
∀K ∈ R∃δ ∈ R+ : 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > K
Obdobná je definice limity v −∞.
22
22.5.2
86
Limita v nevlastním bodě
Sleduje chování funkce pro vysoké absolutní hodnoty x, tedy pro x jdoucí k ±∞.
Funkce má v nevlastním bodě limitu L, pokud pro každé okolí L existuje takové
x0 , že pro všechna větší (nebo menší) x leží f (x) v tomto okolí.
lim f (x) = L
x→∞
∀ε ∈ R+ ∃x0 ∈ R : x > x0 ⇒ |f (x) − L| < ε
⇔
Obdobně je tomu pro x jdoucí k −∞.
22.5.3
Nevlastní limita v nevlastním bodě
Pokud pro x jdoucí k ±∞ funkce stále stoupá nebo klesá, hovoříme o nevlastní
limitě v nevlastním bodě. Funkce má v nevlastním bodě nevlastní limitu, pokud
pro každé reálné K existuje takové x0 , že pro všechna větší (nebo menší) x je
f (x) větší (nebo menší) než K.
lim f (x) = ∞
x→∞
⇔
∀K ∈ R∃x0 ∈ R : x > x0 ⇒ f (x) > K
Obdobně je tomu pro opačné limity a x jdoucí do opačného extrému.
22.5.4
Věty o limitě
Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu.
Důkaz provádíme sporem – dvě různé limity a z definice hledáme ε-okolí,
pro které nemůžeme najít žádné společné δ-okolí.
Funkce f (x) je v bodě a spojitá právě tehdy, když lim f (x) =
x→a
f (a).
Důkaz je třeba provádět oběma směry. Prakticky vyplývá z podobnosti definic spojitosti a limity.
Jestliže pro všechna x 6= a z určitého okolí bodu a platí f (x) =
g(x) a současně lim f (x) = L, pak také lim g(x) = L.
x→a
x→a
Důkaz postaven na definici limity v okolí. Spolu s předchozí větou umožňuje
počítat limity nespojitých funkcí v bodě a tím, že je nahradíme funkcí v bodě
a spojitou, jejíž limita je dána funkční hodnotou.
Jestliže pro všechna x 6= a z určitého okolí bodu a platí, že g(x) ≥
f (x) ≥ h(x) a lim g(x) = lim h(x) = L, pak také lim f (x) = L32 .
x→a
x→a
x→a
Umožňuje nám určit jednu důležitou limitu:
lim
x→0
32 Také
věta o dvou policajtech
sin x
=1
x
22
22.5.5
87
Výpočet limity
Využíváme známých limit, popřípadě nahrazení spojitou funkcí a následující
věty:
Jestliže lim f (x) = A a lim g(x) = B, pak platí (podobně jako u spojitosti):
x→a
x→a
1. lim [f (x) + g(x)] = A + B
x→a
2. lim [f (x) − g(x)] = A − B
x→a
3. lim f (x)g(x) = AB
x→a
f (x)
x→a g(x)
4. lim
=
A
B (B
6= 0)
5. lim Cf (x) = CA(C ∈ R)
x→a
22.5.6
Asymptota funkce
Asymptota je funkce je přímka, ke které se funkce pro x jdoucí k určitému bodu
přibližuje (avšak nikdy se jí nedotkne).
Asymptoty se směrnicí Přímku y = ax+b nazveme asymptotou se směrnicí
funkce, jestliže
lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→±∞
Protože platí, že limita pro x jdoucí k ±∞ je nulová, tím spíše platí, že když
funkci podělíme x, bude limita také nuová. Protože b je konstanta, můžeme ji
vynechat z limity.
f (x)
x→±∞ x
a = lim
b = lim (f (x) − ax)
x→±∞
Asymptoty bez směrnice Tedy přímky rovnoběžné s osou x. Zatímco asymptotu
se směrnicí může funkce protnout, asymptotu bez směrnice nemůže (nebyla by
to funkce).
Pokud má funkce v bodě a alespoň jednu jednosměrnou nevlastní limitu, je
asymptota bez směrnice přímka x = a.
22.6
Derivace
Určuje směrnici tečny v bodě. Postupujeme následovně. Vezměme si sečnu funkce,
která ji protíná v bodech [x0 ; f (x0 )] a [x; f (x)], kde x > x0 . Její směrnice je
f (x)−f (x0 )
. Tečna je vlastně limitou sečny, kdy oba body splývají, proto:
x−x0
f 0 (x0 ) =
df (x)
f (x) − f (x0 )
= lim
x→x
dx
x − x0
0
22
88
Za předpokladu, že se jedná o vlastní limitu. Také ji můžeme zapsat ve tvaru,
kdy místo druhého bodu bereme přírustek vzdálenosti, ∆x:
f (x0 + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
f 0 (x0 ) = lim
Můžeme definovat i jednostrannou definici, pro ∆x jdoucí k nule zleva a
zprava.
Funkce má derivaci v intervalu (a; b), jestliže má derivaci v každém jeho
bodě. V intervalu ha; bi má derivaci, má-li derivaci v intervalu (a; b) a v bodě a
má derivaci zprava a v bodě b zleva.
22.6.1
Věty o derivaci
Jestliže funkce f, g mají v bodě derivaci, pak má v bodě derivaci také součet,
rozdíl, součin a podíl (za předpokladu, že g(x0 ) 6= 0) funkcí. Platí:
1. (cf )0 (x) = cf 0 (x)(c ∈ R)
2. (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
3. (f − g)0 (x) = f 0 (x) − g 0 (x)
4. (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
f
(x) =
5.
g
g 2 (x)
Jestliže f (x) má derivaci v bodě x a g(x) má derivaci v bodě f (x), má
složená funkce g(f (x)) derivaci v bodě x a platí:
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x)
22.6.2
L’Hospitalovo pravidlo
Nechť je limita funkcí f (x) a g(x) pro x jdoucí k určitému bodu rovna nule nebo
0
(x)
vlastní nebo nevlastní limitu. Pak:
nekonečnu a zároveň má funkce fg0 (x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
22.6.3
Derivace elementárních funkcí
0
(c) = 0 c ∈ R
(xa )0 = axa−1
(ex )0 = ex
a∈R
22
89
(ax )0 = ax ln a
x 0
(xx ) = eln x
= (ex ln x )0 = ex ln x (ln x + 1) = xx (ln x + 1)
(ln x)0 =
1
x
(loga x)0 =
1
x ln a
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
(arctg x)0 =
22.6.4
1
1+x2
Fyzikální význam33
Derivace je mírou změny jedné veličiny vzhledem k druhé.
dy
∆y
= lim
dx ∆x→0 ∆x
Velký význam mají derivace podle času, vyjadřující rychlost změny nějaké veličiny v čase:
d~s .
d~v
d2~s
. ..
~v =
=s
~a =
=
=v=s
dt
dt
(dt)2
Opačným postupem, integrací můžeme ze zrychlení dojít k okamžité rychlosti a
z ní k dráze. Všimněme si především konstant, které značí počáteční rychlost a
dráhu.
Z
Z
Z
1
v = adt = at + v0
s = vdt = (at + v0 )dt = at2 + v0 t + s0
2
Velký význam je také pro výpočet práce, která je dána určitým integrálem
(tj. obsahem obrazce pod křivkou), působící síly podle délky. Také významné
pro kruhový děj (p = FS ):
Z
Z
W = F (s)ds = p(V )dV
22.7
Průběh funkce
Snaží se zjistit alespoň přibližný průběh grafu funkce, hledají se body, které
funkci dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost.
Rolleova věta: Jestliže je funkce definována v intervalu hA; Bi, je v něm
spojitá, má derivaci v intervalu (A; B) a f (A) = f (B), ∃C ∈ (A; B) : f 0 (C) = 0
Lagrangeova věta: Jestliže je funkce definována v intervalu hA; Bi, je
(B)
.
v něm spojitá a má derivaci v intervalu (A; B), ∃C ∈ (A; B) : kC = f (A)−f
A−B
Tedy existuje bod, jehož tečna je rovnoběžná s přímkou AB. Z této věty
vychází většina postupů při určování průběhů funkce.
33 Shrnu
tady celkový fyzikální význam infinitezimálního počtu.
22
22.7.1
90
Monotónnost
Pokud je v intervalu první derivace funkce nulová, je funkce konstantní. Potom,
je-li derivace kladná, funkce je rostoucí, je-li první derivace záporná, je klesající.
Stacionární body funkce jsou body, ve kterých je první derivace nulová. Jsou
„podezřeléÿ z toho, že jsou lokálním extrémem.
Má-li funkce v bodě lokální extrém a má v něm derivaci, je tato
rovna nule.
Další body, které můžou být extrémy jsou body nespojitosti funkce a derivace
funkce. Kontrola probíhá pomocí monotónnosti nebo druhé derivace (kladná –
minimum, záporná – maximum).
22.7.2
Inflexe
Pokud je v intervalu druhá derivace funkce kladná, je funkce konvexní, pokud
záporná, je konkávní. Body, kde je nulová jsou „podezřeléÿ z toho, že se v nich
mění inflexe funkce – jsou to inflexní body. Další body, ve kterých se může měnit
inflexe jsou body nespojitosti funkce a její první a druhé derivace.
22.7.3
Postup
1. Určení Df a popřípadě Hf .
2. Zjištění souměrnosti – sudost, lichost, perioda.
3. Určení limit v bodech nespojitosti a nevlastních bodech.
4. Určení stacionárních bodů (f 0 (x) = 0).
5. Určení monotónnosti a extrémů.
6. Určení inflexních bodů (f 00 (x) = 0).
7. Určení inflexe a bodů, ve kterých se mění.
8. Určení asymptot.
9. Výpočet funkčních hodnot ve významných bodech.
10. Zakreslení grafu.
23
VÝROKOVÁ LOGIKA, DŮKAZOVÉ METODY
23
91
Výroková logika, důkazové metody
Výrok, operace s výroky, pravdivostní hodnoty, složené výroky, úsudek a jeho
ověřování – slovní úlohy, negace výroků složených – slovní úlohy, užití výrokové
logiky ve slovních úlohách, důkaz přímý, nepřímý, sporem, matematická indukce,
obměna a obracení vět.
Co úsudek? Jak se ověřuje?
výrok Z hlediska logiky je výrok tvrzení (sdělení), o kterém lze jednoznačně říci,
zda je pravdivé. Může být zapsán více způsoby – vždy tvoří jistý způsob
oznamovací věty (může být zapsán matematickými symboly). Klasicky se
značí písmeny latinské abecedy.
pravdivostní hodnota Tedy jestli je výrok pravdivý nebo nepravdivý. Alternativní značení je číslem 1 (pravdivý) a 0 (nepravdivý). V algebře tvoří
množina těchto stavů a operací na nich definovaných Booleovu algebru 34 .
obor pravdivosti Výrok se vždy týká nějaké množiny, obor pravdivosti je pak
ta podmnožina dané množiny, pro kterou je výrok pravdivý.
23.1
Složený výrok
Jednoduchým výrokem je rozuměn takový výrok, který je z logického hlediska
nedělitelný. Složené výroky se pak vytvářejí spojením jednoduchých prostřednictvím logických operátorů (spojek).
negace Unární logická operace, která obrací pravdivostní hodnotu.
konjunkce Logické „aÿ, logický součin. Složený výrok je pravdivý pouze tehdy,
jsou-li oba výroky pravdivé.
disjunkce Logické „neboÿ, logický součet. Složený výrok je pravdivý tehdy,
je-li alespoň jeden z výroků pravdivý.
exklusivní disjunkce Logické „buď – a neboÿ. Složený výrok je pravdivý
tehdy, je-li právě jeden z výroků pravdivý.
implikace Logické „když – pakÿ.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A⇒B
1
0
1
1
ekvivalence Logické „právě tehdy, kdyžÿ. Složený výrok je pravdivý tehdy,
je-li pravdivostní hodnota obou výroků stejná.
34 Není bez zajímavosti, že se na Booleovu počest pojmenovávají datové typy obsahující
pravdivostní hodnotu.
23
92
negace not
¬A
Ā, A0
konjunkce and A ∧ B ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
disjunkce
or
A ∨ B ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
exkluse xor
A∨B
⊕
implikace
A ⇒ B ¬(A ⇒ B) ⇔ A ∧ ¬B
ekvivalence
A ⇔ B ¬(A ⇔ B) ⇔ A∨B
Zajímavé je, že všechny logické operace lze vytvořit pouze pomocí dvou
logických operací (negace a například konjunkce).
tautologie Složený výrok, který je pravdivý nezávisle na pravdivostních hodnotách výroků, z nichž je složen.
kontradikce Složený výrok, který je nepravdivý nezávisle na pravdivostních
hodnotách výroků, z nichž je složen.
Negací tautologie vzniká kontradikce a naopak.
23.2
Predikát
Jedná se o rozšíření výroku, protože výroky nedokáží vyjádřit složitější matematické vztahy. K výroku přidává kvantifikátor a vztah k prvku množiny.
Klasickým příkladem je věta „Pro všechna reálná čísla x platí. . . ÿ.
∀ – universální kvantifikátor Pro každý prvek dané množiny platí. . .
∃ – existenční kvantifikátor Existuje prvek dané množiny, pro který platí. . .
∀x ∈ M : v(x) ⇔ @x ∈ M ¬v(x)
23.3
Úsudek35
Úsudkem rozumíme postup, kdy se jeden výrok odvozuje z dalších (nejčastěji
dvou) výroků (premis). Nejčastějšími chybami, ke kterým při tvorbě úsudku
dochází jsou:
1. Neplatnost premis
2. Úsudek z premis nevyplývá
3. Úsudek z premis nemůže vyplynout, protože nejsou v odpovídajícím vztahu.
23.4
Matematické důkazy
Demonstrace pravdivosti tvrzení na základě určitých předpokladů (axiomů).
Tím, že je založen čistě na matematické logice z něj dělá nejjistější známý způsob
ověření tvrzení.
35 Na
Wikipedii je to pod Sylogismem
23
23.4.1
93
Přímý důkaz
Používá se k důkazu implikace. Za pomocí axiomů se postupuje řetězem implikací od levé části implikace po pravou.
Pokud se má dokázat ekvivalence, je třeba provést dva důkazy – každý jiným
směrem.
23.4.2
Nepřímý důkaz
Také se používá k důkazu implikace, její obměnou, která má stejné pravdivostní
hodnoty. Postupuje se opět řetězcem implikací.
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
23.4.3
Důkaz sporem
Řetězem implikací se prokáže, že předpoklad vede ke sporu (tedy nesmyslnému
výsledku) – s axiomy nebo sebou samým, čímž je dokázáno, že předpoklad
neplatí a tím platí jeho negace.
23.4.4
Matematická indukce
Váže se především na universální kvantifikátor, kdy prvky množiny rozdělí do
posloupnosti a dokáže se:
1. Výrok platí pro první člen.
2. Pokud výrok platí pro libovolný člen posloupnosti (indukční předpoklad),
platí i pro následující (indukční krok).
Pak můžeme říci, že výrok platí pro všechny prvky množiny. S výhodou se
tento postup používá na množiny s nekonečným počtem prvků (pozor, spočetné
nekonečno) – například pro přirozená čísla.
24
MNOŽINY ČÍSELNÉ A BODOVÉ
24
94
Množiny číselné a bodové
Operace s množinami, užití bodových množin v planimetrii, obvodový a středový úhel, konstrukční úlohy o kružnicích, množiny bodů analyticky, číselné
obory, intervaly, slovní úlohy s užitím Vennových diagramů, grafy binárních
relací v R2 , grafy oborů pravdivosti výrokových forem v komplexním oboru
(Gaussova rovina).
Další otázka, kde je třeba dobře si poradit s příklady. Některé věci
jsou v jiných otázkách – hlavně ty kružnice.
Binární relace – viz funkce.
Vennovy diagramy jsou snad jasné.
Množinou rozumíme souhrn předmětů, prvků dané množiny, na jejichž
uspořádání v rámci množiny nezáleží (důležité je pouze, zda objekt je nebo
není prvkem množiny). Prvkem množiny mohou být i jiné množiny. Určujeme
ji:
výčtem prvků Nezáleží na pořadí a každý prvek je zastoupen pouze jednou.
M = {a; b; c}
Množina, která nemá žádný prvek je prázdná množina a značí se ∅.
charakteristickou vlastností Tedy všechny objekty, pro které platí daný výrok.
M = {x : V (x)}
Pozor, ne všechny soubory prvků definované charakteristickou vlastností
jsou množiny.
pomocí jiných množin Prakticky se jedná o určení charakteristickou vlastností.
Množina, která má konečný počet prvků je konečná množina, s nekonečným
počtem prvků nekonečná množina.
Univerzální množina (U ) je množina všech objektů, které jsou relevantní
v rámci daného problému, tedy všechny objekty o kterých v daném kontextu
uvažujeme.
To, že objekt je prvkem dané množiny značíme:
x∈A
24.1
Mohutnost množiny
Vyjadřuje velikost konečných i nekonečných množin. Je dána zobrazeními:
• Množina A má stejou nebo menší mohutnost než B, existuje-li zobrazení
f : A → B, které je injektivní (tj. zobrazují se všechny prvky množiny A).
A4B
24
95
• Množina A má stejnou mohutnost jako množina B, existuje-li zobrazení
f : A → B, které je bijektivní (tj. prosté).
A≈B
• Množina A má menší mohutnost než množina B, existuje-li zobrazení
f : A → B, které je injektivní, ale není bijektivní.
A≺B
U konečných množin je prakticky dána počtem prvků.
Cantorova věta říká, že mohutnost každé množiny je menší než mohutnost
její potenční množiny (tedy množiny všech jejích podmnožin).
∀X : X ≺ P(X)
Potenční množina se také značí 2X , podle počtu svých prvků.
24.2
Množinové operace
Rovnost množin je určena tím, že objekt je členem jedné množikdyž je členem
druhé.
A = B ⇐⇒ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B
Podmnožina dané množiny je určena tím, že každý její prvek musí být zároveň
i prvkem dané množiny.
A⊂B
⇔
∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B
Sjednocení Množina všech prvků, které jsou alespoň v jedné z množin.
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
Asociativní a komutativní operace. Neutrální prvek je ∅ a sjednocením
s U je opět U . Mohutnost sjednocení je nejméně rovna mohutnosti větší
z množin.
Průnik Množina všech objektů, které jsou zároveň prvky obou množin.
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Asociativní a komutativní operace. Neutrální prvek je U , zatímco sjednocením s ∅ je opět ∅. Mohutnost průniku je nejvýše rovna mohutnosti
menší z množin.
Doplňek Množina prvků množiny, které nepatří do dané množiny.
A0B , A ⊂ B = {x : x ∈ B ∧ x ∈
/ A}
A0U = A0
24
96
Rozdíl Množina všech prvků dané množiny bez těch prvků, které se zároveň
nacházejí i v jiné množině.
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
Kartézský součin Je množina všech uspořádaných dvojic, jejichž první prvek
je prvkem první množiny a druhý prvek prvkem druhé množiny.
A × B = {[x; y] : x ∈ A ∧ y ∈ B}
24.3
Grupa
Algebraická struktura – množina spolu s operací (∗). Splňuje axiómy:
1. Asociativita – a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Z asociativity plyne uzavřenost –
výsledek musí být stejného typu jako operandy.
2. V množině existuje neutrální prvek – operace jakéhokoli prvku množiny
s ním dává za výsledek daný prvek.
3. V množině existuje ke každému prvku prvek inverzní – operace prvku a
inverzního prvku dává za výsledek neutrální prvek.
24.4
Číselné obory
Číslo je abstraktní entita užívaná pro vyjádření množství. Číselné obory jsou
pak množiny těchto čísel.
24.4.1
Přirozená čísla N
Základní číselný obor, vyjadřuje počet – přiděluje určitého čísla skupině objektů,
které považujeme za nedělitelné. Matematicky se definují složitě, můžeme je
stanovit tím, že existuje číslo nula vyjádřené prázdnou množinou a pak jsou
čísla, z nichž každé obsahuje předchozí:
0=∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0; 1} = {0; {0}} = {∅, {∅}} . . .
Jedná se o množinu nekonečnou, ale spočetnou. Přirozené číslo může označovat velikost konečné množiny. Kardinální číslo (obecné číslo vyjadřující velikost
množiny) vyjadřující velikost množiny přiřozených čísel (a zároveň všech spočetných nekonečných množin) je ℵ0 .
Základní operace definované na oboru přirozených čísel je násobení a sčítání.
Jsou na množině přirozených čísel komutativní (nezáleží na pořadí), asociativní
a uzavřené. Neutrální prvek existuje pouze pro násobení 1 a pro žádnou operaci neexistuje inverzní prvek, proto s nimi netvoří grupu. Definovat lze také
umocňování a s jistými specifikacemi i odčítání a dělení.
24
24.4.2
97
Celá čísla Z
Tvoří je nula, přirozená čísla a čísla inverzní vzhledem ke sčítání (tj. zrcadlově
podle nuly, tedy záporná čísla). První množina tvořící grupu se sčítáním.
Nekonečná spočetná množina s kardinalitou ℵ0 – pokud si je seřadíme 0, 1, −1, 2, −2, . . .,
můžeme jim přiřazovat přirozená čísla a naopak.
24.4.3
Racionální čísla
Q=
na
: a ∈ Z, b ∈ N
o
b
Je tedy na nich definováno dělení. Q∗ (tedy bez nuly) je první množina tvořící
grupu s násobením.
Můžeme je zapsat ve formách:
1. zlomek – viz definice
2. desetinné číslo s ukončeným desetinným rozvojem
3. desetinné číslo s neukončeným periodickým desetinným rozvojem
Číslo s periodickým desetinným rozvojem převádíme na zlomek následovně.
1. Zjistíme si počet řádů periody – n.
2. Vynásobíme číslo 10n a odečteme od něj původní číslo, čímž se zbavíme
periody.
3. Výsledné číslo vydělíme 10n − 1 (postupujeme podle rovnice).
a = 0,1̄
10a = 1,1̄
9a = 1
a = 19
I racionální čísla jsou spočetná s kardinalitou ℵ0 . Můžeme si to ukázat, pokud
si je vhodně zařadíme do tabulky.
1 2 ···
1
1 2 ···
1
1
1
2
···
2
2
2
1
2
1
···
3
3
3
.. .. .. . .
.
. . .
Při přiřazování začneme nulou a pak jdeme po úhlopříčce 0, 1, −1, 12 , − 12 , 2, −2, . . .
Racionální čísla tedy nezaplňují celou číselnou osu, vždy jsou tam mezery,
byť nekonečně malé.
24
24.4.4
98
Reálná čísla
Taková čísla, kterým můžou být jednoznačně přiřazeny body číselné osy. Kromě
racionálních čísel jsou to čísla iracionální, která nelze zapsat ve tvaru racionálního čísla. Jako se k racionálním číslům dostáváme se zavedením
√ dělení, dostáváme se k reálným se zaváděním mocnění, kdy například číslo 2 nelze vyjádřit
racionálně36 , ale reálně existuje (například úhlopříčka čtverce o délce 1).
Můžeme je dále rozlišit na algebraická čísla, která jsou kořenem nějakého
polynomu s racionálními koeficienty a čísla transcendentální, která tak vyjádřit
nejdou (například π nebo e).
24.4.5
Interval
Interval je množina reálných čísel leží „meziÿ dvěma reálnými čísly, tedy že pro
každé x z intervalu mezi čísly a a b platí: a < x < b Omezené intervaly určují
úsečku na číselné ose.
uzavřený interval Daný krajní bod patří do intervalu.
otevřený interval Daný krajní bod nepatří do intervalu.
Neomezené intervaly určují polopřímku, popřípadě přímku na číselné ose.
Zavádí se symboly ±∞, které značí pokračování „a tak dáleÿ. Ze strany, kde
jsou neomezené, jsou vždy otevřené – ±∞ není skutečný bod.
24.5
Vennovy diagramy37
Slouží k znázornění vztahů mezi více množinami. Pozor, častou chybou je neznázornění všech oblastí – například některých průniků. Vennuv diagram pro n
množin má 2n oblastí (souvisí s variacemi s opakováním – každá oblast může
nebo nemusí být podmnožinou každé z množin).
36 Důkaz
sporem.
snad nemusím vysvětlovat.
37 Základy
25
UŽITÍ TRIGONOMETRIE VE SLOVNÍCH ÚLOHÁCH
25
99
Užití trigonometrie ve slovních úlohách
Řešení trojúhelníku a čtyřúhelníku početně i konstrukčně, sinová, kosinová věta,
vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníku, výpočet poloměru kružnice vepsané,
opsané, slovní úlohy z fyziky a praxe, tabulky, kalkulačka, vztahy mezi goniometrickými funkcemi.
Není to moc obsáhlé. . .
Řešením obrazce se rozumí nalezení všech jeho parametrů na základě několika zadaných. Výsledkem řešení bývají délky stran a vnitřní úhly.
Trigonometrie je oblast goniometrie zabývající se využitím goniometrických
funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.
25.1
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
Připomeňme jen, že pokud máme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem
při vrcholu C a úhel α (dle klasického značení), platí pro goniometrické funkce
tohoto úhlu:
b
a
a
cos α =
tg α =
sin α =
c
c
b
Dále platí následující vztahy:
sin2 x + cos2 x = 1
Důkaz z Pythagorovy věty.
cos x = sin
π
2
−x
Z jednotkové kružnice – otočení.
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
Důkaz provádíme například pomocí skalárního součtu vektorů, kdy si určíme
jednotkové vektory ~u(sin α; cos α), který svírá s osou x úhel α, a ~v = (cos β; sin α),
který svírá úhel β s osou y. Pak pro úhel ϕ, který oba vektory svírají platí (v ortonormálním systému):
α+β+ϕ=
π
2
⇒
cos ϕ = sin(α + β)
Pak můžeme postupovat dle skalárního součinu:
cos ϕ =
~u · ~v
= sin α cos β + cos α sin β = sin(α + β)
|~u||~v |
U jiných vzorců postupujeme podobně.
25
100
Z těchto vzorců můžeme vyjádřit vzorce pro dvojnásobný úhel:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Vzorce pro poloviční úhel můžeme získat rozepsáním cos x = cos2
vyjádřením požadované funkce. Vyjde nám:
r
r
x
1 − cos x
x
1 + cos x
sin =
cos =
2
2
2
2
sin x ± sin y = 2 sin
x
2
− sin2
x
2
a
x∓y
x±y
cos
2
2
x+y
x−y
x+y
x−y
cos
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
2
2
Dokážeme ze součtových vzorců, pokud si argumenty funkcí rozepíšeme:
cos x + cos y = 2 cos
x=
25.2
x+y x−y
+
2
2
y=
x+y x−y
−
2
2
Sinová věta
Poměr všech délek stran a sinů protilehlých úhlů v trojúhelníku je
konstantní.
a
b
b
=
=
= 2r
sin α
sin β
sin γ
Kde r je délka kružnice opsané.
Mějme trojúhelník ABC (klasické značení) a jeho kružnici opsanou k(S; r).
Pak přímka SSBC je osa strany BC, která ji dělí na poloviny a je k ní kolmá.
Zároveň je osou úhlu <
) BSA, který má velikost 2α (podle věty o středovém a
obloukovém úhlu). Máme tedy pravoúhlý trojúhelník BSSBC (pravý úhel při
vrcholu SBC ). Z něj pak platí:
sin α =
a
a
⇒ 2r =
2r
sin α
Analogicky bychom postupovali pro další úhly.
25.3
Cosinová věta
Zobecnění Pythagorovy věty pro nepravoúhlé trojúhelníky.
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Analogicky platí pro další jiné úhly.
25
101
Mějme pravoúhlý trojúhelník KBC (přepona BC) a na úsečce KB bod A.
Označme si velikosti úhlu | <) BAC| = α. Z Pythagorovy věty platí:
|CK|2 = a2 − (c + x)2
|CK|2 = b2 − x2
Z toho tedy platí:
a2 = b2 + c2 + 2cx
Protože cos(π − α) = − cos α = xb , platí:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
25.4
Obsah trojúhelníka
Polovina velikosti vektorového součinu dvou stran trojúhelníka je stejná jako
velikost obsahu. Platí také, že obsah je dán polovinou součinu strany a k ní
příslušející výšky:
1
1
1
S = ava = bvb = cvc
2
2
2
Protože výška dělí trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky, pro které platí
goniometrické funkce (a tedy vc = b sin α):
S=
1
1
1
ab sin γ = ac sin β = bc sin α
2
2
2
Pokud neznáme velikost výšky, použijeme Heronův vzorec:
S=
p
s(s − a)(s − b)(s − c), s =
a+b+c
2
Protože výška rozděluje trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky, platí (ukážeme si na vc ):
c2a = a2 − vc2
c2b = (c − ca )2 = b2 − v 2
Odečtením dostaneme následující rovnici, z které si vyjádříme ca :
c2 − 2cca = b2 − a2
⇒
ca =
a2 + c2 − b2
2c
Dosazením do rovnice c2a = a2 −v 2 dostaneme výšku, kterou dosadíme do rovnice
pro obsah, kdy nám po úpravách vyjde:
p
(a + b + c)(a + c − b)(a + b − c)(b + c − a)
S=
4
Což dosazením 2s = a + b + c upravíme na konečnou podobu.
Ze sinové věty platí, že r sin α = a2 . Výšku va pak můžeme vyjádřit jako
b sin γ, pričemž b = 2r sin β. Proto tedy ze vzorce S = a2 va platí:
S = 2r2 sin α sin β sin γ =
abc
4r
25
25.5
102
Poloměry kružnic
Poloměr kružice opsané nejsnáze vyjádříme ze sinové věty, popřípadě posledního
vzorce pro obsah.
r=
a
abc
ab
bc
ac
=
=
=
=
2 sin α
4S
2vc
2va
2vb
Pro poloměr kružnice vepsané platí:
%=
S
a+b+c
,s =
s
2
Můžeme odvodit ze vzorce pro výpočet obsahu pomocí kružnice vepsané, kdy
její poloměry kolmé ke stranám dělí trojúhelník na tři části složené vždy ze dvou
pravoúhlých trojúhelníků.
26
26
PLATÓNSKÁ TĚLESA
103
Platónská tělesa38
Pravidelný konvexní mnohostěn, jehož stěny tvoří stejné pravidelné mnohoúhelníky. Z každého jeho vrcholu vychází stejný počet hran.
tetraedr Pravidelný čtyřstěn, tvořen čtyřmi rovnostrannými trojúhelníky. Spojením středů hran vznikne pravidelný osmistěn (viz níže).
hexaedr Krychle, tvořena šesti čtverci. Spojením středů stěn vzniká pravidelný
osmistěn.
oktaedr Pravidelný osmistěn, tvořen osmi rovnostrannými trojúhelníky.
dodekaedr Pravidelný dvanáctistěn, tvořen dvanácti pravidelnými pětiúhelníky. Spojením středů stran vznikne pravidelný dvacetistěn (viz níže).
ikosaedr Pravidelný dvacetistěn, tvořen dvaceti rovnostrannými trojúhelníky.
Vztah mezi hranami (h), vrcholy (v) a stěnami s konvexního mnohostěnu
určuje Eulerova věta:
v−h+s=2
38 Nevím,
kam to zařadit, ale mohl by se zeptat.
Vytvořeno na zákledě autorových znalostí, zápisů z matematiky (tj. díky
M. Vavrošovi) a Wikipedie (cs.wikipedia.org). Některé části jsem částečně čerpal
z učebnic edice Matematika pro gymnázia nakladatelství Prometheus.
Toto shrnutí není určeno jako výukový materiál (některé věci jsem možná
dost odbyl), pouze jako základ pro opakování.
c
Tomáš
Vejpustek 2008 GNU GPL

Matematika

Transkript

Podobné dokumenty

Ukázkové příklady k zápočtového testu č. 1

Vytisknout ve skutečné velikosti

Stáhnout PDF - Asociace inkasních agentur

Funkce – příklady pro opakování 1) Určete definiční obory funkcí: a

EXILIM EX-ZR20 Základní parametry: Umění v okamžiku Prodejní

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa