Fyzikální a matematické základy hudby

Konzervatoř P. J. Vejvanovského Kroměřı́ž
Materiály pro výuku IKT v hudbě (2015/2016)
Fyzikálnı́ a matematické základy hudby
Adam Šiška
1
Stojaté vlněnı́ na struně
Již stařı́ Babyloňané, Sumerové a Čı́ňané1 desı́tky stoletı́ př. n. l. znali zákonitosti
mezi tónem a délkou struny, která ho vydává. Nelze si nepovšimnout zvláštnı́
podobnosti tónů vydávaných strunami, z nichž jedna má polovičnı́ délku než
druhá (toho nejsnáze docı́lı́me tak, že delšı́ strunu uprostřed přidržı́me). Tyto
tóny dnes pojmenováváme stejně, lišı́ se o oktávu.
Dalšı́mi libozvučnými intervaly jsou kvinta a kvarta, na nichž je založeno pythagorejské2 laděnı́. Ukazuje se, že jednoduché poměry délek strun dávajı́ jednoduché (čisté, přirozené) souzvuky, z těchto poznatků vycházı́ didymické3 laděnı́.
V novověku a modernı́ době se ukazuje komplexnost vlněnı́ struny v podobě
vyššı́ch harmonických frekvencı́, nebo symetrie Chladniho4 obrazců vytvářených
vlněnı́m desky.
Pro frekvenci f kmitánı́ struny délky l platı́:
s
n F
f=
2l ρ
F je sı́la napnutı́ struny, ρ je hustota materiálu struny a n je parametr vyššı́
harmonické frekvence. Pro základnı́ frekvenci bereme n = 1.
1 např. Lihui Yang and Deming An, with Jessica Anderson Turner, Handbook of Chinese
Mythology. Santa Barbara, California: ABC CLIO, 2005, strana. 73 (viz heslo Ling Lung
v encyklopedii Wikipedia).
2 Pythagoras ze Samu řec. Πυθαγόρας ο Σάμιος (570 – 510 př. n. l)
3 Didymos řec. Δίδυμος (1. stol. př. n. l.)
4 Ernst Chladni (1756 – 1827)
1
Zjednodušeně vidı́me nepřı́mou úměru mezi délkou struny a frekvencı́ tónu,
který vydává:
1
l
Dále vidı́me, že struna nekmitá pouze s jednou frekvencı́, ale jako součet mnoha
různých kmitánı́ (tzv. alikvotnı́ch tónů, vyššı́ch harmonických frekvencı́), které
jsou n-násobky základnı́ frekvence.
f∼
Napřı́klad pro základnı́ frekvenci 110 Hz dostáváme frekvence:
110 Hz, 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz, 550 Hz, 660 Hz, 770 Hz, 880 Hz, atd...
Což jsou alikvotnı́ tóny od A, tj. postupně: A, a, e, a’, cis”, e”, g”, a”, atd...
Chladniho vzorce
Stojaté vlněnı́ je charakteristické přı́tomnostı́ nehybných sedlových bodů. V přı́padě chvějı́cı́ch se ploch tyto sedlové body tvořı́ nejrůznějšı́ křivky. Obrazce
vytvářené těmito křivkami lze vytvořit právě dı́ky nehybnosti určitých částı́
plochy (např. na zadnı́ stěně kytary), protože pouze v těchto mı́stech bude
mı́t možnost udržet se jemný prášek, kterým plochu před daným kmitánı́m
posypeme. Je vhodné plochu rozeznı́vat digitálnı́m tónovým generátorem, než
smyčcem jako v přı́padě původnı́ho Chladniho experimentu5 .
Kromě toho že touto metodou jistým způsobem vizualizujeme zvuk, lze ji napřı́klad využı́t ke kontrole správného chovánı́ částı́ hudebnı́ch nástrojů při jejich
výrobě.
Obrázek 1: Obrazce (angl. patterns nebo figures) jsou překvapivě složité a přitom
symetrické a pravidelné.
5 Die Akustik. Lepzig 1802. http://vlp.mpiwg-berlin.mpg.de/library/data/lit29494/index html (cit. 24.10.2015)
2
Efekt chybějı́cı́ho základnı́ho tónu
Při reproduczi zvuku lze velmi vhodně využı́t faktu, že lidské ucho vnı́má sadu
alikvótnı́ch tónů (i když v nich některé chybı́) jako tón určité barvy o základnı́
(nejnižšı́) frekvenci. Většina nástrojů umožňuje ovlivňovat zastoupenı́ alikvót
v tónu pomocı́ různých technik a barvu tónu tak upravovat. Digitálně lze ale
vytvořit zvuk sestavený z libovolných alikvót, třeba bez prvnı́ (nejnižšı́).To jak
hluboký tón může reproduktor generovat je dáno mimo jiné i jeho průměrem.
V úvodu zmı́něná výhoda pak spočı́vá v tom, že lze sestavit reproduktor o malém
průměru a pro generovánı́ hlubokých tónů použı́vat modifikované tóny bez
základnı́ frekvence, které lidské ucho vnı́má jako tón o základnı́ frekvenci (i když
opravdu nenı́ mezi produkovanými frekvencemi zastoupena6 ).
2
Kvintové (pythagorejské) laděnı́
Po oktávě 2 : 1 je nejčistšı́m souzvukem kvinta 3 : 2. Obrácená kvinta, tj. kvinta
sestupná, je pak intervalem kvarty 4 : 3. Po kvintách a kvartách projdeme
postupně všechny tóny. Nejdřı́ve odvodı́me durovou diatoniku, poté základnı́
mollovou diatoniku a po dopočı́tánı́ zbývajı́cı́ch tónů chromatické stupnice dojdeme k tzv. pythagorejskému komatu.
Prvnı́ stupeň označený I je pro nás základnı́ tón s poměrem 1 : 1. Poslednı́
stupeň označený VIII je se základnı́m tónem v poměru oktávy, tj. 2 : 1.
Od prvnı́ho stupně je o kvintu vzdálený pátý (V) stupeň, jeho poměr k základnı́mu tónu je tedy 3 : 2. Dalšı́ kvintou nahoru dostaneme druhý stupeň stupnice
v druhé oktávě, proto musı́me poměr (3 : 2) · (3 : 2) = 9 : 4 snı́žit o oktávu,
tj. podělit dvěma. Druhý (II) stupěn diatoniky je tedy se základnı́m tónem
v poměru 9 : 8.
Následně můžeme pokračovat kvintou od druhého stupně. Zı́skáme tak poměr
šestého stupně k základnı́mu tónu (9 : 8) · (3 : 2) = 27 : 16. Dalšı́ kvintou se opět
přesouváme do druhé oktávy, výsledný poměr tedy musı́me dvakrát zmenšit.
Třetı́ stupeň durové diatoniky (III) má tedy poměr k základnı́mu tónu 81 : 64,
což je polovina z (27 : 16) · (3 : 2) = 81 : 32.
Od třetı́ho stupně zı́skáme pomocı́ kvinty sedmý stupeň (VII) v téže oktávě:
(81 : 64) · (3 : 2) = 243 : 128.
Do osmi tónů durové diatoniky nám scházı́ pouze čtvrtý stupeň. Ten nezı́skáme,
pokud budeme postupovat tı́mto směrem. Jak už bylo řečeno, čtvrý stupeň
s osmým svı́rajı́ spolu interval kvinty (kvarta je sestupná kvinta). Poměr čtvrtého
stupně (IV) tedy zı́skáme dělenı́m 2 : (3 : 2) = 4 : 3. Všechny stupně jsou
6 V angličtině se hovořı́ o Missing fundamental.
http://homepage.ntu.edu.tw/∼karchung/Phonetics II page thirteen.htm (cit. 24.10.2015)
3
znázorněny v tabulce.
I
1
II
9:8
III
81 : 64
IV
4:3
V
3:2
VI
27 : 16
VII
243 : 128
VIII
2
Tabulka 1: Poměry tónů v durové diatonice.
Pro základnı́ mollovou stupnici potřebujeme odvodit snı́žený třetı́, šestý a sedmý
stupeň durové diatoniky. Pokud budeme postupovat po kvintách od čtvrtého
stupně durové stupnice sestupně, dostáváme: (4 : 3) : (3 : 2) = 8 : 9. Tento
poměr je pod základnı́m tónem, jeho zvýšenı́m o oktávu zı́skáme sedmý stupeň
(VII[) v poměru k základnı́mu tónu 16 : 9. O dalšı́ kvintu nı́že dostáváme třetı́
stupeň (III[) v poměru (16 : 9) : (3 : 2) = 32 : 27. Pokud postupujeme dále
dostáváme pro šestý stupeň (VI[) poměr 128 : 81 jako dvojnásobek poměru
(32 : 27) : (3 : 2) = 64 : 81.
I
1
II
9:8
III[
32 : 27
IV
4:3
V
3:2
VI[
128 : 81
VII[
16 : 9
VIII
2
Tabulka 2: Poměry tónů v mollové diatonice.
K odvozenı́ chromatické stupnice nám tedy zbývajı́ dva tóny, snı́žený druhý
a pátý stupeň. Pokračovánı́m v odvozovánı́ mollové diatoniky dostáváme stupeň
II[ jako (128 : 81) : (3 : 2) = 256 : 243. Dále stupeň V[ jako dvojnásobek poměru
(256 : 243) : (3 : 2) = 512 : 729, tedy 1024 : 729.
Pokud se vrátı́me k postupu po kvintách nahoru a poslednı́mu odvozenému
stupni, tj. VII stupeň durové diatoniky s poměrem 243 : 128, měli bychom jako
následujı́cı́ dostat stupeň IV] s poměrem 729 : 512, což je polovina z poměru
(243 : 128) · (3 : 2) = 729 : 256. Stupeň IV] je enharmonicky totožný se stupněm
V[. Ale jejich poměry totožné nejsou. Poměr mezi odvozenými stupni IV] a V[
nazýváme pythagorejské koma. Přesně se jedná o čı́slo:
729
512
1024
729
=
729 · 729
531441
=
= 1, 013643...
512 · 1024
524288
Chromatická stupnice v pythagorejském laděnı́ je tedy nutně nejednoznačný pojem. Přesto podáváme tabulky odvozených stupňů.
4
I
II[
II
III[
III
IV
V[/IV]
V
VI[
VI
VII[
VII
VIII
1
128
81
9
8
32
27
81
64
4
3
1024
729
729
512
3
2
128
81
27
16
1 16
9
243
128
2
Tabulka 3: Poměry tónů v pythagorejské chromatice.
3
Čisté (didymické) laděnı́
Druhé čisté laděnı́, které v tomto textu představı́me, vycházı́ z alikvotnı́ch tónů.
Budou nás vždy zajı́mat poměry sousednı́ch alikvotnı́ch tónů, jež určujı́ čisté
intervaly.
Z prvnı́ části textu vı́me, že četnost kmitánı́ jednotlivých tónů zı́skáme jako
násobky základnı́ho tónu. Poměr mezi druhým alikvotnı́m tónem a základnı́m
tónem je tedy 2 : 1 a tento interval označı́me jako čistou oktávu. Poměr mezi
třetı́m a druhým alikvotnı́m tónem je 3 : 2, označı́me jej jako čistou kvintu.
Mezi třetı́m a čtvrtým alikvotnı́m tónem je interval čisté kvarty, jejı́ poměr je
4 : 3. Dalšı́ dva poměry 5 : 4 a 6 : 5 při výčtu alikvotnı́ch tónů odpovı́dajı́
(čisté) velké a (čisté) malé tercii. Následuje sedmý alikvotnı́ tón, který v odvozovánı́ přeskočı́me a pokračujeme osmým až desátým alikvotnı́m tónem. Jak
mezi osmým a devátým, tak mezi devátým a desátým alikvotnı́m tónem je rozsah celého tónu. V didymickém laděnı́ uvažujeme oba tyto poměry 9 : 8 a 10 : 9
a označı́me je jako velký a malý celý tón. Interval jednoho půltónu nakonec
zı́skáme jako poměr šestnáctého a patnáctého alikvotnı́ho tónu, (čistý) půltón
je tedy určen poměrem 16 : 15.
Alikvota
Průběh tónu
n=1
2
3
4
5
6
7
8
9
Interval
}
}
}
}
}
oktáva
kvinta
kvarta
v. tercie
m. tercie
} celý tón
Tabulka 4: Prvnı́ch devět alikvotnı́ch tónů a odvozené intervaly.
Při konstrukci didymického laděnı́ vyjdeme od čisté oktávy, přidáme kvintu
a kvartu, druhý stupeň jako velký celý tón. Podle tónorodu (dur, moll) doplnı́me
velkou nebo malou tercii. Zbývá zı́skat šestý a sedmý stupeň durové diatoniky,
5
které spočı́táme pomocı́ velké tercie od čtvrtého a pátého stupně. Šestý stupeň
má tedy poměr (4 : 3) · (5 : 4) = 5 : 3 a sedmý stupeň má poměr (3 : 2) · (5 : 4) =
15 : 8. Poměry všech stupňů durové diatoniky v čistém (didymickém) laděnı́
jsou v následujı́cı́ tabulce.
I
1
II
9:8
III
5:4
IV
4:3
V
3:2
VI
5:3
VII
15 : 8
VIII
2
Tabulka 5: Poměry tónů v durové diatonice.
Při odvozenı́ mollové diatoniky postupujeme obdobně. Šestý stupeň zı́skáme
jako malou tercii od čtvrtého stupně (4 : 3) · (6 : 5) = 8 : 5. Sedmý stupeň
mollové diatoniky je jeden (velký) celý tón pod oktávou (2 : 1) : (9 : 8) = 16 : 9.
Laděnı́ mollové diatoniky shrnuje následujı́cı́ tabulka.
I
1
II
9:8
III[
6:5
IV
4:3
V
3:2
VI[
8:5
VII[
16 : 9
VIII
2
Tabulka 6: Poměry tónů v mollové diatonice.
Pokud spočı́táme poměry sousednı́ch tónů v durové nebo mollové diatonice, vyjdou tři různé vzdálenosti a to velký celý tón, malý celý tón a půltón.
V didymickém laděnı́ lze zkonstruovat i chromatickou stupnici. Chybı́ nám
snı́žený druhý stupeň a snı́žený pátý stupeň (teoreticky lépe zvýšený prvnı́
a čtvrtý stupeň). Snı́žený druhý stupeň je od základnı́ho tónu stupnice vzdálený
o čistý půltón 16 : 15. Stupeň mezi kvartou a kvintou zı́skáme jako velkou tercii od druhého stupně, tj. (9 : 8) · (5 : 4) = 45 : 32. Tento poměr v hudbě
označovaný jako tritón je nejméně znělým intervalem didymického laděnı́ (nejde
o jednoduchý poměr malých čı́sel, srv. s pythagorejským laděnı́m).
Poměry všech tónů chromatické stupnice ukazuje tabulka.
I
1
I]
II
III[
III
IV
IV]
V
VI[
VI
VII[
VII
16
15
9
8
6
5
5
4
4
3
45
32
3
2
8
5
5
3
16
9
15
8
VIII
2
Tabulka 7: Poměry tónů v didymické chromatice.
Pokud spočı́táme poměry sousednı́ch tónů v chromatické stupnici, zı́skáme tři
různé půltónové vzdálenosti a to čistý půltón a dva chromatické půltóny, velký
135 : 128 a malý 25 : 24.
Narozdı́l od pythagorejského laděnı́ nejsou v didymickém laděnı́ všechny kvinty
čisté. Tyto tzv. vlčı́“ intervaly významně komplikujı́, ne-li znemožňujı́, hru
”
v různých tóninách bez přeladěnı́ nástroje.
6
4
Rovnoměrné (temperované) laděnı́
Ukazuje se, že pomocı́ čistých intervalů nelze vytvořit laděnı́, ve kterém nebudou
změněny vzdálenosti mezi tóny v různých tóninách. Tento problém je způsoben
tı́m, že žádný čistý interval nelze rozdělit přesně na polovinu tak, aby bylo možné
tuto polovinu vyjádřit jako poměr dvou celých čı́sel (zlomek, racionálnı́ čı́slo).
Pro úplnost výkladu si tento fakt prokážeme.
√
Věta: 2 nenı́ racionálnı́.
√
Důkaz: (Sporem) Předpokládejme opak dokazovaného tvrzenı́, tedy 2 je racionálnı́. Předpokládáme, že odmocninu ze dvou
√ lze vyjádřit jako poměr dvou
nesoudělných čı́sel (zlomek v základnı́m tvaru): 2 = pq . Umocněnı́m obou stran
rovnice dostáváme:
2=
2
p
p2
= 2
q
q
Po jednoduché úpravě lze vidět, že p2 a tedy i p jsou sudá čı́sla. Prokázánı́
faktu, že mocnina sudého (resp. lichého) čı́sla je vždy čı́slo sudé (resp. liché)
ponecháváme čtenáři.
p2 = 2 · q 2
Jelikož je čı́slo p sudé, lze ho vyjádřit jako dvojnásobek jiného čı́sla, tj. p = 2 · r.
Po dosazenı́ do předchozı́ rovnice dostáváme:
(2 · r)2 = 2 · q 2
4 · r2 = 2 · q2
2 · r2 = q2
Z poslednı́ odvozené rovnice vidı́me, že i čı́slo q 2 , a tedy i q jsou čı́sla sudá. Máme
tedy, že p i q jsou sudá čı́sla, to je ale ve sporu s předpokladem, že to jsou čı́sla
nesoudělná (v poměru tvořı́ zlomek v základnı́m tvaru). Podle principu důkazu
sporem tedy dostáváme platnost dokazovaného tvrzenı́, že odmocnina ze dvou
nenı́ racionálnı́ čı́slo.
Lze tedy vidět, že nelze vytvořit laděnı́ splňujı́cı́ požadavek na čistotu všech
intervalů v různých tóninách. V dalšı́ textu tedy slevı́me z nároku na dokonalou čistotu souzvuků vycházejı́cı́ z vyššı́ch harmonických frekvencı́. Nové laděnı́
odvodı́me přı́mo z hudebnı́ teorie dvanáctitónové chromatické stupnice, složené
ze stupňů oddělených vždy stejně velkým intervalem půltónu (a platı́, že složenı́m
dvou půltónů dostáváme celý tón).
Princip rovnoměrného laděnı́ tedy vycházı́ z jednoduché úvahy. Jediný čistý
interval v laděnı́ je oktáva (poměr 2:1), která je rozdělena na dvanáct stejných
7
částı́. Formálně lze tento fakt vyjádřit následujı́cı́ rovnicı́ (půltónový interval
označı́me x):
x12 = 2
Odmocněnı́m dostáváme, že velikost jednoho půltónu je:
x=
√
12
2 ' 1, 059463...
Rovnoměrnou kvintu od nějakého základnı́ho tónu tedy dostaneme pokud přinásobı́me zı́skané čı́slo x sedm krát. Přesně jde o hodnotu:
x7 =
√ 7
7
12
2 = 2 12 = 1, 498307...
Jak je vidět z přı́kladu, rovnoměrná kvinta a čistá kvinta (tj. 3 : 2 = 1, 5)
se nepatrně lišı́. Abychom mohli tyto rozdı́ly nějak názorně vyjádřit, zavedeme
v dalšı́ části jednotku cent.
Pro názornost také uvádı́me frekvence tónů diatonické durové stupnice od tzv. komornı́ho A, které má stanovenu frekcenci 440 Hz7 .
A
440
H
493, 88
C]
554, 37
D
587, 33
E
659, 26
F]
739, 99
G]
830, 61
A
880
Tabulka 8: Frekvence tónů (v Hz) v diatonice A dur.
Zbývá doplnit, odkud se v názvu kapitoly (a potažmo laděnı́) vzalo slovo tem”
perované“. Tento termı́n vznikl historicky dı́ky vývoji, kterým laděnı́ od pozdı́ho
středověku do novověku procházelo. Dávno před vynálezem klavı́ru8 bylo naprosto zřejmé, že k uplatněnı́ různých tónin v hudbě (která začala nově podstatně záviset na rozlišenı́ velké a malé tercie a odtud tónorodu dur, moll)
přirozené čisté laděnı́ nestačı́. Na úvahu s dvanáctou odmocninou oktávy pro
určenı́ půltónu ale bylo také brzo“. V přı́padě didymického laděnı́ jsme viděli, že
”
disonantnı́ch intervalů nenı́ v základnı́m laděnı́ mnoho. Prvnı́ pokusy jak vyladit
komplikovanějšı́ nástroje, tak vycházely z jemného upravovánı́ (temperovánı́)
těchto vlčı́ch“ intervalů, aby se dosáhlo nejlepšı́ho kompromisu pro všechny
”
tóniny. Takto vzniklo mnoho nejrůznějšı́ přı́stupů, např. laděnı́ Parejovo, Schlickovo, Grammateovo nebo nejrozšı́řenějšı́ středotónové laděnı́ (viz encyklopedii
Wikipedia).
5
Měřenı́ intervalů v centech
Pro měřenı́ a porovnávánı́ intervalů je vhodné zavést logaritmickou jednotku
cent. Označenı́ (podobně jako u některých měn) plyne z rozdělenı́ jednoho
7 Od
konference ISO v Londýně v roce 1939, dnes ISO 16:1975.
Bartolomeo Cristofori di Francesco, začátek 18. stoletı́.
8 Fortepiano,
8
půltónu jako základnı́ vzdálenosti v rovnoměrném laděnı́ na sto stejných částı́.
Jeden cent je setina půltónu, sto centů je půltón. Celý tón má velikost 200 centů,
rovnoměrná kvarta 500 centů, rovnoměrná kvinta 700 centů. Oktáva 1200 centů,
jelikož ji tvořı́ 12 půltónů.
Vyvstává otázka, jak určit rozsah intervalu (reálného čı́sla) v centech obecně
a následně pak určit o kolik centů se napřı́klad lišı́ čistá a rovnoměrná kvinta.
Bez dalšı́ho vysvětlenı́ (připomeneme pouze, že dı́ky násobenı́“ intervalů se
”
jedná o logaritmickou škálu – podobně jako v přı́padě decibelu [dB]) uvádı́me
9
vzorec pro výpočet centů z poměru frekvencı́ f2 /f1 :
f2
v = 1200 · log2
f1
Poslednı́ tabulka uvádı́ v centech rozměry intervalů různých laděnı́ představených
v tomto textu.
Laděnı́
Pythagorejské
Didymické
Rovnoměrné
Kvinta
701,96
701,96
700
Kvarta
498,04
498,04
500
Velká tercie
407,82
386,31
400
Malá tercie
294,13
315,64
300
Celý tón
203,91
203,91
200
Tabulka 9: Velikosti intervalů v centech.
6
Dvakrát hlasitěji?
Na závěr textu uvedeme pár zajı́mavých experimentu osvětlujı́cı́ch problém
skládánı́ (interference) zvuků.
Představme si zástup stovky flétnistů10 , kteřı́ čekajı́ na povel k hranı́, zatı́m je ticho (zde je vhodné upozornit na pojem práh sluchu). Rozdı́l mezi tichem a tı́m,
když kterýkoliv jeden z flétnistů nasadı́“ libovolný tón je markantnı́. Když
”
necháme nastoupit druhou flétnu na stejném tónu, je výsledný zvuk dvakrát
silnějšı́ (nebo hlasitějšı́)? Při postupném přidávánı́ dalšı́ch fléten do souzvuku
tvořeného stejnými tóny je stále jasnějšı́, že o dvojnásobné, trojnásobné, atd.
hlasitosti se mluvit nedá. Když začne hrát stý flétnista, rozdı́l stěžı́ poznáme.
Přitom sám by dokázal způsobit stejnou změnu jako prvnı́ v tomto pokusu.
Nechceme ted’ primárně cı́lit na problematiku měřenı́ akustické hladiny tlaku
v decibelech a třeba hygienické limitu hluku. Uvedeme logický a patřičně vědecky
zvláštnı́ přı́klad z akustiky11 . Je třeba také upozornit na to, že do objevenı́
9 Při použitı́ běžného kalkulátoru nedisponujı́cı́ho obecnou funkcı́ logaritmovánı́ je potřeba
znát metodu výpočtu, zde: log2 (x) = log(x)/log(2) pro libovolný jiný logaritmus.
10 Powell, J. Jak funguje hudba? Praha: Dokořán, 2012, str. 82.
11 anglicky Active Noise Control
9
elektřiny nelze tento jev simulovat, či nějak uplatnit, což radikálně měnı́ dnešnı́
digitálnı́ technika – z názvu předmětu toho času informačnı́ a komunikačnı́
technika (IKT/ICT).
Komornı́ A má (jak bylo uvedeno výše) frekvenci 440 Hz. To znamená, že 440 krát
za sekundu tlak vzduchu stoupne, klesne a stoupne na původnı́ hladinu. Průběh
tohoto výkyvu (přirozeně velmi složitého) určuje součet jednoduchých kmitánı́
formy:
y = A · sin(ω · x + t)
Při poslechu digitálně generovaného komornı́ho A přibližně každou milisekundu
probı́há růst a druhou milisekundu klesánı́ tlaku. Zkusme si představit, co by
se stalo, pokud bychom stáli v dosahu jiného generátoru, který by byl přesně
o milisekundu zpožděný?
Bylo by ticho, neslyšeli bychom nic12 .
12 Tohoto nečekaného(?) efektu docı́lil již roku 1936 pomocı́ obrácené fáze reproduktoru Paul Lueg, jde o U.S. Patent 2043416, digitálnı́ kopie je dostupná např. na adrese
http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?patentnumber=2043416
10