Matematicka´ poha´dka

Matematická pohádka
B
Z pramenů volně šı́řených matematickou komunitou upravil —sh, verze 2010/3/26/a
ylo nebylo. . . V reálné řı́ši R, na definičnı́m oboru
D+ = (0, ∞), byl definován mocný Logaritmus Naturalis (obrázek 1), který měl za dceru lı́beznou
funkci. Sinus, jak se jeho dcera jmenovala, byla
vskutku krásná jako obrázek (obrázek 2). Své od přı́rody antisymetricky ladné vnady s oblibou zvýrazňovala absolutnı́ hodnotou, do nı́ž se ráda odı́vala (obrázek 3). Půvab jı́ dodávala nejen
iracionálnı́ perioda 2π, ale i jednotková amplituda na sympaticky symetrickém oboru hodnot H = h−1, 1i. Při úsměvu
roztomile špulila oskulačnı́ kružnici a nevadil ani jejı́ mı́rný
cosinovitý předkus zděděný po předcı́ch z matčiny strany. Byla
dokonce bohatšı́ než jejı́ otec; jejı́ definičnı́ obor D = R byl
netriviálnı́ nadmnožinou definičnı́ho oboru krále Logaritma.1
F
unkce na celém definičnı́m oboru D žily spokojeně
a ve vzájemném souladu, a mocného Logaritma
všechny uznávaly jako svého přirozeného pána a
vládce. Ale jednoho dne se v blı́zkosti pravého prstencového okolı́ nuly, kde král sı́dlil, usadila hrozná derivace.
Terorizovala pravé i levé okolı́ a derivovala vše, co jı́ přišlo do
cesty, až všude kolem ležely jen samé nuly; uměla totiž derivovat podle jakékoliv proměnné. Jednou vzkázala králi Logaritmovi: „Za týden zderivuji tvoji dceru.“ I bylo mnoho smutku
v prstencovém okolı́, až král Logaritmus rozhodl: „Sinusoidu a
hustou podmnožinu mého definičnı́ho oboru dostane ten, kdo
nás zbavı́ té hrozné derivace.“
Z
počátku se hlásilo mnoho funkcı́, které se chtěly s derivacı́ utkat. Ale dny ubı́haly, a po derivaci vždy zůstávaly jen samé nuly. Statečné složené funkce metaly
po derivaci své parametry, kvadratické funkce chtěly
v boji využı́t parabolický tvar svých grafů, ale všichni podlehli. S úspěchem se nesetkali ani Exponenciálnı́ rytı́ř a chrabřı́
bratři, dvojčata Sinus Hyperbolicus a Cosinus Hyperbolicus,
kteřı́ se sice domnı́vali, že jsou pro derivaci neporazitelnı́, ale
ta je chladnokrevně zderivovala podle y. O nabı́dce krále se
dozvěděl i šlechtic Arcus Sinus (obrázek 4). Byl moudřejšı́ než
všichni ostatnı́, a proto se nevydal přı́mo do boje, ale nejdřı́ve
vyhledal starého moudrého Integrála, který měl v boji s derivacemi velké zkušenosti. „Dobře jsi udělal, že jsi za mnou
přišel,“ řekl mu integrál. „Dám ti tři dary, které ti v boji pomohou. Prvnı́ je exponenciálnı́ štı́t. Je tvořen exponenciálnı́mi
funkcemi s různými proměnnými {exi }i=1,2,3,... , a proto je velmi
R
těžké jej zderivovat. Můj druhý dar je tento integračnı́ meč . Je
to jediná zbraň, která je schopna derivaci porazit. Třetı́m darem
je tento aditivnı́ amulet A : R → R, A(x) ≡ x + const. Bude ti
stále připomı́nat, abys při integraci nikdy nezapomněl přičı́st
konstantu. A ted’ jdi a Jacobián tě provázej.“
N
astal den, kdy měla být krásná princezna Sinus zderivována. Doprovázena eskortou lehkých lineárnı́ch
funkcı́, vlnila se Sinusioda k doupěti strašlivé derivace. Vtom se přiřı́til Arcus Sinus na ohnivé limitě
zprava a zvolal: „Nic se neboj, krásná Sinusoido! Jsem tu, abych
tě zachránil!“ a pobı́dl svou limitu ke konvergenci. Vtom už
1 Tento rozdı́l však nehrál významnou roli, nebot’královský otec uměl oba
definičnı́ obory na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit pomocı́ sebe sama.
vylézá derivace ze svého doupěte. Zahlédla bojovnı́ka a vrhá
se na něj. Arcus však neotálı́ a útočı́ svým integračnı́m mečem,
exponenciálnı́m štı́tem kryje každý pokus o zderivovánı́. Všude
kolem odletujı́ zkrvavené parciálnı́ zlomky a po zemi se bezvládně povalujı́ vnitřnı́ funkce. Konečně se i derivace sesunula
na zem. „A je to,“ zaradoval se Arcus Sinus. V tom se mu ale
v exponenciálnı́m štı́tu zjevil starý moudrý Integrál se zrzavým
plnovousem: „Moment, princi. Druhá derivace ti nic neřı́ká?“
A skutečně. Z doupěte už leze druhá derivace a sápe se na
Arca. A zase boj, zase zlomky, vnitřnı́ a elementárnı́ funkce
všude kolem. Ale nakonec byl princ i s druhou derivacı́ hotov.
Očekával třetı́, čtvrtou, . . . , n-tou derivaci, ale žádná z nich se
neobjevovala. Pak nahlédl do skript do kapitoly o matematické
indukci. „Ne, vyššı́ derivace už skutečně nehrozı́,“ oddechl si.
Ale to už se k němu ženou št’astné funkce a oslavujı́ vı́tězstvı́
nad derivacı́.
starý mocný Logaritmus Naturalis přišel a děkoval.
Pak se zeptal Arca, jak se s nı́m vyrovná. „Jsem
chrabrý funkčnı́ předpis a šlechtic Arcus Sinus.
Nejsem přı́liš bohatý, mám pouze kompaktnı́ definičnı́ obor D 0 = h−1, 1i. Dejte mi vaši dceru, krásnou Sinus,
a budu spokojen.“ Dostal tedy princeznu a zplodil s nı́ roztomilou identitu, byt’měla po otci poněkud chudý definičnı́ obor
a na rozdı́l od kyprého zvlněnı́ svých rodičů byla plochá jako
prkno (jako cvičenı́ zakreslete do grafu na obrázku 4).
I
A
jestli naši hrdinové nezemřeli v blı́zkosti ∞ nebo
−∞, jejich mocninné řady konvergujı́ dodnes, jak se
každý z nás může přesvědčit v libovolné učebnici
matematické analýzy.
1
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
9 10
Obr.1. Mocný Logaritmus v pravém prstencovém okolı́ 0.
π/2
0.5
π/4
0
0
-0.5
-π/4
0
π/2
π
π
3π/2
2π
Obr. 2. Vybraná perioda lı́bezné
princezny Sinus.
1
-1
π/2
-π/2
3π/2
2π
Obr.3. Krasavice Sinus oděná do
absolutnı́ hodnoty.
-1
-0.5
0
0.5
1
Obr. 4. Chrabrý princ Arcus Sinus.
Poznámka recenzenta: Nebylo by pro princeznu Sinus jednoduššı́ se prostě nechat čtyřikrát zderivovat?