Helikoptéra (Spel)

..
..
..
..
..
15.12.2001
Systémy a modely
Helikoptéra (Spel)
.
.
.
.
.
.
Petr Česák, studijní skupina 305
Zimní semestr 2001/2002
.
.
.
.
..
..
..
..
..
Helikoptéra (Spel)
Identifikace a nalezení modelu
ZADÁNÍ
Identifikujte systém tvořený jedním vstupem (napětí na pomocný motor) a
výstupem je azimut vrtulníku. Vrtulník je zaaretován v pevné poloze. Pro snímání
charakteristik vytvořte simulinkové schéma v Simulinku pro Matlab 5.3. nebo
použijete připravený m-file.
a) změření přechodových charakteristik
Zvolili jsme si napětí na pomocném rotoru Uin=0,2V. Experimentálně jsme
donastavili napětí na hlavním rotoru tak, aby se helikoptéra ustálila v klidové poloze.
Zjistili jsme, že nejoptimálnější hodnota je Ur=0,555V.
Po stabilizaci jsme změřili několik přechodových charakteristik. Měřili jsme je
pro změnu vstupního napětí po kroku 0,025V až do hodnoty 0,3V. Z naměřených
přechodových charakteristik jsme použili jen ty, které byly v rozsahu změn napětí
0,1V až 0,3V a pro identifikaci využili přechodovou charakteristiku se změnou
vstupního napětí o 0,175V.
b) identifikace z přechodových charakteristik
Pro identifikaci soustavy jsme postupovali podle následujícího postupu:
Přechodová charakteristika
Ze změřené přechodové charakteristiky určíme: t0, h(t0), k(směrnice tečny)
Petr Česák, 305
1
15.12.2001
Z následující tabulky určíme n:
n
1
2
3
4
5
6
h(t0)/k
0,368
0,271
0,224
0,195
0,175
0,161
Poté aproximační přenos neznámého systému bude ve tvaru:
G (s) =
k
t
s (1 + 0 s ) n
n
Identifikace pro jednotlivé přechodové charakteristiky jsou uvedeny v příloze.
Protože se helikoptéra ustálila pokaždé na jiné hodnotě, odečetli jsme od
přechodové charakteristiky takové číslo, aby přechodová charakteristika vycházela
z nulového počátečního bodu – přechodovou charakteristiku jsme měřili až po 10
sekundách, kdy se systém ustálil. Protože jsme neprováděli jednotkový skok, museli
jsme přechodovou charakteristiku vynásobit konstantou tak, aby přechodová
charakteristika odpovídala jednotkovému vstupu.
Pokud upravíme pro n=2:
G ( s) =
A
B2
A
=
s (1 + Bs) 2 s 3 + 2 s 2 + 1 s
B
B2


0 0
0 

1 
A = 1 0 − 2 , B =
B 

0 1 − 2 
B 

 A
 B2 
 0 , C = [0 0 1], D = [0]
 
0
 
Pro identifikaci helikoptéry jsme si zvolili přechodovou charakteristiku pro změnu
vstupního napětí 0,175V:
G (s) =
1,726
1,726
1,726
=
=
2
2
2
s (1 + 0,657 s )
s (1 + 2 ⋅ 0,657 ⋅ s + 0,657 ⋅ s ) 1 ⋅ s + 2 ⋅ 0,657 ⋅ s 2 + 0,657 2 ⋅ s 3
1,726
3,999
0,657 2
G (s) =
= 3
2
0,657 2
1
s3 + 2
s +
s s + 3,044 s + 2,317 s
2
2
0,657
0,657
0 
0 0

A = 1 0 − 2,317, B =
0 1 − 3,044 
Petr Česák, 305
3,999
 0 , C = [0 0 1], D = [0]


 0 
2
15.12.2001
Pozorovatelná kanonická forma:
Porovnání dvou identifikací (v příloze uvedeny jako):
G ( s) =
3,999
s + 3,044s 2 + 2,317 s
(b)
G(s) =
4,484
s + 3,273s 2 + 2,678s
(a)
3
3
Provedli jsme identifikaci ze všech naměřených přechodových charakteristik.
Ukázalo se, že pro malé změny (cca 0,1V) se model helikoptéry nepodařilo správně
identifikovat (značné rozdíli proti reálnému modelu). I při měření bylo jasné, že tyto
charakteristiky budou k nepoužití, neboť se helikoptéra po vychýlení ustálila – i když
by neměla – špatné vyvážení. Lépe vychází (b).
Petr Česák, 305
3
15.12.2001
c) nalezení rovnic
Fyzikální model Helikoptéra-SPEL je modelem se dvěma stupni volnosti, které
jsou zároveň výstupy soustavy. Vstupem jsou napětí na obou motorech a poloha
těžiště, výstupem je poloha vrtulníku daná úhlem elevace a azimutální polohou.
Při měření byla zaaretována svislá poloha, helikoptéra se mohla tedy otáčet jen
kolem svislé osy. Pokud je síla F=0N, pak se sobě oba momety (momenty vytvořené
hlavním a pomocným rotorem, působící navzájem opačným směrem) rovnají a
helikoptéra se neotáčí. Pokud změníme napětí pomocného rotoru o malé napětí ∆U
(desetiny voltů), změní se i síla vytvořená pomocným rotorem na hodnotu uměrnou
k1∆U. Tato síla vyvodí moment M=k∆U, kde k=k1r1 (r1 – vzdálenost pomocného
rotoru od hlavního). Helikoptéra se začne otáčet ve směru působící síly, ale brání jí
v tom nejen brzdný moment (úměrný konstantě úměrnosti c a úhlové rychlosti ω), ale i
stervační moment Ms.
M − I s ⋅ ϕ!! − c ⋅ ϕ! = 0
(1)
Vrtulka zadního rotoru samozřejmě nezmění rychlost svého otáčení, a tedy i
vyvozenou sílu (moment), okamžitě, protože se jedná také o fyzikální těleso, které má
jistou setrvačnost a působí na něj brzdná síla. Pro zjednodušení předpokládajme, že se
bude jednat o systém prvního řádu. Odpovědí na jednotkový skok nám bude
M = k ⋅ α (1 − e −α ⋅t )∆U
(2)
, kde α je časová konstanta zpoždění.
Při přechodu k přenosu a stavovým rovnicím systému vyjdeme z rovnice (1), pro
začátek nech’t M=k∆U. Pro jednoduchost zápisu budeme dále U představovat ∆U
(změnu z klidové polohy). Provedeme Laplaceovu transformaci rovnice (1):
kU − s 2 I sϕ − scϕ = 0
(3)
Budeme sestavovat přenos, proto kU představuje v tuto chvíli Dirackův impulz.
Petr Česák, 305
4
15.12.2001
k
Is
k
ϕ (s)
Is
G (s) =
=
=
U (s) s (s + c ) s (s + β )
Is
(4)
Provedeme také Laplaceovu transformaci rovnice (2):
M ( s) =
kαU
s( s + α )
(5)
Pro přenos tohoto podsystému podělíme rovnici (5) jednotkovým skokem (1/s) a
též vstupem U:
M (s)
kα
=
U ( s) s(s + α )
(6)
Po dosazení (6) do rovnice (4) bez konstanty k, dostaneme konečně přenos
systému:
kα
K
Is
G (s) =
=
s ( s + α )( s + β ) s ( s + α )( s + β )
(7)
Při tvorbě stavových rovnic vyjdeme z rovnice (1), za M pro jednoduchost nejprve
dosadíme M=kU. Provedeme substituci:
x1 = ϕ
x2 = x!1 = ϕ!
x!1 = x2
x!2 = −
c
k
x2 + u
Is
Is
(8)
Jestliže chceme dostat stavové rovnice ve tvaru:
x!1 = Ax + Bu
y = Cx + Du
(9)
pak z rovnice (8) plyne:
1 
0
A = 0 − c  , B =

I s 

0
 k , C = [1 0], D = [0]
I 
 s
(10)
Pro vytvoření stavových rovnic celého modelu i se zakomponováním zpoždění
pomocného rotoru vyjdeme z rovnice (7), kterou převedeme do časové oblasti:
!!! + (α + β )ϕ!! + αβϕ! = KU
ϕ
Petr Česák, 305
5
(11)
15.12.2001
Stavové rovnice celého modelu:
x1 = ϕ
x2 = x!1 = ϕ!
x3 = x!2 = ϕ!!
x!1 = x2
x!2 = x3
(12)
x!3 = −(α + β ) x3 − αβx2 + Ku
1
0
 x!1  0
  x1   0 
 x!  = 0
 ⋅ x  +  0  ⋅ u
0
1
 2 
  2  
 x!3  0 − αβ − (α + β )  x3   K 
 x1 
[y ] = [1 0 0]⋅  x2  + [0]⋅ u
 x3 
, kde α je časová konstanta zpoždění, β =
(13)
c
kα
, K =
Is
Is
Nyní určíme konstanty α a β:
− αβ = −
1
B2
− (α + β ) = −
Provedeme substituci: α =
2
B
2
1
− β a dosadíme do − αβ = − 2 :
B
B
−(
2
1
− β )β = − 2
B
B
2
1
β − β2 = 2
B
B
2 Bβ − B 2 β 2 = 1
0 = 1 + 2 Bβ − B 2 β 2
0 = (1 + Bβ ) ⇒ β =
α=
Petr Česák, 305
1
B
2 1 1
− = =β
B B B
6
15.12.2001
Zjistili jsme, že α (časová konstanta zpoždění), α =
úměrnosti, viz (1) a K =
kα kc
A
= 2 = 2
Is
Is
B
c
, kde c je konstanta
Is
Tedy konkrétně pro náš model (A=1,726)(B=0,657):
K=
1,726
A
=
= 3,999
2
0,657 2
B
α=β=
1
1
=
= 1,522
B 0,657
d) závěr
Před vlastním měřením jsme museli správně vyvážit polohu helikoptéry. Jelikož
se u helikoptéry střídá mnoho lidí, není možné naměřit při každé hodině stejné
hodnoty (přechodové charakteristiky). Proto jsme při výpočtu a verifikaci použili
přechodové charakteristiky naměřené při jedné hodině.
Pokud změníme vstupní napětí (na pomocném rotoru) o velmi malou hodnotu (do
cca 0,1V), systém se sice začne vychylovat z rovnovážné polohy, ale po určité době se
ustálí na nové hodnotě (byť by měl systém ve vychylovaní pokračovat) – zřejmě
působí vliv špatného vyvážení. Pro větší změny vstupní napětí (na pomocném rotoru)
by se měla tato chyba projevit již méně.
Jako nejoptimálnější přechodová charakteristika pro identifikaci systému vyšla
charakteristika označená jako (b) – změna o 0,175V. Jedná se o astabilní systém
třetího řádu s astatismem prvního řádu.
Petr Česák, 305
7
15.12.2001